9 786188 021433
ISBN: 978-618-80214-3-3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 623
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Θέμα 1ο Έστω z∈ με z 2= και z 2.≠ Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
[ )f : 0, + ∞ → με ( ) ημxf x e=
[ )F: 0, + ∞ → με ( ) ( )x
0F x z 2f t dt x= − +∫
α) Να δείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε τον z αν ισχύει:
( )x 0
F xlim 3
x→=
γ) Να δείξετε ότι για κάθε x 0> υπάρχει ( )α 0, x∈ τέτοιος ώστε:
( ) ημαF x xxe .
z 2−
=−
Θέμα 3ο Θεωρούμε το σύνολο { }Α z / z 1= ∈ > και τη συνάρτηση [ )f : 1,+ ∞ → με:
( ) x zf x ln x 2 .
x z−
= − ⋅+
α) Για κάθε z A∈ να βρείτε το όριο ( )xlim x f x→+∞
′⋅ .
β) Δείξτε ότι για κάθε z A∈ ισχύει:
( ) z 1f x 2
z 1−
≥ ⋅+
για κάθε x 1≥ .
γ) Να βρείτε τα σύνολα:
z 1 z 1B , z A και Γ , z A .z 1 z 1
− − = ∈ = ∈ + +
624 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 5ο Έστω *
1 2z , z ∈ τέτοιοι, ώστε 1 2z z α= = και f : → συνεχής συνάρτηση
με ( )f 2 1.= Θεωρούμε και τη συνάρτηση g : → με:
( ) ( ) ( ) ( )x1 22
g x f t Re z z dt α 2 x .= ⋅ + + −∫
α) Να βρείτε τους ( ) ( )g 2 , g 2 .′
β) Έστω ( )g x 0≥ για κάθε x .∈
i) Να δείξετε ότι ( ) ( )1 2Re z Re z α.+ =
ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης ( ) ( )2 21 2Κ Ιm z Im z .= +
Θέμα 6ο Έστω z∈ τέτοιος, ώστε ( )Im z 1.= Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με:
( ) ( )xf x x ln e z .= − +
α) Να βρείτε το ( )xlim f x .→+∞
β) Να δείξετε ότι η f είναι αύξουσα και ότι στρέφει τα κοίλα κάτω από το . γ) Δείξτε ότι για κάθε x ,∈ ισχύει:
( ) ( )x 1 x
z zf x 1 f x
e z e z+ < + − <+ +
.
δ) Να βρείτε τον z αν ισχύει:
( ) ( ) ( )1
2
0x f x f x 2x f x dx ln 2. ′⋅ ⋅ + ⋅ = −
⌠⌡
Θέμα 7ο Έστω *z∈ με ( )Re z 1.= Θεωρούμε το πολυώνυμο:
( ) 3P x x 3x z= − +
το οποίο έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. α) Να δείξετε ότι ( )Ιm z 3<
β) Αν ( )P 1 0= να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )2
0
P xI dx
x 2=
+⌠⌡
.
γ) Αν ( )P z 0,= να δείξετε ότι 100 50z 2 .= −
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 625
Θέμα 9ο Έστω { }*z i .∈ − Θεωρούμε και τη συνεχή συνάρτηση f : → .
α) Αν xe x z≥ + για κάθε x ,∈ να δείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε
κυκλικό δίσκο. β) Αν για κάθε x 0≥ ισχύει:
( )x x0
z f t dt e 1⋅ ≤ −∫
δείξτε ότι υπάρχει α 0≥ τέτοιο, ώστε
( ) α1f α ez
≤ ⋅ .
γ) Αν για κάθε x∈ ισχύει:
( )x
x
0z f t dt e 1,⋅ = −⌠
⌡
να βρείτε τον z όταν
( )xef x .
z i=
−
Θέμα 11ο Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ → για την οποία ισχύουν:
( )f 1 0= και ( ) ( )xf x 2f x x′ − = για κάθε x 0> .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )2
f xh x ,
x= είναι 1 1− στο ( )0, .+ ∞
β) Θεωρούμε τους μη μηδενικούς μιγαδικούς z, w με z w≠ και:
( ) ( )w w f z z z f w⋅ = .
Να δείξετε ότι z wRe 0.z w+ = −
γ) Να βρείτε τις συναρτήσεις ( ) ( )h x , f x . δ) Να υπολογίσετε το όριο
( )( )
x
12x 1
f t dtL lim .
ln x→= ∫
626 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 13ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς z∈ με την ιδιότητα
( ) ( )Re z Im z=
καθώς και τη συνάρτηση [ )f : 1, ,+ ∞ → με
( ) ( )2f x x z 2ln x .= −
α) Να βρείτε τον z, αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο 40x e .=
β) Για τον z που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να δείξετε ότι: ( ) ( ) 3f β f α
4eβ α−
≤−
για κάθε α, β με 1 α β.< <
γ) Να βρείτε τον z αν η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα [ )1, .+ ∞
Θέμα 15ο Έστω z∈ τέτοιος ώστε z 1.> Θέτουμε:
z 1α
ln z−
=
και θεωρούμε τη συνάρτηση f : → , τέτοια ώστε:
( ) x 2f x z x− ≤ για κάθε x .∈
Να αποδείξετε ότι: α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0= και να βρείτε τον ( )f 0 .′
β) Να αποδείξετε ότι α 1.> γ) Αν η f είναι συνεχής, τότε:
( )1
0
1f x dx α .3
− ≤⌠⌡
Θέμα 17ο Έστω z ,∈ με z 3 1.− = Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με:
( ) ( )2f x ln x x z= + + .
α) Να υπολογίσετε τα όρια: ( )
xlim x f x→−∞
′⋅ και ( )xlim x f x .→+∞
′⋅
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 627
β) Να δείξετε ότι z 2.≥
γ) Να δείξετε ότι για κάθε 2α2
> η εξίσωση ( )f x αx= έχει το πολύ μία λύση.
δ) Να βρείτε το z όταν: 1
21
dx ln3.x z−
=+
⌠⌡
Θέμα 19ο Για κάθε z *∈ θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : → με την ιδιό-τητα:
( ) ( )f x z f x′ ≤ ⋅ για κάθε x∈ (1)
α) Αν z 1 i= + , να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) 2 1f x x2
= + έχει την ιδιότητα (1).
β) Να δείξετε ότι:
i) Η συνάρτηση g : → με ( ) ( )x zg x e f x− ⋅= ⋅ είναι γνησίως φθίνουσα.
ii) ( )( )
f 2z ln .
f 1>
iii) ( ) ( ) x zf x f 0 e ⋅≤ ⋅ για κάθε x 0.≥
Θέμα 21ο α) Να δείξετε ότι:
( ) ( )2 2α 1 α ln 1 α≥ + ⋅ + για κάθε α 0≥ .
β) Δίνεται η συνάρτηση [ )f : 1, + ∞ → με:
( ) ( )1f x x
ln 1 x ln x= −
+ −.
i) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ )1, + ∞ .
628 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. iii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του Α καθώς και τη μικρότερη τιμή του Β,
ώστε να ισχύει: x A x B1 11 e 1
x x
+ + + ≤ ≤ +
για κάθε x 1≥ .
Θέμα 23ο Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ → με:
( ) 2f x 3ln x x 5x m, m .= + − + ∈
α) Να βρείτε την τιμή του m∈ αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο
( )( )A 1, f 1 διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Για m = 4, θεωρούμε τη συνάρτηση ( )F 0, + ∞ → με:
( ) ( )x
1F x f t dt= ⌠
⌡.
i) Να μελετήσετε την F ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
ii) Αν ( )F α 0 και α 1= > να δείξετε ότι η εξίσωση: 23 x 5x 4x e 1− +⋅ =
έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα [ ]1, α .
Θέμα 25ο Έστω η συνάρτηση f:
( ) xx 1f x e , x 1x 1
−−= − ≥
+
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Nα δείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο ( )α 1,∈ +∞ τέτοιο, ώστε
( )f α 0.=
γ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις [ ]g, h : 1,1− → με:
( ) ( ) ( ) ( )2013 2013g x 2ln α x , h x 2ln α x= − = +
καθώς και την ευθεία με εξίσωση: ( ) 1ε : y x 2014.α
= +
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 629
i) Nα δείξετε ότι υπάρχει σημείο ( )( )M κ, g κ της gC στο οποίο εφαπτομέ-
νη είναι κάθετη στην ευθεία ( )ε .
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο ( )( )Ν λ, h λ της hC στο οποίο η εφαπτο-
μένη είναι παράλληλη στην ( )ε . Θέμα 27ο Δίνονται οι f , g : → , με:
( ) ( )x
2 x2x e 1f x , g x .
1 x e 1−
= =+ +
α) Να βρείτε τα σύνολα των τιμών των συναρτήσεων f, g. β) Να δείξετε ότι για κάθε β∈ υπάρχει α∈ τέτοιο, ώστε:
β
2 β2α e 1.
1 α e 1−
=+ +
γ) Να βρείτε τους x, y∈ με x 0, y 0> > για τους οποίους ισχύει:
( ) ( )f ln x ln f y 1.+ =
δ) Να αποδείξετε ότι:
( ) ( )1 xx
21 1
f tf t dt dt 0, x 0.
t+ = >⌠⌠ ⌡ ⌡
Θέμα 29ο Δίνονται οι συναρτήσεις f : → με
( ) ( )( )( )f x x 1 x 2 x 3= − − −
και g : A → με
( ) { }1 1 1g x , A 1, 2, 3 .x 1 x 2 x 3
= + + = −− − −
α) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία στο Α. β) Να δείξετε ότι
( ) ( )( )
f xg x .
f x′
=
γ) Να δείξετε ότι
( ) ( ) ( )2f x f x f x′ ′′ > ⋅ για κάθε x A.∈
630 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση: ( ) ( )f x α f x 0′− ⋅ =
έχει ακριβώς τρεις λύσεις για κάθε α .∈
Θέμα 31ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f : → με:
( ) xf x e x α, α= − − ∈ .
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο . β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του α έτσι ώστε ( )f x 0≥ για κάθε x .∈
γ) Να βρείτε το όριο
( )( )
( )( )x
f x f xlim
f x f x→+∞
′ − ′
.
δ) i) Aν 0 α κ 1,< + < να δείξετε ότι η εξίσωση
( )xα κ e 1 x+ = −
έχει ακριβώς μία λύση στο ( )0,1 .
ii) Nα δείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα σημείο ( )( )0 0A x , f x με ( )0x 0,1∈ τέτοιο,
ώστε η εφαπτομένη της fC στο Α να διέρχεται από το σημείο ( )M 0, κ .
Θέμα 33ο Έστω συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ → τέτοια, ώστε για κάθε x 0, y 0> > να ισχύει:
( ) ( ) ( )2 2f xy x f y y f x .= +
Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ( )f 1 1.′ =
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0> ισχύει:
( ) ( ) ( )h 1
f xh f x 2f xlim x.
xh x x→
−= +
−
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0, + ∞ και ότι για κάθε x 0>
ισχύει:
( ) ( ) 2x f x 2f x x .′⋅ = +
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 631
γ) Να δείξετε ότι:
( ) 2f x x ln x, x 0.= >
δ) Να βρείτε το όριο
( )x 0
f xlim .
x→
Θέμα 35ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → με:
• ( )f 0 1=
• ( ) ( )f x f x 1 x′ + = +
α) Να βρείτε τη συνάρτηση ( )f x .
β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.
γ) Nα δείξετε ότι
( ) xx 1 e 1 0 για κάθε x .− ⋅ + ≥ ∈
δ) Να λύσετε την εξίσωση ( )f x 1.=
ε) Αν β, γ 0≠ να δείξετε ότι η εξίσωση:
( ) ( )f β 1 f γ 10
x 2 x 1− −
+ =− −
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ( )1, 2 .
Θέμα 37ο α) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ( )α 0,1∈ τέτοιο, ώστε:
ln α α 1 0.+ + = β) Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0,+ ∞ → με
( ) x ln xf x .x 1
=+
632 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξε-τε ότι για κάθε x 0> ισχύει ( )f x α.≥ −
ii) Θεωρούμε τις συναρτήσεις ( )h, g : 0, + ∞ → με
( ) ( ) ( ) ( )f xh x xf x , g x
x= = .
Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των g hC , C στα σημεία ( )( )M α, g α ,
( )( )Ν α, h α αντίστοιχα είναι κάθετες.
Θέμα 39ο Δίνεται η συνάρτηση f : → με
( )2x
2xe 1f x .e 1
−=
+
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να λύσετε την εξίσωση
( )xf x, x 1,1 .2
= ∈ −
γ) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση g : → ισχύει:
( ) ( )g xg x f
2
=
για κάθε x∈
να δείξετε ότι η g είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. δ) Να δείξετε ότι:
( ) ( ) 2f x 1 f x για κάθε x .′ = − ∈
ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
( )1
2
0A f x dx.= ⌠
⌡
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 633
Θέμα 41ο Δίνεται συνάρτηση
( ) ( ) [ )2xf x x 2 e , x 0, .= + ⋅ ∈ + ∞
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να λύσετε την εξίσωση:
( )1f 4 x 1
f 1 0.e
− − − − =
γ) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( )f x 1 f t f x 1− ≤ ≤ + για [ ]t x 1, x 1 , x 1∈ − + ≥
και να βρείτε το όριο
( )2
x 1t
x x 1lim t 2 e dt
+
→+∞ −+ ⋅⌠
⌡.
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )2f 2x x f x 4+ = + έχει τουλάχιστον μία ρίζα
στο διάστημα [ ]0, 2 .
Θέμα 43ο
Για λ∈ δίνεται η συνάρτηση:
( ) 3 2f x x λx 3x 1, x= + − + ∈ .
α) Να δείξετε ότι η f δεν είναι "1 1".−
β) Να δείξετε ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση
( ) ( )f x 2F x e x λx 3.= + + −
γ) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x 1,= να βρείτε την
τιμή του λ. δ) Για λ 0=
i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της
f που είναι παράλληλες προς την ευθεία y 9x 2014.= +
634 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 45ο
Έστω η συνάρτηση ( ) ( )4f x x 1 αx, x= + − ∈ τέτοια, ώστε:
( )f x 1≥ για κάθε x∈ .
Να δείξετε ότι: α) α 4.= β) Η f είναι κυρτή.
γ) Η συνάρτηση ( ) ( )5 2g x x 1 10x 5x= + − − είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη-
μα [ )0, .+ ∞
δ) Υπάρχει A∈ ώστε
( ) ( ) 2x 1 f x Ax x 1+ ≥ + + για κάθε x 0.≥
Θέμα 47ο Δίνεται η συνάρτηση f : → με:
( ) x 3f x e x x.= + +
α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συ-νάρτησης 1f .−
β) Να λύσετε την εξίσωση
( )1f x 0− = .
γ) Να βρείτε το όριο: ( ) ( )
x 0
f x f xlim .
5x→
′ ′′−
δ) Αν ( ) βf α e= και ( ) αf β e ,= να δείξετε ότι: α β 0.= =
ε) Να δείξετε ότι η εξίσωση:
( )1
3x3
1 1f e f x ln x ln xxx
+ + = + +
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( )1, e .
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 635
Θέμα 49ο
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση [ ]f : 0,1 → η οποία είναι κοίλη
στο διάστημα [ ]0,1 .
α) Αν ( ) ( )f 0 f 1 0,= = να δείξετε ότι:
( )f x 0≥ για κάθε [ ]x 0,1 .∈
β) Να δείξετε ότι:
( ) ( ) ( ) ( )( )f x f 0 x f 1 f 0≥ + ⋅ − για κάθε [ ]x 0,1 .∈
γ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
( ) ( )g x ln f x= και ( ) ( )21h x ln , x 0,1 .
x x = ∈ −
Να δείξετε ότι υπάρχει ( )c 0,1∈ τέτοιο ώστε οι εφαπτομένες των g hC , C στο
σημείο με τετμημένη c να είναι παράλληλες. δ) Να βρείτε το όριο:
( )x 0lim x h x .
+→⋅
Θέμα 51ο Θεωρούμε τις συναρτήσεις
( ) 1 1f x ημx συνx, x2 3
= + ∈ και ( ) ( )g x x f x , x= − ∈
Να δείξετε ότι:
α) ( ) 5f x6
′ ≤ για κάθε x .∈
β) ( ) ( ) 5f x f y x y6
− ≤ − για κάθε x, y .∈
γ) Υπάρχει ένα μόνο α 0> τέτοιο ώστε ( )g α 0.=
δ) Υπάρχει ξ∈ τέτοιο ώστε:
( ) ( )1f ξ 1.
3f α′ + =
636 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 53ο
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν: • ( )f 0 1= • ( )f x 0, για κάθε x≠ ∈
• ( )( ) ( )( )x xf x e x f x e 1 για κάθε x′ − = − ∈
α) Nα βρείτε την ( )f x .
β) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )α 0, 2∈ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της fC στο ση-
μείο ( )( )A α, f α να διέρχεται από το σημείο ( )P 1, 0 .
γ) Να δείξετε ότι ( )f x 1≥ για κάθε x .∈
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση
( )22x 1
2
0x f t dt βx βx 1 0, β
−
⋅ + − − = ∈⌠⌡
έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα ( )0,1 .
Θέμα 55ο Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( )f x x 4 ln x 3x 4, x 0= − + − > . α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
( ]1Δ 0,1= και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ )2Δ 1, .= + ∞ Στη συνέχεια να
βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
x 4 2014 3xx e , x 0− −= >
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. γ) Αν α, β με α β< είναι οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης, να δείξετε ότι
υπάρχει μοναδικό ( )ξ α, β∈ τέτοιο ώστε:
( ) ( )ξf ξ f ξ 2010.′ − = −
δ) Έστω η συνεχής συνάρτηση g : → με
( )x 1
g x 3x 4lim 0.
x 1→
− +=
−
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 637
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( )ε της gC στο σημείο ( )( )Α 1, g 1
και στη συνέχεια το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης ( )f x και την ευθεία ( )ε .
Θέμα 57ο
Έστω η συνεχής συνάρτηση [ )f : 0, + ∞ → για την οποία ισχύει:
( ) ( )x f x ln x 1⋅ = + για κάθε x 0≥ .
α) Να αποδείξετε ότι
( )( )ln x 1
, x 0f x x1 x 0
+>=
=
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1f − και να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση
( ) ( )g x xf x , x 0= ≥
στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα [ )0, .+ ∞ Στη συνέχεια, να βρείτε την
εξίσωση εφαπτομένης της gC στο σημείο ( )( )A 1, g 1 .
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση
( ) 1 xxf x ln 2, x 02 2
+ = + ≥
έχει ακριβώς μία λύση. Θέμα 59ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν: • ( )f x 0> για κάθε x∈
• ( ) ( ) ( )( )2 2x 1 f x f x x x 1′+ ⋅ = − + για κάθε x∈
• ( )f 0 1=
638 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
α) Να αποδείξετε ότι:
( )x
2
ef x , xx 1
= ∈+
και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο . β) Να δείξετε ότι:
( )1
2
0f x dx ln 2>⌠
⌡
γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
( ) ( )2x 1 4f 2 e f x 1−⋅ < + .
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( )ξ 0,1∈ τέτοιο, ώστε:
( ) ( ) ( )ξ
2
0f t dt 2 ξ 1 2ξ 1 ln 2.+ − = − ⋅⌠
⌡
Θέμα 61ο Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )0, + ∞ συνάρτηση f με
( )3
4f x dx 1=⌠
⌡ και ( )
5
4f x dx 3.=⌠
⌡
Θεωρούμε τη συνάρτηση g:
( ) ( )x 2
x 1g x f t dt, x 0.
+
+= >⌠⌡
α) Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία.
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 2, 3∈ ώστε:
( ) ( )f ξ 2 f ξ 1 4.+ − + =
γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στα σημεία 1 και 2 με ( ) ( )f 1 f 1 1′= = και
( ) ( )f 2 f 2 2′= = να βρείτε το όριο
( ) ( )2
12x 0
g x f x dx xlim
x→
− −⌠⌡ .
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 639
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
( ) ( )2 2
22
x 3 x 3
x 4x 2f t dt f t dt 2
+ +
++
= +⌠ ⌠ ⌡⌡
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( )0, .+ ∞
Θέμα 63ο Θεωρούμε τη συνεχή και μη μηδενική συνάρτηση [ ]f : 0,1 → , καθώς και τη συ-
νάρτηση [ ]g : 0,1 → με:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x x
2
0 0
1g x t 1 f t dt t 1 f t dt2
= + ⋅ − + ⋅
⌠ ⌠ ⌡ ⌡
.
α) Να βρείτε την ( )g x όταν ( ) 1f x .x 1
=+
β) Αν για την ( )f x ισχύει ότι:
( ) 10 f xx 1
< ≤+
για κάθε [ ]x 0,1∈ ,
τότε: i) Να δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. ii) Υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε:
( ) 1g ξ g .2014
′ >
γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f για την οποία η g να είναι σταθερή. Θέμα 65ο
Δίνεται η συνάρτηση f : → με ( )x
20
1f x dt.t 1
=+
⌠⌡
α) Να δείξετε ότι για κάθε x∈ ισχύει:
( ) ( ) 21f x 1 f x f
x x 1 + − = + +
.
β) Να υπολογίσετε το όριο
( ) ( )( )xlim f x 1 f x→+∞
+ −
640 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 1, 2∈ τέτοιο, ώστε: 13
2 20
1 1 dt1 ξ 1 t
=+ +
⌠⌡
.
δ) Για κάθε [ ]x 0,1∈ , να δείξετε ότι ( )f x x≤ .
ε) Να δείξετε ότι ισχύει ( )1
2
0
1f x dx .3
<⌠⌡
Θέμα 67ο Έστω η συνάρτηση ( )g : 0, + ∞ → με
( ) 2 1g x 2x fx
=
για κάθε x 0> ,
όπου η f έχει συνεχή παράγωγο στο [ )0, + ∞ με ( )f 0 0.= α) Αν η ευθεία y 2014x κ= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της gC στο +∞ , να βρεί-
τε την εξίσωση εφαπτομένης της fC στο ( )( )A 0, f 0 . β) Αν η ευθεία y 1007x= έχει δύο κοινά σημεία με την gC , να δείξετε ότι
υπάρχει m∈ τέτοιο, ώστε: 1 1mf f .m m
′=
γ) Αν ισχύει: 1β
21α
1 1f dx 0, α βxx
′ = <
⌠⌡
να δείξετε ότι υπάρχει 0x ∈ τέτοιο, ώστε ( )0f x 0.′ =
δ) Αν για κάθε ( )x, y 0,∈ +∞ με x y< ισχύει ( ) ( )2 2y f x x f y> να δείξετε ότι:
( ) ( )g x g y .< Θέμα 69ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : → καθώς και η συνεχής συνάρτηση
f : → με
( )g x 0> και ( )f x 0> για κάθε x .∈
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 641
Θεωρούμε τη συνάρτηση F : → με:
( ) ( )
( )x g x
0
tF x f dtg x
⋅
=
⌠⌡
.
α) Να δείξετε ότι για κάθε x∈ είναι
( ) ( ) ( )x
0F x g x f u du.= ⋅ ∫
β) Αν ( ) xg x e= και ( ) xf x e−= , να βρείτε την F.
γ) Αν ( )F x x≥ για κάθε x∈ να δείξετε ότι: ( ) ( )g 0 f 0 1.⋅ =
δ) Να δείξετε ότι ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )F 1 g 2 F 2 g 1 .⋅ < ⋅
Θέμα 71ο Δίδεται η συνάρτηση F:
( ) ( )x
1
f tF x x dt, x 1
t= ≥⌠
⌡
όπου f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [ )1,+ ∞ με ( )f 1 0= και:
( ) ( )f x xf x 0′+ ≥ για κάθε x 1.≥
α) Να δείξετε ότι ( )F x 0≥ για κάθε x 1.≥
β) Αν ( ) ( )2
1
f tdt f 2
t= −⌠
⌡
να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 1, 2∈ τέτοιο, ώστε:
( ) ( )f ξ ξf ξ 0.′+ =
γ) Να λύσετε την εξίσωση
( ) ( )2
2
f x 1 f 2x, x 1.
2x x 1
+= ≥
+
δ) Να βρείτε την F αν ( )f x ln x, x 1.= ≥
642 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 73ο Έστω η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
( ) ( ) ( )f x f x f x 0, x′′′ ′+ + = ∈
α) Αν η συνάρτηση g
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2g x f x f x 2f x f x′′ ′ ′= + +
είναι σταθερή, να δείξετε ότι και η f είναι σταθερή. β) Αν: • ( ) ( )f 1 f 1 1′′ + = −
• ( ) ( )f 0 f 0 1′′ + =
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )1
0f x dx.⌠
⌡
γ) Αν επιπλέον ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln f β f β f β ln f α f α f α β α′ ′′ ′ ′′+ + − + + = −
για α,β∈ με α β< , να δείξετε ότι υπάρχει ( )c α,β∈ τέτοιος, ώστε:
( ) ( )f c f c .′′′ =
δ) Αν ισχύει ( )f x 0′′′ > για κάθε x∈ να δείξετε ότι:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2x αf x f α f α x α f α
2−
′ ′′≤ + − + για κάθε x α.≤
Θέμα 75ο Έστω η f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ )1, + ∞ με ( )f x 0> για κάθε
x 1.≥ Ορίζουμε τις συναρτήσεις:
( ) ( )x
2
1G x t f t dt, x 1= ≥⌠
⌡ και ( ) ( )
x
1H x tf t dt, x 1.= ≥⌠
⌡
α) Θεωρούμε τη συνάρτηση Ρ: ( ) ( ) ( )P x xH x G x , x 1.= − ≥
Να δείξετε ότι: i) ( )P x 0≥ για κάθε x 1.≥
ii) Η συνάρτηση ( )P x είναι κυρτή στο διάστημα [ )1, + ∞ .
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 643
iii) Για κάθε x 1> ισχύει:
( ) ( ) ( )P x P x 2P x 1 .
2+ +
+ <
β) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση:
( ) ( )( )
G xF x
H x=
είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )1, .+ ∞
γ) Να βρεθεί το όριο: ( )
( ) ( )
2x
12x 1
H x ln t dtL lim .
G x x 1+→
⋅=
⋅ −
⌠⌡
Θέμα 77ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f : → η οποία για κάθε x∈ ικανοποιεί τις σχέσεις: • ( )xe f x 1 0⋅ − ≥
• ( ) ( )
x tx
0
e te x dt 1 f xf t
− − = + ⋅
⌠⌡
α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο . β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Αν είναι
( ) xxf x 1 , xe
= − ∈ ,
τότε: γ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα. δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )α 0,1∈ τέτοιο ώστε για το εμβαδόν που περικλείεται
από την fC , την εφαπτομένη αυτής στο 0x α= και τον άξονα y y,′ να ισχύει: E 1 α.= −
ε) Να βρείτε τον όριο:
( ) ( ) ( )2
x
1 1lim f x 1 συν ημ .f x f x→−∞
⋅ − ⋅
644 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 79ο Έστω g : → μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει:
( ) ( )x
x
xe x g t dt 0
−− =⌠
⌡ για κάθε x .∈
Θεωρούμε επίσης και την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : → με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν:
• ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
g x2
g xf t f t 1 dt f x f x x
′ −
′′+ + = −⌠
⌡ για κάθε x∈
• ( )f x 0≠ για κάθε x∈ .
• ( )f 0 1.=
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( )g x είναι περιττή.
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ( )f x .
γ) i) Nα δείξετε ότι:
( ) ( ) ( )( )2
f x xf xf x
f x′−
′′ =
και στη συνέχεια ότι η f είναι κυρτή στο . ii) Να δείξετε ότι:
( )1
0
2f x dx2
>⌠⌡
.
δ) Nα βρείτε το όριο:
( ) ( )x
1lim ln f x ημ .f x→+∞
⋅
ε) Να λύσετε την εξίσωση:
( )2 x
xf t dt 0.
−
=⌠⌡
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 645
Θέμα 81ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση [ )f : 0,+ ∞ → για την οποία ισχύουν:
• ( ) [ )f x x για κάθε x 0,< ∈ +∞
• ( ) ( )
x ux
1 11
x 1 tf t dt dt du2 t f t
− = + −
⌠ ⌠⌠ ⌡ ⌡⌡ για κάθε x 0≥
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με
( ) ( )xf x
x f x′ =
− για κάθε x 0.≥
β) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή. γ) Να λύσετε την ανίσωση:
( ) ( )2
4 4 2 2
x 1f fx f x x f x
′ ′< − −
δ) Να δείξετε ότι:
i) ( ) ( )xf x f x′ ≥ για κάθε x 0≥
ii) ( )2
1
1 1f x dx 2 f2 2
< −
⌠⌡
.
Θέμα 83ο Δίνεται συνάρτηση f : → για την οποία ισχύουν: • Η f είναι κυρτή στο με ( )f x 0> για κάθε x∈
• ( )x
2x
x 1e 1 x f 2x t dt 0
−− − − ≥⌠
⌡ για κάθε x∈
α) Να αποδείξετε ότι:
i) ( )1
0f t dt 2=⌠
⌡
ii) Υπάρχει ( )ρ 0,1∈ , τέτοιο ώστε ( )ρ
0f t dt 1=⌠
⌡
iii) Η εξίσωση
( ) ( )( )
x
0
x x f t dt x
0f t dt xf x e e
⌠⌡
+ ⋅ = ⌠⌡
έχει λύση στο διάστημα ( )0, ρ .
646 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( ) ( )x
0g x f t f 1 t dt, x= + − ∈
⌠⌡
i) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. ii) Να μελετήσετε την g ως προς τα κοίλα. iii) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης ( )g x′ , τον άξονα x x′ και τις ευθείες x 0= ,
x 1= είναι ίσο με 4 μονάδες. Θέμα 85ο Έστω συνάρτηση f : → , η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή με:
• ( )2
1x t
x 0f 0 lim x e dt
→+∞= ⋅⌠
⌡
• ( )f 0 0′ =
α) Να αποδείξετε ότι ( )f x 1≥ για κάθε x∈
β) Αν ( )f 0 0′′ = να βρείτε το όριο ( )2x 0
f x 1lim
x→
−.
Αν επιπλέον δίνεται ότι για τις συναρτήσεις f και g : → ισχύει:
( ) ( )( )( )
( )g x2 3
2 g xf x 2x 2x f x x t 1dt, x ,
−
′ + = + + − ∈⌠⌡
να αποδείξετε ότι ( )2x 2f x e x= − για κάθε x∈ .
γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση
( ) ( )2x 2
2xh x f t x dt
+
= −⌠⌡
, [ )x 0,∈ +∞
και να λύσετε στο την ανίσωση
( ) ( )2
2
x 2x 3 4
x 2x 1 6f t dt f t dt 0.
+ +
+ ++ <⌠ ⌠
⌡ ⌡
Top Related