MATEMÁTICA VAULA 24:
HIPÉRBOLE
EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL
VOLUME 5
OSG.: 1035090/16
01. Temos o sistema:
y x x y I
x y II
= − → = +
− =
1
41 4 4
4 162 2
( )
( )
Substituindo (I) em (II), vem:( )4 4 4 163 8 0
0 4
8
3
20
3
2 2
2
y yy y
y xou
y x
+ − =+ =
= → =
= − → = −
Pontos de intersecção: (4, 0) e − −
20
3
8
3,
Resposta: D
02. Temos:4 32 8 52 04 32 8 524 8 8 524
2 2
2 2
2 2
x y x yx x y yx x y yx
− − + + =− − + = −− − − = −( ) ( )
( 22 2
2 2
2
8 16 8 16 52 64 164 4 4 4
4
1
− + − − + = − + −− − − = −
− − −
x y yx y
x y
) ( )( ) ( )
( ) ( 44
41
2) = −
Logo:( ) ( )y x
Hip rbole
− − − =4
4
4
11
2 2
é� ����� �����
Resposta: C
03. Temos:3 9 0
3 9
3 91
0
3
0
3
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
x y Hip rbole
x yx y
x y
− − = ( )− =
− =
− − − =
é
( )
( )
( )11
0 0Eixo real horizontal centro, ( , )=� ���� ����
a b c= = → =3 3 2 3,
Logo:
distância focal = F1F
2 = 2c = 4 3
Resposta: C
04. Temos:
Hip rbolex y
Eixo real horizontal
é :2 2
16 641− =
� �� ��
Para determinar as assíntotas, basta tomar:x y
y xy xouy x
Ass ntotas
2 2
2 216 64
42
2
=
==
= −
í
Resposta: E
OSG.: 103590/16
Resolução – Matemática V
05. Temos:
x2 – y2 = 1 (hipérbole)
( ) ( )
, ( , )
x y
Eixo real horizontal centro
− − − =
=
0
1
0
11
2
2
2
2
0 0� ���� �����
a b c= = → =1 1 2,
Lembrando que a excentricidade da hipérbole é dada pela razão c
a, concluímos:
excentricidade = c
a= 2
Resposta: C
06. Temos:
3 2 18 15 03 18 27 2 15 273 6 9 2 0 12
2 2
2 2
2 2
x y xx x yx x y
− − + =− + − = − +− + − − =( ) ( )
(( ) ( )
, ( , )
x y
Eixo real horizontal centro
− − − =
=
3
4
0
61
2 2
3 0� ���� ����
Resposta: B
07. Temos:
7 9 28 36 71 07 28 9 36 717 4 9 4 71
2 2
2 2
2 2
x y x yx x y yx x y y
− − + − =− − + =− − − =( ) ( )
77 4 4 9 4 4 71 28 367 2 9 2 63
2
9
2 2
2 2
2
( ) ( )( ) ( )
( ) (
x x y yx y
x
− + − − + = + −− − − =
− − yy
Hip rbole centro
− =
=
2
71
2
2 2
)
, ( , )é� ���� ����
Como o ponto (2, 2) está na reta y = x, a distância solicitada é zero.
Resposta: A
08. Temos:
x yx y x y
Eixo horizontalce
2 2
2 2 2
2
2
2
3 12
12 41
0
2 3
0
21
− =
− = → − − − =( )
( )
( )
nntro = ( , )0 0
� ���� ����
a b c= = → =2 3 2 4,
Logo:
i) eixo real = 2 4 3a ok= →ii) eixo imaginário = 2b = 4 → okiii) distância focal = 2c = 8 → ok
iv) excentricidade = c
a= =4
2 3
2 3
3
v) assíntotas → x y
x y ok2 2
12 43 3 0= → ± − = →
Resposta: D
OSG.: 103590/16
Resolução – Matemática V
09. Sistema (x e y tem o mesmo sinal)x y x yx y
⋅ = → ⋅ =+ =
12 14425
2 2
2 2
Então:t2 – 25t + 144 = 0, com raízes: x2 e y2
Resolvendo a equação em t, encontramos: t = 9 e t = 16
Podemos ter:
x e y eA C
2 29 16 3 4 3 4= = → − −Pontos: ( , ) ( , )� ��� ��
ou x e y eB D
2 216 9 4 3 4 3= = → − −Pontos: ( , ) ( , )� ��� ��
Grafi camente:y
A
B
C
D
x
Vejam m AB BC
m m ADAB BC
AD BC
que:� ��� � ���
� ��� � ���
� ��� � ��⋅ = − → ⊥= →
1�� ����� ��BC
Resposta: C
10. Hipérbole: x2 – 4x – 4y2 = 0Então:x x yx yx y
Eixo real hori
2 2
2 2
2 2
4 4 4 42 4 0 42
4
0
11
− + − =− − − =− − − =
( ) ( )( ) ( )
zzontal centro, ( , )= 2 0� ���� ����
Resposta: C
Raul: 11/04/16 – Rev.: AC10359016-pro-Aula 24 - Hipérbole
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