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ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI INDICE
a.a. 2012/13
2
Prezzi correnti e costanti
Nel tempo variano sia i prezzi che le quantità
Ogni aggregato è definito da due deponenti:
Il primo indica il tempo cui si riferiscono i prezzi
Il secondo quello delle quantità.
Vtt è il valore della produzione a prezzi e
quantità del tempo t
I conti a prezzi correnti e a prezzi costanti
Il modello rappresentativo del sistema economico 3
Il conto di equilibrio del tempo t “a prezzi
correnti” al tempo t cioè a prezzi e a
quantità del tempo t, si scrive:
Mtt+Vtt= Xtt+Ctt+ Att+Ett
I conti a prezzi correnti e a prezzi costanti
Il modello rappresentativo del sistema economico 4
Il conto di equilibrio del tempo t, “a prezzi costanti
del tempo 0”, cioè a prezzi del tempo 0 e a
quantità del tempo t si scrive:
M0t+V0t=X0t+C0t+A0t+E0t
I conti a prezzi correnti e a prezzi costanti
Il modello rappresentativo del sistema economico 5
Il rapporto
V0t / V0b=
Esprime la variazione in termini "reali" ossia misura la
variazione delle quantità tra i tempi t e b,
mantenendo i prezzi costanti e uguali a quelli del
tempo 0. E’ detto anche indice di volume
0 01 1
/n n
i it i ibi i
p q p q
I conti a prezzi correnti e costanti
Il modello rappresentativo del sistema economico 6
Il rapporto
Vt0 / Vb0=
Esprime un indice di prezzo ossia misura la variazione
dei prezzi tra i tempi t e b, mantenendo le quantità
costanti e uguali a quelli del tempo 0.
0 01 1
/n n
it i ib ii i
p q p q
7
Prezzi correnti e costanti
E’ chiaro che gli aggregati V0t e Vt0 (Vob e Vb0)
non sono aggregati reali rilevabili.
Essi devono essere calcolati tramite opportune
metodologie, ossia la teoria dei Numeri Indice e
e il Deflazionamento.
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Prezzi correnti e costanti
Si definisce ora numero indice 0Pt , che
confronta i prezzi del tempo t con quelli del
tempo 0 una funzione dei due vettori dei prezzi
pt e p0 e dei pesi :
0Pt = f3n(pt, p0; )+
9
Prezzi correnti e costanti
Noti l’indice dei prezzi 0Pt e quello di valore 0Vt
0 00
0 01 1
/t tt
n n
it it i ii i
V V V
p q p q
10
Prezzi correnti e costanti
Si può sempre calcolare il cofattore
0t = 0Vt/0Pt
= ( p’t qt / p’0 q0) / f3n(pt, p0; ) =
= / f3n(pt, p0; )
11
Prezzi correnti e costanti
Si usa comunemente “deflazionare” gli
aggregati economici, per depurarli della parte di
variazione dovuta esclusivamente all’effetto dei
prezzi ed ottenere un aggregato espresso “a
prezzi costanti”, ossia di un aggregato la cui
variazione dipende solo dalle variabili reali.
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Prezzi correnti e costanti
La procedura del deflazionamento consiste nel
dividere l’aggregato per un indice di prezzo
opportuno (o semplicemente, per un indice di
prezzo disponibile).
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Prezzi correnti e costanti
L’operazione in oggetto ha la seguente
struttura:
Vtt / 0Pt =
=/f(pt,p0,=
0 0
1
n
i it ti
p q V
14
Prezzi correnti e costanti
Quindi la misura della variazione delle quantità
diventa:
0 00 0 0 01 1
/ /n n
t i it i ii i
V V p q p q
15
Prezzi correnti e costanti
Se ora si volesse istituire un confronto in
termini reali tra gli aggregati dei tempi t e b, per
eliminare l’effetto della dinamica dei prezzi si
devono confrontare gli aggregati a prezzi
costanti, ossia, come visto in precedenza
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Prezzi correnti e costanti
Il rapporto
V0t / V0b=
Dal punto di vista delle proprietà si può dire che
il rapporto soddisfa Identità, Commensurabilità
e Omogeneità
0 01 1
/n n
i it i ibi i
p q p q
17
Prezzi correnti e costanti
Per ottenere gli aggregati a prezzi costanti è
necessario disporre di indici a base fissa.
Al trascorrere del tempo la dinamica dei
mercati provoca variazioni nei pesi e nelle
tipologie di beni presenti
18
Prezzi correnti e costanti
Inoltre, il rapporto è chiamato indice
di volume, infatti nel confronto entrano anche le
variazioni di qualità e di composizione degli
aggregati.
E’ chiaro che i due aggregati aumentano la loro
differenze in funzione della distanza tra t, b e 0.
0 0/t bV V
19
Prezzi correnti e costanti
E’ quindi necessario cambiare periodicamente
la base e costruire liste e ponderazioni nuove a
diversi tempi s1, s2,….., che si susseguono a
intervalli regolari
Per i confronti tra istanti accomunati dalla
medesima base vale quanto detto
20
Prezzi correnti e costanti
A proposito dei confronti tra periodi con basi
diverse ci si trova in una situazione del tipo
1 1
/i j i j
n n
s t s b s i ti s i bii i
V V p q p q
21
Prezzi correnti e costanti
Dal punto di vista delle proprietà rileviamo che,
nel caso in cui le quantità delle situazioni t e b
siano uguali, il confronto potrebbe anche
risultare diverso dall’unità, a causa dei diversi
prezzi ai quali esse sono valutate.
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Prezzi correnti e costanti
Fin qui si è sempre genericamente discusso di
confronti tra aggregati a prezzi o a quantità
costanti e si è brevemente richiamato il
concetto di deflazionamento.
E’ ora opportuno fermarsi e recuperare concetti
noti di teoria dei numeri indice.
23
Prezzi correnti e costanti
In particolare si richiameranno gli indici di
Paasche e di Laspeyres e le relazioni che tra
loro intercorrono, al fine di meglio comprendere
i dati della Contabilità Nazionale pubblicati
dall’ISTAT.
24
Indice di Laspeyres dei prezzil’indice di Laspeyres può essere scritto come:
media aritmetica degli indici elementari
ponderata con i valori relativi della base
rapporto di spese a quantità della base
media armonica ponderata con i valori relativi
,bb iw
,tb iw
25
Indice di Laspeyres dei prezziMedia aritmetica
, , ,
1 ,, ,
1
,,
1 ,
nt i b i b iL
b t ni b i
b i b ii
nt i
bb ii b i
p p qP
p p q
pw
p
26
Indice di Laspeyres dei prezziMedia armonica
1
1
, , ,
1 ,, ,
1
1
1, ,
, 1,
1 ,, ,
1
nt i t i b iL
b t ni b i
t i b ii
n
b i b inb i i
tb i ni t i
t i b ii
p p qP
p p q
p qp
wp p q
27
Indice di Laspeyres dei prezziRapporto di spese a quantità costanti di b
, ,1
, ,1
n
t i b iL i
b t n
b i b ii
p qP
p q
28
Indice di Paasche dei prezzi
l’indice di Paasche può essere scritto come:
media aritmetica degli indici elementari
ponderata con i valori relativi wbt,i
rapporto di spese a quantità t
media armonica ponderata con i valori relativi
del tempo confrontato wtt,i
29
Indice di Paasche dei prezzi
Media aritmetica
, , ,
1 ,, ,
1
,,
1 ,
nt i b i t iP
b t ni b i
b i t ii
nt i
bt ii b i
p p qP
p p q
pw
p
30
Indice di Paasche dei prezzi
Media armonica 1
1
, , ,
1 ,, ,
1
1
1, ,
, 1,
1 ,, ,
1
nt i t i t iP
b t ni b i
t i t ii
n
b i t inb i i
tt i ni t i
t i t ii
p p qP
p p q
p qp
wp p q
31
Indice di Paasche dei prezzi
Rapporto di spese
, ,1
, ,1
n
t i t iP i
b t n
b i t ii
p qP
p q
32
Indice di Laspeyres delle quantitàl’indice di Laspeyres può essere scritto come:
media aritmetica degli indici elementari
ponderata con i valori relativi della base wbb,i
rapporto di spese a prezzi della base
Media armonica ponderata con i valori relativi
wbt,i
33
Indice di Laspeyres delle quantitàMedia aritmetica
, , ,
1 ,, ,
1
,,
1 ,
nt i b i b iL
b t ni b i
b i b ii
nt i
bb ii b i
q p qQ
q p q
qw
q
34
Indice Laspeyres delle quantitàMedia armonica
1
1
, , ,
1 ,, ,
1
1
1, ,
, 1,
1 ,, ,
1
nt i b i t iL
b t ni b i
b i t ii
n
b i b inb i i
bt i ni t i
b i t ii
q p qQ
q p q
p qq
wq p q
35
Indice di Laspeyres delle quantitàRapporto di spese a prezzi della base
, ,1
, ,1
n
b i t iL i
b t n
b i b ii
p qQ
p q
36
Indice di Paasche della quantitàl’indice di Paasche può essere scritto come:
media aritmetica degli indici elementari
ponderata con i valori relativi wtb,i
rapporto di spese a prezzi t
media armonica ponderata con i valori relativi
del tempo confrontato wtt,i
37
Indice di Paasche delle quantitàMedia aritmetica
, , ,
1 ,, ,
1
,,
1 ,
nt i t i b iP
b t ni b i
t i b ii
nt i
tb ii b i
q p qQ
q p q
qw
q
38
Indice di Paasche delle quantitàMedia armonica
1
1
, , ,
1 ,, ,
1
1
1, ,
, 1,
1 ,, ,
1
nt i t i t iP
b t ni b i
t i t ii
n
t i b inb i i
tt i ni t i
t i t ii
q p qQ
q p q
p qq
wq p q
39
Indice di Paasche delle quantitàRapporto di spese
, ,11
, ,11
n
t i tP i
b t n
t i bi
p qQ
p q
40
Teoria dei numeri indice
l’indice di Laspeyres e quello di Paasche sono
caratterizzati da legami molto interessanti dal
punto di vista del loro impiego ai fini dell’analisi
dei dati della CN che ci accingiamo a condurre
41
Teoria dei numeri indice
In particolare le formule in oggetto soddisfano
in modo incrociato le due importanti proprietà
della Reversibilità della base e dei fattori
42
Reversibilità della base
In generale tale proprietà consiste nella
seguente uguaglianza
Che vale, ovviamente, anche per gli indici di
quantità
1
b t t bP P
43
Reversibilità dei fattori
Detta proprietà è soddisfatta se il «cofattore»
coincide con l’indice di quantità calcolato con la
medesima formula di quello dei prezzi
/ Qb t b t b t b tQ V P
44
Reversibilità dei fattori
bVt/bPtL==
bQtP
=
Quindi il cofattore di un indice di Laspeyres dei prezzi è un indice di Paasche delle quantità
45
Reversibilità dei fattori
bVt/bPtP==
bQtL
=
Quindi il cofattore di un indice di Paasche dei prezzi è un indice di Laspeyres delle quantità
Reversibilità della base
Questa proprietà richiede che l’indice della
situazione t in base b sia essere uguale al
reciproco dell’indice della situazione b in base
t. Per un generico indice I si ha:
46
1( )b t t bI I
Reversibilità della base e Indice di Valore
47
1
, ,1 1
, ,1
, ,1
, ,1
n
t i t ii
b t n
b i b ii
n
b i b ii
t bn
t i t ii
p qV
p q
p qV
p q
Reversibilità della base e Indice di Paasche
48
1
, ,1
1
, ,1
, ,1
, ,1
n
t i t iP i
b t n
b i t ii
n
b i t iLi
t bn
t i t ii
p qP
p q
p qP
p q
Reversibilità della base e Indice di Laspeyres
49
1
, ,1
1
, ,1
, ,1
, ,1
n
t i b iL i
b t n
b i b ii
n
b i b iPi
t bn
t i b ii
p qP
p q
p qP
p q
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