آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072
:مدرس
ستاره عطاردیکارشناس ارشد مهندسی صنایعدانشگاه علوم و فنون مازندران
تحقیق در عملیاتبرنامه ریزی خطی
«دوگان مسائل برنامه ریزی خطی»
1
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072
تعاریف و مفاهیم
دوگان:
خطیریزیبرنامهمسئلههرمزدوج
دوگانمسئلهخواص:
.باشدمنفیتواندمیراستسمتاعداد•
نهاییجدولدرهمزمانبطورثانویهوولیهجوابوجود•
مصنوعیمتغیرجایبهمصنوعیمحدودیتازاستفاده•
2
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072
تعاریف و مفاهیم
ثانویهمسئلهازاستفادهدالیل:
محاسباتمقدارشدنکمتر•
مصنوعیمتغیرهایبردنبکارازجلوگیری•
اولیهمسئلهدرثانویهمسئلهاقتصادیتعبیر•
حساسیتتحلیلوتجزیه•
جوابناحیهدرمختصاتمبداوجودعدم•
3
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072
روابط متقابل مسئله اولیه و ثانویه
مسئله ثانویه مسئله اولیه
تابع هدف Min Max تابع هدف
سمت راست مقادیر سمت راست مقادیر ضرایب تابع هدف ضریب تابع
ضریب تابع هدف مقادیر ضرایب تابع هدف مقادیر سمت راست سمت راست
متغیر
تعداد متغیر≤
≥
آزاد در عالمت
تعداد محدودیت≥
≤
=
محدودیت
4
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072روابط متقابل مسئله اولیه و ثانویه
مسئله ثانویه مسئله اولیه
محدودیت
محدودیت هاتعداد≥
≤
=
تعداد متغیرها≥
≤
آزاد در عالمت
متغیر
ضرایب محدودیت ها ماتریس ضرایب ترانهاده ماتریس ضرایب ضرایب محدودیت ها
پایهمتغیرهایmاساسیمتغیر
nمتغیر غیر اساسیnاساسیمتغیرmمتغیر غیر اساسی
متغیرهای پایه
5
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072روابط متقابل مسئله اولیه و ثانویه
مسئله اولیه مسئله ثانویه
6
0
:.
1
1
x
bxa
xc
j
ij
n
jij
j
n
jj
ts
MaxZ
0
:.
1
1
y
cya
yb
i
ji
m
iji
i
m
ii
ts
MinZفرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قضایای مسئله دوگان
:1قضیه
.باشدمیاولیهیثانویه،مسئلهیمسئلهیثانویه
:(دوگانضعیفقضیه)2قضیه
اولیههدفتابعمقدار≥ثانویههدفتابعمقدار
7
yx
yx bC
**
**
)(Max )(Min
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قضایای مسئله دوگان
:(بهینگیمعیارقضیه)3قضیه
بهینهجوابهای
:نتیجه
همسئلدوهدفتابعمقادیربودنبرابر:جوابهابودنبهینهبرایکافیوالزمشرط
8
if yx bC**
yx**
فرادرس,
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قضایای مسئله دوگان
:(دوگانقویقضیه)4قضیه
قبولقابلجوابهای
:نتیجه
داردهبهینجوابنیزباشد،دیگریداشتهبهینهجوابثانویهواولیهمسائلازهریکهرگاه.
9
if yx**
, yCx b**
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قضایای مسئله دوگان
:(دوگاناساسی)5قضیه
دارندمحدودبهینهجوابمسئلهدوهر.
نداردقبولقابلجوابنامحدود،دیگریهدفتابعمقداردارایمسائلازیکهر.
ندارندقبولقابلجوابمسئلهدوهر.
10
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قضایای مسئله دوگان
:6قضیه
.هر یک از مسائل دارای جواب بهینه ی چندگانه،دیگری دارای جواب تبهگن خواهد بود
11
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قضایای مسئله دوگان
:(زائدمکمل)7قضیه
اولیهمسئلهثانویهمسئله
هستندبهینهجواب
12
0
:.
x
bAxts
cxMaxZ
0
:.
y
cyAts
ybMinY
0****
xyxy AbcA
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072نتایج قضیه مکمل زائد
13
بهینهجوابدر-1
و-2
.استارتباطدرثانویهدراساسیغیرمتغیریکبااولیهدراساسیمتغیرهر-3
yx**
0.'sx jj
0. ys iiفرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مثال
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 0.75𝑥1− 20𝑥2+0.5𝑥3 −6𝑥4
0.25𝑥1 +8𝑥2+𝑥3 − 9𝑥4 ≥ 0
−0.5𝑥1 + 12𝑥2+0.5𝑥3 − 3𝑥4=0
𝑥3 ≤1
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ≥ 0
𝑥1∗=𝑥3
∗=1 , 𝑥2∗=𝑥4
∗=0 :بهینهحل
14
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مثال
𝑀𝑖𝑛 𝑦 = 𝑦3
0.25𝑦1-0.5𝑦2 ≥ 0.75
8𝑦1 + 12𝑦2 ≥ −20
𝑦1 +0.5𝑦2 + 𝑦3 ≥ 0.5
−9𝑦1-3𝑦2 ≥ −6
𝑦1 ≤ 0 ,𝑦2آزاد در عالمت ,𝑦3 ≥ 0
15
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مثال
16
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 0.75 1 −20 0 + 0.5 1 − 6 0 = 1.25:بهینهحالتدر
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝑀𝑖𝑛 𝑌 = 𝑦3=1.25→ 𝑦3= 1.25
:اولمحدودیت
0.25𝑥1 +8𝑥2 +𝑥3 − 9𝑥4-𝑠1=0 𝑋 = 1,0,1,0
0.25+1-𝑆1=0 → 𝑆1=1.25
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مثال
17
→محدودیت اول بصورت نامساوی 𝑦1 = 0
محدودیت دوم بصورت مساوی → 𝑦2 ≠ 0
محدودیت سوم بصورت مساوی → 𝑦3 ≠ 0 فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مثال
18
𝑥1 ≠ 0 → 0.25𝑦1− 0.5𝑦2=0.75
𝑦1=0 → 𝑦2=-1.5 ,𝑦3=1.25
𝑥3 ≠ 0 → 𝑦1 + 0.5𝑦2+𝑦3=0.5 فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072روابط متقابل جوابهای مسئله اولیه و ثانویه
مسئله ثانویه مسئله اولیه
جواب بهینه محدود جواب بهینه محدود
جواب بهینه منحط جواب بهینه چندگانه
بهینه چندگانهجواب جواب بهینه منحط
بدون جواب موجه مقدار تابع هدف نا محدود
موجهبدون جواببدون جواب موجه
تابع هدف نا محدود
19
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072 مسئله اولیه و ثانویهجداول روابط متقابل
مسئله ثانویه مسئله اولیه
𝐴𝑁ثانویه 𝐴𝑁−اولیه𝑇
𝐶𝑁ثانویه 𝑏𝑖اولیه 𝑏𝑖ثانویه 𝐶𝑁مقدار
𝑌مقدار 𝑍مقدار
20
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مثال
:اولیهمسئلهنهاییجدول
21
ثانویهمتغیرهای
تصمیم
1 0 30 0 40 200
0 0 -4 1 -2 2
0 1 3/2 0 1/2 5/2
z
x1
x1
x2 s2RHS
y1
y2s
'
1 s'
2
RHS
s1
z فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مثال
:ثانویهمسئلهنهاییجدول
22
اولیهمتغیرهای
اساسی
1 2 0 5/2 0 +200
0 4 0 -3/2 1 30
0 0 1 -1/2 0 40
s1 s2
z
x2x1
y1
y2
y2
s'
1 s'
2
s'
2
Y
RHS فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072تفسیر اقتصادی جداول سیمپلکس
کمکیاساسیمتغیربهمربوطسطردرمثبتاعداد:همربوطستونمحصولازواحدیکتولیدبرایمنبعآنازاستفادهمیزان
اساسیتصمیممتغیربهمربوطسطردرمثبتاعداد:ورودیمتغیرازواحدیکافزایشازاءبهاساسیمتغیرکاهش
منفیاعداد:تولیدافزایشیاومنبعافزایش
23
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072شبه قیمت
میزان تغییرات تابع هدف به ازای یک واحد افزایش در یکی از مقادیر سمت راست
24
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قیمت سایه
(منبع)ارزش اقتصادی هر واحد سمت راست
مقدار قیمت سایه در ثانویه = جوابهای اساسی در اولیه
25
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072هزینه تقلیل یافته
میزان تغییر تابع هدف به ازاء یک واحد تولید از هر متغیر غیر پایه بهینه=
ضریب متغیر در سطر هدف جدول بهینه
26
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072روش حل سیمپلکس ثانویه
موجهغیرامابهینهمسئله
:مسئلهحلهایگام
Maxبههدفتابعتبدیل1.
مساویکوچکتربههامحدودیتتبدیل2.
کمکیمتغیرهایباتساویبهمحدودیتهاتبدیل3.
27
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072روش حل سیمپلکس ثانویه
سیمپلکسجدولبهمسئلهورود4.
(لوالسطر)خروجیمتغیربعنوانراستسمتعددترینمنفیانتخاب5.
:(لوالستون)زیریرابطهازاستفادهباورودیمتغیرانتخاب6.
𝜃 = 𝑀𝑖𝑛𝑐𝑗𝑎𝑖𝑗
; 𝑎𝑖𝑗 < 0
28
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072نکات
منفیغیرلوالسطرعناصرتمام:
موجهجوابفاقدمسئله
ورودیمتغیرانتخابجهتمساویشرایط:
چندگانهجوابدارایمسئله
نسبتآزمونازهدف:
بعدیجدولدربهینگیشرطحفظ
29
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072مقایسه روش سیمپلکس معمولی و ثانویه
ثانویهسیمپلکس سیمپلکس معمولی𝑀𝑎𝑥هدف بصورتتابع 𝑀𝑎𝑥تابع هدف بصورت
≥بصورت محدودیتها ≥محدودیتها بصورت
𝐶𝑗 > 0 𝑅𝐻𝑆 > 0
(سطر لوال)ابتدا متغیر خروجی (ستون لوال)متغیر ورودی ابتدا𝑅𝐻𝑆ضریب در منفی ترین منفی ترین ضریب سطر صفر
والخارج قسمت ضرایب سطر صفر به سطر منفی ل به ستون مثبت لوال𝑅𝐻𝑆خارج قسمت حداقل قدرمطلق نسبت نسبتحداقل
عدد لوال همیشه کوچکتر از صفر عدد لوال همیشه بزرگتر از صفرقابل اگر همه عناصر سطر لوال غیرمنفی،مسئله غیر
قبولنامحدوداگر تمام عناصر ستون لوال غیر مثبت،مسئله
30
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072 (محدودیت مصنوعی)نوع خاص سیمپلکس ثانویه
:کاربردشرط
ثانویهسیمپلکسجدولدربهینگیشرطنقض
:مصنوعیمحدودیتتعریف
𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 ≤ M
→ 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = M
کمکیمتغیر:𝑥𝑖𝑥0:ایپایهغیرمتغیرهای
31
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072الگوریتم حل
مسئلهسازیاستاندارد-1
جدولومسئلهبهمصنوعیمحدودیتکردناضافه-2
شرطیهیچبدونپایهازکمکیمتغیرخروجوورودیمتغیرانتخاب-3
روشهادیگرمانندمراحلیادامه-4
32
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072قضیه فارکاس
𝐼 : 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑥 ≥ 0
𝐼𝐼 : 𝐴𝑦 ≥ 0 𝑏𝑦 < 0
.نداردجواب𝐼𝐼مدلباشد،داشتهشدنیجواب𝐼مدلاگر-الف
.داردجوابحتما𝐼𝐼مدلباشد،نداشتهجواب𝐼مدلاگر-ب
33
فرادرس
FaraDars.org
آموزش تحقیق در عملیات(برنامه ریزی خطی)
faradars.org/fvor94072
این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرس« (برنامه ریزی خطی)آموزش تحقیق در عملیات »
.تهیه شده است
.برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه نمایید
faradars.org/fvor94072
فرادرس
FaraDars.org