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第三章第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换 DFTDFT （二）（二）

Chapter 3

Discrete Fourier-Transform

（ Part Ⅱ ）

本章内容本章内容引言定义及举例基本性质循环卷积、共轭对称等应用计算线性卷积、谱分析

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））

四种形式的傅里叶变换四种形式的傅里叶变换

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT定义

21 1

0 0

21 1

0 0

2

( ) ( ) ( ) , 0,1, , 1

1 1( ) ( ) ( ) , 0,1, , 1

N Nj nk nkNN

n n

N Nj nk nkNN

k n

jN

N

X k x n e x n W k N

x n X k e X k W n NN N

W e

其中，

NN

DFTDFT 的图形解释的图形解释

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT的一个例子

( ) sin(2 1000 ) 0.5sin(2 2000 3 4)inx t t t 输入信号：

8000Hz, 1/

( ) ( ) sin(2 1000 ) 0.5sin(2 2000 3 4)s s s

in s s s

f t f

x n x nt nt nt

采样率

8,

(0) 0.3535 (1) 0.3535 (2) 0.6464

(3) 1.0607 (4) 0.3535 (5) 1.0607

(6) 1.3535 (7) 0.3535

N

x x x

x x x

x x

取

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT的一个例子


27 78

0 0

7

0

7

0

7

0

7

0

( ) ( ) ( ) cos(2 8) sin(2 8)

(0) ( ) cos(2 0 8) sin(2 0 8)

(1) ( ) cos(2 1 8) sin(2 1 8)

(2) ( ) cos(2 2 8) sin(2 2 8)

(7) ( ) cos(2 7 8)

j nm

n n

n

n

n

n

DFT

X m x n e x n nm j nm

X x n n j n

X x n n j n

X x n n j n

X x n n

输出：

sin(2 7 8)j n


7

0

2 ( , )

1

(1) ( ) cos(2 1 8) sin(2 1 8) 0.0 4.0 4 90

2 1 8 1000

( ) 1000

s

n

m N f mf N

m

X x n n j n j

Hz

x n Hz

,称为分析频率相对于数字频率，如相对于则为

时，第一个频率项为：

=其分析频率或说明中包含有的信号成分


7

0

7

0

7

0

7

0

(2) ( ) cos(2 2 8) sin(2 2 8) 1.414 1.414 2 45

(3) ( ) cos(2 3 8) sin(2 3 8) 0 0

(4) ( ) cos(2 4 8) sin(2 4 8) 0 0

(5) ( ) cos(2 5 8) sin(2 5 8) 0 0

(6)

n

n

n

n

X x n n j n j

X x n n j n

X x n n j n

X x n n j n

X

同理，有如下频率项：

7

0

7

0

( ) cos(2 6 8) sin(2 6 8) 1.414 1.414 2 45

(7) ( ) cos(2 7 8) sin(2 7 8) 0.0 4.0 4 90

n

n

x n n j n j

X x n n j n j


7 7

0 0

(0) ( ) cos(2 0 8) sin(2 0 8) ( )

(0) 0 0n n

X x n n j n x n

X

直流分量：

本例中，经计算，说明原序列没有直流漂移

作业作业一、对以上例子中的输入信号，在以下几种情况下用 DF

T作谱分析，画出幅度谱和相位谱 ,并对每种情况进行分析，说明采样频率和 N对谱的影响。

1. 采样频率为 3000Hz ， N=8

2. 采样频率为 4000Hz ， N=8

3. 采样频率为 4000Hz ， N=16

4. 画出采样频率为 4000Hz ， N=16的时域抽取 FFT算法流图5. 编程序实现第 4步中的算法（可选）

( ) sin(2 1000 ) 0.5sin(2 2000 3 4)inx t t t 输入信号：

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））练习

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT和 Z变换的关系

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT基本性质序列离散傅里叶变换 (DFT)x(n) X(k)

y(n)=ax1(n)+bx2(n) Y(k)=aX1(k)+bX2(k) a 、 b 为常数线性x((n+m))N.RN(n) X(k) 时域循环移位 x(n ) X((k+m))N.RN(k) 频域循环移位

x*(n) X*(N-k) 复共轭序列的 DFT

X*(N-n) X*(k)

x(n)* y(n) X(k)Y(k) 时域循环卷积定理

nmNW

kmNW

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT基本性质


DFT基本性质

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））循环卷积的计算

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））循环卷积小结

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT共轭对称性

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT的应用

3.53.5 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（ DFTDFT ））DFT谱分析相关问题

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