Zna enje indeksa č jidk -...

Naprezanje u dva pravca*Opšte stanje napona

Tenzor napona

Opšte stanje napona

Z č j i d k

Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje.

Značenje indeksa

Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje.

Konvencija o predznaku napona

Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine

Konvencija o predznaku napona

smjerom vanjske normale na elementu površine

Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj i desnoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose.

OTPORNOST MATERIJALA I 11/12 www.mf.unze.ba 60

*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003

Naprezanje u dva pravca*

Ravno stanje naponaRavno stanje napona

Ravno stanje napona – jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa.

xy yxτ τ=1 1 1 1x y y xτ τ=


Naprezanje u dva pravca

Naponi na kosoj ravniNaponi na kosoj ravni

10x i

i

F =∑1 0 0 0

0 0

sec( ) cos( ) sin( )

tg( )sin( ) tg( )cos( ) 0x x xy

y yx

A A A

A A

σ θ σ θ τ θ

σ θ θ τ θ θ

− − +

− − =

i

(3.1)

1 1 0 0 0sec( ) sin( ) cos( )x y x xyA A Aτ θ σ θ τ θ+ − +

10y i

iF =∑

(3.2)0 0 tg( ) cos( ) tg( )sin( ) 0y yxA Aσ θ θ τ θ θ− + =

( )

1

2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yxσ σ θ σ θ τ θ θ= + +

2 2( ) i ( ) ( ) 2 ( ( ) i ( ))θ θ θ θ

(3.3)

(3 4)1 1

2 2( )sin( ) cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yxτ σ σ θ θ τ θ θ= − − + − (3.4)



Naponi na kosoj ravni

2 2cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )σ σ θ σ θ τ θ θ= + + (3 3)

Naponi na kosoj ravni

1cos ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( )x x y yxσ σ θ σ θ τ θ θ= + +

1 1

2 2( )sin( ) cos( ) 2 (cos ( ) sin ( ))x y x y yxτ σ σ θ θ τ θ θ= − − + −

(3.3)

(3.4)

2 1cos ( ) (1 cos(2 ))2

θ θ= + 2 1sin ( ) (1 cos(2 ))2

θ θ= −1sin( )cos( ) sin(2 )2

θ θ θ=

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy

σ σ σ σσ θ τ θ

+ −= + + (3.5)

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ

−= − + (3.6)2



Naponi na kosoj ravniNaponi na kosoj ravni

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= − − (3.6)

σ σ σ σ+ = + (3 7)1 1x y x yσ σ σ σ+ = + (3.7)



Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponiGlavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= + + (3.5)

1 ( )sin(2 ) 2 cos(2 ) 0xx y xy

dd θ α

θ α

σσ σ θ τ θ

θ ==

= − − + = (3.8)

2tg(2 ) xy

x y

τα

σ σ=

−(3.8) (3.9)y

• Ugao α određuje ravan maksimalnog/minimalnog normalnog napona• Jednačina (3.9) ima dva korijena u domenu (0,2π), a oni ovise od predznaka τxy i (σx-σy) – ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih ravni



Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= + + (3.5)


2 2

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ

−= − + (3.6)

1 2σ σ σ σ σ σ+ = + = + (3.7)

22x y x yσ σ σ σ

σ τ+ −⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟

1 1 1 2x y x yσ σ σ σ σ σ+ + + ( )

(3.10)2

2

2x y

xyRσ σ

τ−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 2 xyσ τ= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22x y x yσ σ σ σ+ −⎛ ⎞

⎜ ⎟

(3.10)

(3 11)

cos(2 )2

x y

Rσ σ

α−

=

22 2 2

x y x yxyσ τ= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju

(3.11)

sin(2 ) xy

Rτ

α =

U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi, tj. τ12=0




σ σ−


1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ= − + (3.6)

1 1 ( ) cos(2 ) 2 sin(2 ) 0x yx y xy

dd θ α

θ β

τσ σ θ τ θ

θ ==

= − − − = (3.12)

1tg(2 )2 tg(2 )x y

xy

σ σβ

τ α−

= − =(3.12) (3.13)

• Ugao β određuje ravan maksimalnog/minimalnog tamngencijalnog napona• Jednačina (3.13) ima dva korijena u domenu (0,2π), a oni ovise od predznaka τxy i (σx-σy) – za ugao β prema (3 13) vrijediugao β prema (3.13) vrijedi

β = α ± 45°




1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= + + (3.5)


2 2

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ

−= − + (3.6)

1 2σ σ σ σ σ σ+ = + = + (3.7)1 1 1 2x y x yσ σ σ σ σ σ+ + + ( )

22

2x y

xyRσ σ

τ−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

22 1 2

max,min 2 2x y

xy

σ σ σ στ τ−⎛ ⎞ −

= ± + = ±⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.14)

cos(2 )2

xy

Rτ

α = U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi

sin(2 ) x y

Rσ σ

α−

= − 1 2

2 2x yσ σ σ σσ

+ += = (3.15)



Mohr ov (Mor) krug naponaMohr-ov (Mor) krug napona

Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao 2θ

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= + +

sin(2 ) cos(2 )x yσ στ θ τ θ

−= − +

(3.5)

(3 6)1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y xyτ θ τ θ= + (3.6)

Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao tako što se obje jednačine kvadriraju i saberu, pa se dobije:

2 22 2x y x y

x x y xy

σ σ σ σσ τ τ

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3.16)

1 1 12 2x x y xy⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.16)

( )2 2 2Rσ σ τ− + = (3 16a)( )1 1 1srx x y Rσ σ τ+ (3.16a)



Mohr ov (Mor) krug napona konstrukcijaMohr-ov (Mor) krug napona – konstrukcija

D či t j M h k


Dva načina crtanja Mohr-ovog kruga napona



• Nacrta se koordinatni sistem s abscisom σx1 (σn), pozitivna na desno, i ordinatom τxy (τn), pozitivna na dole

• U dijagramu se ucrta tačka A s koordinatama (σx,τxy) – predstavlja j g ( x, xy) p jnaponsko stanje na pozitivnoj x površi (površ A)

• U dijagramu se ucrta tačka B s koordinatama (σy,-τxy) –predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj y površi (površ B)P č d ž d AB k j d t lj č ik k• Povuče se duž od AB koja predstavlja prečnik kruga napona s centrom u tački C.

• Koristeći tačku C kao centar nacrta se kružnica koja prolaziu kroz tačke A i B.tačke A i B.

• Ugao α koji određuje ravan normalnih napona određuje se na osnovu ugla 2α (2θp)

• Ugao β koji određuje ravan maksimalnih tangencijalnih napona određuje se na osnovu ugla 2β (2θs)





JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh Edition, 2009.


Mohr ov (Mor) krug napona određivanje napona za proizvoljnu ravanMohr-ov (Mor) krug napona – određivanje napona za proizvoljnu ravan


*Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003


Primjer 3.1: Element je izložen naponima kao na slici: σx=85MPa, σy=-29MPa, τxy=-32.5MPa.a) Odrediti glavne napone i prikaži na skici elementa naponab) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu naponab) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu naponac) rezultate pod a) i b) potvrdi konstrukcijom Mohr-ovog kruga napona

85MPa

-29MPa

-32.5MPa



Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanjaSpecijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja

Aksijalno naprezanjeτ

τ12

σσ1σ2

σx

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= + +

σ σ1

(1 cos(2 ))2

xx

σσ θ= +

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ

−= − +

1 1sin(2 )

2x

x yστ θ= −




Čisto smicanje (bez normalnih napona)τ

τ12

σσ1σ2

12

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= + +

σ σ1

sin(2 )x xyσ τ θ=

1 1sin(2 ) cos(2 )

2x y

x y xy

σ στ θ τ θ

−= − +

1 1cos(2 )x y xyτ τ θ=




Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih naponaτ

τ12

σ1 σσ1σ2

1cos(2 ) sin(2 )

2 2x y x y

x xy


+ −= + +

σ σ1

cos(2 )2 2

x y x yx

σ σ σ σσ θ

+ −= +

σ σ1 1

sin(2 ) cos(2 )2

x yx y xy

σ στ θ τ θ

−= − +

1 1sin(2 )

2x y

x y

σ στ θ

−= −


Naprezanje u dva pravcaHooke-ov zakon za ravno stanje naponaHooke ov zakon za ravno stanje napona

+ +

xσ yσ τγ γ γxx E

ε =

xy E

σε = −

yx E

ε = −

yy E

σε =

xy yx Gγ γ γ= = =

2(1 )EG

ν=

+E E 2(1 )ν+

1 ( )x x yEε σ νσ= −

1 ( )x x y TE

ε σ νσ α= − + ΔE

1 ( )y y xEε σ νσ= −

+ utjecaj temperature

( )x x yE

1 ( )y y x TE

ε σ νσ α= − + Δ

(3.17)


Naprezanje u dva pravcaHooke-ov zakon za ravno stanje naponaHooke ov zakon za ravno stanje napona

1 ( )x x yEε σ νσ= −

+ tj j t t

1 ( )x x y TE

ε σ νσ α= − + Δ

(3 17)1 ( )y y xEε σ νσ= −

+ utjecaj temperature1 ( )y y x TE

ε σ νσ α= − + Δ(3.17)

2 ( )1x x y

Eσ ε νεν

= +− + utjecaj temperature (3 18)

2 ( )1 1x x y

E E Tασ ε νεν ν

= + − Δ− −

E + utjecaj temperature (3.18)2 ( )

1 1y y xE E Tασ ε νεν ν

= + − Δ− −

2 ( )1y y x

Eσ ε νεν

= +−


Naprezanje u dva pravcaPromjena zapremine i deformacioni radPromjena zapremine i deformacioni rad

V b

Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih napona

0V abc=

1 ( )( )( ) (1 )(1 )(1 )x y z x y zV a a b b c c abcε ε ε ε ε ε= + + + = + + +

1 0 (1 )(1 )(1 )V V ε ε ε= + + +1 0 (1 )(1 )(1 )x y zV V ε ε ε+ + +

1 0 (1 )x y zV V ε ε ε≈ + + +

1 0 0 ( )x y zV V V V ε ε εΔ = − ≈ + +

Specifična promjena zapremine (dilatacija): 1 2 ( )x y z x yVe

V Eνε ε ε σ σΔ −

= = + + = +

1Deformacioni rad

0y yV E

22 2

1 ( )21 ( 2 )

2 2

x x y y xy xy

xyx y x y

W

WE G

σ ε σ ε τ γ

τσ σ νσ σ

= + +

= + − +


2 2E G


Primjer 3.2: Pravougaona čelična ploča debljine t=6 mm napregnuta je na ravnomjerne napone σx i σy, kao na slici. Mjerne trake A i B, koje su postavljene u pravcima x i y su postavljene na ploču. Ako su čitanja mjernih traka εx=0.001 (izduženje) i εy=0.0007 (skraćenje)na ploču. Ako su čitanja mjernih traka εx 0.001 (izduženje) i εy 0.0007 (skraćenje) izračunati napone σx i σy, te promjenu debljine ploče. Podaci: E= 200GPa.

Primjeri 3.1-3.14 (str. 74-88), Grupa autora, Elastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 2003.


Zna enje indeksa č jidk -...

Documents

Transcript of Zna enje indeksa č jidk -...