FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA PROFESSOR PDE
1. Nome do(a) Professor(a) PDE: SOLANGE MICHALOVICZ
2. Disciplina/Área: MATEMÁTICA
3. IES: UNICENTRO
4. Orientador(a): PROF. DR. EDILSON ROBERTO PACHECO
5. Co-Orientador (se houver):6. Caracterização do objeto de estudo (exceto Professor PDE Titulado): A proposta deste folhas é
evidenciar as contribuições de Pitágoras, matemático grego, a quem se atribui inúmeras descobertas,
entre elas, a numerologia, assunto que fascina as pessoas há milhares de anos. Apesar de não haver
qualquer registro da sua existência, as façanhas de Pitágoras e sua sociedade secreta foram repassadas
de geração em geração por meio de relatos orais e sua figura tornou-se ainda mais misteriosa.
7. Título da Produção Didático-Pedagógica: 2008, O ANO NÚMERO 1?8. Justificativa da Produção: O ensino da matemática está focalizado, na maioria das vezes, em
abordagens rígidas e preocupadas somente com resultados, desprezando processos e encaminhamentos
diferenciados. As inserções históricas nos materiais acessados pelos alunos, quando existentes, são
incipientes e considerando este quadro desfavorável ao ensino da matemática e, sobretudo, a importância
da abordagem histórica como alternativa metodológica, é que este folhas se pauta em estudar figuras
humanas que produziram o conhecimento matemático contido na história desta ciência.
9. Objetivo geral da Produção: Oportunizar aos alunos o acesso ao processo histórico dos conteúdos
para que se apropriem e valorizem os conhecimentos produzidos pelo homem no decorrer do tempo,
reconhecendo que os conceitos matemáticos nem sempre foram do jeito como são apresentadas nos
livros didáticos, que não seguiram a ordem nem a seqüência e o encadeamento linear de idéias, mas que
surgiram para resolver problemas diferentes, em épocas diferentes. Propiciar ao aluno, pela via do estudo
com aportes mais biográficos, uma visão mais ampla sobre a matemática e, em conseqüência disso, um
interesse maior ao seu estudo.
10. Tipo de Produção Didático-Pedagógica:( x ) Folhas ( ) OAC ( ) Outros (descrever):
11. Público-alvo: ENSINO FUNDAMENTAL
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Secretaria de Estado da Educação – SEEDSuperintendência da Educação - SUED
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – DPPEPrograma de Desenvolvimento Educacional – PDE
2008, O ANO NÚMERO 1?É comum em todo início de ano fazermos um balanço do ano anterior,
planejarmos o ano vindouro e revirarmos as revistas na tentativa de encontrarmos
indicações de que o futuro será do jeito que sonhamos. E assim, nesse mexe e remexe,
deparei-me com o texto da jornalista Susan Andrews, publicado na Revista Época, 7 de
janeiro de 2008. Dizia ela:
Na semana passada alguém me lembrou que o ano que entra, 2008, é um número 1. De acordo com os numerologistas, um “ano número 1” inaugura um novo ciclo de nove anos. Como sugere o antigo provérbio chinês, “mesmo uma jornada de 1000 léguas começa com um único passo”, e no ano número 1 é importante começar com o pé direito e na direção certa.
Você deve estar pensando... Como assim, “ano número 1”? Que contagem é
essa? O que significa o ano 1? O que isso influencia na vida das pessoas?
É inevitável! Todos os dias nos deparamos com incontáveis números, eles estão
em toda parte, e é difícil imaginar nossa vida sem eles: endereços, telefones,
documentos de identidade, cartões de crédito e tudo mais que o mundo moderno nos
proporciona mas nem sempre foi assim... A partir de agora, viajaremos no tempo.
Houve um tempo - mais precisamente na Grécia
Antiga - em que os números estavam envoltos em mistérios.
Conhecimento era privilégio para poucos. Dentre estes
figuram os pitagóricos, assim chamados por serem
discípulos de Pitágoras, grande filósofo e matemático grego
que viveu no século VI a.C.. Os pitagóricos formavam uma
sociedade secreta, como tal, repleta de rituais mais secretos
ainda.
Com o passar do tempo, esse misticismo possibilitou a criação de uma tabela
numérica que relacionava letras e números, chamada de Tabela Pitagórica, que é
considerada a base da numerologia moderna, mais precisamente na “gematria”, que
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nada mais é do que a atribuição de valores numéricos às letras do alfabeto, seguindo
uma determinada ordem, como mostra a figura:
http://www.reencontro.net/colunareenc2007_0403.html
A idéia de atribuir aos números poderes ocultos é bastante antiga e aparece em
diversas culturas. Pode até ter surgido juntamente com a própria matemática, sempre
como a intenção de relacionar os números com objetos, fatos do cotidiano,
personalidade e também explicar acontecimentos ou prever o destino das pessoas.
Assim, não se pode afirmar que a numerologia tenha sido inventada por
Pitágoras e seus discípulos, pois antigos registros comprovam o uso das propriedades
misteriosas dos números por diferentes povos, os quais utilizavam letras para a
representação numérica, como os egípcios antigos, os hindus, entre outros.
Quer saber o que a numerologia diz a seu respeito? Siga as dicas a seguir:
Para realizar os cálculos, é preciso considerar o nome completo, como registrado
no Cartório Civil além dos valores numéricos para cada letra, indicados na tabela
acima. Devem-se somar todos os algarismos do nome, até transformá-lo em valor com
um único algarismo. Veja o exemplo:
M A R C I O S I L V A4 + 1 + 9 + 3 + 9 + 6 + 1 + 9 + 3 + 4 + 1 = 50 = 5 + 0 = 5
Agora é a sua vez! Mãos à obra...
Escreva o seu nome, substitua os valores e calcule a soma.
Depois de obter o seu número, você pode saber o que ele revela, consultando os
endereços a seguir:
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http://www.terra.com.br/planetanaweb/flash/guiacosmico/futurama/numerologia3.htm
http://www.reencontro.net/colunareenc2007_0403.html
http://somostodosum.ig.com.br/conteudo/conteudo.asp?id=936
OPINIÃOE aí? O que achou? Os números desvendaram algum segredo? Comente com
seus colegas os resultados.
ATIVIDADES1. Há numerólogos que propõem a exclusão do
número 9 da soma. Você saberia explicar por
quê?
2. Outra pessoa pode obter o mesmo número que
você obteve? Cite exemplos.
DEBATEDuas ou mais pessoas podem ter os mesmos
destinos e personalidades idênticas, como apregoa a
Numerologia?
Você acabou de experimentar uma pequena mostra da influência dos números
em nossas vidas e também já aprendeu como calcular o valor único para 2008, não é?
Vamos lá, faça a soma! A resposta é realmente o número 1?
Muito bem, você encontrou a solução, mas o significado ainda precisa ser
descoberto. Para isso, precisamos saber primeiramente o que é exatamente número.
Em geral, utilizamos a palavra “número” em diferentes contextos, até
enveredamos por aspectos misteriosos. Porém, é imprescindível a compreensão mais
profunda desse assunto; sua possível origem, sua natureza, concepções, definições -
enfim, buscar responder primeiramente a pergunta: Afinal, o que é número?
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Há onze mil anos, com o desenvolvimento da agricultura, o homem deu início a
um processo de evolução nos seus hábitos e interesses. Este fato desencadeou
necessidades e possibilidades até então impensáveis. Antes, o homem era nômade,
isto é, esgotava toda a capacidade do lugar e em seguida migrava para outro que
pudesse oferecer condições favoráveis à sua sobrevivência. Depois passou a cultivar
as plantas para conseguir alimento, o que o conduziu a uma organização diferente da
sociedade. Como conseqüência, a população aumentou e o trabalho teve que ser
estruturado e distribuído.
Pouco a pouco o homem assumiu uma situação mais sedentária, que o fez sentir
a necessidade de entender as estações do ano e contar o tempo por meio de
calendários. Assim, na medida em que obtinha progressos nessas tarefas, também
desenvolvia os conceitos fundamentais do que hoje conhecemos como número. Porém,
é importante salientar que, antes mesmo de surgirem conceitos como número e
contagem, os homens mais primitivos já possuíam noções numéricas, e este senso
também pode ser observado, ainda que de forma restrita, em algumas espécies de
animais, como pássaros e leões.
Para saber mais sobre este assunto visite o sítio abaixo:http://universitariodefisica.blogspot.com/2007/09/animais-matemticos-parte-ii.html
A idéia de número é intrigante, de tal maneira que ainda hoje pessoas tentam
descobrir os mistérios de um conceito tão antigo quanto a própria humanidade.
A palavra “número” é aplicada a diversas situações cotidianas, como por
exemplo: “o cinco é número ímpar”, “as meninas da classe eram em maior número”,
“qual o número de torcedores do Atlético Paranaense?”, “Pedro é bom com os
números”. “Não houve número para jogarmos uma partida de futebol”. “Comprei o
último número da revista”. “A apresentação teatral tinha três números”. “Um sem-
número de crianças participou da brincadeira”.
Em um conhecido dicionário da língua portuguesa (HOLANDA, A.B., 2001, p.
524), número é definido como: “sm 1. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto
ou a característica mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que
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é matematicamente definida como o conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um
conjunto dado. Também o Dicionário Escolar de Matemática (REIS e MACEDO, 1992,
p. 189) relata que “Número é a comparação entre a unidade e a quantidade que se
avalia”.
O homem primitivo, ao perceber a necessidade da contagem não imaginava
quão complexo se tornaria esse conceito, e muito menos que ele se desdobraria em
muitos outros. Embora inicialmente utilizados para solucionar as questões práticas do
cotidiano, os números também exerceram sobre os homens um fascínio que
extrapolava as suas meras aplicações. A divindade creditada aos números se deve em
grande parte à herança da crença pitagórica segundo a qual havia matemática por toda
parte.
ENTÃO, TUDO É NÚMERO?
A resposta para esta pergunta também era a preocupação dos
matemáticos/filósofos da Antigüidade. O fascínio, talvez nem seja pela resposta
definitiva, mas pela própria viagem, as aventuras, os obstáculos, as descobertas e as
incertezas que propiciam diversos questionamentos: tais como: “Existe algo que seja o
princípio de tudo?”.
Qualquer que seja a resposta a essa interrogação, não é possível desconsiderar
as contribuições da Escola Pitagórica. Alguns autores afirmam que se trata de uma
seita, outros a consideram uma sociedade aristocrática secreta envolta em rituais
místicos e doutrinas obscuras, tendo em Pitágoras de Samos o seu maior
representante. Aos pitagóricos é atribuída a idéia de que todas as coisas são os
números inteiros.
DEBATEAtualmente existem grupos de pessoas que
adotam comportamentos, roupas, penteados iguais, no
intuito de, agindo assim, identificarem-se com uma “tribo”
e por ela serem aceitos. Você faz parte de alguma tribo?
Conhece outras? Você participaria de uma sociedade
secreta como a dos pitagóricos?
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Antes de responder à última pergunta veja o que era preciso fazer para se tornar
um membro dessa confraria:
Fase 1: Acreditar que tudo era governado pelos números, abandonar a vida
particular e aceitar as regras do instituto, com dedicação integral;
Fase 2: Prova da caverna: passar a noite sozinho em uma caverna “assombrada”,
demonstrando segurança e coragem;
Fase 3: Prova da resolução de um problema: sem aviso prévio, era solicitado a
responder um problema, trancado em uma sala vazia, somente na companhia de
uma pedra, água e pão seco. Se não conseguir a resposta será humilhado com
piadas sarcásticas e terá de suportá-las para continuar.
Calma, mesmo chegando até aqui, você ainda não é um pitagórico! Apenas
conquistou o direito de iniciar sua preparação que pode durar de dois a cinco anos.
Agora você precisa seguir à risca o código de conduta. Vamos lá!
Silêncio absoluto durante as lições, nada de perguntas nem opiniões;
Não contar coisa alguma do que aprender;
Não comer qualquer tipo de carne animal, pois este poderia ser a reencarnação de
um falecido amigo;
Não comer lentilhas (por produzirem gases);
Vestir branco;
Tatuar uma estrela de cinco pontas (pentagrama) nas palmas das mãos;
E então, aceita o desafio? Pronto para ser um pitagórico?
Ah! Que pena! Mesmo que sua resposta tenha sido positiva, daria muito trabalho
reviver uma história tão antiga, mas isso não nos impede de conhecermos mais sobre
os feitos de Pitágoras e seus seguidores, não é?
AMPLIANDO O CONHECIMENTO...Segundo Boyer (1996, p. 33), a Pitágoras é atribuída a criação das palavras FILOSOFIA
(amor à sabedoria) e MATEMÁTICA (o que é aprendido). A palavra AMIZADE também é creditada a Pitágoras (Guedj, 1999, p. 95). Ele dizia: “Amigo é o outro eu, como 220 e 284”.
Você pode pensar: o que esses números têm a ver com amizade?
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A explicação, dizia Pitágoras, é que se somarmos os
divisores de um dos números, exceto ele próprio, o resultado é o
outro e vice-versa. Assim, a soma dos divisores de 220 é:
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 e a soma dos
divisores de 284 é: 1+2+4+71+142=220. São exemplos de
números amigos 1.184 e 1.210, 2.620 e 2.924, 5.020 e 5.564,
6.368 e 6.232, 10.744 e 10.856, 17.296 e 18.416.
Você teria uma outra explicação para o fato dos números 220 e 284 serem
amigos?
Este tipo de relação entre os números é o que se pode chamar amizade
“perfeita”. No entanto, para os pitagóricos, a perfeição numérica era outra coisa.
Números perfeitos são aqueles em que a soma de seus divisores menores que o
número é igual ao próprio número. Não entendeu? Então, acompanhe o exemplo do
número 6:
A soma dos divisores de 6 menores que ele mesmo: 1+2+3 = 6.
Ainda não se convenceu? Lá vai o 28:
A soma dos divisores de 28 menores que ele mesmo: 1+2+4+7+14 = 28.
E acredite, estes não são os únicos, são conhecidos mais de trinta números
perfeitos, entre eles: 496, 8.128 e o extraordinário
2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176.
As estreitas relações numéricas dos pitagóricos não param por aí. Agora o grau
de parentesco envolve números primos e números quadrados perfeitos. Quer saber o
que eles têm em comum?
A soma dos números primos maiores que 1 é sempre um quadrado perfeito.
Achou confuso? Os pitagóricos explicam... E desenham.
Veja:
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
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E assim sucessivamente...
Ainda não se convenceu? Então vamos ao desenho.
Pitágoras ficou mais famoso por causa de um certo teorema. Você já ouviu falar
no Teorema de Pitágoras, não é? Lembra? Em qualquer triângulo retângulo o quadrado
da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Isso é fácil, mas sabe quem o
descobriu?
Esta pergunta pode soar estranha, já que a resposta, a princípio, parece óbvia.
Mas, a propriedade dos triângulos retângulos era conhecida e utilizada muito antes de
Pitágoras, por babilônios e chineses. Uma justificativa para o nome do teorema pode
ser o fato de os pitagóricos terem sido os pioneiros a formalizarem a sua demonstração.
Por volta de 1900, já era possível provar o teorema por mais de 360 maneiras
diferentes.
ATIVIDADEO teorema atribuído a Pitágoras, por autores
posteriores a ele, possui inúmeras demonstrações. Será que
ele é válido se substituirmos a construção dos quadrados a
partir dos lados do triângulo por semicírculos de diâmetros
iguais aos lados correspondentes?
As expressões “quadrado” e “cubo”, muito utilizadas atualmente nas unidades
cm2, m2 ou então cm3, m3, entre outras, também são atribuídas aos pitagóricos, que
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relacionaram a multiplicação de um número por ele mesmo com a idéia de área
(quadrado) e a multiplicação de um número por ele mesmo três vezes com a idéia de
volume (cubo).
ATIVIDADE O problema da duplicação do cubo é um dos três famosos problemas da
matemática na Antigüidade e contam-se várias histórias sobre a sua origem. Em uma
delas há uma pitada de mitologia e diz que os deuses enviaram uma peste ao povo de
Atenas.
O povo mandou então uma delegação ao oráculo de
Delos para indagar sobre o que poderia ser feito para
apaziguar os deuses. Foi-lhes dito que, se dobrassem o
tamanho do altar cúbico de Apolo, a peste cessaria. Então,
eles construíram um novo altar, em que as arestas eram o
dobro das arestas do altar antigo. Mas a peste continuou.
Você saberia explicar por quê?
Apesar de o nome de Pitágoras permear muitos livros utilizados nas escolas, e
histórias de seus feitos terem percorrido
o mundo, não há um registro sequer da
sua produção matemática, e até mesmo
a sua existência é questionada. O fato
de não haver provas, em geral, podem
ser explicado pelo cumprimento às
regras da escola pitagórica, que exigia
completo sigilo sobre as suas atividades
e previa sérias punições aos traidores,
entre elas o sepultamento de um caixão
como se fosse a própria pessoa.
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Pitágoras, Escola de Athenas, Raffaello Sanzio, 1509.http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/matematica/2pitaate.jpg
Mas até que ponto a incerteza de sua existência, diminui a grandeza da obra
creditada a ele e aos seus discípulos? Qual a importância de sabermos mais da vida
pessoal das figuras humanas na história da matemática? Em que medida o estilo de
vida, as vestimentas, os hábitos, as manias, a religião, a raça, a opção sexual e a
excentricidade podem influenciar a produção científica das pessoas?
E as mulheres?
Pitágoras permitia que moças participassem da sua sociedade secreta, apesar
de receberem tratamento diferenciado. Entretanto, ao longo da história, as mulheres
foram desestimuladas e muitas vezes impedidas de se dedicarem ao estudo científico.
Leia abaixo a história de Sophie Germain, um dos poucos nomes femininos
registrados na história da matemática.
AMPLIANDO O CONHECIMENTO...Sophie Germain, de nacionalidade francesa, foi a primeira mulher a ser indicada para o
título de Doutor Honoris Causa, pela Universidade de Göttingen (Alemanha), em 1831. Entretanto, a história não foi tão perfeita assim... Para estudar matemática, Sophie tinha que se esconder em seu quarto, pois seus pais a proibiam e a castigavam. Também foi impedida, por ser mulher, de freqüentar a escola politécnica francesa, então assistia às aulas do lado de fora, apenas ouvindo as explicações. Alguns rapazes, reconhecendo seus esforços, forneciam suas anotações e assim ela conseguiu entrar em contato com a matemática desenvolvida na época, e começou a descobrir coisas novas. Escreveu sobre suas descobertas a alguns matemáticos, sem obter resposta alguma. Resolveu, então, adotar o pseudônimo de Antonie LeBlanc e passou a publicar seus trabalhos com nome masculino. E não é que deu certo? Com essa estratégia, recebeu inúmeros elogios de grandes matemáticos da época e ganhou diversos prêmios. Contudo, a mentira tem perna curta, e o Monsieur LeBlanc foi desmascarado. A essa altura, porém, Sophie já havia conquistado respeito e credibilidade pela sua produção matemática e continuou sua carreira, agora mais tranqüilamente. Infelizmente, não viveu o suficiente para receber o prêmio e a homenagem da universidade alemã. (GARBI,2006)
Nicolas Bourbaki é nome de matemático francês com uma história interessante.
Pesquise sobre a sua vida e produção. Você vai gostar!
E por falar em histórias interessante, não podemos deixar de mencionar o
matemático brasileiro Júlio César de Mello e Souza que sob o pseudônimo de Malba
Tahan, publicou diversos livros, sendo o mais famoso deles “O homem que calculava”,
no qual brilhantemente une a matemática a fatos e casos pitorescos. Conheça o seu
problema mais famoso consultando o endereço:
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http://www.rainhadapaz.g12.br/projetos/matematica/histdematematica/35camelos.htm
Entretanto, não é somente nas ciências que tal artifício é utilizado. Muitos outros
nomes, brasileiros e também paranaenses figuram nas listas de usuários de
pseudônimos. Quer saber quem são eles? Em colaboração com as disciplinas de
português e história, faça uma pesquisa dos seguintes nomes: Dalton Trevisan (poeta
paranaense), Agenor de Miranda Araújo Neto e Chico Buarque (cantores e
compositores brasileiros), Patrícia Galvão (escritora e jornalista brasileira), Rachel de
Queiroz (primeira mulher a entrar para a Academia Brasileira de Letras) e Fernando
Pessoa (poeta português).
Até aqui você aprendeu sobre diversos tipos de números e suas relações, mas
ainda não descobriu o significado do ano de número 1. Vejamos o que nos conta a
matéria da Revista Época, anteriormente citada:
Em Ano de Começos como esse, o numerologista indiano B.S. Sekar recomenda: “Você deve desbravar um território desconhecido, virar a página do passado com força de vontade redobrada. Iniciativa deve ser uma senha diária. Num ano 1 você poderá se arrepender de não ter ao menos tentado. Amplie seu círculo de amigos e associados. Lembre-se de que essas pessoas poderão se manter ligadas a você no próximo ciclo de nove anos. Acima de tudo, preencha sua mente com novos conceitos e experimente idéias não testadas. Deixe que um novo vento varra as teias de aranha dos antigos e estagnados padrões de pensamento e ação”.
Revista Época, 7 de janeiro de 2008.
Agora é com você. Faça deste ano o primeiro de muitos
para aprender e conhecer cada vez mais. Aproveite ao máximo
todas as oportunidades de aprendizagem e contribua para
continuarmos registrando na história da humanidade também as
nossas histórias cotidianas.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANDREWS, S. 2008 O ANO NÚMERO 1. ÉPOCA. São Paulo: Ed. Globo, 8 set 2008.
BOYER, C.B. História da matemática. 2. ed. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
DEWDNEY, A.K. 20.000 léguas matemáticas: um passeio pelo misterioso mundo dos números. Trad. Vera Ribeiro. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2000.
EVES, H. Introdução à história da matemática. Trad: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
FERREIRA, A.B.H. Minidicionário da língua portuguesa. 5. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001.
GARBI, G.G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.
GUEDJ, D. O teorema do papagaio. Trad. Eduardo Brandão. São Paulo: Companhia das Letras, 1999.
GUNDLACH, B.H. Números e Numerais. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992. 77p. (Tópicos de História da matemática para uso em sala de aula).
REIS, L.F.;MACEDO,O. Dicionário escolar de matemática. São Paulo: Casa Publicadora Brasileira, 1992.
SCHURÉ,É. Os Grandes Iniciados: Pitágoras. São Paulo: Martin Claret Editores, 1986.143p.
WESTECOTT,W.W. Os Poderes Ocultos dos Números. Trad. David Jardim Júnior. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint, 1987.
Documentos Consultados On Line
AS VIBRAÇÕES DOS NÚMEROS EM NOSSA VIDA. Disponível em:http://www.reencontro.net/colunareenc2007_0403.htmlAcesso em: 6 fev. 2008PITÁGORAS. Escola de Atenas (imagem). Disponível em:http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/matematica/2pitaate.jpg Acesso em: 10 fev. 2008
NOTA: Ilustrações de Cristiane Noda Kondo.
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