Základy matematiky a Matematika 1 pracovní listy k výucesvo19/pdf/ZM/pracovnilistyZM21.pdf ·...

Základy matematiky a Matematika 1

pracovní listy k výuce

Ivona TomečkováKMDg FS VŠB-TU Ostrava

aktualizace 3. listopadu 2020

Základy matematiky a Matematika 1 - pracovní listy k výuce I.Tomečkové Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS VŠB-TU Ostrava

Řy1 - Číselné obory

Jde o specifické množiny čísel. To je sice dosti zjednodušenévysvětlení, ale pro naše účely bude dostačující.

Přehled značení

Rozlišujeme číselné obory pro čísla

přirozená N = {1, 2, 3, 4, . . .}(z angl. natural numbers, positive integers)

nezáporná N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .},

celá Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}(z něm. zahlen),

racionální Q =ZN

={ z

n : z ∈ Z, n ∈N}

,

(z it. quoziente),

iracionální např. π = 3, 141 592 653 . . . Ludolfovo číslo,e = 2, 718 281 828 . . . Eulerovo číslo,√2 = 1, 414 213 562 . . .

(čísla mající nekonečný neperiodický rozvoj),

reálná R = Q∪ iracionální čísla,(z angl. real),

komplexní C = {a + bi : a, b ∈ R, i je komplexní jednotka},dle definice platí, že i2 = −1, tedynapř.

√−4 =

√4 · (−1) =

√4 ·√−1 = 2i

(z angl. complex).

Další množina čísel

V mnoha vzorcích a tvrzeních se z důvodu jednoduššího zápisu za-vádí

rozšířená reálná osa R∗ nebo R = R∪ {−∞,+∞},

kde +∞ a −∞ jsou tzv. plus nekonečno a mínus nekonečno. S„nekonečny“ budeme pracovat v kurzu Matematika 1 v rámci in-finitezimálního počtu (limity).

Podmnožiny číselného oboru R - tzv. intervaly

Pro a, b ∈ R, standardně a < b, je značení a definice intervalu

uzavřeného 〈a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},

uzavřeného zleva 〈a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},

uzavřeného zprava (a, b〉 = {x ∈ R : a < x ≤ b},

otevřeného (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

Operace s intervaly

Pro A, B ⊂ R označíme

průnik A ∩ B = {x ∈ R : x ∈ A a zároveň x ∈ B},

sjednocení A ∪ B = {x ∈ R : x ∈ A nebo x ∈ B},

rozdíl A\B = {x ∈ R : x ∈ A a zároveň x /∈ B},

doplněk AC = {x ∈ R : x /∈ A}.


Řy2 - Algebraické výrazy

Reálný výraz je zápis složený z reálných čísel, proměnných, amatematických operací, případně závorek.

Definiční obor reálného výrazu je množina takových čísel x ∈ R,pro která má daný výraz smysl v oboru reálných čísel, tedy

• jmenovatel zlomku je 6= 0,

• pod sudou odmocninou je výraz ≥ 0.

Připomeňme výpočtové standardy, které lze při zjednodušovánívýrazu použít. Je to

A. práce s mocninami pro vhodná a, r, s, pro která mají následujícívýrazy smysl∗, platí

ar · as = ar+s , (2.1)

ar · a−s = ar

as= ar−s = ar : as , (2.2)

(ar)s = ar · s , (2.3)

ars =

s√

ar =(

s√

a)r , (2.4)

a0 = 1 ∀a 6= 0 , (2.5)

∗ To je ale kulantně napsáno, že? Je tím řečeno, že následující výrazy nemajíspolečné požadavky na čísla a, r, s. Při rozhodování, jaká by ta čísla měla být, jezapotřebí vzít v úvahu jak pravidlo o sudé odmocnině nezáporného čísla, viz def.obor realného výrazu, tak fakt, že při mocnění záporného základu musí být jasné,zda je mocnina sudá či lichá (to kvůli znaménku výsledku). Jelikož cílem tohotokurzu je shrnutí středoškolského učiva a ne puntičkářská precizace probrané látky,pomechávám ono tvrzení o smyslu výrazu.

B. úprava a operace se zlomky pro vhodná a, b, c, d, pro která majínásledující výrazy smysl, platí

ab± c

d=

ad± cbbd

, (2.6)ab· c

d=

acbd

, (2.7)( ab

)−1=

ba

, (2.8)

C. mocniny dvojčlenů a rozklady pro A, B ∈ R, platí

(A± B)2 = A2 ± 2AB + B2 , (2.9)(A± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3 , (2.10)A2 − B2 = (A− B) (A + B) , (2.11)A3 ± B3 = (A± B) (A2 ∓ AB + B2) . (2.12)

Malé objasnění zápisu vzorců: Pokud se ve vzorci objevujeznaménko ± nebo ∓, pak jde vlasně o zkrácený zápis dvou téměřstejných vzorečků, které se liší pouze znaménkem. Platí pravidlo, žebud’to čteme horní znaménka nebo dolní. Pokud se u nějakého členuvzorce ve znaménku shodují, je přirozeně uvedeno jen to jedno. Tedynapř. v (2.9) jsou uvedeny dva vzorce a to

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 a (A− B)2 = A2 − 2AB + B2

a např. ve (2.12) jsou schovány vzorce

A3 + B3 =

= (A + B) (A2 − AB + B2)a

A3 − B3 == (A− B) (A2 + AB + B2) .


Řy3 - Algebraické výrazy – příklady

Zjednodušte následující výrazy a uved’te podmínky,za jakých mají v reálném oboru smysl (tzv.definiční obor výrazu).

• V1 =(

a +1b

)−2(b · 1

a

)−3 (ab− 1

ab

)2(a− 1

b

)−3[V1 = aab−1 , a 6= 0 6= b, ab 6= ±1

]• V2 =

a− ba2 + ab

− 2a+

1a + b

[V2 = −3ba(a+b) , a 6= 0, a 6= −b

]

• V3 =√

x 3√

x2 4√

x312√

x11[V3 = x, x ∈ 〈0, ∞)

]

• V4 =

(3

√x√

xx−2

:

√x−3√

xx2

)−1·

√x−3√

x3√

x2[V4 = x−5, x > 0

]

• V5 =a2 + a− 2a4 − 3a3

((a + 2)2 − a2

4a2 − 4 −3

a2 − a

)[V5 = a+2a4 , a 6∈ {−1, 0, 1, 3}

]• V6 =

2x2 − 2x + 2x2 − 25 :

x3 + 1x2 − 4x− 5

[V6 = 2x+5 , x 6∈ {−5,−1, 5}

]

• V7 =(√

x− 1√x

)·(√

x + 1√x− 1

+ 4√

x−√

x− 1√x + 1

)[V7 = 4x, x ∈ (0; 1) ∪ (1;+∞)

]


Řy4 - Reálná funkce jedné proměnné

Definice 4.1: Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zo-brazení, které prvkům z jedné podmnožiny reálných čísel jednoz-načně přiřadí prvek z druhé podmnožiny R.První množina se nazývá definiční obor dané funkce a značí se D adruhá oborem hodnot a značí se H.

Pojmenujeme-li si funkci z definice písmenem f , pak lze význampředchozího ve zkratce zapsat

f : D f 7→ H f︸︷︷︸f je zobrazením z D f do H f

:︸︷︷︸takové, že

∀x ∈ Df ∃! y ∈ Hf︸︷︷︸libovolnému x z Df přiřadí jediné y z Hf .

V průběhu studia se potkáte se třemi způsoby zadání funkce a tos funkcí zadanou

• explicitně, tj. y = f (x), např. y =

= f (x)︷︸︸︷x2 + 1 (to bude asi nejčastější

způsob zadání funkčního předpisu),

• implicitně∗, tj. 0 = F(x, y), např. 0 =

=F(x,y)︷︸︸︷x2 + y2 − 4 (využívá se při

potřebě analyticky popsat určitý typ křivek; uvedený příkladpopisuje kružnici se středem v počátku souřadnic a poloměremdva),

• parametricky∗, tj.

{x = ϕ(t) ,y = ψ(t) ,

t ∈ T ⊆ R,

např. popíšeme zde horní polovinu kružnice z příkladu v před-

chozí odrážce

{x = 2 cos(t) ,y = 2 sin(t) ,

t ∈ 〈0, π) .

Různé způsoby zadání uvádím nejen proto, aby jste fukční předpisvůbec poznali, ale i proto, že například při derivacích, kterými

se budeme zabývat v rámci kurzu Matematika 1, se bude s každýmtypem zadání funkce pracovat trochu jinak.

Definice 4.2: Grafem funkce z definice rozumíme množinu bodův rovině R2. Pro funkci pojmenovanou f grafem označíme{

[x, y] ∈ R2︸︷︷︸množina takových bodů

o dvou reálných složkách

:︸︷︷︸že

x ∈ Df︸︷︷︸první složka

je z Df

∧︸︷︷︸a zároveň

y = f (x)︸︷︷︸druhá složka je jejím

obrazem při zobrazení f

}.

∗ Pokud bych měla být puntičkářská, pak toto vlastně není funkce. Podíve-jte se na graf kružnice z příkladu a rovnou uvidíte, že je zde porušena základnídefinice 4.1. K jednomu x existují téměř vždy dvě y. Shrňme to tak, že problematikazobrazení daných implicitně je poněkud širší a do tohoto kurzu se určitě nevleze.Označení „funkce daná implictitně“ se ale objevuje v celé řadě literatury, tak to zdenechejme s vědomým lehkého významového posumu.


Řy5 - Stručný přehled elementárních funkcí – první blok

Toto je opravdu stručný přehled. Podrobnosti najdete například veskriptech.

[A] Mocninné funkce

f (x) = xn, n ∈ Z, n 6= 0

• n = 1 . . . identita, tj. lineární zobrazení f (x) = x (grafem jepřímka s jednotkovou směrnicí)

Df = R, Hf = R

• n > 1

�� n sudé . . . např. f (x) = x2 (grafem je konvexní parabola)Df = R, Hf = 〈0;+∞)

�� n liché . . . např. f (x) = x3 (grafem je kubická křivka)Df = R, Hf = R

• n < 0

�� n sudé . . . např. f (x) = x−2 (grafem je hyperbola)Df = R\{0}, Hf = (0;+∞)

�� n liché . . . např. f (x) = x−1 (grafem je hyperbola)Df = R\{0}, Hf = R\{0}

Doplňte grafy.



f (x) = x1n ≡ n√

x , (funkce xn a x1n jsou vždy pro stejné n k sobě in-

verzní ∗)

• n > 0

�� n sudé . . . např. f (x) = x 12 ≡√

xDf = 〈0;+∞), Hf = 〈0;+∞)

�� n liché . . . např. f (x) = x 13 ≡ 3√

xDf = R, Hf = R

• n < 0

�� n sudé . . . např. f (x) = x− 12 ≡ 1√xDf = (0;+∞), Hf = (0;+∞)

�� n liché . . . např. f (x) = x− 11 ≡ 1x ,viz dříve uvedená funkce f (x) = x−1

∗ Vždyt’ je tady napsáno cosi o nějaké inverzi, ačkoli jsem se zatím o nínezmínila! Tím jsem (vědomě) porušila pravidlo psaní učebních textů. Toto jsouale jen pracovní listy, které si nenárokují býti skriptem, a v tomto přehledu mám vúmyslu shrnout všechny informace. Pokud si tedy ze střední školy pojem inverzenevybavujete, zatím jej přeskočte. Až projdete a pochopíte odpovídající kapitoluo inverzních funkcích (list 15), budou vám tyto poznámky jasné a nebudete si jemuset do přehledu vpisovat.

Doplňte grafy.



[B] Význačné funkce složené z mocninných funkcí

B.1 Polynom n-tého řádu. Pro ai ∈ R ∀i = 0, 1, 2, . . . n, an 6= 0f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0.

Například:

• konstantní polynom (konstantní funkce) f (x) = a0př. f (x) = −2 grafem je přímka ‖ Ox,

• lineární polynom (lineární funkce) f (x) = a1x + a0př. f (x) = 3x − 2 grafem je přímka, jejíž sklon jetan(ϕ)(= yx ) = 3 a posunutí je −2,

• kvadratický polynom (kvadratická funkce)f (x) = A︸︷︷︸

a2

x2 + B︸︷︷︸a1

x + C︸︷︷︸a0

grafem je parabola, jejíž poloha se pozná podle kořenů,připomínám vzorec výpočtu x1,2 = −B±

√D

2A pro diskriminantD = B2 − 4 · AC,

�� D > 0 dva reálné kořenydva společné body s Ox (průsečíky),

�� D = 0 jeden dvojnásobný kořenjeden společný bod s Ox (bod dotyku),

�� D < 0 komplexní kořen a kořen komplexně sdruženýžádný společný bod s Ox (graf neprotíná Ox),

• polynom kubický, kvadrický, kvintický . . .tj. polynom 3. řádu, 4.řádu, 5.řádu . . .

Doplňte grafy, chybějící definiční obory, oboryhodnot a kořeny (průsečíky s Ox).



B.2 Racionální funkce podíl dvou polynomů

f (x) =P(x)Q(x)

,

kde P(x) a Q(x) jsou polynomy libovolného řádu,

Df = R\{kořeny Q} = R\{x ∈ R : Q(x) = 0},= {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.

• Např. lineární lomená funkce

f (x) =a1x + a0b1x + b0

.

Pro pořádek uved’me, že ai, bi ∈ R, bi 6= 0, a1b0 − a0b1 6= 0.Grafem je rovnoosá hyperbola, jejíž polohu vůči souřadnémusystému lze poznat z tzv. středového tvaru

f (x) =k

x− x0+ y0 ⇒ S = [x0; y0] ,

na který lze původní tvar f vždy upravit. Platí potom, že osyhyperboly jsou rovnoběžné se souřadnými osami, jejich střed jev bodě S a větve hyperboly pro

�� k > 0 jsou v I. a III. kvadrantu,

�� k < 0 jsou v II. a IV. kvadrantu.

Pro konkrétní zadání doplňte graf, definiční obor,obor hodnot a průsečíky se souřadnými osami.


Řy9 - Dělení polynomu polynomem

Vzpomeňte si na čtvrtou nebo pátou třídu základní školy, kde jste seučili dělit dvoj a více ciferným číslem. Dělení polynomu polynomemprobíhá stejně, jen je potřeba přijmout fakt, že místo cifer jsou v dě-lenci i děliteli algebraické výrazy. Ty ale nebudou nijak složité, pro-tože, jak už bylo avizováno, půjde o polynomy. To jsou funkce, kterése lehce derivují∗, lehce integrují∗, lehce se zakresluje jejich graf a takése lehce dělí.Proved’te dělení

1.4x3 + 8x2

2x2=

2.(

4x3 + 8x2 + 7)

:(

2x2)=

3.6x7 − 19x4 − 3−3x3 + 5 =

[−2x4 + 3x− 15x+3−3x3+5

]

∗ Derivace a integrace jsou pojmy, které někteří studenti znají už ze středníškoly, ostatní nad tím jen udiveně zakroutí hlavou a mohou se těšit, že nezbývá jimjen se těšit, že v průběhu prvního ročníku vše pochopí.

Proved’te dělení a zakreslete graf funkce včetněasymptot.

1.x− 1x + 1

=[1− 2x+1 , S = [−1; 1], k = −2

]

2.3x + 3x + 2

=[3− 3x+2 , S = [−2; 3], k = −3

]

3.−2x− 8

5x=

[− 25 −

85x , S = [0;−

25 ], k = −

85

]

4.−x− 32x− 3 =

[− 12 −

92

2x−3 , S = [32 ;−

12 ], k = −

94

]


Řy10 - Stručný přehled elementárních funkcí – druhý blok

[C] Exponenciální funkce

Pro pevně zvolený základ a > 0 a pro proměnný exponent x ∈ R jef (x) = ax

Průběh grafu závisí na hodnotě základu a exponenciální funkce,nebot’ pro

• a ∈ (0; 1) jde o funkci klesající na celém Df = R,

• a = 1 je grafem přímka ‖ Ox,

• a ∈ (1;+∞) jde o funkci rostoucí na celém Df = R.

Poznamenejme, že se jako základ často vyskytuje dříve zmíněné (ira-cionální) Eulerovo číslo e = 2, 718 281 828 459 . . ..

[D] Logaritmické funkce

Pro pevně zvolený základ a ∈ (0; 1)∪ (1;+∞) a proměnný argumentx ∈ (0;+∞) je

f (x) = loga xPrůběh grafu opět závisí na hodnotě základu, protože pro

• a ∈ (0; 1) funkce je klesající na celém Df = (0;+∞),

• a ∈ (1;+∞) funkce je rostoucí na celém Df = (0;+∞).

Funkce exponenciální a logaritmické o stejném základu, který oz-načujeme jako a, jsou vzájemně k sobě inverzní.

Zjednodušení Při označení logaritmů se v českých zemích používátento zkrácený zápis.

Přesný zápis Zjednodušený zápis Názevloge x ln x přirozený logaritmus,log10 x log x dekadický logaritmus.

Doplňte grafy a chybějící definiční obory a oboryhodnot na levé půlce listu.



Nakreslete grafy následujících funkcí včetněasymptot a průsečíků se souřadnými osami.

g1(x) = 2x − 1[[0; 1]→ [0; 0], rostoucí, Py = [0; 0],

asymptota y = −1]

g2(x) = 3−2x[[0; 1] zůstává, „zrychleně“ klesající,

Py = [0; 1], asymptota y = 0]

g3(x) =(

13

)x+2 [[0; 1]→ [−2; 1], klesající, Py = [0; 19 ],

asymptota y = 0]

g4(x) = e10x−1[[0; 1]→ [ 110 ; 1], „zrychleně“ rostoucí,

Py = [0; 1e ], asymptota y = 0]

g5(x) = (2, 5)3x + 1[[0; 1]→ [0; 2], „zrychleně“ rostoucí,

Py = [0; 2], asymptota y = 1]

Nakreslete grafy následujících funkcí včetněasymptot. Průsečíky se souřadnými osami určete ažna h2 a h4 dobrovolně (povinně budou až po probránílogaritmických rovnic).

h1(x) = log 13(x) + 2

[[1; 0]→ [1; 2], klesající, Px = [9; 0],

asymptota x = 0]

h2(x) = ln(x + 2)[[1; 0]→ [−1; 0], rostoucí, Px = [−1; 0]

asymptota x = −2]

h3(x) = log 110(x− 1) + 3

[[1; 0]→ [2; 3], klesající, Px = [1 001; 0]

asymptota x = 1]

h4(x) = log(2x− 4)[[1; 0]→ [52 ; 0], „zrychleně“ rostoucí,

Px = [52 ; 0], asymptota x = 2]



[E] Goniometrické funkce

Jsou to čtyři periodické funkce. To znamená, že se jejich funkčníhodnoty po jistém úseku opakují. Nejmenší takový úsek budemenazývat perioda. Délka periody goniometrických funkcí je násobkem(iracionálního) Ludolfova čísla π = 3, 141 592 653 589 . . .. Patří semfunkce

sinus f (x) = sin x, Df = R, Hf = 〈−1; 1〉,s periodou p = 2π,nulové body (kořeny) x = kπ, k ∈ Z

kosinus f (x) = cos x, Df = R, Hf = 〈−1; 1〉,s periodou p = 2π,nulové body (kořeny) x = (2k + 1)︸︷︷︸

liché násobky

π2 , k ∈ Z

tangens f (x) = tan x, Df = ∪k∈Z

(−π2 + kπ;π2 + kπ), Hf = R,

s periodou p = π, rostoucí na Dfbody nespojitosti x = (2k + 1)︸︷︷︸

liché násobky

π2 , k ∈ Z

kotangens f (x) = cot x, Df = ∪k∈Z

(kπ; (k + 1)π), Hf = R,

s periodou p = π, klesající na Dfbody nespojitosti x = kπ, k ∈ Z

Toto by byly všechny elementární funkce spadající do středoškol-ského učiva. Do toho vysokoškolského patří například funkce cyk-lometrické, kterým se budeme věnovat na listě 16. Nejdříve totižbudeme potřebovat nějaké informace o inverzích (viz list 15).



Nakreslete grafy následujících funkcí včetněkořenů a případných asymptot.

ϕ1(x) = 2 sin(x)

ϕ2(x) = cos(3x + π)

ϕ3(x) = cot(x−π

4)

ϕ4(x) = tan(x +π

4)

ϕ . . . je malé písmeno řecké abecedy, které je na lince umístěno podobně jakoq, tedy krucánek nad čarou a nožička pod čarou. Čte se „fí“. Jde o řeckou verzipísmene f a proto se často používá k označení funkcí.

Připravte se na písemku.Nakreslete grafy následujících funkcí včetněkořenů, průsečíků se souřadnými osami a případnýchasymptot.

σ11(x) = log 12(x + 1)− 2 σ12(x) =

∣∣∣ log 12(x + 1)− 2

∣∣∣

σ21(x) =2x + 1x + 1

σ22(x) =∣∣∣∣2x + 1x + 1

∣∣∣∣

σ31(x) = sin(2x)− 1 σ32(x) =∣∣∣ sin(2x)− 1∣∣∣

σ41(x) =4√

2x + 3− e σ42(x) =∣∣∣ 4√2x + 3− e∣∣∣

σ . . . je malé písmeno řecké abecedy, které je na lince umístěno podobně jako o, tedycelé leží na čáře. Čte se „sigma“. Jde o řeckou verzi písmene s. V mechanice jímnapříklad budete označovat tenzor napětí, což je důsledkem anglického označení„stress“.


Řy14 - Vlastnosti funkcí

Shrneme si základní vlastnosti, které lze u funkcí pozorovat. V praxitotiž častokrát nepotřebujeme znát celkový průběh funkce do nej-menších detailů, ale stačí mít ověřenu jednu nebo dvě vlastnosti, aby-chom mohli toto zobrazení v nějaké úvaze nebo postupu použít.

A. Omezenost

• Funkce f je omezená (též ohraničená), jestliže

∃C, D ∈ R , ∀x ∈ Df : C ≤ f (x) ≤ D .

�� Funkce f je omezená zdola, jestliže

∃C ∈ R , ∀x ∈ Df : C ≤ f (x) .

�� Funkce f je omezená shora, jestliže

∃D ∈ R , ∀x ∈ Df : f (x) ≤ D .

B. Monotónnost

• ryzí monotónnost

�� Funkce f je rostoucí (nebo také ryze rostoucí), jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) < f (x2) .

�� Funkce f je klesající (nebo také ryze klesající), jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) > f (x2) .

• monotónnost

�� Funkce f je neklesající, jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) ≤ f (x2) .

�� Funkce f je nerostoucí, jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) ≥ f (x2) .

C. Parita

• Funkce f je sudá, jestliže

∀x ∈ Df : f (x) = f (−x) .

• Funkce f je lichá, jestliže

∀x ∈ Df : − f (x) = f (−x) .

• Funkce nemá žádnou paritu, jestliže není ani sudá ani lichá.

D. Periodičnost

• Funkce f je periodická s periodou p, jestliže

∃p ∈ R , p > 0 , ∀x ∈ Df : x + p ∈ Df ∧ f (x) = f (x + p) .

E. Prostota

• Funkce f je prostá, jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 6= x2 : f (x1) 6= f (x2) .

Poslední uvedená vlastnost je důležitá k tomu, abychom vůbec mohliuvažovat inverzi k nějaké funkci. Co je to inverzní funkce a k čemu jedobrá najdete na dalším listu.


Řy15 - Inverzní funkce

Definice 15.3: Ke každé prosté funkci, označme ji f , definujemefunkci inverzní, označenou f−1 tak, že

f(

f−1(x))

= x a x = f−1 ( f (x)) . (15.2)

Poznámka 1 (o definičním oboru inverzní funkce) V příkladech simůžete povšinout, že pro prostou funkci platí

Df−1 = Hf a Hf−1 = Df .

Poznámka 2 (o důležitosti vlastnosti prostoty) Kdybychom in-verzi funkce, která není prostá, hledali graficky∗, pak by byla výsled-kem křivka, která nemůže být grafem funkce (srovnejte s definicí nalistě 4).

Poznámka 3 (co když funkce není prostá) Pokud funkce neníprostá a potřebujeme pracovat s inverzí, pak si z jejího definičníhooboru vybereme takový podinterval, kde je vlastnost prostotysplněna. Tento interval bude oborem hodnot budoucí inverznífunkce. Příkladem tohoto postupu budou na příštím listě funkce cyk-lometrické.

Upozornění: Znak f−1 je jen symbolem a v drtivé většině případů

platí f−1(x) 6= 1f (x)

!

∗ Ke křivce grafu, zakreslené do souřadného systému, nalezneme graf inverznífunkce tak, že původní křivku překlopíme souměrně s osou I. a III. kvadrantu.Osou I. a III. kvadrantu rozumíme graf funkce f (x) = x.

Příklad: K funkci g(x) = 2x3 nalezněte Dg, předpisg−1 a Dg−1. Zkoušku proved’te ověřením platnostirovností ve (13.2).

Řešené příklady na hledání předpisu inverzní funkce jsou uve-deny až za kapitolou o rovnicích a nerovnicích na listech 24 a 25.Ponechávám je na vašem samostudiu a případně jako téma do indi-viduálních konzultací.


Řy16 - Stručný přehled elementárních funkcí – třetí a posední blok

[F] Cyklometrické funkce

Jsou to funkce inverzní ke goniometrickým. Nicméně z listu 15víme, že nutně potřebujeme, aby ty goniometrické byly prosté, což jev přímém rozporu s jejich periodičností. V poznámce 3 na tomtéž listěmáme ale návod, jak se v takovýchto případech postupuje. U každéfunkce si určíme tu část definičního oboru, kde je prostá, a vůčitomuto intervalu definujeme příslušnou cyklometrickou funkci. Kekaždé goniometrické funkci tedy budeme mít jednu inverzní, tj. opětčtyři funkce:

arkus sinus f (x) = arcsin x, Df = 〈−1 ; 1〉, Hf =〈−π

2;

π

2

〉,

funkce je omezená, rostoucí, lichá, neperiodická a prostá (vizlist číslo 14),

arkus kosinus f (x) = arccos x, Df = 〈−1 ; 1〉, Hf = 〈0 ; π〉,funkce je omezená, klesající, nemá žádnou paritu, neperiodickáa prostá,

arkus tangens f (x) = arctan x, Df = R, Hf =〈−π

2;

π

2

〉,

funkce je omezená, rostoucí, lichá, neperiodická a prostá,

arkus kotangens f (x) = arccot x, Df = R, Hf = 〈0 ; π〉.funkce je omezená, klesající, bez parity, neperiodická a prostá.

Doplňte grafy včetně kořenů.


Řy17 - Určování vlastností funkcí - parita

Určete paritu funkcí.

ψ1(x) =sin(x)− x cos(x)

x2L

ψ2(x) = sinx− 1

xNP

ψ3(x) = arctan(x) + x3 L

ψ4(x) = cos(x3 − x) + 2x− 1 NP

ψ5(x) =2x − 12x + 1

L

ψ6(x) = lnx− 6x + 6

L

ψ7(x) =x2 + cos(x)− 2

x4 + 3S

ψ . . . je malé písmeno řecké abecedy, které je na lince umístěno podobně jako q,tedy klička je nad linkou a nožička směřuje dolů pod čáru. Čte se „psí“. Jde ořeckou verzi písmene p.


Řy18 - Určování definičních oborů funkcí - jednodušší příklady

Připomeňme, že definiční obor reálné funkce jedné proměnné jemnožina D ⊆ R. Pokud máme k dispozici graf funkce, pak je to částreálné osy Ox, nad kterými je křivka grafu zakreslena.

Shrňme ty funkce, jejichž definiční obor je menší než R. Budou tozároveň pravidla pro určování definičních oborů funkcí pro pří-pad, kdy budeme znát jen analytický předpis a ne graf. Pro každousoučást složité funkce musí platit, že výraz

• ve jmenovateli zlomku je 6= 0,

• pod sudou odmocninou je ≥ 0,

• v argumentu logaritmu je > 0,

• v argumentu tangens je 6= (2k + 1)π2 , ∀k ∈ Z(tedy odlišnost od lichých násobků čísla π2 ),

• v argumentu kotangens je 6= kπ, ∀k ∈ Z(tedy odlišnost od celočíselných násobků čísla π)

• v argumentu arkus sinu je z intervalu 〈−1 ; 1〉,

• v argumentu arkus kosinu je z intervalu 〈−1 ; 1〉.

V případě, že je předpis funkce složen z vícero výrazů, jejichždefiniční obor je jakkoli omezený, pak definiční obor celé funkce musízohledňovat každé z těchto omezení. Jinými slovy je potřeba naléztprůnik všech dílčích definičních oborů.

Ukažme si jednodušší příklady na hledání definičních oborů funkcí.Až si v následující kapitole na listech 19 až 22 shrneme poznatkyo řešení rovnic a nerovnic, budeme je moci použít při práci sesložitějšími funkcemi na listě 23. Pokud je Vám vše o rovnicích anerovnicích známo, bez ostychu na tento list přeskočte.

Určete definiční obory zadaných funkcí.

h1(x) =4√

2− x[

Dh1 = (−∞; 2〉]

h2(x) =4√

2− 3x− 6√

x + 2[

Dh2 = 〈−2; 23〉]

h3(x) =√

xx− 1

[Dh3 = 〈0; 1) ∪ (1;+∞)

]

h4(x) = 10x+1[

Dh4 = R]

h5(x) = 2 + ln(x + e)[

Dh5 = (−e;+∞)]

h6(x) =34+ 3√

x− π[

Dh6 = R]

h7(x) =π

6+ arctan(2x + 1)

[Dh7 = R

]

h8(x) = tan(1

2 x + π)− 2

[Dh8 = {x ∈ R : x 6= (2k− 1)π, k ∈ Z}

]


Řy19 - Rovnice a nerovnice

[A] Lineární rovnice a nerovnice

Jsou to ty nejjednodušší příklady, kde se neznámá vyskytuje pouzev první (a nulté) mocnině. Takové úlohy jste řešili už na základníškole. A protože příklady táhnou ...

Příklad Najděte všechna reálná řešení:

(a) 4x− 1 = 3 [x = 1] ,

(b)3a2− 2− a

10=

5 + a4

+45

[a = 53 ] ,

(c) 2(2y + 3)− 10 < 6(y− 2) [y ∈ (4, ∞)] .

[B] Kvadratická rovnice a nerovnice

Neznámá se vyskytuje v druhé mocnině (případně i v první a nulté).Postup řešení spočívá v úpravě na tvar

Ax2 + Bx + C = 0

případně místo rovnítka s nějakým znakem nerovnosti >, 0 [x ∈ (−∞ ; −3) ∪ (1 ; ∞) ,

nekonečně mnoho řešení ] .



[C] Rovnice či nerovnice s levou stranou ve tvarusoučinu nebo podílu

Pokud po případné úpravě zadání dostaneme na levé straně součinzávorek, nebo podíl s neznámou ve jmenovateli, vždy porovnávámes nulou.

Příklad Najděte řešení:

(a)3− 2x2x− 5 < 0 [x ∈ (−∞ ;

32) ∪ (

52 ; ∞)] ,

(b)3x− 73− 2x ≥ 2 [x ∈ (

32 ;

137 〉] ,

(c)3x− 73− 2x = 0 [x =

73 ] ,

(d) (3x− 7)(3− 2x) = 0 [x1 = 73 , x2 =32 ] .

[D] Iracionální rovnice

Rovnice, kde se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Řešení probíhávhodnou úpravou a následným umocněním. Posledním krokem alemůžeme nechtíc rozšířít množinu řešení. Proto vždy provádíme zk-oušku dosazením do původního zadání.


(a) 3 +√

x− 1 = x [x = 5] ,(b)

√x + 5 +

√x− 2 = 7 [x = 11] .



Další dva typy rovnic se prolínají. To znamená, že charakteristicképrvky jednoho typu se mohou v průběhu řešení objevit u druhéhotypu. Jde o exponenciální a logaritmické rovnice a vlastně by se všemohlo vlézt pod jeden společný nadpis. Zde je to uvedeno zvlášt’,protože to je přehlednější.

[E] Exponenciální rovnice

Neznámá se objevuje v exponentu (mocnině) nějakého reálného čísla.Někdy je potřeba na konci obě strany rovnice „zlogaritmovat“.Důvodem je fakt, že logaritmické a exponenciální funkce jsou vzá-jemně inverzní.


(a) 2x − 3 · 2x+1 + 5 · 2x+2 = 240 [x = 4] ,(b) 32x + 3 · 3x − 4 = 0 [x = 0] ,

(c) 4x + 3x+3 = 4x+3 − 3x+2 [x = log 43

47 =

ln 47ln 43

] .

[F] Logaritmické rovnice

Nezapomeňme, že výsledkem logaritmu je hodnota mocniny u pře-dem zvoleného základu:

logax = y ⇔ ay = x .

Shrňme pravidla, která z toho vyplývají:

loga(x · y) = loga x + loga y , (21.1)loga

xy = loga x− loga y , (21.2)

loga xy = y · loga x , (21.3)

loga ay = y , loga a = 1 , loga 1 = 0 . (21.4)


(a) log2 x = 4 ,

(b) log x + 3 log x2 + 5 log x3 = 11 [x =√

10] ,

(c) log22 x + 2 log2 x− 3 = 0 [x1 =18 , x2 = 2] .



[G] Goniometrické rovnice a nerovnice

Nejdříve shrneme několik standardních vzorečků. Stačit budou jen tynejznámější.

tan(A) =sin(A)cos(A)

,

cot(A) =cos(A)sin(A)

,

tan(A) · cot(A) = 1 ,sin2(A) + cos2(A) = 1 ,

sin(2A) = 2 · sin(A) · cos(A) ,cos(2A) = cos2(A)− sin2(A) .

Při samotném řešení úloh se vyplatí perfektní znalost goniomet-rických funkcí, tedy jejich grafů a funkčních hodnot ve význačnýchbodech.

Příklady Najděte řešení:

(a) sin x = 0, 5[

x1 = 16 π + 2kπ , k ∈ Z ,

x2 = 56 π + 2kπ , k ∈ Z]

,

(b) sin x > 0, 5[

x ∈⋃

k∈Z(16 π + 2kπ ;

56 π + 2kπ)

],

(c) 2 sin2 x− sin x− 1 = 0[

x1 = 12 π + 2kπ , x2 =76 π + 2kπ

x3 = 116 π + 2kπ , k ∈ Z]

,

(d) cos 2x + cos x + 1 = 0[

x1 = 12 π + kπ , x2 =23 π + 2kπ

x3 = 43 π + 2kπ , k ∈ Z]

,

(e) tan x = −1[

x = −14 π + kπ , k ∈ Z]

,

( f ) cos(

2x +π

6

)= −1

[x = 512 π + kπ , k ∈ Z

],

(g) tan x = 3 cot x[

x = ±13 π + kπ , k ∈ Z]

.


Řy23 - Určování definičních oborů funkcí - složitější příklady

Na listě 18 jsou shrnuty všechny elementární funkce, jejichž definičníobor netvoří všechna reálná čísla. Na stejném listě jsem také avizo-vala, že právě tady najdete složitější funkční předpisy, ke kterýmbudeme hledat definiční obor. Zde jsou.

Určete definiční obor ke každému funkčnímupředpisu.

α(x) = arcsinx− 1

x

[Dα = 〈12 ;+∞)

]

β(x) = arccos(x + 3)3

9

[Dβ = 〈−6; 0〉

]

γ(x) = tan(

x− π4

) [Dγ =

{x ∈ R : x 6= 34 π + kπ, k ∈ Z

}]

δ(x) = log3x− 6

x+ arcsin

x + 16

[Dδ = 〈−7; 0)

]

ε(x) = arctanx + 2x + 3

[Dε = R\{−3}

]

ω(x) = tan2x− π

6

[Dω =

{x ∈ R : x 6= (3k + 2)π, k ∈ Z

} ]

ζ(x) =√

1− 2 sin(2x)[

Dζ =⋃

k∈Z〈 512 π + kπ ;

1312 π + kπ〉

]

ξ(x) = ln(

sin(

x +π

4)) [

Dξ =⋃

k∈Z

(− π4 + 2kπ ;

34 π + 2kπ

)]

Příklad špatně definované funkce:

ρ(x) = log3(

log3(

sin(x))) [

Dρ = ∅]

...a příklad pro odvážné:

χ(x) = log3(

log0,5(

sin(x)))[

Dχ =⋃

k∈Z

(2kπ ; π2 + 2kπ

)∪(

π2 + 2kπ ; π + 2kπ

) ]

ω . . . je malé písmeno řecké abecedy, které je na lince umístěno podobně jako a,tedy leží na lince Čte se „omega“.χ . . . je písmeno řecké abecedy, které se píše ve větší části nad linkou a kousek pod.Čte se „chí“.Jak pojmenovat další zde uvedená řecká písmena je možno nalézt na listě 34.


Řy24 - Hledání inverzní funkce

Ukažme si, jak nalézt předpis inverzní funkce analyticky. Co všechnoz předchozího budeme potřebovat? Kromě informací o tom, covlastně inverzní funkce je, čemuž jsme se věnovali na listě 15, použi-jeme znalosti o řešení rovnic a nerovnic shrnuté na listech 19 až 22.Téměř určitě v příhladech očekávejte i otázku na definiční obor, vizlisty 18 a 23.K řešení příkladu se zadáním typu „najděte předpis inverzní funkce“je nezbytně nutné znát dvojice funkcí vzájemně k sobě inverzních.Tuto informaci lze vyčíst z přehledu elementárních funkcí na listech5 až 12 a 16. Shrňme si, že inverzní jsou k sobě:

•mocnina a odmocnina stejného řádu n xn n√

x,(pozor na definiční obor!)

• exponenciála a logaritmus o stejném základě a ax loga x,10x log x ,ex ln x,

• goniometrické a cyklometrické funkce sin x arcsin x,(pozor na definiční obor!) cos x arccos x,

tan x arctan x,cot x arccot x.

Při hledání předpisu inverzní funkce si musíme pohlídat, že nazačátku máme co do činění s prostou funkcí. Pokud funkce neníprostá (např. ryze monotónní), pak je zapotřebí nalézt nějakou částdefiničního oboru, kde daná funkce prostá je. V příkladech tuto částdefiničního oboru budeme značit D a příslušný obor hodnotH.

Řešené příkladyNajděte předpis funkce inverzní k funkci

[a] f (x) = 10x+1 .

1. Zapíšeme zadání funkčního předpisu do tvaruf : y = 10x+1.

2. Zaměníme znaky x a y, tedy x = 10y+1.

3. Postupnými úpravami připravené rovnice neznámou y vyjádří-me:

x = 10y+1 | log( ) aplikujeme inverzní| funkci - logaritmus ,

log(x) = log(

10y+1)| inverzní funkce se vyruší ,

log(x) = y + 1 | − 1 ,log(x)− 1 = y .

4. Závěr: f−1(x) = log(x)− 1.

Funkce f je na celém definičním oboru ryze rostoucí (nakreslete sijejí graf) a tedy prostá. Proto položíme D = Df = R a H = H f =(0 ; +∞).

[b] g(x) = 2 sin(2x− π) .

1. Zapíšeme zadání funkčního předpisu do tvarug : y = 2 sin(2x− π).

2. Zaměníme znaky x a y, tedy x = 2 sin(2y− π).


x = 2 sin(2y− π) | · 12

osamostatníme| funkci sinus ,


Řy25 - Hledání inverzní funkce

x2= sin(2y− π) | arcsin( ) aplikujeme in-

| verzní funkci| arkus sinus ,

arcsin(x

2

)= arcsin (sin(2y− π)) | inverzní funkce

| se vyruší ,

arcsin(x

2

)= 2y− π |+ π ,

arcsin(x

2

)+ π = 2y | · 1

2,

12

arcsin(x

2

)+

π

2= y .

4. Závěr: g−1(x) = 12 arcsin( x

2

)+ π2 .

Funkce g je periodická. Tedy určitě není prostá na celém definičnímoboru. Využijeme znalosti ze základů matematiky (transfornacegrafů elementárních funkcí) a vybereme jeden interval, kde je gprostá D = 〈14 π ;

34 π〉 ⊂ Dg aH = 〈−2 ; 2〉.

[c] h(x) = ln√

ex + 1 .

1. Zapíšeme zadání funkčního předpisu do tvaruh : y = ln

√ex + 1.

2. Zaměníme znaky x a y, tedy x = ln√

ey + 1.


x = ln√

ey + 1 |e( ) aplikujeme in-| verzní funkci| tj. exponenciální ,

ex = eln√

ey+1 | inverzní funkce napravo| se vyruší ,

ex =√

ey + 1 |( )2 opět aplikujeme| inverzní funkci| tentokrát mocninu ,

e2x =(√

ey + 1)2| inverzní funkce napravo| se vyruší ,

e2x = ey + 1 | − 1e2x − 1 = ey | ln( ) naposledy aplikujeme

| inverzní funkci| tj. logaritmus ,

ln(

e2x − 1)= ln (ey) | inverzní funkce napravo

| se vyruší ,

ln(

e2x − 1)= y .

4. Závěr: h−1(x) = ln(e2x − 1

).

V předpisu funkce h je výraz pod odmocninou kladný pro všechnax ∈ R (stačí si načrtnout graf). Odmocnina z kladného čísla je kladnáa tedy výraz v argumentu přirozeného logaritmu je pro libovolnéx ∈ R kladné číslo, což plně odpovídá definičnímu oboru logaritmů.Navíc logaritmus je funkce prostá. Tedy závěr je, že D = Dh = R aH = Hh = (0 ; +∞).


Řy26 - Infinitezimální počet

Pod tento nadpis zahrneme jak pojem limita funkce tak vlastnost spo-jitosti funkce.

Óda na limitu. Porozumění pojmu limity je zásadním krokemk pochopení převážné části matematiky, se kterou se v průběhu stu-dia setkáte. Proto doporučuji věnovat se tomuto tématu s náležitoupečlivostí.

Limita funkce

Nejdříve si pojmenujeme množinu reálných bodů, které jsou blízkéjednomu předem zvolenému prvku z R, pro jehož označení použi-jeme písmeno A nebo písmeno c.

Definice 26.4:Pro ε ∈ R, ε > 0 a pro A ∈ R interval (A− ε ; A + ε) nazvemeε–okolím bodu A a zkráceně jej označíme Uε(A).Pro δ ∈ R, δ > 0 a pro cßR nazveme množinu (c− δ ; c) ∪ (c ; c + δ)redukovaným δ–okolím bodu c a zkráceně označíme Pδ(c).

Až ted’ si můžeme zadefinovat onen před chvílí opěvovaný pojemlimity.

Definice 26.5:Řekneme, že funkce f má v bodě c limitu A, jestliže

∀Uε(A)︸︷︷︸k libovolnémuε–okolí čísla A

∃Pδ(c)︸︷︷︸existuje nějaké

redukovanéδ–okolí bodu c

(přesněji Pδ(c) ⊂ Df )

∀x ∈ Pδ(c) ∩ Df︸︷︷︸tak, že pro

libovolný prvekz Pδ(c), který zároveň

patří do Df ,

:︸︷︷︸platí, že

f (x) ∈ Uε(A).︸︷︷︸jeho funkční

hodnota padnedo ε–okolí bodu A, kterébylo zvoleno na začátku.

Poznámka: V předchozí definici má důležitý význam pořadí. Pokudbudeme vysvětlovat pojem limity na grafu funkce, pak nejdříve li-bovolně zvolíme ε–okolí bodu A na ose y a potom následně k němu

vybereme takové Pδ(c), aby se funkční hodnoty bodů z Pδ(c)„vlezly“ do Ue(A). Podrobněji si ukážeme na přednášce.

Pokud se rozhodneme zavést pojem limity i v hraničních bodechdefiničního oboru, budeme potřebovat i tzv. jednostranná okolí bodů.Tyto body nemusí nezbytně být jen reálná čísla, ale můžeme uvažovatlibovolný prvek z tzv. rozšířené reálné osy R∗ = 〈−∞ ; +∞〉.

Definice 26.6:Pro δ ∈ R, δ > 0 interval

• (c ; c + δ) nazveme pravostranným redukovaným δ–okolímbodu c ∈ R∗ a zkráceně označíme P+δ (c),

• (c − δ ; c) nazveme levostranným redukovaným δ–okolímbodu c ∈ R∗ a zkráceně označíme P−δ (c).

V definici limity na vedlejší půlce listu můžeme použít i jednostrannáokolí a to vlastních bodů (z R) i nevlastních bodů (−∞ nebo +∞)definovat jednostrannou limitu, která může být jak vlastní (z R) taknevlastní (−∞ nebo +∞). Podrobnější informace najdete ve skriptech,která vám doporučuji na svých webových stránkách.

Spojitost funkce

Jednoduše řečeno: spojitou funkci poznáme tak, že jsme schopni za-kreslit její graf jedinou čarou, aniž zvedneme tužku z papíru. Kmatematickému vyjádření použijeme právě nabytou znalost limit.

Definice 26.7: Funkci f nazveme spojitou v bodě c, který patří do je-jího definičního oboru, jestliže lim

x→cf (x) = f (c) .

Funkci nazveme spojitou na množině M ⊆ Df , jestliže je spojitáv každém bodě množiny M.


Řy27 - Infinitezimální počet - výpočet limit

Protože v infinitezimálním počtu začínáme pracovat se symboly +∞a −∞, shrňme si, jak se s nimi pracuje a co lze usoudit o výsledkuaritmetických operací, ve kterých se vyskytují. Očekávat lze bud’tohodnotu z R∗ nebo tak zvaný neurčitý výraz.

•Aritmetické oprace s nevlastními hodnotami. Pro libovolné čísloc ∈ R, c > 0, platí

+∞ + ∞ = ∞ , (+∞) · (+∞) = +∞ , c · (+∞) = +∞ ,−∞−∞ = −∞ , (±∞) · (∓∞) = −∞ , −c · (+∞) = −∞ ,+∞± c = +∞ , (−∞) · (−∞) = +∞ , c · (−∞) = −∞ ,−∞± c = −∞ , −c · (−∞) = +∞ .

• Při výpočtu limit také platí, že

1+∞

= 0 + (nula zprava) ,1

0+= +∞ ,

1−∞ = 0− (nula zleva) ,

10− = −∞ .

(Podrobněji si vysvětlíme na přednášce.)

• Neurčité výrazy (znak +∞ je zapsán bez znaménka, tj. ∞)

0 ·∞ , ∞∞

, ∞−∞ , 1∞ , 0∞ , ∞0 , cokoli0

.

Obecný postup při výpočtu limit

Hledáme limitu

A = limx→c

f (x).

1. Zkusmo do předpisu funkce f dosadíme za x hodnotu c.

2. Vyjde-li

(a) hodnota, která se nenachází v přehledu neurčitých výrazů,pak limita A je rovna vypočtené hodnotě f (c). Pokudnavíc je f (c) ∈ R, pak je funkce f v bodě c spojitá;

(b) neurčitý výraz, pak je potřeba řešit pomocí naučeného pos-tupu pro daný typ limity.

Typy limit a jejich řešení

Ještě než přistoupím k výčtu typů limit a obecnému návodu, jak při je-jich řešení postupovat, uvedu (hypertextové) odkazy na jednu sbírkupříkladů.

[1. ] Příklady k procvičení najdete ve sbírce příkladů

[2. ] Svůj postup si zkontrolujte spuštěním ozvučeného videa přís-lušného řešeného příkladu (posuňte se asi do jedné třetinystránky; odkazem pro spuštění videa je slovo limita u každéhopříkladu).

Ted’ už můžeme s oním výčtem klidně začít. Jednotlivé typy limit bu-dou očíslovány, ale to je jen kvůli přehlednosti a k řešení samotnýchpříkladů to podstatné nebude.

http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Sbirka_uloh/pdf/3.pdfhttp://mdg.vsb.cz/portal/m1/fun.php


Řy28 - Infinitezimální počet - typy limit

Typ I Po dosazení za x dostaneme

limx→±∞

polynompolynom

(=

∞∞

)lim

x→±∞

polynompolynom

(=

∞∞

)lim

x→±∞

polynompolynom

(=

∞∞

)Řešení:1. způsob krok 1) Vybrat největší mocninu ze jmenovatele a podělit jí

čitatele i jmenovatele,krok 2) využít znalosti grafu funkcí x−1, x−2, . . .

2. způsob Použít l’Hospitalovo pravidlo tj. derivace zvlášt’ čitatelea zvlášt’ jmenovatele. (Zřejmě bude zapotřebí pou-žít jej vícekrát za sebou.)

Procvičení: sbírka příkladů (kapitola 3.2) příklad 10 a 11.

Typ II Pro číslo c ∈ Rc ∈ Rc ∈ R dostaneme některý z neurčitých výrazů

limx→c

polynompolynom

(=

00

)limx→c

(rozdíl odmocnin)(rozdíl odmocnin)

(=

00

)limx→c

polynompolynom

(=

00

)limx→c


(=

00

)limx→c

polynompolynom

(=

00

)limx→c


(=

00

)Tedy c je kořenem čitatele i jmenovatele.

Řešení:krok 1) Vytknout z čitatele i jmenovatele kořenového

činitele (x− c) a pokrátit jím.krok 2a) Pokud se ve zlomku vyskytují jen polynomy, pak vydělit

kořenovým činitelem (x− c) například pomocí Hornero-va schématu.

Procvičení: sbírka příkladů (kapitola 3, část 2) příklad 3.

krok 2b) Pokud se ve zlomku vyskytují odmocniny, pak roznásobitpodle některého ze vzorců

(A− B) · (A + B) = A2 − B2 ,(A− B) · (A2 + A · B + B2) = A3 − B3 ,(A + B) · (A2 − A · B + B2) = A3 + B3 .

Procvičení: sbírka příkladů (kapitola 3.2) příklad 4.

Typ III Pro číslo c ∈ Rc ∈ Rc ∈ R dostaneme neurčitý výraz

limx→c

polynompolynom

(=

cokoli0

)limx→c

polynompolynom

(=

cokoli0

)limx→c

polynompolynom

(=

cokoli0

)Tedy c je kořenem jmenovatele.

Řešení:Pokud je c 6= 0, zavést substituci y = x− c. Dále upravit tak, abybylo možné rozhodnout o limitě zprava a limitě zleva na základěznalosti grafů funkcí 1x a

1x2 .


Typ IV Po dosazení dostaneme

limx→±∞

(rozdíl odmocnin) (= ∞−∞) nebo(=

00

)lim

x→±∞(rozdíl odmocnin) (= ∞−∞) nebo

(=

00

)lim

x→±∞(rozdíl odmocnin) (= ∞−∞) nebo

(=

00

)Řešení:

Roznásobit podle některého ze vzorců uvedených u Typu II.

Procvičení: sbírka příkladů (kapitola 3.2) příklad 12 pro ∞−∞ apříklad 4 pro 00 .


Řy29 - Infinitezimální počet - typy limit

Typ V Po dosazení c ∈ R dostaneme

limx→c

(goniometrické funkce)(=

00

)nebo

(∞∞

)limx→c


00

)nebo

(∞∞

)limx→c


00

)nebo

(∞∞

)Řešení:1. způsob krok 1) Zapsat tan a cot s pomocí funkcí sin a cos,

krok 2) pokud c 6= 0, pak substituce y = x− c,krok 3) použít vzorec

limA→0

sin(A)A

= 1 .

2. způsob Použít l’Hospitalovo pravidlo, tj. derivace zvlášt’ čitatelea zvlášt’ jmenovatele.

Procvičení: sbírka příkladů (kapitola 3.2) příklad 6.Zadání v příkladu 7 jsou na typ II(b) a V dohromady.Zadání v příkladu 8 jsou na typ II(a) a V dohromady.

Typ VI Po dosazení c ∈ R∗ za x dostaneme

limx→c

. . . (= 1∞)limx→c

. . . (= 1∞)limx→c

. . . (= 1∞)

Řešení:Najít vhodnou substituci tak, aby bylo možné použít některý zevzorců

limy→∞

(1 +

1y

)y= e nebo lim

y→0

(1 + y

) 1y= e .



Řy30 - Infinitezimální počet - použití limit

Jak už z toho, co jste slyšeli na přednášce, můžete očekávat, výpočtylimit nám pomohou analyzovat chování funkce, včetně jejího grafu,v okolí hraničních bodů definičního oboru. Mám tím na mysli jakvnější hranici, tak body nespojitosti. Stěžejní charakteristikou tohotochování je tzv. asymptota, což je pomocná přímka, k níž se graf ana-lyzované funkce stále více a více přibližuje.

I. Určení vertikálních a horizontálních asymptotNapříklad

limx→π+

cot(x) = +∞a

limx→π−

cot(x) = −∞

tj. asymptotou je přímka kolmá k ose x,procházející bodem nespojitosti x = π.

Říkáme jí vertikální asymptota.

Nebo jiný příklad

limx→−∞

(ex + 1) = 1} tj. asymptotou je přímka rovnoběžná s osou x,

procházející bodem [0, 1]. Jde o horizontálníasymptotu, což navíc bude speciální případ

asymptot z bodu II.

Výpočtem limit tedy najdeme místa vertikálních asymptot v bodechnespojitosti a případně horizontálních asymptot v +∞ nebo −∞.

Vyvstává otázka, co když onou asymptotou bude přímka, která nenírovnoběžná ani s jednou ze souřadných os.

II. Určení asymptot svírajících s osou x úhel z intervalu 〈0 ; π2 )Hledejme čísla a a b tak, aby přímka

p : y = ax + b .

byla asymptotou funkce f v některém z nevlastních bodů +∞ nebo−∞.

• Hledáme-li asymptotu pro x → +∞ , pak a a b vypočteme jako

a = limx→+∞

f (x)x

, (30.5)

b = limx→+∞

( f (x)− ax)︸︷︷︸za a dosazujeme

hodnotuvypočtenou ve (30.5)

. (30.6)

• Analogicky lze určit asymptotu pro x → −∞

a = limx→−∞

f (x)x

, (30.7)

b = limx→−∞

( f (x)− ax)︸︷︷︸za a dosazujeme

hodnotuvypočtenou ve (30.7)

. (30.8)

Pozor! Pokud limita a nebo b vyjde nevlastní, graf v danémnekonečnu asymptotu nemá.Poznamenejme, že případ, kdy vyjde a = 0 a b ∈ R, odpovídá hori-zontální asymptotě a lze ji vypočítat přímo jako lim f (x), viz I.

Příklad: Charakterizujte chování funkčních hodnotfunkce f (x) = x + arctan x2 v krajních bodech definiční-ho oboru.Shrnutí výsledků řešení: Df = (−∞ ; +∞),

limx→+∞

f (x) = +∞ , limx→−∞

f (x) = −∞ ,

a1 = limx→+∞f (x)

x= 1 , a2 = limx→−∞

f (x)x

= 1 ,

b1 = limx→+∞ (f (x)− ax) = π

2, b2 = limx→−∞ (

f (x)− ax) = −π2

,

p1 : y = x +π

2, p2 : y = x−

π

2.


Řy31 - Diferenciální počet jako součást infinitezimálního počtu

V rámci analýzy reálných funkcí jedné reálné proměnné, kteráje součástí kurzu matematiky 1, budeme funkcím přiřazovat jinéfunkce. Ty odvodíme z těch prvních podle pevně daných pravidel.Jestliže budeme pracovat s funkcí pojmenovanou f , pak onuodvozenou funkci pojmenujeme f ′ a budeme jí říkat derivace (tj.odvozenina). Pod nadpis diferenciální počet spadá vše, co se derivacítýká.

Derivace funkce

Motivační příklady si uvedeme na přednášce, nebo si je projděte vliteratuře. Společná úvaha vyústí v následující definici.

Definice 31.8: (Derivace funkce v bodě) Necht’ je reálná funkce fdefinovaná na nějakém okolí Uδ(x0).Pokud existuje vlastní (tj. konečná) limita

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)h

, (31.2)

řekneme, že funkce f má v bodě x0 vlastní derivaci a výslednouhodnotu označíme f ′(x0) .

Poznámka Uvědomme si, že derivace funkce v bodě je reálné číslo, tj.hodnota limity (31.2).Další definice Ve skriptech najdete další pojmy a následně tvrzení,která se k nim vztahují. Shrňme si, že

• pokud vychází hodnota limity (31.2) nevlastní, pak mluvíme onevlastní derivaci funkce f v bodě x0, a

• pokud limita (31.2) neexistuje, mohou existovat alespoň přís-lušné jednostranné limity pro h → 0+ a h → 0−. Potom sepoužívají pojmy derivace funkce f v bodě x0 zprava f ′+(x0) a

derivace funkce f v bodě x0 zleva f ′−(x0) .

Poznámka (o lokálnosti derivace) Derivaci jsme definovali pomocílimit. Jde tedy o lokální pojem stejně jako všechno ostatní, co je nebobude přes limity definováno. Uvědomme si, že „limitní chování“ jechování na nějakém „dostatečně malém“ okolí - v malé lokalitě.

Definice 31.9: (Derivace funkce na množině) Pokud existuje vlastníderivace funkce f v každém bodě množiny M ⊆ Df , pak říkáme, žefunkce f má derivaci na množině M.Funkci, jejíž funkční hodnoty jsou právě ony hodnoty derivacíodpovídající jednotlivým x ∈ M, značíme f ′ = f ′(x) .

Zdůrazněme, že derivace funkce na množině M je funkce (srovne-jte s definicí 31.2 derivace v bodě). Tedy každému x0 z množiny Mpřiřadíme hodnotu f ′(x0). A tuto funkci značíme f ′ : M 7→ R.

Pokud bychom tedy podle (31.2) pečlivě vyhodnotili každou limitupro každou elementární funkci, pak dostaneme následující vzorce proderivaci elementárních funkcí.

(konst)′ = 0 konst je zkratka libovolné reálné konstanty,

(xn)′ = n · xn−1 x ∈ R, n ∈N,(xα)′ = α · xα−1 x ∈ (0;+∞), α ∈ R,

(ex)′ = ex x ∈ R,(ax)′ = ax · ln a x ∈ R, a ∈ (0;+∞),

(ln x)′ =1x

x ∈ (0;+∞),

(loga x)′ =

1x ln a

x ∈ (0;+∞), a ∈ (0; 1) ∪ (1;+∞),


Řy32 - Diferenciální počet - výpočet derivací

(sin x)′ = cos x x ∈ R,(cos x)′ = − sin x x ∈ R,

(tan x)′ =1

cos2 xx ∈

⋃k∈N

(−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

),

(cot x)′ =−1

sin2 xx ∈

⋃k∈N

(kπ; π + kπ),

(arcsin x)′ =1√

1− x2x ∈ (−1; 1),

(arccos x)′ =−1√1− x2

x ∈ (−1; 1),

(arctan x)′ =1

1 + x2x ∈ R,

(arccot x)′ =−1

1 + x2x ∈ R.

Navíc lze odvodit i tato pravidla derivování, kdy pro dané funkceu = u(x), v = v(x) a F = F (y) platí, že

násobek funkce kostantou (konst · u)′ = konst · u′ ,součet/rozdíl funkcí (u± v)′ = u′ ± v′ ,

složená funkce(F(v(x)

))′= F ′

(v)· v′ ,

součin funkcí (u · v)′ = u′ · v + u · v′ ,

podíl funkcí(u

v

)′=

u′ · v− u · v′(v)2

,

funkce umocněná na funkci (uv)′ = uv ·(

v′ · ln(u) + v · u′

u

).

Definice 32.10: (Derivace vyšších řádů) Mějme funkci f , která má namnožině M derivaci f ′. Jestliže funkce f ′ má v bodě x0 ∈ M vlastnínebo nevlastní derivaci, říkáme, že funkce f má v x0 druhou derivacia její hodnotou označíme f ′′(x0) , tj.

f ′′(x0) = limh→0

f ′(x0 + h)− f ′(x0)h

.

Analogicky jako v případě první derivace na množině lze také defi-novat druhou derivaci na množině f ′′ : M 7→ R.

A podobně můžeme dále definovat• derivaci třetího řádu f ′′′ : M 7→ R, občas se zapisuje f (3),• derivaci čtvrtého řádu f ′ν : M 7→ R, občas se zapisuje f (4),• . . . atd.

Derivace a jejich řešení

Opět si uved’me (hypertextové) odkazy na sbírku příkladů a ukázkyřešení.

[1. ] Příklady k procvičení najdete ve sbírce příkladů

[2. ] Svůj postup si zkontrolujte spuštěním ozvučeného videa příslušnéhořešeného příkladu (začátek asi v jedné čtvrtině stránky).

http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Sbirka_uloh/pdf/4.pdfhttp://mdg.vsb.cz/portal/m1/dp.php



Vypočtete derivace následujících funkcí azopakujte si písmena řecké abecedy.

α(x) = x5 alfa

β(x) = x5 + x3 +1x2

+53− π beta

γ(x) = −5x5 − 0, 5 · x3 + 2 1x2

+ 3√

x− 5, 2 14√

x− 2π2 +

√e gama

δ(x) = log2(x) delta

ε(x) = log2(x) + sin(x) + cos(x) +(

23

)xepsilon

ζ(x) = −3 log2(x) +52

sin(x)− π6· cos(x) + 2e ·

(23

)xzéta

η(x) =12

arctan(x)− 2π · arccos(x)− 2ex éta

ϑ(x) = (2x + 1)2 théta

κ(x) =1

2x + 1− e

2kapa

λ(x) = 3√

x2 − 1− 2 ·√

5− x lambda

µ(x) =3π2

sin(x2 + 4)− 2, 5 · tan(√

x + 1)− 21−x3 mí

ν(x) = sin(x) ·√

x ný

ξ(x) = x2 · sin2(x) xí

$(x) = (x2 − 2x)2 · sin(x + π2) ró

σ(x) =2x + 2x2 − 1 sigma

τ(x) =32x−5

ln xtau



Funkce umocněná na funkci(

u(x))v(x)

Pro výpočet derivace je zapotřebí si uvědomit dva fakty.

• Připomeňme si derivaci exponenciální funkce. Pokud jakozáklad zvolíme Eulerovu konstantu e ≈ 2, 72, pak (ex)′ = ex.Výhoda volby tohoto základu, jestliže máme derivovat, je tedyočividná. Pro exponencální funkci složenou s nějakou dalšífunkcí ϕ (občas ji na cvičeních nazývám transformací) platí, žederivace (

eϕ(x))′

= eϕ(x)︸︷︷︸derivace vnější

funkce e( )

· ϕ′(x)︸︷︷︸derivace vnitřní

funkce ϕ

.

• Libovolnou funkci typu f (x) =(

u(x))v(x)

lze ekvivalentnězapsat jako

f (x) = ev(x)·ln(

u(x))

tedy jako exponenciální funkci o základu e.

Spojením těchto dvou informací dojdeme k možnostem derivace

funkcí typu(

u(x))v(x)

.

Derivujte.

f1(x) = x2x[

f ′1(x) = 2x2x(ln(x) + 1)

]f2(x) = (x2 − 4)cos(x)[

f ′2(x) = (x2 − 4)cos(x)

(− sin(x) ln(x2 − 4) + cos(x) 2xx2−4

)]

Funkce daná parametricky Jak vypadá zobrazení dané paramet-ricky je ukázáno například na listě 4, nebo se s tímto způsobemzadání potkáme v analytické geometrii, při zadávání přímek a rovin.Vyjádříme-li tedy nějaký útvar v rovině tak, že pro parametr t je{

x = ϕ(t)y = ψ(t)

pak analytický předpis 1. a 2. derivace vypočteme podle vzorců

y′ =ψ•(t)ϕ•(t)

a y′′ =ψ••(t)ϕ•(t)− ψ•(t)ϕ••(t)(

ϕ•(t))3

Derivujte funkci danou parametricky

{x = 2 + 4 cos(t)y = 3 + 4 sin(t)

a určete hodnotu její derivace v bodě t0 = π4 .


Řy35 - Diferenciální počet - použití derivací

Podrobnější informace hledejte ve skriptech.

1. Diferenciál funkce v okolí bodu. Známe-li hodnotu funkce a její derivace v bodě x0,pak hodnotu funkce v bodě x0 + h „blízkém“ bodu x0, tj. h je malinké číslo, lzepřibližně spočítat takto

f (x0 + h) ≈ f (x0) + f ′(x0) · h .

2. Taylorův polynom. Hodnoty funkce f lze na okolí bodu x0 přibližně nahradit hodno-tami jejího Taylorova polynomu Tn řádu n rozvinutého kolem bodu x0.Pro Taylorův polynom pro funkci f řádu n v okolí bodu x0 platí, že

Tn(x) = f (x0) +11!

f ′(x0) · (x− x0) +12!

f ′′(x0) · (x− x0)2 + · · ·+1n!

f (n)(x0) · (x− x0)n .

Pozn. 1) Nahrazení funkce jejím Taylorovým polynomem funguje jen pro hodnoty xblízké bodu x0!

2) Maclaurinův polynom = Taylorův polynom pro x0 = 0.

3. l’Hospitalovo pravidlo.

limx→c

f (x)g(x)

(= 00 nebo

cokoli∞

)l’H= lim

x→cf ′(x)g′(x) = · · · .

POZOR! Nederivuje se podle pravidel derivování podílu, ale derivuje se čitatel ajmenovatel zvlášt’.

4. Tečna a normála. Ke grafu funkce f v daném bodě x0 ∈ Df sestavíme rovnici

tečny v bodě dotyku [x0, f (x0)] tak, že (y− y0) = f ′(x0) · (x− x0) ,

normály v bodě [x0, f (x0)] tak, že (y− y0) =−1

f ′(x0)· (x− x0) .

Pomocí diferenciálu určetepřibližnou hodnotu

arctan 0, 97 ≈

√1, 05 ≈



Určete rovnici tečny ke grafu funkce g(x) = x3 + 2x vbodě x0 = 1.

Určete rovnici tečny ke grafu funkce ψ(x) = ln(x)která je rovnoběžná s přímkou p : y = x + 5.

V okolí bodu x0 = 1 rozviňte Taylorův polynom 4.řádu

funkce α(x) =1√x.



5. Monotónnost grafu, stacionární body a lokální extrémy. Oz-načme si funkci písmenem f .

• Stacionární body jsou všechna x ∈ Df , která řeší rovnicif ′(x) = 0 .

• Monotónnost: Na osu si zakreslete Df + stac. body , vzni-knou tak intervaly monotónního chování funkce. Pokudna některém takovém intervalu je

f ′ > 0, funkce je na něm rostoucí – značíme:↗,f ′ < 0, funkce je na něm klesající – značíme:↘.

• Určení lokálních extrémů funkce. Pokud provedeme před-chozí dvě odrážky, pak v případě, že dostaneme↘ stac. bod ↗ ⇒ stac. bod je lokální minimum a nebo↗ stac. bod ↘ ⇒ stac. bod je lokální maximum.

6. Zakřivení grafu, inflexní body a ověření lokálních extrémů. Zůs-taňme u označení funkce písmenem f .

• Inflexní body jsou všechna x ∈ Df , která řeší rovnicif ′′(x) = 0 .

• Zakřivení, tj. konvexnost & konkávnost. Na osu si zakresleteDf + inflex. body , vzniknou tak intervaly stejného za-

křivení funkce. Pokud na některém takovém intervalu je

f ′′ > 0, funkce je na něm konvexní – značíme:⋃

,f ′′ < 0, funkce je na něm konkávní – značíme:

⋂.

• Ověření lokálních extrémů funkce. Pokud známe stacionárníbody funkce, pak pro

f ′′( stac. bod ) > 0 ⇒ stac. bod je (ostré) lok. minimum,f ′′( stac. bod ) < 0 ⇒ stac. bod je (ostré) lok. maximum.

Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémydaných funkcí.f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 5[

Pro x ∈ (−∞;−23) ∪ (2;+∞) funkce roste,pro x ∈ (−23 ; 2) funkce klesá,

lok. max. [−23 ;17527 ], lok. min. [2;−3].

]

g(x) = lnx− 2x + 1 [

Pro x ∈ (−∞;−1) ∪ (2;+∞) funkce roste. ,

funkce nemá žádný extrém.]

h(x) = arctan√

x2 + 1 [Na (−∞; 0) klesá, na (0; ∞) roste,

lok.max = [0; 14 π]]

p(x) = arcsinx

x + 1

[Na (−12 ;+∞) roste. Žádný extrém.

]


Řy38 - Průběh funkce - užití téměř všeho předchozího

Postup, který je zde zapsán, vede k tomu, že budete schopni zakres-lit graf libovolné funkce, u které nelze použít znalosti ze základůmatematiky o transformaci grafů elementárních funkcí.

1. Určení DfDfDf , viz list číslo 18.

2. Informace z předpisu funkce f (x)f (x)f (x) : Nulové body, kladnost &zápornost, parita, průsečíky s osou y, asymptoty . . .

• Asymptoty v krajních bodech definičního oboru a případ-ných bodech nespojitosti. Viz kapitola Použití limit na listěčíslo 30.

• Nulové body funkce, tj. kořeny nebo také průsečíky s osoux, jsou všechna x ∈ Df , která řeší rovnici f (x) = 0 .

• Znaménko grafu, tj. kladnost & zápornost. Na osu si zakresleteDf + nul. body , vzniknou tak intervaly, ve kterých mají

funkční hodnoty stejné znaménko. Pokud na některémtakovém intervalu je

f > 0, potom je funkce kladná – značíme: +,f < 0, potom je funkce záporná – značíme: −.

• Průsečíky s osou y mají x-ovou souřadnici rovnu 0. Hledámetedy řešení rovnice y = f (0) pro neznámé y.

• Pokud je Df symetrický podle počátku, pak má smyslřešit paritu funkce, tj. sudost f (−x) = f (x), nebo lichostf (−x) = − f (x), viz skripta.

3. Informace z první derivace f ′(x)f ′(x)f ′(x) : Stacionární body, monotón-nost a lokální extrémy funkce. Viz Použití derivací bod 5. napředchozím listě.

4. Informace z druhé derivace f ′′(x)f ′′(x)f ′′(x) : Inflexní body, konvexnost& konkávnost a ověření lokálních extrémů funkce. Viz Použitíderivací bod 6. na předchozím listě.

Určete intervaly stejného zakřivení a inflexníbody grafů daných funkcí.

f (x) =x2

x + 4

[Na (−∞;−4) konkávní ⋂na (−4;+∞) konvexní ⋃nemá inflexní body.

]

g(x) = ex2+1 [

Na (−∞;−1) konkávní ⋂na (−1;+∞) konvexní ⋃

IB = [−1; e2]]

h(x) = sin(x) cos(x)[Na

⋃k∈Z

(000 + kπ;12

π12

π12

π + kπ) konkávní⋂

[na

⋃k∈Z

(12

π12

π12

π + kπ; πππ + kπ) konvexní⋃

IBk = [kπ; 0] pro k ∈ Z]

Základy matematiky a Matematika 1 pracovní listy k výucesvo19/pdf/ZM/pracovnilistyZM21.pdf ·...

Documents

Transcript of Základy matematiky a Matematika 1 pracovní listy k výucesvo19/pdf/ZM/pracovnilistyZM21.pdf ·...