短いパルス光を作る
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡 =
𝑙=−𝑁
𝑁
𝐸0𝑙exp[𝑖 𝜔 + 𝑙Δ𝜔 𝑡 + 𝛼𝑙]
𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑡 = 𝐸0sin[(2𝑁 + 1)(∆𝜔𝑡 + 𝛼)/2]
si𝑛[(∆𝜔𝑡 + 𝛼)/2]exp(𝑖𝜔𝑡)
時間方向のモードの重ね合わせ
初期位相がそろっていることに注意
n
E(n)
t
E(t)phase
0
∞
𝐸(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔 = 𝐸(𝑡)
f(n)
𝐹 𝜔 =1
2𝜋 −∞
∞
𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 =1
2𝜋 −𝜏
𝜏
𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
=1
2𝜋
1
−𝑖𝜔𝑒−𝑖𝜔𝑡 𝜏
−𝜏=
𝜏
𝜋
sin𝜔𝜏
𝜔𝜏
例:2t幅の矩形波形
フーリエ変換
𝑓 𝑡 = 0 𝑡 < −𝜏, 𝑡 > 𝜏1 − 𝜏 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏
𝐹 𝜔 ~sinc(𝜔𝜏)
𝐸 =𝐸𝐴𝑒
𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅 𝑒𝑖𝑘(𝑌𝑦+𝑍𝑧)/𝑅𝑑𝑠
𝐸 =𝐸𝐴𝑒
𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅 −𝑏/2
𝑏/2
𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑𝑦 −𝑎/2
𝑎/2
𝑒𝑖𝑘𝑍𝑧/𝑅 𝑑𝑧
ここで、𝛽 =𝑘𝑏𝑌
2𝑅, 𝛼 = 𝑘𝑎𝑍/2𝑅とすると
−𝑏/2
𝑏/2
𝑒𝑖𝑘𝑌𝑦/𝑅𝑑 𝑦 = 𝑏𝑒𝑖𝛽 − 𝑒−𝑖𝛽
2𝑖𝛽= 𝑏
sin𝛽
𝛽
E =𝐴𝐸𝐴𝑒
𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑅)
𝑅
sin𝛼
𝛼
sin𝛽
𝛽
𝐼(𝑌, 𝑍) = 𝐼(0)sin𝛼
𝛼
2 sin𝛽
𝛽
2
a
b
I(Y, Z)
Y
Z
z
yRectangular Aperture
先週Fraunhofer diffraction
sinc関数!
Fourier型の積分の解法例
−∞
∞ 1
𝑥2 + 𝑎2𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥
(t >0)
𝐶𝑅+(−𝑅~𝑅)
𝑒−𝑖𝜔𝑧
𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧 = 𝐶𝑅+(−𝑅~𝑅)
𝑒−𝑖𝜔𝑧
(𝑧 − 𝑖𝑎)(𝑧 + 𝑖𝑎)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖Res
𝑒−𝑖𝜔𝑧
𝑧 − 𝑖𝑎 𝑧 + 𝑖𝑎, 𝑧 = 𝑖𝑎 = 2𝜋𝑖
𝑒𝑎𝜔
2𝑖𝑎=
𝜋
𝑎𝑒𝑎𝜔
CR
z=ia
𝑧 = 𝑅𝑒𝑖𝜃
𝑅 → ∞
𝐶𝑅
𝑒−𝑖𝜔𝑧
𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧
−∞
∞ 𝑒−𝑖𝜔𝑥
𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥 =𝜋
𝑎𝑒𝑎𝜔
−∞
∞ cos 𝑥
𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥 =𝜋
𝑎𝑒−𝑎
𝐶𝑅+(−𝑅~𝑅)
𝑒−𝑖𝜔𝑧
𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧 = −∞
∞ 1
𝑥2 + 𝑎2 𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥 +
𝐶𝑅
𝑒−𝑖𝜔𝑧
𝑧2 + 𝑎2
1/𝑎2
x
𝑧 = ±𝑖𝑎で特異点
𝑑𝑧 = 𝑅𝑖𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃,
𝐶𝑅
𝑒−𝑖𝜔𝑧
𝑧2 + 𝑎2 𝑑𝑧 = 𝐶𝑅
𝑅
𝑅2 + 𝑎2 𝑑𝜃~2𝜋
𝑅= 0 𝑅 → ∞
𝜔~1
𝑎
x=a
1
2𝜋𝑖 𝐶
𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = Res(𝑓, 𝑧0)z = z0 がf(z)とその積分範囲で唯一の特異点の時、積分の値は2πi Res(f(z), z0)となる。
複数の1次特異点がある場合、その積分値は
𝐶
𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 Res(𝑓 𝑧 , 𝑧𝑖)
複素関数の積分:特異点と留数
Matthias C. Hoffmann et al., Journal of Physics D: Applied Physics 44, 8 (2011) 83001
短電流パルス=>パルス幅の逆数の周波数電磁波
光伝導スイッチ
E r, 𝑡 = −1
4𝜋𝜀0 𝑉′
−∞
𝑡 3 J ∙ R R
𝑅5−
J
𝑅3𝑑𝑡′𝑑𝑣′
+1
4𝜋𝜀0 𝑉′
3 J ∙ R R
𝑅4−
J
𝑐𝑅2𝑑𝑣′
+1
4𝜋𝜀0
1
𝑐2 𝑉′
𝜕𝜕𝑡
J × R × R
𝑅3𝑑𝑣′
Auston switch
𝐸 𝜔 = −∞
∞
𝐸 𝑡 𝑑𝑡
T 観測時間範囲
Δt 観測時間分解能
ωmax - ωminスペクトル範囲
Δω スペクトル分解能
Ltotal/c = T
フーリエ変換
ΔL/c = Δt
例:干渉計の長さL=1m, 観測ステップ0.01mm
Δω ~ 300MHzωmax - ωmin ~ 30THz
Temporal domain spectroscopy
if wcenter= 100THz(λ = 3μm), 85 ~ 115 THz
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