Лесотехнически университет - София

Писмен кандидатстудентски изпит по МАТЕМАТИКА

ТЕМА 3

Задача 1. а) Да се реши неравенството: 2

3 20.

4 3

x

x x− >

− +

б). Да се намерят стойностите на реалния параметър 1m ≠ − , за които уравнението ( ) 21 2 0m x x m+ + + − = има равни реални корени.

Задача 2. В успоредника ABCD е прекарана ъглополовящата на BAD∢ . Тя пресича ъглополовящата на ADC∢ в точка M и ъглополовящата на ABC∢ в точка Р. Ъглополовящата на BCD∢ пресича DM в точка Q и BP в точка N. а) Докажете, че 90AMD APB= = °∢ ∢ . б) Докажете, че MN AB� и PQ BC� . в) Ако : 9 : 20MQNP ABCDS S = , намерете отношението :AB BC .

Задача 3. а) Да се реши системата системата: 2 2

3 3

3 3

x y

x y

+ =+ =

б) Да се намерят коефициентите а и b във функцията 3( )f x x ax b= + − , ако за 1

2x = стойноетта на функцията е равна на 2 и

локалният максимум на f{x) e с 3 по-голям от локалния и минимум. Задача 4. Основата ABC на триъгълна пирамида ABCD е триъгьлник със

страна АВ = 5 и 4cos

5BAC =∢ . Ръбовете АС и АD на пирамидата са

перпендикулярни, двустенният ъгъл между околната стена ACD и

основата ABC е равен на 3

π и 29BD = .

а) Намерете дължините на отсечките АН и BH , където ВН e височина в ABC△ . б) Ако точка 1D е ортогоналната проекция на вьрха D върху равнината на основата, докажете, че 1AD BH� . в) Намерете дължината на отсечката AD и разстоянието от точка B до правата AD.

Моля, номерираите листовете! ВРЕМЕ ЗА РАБОТА 5 ЧАСА

ПОЖЕЛАВАМЕ УСПЕХ НА ВСИЧКИ КАНДИДАТ-СТУДЕНТИ!