���20
������� 3:��������� ��� �
������ 3.6:
������ �������������� �������
�������� �!"��
����������������������� ��� �
�������
�� ������������� ����� !
�� ��� "�" �#����#
$� ��� "�" ����� #%��#� ���&����'����
(� ��� "�" ������"��)�������"*)������
+� ��� "�" ����*��)�������"*)������
,� ��� "�" ����*��)�������"*)������
-� ��� "�" ����*��)�������"*)������
.� ��� "�" ����*��)�������"*)������
/� ��� "�" ��������*���#��
0� ��� "�" ��������*���#��
$� 1&���#������� �2&���
�� ����*���%�
$� 3 � *��%�
(� 4� "����������2&��
�� �������
$� 3 � *��%�
+� 4� "�����������&"����2&��"
�� �������
$� 3 � *��%�
����������� ����������������������������� ������!"���� !"��
,��5%�������6�%��7���#���2&��
�� �������
$� 3 � *��%�
-��6�%������"�� %�%�
�� �������
$� 3 � *��%�
8��������
�� 1������
$� 19 ���%)
�. #��$%� ��& ���������
�$�$�'� �
����(�%� �)������ Tarski
� �!��(� �)������ �!$�& �� ��" ���(�% �)������ Tarski.
�*��&��� � ������ �)���� �!$��
�$�$�'� +
� ��"�$���(���� �!$��
� ��"�$���(��� #!"�)� �!$�"
� ������ #&"�$�����
�$�$�'�
� (-)
����������� ����������������������������� ������!"���� !"��
,$��-�&" '!� ��%$�� ��� "� ����.��(�&�� ��� $�%��(�:
• � ��$�����%� ��%$�� $�& ������ (�� $�����!��"� ��������, '�)�'� �� /�(��%
����)��� ��" ����.��(���% $�"���.
• � �&$��%� ��%$�� ��"�� "� ����.��0�&�� �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski.
�� 1���"�(�&�� �� '!� ��(�������!� ���(��!�:
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski
#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
���(�%�:
• *(�� ����"��� �, �!$�� ��� �$�����(� .
• �� ���.�&�� � � � �" � �!$�� �)���!�� (��" ����"��� � �� ��"
�$�����(� ()2�� %�� � ����"��� ���"�$���� ��" �!$�)
• �� ���.�&�� � � � �" � �!$�� '�" �)���!�� (��" ����"��� � ��
��" �$�����(� ()2�� %�� � ����"��� '�" ���"�$���� ��" �!$�)
• ��'��� �" � �!$�� �)���!�� �"�1������ �$% ��" �$�����(� �� )2�� %�� � �
��"�� ��"�2)� ��� . ��� �� ���.�&�� � � .
• 3�� %��" � $�%��(� �)���!�� �"�1������ �$% ��" �$�����(�, �� )2�� %�� �
����"��� ��"�� ��"�2)� ��� .
+. ������1. ���(�%� �)������ Tarski
�� ���(�%� �)������ ��& Tarski ����.��0�� ���� '��� �!$�&:
$���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
���������� ������������ � ����������������������������������� ��������!�����������������������������������" #$�%����������&�'�����!��������������(������)�*�&�+�)������� � �
���+��������,�����-� ���.$�/1. � � �� � ��� � �� � ����
2. � � ����� � � ���� � � �� � � � �� � � ��
3. � � �� � '�" �(-!�� %�� � � �
4. � � � �� � � � � ��� � � ��
5. � � � �� � � � � � � � ��
6. � � � �� � �" � � � �%�� � � ��
7. � � � �� � � � � �" ��� �%"� �" � � ��
8. � � ��� � ��� ���� � � � !!� � ���"#�
9. � � ��� � &$��-�� � � � !!� � ���"#�
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� ��" �(%����., '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
�� � ��
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 1 � $�%��(�
����.��0���� (��":
���� � ����
• 4$�& ���� � �$�����(� ��& %��& �� ��� ���� � �$�����(� ��& %��& ��
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski1. � ��"%"�� ��� �(%�����
����������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 1 ��& ���(��! Tarski:
� � �� � ��� � �� � ����
����'����� 1:
• #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � $� % � & � $���(��(�
� � % � �!
• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(� 2=1
����'����� 2:
• #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � '� % � &, ��" ����"���
��" (&"����(���5" (&�/%)�" f(x,y): (� �� % � � ) % ��� g(x,y): *� �� % � � + % �
$���(��(�
� � (�* �� � � %� � *��� %�!
• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(� 11=6
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" ������% �!$� $�& �$���)����� �$% 2"� �������������%
(!�/�)�, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
� � ����� � � ����
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 1 � $�%��(�
����.��0���� (��":
� �� � � � �� � � ��
4$�& ��,� � �$�����(� ��& %��& �, ��� - � $� � � . ��� �� ��"�� � ����"��� ��&
������������� P (�� �))� )%��� %�� � '��������2"� n-�'� �� ��" �$�����(� ��" ���(����"
�"���� (��" (-2(� $�& ��.��0���� �$% �� �������������% (!�/�)�).
• ��2(�� ���� ��" �.������ ��& ��"%"� 2 ����.��0�&�� $�����2�� ��" $���$�"� $�%��(�
��:
��� �� � � � �� � �)��2�
��)�'� %�� �� �����%���� �� �� (&�������2"� ���(���� ��"�� �)��2�
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski2. � ��"%"�� ��& ��������������! (&�/%)�&
%���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 2 ��& ���(��! Tarski:
� � ����� � � ���� � � �� � � � �� � � ��.
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski2. � ��"%"�� ��& ��������������! (&�/%)�&
&���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� �.������� ��& ��"%"� 2:
#�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � $� % � & ��� ��" ����"���
��& ������������� / ��� %�: /� ��� %� "� �)���!�� �" 0 / 1! � $���(��(�
� �/ �%� ��!
• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(�
�&�$� �/�
• �� $�����2�� (����"�� ($�"�� .��"�&�� (�� 2� �$�$�'� %��" ����"�!�&��
�������������% (!�/�)�):
/� �&�$� �)��2�
• �$��2"�� (����"�� %��: 2<1
����'����� �.������� ��& ��"%"� 2:
• #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5" �� � � '�!!��" ����"��� ��" (&"����(��" f(x,y):
(� �� % � � ) % ��� g(x,y): *� �� % � � + %, ��& ������������� 2��� %�: 2���� %� "�
�)���!�� �" 0 '��������� �$% �� y ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � $ � $���(��(�
� � 2�*��� ��� (�3� 3��!
• ����.��0���� �� -��(� ��& ��"%"� 1 (��" $���(��(�
�4�&� � 2�
• �� $�����2�� (����"�� 2��4�&� �)��2�
• �$��2"�� (����"�� %��: «�� 9 '��������� �$% �� 2»
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& 2-�� ��" ���.� ��� ��"�(�� �"%�
�!$�&, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
� � ��
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 3 � $�%��(�
����.��0���� (��":
'�"6�(-!��6%��6� � �
• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)� ��"%"� ��� ��" �!$� .
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski3. � ��"%"�� ��& ��"��2(��& (&"'2(��& �
'���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 3 ��& ���(��! Tarski:
� � �� � '�" �(-!�� %�� � � �
����'�����:
#�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5", �� ��" �$%����(� � � $� % � & "� ����.��(���
� $���(��(� ��% � ��! �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski:
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � ��% � ��! (�.���%0� ��"%"� 3)
� 567!89:;68!� � % � �! (�.���%0� ��"%"� 1)
� 567!89:;68!!& � $
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%
(!"'�(�� � , '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
� � � ��
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 4 � $�%��(�
����.��0���� (��":
� � � 6���6� � ��
• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski4. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �
(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 4 ��& ���(��! Tarski:
� � � �� � � � � ��� � � ��
����'�����:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", ��" ����"��� ��& ������������� 2��� %�: 2���� %� "� �)���!��
�" 0 '��������� �$% �� y ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � $ ��� < !=� � ' �� -��(�
��& ���(��! ��& Tarski "� ����.��(��� ��" $�%��(�: 2�=� 3� � 3 � =
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � 2�=� 3� � 3 � = (�.���%0� ��"%"� 4)
� � � 2�=� 3�! !>�8!� � 3 � = (�.���%0� ��"%"�� 2 ��� 1)
� '�$ � ?�!>�8!$ � '
� ?� '�$ !�@ABCD!>�8!$ � '
� '!EFGFHIFJGF!GKL!JM!$!>�8!$ � '
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%
(!"'�(�� 8, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
� � � ��
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 5 � $�%��(�
����.��0���� (��":
� � � 6�6� � ��
• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski5. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �
((���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 5 ��& ���(��! Tarski:
� � � �� � � � � � � � ��
����'�����:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� ����: ����� "� �)���!�� �" 0
��"�� $�5��� ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "�
����"�!(��� ��" $�%��(�: N�O� � ���3�
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � N�O� � ���3� (�.���%0� ��"%"� 5)
� � � N O !P!� � ���3� (�.���%0� ��"%"� 2 ��� 3)
� & � N�!P!567!89:;68!� � ��3� (�.���%0� ��"%"� 2)
� N� & !�@ABCD!P!567!89:;68! & � N�!
� JM!&!IFQGF!KHRJMS!P!567!89:;68!LT8!TU!&!6V7�8!WXRTUD
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%
(!"'�(�� �, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
� � � ��
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 6 � $�%��(�
����.��0���� (��":
�"6� � � 6�%��66� � ��
• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski6. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �
(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 6 ��& ���(��! Tarski:
� � � �� � �" � � � �%�� � � ��
����'�����:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" �$�����(� ��� ����/)���� � � $ ��" ����"��� ���
(&"����(�� f(x): (� � � � ) & ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & �� -��(� ��&
���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��3 � �� � (�3� � (�( � �
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � ��3 � �� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 6)
� �7!!� � ��3 � �� !TLT6!� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 3 ��� 1)
� �7!!567!89:;68!!� � 3 � � !TLT6!Y�Z (�.���%0� ��"%"� 1)
� �7!!567!89:;68!!& � $!TLT6!Y�Z
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& (&"'2�� '!� �!$�&� �� ��" )����%
(!"'�(���, '�)�'� �" 2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:� � � ��
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 7 � $�%��(�
����.��0���� (��":
� � � 6�"6���6�%"�6�"6� � ��
• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)�&� ��"%"�� ��� ��&� �!$�&� . ��� 7
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski7. � ��"%"�� ��& '��2(��& (&"'2(��& �
(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 7 ��& ���(��! Tarski:
� � � �� � � � � �" ��� �%"� �" � � ��
����'�����:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" �$�����(� ��� ����/)���� � � $ ��" ����"��� ���
(&"����(�� f(x): (� � � � ) & ��� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & �� -��(� ��&
���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��3 � �� � (�3� � (�( � �
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � ��3 � �� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 7)
� !� � � 3 � � !�7!>�8![L7U!�7!� � (�3� � (�( � � (�.���%0� ��"%"� 3 ��� 1)
� !567!89:;68!!� � 3 � � �7!>�8![L7U!�7 Y�Z (�.���%0� ��"%"� 1)
� 567!89:;68!!& � $!�7!>�8![L7U!�7!Y�Z
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& 2-�� �� ���.� ���� , '�)�'� �"
2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
� � ��!�
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 8 � $�%��(�
����.��0���� (��":
���6����6� � "�" !� � ���"#�
• %$�& � $���(��(� ���"#� '��/�0���� «� �$�����(� ��� ����/)���� x ��"�� �» $�&
(����"�� %�� %��" ��"�&�� ��" �$�����(� ��� ����/)���� x �� ��" �"������(��(�&�� ��
�� �.
• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)� ��"%"� ��� ��" �!$� ..
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski8. � ��"%"�� ��& $�(�'����� �
(#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 8 ��& ���(��! Tarski:
� � ��� � ��� ���� � � "�" !� � ���"#�
����'�����:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"
0 /y �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N 0� 0 !
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � ��N 0� 0 (�.���%0� ��"%"� 8)
� \8�!>]B6!� � � � � ���� ��� � # (�.���%0� ��"%"� 2)
� \8�!>]B6!� � � ! #� # � �� � \8�!>]B6!� � � !�� #� # !G^_`IS �� � \8�!>]B6!� � � � / �
• ��"�� � ��"%"�� $�& ����.��0�� 2"�" �� ������% �!$� $�& 2-�� �� ���.� ���� , '�)�'� �"
2"�� �!$�� 2-�� ��" ���.�:
� � ��!�
• �%�� '�'��2"�� ��� ����"���� � ��� ��� �$�����(�� v �.���%0�"��� ��" ��"%"� 9 � $�%��(�
����.��0���� (��":
aW]X:68!!� � "�" !� � ���"#�
• %$�& � $���(��(� ���"#� '��/�0���� %$�� $��" «� �$�����(� ��� x ��"�� �»
• ��������(�� %�� � x ��"�� �)�!���� ���� ��" �.������ ��& ��"%"�.
• �� (&"�-�0�&�� ��" ����.��(� �$�)2��"��� ����))�)� ��"%"� ��� ��" �!$� ..
B. ������1. ���(�%� �)������ Tarski9. � ��"%"�� ��& $�(�'����� �
($���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
� ��"%"�� 9 ��& ���(��! Tarski:
� � ��� � aW]X:68!!� � "�" !� � ���"#�
����'�����:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"
0 by �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N 0� 0 !
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � ��N 0� 0 (�.���%0� ��"%"� 8)
� aW]X:68!� � � � � ���� ��� � # (�.���%0� ��"%"� 2)
� aW]X:68!� � � ! #� # � �� � aW]X:68!� � � !�� #� # !G^_`IS �� � aW]X:68!� � � � b �
• � '��'���(�� ��� ����.��(�� �"%� �!$�& �$���� "� ��"�� �� '!� ��%$�&�:
• (�) �� ��" ��%$� $�& ������ (�� 5 $�����!��"� ��������, '�)�'� 2-�"���
(�" /�(��� ����)��� ��" ����.��(���% $�"��� ��& ��������� 3.1
• (+) �� ��" ���(�% ��& Tarski
• �� '!� ��%$�� '�"�&" ��� ����.��(� '��.�������� �$����� ���.�� �� �� �'�� "%���.
• � �$%.�(� ��� �� �" 2"�� �!$�� ��"�� �)���� � 7�&'�� ��"���� �� ��&� ��%$�&�
$�& 2-�&�� ����� (�� $�����!��"� ��������.
• (-!�� %�� ���� '�" �� ��"�&�� �.������ ��& ���(��! ��& Tarski ��� "� ��"�&��
��" ����.��(� �"%� �!$�& ���%� ��� �" ��# �� 9���� ���� #��� �:;��#�
• �� -��(���$���!�� �&$��� ��" ���(�% ��& Tarski ��� "� ����.��(�&�� ��"
$�%��(�.
• �� ��" (�(�� �.������ ��" /�����" �(�� "� ��� .�"�� -��(��� "�
����(��&�(�&�� �� '�"'��'�������� ��& �!$�&, �.�! (� ���� /��� � �!$��
�� 2-�� ��� (&�������2"� ���.� �$% ��� 9 ���.2�.
• �� ����)�/�&�� �" ��"�� �/ �$% ��� �"5(��� ��� ��& ����.��(����! $�"���.
B. ������2. �!��(� �)������ �!$�&1. ����'�)����
(����������� ����������������������������� ������!"���� !"��
B. ������2. ���(�%� �)������ �!$�&2. ����'�������
(%���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� 1:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"
0 / 1 �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ���1�N 0� 1 � �N 1� 0 !
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � ���1�N 0� 1 � �N 1� 0 (�.���%0� ��"%"� 8)
� \8�!>]B6!� � � � � �1�N 0� 1 � �N 1� 0 � � # (�.���%0� ��"%"� 8)
� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � � � N 0� 1 � �N 1� 0 � #� %"e !!(�.���%0� ��"%"� 6)
� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � �
�7!!� � N 0� 1 � � #� %"e
TLT6!� � �N 1� 0 � � #� %"e (�.���%0� ��"%"� 2 ��� 3)
� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � �
�7! #� e � ��!TLT6!567!89:;68!!� � N 1� 0 � � #� %"e (�.���%0� ��"%"� 2)
� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � !�7! #� e � ��!TLT6!567!89:;68! e� G � ��
� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � !�7!�� #� e !G^_`6D!TLT6!567!89:;68!!�� e� G !G^_`IS
� \8�!>]B6!� � � � cF�!>]B6!d � � !�7!G / e!TLT6!567!89:;68!!e / G
��& ��"�� $��.�"5� �)����.
B. ������2. ���(�%� �)������ �!$�&2. ����'�������
(&���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� 2:
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "� �)���!�� �"
�!EFGFHI8T�8!�WL!TU!1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � & ��� ��" �$�����(� ��� ����/)����
v(y)=1, �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N�0� O� � ��N�0� 1�
�!(�: �.���%0� ��" ���(�% Tarski:
!!� � ��N�0� O� � 6��N�0� 1� (�.���%0� ��"%"� 6)
� f7!� � ��N 0� O !JLJI � � ��N�0� 1� ! (�.���%0� ��"%"� 9 ��� 8)
� f7!aW]X:68!� � � !� � N 0� O � # !
JLJI \8�!>]B6!� � � � � N�0� 1� ��"#� (�.���%0� ��"%"� 2)
� f7!aW]X:68!� � � #� & � ��
JLJI \8�!>]B6!� � � #� $ � ��
� f7!aW]X:68!� � � �� #� & �@ABCD!JLJI \8�!>]B6!� � � �� #� $ !G^_`IS
� f7!aW]X:68!� � � !TIJMFM!RgJI!JM!G!QG!EFGFHIFJGF!hI!JM!&
JLJI \8�!>]B6!� � � JM!G!EFGFHIFJGF!hI!JM!$i
� �$��� �)���!��, �.�! � &$%��(� ��� (&"�$������ ��"�� �)���� ($.-. ��� �=4), �"5 ��� ��
(&�$2��(�� ��� (&"�$������ �)��2&�� (�.�! %)�� �� .&(���� '�����!"��� ����/5� �� �� 1). 3��
� �!$�� ��"�� �<�=�
(�� $�����2�� �1�(��(� /). �(�.����"��(�� 1-3)
B. ������3. ��"�$���(���� �!$��1. ���(�%� ��"�$���(���& �!$�&
('���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
���(�%�:
*"�� �!$�� �� )2�� %�� ��"�� ���"�$���(����, �" &$��-�� '��� (����"���) ���
�$�����(� $�& ���"�$���� ��" �!$�.
��� '��� $�& ���"�$���� ��" �!$� �� )2�� %�� ��"�� ��"�2)� ��& �!$�&
����'�)����:
��)����� �" 2"�� �!$�� ��"�� ���"�$���(���� '�����0�"��� ��� �"�(�2� ����"���� $�& 2-�&��
��)���(��.
#���"���%!! � ��)!���� ����"��� ��� "� �1���(�&�� �" � �!$�� ��"�� ���"�$���(���� ��"�� �
�)5((� ��" ����&�&"%��"�" ���.�����" (/).�$%��"� ������):
• �� "� �$�'��1�&�� %�� � �!$�� ��"�� ���"�$���(����:
• ����&$5"�&�� ��" ����"��� ��� ��" �$�����(� (�" �$��������), ����.��0�&�� ��"
$�%��(� ��� '��-"�&�� %�� ��"�� �)����.
• �� "� �$�'��1�&�� %�� � �!$�� '�" ��"�� ���"�$���(����:
• ���-"�&�� %�� � ��"�(� ��& �!$�& ��"�� )����� 2��&��� �!$�� (/)2$� ���(�% )�����
2��&��& �!$�&)
B. ������3. ��"�$���(���� �!$��2. ����'�������
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� 1:
*(�� P/2 �������������% (!�/�)�. �� �1���(��� �" � �!$�� ���1N 0� 1 ��"�� ���"�$���(����
�!(�:
*(�� � ����"��� �� (!�$�" ��&� .&(���!� ������!�: f � j ��� �� ����"��� ��&
��������������! (&�/%)�& P: ����� %� ��"�� �)��2� �"" � k %. �%�� � $�%��(� ����"�!���� ��:«,$��-�� .&(��%� $�& ��"�� ����%����� � �(�� �$% %)�&� ��&� .&(���!�»
�� ��"�� �)���� (��� x=0)
����'����� 2:
*(�� P/2 �������������% (!�/�)�, c:(������ ��� f/3 �������������% (!�/�)�. �� �1���(��� �"
� �!$�� ��N 0� l 0 � ����(���� 3� ��"�� ���"�$���(����
�!(�: *(�� � ����"��� �� (!�$�" ��&� .&(���!� ������!�: f � j ��� �� ����"��� ��&
��������������! (&�/%)�& P: ����� %� ��"�� �)��2� �"" � b % ��� ��" ����"��� ��& (&".(&�/. f:
(� � � �� ��� ��" ����"��� ��� (������� 3� � m
�%�� � $�%��(� ���.���� ��: ���0 b �� � ����� b m] ��� ����"�!����:
«�" &$��-�� .&(��%� $�& ��"�� ����)!����� � �(�� �$% �� �������"% ��&, �%�� �� �������"� ����
.&(���! ��"�� ����)!���� � �(� ��& ��'2"» ��� ��"�� �)���� ('�%�� ��"�� �<�=�)
(�� $�����2�� �1�(��(� /). �(�.����"��(�� 4)
B. ������4. ��"�$���(��� #!"�)� �!$�"1. ���(�%� ��"�$���(���& #&"%)�& �!$�"
�(���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
���(�%�:
*"� (!"�)� �!$�" �� )2�� %�� ��"�� ���"�$���(���, �" &$��-�� '��� (����"���) ���
�$�����(� $�& ���"�$���� ���� �!$� ��& (&"%)�& �!$�".
��� '��� $�& ���"�$���� %)�&� ��&� �!$�&� �� )2�� %�� ��"�� ��"�2)� ��& (&"%)�& �!$�"
����'�)����:
��)����� �" 2"� (!"�)� �!$�" ��"�� ���"�$���(��� '�����0�"��� ��� �"�(�2� ����"���� $�&
2-�&�� ��)���(��.
#���"���%!! � ��)!���� ����"��� ��� "� �1���(�&�� �" %)�� �� �!$�� ��"�� ���"�$���(���� ��"��
� �)5((� ��" ����&�&"%��"�" ���.�����" (/).�$%��"� ������):
• �� "� �$�'��1�&�� %�� �� (!"�)� �!$�" ��"�� ���"�$���(���:
• ����&$5"�&�� ��" ����"��� ��� ��" �$�����(� (�" �$��������), ����.��0�&�� ���
$����(��� ��� '��-"�&�� %�� ��"�� �)����� %)�� �� �!$�� ��& (&"%)�& �!$�"
• �� "� �$�'��1�&�� %�� �� (!"�)� �!$�" '�" ��"�� ���"�$���(���:
• ���-"�&�� %�� � ��"�(� ��� (!0�&1�� %)�" ��" �!$�" ��"�� )����� 2��&��� �!$��
(/)2$� ���(�% )����� 2��&��& �!$�&)
B. ������4. ��"�$���(��� #!"�)� �!$�"2. ����'�������
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� 1:
*(�� P/2 �������������% (!�/�)�, R/1 �������������% (!�/�)�, �/1 �������������% (!�/�)�.
�� �1���(��� �" �� (!"�)� �!$�" ��"�� ���"�$���(���:
n���1N 0� 1 � ���1N 0� 1 � �� o 0 � �p � q��"�� ���"�$���(���
�!(�:
��"�� ���"�$���(���. #�� (!�$�" ��" .&(��5" �����5" �� ��" ����"��� ��" (&�/%)�":
• P(x,y) ��"�� �)��2� �" x=y
• R(x) ��"�� �)��2� �" �� x ��"�� ������ �����%�
• T(x) ��"�� �)��2� �" �� x ��"�� $�����%� �����%�
�� ��" �$�����(� �&��� �� 3 �!$�� ��& (&"%)�& �!$�" 2-�&" ��" ����"���:
• 1�� �!$��: «,$��-�� .&(��%� $�& ��"�� ����%����� � �(�� �$% %)�&� ��& .&(���!�». ��"��
�)���� ( ��� x=0)
• 2�� �!$��: «��� .&(��%� ��"�� ����%����� � �(�� �$% ��&)�-�(��" 2"�" .&(��%». ��"�� �)����.
• 3�� �!$��: «��� ������ �����%� '�" ��"�� $�����%�». ��"�� �)����.
>
(�� $�����2�� �1�(��(� /). �(�.����"��(�� 5)
B. ������5. ������ *��&��� �!$��1. ���(�%� ������ *��&��& �!$�&
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
���(�%�:
• *"�� �!$�� �� )2�� %�� ��"�� )����� 2��&��� �!$�� (� )����� �)���� �!$��), �"
�)���!�� ��� �$���'�$��� ����"��� ��� �$���'�$��� �$�����(�.
• �� (&�/�)�0�&�� �� � 2"�" )����� 2��&�� �!$�.
• *"�� )����� 2��&��� �!$�� ��"�� ��� �&$��% ��5���� ��& ��������������!
)���(��!
����'�)����:
• �� "� �$�'��1�&�� %�� 2"�� �!$�� ��"�� )����� 2��&���:
• ���� '��-"�&�� %�� ��"�� (&"������� �"������(��(� (� "%�� $����(����� �
��������������� )������ � �1�������% (-��� ��& ��.
• ���� ��"�&�� �.������ ��& Tarski ��� �.�! ����)�1�&�� (��" ����.��(�
�$�'���"!�&�� %�� �)���!�� (� ���� '��� ��� (� ���� �$�����(� -��(���$��5"���
���������� �$�-��������.
• �� "� �$�'��1�&�� %�� 2"�� �!$�� '�" ��"�� )����� 2��&���:
• ���-"�&�� %�� &$��-�� '��� ��� �$�����(� $�& ��"�� ��" �!$� 7�&'� �� �1��
• ����&$5"�&�� ��� ����"��� ((!�$�", �������������� (!�/�)� �.)$.)
• ����.��0�&�� ��" $�%��(�.
• ���-"�&�� %�� ��"�� 7�&'��.
B. ������5. ������ *��&��� �!$��2. ����'�������
�#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� 1:
*(�� P/2 �������������% (!�/�)�. �1���(��� �" � $������� �!$�� ��"�� )����� 2��&��� �!$��:
���1N 0� 1 � ����1N 0� 1
��"�� )����� 2��&��� �!$��
�!(�:
��"�� )����� 2��&��� �!$�� �� (&"������� �"������(��(� (��" "%�� �$��)��(��! �����& ���
$����(����� )������ � � �2��"��� %$�& r !���1N 0� 1
����'����� 2:
*(�� P/2 �������������% (!�/�)�. �1���(��� �" � $������� �!$�� ��"�� )����� 2��&��� �!$��:
��N 0� � � �� %� � � ��s� �� � ��N 0� � �
��"�� )����� 2��&��� �!$��
�!(�:
��"�� )����� 2��&��� �!$�� �� (&"������� �"������(��(� (�� �#1 ��& $����(����! )���(��!
�2��"��� %$�& r ��N 0� � ��� %$�& t N %� � � ��s� ��
B. ������5. ������ *��&��� �!$��2. ����'�������
�$���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� 3:
*(�� P/1 �������������% (!�/�)� ��� c (������. �� �$�'��1��� %�� � �!$��
N O � ��N 0
��"�� )����� 2��&��� �!$��
�!(�:
*(�� �&-�!(� '��� ��� �&-�!(� �$�����(� v. �.���%0�&�� ��" ���(�% ��& Tarski:
!!!!!!!� � N O � ��N 0 (�.���%0� ��"%"� 6)
� f7!� � N�O� !JLJI � � ��N�0� ! (�.���%0� ��"%"� 2 ��� 9)
� f7!�3�� � ��!JLJI aW]X:68!G � � � � N�0� ��"#� ! (�.���%0� ��"%"� 2)
� f7!�� 3� !G^_`IS!JLJI aW]X:68!G � � !�G� � ��
� f7!�� 3� !G^_`IS!JLJI aW]X:68!G � � !�� G !G^_`IS
�$%'��1�:
�������� 2(�� %�� �� 3� !G^_`IS.
�%�� &$��-�� G � � !�� G !G^_`IS (�(-!�� ��� � � 3�)
B. ������5. ������ *��&��� �!$��2. ����'�������
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
����'����� 4:
*(�� P/1 �������������% (!�/�)� ��� c (������. �� �1���(��� �" � �!$��
N O � ��N 0
��"�� )����� 2��&��� �!$��
�!(�:
��" ��"�� )����� 2��&��� �!$��. ����5 ��" ����"���:
• ;� (!�$�" 2-�� ��&� .&(���!� ������!�
• P(x) �)���!�� �" �� x ��"�� $�5��� �����%�
• � (������ c ����"�!���� (��" .&(��% 3.
�%�� � $�%��(� ����"�!���� «�" �� 3 ��"�� $�5���, �%�� ���� .&(��%� ��"�� $�5���»
��"�� 7�&'��, 2-�&�� %�� �� 3 ��"�� $�5��� �))� '�" �(-!�� %�� ���� .&(��%� ��"�� $�5��� (���
��"�� �< = )
(�� $�����2�� �1�(��(� /). �.�����2� 2 ��� 3)
• � )����� (&"�$����� ��"�� �� �(�'!"��� ��� ��&��)������ (&"�$������ ��� $����(�����
)������.
• �� "� �(-!��:
• ��2$�� %��" �� &$��2(��� ��& (&"%)�& �!$�" ��"�� ����� #, "� �)���!�� ��� ��
(&�$2��(�� ��� )������ (&"�$������.
B. ������6. ������ #&"�$�����1. ���(�%� ������� #&"�$������
�%���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
���(�%�:
• �� )2�� %�� 2"� (!"�)� �!$�" � (&"�$������ )����� ��" �!$� .
• 8 %�� � . ��"�� (���(��)����� (&"2$��� ��& �
• �� �� (&�/�)�0�&�� �� p � (���/�0���� � )����� (&"�$����� .)
�� ��� ���� ��
• �� %)�� ��� '��2� ��� �$�����(��� $�& �� (!"�)� �!$�" � ��"�� ���"�$���(���,
���"�$������� ��� � �!$�� ..
B. ������6. ������ #&"�$�����1. ���(�%� ������� #&"�$������
�&���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
����'�)����:
• �� "� �$�'��1�&�� %�� �(-!�� ��� )����� (&"�$�����
• �’��%$��:
• �"�&�� Tarski (� %)�� ��� &$��2(���.
• �� +����,�� %)�� �� &$��2(��� "� ��"�� �)����� ��� �1���0�&�� ��� (&�$���(����
/���"�&".
• �������,�,�� %�� �� (&�$2��(�� ��� )������ (&"�$������ ��"�� �$�(�� �)��2�,
)%�� ��" (&�$���(����" ��& $�����!��"�& /������
• +’��%$��:
• �.-. �" 2-�&�� "� '��1�&�� %�� n�� �� uq � ����� "� '��1�&�� %�� � �!$��:
� � � � u � ��"�� )����� 2��&���.
• �� "� �$�'��1�&�� %�� '�" �(-!�� ��� )����� (&"�$�����:
• �$�)2��&�� ��� '��� ��� ��� �$�����(� $�& ��"�� ��� &$��2(��� �)����� ��� ��
(&�$2��(�� 7�&'2�.
• ����&$5"�&�� ��� ����"��� ((!�$�", �������������� (!�/�)� �.)$.)
• ����.��0�&�� &$��2(��� ��� (&�$2��(��.
• ���-"�&�� %�� �� &$��2(��� ��"�� �)����� ��� �� (&�$2��(�� ��"�� 7�&'2�.
(�� $�����2�� �1�(��(� /). �.�����2� 4 ��� 5)
. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 1
�'���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "�
�)���!�� �" �!EFGFHI8T�8!�WL!TU!1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � m, �� -��(� ��&
���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ��N�0� O� � ��N�O� 0�
. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 2
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "�
�)���!�� �" � v 1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � m, �� -��(� ��& ���(��! ��&
Tarski "� ����"�!(��� ��" $�%��(�: ���1N�1� 0� � ���3 � ��
. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 3
�(���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
#�� (!�$�" ��" .&(��5", �� ��" ����"��� ��& ������������� N��� %�: N���� %� "�
�)���!�� �" � / 1� ��" ����"��� ��� (������� 3 !3� � m ��� (������� d !=� � $, ��� ��&
(&"����(����! l���: l � � � � ) $ �� -��(� ��& ���(��! ��& Tarski "� ����"�!(��� ��"
$�%��(�: ��0�N (�3�� 0 � � �� (�( = �
. �(��(���3(��(� ���"%�(�� 4
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
�1���(�� �" �� $������� �!$�� ��"�� ���"�$���(���� (P,Q ��"�� ��������������
(!�/�)�, c ��"�� (������)
� ���%���� %� � ���%���� %�
� � ������� � �w���]
x � ���3 � �� � ����3 � ��
. �(��(����.������ 1
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
��'��2"�& ��& (&"%)�& �!$�": y � n��w �� 3 � �%� 3� % � �� 3� z � � 3� z q
1. ����� �� ���� �������� ����;
2. ���������� �������� ��� ��������� ���� ����� �� ������� �� �� ������ ���� ���
��� � ������
3. ���������� �������� ��� ��������� ��� �� ��� ������ ������� ��� ���� �����
��� ������ ����
. �(��(����.������ 2
�#���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
�$�'��1�� %�� � �!$��: �0�1{ 0� 1 � �0�1{�0� 1� ��"�� )����� 2��&��� ����5"��� %�� ��
Q ��"�� 2"� '���)2� �������������% (!�/�)�.
. �(��(����.������ 3
�$���������� ����������������������������� ������!"���� !"��
�$�'��1�� %�� � �!$��: ��0{ 0 � ��0{�0� ��"�� )����� 2��&��� ����5"��� %�� �� Q
��"�� 2"� ��"���)2� �������������% (!�/�)�.
. �(��(����.������ 4
������������ ����������������������������� ������!"���� !"��
�$�'��1�� %�� �(-!�� � ��%)�&�� )����� (&"�$�����: no O � �0{ 0 q � �0�o 0 � w �
%$�& �� R/1 ��� Q/1 ��"�� ��"��2(�� �������������� (!�/�)�.