Željka Dijanić, prof. savjetnikprof. matematike i informatikeSrednja škola Čazmazeljka.dijanic@skole.hr

Zadatci u kontekstu e-udžbenika

SAŽETAK:

U radu se ukratko iznose ideje Polye i Schoenfelda vezano uz rješavanje zadataka te način na koji ih je moguće primijeniti u učenju pomoću računala.

Predstavljaju se e-udžbenici kreirani školske godine 2014./2015. uz prikaz nekoliko apleta s posebnim osvrtom na zadatke učenicima: motivacijski zadatci, zadatci za učenje otkrivanjem, zadatci za uvježbavanje, zadatci s primjenom u svakodnevnom životu te zadatci za ponavljanje. Preporuča se posjetiti portal TubeGeoGebra te pretraživati i ostale e-udžbenike i samostalne uratke naših kolega, a posebice koristiti ih u školama uključenima u projekt e-Škole.

Na kraju rada ukratko se opisuje istraživanje u okviru kojega su opisani e-udžbenici nastali.

Ključne riječi: aplet, e-udžbenik, e-škole, GeoGebra, učenje otkrivanjem, vježbalice, zadatak

1. Uvod

Kurnik (2000) naglašava važnost zadatka u suvremenoj nastavi matematike kojoj je težište na „razvijanju umijeća samostalnog i stvaralačkog proučavanja matematike od strane učenika, te stvaranju preduvjeta za uspješnu primjenu stečenih matematičkih znanja i vještina.“ On ističe kako je rješavanje zadataka najčešća djelatnost učenika te izdvaja pet osnovnih sastavnica svakog zadatka: uvjete, cilj, teorijsku osnovu, rješavanje i osvrt.

Polya (1966) proces rješavanja zadatka dijeli se u četiri etape:1. razumijevanje zadatka – zadatak pročitati s razumijevanjem, prepoznati glavne

dijelove zadatka: nepoznanicu, zadane veličine i uvjete, skicirati sliku i uvesti oznake2. stvaranje plana – uočiti zakonitost koja povezuje poznate i nepoznate varijable,

složeniji zadatak razložiti na jednostavnije dijelove, potražiti sličan riješeni zadatak3. izvršavanje plana – provesti tehniku računanja, paziti na greške pri računanju4. osvrt – provjera rezultata, traženje elegantnijih rješenja, izvođenje generalizacija,

analogija, postavljanje pitanja „što ako“ i sl.

Fernandez, Hadaway i Wilson (1994) naglašavaju važnost metakognicije pri rješavanju matematičkih problema te smatraju kako Polyjin model rješavanja zadataka nije linearan nego dinamički i ciklički te uključuje upraviteljski proces samokontrole, samoregulacije i samoprocjene tijekom procesa rješavanja matematičkih problema (Slika 1.).

1

Slika 1. Dinamički ciklički model rješavanja problema

Schoenfeld (1985) je, pod utjecajem Polyinih ideja, proučavao uspješnost rješavanja matematičkih zadataka te razradio okvir koji uključuje četiri kategorije znanja i vještina potrebnih za uspješno rješavanje matematičkih zadataka:

1. resurse – matematička znanja koja posjeduje pojedinac te ih je u stanju primijeniti u određenoj matematičkoj situaciji

2. heuristika - uključuje poznavanje strategija i tehnika rješavanja različitih problema3. kontrola - donošenje odluka o korištenju resursa i strategija, povezana s planiranjem i

metakognicijom 4. vjerovanja - gledanje na vlastite matematičke sposobnosti utječe na ponašanje učenika

pri rješavanju zadataka (npr. „meni matematika ne ide, ja to ne znam“).

U posljednjih desetak godina brojni se znanstvenici bave se pitanjem kako Polyine i Schoenfeldove ideje iskoristiti pri učenje pomoću računala. Kuzle (2013) proučava obrasce metakognitivnih procesa učenika u istraživačkoj nastavi matematike korištenjem programa dinamične geometrije te zaključuje kako su za postizanje dobrih rezultata ključne vođene aktivnosti i kontrola ponašanja učenika. Karadag i McDougall (2009) nude konkretne ideje te Polyin model rješavanja zadataka ugrađuju u GeoGebrino dinamično okruženje za učenje otkrivanjem:

1. osigurati radni materijal za učenike, navesti učenike da istraže problem, voditi ih da utvrde što je nepoznato

2. pitati učenike za vezu među varijablama, voditi učenike u kreiranju strategije3. voditi učenike kroz interakciju matematičkih objekata da sakupe dovoljno podataka na

temelju kojih će uočiti zakonitosti4. poticati učenike da mijenjaju početni problem, da postavljaju što-ako pitanja.

2. E-udžbenik

Od ove jeseni u dvadesetak hrvatskih škola krenulo se s projektom e-Škole, a do kraja školske godine, prema projektu kojeg provodi CARNet, biti će uključeno oko 150 škola. A

2

koja je ideja projekta i kako CARNet definira e-Škole? „e-Škole su digitalno zrele škole, spojene na ultra-brzi Internet, visoko opremljene informacijsko-komunikacijskim tehnologijama (IKT), s informatiziranim procesima poslovanja te učenja i poučavanja. U e-Školi digitalno kompetentni nastavnici i učenici u svom svakodnevnom radu koriste računalnu i mobilnu opremu, te obrazovne aplikacije i digitalne nastavne materijale.“

Kako se nastava matematike vidi u tome kontekstu? Imamo li digitalnih nastavnih materijala koji odgovaraju posebnostima nastave matematike ili će nas „strpati u isti koš“ sa svim ostalim predmetima? Iskreno se nadamo, za dobrobit nastave matematike, kako će specifičnosti našeg vrlo ozbiljnog predmeta i u CARNetu ozbiljno shvatiti te pogledati što se za potrebe e-Škola po pitanju matematike već napravilo i u kojem smjeru bi valjalo ići.

Tijekom školske godine 2014./2015. tim nastavnika matematike izradio je e-udžbenike za pojedine nastavne jedinice geometrije u 6., 7. i 8. razredu, a autorica rada je nakon toga samostalno izradila još neke lekcije za 1. razred srednje škole. Korištenje e-udžbenika zamišljeno je tako da se svaka nastavna jedinica e-udžbenika kompletno odrađuje u informatičkoj učionici uz minimalnu intervenciju nastavnika, s ciljem da učenik samostalno otkrivanjem pomoću računala usvoji i uvježba nove nastavne sadržaje. Jedna lekcija e-udžbenika predviđena je za obradu tijekom nastavnog sata od 45 minuta te obuhvaća 4-6 apleta (Tablica 1.).

Tablica 1. Pregled e-udžbenika i popis nastavnih jedinica

Razred Nastavne cjeline Nastavne jedinice (lekcije e-udžbenika) Broj

apleta

6. OŠ Trokut(25 apleta)

Odnos duljina stranica i veličina kutova trokutaZbroj unutarnjih kutova u trokutuSimetrala kutaVisine trokutaPovršina trokutaKviz za provjeru znanja

55465

7. OŠ

Sličnost trokuta

i mnogokuti(27 apleta)

Sličnost trokutaOpseg i površina sličnih trokutaDijagonale mnogokutaKutovi mnogokutaOpseg i površina mnogokutaKviz za provjeru znanja

46467

8. OŠPitagorin poučak

(27 apleta)

Pitagorin poučakPrimjena Pitagorinog poučka na pravokutnikPrimjena Pitagorinog poučka na jednakokračan trokutPrimjena Pitagorina poučka na rombPrimjena Pitagorina poučka na trapez

65565

1. SŠLinearna funkcija

(10 apleta)

Graf linearne jednadžbeEksplicitni oblik jednadžbe pravca

55

Poveznice na e-udžbenike su sljedeće:Trokut (6. razred): http://tube.geogebra.org/student/b272303Sličnost trokuta i mnogokuti (7. razred): http://tube.geogebra.org/student/b364307Pitagorin poučak (8. razred): http://tube.geogebra.org/student/b297339Linearna funkcija (1. razred SŠ): http://tube.geogebra.org/book/title/id/583199

3

Svakako valja napomenuti da ovo nisu jedini e-udžbenici koje su hrvatski nastavnici pripremili na portalu GeoGebraTube. Preporučam da posjetite http://tube.geogebra.org gdje možete pretraživati ostale e-udžbenike ili pojedinačne uratke po temama, uzrastu, jezicima (hrvatski), autorima (ističu se Damir Belavić, Udruga Normala, Aleksandra-Maria Vuković, Šime Šuljić, Josip Kličinović i drugi). Na primjer, za temu Krug i kružnica nudi se nekoliko vrlo bogatih e-udžbenika na hrvatskom jeziku namijenjenih različitim uzrastima koje su izradili naši vrijedni kolege.

Slika 2. Pretraživanje GeoGebra Tube

Nastavne jedinice koje smo uključili u naše e-udžbenike prate standardne dijelove nastavnoga sata obrade novoga gradiva: uvod (motivacija), usvajanje novih sadržaja (učenje otkrivanjem), uvježbavanje, primjena usvojenih sadržaja, ponavljanje.

3. Motivacijski zadatak

U uvodnom dijelu sata učenike želimo zainteresirati za daljnji rad, najaviti cilj nastavnog sata te pobuditi njihovu znatiželju. Jedno od Polyinih načela učenja matematike jest načelo najboljeg poticaja - najbolji stimulans za učenje je interes koji kod učenika izazivaju sadržaji koje uči. Stoga i intelektualnu i emocionalnu motivaciju možemo postići odabirom prikladnog motivacijskog zadatka koji će učenike potaknuti na aktivnost i promišljanje. Motivacijski zadatak ne bi smio biti pretežak, po mogućnosti neki životni problem za koji se i ne očekuje rješenje nego jednostavno pobuđivanje znatiželje i najava cilja sata.

Primjer 1. Motivacijski zadatak za nastavnu temu Dijagonale mnogokutaUkupan broj dijagonala mnogokuta možemo poistovjetiti s brojem različitih dodavanja lopte u skupini djece koja stoje „u krugu“ (pod uvjetom da se lopta ne dodaje svome susjedu). Aplet je interaktivan (autorica Željka Dijanić, Čazma), broj djece može se mijenjati klizačem, a dužine koje predstavljaju dodavanja sakriti ili pokazati. Nakon što se učenici „poigraju

4

apletom“ postavlja im se zadatak: Koliko različitih dodavanja ćemo imati? Ako žele, učenici mogu izbrojati koliko će biti dodavanja za prikazani broj djece. Međutim, cilj zadatka nije da ga se riješi nego da se ovim životnim i grafički šaljivim primjerom pobudi interes učenika za daljnji tijek sata, a ujedno i pokaže praktičnost matematike u svakodnevnom životu.

Slika 3. Motivacijski zadatak za temu Dijagonale mnogokuta

4. Učenje otkrivanjem

Iduće Polyino načelo učenja jest načelo aktivnog učenja - najbolji način da se nešto nauči jest da to sami otkrijete, ukoliko se zaboravi, kasnije ćete se lakše sjetiti puta kojim ste prošli kako bi to otkrili. Brojna su istraživanja pokazala kako vođeni model učenja otkrivanjem uz poticanje kognitivne aktivnosti učenika s konkretnim ciljem daje puno bolje rezultate nego nestrukturirano i slobodno učenje otkrivanjem.

A kako učenike „voditi“ na putu otkrivanja pomoću apleta? Pažljivo osmišljenim zadatcima kojima ćemo prvo analizirati problem, raščlaniti ga na dijelove, promatrati pojedinačne slučajeve na temelju kojih se potom izvode zaključci, provjerava se otkriveno na drugim pojedinačnim slučajevima ili se izvode dokazi, potom se sva otkrivena znanja sintetiziraju i donose se općeniti zaključci.

Interaktivnost i dinamičnost GeoGebre, koja u vrlo kratkom vremenu može prikazati puno različitih primjera, omogućava otkrivanje koje je bez računala gotovo neizvedivo. Apleti koji se koriste za učenje otkrivanjem koncepcijski su jednako zamišljeni. Iskoristiti smo mogućnost GeoGebre da istovremeno prikazuje dva grafička prikaza pa smo u lijevi smjestili dinamične geometrijske objekte koje treba proučavati, a u desni pitanja, zadatke i zaključke. Na taj način učenicima je na ekranu istovremeno sve vidljivo te se izbjegava nepotrebno „skrolanje“ gore-dolje.

5

Problem, koji se postavlja u lijevom dijelu apleta, razlaže se na nekoliko manjih i konkretnijih te se koriste kontrolni okviri za postepeno prikazivanje zadataka (kada bi učenici odjednom vidjeli puni ekran teksta, vrlo vjerojatno bi većina odustala od čitanja) ili se zadatci grupiraju po skupinama koje se numeriraju radi lakšeg praćenja. Primjeri strukture zadataka kojima se učenike vodi kroz proces otkrivanja nalaze se na slikama 4. i 5. Zadatci moraju biti konkretni i jasni, trebaju pratiti geometrijske objekte u lijevom dijelu apleta kao i prikazane algebarske izraze i formule. Sitnim koracima rješavajući redom zadatak po zadatak učenika se vodi do otkrića nove spoznaje. Neki zadatci zahtijevaju samo klikanje i pomicanje miša uz promatranje što se događa, dok se drugi vežu na njih i zahtijevaju formuliranje zaključka. Ako je zaključak složeniji, dobro je postaviti potpitanja da učenicima bude jasno što se od njih konkretno traži.

Primjer 2. Zbroj veličina unutarnjih kutova trokutaIdeja ovoga apleta (autor Niko Grgić, Nuštar) jest da se kroz nekoliko konkretnih i učeniku po volji odabranih primjera zbrajanjem unutarnjih kutova trokuta zaključi kako bi njihov zbroj mogao biti 180. To naravno nije dokaz nego samo slutnja (u idućem apletu učenicima se prikazuje grafički dokaz), ali njena metodička vrijednost je u tome što će to učenik kroz tih par primjera zasigurno sam zaključiti, a onda i dulje pamtiti. Zgodno je, kad god se to može, odmah promotriti i neke specijalne slučajeve te istražiti što se kod njih događa. Tako ovdje predlažemo promatranje različitih vrsta trokuta, pitamo za zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta. Na kraju, s ciljem osvrta na dosad otkriveno pitamo učenike: Može li trokut imati dva prava/tupa kuta? te tražimo obrazloženje odgovora.

Slika 4. Otkrivanje zbroja unutarnjih kutova u trokutu (autor Niko Grgić)

Primjer 3. Utjecaj koeficijenata a i b u jednadžbi pravca y=ax+b.

6

Pomicanjem klizača učenik mijenja vrijednosti koeficijenta a i promatra kako se to odražava na slici pravca. Potom ima zadatak odgovoriti na pitanja, odnosno formulirati zaključak „kako koeficijent a utječe na položaj pravca, što ako je |a| bliže nuli, a što ako je dalje, što ako je a pozitivan, a što ako je a negativan“. U radu s učenicima primijetila sam da oni dosta lako uoče potrebne zakonitosti, ali imaju problem s matematičkim izražavanjem, odnosno ne znaju kako to zapisati. Na primjer, učenici uoče razliku u rasu i padu pravca vezano uz pozitivan i negativan koeficijent smjera, ali ne znaju (ili se ne sjećaju) kako se to matematički ispravno kaže. Tu treba biti tolerantan i dozvoliti im da se izraze na svoj način. Jedan učenik je to slikovito zapisao ovako: „ako je a pozitivan, lijeva strana pravca je dolje, a desna gore...“. Autorica ovoga apleta je Željka Dijanić, Čazma.

Slika 5. Učenje otkrivanjem – značenje koeficijenata a i b u jednadžbi pravca y=ax+b

Osim samog procesa otkrivanja novih spoznaja dosta je važno zapisati ono najbitnije. Korištenje bilježnice i udžbenika u krcatoj informatičkoj učionici može biti dosta nespretno zbog nedostatka prostora na radnom stolu, a sva nepotrebna zapisivanja oduzimaju dragocjeno vrijeme. Stoga smo za svaku nastavnu temu pripremili radne listove koji se na početku sata podijele učenicima, a koji sadrže pitanja (ista kao u apletu) s prostorom za odgovore, a ponekad i već zapisane najvažnije činjenice. Po završetku sata učenici ih prilažu u svoje bilježnice kao papirnati trag što su na tom satu radili.

7

Slika 6. Dio radnog lista – zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu

5. Vježbalice

Najveći dio nastavnog sata vremenski se posvećuje procesu otkrivanja novih spoznaja te uvježbavanju usvojenih sadržaja. Aplete koji se koriste za uvježbavanje nazvali smo vježbalice. Iskustvo je pokazalo da ih učenici jako vole te su vrlo stimulirajuće zbog brze povratne informacije o točnosti rješenja koju računalo gotovo trenutno pruža. U svim e-udžbenicima koristili smo model sakupljanja bodova po principu 10 bodova za točno riješen zadatak te -5 za netočno riješen zadatak. Ovisno o složenosti zadatka cilj vježbalice je sakupiti 50 ili 100 bodova kako bi se moglo preći na sljedeći aplet.

Računalo i GeoGebra doista pružaju nebrojene mogućnosti te su samo mašta, kreativnost i originalnost autora granice do kojih možemo ići. Sljedeći primjeri pokazuju kako se mogu osmisliti vrlo zanimljive vježbalice, od čisto konstrukcijskih, preko jednostavnijih do onih sa složenijim računskim zadatcima u kojima je potrebno ponuditi i svojevrsnu pomoć.

Primjer 4. Uvježbavanje prepoznavanja visine trokutaPrepoznati visinu iz zadanoga vrha trokuta i nije tako lak zadatak kao što se možda čini, a preduvjet je za rješavanje računskih zadataka vezanih uz površinu trokuta i složenijih likova. Kolega Damir Belavić (Velika Ludina) osmislio je aplet u kojem će učenici na različitim primjerima svih vrsta trokuta (šiljastokutan, pravokutan, tupokutan) uvježbati prepoznavanje visine iz zadanoga vrha. Radi jednostavnijeg „crtanja“, odnosno „pozicioniranja“ visine ponuđena je koordinatna mreža te je točke C i N potrebno postaviti na odgovarajući čvor.

8

Slika 7. Vježbalica za visinu trokuta (autor Damir Belavić)

Primjer 5. Uvježbavanje računanja opsega sličnih trokutaKolega Boris Pein (Pula) osmislio je aplet za uvježbavanje računanja opsega sličnih trokuta. U apletu se nasumičnim odabirom mogu pojaviti dvije vrste zadataka: na temelju zadanih opsega sličnih trokuta treba odrediti nepoznatu stranicu (kao što prikazuje Slika 8.) ili na temelju zadanih stranica odrediti nepoznati opseg. Ovi zadatci su više kognitivne razine jer zahtijevaju određivanje koeficijenta sličnosti koji se zapravo nigdje ne spominje. Ponuđeni trokuti različito su okrenuti pa nije lak zadatak odrediti koje su stranice odgovarajuće. Odgovarajući kutovi obojani su istim bojama, a učenicima se nudi pomoć u smislu rotacije trokuta u željeni položaj.

9

Slika 8. Vježbalica za opseg sličnih trokuta (autor Boris Pein)

6. Primjena – zadatci iz svakodnevnog života

Nakon vježbalica u pojedine smo lekcije ugradili aplete koji prikazuju praktičnu primjenu usvojenih sadržaja. Sljedeći primjer pokazuje kako GeoGebra omogućuje generiranje apleta s korištenjem pojedinih alata s alatne trake.

Primjer 6. Primjena usvojenih znanja - računanje površine parcele u parkuKolegica Aleksandra-Maria Vuković (Gornji Mihaljevec) potpuno je samostalno izradila svih sedam apleta za nastavnu temu Opseg i površina mnogokuta. Nakon apleta za otkrivanje opsega i površine pravilnih mnogokuta, demonstracijskih apleta za ponavljanje površine trokuta, paralelograma i trapeza, apleta s idejom kako nepravilne mnogokute podijeliti na jednostavnije likove i vježbalica, ponudila je ovaj zanimljiv aplet u kojem učenici imaju zadatak izračunati površinu parcele u parku. Površina je nepravilnog oblika te ju učenik ponuđenim alatima treba podijeliti na jednostavnije likove, izmjeriti potrebne duljine stranica i visine te potom izračunati površine tako dobivenih likova.

10

Slika 9. Zadatak primjene računanja površine mnogokuta (autor Aleksandra-Maria Vuković)

Primjer 7. Primjena Pitagorinog poučka na jednakokračan trokutNastavna jedinica primjene Pitagorinog poučka na jednakokračni trokut počinje motivacijskim zadatkom kako odrediti duljinu božićnih lampica koje Božo želi postaviti na krov svoje kuće. Nakon najave cilja sata, otkrivanja novih spoznaja i vježbalice slijedi još jedna vježbalica kojom se vraćamo na problem postavljen motivacijskim zadatkom. Kolega Damir Belavić (Velika Ludina) osmislio je aplet koji slučajno generira poziciju raznobojnih lampica na kući (duž stranica krova, po visini krova, uz osnovicu krova, sa strane zidova kuće i sl.). Zadatak je učenika izračunati ukupnu duljinu lampica.

11

Slika 10. Primjena Pitagorinog poučka na jednakokračan trokut (autor Damir Belavić)

7. Ponavljanje (kviz)

Na kraju nastavnih cjelina Trokut (6. razred) i Sličnost trokuta i mnogokuti (7. razred) od kojih svaka u e-udžbeniku uključuje po pet nastavnih jedinica, kao ponavljanje prije ispita znanja učenicima je ponuđen kviz. Kviz je izrađen u HotPotatoesu, a mrežna stranica koju taj program generira jednostavno se može dodati kao lekcija e-udžbenika. Kviz sadrži četrdesetak pitanja s ponuđenim odgovorima od kojih se nasumičnim odabirom i nasumičnim redoslijedom bira 20 pitanja.

Zadatci u kvizu su raznoliki, od provjere poznavanja osnovnih teorijskih znanja, rješavanja jednostavnijih primjera, prepoznavanja elemenata na crtežu, do rješavanja jednostavnih računskih zadataka. Nakon što riješi sve zadatke, učenik dobije povratnu informaciju koliko je bio uspješan, a osvježavanjem stranice dobiva kviz s novih 20 zadataka.

12

Slika 11. Kviz za 6. razred - Kut i trokut

8. Istraživanje

Na ovim e-udžbenicima provedeno je istraživanje za potrebe doktorskog rada autorice (Tema: Razvoj modela računalno vođenog učenja otkrivanjem korištenjem programa dinamičke geometrije u nastavi matematike). U istraživanju je sudjelovalo 15 učitelja iz osnovnih škola diljem Republike Hrvatske te njihovih 700 učenika. Učenici su bili podijeljeni u dvije skupine: eksperimentalni razredi učili su nove sadržaje pomoću e-udžbenika, a kontrolni klasičnom metodom uz eventualno korištenje računala i projektora frontalno. Istraživao se utjecaj samostalnog učenja pomoću e-udžbenika na znanje učenika (konceptualno i proceduralno), na motivaciju učenika za učenje matematike te na stavove o učenju matematike pomoću računala. O rezultatima istraživanja još uvijek ne možemo govoriti, biti će objavljeni na nekom od narednih skupova.

Tablica 2. Popis učitelja i škola koje su sudjelovale u istraživanju

Suradnik / Suradnica Škola

1. Damir Belavić Osnovna škola Ludina, Velika Ludina2. Zlata Ćurković Osnovna škola Petra Kanavelića Korčula3. Alena Dika Osnovna škola Gornja Vežica Rijeka

13

4. Kristina Vučić Osnovna škola Ivana Filipovića Osijek5. Tatjana Brešćanski Osnovna škola Vladimira Nazora Vinkovci6. Tanja Debelec Prva osnovna škola Čakovec7. Željka Kraljić8. Zvjezdana Martinec Osnovna škola Popovača9. Tea Borković Osnovna škola Grabrik Karlovac10. Boris Pein Osnovna škola Veruda Pula

11. Vesna Bratuša Cundeković Osnovna škola Slavka Kolara Kravarsko

12. Aleksandra-Maria Vuković Osnovna škola Gornji Mihaljevec

13. Željko Kraljić Osnovna škola I. G. Kovačića Sveti Juraj na

Bregu14. Anita Horvat

15. Niko Grgić Osnovna škola Zrinskih Nuštar

Kao platforma za suradnju učitelja koristio se sustav za online učenje Moodle, a radilo se timski. Posao smo podijelili prema mogućnostima svakog pojedinog sudionika, a kolege su se dobrovoljno javljali za pojedine zadatke: osmišljavanje i kreiranje apleta, pisanje priprema za nastavu, izrada ispita predznanja i završnih ispita, rad s učenicima, provođenje upitnika, izvještavanje o održanim nastavnim satovima, davanje prijedloga za poboljšanje narednih lekcija i sl.

Ovim putem želim zahvaliti svim mojim kolegama suradnicima na nesebičnoj pomoći u provođenju istraživanja, neprospavanim noćima kako bi idućeg dana apleti bili spremni za korištenje u razredu te ogromnom entuzijazmu kojeg su iskazali od samog početka pa do kraja istraživanja. HVALA VAM OD SRCA!

Literatura

[1] Fernandez, M. L., Hadaway, N., Wilson, J. W., Problem solving: Managing it all, The Mathematics Teacher, 87(3), 195–199, 1994.

[2] Karadag, Z., McDougall, D., Dynamic worksheets: visual learning with guidance of Polya, MSOR Connections, 9(2), 2009.

[3] Kurnik, Z., Matematički zadatak, Matematika i škola, 7(2), 51-58, 2000.[4] Kuzle, A., Patterns of metacognitive behavior during mathematics problem-

solving in a dynamic geometry environment, International Electronic Journal of Mathematics Education, 8(1), 20-40, 2013.

[5] Polya, G., Kako ću riješiti matematički zadatak, Školska knjiga, Zagreb, 1966.[6] Polya, G., Matematičko otkriće, HMD, Zagreb, 2003.[7] Schoenfeld, A., Mathematical problem solving, Academic Press, Orlando –

Florida, 1985.[8] CARNet, e-Škole, http://www.carnet.hr/e-skole/ (dostupno 25.8.2015.)[9] GeoGebraTube, http://tube.geogebra.org/ (dostupno 25.8.2015.)

14