8/12/2019 02 Matemtica Financeira
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FUNDAO GETLIO VARGASFGV MANAGEMENT
MATEMTICA FINANCEIRA
George J. Boggiss
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NDICE
PGINA
JUROS SIMPLES 03
JUROS COMPOSTOS 19
TAXAS DE JUROS 40
DESCONTOS 72
ANUIDADES (SRIES UNIFORMES) 86
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JUROS SIMPLES
J = C . i . t
JUROS (J) a remunerao pela aplicao do capital (C), durante umcerto perodo de tempo ( t ), a uma taxa de juros( i ).
Quando i expresso sob a forma de taxa unitria, ou seja, de uma fraodecimal (por ex.: 12% = 0,12; 5% = 0,05; 1,25% = 0,0125).
Obs.: Devemos manter sempre coerentes o prazo ( t )com a taxa dejuros ( i ),em relao unidade de tempo.
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JUROS SIMPLES S = C + J
O Montante (S) composto pelo somatrio do Capital (C) com osJuros (J) obtidos no perodo.No exemplo anterior, o montante Sao final de dez anos seria de$
180,00, onde C = $ 100,00 e J = $ 80,00.
Caso faamos a substituio de J na equao, teremos :
S = C ( 1 + i t )S = C + C i t
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JUROS SIMPLES S = C ( 1 + i t )ATENO :
No regime de Juros Simples, os juros so sempre calculados sobre ocapital inicial( C ), fazendo com que os montantes ( S), ao final de cadaperodo de contagem de juros, apresentem-se como uma ProgressoAritmtica ( P.A.) de razo igual ao valor dos juros ( J ).
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JUROS SIMPLES S = C ( 1 + i t )
PERODO S = MONTANTE ACRSCIMO
0 S0 = 100,00 -
1 S1 = 108,00 8,002 S2 = 116,00 8,003 S3 = 124,00 8,004 S4 = 132,00 8,005 S5 = 140,00 8,006 S6 = 148,00 8,00
7 S7 = 156,00 8,008 S8 = 164,00 8,00
9 S9 = 172,00 8,0010 S10 = 180,00 8.00
Baseados no exemplo dado, poderamos montar a seguinte tabela:
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JUROS SIMPLES S = C ( 1 + i t )
JUROS SIMPLES
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Perodos
Montantes
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EXERCCIOS - JUROS SIMPLES
1 .
A que taxa de juros simples dever ser colocado certo capital paraque o mesmo duplique no fim de 20 anos ?
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SOLU O - JUROS SIMPLES
1. S = C ( 1 + i t ) S = 2C t = 20 anos
2C = C ( 1 + 20 i ) 2 = 1 + 20 i 1 = 20 i
i = 1 20 = 0,05 i = 5% a.a.
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EXERCCIOS - JUROS SIMPLES
2 .Certo capital, colocado taxa de 4% a.a. gerou, ao fim de 5 anos, omontante de $ 3.600,00. Qual o valor dos juros produzidos ?
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J = ?
S = C ( 1 + i t ) 3.600 = C ( 1 + 0,04 x 5 ) 3.600 = C ( 1+ 0,20)
C = 3.600 1,20 = 3.000 Logo, J = 3.600 - 3.000
SOLU O - JUROS SIMPLES
2. S = 3.600 i = 4% a.a. t = 5 anos
J = $ 600,00
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EXERCCIOS - JUROS SIMPLES
3 .
Qual o valor do capital que, colocado taxa de 6,5% a.a. produz $2.085,00 de montante em 6 anos ?
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C = ? i = 6,5 % a.a. = 0,065 S = 2.085 t = 6 anos
S = C ( 1 + i t ) 2.085 = C ( 1 + 0,065 x 6 )
C = 2.085 ( 1 + 0,39 ) = 1.500 C = $ 1.500,00
3.
SOLU O - JUROS SIMPLES
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EXERCCIOS - JUROS SIMPLES
4 .
Certo capital ficou depositado durante 2 anos a 4% a.a.. Findo este
prazo, a soma de capital e juros foi colocada a 6% a.a., durante 18
meses. Calcular o capital inicial, sabendo-se que o montante final foi
de $ 17.658,00.
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4. C = ? t 1 = 2 anos i1 = 4 % a.a. S 1 = C ( 1 + i 1 t 1) ( A )
S2= 17.658 t2 = 18 meses i 2= 6 % a.a. S2 = S1( 1 + i2 t2 )
17.658 = S 1 ( 1 + 0,06 x 18 12 ) 17.658 = S 1 ( 1 + 0,09 )
S 1 = 17.658 1,09 = 16.200
Substituindo S 1 em ( A ), teremos :
16.200 = C ( 1 + 0,04 x 2 ) 16.200 = C ( 1 + 0,08)
C = 16.200 1,08 = 1.500 C = $ 15.000,00
SOLU O - JUROS SIMPLES
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EXERCCIOS - JUROS SIMPLES
5 .
A que taxa anual um capital de $ 1.200,00 gera um montante de $
3.600,00, no fim de 7.200 dias (considerar o ms comercial, de 30
dias).
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SOLU O - JUROS SIMPLES
5. C = 1.200 S = 3.600 t = 7200 dias (meses comerciais) i = ?
1 Soluo :
S = C + J J = S - C = 3.600 - 1.200 = 2.400
J = Ci t 2.400 = 1.200 x i x ( 7.200 360 )
i = 2.400 ( 1.200 x 20 ) = 2.400 24.000 = 0,10 i = 10% a.a
2 Soluo :
S = C ( 1 + i t ) 3.600 = 1.200 { 1 + i (7.200 360) }
3.600 1.200 = 1 + 20 i 3 = 1 + 20 i 20 i = 3 - 1
i = 2 20 = 0,10 i = 10% a.a
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No regime dejuros compostos, aps cada perodo de capitalizao, os
juros so incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render
juros. Podemos, ento, dizer que os juros sero sempre calculados
tomando-se por base o montante (S) do perodo anterior,
diferentemente do que ocorre nos juros simples, onde os juros so
sempre fixos, calculados sobre o capital inicial (C).
JUROS COMPOSTOS
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No regime de juros compostos tambm introduzida uma nova varivel,a freqncia de capitalizao. Ela comanda a maneira pela qual os jurosso calculados, independentemente da taxa de juros fornecida e dotempo considerado.
Alis, como a freqncia de capitalizao unitria, ou seja, ocorre demaneira uniforme, o t (tempo) sempre ser igual a 1 (um), enquanto oque ns iremos utilizar, de fato, ser o nmero de perodos decapitalizao (n).
Os montantes, no regime de juros compostos, apresentar-se-o comouma progresso geomtrica (P.G.) de razo igual a (1+i).
JUROS COMPOSTOS
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JUROS COMPOSTOS
Frmula do Montante:
Sabendo-se que t = 1, teremos:
S 1= C + C i = C ( 1 + i )
Sn = C ( 1 +i )
n
Onde : S ou FV = montante ao final de n perodos de capitalizaoC ou PV = capital iniciali = taxa de juros ( dentro da freqncia de capitalizao)n = nmero de perodos de capitalizao
S 2= S 1 + S 1i = S 1( 1 + i ) = C ( 1 + i ) . ( 1 + i ) = C (1 + i )2
S 3= S2+ S 2i = S 2( 1 + i ) = C ( 1 + i )2. ( 1 + i ) = C (1 + i )3
.
.
S n= S n-1+S n-1i = S n-1( 1 + i ) ................................... = C (1 + i )n
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Tabelas - Fatores Utilizados
1 . Para calcular o Montante ( S) , dado o Capital ( C)
n SC( 1 + i ) = F ( i , n )
S = C ( 1 + i )
nS = C x F
SC( i , n )
- Chama-se Fator de valor futuro ou Fator de capitalizao
2. Para calcular o Capital ( C) , dado o Montante ( S)
CS
____1____ = F ( i , n)( 1 + i )
n
C = S ( 1 + i )
- n C = S x FCS
( i , n )
- Chama-se Fator de valor atual ou Fator de desconto.
JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i ) n
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Tabelas - Fatores Utilizados
Observaes:
- Estes fatores so encontrados em tabelas (em anexo) para diversos
valores de i e de n .
JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i ) n
- Os fatores foram criados no sentido de simplificar o trabalho depotenciao, quando no se tinha mo uma calculadorafinanceira! Todavia, o conhecimento terico dos mesmos ir
facilitar o manuseio da calculadora financeira.
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Clculos de Juros Compostos na HP-12C
Como podemos notar, os clculos de juros compostos, assim como todos osclculos de matemtica financeira, podero ser realizados, com a HP-12C,de duas maneiras diferentes:
- A primeira, realizada atravs das funes matemticas, com o empregodas frmulas que aqui vimos:
- A segunda, atravs dos registradores financeiros, ou seja, das teclasn , i , PV e FV . A utilizao dos registradores financeiros, faz comque a aplicao das frmulas apresentadas seja imediata,permitindo que os clculos sejam executados de forma rpidae segura. Assim, temos que a rotina, neste caso, ser:
JUROS COMPOSTOS
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JUROS COMPOSTOS
Clculos de Juros Compostos na HP-12C
1. Apagar o contedo dos registradores financeiros, teclandof FINou apagar tudo, teclando f REG;
2. Introduzir as variveis conhecidas ( no mnimo trs ), teclandoCHSquando a varivel representar uma sada de caixa.
VARIVEL SMBOLO TECLA OBSERVAO
PRAZO n n compatvel com i/ freq. capitalizao
TAXA i i usar em percentagem (%) /
compatvel comn/ freq. capitalizaoCAPITAL C PV usar CHS se necessrio
MONTANTE S FV usar CHS se necessrio
PRESTAO R PMT usar CHS se necessrio
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PERODO S = MONTANTE ACRSCIMO
0 S0 = 100,00 -1 S1 = 108,00 8,002 S2 = 116,64 8,643 S3 = 125,97 9,334 S4 = 136,05 10,085 S5 = 146,93 10,88
6 S6 = 158,69 11,767 S7 = 171,38 12,698 S8 = 185,09 13,719 S9 = 199,90 14,8110 S10 = 215,89 15,99
JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i )n
Baseados no exemplo dado em juros simples, poderamos montar aseguinte tabela, agora calculada com juros compostos:
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JUROS COMPOSTOS
0
50
100
150
200
250
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Perodos
Montantes
JUROS COMPOSTOS Sn= C ( 1 + i )n
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Comparando agora o resultado encontrado, graficamente, em JurosSimples ( Progresso Aritmtica ) e Juros Compostos ( ProgressoGeomtrica ), verificaremos que:
JUROS SIMPLES ( P.A.) = equao de uma reta do tipo Y= a.x + b, onde oa ( coeficiente angular = razo da P.A. = J), enquanto que o b( coeficientelinear = capital inicial = C), x = t (tempo) e Y o montante.
JUROS COMPOSTOS ( P.G.) = uma curva exponencial do tipo Y = ax. bonde a ( coeficiente angular = razo da P.G. = 1 + i ), enquanto que o b( coeficiente linear = capital inicial = C), x = n ( nmero de perodos decapitalizao ) e Y o montante
JUROS COMPOSTOS
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JUROS SIMPLES x JUROS COMPOSTOS
0
50
100
150
200
250
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Perodos
M
ontantes
JUROS COMPOSTOS
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EXERCCIOS - JUROS COMPOSTOS
1 .
Qual o montante correspondente a um capital de $ 2.000,00,
aplicado a juros compostos, uma taxa de 12% a.a., durante 3 anos,
com freqncia de capitalizao anual ?
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SOLU O - JUROS COMPOSTOS
1 .
FV = ? PV = 2.000 i = 12% a.a. = 12 n = 3 anos = 3
b1. Insere-se o valor 2.000 CHS PV ( Capital, com valor negativo );
b2. Insere-se o valor 12 i;
b3. Insere-se o valor 3 n;
b4. Aperta-se a tecla FV, tendo como resultado, no visor: 2.809,85
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2 .
Um investimento de $ 1.000,00, com juros capitalizados mensalmente,
produziu o montante de $ 3.281,00 ao fim de 5 anos. Qual a taxaenvolvida na operao ?
EXERCCIOS - JUROS COMPOSTOS
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2 .
SOLU O - JUROS COMPOSTOS
Procurando, pgina por pgina, na linha n = 60, encontra-se o fator 3,281na pgina correspondente taxa de 2%. Esta ser a taxa mensal, tendo em
vista que a freqncia de capitalizao e, consequentemente, o nmero deperodos de capitalizao foram expressos em meses.
S = 3.281 C = 1.000 n = 5 anos x 12 = 60 meses i = ?
3.281 = 1.000 ( 1 + i )60
3,281 = ( 1 + i )60
3,281 = FSC
(i =?, n= 60)
( A ) UTILIZANDO AS F RMULAS DE MATEM TICA FINANCEIRA :
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SOLU O - JUROS COMPOSTOS
No visor, teremos : 1,999984, ou seja, 2 % a.m..
2 .
FV = 3.281 PV = 1.000 n = 60 i = ?
1.000 CHS PV ; 3.281 FV ; 60 n ; i
( B ) UTILIZANDO A HP-12C:
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3 .
Por quanto tempo deve ser colocado o capital de $ 4.000,00 taxa de
8% a.a., a fim de produzir o montante de $ 9.328,00, sendo acapitalizao anual ?
EXERCCIOS - JUROS COMPOSTOS
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3 .
SOLU O - JUROS COMPOSTOS
Procurando, na pgina correspondente taxa de juros de 8% encontramos ofator 2,332 na linha correspondente a n = 11. Logo, o prazo ser de 11( onze ) anos .
C = 4.000 S = 9.328 i = 8% a.a. n = ?
9.328 = 4.000 ( 1 + 0,08 )n 9.328 4.000 = ( 1 + 0,08 )
n 2,332 = ( 1 + 0,08 )n
n = LN2,332 LN 1,08 = 0,846726 0,076961 = 11,002012 anos
( A ) UTILIZANDO AS F RMULAS DE MATEM TICA FINANCEIRA :
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No visor teremos : 11Isto significa que o prazo ser de 11 anos , ou seja, a mesma respostaque obtivemos em ( A ).
SOLU O - JUROS COMPOSTOS
3 .
FV = 9.328 PV = 4.000 i = 8% a.a. n = ?
4.000 CHS PV ; 9.328 FV ; 8 i ; n
OBS: Quando n for calculado com a HP-12C, torna-se necessriochecar o resultado encontrado, uma vez que a programao da
mquina costuma arredondar nmeros fracionrios de perodos, paracima. Neste caso, a checagem dever ser feita da seguinte maneira,logo aps o resultado encontrado:
( B ) UTILIZANDO A HP-12C:
0 PV ; PV ... No visor - 4.000,6193. Isto indica que o nmero deperodos de capitalizao no foi arredondado.
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4 .
Que quantia deve ser investida hoje, a fim de acumular
$ 10.000,00 em 10 anos, com capitalizao semestral, a taxa de
10% a.a. ?
EXERCCIOS - JUROS COMPOSTOS
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O visor apresentar o nmero 3.768,89 . isto significa que o PV (ou valoratual, valor presente, principal) ser de $3.769,00, aproximadamente.
SOLU O - JUROS COMPOSTOS
4 .
FV = 10.000 PV = ?
i = 10% a.a. = 5% a.s. n = 10 anos x 2 = 20 semestres
10.000 CHS FV ; 5 i ; 20 n ; PV
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TAXA DE JUROS
1. Taxa Nominal(iN)
2. Taxas Proporcionais(ip):
a taxa usada na linguagem normal, expressa em a.a.%,independentemente da freqncia de capitalizaoou a taxa de juros naqual a unidade de referncia temporal (ano) no coincide com a unidade detempo da capitalizao.
Exemplo : 8% ao ano, capitalizados semestralmente.12% ao ano, capitalizados mensalmente.
Soduas ou mais taxas que guardam, entre si, as mesmas propores que
os prazos a que se referem. As taxas costumam ser proporcionais taxanominal, com freqncias de capitalizao diferente da anual :
Exemplos : 8% ao ano e 4% ao semestre.12% ao ano e 1% ao ms.
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3. Taxas Efetivas(ief):
TAXA DE JUROS
So expressas em termos anuais (%a.a.) e so maiores do que as taxas
nominais que as originaram, assumindo-se a freqncia de capitalizaodiferente da anual.
Quanto menor o perodo considerado para a contagem dos juros, maior sera diferena entre a taxa efetiva e a taxa nominal.
So as taxas de juros realmente pagas (ou recebidas) pela aplicaode um capital.
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EXEMPLO :
$100,00, aplicados a juros compostos de 8% a.a. (taxa nominal), capitalizadossemestralmente, quanto iro render ao final de um ano ?
(A) No fim do 1 semestre : S1= 100 { 1 + ( 0,08 2 ) } = 100 x 1,04 = 104
A taxa efetiva ser 8,16% a.a..
TAXA DE JUROS
(B) No fim do 2 semestre : S 2= 104 { 1 + ( 0,08 2 ) } = 104 x 1,04 = 108,16
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3. Taxas Efetivas (cont.) :
n
S n = C (1 + __iN__ ) iN = ip n n
S1= 100 { 1 + ( 0,04 ) }
S 2= S 1{ 1 + ( 0,04 ) } Substituindo o valor de S 1, teremos:
S2= 100 { 1 + ( 0,04 ) } { 1 + ( 0,04 ) } = 100 { 1 + ( 0,04 ) }
TAXA DE JUROS
O que equivale a dizer que:
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3. Taxas Efetivas (cont.) :
TAXA DE JUROS
Temos ento, que :
C ( 1 + ief ) = C ( 1 + ip )n 1 + ief = ( 1 + ip)
n
n
ief = (1 + ip ) - 1
Como o que procuramos a taxa efetiva, que nos d :
S = C ( 1 + ief) igual a S = C ( 1 + ip)n
Onde : ief = taxa efetiva, expressa em % a.a.iN = taxa nominal, tambm expressa em % a.a.n = nmero de capitalizaes em um ano.( iN ) = taxa proporcional ( ip), dentro da freqncia de
n capitalizao considerada
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4. Taxas Equivalentes(ieq):
So duas ou mais taxas que, quando aplicadas sobre um mesmo capital,chegam a um montante igual, com freqncias de capitalizao diferentes.
TAXA DE JUROS
As taxas equivalentes so sempre apresentadas com a freqncia decapitalizao diferente da capitalizao anual (para esta freqncia decapitalizao, temos a taxa efetiva).
Assim, podemos afirmar que toda taxa efetiva possui vrias taxas
equivalentes, dependendo da freqncia de capitalizao considerada,diferente da anual. Podemos notar que, tanto na taxa efetiva como na taxaequivalente, a unidade de referncia temporal coincide com a unidade detempo da freqncia de capitalizao (ano/anual, ms/mensal, etc.).
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4. Taxas Equivalentes (cont.) :
-
TAXA FREQUNCIA TAXA FREQUNCIA
NOMINAL ANUAL
PROPORCIONAL DA ANUAL
EFETIVA ANUAL
EQUIVALENTE DA ANUAL
TAXA DE JUROS
A relao entre as taxas se processa da seguinte forma:
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TAXA DE JUROS
S 1 = C ( 1 + 0,08 )3 S 2 = C ( 1 + ieq)
6
Como S 1 = S 2, temos que :
C ( 1 + 0,08 )
3
= C ( 1 + ieq)
6
1 + 0,08 = ( 1 + ieq)2 ( 1 + 0,08 )
1/2= 1 + ieq
ieq = 1,03923 - 1 ieq = 3,923% ao semestre
Exemplo : Uma empresa quer tomar um emprstimo que ser pago ao finalde 3 anos, a taxa de juros de 8% a.a. e com capitalizao anual. Ainstituio financeira que ir conceder o emprstimo, por motivosoperacionais, calcula os juros com capitalizao semestral. Qual dever sera taxa de juros semestral a ser utilizada para que os montantes sejam
rigorosamente iguais ?
4. Taxas Equivalentes (cont.) :
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TAXA DE JUROS
1 / n
ieq = ( 1 +ief) - 1
Onde : ieq = taxa equivalente, expressa em % a.a.ief = taxa efetiva, expressa em % a.a.n = nmero de capitalizaes em um ano, dentro da
freqncia de capitalizao considerada.
Logo, baseados no exemplo, podemos afirmar que :
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5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a
utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):
TAXA DE JUROS
(A) Pelo Processo Matemtico :
Partindo-se da taxa nominal de 12% a.a. e considerando-se uma
freqncia de capitalizao mensal, qual ser a taxa efetiva ?
J sabemos que, partindo-se de uma taxa nominal e da freqncia decapitalizao, chegamos a uma taxa proporcional. No caso, a taxaproporcional mensal ser de 1% a.m. (12 % 12).
Esta taxa proporcional, para efeito de clculo da taxa efetiva, ser a taxaequivalente mensal da mesma. Assim, podemos dizer, aps conhecer ateoria, que a frmula da taxa efetiva poderia ser expressa da seguinteforma, em funo da taxa equivalente :
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nief = ( 1 + ieq) - 1
Assim sendo, a taxa efetiva ser de 12,68% a.a., ou seja,ief = ( 1 + 0,01 )
12- 1 = ( 1,01 )
12 - 1 = 1,1268 - 1 = 0,1268 = 12,68% a.a.
TAXA DE JUROS
5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a
utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):
Onde : n o nmero de capitalizaes considerado noclculo da taxa equivalente ( ieq)
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Na calculadora utilizamos a tecla yxpara executar a operao de (1,01)12, daseguinte forma: digita-se 1,01, em seguida Enter; a seguir, digita-se 12eaperta-se a tecla yx; o resultado no visor ser :1,1268. Da, subtrai-se 1 emultiplica-se por 100. O resultado ser de 12,68% a.a..
TAXA DE JUROS5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a
utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):
No caso inverso, ou seja, partindo-se de uma taxa efetiva, comocalcularamos, matematicamente, a taxa equivalente ?
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TAXA DE JUROS5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a
utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):
Se partirmos da taxa efetiva de 85% a.a. , qual ser a taxa equivalentediria ? (devemos sempre considerar, a menos que disposto em contrrio, o
ano comercial com 360 dias)
1 / n 1/360
ieq = ( 1 + ief) - 1 ieq = ( 1 + 0,85 ) - 1
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Para resolvermos matematicamente, pela HP-12C, faremos:
TAXA DE JUROS
( a ) 1,85 ENTER { digita-se ( 1 + ief) }
( b ) Digita-se 360 ( nmero de dias do ano comercial)
( c ) Digita-se 1 / x ( para se calcular 1 / n )
( d ) No visor, aparecer o nmero 0,002777
x 0,00277...( e ) y (no visor, teremos o nmero 1,00171 = 1,85 )
( f ) A taxa equivalente diria ser ( 1,00171 - 1 ) = 0,00171 ou , emtermos percentuais, de 0,171% ao dia.
5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a
utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):
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TECLAS VISOR OBSERVAO
f FIN ( OU f REG ) 0,00 apaga os registradores financeiros( ou todos os registradores )
100 CHS PV - 100,00 introduz um investimento de $ 100
1 i 1,00 introduz a taxa proporcional mensal
12 n 12,00 introduz o nmero de capitalizaesocorridas em 1 (um) ano
FV 112,68 fornece o valor do montante (ou Valor Futuro) , no final de 1 (um) ano.
100 1,1268 calcula-se a variao total, real, sobreo investimento feito, de $ 100
1 - 100 x 12,68 fornece a taxa efetiva - ief ( % a.a. )
TAXA DE JUROS5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a
utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):
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Continuando a explicao, temos o segundo exemplo, em queperguntamos:
Qual ser a taxa equivalente diria para uma taxa efetiva de 85% a.a. ?
TECLAS VISOR OBSERVAO
f FIN ( OU f REG ) 0,00 apaga os registradores financeiros( ou todos os registradores )
100 CHS PV - 100,00 introduz um investimento de $ 100
185 FV 185,00 introduz o montante considerando a
taxa efetiva ( ief) de 85% a.a.
360 n 360 introduz o nmero de dias, no perodode um ano (comercial), em n
i 0,171 fornece a taxa equivalente ( ieq ) diriade juros taxa efetiva ( ief) de 85% a.a.
TAXA DE JUROS5. Determinao das Taxas Efetivas e Taxas Equivalentes com a
utilizao da Calculadora Financeira HP-12C (cont):
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EXERCCIOS - TAXAS DE JUROS
1 .
Calcular quais so as taxas efetivas relativas a uma taxa nominal de
24% a.a., caso as freqncias de capitalizao sejam mensal,bimestral, trimestral, quadrimestral, semestral e anual ?
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SOLU O - TAXAS DE JUROS
1 .
TAXANOMINAL
% A.A.
FREQNCIADE
CAPITALIZAO
TAXAPROPORCIONAL( % A.A. ) (*)
FORMULAOTAXA
EFETIVA% A.A.
1224 MENSAL 2 ief= ( 1 + 0,02 ) - 1 = 1,2682 - 1 26,82
624 BIMESTRAL 4 ief= ( 1 + 0,04 ) - 1 = 1,2653 - 1 26,53
424 TRIMESTRAL 6 ief= ( 1 + 0,06 ) - 1 = 1,2624 - 1 26,24
3
24QUADRIMESTRAL
8 ief= ( 1 + 0,08 ) - 1 = 1,2597 - 1 25,97 224 SEMESTRAL 12 ief= ( 1 + 0,12 ) - 1 = 1,2544 - 1 25,44
124 ANUAL - ief= ( 1 + 0,24 ) - 1 = 1,2400 - 1 24,00
(*) A TAXA PROPORCIONAL TAXA NOMINAL E, SIMULTNEAMENTE, EQUIVALENTE TAXA EFETIVA.
( A ) UTILIZANDO AS FRMULAS DE MATEMTICA FINANCEIRA :
TAXA NOMINAL = 24% A.A. TAXAS EFETIVAS = ? % A.A.
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Passo Operao realizadaDigitar
naHP-12C
Resultadono visor
( HP-12C )
1 Clculo da taxa proporcionalmensal ( inom 12 ) 24 , enter , 12 , 2
2 Clculo de ( 1 + ip ) 100 , , 1 , + 1,02
n
3 Clculo de ( 1 + ip ) - 1 12 , yx , 1 , - 0,2682
4 Para se chegar Taxa Efetiva (ouReal) na forma de taxa unitria 100 , x 26,82
SOLU O - TAXAS DE JUROS(a) Com a utilizao das teclas matemticas:
a. Digita-se 24 (taxa nominal), em seguida, o nmero de vezes que serocontados os juros no perodo de um ano ( no caso da capitalizaomensal, digita-se o nmero 12 ) e, em seguida, a tecla ( );
1 .
b. Digita-se, ento, na ordem:
100 , , 1 , + , 12 , yx , 1 , - , 100 , x
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2 .
Caso a taxa efetiva seja de 30% a.a., quais sero as taxas
equivalentes, consideradas as freqncias de capitalizao doexerccio 1 ?
EXERCCIOS - TAXAS DE JUROS
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2 .
TAXAEFETIVA
% A.A.
FREQNCIADE
CAPITALIZAOFORMULAO
TAXAEQUIVALENTE( % A.A. ) (*)
TAXANOMINAL
% A.A.
1/ 1230 MENSAL ieq = ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0221 - 1 2,21 26,52 1/ 6
30 BIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0447 - 1 4,47 26,82 1/ 4
30 TRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0678 - 1 6,78 27,12 1/ 3
30 QUADRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0914 - 1 9,14 27,42 1/ 2
30 SEMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,1402 - 1 14,02 28,04 1
30 ANUAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,3000 - 1 30,00 30,00
(*) A TAXA EQUIVALENTE TAXA EFETIVA E, SIMULTNEAMENTE, PROPORCIONAL A UMA TAXA NOMINAL
( A ) UTILIZANDO AS F RMULAS DE MATEM TICA FINANCEIRA :
SOLU O - TAXAS DE JUROS
Taxas Nominais = ? % a.a. Taxa Efetiva = 30 % a.a.
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Como, nas tabelas de matemtica financeira, no aparecem valorescalculados para nmeros fracionados de n , a nica soluo encontrada,por este mtodo, atravs dos clculos exponenciais das calculadoras(poderamos tambm calcular por logaritmos). Assim, temos que calcular,
inicialmente, o expoente 1/n , para calcularmos depois o valor da taxaequivalente, partindo da taxa efetiva e da freqncia de capitalizaoconsiderados.
SOLU O - TAXAS DE JUROS
2 .
Considerando como exemplo a freqncia de capitalizao mensal,
teremos a seguinte seqncia de passos :
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SOLU O - TAXAS DE JUROS2 .
Digite agora 12; a seguir, digite 1/x ... voc ir calcular 1/12 ( no visor,ficar aparecendo : 0,08333... ficar na memria X).
Em seguida, digite a tecla yx
Digite 1,30 e, em seguida, a tecla ENTER (fica na memria X e Y);
O resultado que ficar na tela ser : 1,022104451 , ou seja, 2,21 % aoms .
Logo, a taxa nominal ser de : 2,21% a.m. x 12 = 26,52% a.a.
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TAXA EFETIVA = FREQ. DE CAPITAL. TAXA NOMINAL
SOLU O - TAXAS DE JUROS
Por outro lado, este exerccio interessante para que o aluno possa
notar, claramente, que quanto menor for a freqncia de capitalizao,
mais prxima da taxa efetiva vai ficando a taxa nominal, at igualar-se mesma quando a freqncia unitria em um ano . Temos, pois :
2 .
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TAXAEFETIVA% A.A.
FREQNCIADE
CAPITALIZAOFORMULAO ( # )
TAXAEQUIVALENTE( % A.A. ) (*)
TAXANOMINAL
% A.A.
1/ 1230 MENSAL ieq = ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0221 - 1 2,21 26,52
1/ 630 BIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0447 - 1 4,47 26,82
1/ 430 TRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0678 - 1 6,78 27,12
1/ 330 QUADRIMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,0914 - 1 9,14 27,42
1/ 230 SEMESTRAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,1402 - 1 14,02 28,04
130 ANUAL ieq= ( 1 + 0,30 ) - 1 = 1,3000 - 1 30,00 30,00
(*) A TAXA EQUIVALENTE TAXA EFETIVA E, SIMULTNEAMENTE, PROPORCIONAL A UMA TAXA NOMINAL.
SOLU O - TAXAS DE JUROS
2 . ( B ) UTILIZANDO A HP-12C :
Taxa Efetiva = 30 % a.a. Taxas Nominais = ? % a.a.
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EXERCCIOS - TAXAS DE JUROS
3.
Qual a taxa semestral equivalente a uma taxa real de 21% a.a.?
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SOLU O - TAXAS DE JUROS
S1 = C ( 1 + 0,21 )1 S 2 = C ( 1 + ieq)
2
Como S 1 = S 2, temos que :
C ( 1 + 0,21 ) 1= C ( 1 + ieq)2 1,21 = ( 1 + ieq)
2 ieq = ( 1,21 )1/2 - 1
ieq = 1,10 - 1 = 0,10 ieq = 10% ao semestre
3.
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EXERCCIOS - TAXAS DE JUROS
4.
Um financiamento foi combinado a juros de 24% a.a. Pelo prazo de 10
anos, com capitalizao anual. Qual a taxa equivalente, se decidirmoscontar os juros de 4 em 4 meses ?
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SOLU O - TAXAS DE JUROS
S 1 = C ( 1 + 0,24 )10 S 2 = C ( 1 + ieq)
30
C ( 1 + 0,24 )10
= C ( 1 + ieq)30
1,24 = ( 1 + ieq)3
( 1,24 )1/3
= 1 + ieq
ieq = 1,0743 - 1 = 0,0743 ieq = 7,43% ao quadrimestre
4.
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DESCONTOS
So juros recebidos ou concedidos quando o pagamento de um ttulo antecipado.
O desconto a diferena entre o valor nominal (S) de um ttulo na data deseu vencimento e o seu valor atual (C) na data em que efetuado odesconto.
Os descontos podem ser divididos em :Desconto Comercial, Bancrio ou Por Fora.Desconto Racional ou Por Dentro.
Os descontos so nomeados simples ou compostos em funo do clculodos mesmos terem sido no regime de juros simples ou compostos,respectivamente.
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DESCONTOS
Desconto Simples Por Fora (Comercial ou Bancrio)
Df= S . i . t
O desconto calculado sobre o valor nominal (valor de face) do ttulo,utilizando-se taxa de juros simples.
o mais utilizado no sistema financeiro, para operaes de curto ecurtssimo prazo.
O valor a ser pago (ou recebido) ser o valor atual, capital:
C=S-D C=S -S i t C =S (1 - i t)
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Desconto Simples Por Dentro (ou Racional)
Dd= C . i . t
O desconto calculado sobre o valor atual (valor lquido) do ttulo,utilizando-se taxa de juros simples.
Praticamente no utilizado no sistema financeiro.
DESCONTOS
Como se conhece o valor nominal do ttulo (S) antes do seu valor lquido(C), adota-se :
Dd = Si t
1 + it
D = S - C S = C + D C = S - D
Dd = Cit = ( S- D) it = Sit - Dit D + Dit = Sit D ( 1 + it ) = Sit
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DESCONTOS
Desconto Composto
O desconto composto consiste no valor encontrado pela diferena entre ovalor nominal ou valor futuro do ttulo (S) e o valor atual, lquido, do ttulo(C), utilizando-se a taxa de juros compostos.
CSC = S x 1
C = S x F( TABELA 2 )
( 1 + i )n
C = S . Fcs
Temos que:
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DESCONTOS
Relao Entre Taxa de Juros Real e Taxa de Desconto
Qual a diferena entre a taxa de desconto e a taxa cobrada, de fato, emuma operao financeira ?
Como distinguir uma da outra ?
Exemplo :
Uma companhia, necessitando de caixa para efetuar alguns pagamentospendentes, vai ao banco descontar duplicatas, com prazo de 30 dias, novalor total de $ 100.000,00 . Sabendo-se que a taxa de descontos(simples por fora ou bancria ou comercial) utilizada pelo banco foi de8% ao ms, calcular qual foi a taxa realmente utilizada na operao.
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DESCONTOS
Relao Entre Taxa de Juros Real e Taxa de Desconto (cont.)
Df = Si t = 100.000 x 0,08 x 1 = 8.000 D = $ 8.000,00C = S - D = 100.000 - 8.000 = 92.000 C = $ 92.000,00
Logo, a rentabilidade da operao financeira ser calculada da seguinte forma :
[ ( S C) - 1 ] x 100
[ ( 100.000 92.000 ) - 1 ] x 100 = ( 1,087 - 1 ) x 100 = 0,087 x 100 = 8,7% a.m.
Ou seja, para uma taxa de desconto de 8% a.m.
O custo efetivo foi de 8,7% a.m.
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DESCONTOS
Relao Entre Taxa de Juros Real e Taxa de Desconto (cont.)
Como existe a reteno de 5% do valor de face, nominal, em conta-corrente, at o final da operao, o valor lquido realmente recebido pelacompanhia foi de :
C = 92.000,00 - ( 5% de 100.000,00 ) C = 92.000,00 - 5.000,00 = 87.000,00
Como os $ 5.000,00 ficaro retidos at o final da operao, o valornominal real a pagar ser de : 100.000,00 - 5.000,00 = 95.000,00
Logo, a rentabilidade da operao ser assim calculada :
[ ( S liq Cliq ) - 1 ] x 100 [ ( 95.000 87.000 ) - 1 ] x 100 =( 1,09195 - 1 ) x 100 = 0,09195 x 100 = 9,20% a.m.
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EXERCCIOS - DESCONTOS
1 .
Uma promissria com vencimento em 15 de dezembro descontada
comercialmente por $ 10.000,00 em 1 de setembro do mesmo ano, a
uma taxa simples de desconto de 6% a.m.. Se no existem outras
taxas ou tributos, calcular o valor nominal da promissria, bem como a
taxa real de juros da operao.
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SOLU O - DESCONTOS
1 .
C = 10.000 S = ? i = 6% a.m. t = 105 dias corridos
S - C = Df C = S - S i t = S ( 1 - i t ) 10.000 = S [ ( 1 - 0,06 x 105 30) ]
S = 10.000 ( 1 - 0,21 ) = 10.000 0,79 S = $ 12.658,23
ireal = [ ( S C ) - 1 ] x 100 ireal = [ ( 12.658,23 10.000,00 ) - 1 ] x 100
ireal= 26,58% ( taxa real para 3,5 meses )
Para calcularmos a taxa real mensal, basta dividirmos o resultadoencontrado por 3,5:
ireal= 26,58% 3,5 (meses) ireal= 7,595% a.m.
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2 .
Uma duplicata de $ 60.000,00 foi descontada comercialmente,
resultando em um crdito na conta corrente da empresa de
$ 51.000,00. Se a taxa simples de desconto foi de 5% a.m., calcular
qual foi o prazo do vencimento da duplicata e qual foi a taxa real da
operao.
EXERCCIOS - DESCONTOS
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3 .Um banco realiza suas operaes de desconto de duplicatas aplicando
uma taxa simples de desconto de 2% a.m.. Todavia, exige um saldo
mdio de 30% do valor da operao, a ttulo de reciprocidade bancria.
Uma empresa descontou uma duplicata de $ 100.000,00 trs meses
antes de seu vencimento. Calcular qual foi o valor liberado para a
empresa e a taxa de desconto efetiva, linear, sem e com a exigncia do
saldo mdio. Para simplificar, suponhamos que no hajam taxas de
servios bancrio, CPMF e remunerao sobre o saldo mdio.
EXERCCIOS - DESCONTOS
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3 .
SOLU O - DESCONTOS
S = 100.000 i = 2% a.m. t = 3 meses Saldo Mdio = 30% de S
(a)Sem o saldo mdio:
D f = S i t D f = 100.000 x 0,02 x 3 D f = 6.000
C = S - D f C = 100.000 - 6.000 C = 94.000
ireal = { [ ( S C ) - 1 ] x 100 } 3 = { [ ( 100.000 94.000 ) - 1 ] x 100 } / 3
ireal = 2,128% a.m.
(b) Com a exigncia do saldo mdio:
Sliq = 100.000 - 30% de 100.000 = 100.000 - 30.000 = 70.000
Cliq = 94.000 - 30.000 = 64.000
ireal = { [ ( S C ) - 1 ] x 100 } 3 = { [ ( 70.000 64.000 ) - 1 ] x 100 } 3
ireal = 3,125% a.m.
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SRIES UNIFORMES
A Srie Uniforme pode ser consideradapostecipada (quando o primeiropagamento ou recebimento ocorre no final de cada perodo de tempo) ouantecipada(quando o mesmo ocorre no incio de cada perodo de tempo).
A calculadora HP-12C est programada para calcular com sriesuniformes postecipadas mas, caso se tecle g BEG,ela estar preparadapara calcular sries uniformes antecipadas; neste caso, ficar aparecendoa palavra BEGIN no visor; para voltar a condio de sries uniformespostecipadas, basta teclar g END. Verificar que a palavra BEGINdesaparecer do visor. Graficamente, uma srie uniforme postecipada
pode ser visualizada da seguinte maneira:
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SRIES UNIFORMES
PV FV
0 1 2 3 . . . n-2 n- 1 n
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
Onde: PV = valor atual, capital, investimento inicialPMT = termo da srie unifome
FV = valor futuro, montante
n = nmero de perodos de capitalizao
Com estas trs variveis, PV, PMT e FV, alm da taxa de juros ( i )envolvida e do nmero de perodos de capitalizao ( n ) , poderemoscalcular os outros 4 ( quatro ) fatores :
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SRIES UNIFORMES
1. Para obter FV, ao fim de n perodos , a uma taxa i, dado PMT
2. Para obter PMT, durante n perodos , a uma taxa i, dado FV
3. Para obter PV, no incio de n perodos, a uma taxa i, dado PMT
4. Para obter PMT, durante n perodos , a uma taxa i, dado PV
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SRIES UNIFORMES
QUEROCALCULAR
DADO TAMBMSODADOS
DIGITO, ENTO, EMQUALQUER ORDEM PORLTIMODIGITO
FV PV i , n CHS PV, i , n FV
PV FV i , n CHS FV, i , n PV
FV PMT i , n CHS PMT, i , n FV
PV PMT i , n CHS PMT, i , n PV
PMT PV i , n CHS PV, i , n PMT
PMT FV i , n CHS FV, i , n PMT
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SRIES UNIFORMESAteno:
Todos os fatores tiveram suas frmulas deduzidas para o emprego em sriesde pagamento (ou recebimento) postecipadas; caso ocorram sriesantecipadas (em que o primeiro termo da srie uniforme ocorre no perodo0(zero), teremos duas maneiras de resolver o problema:
(A)Considerar o valor atual, capital, igual ao valor fornecido para o preo vista, abatido do valor da primeira prestao e reduzir, consequentemente, onmero de prestaes em 1 (uma), uma vez que a mesma foi paga noperodo zero. Da, basta aplicar a teoria j conhecida, de sries uniformespostecipadas.
(B)Com o uso da calculadora HP-12C, basta digitar a tecla gseguida datecla BEG e proceder como se fosse uma srie uniforme postecipada; apalavra BEGIN ficar aparecendo no visor at que se digite a tecla gseguida da tecla END, para que a mquina volte a condio de srieuniforme postecipada.
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SRIES UNIFORMESClculo do Saldo Devedor
PVt
0 1 2 3 . . . . t . . . . m - 2 m - 1 m
PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
Suponhamos que, para um emprstimo contrado na poca zero, pagvelem mparcelas iguais e consecutivas, taxa de juros i fosse determinada aprestao PMT . Pagas t prestaes, desejamos saber qual o saldodevedor logo aps o pagamento da t- sima parcela .
PV/PMTPV = PMT x F (i = ...%; n = m -t)
t
Para isto, basta que calculemos o valor atual ( PV ), na poca t , detodas as m- t parcelas devidas no futuro .
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Sries Infinitas ou Sries Perptuas:
SRIES UNIFORMES
Estes tipos de sries ocorrem com freqncia em clculos atuariais, deseguros, assim como em casos em que existe um investimento inicial queir gerar uma renda constante (ou crescente/decrescente) em um perodono determinado (ex.: Investimento em imveis destinados obteno derenda peridica, aluguis ou investimento em aes com o objetivo deauferir rendimentos com dividendos).
So as sries de pagamentos (ou recebimentos) iguais ditas infinitas ouperptuas, sejam elas antecipadas ou postecipadas, quando o nmero determos (n) no tiver final estabelecido, ou seja, ele poder tender para oinfinito ().
Quando este fato ocorre, as frmulas dos fatores que j demonstramos aquificam alteradas, uma vez que n . Da, temos que :
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Sries Infinitas ou Sries Perptuas (cont.):
SRIES UNIFORMES
PV = PMT x (1 / i) ou PMT = PV. i ou i = PMT/ PV
A demonstrao matemtica poder ser vista pela frmula do fator, quandon :
Simplificando, a primeira parte ficar resumida a 1 e a segunda, i a zero ,uma vez que o denominador ir tender para infinito.
n PV/PMTPV = PMT [ ( 1 + i ) - 1 ] quando n , o F ser :
i ( 1 + 1 ) n
PV/PMT nF = ( 1 + i ) - 1 = 1 / i - = 1 / i
i ( 1 + i ) n i ( 1 + i ) n
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1 .
Um anncio oferece um ventilador por $ 63,00 vista ou em 12
prestaes mensais de $ 7,00, sendo a primeira paga no ato da
compra. Qual a taxa de juros implcita no plano a prazo ?
EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
Temos, basicamente, dois caminhos para resolver este problema:
A. COM A TECLA BEGIN ACIONADA ( SRIES ANTECIPADAS ) :
a.1 - Acionar a tecla BEGIN , apertando a tecla AZUL ( g ) e, em
seguida, a tecla BEG . que a tecla do 7 - verifique que, novisor, ir aparecer a palavra BEGIN .
a.2 - A seguir, comece a digitar: 63 CHS PV , 7 PMT e 12 n .
a.3 - Digite i ; no visor ir aparecer : 5,72 , logo, a taxa de jurosprocurada de 5,72% ao ms.
Resposta : A taxa de juros implcita no plano a prazo proposto de 5,72% a.m..
1.
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C063
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 127 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
SOLU O - SRIES UNIFORMES
B. SEM A TECLA BEGIN ACIONADA ( SRIES POSTECIPADAS ) :
- Se voc continua com a sua mquina aparecendo a palavra BEGIN novisor, tecle novamente a tecla AZUL ( g ) e, em seguida, a tecla END- que
a tecla do 8 - verifique que desapareceu a palavra BEGINe que a suamquina voltou a ficar programada para o clculo de SRIESPOSTECIPADAS.
- A nova seqncia a se digitar ser :
1 .
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
b1 - Limpar a memria - f (TECLA AMARELA) seguida da tecla CLx;
b2 - Teclar 56 CHS PV - neste caso, procede-se colocando o Valor Atual(PV) como a diferena entre o Preo Vista e o pagamento da primeira
prestao;
b3 - Teclar 7 PMT ;
b4 - Teclar 11 n ( novamente subtramos do total de prestaes a primeira,
que foi dada no ato da compra ) ;
b5 - Tecla-se i e o resultado ser 5,72 novamente, demonstrando que ataxa de juros mensal, por este mtodo, semelhante anterior, de 5,72% a.m.
1 .
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2 .
Qual o limite do emprstimo que posso aceitar hoje, se me oferecem
prazo de 2 anos, taxa de 20% a.a. e capitalizao trimestral, admitindoque posso separar, para o pagamento desta dvida, $ 200,00 por
trimestre ?
EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
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PV
0 1 2 3 4 5 6 7 8
200 200 200 200 200 200 200 200
SOLU O - SRIES UNIFORMES
Vimos que: PMT = $ 200,00 n = 8 trimestres i = 5% ao trimestre
Resposta: O limite do emprstimo, pela HP-12C , de $ 1.292,64.
Queremos calcular o valor de PV (VALOR PRESENTE)Utilizando a HP-12C , teremos :
a1. Digitar 200 CHS PMT , 5 i , 8 n ;a2. Digitar PV ;
a3. No visor, aparecer 1.292,64, ou seja, $ 1.292,64
2 .
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3 .
Para pagar, em prestaes, uma dvida de $ 25.000,00, podemos dispor
de $ 2.000,00 por ms. Com a taxa de 1% a.m., quantos pagamentos
mensais tero que ser feitos e quanto deveremos dar de entrada, caso
haja valor residual ?
EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
Este exerccio muito bom para alertar o usurio da HP-12C, para osriscos de se executar clculos sem parar para checar os resultadosencontrados. O prprio manual da mquina alerta para que, quando doclculo do nmero de perodos de capitalizao, alguns cuidados devemser tomados, uma vez que a mquina sempre ir arredondarpara cima o
resultado at encontrar um nmero inteiro, caso este resultado seja umnmero fracionrio como resposta. Assim, temos que, ao utilizar amquina, iremos proceder os seguintes passos, visando no cometererros:
a1. Digitar 25.000 PV ;a2. Digitar 1 i ;
a3. Digitar 2.000 CHS PMT ;
a4. Digitar n e ir aparecer, no visor, o nmero 14.
3 .
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
Em princpio, no se sabe se o resultado o correto ou se trata de umarredondamento do nmero de perodos de capitalizao. Para se ter acerteza, utiliza-se o seguinte recurso:
b1. Aps verificar o resultado 14 no visor da mquina, digita-se,
novamente, a tecla n , aparecendo, novamente, o nmero 14 ;
Como o PV = 26.007,40, portanto superior ao PV original, de 25.000,00,percebe-se que houve um arredondamento do nmero de perodos decapitalizao, para cima.
b2. Em seguida, digita-se PV ( para calcularmos o Valor Atual paran = 14 ) ;
b3. No visor ir aparecer o nmero 26.007,40
Temos que achar um PV menor que os 25.000,00 originais, uma vez que,igual, no iremos encontrar.
3 .
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
Para tanto, iremos diminuir em 1 (um) perodo de capitalizao o clculo oraem curso, de 14 para 13 perodos de capitalizao.Da, teremos :
c1. Aproveitando o clculo anteriormente feito at b3, basta que
digitemos 13 e a tecla n a seguir;.
Isto significa que o valor realmente financiado em 13 pagamentos iguais,mensais e sucessivos, foi de $ 24.267,48. Logo, a diferena para a dvidade $ 25.000,00 ser o valor dado como ENTRADA, ou seja, $ 25.000,00 -$ 24.267,48 = $ 732,52
Resposta : Entrada de $ 732,52 e 13 prestaes de $ 2.000,00.
c2. Digitar a tecla PV ;
c3. No visor, ir aparecer o nmero 24.267,48
3 .
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4 .
Para acumular $ 30.000,00 ao fim de 3 anos, qual dever ser a
quantia a investir ao fim de cada bimestre, em uma instituio
financeira que paga juros de 18% a.a. e conta estes juros 6 vezes ao
ano ?
EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
A operao, na mquina HP-12C resume-se, ento, a :
Logo, o valor da quantia a ser investida ao fim de cada bimestre ser de$ 1.281,26.
Resposta : A quantia bimestral a ser investida de $ 1.281,26.
a1. Digitar 30.000 CHS FV ;
a2. Digitar 3 i ;
a3. Digitar 18 n ;
a4. Digitar PMT.
a5. No visor, ir aparecer o nmero 1.281,26 .
4 .
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EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
5 .
Um funcionrio pblico obteve da Caixa Econmica Federal um
emprstimo, a ser descontado na folha de pagamento, de $3.735,36,
para ser pago em 47 prestaes mensais de $100,00, sendo a taxa de
juros de 1% a.m.. Logo aps o desconto da 12 prestao, o funcionrio
procurou a CEF, solicitando a reduo de prazo do emprstimo, de 47
para 32 prestaes. Calcular o saldo devedor aps o pagamento da
12 prestao, bem como o valor da nova prestao que passar a serdescontada no contracheque do funcionrio .
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
PV = 3.735,36 n = 47 i = 1% a.m. PMT = 100,00
Para verificarmos se os dados fornecidos esto corretos, vamos recalcular ovalor da prestao ( PMT ), partindo do valor do emprstimo original (PV), dataxa de juros ( i ) e do nmero inicial de pagamentos previstos ( n ). Assim,
teremos a seguinte seqncia de clculos na HP-12C :
a.1 Digitar 3.735,36 CHS PV ;
a.2 Digitar 47 n ;
a.3 Digitar 1 i ;
a.4 Digitar PMT ;
a.5 No visor, ir aparecer o nmero 99,999 ou seja, 100,00.
5 .
SOLU O S RIES UNIFORMES
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Para calcularmos o saldo devedor do emprstimo, inicialmente contratadopara ser pago em 47 prestaes mensais, logo aps o pagamento da 12prestao, basta que calculemos o Valor Atual ( PV ) da srie depagamentos iguais que esto faltando ser pagos, no futuro, ou seja, os 35pagamentos restantes. Assim, basta que faamos os seguintes passos:
SOLU O - SRIES UNIFORMES
b.1 Digitar 35 n ;
b.2 Digitar PV ;
b.3 No visor, ir aparecer o nmero 2.940,85 ( Saldo Devedor procurado ).
5 .
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Finalmente, para calcular o valor da nova prestao ( PMT ), considerandoque este Saldo Devedor passar a ser o Valor Atual ( PV ) do novoemprstimo, para ser pago em 20 ( n ) prestaes iguais e consecutivas, mesma taxa de juros de 1% a.m. ( i ), teremos os seguintes passos a
cumprir, aproveitando os anteriores:
SOLU O - SRIES UNIFORMES
c.1 Digitar 20 n ;
c.2 Digitar PMT ;
c.3 No visor, se apresentar o nmero162,97( valor da nova prestao )
5 .
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EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
6.
Um aparelho de ar condicionado anunciado nas seguintes
condies: ( A ) vista = $ 2.000,00 ; ( B ) a prazo = entrada de
$ 500,00 e 12 prestaes mensais de $ 150,70. Qual a taxa dejuros implcita na venda a prazo ?
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SOLU O - SRIES UNIFORMES6.
Como foi dada uma entrada de $ 500,00, a parte realmente financiadafoi de $ 2.000,00 - $ 500,00 = $ 1.500,00
Graficamente, poderamos ilustrar esta operao da seguinte maneira :
1500,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70 150,70
f REG - 1500 CHS PV - 150,70 PMT - 12 n - i - no visor, teremos :3,000764 , o que equivale dizer que a taxa de juros i = 3,00% a.m.
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EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
7.
Uma pessoa deposita $ 10.000,00 , abrindo uma conta de poupana.
Trs meses depois, faz outro depsito de $ 6.000,00. Qual
ser seu saldo, no final do primeiro ano, se a poupana rendeu,
neste perodo, uma taxa de juros composta de 2% a.m. ?
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EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
8.
Quanto um investidor teria que aplicar hoje, para acumular a
importncia de $ 100.000,00 daqui a 5 (cinco) anos, considerando que
sua taxa de aplicao de 1 % a.m. ? E, se ao invs de aplicar hoje,ele resolvesse investir mensalmente uma determinada importncia,
fixa? Quanto deveria ser esta importncia, considerando-se inalteradas
as demais premissas ?
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
8. PV = ? FV = $ 100.000,00 n = 5 anos = 60 meses i = 1% a.m.
f REG - 100.000 CHS FV - 1 i - 60 n - PV. No visor, PV = $ 55.044,96
Caso o investidor resolvesse investir mensalmente uma importncia fixa,iria calcular o valor de PMT, ou seja :
f REG - 100.000 CHS FV - 1 i - 60 n - PMT . No visor, PMT =$ 1.224,44
EXERC CIOS S RIES UNIFORMES
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EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
9.
Uma loja de departamentos est vendendo um televisor de luxo
por $ 5.000,00 vista. Considerando que ela cobra juros de 5% ao
ms e que financia suas mercadorias em 12 pagamentos mensais, iguais
e consecutivos, pergunta-se:
( a ) Qual ser o valor da prestao, caso o primeiro pagamento seja
feito na data da compra ?
( b ) E se o primeiro pagamento ocorrer no final do primeiro ms, qual
ser o novo valor da prestao ?
( c ) E, finalmente, se a loja s cobrar o primeiro pagamento daqui a 90
dias , qual dever ser o valor da prestao ?
SOLU O S RIES UNIFORMES
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
9. PV = 5.000 i = 5% a.m. n = 12 PMT = ?
a. 1pagamento ocorrer na data da compra (srie de pagamentos antecipados)
g BEG - f REG - 5000 CHS PV - 5 i - 12 n - PMT ... no visor, $ 537,26
b. 1 pagamento ocorrer no final do primeiro ms ( srie de pagamentos
postecipados )
g END - PMT ... no visor, $564,13
c. 1pagamento ir ocorrer aps 90 dias da data da compra ( perodo de carncia )
f REG - 5000 CHS PV - 5 i - 3 n - FV ... 5.788,125
Logo : g BEG - CHS PV - 0 FV - 12 n - PMT ... no visor, $ 621,95
(verificar que foi calculado o FV no final do 3ms; logo, se eu quiser calcular o valor dasprestaes, a partir deste ponto at doze meses aps, tenho que considerar como sefosse uma srie de pagamentos antecipada);
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EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
10.Um apartamento est sendo anunciado por $ 200.000,00, sendo
50% vista e 50% financiados pela Tabela Price, em 5 anos, a
juros de 12% a.a., com capitalizao mensal. Qual o valor da
prestao mensal que o comprador ir arcar ?
SO O S S O S
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
10. PV = $ 200.000,00Entrada de $ 100.000 Parte realmente financiada = $ 100.000
Freqncia de capitalizao = mensal
n = 5 anos 5 x 12 = 60 meses
i = 12% a.a.
12
12 = 1% a.m.
f REG - 100.000 CHS PV - 1 i - 60 n - PMT ... no visor, 2.224,44
A prestao mensal que o comprador ir arcar ser de $ 2.224,44.
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SOLU O SRIES UNIFORMES
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
19. A. Preo Vista : 85% de $ 360,00 = $ 306,00
B. PV = C = ?
n = 10
PMT = R = 40,00 ( Srie Antecipada )
i = 2%f REG - g BEG - 40 CHS PMT - 10 n - 2 i - PV ... no visor, $ 366,49
C. PV = C = ?
n = 4
PMT = R = 90,00 ( Srie Antecipada )i = 2%
f REG - g BEG - 90 CHS PMT - 4 n - 2 i - PV ... no visor, $ 349,55
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EXERCCIOS - SRIES UNIFORMES
12.
Quanto deve ser depositado hoje, para que um indivduo obtenha
uma renda perptua de $ 2.500,00 mensais, paga ao fim de cada
ms, se a taxa de juros for de 1% a.m. ?
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SOLU O - SRIES UNIFORMES
12.
PMT = PV. i PMT = $ 2.500,00 / ms i = 1% a.m. PV = ?
PV = PMT i PV = 2.500 0,01 = 250.000
PV = $ 250.000,00
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