1
4. Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές 4.1. Η ομοιόμορφη διακριτή κατανομή.
• Εμφανίζεται στις περιπτώσεις όπου η υπό εξέταση τ.μ. Χ παίρνει πεπερασμένο πλή-θος τιμών (π.χ. Χ∈{1,2,...,n}) και όλες οι πιθανότητες P(X = i) είναι ισοπίθανες.
Η κατανομή με σ.π.
nin
af i ,...,2,1,1)( ==
καλείται διακριτή ομοιόμορφη κατανομή στο σύνολο {α1,α2,...,αn}.
Π.χ. Αν Χ εκφράζει το αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού, τότε προφανώς
6,...,2,1,61)( === iiXP
και η Χ ακολουθεί την ομοιόμορφη στο {1,2,...,6} κατανομή.
2
• Η συνάρτηση κατανομής της διακριτής ομοιόμορφης θα είναι
nknk
nafaF
k
i
k
iik ,...,2,1,1)()(
11==== ∑∑
==
.
a1 a2 a3 an-1 an
1 F
f
a1 a2 a3 an-1 an
3
• Αν η τ.μ. Χ ακολουθεί τη διακριτή ομοιόμορφη στο {1,2,...,n}, η συνάρτηση κατανο-μής της θα είναι
nknk
nifkF
k
i
k
i,...,2,1,1)()(
11==== ∑∑
==
.
ενώ για τη μέση τιμή και τη διασπορά τώρα θα ισχύει
21
2)1(11)()(
11
+=
+==== ∑∑
==
nnnn
in
iXiPXEn
i
n
i,
και
6)12)(1(
6)12)(1(11)()(
1
2
1
22 ++=
++==== ∑∑
==
nnnnnn
in
iXPiXEn
i
n
i
από όπου προκύπτει
12)1(3)12)(1(2
4)1(
6)12)(1()()()(
2222 +−++
=+
−++
=−=nnnnnnXEXEXV
1212 −
=n
4
4.2. Η Διωνυμική κατανομή.
• Έστω ότι εκτελούμε n όμοια και ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα (π.χ. n ρίψεις ενός νομίσματος). Το αποτέλεσμα κάθε ενός από αυτά τα πειράματα μπορεί να είναι είτε 1: επιτυχία είτε 0: αποτυχία με πιθανότητες p και q = 1−p αντίστοιχα.
• Μία πραγματοποίηση αυτού του πειράματος μπορεί να είναι η ακόλουθη:
11101100111010110110 (n = 20)
• Αν Χ η τ.μ. που εκφράζει το πλήθος των επιτυχιών σε αυτά τα n πειράματα, τότε αυτή θα ακολουθεί την Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n, p.
Ορισμός. Η κατανομή με σ.π.
nxppxn
xf xnx ,...,1,0,)1()( =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
καλείται διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n > 0 , p ∈(0,1) (συμβ. και με B(n,p)).
5
• Η διωνυμική κατανομή είναι πράγματι κατανομή ( f ≥ 0, Σf(x) = 1) διότι (τύπος διω-νύμου του Νεύτωνα)
inin
i
n bain
ba −
=∑ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
0)( , α, b∈R
• Η σ.κ. της διωνυμικής κατανομής θα είναι
nxppin
ifxXPxFx
i
inix
i,...,1,0,)1()()()(
00=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==≤= ∑∑
=
−
=
.
5 10 15 20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
n=20, p=0.2
f (x)
x
n=20, p=0.2
F (x)
x 5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
6
• Έστω τώρα μία τ.μ. Χ ~ B(n,p). Η μέση τιμή της θα είναι
npppxn
xxxfXEn
x
xnxn
xX ==−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∑∑
=
−
=
...)()()(10
1 .
και
( )pnpXV −= 1)( .
• Για n=1 η κατανομή B(1,p) είναι γνωστή και ως κατανομή Bernoulli. Αν Χ ~ Β(1,p) τότε Χ∈{0,1} και
pppXP −=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== 1)1(
01
)0( 0 και pppXP =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −111 )1(
11
)1(
ενώ )1()1(1)(,1)( ppppXVppXE −=−⋅==⋅= .
7
Άσκηση Ένας ασφαλιστής ασφαλίζει 10 άτομα με την ίδια ηλικία και κατάσταση υγεί-ας. Αν κάθε άτομο αυτής της κατηγορίας έχει πιθανότητα 60% να ζει μετά από 30 χρό-νια τότε να υπολογιστεί η πιθανότητα να ζουν μετά από 30 χρόνια (α) κανένας, (β) το πολύ 3 άτομα. Ποίος είναι ο μέσος αριθμός ατόμων που θα ζουν μετά από 30 χρόνια;
Λύση. Έστω Χ ο αριθμός των ατόμων από τα 10 που ζουν μετά από 30 χρόνια. Θα ι-σχύει ότι X ~ B(10, 0.6) και επομένως
000104.04.0)1()1(0
)0( 101000 ≈=−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== − ppp
nXP n
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===≤ ∑∑
=
−
=
3
0
3
0)1()()3(
x
xnx
xpp
xn
xXPXP 0.0546.
66.010)( =⋅== npXE
8
Η γεωμετρική κατανομή
• Αν Χ η τ.μ. που εκφράζει το πλήθος των δοκιμών μέχρι και την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας, τότε η Χ ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p.
Ορισμός Η κατανομή με σ.π.
,...2,1,)1()( 1 =−= − xppxf x
καλείται γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p (συμβολίζεται και με Ge(p)).
• Η σ.κ. της γεωμετρικής κατανομής θα είναι
,...,,)()()()( 21111
=−−==≤= ∑=
xpifxXPxF xx
i
• Επίσης αν Χ ~ Ge(p) θα είναι
pxxfXE
x
11
==∑∞
=
)()( , 21
ppXV −
=)(
9
Η σ.π. και η σ.κ. της γεωμετρικής κατανομής δίνεται στα επόμενα σχήματα για
p = 0.1
f (x)
x 10 20 30 40
0.1
0.2
0.3
0.4 F (x)
x 10 20 30 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p = 0.1
p = 0.4 f (x)
x 2 4 6 8 10 12 14
0.1
0.2
0.3
0.4
F (x)
x
p = 0.4
5 10 15
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10
Η κατανομή Poisson.
• Συμβολίζουμε με Χ την τ.μ. που εκφράζει το πλήθος των επιτυχιών σε n αν.ισον. πει-ράματα. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η τ.μ. Χ ~ Β(n,p).
• Αν θεωρήσουμε όμως ότι n→∞, p→0, ώστε np → λ τότε η τ.μ. Χ εκφράζει το πλήθος των πραγματοποιήσεων από ένα μεγάλο αριθμό «σπάνιων» ενδεχομένων. Αποδ. ότι, σε αυτή την περίπτωση, η Χ θα ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λ.
Ορισμός Η κατανομή με σ.π.
,...2,1,0,!
)( == − xxλexf
xλ
καλείται κατανομή Poisson με παράμετρο λ (συμβολίζεται και με Po(λ)).
• Η συνάρτηση κατανομής της κατανομής Poisson θα είναι
,...2,1,0,!
)()()(00
===≤= ∑∑=
−
=
xiλeifxXPxF
x
i
iλ
x
i
11
2 4 6 8 10 12
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
f (x)
x
λ = 3
F(x)
x
λ = 3
2 4 6 8 10 12
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (x)
x
λ = 15
5 10 15 20 25 30
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
F(x)
x5 10 15 20 25 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
λ = 15
12
• Έστω τώρα μία τ.μ. Χ ~ Po(p). Η μέση τιμή της θα είναι
λeλexλλe
xλxexxfXE λλ
x
xλ
x
xλ
xX ==
−=== −
∞
=
−−
∞
=
−∞
=∑∑∑
1
1
10 )!1(!)()( .
Επίσης
λλλλXEXEXV =−+=−= 2222 )()()( .
Άσκηση 4.6. Ο αριθμός X των τυπογραφικών λαθών σε μια σελίδα ενός βιβλίου ακο-λουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο .5=λ Να υπολογιστεί η πιθανότητα μια σελίδα να περιέχει 2 ακριβώς λάθη
Λύση. Αν X το πλήθος των τυπογραφικών λαθών σε μια σελίδα ενός βιβλίου, τότε X ~ Pο(λ). Θα ισχύει ότι
0842.0!2
5)2(2
5 ≈== −eXP
13
Η Υπεργεωμετρική κατανομή.
• Έστω μία κάλπη η οποία περιέχει Λ λευκές και Ν−Λ μαύρες σφαίρες.
• Αν επιλέξουμε στην τύχη n σφαίρες (χωρίς επανάθεση) από την κάλπη αυτή και συμ-βολίσουμε με Χ των αριθμό των λευκών σφαιρών στο δείγμα των n σφαιρών, τότε η τ.μ. Χ θα ακολουθεί την Υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Λ, Ν, n.
Ορισμός Η κατανομή με σ.π.
},min{},...,,0max{,)( nΛNΛnx
nN
xnΛN
xΛ
xf −+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
καλείται υπεργεωμετρική κατανομή με παραμ. Λ, Ν, n (Λ, n < N) (συμβ. HG(Λ,Ν,n)).
• Αν μία τ.μ. X ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με παραμέτρους Λ, Ν, n τότε αποδεικνύεται ότι
ΝΛnXE =)( και
11)(
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
NnN
ΝΛ
ΝΛnXV .
14
Άσκηση Σε μία κλήρωση Lotto τοποθετούνται στην κληρωτίδα 49 σφαίρες αριθμημέ-νες από το 1 έως το 49 και εκλέγονται στην τύχη 6 αριθμοί που κερδίζουν. Ποια είναι η πιθανότητα να περιέχονται 4 αριθμοί που κερδίζουν ανάμεσα σε 20 αριθμούς που έ-χουμε προσημειώσει;
Λύση. i) Η κληρωτίδα περιέχει 49 σφαίρες από τις οποίες έχουμε προσημειώσει τις 20. Ας θεωρήσουμε αυτές τις 20 σφαίρες ως λευκές. Δηλαδή Λ = 20 και Ν = 49.
Από την κάλπη τυχαία επιλέγουμε n = 6 σφαίρες. Αν Χ είναι το πλήθος των προσημει-ωμένων («λευκών») σφαιρών στο δείγμα μεγέθους 6 τότε ζητείται η πιθανότητα
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
649
229
420
649
462049
420
)4(
nN
xnΛN
xΛ
XP .
15
Η ομοιόμορφη συνεχής κατανομή.
Ορισμός 4.6. Η συνεχής κατανομή με σ.π.π.
],[,1)( baxab
xf ∈−
=
( ],[,0)( baxxf ∉= ) καλείται συνεχής ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [a,b].
• Η σ.κ. της συνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι
],[,1)()( baxabaxdt
abdttfxF
x
a
x∈
−−
=−
== ∫∫ ∞−
ενώ F(x) = 0 αν x < a, F(x) = 1 αν x > b.
16
f (x)
x a b
1/(b−a)
F(x)
x a b
1
• Η μέση τιμή και διασπορά της συνεχούς ομοιόμορφης κατανομής θα είναι
221
211)()(
222 baabab
xab
dxab
xdxxxfXEb
a
b
a
+=
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−
== ∫∫∞
∞−
και
( )12
)(43
)()()(2222
22 babababaXEXEXV −=
+−
++=−= .
17
Η εκθετική κατανομή.
• Η εκθετική κατανομή εμφανίζεται συνήθως σε περιπτώσεις όπου μελετάμε το χρόνο αναμονής μέχρι την πραγματοποίηση ενός γεγονότος.
Ορισμός Η συνεχής κατανομή με σ.π.π.
0)λ(0,λ)( λ >≥= − xexf x
( 0,0)( <= xxf ) καλείται εκθετική κατανομή με παράμετρο λ.
• Η συνάρτηση κατανομής της εκθετικής κατανομής θα είναι
0,1λ)()( λ
0
λ ≥−=== −−
∞− ∫∫ xedtedttfxF xx tx
ενώ F(x) = 0 αν x < 0.
18
•Η μέση τιμή και διασπορά της εκθετικής κατανομής θα είναι
λ1)( =XE και 2λ
1)( =XV .
f (x)
x
λ
F(x)
x
1
19
Άσκηση. Η διάρκεια σε λεπτά των υπεραστικών τηλεφωνικών συνδιαλέξεων ακολου-θεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 2 λεπτά. Να βρεθούν οι πιθανότητες η διάρ-κεια μιας υπεραστικής συνδιάλεξης (α) να είναι μεταξύ 4 και 6 λεπτών (β) να είναι μι-κρότερη από 6 λεπτά δεδομένου ότι ήταν μεγαλύτερη από 4 λεπτά.
Λύση. Αν Χ είναι η διάρκεια σε λεπτά των υπεραστικών τηλεφωνικών συνδιαλέξεων τότε 21 == λ/)(XE και άρα, 0,11)()( 2/λ ≥−=−=≤= −− xeexXPxF xx
X .
(α) 0855.011)4()6()64( 2/62/42/42/6 ≈−=+−−=−=<< −−−− eeeeFFXP XX ,
(β) 6321.0)4(1
)4()6()4(
)64()4|6( 2/4
2/62/4
≈−
=−−
=><<
=>< −
−−
eee
FFF
XPXPXXP
X
XX .
20
Η κανονική κατανομή
• Η κανονική κατανομή είναι η σημαντικότερη κατανομή με τις περισσότερες εφαρμο-γές. Σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα (θα διατυπωθεί σε επόμενη διάλεξη) κά-θε φυσική ποσότητα της οποίας η τιμή μπορεί να θεωρηθεί ότι διαμορφώνεται από ένα μεγάλο αριθμό (ανεξάρτητων) παραγόντων ακολουθεί προσεγγιστικά κανονική κατα-νομή.
Ορισμός Η συνεχής κατανομή με σ.π.π.
)σ,μ(,πσ
)( σ)μ(
02
1 2
2
2 >∈∈=−
−RRxexf
x
καλείται κανονική κατανομή με παραμέτρους μ, σ2. (συμβ. με Ν(μ,σ2)).
• Αποδεικνύεται ότι
μ=== ∫∫∞
∞−
−−∞
∞−dxxedxxxfXE
x2
2
2
21 σ
)μ(
πσ)()(
και V(X) = σ2.
21
Το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της N(μ,σ2) δίνεται στο επόμενο σχήμα για α) μ = 8, σ = 1, β) μ = 5, σ = 2, γ) μ = 5, σ = 4.
-5 0 5 8 10 15
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
μ=5, σ=4
μ=5, σ=2
μ=8, σ=1
22
Πρόταση Αν η τ.μ. Χ ~ Ν(μ,σ2) τότε και η τ.μ (α, b∈R, α ≠ 0)
Υ = aΧ + b ~ Ν(aμ+b, a2σ2).
• Η κανονική κατανομή Ν(0,1) (δηλ. μ=0, σ=1) θα καλείται τυπική κανονική κατανο-μή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
f x e xN
x
( , ) ( ) ,0 12
12
2
= ∈−
πR .
• Η σ.π. και η σ.κ. της Ν(0,1) συμβολίζονται συνήθως με φ(x) και Φ(x) αντίστοιχα.
23
Η συνάρτηση κατανομής Φ της τυπικής κανονικής
- 4 - 2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8 Φ ( x )
x
0.1587
0.00140.0228
0.5
0.9986
0.8413
0.9772
Ενδεικτικά, Φ(-3)≈0.0014, Φ(-2)≈0.0228, Φ(-1)≈0.1587,
Φ(0)=0.5, Φ(1)≈0.8423, Φ(2)≈0.9772, Φ(3)≈0.9986.
24
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυπικής κανονικής θα έχει τη μορφή:
-4 -2 0 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Ν(0,1)
φ(x)
x 1-1 -3 3
68.28%
95.44%
99.72%
25
Επίσης, λόγω της συμμετρίας της φ θα είναι
Rxxx ∈−=− ),(Φ1)(Φ .
0
0.1
0.2
0.3
0.4
φ(x)
x -3 3 −x x
Φ(−x) 1− Φ(x)
Αν η τ.μ. X ~ )σN(μ, 2 τότε θα ισχύει ότι η τ.μ.
)1,0(σσ1,
σμμ
σ1~
σμ
σ1
σμ 2
2 NNXXZ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
−=
και συνεπώς,
)σμ(Φ)
σμ()
σμ
σμ()( −
=−
≤=−
≤−
=≤xxZPxXPxXP
26
• Αν μία τ.μ. Χ ακολουθεί Ν(μ,σ2) τότε παίρνει τιμές μεταξύ του μ−3σ και του μ+3σ με πιθανότητα σχεδόν 1, τιμές μεταξύ του μ−2σ και του μ+2σ με πιθανότητα περίπου 95% και τιμές μεταξύ του μ−σ και του μ+σ με πιθανότητα περίπου 68%.
μ−3σ
99.72%95.44%68.28%
μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ
σ σ
27
Άσκηση. Αν η τ.μ. Χ ~ Ν(6,4) να υπολογιστούν οι πιθανότητες
α) P(X < 6), β) P(X ≥ 3), γ) P(2 < X < 8)
Λύση. Η τ.μ. ZX
N=−6
20 1~ ( , ) . Άρα,
(α) P X PX
P Z( ) ( ) ( ) ( ) .< =−
<−
= < = =66
26 6
20 0 05Φ
(β) 9332.0)5.1(Φ)5.1(Φ1)5.1(1)2
632
6()3( ≈=−−=−≤−=−
>−
=≥ ZPXPXP
(γ) P X PX
P Z( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 82 6
26
28 6
22 1 1 2< < =
−<
−<
−= − < < = − −Φ Φ
8185.09772.018413.0)2(Φ1)1(Φ =+−≈+−=
28
Η κατανομή Γάμμα / Erlang.
• Μία άλλη σημαντική κατανομή είναι η κατανομή Γάμμα η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση της εκθετικής κατανομής.
Ορισμός Η κατανομή με σ.π.π.
taa
etaΓ
tf λλ −−= 1
)()( , t ≥ 0
όπου λ > 0, και a ≥ 0 καλείται κατανομή Γάμμα με παραμέτρους (λ, a).
• Υπενθυμίζεται ότι η συνάρτηση γάμμα είναι η
dxexaΓ xa −−∞∫= 10)( .
( π=Γ∈−=ΓΓ=+Γ )2/1(,,)!1()(),()1( Nnnnaaa ).
29
a = 2
a=1.5
a = 1
a = 0.5 f(t)
1 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t Aν X ~ Γάμμα(a,λ) τότε
rr araraXE
λ⋅⋅⋅−+−+
=))(()( 21
και για r = 1, 2 προκύπτει ότι
22 )1()(,)(
λλaaXEaXE +
== , 22
2
222 )1()()()(
λλλaaaaXEXEXV =−
+=−= .
30
Η κατανομή Weibull
• Η κατ. Weibull μπορεί και αυτή να θεωρηθεί ως γενίκευση της εκθετικής κατανομής
Ορισμός Η κατανομή με σ.π.π.
01 ≥= −− tetatfataa ,)( )(λλ
όπου λ > 0, και a ≥ 0 καλείται κατανομή Weibull με παραμέτρους (λ, a).
• Η σ.κ. της θα είναι
0,0,1)( )( >>−= − aetFat λλ , t > 0 .
• Ισχύει ότι
)()(0
1
0
111/1
aandxexdx
axexaTE nxa
ann
ax
anaan +
Γ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −∞ −−
+−∞
−
−
−+
∫∫ λλλλ
λ ,
Συνεπώς, )1()( 11 −− +Γ= aTE λ και )21()( 122 −− +Γ= aTE λ ,
( )211222 ))1(()21()()()( −−− +Γ−+Γ=−= aaTETETV λ .
31
a = 1/2
a = 1
a = 3/2
a = 2
f (t)
t 1 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• Η παράμετρος a καλείται παράμετρος «μορφής» (shape parameter). Όταν το a αυξά-νεται, η καμπύλη της σ.π.π. f γίνεται «στενότερη».
• Η παράμετρος λ καλείται παράμετρος κλίμακας (scale parameter) διότι η κατανομή της Weibull εξαρτάται από τo λ και το t μόνο μέσα από το λt.
32
Η Λογαριθμοκανονική Κατανομή.
• Η κατανομή αυτή εμφανίζεται πολύ συχνά στην στοχαστική χρηματοοικονομική ανά-λυση.
Ορισμός Έστω Χ ~ Ν(μ,σ2). Η κατανομή της τ.μ.
Υ = eX
καλείται λογαριθμοκανονική (lognormal) κατανομή με παραμέτρους μ, σ2 (LN(μ,σ2)).
• Επομένως, αν Υ ~ LN(μ,σ2) τότε η τ.μ. lnY ~ N(μ,σ2).
• Η τ.μ. Υ θα έχει σ.κ.
)ln()ln()ln()()()(σ
μσ
μσμ −
Φ=−
≤−
=≤=≤=≤=ttXPtXPtePtYPtF X
LN , t ≥ 0
και σ.π.π.
2
2
2)(ln
221)ln()ln()ln()( σ
μ
πσσμ
σμ
σμ −
−=
−⋅
−Φ′=
−Φ=
t
LN et
tdtdtt
dtdtf , t ≥ 0
33
t
σ = 0.5
σ = 1
σ = 1.5
f (t)
2 4 6 8
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
LN(μ = 1, σ2)
Αν Υ ~ LN(μ,σ2) τότε
222
21
2 σμσμσμμσμσ rrrrrΖrrXrrXr eeeeEeeEeEYE
+⋅⋅+−
⋅⋅===== /)()(
)()()()( , r = 1,2,…
από όπου άμεσα προκύπτει ότι 2
21
)(σμ+
= eTE ,
)1()()()()(,)(22
222 222
12222222 −=−=−== ++++ σσμσμσμσμ eeeeTETETVeTE .
Top Related