1
Portfoliomodelle
Faktormodelle
Jan WosnitzaStochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
2
Quelle: Wehn, C. S.: „Einführung in die finanzmathematische Messung von Kreditrisiken...“, Siegen 2006
VaR
dLf(L)p:RiskatValue
dLf(L)1:VerlsutsdessfunktionVerteilung
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
3
Stochastischer Prozess = Betrachtung von Zufallsvariablen im zeitlichen Verlauf
Irrfahrten = Einfache zeitdiskrete stochastische Prozesse zur idealisierten Modellierung von Kursen oder Bewegung physikalischer Teilchen
Ausgehend von einem Startwert X(t=0) werden die Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte t=1,2,… rekursiv nach einfachen Konstruktionsprinzipien erzeugt.
ii
2i
2
iii
xpxΕxxσ
xpxxΕErwartungswert und Varianz:
Credit Event = EreignissDefault = AusfallDowngrading = Bonitätsverschlechterung
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
4
Z(t) = Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte u („up“) und –d („down“) annehmen kann:
0du,und1,2,3,...tmit
p1dtZΡ
putZΡ
1,2,3,...tmitkZ0XtX
tZ1tXtXt
1k
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
5
http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsbewegung, 31.05.2008
6
Wiederholung:Wiederholung:
66
tσ0XσtXσ
tμ0XΕtXΕ222
Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer Trend:
Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse und der Linearität des Erwartungswertes gilt:
μ
kZΕ
t
1k
ddupt0XΕ
dp1upt0XΕ
kZΕ0XΕ
pdtZ
putZ
1
,...3,2,101
tmitkZXtXt
k
i
ii xpxx
Satz 1Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
7
Satz 2
Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt:
yσxσyx,σyxσ 22
yx,Varianz
22
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
10
Wiederholung:Wiederholung:
1010
1,2,3,...tmitkZ0XtXt
1k
2σ
22
t
1k
22
t
1k
22
t
1k
22
kZσt0Xσ
kZσ0Xσ
kZσ0Xσ
kZ0XσtXσ
Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Zuwächse:
yσxσyx,σ 22
yx,Varianz
2
Beweis 1Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
11
Wiederholung:Wiederholung:
1111
i
i2
i2 xpxΕxxσ
p1pdu
pp1p1pdu
p1ppp1du
p1duppdup1
p1dupp1dp1u
p1p1dupdpp1dupukZσ
2
2
222
22
22
222
p1dtZΡ
putZΡ
Beweis 1Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
12
Binomialprozesse sind zur Modellierung von positiven Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur bedingt geeignet, da auch negative Realisationen möglich sind, und die Größe der Zuwächse unabhängig vom momentanen Wert sind, was empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z.B. Aktienkurse
Geometrische Binomialprozesse sind durch eine multiplikative Rekursion definiert:
t
1kk0t1tt RXRXX
1d0
1u
und1,2,3,...tmit
p1dtZΡ
putZΡ
,...R,R,R:Zuwächserelative
0X:tAnfangswer
321
0
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
13
Wiederholung:Wiederholung:
1313
Aus der Linearität des Erwartungswertes und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt:
t
t
t
kk
t
kk
t
kkt
X
RX
RX
RX
RXX
0
10
10
10
10
ddupp1dpuRΕμ 1
Dabei gilt:
t
1kk0t1tt RXRXX
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
14
Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess (=Random Walk):
t
kZ
k
YY
t
t
kk
t
kk
t
kkt
t
kkt
kt
RXX
RXRXRXX
RXX
10
10
10
10
10
lnlnln
lnlnlnlnlnln
0
Für große t ist Yt approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz!) und somit Xt approximativ lognormalverteilt.
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
15
Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum Beispiel, wenn die Zuwächse weiterhin als unabhängig und identisch verteilt angenommen werden,
Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir normalverteilte Zuwächse annehemen:
2t σμ,N~Z
tσt,μN~tX0X 20
Wenn der Startwert X0 gleich Null ist, folgt:
Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für beliebig identisch verteilte Zuwächse:
1
21
2a
t
ZVarσ,ZΕμmit
tσt,μN~X
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
16
Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, besitzen die Markov-Eigenschaft:
tt1t0011tt1t xXbXaΡxX,xX,...,xXbXaΡ
Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und Vergangenheit (bedingt) unabhängig.
Insbesondere Irrfahrten der Form sind stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen. Geometrische Irrfahrten sind zwar keine Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft:
1RXXXZ t1t1ttt
tZ1tXtX
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
21
Ein stochastischer Prozess {X(t), t0} heißt geometrische Brownsche Bewegung, wenn gilt:
a) X(0)=1
b) Für 0<st sind die Zufallsvariablen X(t)/X(s) und X(s) unabhängig
c) Für 0<st sind die logarithmierten Quotienten der Zufallsvariablen normalverteilt:
d) Die Pfade sind stetig
ststNsX
tX
2,~ln
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
22
Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch Lösung der speziellen stochastischen Differentialgleichung der Form:
tWσt2
σexp0XtX
tXσtdW
tdX
tXμdt
tdX
tdWtXσdttXμtdX
2
?
Stochastische Prozesse
Einführung
Grundlegendebegriffe
Random Walk
Geometrische Irrfahrten
Allgemeine Irrfahrten
Markov-Eigenschaften
Wiener Prozess
Geometrisch Brownsche Bewegung
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
23
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_brownsche_Bewegung, 31.05.2008
24Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA
https://www.cortalconsors.de/euroWebDe/-, 31.05.2008
25
Bilanz
Aktiva Passiva
Vermögen = A
Eigenkapital = S
Fremdkapital = K
Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = AT:
GeberFKspruchZahlungsan
T
GeberEKspruchZahlungsan
T
TTT
AKKKA
AK0;MaxKKA0;MaxA
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
26
Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden:
a) ATK
• Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt
• Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre beträgt AT-K 0
b) AT<K
• Die Fremdkapitalgeber erhalten den Restwert des Unternehmens. D.h., dass die Schuld nicht vollständig getilgt werden kann. Ein Ausfall ist somit eingetreten
• Die Eigenkapitalgeber (Aktionäre) erhalten nichts, die Aktien sind wertlos
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
27
Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt.
Links: aus Sicht der Eigenkapitalgeber
Rechts: aus Sicht der Fremdkapitalgeber
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells Put- und Calloption
28
Annahmen im Modell von Black-Scholes:
a) Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu
b) Keine Dividenden
c) Zinssatz r bekannt und fest
d) Volatilität des Underlyings bekannt und fest
e) Keine Transaktionskosten
f) Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich
g) Beliebig kleine Stückelung des Underlyings
h) Leerverkauf des Underlyings möglich
i) Geldleihe
j) Lognormalverteilung des Aktienkurses
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
29
2
2
0
T
T
2
0
T
Tσ2
TμAA
ln
expσTπ2
1Af
TσT;μN~A
Aln
Lognormalverteilung des Aktienkurses
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
30
Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J. (2006): „Binomialmodell für Optionen“)
x
2
z
1
2
C0
2
C0
2Tr0
2
2
C0
2
C0
2Tr0
1
2Tr
100
0
c
0
dzeπ2
1xΦ
TσdTσ
T2
σr
KA
ln
Tσ
T2
σTr
KA
ln
Tσ
T2
σKeA
ln
d
Tσ
T2
σr
KA
ln
Tσ
T2
σTr
KA
ln
Tσ
T2
σKeA
ln
d
dΦKedΦAC
OptionderWertC
OptionderLaufzeitT
StrikeK
Zinsrrisikoloser
heuteAktienkursA
2
C
C
C
31
Satz 3
Erwartungswert der Lognormalverteilung:
2
2
r
2
2
σ2
μxlnexp
xσπ2
1xp
dxx
1rxpdrrp
dxdx
drrxpdrrp
dxx
1drxlnrex
σ2
μrexp
σπ2
1rp
Kurserteilterlognormalvx
Renditeeiltenormalvertr
2
σμexpxE
2
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
33
Eine besondere Rolle spielt die Standardnormalverteilung. Oftmals führt man normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der Regel ohne Informationsverlust möglich, da die Standardisierung lediglich eine lineare Transformation ist.
0,1N~Z
2
zexp
π2
1zf
σ
μXZ
σ2
μxexp
σπ2
1xfσμ,N~X
2
2
22
Zur Transformation der Log-Renditen in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable definieren wir Z durch:
0;1N~ZTσ
TμAA
ln0
T
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
34
Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer N(,2)-verteilten Zufallsvariable X durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ausdrücken:
σ
μxΦ
σ
μxZΡ
σ
μx
σ
μXΡxXΡXF
0,1N~Zσ
μXZ
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
35
Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gilt im Merton-Modell bei einem zur Zeit 0 noch nicht ausgefallenen Unternehmen:
221 ddPD
0
0,25
0,5
0,75
1
-3 -1 1 3
x
F(x
)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
-4 -2 0 2 4
x
f(x
)
Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt.Die Distance to Default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an. Dies ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell
xΦexistiertDeshalb
steigendmonotonstrengistxΦ1-
37
Satz 4
2
00
TT
0Tσ
TμK
Aln
yy
Tσ
TμK
Aln
yz
Tσ
TμA
Kln
K
TTT
dΦTσ
TμKA
lnΦ
Tσ
TμKA
lnΦ1KAΡ1KAΡ
:hkeitrscheinlicAusfallwah
Tσ
TμKA
lnΦdyydyydzzdAAfKAΡ
:lichkeitwahrscheinÜberlebens0
0
0
Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an
43
Satz 5
Der Barwert der Kreditrisikobehafteten Nullkuponanleihe PT=K-(K-AT)+ zum Zeitpunkt t[0;T] ist:
tTσ
tTσ21
rKA
ln
Tt,d:mit
Tt,dΦtTrexpKTt,dΦAP
A
2A
1it
i
21tt
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
44
Wiederholung:Wiederholung:
4444
Beweis 5
21t
1t2
1t2t
ii
dΦtTrexpKdΦA
dΦAdΦ1tTrexpK
dΦAdΦtTrexpKtTrexpKP
Tt,dd
Per Konstruktion ist Pt bei Fälligkeit die Differenz aus einem Zerobond mit Nominal K und einer Put-Option auf den Firmenwert mit Strike K. Dann ist Pt zur Zeit tT damit gleich der Differenz der Barwerte dieser Instrumente:
2Tr
100 dΦKedΦAC C
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
?
48
i.i.d.ddistributetindependenyidenticall0;1N~ε,...,ε,εY, m21
iiii
iii
ερ1YρR
cRΡp
m1,2,3,...,i
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
49
https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Blau: Bear Stearns Cos. Inc.
50
https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Grün: DAXBlau: Deutsche Bank
51
https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Grün: SMIBlau: Novartis
52
https://www.cortalconsors.de/, 31.05.2008
Grün: Dow Jones Industrial AverageBlau: General Electrics
53
Wiederholung:Wiederholung:
5353
1εVarρ1YVarρ
ερ1VarYρVarRVar
0εΕρ1YΕρ
ερ1ΕYρΕRΕ
1
ii
1
i
iiii
0
ii
0
i
iiii
Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten wir:
iiii ερ1YρR
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
55
Satz 6
Die Variable Ri ist als Linearkombination zweier unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls standardnormalverteilt:
2
z
2
y
2
x
2
2
2
eπ2
1zf
eπ2
1yf
eπ2
1xf
yxz
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
57
Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet unterhalb dessen ein vorgegebner Anteil p aller Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt definiert: Sei X eine Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, so heißt für p{0; 1} die durch unten angegebene Funktion definierte Funktion F-1 Quantilfunktion. F-1(p) wird als p-Quantil von F bezeichnet
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
58
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantil, 31.05.2008
59
Wiederholung:Wiederholung:
5959
Der Schwellenwert ci ist folglich ein Quantil der Standardnormalverteilung:
i1-
i
x
2
yx
2
x
pΦc
dyeπ2
1dyyxΦ
eπ2
1x
2
2
0,1N~Z
2
zexp
π2
1zf
σ
μXZ
σ2
μxexp
σπ2
1xfσμ,N~X
2
2
22
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
60
Satz 7
yVarxVar
yx,Covyx,Corr
yΕxΕyxΕ
yΕxΕyΕxxΕyyxΕ
yΕyxΕxΕyx,Cov
xΕxΕxVar 22
Die Korrelation der latenten Variablen zweier verschiedener Kreditnehmer ist:
jiji ρρR,RCorr
ji
Man spricht bei dieser Korrelation auch von Assetkorrelation zweier Kreditnehmer
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
62
Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell
iii cRΡp
Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine Realisierung Y=y des systematischen Faktors Y. Die Unabhängigkeit der Kreditausfälle – gegeben Y=y – legt nahe die bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten etwas näher zu betrachten:
iiiii
iD
cερ1YρD
yY11Ρ
i
ii
i
i
iii
iiii
iii
ρ1
yρcΦ
eiltnormalvertistε
yYρ1
YρcεΡ
yYcερ1YρΡ
yYcRΡyp
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
63
Wiederholung:Wiederholung:
6363
Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit über folgenden Zusammenhang ein:
i1
i pΦc
Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann ein, wenn am Evaluierungshorizont T die Ausfallereignisse für beide Kreditnehmer eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt also die Wahrscheinlichkeit für das simultane Ausfallereignis von der gemeinsamen Verteilung von Ri und Rj ab.
jiji ρρR,RCov
ji
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
66
Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso wie ihr eindimensionales Pendant eine stetige Verteilung, so dass eine Dichte existiert:
μXΣμX
2
1exp
ΣDetπ2
1Xf 1T
p
Für p=2 sprechen wir von einer bivarianten Normalverteilung:
2
2
22
2
22
1
11
2
1
1122
21
21 σ
μx
σ
μx
σ
μxρ2
σ
μx
ρ12
1exp
ρ1σσπ2
1x,xf
Für den Fall, dass X1 und X2 standardnormalverteilt sind, vereinfacht sich die Dichte der bivarianten Normalverteilung:
2221
2122
21
212 xxxρ2xρ12
1exp
ρ1σσπ2
1ρ,x,xΦ
67
http://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilung, 31.05.2008
68
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit:
jiji2
jjiiDD
ρρ,c,cΦ
cR,cRΡ11,11Ρji
Da ci und cj über ci=-1(pi) und cj=-1(pj) von den Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt auch die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von den Ausfallwahrscheinlichkeiten pi und pj ab. Als dritter Parameter geht in die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit die Assetkorrelation zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein. Eine analoge Gleichung kann für die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m Kreditnehmer im Portfolio (km) hergeleitet werden.
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
74
Wiederholung:Wiederholung:
7474
jjii
jijij1
i1
2
jjii
jijiji2
jjii
DDDD
DD
jiDD
jiji2
DD
DDDDDD
p1pp1p
ppρρ,pΦ,pΦΦ
p1pp1p
ppρρ,c,cΦ
p1pp1p
1Ε1Ε11Ε,11Corr
pp1Ε1Ε
ρρ,c,cΦ
11,11Ρ
11,11Ρ1011,11Ρ111Ε
jiji
ji
ji
ji
jijiji
Umrechnung von Assetkorrelationen ij in Ausfallkorrelationen Corr(1Di
,1Dj):
jiji2
jjiiDD
ρρ,c,cΦ
cR,cRΡ11,11Ρji
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
75
Wiederholung:Wiederholung:
7575
Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der latenten Variablen Ri in eine systematische Komponente (gegeben durch die Variable Y) und einen kreditnehmerspezifischen Effekt i. Man kann die (quadrierte) Schwankung der latenten Variablen eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen
1εVarρ1YVarρ
ερ1VarYρVarRVar
1
ii
1
i
spezifisch
ii
chsystematis
ii
iiii ερ1YρR
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Unternehmenswert
Black-Scholes-Modell
Lognormalverteilung
Standardnormalverteilung
Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit
Barwert einer Nullkuponanleihe
Einführung in das Einfaktormodell
Nebenrechnungen
Quantil
Assetkorrelation
Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit
Mehrdimensionaler Zufallsvektor
Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
Chauchy-Schwarz
Wertebereich Korrelationskoeffizient
Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation
Zerlegung der latenten Variablen
Anwendungen des Faktormodells
76
ii
iiii
m21
ερ1YρR
ερ1YρR
iidddistributetindependenyidenticall0,1N~ε,,ε,εY,
m1,2,3,...,i
Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern:
Wir nehmen also vereinfachend an, dass die Assetkorrelation für alle Kreditnehmer gleich ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass für alle Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) Li=1 und die Schwellenwerte gleich sind: ci=c. Mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle:
dyyyYnXΡnXΡ
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
77
Bei gegebenem treibendem Faktor Y=y ist die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle in dem Portfolio, wenn wir annehmen, dass pi=pj für alle i,j{1,2,…,m}
nmn yp1ypn
myYnXΡ
Hier ist auch die bedingte Unabhängigkeit der Ausfälle im Portfolio eingegangen (Unabhängig bis auf die Ausprägung von Y)
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
78
Die bedingte Aufallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Kreditnehmers ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Firma Ri unter den Schwellenwert c sinkt, unter der Bedingung, dass Y=y ist.
ρ1
yρcΦyY
ρ1
YρcεΡ
yYcερ1YρΡyYcTRΡyp
i
ii
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
79
ρ1
yρcΦyp
yp1ypn
myYnXΡ
dyyyYnXΡnXΡ
nmn
a
0n
nmn
nmn
dyyρ1
yρcΦ1
ρ1
yρcΦ
n
maXΡ
dyyρ1
yρcΦ1
ρ1
yρcΦ
n
mnXΡ
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
80
In einem Portfolio mit sehr vielen Kreditnehmern (m) liefert das Gesetz der großen Zahlen, wobei X jetzt die relative Häufigkeit der Ausfälle darstellt.
1yYypXΡ
yΦdzzdzz
dzzdyy
dyy1
dyyyYxypXΡdyyyYxXΡxXΡ
yzzy
y
zy
y
xyp
Somit kommen wir zu:
Wir haben y so gewählt, dass p(-y)=x und p(y)x für y>y
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
81
Wiederholung:Wiederholung:
8181
ρ
pΦxΦρ1y
ρ
cxΦρ1y
cxΦρ1yρ
yρcxΦρ1
ρ1
yρcxΦ
ρ1
yρcΦx
ρ1
yρcΦyp
pΦccΦp
11
1
1
1
1
1
ρ1
yρcΦyp
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
xy-p *
82
Wiederholung:Wiederholung:
8282
yΦxXΡ
ρ
pΦxΦρ1y
11
2111
11
xΦρ1pΦρ2
1xΦ
2
1exp
ρ
ρ1xF
xxf
ρ
pΦxΦρ1ΦxXΡxF
Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, erhalten wir für die Verlustfunktion, des realtiven Verlustes X
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
83
Die bisherigen Ergebnisse können auf mehrere treibende Faktoren Yj der Assetwerte der Kreditnehmer erweitert werden
Die Assetwerte (asset values) eines Kreditnehmers (einer Firma) werden duch einen Faktor Y von J möglichen treibenden Faktoren beeinflusst. Jeder treibende Faktor beeinflusst den Wert des Assets der n-ten Firma mit einem Gewicht n
j. n nennt man den Gewichtsvektor der n-ten Firma.
unabhängigsindε,...,ε,εY,
ω0,N~ε
Ω0,N~Y
εYβR
m21
2nn
Y
J
1jnj
jnn
Die n-te Firma ist genau dann ausgefallen, wenn der Firmenwert unter die kritische Schranke cn.
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
90
Eine weitere Verallgemeinerung des Modells erhalten wir, wenn wir Ratingklassen einführen, die es uns ermöglichen Veränderungen im Marktwert der Werte im Portfolio vor einem Ausfall zu modellieren.
Wir führen Ratingklassen-Übergänge ein, die beeinflusst werden durch Veränderungen der Vermögenswerte (asset values) Rn, wenn die Firmenwerte bestimmte Schwellenwerte ckl unterschreiten.
ckl ist der Schwellenwert für einen Übergang von Ratingklasse k zu Ratingklasse l.
Wenn sich das Rating des Obligors (Kreditnehmers) n von der Ratingklasse k zu l verändert, dann verliert der Kredit (die Anleihe) den Wert (Ln=Exposure=Höhe des Kredits) kl·Ln:
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
92
Von der bedingten Wahrscheinlichkeit der Ratingklassenübergänge und der dazugehörigen Wertveränderung der Anleihe kl, können wir den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz des Wertes der Anleihe des Kreditnehmers n angeben:
l
kln
2nkln
2n
l
klnklnn
ypyμπLyσ
ypπLyμ
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
94
Wir nehmen für die bedingte Verteiteilung (bedingt bezüglich einer Realsiation der Zufallsvariablen Y) des Portfoliowerts eine Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und Varianz an:
N
1n
2n
N
1nn
yσyσ
yμyμ
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute Approximation
95
Wiederholung:Wiederholung:
9595
yσ
yμxΦyYxXΡ
yσ
yμxyYxXΡ
Bei Verwendung dieser Approximation wird die bedingte Verteilung des Portfoliowertes eine Standard-normalverteilung
Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio Wertes ist:
yvonnenRealisatiomöglichenalleüberwirdIntegriert
dyΩyyσ
yμxΦxXΡ Y
Stochastische Prozesse
Vorbereitungen für das Faktormodell
Anwendungen des Faktormodells
Analytische Herleitung der Verlsutverteilung
Mehrfaktormodell
Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell
Beispiel
Ratingklassenübergänge
Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+
l
kln
2nkln
2n
l
klnklnn
ypyμπLyσ
ypπLyμ
101
VIELEN DANK
UND
VIEL ERFOLG!
Top Related