突出中考重点解决综合题

高级教师

•解读 2012 年中考数学•整合知识，建立内在联系•综合题分析（以函数为载体的综合题）（几何中构造类题目）

• 突出对数学思想方法考查 函数与方程的思想 数形结合的思想 分类与整合的思想 化归与转化的思想

解读 2012 年中考数学

• 突出能力立意 多思少算，突出能力立意，淡化特殊的解题技巧，避免繁琐计算，注重考查学生对数学本质的理解。

整合知识，建立内在联系 方程与不等式

“ 方程与不等式”的有关知识，可以分为以下三个方面：第一，解方程（组）、解不等式（组），这可以归为“技能”层面；第二，列方程（组）或列不等式（组），这可以归为“能力”层面；第三，将方程和不等式适时、灵活自如地应用于实际问题与数学问题之中，即上升到“方程思想”层面．从知识结构的角度看，这三个方面又是密切相关的．

函数　　 自身的结构特点：函数是表示数量之间

关系以及变化规律的数学模型．其内容可归为下列三个方面：

　 （ 1 ）函数关系的表示 　　　从表示方式的角度看，有关系式法，图

象法，列表法；　　　从函数类别的角度看，主要有一次函数，

二次函数，反比例函数 .　 （ 2 ）函数的性质　 （ 3 ）函数的应用及函数思想的形成．

　　　 这三个方面又有着紧密的联系，每个方面都是核心内容，都是考查的重点．但在实际问题或综合问题中，首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题．

以函数为载体的综合题分析

• 方程与函数• 坐标系下的几何题目• 函数综合题

例 1 已知关于 x 的一元二次方程 ，如果　　

　， ，那么方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 必有一个根为 0

02 cbxax

0a bca

0 cbabca

0a-1

o

y

x

cbxaxy 2

【评析】 对知识的理解深度，关注知识间的相互联系 .

题型示例方程与函数

（1）求 k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函

数 22 4 1y x x k 的图象向下平移 8个单位，求平移后

的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x轴

下方的部分沿 x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一

个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

1

2y x b b k 与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

例 2

解：（1）由题意得， 016 8( 1)k ≥ ．

∴ 3k ≤ ．

∵ k为正整数，

∴ 1 2 3k ，，．

（2）当 1k 时，方程 22 4 1 0x x k 有一个根为零；

当 2k 时，方程 22 4 1 0x x k 无整数根；

当 3k 时，方程 22 4 1 0x x k 有两个非零的整数根．

综上所述， 1k 和 2k 不合题意，舍去； 3k 符合题意．

当 3k 时，二次函数为 22 4 2y x x ，把它的图象向下

平移 8个单位得到的图象的解析式为 22 4 6y x x ．

A O x

y

8

6

4

2

2 4B

（3）设二次函数 22 4 6y x x 的图象与 x轴交于

A B、 两点，则 ( 3 0)A ，， (1 0)B ，．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线 1

2y x b 经过 A点时，可得 3

2b ；

当直线 1

2y x b 经过 B点时，可得 1

2b ．

由图象可知，符合题意的 ( 3)b b 的取值范围为

1 3

2 2b

• 数与式、方程、函数的有机结合，入口宽且出口窄

• 特殊与一般 -- 方程与函数• 特殊点取值（解方程）

• 隐藏运动变化（平移）

坐标系下的几何题—方程与函数

题型示例

90

例 1 把边长分别为 4和 6的矩形 ABCD如图放在平面直角坐标系中，将它绕点 C顺时针 旋转 角，旋转后的矩形记为矩形 EDCF，在旋转过程中，（ 1）如图①，当点 E在射线 CB上时， E点坐标为 ；（ 2）当△ CBD是等边三角形时，旋转角 的度数是

（ 为锐角时）；（ 3）如图②，设 EF与 BC交于点 G，当 EG=CG时，求点G的坐标；（ 4）如图③，当旋转角时，请判断矩形 EDCF的对称中心 H是否在以 C为顶点，且经过点 A的抛物线上。

解：（1）E（4， 132 ） （2） 60

（3）设 xCG ，则 xEG ， xFG 6 ，

在 Rt△ FGC ∵中， 222 CGFGCF ，

∴ 222 )6(4 xx ，

解得 3

13x ，即

3

13CG .∴ G（4，

3

13）.

（4）设以点C为顶点的抛物线的解析式为 2)4( xay .

把 A（0，6）代入得， 2)40(6 a .解得， 8

3a .

∴ 此抛物线的解析式为 2)4(8

3 xy .

∵ 矩形EDCF的对称中心为对角线FD、CE的交点H，

∴ 由题意可知H的坐标为（7，2）.

当 7x 时， 28

27)47(

8

3 2 y ∴， 点H不在此抛物线上.

【评析】本题通过图形的旋转，从特殊到一般，再到特殊，让学生从运动变化中探究不变的数学本质，再从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，考查了学生分析问题、应用数学模型解决问题的能力 .

• 两个公理（最短）• 两点间距离、点到直线距离• 两个定义• 线段中点、角平分线• 四个作法（构造型题目）• 作平行、作垂直、• 作线段等、作角等

几何中构造类题目整合知识

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一

组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在 ABC△ 中，点D E， 分别在 AB AC， 上，

设CD BE， 相交于点O，若 60A °， 1

2DCB EBC A ．

请你写出图中一个与 A 相等的角，并猜想图中哪个四边形

是等对边四边形；

（3）在 ABC△ 中，如果 A 是不等于 60°的锐角，点 D E， 分别在 AB AC， 上，且

1

2DCB EBC A ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明

你的结论．

B

O

A

D E

C

题型示例

【评析】• 新定义 -- 等对边四边形• 给定的数量关系 -- 至少有一组对边相等，

前提四边形（可忽略）；• 简化为一组对边相等，注意是“对边” 提

示• （经验） -- 证明两条线段相等的基本方

法—全等• 问题（ 1 ）转化为 -- 写出“对边相等的四

边形” 的图形名称• 特殊情况（学生已有经验） -- 平行四

边形、等腰梯形等

本题图形特点特殊情况——一般情况

问题（ 1 ）转化为——证明 BD ＝CE

问题 (3): —基本思路 重点考虑发生改变的量是哪一个？再思考在解决问题（ 2 ）中它（ ） 60A

——的作用 与证明线段相等没有更本性的相关。

解（ 1）如：平行四边形、等腰梯形等 （ 2）与∠ A相等的角是∠ BOD （或∠ C

OE ），四边形 DBCE 是等对边四边形；

（ 3）此时存在等对边四边形，是四边形 DBCE 。

证法一：如图 1 ，作 CG⊥BE 于 G点，作 BF⊥CD 交 CD 延长线于 F点。因为∠ DCB=∠EBC= ∠A， BC 为公共边 1

2

所以△ BCF≌△CBG ， 所以 BF=CG ， 因为∠ BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠ BEC=∠ABE+∠A， 所以∠ BDF=∠BEC ，可证△ BDF≌△CEG ， 所以 BD=CE所以四边形 DBCE 是等边四边形。

1

2

证法二：如图 2 ，以 C为顶点作∠ FCB=∠DBC ，CF 交 BE 于 F点。 因为∠ DCB=∠EBC= ∠A， BC 为公共边， 所以△ BDC≌△CFB ，所以 BD=CF ，∠ BDC=∠CFB ，所以∠ ADC=∠CFE ，因为∠ ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE ，∠ FEC=∠A+∠A

BE ， 所以∠ ADC=∠FEC ， 所以∠ FEC=∠CFE ，所以 CF=CE ，所以 BD=CE ，所以四边形 DBCE 是等边四边形。

【评析】本题通过阅读理解“等对角线四边形”的概念，对已学的特殊四边形进行再归纳、再整理，并在此基础上进一步探究此类四边形在特殊情形下的性质。主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形、矩形、梯形的判定和性质 , 三角形三边关系，平移变换等知识和转化、分类讨论等数学思想，同时考查了阅读、观察、联想、分析、推理、探究和自主学习的能力 .

图形• 技巧• 记忆基本图形（回归教材）• 画图（动手操作）• 识图（基本经验）• 构造图形（辅助线 ---- 不是机械记忆）• 拆分、组合图形

谢 谢