Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
190
5 Drücke in Bunkern und Silos 191
5.1 Einleitung - Silohavarien 191
5.2 Berechnungsmodell - Scheibenelementmethode 192
5.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft 192
5.2.1.1 Herleitung der JANSSEN-Gleichung 192
5.2.1.2 Schaftdruck bei Schüttgutbewegung nach oben 194
5.2.1.3 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ 196
5.2.1.4 Entleerungsdrücke im Schaft 197
5.2.2 Berechnung des Vertikaldruckes im Silotrichter 198
5.2.2.1 Füllzustand 198
5.2.2.2 Entleeren 203
5.2.3 Druckberechnung mittels bautechnischer Standards 204
5.3 Einfluß der Schüttguteigenschaften 209
5.4 Abschätzung der Wandstärken 211
5.4.1 Zugbeanspruchung und Bewehrung von Stahlbetonsilos 211
5.4.1.1 Zugbeanspruchung im Mantel von Stahlbetonsilos 211
5.4.1.2 axiale Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblechtrich-
tern 211
5.4.1.3 ringförmige Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblech-
zylindern 212
5.4.2 Ausbeulen eines Metallblechsilos 215
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
191
5 Drücke in Bunker und Silos - Gliederung, Bild F 5.1
5.1 Einleitung - Silohavarien
− Wahrscheinlichkeit des Versagens von Stahlbetonsilos ist mehr als 20 mal höher als bei anderen Stahlbetonhochbauten! → frühere Havariebilder (Dias):
B 1 - 8: aus "Silo-Handbuch6" u.ä. B 9 - 16: Havarien einer Uranerzrolle im Tiefbau (1990) und eines Si-
los für Therephthalsäure (1986) − prinzipieller Verlauf der Drücke eines Massenflußbunkers, s. Bild F 5.2
• charakteristischer Spannungsumschlag ("Switch") am Übergang zwi-schen Schaft-Trichter, d.h. aktives - in passives (plastisches) Span-nungsfeld, siehe Bild 5.1:
• tritt sowohl bei Massenfluß am Schaftende als auch bei Kernfluß (KF) am Beginn des Schüttgut-trichters auf; ist infolge Schwan-kungen der Höhe der KF-Zone nur schwerer lokalisierbar,
Bild 5.1: Horizontaldruckverlauf über der Höhe bei Kernfluß mit „Switch“
- Spannungsstoß auch in einer FEM-Modellrechnung (s. Eibel u.a.) darstell-bar, siehe Bild F 5.3
• Darstellung von Größe und Richtung der größten und kleinsten Hauptspannung σ1 und σ2
• Spannungsstoß am Übergang Schaft-Trichter • Geschwindigkeitsprofil, siehe Bild 5.2 rechts
→ in der Achse die größte Geschwindigkeit → an der Wand die kleinste
Bild 5.2: Geschwindigkeitsprofil im Schaft
ph
ph
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
192
5.2 Berechnungsmodell - Scheibenelementmethode
5.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft
5.2.1.1 Herleitung der JANSSEN-Gleichung
Kräftegleichgewicht an einem hori-
zontalen Scheibenelement der inkre-
mentellen Höhe dy
Bild 5.3: Kräftegleichgewicht an einem horizontalen Scheibenelement
Voraussetzung: pv = const. und ρb = const. über den Durchmesser D des Schaftes, Bild F 5.4 und Bild 5.3
( ) AdygUdypApAdpp0F bWvvv ⋅⋅⋅ρ+⋅⋅−⋅+⋅+−=↓=∑ mit
vFh
hww
ppptanp
⋅λ=⋅ϕ=
( 5.1)
λF Horizontaldruckverhältnis beim Füllen mit λF = 0 ... 1, wobei gilt: λF = 0 Festkörper
λF = 1 isostatischer Zustand (Flüssigkeit)
gpAUtan
dydp
bvwFv ⋅ρ=⋅⋅ϕ⋅λ+ ( 5.2)
Lösung: als gemeinsame Übung:
vwFbv p
AUtang
dydp
⋅⋅ϕ⋅λ−⋅ρ=
63
vb
v
Hpg
dydp
−⋅ρ= ( 5.3)
wenn hier ein charakteristischer Höhenwert so definiert wird:
UtanAH
wF63 ⋅ϕ⋅λ
= ( 5.4)
Allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen
v63bv
63 pHgdydpH −⋅⋅ρ=⋅
Die allgemeine Randbedingung lautet: für H = 0 sei pv = pv0 ≠ 0
∫∫ =−⋅⋅ρ
⋅H
0
p
p v63b
v63 dy
pHgdpH
v
0v
( ) HpHglnH v
0v
p
pv63b63 =−⋅⋅ρ⋅−
630v63b
v63b
HH
pHgpHgln −=
−⋅⋅ρ−⋅⋅ρ bzw.
−−=
−⋅⋅ρ+⋅⋅ρ−
630v63b
v63b
HHexp
pHgpHg
dy
pv
ρb⋅g⋅dy
pv + dpv
pn pw
y
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
193
−⋅+
−⋅⋅⋅ρ−⋅⋅ρ=
630v
6363b63bv H
HexppHHexpHgHgp
−⋅+
−−⋅⋅⋅ρ=
630v
6363bv H
HexppHHexp1Hgp ( 5.5)
Für die gewöhnlich zutreffenden Randbedingung, dass bei freier Schüttgut-
oberfläche H = 0 auch pv0 = 0 ist, folgt die bekannte JANSSEN-Gleichung1:
−−⋅⋅⋅ρ=
6363bv H
Hexp1Hgp ( 5.6)
wobei ( )
( ) 63b63v
63bv
Hg63,0HHpHgHp
⋅⋅ρ⋅==⋅⋅ρ=∞→∞
z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:
⋅ϕ⋅λ⋅−−⋅
ϕ⋅λ⋅⋅⋅ρ
=
=⋅π⋅
⋅π=
DHtan4exp1
tan4Dgp
4D
D4D
UA
wFwF
bv
2
( 5.7)
Endwert pv∞
0,63 pv∞
ρb
g H⋅ ⋅
H H63
Bild 5.4: Vertikaldruckverlauf über der Füllhöhe des Schaftes
Praktische Schlussfolgerungen für die geometrische Apparategestaltung
der Schüttgutspeicherbehälter:
• für Schüttgutsilos ist pv ∼ D → )H(fpv ≠∞ , man baut Schäfte mit gerin-
gem Durchmesser aber großer Höhe, d.h. üblicherweise mit großem Schlankheitsgrad H/D >> 1,5!
• für Flüssigkeitstanks ist pv ∼ H → gilt dagegen )D(fHgpv ≠⋅⋅ρ= ,
man baut also Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser!
1 Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
194
5.2.1.2 Schaftdruck bei Schüttgutbewegung nach oben
Wenn man nun versucht, von unten die Schüttgutsäule entgegen der Schwerkraft nach oben zu drücken, Bild 5.3, muss das Vorzeichen der Wanddruckes (Wandschubspannung bzw. Wandreibungswiderstandes) pw umgekehrt werden.
Dieser Lastfall kann dann auftreten, wenn das Silo vergleichsweise weich aufgehängt ist und sich aufgrund der hohen Fülllasten gegenüber der Position des steif gebetteten Austraggerätes etwas absenkt, siehe Bild F 7.12.2 unten in Schüttec_7.doc#-Abzugskräfte, und folglich das Austrag-gerät die inkompressible Schüttgutsäule entgegen der natürlichen Fließrich-tung der Schwerkraft nach oben in den Schaft (Trichter wird vernachlässigt) hinein drücken muss, Bild 5.5.
Bild 5.5: Vertikaldruck & nach unten gerichteter Wandreibungswiderstand
Die Kräftebilanz lautet jetzt mit der Vorzeichenumkehr der Wand-schubspannung pw:
( ) AdygUdypApAdpp0F bWvvv ⋅⋅⋅ρ+⋅⋅+⋅+⋅+−=↓=∑ ( 5.8)
0gpAUtan
dydp
bvwFv =⋅ρ−⋅⋅ϕ⋅λ− ( 5.9)
vwFbv p
AUtang
dydp
⋅⋅ϕ⋅λ+⋅ρ=
Und mit dem charakteristischen Höhenwert Gl. ( 5.4) ist:
63
vb
v
Hpg
dydp
+⋅ρ= ( 5.10)
Allgemeine Lösung durch Trennung der Variablen
v63bv
63 pHgdydpH +⋅⋅ρ=⋅
Die übliche Randbedingung lautet, für H = 0 sei pv = 0:
∫∫ =+⋅⋅ρ
⋅H
0
p
0 v63b
v63 dy
pHgdpH
v
( ) HpHglnH vp
0v63b63 =+⋅⋅ρ⋅
6363b
v63b
HH
HgpHgln =
⋅⋅ρ
+⋅⋅ρ bzw.
=
⋅⋅ρ+⋅⋅ρ
6363b
v63b
HHexp
HgpHg
⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ+
6363b63bv H
HexpHgHgp
dy
pv
ρb⋅g⋅dy
pv + dpv
pn
pw
y
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
195
⋅⋅⋅ρ+⋅⋅ρ−=
6363b63bv H
HexpHgHgp
Daraus folgt eine exponentielle Vertikaldruckzunahme eines inkompressib-len Schüttgutes (ρb ≈ const. ≠ f(pv)) über der Füllhöhe H als sozusagen „in-verse“ JANSSEN-Gleichung:
−
⋅⋅⋅ρ= 1
HHexpHgp
6363bv ( 5.11)
Charakteristische Werte sind:
( )( ) [ ]( ) ∞=∞→
⋅⋅ρ⋅=−⋅⋅⋅ρ====
HpHg718,11718,2HgHHp
00Hp
v
63b63b63v
v
Gleichheit wird mit dem isostatischen Druck bei H* = 1,718.H63 erreicht,
Bild 5.6:
63b*
b H718,1gHg ⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ d.h. 63* H718,1H ⋅= ( 5.12)
1,72 ρb g H63
Hgb ⋅⋅ρ
H H* = 1,72 H63
pv
Bild 5.6: Exponentieller Vertikaldruckverlauf über der Schaftfüllhöhe, siehe dazu auch im Kapitel 7 (Austraggeräte) Schüttec_7.doc#Vertikaldruck_Tr bzw. Bild F 7.12.3 in Folien_PM_SGT_7.pdf
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
196
5.2.1.3 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ
ϕw σ2
ϕe
ph(a) σx(a)
ph σx
pv σy
σR
ϕe
σM
σx ph(p)
σy pv
σy(a) pv(a) σ1
σ
ϕe
τ EFO WFO
(p) - passiver (a) - aktiver Spannungs- zustand •
Bild 5.7: Spannungen am MOHR-Kreis
(1) Voraussetzung pv = σ1 und ph = σ2 sind Hauptspannungen, d.h. aufgrund der Achsensymmetrie ist das nur in der Hauptachse des Schaftes erfüllt!
Es ist 21
21
M
Resin
σ+σσ−σ
=σσ
=ϕ ( 5.13)
( ) ( )e2e1
e221e1
sin1sin1sinsin
ϕ+⋅σ=ϕ−⋅σϕ⋅σ−σ−=σ−ϕσ
im aktiven Spannungszustand pv ≈ σ1 bzw. ph ≈ σ2
v
h
e
ea
1
2
pp
sin1sin1
≈ϕ+ϕ−
=λ=σσ
(5.14)
Dies gilt streng nur für den aktiv-plastischen Spannungszustand ohne Berücksichtigung der Wandreibung und bei hinreichender Verformbar-keit (Möglichkeit der horizontalen Ausdehnung) der Schaftwände. Ge-wöhnlich werden jedoch bei axialer Kompression eines Schüttgutes in einem Behälter mit steifen Außenwänden größere λa-Werte als mit der Gl.(5.14) berechnet erhalten ⇒ λ(4). Im passiven Spannungszustand drehen sich die Hauptspannungsrichtungen um, d.h. pv ≈ σ2, bzw. ph ≈ σ1 und es gilt:
v
h
e
ep
2
1
pp
sin1sin1
≈ϕ−ϕ+
=λ=σσ
( 5.15)
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
197
(2) ph, pv sind keine Hauptspannungen, aber unabh. von der Wandreibung, d.h. für rauhe Wände bzw. innerhalb des Schüttgutes gültig, s. Bild F 5.5
eMR sin ϕ⋅σ=σ ( 5.16)
eRhM sinp ϕ⋅σ=−σ ( 5.17)
eRMv sinp ϕ⋅σ=σ− ( 5.18)
eRMh sinp ϕ⋅σ−σ=
Einsetzen der Gl.( 5.16) des effektiven Fließortes (EFO)
( )e2
Me2
MMh sin1sin- =p ϕ−⋅σ=ϕ⋅σσ
eRMv sinp ϕ⋅σ+σ= ( )e
2Me
2MMv sin1sinp ϕ+⋅σ=ϕ⋅σ+σ=
e2
e2
v
h
sin1sin1
pp
ϕ+ϕ−
==λ ( 5.19)
(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung
( )( )w2
e2
w2
w2
w2
sinsinsin-1= wenn sin1sin1
ϕ−ϕϕ∆∆+ϕ+∆−ϕ−
=λ ( 5.20)
→ für den aktiven Spannungszustand bzw. → für den passiven Spannungszustand gilt analog
( ) ∆−ϕ+∆+ϕ−
=λw
2w
2
p sin1sin1
( 5.21)
Es ist also ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )p1p32031 λ<λ<λ<λ<λ<λ
(4) Aktiv-elastischer (Kompressions-) Spannungszustand d.h., um ein großes ph zu erhalten, Verwendung eines sog. Ruhedruck-beiwertes (empirisch!):
e0 sin1 ϕ−=λ ( 5.22)
→ Um ein großes ph zu erhalten: Bauingenieure verwenden zur ⇒ Be-messung von Stahlbetonwänden )sin1(2,1 eϕ−⋅=λ , siehe DIN 1055/06
(5) Für Abschätzungen der Fülldrücke im Schaft (JENIKE, ROBERTS):
4,0=λ ( 5.23)
Um ein großes pv zu erhalten, → Verwendung von gewöhnlich )3(λ und
zwar für → Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.
5.2.1.4 Entleerungsdrücke im Schaft
⇒ Zunahme der Horizontalspannungen im Schaft beim Entleeren - auch schon beim Füllen durch starke Kompression und Setzen und zwar durch - Ausbildung eines Fließtrichters beim Kernfluß oder
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
198
- Imperfektionen der Wand, d.h. örtliche Konvergenzen der Wand und Umformen des aktiv-plastischen Spannungszustandes, der durch örtli-che Wanddivergenzen gefördert wird, in den passiv-plastischen Span-nungszustand;
⇒ Ausgleich dieser örtliche Konvergenzen durch - divergente Schaftwandneigung von etwa 0,5° (JENIKE) möglich - Einführen von Lasterhöhungsfaktoren cj für die Wandnormalspan-
nungen (Horizontaldrücke, siehe TGL 32 274/09 o. DIN 1055/06).
5.2.2 Berechnung des Vertikaldruckes im Silotrichter
5.2.2.1 Füllzustand
Berechnung mittels unten beginnender Höhenkoordinate y, Bild F 5.4:
Bild 5.8: Differentielles Scheibenelement im Trichter Bild 5.9: Beide Wanddruckkomponenten
Die Terme dpv⋅dA → 0 und dy.dA → 0 sind sehr klein und können vernachlässigt werden
− Voraussetzungen: • ρb = const., pv = const. über den Querschnitt • Wandreibungsdruck
v1wnww pktanptanp ⋅⋅ϕ=⋅ϕ= (5.24)
• Das Verhältnis der Normalspannung pn auf die Trichterwand zum mittleren Vertikaldruck pv wird konstant gesetzt und k1 -Wert genannt,
v
n1 p
pk = ( 5.25)
um eine analytische Lösung des folgenden Kräftegleichgewichtes am Scheibenelement zu erhalten:
− Kräftegleichgewicht:
( ) ( ) ( )
θ⋅⋅θ⋅+
θ⋅⋅θ⋅+
+⋅⋅⋅ρ−+⋅−⋅+−⋅=↑=∑
cosdyUsinp
cosdyUcosp
dAAdygdppdAAdppAp0F
nw
bvvvvvv
( ) 0AdygdyUtankdyUtankpdApdpA b1w1vvv =⋅⋅⋅ρ−⋅⋅θ+⋅ϕ⋅+⋅−⋅−
mit dyA: ⋅− folgt:
dy
dA
(pv + dpv)⋅A
ρb⋅g⋅dy⋅A θ
pv⋅A
pn
pw dA⋅(pv + dpv)
y θ
θ
pwcosθ pw
pn pn
.sinθ
θ
θ
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
199
( ) 0gAUtantank
dydA
A1p
dydp
bw1vv =⋅ρ+
⋅ϕ+θ⋅−⋅+ ( 5.26)
Nebenrechnungen:
( )
l2tany2+l2= U ; tan2yl=2xl= Atany2=x2= U ; tanyx= Atany8=2x4= U; tany4x42x= A
tanyx
222
2222
⋅≈θ⋅θ⋅⋅θππθπ=π
θ⋅θ==
θ=
allgemein: 1m
tanyUA
+θ⋅
= (5.27)
y1
tanyl2tanl2=
dydA
A1
y2
tanytany2=
dydA
A1
y2
tany4tan8y=
dydA
A1
22
2
22
2
=θ⋅⋅⋅
θ⋅⋅⋅
=θπθπ
⋅
=θ
θ⋅
allgemein: y
1mdydA
A1 +
=⋅ ( 5.28)
Gln. (5.27) und ( 5.28) einsetzen in Gl. ( 5.26):
( ) 0gtany
1mtantanky
1mpdydp
bw1vv =⋅ρ+
θ⋅
+ϕ+θ−
++
( ) 0gtan
tan1k11my
pdydp
bw
1vv =⋅ρ+
θϕ
+⋅−⋅++
( ) 0g1tan
tan1k1my
pdydp
bw
1vv =⋅ρ+
−
θϕ
+⋅⋅+− ( 5.29)
= k
Mit dem Exponent: ( )
−
θϕ+θ
⋅⋅+= 1tan
tantank1mk w1 ( 5.30)
folgt die in y hyperbolische Differentialgleichung 1. Ordnung (bzgl. pv)
0gy
pkdydp
bvv =⋅ρ+⋅− ( 5.31)
Umgeschrieben2 ist: ( )y
ygpkdy
ydp bvv ⋅⋅ρ−⋅= ( 5.32)
2 Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G. und H. Mühlig, Taschenbuch der Mathe-matik, S.555, Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008
y
x
θ
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
200
⇒ Der Lösungsansatz wird durch folgende Funktionen3 gegeben, mit der Integrationskonstanten C
( )1k
ygyCyp bkv −
⋅⋅ρ+⋅= für k ≠ 1 ( 5.33)
[ ])yln(gCy)y(p bv ⋅⋅ρ−⋅= für k = 1 ( 5.34)
Überprüfung für k ≠ 1:
1kygpyC b
vk
−⋅⋅ρ
−=⋅ 1kg
yykC
1kgykC
dydp b
kb1kv
−⋅ρ
+⋅⋅=−⋅ρ
+⋅⋅= −
Gl. ( 5.33) in ( 5.31) einsetzen:
1kg
1kyg
ykp
yk
1kg
1kygp
yk
dydp bb
vbb
vv
−⋅ρ
+−
⋅⋅ρ⋅−=
−⋅ρ
+
−⋅⋅ρ
−=
( )1k1kgp
yk
dydp b
vv +−
−⋅ρ
+= und gpyk
dydp
bvv ⋅ρ−=
0gpyk
dydp
bvv =⋅ρ+− q.e.d.
Es kann nun die Integrationskonstante C unter der folgenden Randbedin-gung erhalten werden: ⇒ wenn )tanU/(A)1m(Hy Tr θ⋅+== , Gl.(5.44), entspricht 0,vv pp = dem
Vertikaldruck des darüber befindlichen Schaftes
( )1kHgHCpHyp Trbk
Tr0vTrv −⋅⋅ρ
+⋅===
−⋅⋅ρ
−=1kHgp
H1C Trb
0vkTr
(5.35)
Einsetzen in Gl.( 5.33) und es folgt:
( )1k
ygHy
1kHgpyp b
kTr
kTrb
0vv −⋅⋅ρ
+⋅
−⋅⋅ρ
−=
k
Tr
Trb0,v
bv H
y1kHgp
1kygp
⋅
−⋅⋅ρ
−+−
⋅⋅ρ= deshalb gilt für k ≠ 1:
k
Tr0,v
k
TrTr
Trbv H
ypH
yH
y1kHgp
⋅+
−⋅
−⋅⋅ρ
= ( 5.36)
Für den isostatischen Spannungszustand, d.h. für k = 0 folgt aus Gl. ( 5.36)
( ) 0,vTrbTrb0,vbv pyHgHgpygp +−⋅⋅ρ=⋅⋅ρ++⋅⋅ρ−= ( 5.37)
wobei dann mit der Gl.( 5.30) der minimale k1 - Wert folgt:
wminv
nmin,1 tantan
tanppk
ϕ+θθ
=
= ( 5.38)
3 Walters, J.K., A theoretical analysis of stresses in axially-symmetric hoppers and bunkers, Chem. Engng. Sci. 28 (1973) 779
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
201
Darüber hinaus ist für k = 1 (bei sehr kompressiblem Schüttgut):
Tr0,v
Trbv H
ypy
Hlnygp ⋅+
⋅⋅⋅ρ= ( 5.39)
Nach MOTZKUS4 läßt sich der k1-Wert aus Betrachtungen am MOHR-schen Spannungskreis mit dem komplementären Wandneigungswinkel zur Horizontalen α = 90° - θ gewinnen:
α⋅λ⋅ϕ+α⋅λ−
+λ+
= 2sintan2cos2
12
1k w1 ( 5.40)
0
0
1
1
Trichter-höhe y/HTr
y HTr
pv,0 = 0
Vertikaldruck ( )p g Hv b Tr/ ρ ⋅ ⋅
isostatischer Spannungszustand k = 0
k = 0,5
k = 1
k = 2
k = 4
k = 0,1
Bild 5.10: Dimensionsloser Vertikaldruck im Trichter für den Füllzustand Tabelle 5.1: Empfohlene Werte für k und k1 zur Ermittlung der Spannungen im Auslaufbereich eines Silotrichters im Füllzustand, ROBERTS/McLEAN
k - Wert k1 - Wert Bemerkungen hinsichtlich Abschätzung der Verti-
kalspannung pv Schüttgutkompres-
sibilität Aufhängung des Austraggerätes
0 k1, min oberer isostatischer Grenzwert, sehr sicher,
völlig inkompressibel starr angebracht
0,1 Gl.( 5.40) inkompressibel steif aufgehängt 0,45 Gl. ( 5.40) mäßig kompressibel nachgiebig 0,9 Gl. ( 5.40) kompressibel nachgiebig 1,0 Gl. ( 5.40) ausreichend sicher sehr kompressibel
Gl.( 5.30) 1,0 gute Schätzung des Mit-telwertes gemessener pv
2⋅(m+1) Gl. ( 5.40) unterer Grenzwert gemes-
4 Motzkus, V.: Belastungs von Siloböden und Auslauftrichtern durch körnige Schüttgüter, Diss. TU Braunschweig 1974
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
202
sener pv, unsicher Berechnung mittels oben beginnender Höhenkoordinate h: ⇒ Besser ist, Höhe vom Schaft-Trichteransatz beginnend in die Tiefe laufen
zu lassen, d.h. hHy Tr −= ⇒ Randbedingung: für TrHy = oder günstiger h = 0 ist 0vv pp = mit
pv0 Vertikaldruck des Schaftes ⇒ in Gl. ( 5.33) einsetzen, zur Bestimmung der Integrationskonstanten:
( )1kHgHCpHyp Trbk
Tr0vTrv −⋅⋅ρ
+⋅===
−⋅⋅ρ
−= −
1kHgpHC Trb
0vk
Tr (5.35)
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) Tr
kTrTrb
Tr
TrTrb0v
k
Tr
Tr
TrbkTr
Trb0v
kTrv
H1khHHg
H1kHhHgp
HhH
1khHghH
1kHgpHhp
⋅−−⋅⋅⋅ρ
−⋅−
⋅−⋅⋅ρ+⋅
−=
−−⋅⋅ρ
+−⋅
−⋅⋅ρ
−⋅= −
und schließlich folgt für k ≠ 1:
( ) 0v
k
Tr
Tr
k
Tr
Tr
Tr
TrTrbv p
HhH
HhH
HhH
1kHghp ⋅
−+
−−
−−⋅⋅ρ
= , ( 5.41)
Für k = 0 folgt als Plausibilitätstest wiederum der maximal mögliche, isostatische Spannungszustand eines inkompressiblen Schüttgutes:
( ) 0vTr
TrTrTrb0v
Tr
TrTrbv p
HHhH
1Hgp1
HhH
1Hghp +
−−−
⋅⋅ρ=+
−
−−
⋅⋅ρ=
( ) 0vb0vTr
Trbv phgp
Hh
1Hghp +⋅⋅ρ=+
−−
⋅⋅ρ= q.e.d.
0,vbv phg)h(p +⋅⋅ρ= ( 5.42)
Und für k = 1, also ein sehr kompressibles Schüttgut, ist:
−⋅⋅⋅ρ−⋅
−=
Tr
TrTrb0,v
Tr
Trv H
hHlnHgpH
hH)h(p ( 5.43)
⇒ Problem: Es wird hier eine äquivalente, dem axialsymmetrischen oder ebenen Spannungszustand äquivalente Trichterhöhe HTr bis zur Spitze benötigt:
• θ⋅
=tan2DHTr mit D als äquivalenter Schaftdurchmesser bzw. Trich-
terbreite B (analog hydraulischem Durchmesser) oder
h
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
203
• θ⋅
⋅=
tanUA2HTr
bzw. mit der Gl. (5.27): ( )
θ⋅⋅+
=tanU
A1mHTr , (5.44)
wobei Abweichungen zur geometrischen Höhe von Keiltrichtern mit un-terschiedlich geneigten Seitenwänden auftreten werden. Wegen voraus-setzungsgemäß L >> B könnte bei m = 0 der Anteil der Stirnwände am Gesamtumfang U vernachlässigt werden.
⇒ Problematik Koeffizient k siehe auch ff-Berechnung.
5.2.2.2 Entleeren
- passives Spannungsfeld mit größter Hauptspannung zumindest in der Ach-se horizontal gerichtet, d.h. ph ≈ σ1 → Einsetzen der Dimensionierungsgleichung (4.25), → maximal mögliche Spannung, größte Hauptspannung σ1, am Auslauf:
( ) ( )W
minb1 2sin1m
ffbgϕ+θ⋅+
⋅⋅⋅ρ=σ (5.45)
→ oder mit θ⋅⋅= tany2b bzw. ( ) θ⋅−⋅= tanhH2b Tr eingesetzt für die
von oben beginnende Höhe h
( )( ) ( )W
Trb1 2sin1m
tanffhHg2ϕ+θ⋅+
θ⋅⋅−⋅⋅ρ⋅=σ (5.46)
→ für Abschätzungen insbesondere bei kohäsionslosen Schüttgütern ist ff ≈ 1,3 ausreichend bemessen,
- Neben den hohen Wandnormallasten pn im Trichter sind auch bei Einbau-ten im Schaft erheblich gestiegene Horizontaldrücke beobachtbar. Im Abschnitt 4.1 Gl.(4.30) Schüttec_4.doc - Sigma1_SigmaW_Verhältnis wird das interessierende Verhältnis der unbekannten größten Hauptspan-nung an der Wand zum meßbaren Wandnormaldruck pn im Trichter ab-geleitet
( )
ϕϕ
+ϕ⋅ϕ
ϕ⋅ϕ+=
σ
e
wwe
we
n
1
sinsinarcsinsinsin
tansin1p
, ( 5.47)
wobei man eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung für den Winkel zwischen der Richtung der Wandnormalspannung pn und der Richtung der größten Hauptspannung σ1 an der Wand erhält:
ϕϕ
+ϕ⋅=βe
ww sin
sinarcsin21 ( 5.48)
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
204
Mit den Gln.(5.45) und ( 5.49) folgt der für das radiale Spannungsfeld ty-pische lineare Verlauf des Wandnormaldruckes von der Trichterspitze mit (HTr - h) = 0 = pn beginnend:
( )
( )( ) wew
e
wweTrb
n tansin12sin)1m(sinsinarcsinsinsintanffhHg2
pϕ⋅ϕ+⋅θ+ϕ⋅+
ϕϕ
+ϕ⋅ϕ⋅θ⋅⋅−⋅⋅ρ
= (5.50)
- Nach MOTZKUS4 wird der k1-Wert gemäß Gl.( 5.25) für Entleeren im Massenfluß (Index E, M) empirisch modifiziert mit
( )[ ]( )w
2ww
2ew
M,E tancot1cottancottan1tantancot
ϕ⋅θ+⋅θϕ−θ−ϕ+⋅λ⋅ϕ−ϕ−θ
=λ (5.51)
eM,E
Me tan)(tan ϕ⋅λ
λ=ϕ (5.52)
mit dem komplementären Wandneigungswinkel zur Horizontalen α = 90°-θ
α⋅λ⋅ϕ+α⋅λ−
+λ+
= 2sin)(tan2cos2
12
1)k( M,EMe
M,EM,EM,E1 (5.53)
α⋅λ⋅ϕ−α⋅λ−
= 2cos)(tan2sin2
1)k( M,EMe
M,EM,E2 (5.54)
Plausible Ergebnisse liefert auch:
( ) wM,E1M,E2 tank)k( ϕ⋅= (5.55)
Der Exponent k der Druckberechnung nach Gl.( 5.41) ist für Entleeren im Massenfluß:
( ) θ⋅λ⋅ϕ⋅+= cot)(tan)1m(k M,EMeM,E (5.56)
⇒ gesamte Berechnung in Anlehnung an MOTZKUS4, s. F 5.6, F 5.7, F 5.8
5.2.3 Druckberechnung mittels bautechnischer Standards
− Berechnung gemäß TGL 32 274/09 vom Mai 1987 (siehe auch Grundla-gen von MOTZKUS4), Unterscheidung in * Füllen: ⇒ Gleitbruch (Setzungen entlang der Wand, s. Massenfluß)
⇒ Materialbruch (Setzungen im Gut, analog Kernfluß) * Entleeren: ⇒ Massenfluß
⇒ Kernfluß − Druckverlauf über die Höhe H bzw. h, siehe Bild F 5.9
• Zusatzlasten (-Wandnormaldrücke) ∆pn zu den rechnerischen Hori-zontal- oder Normaldrücken infolge des Spannungsumschlages beim
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
205
Entleeren für Massen- bzw. Kernfluß gemäß der beiden deutschen Standards:
nnE,n ppp ∆+= oder njE,n pcp ⋅= ( 5.57)
∗ TGL 32 274/09, siehe auch HAMPE5 ♦ Schaft: cj = c1 oder c2 oder c3 oder c4 c1 = 1,2 ... 1,6 Lastbeiwert für zentrisches Entleeren c2 = 1,5 ... 2,7 Lastbeiwert für exzentrisches Entleeren c3 = 1,7 ... 2,1 Lastbeiwert für Entleeren im Kernfluß c4 = 2,1 ... 4,0 Lastbeiwert für Entleeren im Massenfluß ♦ Trichter:
( ) θ⋅−+= coscc1c 14j für Entleeren im Massenfluß ( 5.58)
♦ angesetzt als Rechtecklasten, siehe Tabelle 5.2
Tabelle 5.2: Typische Lastbeiwerte nach TGL 32 274/09
c1: über die gesamte wirksame Schafthöhe y = H und damit Lastbreite bE = H c2: an der Stelle y = H/2 für die wirksame Lastbreite bex = D/4 c3: am Übergang des Schüttguttrichters zur Schaftwand
MFtan2bDy
θ−
= für die wirksame
Lastbreite 2/Dbswitch =
c4: an der Stelle y = H für die wirksame Lastbreite θ⋅= cos2/Dbswitch (hier TGL korrigiert!)
♦ Berücksichtigung von Zusatzlasten (passiver Druck) bei Abküh-lung (Kontraktion) der Wand
TEl
)T(lEp l0
T,n ∆⋅α⋅=∆
⋅=∆ ( 5.59)
und folgender Verdichtung des sich durch die Temperaturwech-sel - eine Wandausdehnung bewirkt das Nachrutschen des Schüttgutes, eine Wandkontraktion die Schüttgutverdichtung - zunehmend versteifenden Schüttgutes nach THEIMER (1966):
( ) ( )bw
b
w
bw,lT,n
1EE
s2B.oD
ETp
ν−+⋅
⋅∆⋅α≈∆ ( 5.60)
D o. B Schaftdurchmesser oder -breite Eb Elastizitätsmodul des verdichteten Schüttgutes, z.B.
≈(7...70) N/mm2 für Getreide, 100 N/mm2 für Ze-mentklinker
Ew Elastizitätsmodul des Wandbaustoffes ≈ 200 kN/mm2
5 Hampe, E., Silos, Bnd. 1 Grundlagen, Verlag für Bauwesen, Berlin 1987
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
206
sw Wanddicke αl,w thermischer Längenausdehnungskoeffizient der Wand,
≈(10...13)⋅10-6 1/K für Stahl und Beton, bzw. ≈(18...24)⋅10-6 1/K für Aluminium
νb ≈ 0,4 Querdehnungszahl des verdichteten Schüttgutes ∆T Temperaturdifferenz durch
⇒ heißes Füllgut ⇒ biochemische Reaktionen des Gutes, ≈ 30 K für
Getreide, ≈ 35 K für Gärfutter (DIN 1055/06) ⇒ Tag - Nacht - Wechsel ⇒ Sonneneinstrahlung - Schatten ⇒ Wind- oder Regenabkühlung
♦ qualitative Abschätzung v. Grenzzuständen mittels Zusatzlasten njj cc:c ⋅= mit cn = 1,1 ... 1,3 durch
- Streuung der Schüttguteigenschaften, - Abweichungen und Imperfektionen (Unrundheiten, Beulen) der
ausgeführten Bauwerksgeometrie, - Unsicherheiten in den zu berücksichtigenden Betriebszuständen.
♦ Aber keine Berücksichtigung von Zusatzlasten bei Nachgie-bigkeit der Wände wie bei DIN 1055/06.
∗ DIN 1055/06, siehe auch MARTENS6 ♦ Das Horizontaldruckverhältnis entspricht dem des Ruhedruck-
beiwertes λ0 der Bodenmechanik. Mit dem Zusatzfaktor 1,2 liefert es vergleichsweise hohe Horizontaldrücke insbesondere im obe-ren Schaftbereich
)sin1(2,1 eϕ−⋅=λ ( 5.61)
♦ Der Entleerungsfaktor beträgt ebenfalls eh = 1,2 ... 1,7 (≡ c1 der TGL) für die Wandnormaldrücke ph und pn, wobei
nhE,n pep ⋅= ( 5.62)
♦ Berücksichtigung der Nachgiebigkeit der Schaftwände, insbeson-dere bei den verformungsempfindlichen kreisrunden Silos mit-tels drehsymmetrischer Ersatzlasten
E,hE,h pp ⋅κ=∆ mit ( 5.63)
)s2/(D02,05,01 w⋅+β⋅+=κ für 70)s2/(D w ≤ Beton
D/H31 ⋅β⋅+=κ für 100)s2/(D w ≥ Stahl
und mit dem sog. Ungleichförmigkeitsfaktor
6 Martens, P.(Ed.): Silo-Handbuch, Ernst & Sohn, Berlin 1988
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
207
Grah β⋅β⋅β⋅β=β , ( 5.64)
der ein Maß für die Zusatzlasten darstellt, d.h. β = 0 und folglich κ = 1 für Flüssigkeiten.
Tabelle 5.3: min. und maximale Ungleichförmigkeitsfaktoren
Werkstoff D/(2 sw) βmin βmax Beton 10...40 0,12 1/3 Stahl > 200 0,02 0,22
⇒ βa: Exzentrisches Entleeren erzeugt Schlotbildung verbunden mit einer ungleichmäßigen Horizontaldruckverteilung um den Schaft-umfang. Zwei Druckmaxima treten im Öffnungswinkel von etwa ϕ0 ≈ ± 60° der Achse der Auslauföffnung zur Schaftmitte auf.
⇒ βr: Dünnwandige biegeweiche Konstruktionen können sich den Wirkungen von Lastspitzen entziehen. Ein Maß hierfür ist das Verhältnis der elastischen Wandlängen
05,03,06)25...20(
71
ss
EE
LL
Stahl,r
Beton,r4 34 3
Stahl,W
3Beton,W
Stahl
Beton
Stahl,el
Beton,el =ββ
≡≈⋅≈⋅=
⇒ βG: Eine Flüssigkeit würde wegen der gleichmäßigen Druckver-teilung keine Zusatzlasten erzeugen, d.h. βG = 0. Kohäsive, plas-tisch verformbare mineralische Güter haben vergleichsweise ge-ringe Werte, βG = 0,4...0,6, steife und elastische Güter dagegen eher höhere, βG > 0,6. Deshalb bekommen „gutmütige“ geringe und „böswillige“ Schüttgüter hohe Schüttgutbeiwerte, z.B. für So-jaschrot βG ≥ 3,0.
Tabelle 5.4: Bedingungen für die Teilfaktoren von Schüttgütern
Beiwerte β-Werte Abmessungs-verhältnisse
Bemerkungen
Schlank-heit
βh = 1 H/D < 1 wirksame Steifigkeit der eingespannten Rohrenden
8,0D/H2,0h +⋅=β 1 ≤ H/D ≤ 4 Steifigkeitsabnahme βh = 1,6 H/D > 4 Steifigkeit der eingespan-
nten Rohrenden läßt nach Ausmitte βa = 1 a/D < 1/6 mittige Druckverteilung D/a6a =β a/D ≥ 1/6 Horizontaldruckmaxima Steifig-keit
βr = 0,3 70)s2/(D w ≤ st
eifer Beton „harte“ oder steife Auf-nahme von Lastspitzen
βa = 0,05 100)s2/(D w ≥
„weicher“ Stahl elastische Aufnahme von Lastspitzen
Schüttgut βG = 0,4...1,0 je nach Partikelkontakt-deformierbarkeit
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
208
a Exzentrizität (Ausmitte) ♦ am Schaft-Trichterübergang: maximal mögliche, isostatische Las-
terhöhung für Massenfluß als Dreieckslast für die wirksame Last-breite θ⋅⋅= cosD3,0bswitch angenommen:
[ ]Hsonst)1D/Hfürgewöhnlich(Dgp bswitch >⋅⋅ρ= ( 5.65)
switchnE,n ppp +=
♦ keine Berücksichtigung von Zusatzlasten bei Kernfluß wie in der TGL mit c3!
♦ keine Berechnung der Vertikaldrücke im Trichter möglich! • Erhöhung der Wandschubspannung τw bzw. des Wandreibungsdruckes
pw beim Entleeren cj = 1,1 • Beim periodischen Homogenisieren feinkörniger, staubender, gut flui-
disierbarer Schüttgüter mit Luft entsteht im Zuge der Bettausdehnung (Wirbelbetthöhe HW) eine mehr oder weniger homogene Wirbel-schicht (Index W) mit isostatischer Druckverteilung, d.h. flüssigkeits-analoges Verhalten pv = ph:
Hg)8,0...6,0(HgHH
Hgp bbW
F,bW,bW,h ⋅⋅ρ⋅≈⋅⋅ρ⋅≈⋅⋅ρ= , ( 5.66)
die sich nach einer bestimmten Absetzzeit tsink auf die normale Füll-höhe Hb,F durch Entlüftung und Mobilisierung der Feststoffreibung wieder absinkt. Damit werden wiederum die Schüttgutdrücke (Index b) wirksam.
• Das Gleiche kann auch beim schnellen Einfüllen (SF) feinkörniger, staubender, gut fluidisierbarer Schüttgüter passieren, d.h., wenn die Füllstandszunahme-Geschwindigkeit betragsmäßig größer als die cha-rakteristische Sink- oder Entlüftungsgeschwindigkeit des Pulvers wird
ksinSF vv ≥ :
ksin
SFksin
SFSF t
HvA
Vv =≥=
( 5.67)
Wenn die Steiggeschwindigkeit vSF im oberen Schaftbereich für kleine A/U < 1 m vergleichsweise groß wird h/m10A/Vv SFSF >= (DIN
1055/06), dann erhält man für die horizontaldruckwirksame Tiefe (Permeabilitätsfaktor 2)
ksinSFSF tv2H ⋅= ( 5.68)
und dem zugehörigen maximalen Horizontaldruck:
SFbSF,h Hg8,0p ⋅⋅ρ⋅≈ . ( 5.69)
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
209
Tabelle 5.5: Mittlere Entlüftungszeiten und Grenzsteiggeschwindig-
keiten (gewöhnlich vSF,G ≈ 10 m/h und (A/U)G ≈ 1 m) von staubenden,
gut fluidisierbaren Schüttgütern (TGL 32 274/09 u. MARTENS, S.75)
Schüttgut Absetzzeit tsink in h vSF,G in m/h Getreidemehl 0,04...0,07 25 A/U Kalksteinmehl 0,18 6 A/U Thomasphosphat 0,07 27 A/U Zement 0,11 10 A/U
• Die TGL-Zusatzlasten entsprechen recht gut den Meßwerten für Wei-zen (Meßwerte nach SCHOLZ (1988)), Bild F 5.9
5.3 Einfluß der Schüttguteigenschaften
→ ρb geht linear ein !
→ Darstellung der Funktionen pv, pn, pw = f(ϕe, ϕw) für Massen- und Kern-fluß (θ = 10° und 30°),
Es wurden die jeweils maximalen Drücke - gewöhnlich treten sie am Schaft-Trichter-Übergang auf - aufgetragen, die mit dem Faktor
U/Agb ⋅⋅ρ dimensionslos gemacht wurden, siehe Bilder F 5.10, F 5.11
( ) ( )
U/AHgIpIp
U/Agp,p,p,p
p,p,p,p
b
ww
b
maxwnhvmaxwnhv
⋅⋅⋅ρ=
⋅⋅ρ=
∗
∗∗∗∗
( 5.70)
→ Haupteinfluß über Horizontaldruckverhältnis λ (bzw. k-Wert in TGL) → mit ↑ϕe (zunehmende Haftkräfte !)
• pv ↑ für MF und KF in Schaft und Trichter • ph ↓ im Schaft für MF und KF • pn u. pw ↑ im Trichter für MF und KF
→ mit ↑ ϕe (zunehmende Wandhaftkräfte) • pv ↓ in Schaft und Trichter für MF und KF sowie pn ↓ • pw hat ausgeprägtes Maximum bei ϕw = 10 bis 30°, d.h. bei den üb-
lichen gemessenen Werten Berechnungsbeispiel geg.: Kalzit D = 2,75 m H = 12 m θ = 12 ° MF bmin = 1,2 m θ = 30 ° KF bmin = 2,4 m ges.: pv, ph, pn, pw für Füllen und Entleeren
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
210
für H = 12 m h = ... an der Auslauföffnung gewählt: ϕst = 46° → ϕe ≈ 46 ... 47° ρb ≈ 420 ... 430 kg/m3 ϕw = 31°
m) 2,4 ,(30 m 0,3=
m) 1,2 ,(12 m 65,3tan2
bDh
°
°=θ⋅
−=
Ergebnisse: siehe BUDRU-Ausdrucke im handschriftl. Vorlesungsskript
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
211
5.4 Abschätzung der Wandstärken
5.4.1 Zugbeanspruchung und Bewehrung von Stahlbetonsilos
5.4.1.1 Zugbeanspruchung im Mantel von Stahlbetonsilos
⇒ bei Stahlbetonsilos größte Probleme durch • hohe Horizontaldrücke durch die Spannungsumlagerung von den
aktiven in den passiven Zustand ph ≈ σ1, • Biegemomente durch ungleichförmige oder exzentrische Schüttgut-
lasten und/oder Baugrundsetzungen, • hohe Horizontaldrücke durch Staubexplosionen; kritische Beanspruchung auf Ringzug (tangentiale Zugspannung) muß
durch die Horizontalbewehrung in einem höhebezogenen Quer-schnittselement wwSt sdh/dhsA ≡⋅≈ (Wandstärke) aufgenommen
werden; Bild F 5.12 ⇒ Kräftegleichgewicht an einem Trichterelement (oder Schaftelement θ = 0,
bm = D = Di) in horizontaler Richtung mit der Lastkomponenten pn/cosθ des Wandnormaldruckes (siehe Apparatetechnik I (1983) S.101) auf die trapezförmige Schnittfläche des Trichters dhbm⋅ :
∑ ⋅⋅σ⋅−⋅⋅θ== ϕ dhA2dhbcos/p0F Stmn ( 5.71)
bm mittlerer Innendurchmesser des Trichters
mit θ⋅+=θ⋅−=+
= tandhbtandhb2bbb 21
21m
Im einaxialen Spannungszustand sei die Vergleichsspannung so groß wie die größte Hauptspannung σv = σ1 = σϕ, und folglich
s
St,Fzul
St
mn
cosA2bp
νσ
=σ≤θ⋅
⋅=σϕ ( 5.72)
σF,St 0,2% Dehngrenze eines Baustahles νs Sicherheitsbeiwert Unter Berücksichtigung eines Lasterhöhungsfaktors cj folgt dann für den höhebezogenen Mindest-Bewehrungsstahlbedarf
θ⋅σ⋅⋅ν⋅⋅
=cos2
cbpA
St,F
jsmnSt ( 5.73)
5.4.1.2 axiale Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblechtrichtern
⇒ Lastfall (1) Problem des Abreißens angehängter Trichter aufgrund des Vertikaldruckes des Schüttgutes im darüber liegenden Schaft:
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
212
⇒ Kräftegleichgewicht an einem Trichterelement in vertikaler oder axialer Richtung mit dem Vertikaldruck pv auf die kreisförmige Schnittfläche des Trichters 4/D2
iπ und der axialen Gegenspannung σa auf die kreis-ringförmige Schnittfläche der Trichterwand ( ) wm
2i
2a sDDD4/ ⋅⋅π=−⋅π :
( )∑ −⋅π
⋅σ−⋅π
⋅=→= 2i
2aa
2iv DD
4D
4p0F bzw.
s
FV
2
i
ava 1
DDp
νσ
≤σ=
−
⋅=σ ( 5.74)
Daraus folgt die minimale Wandstärke:
F
siv
am
2iv
)1(w 4Dp
D4Dps
σ⋅ν⋅⋅
≈σ⋅⋅
⋅= ( 5.75)
5.4.1.3 ringförmige Zugbeanspruchung im Mantel von Metallblechzylin-
dern
⇒ Lastfall (2) Anwendung der „Kesselformeln“ für Behälter unter Innen-druckbelastung (siehe Apparatetechnik I (1983) S. 96 ff):
⇒ Kräftegleichgewicht an einem Schaftelement Di = Dinnen) in horizontaler Richtung mit dem Wandnormaldruck pn auf die rechteckige Schnittfläche des Innenzylinders dhDi⋅ und der tangentialen Gegenspannung σt = σϕ auf die beiden streifenförmigen Wandschnittflächen des Schaftes dhsw ⋅ :
∑ ⋅⋅σ⋅−⋅⋅==→ dhs2dhDp0F wtin bzw. ( 5.76)
w
int s2
Dp ⋅=σ ( 5.77)
Diese einfache Beziehung entspricht somit der Gl.( 5.73).
⇒ Streng genommen muß nun die dreiaxiale Spannungsverteilung am zy-lindrischen Volumenelement im elastischen Zustand bemüht werden (siehe auch Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Zylkoord Gl.(3.224) und Bild 3.30, beachte hier: + = Zug in der Werkstoffmechanik!), und zwar gelten in der Wand für die
Tangentialspannung: ( )( ) 1D/D
1D/Dp 2ia
2xa
nt −+
⋅=σ ( 5.78)
Radialspannung: ( )( ) 1D/D
1D/Dp 2ia
2xa
nr −−
⋅−=σ ( 5.79)
Axialspannung: ( )[ ] 12iana 1D/Dp
−−⋅=σ ( 5.80)
mit der Wandkoordinate Dx zwischen Innen- und Außendurchmesser:
Di ≤ Dx ≤ Da ( 5.81)
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
213
wobei Da = Di + 2 sw
Nach Mittelung erhält man für die Tangentialspannung (siehe Appara-
tetechnik I (1983) S. 97):
( )[ ]w
in
1
i
iwin
1iant s2
DpD
Ds2Dp1D/Dp⋅⋅
=
−⋅+⋅=−⋅=σ
−− ( 5.82)
Radialspannung: 2/pnr −=σ ( 5.83)
Bild 5.11: Spannungsverteilung am radialen Volumenelement in Zylin-
derkoordinaten
Bild 5.12: Zur Schubspannungshypothese
von TRESCA
⇒ Anwendung der Schubspannungshypo-these (gemäß TRESCA) für das Gleiten duktiler Metallmembrane (b >> sw) als notwendiges Stoffgesetz:
Eine mittlere Vergleichsspannung (= maximale Zugspannung) folgt aus maxV 2 τ⋅=σ und den beiden Hauptspannungen in tangentialer (σ1) und
radialer (σ2) Richtung2
rtRmax
σ−σ=σ=τ und damit das Stoffgesetz
s
FrtV ν
σ≤σ−σ=σ ( 5.84)
Nach Einsetzen der Gln.( 5.82) und ( 5.83) in Gl.( 5.84) erhält man
w
wan
w
mn
w
win
n
w
inV s2
sDps2
Dps2sDp
2p
s2Dp
⋅−
⋅=⋅
⋅=⋅+
⋅=+⋅⋅
=σ ( 5.85)
und nach der minimalen Wandstärke umgestellt, für den Zylinder mit Be-rücksichtigung eines Lasterhöhungsfaktors cj:
σr σt
τ τmax
σ
+ Zug
dr
σa σt
σt
r dϕ
σa
σr
σr + dσr σ
σr = 0
σa
σt
σr = - pn
pn
Di
Da sw
+ Zug
- Druck
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
214
ns
F
jan
ns
F
jin
F
jsmnw
p2
cDp
p2
cDp2
cDps
+νσ
⋅
⋅⋅=
−νσ
⋅
⋅⋅=
σ⋅
⋅ν⋅⋅= ( 5.86)
und bei Berücksichtigung einer Trichterneigung θ lautet es schließlich
θ⋅
+
νσ
⋅
⋅⋅=
θ⋅
−
νσ
⋅
⋅⋅=
θ⋅σ⋅
⋅ν⋅⋅=
cosp2
cDp
cosp2
cDpcos2
cDps
ns
F
jan
ns
F
jin
F
jsmn)2(w ( 5.87)
Es wird die größte der errechneten Mindest-Wandstärken für die Lastfälle (Ast), (1) und nachfolgend (2) ausgewählt und mit entsprechenden Zuschlä-gen versehen ist sie bei der Bemessung anzuwenden. Beispiel: Kalzit: σF,St = 400 N/mm2 Baustahl St A-III νs = 1,67 • maximaler Normaldruck beim Entleeren
⇒ Lastbeiwert c1 = 1,2 für Kalksteinmehl s. TGL 32 274/09 ⇒ Lastbeiwert c4 = 2,8 für Massenfluß u. Kalksteinmehl s. TGL 32
274/09 ⇒ Lastbeiwerte für das Entleeren:
( ) ( )Massenflußfür t Maximalwer als 57,2c
12cos2,18,21coscc1c
j
14j
=
°⋅−+=θ⋅−+=
⇒ pn = 15,64 kPa Maximalwert des Wandnormaldruckes am Schaft-Trichter-Übergang aus vorheriger numerischer Druckberechnung
⇒ Mindest-Bewehrungsstahlbedarf für den Stahlbetontrichter
θ⋅σ⋅⋅ν⋅⋅
=cos2
cbpA
St,F
jsmnSt ( 5.88)
mm/m 18=dRundeisen 14Ad
m/cm 36,2A
m/mm236 12cosmm/kN104002
2,571,67 m 2,75 kPa 64,15A
StSt
St
2St
223St
=π
⋅=
=
=°⋅⋅⋅
⋅⋅⋅= −
Ein gegenüber Großsilos D = 15 m vergleichsweise geringer Stahlbedarf
⇒ Mindest-Metallwandstärke für den Trichter bei axialer Zugbeanspru-chung Aluminium - AlMg3 F18 als Wandwerkstoff
σF = 80 MPa und E = 70⋅103 MPa ⇒ pv = 23,67 kPa Maximalwert des Vertikaldruckes am Schaft-Trichter-
Übergang aus vorheriger numerischer Druckberechnung
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
215
F
siv
am
2iv
)1(w 4Dp
D4Dps
σν
≈σ
= ( 5.89)
mm34,0mm/N804
67,1m75,2kPa67,23s 2)1(w =⋅
⋅⋅=
Die notwendige Wanddicke beträgt weniger als 1 mm und damit ist die-ser Lastfall vernachlässigbar klein.
⇒ Mindest-Metallwandstärke für den Trichter bei Ringzugbeanspruchung pn = 15,64 kPa Maximalwert des Wandnormaldruckes am Schaft-Trichter-Übergang aus vorheriger numerischer Druckberechnung
θ⋅
−
νσ
⋅⋅=
cosp2
cDps
ns
St,F
jin)2(w ( 5.90)
mm18,112cosmm/N01564,0
67,1mm/N802
57,2m75,2kPa64,15s2
2)2(w =°⋅
−
⋅⋅=
Die notwendige Mindest-Wanddicke beträgt ohne Zuschläge etwa 1,2 mm und ist auch für diesen Lastfall (2) vergleichsweise klein aber größer als im Lastfall (1).
→ Ausbeulen ist das kritische Stabilitätsproblem!
5.4.2 Ausbeulen eines Metallblechsilos
→ Bei Metallblechsilos treten meistens Probleme durch mangelhafte Stabili-tät infolge Beulens auf.
→ gültige Richtlinien: TGL 13 503/01 und 02 (April 1982) DIN 18 800 Teil 4 (Oktober 1988) DASt-Ri 013 (Juli 1980)
→ ideal aufnehmbare Beulspannung σki infolge Beanspruchung durch eine Axiallast am isotropen homogenen Zylinder:
( ) m
w
m
w2ki D
sE21,1Ds
13E2
⋅⋅=⋅ν−
⋅=σ ( 5.91)
E Elastizitätsmodul ν = 0,3 Querkontraktionszahl Dm = Di + s mittlerer Silodurchmesser, sw Wandstärke
→ Abminderung der idealen Spannung σki durch Beulfaktoren zur Trag-spannung σkr (TGL 13 503/01) - elastischer Bereich Fkr 6,0 σ⋅≤σ
FkiBBkr 6,0ck σ⋅≤σ⋅⋅=σ ( 5.92)
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
216
- plastischer Bereich FkrF6,0 σ≤σ≤σ⋅
FkiBB
FFkr ck
3,01,1 σ≤
σ⋅⋅
σ⋅−⋅σ=σ ( 5.93)
kB inhomogene Lasteinleitung, = 1 bei Axialdruck, = 1,2 bei Biegung
cB Imperfektionen und Vorbeulen in den Blechen für den elasti-schen Bereich,
σF Fließ- oder Streckgrenze (z.B. Stahl) bzw. 0,2 %-Dehngrenze (z.B. Aluminium) für das Versagen von 10% quasihomoge-ner Werkstoffproben, z.B. = 240 N/mm2 für St 38
• nach TGL 13 503/01 S. 16 ist cB,min = 0,14 wenn die größte Vorbeul-tiefe w0 = 2⋅sw bei längs verschweißten Rohren erreicht ist;
• ansonsten 0,14 ≤ cB ≤ 0,33 in Abhängigkeit von der Vorbeultiefe und des Verlaufes der Rohrschweißnähte
• nach DASt wenn Dm/sw < 5000,
w
mB
s200D1
52,0c
⋅+
= ( 5.94)
ansonsten Übergang zum Beulen ebener Bleche → Bei sehr hohen Silos (wie Rohre), Schlankheitsgrad
)s2/(D25,0D/H w> geht das Zylinderbeulen in das Knicken über.
→ weitere Abminderung der Tragspannung durch den Knickfaktor ϕk , s. Tab. TGL 13 503/01 in Abhängigkeit vom Trägheitsradius i, wenn
wmw3m sD=A sD
8I ⋅⋅π⋅
π= ( 5.95)
I Trägheitsmoment A Ringquerschnittsfläche
24
DsD64
DDAIi m
wm
4i
4a =
⋅⋅−
== ( 5.96)
und der Schlankheitsgrad i/H2K ⋅=λ , mit 2⋅H = Knicklänge eines ein-
seitig eingespannten Stabes, sind (ungünstigster Fall, siehe auch TGL 13 503/02 S. 2). Lastfall, bei dem das Schalenbeulen in das Stabknicken bei sehr schlanken Zylindern übergeht.
→ Die zulässige Spannung ist
∑σ≥⋅ν
⋅⋅ϕ⋅⋅⋅=
νϕ⋅σ
=σ k,wmkr
wKBB
kr
kkizul D
sEkc21,1 ( 5.97)
ϕK = f(λK) Knickfaktor, < 1 (s. TGL 13 503/01 Tab. S. 17 ff) → Stabilitätskriterium mit Vergleichsspannung als Summe der einzelnen
Lastanteile σw,k aus der
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
217
− Wandreibung des Schüttgutes σw,b − Windlast bei Außenaufstellung σw,w − Schneelast σw,s →0 (vernachlässigt) − Eigenlast σw,e
zule,ww,wb,w σ≤σ+σ+σ ( 5.98)
→ Schüttgutlast aus dem aufsummierten Wandreibungsdruck Ipw; Berücksichtigung aller oben liegenden Schüttgutschichten bei einer be-stimmten Höhe H - entspricht einer Kraft, die als Linienlast über den mittleren Umfang mm DU ⋅π= verteilt ist:
( )[ ]
( )( )
( )[ ]636363b
H
06363b
H
063
bH
0ww
HH/HexpHHU
Ag
H/HexpHHU
Ag
dHH/Hexp1U
AgdHpIp
−−+⋅⋅⋅ρ
=
−+⋅⋅⋅ρ
=
−−⋅⋅⋅ρ
== ∫∫
( )[ ]
−−−⋅⋅⋅ρ
= 6363b
w H/Hexp1HHU
AgIp ( 5.99)
als Spannung mit dem Lasterhöhungsfaktor cj = 1,1 beim Entleeren
w
jw
wm
jmw
Ring
jmwb,w s
cIpsD
cDIpA
cUIp ⋅=
⋅⋅π
⋅⋅π⋅=
⋅⋅=σ
w
jwb,w s
cIp ⋅=σ ( 5.100)
→ Windlast bei Außenaufstellung, siehe Bild F 5.13 Biegemoment im Zylinder Mw mit ρw ≈ 1,2 kg/m3 - Luftdichte (ϑ = 20°C) vm,w ≈ 30 m/s mittlere Windgeschwindigkeit
HDA aw ⋅= angeströmte Schaftquerschnittsfläche
( )2
vAHcF
2w,m
wwwww ⋅⋅ρ⋅ψ⋅= ( 5.101)
cw = 0,6 für turbulente Umströmung glatter Kolonnen (Zylinder) ψw(H) berücksichtigt das Windgeschwindigkeitsprofil über die Hö-
he, analog einer Kanalströmung
2H dHH dHHD
2v
cdHFM2HH
Ha
2w,m
www
HH
Hww
r
r
r
r
∫∫∫ =⋅⋅ρ⋅ψ⋅==++
2HFM ww ⋅= für ψw ≈ const., ( 5.102)
W Widerstandsmoment
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
218
w2m
w
w3m
mwmwww,w sD
M4sD28DM
I2DM
WM
⋅⋅π⋅
=⋅⋅π⋅⋅⋅
=⋅⋅
==σ
w2m
ww,w sD
M4⋅⋅π
⋅=σ ( 5.103)
→ Eigenlast ∑ GiF vom Zylinder, Dach und Aufbauten z. B. Schaft wmswG sDHgF ⋅⋅π⋅⋅⋅ρ=
wm
Gie,w sD
F⋅⋅π
=σ ∑ ( 5.104)
→ aus den Gln. ( 5.97), ( 5.98), ( 5.100), ( 5.103) und ( 5.104) folgt schließ-lich die Mindest-Wandstärke um Beulen zu vermeiden
wwm
Gi
w2m
w
w
jpw
mkr
wKBB ssD
FsD
M4s
cID
sEkc21,1⋅
⋅⋅π+
⋅⋅π⋅
+⋅
≥⋅ν
⋅⋅ϕ⋅⋅⋅ ∑ ,
bzw. zusammengefaßt:
⋅π+
⋅π⋅
+⋅⋅⋅ϕ⋅⋅⋅
ν⋅= ∑
m
Gi2m
wjw
KBB
krm)3(w D
FDM4cIp
Ekc21,1Ds ( 5.105)
Gewöhnlich werden die Schüttgutlasten im ersten Term der runden Klammer den höchsten Lastanteil aufbringen! Diese Mindest-Wandstärken sind noch mit Zuschlägen für Korrosion sw,Ko, Ausgleich von Fertigungstoleranzen sw,Fe, für baulichen Besonder-heiten sw,Bau u.ä. zu versehen:
Bau,wFe,wKo,wmin,ww sssss +++= ( 5.106)
Schüttec_5 Partikelmechanik und Schüttguttechnik 5. Silodrücke Prof. Dr. J. Tomas 07.05.2014
219
Beispiel Kalzit: Aluminium - AlMg3 F18 als Wandwerkstoff ρsw = 2,7 t/m3 σF = 80 MPa E = 70⋅103 MPa H63 = 6,76 m ϕw = 31° ρb = 430 kg/m3
ψw ≈ 1,4, wenn der Siloschaft auf einem Betonfundament o. Stahlleichtbau-gerüst etwa 6 m über Boden steht,
( )[ ]
kN/m 20,4=kN/m 1,15,18cIkN/m 5,18I
6,7612-exp-1 m 6,76- m 12s4 m
m 2,75 m 9,81 t 43,0I
jpw
pw
23pw
⋅=⋅
=
⋅⋅⋅⋅
=
kNm 8,892m12 m 75,2
sm
230
mkg2,14,16,0M
22
2
22
3w =⋅⋅⋅⋅⋅=
kN/m 1,15 m 75,2
kNm 8,894DM4
222m
w =⋅π⋅
=⋅π⋅
Schaftwandstärke sw = 3 mm vorabgeschätzt, einschließlich 2-fache Lasterhöhung für Dach, Staubfilter, weitere Dachauf-bauten u.ä.
Aufbauten undDach für Erhöhung 200%ige
tabgeschätz mm 3=s kN 8,162kN 24,8
m103m75,2m12sm81,9
mt7,2F 3
23Gi
=⋅=
⋅⋅⋅π⋅⋅⋅= −∑
kN/m 91,1DF
m
Gi =⋅π
∑
→ größte Last folgt aus dem →Schüttgut 20,4 kN/m → Wind 15,2 kN/m → Eigenlast 1,91 kN/m
5,1 ,95,0 krk =ν≈ϕ siehe TGL 13 503/01
( ) mm 7,391,11,154,20kN 7095,0114,021,1
m/kNmm1,5 m 75,2s2
min,w =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
mit mm 95,2s 22,0
m103200m 75,21
52,0c minw,
3-
B =⇒=
⋅⋅+
=
Mit den Zuschlägen für Korrosion sw,Ko, Ausgleich von Fertigungstoleran-zen sw,Fe, für baulichen Besonderheiten sw,Bau u.ä.:
mm10mm1mm1mm4mm7,3ssssss
w
Bau,wFe,wKo,wmin,ww
=+++=
+++= ( 5.107)
Top Related