1. STATIKA FLUIDA
1. Masene sile (sila gravitacije, inerciona sila, centrifugalna sila i dr. ).
2. Površinskle sile (sila pritiska, sila trenja i dr.)
Masene i površinske sile
• Masene sile su vezane za masu fluida.
• Površinske sile deluju na neku zamišljenu površinu ili deluju na fluid tangencijalno (smicanje).
• Hidrostatički pritisak deluje u masi fluida ali i na površine zidova suda.
•
Hidrostatički pritisak
• Definicija:• p = gH
A
gAH
A
gV
A
gm
A
F
I
F
A
II
0
lim
A
pA
F
(1.1)
(1.2)
• Hidrostatički pritisak deluje u čitavoj masi fluida koji miruje, dok sila pritiska deluje uvek normalno (okomito) na neku površinu i u pravcu unutrašnjosti mase fluida.
• Ako bi sila pritiska delovala pod nekim uglom na fluid, mogla bi se razložiti na: vertikalnu i tangencijalnu komponentu.
• Tangencijalna komponenta sile bi izazvala pomeranje elementa fluida a time se narušava ravnoteža sistema.
Ojlerove diferencijalne jednačine ravnoteže
• Na elementarnu zapreminu fluida koji je u ravnoteži deluju sile pritiska (u pravcu sve tri koordinatne ose), kao i sila težine ove zapremine fluida (deluje u pravcu supro-tnom od pravca z-ose).
• Bilans sila može se postaviti za svaku osu pojedinačno.
Slika 5. – Elementarna zapremina fluida
x
y
z
p + dxxp
p
p
p
d m g
p + dyyp
p + dzzp
dx
dy
dz
• Bilans sila u pravcu sve tri ose:
)3.1(0)(
dzdydxx
ppdzdyp
Sredjivanjem, uz uslov dm = dV i dV = dx dy dz i dVdobija se:
)4.1(0)(
dzdxdyy
ppdxdzp
)5.1(0)(
gmddydxdzz
ppdxdyp
0
0
)6.1(0
gz
p
y
p
x
p
Bilans sila za ukupnu zapreminu
7.10)(
gz
p
y
p
x
p
Uzimajući u obzir jednačinu (1.6), bilans sila je:
8.10)(
gz
p
9.10)( gdz
pd
Pošto su promene parcijalnih pritisaka u pravcu x-ose i y-ose jednake nuli, parcijalni izvod se može zameniti totalnim, pa se dobija:
• Odgovarajućim transformacijama jedn. (1.9), dobija se sledeća jednačina:
)10.1(0 zdg
pd
Daljim sredjivanjem, nastaje:
)11.1(00
z
g
pdodnosnozd
g
pd
Integraljenjem leve i desne strane jednačine (1.11), dobija se:
)12.1(Cconstzg
p
Za dve tačke u istoj strujnici fluida važi jednakost:
)13.1(1221
22
11 zz
g
ppiliz
g
pz
g
p
Jednačina (2.13) naziva se Osnovna jednačina hidrostatike.
Paskalov zakon
• Ako se pritisak u tački (1), dejstvom spoljne sile, poveća za diferencijalno malu vrednost p1, tada će i pritisak u tački (2) biti povišen, što dovodi do promene u osnovnoj jednačini hidrostatike za p2:
)14.1(222
111 constz
g
ppz
g
pp
Da bi se održala jednakost leve i desne strane jednačine (2.14), osnovni uslov je da su priraštaji pritiska medjusobno jednaki, tj. da važi izraz:
)15.1(21 pp
• Iz ove jednačine proizilazi Paskalov zakon, po kome svaka promena pritiska u bilo kojoj tački fluida dovodi do iste takve promene pritiska u drugoj tački fluida, odnosno da se pritisak kroz fluid koji miruje prenosi na sve ostale tačke fluida bez promene.
• Merenje pritiska u nekoj tački fluida koji miruje ilustrovano je na primeru fluida u nekom rezervoaru, slika 6.
• Pritisak u tački (A) fluida, uzimajući u obzir osnovnu jednačinu hidrostatike, je:
• (1.16)
zzgpp 00
• Merenje pritiska tečnosti u sudu
h
A0
p/( g)
z
z0
p0/( g)
p0
H
Huk
B
Ravan apsolutnog hidrostati kog pritiskač
Uporedna ravan
0 0
p = pat0
• gde su: p0 – spoljni (atmosferski) pritisak,
• – gustina fluida, g – ubrzanje
zemljine teže,
• z0 – z = h - visina nivoa
• tečnosti iznad tačke (A). • Proizvod g h naziva se manometarski
pritisak, a odredjuje se pomoću piezometarske cevi priključene na rezervoar. Količnik p0 / (g) = h0 služi za eksperimentalno odredjivanje atmosferskog pritiska (p0).
2. DINAMIKA FLUIDA
• Pogonska sila pri transportu fluida je:• razlika nivoa tečnosti,• razlika gustina fluida,• energija uneta u sistem pomoću uredjaja
za transport fluida.
• Strujanje fluida može biti stacionarno i nestacionarno.
2.1. Stacionarno strujanje fluida
• A) Maseni protok fluida se ne menja
protokom vremena:
• B) Brzina fluida je funkcija koordinata:
• C) Promena brzine fluida sa vremenom je jednaka nuli:
)2.2(,, zyxfwn
)3.2(0dwd n
)1.2(constVG SS
2.2. Nestacionarno strujanje fluida
• A) Maseni protok fluida nije konstantan:
• B) Brzina fluida je funkcija koordinata i vremena:
• C) Promena brzine fluida sa vremenom je različita od nule:
)4.2(constVG SS
)6.2(0dwd n
)5.2(,,, zyxfwn
3. JEDNAČINA KONTINUITETA
x
y
z
M x M x+dx
My
M y+dy
M
z+dzM
z
• Razmatra se slučaj strujanja fluida kroz elementarnu zapreminu dV = dx dy dz, pri čemu se u pravcu svake ose akumulira odredjena količina fluida:
• dMx =Mx - Mx+dx = Mx - (Mx + ) =
• dMy =My - My+dy = My - (My + ) =
• dMz =Mz - Mz+dz = Mz - (Mz + ) =
-
(2.7)
dxx
M x
dx
x
M x
dzz
M z
dyy
M y
dy
y
M y
dzz
M z
Opšte poznati izraz za masu fluida koji struji kroz dV je
Mx = Gx d = Vx ρ d = wx dA ρ d = wx dy dz ρ d
My = Gy d = Vy ρ d = wy dA ρ d = wy dx dz ρ d
Mz = Gz d = Vz ρ d = wz dA ρ d = wz dx dy ρ d
(2.8)
• Diferenciranjem jednačina (2.7) dobija se:
• Ukupna akumulacija mase u zapremini dV
dzdydx
y
wyd
y
MMd yy
y
dzdydx
x
wxd
x
MMd xx
x
dzdydx
z
wzd
z
MMd zz
z
(2.9)
dVd
z
w
y
w
x
wdMdMMdMd zyx
zyx
(2.10)
• Akumulacija mase u zapremini dV izaziva promenu gustine fluida:
• Izjednačavanjem desnih strana jedna-čina (2.10) i (2.11), dobija se:
• Sredjivanjem, dobija se
• što predstavlja jednačinu kontinuiteta za nestacionareno strujanje stišljivog fluida.
dVdMd
(2.11)
dVdz
w
y
w
x
wdVd zyx
(2.12)
0
z
w
y
w
x
w zyx
(2.13)
• Razvijeni oblik ove jednačine je:
• Supstancijalni izvod za gustinu je:
• Uvrštavanjem u jedn. (2.14) i sredji-vanjem, dobija se:
)14.2(0
z
w
y
w
x
w
zw
yw
xw zyx
zyx
)15.2(z
wy
wx
wD
Dzyx
)16.2(01
z
w
y
w
x
w
D
D zyx
Specijalni slučajevi jednačine kontinuiteta
• A) Stacionarno strujanje stišljivog fluida (ρconst.; ):0
0
z
w
y
w
x
w zyx (2.17)
B) Stacionarno strujanje nestišljivog fluida (ρ=const.; ):0
)18.2(0
z
w
y
w
x
w zyx
• C) Stacionarno strujane nestišljivog fluida u x-pravcu (ρ=const.; ; wy = wz = 0):
• D) Stacionarno strujanje stišljivog fluida u x-pravcu (ρ const.; ; wy = wz = 0):
» (2. 20)
• E) Maseni protok fluida kroz promenljivu površinu poprečnog preseka (A) za slučaj D):
Gx = ρ1wx1 A1 = ρ2 wx2 A2 (2.21)
0
(2.19)
0x
wx , wx = const.
0
, ρ wx = const 0
z
w
y
w
x
w zyx
OJLEROVE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE STRUJANJA FLUIDA
(p +
x
y
z
dx
dy
dz dzdydxx
pp
dzdxdyyp
p
dydxdzz
pp
dydxp
dzdxp
dzdyp
d m g
• Bilans sila:• x-pravac: (2.22)
• y-pravac (2.23)
• z-pravac (2.24)
dVx
pdzdydx
x
pdzdydx
x
ppdzdyp
dVy
pdzdydx
y
pdxdzdy
y
ppdzdxp
dVg)(dV g
z
pdzdydx
z
pdxdydz
z
ppdxdyp
• Rezultantna sila u pravcu svake ose je inerciona sila, data izrazom:
• Izjednačavanjem desne strane jed. (2.25) sa jednačinama (2.22-2.24), dobija se:
)25.2(
d
wddV
d
wddzdydx
d
wddMadM
dVx
p
d
wddV x
)26.2(dVy
p
d
wddV y
dVgz
p
d
wddV z )(
• Sredjivanjem se dobija:
Priraštaj brzine se izražava kao:
)( gz
p
d
wd z
x
p
d
wd x
)27.2(y
p
d
wd y
d
xd
x
w
d
wddx
x
wdw xxx
x
)28.2( d
yd
y
w
d
wddy
y
wdw yyy
y
d
zd
z
w
d
wddz
z
wdw zzz
z
• Uvodjenjem smena
• dobija se:
• što predstavlja Ojlerove diferencijalne jednačine stacionarnog strujanja idealnog fluida.
d
zdw
d
ydw
d
xdw zyx ;;
x
pw
x
wx
x
)29.2(y
pw
y
wy
y
)g(
z
pw
z
wz
z
• A) Za nestacionarno strujanje idealnog fluida koristi se totalan izvod brzine po vremenu:
zx
yx
xxxx w
z
ww
y
ww
x
ww
d
dw
)30.2(z
y
yy
xyyy w
z
ww
y
ww
x
ww
d
dw
zz
yz
xzzz w
z
ww
y
ww
x
ww
d
dw
• Zamenom izraza (2.30) u polazne jednačine dejstva sila na dV, dobija se:
x
pw
z
ww
y
ww
x
wwz
xy
xx
xx
][
)31.2(][y
pw
z
ww
y
ww
x
wwz
yy
y
xyy
)g(][
z
pw
z
ww
y
ww
x
wwz
zy
zx
zz
• Izrazi u zagradama mogu se pisati u obliku supstancijalnih izvoda brzina:
• Ojlerove diferencijalne jednačine nestacionarnog strujanja idealnog fluida su:
D
wDw
z
ww
y
ww
x
ww zz
zy
zx
zz
][
)32.2(][ D
wDw
z
ww
y
ww
x
ww yz
yy
yx
yy
x
p
D
wD x
)33.2(y
p
D
wD y
)g(
z
p
D
wD z
D
wDw
z
ww
y
ww
x
ww xz
xy
xx
xx
][
BERNULIJEVA JEDNAČINA
• Polazi se od Ojlerovih diferencijalnih jedna-čina za stacionarno strujanje idealnog fluida, uz korekcije:
•
)34.2(1
dyy
pdyw
y
wy
y
dxx
pdxw
x
wx
x
1
)g(1
dzdzz
pdzw
z
wz
z
• Sabiranjem levih, odnosno desnih strana jednačine (2.34), dobija se:
• Leva strana jed. (2.35) predstavlja totalni diferencijal brzine (dw) pomnožen sa (w), dok je izraz u zagradi desne strane totalni diferencijal pritiska:
)35.2(1
dzz
pyd
y
pdx
x
pzdg
z
ww
y
ww
x
ww z
zy
yx
x
)36.2(1dpdzgdww
• Matematički gledano, važi da je:
• Zamenom u jedn. (2.36) i sredjivanjem, dobija se:
• ili
• odnosno:
)37.2(2
2
wddww
)38.2(1
2
2
pdg
dzg
wd
)39.2(02
2
g
wd
g
pdzd
)40.2(0]2
[2
g
w
g
pzd
• Integraljem jedn. (2.40), dobija se:
• što predstavlja Bernulijevu jednačinu za transport idealnog fluida pri stacionarnim uslovima, gde su:
• z - geodetska visina (visina položaja),
• (p/ρg) - piezometarska visina (visina
statičkog pritiska),
(w2/2g) - visina brzine.
)41.2(.2
2
constg
w
g
pz
• Bernulijeva jedn. za dva preseka cevovoda kroz koji se transportuje idealni fluid:
Bernulijeva jedn. za dva preseka cevovoda kroz koji se transportuje realni fluid:
gde su: H – energija uneta u sistem pomoću
uredjaja za transpot fluida;
f12– gubici energije izmedju dva preseka.
)43.2(.22
22
22,1
211
1 constg
w
g
pzfH
g
w
g
pz
)42.2(.22
22
2
211
1 constg
w
g
pz
g
w
g
pz
Strujna cev fluida (strujno vlakno)
y
z
x
z1z2 z3
p2 /gp
1 /g p / g3
w w2/ 2 gw / 2 g / 2 g w2 / 2 gw2 / 2 g3
Linija statičkog pritiska
Linija hidrodinami kogpritiska
č
2
1
2
Instrumenti za merenje visine gubitaka energije u cevnom vodu
h
pa
h
pa
p/( g)
pa
w2/ 2 g
Piezometarska cev
Pito-ova cev
1 2
• Kod piezometarske cevi visina fluida se računa iz bilansa pritisaka:
• Kod merenja visine brzine kombinuju se piezometarska cev i Pito-ova cev:
• Pošto je iz jedn. (2.45) se dobija
visina brzine:
P = pa + h g ili h = (p – pa) /g (2.44)
)45.2(2
222
211
g
w
g
p
g
w
g
p
022 w
)46.2(2
1221
g
pp
g
w
Navie-Štoksove jednačine strujanja realnog fluida
• Pri strujanju realnih fluida, za razliku od idealnih, dolazi do unutrašnjeg trenja (sila smicanja, viskozne sile)-kinetička energija fluida se tako pretvara u toplotnu energiju i nepovratno gubi.
• Kod strujanja realnih fluida javljaju se i elastične sile (sabijanje i rastezanje), što nije slučaj kod idealnih fluida.
Ilustracija za dejstvo sile smicanja
z
y
dx
dz dy
dzz
x
• Bilans sile smicanja u pravcu x-ose, na rastojanju dz je sledeći:
• S druge strane, napon smicanja je:
• Diferenciranje izraza (2.47) daje:
47.2)( Vdz
dzdydxz
dydxdzz
dydx
)48.2(z
wx
)49.2(2
2
Vdz
wVd
z
zw
Vdz
x
x
• Brzina strujanja fluida wx menja se i u pravcu ostalih koordinata, što daje izraz:
• Izraz u zagradi za wx kraće se zapisuje preko Laplasovog operatora
• ili za sve brzine:
)51.2(][ 22
2
2
2
2
2
dVwdVz
w
y
w
x
wy
yyy
)50.2(2
2
2
2
2
2
Vdz
w
y
w
x
w xxx
xxxx wz
w
y
w
x
w 22
2
2
2
2
2
VdwdVz
w
y
w
x
wx
xxx 22
2
2
2
2
2
][
VdwdVz
w
y
w
x
wz
zzz 22
2
2
2
2
2
][
• Vraćanjem na jedan od oblika Ojlerovih DJSF (jedn.2.26), dobija se:
dVwdVx
px
2x
d
wddV
)52.2( d
wddV 2y
dVwdVy
py
VdwdVz
pz
2z
d
wddV
A) Stacionarno strujanje nestišljivog realnog fluida
xwx
p 2
d
wdx
)53.2( d
wd 2y
ywy
p
zwz
p 2) g( d
wdz
B) Nestacionarno strujanje nestišljivog realnog fluida
xzx
yx
xxx w
x
pw
z
ww
y
ww
x
ww 2][
)54.2(][ 2yz
yy
y
xyy w
y
pw
z
ww
y
ww
x
ww
zzz
yz
xzz w
z
pw
z
ww
y
ww
x
ww 2)g(][
• U skracenom zapisu:•
xx w
x
p
D
wD 2
)55.2(2y
y wy
p
D
wD
zz wg
z
p
D
wD 2)(
C) Stacionarno strujanje stišljivog realnog fluida
)3
1() g(
d
wd 2z
zw
z
pz
)3
1(
d
wd 2x
xw
x
px
)56.2()3
1(
d
wd 2y
yw
y
py
)57.2(z
w
y
w
x
w zyx
3. Granični sloj
• Pri strujanju realnog fluida preko nepokretne površine javlja se kočenje susednih slojeva usled prisustva vis-koznih sila.
• ws – brzina fluida u masi fluida,• w1, w2, w3 - brzine fluida u tačkama y1, y2, y3, • I – početna ivica nepokretne površine,• II – površina koja razdvaja hidraulični granični sloj od sloja na koji površina nema uticaj.• Profil brzina je dat na prethodnoj slici.
Struktura graničnog sloja
• Laminarna oblast - do tačke x1,
• Turbulentna oblast - nakon tačke x1,
• Debljina laminarnog podsloja naglo opada nakon tačke x1,
• Prelazna oblast nastaje iznad laminarnog podloja, a zatim turbulentno strujanje.
• Rejnoldsov broj definiše režim strujanja fluida:
• w - brzina strujanja fluida,• l - rastojanje od ivice ploče (l Re=3·105
odgovara turbulentnom sloju), , - dinamička viskoznost i gustina fluida.
lw
Re
Strujanje fluida preko nepokretne vertikalne ploče
Strujanje fluida kroz cev nepravilnog oblika
Proticanje fluida u cevima
Rejnoldsov ogled
Raspodela brzina po preseku voda
Ekvivalentni prečnik cevovoda
• Jednakost izmedju sile pritiska i sile smicanja u cevovodu:
• Za cevovod kružnog poprečnog preseka važi:
• Rešavanjem po prečniku dobija se:
)1.3(ASp
)3.3(;4
lOAjejerlO
S
pp
led
)2.3(4
2
ldd
p ee
• Zamenom se dobija konačan izraz za ekvivalentni prečnik cevovoda:
• Hidraulični radijus je sada:
• S – živi presek u cevovodu,• O – okvašeni obim cevovoda.
)4.3(44
O
S
lO
Sled
)5.3(4ed
O
Srh