ZIRKUNFERENTZIA

TEORIA

PROPIETATEAK – ARIKETAK

ZIRKUNFERENTZIA.- Zentruan dagoen puntu batekiko distantziakide diren puntu infinituen Leku Geometrikoa da.

ZIRKUNFERENTZIA BETEN ELEMENTUAK

A B

M

N

ZuzenUkitzailea

Zuzenebakitzailea

Gezia

DiametroaAB( )

Zentrua

T

Ukitze puntua

Q

P

Erradioa

Arkua BQ

Korda PQ

ZIRKUNFERENTZIAREN PROPIETATEAK

01.- Ukitze puntura doan erradioa, ukitzailearekiko perpendikularra

R L

LR LR

02.- RKorda batekiko perpendikularra den Erradio edo Diametroa, kordaren erdibitzailea izango da.(Bi zati berdinetan banatuko du).

P

Q

M

N

R

MQ PM PQ R MQ PM PQ R

03.- Korda paraleloak arku kongruenteak mozten dituzte

A B

C D

mBDmAC CD // AB :Si mBDmAC CD // AB :Si

04.- Korda kongruente bi, arku kongruente bi sortzen dituzte

A

B

C

D

Korda kongruenteak

Arku kongruenteak

Kordak zentruarekiko

distantziakide dira

mCD mAB CD AB:Si mCD mAB CD AB:Si

ZIRKUNFERENTZIEN ARTEKO POSIZIO ERLATIBOAK

01.- ZIRKUNFERENTZIA ZENTRUKIDEAK.- Zentru bera dute

r

R

d = Zero ; d : distzantzia d = Zero ; d : distzantzia

Rr

Zentruen arteko distantzia (d)

02.- KANPO ZIRKUNFERENTZIAK.- Ez dute puntu amankomunik

d > R + rd > R + r

R r

d = R + r d = R + r

03.- KANPO ZIRKUNFERENTZIA UKITZAILEAK.- Puntu amankomun bat dute: Ukitze puntua

r

R

R r

Ukitze puntua

Zentruen arteko distantzia (d)

d

R

d = R - rd = R - r

04.- ZIRKUNFERENTZIA BARNE UKITZAILEAK.- Puntu amankomun bat dute: Ukitze puntua

d: Zentruen arteko distantzia

R

r

Ukitze

puntua

05.- ZIRKUNFERENTZIA EBAKITZAILEAK.- Bi puntu amankomun dituzte: intersekzioak

R r

( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )

Zentruen arteko distantzia (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2

Zentruen arteko distantzia (d)

rR

06.- BARNE ZIRKUNFERENTZIAK.- Ez dute puntu amankomunik

R

r

d

d < R - rd < R - r d: Zentruen arteko distantzia

1.- Kanpo puntu batetik marraztu ditzakegun bi zuzen ukitzaileek bi segmentu kongruente determinatzen dute.

UKITZAILEEN PROPIETATEAK

AP = PBAP = PB

A

B

P

R

R

2.- KANPOKO ZUZEN UKITZAILE AMANKOMUNAK.- Kongruenteak dira

AB = CDAB = CD

A

B

C

D

R

Rr

r

3.- BARNEKO ZUZEN UKITZAILE AMANKOMUNAK.- Kongruenteak dira

AB = CDAB = CD

A

B

C

DR

R

r

r

PONCELET TEOREMA.- Edozein triangelu zuzenean katetoen batura, hipotenusa eta inradioaren bikoitzaren baturaren berdina da.

a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Inradioa

Zirkunradioa

PITOT-en TEOREMA.- Zirkunferentzia bati zirkunskribaturiko edozein kuadrilateroan aurkako bi aldeen baturak berdinak dira

a + c = b + d a + c = b + d

d

a

b

c

Zirkunskribaturiko kuadrilateroa

1.- ANGELU ZENTRALA.- Aurkako arkuaren neurri berdina dauka.

A

B

C

r

r

= AB = AB

A

C

B

D

2.- BARNE ANGELUA.-

2

CDAB

2

CDAB

ANGELU INSKRIBATUA

αA

B

β

γδ

2

2

2

AB

ABα

2

2

2

AB

ABα

C

A

B

C

3.- ANGELU INSKRIBATUA.-

2

AB

2

AB

4.- ANGELU ERDI-INSKRIBATUA.-

A

B

C

2

AB

2

AB

A

BC

2

ABC

2

ABC

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

M

N

E O

6.-KANPO ANGELUAK.- Hiru kasu:

1.- Bi ukitzailek sorturiko angelua.-

2

MFN - MEN

2

MFN - MEN

F

A

B

C

O

D

2.- Zuzen ebakitzaileak sorturiko angelua.-

2

CD-AB

2

CD-AB

A

B

C

O

3.- Zuzen ukitzaile eta ebakitzaile batek sortzen duten angelua

2

BC - AB

2

BC - AB

50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°X = 30°

Ariketa 01

RESOLUCIÓN

P

xº702

x2º140PQSm

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = x

2

QRSP

Zirkunferentzia kanpoan dagoen P puntu batetik PQ zuzen ukitzailea eta PRS zuzen ebakitzailea trazatzen ditugu. RS arkuak 140º badauzka eta P angeluak 50º, zenbatekoa izango da S-ren angelua?

20°

70°X

X = 40°X = 40°R

Q

H

En el triángulo rectángulo RHS

140° Es propiedad, que:

140° + X = 180°

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P

S

m S = 70º

Resolviendo:

PSQ = x

2

mQRº70 mQR = 140°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.

x130°

A

C

B

DX = 40°X = 40°

2

50 130X

50°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

PResolviendo:

APD = xMedida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior

902

mBC130mBC = 50°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

x

X = 18°X = 18°

2

X 54X

M

N

54°

xx

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

PAB

APN = xSe traza el radio OM:

o

Dato: OM (radio) = PM

Luego triángulo PMO es isósceles

Ángulo central igual al arco

Medida del ángulo exterior

Resolviendo:

En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN.

x

70°

Medida del ángulo inscrito:

X = 55°X = 55°

2

110X

A

B

C

PQ

R

110°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

PRQ = x

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Resolviendo:

70° + m PQ = 180° m PQ = 110°

En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ.

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 06

70°

B

A

X P

Resolución

RESOLUCIÓN

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Medida del ángulo inscrito:

70°

B

A

X PC

140º

140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º

2

mABº70 mAB=140º

Calcular la medida del ángulo “x”

Problema Nº 07

B

A

X P130º

Resolución

RESOLUCIÓN

B

A

X P130º C

Medida del ángulo inscrito:

En la circunferencia:

260º

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

X = 80º

2

mABº130 mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 100º

260º + mACB = 360º

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

Problema Nº 08

2

5 5A

B

C

Resolución

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10

(2p) = 24

RESOLUCIÓN

2

5 5A

B

C

a b

a + b = 14 (1)(2)

Reemplazando (1) en (2)

(2p) = 14 + 10

X

PLANTEAMIENTO

Q

R

S

80º Pa

a

Problema Nº 09

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .

Resolución

2a + 80º = 360º a = 140º

Medida del ángulo exterior:

Xa

80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º Pa

a

P

Q

R

S

2

3

PLANTEAMIENTO

Problema Nº 10En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR

Resolución

Teorema de Poncelet:

a b

cd

PQR a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

Dato:

a + b + c + d = 22cm

PSR c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

RESOLUCIÓN

P

Q

R

S

2

3