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Seis Sigma
Programa de certificación de Black Belts ASQ
8. Diseño de experimentos
De Taguchi, Mezclas y Diseño Central Compuesto
P. Reyes / Octubre 2003
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8A6. Diseño de Experimentosde Taguchi
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Diseño de experimentos de Taguchi
Sugiere tres pasos que son: a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias
De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son:
a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad.
b) Definir los niveles “optimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible.
c) Identificar factores que no afecten substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.
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DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Taguchi ha propuesto una alternativa no del tododiferente que se que conoce como Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales.
La herramienta son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar.
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Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes.Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal . Taguchi desarrolló una serie de arreglos particularesque denominó:
La (b)C
a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo. b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas.
Ejemplo : L4
F A C T O R E S (c)No. (a) A B C Resultado
1 1 1 1 Y12 1 2 2 Y23 2 1 1 Y34 2 2 1 Y4
1 , 2 = Niveles de los Factores (b) , Contrastes.
Experimento de 2 niveles y 3 factores por lo que se requieren 4 pruebas . En la matriz se pueden observar los contrastes de cada factor , formando las columnas de los factores ; (1) significa que el factor esta a su nivel bajo (-) y (2) a su nivel alto o de signo (+).
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Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles: La.
L4L8L12L16L32L64
Número de condiciones experimentales(renglones)lineas o pruebas.
Número de factores o efectos maximoque se pueden analizar y número de columnas
4 812163264
3 711153163
Ejemplo: En un proceso de formación de paneles, una característica no deseada es la emisión de formaldehido en el producto final. Se cree que 5 factores pueden estar afectando la emisión, éstos son :
Factor Nivel I Nivel 2A Tipo de resina Tipo I Tipo IIB Concentración 5% 10%C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 segD Humedad 3% 5%E Presión 800 psi. 900 psi.
Descripción
Se desea analizar el efecto de cada factor y proponer las mejores condiciones de operación.En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 factores o efectos, a dos niveles cada
uno. Por lo tanto, se utilizará un arreglo ortogonal L8.
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Se ejecutarán por lo tanto 8 pruebas o condiciones experimentales, ¿ A qué columna especificamente se asignará cada factor?, en estos casos se pueden asignar a cualquier columna, aunque se recomienda que aquellos factores que en la practica sea más dificil de variar de nivel continuamente, sean los que se asigne a las primeras columnas.
El arreglo L8 y su descripción para este caso se muestra a continuación:
No. A B C D E e e Resina Concen. Tiempo Humedad Presión Yi1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.492 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.423 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.384 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.305 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.216 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.247 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.328 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28
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Observe que los factores Resina, concentración, tiempo, humedad y presión fueron asignados en orden a las columnas A, B, C, D, y E. En las columnas restantes, F y G no se asignó ningún factor y nos ser-virán para tener una estimación del error aleatorio. Esto se explica porque con ocho observaciones tenemos siete grados de libertad, como estamos interesados únicamente en cinco factores quedan dos grados de libertad para el error aleatorio. El análisis de variancia de los resultados es:
A1 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 1 = 0.49 + 0.42 + 0.38 + 0.30 = 1.59
A2 = Total de lecturas con el factor A a su nivel 2 = 0.21 + 0.24 + 0.32 + 0.28 = 1.59
SSA = Suma de cuadrados debido al factor A SSA = (A2 - A1)2 /8 = 0.3645 con 1 g.l
Similarmente :SSB = (B2 - B1)sq/8= 0.00080 con 1g.lSSC = (C2 -C1)sq/8 = 0.01805 con 1g.lSSD = (D2 -D1)sq/8= 0.00320 con 1g.lSSE = (E2 - E1)sq/8= 0.00245 con 1g.lSse1 = (F2 - F1)sq/8= 0.00080 con 1g.l, 1a. Columna de error FSse2 = (G2 -G1)sq/8= 0.00045 con 1g.l 2a. Columna de error G
Las sumas de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor se toman como asignaciones del error, en este caso SSF y SSG se consideran como error y se obtiene:
Sse = SSF + SSG = 0.00080 + 0.00045 = 0.00125 con 2g.l.
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La tabla ANOVA es :
Efecto SS G.L. V Fexp. % Contrib.A 0.03645 1 0.03645 58.32* 57.59B 0.0008 1 0.0008 1.28 0.28C 0.01805 1 0.01805 28.88** 28.01D 0.0032 1 0.0032 5.12 4.14E 0.00245 1 0.00245 3.92 2.93
Error 0.00125 2 0.000625 7.03
Total 0.0622 7 100
* significante al nivel 5% ya que F0.05 (1,2) = 18.51
** significante al nivel 10% ya que F0.10 (1,2) = 8.16Nota : No se incluye en esta tabla específicamente la suma de cuadrados del promedio o media. El error total es la suma de cuadrados total corregida por el factor de corrección.
Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio a fin de obtener una mejor estimación del error aleatorio, (con mayor número de grados de libertad).
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En éste caso, por ejemplo, la estimación de Sse es :Sse = SSB + SSD + SSE + Sse = 0.00080 + 0.00320 + 0.00245 + 0.00125 = 0.0077Con , 1 + 1 + 1 + 2 = 5 grados de libertad.Y (Ve) = (Sse) /5 = 0.0077 / 5 = 0.00154
Al nivel 5%, el valor crítico de tablas es F 0.05 (1,5) = 6.607877Las estimaciones que se obtienen de esta forma se suelen escribir entre paréntesis.Fc para el factor (A ) = 23.66 y Fc para el factor (C) = 11.72, comparando ambos contra Fcrítico = 6.6, continuan siendo significativos los factoresA y C
Los promedios de la emisión de Formaldehido para cada nivel son:
EfectoA A1avg. = A1/4 =0.3975 A2avg. = A2/4 =0.2625B B1avg =0.3400 B2avg =0.3200C C1avg =0.3775 C2avg =0.2825D D1avg =0.3500 D2avg =0.3100E E1avg =0.3475 E2avg =0.3125
Nivel 1 Nivel 2
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El promedio global es _Y = (0.3975+ 0.34+ 0.3775+ 0.35 + 0.3475+ 0.2625+ 0.32+ 0.31+0.3125)/ 10 = 0.33
Sí únicamente los factores A y C son significativos, estos factores deberán fijarse al nivel que minimice la emisión de Formaldehido, ésto es A2 y C2; resina tipo II y 15 segundos como tiempo de prensado. El resto de los factores se fijará a su nivel más económico, ya que no afectan la característica de calidad dentro del intervalo analizado
¿Cuál será el nivel esperado de emisión ?, el efecto de cada factor respecto al promedio general es: EF A = A2 - Y = 0.2665 - 0.33 = -0.06435EF C = C2 - Y= 0.2825 - 0.33 = -0.0475
Y el efecto estimado bajo las condiciones A2 y C2 es
EF A + EF C + Y = -0.0635 - 0.0475 + 0.33 = 0.219
Diseños de experimentos - Taguchi
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Si las lecturas no siguen un orden secuencial, o se toman en otra prueba bajo las mismas condiciones se le conoce como “Replica”. Taguchi considera dos tipos de error aleatorio con lecturas multiples:
Error Primario. (e1). Error que existe entre las diferentes condiciones de experimentación, aparte del efecto de los factores en si. Es decir lo que hace diferentes a las lecturas bajo diferentes condiciones de experimentación.
Error Secundario (e2). Aquel que hace diferentes las lecturas tomadas bajo una misma condición experimental. Cuando se toma una lectura no es posible evaluar el error secundario.
1 2 3
Lecturas
Diseños de Taguchi
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Ejemplo: Considere que el acabado superficial de un proceso de maquinado, medido en picos/plg. Se puede ver afectado por cinco factores que son:
Factor Nivel I Nivel 2A Tipo de lubricante Tipo I Tipo IIB Tipo de corte Continuo IntermitenteC Angulo de corte (en grados) 25° 35°D Velocidad de corte (r.p.m.) 100% 1200%E Avance (cm/min) 1 1.5
Descripción
Dado que se tienen 5 factores, se necesitan por lo menos 5 grados de libertad, se usará por lo tanto un arreglo ortogonal . Los factores se asignarán en orden, a las primeras cinco columnas .
TotalNo. A B C D E F G 1 2 3 Resultados
1 1 1 1 1 1 1 1 15 17 18 502 1 1 1 2 2 2 2 16 15 15 463 1 2 2 1 1 2 2 22 21 24 674 1 2 2 2 2 1 1 18 20 18 565 2 1 2 1 2 1 2 25 24 22 716 2 1 2 2 1 2 1 23 27 20 707 2 2 1 1 2 2 1 19 17 16 528 2 2 1 2 1 1 2 17 16 18 51
Total 463
Resultados
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La suma de cuadrados del total es:
SST = Yi2 - T2 / n
donde Yi2 es la suma de lecturas individuales al cuadrado.
n es el número de lecturas y T es el total de las Yi’s. Para este caso : 2 2 2 2 2 2 2
SST = 15 + 17 + 18 +…………..17 + 16 + 18 - 463/24
SST = 278.9584 con 24 - 1 grados de libertad.
El error secundario se calcula individualmente
Sse2 = Y12 + Y22+ Y32 - T2i / ni
Por ejemplo para el experimento i = 1 se tiene:
Sse2 = 15*15 + 17*17 + 18*18 - (15 + 17 + 18)2 / 3 = 4.6666
Y así se continua para cada uno de los restantes 7 experimentos obteniéndose la tabla de la página siguiente.
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1 4.66672 0.66673 4.66674 2.66675 4.66676 24.66677 4.66678 2.000
Condición SSe2
El error primario es localizado en las columnas F y G ¿por que?.SSe1 = SSeF + SSeG
SSe1 = 4.08334 con 2 grados de libertad
La suma de cuadrados de los factores se calcula de la misma manera que ya se conoce. SSA = (A2 -A1)2 / n y así sucesivamente para todas las columnas,SSA = 26.04167, SSB = 5.04167……...
Finalmente recordemos que suma de cuadrados del error primario, secundario, primario y de los efectos es igual a la suma de cuadrados total 278.9586.
Total SSe2 = 48.669
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Reglas de Análisis: 1.-Antes de la ANOVA el primer críterio es probar el error 1 e1 vs. el error 2 e2. Sí no resulta significante se adicionan y se obtiene una estimación del error aleatorio “e”, contra el que se prueban todos los demás factores.2.- Sí el error 1 es significativo, entonces todos los factores se prueban contra el. 3.- Realizar la ANOVA.
Prueba de e1 vs e2Fexp = e1/e2 = 4.08334/2 / 48.666/16Fexp para e1 = 0.6712 con 2 gL en el numerador y 16 en el denominador.
El F de tablas con (0.05, 2, 16) = 3.63; por lo tanto los errores se suman 4.08334 + 48.6667 = 52.7500
Efecto SS G.L. V Fexp.A 26.0417 1 26.0417 8.8863B 5.0417 1 5.0417 1.7204C 176.0417 1 176.0417 60.0711D 12.0417 1 12.0417 4.1090E 7.0417 1 7.0417 2.4028
Error 52.7500 18 2.93060
Total 278.9583 23.0000
La tabla ANOVA queda como:
Dado que F tablas con (0.05, 1, 18) = 4.41, sólo los efectos A y C son significantes al nivel del 5%. Sólo lubricante y ángulo de corte
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Nota: Sí las lecturas provienen de “Replicas”, no se puede diferenciar el error 1 y 2, por lo que se adicionan sin más tramites.
Regla del pulgar . Sí la Fc = Fexp. es menor a 2, no es significante.
Arreglos con Interacciones.
Al analizar una característica de calidad con n factores se tiene la posibilidad de que interactuen entre si y se afecten positiva o negativamente. En ese caso la interacción pasa a ocupar una columna en los arreglos ortogonales, como si fuera otro factor.Se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan las columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales.
Gráficas Lineales. Para ayudar en la asignación de factores en las columnas de un arreglo G. Taguchi diseñó las gráficas lineales cuyo objetivo es simplificar el diseño del experimento y evitar patrones indeseables de confusión.
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Columna 1 2 3 4 5 6 7Col (1) 3 2 5 4 7 6
Col (2) 1 6 7 4 5Col (3) 7 6* 5 4
Col (4) 1 2 3Col (5) 3 2
Col (6) 1Col (7)
1
3 5 . 7
2 6 4
2
3
51 4
6
7
A
B
C
Gráficas lineales para el arreglo ortogonal L8
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A La matriz triangular las columnas están remarcadas, las interacciones forman la parte interior del triangulo. Como ejemplo, sí asignamos el factor A en la columna 3 y el factor B en la columna 5, la interacción AxB aparecerá en la en la intersección de las columnas, el número 6.
B En esta gráfica se observa el arreglo de tres factores ( 1,2 y 4) y la interacción entre ellos líneas 3, 5 y 6.
C En esta gráfica se indican cuatro factores (puntos 1,2,4 y 7) y las interacciones en las lineas 3, 5 y 6.
1 2 3 4 5 6 7No. A B AXB D AxD AxC G
1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 2
El arreglo ortogonal es exactamente el mismo, en este caso un L8.
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Método Taguchi - Pasos Definir factores y niveles
Factores de control (que se controlarán – arreglo interno)
Factores de ruido (no se quieren o pueden controlar pero se controlan durante el experimento – arreglo externo)
Crear diseño de experimentos ortogonal de Taguchi
Analizar el diseño de experimentos de Taguchi
Predecir la respuesta con los niveles seleccionados
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Método Taguchi – Crear Diseño Usar Stat / DOE / Taguchi / Create Taguchi Design para
crear el diseño ortogonal de Taguchi 2 level Design, Number of factors (2 a 7) - 3
Designs L8
Factors (opcional para cambiar nombres de factores y niveles; Assign columns of the array as specified below)
Options Store designs in worksheet
Ingresar al menos dos columnas de respuestas
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A B C Resp1 Resp2
1 1 1 19.0 16.0
1 1 1 18.4 18.0
1 2 2 17.5 17.0
1 2 2 18.6 17.5
2 1 2 19.3 17.0
2 1 2 19.1 18.5
2 2 1 18.4 16.0
2 2 1 17.0 16.5
Arreglo
Interno
Arreglo Externo
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Método Taguchi – Analizar Diseño Usar Stat / DOE / Taguchi / Analize Taguchi Design para
analizar los resultados Response Data are in (al menos dos columnas de
respuestas) En Graphs seleccionar Signal to Noise Ratios, Means,
Estándar Deviations, Interaction Plots (pasar con >>) Display Interactions in Matrix o Separate Graph En Tables seleccionar Signal to Noise Ratios, Means,
Estándar Deviations En Options seleccionar Mayor es mejor, Nominal es
mejor o Menor es mejor para las relaciones Señal / Ruido, para que en estas gráficas S/N se seleccionen los niveles que maximicen la respuesta (para minimizar la variabilidad)
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Response Table for Signal to Noise Ratios
Larger is better
Level A B C
1 24.9490 25.1379 24.7692
2 24.9302 24.7412 25.1099
Delta 0.0188 0.3967 0.3408
Rank 3 1 2
Response Table for Means
Level A B C
1 17.750 18.1625 17.4125
2 17.725 17.3125 18.0625
Delta 0.025 0.8500 0.6500
Rank 3 1 2
Response Table for Standard Deviations
Level A B C
1 0.98789 1.17022 1.16700
2 1.03722 0.85489 0.85810
Delta 0.04933 0.31533 0.30890
Rank 3 1 2
25
CBA25.15
25.05
24.95
24.85
24.75
S/N
Rat
io
Main Effects Plot for S/N Ratios
CBA18.2
18.0
17.8
17.6
17.4
Mea
n
Main Effects Plot for Means
CBA1.17
1.09
1.01
0.93
0.85
StD
ev
Main Effects Plot for Standard Deviations
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Método Taguchi – Predicción de respuestas Usar Stat / DOE / Taguchi / Predict Taguchi Results para
predecir las respuestas en base a niveles de factores seleccionados como óptimos
Seleccionar Signal to Noise Ratios, Means, Estándar Deviations
En Terms pasar todos los términos con >>
En Levels seleccionar Uncoded units (valores reales) o Coded units (1 y 2) y Select levels from a list (niveles usados
OK, se mostrarán las respuestas estimadas por concepto
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Diseños de experimentos con Mezclas
Las proporciones de los componentes debe sumar la unidad
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8A8. Diseños de mezclas Los factores independientes son proporciones
de diferentes componentes de una mezcla
Cuando las proporciones tienen la restricción de sumar la unidad se pueden utilizar modelos de estructura Simplex o Simplex con centroide
Cuando además algunos componentes tienen la restricción adicional de tener un valor máximo o mínimo los modelos a utilizar son los de Vértices extremos
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8A8. Diseños de mezclas Un diseño de estructura Simplex para q
componentes cuya proporción puede tomar los niveles m+1 igualmente espaciados entre 0 y 1
Xi = 0, 1/m, 2/m, ...., 1 para i = 1, 2, ..., q
Para una mezcla de q = 3 componentes donde el número de niveles igualmente espaciados para cada componente es m + 1 = 4 (X1 = 0, 0.333, 0.666, 1)
Las mezclas posibles con los 3 componentes es:
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Aumento de puntosMinitab augments (or adds points to) the design using the axial points shown below. Each added point is half way
between a vertex and the center of the design.
( (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q )
( 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, 1/2q, …, 1/2q ) ( 1/2q, 1/2q, 1/2q, (q+1)/2q, 1/2q, …, 1/2q )
. . . . . . . . . . . . . .
( 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, 1/2q, …, (q+1)/2q )
By augmenting a design, you can get a better picture of what happens on the interior of the design, instead of just
relying on points on the edges.
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8A8. Diseños de mezclas X1 X2 X3 Rendimiento
0 0 10 0.333 0.6670 0.667 0.3330 1 00.333 0 0.6670.333 0.333 0.3330.333 0.667 00.667 0 0.3330.667 0.333 01 0 0
X2
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8A8. Diseños de mezclas Las ecuaciones de la restricción y del modelo
lineal son:
1 2 3
1
( 1)!
!( 1)!
1
( )q
i ii
q mPuntos
m q
X X X
E Y X
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8A8. Diseños de mezclas Ejemplo: Se tienen 3 componentes y m=2 niveles,
X1=polietileno, X2=Poliestireno, X3=polipropileno mezclados para formar fibras, de las cuales se mide la elongación en dos réplicas
X1 X2 X3 Rendimiento0 0 1 16.8, 160 0 0.5 10.0, 9.7, 11.80 1 0 8.8, 10.00.5 0 0.5 17.7, 16.4, 16.60.5 0.5 0 15.0, 14.8, 16.11 0 0 11.0, 12.4
X2
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Corrida con Minitab
Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex lattice > Designs
Generates settings for the components in an experiment with a simplex lattice design. You can
· choose the degree of a simplex lattice design
· add a center point or axial points to the interior of the design (added by default)
· replicate the design
Dialog box items
Degree of lattice: Choose a degree for your design from the drop-down list. Augument the design with center points: Check to add a center point to the design.
Augument the design with axial points: Check to add axial points to design. See Placement of axial points in augmented designs.
Replicate Design Points:
Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates.
Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design enter the number of replicates for each point type.
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Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design > choose Simplex centroid > Designs
Generates settings for the components in an experiment with a simplex centroid design. You can
· add axial points to the interior of the design (by default, Minitab adds )
· replicate the design
Dialog box items
Augment the design with axial points: Check to augment (or adds points to) the base design. See Placement of axial points in augmented designs.
Replicate Design Points
Number of replicates for the whole design: Choose to replicate the whole design, then choose a number of to 50 for the number of replicates.
Number of replicates for the selected types of points: Choose to replicate only certain types of design points from the base design. Then, under Number, enter the number of replicates for each point type.
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Corrida en Minitab para el ejemplo Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design Simplex Lattice No of components 3 En Designs:
Degree of Lattice 2 No augment design with center points or axial
points No of replicates of the selected type of points
1 Vertex 2 2 Double Blend 3
En Options quitar Randomize runs OK
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Corrida en Minitab para el ejemplo
Introducir las respuestas de la elongación de la fibra en función de la mezcla de los 3 componentes X1, X2 y X3
A B C Elongación
1.0 0.0 0.0 11.0
0.5 0.5 0.0 15.0
0.5 0.0 0.5 17.7
0.0 1.0 0.0 8.8
0.0 0.5 0.5 10.0
0.0 0.0 1.0 16.0
1.0 0.0 0.0 12.4
0.0 1.0 0.0 10.0
0.0 0.0 1.0 16.8
0.5 0.5 0.0 14.8
0.5 0.5 0.0 16.1
0.5 0.0 0.5 16.4
0.5 0.0 0.5 16.6
0.0 0.5 0.5 9.7
0.0 0.5 0.5 11.8
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Analizar resultados en Minitab Stat > DOE > Mixture > Simplex Design Plot
1.0
0.01.0
0.0
1.0
0.0
CB
A
Simplex Design Plot in Amounts
39
Analizar resultados con Minitab Stat > DOE > Mixture > Analyze mixture
design Responses – Elongation OK En Graphs Normal Plot – ver adecuación del
modelo
40
Regression for Mixtures: Elongación versus A, B, C
Estimated Regression Coefficients for Elongación (component proportions)
Term Coef SE Coef T P VIF
A 11.700 0.6037 * * 1.750
B 9.400 0.6037 * * 1.750
C 16.400 0.6037 * * 1.750 SINERGIA
A*B 19.000 2.6082 7.28 0.000 1.750 ANTAGONICO
A*C 11.400 2.6082 4.37 0.002 1.750
B*C -9.600 2.6082 -3.68 0.005 1.750
S = 0.85375 PRESS = 18.295
R-Sq = 95.14% R-Sq(pred) = 86.43% R-Sq(adj) = 92.43%
Analysis of Variance for Elongación (component proportions)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Regression 5 128.296 128.2960 25.6592 35.20 0.000
Linear 2 57.629 50.9200 25.4600 34.93 0.000
Quadratic 3 70.667 70.6669 23.5556 32.32 0.000
Residual Error 9 6.560 6.5600 0.7289
Total 14 134.856
41
8A8. Análisis del diseño Simplex
Minitab: Regression for Mixtures: Resp versus A, B, C
Est. Regression Coefficients for Resp (component proportions)
Y=11.7X1+9.4X2+16.4 X3 + 17.4X1X2 + 12X1X3 –12.2 X2X3
Term Coef SE Coef T P VIF
A 11.70 0.4941 * * 1.500
B 9.40 0.4941 * * 1.500
C 16.40 0.4941 * * 1.500
A*B 17.40 2.4207 7.19 0.000 1.500
A*C 12.00 2.4207 4.96 0.003 1.500
B*C -12.20 2.4207 -5.04 0.002 1.500
S = 0.69881 PRESS = 11.720
R-Sq = 97.44% R-Sq(pred) = 89.78% R-Sq(adj) = 95.31%
42
8A8. Análisis del diseño Simplex Como b3 > b1 > b2 se concluye que el
componente 3 produce la mayor elongación
Como b12 y b13 son positivos la mezcla de componentes 1 y 2 así como 2 y 3 aumenta la elongación
Como b23 es negativo la mezcla de los componentes 2 y 3 tiene efectos antagónicos en la mezcla
43
Análisis con Minitab – Trace Plot
Stat > DOE > Mixture > Response Trace Plot
A response trace plot (also called a component effects plot) shows the effect of each component on the response. Several response traces, which are a series of predictions from the fitted model, are plotted along a component direction. The trace curves show the effect of changing the corresponding component along an imaginary line (direction) connecting the reference blend to the vertex.
Each component in the mixture has a corresponding trace direction. The points along a trace direction of a component are connected thereby producing as many curves as there are components in the mixture.
Response trace plots are especially useful when there are more than three components in the mixture and the complete response surface cannot be visualized on a contour or surface plot. You can use the response trace plot to identify the most influential components and then use them for a contour or surface plot.
44
Análisis con Minitab – Trace Plot
Stat > DOE > Mixture > Response Trace Plot
Response -- Elongation
A B
C
0.50.0-0.5
17
16
15
14
13
12
11
10
9
deviation from reference blend in proportion
Fitt
ed E
lon
gac
i
Cox Response Trace Plot
45
Análisis con Minitab – Gráfica de contornos Stat > DOE
> Mixture > Contour plot
Setup OK
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
10.011.2
12.4 13.6
14.8
16.017.2
A
B C
Mixture Contour Plot of Elongaci
46
Análisis con Minitab – Contornos restringidos
Stat > DOE > Mixture > Overlaid Contour plot
Response --Elongation
Contours Low Limit 12
High Limit 14 OK 0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0
A
B C
Contour Plot of Elongación
Elongación 1214
Lower BoundUpper Bound
feasible regionWhite area:
47
Análisis con Minitab - Optimización Stat > DOE > Mixture > Response optimizer Indicar en Response – Elongation
En Setup indicar los valores de la respuesta óptima: Lower 10 Target 15 Upper 20
En Options indicar los valores iniciales de las variables A = 0.3 B = 0.3 C = 0.4 La suma debe dar la Unidad OK
48
Salida del Optimizador Minitab
Hi
Lo1.0000D
Optimal
Cur
d = 1.0000
Targ: 15.0
Elongaci
y = 15.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0000[ ]:B [ ]:C[ ]:A
[0.30] [0.2692] [0.4308]
49
Ejemplo con Diseño centroide
Stat > DOE > Mixture > Create Mixture Design
Simplex Centroid 3 Components Augment Axial
Points No Replicates: 1 Vertex 2 2 Double Blend 1 0 Center points 2 -1 Axial point 1
OK OK
A B C Ymillas/galón
1.00000 0.00000 0.00000 24.5
0.00000 1.00000 0.00000 24.8
0.00000 0.00000 1.00000 22.7
0.50000 0.50000 0.00000 25.1
0.50000 0.00000 0.50000 24.3
0.00000 0.50000 0.50000 23.5
0.33333 0.33333 0.33333 24.8
0.66667 0.16667 0.16667 24.2
0.16667 0.66667 0.16667 23.9
0.16667 0.16667 0.66667 23.7
1.00000 0.00000 0.00000 25.1
0.00000 1.00000 0.00000 23.9
0.00000 0.00000 1.00000 23.6
0.33333 0.33333 0.33333 24.1
50
Simplex Design Plot
1.0
0.01.0
0.0
1.0
0.0
CB
A
Simplex Design Plot in Amounts
51
Ecuación de regresiónEstimated Regression Coefficients for Ymillas/ga (component proportions)
Term Coef SE Coef T P VIF
A 24.744 0.3225 * * 1.548
B 24.311 0.3225 * * 1.548
C 23.178 0.3225 * * 1.548
A*B 1.514 1.8168 0.83 0.429 1.718
A*C 1.114 1.8168 0.61 0.557 1.718
B*C -1.086 1.8168 -0.60 0.566 1.718
S = 0.46528 PRESS = 5.2730
R-Sq = 70.91% R-Sq(pred) = 11.44% R-Sq(adj) = 52.74%
52
Response Surface plot
A B
C
0.50.0-0.5
25
24
23
deviation from reference blend in proportion
Fitt
ed Y
mill
as/
Cox Response Trace Plot
53
Gráfica de contornos
1.0
0.01.0
0.0
1.0
0.0
23.40
23.65 23.90 24.15
24.40 24.65 24.90
CB
A
Mixture Contour Plot of Ymillas/
54
Salida del optimizador
Hi
Lo1.0000D
Optimal
Cur
d = 1.0000
Targ: 24.0
Ymillas/
y = 24.0
0.0
1.0
0.0
1.0
0.0
1.0[ ]:B [ ]:C[ ]:A
[0.30] [0.1738] [0.5262]
55
8B1. Diseños de superficie de respuesta
56
8B1. Superficie de respuesta Un modelo de primer orden es el siguiente:
Su gráfica de contornos son líneas rectas que nos permiten seguir experimentando en la trayectoria de ascenso rápido, perpendicular a los contornos
kk xxxy ...22110
57
9B1. Trayectoria de ascenso rápido
Orig.+8 8 3.36 75 173 70.4
Orig.+9 9 3.78 80 175 77.6
Orig.+10
10 4.20 85 177
Orig.+11
11 4.62 90 179 76.2
Orig.+12
12 5.04 95 181 75.1
80.3
58
8B1. Trayectoria de ascenso rápido
Respuesta
Pasos
59
8B2. Superficie de respuesta Si en la prueba de ANOVA el modelo presenta
curvatura significativa entonces el modelo a aplicar es:
k
jjiij
k
i
k
iiii
k
iii XXXXY
2
1
11
2
10
60
8B2. Diseño central compuesto
Puntos axiales en 1.414
Réplicas en (0,0) para el error puro
61
8B2. Diseño central compuesto
del Proceso codificadas Rendimiento
Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y2
1 80 170 -1 -1 76.5
2 80 180 -1 1 77.0
3 90 170 1 -1 78.0
4 90 180 1 1 79.5
5 85 175 0 0 79.9
6 85 175 0 0 80.3
7 85 175 0 0 80.0
89
8585 175
175
00
00
79.779.8
10111213
92.0777.93
8585
175175
182.07167.93
1.414-1.414
00
00
1.414-1.414
78.475.678.577.0
62
8B2. Diseño central compuesto
Estimated Regression Coefficients for Y Term Coef SE Coef T PConstant 79.940 0.11896 671.997 0.000A 0.995 0.09405 10.580 0.000 Si P<0.05 son signif.B 0.515 0.09405 5.478 0.001A*A -1.376 0.10085 -13.646 0.000B*B -1.001 0.10085 -9.928 0.000A*B 0.250 0.13300 1.880 0.102
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 5 28.2478 28.2478 5.64956 79.85 0.000 Linear 2 10.0430 10.0430 5.02148 70.97 0.000
Square 2 17.9548 17.9548 8.97741 126.88 0.000
63
8B2. Diseño central compuesto La ecuación de regresión de la superficie de
respuesta es:
Y = 79.94 + 0.995ª + 0.515B –1.376 A*A – 1.001 B*B + 0.25AB
Con las ecuaciones de la página siguiente el punto máximo óptimo queda en X1 = 0.389 y X2 = 0.306 Con una respuesta estimada Yest = 80.21
64
8B2. Diseño central compuesto
1
2
1
2
11 12 1
12 22 2
1
...
ˆ
ˆ 0.995
0.515...
ˆ
ˆ ˆ ˆ, / 2,..., / 2
ˆ ˆ ˆ 1.376,0.1250/ 2, ,.... / 2
0.1250, 1.001
ˆ. ,
01 1
2 2
k
k
k
k
kk
s
x
xx
x
b
matriz simetrica
x B b
B
0
.7345, 0.0917 0.995 0.389
0.0917, 1.006 0.515 0.306
1ˆˆ2s sy x b
65
8B2. Diseño central compuesto
75 76
77 78
79 80
10-1
1
0
-1
A
B
Contour Plot of Y
1.51.0
0.50.0
-1.5
73.5
B
74.5
-1.0
75.5
76.5
77.5
-0.5-0.5
78.5
79.5
80.5
0.0-1.0
0.5
Y
1.0-1.5
1.5A
Surface Plot of Y
Localización del punto óptimo
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