04/19/23 熱流体力学 1
熱流体力学講義 ( 番外編)1. 1 各種物体の重心の定義と図心 1.2 重心および断面1次モーメントの求め方 線,円板,板材,円錐, 3 次元物体1.3 各種物体の重心 第 1 章 重心の総合演習問題2.1 断面2次モーメントについて2.2 極断面2次モーメントの紹介3.1 各種形状の物体の断面2次モーメントと断面
係数 はりのまげ強さへの適用4. 番外編 総合演習問題
熱流体力学 2
1.1 重心の定義
mG xdm
mx
1mG ydm
my
1mG zdm
mz
1 vmdVdmm
☆ 3次元直交座標系における任意物体の各重心位置は,つぎの定義式 から求められる。
m:物体の全質量
ρ: 物体の密度
V: 物体の全体積
d V :微小要素の体積
z
x
),,( GGG zyx
y
全質量
密度
全体積
m
V
zyx ,, :直交座標系(zは重力方
向)
; ;
3
1. 2 各種物体の重心または図心1.2.1 重心,図心および断面1次モーメントの求め方
WAdAWdvdmmv Am
AAmG xdA
AWxdA
WAxdm
mx
111
AAmG ydAA
WydAWA
ydmm
y111
WdAWb(x)dxdVdm
☆ まず物体の密度 ρ が一定で,物体の形状が(x,y)平面に限定され,重力z方向の厚さ W が一定な平面的な物体について,一例として(x G) の位置を求める。全体の質量mおよび区間dx における微小質量dmは,
同様にy G
は
dxxWbdVdm )( x dx
GGG zyx ,,
Gx
W
z y
xGy
密度幅
一定
一定W
Vm
この形で求められる座標位置を図心という
4
1.2 断面1次モーメントの定義と図心
AAx dyyybydAJ )(
AAy dxxxbxdAJ )(;
☆ 断面1次モーメント( 面積モーメント) の定義; Jx , Jy
単位:(m3)
☆ 重心・図心x G,yG の求め方
単位:(m)
A
yG xdA
AA
Jx
1A
xG ydA
AA
Jy
1 ;
y
xyA図全面積
y
xA図全面積
x dxdy
)(yb
)(xbdyybdA )(dxxbdA )(
☆ 図心とは;
断面1次モーメントの定義から求められる図形の中心位置座標x G,yG
☆ 注意:図心は直交 2 次元座標系に描かれた図形の面積モーメントの中心位置座標
04/19/23 熱流体力学 5
1.2 断面1次モーメントの定義(続き)物体の重心を原点とする場合の断面1次モーメントは?
),( YX
いま,上図左側の座標系 における物体の重心(x G, y G) を,右側に示す新しい座標系 の原点(0,0)に一致させ座標軸を平行移動させる。右側の新しい座標系 におけるつぎの1次モーメント Jx および Jy はいくらか。
0A GX AYYdAJ 0 GAY AXXdAJ;
),( YX
),( yx
04/19/23 熱流体力学 6
例題:3次元物体の重心密度 ρ ,板厚 W ,板幅t , 長さ L =一定の平板の場合
L
WtLWtdxmWtdxdm0
,
2
21 20
0
L
L
L
wtL
wtdxxxdm
mX
L
L
G
板厚 W ,板幅t , 長さ L =一定の平板の場合は
∴ 重心x G ;
Q 2 :z 方向の奥行き幅が w= 一定で, x 方向の板厚が t=to+ax と直線的に厚くなり,x= Lで t= 4 to となる台形板の重心x G を求めなさい。 Ans( x G=3L/5)
Q 1 : 密度 ρ , z 方向の板厚 W , y 方向板幅tが一定の場合におけるy G ,z G を求める公式を作りなさい。 Ans
t
G ydyt
y0
1W
G zdzW
z0
1;
2
1100
Lwtxdx
wtLxdm
mx
LL
G
そこで,公式が作れて
L
G xdxL
x0
1
y
x
z
w
微小質量
x dx
L
wtdxdVdm
t
04/19/23 熱流体力学 7
1.3 各種物体の重心の例題(1)細長い線要素(丸棒)の重心
☆ 細長い線の密度を ρ 一定と仮定し, 線の直径をd,全長を L とし,微小線要素dxの質量をdm,全質量をmとすれば,
dxd
dm 4
2
4
2 Ldm
LL
G
xdxd
Ldxdm
mx
0
2
0 2 44
11 2
10
Lxdx
L
L
L
G xdxL
x0
1
次の重心の定義式により
;
☆ こうして,細長い線の重心は線の 1 次モーメント積分に置きかえられ,質量モーメントxdmではなく,線モーメント ( 長さ× 長さ)xdxで計算できるのだ。
長い線,全長 L の重心が L/2 になることは自
明だよね。
すなわち
(1)細長い線の丸棒
d
dxx
L
x
2LxG
42dxddm
04/19/23 熱流体力学 8
1.3 各種物体の重心の例題(その 2 )( 2 )細長い円弧形状線要素の重心
2
2
2
2
cos11
rdrr
xdLL
xG
2
2
sinr
rddL cosrx
☆ 円弧の線の場合は重心を求めるのに,半径rと角度 θ 座標で計算した方がより簡単で,分かりやすい。すなわち,右図において ;
☆ さて,線要素の重心は次に示すように,線積分xd L に置き換えられたので
Q : α=π(180° )の細長い半円線の重心XG を求めよ。 Ans : XG=2r/π (約 0.637 r)
(2)細長い円弧の線
αr
θd
θ
dL
cosr
x
y
2sin
2 r
xG
9
1.3 各種物体の重心の例題(その3 ) (3)平面・板要素の重心,(ア)直角定規(スコヤ)の重心 ☆ 板厚が一定な直角定規の重心
この場合は,右図に示すように,直角定規を構成する 2 つの要素の面積 A1,A2 とその個々要素 1 , 2 の重心位置が事前に分かっているから,モーメントの釣り合いの考え方を使うほうが簡単に重心が求められる。すなわち,
☆ 重要全体の面積モーメント=個々の面積モーメントの和
221121 AxAxAAx GGG 221121 AyAyAAy GGG
21
22
111
22AA
Ab
bAb
xG
21
2211
21
2211
222
AA
AhAh
AA
AhAh
yG
X方向重心
y
方向重心
面積
面積スコヤ重心
2211 h
,b重心1
重心2
2222
1
h,
bb
111 bhA
222 bhA
x
x GG yx ,
Gy
Gx
1A
2A
L
1b
1h
y
2h
2b
10
1.3 各種物体の重心の例題(その 4 )(イ ) 直角3角定規の重心
☆ 続いて,右図に示す厚さ一定の直角3角定規の重心を求めてみよう。この場合も,厚さと密度が一定であるから重心は面積モーメントで求められ,
AG ydA
Ay
1bhA2
1
AA
dyyybydA )(
)(:)(: ybyhbh h
yhbyb
)(
h
33
y-
2
hy
h
b
bhdy
h
yhyb
AydA
Ay
h
0
h
AG
1211 32
0=
b
3
1xG=
;
ここで断面 1 次モーメントは
☆ 図の3角形の相似に着目して
∴
;
同様にして,
重心
x
b
)(yb
dyybdA )(
dy
y
)( yh
h
dxx
y
),( GG yx
04/19/23 熱流体力学 11
1.3 各種物体の重心の例題(その 5 ) (ウ)板厚一定の半円板の重心
円弧の長さ
微少扇面積の図心
cos3
2rx y
微少扇形の面積
drdA 2
2
1
rd
d
x
r
dr2
1rdrdA 2
2
1
dr2
rr
xdAA
xAG
22
22
1cos
3
221
3
4rsin
r6
r 2
2-2
34
☆ つぎに,右図に示す板厚一定の半円板の重心を各自空欄を埋めながら導こう。微小扇形の面積 dA は,扇を三角形と近似すれば
したがって,重心は定義どおり積分して
04/19/23 熱流体力学 12
1.3 各種物体の重心の例題(その 6 ) (エ)円錐体の重心
☆ 右図に示される底面半径が R で,高さがhである円錐体の重心を空欄を埋めながら各自で求めよう。まず,円錐体の全体積および微小な幅dxの円板の体積d V は,それぞれ ,
hRV 2
3
1 dxrdV 2;
さらに,図に示す三角形の相似に着目して, h:xR:r ∴ hRxr
dxxh
RdV 2
2
2
dxxh
R
hRxdV
Vx
hh
G3
0 2
2
0 2
31
h
x
hdxx
hR
Rh
h
4
3
4
33
0
4
30
332
2
この関係をd V に代入すれば
☆ 重要:立方体の重心は物体の密度が一定であれば体積モーメント(xd V )で求められるから, ( 証明は各自でしなさい)
熱流体力学 13
1.3 各種物体の重心の演習例題(その7 )
(オ)半球の重心
3
2 3rV
dxyxr
xdVV
xVVG 2
32
31
drdsdx sinsin
drrrr
xG sinsincos2
32
2
03
dsincosrr
320
432
3
dsincosr 20
3
2
3
tsin dtd cos
8
3
42
3
2
31
0
41
0
3 rtrdtt
rxG
問:右図に示した半球の重心を以下の手順で求めよ 。
ア)半球の全体積 V は:
イ)重心の定義を密度一定の場合に使うと
ウ)ここで, で与えられるから
ここで, とおくと, となるから,上の式が積分でき,
円弧長
微小要素の体積
半径r
x
d
r
dx
sinry
rdds y
cosrx
dxydV 2
04/19/23 熱流体力学 14
☆ 重心と図心のまとめ(密度は一定と仮定した場合)
AG xdA
Ax
1AG ydA
Ay
1AG zdA
Az
1
mG xdm
mx
1mG ydm
my
1mG zdm
mz
1
L
G xdxL
x0
1h
G xdVV
x0
1
重心の定義
重心・図心の求め方 ( 平面物体,奥行き幅は一定の場合)
重心・図心の求め方(細長い線)
重心・図心の求め方(体積要素)
;
;
;
;
;
;
;
04/19/23 熱流体力学 15
第 1 章 重心の総合演習問題(その1)
問:図に示す複数の線要素からなる物体の重心を求めよ。ただし,細い線で作られた円弧の重心は既に求めたように既知で以下に示す値が使えるものとする。
/2r円弧の重心:
04/19/23 熱流体力学 16
第 1 章 重心の総合演習問題(その2 )
30 20 30
90
4020
x
y
問:上図に示す,板厚が一定な3角板と孔ありの長方形板から構成される,平板の重心x G,yG を求めよ。
04/19/23 熱流体力学 17
第 1 章 重心の総合演習問題(その3 )
y
x
ba
直径d
半径r
円錐
円柱 半球円錐
問:図に示す円錐体,円柱および半球から構成される物体の重心を求めよ。また,特殊な例として,
hrba の場合の重心はいくらになるか。
18
第 2 章 断面2次モーメント ☆すでに 3 年・ 4 年の「材料の力学」において,単純曲げを受け
るはりの応力が,はりの重心からの距離 e と断面2次モーメント によって影響されることを学んだと思う。
復習:
1
1max
2
2min ,
Z
M
I
Me
Z
M
I
Me
zz
zI
zI☆ この章の学習目的は 1)断面 2 次モーメント の定義を理解し,覚えること。 2)断面係数 Z の定義を覚えること。 3)任意断面形状を持ったはりの断面2次モーメントを 計算できるようにすること。
zI
04/19/23 熱流体力学 19
2.1 長方形断面形状のはりにおける断面2次モーメント
平行軸の定理 ( parallel axis theorem )その 1
☆ 上図において,重心 G (図心)を通る座標系(x,y)において,x軸まわりの断面2次モーメントⅠ xG およびy軸まわりの断面2次モーメントⅠy G は
AGx dAyI 2 AyG dAxI 2
122
32
0
22 bhbdyydAyI
h
AGx 122
32
0
22 hbhdxxdAxI
b
AyG
;
;
図の長方形の場合は
04/19/23 熱流体力学 20
2.1 長方形断面形状のはりにおける断面2次モーメント
平行軸の定理 ( parallel axis theorem )その 2
☆ 一方,図の右側に示されるように,重心 G から距離d離れた任意の X 軸まわりの断面2次モーメント Ix は,定義に従って,
AX dAYI 2
dyY
AA
2
AAAX dAddAyddAydAdydAYI 2222 AdI 2xG
である。さらに,左のx - y座標と右の X-Y 座標を比較すればであるから,
04/19/23 熱流体力学 21
2.1 平行軸の定理のまとめ
AdII xGX2
AdII XxG2
AdII yGY2
AdII YyG2
;
;
22
2.2 平行軸の定理の応用
(1)3角形断面のはり☆ まず底辺 AB に平行で,重心 G を通る断面2次モーメント IxG は
AdII xxG2
☆ 3角はりの場合,重心 G と底辺までの距離dおよび面積 Aは 3hd 2bhA;
☆AB 軸まわりの断面 2 次モーメント Ix は
dyydAyIA
h
x 0
22
:)(: yhbh hyhb
dyyh
bdyybdy
h
yhbydyyI
hhhh
x
0
3
0
2
0
2
0
2 )(
1212
34
43
33343 bhbhbh
h
bhbh
;
36
bhbhh
12
bhAdII
332
xGx 29
2
h
A B
C
h-d( )η
b
h-y
y
dyηdA= dy
IxG
IX
y
x
xhd3
1G重心
04/19/23 熱流体力学 23
2.2 平行軸の定理の応用
(2)円形断面のはり☆ 断面形状が円形の場合は図に示すように,円筒座標 r, θ で断面2次モーメントを求めた方が計算は簡単である。
☆ 任意点における幅b(y)とその微小面積d A は cos2)( ryb dyrdyybdA cos2)(
sinry
cosrd
dy drdy cos
drdrrrdAyIAxG 2
0
22422
0
2 cossin4coscos2sin2
212
12 cossin 212
12 coscos
418
141
2
11
4
121
4
1 222 coscoscoscossin
2
0
4
20
4
44
1
3241
8
1
24
sin
ddcos
dI xG 64
0232
44 dd
☆ したがって,重心 G をとおるx軸周りの断面 2 次モーメント IxG は
丸棒は軸対称だから
IxG=IyG
= θyrsin
θ
dy
= θb(y)2rcos
dA=b(y)dy =2rcosθ dy
x
y
半径r直径d
xGI
yGI
G
04/19/23 熱流体力学 24
2.2 平行軸の定理の応用
(3) H 形鋼断面のはり☆ 右図に示す H 形鋼を,断面積A0 の
長方形板材から2個の断面積A1 1
11 22 h
bbA
の板材を引いたものと考える。すなわち,重心 G をとおるx軸まわりの断面2次モーメント IxGは,
dAyIAxG 2 dAydAy
AA 10
22 2
121212
22
12
311
3311
3 hbbbhhbbbh
= -
H A形鋼の全面積
A面積 A面積 02( A面積 1)
xI
xGI
2h
1h
1b
h
by
x
x
2h
xGI xGI xGI
G
04/19/23 熱流体力学 25
2.3 極断面2次モーメント極断面2次モーメメント Ip の紹介
☆ 円形断面のように軸対称物体の断面2次モーメント IxG,IyGなどは以下に解説する極断面2次モーメメント Ip を用いたほうが容易に求められる。
yGxGAAP IIdAyxdArI 222 Ipの定義
x
y
z
r
点(x,y)
A面積d
PI
熱流体力学 26
2.3 極断面2次モーメントを利用した丸棒の断面2次モーメメントの求め方の紹介
r
d直径
x
y
drxGI
yGI
G
yGxGAAP IIdAyxdArI 222
yGxG II
2
0
22 22
1
2
12
d
ApxG rdrrdAr/II
6442
2 424 drd
o
☆ 図に示した円形はりの断面2次モーメン I x G , IyG トを極断面2次モーメント Ip の定義式から求めなさい。
ところで,円形断面では軸対称であるから
極断面2次モーメントをといて
rdrdA 2微小面積d A は?
04/19/23 熱流体力学 27
2.4 断面2次モーメントの演習問題(1)銭形平次の 6 文銭
(1)図に示す丸棒(円板)から長方形を切り出し,穴抜きにした時の断面2次モーメントを求めよ。 ( いわゆる,銭方平次の6文銭 )
解答:
dAydAydAyIAAAxG 10
222
1264
34 bhd
x
y
直径d
IxG
=
IxG
-
IxG
b
h
A面積 A面積 0A面積 1
yGI
xGI
= -
0A 1A
04/19/23 熱流体力学 28
2.4 断面2次モーメントの演習問題(2)三角・四角板 + 穴抜き円板
(2)右図に示される孔抜き3角板と長方形板から構成される物体の底辺まわりの断面2次モーメントを,以下の設問手順にしたがって求めよう。Q1穴抜き合成板材の全面積 A はいくら?Q2 ;底辺軸から測った,1)四角板材の重心座標はいくらか?2)3角板の重心座標は底辺からいくらか?3)穴抜き円板の重心座標はいくらか?。4)板材のx軸からの断面 2 次モーメントはいくらか? 5)3角板のx軸からの断面2次モーメントはいくらか?6)穴抜き円板のx軸からの断面2次モーメントはいくらか?7)以上の結果を使って, Ix を求めよ。8)この図形の重心座標y G はいくらか?
b
h1
h2
Dh3
x
yyGI
Ix=
-
+Ix
Ix Ix
A面積 A面積 1 A面積 2 A面積 3
xI
1A
3A
2A
04/19/23 熱流体力学 29
2.4 断面2次モーメントの演習問題(3)家の側面図を描いてみました
(3)図に示すような家の側面図を書いてみました。このような窓付き板材の軸まわりの断面2次モーメントを以下の設問手順にしたがって求めよう。 Q1 ;合成板材の全面積はいくらか?Q2 ;底辺軸から測った,1 )板材の重心座標はいくらか?2)三角板の重心座標はい くらか?3)穴抜き円板の重心座標はいくらか?さて,平行軸の定理,を使って, 4)板材の軸からの断面 2 次モーメントはいくらか?5)三角板の軸からの断面2次モーメントはいくらか?6)穴抜き円板のx軸からの断面2次モーメントはいくらか? 7)穴抜き 2枚の板材のx軸からの2次モーメントはいくらか?8)以上の結果を使って,この家の Ix を求めよ。 9)この家の重心y G はいくらか?
b
c ca
h1
h2
h4
h3
23
1h
x
考え方
Ix= -2 + -
D
A1 A2 A3 A4
y
xI
yGI
A
2A2A
3A
4A
全面積
A
04/19/23 熱流体力学 30
3.1 各種形状の物体の断面2次モーメントと断面係数(その1)
☆ 復習:断面係数の定義
e
IZ xG
図心から辺までの距離モーメント図心まわりの断面2次
ちなみに,右図に示す長方形断面のはりの断面2次モーメントおよび断面係数 Z は
62
12
2
23
2
bh
h
bh
h
IZ xG
h
323
2 62
12
2m
bh
h
bh
h
IZ xG
h
h
b
h/2
xGI
04/19/23 熱流体力学 31
3.1 各種形状の物体の断面2次モーメントと断面係数(その2)
20
60
30
30
60
(a)長方形横置き (b)長方形縦置き
30
6045
(c)角パイプ
1.図 (a) ,(b) , (c) に示す,長方形はりの中立軸に対称な断面の断面係数を求めなさい。
(a)の長方形が横置きの場合
(b)の長方形が縦置きの場合
(c)角パイプの場合
3223
121 9000
6
3060
62
12mm
bh
h
bh
e
IZZ xG
ee
3223
121 18000
6
6030
62
12mm
bh
h
bh
e
IZZ xG
ee
433
38812512
4520
12
6030mmI xG
3
121 5.12397
30
388125mm
e
IZZ xG
ee
解答:
04/19/23 熱流体力学 32
3.1 各種形状の物体の断面2次モーメントと断面係数(その3)
2.図 (a) , (b) に示す円形はりの断面係数を求めなさい。
(a)中実丸棒
2040
40
(b)中空丸棒
(a) 中実丸棒の断面係数
2
644
121 d
d
e
IZZ xG
ee
3
33
18628332
40143
32mm.
.d
(b)中空丸棒の断面係数 この場合の断面2次モ-メントは,中実丸棒から中空丸棒の断面2次モーメントを引けばよい。すなわち,
2
42
1
41
21 6464
ddIII xGxGxG
44443
6117809204064
143
64
20143
64
40143mm.
...
31
21 48589020
6117809mm.
.
e
IZZ xG
ee
解答:
04/19/23 33
☆ 総合演習問題
b
h直径d
1.右図に示すような直径d一定の丸棒から長方形断面(h × b)を持ったはりを切り出し,その断面係数 Z を最大としたい。hとbの比はいくらにすればよいか
2.断面が右図に示すような逆T字型はりに一様な曲げモーメントが作用するとき,このはりの最大応力が最大圧縮応力の 1/3 になるためにはフランジ幅xはどれだけあればよいか。
t
t
h
c G
x
圧縮側
引張側
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