[ ] 1. grafički rad
10
dp =
16
a/3=155 a/2=230
b0 x t0
h0 x ?0
b3 x t3b2 x t2b1 x t1
1:3
l=29 ma=4 .6 mφ=2.5
ε s=0.30MB=50
1. Elementi spregnutog preseka
1.1.Čelični nosač
Vertikalni lim ≠ h0 ∙ δ0
h0=( 115
÷1
25 ) ∙l= 120
∙l= 120
∙29=1.45 m→ usvojeno :h0=1450 mm
δ 0=8+ l750
=8+ 2900750
=11.87 m m→usvojeno : δ0=12 mm
Gornji pojas ≠ b0 ∙ t0
b0=min 250 mm →usvojeno :b0=300 mm
t 0=min 10 ÷ 12mm→ usvojeno : t0=14 mm
Donji pojas ≠ b1 ∙t 1
b1=h0
4+100 mm=1450
4+100=462.50 mm → usvojeno :b1=470 mm
t 1=min 20 mm →usvajam : t 1=25 mm
≠ b2 ∙t 2→ ≠ 420 x20
Marko Milošević MRG 52/09 1
[ ] 1. grafički rad
≠ b3 ∙t 3 →≠ 370 x15
1.2.Armirano betonska ploča
d p=min 16 cm→ usvojeno :d p=16 cm
1.3.Moždanici
Prvo treba da izračunamo smičuće sile.
2. Merodavne veličine
2.1.Konstrukcioni čelik
Eč=210 GPa=2.1∙ 108 kN /cm2
νa=0.3
f a=7850 kg /m3
α t=1.2∙ 10−5
2.2.Beton
Eb=9.25 ∙ 3√MB+10=9.25∙ 3√50+10=36.21 GPa
νb=0.2
α t=1.2∙ 10−5
2.3.Efektivna širina betonskog preseka
bk bn bp
dph
v
155.00 230.00
be=bek+bn+bep≤ bstv
hv=10 cm
bk=a3−
b0
2−hv=
4603
−302
−10=128.33 cm≈ 130 cm
bn=b0+2 ∙ hv=30+2∙10=50 cm
Marko Milošević MRG 52/09 2
[ ] 1. grafički rad
b p=a2−
b0
2−hv=
4602
−302
−10=205 cm
βk=1
1+6.4 ∙( bk
l )2= 1
1+6.4 ∙( 1302900 )
2=0.987
β p=1
1+6.4 ∙( bp
l )2= 1
1+6.4 ∙( 2052900 )
2=0.969
bek=βk ∙bk=0.987 ∙ 130=128.31 cm
bep=β p ∙b p=0.969 ∙ 205=198.64 cm
be=128.31+50+198.64=376.95 cm
Za proračun uzimamo: bef=130+50+205=385 cm
3. Definisanje karakterističnih preseka
0
0
1
1
2
2
1
1
0
0
L/4=725
3L/8=1087.5
L/2=1450
presek "0" presek "1" presek "2"
?1450 x 12
?300 x 14
?470 x 25
?1450 x 12
?300 x 14
?470 x 25?420 x 20
?1450 x 12
?300 x 14
?470 x 25?420 x 20?370 x 15
Marko Milošević MRG 52/09 3
[ ] 1. grafički rad
4. Karakteristike preseka
4.1.Armirano betonska ploča
130.00 50.00 205.00
10
16
10
Y
X
16
30.00 30.00 185.0030.00110.00
385.00
y tež=385 ∙ 16 ∙ 8−110 ∙ 6
2∙ 14+2 ∙
30 ∙ 102
∙(16+ 103 )+30 ∙ 10 ∙(16+ 10
2 )385 ∙ 16−110 ∙ 6
2+2∙
30∙ 102
+30 ∙10=56760
6430=8.83cm
Ab=385 ∙16−110 ∙62
+2 ∙30 ∙10
2+30 ∙ 10=6430 cm2
I b=385 ∙163
12+385 ∙16 ∙ 0.832−110 ∙ 63
36−110 ∙ 6
2∙ 5.172+2 ∙( 30∙ 103
36+ 30 ∙ 10
2∙ 10.502)+ 30 ∙103
12+30 ∙10 ∙12.172=207 850.757 cm4
230
10 16
30 30 18530110
155
385
Tb
17.1
7 8.83
Za vreme t=0
uporednimodul elastičnosti : Ec=Ea→ νa=1.0
Ec=210GPa=2.1 ∙ 106 daN /cm2=2.1 ∙108 kN /cm2
Eb=9.25 ∙ 3√MB+10=9.25∙ 3√50+10=36.21 GPa=0.3621 ∙106daN /cm2=0.3621 ∙108kN /cm2
Koeficijent redukcije : νb=Eb
Ea
=0.3621∙106
2.1∙ 106 =0.172
Marko Milošević MRG 52/09 4
[ ] 1. grafički rad
Abr=νb ∙ Ab=0.172∙ 6430=1105.96 c m2
I br=νb ∙ I b=0.172 ∙207 850.757=35 750.33 cm4
Za vreme t=t n
φ=2.5
Ebφ=2
2+φ∙Eb=
22+2.5
∙ 36.21=16.09 GPa
νbφ=Ebφ
Ea
=16.09210
=0.077
Abrφ=νbφ ∙ Ab=0.077 ∙ 6430=495.11cm2
I brφ=νbφ ∙ I b=0.077 ∙207 850.757=16 004.51 cm4
Usvojen procenat armiranja : μ≈ 1 %→ Aa=1
100∙ Ab=
1100
∙ 6430=64.30 cm2
4.2.Čelični nosač
Presek „0”
Marko Milošević MRG 52/09 5
[ ] 1. grafički rad
Element Dimenzije A e A ∙ e e−e ' I a [cm4]
[mm] [mm] [cm2] [cm] [cm3] [cm] I as I ap
≠ b0 ∙ t0 300 14 45 17.87 750.54 89.97 6.86 339937.66
≠ h0 ∙ δ0 1450 12 174 91.07 15846.18 16.77 20.88 48907.05
≠ b1 ∙t 1 470 25 118 164.82 19366.35 56.98 61.20 381552.69∑ 334 107.84 35963.07 88.94 770397.40∑ 770486.34
Element A e A ∙ e e−e ' I a [cm4]
[cm2] [cm] [cm3] [cm] I as I ap
Armatura 64.30 0 0 90.43 0 525827.21Čelični nosač 334.00 107.84 35963.07 17.41 770486.34 101229.61
∑ 398.30 90.43 35963.07 770486.34 627056.81∑ 1397543.15
5. Idealni presek
Idealni presek, za vreme t=0
Ai 0=Aa+ Abr=398.30+1105.96=1504.26 cm2
yb=−∑ A ∙ c
Ai 0
=−35963.07
1504.26=−23.91 →T io
ya=c− yb=90.43−23.91=66.52 cm
I i 0=I a+ Aa ∙ ya2+ I br+ Abr ∙ yb
2
I i 0=1397543.15+398.30 ∙66.522+35750.33+1105.96 ∙ 23.912
I i 0=3827 999.46 cm4
Idealni presek, za vreme t=t n
Marko Milošević MRG 52/09 6
[ ] 1. grafički rad
Aiφ=Aa+ Abrφ=398.30+495.11=893.41 cm2
ηb=−∑ A ∙c
A iφ
=−35963.07
893.41=−40.25→ T iφ
ηa=c−ηb=90.43−40.25=50.18 cm
I iφ=I a+ Aa ∙ ηa2+ I brφ+Abrφ ∙ ηb
2
I iφ=1397543.15+398.30 ∙ 50.182+16004.51+495.11 ∙ 40.252
I iφ=3 218 589.11cm4
Presek „1”
Marko Milošević MRG 52/09 7
[ ] 1. grafički rad
Element Dimenzije A e A ∙ e e−e ' I a [cm4]
[mm] [mm] [cm2] [cm] [cm3] [cm] I as I ap
≠ b0 ∙ t0 300 14 45 17.87 750.54 89.97 6.86 339937.66
≠ h0 ∙ δ0 1450 12 174 91.07 15846.18 16.77 20.88 48907.05
≠ b1 ∙t 1 470 25 118 164.82 19366.35 56.98 61.20 381552.69
≠ b2 ∙t 2 420 20 84 167.07 14033.88 59.23 28.00 294735.05∑ 418 119.75 49996.95 116.94 1065132.45∑ 1065249.39
Element A e A ∙ e e−e ' I a [cm4]
[cm2] [cm] [cm3] [cm] I as I ap
Armatura 64.30 0 0 90.43 0 525827.21Čelični nosač 417.50 119.75 49996.95 29.32 1065249.39 358968.87
∑ 481.80 103.77 49996.95 1065249.39 884796.07∑ 1950045.46
Idealni presek, za vreme t=0
Ai 0=Aa+ Abr=481.80+1105.96=1587.76 cm2
yb=−∑ A ∙ c
Ai 0
=−49996.95
1587.76=−31.49 → T io
ya=c− yb=103.77−31.49=72.28 cm
I i 0=I a+ Aa ∙ ya2+ I br+ Abr ∙ yb
2
I i 0=1950045.46+481.80∙72.282+35750.33+1105.96 ∙31.492
Marko Milošević MRG 52/09 8
[ ] 1. grafički rad
I i 0=5599 603.10 cm4
Idealni presek, za vreme t=t n
Aiφ=Aa+ Abrφ=481.80+495.11=976.91 cm2
ηb=−∑ A ∙c
A iφ
=−49996.95
976.91=−51.18 → T iφ
ηa=c−ηb=103.77−51.18=52.59 cm
I iφ=I a+ Aa ∙ ηa2+ I brφ+Abrφ ∙ ηb
2
I iφ=1950045.46+481.80 ∙52.592+16004.51+495.11 ∙51.182
I iφ=4595 455.50 cm4
Presek „2”
Marko Milošević MRG 52/09 9
[ ] 1. grafički rad
Element Dimenzije A e A ∙ e e−e ' I a [cm4]
[mm] [mm] [cm2] [cm] [cm3] [cm] I as I ap
≠ b0 ∙ t0 300 14 45 17.87 750.54 89.97 6.86 339937.66
≠ h0 ∙ δ0 1450 12 174 91.07 15846.18 16.77 20.88 48907.05
≠ b1 ∙t 1 470 25 118 164.82 19366.35 56.98 61.20 381552.69
≠ b2 ∙t 2 420 20 84 167.07 14033.88 59.23 28.00 294735.05≠ b3 ∙t 3 370 15 56 168.82 9369.51 60.98 10.41 206411.97
∑ 473 125.51 59366.46 127.34 1271544.42∑ 1271671.76
Element A e A ∙ e e−e ' I a [cm4]
[cm2] [cm] [cm3] [cm] I as I ap
Armatura 64.30 0 0 90.43 0 525827.21Čelični nosač 473.00 125.51 59366.46 35.08 1271671.76 582068.72
∑ 537.30 110.49 59366.46 1271671.76 1107895.92∑ 2379567.69
Idealni presek, za vreme t=0
Ai 0=Aa+ Abr=537.30+1105.96=1643.26 cm2
Marko Milošević MRG 52/09 10
[ ] 1. grafički rad
yb=−∑ A ∙ c
Ai 0
=−59366.46
1643.26=−36.13 →T io
ya=c− yb=110.49−36.13=74.36 cm
I i 0=I a+ Aa ∙ ya2+ I br+ Abr ∙ yb
2
I i 0=2379567.69+537.30 ∙74.362+35750.33+1105.96 ∙ 36.132
I i 0=6829 964.43 cm4
Idealni presek, za vreme t=t n
Aiφ=Aa+ Abrφ=537.30+495.11=1 032.41 cm2
ηb=−∑ A ∙c
A iφ
=−59366.46
1032.41=−57.50 → T iφ
ηa=c−ηb=110.49−57.50=52.99 cm
I iφ=I a+ Aa ∙ ηa2+ I brφ+Abrφ ∙ ηb
2
I iφ=2379567.69+537.30 ∙ 52.992+16004.51+495.11 ∙ 57.502
I iφ=5 541 235.85 cm4
Presek „0“ „1“ „2“
1450 x 12
300 x 14
470 x 25
1450 x 12
300 x 14
470 x 25420 x 20
1450 x 12
300 x 14
470 x 25420 x 20370 x 15
Čeli
Nos Ač
[cm2]334 418 473
Marko Milošević MRG 52/09 11
[ ] 1. grafički rad
čni p
rese
k
ač
e '[cm ] 107.84 119.75 125.51
I č
[cm4]770 486.34 1 065 249.39 1 271 671.76
Nos
ač i
arm
atur
a Aa
[cm¿¿2]¿398.30 481.80 537.30
c[cm ] 90.43 103.77 110.49
I a
[cm4]1 397 543.15 1 950 045.46 2 379 567.69
Spre
gnuti
pre
sek
t=0
Ai 0
[cm¿¿2]¿1 504.26 1 587.76 1 643.26
− yb
[cm ]23.91 31.49 36.13
I i 0
[cm4]3 827 999.46 5 599 603.10 6 829 964.43
t=t n
Aiφ
[cm¿¿2]¿893.41 976.91 1 032.41
−ηb
[cm ]40.25 51.18 57.50
I iφ
[cm4]3 218 589.11 4 595 455.50 5 541 235.85
6. Proračun statičkih uticaja po fazama za statički sistem prosta greda
6.1.Proračun
Faza Ia – Montaža čeličnog nosača
Marko Milošević MRG 52/09 12
[ ] 1. grafički rad
RA RB
2900
Faza Ib – Betoniranje kolovozne ploče
Faza IIa – Spregnuti nosač prima uticaje sopstvene težineFaza IIb – Most opterećen pokretnim opterećenjemFaza IIIa – Spregnuti presek prima uticaje skupljanja betonaFaza IIIb – Spregnuti presek prima uticaje tečenja betonaFaza IIIc – Spregnuti presek prima uticaje različitog zagrevanja ploče i nosača
6.1.1. Faza I-a
Analiza opterećenja po jednom nosaču
Opis opterećenja A [cm2 ] γ [kN /m3 ] g1 [ kN /m' ]Čelični nosač 408.33 78.50 3.20
Kolovozna ploča 6430.00 25.00 16.08Oplata i skela 3.50
∑ q I=23.50 kN /m '
M q=2470.44 kNm
Marko Milošević MRG 52/09 13
[ ] 1. grafički rad
Ra=340.75 kN
6.1.2. Faza II-a
16
a/3=155 a/2=230
80.00 20.00 275.00
385.00
50.0
0
5.00
10.00
Analiza opterećenja po jednom nosaču
Opis opterećenja A [cm2 ] γ [kN /m3 ] g1 [ kN /m' ]Asfalt na kolovozu 1375.00 21.00 2.89Montažni AB venac 250.00 25.00 0.62
Beton ispune pešačke staze i instalacije 3.00Asfalt na pešačkoj stasi 160.00 21.00 0.34
Ograda 0.40Skela i oplata -3.50
∑ q I=3.75 kN /m '
Marko Milošević MRG 52/09 14
[ ] 1. grafički rad
M q=394.22 kNm
Ra=Rb=54.38 kN
6.1.3. Pokretno opterećenje
Marko Milošević MRG 52/09 15
[ ] 1. grafički rad
p =3 kN/m22
p =3 kN/m22
p =5 kN/m12 p =5 kN/m1
2
p =
50 k
N
p =
50 k
N
p =
50 k
N
1.50 1.50 1.50 1.50
2.00
3.00
6.00
p =50 kN p =50 kN p =50 kN
b 1b 1
p=3.00p=5.00
p=3.00
P=50.00
P=50.00
110.00 50.00 200.00 50.00 360.00
155.00 460.00 155.00
770.00
1.00
0.99
1.10
1.34 0.55
0.45
Ra
F1F2F3 -
0.34
Kd=1.4−0.008 ∙l=1.4−0.008 ∙29=1.168
P¿=P∙ (η1+η2 )∙ Kd=50 ∙ (0.99+0.55 ) ∙1.168=89.94 kN
p2¿=p2 ∙ ( F1+F2)=3 ∙( 1.34+1.10
2∙ 1.10+ 0.45
2∙2.05)=5.41 kN /m'
p1¿=p2
¿+ p1 ∙F3 ∙ Kd=5.41+5 ∙1.10+0.45
2∙3=17.04 kN /m'
Marko Milošević MRG 52/09 16
[ ] 1. grafički rad
p=17.04 p=17.04p=5.41
P=89.94
P=89.94
P=89.94
7.25
6.50
5.75
6.50
5.75
M (L/2)
F1 F2F3
11.50 1.50 1.50 1.50 1.50 11.50
29.00
M l /2p .o .=P¿ ∙ (η1+η2+η3 )+ p1
¿ ∙ ( F1+F2 )+ p2¿ ∙ F3=89.94 ∙ (7.25+6.50+6.50 )+17.04 ∙( 5.75
2∙11.50+ 5.75
2∙ 11.50)+5.41∙ 2 ∙
7.25+5.752
∙ 3=3159.04 kNm
p=17.04p=5.41
P=89.94
P=89.94
P=89.94
1.00
0.95
0.90
0.84
F1F2
Ta
1.50 1.50 1.50 24.50
29.00
T Ap .o .=P¿ ∙ (η1+η2+η3 )+ p1
¿ ∙F2+ p2¿ ∙ F1=89.94 ∙ (1.00+0.95+0.90 )+17.04 ∙
0.842
∙ 24.50+5.41∙1+0.84
2∙ 4.50=454.07 kN
p=17.04p=5.41
P=89.94
P=89.94
P=89.94
0.50
0.45
0.40
0.34
0.50
F1F2
T (l/2)
14.50 1.50 1.50 1.50 10.00
29.00
Marko Milošević MRG 52/09 17
[ ] 1. grafički rad
T l/2p .o .=P¿ ∙ (η1+η2+η3 )+ p1
¿ ∙F2+ p2¿ ∙ F1=89.94 ∙ (0.50+0.45+0.40 )+17.04 ∙
0.342
∙ 10+5.41∙0.50+0.34
2∙4.50=160.61 kN
6.2. Skupljanje betona
Ab=6430 cm2
O=1566.80 cm
dm=2 ∙ Ab
O= 2∙ 6430
1566.80=8.21
Relativna vlažnost sredine=90 %
ε s=0.30 ‰
t=t n
N sk=−Ebφ ∙ Ab ∙ εs=−1609 ∙ 6430 ∙0.0003=−3103.76 kN
M sk=N sk ∙ ηb=3103.76 ∙ 0.575=1784.662 kNm
6.3. Tečenje betona
ρ= φ2+φ
= 2.52+2.5
=0.56
M=M IIa=394.22 kNm
Nb 0=M IIa ∙Abr ∙ yb
Ii 0
=39422∙1105.96 ∙36.136829 964.43
=230.64 kN
Nφ=ρ ∙ Nb 0=0.56 ∙ 230.64=129.16 kN
M b 0=M b0 ∙I br
I i 0
=230.64 ∙35 750.33
6829 964.43=1.21 kNm
M φ=M +ρ ∙ ( M b 0+N b 0 ∙ ηb 0 )=394.22+0.56 ∙ (1.21+230.64 ∙0.5750 )=469.16 kNm
6.4. Temperaturna razlika
∆ t=10 °
ε t=αt ∙ ∆ t=1.2 ∙10−5 ∙ 10=1.2 ∙ 10−4
εt
εsk
=1.2∙10−4
1.5∙10−4 =0.80
N t=εt ∙ Ebφ ∙ Ab=1.2∙ 10−4 ∙1609 ∙6430=1241.50 kN
M t=N t ∙ ηb=± 1241.50 ∙0.5750=713.86 kNm
Marko Milošević MRG 52/09 18
[ ] 1. grafički rad
7. Proračun napona
7.1.Proračun napona u t=0
Faza I (nosač + ploča)
σ n=NAč
+ MIč
∙ y
N=0
M I=2470.44 kNm
σ nG= M
I č
∙ ynG= 247044
1271 671.76∙ (−108.34 )=−21.05 kN /cm2
σ nD=M
I č
∙ ynD= 247044
1271 671.76∙ 44.06=8.56 kN /cm2
Faza IIa (dodatno stalno opterećenje)
N=0
M IIa=394.22 kNm
σ bG=νb∙( N
Ai
+MI i
∙(− ybG))=0.172 ∙
394226829 964.43
∙ (−44.96 )=−0.045kN /cm2
σ bD=νb ∙( N
A i
+MIi
∙ (− ybG ))=0.172 ∙
394226829 964.43
∙ (−18.96 )=−0.019 kN /cm2
σ nG=νn∙( N
Ai
+MI i
∙ (− ybG))= 39422
6829964.43∙ (−18.96 )=−0.11kN /cm2
σ nD=νn ∙( N
A i
+MI i
∙ (+ ybG ))= 39422
6 829964.43∙ (+133.44 )=0.77kN /cm2
Faza IIb (pokretno opterećenje)
N=0
M IIb=3159.04 kNm
σ bG=νb ∙( N
Ai
+MI i
∙(− ybG ))=0.172 ∙
3159046 829 964.43
∙ (−44.96 )=−0.36 kN /cm2
σ bD=νb ∙( N
A i
+MIi
∙ (− ybG))=0.172 ∙
3159046829964.43
∙ (−18.96 )=−0.15kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 19
[ ] 1. grafički rad
σ nG=νn ∙( N
Ai
+MI i
∙ (− ybG ))= 315904
6 829 964.43∙ (−18.96 )=−0.88 kN /cm2
σ nD=νn ∙( N
A i
+MI i
∙ (+ ybG))= 315904
6 829964.43∙ (+133.44 )=6.17kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 20
[ ] 1. grafički rad
7.2.Proračun napona u t=t n
7.2.1. Uticaj skupljanja betona
M sk=1784.66 kNm N sk=−3103.76 kN
σ bG=νbφ ∙(N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙(−ηbG ))−(−ε sk )∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.76
1032.41+ 178466
5541235.85∙ (−66.33 ))− (−0.0003 ) ∙ 1609=−0.087 kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 21
[ ] 1. grafički rad
σ bD=νbφ ∙( N sk
Aiφ
+M sk
Iiφ
∙ (−ηbD ))−(−εsk )∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.76
1 032.41+ 178466
5541235.85∙ (−40.33 ))−0.0003 ∙ 1609=−0.81 kN /cm2
σ nG=
N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ (−ηnG )=−3103.76
1032.41+ 178466
5541 235.85∙ (−40.33 )=−4.30 kN /cm2
σ nD=
N sk
Aiφ
+M sk
I iφ
∙ ηnD =−3103.76
1032.41+ 178466
5541 235.85∙112.07=0.60 kN /cm2
7.2.2. Uticaj tečenja betona
M φ=469.16 kNm Nφ=−129.16 kN
σ bG=νbφ ∙( N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ (−ηbG ))−ρ ∙ σb 0
G =0.077 ∙(−129.161032.41
+ 469.165 541235.85
∙ (−66.33 ))−0.56 ∙ 0.045=−0.035 kN /cm2
σ bG=νbφ ∙( N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ (−ηbD ))− ρ∙ σ b0
D =0.077 ∙(−129.161032.41
+ 469.165 541 235.85
∙ (−40.33 ))−0.56 ∙0.019=−0.020 kN /cm2
σ nG=
N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ ηnG =−129.16
1032.41+ 469.16
5 541235.85∙ (−40.33 )=−0.13kN /cm2
σ nD=
N sk
Aiφ
+M sk
I iφ
∙ ηnG =−129.16
1032.41+ 469.16
5 541 235.85∙ 112.07=−0.12 kN /cm2
7.2.3. Uticaj temperaturne razlike
εt
εsk
=1.2∙10−4
1.5∙10−4 =0.80
σ bG=σ b
sk ∙εt
εsk
=−0.87 ∙ 0.80=−0.70kN /cm2
σ bD=σb
sk ∙εt
ε sk
=−0.81∙ 0.80=−0.65kN /cm2
σ nG=σ n
sk ∙εt
εsk
=−4.30 ∙ 0.80=−3.44kN /cm2
σ nD=σn
sk ∙εt
ε sk
=0.60∙0.80=0.48kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 22
RA RBRC
[ ] 1. grafički rad
8. Proračun spregnute konstrukcije sa privremenim osloncem u l /2
Faza Ia – Montaža čeličnog nosača
Marko Milošević MRG 52/09 23
RA RBRC
R'A R'BRC
R'A R'B
RC
[ ] 1. grafički rad
l /2=14.5 m l /2=14.5 m
Faza Ib – Betoniranje kolovozne ploče
l /2=14.5 m l /2=14.5 m
Faza IIa – Po očvršćavanju betona uklanja se privremeni oslonac a njegovu reakciju prima spregnuti nosač
l /2=14.5 m l /2=14.5 m
Faza IIb – Spregnuti nosač prima uticaje sopstvene težine druge faze (asfalt, ispuna, pešačke staze, AB venac, ograda)Faza IIc – Most je opterećen pokretnim opterećenjemFaza IIIa – Spregnuti presek prima uticaje skupljanja betonaFaza IIIb – Spregnuti presek prima uticaje tečenja betona
Marko Milošević MRG 52/09 24
[ ] 1. grafički rad
Faza IIIc – Spregnuti presek prima uticaje različitog zagrevanja kolovozne ploče i nosača
8.1.Statički uticaji po fazama
8.1.1. Faza I
Analiza opterećenja po jednom nosaču
Opis opterećenja A [cm2 ] γ [kN /m3 ] g1 [ kN /m' ]Čelični nosač 408.33 78.50 3.20
Kolovozna ploča 6430.00 25.00 16.08Oplata i skela 3.50
∑ q I=23.50 kN /m 'p=23.50
14.50 14.50
347.39
-617.61
347.39
-127.79
212.96
-212.96
127.79
M C=−q ∙( l
2 )2
8=−23.5 ∙14.52
8=−617.61 kNm
M max=347.39 kNm
RA=RB=0.375 ∙ q ∙l2=0.375 ∙ 23.50 ∙14.5=127.78 kN
RC=1.25∙ q ∙l2=1.25 ∙ 23.5 ∙14.5=425.94 kN
8.1.2. Faza IIa
Marko Milošević MRG 52/09 25
[ ] 1. grafički rad
P=425.94
29.00
3088.06
-212.97
212.97
M max=RC ∙ l
4= 425.94 ∙29
4=3 088.06 kNm
RA=RB=RC
2=425.94
2=212.97 kN
8.1.3. Faza IIb
9. Analiza opterećenja po jednom nosaču
Opis opterećenja A [cm2 ] γ [kN /m3 ] g1 [ kN /m' ]Asfalt na kolovozu 1375.00 21.00 2.89Montažni AB venac 250.00 25.00 0.62
Beton ispune pešačke staze i instalacije 3.00Asfalt na pešačkoj stasi 160.00 21.00 0.34
Ograda 0.40Skela i oplata -3.50
∑ q II=3.75 kN /m '
Marko Milošević MRG 52/09 26
[ ] 1. grafički rad
8.1.4. Faza IIc – Pokretno opterećenje
p =3 kN/m22
p =3 kN/m22
p =5 kN/m12 p =5 kN/m1
2
p =
50 k
N
p =
50 k
N
p =
50 k
N
1.50 1.50 1.50 1.50
2.00
3.00
6.00
p =50 kN p =50 kN p =50 kN
b 1b 1
p=3.00p=5.00
p=3.00
P=50.00
P=50.00
110.00 50.00 200.00 50.00 360.00
155.00 460.00 155.00
770.00
1.00
0.99
1.10
1.34 0.55
0.45
Ra
F1F2F3 -
0.34
Marko Milošević MRG 52/09 27
[ ] 1. grafički rad
Kd=1.4−0.008 ∙l=1.4−0.008 ∙29=1.168
P¿=P∙ (η1+η2 )∙ Kd=50 ∙ (0.99+0.55 ) ∙1.168=89.94 kN
p2¿=p2 ∙ ( F1+F2)=3 ∙( 1.34+1.10
2∙ 1.10+ 0.45
2∙2.05)=5.41 kN /m'
p1¿=p2
¿+ p1 ∙F3 ∙ Kd=5.41+5 ∙1.10+0.45
2∙3=17.04 kN /m'
p=17.04 p=17.04p=5.41
P=89.94
P=89.94
P=89.94
7.25
6.50
5.75
6.50
5.75
M (L/2)
F1 F2F3
11.50 1.50 1.50 1.50 1.50 11.50
29.00
M l /2p .o .=P¿ ∙ (η1+η2+η3 )+ p1
¿ ∙ ( F1+F2 )+ p2¿ ∙ F3=89.94 ∙ (7.25+6.50+6.50 )+17.04 ∙( 5.75
2∙11.50+ 5.75
2∙ 11.50)+5.41∙ 2 ∙
7.25+5.752
∙ 3=3159.04 kNm
p=17.04p=5.41
P=89.94
P=89.94
P=89.94
1.00
0.95
0.90
0.84
F1F2
Ta
1.50 1.50 1.50 24.50
29.00
T Ap .o .=P¿ ∙ (η1+η2+η3 )+ p1
¿ ∙F2+ p2¿ ∙ F1=89.94 ∙ (1.00+0.95+0.90 )+17.04 ∙
0.842
∙ 24.50+5.41∙1+0.84
2∙ 4.50=454.07 kN
8.2. Faza IIIa – Skupljanje betona
Ab=6430 cm2
O=1566.80 cm
dm=2 ∙ Ab
O= 2∙ 6430
1566.80=8.21
Marko Milošević MRG 52/09 28
[ ] 1. grafički rad
Relativna vlažnost sredine=90 %
ε s=0.30 ‰
t=t n
N sk=−Ebφ ∙ Ab ∙ εs=−1609 ∙ 6430 ∙0.0003=−3103.76 kN
M sk=N sk ∙ ηb=3103.76 ∙ 0.575=1784.662 kNm
8.3. Faza IIIb – Tečenje betona
ρ= φ2+φ
= 2.52+2.5
=0.56
M=M IIa+M IIb=3088.06+394.22=3482.28 kNm
Nb 0=M ∙Abr ∙ ybr
I i0
=348228 ∙1105.96 ∙36.13
6 829 964.43=2037.29 kN
Nφ=ρ ∙ Nb 0=0.56 ∙ 2037.29=1140.88kN
M b 0=M ∙I br
I i 0
=3482.28 ∙35 750.33
6 829 964.43=18.23 kNm
M φ=M +ρ ∙ ( M b 0+N b 0 ∙ ηb 0 )=3482.28+0.56 ∙ (18.23+2037.29 ∙0.5750 )=4148.50 kNm
8.4. Faza IIIc – Temperaturna razlika
∆ t=10 °
ε t=αt ∙ ∆ t=1.2 ∙10−5 ∙ 10=1.2 ∙ 10−4
εt
εsk
=1.2∙10−4
1.5∙10−4 =0.80
N t=εt ∙ Ebφ ∙ Ab=1.2∙ 10−4 ∙1609 ∙6430=1241.50 kN
M t=N t ∙ ηb=± 1241.50 ∙0.5750=713.86 kNm
9. Proračun napona u l /2
9.1. Proračun napona u t=09.1.1. Faza I – Uticaje prima čelični nosač
M CI =−617.61 kNm
N I=0
Marko Milošević MRG 52/09 29
[ ] 1. grafički rad
σ nG=
M I
I io
∙ ynG= −61761
1271671.76∙ (−108.34 )=5.26 kN /cm2
σ nD=
M I
I io
∙ ynD= −61761
1271671.76∙ 44.06=−2.14 kN /cm2
9.1.2. Faza IIa + IIb – Uticaje prima spregnuti nosač
M II=M IIa+ M IIb=3088.06+394.22=3482.28 kNm
N II=0
σ bG=νb
M I
I io
∙ ynG=0.172 ∙
3482286829964.43
∙ (−44.96 )=−0.39 kN /cm2
σ bD=νb
M I
I io
∙ ynD=0.172 ∙
3482286829964.43
∙ (−18.96 )=−0.17kN /cm2
σ nG=
M II
I io
∙ ynG= 348228
6829964.43∙ (−18.96 )=−0.97 kN /cm2
σ nD=
M II
I io
∙ ynD= 348228
6829964.43∙ 133.44=6.80 kN /cm2
9.1.3. Faza IIc – Pokretno opterećenje
M=3159.04 kNm
N=0
σ bG=νb
M I
I io
∙ ynG=0.172 ∙
3159046829964.43
∙ (−44.96 )=−0.36 kN /cm2
σ bD=νb
M I
I io
∙ ynD=0.172 ∙
3159046829964.43
∙ (−18.96 )=−0.15kN /cm2
σ nG=
M II
I io
∙ ynG= 315904
6829964.43∙ (−18.96 )=−0.88 kN /cm2
σ nD=
M II
I io
∙ ynD= 315904
6829964.43∙ 133.44=6.17 k N /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 30
[ ] 1. grafički rad
Marko Milošević MRG 52/09 31
[ ] 1. grafički rad
9.2.Proračun napona u t=t n
9.2.1. Faza IIIa – Skupljanje betona
M sk=1784.66 kNm
N sk=−3103.76 kN
σ bG=νbφ( N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηG)−εsk ∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.761032.41
+ 1784665541235.85
∙ (−66.33 ))−0.0003 ∙ 1609=−0.88 kN /cm2
σ bD=νbφ (N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηD)−εsk ∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.761032.41
+ 1784665541235.85
∙ (−40.33 ))−0.0003 ∙1609=−0.81 kN /cm2
σ nG=
N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηnG=−3103.76
1032.41+ 178466
5541235.85∙ (−40.33 )=−4.30 kN /cm2
σ nD=
N sk
Aiφ
+M sk
I iφ
∙ ηnD=−3103.76
1032.41+ 178466
5541235.85∙112.07=0.60 kN /cm2
9.2.2. Uticaj tečenja
M φ=4148.50 kNm
Nφ=1140.88 kN
σ bG=νbφ( Nφ
Aiφ
+M φ
I iφ
∙ ηG)− ρ∙ σb 0=0.077 ∙( 1140.881032.41
+ 4148505541235.85
∙ (−66.33 ))−0.56 ∙ 0.39=−0.51kN /cm2
σ bD=νbφ ( N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ ηD)−ρ∙ σ b 0=0.077 ∙( 1140.881032.41
+ 4148505541235.85
∙ (−40.33 ))−0.56 ∙ 0.17=−0.24 kN /cm2
σ nG=
N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ ηG= 1140.881032.41
+ 4148505541235.85
∙ (−40.33 )=−1.91 kN /cm2
σ nD=
Nφ
Aiφ
+M φ
I iφ
∙ ηD= 1140.881032.41
+ 4148505541235.85
∙112.07=9.49 kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 32
[ ] 1. grafički rad
9.2.3. Faza IIIc – Uticaj temperaturne razlike
εt
εsk
=1.2∙10−4
1.5∙10−4 =0.80
σ bG=σ b
sk ∙εt
εsk
=−0.87 ∙ 0.80=−0.70kN /cm2
σ bD=σb
sk ∙εt
ε sk
=−0.81∙ 0.80=−0.65kN /cm2
σ nG=σ n
sk ∙εt
εsk
=−4.30 ∙ 0.80=−3.44kN /cm2
σ nD=σn
sk ∙εt
ε sk
=0.60∙0.80=0.48kN /cm2
FazeNapon I esk g + tečenje p Osnovno
opterećenje ΔtOsnovno
+dopunsko
σ bG -0.88 -0.51 -0.36 -1.75 -0.70 -2.45
σ bD -0.81 -0.24 -0.15 -1.20 -0.65 -1.85
σ nG 5.26 -4.30 -1.91 -0.88 -1.83 -3.44 -5.27
σ nD -2.14 0.60 9.49 6.17 14.12 0.48 14.60
Za čelik Č.0461 → σv=26 kN /cm2
Osnovno opterećenje: σ dop=0,665 ∙ σv=0,665 ∙ 26=17,29 kN /cm2
Totalno opterećenje: σ dop=0,75 ∙ σv=0,75 ∙ 26=19,50 kN /cm2
MB 50: σ dop=¿
σ dop=17.29 kN /cm2>14.12 kN /cm2
σ dop=19.50 kN /cm2>14.60 kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 33
[ ] 1. grafički rad
Marko Milošević MRG 52/09 34
[ ] 1. grafički rad
10. Proračun spregnute konstrukcije sa podizanjem u l /2
Faza Ia – Montaža čeličog nosača preko privremenog oslonca u l /2
RA RBRC
Faza Ib – Nadvišenje čeličnog nosača dejstvom hudrauličnih presa u l /2
RA RBRC+P
Faza Ic – Betoniranje kolovozne ploče
RA RBRC+P'' ''
Marko Milošević MRG 52/09 35
[ ] 1. grafički rad
Faza IIa – Posle vezivanja betona i uklanjanja oslonca, spregnuti presek prima reakciju Rc+P
R'A R'B
RC+P
Faza IIb – Spregnuti presek prima uticaje sopstvene težine II fazeFaza IIc – Most opterećen pokretnim opterećenjemFaza IIIa – Spregnuti presek prema uticajima skupljanja betonaFaza IIIb – Spregnuti presek prema uticajima tečenja betonaFaza IIIc – Spregnuti presek prema uticajima različitog zagrevanja kolovoza i čeličnog nosača
10.1. Faza I10.1.1. Faza Ia
Analiza opterećenja po jednom nosaču
Opis opterećenja A [cm2 ] γ [kN /m3 ] g1 [ kN /m' ]Čelični nosač 408.33 78.50 3.20
Kolovozna ploča 6430.00 25.00 16.08Oplata i skela 3.50
∑ q I=23.50 kN /m '
Marko Milošević MRG 52/09 36
[ ] 1. grafički rad
p=23.50
14.50 14.50
347.39
-617.61
347.39
-127.79
212.96
-212.96
127.79
M C=−q ∙( l
2 )2
8=−23.5 ∙14.52
8=−617.61 kNm
M max=347.39 kNm
RA=RB=0.375 ∙ q ∙l2=0.375 ∙ 23.50 ∙14.5=127.78 kN
RC=1.25∙ q ∙l2=1.25 ∙ 23.5 ∙14.5=425.94 kN
10.1.2. Faza Ib – Apliciranje potrebne sile u presi iz uslova maksimalnog iskorišćenja napona čelika
σ č=σ doz=MI č
∙ y → M max=σdoz ∙ I č
yčG =17.29∙ 1271671.76
108.34=202946.32 kNcm=2029.46 kNm
−q ∙ l2
8−
Pmax ∙ l¿
4≤ M max=−2029.46
−23.5 ∙14.52
8−
Pmax ∙29
4=−2029.46
−Pmax ∙29
4=−2029.46+617.61
Pmax=194.74 kN
Marko Milošević MRG 52/09 37
[ ] 1. grafički rad
Usvajam: P=50 kN
M I=q ∙l2
8+ P ∙l¿
4=23.5 ∙ 14.52
8+ 50 ∙29
4=980.11kNm
P=50.00
14.50 14.50
-362.50
10.2. Faza II10.2.1. Faza IIa
Rc+P=425.94+50=475.94 kNP=475.94
14.50 14.50
3450.56
M IIa=3450.56 kNm
10.2.2. Faza IIb – Dodatna sopstvena težina
Analiza opterećenja po jednom nosaču
Opis opterećenja A [cm2 ] γ [kN /m3 ] g1 [ kN /m' ]Asfalt na kolovozu 1375.00 21.00 2.89Montažni AB venac 250.00 25.00 0.62
Beton ispune pešačke staze i instalacije 3.00Asfalt na pešačkoj stasi 160.00 21.00 0.34
Ograda 0.40Skela i oplata -3.50
∑ q II=3.75 kN /m '
Marko Milošević MRG 52/09 38
[ ] 1. grafički rad
M IIb=394.22 kNm
10.2.3. Faza IIc – Pokretno opterećenje
p =3 kN/m22
p =3 kN/m22
p =5 kN/m12 p =5 kN/m1
2
p =
50 k
N
p =
50 k
N
p =
50 k
N
1.50 1.50 1.50 1.50
2.00
3.00
6.00
p =50 kN p =50 kN p =50 kN
b 1b 1
Marko Milošević MRG 52/09 39
[ ] 1. grafički rad
p=3.00p=5.00
p=3.00
P=50.00
P=50.00
110.00 50.00 200.00 50.00 360.00
155.00 460.00 155.00
770.00
1.00
0.99
1.10
1.34 0.55
0.45
Ra
F1F2F3 -
0.34
Kd=1.4−0.008 ∙l=1.4−0.008 ∙29=1.168
P¿=P∙ (η1+η2 )∙ Kd=50 ∙ (0.99+0.55 ) ∙1.168=89.94 kN
p2¿=p2 ∙ ( F1+F2)=3 ∙( 1.34+1.10
2∙ 1.10+ 0.45
2∙2.05)=5.41 kN /m'
p1¿=p2
¿+ p1 ∙F3 ∙ Kd=5.41+5 ∙1.10+0.45
2∙3=17.04 kN /m'
p=17.04 p=17.04p=5.41
P=89.94
P=89.94
P=89.94
7.25
6.50
5.75
6.50
5.75
M (L/2)
F1 F2F3
11.50 1.50 1.50 1.50 1.50 11.50
29.00
M l /2p .o .=P¿ ∙ (η1+η2+η3 )+ p1
¿ ∙ ( F1+F2 )+ p2¿ ∙ F3=89.94 ∙ (7.25+6.50+6.50 )+17.04 ∙( 5.75
2∙11.50+ 5.75
2∙ 11.50)+5.41∙ 2 ∙
7.25+5.752
∙ 3=3159.04 kNm
Marko Milošević MRG 52/09 40
[ ] 1. grafički rad
p=17.04p=5.41
P=89.94
P=89.94
P=89.94
1.00
0.95
0.90
0.84
F1F2
Ta
1.50 1.50 1.50 24.50
29.00
T Ap .o .=P¿ ∙ (η1+η2+η3 )+ p1
¿ ∙F2+ p2¿ ∙ F1=89.94 ∙ (1.00+0.95+0.90 )+17.04 ∙
0.842
∙ 24.50+5.41∙1+0.84
2∙ 4.50=454.07 kN
10.3.1. Faza IIIa – Uticaj skupljanja betona
Ab=6430 cm2
O=1566.80 cm
dm=2 ∙ Ab
O= 2∙ 6430
1566.80=8.21
Relativna vlažnost sredine=90 %
ε s=0.30 ‰
t=t n
N sk=−Ebφ ∙ Ab ∙ εs=−1609 ∙ 6430 ∙0.0003=−3103.76 kN
M sk=N sk ∙ ηb=3103.76 ∙ 0.575=1784.662 kNm
10.3.2. Faza IIIb - Uticaj tečenja betona
ρ= φ2+φ
= 2.52+2.5
=0.56
M=M IIa+M IIb=3450.56+349.22=3799.78 kNm
Nb 0=M ∙Abr ∙ yb
I i0
=379978 ∙1105.96 ∙ 36.13
6829964.43=2223.04 kN
Nφ=ρ ∙ Nb 0=0.56 ∙ 2223.04=1111.52kN
M b 0=M ∙I br
I i 0
=3799.78 ∙35750.33
6829964.43=19.89 kNm
Marko Milošević MRG 52/09 41
[ ] 1. grafički rad
M φ=M +ρ ∙ ( M b 0+N b 0 ∙ ηb )=3799.78+0.56 ∙ (19.89+2223.04 ∙ 0.5750 )=4526.74 kNm
10.3.3. Faza IIIc – Uticaj temperaturne razlike
∆ t=10 °
ε t=αt ∙ ∆ t=1.2 ∙10−5 ∙ 10=1.2 ∙ 10−4
εt
εsk
=1.2∙10−4
1.5∙10−4 =0.80
N t=εt ∙ Ebφ ∙ Ab=1.2∙ 10−4 ∙1609 ∙6430=1241.50 kN
M t=N t ∙ ηb=± 1241.50 ∙0.5750=713.86 kNm
11. Proračun napona u l /2
11.1. Proračun napona u t=011.1.1. Faza I – Uticaje prima čelični nosač
M I=−q ∙( l
2 )2
8−P ∙l
4=−23.5 ∙14.52
8−50 ∙29
4=−617.61−362.5=−980.11kNm
σ nG= M
I č
∙ yG= −980111271671.76
∙ (−108.34 )=8.35kN /cm2
σ nD=M
I č
∙ y D=−98011
1271671.76∙ 44.06=−3.40 kN /cm2
11.1.2. Faza IIa + IIb
M=M IIa+M IIb=3450.56+394.22=3844.78 kNm
σ bG=νb
M I
I io
∙ ybG=0.172 ∙
3844786829964.43
∙ (−44.96 )=−0.44 kN /cm2
σ bD=νb
M I
I io
∙ ybD=0.172 ∙
3844786829964.43
∙ (−18.96 )=−0.18kN /cm2
σ nG=
M II
I io
∙ ynG= 384478
6829964.43∙ (−18.96 )=−1.07 kN /cm2
σ nD=
M II
I io
∙ ynD= 384478
6829964.43∙ 133.44=7.51 kN /cm2
11.1.3. Faza IIc – Pokretno opterećenje
Marko Milošević MRG 52/09 42
[ ] 1. grafički rad
M=3159.04 kNm
N=0
σ bG=νb
M I
I io
∙ ynG=0.172 ∙
3159046829964.43
∙ (−44.96 )=−0.36 kN /cm2
σ bD=νb
M I
I io
∙ ynD=0.172 ∙
3159046829964.43
∙ (−18.96 )=−0.15kN /cm2
σ nG=
M II
I io
∙ ynG= 315904
6829964.43∙ (−18.96 )=−0.88 kN /cm2
σ nD=
M II
I io
∙ ynD= 315904
6829964.43∙ 133.44=6.17 kN /cm2
11.2. Proračun napona u t=t n
11.2.1. Faza IIIa – Skupljanje betona
M sk=1784.66 kNm
N sk=−3103.76 kN
σ bG=νbφ( N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηG)−εsk ∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.761032.41
+ 1784665541235.85
∙ (−66.33 ))−0.0003 ∙ 1609=−0.88 kN /cm2
σ bD=νbφ (N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηD)−εsk ∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.761032.41
+ 1784665541235.85
∙ (−40.33 ))−0.0003 ∙1609=−0.81 kN /cm2
σ nG=
N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηnG=−3103.76
1032.41+ 178466
5541235.85∙ (−40.33 )=−4.30 kN /cm2
σ nD=
N sk
Aiφ
+M sk
I iφ
∙ ηnD=−3103.76
1032.41+ 178466
5541235.85∙112.07=0.60 kN /cm2
11.2.2. Sopstvena težina + tečenje
M φ=4526.74 kNm
Nφ=1111.52kN
σ bG=νbφ( Nφ
Aiφ
+M φ
I iφ
∙ ηG)− ρ∙ σb 0=0.077 ∙( 1111.521032.41
+ 4526745541235.85
∙ (−66.33 ))−0.56 ∙ 0.44=−0.58 kN /cm2
σ bD=νbφ ( N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ ηD)−ρ∙ σ b 0=0.077 ∙( 1111.521032.41
+ 4526745541235.85
∙ (−40.33 ))−0.56 ∙ 0.18=−0.27 kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 43
[ ] 1. grafički rad
σ nG=
N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ ηG= 1111.521032.41
+ 4526745541235.85
∙ (−40.33 )=−2.22 kN /cm2
σ nD=
Nφ
Aiφ
+M φ
I iφ
∙ ηD= 1111.521032.41
+ 4526745541235.85
∙112.07=10.23 kN /cm2
11.2.3. Faza IIIc – Uticaj temperaturne razlike
εt
εsk
=1.2∙10−4
1.5∙10−4 =0.80
σ bG=σ b
sk ∙εt
εsk
=−0.87 ∙ 0.80=−0.70kN /cm2
σ bD=σb
sk ∙εt
ε sk
=−0.81∙ 0.80=−0.65kN /cm2
σ nG=σ n
sk ∙εt
εsk
=−4.30 ∙ 0.80=−3.44kN /cm2
σ nD=σn
sk ∙εt
ε sk
=0.60∙0.80=0.48kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 44
[ ] 1. grafički rad
Marko Milošević MRG 52/09 45
[ ] 1. grafički rad
Marko Milošević MRG 52/09 46
[ ] 1. grafički rad
12. Proračun spregnute konstrukcije raspona l+l (greda na dva polja)
Faza Ia – Postavljanje čeličnog nosačaFaza Ib – Betoniranje kolovozne pločeFaza Ic – Dodatno stalno opterećenjeFaza II – Pokretno opterećenjeFaza IIIa – Uticaj skupljanja betonaFaza IIIb – Uticaj tečenja betonaFaza IIIc – Uticaj temperaturne razlike
12.1. Faza I - Uticaj sopstvene težine
Analiza opterećenja po jednom nosaču
Opis opterećenja A [cm2 ] γ [kN /m3 ] g1 [ kN /m' ]Čelični nosač 408.33 78.50 3.20
Kolovozna ploča 6430.00 25.00 16.08Oplata i skela 3.50
∑ q I=23.50 kN /m 'p=23.50
29.00 29.00
1389.48
-2470.34
1389.48
-255.57
425.93
-425.93
255.57
M C=−0.125 ∙ q ∙ l2=−0.125 ∙ 23.50∙292=−2470.34 kNm
RA=RB=0.375 ∙ q ∙l=0.375 ∙23.50 ∙ 29=255.57 kN
RC=1.25∙ q ∙ l=1.25 ∙ 23.50∙ 29=851.86 kN
M max=0.07 ∙ q ∙l2=0.07 ∙23.50 ∙ 292=1389.48 kNm
Marko Milošević MRG 52/09 47
p*1 p*1p*2
P*
P*
P*
10
2 3 4 5 6 7 8 910
11 12 13 14 15 16 17 18 1920
29.00 29.00
F1F2 F3 F4
[ ] 1. grafički rad
12.2. Faza II - Uticaj pokretnog opterećenja
η ' η1 η2
η ' '
2.90 :0.0022=1.40 : x → x=0.0011→η1=0.0938+0.0011=0.0949
2.90 :0.0022=0.10: x→ x=0.0001→ η '=0.0938−0.0001=0.0937
2.90 :0.0127=1.40 : x→ x=0.0061 →η2=0.0833+0.0061=0.0894
2.90 :0.0127=0.10 : x→ x=0.0004 → η ' '=0.0833−0.0004=0.0829
Marko Milošević MRG 52/09 48
2.90
0.00
22
1.400.1
0.0960
0.0938
0.0960
0.0833
0.01
27
1.40 0.10
2.90
0 0 01 0.
0248
0.7192
2 0.0480
1.3920
3 0.0683
1.9807
4 0.0840
2.4360
η ' 0.0937
2.7173
5 0.0938
2.7202
η1 0.0949
2.7521
6 0.0960
2.7840
η2 0.0894
2.5926
7 0.0833
2.4157
η ' '0.0829
2.4041
8 0.0720
2.0880
9 0.0428
1.2412
10
0 0
11
0.0428
1.2412
12
0.0720
2.0880
13
0.0833
2.4157
14
0.0960
2.7840
15
0.0938
2.7202
16
0.0840
2.4360
17
0.0683
1.9807
18
0.0480
1.3920
19
0.02
0.71
F1
0.27193.83064.15214.03243.50580.2410
16.0338
F2
1.04283.06124.89046.40427.2146
22.6132
F3
6.28894.82731.7997
12.9159
F4
1.79974.82736.53047.53967.98117.47656.40424.89043.06121.0428
51.5532
p*1 p*2
P*
P*
P*
10 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19
20
29.00 29.00
F1
F2 F3
p*1
[ ] 1. grafički rad
10
2 3 4 5 6 7 8 910
11 12 13 14 15 16 17 18 1920F1F2 F3 F4
M 10=−(P¿( η1+η2+η3 )+ p1¿ ( F2+F3+F4 )+ p2
¿ ∙ F1)=−( 89.94 ∙ (2.7521+2.7840+2.5926 )+17.04 ∙ (22.6132+12.9159+51.5532 )+5.41 ∙16.0338 )=−2301.72 kNm
M 10=−2301.72 kNm
η ' η1 η2 η ' '
2.90
0.2064
0.1527
1.400.10
0.05
37
2.90
0.2064
0.1625
1.40 0.100.
0439
2.90 :0.0537=1.40 : x→ x=0.0259 → η1=0.1527+0.0259=0.1786
2.90 :0.0537=0.10 : x→ x=0.0018 → η '=0.1527−0.0018=0.1509
2.90 :0.0439=1.40: x→ x=0.0212→ η2=0.1625+0.0212=0.1837
2.90 :0.0439=0.10 : x→ x=0.0015 → η' '=0.1625−0.0212=0.1413
Marko Milošević MRG 52/09 49
0 0 01 0.
0501
1.4529
2 0.1008
2.9232
η ' 0.1509
4.3761
3 0.1527
4.4283
η1 0.1786
5.1794
4 0.2064
5.9856
η2 0.1837
5.3273
5 0.1625
4.7125
η ' '0.1413
4.0977
6 0.1216
3.5264
7 0.0843
2.4447
8 0.0512
1.4848
9 0.0229
0.6641
10
0 0
F1
0.44026.72548.37388.48477.02790.4405
31.4925
F2
2.10676.3453
10.219018.6710
F3
10.67378.65815.69783.11590.9629
29.1087
p*1p*2
P*
P*
P*
10 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19
20
29.00 29.00
F1F2
[ ] 1. grafički rad
10 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19
20
F1
F2 F3
M 10=−(P¿( η1+η2+η3 )+ p1¿ ( F2+F3 )+ p2
¿ ∙F1 )=−( 89.94 ∙ (5.1794+5.9856+5.3273 )+17.04 ∙ (18.6710+29.1087 )+5.41∙ 31.4925 )=−2467.86 kNm
Q0
η ' η1 η2 η ' '
2.90
1.40
1.00
0.8753
0.1
24
7
2.90
0.8753
0.7520
1.500.10
0.1
23
3
2.90 :0.1247=1.40 : x→ x=0.0602 →η1=0.8753+0.0602=0.9355
2.90 :0.1233=2.80 : x→ x=0.1190→ η2=0.7520+0.1190=0.8710
2.90 :0.1233=1.30 : x→ x=0.0553 →η ' '=0.7520+0.0553=0.8073
Marko Milošević MRG 52/09 50
0 1η1 0.935
51 0.875
3η2 0.871
0η ' ' 0.807
32 0.752
03 0.613
24 0.516
05 0.406
06 0.304
07 0.211
08 0.128
09 0.057
010 0
F1
1.45161.26760.08731.25874.0652
F2
1.01351.97951.63731.33691.02950.74240.49160.26820.08268.5815
p*1p*2
P*
P*
P*
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920
29.00 29.00
p*1
[ ] 1. grafički rad
10 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19
20
F1F2
Q0=P¿ ∙ (η '+η1+η2 )+ p1¿ ∙F2+ p2
¿ ∙ F3=89.94 ∙ (1.0+0.9355+0.8710 )+17.04 ∙8.5815+5.41∙ 4.0652=420.6381 kN
Q10
η ' η1 η2 η ' '
1.00
2.90
1.40
0.943
0.05
7
0.943
2.90
0.872
1.500.10
0.07
1
2.90 :0.057=1.40 : x→ x=0.028 → η1=0.943+0.028=0.971
2.90 :0.071=2.80: x → x=0.068 →η2=0.872+0.068=0.940
Marko Milošević MRG 52/09 51
0 01 0.0252 0.0483 0.0684 0.0845 0.0946 0.0967 0.0898 0.0729 0.043
10 1η1 0.971
11 0.943η2 0.940
η ' ' 0.90412 0.87213 0.78914 0.69615 0.59416 0.48417 0.36818 0.24819 0.12520 0
F1
1.4781.3400.0941.3834.295
F2
1.1542.4081.4111.8751.5631.2350.8930.5410.181
11.261
F3
0.0360.1060.1680.2200.2580.2760.2680.2330.1670.0621.794
[ ] 1. grafički rad
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920
F1F2
Q10=P¿ ∙ (η '+η1+η2 )+ p1¿ ∙ ( F2+F3 )+ p2
¿ ∙ F1=89.94 ∙ (1.0+0.971+0.940 )+17.04 ∙ (11.261+1.794 )+5.41 ∙ 4.295=507.508 kN
12.3. Uticaj skupljanja betona
N sk=−Ebφ ∙ Ab ∙ εs=−16.09 ∙106 ∙0.643 ∙0.30 ∙10−3=−3103.76 kN
M sk=N sk ∙ ηb=−3103.76 ∙ (−0.575 )=1784.66 kNm
Marko Milošević MRG 52/09 52
Tb
Ti?
Nsk
Msk 57.
50
Msk=Mo
2929
M 1
M
892.79
1.00
1784.66 1784.66
X 1=1.0
[ ] 1. grafički rad
X1φ=−δ 10
δ 11
=−δ 1 sk
δ11 φ
E I c δ 11φ=∫M 2 I c
Ids=1
3∙l ∙1.0 ∙ 2=1
3∙29 ∙1 ∙ 2=19.33
E I c δ 1 sk=∫ M M sk
I c
Ids=1
2∙ l ∙ 1.0 ∙ M sk ∙2=1
2∙ 29 ∙1 ∙ 1784.66 ∙2=51755.14
X1φ=−51755.14
19.33=−2677.45
M=M sk+M ∙ X 1φ=1784.66−1 ∙2677.45=−892.79 kNm
12.4. Faza IIIc - Uticaj tečenja betona
ρ= φ2+φ
= 2.52+2.5
=0.56
M=M g=2470.34 kNm
Nb 0=M ∙Abr ∙ yb
I i0
=247034 ∙1105.96 ∙36.13
6829964.43=1445.26 kN
Nφ=ρ ∙ Nb 0=0.56 ∙ 1445.26=809.36 kN
M b 0=M ∙I br
I i 0
=2470.34 ∙35750.33
6829964.43=12.93 kNm
M φ=M +ρ ∙ ( M b 0+N b 0 ∙ ηb )=2470.34+0.56 ∙ (12.93+1445.26 ∙ 0.5750 )=2942.95 kNm
13. Proračun napona za l+l
13.1. Proračun u t=013.1.1. Faza I – Uticaj sopstvene težine
M g=−2470.34 kNm
σ bG=νb
M g
I io
∙ ybG=0.172∙
−2470346829964.43
∙ (−44.96 )=0.28 kN /cm2
σ bD=νb
M g
I io
∙ ybD=0.172 ∙
−2470346829964.43
∙ (−18.96 )=0.12kN /cm2
σ nG=
M g
Iio
∙ ynG= −247034
6829964.43∙ (−18.96 )=0.68 kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 53
[ ] 1. grafički rad
σ nD=
M g
I io
∙ ynD= −247034
6829964.43∙133.44=−4.83 kN /cm2
13.1.2. Faza II – Uticaj pokretnog opterećenja
M p=−2301.72 kNm
σ bG=νb
M p
I io
∙ ybG=0.172 ∙
−2301726829964.43
∙ (−44.96 )=0.26kN /cm2
σ bD=νb
M p
Iio
∙ ybD=0.172∙
−2301726829964.43
∙ (−18.96 )=0.11 kN /cm2
σ nG=
M p
I io
∙ ynG= −230172
6829964.43∙ (−18.96 )=0.64kN /cm2
σ nD=
M p
I io
∙ ynD= −230172
6829964.43∙ 133.44=−4.50 kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 54
[ ] 1. grafički rad
Marko Milošević MRG 52/09 55
[ ] 1. grafički rad
13.2. Proračun u t=t n
13.2.1. Uticaj sopstvene težine i tečenja
M φ=−2942.95 kNm
Nφ=809.36 kN
σ bG=νb φ( Nφ
A iφ
+M φ
Iiφ
∙ηG)−ρ ∙σ b 0=0.077 ∙( 809.361032.41
+ −2942955541235.85
∙ (−66.33 ))+0.56 ∙ 0.44=0.58kN /cm2
σ bD=νbφ ( N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ ηD)−ρ∙ σ b 0=0.077 ( 809.361032.41
+ −2942955541235.85
∙ (−40.33 ))+0.56 ∙ 0.18=0.33 kN /cm2
σ nG=
N φ
A iφ
+M φ
I iφ
∙ ηG= 809.361032.41
+ −2942955541235.85
∙ (−40.33 )=2.93 kN /cm2
σ nD=
Nφ
Aiφ
+M φ
I iφ
∙ ηD= 890.361032.41
+ −2942955541235.85
∙112.07=−5.09 kN /cm2
13.2.2. Uticaj pokretnog opterećenja
M p=−2301.72 kNm
σ bG=νb
M p
I io
∙ ybG=0.172 ∙
−2301726829964.43
∙ (−44.96 )=0.26kN /cm2
σ bD=νb
M p
Iio
∙ ybD=0.172∙
−2301726829964.43
∙ (−18.96 )=0.11 kN /cm2
σ nG=
M p
I io
∙ ynG= −230172
6829964.43∙ (−18.96 )=0.64kN /cm2
σ nD=
M p
I io
∙ ynD= −230172
6829964.43∙ 133.44=−4.50 kN /cm2
13.2.3. Uticaj skupljanja betona
N sk=−3103.76 kN
M sk=−892.79 kNm
σ bG=νbφ( N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηG)−εsk ∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.761032.41
+ −892795541235.85
∙ (−66.33 ))+0.0003 ∙1609=0.33 kN /cm2
σ bD=νbφ (N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηD)−εsk ∙ Ebφ=0.077 ∙(−3103.761032.41
+ −892795541235.85
∙ (−40.33 ))+0.0003 ∙ 1609=0.30 kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 56
[ ] 1. grafički rad
σ nG=
N sk
A iφ
+M sk
I iφ
∙ ηnG=−3103.76
1032.41+ −89279
5541235.85∙ (−40.33 )=−2.36 kN /cm2
σ nD=
N sk
Aiφ
+M sk
I iφ
∙ ηnD=−3103.76
1032.41+ −89279
5541235.85∙112.07=−4.81kN /cm2
Marko Milošević MRG 52/09 57
RA RBRc
[ ] 1. grafički rad
14. Moždanici
14.1. Proračun za statičsli sistem prosta greda sa privremenim osloncem u l /2
l=14,5 m l=14,5 m
14.1.1. Proračun smičućih sila
Presek nad osloncem
QA=RAIIa+RA
IIb+RAIIc=212.97+54.38+454.07=721.42 kN
Presek u l /2
Ql /2=RCIIa+RC
IIb+RCIIc=425.94+0+160.61=586.55 kN
T i=Q ∙ Sb
I io
Sb 0=νb ∙ Ab∙ yb 0=Abr ∙ yb0=1105.96 ∙ 23.91=26 443.50 cm3
Sb 2=νb ∙ Ab∙ yb 2=Abr ∙ yb2=1105.96 ∙ 36.13=39 958.33 cm3
T 0=QA ∙ Sb0
I io0 =721.42 ∙26443.50
3827999.46=4.98 kN /cm
T l/2=Ql/2 ∙ Sb 2
I io2 =586.55 ∙ 39958.33
6829964.43=3.43 kN /cm
Marko Milošević MRG 52/09 58
[ ] 1. grafički rad
T1 T2 T3
4.98
3.43
H1 H2 H3 H4
3.625 3.625 3.625 3.625
7.25
14.50
14.50 7.25
14.50
T 1=4.59 kN /cm
T 2=4.20 kN /cm
T 3=3.82 kN /cm
H 1=T 0+T 1
2∙ λ=4.98+4.59
2∙362.5=1734.56 kN
H 2=T 1+T 2
2∙ λ= 4.59+4.20
2∙362.5=1593.19 kN
H 3=T 2+T 3
2∙ λ=4.20+3.82
2∙ 362.5=1453.62 kN
H 4=T 3+T 4
2∙ λ=3.82+3.43
2∙362.5=1314.06 kN
14.1.2. Proračun nosivosti moždanika
I varijanta – Kombinovani moždanici (kruti + sidro)
Nd=RDE+Sa
RDE=A1 ∙ η∙ βRB
Sa=μ ∙ Aa ∙ σa
A1=10 ∙ 3=30 cm2
A2=b0 ∙ ( d p+hv )=28∙ (16+10 )=728 cm2
η=√ A2
A1
=√ 72830
=4.93>3 → η=3
Marko Milošević MRG 52/09 59
h
1,2
310
13
26
m
10
1010
10
30
[ ] 1. grafički rad
βRB=0.6 ∙ βb ( 28)=0.6 ∙ 5.0=3.0 kN /cm2
RDE=30 ∙3 ∙3.0=270 kN
μ=0.7−za zatvorena sidra
σ a=140 MPa=14 kN /cm2
Aa=r2 ∙ π
4=1.02 ∙ π
4=0.785 cm2
Sa=0.7 ∙ 0.785∙14=7.69 kN
Sa '=0.707 ∙ Sa=0.707 ∙7.69=5.43 kN
Nd=270+7.69=277.69 kN
II varijanta – Elastični moždanici (čep sa glavom)
30
26
8108
1,2
1:3
d=20 mm
1511
Usvojeno : d=20 mm, h=150 mm
d=20 mm≤ 2.5 ∙ t=2.5∙ 14=35 mm
hd=150
20=7.5>4
100 mm>3.5 ∙ d=3.5 ∙20=70 mm
Nosivost
Rd 1=0.25 ∙ d2 ∙√Eb ∙ βb (28 )
Marko Milošević MRG 52/09 60
[ ] 1. grafički rad
Rd 2=0.7 ∙d2 π
4σ n
Eb=36.21GPa=3621 kN /cm2
βb (28 )=5.0 kN /cm2
Rd 1=0.25 ∙2.02 ∙√3621 ∙ 5.0=134.55 kN
σ n=45 kN /cm2
Rd 2=0.7 ∙2.02 π
4∙ 45=98.96 kN
Ndop=2 ∙ min ( Rd 1 ;Rd 2 )=2∙min (134.55 ;98.96 )=2∙ 98.96=197.92 kN
14.1.3. Određivanje broja i razmaka moždanika duž raspona nosača
I varijanta
e=max { 60 cm3 ∙ d p=3 ∙16=48 cm
n1=H 1
Ndop
=1734.56277.69
=6.25 kom→ usvajam :n1=7 kom
e1=λn1
=362.57
=51.79 cm→ usvajam :e1=50 cm
n2=H 2
Ndop
=1593.19277.69
=5.74 kom →usvajam :n1=6 kom
e2=λn2
=362.56
=60.42 cm→ usvajam :e2=60 cm
n3=H 3
N dop
=1453.62277.69
=5.23 kom→ usvajam :n1=6 kom
Marko Milošević MRG 52/09 61
[ ] 1. grafički rad
e3=λn3
=362.56
=60.42 cm→ usvajam :e3=60 cm
n4=H 4
Ndop
=1314.06277.69
=4.73kom→ usvajam :n1=5kom
e4=λ
n4
=362.55
=72.5 cm→ usvajam :e4=70 cm
Usvajam razmak moždanika od e=50 cm što uz raspon od l=29 m daje ukupan broj krutih moždanika 58 kom.
II varijanta
n1=H 1
Ndop
=1734.56197.92
=8.76 kom →usvajam : n1=9 kom
e1=λn1
=362.59
=40.28 cm→ usvajam :e1=40 cm
n2=H 2
Ndop
=1593.19197.92
=8.05 kom→ usvajam :n1=9 kom
e2=λn2
=362.59
=40.28 cm →usvajam : e2=40 cm
n3=H 3
N dop
=1453.62197.92
=7.34 kom→ usvajam :n1=8 kom
e3=λn3
=362.58
=45.31 cm →usvajam : e3=45 cm
n4=H 4
Ndop
=1314.06197.92
=6.64 kom→ usvajam :n1=7kom
e3=λn3
=362.57
=51.79 cm→ usvajam :e4=50 cm
Usvajam razmak moždanika od e=40 cm što uz raspon od l=29 m daje ukupan broj krutih moždanika 73 kom.
Rekapitulacija
I varijanta
Prva i zadnja četvrtina
n=72550
=14.50 → usvojeno :n=15 kom
Druga i treća četvrtina
Marko Milošević MRG 52/09 62
[ ] 1. grafički rad
n=72560
=12.08 → usvojeno :n=13 kom
Ukupno
n=56 kom
II varijanta
Prva i zadnja četvrtina
n=72540
=18.12 → usvojeno: n=19 kom
Druga i treća četvrtina
n=72545
=16.11→ usvojeno :n=17 kom
Ukupno
n=72 kom
Marko Milošević MRG 52/09 63
Top Related