Reglas de Sustitución
1. Si una proposición compuesta P es una tautología y si cada vez que
aparece una variable de P, digamos q, la sustitución por una
proposición E, siempre la misma, entonces el resultado es una
proposición compuesta P* que también es una tautología.
2. Si una proposición compuesta P contiene una proposición Q y Q es
remplazada por una proposición lógicamente equivalente Q*
entonces el resultado es una proposición compuesta P*
lógicamente equivalente a P.
Argumento
Un argumento (o teorema) consiste en algunas proposiciones H1, H2…,
Hn llamadas hipótesis (o premisas) del argumento y una proposición
C que será su conclusión.
Un argumento con hipótesis H1, H2…, Hn y conclusión C es verdadera
siempre que
De esta forma el argumento es verdadero si y solo si
H1 H2 … Hn C es una tautología
H1 H2 … Hn C
Demostraciones
Veamos algunas definiciones
Teorema : Consiste en una proposición P, llamada hipótesis y otra
proposición Q que será la conclusión.
Corolario: Es un teorema que se deduce inmediatamente de otro
teorema.
Lema: Es un teorema que no tiene especial interés en sí mismo pero
que es útil para probar algún otro teorema.
Demostración: Es un razonamiento que establece la veracidad de un
teorema.
Demostración formal
La demostración formal de un argumento consiste en una sucesión de
proposiciones, que termina con la conclusión, y que se considera
válidas.
Una proposición es válida si es una de las hipótesis, una tautología
conocida o puede derivarse de las anteriores por medio de las reglas
de sustitución o puede inferirse por ciertas reglas de inferencia.
Si una o más de las proposiciones no es valida, entonces el
argumento se llama falacia
Demostración directa
Demostración indirecta -- Contrapositiva
Demostración indirecta -- Demostración por contradicción
H1 H2 … Hn C
C (H1 H2 … Hn)
H1 H2 … Hn C contradicción
Métodos de Demostración
Métodos de Demostración
Demostración por contradicción
Demostrar un teorema H1 H2 … Hn C es equivalente a
demostrar que
H1 H2 … Hn C una contradicción
En virtud de la equivalencia lógica del absurdo (regla 15).
Este enfoque para una demostración recibe el nombre de
demostración por contradicción.
Reglas de Inferencia
Una proposición Q se puede inferir de las proposiciones P1 P2 …
Pk siempre que
P1 P2 … Pk Q.
Simbolizamos tal regla de inferencia como
P1
P2
…Pk
Q [ se lee “por lo tanto”]
Reglas de Inferencia mas comunes
Veamos una tabla con las reglas de inferencia más útiles junto con los
nombres que reciben
Ejemplo
Para cada una de los siguientes conjuntos de premisas, decir cuáles son las conclusiones relevantes y las reglas de inferencia utilizadas en cada caso
a) Estoy gordo o delgado. Ciertamente no estoy delgado.b) Si corro, me quedaré sin aliento. No estoy sin aliento.c) Si el mayordomo lo hizo, entonces tiene las manos sucias. Las
manos del mayordomo no están sucias.d) El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo
está azul o gris.e) Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las
funciones periódicas son continuas.
Ejemplo
a) Estoy gordo o delgado. Ciertamente no estoy delgado. “Estoy gordo”
silogismo disyuntivob) Si corro, me quedaré sin aliento. No estoy sin aliento. “No he corrido”
modus tollensc) Si el mayordomo lo hizo, entonces tiene las manos sucias. Las manos
del mayordomo no están sucias. “ el mayordomo no lo hizo”modus tollens
d) El cielo azul me pone contento y el cielo gris me pone triste. El cielo está azul o gris. “Estoy contento o triste”.
dilema constructivoe) Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las
funciones periódicas son continuas. “Todas las funciones trigonométricas son continuas”.
silogismo hipotético
Demostración
Un teorema es verdadero si, y sólo si la proposición condicional
P Q
es una tautología o también si
P Q
o también si
P Q
Dicho de otra forma un teorema es verdadero si, y sólo si el razonamiento
P Q
es válido.
Ejercicios
1. Determinar cuales de los razonamientos siguientes son válidos.
Construir demostraciones para los razonamientos que lo sean y
para los que no lo sean, explicar por qué la conclusión no se sigue
de la hipótesis.
a) b) c)
Ejercicios
2. Formular simbólicamente los siguientes razonamientos y determinar cuáles son válidos. Tomar:
p : Estudio mucho.q : Obtengo C como calificación.r : Me hago rico.
a) Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación. Estudio mucho.
Obtengo C como calificación.
b) Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación. Si no me hago rico, entonces no obtengo C como calificación. Me hago rico.
Ejercicios
c) Estudio mucho si y sólo si me hago rico. Me hago rico.
Estudio mucho.
d) Si estudio mucho o me hago rico, entonces obtengo C como calificación.
Obtengo C como calificación. Si no estudio mucho, entonces me hago rico.
e) Si estudio mucho, entonces obtengo C como calificación o me hago rico.
No obtengo C como calificación y no me hago rico. No estudio mucho.
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