1.定义: an-an-1=d( d 为常数)( n≥2)
3.等差数列的通项变形公式:
an=am+ ( n-m ) ·d
2.等差数列的通项公式:
an=a1+(n-1)d
要
点
复
习 4.数列 {an} 为等差数列,则通项公式 an=pn+q (p、 q 是常数 ),反之亦然。
要
点
复
习
.
5
的等差中项与叫做那么构成等差数列使得
中间插入一个数与如果在两个数
ba
A,a A、、 、A,ba、
2
6
baA
,a A、、 、、
那么成等差数列如果
7. 性质 : 在等差数列 中, 为公差, 若 且
na d
Nqpnm ,,, qpnm
那么: qpnm aaaa
8. 推论 : 在等差数列中,与首末两项距离相
等的两项和等于首末两项的和,即
23121 nnn aaaaaa
na9. 数列 前 n 项和 :
nn aaaS 21
)1(
)2(
n
n
1
1
S
SSa nnn
10.性质:若数列 前 n项和为 ,则 na ns
n11.等差数列的前 项和公式 :
2
)( 1 nn
aanS
2
)1(1
dnnnaSn
或
两个公式都表明要求 必须已知 中三个
nS
nadan ,,, 1注意:
12. 性质 : Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列 .
物线的开口决定。抛孤立的点,它的最值由象是相应抛物线上一群
的图项和结论:等差数列的前2
)1(1
dnnnaSn n
联系 : an = a1+(n-1)d 的图象是相 应直线 上 一群孤立的点 . 它的最值又是怎样 ?
例 2. 在等差数列{ an }中 ,a3=-13,a9=11, 求其前n 项和 Sn 的最小值 .
解法一、 ( 利用函数方法求解 )
解法二、 ( 利用等差数列的特点和性质求解 )
( 答案 : Sn=2n2-23n, 当 n=6时 ,Sn 取得最小值 -56.)
例 1. 己知数列 { an } 的前 n 项和 Sn=-n2-2n+1, 试判断数列{ an }是不是等差数列 ? 思路 : Sn → an →an-an-1= 常数 ? 答案 : 是
例 3. 已知等差数列{ an }的前 m 项和为 30 ,
前 2m 项和为 100 ,求它的前 3m 项的和。
解 : 在等差数列{ an }中 ,有 :
Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列 .
所以 ,由 2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得 :
S3m=210
( 方法 1) 解 : 设直角三角形三边长分别为: a,a+d,a+2d(a>0,d>0) , 由勾股定理得: (a+2d)2=a2+(a+d)2, 即 a2-2ad-3d2=0 ,亦即 (a-3d)(a+d)=0 , ∴a=3d(a=-d 舍去 ) , ∴ 直角三角形三边长分别为 3d,4d,5d , ∴ 它们的比为 3:4:5.
练习 : ( 一题多解 ) 已知直角三角形三边长成等差数列,试求其三边之比 .
方法 2. 设三边分别为: a-d,a,a+d(a>0,d>0), 由勾股定理得: (a-d)2+a2=(a+d)2 , 即 a2-4ad=0, a=0(∴ 舍去 )或 a=4d. ∴ 三边为: 3d,4d,5d. a:b:c=3:4:5.∴
方法 3: 由题意可设三边为: a,b,c,且 a<b<c ,则
a2+b2=c2 -- ,① 2b=a+c -- .②
由①、②消去 a 得: 5b2-4bc=0 ,
即 b(5b-4c)=0,
∴b=0( 舍去 )或 b=4c/5,
∴a:b:c=3:4:5.
数列 的前 n 项和 Sn= + + + +
54
1
)1(
1
nn
21
1
32
1
43
1
,
)1(
1
nn
研究一下 , 能否找到求 Sn 的一个公式 . 你能对这个问题作一些推广吗 ?