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RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE 1er ORDEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFacultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426Profesor: Celso Montalvo
CELSO MONTALVO2
Comportamiento Dinámico En un proceso industrial, el Estado Ideal es el Estado
Estacionario donde los productos tienen la calidad constante y adecuada, el consumo de materias y energía es mínimo, los tiempos son óptimos y la operación es eficiente.
Sin embargo, pese al esfuerzo de los ingenieros y operadores de planta, el Estado Ideal no es permanente y sólo se consigue con atención constante y dedicada.
Las desviaciones del Estado Ideal deben ser eliminadas con rapidez, pero para saber cómo eliminarlas es necesario conocer cómo es el comportamiento dinámico del proceso y cómo responde ante las pertubaciones y ante los cambios y acciones que nosotros introduciríamos para corregir las desviaciones.
A continuación iniciaremos el estudio del comportamiento dinámico de la llamada Respuesta de Primer Orden.
CELSO MONTALVO3
Sistemas de Primer Orden Un Sistema de primer Orden es
aquél cuya expresión matemática se da con una ecuación diferencial de 1er orden. Esta ecuación describe matemáticamente el proceso.
( ) ( ) ( )dX t B X t C f tdt
+ ⋅ + =
F TF
C TCM TC
Consideremos el sistema mostrado: un tanque agitado, con salida por rebose. Evaluemos cómo varía la Temperatura de salida, TC, ante un cambio repentino en la Temperatura de entrada TF. F, Cp, M ctes.
El Análisis Dinámico básico empieza con los Balances de Materia y Energía.
CELSO MONTALVO4
Sistemas de Primer Orden Balance de Materias:
0dMF Cdt
− = =
( )( ) ( ) C RF R C R
d T TF Cp T T C Cp T T M Cpdt−
⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅
F TF
C TCM TC
En Estado Estacionario:
F C=
Balance de Energía:
Para hallar la variación de la Temperatura TC debemos hallar la solución de la ecuación diferencial.
Tomando TR = 0: CF C
dTF Cp T C Cp T M Cpdt
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
0 0 0F CF Cp T C Cp T⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
...(1)
...(2)
Restando (2) de (1): 00 0
( )( ) ( ) C CF F C C
d T TF Cp T T C Cp T T M Cpdt−
⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅
...(3)
CELSO MONTALVO5
Sistemas de Primer Orden Al aplicar Transformadas de Laplace a una derivada se
requiere conocer el valor inicial de la variable.( ) ( ) (0)dV tL s s V
dt = ⋅ −
V
Definición de Variable de Desviación: V(t) = V(t) – V(0) Tiene la ventaja de que V(0) = V(t) – V(0) = V(0) – V(0) = 0
( ) ( ) (0 ) ( )d tL s s s sdt
= ⋅ − = ⋅
VV V V
Aplicando variables de desviación a nuestra ecuación 3:0
0 0( )( ) ( ) C C
F F C Cd T TF Cp T T C Cp T T M Cp
dt−
⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅
CF C
dF Cp C Cp M Cpdt
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅T
T T
Transformando y operando con F=C:( ) ( ) ( )F C CF Cp s F Cp s M Cp s s⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅T T T
( ) ( ) ( ) ( ) 1F C C CMCpF Cp s M Cp s s F Cp s F Cp s sFCp
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
T T T T ...(4)
Notar esta expresión
CELSO MONTALVO6
Finalmente se obtiene: F TF
C TCM TC
Sistemas de Primer Orden
1( ) ( )1C Fs s
s = ⋅ τ ⋅ +
T TMF
τ =
Perturbación ó Función Forzante
Respuesta Transitoria
Función de Transferencia
Constante de Tiempo
Consideremos el efecto del cambio en TF desde 20ºC a 50ºC:– Para t < 0, TF = 20ºC.– Para t ≥ 0, TF = 50ºC.
0 t
20º
50º
CELSO MONTALVO7
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Sistemas de Primer Orden Convirtiendo a Variable de Desviación:
( ) ( )0 50º 20º 30ºF F FT t T= − = − =T
F TF
C TCM TC
Para s = 0:
Transformando:
Operando e invirtiendo la transformada para hallar la solución de la ecuación diferencial.
( )1 1 1( ) ( )
1 1 1 1C FK A Bs s K K
s s s s s s s = = = = + τ + τ + τ + τ +
T T
Finalmente:
( ) 30ºF
Kss s
= =T
1 11 1
As Bs As s s
= + ⇒ =τ + τ +
Para s = -1/τ: ( ) ( )1 11 1
A s B sB
s s sτ + τ +
= + ⇒ = −ττ +
( )/
1 1 1( )1 1/
( ) 1
C
tC
s K Ks s s s
t K e− τ
τ = − = − τ + + τ
= −
T
T
CELSO MONTALVO8
Sistemas de Primer Orden Gráfica de la Respuesta Transitoria para un Step Unitario:
( )/( ) 1 tC t K e− τ= −T
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
τ 2τ 3τ 4τ
82.5%95% 98%
63.2%
CELSO MONTALVO9
Sistemas de Primer Orden Respuesta Transitoria para otras funciones forzantes:
Rampa, Sinusoide, Exponencial, Impulso
/( ) ; ( ) tF Ct t t e t− τ= = τ + − τT T
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Respuesta Transitoria a una Rampa
Tiempo, min
Tem
per
atu
ra, º
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Impulse Response
Time (sec)
Am
plit
ud
e
/( ) Impulse ; ( ) tF Ct t e− τ= =T T
22
1( ) s ( ) ; ( ) sen ( ( ))11
t
F Ct en t t t arctg e−ττ
= = + −τ ++ τ+ τ
T T
0 5 10 15 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Respuesta Transitoria a un Sinusoide
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Respuesta Transitoria a un Exponencial
Tem
per
atu
ra, º
C
/ /( ) ; ( )t tF Ct e t te− τ − τ= =T T
CELSO MONTALVO10
Sistemas de Primer Orden
Balance de Materias:
0dMF Cdt
− = =
F var TF var
C TCM TC
(Estado Estacionario)
F C=
Balance de Energía:
Ahora que F y TF son variables no se puede pasar a Variables de Desviación directamente: Se debe aplicar el Teorema de Taylor:
CF C
dTF Cp T L V C Cp T M Cpdt
⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
0 0 0 0 0F CF Cp T L V C Cp T⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =
En caso de Variación en el tiempo de dos ó más Variables:
0
0 0
0 0 0 00 0
Para funciones no lineales:( )( ) ( ) ( ) ...
Para el producto de dos funciones:( ) ( )( ) ( ) ...
x
f xf x f x x xx
A B A BA B A B B B A AB A
∂= + − +
∂
∂ ⋅ ∂ ⋅⋅ = ⋅ + − + − +
∂ ∂
0 0 0 0C
F F C CdTF Cp T F Cp T C Cp T C Cp T M Cpdt
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅V
CELSO MONTALVO11
Sistemas de Primer OrdenF var TF var
C TCM TC
De igual manera se opera para F*TC. Entonces:
Para el producto F*TF:
0 0 0 000
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ...
( ) ( )
F FF F F F
F
F F F F F
F F F F
F F F F
F T F TF T F T T T F FT F
F T F T F T T T F FF T F T F TF T F T F T
∂ ⋅ ∂ ⋅⋅ = ⋅ + − + − +
∂ ∂
⋅ = ⋅ + − + −⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅
T F
T F
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
CF F C C
CF F C C
CF F C C
F F C C C
F F C C
dTF Cp T F Cp T C Cp T C Cp T M Cpdt
dF Cp T Cp F Cp T Cp M Cpdt
dF Cp T T Cp F Cp M Cpdt
F Cp s T T Cp s F Cp s M Cp s s
F s T T s F
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ + − ⋅ = ⋅
TT F T F
TT F T
T F T T
T F T ( )
( ) ( ) ( )
0
0 0
0
1
11
F CC F
Ms sF
T Ts s ss F
+
− = + ⋅ τ +
T T F
V
CELSO MONTALVO12
Sistemas de Primer OrdenF var TF var
C TCM TC
F0=100kg/min; TF=20ºC; TC=50ºC; V=6kg/min; L=500kcal/kg.ºC; M=100kg. ∆F=20kg/min; ∆TF=30ºC
Ejemplo, para los siguientes datos:
( ) ( ) ( )0 0
0
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F CC F
T Ts s ss F
− = + ⋅ τ + T T F
V Para la siguiente función:
( ) ( )20 5010 20 1100
tC t e− − = + −
T
La Respuesta en el Tiempo es:
La Gráfica es:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
minutos
Fo
rzan
tes
y T
emp
erat
ura
Respuesta Transitoria a dos Forzantes
13
FIN
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