17. LINHA MICROSTRIP
17.1 – Introdução
A linha microstrip é uma linha impressa de dimensões reduzidas, cuja forma mais
usual é a que se representa na Fig. 17.1. Consiste numa tira (strip) condutora, de
largura w e espessura t , impressa sobre um substrato dieléctrico de altura h e
constante dieléctrica relativa rε , assente num plano condutor de largura L . Em
geral, tem-se L w e t w .
Fig. 17.1 Linha microstrip.
Trata-se de uma linha muito versátil, amplamente utilizada desde UHF até
frequências de algumas dezenas de GHz, incluindo ondas milimétricas. As suas
principais vantagens são:
• Construção simples a partir de placas para circuitos impressos ou, em alta-
frequência, por depósitos metálicos em substratos dieléctricos;
• Permite construir circuitos compactos sobre um único substrato;
• Compatível com a realização de dispositivos activos ou não-recíprocos
directamente ligados entre condutores;
• Componentes directamente acessíveis;
• Perdas nos condutores relativamente baixas (por comparação com o guia
metálico de secção rectangular a operar à mesma frequência);
L
w
h
t
Microondas
17-2
e as suas principais desvantagens são:
• Excitação de ondas superficiais no dieléctrico (para as evitar deve escolher-
se rε pequeno, a fim de se manter os modos superficiais abaixo do corte);
• Radiação, que se pode evitar através da utilização de uma blindagem
conforme se ilustra na Fig. 17.2 (nesse caso, convém uma blindagem com
grandes dimensões, para se diminuir a atenuação nas paredes e evitar
ressonâncias);
Fig. 17.2 Linha microstrip blindada.
• Linha não-equilibrada (ao contrário de um outro tipo de linha impressa, a
slot-line, que se representa na Fig. 17.3).
Fig. 17.3 Slot line.
Para se evitar as perdas no dieléctrico, utiliza-se, por vezes, uma linha suspensa
(Fig. 17.4). Trata-se, nesse caso, praticamente, de uma linha de ar ( 1rε = ).
17. Linha Microstrip 17-3
Fig. 17.4 Linha microstrip suspensa.
Por outro lado, perfurando o dieléctrico conforme se ilustra na Fig. 17.5, pode
montar-se, facilmente, um elemento de circuito em derivação.
Fig. 17.5 Montagem de elementos em derivação.
17.2 – Modo Quasi-TEM
Em relação à linha que se introduziu na secção anterior, deve notar-se que:
(i) Esta linha não suporta qualquer modo TEM (na realidade, nem sequer
suporta modos TE ou TM);
(ii) Suporta, no entanto, uma forma de propagação que existe até à corrente
contínua.
Para se representar, qualitativamente, esta forma de propagação, podem fazer-se
as seguintes observações:
Ligação a um elemento
em derivação
Microondas
17-4
(i) Se existisse apenas um dieléctrico (por exemplo o ar), ter-se-ia um modo
TEM com uma estrutura de campos semelhante à que se mostra na Fig.
17.6, na qual se representam as linhas de força do campo eléctrico. Deve
notar-se o aparecimento de um efeito de bordo acentuado.
Fig. 17.6 Efeito de bordo numa linha de ar.
(ii) A presença de um segundo dieléctrico, com 1rε > , tende a concentrar as
linhas de força do campo eléctrico nesse dieléctrico. Além disso, sendo
1rε , o efeito de bordo será diminuto (Fig. 17.7), uma vez que quase
todo o campo fica concentrado no segundo dieléctrico, aproximando-se
assim de um modo TEM (no dieléctrico de suporte).
Fig. 17.7 Linhas de força do campo eléctrico numa microstrip.
Deve notar-se que o modo que se propaga na estrutura representada na Fig. 17.4
(microstrip suspensa) está, em geral, muito mais próximo de um modo TEM do que o
da estrutura da Fig. 17.1, sobretudo, se o dieléctrico de suporte tiver pequeno
contraste dieléctrico ( 1rε ≈ ), o que é muitas vezes o caso.
Em conclusão,
• O modo fundamental só aproximadamente será TEM;
17. Linha Microstrip 17-5
• A linha é dispersiva, isto é, a velocidade de fase e a velocidade de grupo são
dependentes da frequência, o que constitui, obviamente, uma desvantagem.
17.3 – Análise Aproximada
Nesta secção, procede-se a uma análise simplificada da linha microstrip baseada,
numa primeira fase, na aproximação do modo quasi-TEM, a que se acrescenta,
posteriormente, o efeito da dispersão. Introduz-se o conceito de constante dieléctrica
efectiva efε e apresentam-se alguns dos resultados numéricos disponíveis na
literatura.
17.3.1 Constante Dieléctrica Efectiva
A constante dieléctrica efectiva efε (relativa) é o valor da constante dieléctrica
relativa de um dieléctrico que, substituindo os dois dieléctricos existentes na linha
microstrip, conduz ao mesmo valor da constante de propagação longitudinal k . A
constante dieléctrica efectiva permite, assim, fazer uma equivalência entre a
microstrip e uma linha de ar.
Em geral, define-se a partir da velocidade de fase (ou de λ ), mas pode ser
estendida ao cálculo da impedância característica cZ e da constante de atenuação α ,
devida às perdas nos condutores. Contudo, esta abordagem só é razoável desde que o
modo se mantenha aproximadamente TEM e a distribuição da corrente seja
aproximadamente idêntica.
Uma vez que 1rε > , ter-se-á sempre
1 ef rε ε< < (17.1)
Por outro lado, em geral, efε será função da
• Geometria da linha ( ,w h );
• Constante dieléctrica relativa rε ;
Microondas
17-6
• Frequência de trabalho (trata-se de uma linha dispersiva).
O seu cálculo (aproximado) será abordado mais adiante.
Considere-se, por agora, a Tabela 17.1 onde se representam três linhas impressas
semelhantes, geometricamente iguais e de largura infinita. Para a segunda e a terceira
linhas representadas, a Tabela 17.1 fornece a relação entre os parâmetros
característicos dessas linhas
• Impedância característica cZ ;
• Comprimento de onda λ à frequência f ;
• Atenuação devida aos condutores α .
e os parâmetros correspondentes de uma linha de ar [1].
No caso da primeira e da segunda linha representadas, propaga-se um modo
TEM, o que já não sucede com a terceira linha: no caso da linha microstrip, estas
grandezas referem-se ao modo quasi-TEM.
TABELA 17.1 COMPARAÇÃO ENTRE LINHAS IMPRESSAS.
(i) Linha de ar (ii) Linha de dieléctrico rε (iii) Linha microstrip
0cZ 0c
cr
ZZ
ε= 0c
cef
ZZ
ε=
0λ 0
r
λλε
= 0
ef
λλε
=
0α 0 rα α ε= 0 efα α ε=
h h h
w
ww
17. Linha Microstrip 17-7
As relações entre os valores de cZ , λ e α das linhas (i) e (ii) são conhecidas.
Assim,
0
1c
c r
ZZ ε= (17.2)
Por outro lado,
0
0
1
r
kk
λλ ε= = (17.3)
sendo 0k o número de onda longitudinal da linha de ar e k o da linha de constante
dieléctrica relativa rε . Finalmente,
0
rα εα= (17.4)
uma vez que /(2 )s cR Zα ∝ , em que sR é a resistência superficial dos condutores.
Neste último caso, supõe-se que o efeito pelicular é intenso e que a distribuição de
corrente não se altera com a introdução do dieléctrico.
17.3.2 Parâmetros da Linha de Ar
Um vez conhecido o valor de efε , torna-se necessário conhecer os parâmetros da linha
de ar para se calcular os parâmetros da linha microstrip. Nesta subsecção, calculam-
se os parâmetros 0c
Z e 0α correspondentes à linha de ar (i).
17.3.2.1 Impedância característica 0c
Z
Tal como se fez no capítulo anterior, para a stripline, pode utilizar-se o método
da transformação conforme para calcular a capacidade 0C da linha de ar. Por
comparação com (16.19) será, no caso da microstrip,
Microondas
17-8
( )( )
00
0
1/2
1/K u
CK u
ε=′
(17.5)
em que, com a notação utilizada neste caso, se tem
01 cosh 12 2
wuh
π⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜= +⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (17.6)
pelo que a impedância característica da linha de ar 0c
Z será dada pela expressão
(comparar com (16.20))
( )( )0
00
0
1/12 1/c
K uZ Z
K u=
′ (17.7)
ou, em termos de 0C ,
0
0
0
1c
kZCω
= (17.8)
Para aplicações práticas, é conveniente ter fórmulas simples que permitam o cálculo
da capacidade com uma boa aproximação. De acordo com Collin [2], as fórmulas
seguintes permitem calcular o valor de 0C com uma precisão da ordem de 1%:
0
0
0
2 18ln
4
1.393 0.667 ln 1.444 1
wh w h
w hC
w w wh h h
πε
ε
⎧⎪⎪ ≤⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ + ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎪≈ ⎨⎪⎪⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎟⎪ ⎜+ + + >⎢ ⎥⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎩
(17.9)
Note-se que a expressão anterior foi derivada por aproximação do cálculo rigoroso da
capacidade 0C , utilizando o método da transformação conforme, em que se
considerou que a strip condutora tem uma espessura nula, o que é aceitável para o
cálculo da capacidade e da impedância característica da linha. Na literatura define-se,
por vezes, uma largura efectiva da linha efw , onde se inclui o efeito da espessura t
[2].
17. Linha Microstrip 17-9
17.3.2.2 Constante de atenuação por perdas nos condutores
Para o cálculo da constante de atenuação por perdas nos condutores, torna-se,
agora, necessário, considerar que a linha tem uma espessura t não nula. Como se viu
no capítulo anterior, o cálculo desta constante, para uma linha TEM, pode ser
efectuado usando a expressão
12c
c
RZ
α = (17.10)
em que, como se viu, R é a resistência da linha por unidade de comprimento e cZ a
impedância característica, calculada na subsecção anterior. Torna-se, portanto,
necessário calcular o valor de R , o que requer conhecer a distribuição de corrente na
linha e no plano de terra, como se viu já no capítulo anterior para o caso da stripline,
veja-se a expressão (16.25).
O cálculo da distribuição de corrente pode ser feito recorrendo, mais uma vez, ao
método da transformação conforme [2, Apêndice III]. O valor de R pode ser expresso
como 1 2R R R= + , em que 1R e 2R são, respectivamente, a resistência da linha e a
resistência do plano de terra, por unidade de comprimento. Em [2], são propostas as
seguintes expressões aproximadas para o cálculo destes parâmetros:
12
1 1 4lns
R ww AR t
ππ π
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.11)
em que sR é a resitência superficial do condutor devida ao efeito pelicular e A é uma
relação de perdas (loss ratio), definida por
2
1 0.5
0.94 0.132 0.0062 0.5 10
wh
Aw w wh h h
⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪= ⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎪ ⎜+ − < ≤⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩
(17.12)
e que contabiliza a alteração do valor da resistência da linha, que decorre do facto da
distribuição de corrente nas duas faces da linha ser distinta, naturalmente devida à
presença do plano de terra [2].
Microondas
17-10
Para o parâmetro 2R , tem-se
2 / , 0.1 / 10/ 5.8 0.03 /s
R w hw w hR w h h w= ≤ <
+ + (17.13)
Uma vez obtidos os parâmetros 0k , 0c
Z e 0α da linha de ar, as relações que
constam da Tabela 17.1 permitem calcular, na aproximação de baixa frequência, os
parâmetros da linha microstrip, desde que se conheça a expressão da constante
dieléctrica efectiva. O cálculo desta constante será abordado na subsecção seguinte.
17.3.3 Constante Dieléctrica Efectiva: Aproximação de Baixa Frequência
Para a linha microstrip tem-se uma capacidade C dada por 0efC Cε= . Esta
expressão sugere que o valor da constante dieléctrica efectiva pode ser obtido
calculando a capacidade C da linha. Tal como para a linha de ar, esta capacidade
pode ser calculada pelo método da transformação conforme (recorde-se, mais uma
vez, que se está a proceder ao cálculo dos parâmetros da linha na aproximação de
baixa frequência). A presença de dois dieléctricos torna o cálculo mais complicado,
não se obtendo, neste caso, um valor exacto. Em [1] é proposta uma expressão
aproximada
121 1 1 10
2 2r r
efhw
ε εε−⎛ ⎞+ − ⎟⎜= + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.14)
Note-se que
• É sempre ef rε ε< , o que é um resultado natural uma vez que, por definição, a
constante dieléctrica efectiva é uma média ponderada da constante dieléctrica
do substrato rε e da constante dieléctrica do ar;
• Quando /w h → ∞ , tem-se ef rε ε→ , o que é, também, um resultado natural
porque o sinal que se propaga na linha vai ficando cada vez mais concentrado
no dieléctrico.
Esta expressão foi modificada em trabalho posterior, nomeadamente para ter em
conta o efeito da espessura finita da linha. Em [2] é proposta a seguinte expressão
17. Linha Microstrip 17-11
( )121 1 1 12 ( , ) 0.217 1
2 2r r
ef r rh tF hw wh
ε εε ε ε−⎛ ⎞+ − ⎟⎜= + + + − −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.15)
em que
( )
2
0.02 1 1 1( , )
0 1
r
r
w wh hF h
wh
εε
⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− − <⎪ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪= ⎨⎪⎪ ≥⎪⎪⎪⎩
(17.16)
que iremos adoptar.
17.3.4 Constante Dieléctrica Efectiva: Modelo Dispersivo
Vai considerar-se, nesta subsecção, o efeito da frequência. Este efeito não pode ser
contabilizado de forma exacta, ou seja, não existe uma expressão analítica e fechada
para o descrever.
O estudo do comportamento dispersivo de uma linha microstrip tem sido objecto
de inúmeros trabalhos disponíveis na literatura, em que se apresentam expressões
aproximadas para a constante dieléctrica efectiva. Um dos trabalhos mas citados na
literatura, é o que se apresenta em [3].
Neste trabalho propõe-se para efε a seguinte expressão
02( )
1
r efef r
p
ffGf
ε εε ε
−= −
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
(17.17)
em que G é um parâmetro empírico e 0/(2 )p cf Z hμ= , sendo [ ]cZ Ω a impedância
característica à frequência zero. O parâmetro G pode ser obtido por uma expressão
que depende dos limites de frequência de operação da linha, do valor da impedância e
do material utilizado para o substrato. Em [4] apresentam-se resultados
experimentais para diferentes substratos e parâmetros da linhas. Por ajuste aos
resultados experimentais, é possível obter expressões para este parâmetro. Por
exemplo, para o caso em que a safira é usada como substrato, tem-se
Microondas
17-12
5 0.00460
cc
ZG Z−= + (17.18)
em que cZ é a impedância característica da linha, na aproximação de baixa
frequência, e que foi testada para 10 100cZ≤ ≤ e 2 18 GHzf≤ ≤ .
Como já se referiu, este assunto foi objecto de um número muito significativo de
trabalhos publicados na literatura. Iremos adoptar a expressão proposta em [5]
0( )1
r efmef r
a
fff
ε εε ε
−= − ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
(17.19)
em que
( )1.730.75 0.75 0.332
ba
r
ff wh
ε−=
+ − (17.20)
com
0
0 0
1 147.746 tan efb r
r ef r ef
fh
εε
ε ε ε ε−
⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ (17.21)
e 0 cm m m= . Se 0 2.32cm m > , deve fazer-se 2.32m = , se 0 2.324cm m < , toma-se
3
011 0.32 1
1
wm w hh
−⎛ ⎞⎟⎜= + + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ (17.22)
e
( )1.41 0.15 0.235 exp 0.45 / 0.71
1 0.7
a
c
wf fw hhm
wh
⎧⎪ ⎡ ⎤⎪ + − − ≤⎪ ⎣ ⎦⎪ +⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪ >⎪⎪⎪⎩
(17.23)
Note-se que, nestas fórmulas, a frequência está expressa em GHz e o valor de h em
mm. Estima-se que esta fórmula permita o cálculo da constante dieléctrica efectiva,
para 0.1 / 10w h< < e 1 128rε≤ ≤ , com uma precisão da ordem de 0.6% [2], o que a
torna mais versátil do que a expressão (17.17), proposta em [3].
Note-se que a expressão (17.19) mostra que, quando f →∞ , se tem ( )ef rfε ε→ e
que, quando 0f → , se tem 0
( )ef effε ε→ , como seria de esperar.
17. Linha Microstrip 17-13
17.3.5 Atenuação por Perdas no Dieléctrico
Até agora apenas se considerou a atenuação devida às perdas nos condutores.
Numa linha microstrip há que contabilizar, também, o efeito das perdas devidas ao
dieléctrico. A análise segue de perto o que foi considerado para o caso da stripline,
ainda que, agora, seja aproximada por se tratar de uma linha quasi-TEM.
Como se viu, para o caso de uma linha TEM, a constante de atenuação dα ,
devida às perdas no dieléctrico, é dada por
01 1tan2 2d k μα δ σ
ε= = (17.24)
em que k é a constante de propagação longitudinal na linha, tan δ a tangente do
ângulo de perdas do dieléctrico e σ a sua condutividade.
À semelhança do que foi feito para o cálculo dos restantes parâmetros
característicos da linha microstrip, a expressão anterior pode ser adaptada para esta
linha se os valores das constantes ε e σ forem substituídos por valores efectivos.
Tem-se, então, agora para o caso da linha microstrip e de forma aproximada
012d ef
ef
μα σε
≈ (17.25)
A condutividade efectiva da linha efσ é calculada pela expressão
0(1 )ef q qσ σ σ= + − (17.26)
em que 0σ é a condutividade do ar e q é o factor de preenchimento do dieléctrico
(“filling factor,” na literatura de língua inglesa), dado por
11
ef
r
qεε
−=
− (17.27)
A expressão (17.26) significa que a condutividade efectiva da linha é uma média
ponderada das condutividades do dieléctrico e do ar, sendo o factor de ponderação
Microondas
17-14
dado pelo parâmetro q . Este parâmetro surge quando se aplica o método das
transformações conformes à análise, em regime estático, de uma linha com os dois
dieléctricos (ver [6, Cap. 1]).
Uma vez que 0σ σ , toma-se
eq qσ σ≈ (17.28)
Usando as expressões anteriores, é possível reescrever a constante de atenuação na
forma
0
1 tan27.31
efrd
ef r
εε δαε ε λ
−=
− (17.29)
vindo o resultado já expresso em dB/m.
No caso de linhas impressas em substratos convencionais, em geral, dα é muito
inferior à constante de atenuação por perdas nos condutores cα . O mesmo já não
acontece, no caso de linhas impressas em substratos semicondutores (Si ou GaAs), em
que dα é, em geral, superior a cα .
17.4 – Linhas Acopladas
O problema de duas linhas que se influenciam mutuamente, já foi considerado no
capítulo anterior. No caso da microstrip, a situação de maior interesse é aquela em
que duas linhas estão dispostas paralelamente sobre o mesmo substrato, conforme se
representa na Fig. 17.8. Em geral, as duas linhas são iguais, mas nada impede que
sejam diferentes.
Tal como no caso da linha strip, também agora, para o caso de modos quasi-
TEM, se pode falar em modo par (ou modo comum) e modo ímpar (ou modo
diferencial). Na Fig. 17.9, representa-se, de forma esquemática, duas linhas acopladas
para estes dois tipo de excitação, bem como a distribuição das linhas de força do
campo eléctrico.
17. Linha Microstrip 17-15
Fig. 17.8 Linhas microstrip acopladas.
(a) (b)
Fig. 17.9 Linhas de força do campo eléctrico em linhas microstrip acopladas:
a) Modo par; b) Modo ímpar.
Ao contrário do caso TEM, em que as velocidades de fase pv e iv ,
respectivamente dos modos par e ímpar, são iguais, neste caso, as velocidades são
diferentes, o que decorre do facto da propagação se realizar, agora, em dois meios
distintos. Como no caso do modo par, o campo eléctrico está mais confinado ao
dieléctrico, tem-se
p ief efε ε> (17.30)
e, portanto, também
p iv v< (17.31)
L
h
t
w ws
+1 +1 - 1 +1
Microondas
17-16
No que se refere às capacidades pC e iC dos dois modos, par e ímpar, os
respectivos valores também são diferentes: no caso par, tem que se considerar a
capacidade 1C (ver Fig. 17.10) entre a linha e o plano de terra, ou seja, 1pC C= ; no
caso ímpar, para além da capacidade entre a linha e o plano de terra, com o mesmo
valor que no caso par, há que adicionar a capacidade 2C , entre as duas linhas, ou
seja, 1 22iC C C= + .
(a) (b)
Fig. 17.10 Capacidades C1 e C2 em linhas microstrip acopladas: a) modo par; b) modo
ímpar.
Tem-se, portanto,
p iC C< (17.32)
De (17.31) e (17.32) decorre que
p iZ Z> (17.33)
O cálculo destas impedâncias pode ser, apenas, realizado de forma aproximada,
utilizando métodos numéricos. Na Fig. 17.11 apresenta-se, a título de exemplo, um
conjunto de valores para impedâncias características, nos modos par e ímpar, de
microstrips impressas em substrato com 9.6rε = , em função da relação /w h . O
parâmetro associado a cada curva é /s h , em que s é a separação entre as duas
linhas. Como seria de esperar, a variação da impedância característica com o valor de
/s h é oposta para os dois modos: no caso em que /s h → ∞ , os caso par e ímpar
conduzem ao mesmo valor que, naturalmente, é o que se obtém para uma linha
isolada.
C1 C1
2C2 2C2
C1 C1
17. Linha Microstrip 17-17
(a) (b)
Fig. 17.11 Impedâncias características do modo par e do modo ímpar para duas linhas
acopladas, em função de /w h [6].
Na Fig. 17.12 representa-se, para o mesmo caso, a constante dieléctrica efectiva
para os dois modos, par e ímpar. Este exemplo confirma o resultado (17.31), sendo
aplicável o mesmo comentário apresentado para as impedâncias, no que respeita ao
efeito do parâmetro /s h .
Finalmente, a Fig. 17.13 e a Fig. 17.14 ilustram o efeito da dispersão (a grandeza
representada em abcissa, em ambas as figuras, é proporcional à frequência) nos
valores das impedâncias características e das constantes dieléctricas efectivas dos
modos par e ímpar. Em particular, a Fig. 17.14 evidencia um efeito mais pronunciado
no caso do modo ímpar, um resultado natural uma vez que, neste modo, a
propagação está menos confinada a um único meio.
Microondas
17-18
Fig. 17.12 Constante dieléctrica efectiva dos modos par e ímpar, para duas linhas
acopladas, em função de /w h [6].
Fig. 17.13 Efeito da dispersão na impedância característica dos modos par e ímpar de
duas linhas acopladas [6].
17. Linha Microstrip 17-19
Fig. 17.14 Efeito da dispersão nas constantes dieléctricas efectivas dos modos par e
ímpar de duas linhas acopladas [6].
17.5 – Componentes em Linha Microstrip
Os circuitos em linha impressa utilizam componentes passivos com características
e funções idênticas aos componentes em guia de ondas estudados em capítulos
anteriores. Como exemplo, vão ser analisados dois tipos de acopladores: o rat-race e o
híbrido quadrado.
17.5.1 Rat-race
Trata-se de um dispositivo com quatro acessos, que se representa
esquematicamente na Fig. 17.13.
Microondas
17-20
Fig. 17.15 Representação esquemática de um acoplador do tipo rat-race.
Trata-se de um dispositivo recíproco ( ij jis s= ), de quatro acessos, com um
elevado grau de simetria. Na análise muito sumária deste dispositivo, vai admitir-se
que não tem perdas.
A simetria da junção (relativamente ao plano assinalado a tracejado na Fig.
17.15), justifica as seguintes relações:
11 33s s= (17.34)
22 44s s= (17.35)
14 23s s= (17.36)
Por outro lado, uma vez que a ligação entre o acesso (1) e os acessos (3) e (4) é
realizada através de dois percursos idênticos, tem-se
14 13s s= (17.37)
Tendo em conta as distâncias entre acessos
12 0s = (17.38)
34 0s = (17.39)
dado que a ligação entre os dois acessos (1) e (2) ou (3) e (4) é realizada através de
dois percursos que diferem de /2λ .
(4)
(3) (1)
(2)
3λ/4
λ/4
λ/4
λ/4
17. Linha Microstrip 17-21
Das relações anteriores, admitido que a junção é completamente adaptada e
impondo a condição de a matriz s ser unitária, obtém-se uma matriz que é idêntica à
de um T-mágico.
Note-se que esta estrutura é muito sensível à frequência uma vez que as
distâncias entre acessos dependem da frequência através do comprimento de onda da
fase.
17.5.2 Híbrido Quadrado
O híbrido quadrado é um acoplador direccional de quatro acessos, em linha
impressa, cuja superfície condutora superior se representa na Fig. 17.16.
Fig. 17.16 Superfície condutora superior de um híbrido quadrado.
Na Fig. 19,21 representa-se, agora de forma esquemática, o mesmo dispositivo,
onde se assinalam as respectivas admitâncias características e dimensões.
Fig. 17.17 Representação esquemática de um híbrido quadrado.
(1)
(4) (3)
(2)
YA
YA
YB YB
Y0 Y0
Y0 Y0
l1 l2
(1)
(3) (4)
(2)
Microondas
17-22
Considere-se agora, por exemplo, uma excitação aplicada no acesso (1), conforme
se representa na Fig. 17.18.
Fig. 17.18 Excitação do híbrido quadrado pelo acesso (1).
A excitação correspondente à Fig. 17.18 pode ser descrita através de
1
2 3 4 0
a a
a a a
=⎧⎪⎪⎪⎨⎪ = = =⎪⎪⎩ (17.40)
A análise directa deste problema não é fácil. Para simplificar, consideram-se,
separadamente, duas formas de excitação, par e ímpar (ver Fig. 17.19), aplicando-se,
posteriormente, o princípio da sobreposição, uma vez que se trata de um sistema
linear.
(a) (b)
Fig. 17.19 Modo par (a) e modo ímpar (b) na excitação do híbrido quadrado.
(1)
(3) (4)
(2)
1
1 1
a
a/2
a/2 1
1 (3) (4)
(2) (1)
(4)
-a/2
a/2 1
1 (3)
(2) (1)
17. Linha Microstrip 17-23
A excitação par ou simétrica é descrita através de
1 3
2 4
2
0
p p
p p
aa a
a a
⎧⎪ = =⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = =⎪⎪⎩
(17.41)
enquanto que, para a excitação ímpar, ou anti-simétrica, se tem
1 3
2 4
2
0
i i
i i
aa a
a a
⎧⎪ = − =⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = =⎪⎪⎩
(17.42)
É fácil verificar que o plano de simetria indicado na Fig. 17.19-a) é um plano de
circuito aberto, isto é um plano magnético, enquanto que o plano assinalado na Fig.
17.19-b) é um plano de curto-circuito, ou seja, um, plano eléctrico. Desta forma basta
apenas analisar, para cada modo, metade de cada circuito (Fig. 17.20). Com efeito,
este dispositivo pode ser encarado como duas linhas impressas acopladas. A linha (1)-
(2) que se encontra ligada à linha (3)-(4) através de dois troços de admitância
característica BY .
(a) (b)
Fig. 17.20 Esquema simplificado do modo par (a) e do modo ímpar (b) na excitação
do híbrido quadrado.
A junção da Fig. 17.20-a) pode ser descrita pela seguinte matriz de dispersão
a/2 1
(2) (1) a/2
1
(2) (1)
plano de circuito aberto plano de curto-circuito
Microondas
17-24
11 12
12 11
p p
p
p p
s s
s s
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
s (17.43)
em que se aplicou as propriedade de reciprocidade e simetria geométrica. Da mesma
forma, a junção da Fig. 17.20-b) pode ser descrita pela seguinte matriz de dispersão
11 12
12 11
i i
i
i i
s s
s s
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
s (17.44)
Aplicando, agora, o principio da sobreposição, ter-se-á
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
p i
p i
p i
p i
b b b
b b b
b b b
b b b
⎧ = +⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎩
(17.44)
ou ainda
1 11 11
2 12 12
3 11 11
4 12 12
( )2
( )2
( )2
( )2
p i
p i
p i
p i
ab s s
ab s s
ab s s
ab s s
⎧⎪ = +⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩
(17.45)
atendendo a (17.41) e (17.42). Assim, virá finalmente
11 11 11
12 12 12
13 11 11
14 12 12
1 ( )21 ( )21 ( )21 ( )2
p i
p i
p i
p i
s s s
s s s
s s s
s s s
⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩
(17.46)
17. Linha Microstrip 17-25
Por outro lado, dadas as simetrias geométricas da estrutura, ter-se-á
11 22 33 44
12 34
13 24
14 23
s s s ss ss ss s
= = =⎧⎪⎪⎪ =⎪⎪⎨ =⎪⎪⎪⎪ =⎪⎩
(17.47)
Em conclusão, os elementos da matriz s do híbrido quadrado podem ser
simplesmente calculados a partir dos elementos das matrizes ps e is . Doravante, e
sem perda de generalidade, vai admitir-se que 1 2 4l l λ= = .
Os dois circuitos que se apresentam na Fig. 17.20, podem ser representados
esquematicamente através de um único circuito equivalente, em linha de transmissão
(ver Fig. 17.21), em que a admitância Y dependerá do tipo de modo e será calculada
adiante.
Fig. 17.21 Esquema equivalente, em linha de transmissão, dos circuitos da Fig. 17.20,
para o cálculo dos elementos da matriz de dispersão do modo par e ímpar.
Relativamente a este circuito, tem-se 2 0Y Y Y′ = + . Por outro lado,
2
12
AYY YY
′= +′ (17.48)
uma vez que o troço de linha de impedância característica AY pode ser visto como
um transformador de /4λ . Dado que d λ , será 1 1Y Y ′= , de onde resulta que
1 /4l λ=
0Y 0Y AY 0Y YY
d λ d λ
1Y ′ 1Y 2Y ′
2v 1v 2v ′ 1v ′
Microondas
17-26
2 2 2
0 1 011 1 2 2
0 1 0( )q A
A
Y Y Y Y YsY Y Y Y Y
− − −= Γ = =+ + +
(17.49)
com ,q i p= . Além disso, tem-se ainda que 21 2 1/qs v v= . Uma vez que d λ , será
2 221
1 2
11
q vs jv
′ ′+ Γ= −′ ′− Γ
(17.50)
tendo, de novo, em consideração que o troço de impedância AY se trata de um
transformador de /4λ . Uma vez que
22
2
A
A
Y YY Y
′−′Γ =′+ (17.51)
resulta, finalmente que
21q A
A
Ys jY Y
= −+
(17.52)
A impedância Y pode agora ser, facilmente, calculada atendendo à Fig. 17.22.
Fig. 17.22 Esquema equivalente da impedância Y da Fig. 17.21. Modo par: 0cY = ;
modo ímpar: cY =∞ .
Com efeito, uma vez que
2
2
tan( )tan( )
c BB
B c
Y jY klY YY jY kl+=+
(17.53)
e 2 /4kl π= , resulta
2 /8l λ=
BYcY
Y
17. Linha Microstrip 17-27
c BB
B c
Y jYY YY jY+=+
(17.54)
Finalmente, uma vez que 0cY = par o modo par e cY =∞ para o modo ímpar, vem
modo par
modo ímparB
B
jYY
jY
⎧⎪⎪= ⎨⎪−⎪⎩ (17.55)
Assim, qualquer que seja o modo, ter-se-á sempre 2 2BY Y= − , pelo que, de (17.49),
resulta sempre 11 11p is s= , ou seja, de (17.46) virá 13 0s = . Nesse caso, este tipo de
acoplador terá sempre uma directividade infinita.
Para que a estrutura se comporte como um acoplador direccional ideal, isto é,
completamente adaptado e com directividade infinita, deverá ainda ter-se 11 0s = em
(17.46), ou seja, 11 11 0p is s= = . Substituindo (17.55) em (17.49), resulta que deverá
ter-se
2 2 20A BY Y Y= + (17.56)
Finalmente, substituindo (17.52), com Y dado por (17.55), nas equações (17.46),
obtém-se
0
0
0
0
0 0
0 010 0
0 0
B
B
A B
B
jY Y
jY Y
Y Y jY
Y jY
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
s (17.57)
dada a reciprocidade da junção.
Em conclusão, a directividade do acoplador é infinita, sendo o seu coeficiente de
acoplamento dado por
1420 log 20 log B
A
YC sY
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.58)
Para um acoplador de 3 dB, deverá ter-se 2A BY Y= .
Note-se que, nesta análise, se utilizou a aproximação TEM, pelo que foi ignorado
o comportamento dispersivo da estrutura.
Microondas
17-28
Referências
[1] M. V. Schneider, “Microstrip lines for microwave integrated circuits,” BSTJ, Vol.
48, No. 5, pp. 1421-1444, May/June 1969.
[2] R. E. Collin, Foundations for Microwave Engineering, 2nd Edition. McGraw-Hill
International Editions, 1992.
[3] W. J. Getsinger, “Microstrip dispersion model,” IEEE Trans. Microwave Theory
Tech., Vol. MTT-21, pp. 34-39, Jan. 1973.
[4] T. C. Edwards and R. P. Owens, “2-18 GHz dispersion measurements on 10-100
Ω microstrip lines on sapphire,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Vol.
MTT-24, pp. 506-513, Aug. 1976.
[5] M. Kobayshi, “A dispersion formula satisfying recent requirements in microstrip
CAD,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech, Vol. MTT-36, pp. 1246-1250, ug.
1988.
[6] K. C. Gupta, R. Garg, and I. J. Bahl, Microstrip Lines and Slotlines. Artech
House, Dedham, 1979.
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