Základy hydrauliky vodních toků

Jan Unucka, 2014

Motivace pro začínajícího

hydroinformatika…

Cesta do pravěku…

Síly ovlivňující proudění

1. Gravitace

2. Tření

3. Coriolisova síla

4. Vítr

5. Vztlak (rozdíly hustot),

hustotní anomálie

vody

6. Tlak (atmosférický,

hydrostatický)

Hydrostatický tlak 1

2N.m ATMABS PghP

Atmosférický tlak (PATM) na hladině 0 m n.m. při teplotě 0 °C odpovídá tlaku sloupce

vody o výšce 10.3 m.

Manometrický tlak (gauge pressure) je hodnota, o kterou převyšuje tlak kapaliny

atmosférický tlak (PG = PABS – PATM).

Hydrostatický tlak 2

Jezový segment o délce 3 m napříč korytem. Pokud vzdouvá tok, tak

na horním segmentu je výška hladiny 3.5 m a na dolním 2.0 m.

F1 = 1000*9.81*(3.5/2)*(3.5*3.0)= 180.26 x103 N.m-2

F2 = 1000*9.81*(2.0/2)*(2.0*3.0) = 58.86 x103 N.m-2

Y1 = 3.5/3 = 1.17 m

Y2 = 2.0/3 = 0.67 m

FR = F1 – F2 = 121.40 N.m-2

YR = 180.26x103*1.17 – 58.86x103*0.67 = 1.41 m

AgHF G

Hydrostatický tlak 3

Vertikální výška projekce, BC = 5.0 * cos 60° = 2.5 m

HG = 2.0 + (2.5/2) = 3.25 m

A = 2.5 * 3.5 = 8.75 m2

FH = 1000*9.81*(2.0+(2.5/2)*8.75 = 278.87 N.m-2

AEFH :

AB = 5.0*sin 60° = 4.33 m , pak DE = 5.00 – 4.33 = 0.67 m

ACE = (30/360)**5.02 = 6.54 m2

ACD = (1/2)*4.33*2.5 = 5.41 m2

ADE = 6.54 – 5.41 = 1.13 m2, pak AEFH = 1.13 + (0.67 * 2.00) = 2.47 m2

VDW = 2.47 * 3.5 = 8.65 m3

FV = 1000*9.81*8.65 = 84.86x103 N

= (278.972 + 84.862)1/2 = 291.59 N.m-2 2/122

VH FFF

Hydrostatický tlak 4

Dále viz rovňové plochy, hladinové plochy,

Pascalův teorém a hydrostatické paradoxon

Ustálené proudění

Chézyho / Manningova rovnice

Základní odvození Manningova koef. n

Využití Manningova vztahu v úpravách a návrzích koryt

Výpočet dle Manninga pro různé tvary koryta

• Průtočná plocha (P, A) – plošný obsah řezu proudu

rovinou kolmou v každém bodě k vektoru bodové

rychlosti

• Hydraulický poloměr – poměr plochy k omočenému

obvodu příčného profilu (R = P/O)

• Froudovo číslo (Fr) – poměr sil setrvačnosti k silám

gravitačním

• Nadkritická rychlost – Fr > 1 a převládá vektor

setrvačnosti, bystřinný typ proudění, malá hloubka a

velký sklon, rozčeřená a nerovná hladina

• Subkritická rychlost – Fr < 1 a převládá vektor

gravitace, říční typ proudění, dostatečná hloubka a malý

sklon, klidná hladina, malý sklon

• Kritická rychlost – přechodová rychlost Fr = 1

Několik důležitých pojmů 1

Několik důležitých pojmů 2

• Normální hloubka (DN, yN) – hloubka v úseku určité

délky a homogenního příčného profilu, u které dochází k

rovnoměrnému proudění

• Průměrná hydraulická hloubka (DM, yM) – průměrná

hloubka v korytě o nepravidelných a

nepravoúhelníkových příčných profilech

• Kritická hloubka (DC, yk) – hloubka na vrcholu křivky

energetické výšky (specifické energie), přechod mezi

říčním (subkritickým) a bystřinným (nadkritickým)

prouděním, kritická rychlost je přibližně rovna rychlosti

šíření vln na povrchu kapaliny, Fr = 1

Froudovo & Reynoldsovo číslo

v rychlost proudění [m.s-1]

g gravitační zrychlení

[9.81 m.s-2]

D hydraulická hloubka [m]

gD

vFr

dvsRe

vs střední rychlost

proudění [m.s-1]

d střední hloubka vody

[m]

υ kinematická viskozita

vody [m2.s-1]

Pokud Fr < 1, jedná se o subkritické proudění, kde převažují gravitační síly a hydraulická

hloubka je dostatečná. Pro superkritické proudění (Fr > 1) dominuje vliv rychlosti proudění

a hloubka je nedostatečná. Superkritické proudění je typické např. pro kanály

bezpečnostních přelivů vodních děl a povodňové situace.

Příklad č. 1 – obdélníkové koryto

Q = 2.28 m3.s-1

n = 0.014

I = 0.006 m.m-1

b = 2 m

IRn

v 3/21

IPRn

Q 3/21

O

PR

2*nn ybyP

22* nyO

006.0*22

2*2*

014.0

128.2

3/2

n

nn

y

yy

3/5

3/2

2*22

1413.0 n

n

yy

myn 45.0

Příklad č. 2 – lichoběžníkové koryto

Q = 200 m3.s-1

n = 0.025

I = 0.0006 m.m-1

BW = 1.5ynIR

nv 3/21

525.1525.1422/122 nnnnn yyyyyBWO

222 5.325.122

12 nnnnnn yyyyyBWyP

IPRn

Q 3/21

0006.0586.05.3025.0

1200

3/22

nn yy

3/840142342200 ny.

8/383,284ny

yn = 5.25062 m

BW = 7.875 m

TW = 39.375 m

Optimální parametry koryt různých tvarů

Froudovo & Reynoldsovo číslo

Přechod mezi laminárním a turbulentním prouděním je v rozmezí hodnot 500 až

2000 pro otevřená koryta.

Specifická energie a kritické proudění

g

Vz

pH

2

2

kde = g a y = p/ = hloubka, pak:

g

VyE2

2

Pro rovnoměrné proudění (V = Q/P)

můžeme zjednodušit:

2

2

2gP

QyE

Pro obdélníkové koryto pak:

22

2

2 ygb

QyE

dy

dP

Pg

Q

dy

dE3

2 2

21 nebo

cyyB

P

g

Q

32

Pro neobdélníkové koryto pak:

Specifická energie a kritické proudění

Příklad č. 3 – výpočet kritického proudění

Q = 14 m3.s-1

n = 0.012

I = 0.0006 m.m-1

B

P

g

Q 32

P = y2

yO 22

y

y

y

O

PR 2

22

2

g

Q

B

P 23

81.9

14

2

26

c

c

y

y

96.395 cy

myc 09.2

Rovnoměrné / nerovnoměrné proudění v korytech

Nerovnoměrné proudění

yn … normální hloubka

(Dle Manningova vztahu

rovnoměrné proudění)

yc … kritická hloubka

y … aktuální hloubka

M1-M3 příklady

M1 až M3 jsou různé křivky vzdutí

M1: y > yn > yc

M2: yn > y > yc

M3: yn > yc > y

Hydraulický skok

2

181 2

1

1

2

Fr

y

y

Fr1 … Froudovo číslo počátečního úseku

2

12

2

12

1

2

2

2

y

yy

g

yVyy

y

Kritická hloubka a kritické proudění

Kritická hloubka a kritické proudění

Kritická hloubka a kritické proudění

Neustálené a nerovnoměrné

proudění

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho rovnice

Y1, Y2 hloubka vody v uvažovaných příčných průřezech 1, 2 [m]

Z1, Z2 střední výška dna v uvažovaných příčných průřezech (= hydraulický spád) [m]

v1, v2 střední profilové rychlosti [m.s-1]

α1, α2 váhové koeficienty rychlosti [-]

g gravitační zrychlení [m.s-2]

he ztráta energie [m]

ehg

vZY

g

vZY

22

2

1111

2

2222

g

v

g

vCSLh Fe

22

2

11

2

22

L vážená průtočná délka úseku [-]

S

F

reprezentativní hodnota sklonu a

drsnosti na uvažovaném

úseku [-]

C koeficient kontrakce / expanze [-]

Saint Venantovy rovnice

0

0

qx

Q

t

S

qx

Q

t

S

qx

Q

t

S

xqtQtxS

xqtQQtxS

xqttQQtxS

io

oi

Odvození rovnice kontinuity (Saint Venant)

Kinematická vlnová aproximace I.

Pro koryta toků je rovnice kontinuity v diferenciálním tvaru (Saint Venant):

Hhtxpztxq

x

txQ

t

txAjijiji

jiji

,,,

,,,,,

,,

A – průtočná plocha

x – vzdálenost ve směru toku

t – čas

qi,j(x,t) – specifický boční přítok (ze srážek,

bočních zdrojů, popř. odběrů)

pzi,j(x,t) – podzemní přítok, který lze v rámci

schematizace

vyjádřit zjednodušeně jako odtok z podzemní

nádrže sestrojené pro každou plochu

samostatně

Kinematická vlnová aproximace II.

Hybnostní vztah dle Manninga nabývá tvaru:

Bk,l(x) – šířka plochy

Sk,l – sklon plochy

n – Manningův koeficient drsnosti

yk,l(x,t) – výška odtoku na ploše

Ppn

txySxBtxQ sji

lklklk

lk ,,

3/5

,

2/1

,,

, ,,**

,

Nevýhody kinematické vlnové aproximace

Dynamická vlnová aproximace

0

t

y

x

Uy

x

yU

00

fSSg

x

yg

x

UU

t

U

x vzdálenost v korytě [m]

g gravitační zrychlení [m.s-2]

S0 sklon koryta [-]

y hloubka vody [-]

U rychlost [m.s-1]

Sf drsnostní sklon, [-]

Metoda Muskingum

QIdt

dS

S objem (storage) [m3]

t čas (time) [s]

I přítok (inflow) [m3.s-1]

Q odtok (outflow) [m3.s-1]

QXXIKS 1

K objemový odtokový koeficient proporcionality mající časový rozměr [s]

X váhový koeficient nabývající hodnot 0<X <0.5 (Maidment 1993)

j

jjjj

j

jj

t

QXXIQXXIK

t

SS

dt

dS

11 111

jjjj QCICICQ 32111

tXK

KXtC

12

21

tXK

KXtC

)1(2

22

tXK

tXKC

12

123

Zároveň platí, že C1 + C2 + C3 = 1 a K/3 t K.

Metoda Muskingum-Cunge

wc

xK

xJc

QX

w

p15,0

x délka úseku [m]

cw rychlost kinematické vlny (wave celerity) na vstupním úseku [m.s-1]

J sklon dna úseku [-]

Qp průtok na jednotku plochy [m3.s-1]

Dimenze hydraulických modelů

Numerická řešení & okrajové podmínky

Počáteční a okrajové podmínky

Numerická řešení

Průmyslové standardy FEMA

HEC-RAS

HEC-RAS

MIKE 11

MIKE 21c

MIKE FLOOD