1
1
04 - Introduction à la statique
1- Translation et forces
2- Rotations et Moments
3- Moment dû à une force
4- Le Frottement
5- Poussée d’Archimède
Jean Luc Zanforlin - ENSAM
Balançoires en acier. Pivot en bétonPlace Potzdamer, BerlinPhoto Paxinou E. Octobre 2006
2
1- Translation et forces
Introduction
Lorsqu’une boule de billard percute une bande, sa trajectoire est modifiée au
point A du choc. Comment décrire ce phénomène ? Par la notion de force : on dit qu’il s’exerce une force au point A. La force est donc la cause de la modification du mouvement (et non la cause du mouvement).
A
2
3
DéfinitionPlus généralement la force est un notion
physique qui exprime l’action qu’exerce un corps (la bande) sur un autre (la boule); elle permet de représenter une action due à une cause.
Par exemple, on ressent le
poids d’un livre dans la main àcause de l’attraction terrestre.
Une force isolée de tout n’a pas de sens.
La force doit être provoquée par quelque chose : le vent exerce une force sur un obstacle qui s’oppose à son
passage
P
V
A
1- Translation et forces
4
DéfinitionLa force est donc caractérisée par :- son point d’application- sa direction (ou appelé support ou ligne d’action)�- son sens- son intensité ou grandeur
-Elle se représente par un vecteur
Dans cet exemple, Le poids P (force) est donc caractérisé
par :
- son point d’application : A, la main- sa direction ou sa ligne d’action : la droite AB ou BA
- son sens : du haut vers le bas, de A vers B
- son intensité donné par la norme du vecteur
||P||= Masse x g = Masse x 10m/s²
Rappel :
masse d’une pomme 100g
Poids de cette pomme ?
P = Masse x 9,81 m/s2
P ≈ Masse x 10 Newton
≈ 0,1.10 = 1 Newton
P
A
B
1- Translation et forces
3
5
Masse - Poids, ordres de grandeur
objet Masse Poids
(kg) (Newton)�
. 1 petite pomme 100g (0,1kg) 1 N
. 1 litre d’eau 1kg 10 N = 1daN (1 déca Newton)�
. 1 parpaing béton perforé 9kg 90 N
(5x20x20cm)
. 1 homme de… 72kg 720 N
. 2 sac de ciment de 50kg 100kg 1000N = 1 kN (1 kilo Newton)�
. 1 poutre en chêne 200kg 2 kN(0,25x0,20x6)
. 1 voiture 1000kg (1 tonne) 10 kN
. 1 dalle de béton armé 10t 100 kN
(5x5m, 16cm ép.)
. 1 locomotive 100t 1000 kN = 1 MN (1 méga Newton)�
. Petit immeuble habitation R+3200m2 au sol en béton armé 1000t 10 MN
. Tour Eiffel 10 000t 100 MN
1- Translation et forces
6
Forces concentrées et forces répartiesLa force telle qu’elle a été définie agit en 1 point :
c’est une force concentrée.En pratique, ce type de force n'existe pas mais on peut s’en approcher beaucoup : pied d’une table, talon aiguille, etc…
PA
B
C’est pour cette raison qu’il faut définir des forces dites réparties :. Force agissant sur une ligne, en N/m
. Force agissant sur une surface, en N/m2
. Force de volume sur tous les éléments de matière d’un corps, en N/m3
(cf. Poids volumique) �
q = P / L en N/mQ = s. a . b en N,
avec s en N/m2
1- Translation et forces
4
7
Forces et TranslationUne force a tendance à modifier un mouvement dans le sens d’action de la force.La force s’associe au mouvement de translation
Evidemment, sous l’action des forces, les constructions ne doivent pas bouger parce qu’elles doivent rester en équilibre, donc immobiles. Mais il est très utile de de se rendre compte qu’une force tend à entraîner une construction en translation.
Neige sur auvent
Source : Studer et Frey
1- Translation et forces
8
2- Rotations et MomentsDéfinitionsLorsqu’on serre un écrou, lorsqu’on visse un tire-bouchon, lorsqu’on agit sur un volant, l’objet sollicité tourne sur lui-même. Il se produit une rotation autour d’un axe dit axe de rotation.
Ce mouvement est provoqué par une force de rotation. La cause s’appelle moment
: le moment s’associe à la rotation autour d’un axe.
Volant soumis à 1
rotation autour de son
axe
Moment associé
Le moment est aussi une force qui a
les mêmes caractéristiques et les mêmes propriétés* que les forces proprement dites (caractère vectoriel) : on le représente donc par un vecteur porté par l’axe de rotation.
* Les unités sont différentesSource : Studer et Frey
5
9
2- Rotation et MomentsDéfinitionsPour connaître dans quel sens agit un moment M (cad le sens de la rotation), on place le pouce de la main droite le long de M et les 4 doigts restants indiquent le sens de la rotation.
Différents modes de représentation du moment
Double flèche droite Flèche tournante
Sens de rotation
So
urc
e :
Stu
de
r e
t F
rey
Sens d’action du moment
10
3- Moment dû à une force
Considérons une force F située dans un
plan et un point O de ce plan. En O on trace l’axe z’z perpendiculaire au plan.
Du point O on abaisse la perpendiculaire sur la ligne d’action de la force, c’est à dire sur la droite qui représente la direction de la force.
On note d la distance entre le point O et la ligne d’action de la force: d est égale à la
longueur OH.
Par définition, le moment M de la force F par rapport à l’axe z’z (ou par rapport
au point O) est égal au produit de l’intensité de la force par la distance d :M = F x d
Le moment s’exprime en Newton.mètre (N.m) ou en multiples (daN.m, KN.m, )�
6
11
3- Moment dû à une force
Si on considère plusieurs forces situées
dans un même plan et un point O de ce plan, on peut calculer le moment de chacune de ces forces par rapport à O, et affecter un signe positif ou négatif à ce moment, suivant le sens de rotation qu’il
provoquerait.
Le moment dû à l’ensemble des forces
agissant simultanément est appelé moment résultant.
Il est égal à la somme algébrique des moments dus à chacune des forces.
Mo = 12 x 2 – 5 x 3 – 3 x 2 = 24 – 15 – 6 = 3 N.m
12
3- Moment dû à un couple de forces
Dans le plan, le moment
d’un couple de forces par rapport à un point est égal à la somme algébrique des moments de chacune des forces.
Ce moment est une constante dite « moment
du couple », ceci quelle que soit la situation du point (P1, P2, P3, etc..) dans le plan.
Ce moment est le produit de l’intensité F des forces par la distance « a » de leurs droites-
supports ou « bras du couple ». M = F x a
En effet M = + F x r – F x (r + a) = F.r – F.r + F.a = F x aEt ainsi de suite quelque soit la distance r, donc le point P.
7
13
3- Moment dû à un couple de forces
Un couple de forces dans un
plan donné est entièrement caractérisé par son moment:
Valeur et sens
Un couple ne peut être
équilibré par une force, mais par un autre couple coplanaire de moment égal mais de sens opposé.
14
3- Moment dû à un couple de forces
Un couple de forces dans
l’espace est complètement défini par trois éléments:
- la valeur du moment
- l’orientation du couple dans
l’espace définie par la directionde la normale à ce plan;
- le sens du couple dans le plan
Cela permet de représenter le couple par un vecteur dont:
- la grandeur donne l’intensité- la flèche, le sens par la règle du tire bouchon qui enfoncé donne le sens de rotation- la direction du vecteur est celle de la normale au plan du couple
8
15
3- Moment dû à une force
ExempleUne force (de translation) peut provoquer un moment comme dans l’exemple ci-dessous :
Si on exerce une force F, le boulon tend à tourner à l’autre extrémité. Puisqu’il y a tendance à la rotation, il y a moment.
So
urc
e :
Stu
de
r e
t F
rey
16
3- Moment dû à une forceCalculLa rotation a lieu autour de l’axe du boulon (axe X). Le moment M est porté par l’axe X et s’applique au point B
Le moment est donc donné par le vecteur et son intensité vaut :
M = F . d (1)�
M = 200. 0,3
= 60 N.m ou 6000 N.cm
Unité et signeD’après la formule (1), l’unité du moment est donc un unité de force multiplié par une unité de
distance.On utilise le « Newton mètre », N.m
Le signe est réglé par le sens (cf. règle du pouce : le moment est positif s’il est orienté dans le
même sens que l’axe qui le porte). Ici le moment est positif.
So
urc
e :
Stu
de
r e
t F
rey
9
17
3- Moment dû à une force
CalculLa distance ‘d’ (ou bras de levier) est
mesurée sur la perpendiculaire à la ligne d’action de la force.
M1 = F . d1
d2 < d1
M2 < M1
d = 0
M3 = 0
Fd1
Fd2
F
18
3- Moment dû à une forceAutre cas type
d
P
F
A B C
A
F
B
P
C
d
F
10
19
3- Moment dû à une forceAutre cas type
Considérons un homme dans une barque près d'un appontement. Il désire faire pivoter la barque; pour cela il va se repousser du quai.La position de l'homme dans la barque a son importance: la barque tournera dans un sens s'il se trouve à l'arrière et en sens opposé s'il se trouve àl'avant.S'il se tient directement au dessus du centre de gravité C de la barque, notre homme ne parviendra qu'à s'éloigner du quai sans aucune rotation.
20
3- Moment dû à une forceAutre cas type
Il y a une autre méthode pour faire pivoter cette barque; l'homme y parviendra en repoussant le quai d'une main et en tirant avec l'autre main – en d'autres termes il exerce deux forces égales et opposées suivant des lignes d'action parallèles -.
Une telle paire de force possède des propriétés particulières qui lui méritent le nom distinctif de couple.
11
21
3- Moment dû à une forceAutre cas type
C'est non seulement le sens, mais la grandeur de l'effet de rotation d'un couple - son moment – qui reste le même oùqu'il soit appliqué.
Vis à vis du point A:M/A = - P x d
vis à vis du point B:M/B = - P x a - P x b
= - P x (a+b) = - P x d
22
3- Moment dû à une forceAutre cas type
Comme précédemment. Calculons le moment par rapport au point C, pris hors du couple:
Vis à vis du point C:MC = - P x (d+c) + P x c
= - P x d
Quel que soit le centre de rotation, le moment d'un couple est égal au produit de la grandeur des forces qui le composent par leur distance mutuelle.
12
23
3- Moment dû à une forceAutre cas type
L'effet rotatif d'un couple, son moment, ne dépend pas du lieu d'application sur le corps.
Grandeur et sens de rotation de son moment définissent donc entièrement un couple.
24
3- Moment dû à une forceExercice d'application
M/0 = ?
13
25
3- Moment dû à une forceExercice d'application
M/0 = + 5daNx1m + 15daNx2m – 10daNx3m = + 5 daN.m
26
3- Moment dû à une forceExercice d'application
M/0 = ?
14
27
3- Moment dû à une forceExercice d'application
M/0 = - 10daNx1m + 15daNx2m – 25daNx1m = - 5daN.m
28
4- Le frottement
DéfinitionLe frottement est la résistance qui s’oppose au déplacement relatif de 2 solides en
contact.Le frottement dépend :- du type de mouvement : translation, rotation, roulement, pivotement….- de la vitesse- de la présence éventuelle d’un lubrifiant (frottement sec ou librifié)�
- de l’état des surfaces en contact- de la température, etc.
C’est un phénomène complexe
Il se caractérise par le fait qu’il s’oppose au mouvement qui lui a donné naissance.
15
29
4- Le frottementDéfinition
Pour le frottement F de glissement sec à l’état statique, on peut utiliser la loi de
Coulomb.
P
HF
On peut montrer que F = µ . P
avec
µ
Métal sur métal 0,30
Pierre sur Pierre 0,30
Bois sur Bois 0,40
Acier sur Béton 0,03Métal sur Pierre 0,50
Métal sur bois 0,40
Pierre sur Terre 0,60
30
4- Le frottement
Quand il n’y a pas de frottement
(chaussée verglacée par exemple),
pour déplacer le corps ci-contre il
suffit d’une force F// (parallèle au
plan de glissement) minime.
Le plus souvent, il y a frottement et
F n’est pas négligeable. Des séries
d’expérience montrent que
l’intensité de F// dépend de:
-F⊥ perpendiculaire au plan de
glissement (ici Q+P)�
- la nature des deux matériaux en
contact
- ne dépend pas de l ’aire de la
surface de contact (l’expérience ci-
contre donne F1=F2=F3)�
16
31
4- Le frottement
L’intensité de de F est donné par la
formule:
F// = constante x F⊥
Cette constante est le coefficient
de frottement
c = F// : F⊥
Ce coefficient caractérise le
frottement entre les deux matériaux
Définition
32
4- Le frottement
Sur un plan incliné sans
frottement pour que le
corps soit en équilibre, il
faut le retenir avec la
force F
Définition
17
33
4- Le frottement
Le poids P peut se
décomposer en:
- une force ⊥ au plan de glissement (la réaction du
plan) : P.cosα
- une force // au plan de
glissement : P.sinα
L’équilibre du corps
implique l’égalité des deux
forces opposées:
F = P x sin α
Définition
34
4- Le frottement
En utilisant les acquis
précédents du cas du
frottement sur un plan
horizontal, on :
F// = P.sinα
F⊥ = P.cos α
Et l’on peut en déduire
l’expression du coefficient
de frottement
Définition
Coefficient de frottement c
18
35
4- Le frottement
Le coefficient de frottement des deux matériaux (du
corps et du plan incliné est égal à la tangente de l’angle
du plan incliné à la limite du glissement.
Définition
36
4- Le frottement
Quelques coefficients de frottement:
acier / acier: 0,3 (train; métro etc..)
sol/béton: 0,5 (fondation) �
Exemples
19
37
4- Le frottement
Pour que la luge avance sur la neige Toto doit exercer
une force de de 10N sur la corde.
Sachant que le coefficient de frottement entre la neige et
les patins de la luge est de 0,05, quel est le poids de la
luge ?
Exercice
38
4- Le frottement
F// = Tcos30° F⊥ = Pds - Tsin30°
coff frot c = F// : F⊥ d'où F⊥ = F// : 0,05
soit Pds - Tsin30°= Tcos30°/ c
soit Pds = 10x0,866/0,05 + 10x0,5 = 178,2 N
Exercice
Tsin30°
Tcos30°Pds
T
20
39
5- La poussée d’ArchimèdeDéfinitionTout corps plongé dans l’eau (fluide) subit une force vers le haut et égale au
poids du volume d’eau (fluide) déplacé.
CalculPar définition, la poussée d’Archimède peut donc s’écrire :
PA = (volume d’eau déplacé) x (poids volumique de l’eau)�
PA = (volume immergé en m3) x 10 kN/m3
P
PA
40
5- La poussée d’Archimède
Exemples d’application de la poussée d’archimède
Sous marin / ballast Dirigeable
21
41
5- La poussée d’Archimède
Exercice / Le dirigeable
Soit un dirigeable de forme
cylindrique R = 5m / L = 50m
Quel poids total (poids propre +
surcharge) peut-il emporter ?
Masse volumique de l’air 1,3 g/l
Soit 1,3 Kg/m3
42
5- La poussée d’Archimède
Exercice / Le dirigeable
Volume du dirigeable
V = section x L
= Π R² x L = Π x 5² x 50
= 3925 m3
Poussée d’archimède = Poids du
volume déplacé
= V x 1,3 Kg/m3 x 10 m/s²
= 3925 m3 x 13N/m3 = 51025 N
= 51,02 KN (5,1 Tonne force)
Capacité portante = poussé
d’archimède = 51 KN
22
43
5- La poussée d’Archimède
Exemples d’application de la poussée d’archimède
Tanker
44
Bibliographie du cours
. Halik Daniel, Polycopié de cours - Statique, Ecole Nationale Supérieure d’Architecture de Marseille : Marseille, Novembre 2005.
. Fleury François, Statique - Résistance des matériaux - structures, polycopié de cours de l’Ecole
Nationale Supérieure d’Architecture de Lyon : Lyon.
. Sandori, Petites logiques des forces, Editions Seuil Point Sciences : Paris, 1983.
. Studer Marc-André et Frey François, Introduction à l’analyse des structures, Presses
Polytechniques et Universitaires Romandes, 2004, 368 p.
Jean Luc Zanforlin - ENSAM
Top Related