1

Page | 1

Fakulteti i Shkencave të Aplikuara të Biznisit - Pejë

Tema: Zgjidhja e Vlerësimit të Modeleve

Punuar nga: Denis Panxhaj Prof.dr. Fadil Govori

Nr. i indeksit: 162872011 Lënda: Financa

Kodi i cd: FRICH02

2

Page | 2

17.1 Kapitulli – Pasqyrat

Kapitulli me vonë “Përdorimi I zgjidhes standarde”modeli I qmimeve i cila është zhvilluar

fillimisht nga Black, Scholes dhe Merton. Ata shqyrtuar aplikimet praktike të modelit të

çmimeve dhe strategjitë ,dhe ndjeshmërinë e saj të matura nga të ashtuquajturat 'grekët': delta,

gamma, theta, vega, and rho. Kapitulli i tanishëm jep një pasqyrë më të detajuar se si opsionet

janë me çmime dhe mund të jenë anashkaluar nga lexuesit të cilët janë më të shqetësuar me

kërkesat. Në të njëjtën kohë ai nuk ka për qëllim të mbulojë matematikëb komplekse të çmimeve

.Kapitulli tregon se modeli I çmimeve duhet ti përmbush kufizimet e caktuara , dhe lëviz për të

treguar një rezultat të rëndësishëm “vënë-thirrje” marrëdhëniet, Njëmodel ivlerësimiy të

thjeshtë është zhvilluar duke përdorur “një-hap” dhe pastaj “tre-hap” pemë binomi, me

paqëndrueshmërinë themelore të inkorporuar në model. Si hapa i më shumë e më shumë hapav

janë shtuar vlera konvergon në pemë e cilla është llogaritur nga I famshmi Black-Scholes .

Ekuacioni I Black-Scholes është paraqitur në një mënyrë të lehtë ku mund të jetë ngritur në një

spreadsheet. Së fundi, kapitulli duket në disa nga supozimet e bëra nga mode . rrethanat në të

cilat ata kanë tendencë për të thyer , dhe si tregtarët kompensojë për këto probleme në praktikë.

Shtojca tregon se si të llogaritet paqëndrueshmëria e një aktivi të bazuar në kthimin e saj

historike.

17.2 Parimet Themelore Evropiane

Deri në vitet 1970 nuk ka pasur asnjë metodë për të rënë dakord në përgjithësi me opsionet

çmimeve. Vlerësimet janë bazuar ndonjëherë pak më shumë se ndjenja. Në këtë situatë një

tregtar i cili ishte kryefortë në lidhje me një pjesë mund të priren për thirrjet me vlerë më tepër se

dikush që ishte “si arush” rreth perspektivave të saj. Anasjelltas, demin do të tentojnë të

konsiderojnë praktikisht të pavlefshme, ndërsa ariu do të jetë një blerës vetjak. Disa praktikues

përdoruan një sërë të 'rregullave të pranoj' - Për shembull, çmimi për-te-paraja opsionet si një

përqindje të caktuar të çmimit themelor. Disa përdorur "ndjehen" për tregun dhe tregtohen në

çmime që janë shumë të afërt me vlerë Black-Scholes . Një hap i parë në kuptimin e dobishme si

model opsionar puna është të marrin në konsideratë marrëdhëniet themelore që duhet të mbajë në

mes të vlerës së një opsion para skadimit dhe çmimin e themelor. Seksionet e mëposhtme tregon

marrëdhëniet duke testuar një seri propozimesh të aplikuar të stilit europian, opsionet mbi

aksionet të cilat nuk paguajnë dividentë. .Diskutimi konsideron efektet e dividendëve dhe vlera e

opsioneve amerikane.

Deklarata 1.

Një thirrje nuk mund të jetë me vlerë më shumë se aksion themelor.

3

Page | 3

Nëse kjo deklaratë nuk është vërtetë fitimet e arbitrazhit mund të gjenerohet. Për shembull,

mendoj një tregtar mund të blej një pjesë $ 120 dhe të shesë një thirrje në rezervë, në një

premium të lartë, të themi në $ 121. Tregtar zotëron pjesa kështu është e mbrojtur plotësisht nëse

thirrja është ushtruar ndonjëherë. Kjo do të prodhojnë një fitim pa rrezik.

Deklarata 2.

Një telefonatë në një pjesë të Evropës që nuk paguajnë dividentë ka një vlerë minimale që është ose zero

ose diferenca midis çmimit themelor dhe vlerës aktuale të grevës, cilado është më e madhe.

Pjesa 'Zero', nëse këtë deklaratë është mjaft e qartë, sepse ajo nuk duhet të jetë e mundur për të

blerë një thirrje për më pak se asgjë dhe nëse ajo është thellësisht pa -para-! Për të parë se pse

pjesa tjetër e deklaratës duhet të jetë e vërtetë, e konsiderojnë një thirrje në-para evropiane me

një çmim prej $ 110. Çmimi I pjesës themelor është $ 120 dhe aksionaret nuk paguann dividentë.

Opsioni ka një vit të skadimit dhe normat e interesit janë 10% në një bazë të thjeshtë të interesit.

Deklarata2 thotë se ekuacioni i mëposhtëm mban.

Minimum Call Value = $ 120 –110/1.1=$20

Për të testuar këtë propozim mendoj thirrja mund të blihen për më pak se $ 20, thuajm se për

$ 10. Pastaj një strategji arbitrazhit mund të ndërtohet si më poshtë.

• Aksionet themelor të shkurtër për $ 120.

• Blej thirrjen $ 110 për një grevë premium prej $ 10.

• Depozita $ 120 - $ 10 = $ 110 mbetur për një vit me interes 10%.

Depozitave do të jetë me vlerë $ 121, kur ajo maturohet në një vit, e cila është më shumë se ajo

do të kushtojë kurrë për të blerë aksione themelor për të mbyllur jashtë qëndrim të shkurtër. Për

shembull, në qoftë se çmimi i aksioneve është mbi 110 $ në skadimin thirrja mund të ushtrohet

dhe të ndajnë blerjen në $ 110, duke e bërë një fitim të përgjithshëm 11 $ në strategjinë e

arbitrazhit. Nëse aksioneve mund të blihet në treg për më pak se $ 110 thirrja do të përfundojë të

pavlefshme, por fitimi i përgjithshëm është edhe më e lartë. Kjo 'gjatë thirrjes / aksioneve të

shkurtër' Strategjia gjithmonë ka një pagim pozitiv, në mënyrë të qartë diçka

është e gabuar. Problemi qëndron me premium supozuar $ 10. Nëse thirrja premium është $ 20

ose më lart ekzistojnë rrethana kur strategjia prodhon pagesa zero ose negative. Prandaj thirrja

duhet të jetë me vlerë të paktën $ 20, diferenca midis çmimit të çastit të aksioneve dhe vlerës

aktuale të çmimit grevë.

4

Page | 4

Deklarata 3.

Ekziston një lidhje fikse njohur si t'i quajmë-barazi ndërmjet vlerës së thirrjeve evropiane dhe e vë në

themel të njëjtë që kanë të njëjtin grevën dhe data e skadimit. Për mundësitë evropiane në një aksion jo-

dividentit paguar vënë-thirrje shteteve barazisë se:

Vendos Vlera +Vlera e Shperndarjes = Vlera e thirrjes + Vlera aktuale të çmimit Strike

Për të testuar formulën, krahasuar një thirrje të vënë në një magazinë të veçantë të dyja goditi në

$ 110 dhe të dy me një vit të skadimit. Vlera spot i pjesës themelor është $ 120.Thirrja është me

vlerë $ 25. Një vit norma e interesit (e shprehur me interes të thjeshtë) është 10% ndërsa vlera

aktuale e çmimit grevë $ 110 për thirrje dhe vënë është 100 $. Çfarë është vlera e opsionit të

shitjes? Për të ndihmuar t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje konsideratë dy portofolet A dhe B:

• Portofoli Një përbëhet nga një opsion i vënë në një aksion të goditur në 110 $ plus një aksion;

• Portofoli B përbëhet nga një opsioni blerjeje të gjatë në një aksion të goditur në 110 $ plus një

vit depozitimin e 100 $.

Të dy portofolet kanë vlerën e njëjtë në skadimin e opsioneve për çdo nivel të dhënë të çmimit të

aksioneve. Për shembull, në qoftë se çmimi i aksioneve në një vit është 90 $, atëherë Portofoli A

është me vlerë 110 $: $ 20 vlera e perceptuar në opsionit të gjatë plus 90 $ për aksion. Ndërkohë

B është gjithashtu me vlerë $ 110: zero për thirrjen e gjatë, plus $ 110 në depozitë pjekur. Nëse

çmimi i aksioneve në një vit është $ 130, atëherë Portofoli A është me vlerë $ 130: zero për

opsionit të gjatë plus 130 $ për aksion. Portofoli B është gjithashtu me vlerë 130 $: $ 20 vlera e

perceptuar në thirrje të gjatë plus $ 110 në depozitë pjekur. Që nga A dhe B kanë fitim të njëjtë në

të gjitha rrethanat ai vijon se ata duhet të kenë të njëjtën vlerë sot. Vlera aktuale e portofolit B sot

është 25 $ për thirrjen plus $ 100 depozitave, një total prej 125 $. Kjo nënkupton se portofol A

është gjithashtu me vlerë $ 125 sot. Që nga çmimi vend është 120 $ vlera e opsionit të shitjes sot

duhet të jetë $ 5. Kjo është rezultati parashikuar nga formula vënë-thirrjen :

5 $ + $ 120 = $ 25 + $ 100

17.3. Sintetiket e së ardhmes

Formula vënë-thirrje vlen pariteti me opsionet e Europës, ku thirrjet kanë vënë të njëjtin çmim

grevë dhe data e skadimit janë në themel të njëjtë. Për një magazinë jo-dividentëve nëse greva

është vendosur edhe në çmimin e ardhshëm të themelor për datën e skadimit të opsioneve, atëherë

vlera aktuale e grevës do të barabartë me çmimin e vend themelor.

5

Page | 5

Për të marrë shembullin në seksionin e mëparshëm, mendoj se çmimi i pjesës është $ 120 dhe në

një vit norma e interesit është 10%. Aksioneve nuk paguan dividentë. atëherë:

Çmimi Fillestar = $ 120 × 1.1 = 132 $

Qartë nëse greva e një thirrje dhe vënë të dy me një vit të skadimit është vendosur në 132 $ vlera

aktuale e grevës në një normë skontimi prej 10% është $ 120, i njëjtë me çmimin vend të pjesës

së. Formula pariteti vënë-thirrje për një gjendje jo të dividentit të paguar thotë se:

Vlera e dhënë+ Vlera shperndarse = Vlera e thirrjes + Vlera aktuale të çmimit Strike.

Nëse vlera e aksioneve është e njëjtë si PV e çmimit grevë këto dy objekte të anuluar në

formulën, e cila më pas thotë se thirrja dhe vënja do të ketë të njëjtën vlerë. Ky është një rezultat

shumë i dobishëm. Ajo tregon se në qoftë se një tregtar blen një thirrje evropiane dhe shkruan te

vendasi Evropiane për themelor njëjtë dhe me skadimin njëjtin dyja goditi në çmimin e ardhshëm

për skadimin e opsioneve pastaj kombinimi ka zero premium neto. Në fakt kjo është një sintetikë.

Në fakt kjo është një pozicion të gjatë përpara sintetike. Nëse është themelor tregtare lart grevë në

skadimit tregtari do të ushtrojë thirrjen gjatë. Në qoftë se kjo është tregtare nën grevës vënë

shkurtër do të ushtrohet. Sido që të jetë, tregtari do të përfundojë me një pozicion të gjatë në

themel në skadimin në grevë të dy opsionet. Tregtarët shpesh e përdorin këtë marrëdhënie për të

ndërtuar degën e arbitrazhit, ose për të ndërtuar përpara nga çifte të opsioneve.

Vini re se kur një pjesë e paguan dividentë vënë-thirrje formula paritetit mund të modifikohet

duke zbritur vlerën aktuale të pritshme të dividendëve gjatë jetës së opsionit nga çmimi vend e

aktivit bazë.

17.4. Opsionet Amerikane dhe ushtrimin e hershëm

Për shkak se ajo i jep të drejta shtesë vijon se një opsion amerikane kurrë nuk mund të jetë me

vlerë më pak se një opsion Europian. Megjithatë kjo nuk është domosdoshmërisht më e vlefshme.

Deklarata 4

Ajo kurrë nuk paguan për të ushtruar një telefonatë amerikan në një pjesë jo të dividentit që paguajnë në

fillim. Prandaj ajo ka të njëjtën vlerë si opsion ekuivalent stilit evropian (me grevë të njëjtë dhe kështu me

radhë).

Nëse një në - Para Amerikane thirrje paratë ushtrohet fillim vlera e realizuar është vetëm vlera e

tij e brendshme, diferenca midis çmimit të çastit të ndajnë dhe grevës. Megjithatë thirrja mund të

shitet në treg për vlerën e saj të brendshëm, plus vlerën e kohës. Ushtrimi në fillim thjesht do ti

'mbyt' komponentin në vlerë kohë. Dhe që nga të aksioneve themelor nuk paguan dividendë asnjë

nuk ka të ardhura do të humbet si pasojë e dështimit të ushtrojë opsionin për të marrë pjesën.

6

Page | 6

Që një telefonatë amerikan në një pjesë jo të dividentit nuk duhet të ushtrohet në fillim, ajo duhet

të jetë me vlerë të njëjtë si një thirrje Evropian. Sidoqoftë, nëse nuk paguajnë dividentë aksioneve

vlera e kapjen e një divident ardhshëm nganjëherë mund të tejkalojnë humbjen e vlerës së kohës.

Që kur ka rrethana në të cilat ajo është fitimprurës për të ushtruar një telefonatë amerikan në një

magazinë dividentit që paguajnë në fillim është me vlerë më shumë se një telefonatë Evropian.

Nga ana tjetër ajo mund të jetë fitimprurës për të ushtruar një në-para-Amerikan të vënë opsion

herët edhe kur pjesa nuk paguan dividentë. Për të marrë një rast ekstrem, mendoj një tregtar

zotëron një një vit të vënë me një grevë prej $ 110.Çmimi themelor i aksionit është afër zeros me

luhatshmëri të ulët. Që nga çmimi i aksioneve nuk mund të jetë negativ ka vend shumë pak për

përfitim të mëtejshëm nga opsionit të shitjes, si dhe ka marrë të holla nga ushtrimi të hershme

mund të investohen menjëherë në vend se në mbarim. Interesi i fituar ka gjasa të kalojë ndonjë

fitim shtesë vënë mund të gjenerojë. Që nuk janë nganjëherë avantazhet deri në fillim të ushtrojnë

më poshtë që vë amerikanë janë më të vlefshme se vë evropiane.

17.4.1.Vendos-Thirrje barazia dhe opcionet Amerikane

Vendos-thirrje barazi vlen vetëm për mundësitë evropiane. Për opsionet amerikane në të njëjtën

nën-shtrirë me grevë njëjtin skadimit është e mundur vetëm për të deklaruar pabarazive të

caktuara. Për shembull, për një pjesë jo të dividentit të paguar:

Vlera e thirrjes – vlera e vendosur Vlera shperndarse - vlera aktuale e çmimit Strike

Pabarazia është prezantuar këtu, sepse vlera e një opsionit amerikan në një pjesë jo të dividentit

paguar mund të jetë më e madhe se ajo e një opsionit të stilit europian, pasi ka raste kur ajo është

e dobishme për të ushtruar kontratën herët.

17.5. Pema e binomit

Seksionet e mëparshme zhvilluan kufizimet mbi mënyrën se si një model opsion ka për të punuar,

dhe diskutuan marrëdhëniet themelore të vënë-thirrje barazi. Një veprim i dobishëm ardhshëm në

kuptimin se si Black-Scholes çmimi opsion Modeli vepron është për të ndërtuar atë që është

njohur si një pemë binomi. Ky seksion ndërton një pemë një hap dhe e përdor atë për një çmim

telefonatë Evropian për një aksion themelor.Pema është bazuar në supozimin se themelor është

aktualisht tregtare në $ 100 dhe vetëm mund të lëvizin nga një faktor i 1,25 dhe poshtë nga një

faktor i 0,75 gjatë një periudhe kohore. Kjo është ilustruar në Figurën 17.1. Për shembull, $ 125

është 100 $ herë 'faktori upmove' e 1,25. Supozoni një tregtar shet një në-thirrje parave në

magazinë.Thirrja skadon në fund të një periudhe kohore.Qëllimi është për të krijuar një vlerë të

drejtë për thirrje sot (në kohën zero) në një per

ndajnë bazën. E quajnë këtë vlerë të drejtë C. Është e qartë se në një kohë të shkurtër është thirrja

ose me vlerë $ 25 ose zero - ose ajo ka 25 $ vlera e perceptuar ose ajo skadon pavlefshme. Kjo

është ilustruar në Figurën 17.2.

7

Page | 7

lera e C në kohën zero mund të krijohet duke shikuar në atë që do të kushtojë tregtari për të

mbrojtur një pozicion të shkurtër në thirrje. Supozoni se norma e interesit për periudhën e

opsionit është 10% me interes të thjeshtë.Tregtar krijon portofolin e mëposhtme mbrojtjes në

kohën zero:

•Shitje një thirrje dhe merr premium C

Koha 0 Koha1

125

100

75

Figure 17.1 Ndarje Një-Hap Pemë binomi.

Koha 0 Koha 1

25

C=2

0

Figura 17.2 Vlera në-para e thirrjes për aksion.

• blej (delta) aksione themelore kushtojn $ 100 × ;

• Fondi i blerjes pjesa pjesërisht nëpërmjet C premium dhe duke marrë borxh B mbetur në 10%.

Ekuacionet e mëposhtme njëkohsishttë duhet të jetë I kënaqur në një kohë:

× 125 − B × 1.1 = 25

× 75 − B × 1.1 = 0

Ekuacioni i parë merr rastin kur çmimi i aksioneve në skadimin është $ 125 dhe tregtar duhet të

paguajnë vlerën e perceptuar $ 25 në thirrje të shkurtër. Ajo thotë se për të tregtari për të thyer

edhe kjo

$ 25 duhet të mbulohen nga vlera e aksioneve në portofolin e mbrojtjes më pak të principalit

dhe interesi në kredi.Ekuacioni i dytë merr rastin kur çmimi i aksioneve në skadimin është $ 75

dhe thirrja e shkurtër ka vlerë të perceptuar zero.

8

Page | 8

Për tregtar për të thyer edhe në këtë rast vlera e aksioneve në portofolin mbrojtës pak

principalit dhe të interesit në kredi duhet të barazohet me zero. Kombinimi i dy ekuacioneve më

poshtë prodhon:

× 125 − × 75 = 25

Prandaj = 0.5. Kjo është opsion delta , i njohur ndryshe si raport mbrojtës. Kjo do të thotë se

në qoftë se një tregtar shkruan një telefonatë në një numër të caktuar të aksioneve që ai ose ajo do

të duhet për të blerë gjysmën e këtij numri të aksioneve për të neutralizuar ekspozimin ndaj

lëvizjeve në çmimin e aksioneve bazë. Kjo është quajtur një gardh delta dhe pozita që rezulton

është quajtur një delta-neutral pozicion. Vini re se delta opsion mund të llogaritet drejtpërdrejt si

më poshtë:

Cu

= Cd

Su-Sd

ku:

Cu = Vlera e thirrjes në qoftë se çmimi i aksioneve shkon deri

Cd = Vlera e thirrjes në qoftë se çmimi i aksioneve shkon poshtë

Su vlera = e pjesës kur ajo lëviz lart

SD = vlera e pjesës kur ajo lëviz poshtë

Në këtë shembull:

25-0

= --------- =0.5

125-75

Që një vlerë për delta është llogaritur kjo mund të futet në një ose të ekuacioneve të njëkohshme

për të llogaritur shumën e marrë hua në kohën zero. Përdorimin e dytë të ekuacioneve:

× 75 - B × = 1.1 0

0.5 × 75 - B × = 1.1 0

B = 34,09

9

Page | 9

Hapi i fundit është si vijon. Për tregtar për të thyer edhe në kohën zero kosto e blerjes së

aksioneve Delta në portofolin e mbrojtjes duhet të plotësohen nga shuma e huazuar B plus shuma

e ngarkuar për thirrjen e C. Në këtë rast delta është 0.5 dhe B është 34,09. Pra, duhet të jetë C

$15,91

për aksion.

C + B = × Çmimi Spot i shperndarjes

C + 34,09 = 0.5 × 100

C = 15,91

17.5.1.Formulat e vleres së thirrjes

Llogaritja mund të thjeshtohet duke përdorur disa algjebër që encapsulates hapat e punuar me lart.

1 + r – d

P=------------

U – d

ku:

r = norma e interesit të thjeshtë për periudhën si një decimal (këtu 0.1)

d = faktori që lëviz çmimin e aksionit poshtë nga çmimi i saj vend në pemë binom (këtu 0.75)

u = faktori që lëviz çmimin e aksionit deri nga çmimi i saj vend në pemë binom

(këtu 1.25)

Në këtë shembull:

1.1 − 0.75

P=---------------- = 0.7

1.25 – 0.75

Vlera e thirrjes ne C aksion është dhënë nga ekuacioni i mëposhtëm :

p × + Cu [1 - p × Cd]

C=-----------------------------

1+r

ku:

Cu = Vlera e thirrjes në një kohë në qoftë se çmimi i aksioneve rritet

Cd = Vlera e thirrjes në një kohë në qoftë se çmimi i aksioneve bie

10

Page | 10

Në këtë shembull:

0.7 × 25 × 0.3 + 0

C=----------------------=15.91

1.1

Kjo është në fakt një lloj i llogaritjes së mesatares së ponderuar pagim, por bazuar në idenë se

rreziku në opsion mund të mbrohet plotësisht. Sipas këtij supozimi të veçantë "probabiliteti" të

aksioneve në rritje për 125 $ në skadimin dhe vlera e perceptuar e thirrjes qenë 25 $ është 0.7 ose

70%.Probabiliteti i aksioneve bie në $ 75 dhe vlera e perceptuar qenë zero është 30%.mesatare të

dy pagesa ponderuar nga 'probabilitetit "për arritjen e çdo pagim është zbritur përsëri një periudhë

me një normë 10% e interesit të thjeshtë për të llogaritur vlerën e thirrjes në kohën zero. Këta

pseudo-probabilitetet zbatohet në të ashtuquajturën botë rrezik-neutral në të cilën rreziku në

opsion mund të krahasohen pikërisht duke krijuar një portofol mbrojtës delta. Ata nuk janë të

hutuar me vlerësim subjektiv të një analist i asaj çmimi i aksioneve ka të ngjarë të jetë në të

ardhmen. Vini re se "pritur" çmimi aksioneve në një kohë, në shembullin e mësipërm nuk është

100 $, por çmimi përpara, e cila është 100 $ × 1.1 = $ 110. Intuitive, kjo shpjegon pse

'probabiliteti' e aksioneve duke arritur 125 $ (70%) është më e madhe se "probabiliteti" të saj

arrin 75 $ (30%).

17.6 Zgjerimi i pemës

Natyrisht pemë binom zhvilluar në seksionin e fundit është shumë e thjeshtë. Së pari, ajo supozon

se çmimi i aksioneve vetëm mund të shkojë deri në $ 125 dhe deri në 75 $ më shumë se një

periudhë kohe. Në realitet çmimit do të priren për të lëvizur lart ose poshtë nga hapat më të vogla,

dhe pastaj marrë një sërë hapash të mëtejshme. Së dyti, faktorët u dhe d që lëviznin çmimin e

aksionit nga niveli i saj spot u shpik thjesht për qëllime të ilustrimit. Ajo do të jetë e dobishme për

të aplikuar faktorët që rrjedhin nga paqëndrueshmërinë e pjesës themelor. Intuitivisht, më e

paqëndrueshme ndajnë, të gjitha gjërat e tjera janë të barabartë, më shumë se çmimi i aksionit

është të ngjarë të devijojnë nga niveli i saj aktual, dhe më të shtrenjtë opsion duhet të jetë.

Për të treguar se si këto probleme mund të trajtohen këtë seksion ndërton një binom tre-hap dhe e

përdor atë për një çmim telefonatë evropiane në një gjendje jo të dividentit që paguajnë. Detajet e

aksioneve dhe opsioneve janë si më poshtë:

• Çmimi themelor kesh S = 300

• Çmimi Ushtrimi E = 250

• Rreziku pa norma r = p.a. 10% komplikuar vazhdimisht

• Koha për t maturimit = 0.25 vjet

• Rrezikshmërisë = 40%

Shtojca në fund të këtij kapitulli tregon se si paqëndrueshmëria mund të vlerësohet nga të dhënat

historike

11

Page | 11

17.6.1.Përfshirja e rrezikshmeris

Për të ndërtuar një pemë që përputhet me paqëndrueshmërinë e pjesës themelor faktorët u dhe d

mund të llogaritet duke përdorur vlerat e propozuara nga Cox, Ross, dhe Rubenstein:

√t/n

u=e

1

d=-----

u

ku:

e = baza e logarithms natyrore (rreth 2,71828)

d = paqëndrueshmëria, devijimi standard i annualized kthimit në aksion (0.4 here)

t = koha për të skadimit të opsionit në vite (këtu 0,25)

n = numri i hapave në pemë binom (këtu 3)

Time 0 Time 1 Time 2 Time 3

424

378

337 337

300 300

267 267

238

212

Figura 17.3.Ndarja e pemes biniomiale tri-hapa

Në këtë shembull :

1

d=-------------=0.8909

1.1224

Jeta e përgjithshme e opsionit (0.25 vjeç) është duke u prerë në tri periudha të barabarta binom

këtu. Figura 17.3 tregon se si për vlerat dhe u d janë përdorur për ndërtimin e pemë binom. Për

shembull, vlera 'të shkojë deri' e parë të 337 në kohën e një çmimi fillestar është vend i 300 herë

u.'Poshtë' Leviz vlerë 267 është çmimi spot herë d. Nëse aksioneve arrin 267 në kohën e një ose

ajo mund të shkojë mbrapa deri në 300 në kohën e dy (llogaritur duke shumëzuar 267 nga u ose të

bjerë më tej në 238. Dhe kështu me radhë.

12

Page | 12

17.6.2.Ndërtimi I pemës së vlerave të thirrjes

Hapi tjetër është për të ndërtuar një pemë që përfaqëson vlerat e thirrjes 250 grevë në përgjigje të

ndryshimeve në vlerën e aksioneve bazë. Ajo është e lehtë për të mbushur në vlerat në nyjet fund

- në skadimin vlera e thirrjes është vlera e tij e brendshme. Kjo është ilustruar në Figurën 17.4.

Për shembull, në krye të drejtë të pemës aksioneve në Figurën 17.4 aksioneve është me vlerë 424.

Në këtë rast 250 thirrje greva është me vlerë 174. në Figurën 17.4 C është vlera e thirrjes në

fillim. Cu është vlera në qoftë se pjesa e merr një hap lart; Cuu nëse pjesa merr dy hapa deri. Cd

është vlera e thirrjes, nëse pjesa e merr një hap poshtë; CDD nëse pjesa merr dy hapa poshtë.

Ripërtypet është vlera e thirrjes, nëse pjesa e merr një hap dhe pastaj një hap poshtë (kjo është e

njëjtë me vlerën, nëse pjesa e merr një hap poshtë dhe pastaj back up). Në çdo hap thirrja mund të

vlerësohet saktësisht sikur të ishte një hap binom siç tregohet në seksionin e mëparshëm. Së pari,

të llogaritur probabilitetit '' numrat p dhe 1 - p nga lart dhe poshtë-lëvizje faktorët U dhe

d.Llogaritja (këtë herë duke përdorur një mënyrë të vazhdueshme.

Time 0 Time 1 Time 2 Time 3

174

Cuu

Cu 87

C Cud

Cd 17

Cdd

0

Figura 17.4.Opsioni I thirrjes tri-hap I pemes së binomit

Pastaj, për të marrë vetëm një shembull nga pema opsionit të blerjes, Cuu është vlera aktuale e

shumës së:

• Vlera e thirrjes në qoftë se ajo merr një hap të mëtejshëm deri (174) herë e 'probabiliteti' se kjo

do të ndodhë (50,74%);

• Vlera e thirrjes në qoftë se ajo merr një hap më tej poshtë (87) herë e 'probabiliteti' se kjo do të

ndodhë (49,26%).

13

Page | 13

17.7.Modeli I Black-Scholes

Si numri i hapave binom është rritur vlera e thirrjes do të konvergojnë në rezultatin e prodhuar

nga modeli Black-Scholes famshëm.Modeli është zhvilluar nga Black, Scholes.

Time 0 Time 1 Time 2 Time 3

174

130

91 87

61 52

30 17

9

0

Figura 17.5 Kompletimi i opsionit të blerjes tre-hap së pemës binom

dhe Merton në 1970 është një mjet thelbësor në sektorin e financës moderne. Për mundësitë

evropiane me pa Black-Scholes dividendëve jep vlerat e mëposhtme:

C = [S × N d1 ] − [E × e−rt × N d2 ]

P = [E × e−rt × N −d2 ] − [S × N −d1 ]

C = vlera thirrje

P = vënë vlerë

S = çmimi vend e themelor

E = çmimi grevë të opsionit

N d = kumulative funksionin normal dendësia.Funksioni Excel për të përdorur është

NORMSDIST ()

ln (x = x logaritmi natyrale e për të e bazës. funksion Excel për të përdorur është LN ()

= P.a. paqëndrueshmëri i aktivit themelor (si një decimal)

t = koha mbarimit të afatit të opsionit (në vite)

r = përzjerë vazhdimisht norma e interesit p.a. (si një decimal)

e ≈ 2,71828, baza e logarithms natyrore.Funksioni Excel për llogaritjen e ish është EXP (x)

14

Page | 14

Formula për një telefonatë thotë se vlera e thirrjes C është çmimi spot (S minus vlera aktuale e

grevës (E, ku S dhe E janë peshuar nga faktorët e rrezikut N D1 dhe D2 N.

Ashtu si qasje binom, formula është bazuar në supozimin se mundësitë mund të jenë delta-i

mbrojtur në një mënyrë të pa rrezik nga tregtare në bazë dhe nga huamarrja dhe fondet e kredisë

në normën e pa rrezik. Ajo supozon se kthimi në aktivit bazë të ndjekin një shpërndarje normale.

Sipas supozimeve të tilla të veçanta, faktori N masave D2 probabiliteti që

thirrje do të përfundojë në-para-dhe të ushtrohet.Faktori N d1 është delta opsion, raporti gardh.

Në përgjithësi, funksioni N d llogarit zonën në të majtë të d nën një kurbë të shpërndarjes

normale me 0 do të thotë dhe mosmarrëveshje 1. Kjo është, ajo llogarit probabilitetin se një

variabël me një shpërndarje normale standarde do të jetë më pak se d.

17.7.1 Shembull

Në shembullin e mëparshëm një tre-hap binom u ndërtua për një çmim telefonatë evropian me të

dhënat e mëposhtme:

• Çmimi themelor kesh S = 300

• Çmimi Ushtrimi E = 250

• Rreziku pa norma r = p.a. 10% (0,1 si një decimal)

• Koha për t maturimit = 0.25 vjet

• Rrezikshmërisë = p.a. 40% (0,4 si një decimal)

Formula Black-Scholes jep vlerën e mëposhtme:

C = [300 × 0.8721] − [250 × e−0.1×0.25 × 0.8255] = 60.36

Në rastin e një ndarje individual nuk është mjaft realiste të supozohet se janë paguar dividentët në një rrjedhë e vazhdueshme. Një qasje e përbashkët është që të përdorin Black-Scholes, por për të zëvendësuar çmimin lokal(apo spot çmimin) me çmimin lokal minus vlerën aktuale të pritshme të dividendëve mbi jetën e opsionit. Këto janë zbritur në normen pa-rrezik.

17.8 SUPOZIMET BLACK-SCHOLES Modeli i bën disa supozime thjeshtësuese rreth botës që kanë një tendencë për të ndaluar në kushtet e tregut ekstreme. Këto përfshijnë si në vijim:

Se kthimi në asetet themelore ndjekë një shpërndarje normale, të lakorës së ziles famshëm. Shumë analistë besojnë se ka një theksuar "bisht negative 'anim(shtrembërim) te ose kthimi aktuale të ekuiteteve, do të thotë se ka një shans më të madhe të humbjeve të mëdha se sa është ndërtuar në formën të lakorës së ziles standarde Asetet tjera të tilla si monedhat mund të shfaqin bishtin pozitive dhe negative.

Se kthimi të të cekurën ndjekë një shëtitje të rastit të vazhdueshme në të cilat lëvizjet e fundit te çmimit nuk ka asnjë lidhje me lëvizjen e ardhshme të çmimeve dhe në të cilat çmimet nuk janë subjekt i ndonje "hedhje" te papriturKjo mund të jetë një supozim realist në një treg normal, por jo në një rrëzim(prishje) të tregut.

Se është e mundur që te mbrohen pozicionet me ane te opsionit“delta hedge(gardhit delta)” me blerjen dhe shitjen të cekurave(aseteve themelore) pa kostot e transaksionit dhe pa kufizime të likuiditetit. Në botën e vërtetë tregtarët perballen me kostot e

15

Page | 15

transakcionit dhe problemet e likuiditetit, dhe nuk do ti rregullojn mbrojtjet e tyre delta(delta hedges) mbi një bazë të vazhdueshme.

Se paqëndrueshmëria e të cekurës është e njohur dhe mbetet konstante gjatë jetës së opsionit. Në rrëzimit(prishje) të tregut, megjithatë, përvoja sugjeron se paniku përcakton qe paqëndrueshmëria mund të rritet ndjeshëm

Në praktikë tregtarët opsion mund të kompensohen për kufizimet e modelit duke rregulluar paqëndrueshmërinë në të cilën ata shesin opsionet. Për shembull, nëse e cekura nuk është pjesërisht e likuide dhe është e vështirë ta shesë do të jetë e vështirë për të menaxhuar riskun në një pozicion opsion shkurtër. Për të kompensuar, tregtari do të rrisë çmimin e opsioneve në mënyrë që paqëndrueshmëria e nënkuptuar është më e madhe se paqëndrueshmëria aktuale historike e të cekurës (ku paqëndrueshmëria nënkuptuar është paqëndrueshmëria supozuar ndërtuar në një premisë aktuale). Përndryshe, tregtarët mund të punojnë me modele më të ndërlikuara të cilat pushojnë supozimet kyçe te modelit Black-Scholes p.sh. duke i lejuar ndryshimet në paqëndrueshmëri.

17.9 KAPITULLI PERMBLEDHJE

Një opsion i modelit të çmimit duhet të përballet(t'i përmbush) kufizimet e caktuara. Një kërkesë Evropiane është me vlerë maksimale prej zero dhe diferenca midis çmimit të çastit(spot) të së cekurës dhe vlerës aktuale të rrënies. Një kërkese amerikane në që nuk paguan dividentët nuk duhet kurrë të ushtrohet në fillim dhe për këtë arsye është me vlerë të njejtë me kerkesen Evropiane. Ndonjehere ka kuptimtë përdoret opsioni Amerikanqë në fillim kështu që mund të jetë me vlerë më të madhe se caktimi i opsionit Evropian. Një nga rezultatet më themelore në opsioneve është caktimi kërkesës së marrëdhënies së pariteti për kontratat Evropiane. Kjo thotë se kombinimi i një kërkesë të gjatë dhe një të shkurtër vënë në një aset të dyja ngecin në çmimin e avancuar dhe mund te prodhojn nje pozicion shumë të avancuar të aseteve. Oferta e madhe dhe kërkesa e vogel mund te prodhojn një pozicion të avancuar por të shkurtër.Pariteti ofertë-kërkesë nuk vlen për opsionin Amerikan.Nje opsion i thjeshtë Europoian i modelit të çmimit mund të konstruktohet duke përdor metodologjin e pemës binomiale.Hapi i parë është të gjenerohet një pemë që paraqet levizjet në asete.Pastaj mund te llogaritet vlera e perceptuar e opsionit(zgjedhjeve) në skadim(perfundim).Duke “punuar mbrapsht(së prapthi)” përgjatë pemës vlera e opsioneve(alternativave) mund te llogaritet.Sa më shumë hapa vendosen në pemë rezultati konvergjon në vleren llogaritur të opsionit me anë të modelit Black-Scholes. Modeli Black-Scholes mund lehtësisht të vendoset në një faqe(spreadsheet) të Excel-it dhe të adaptohet për asetet që paguajn dividentët.Në praktikë supozimet e bëra nga modeli mund të mos funksionojn në mënyrë shumë efektive ne tregjet ekstreme.Tregtarët mund të kompensohen për këtë duke rregulluar paqendrueshmerinë e nënkuptuar në opsionet e çmimit dhe tregtisë. Paqendrueshmeria e nënkuptuar është supozimi i paqendrueshem ndertuar nga një premisë aktuale e opsionit.Bazohet ne parashikimin e ngjarjeve të së ardhmes jo vëtëm në histori.

16

Page | 16

KAPITULLI:MATJA E PAQENDRUESHMERISË HISTORIKE

Në opsione paqendrueshmeria historike e tregut zakonisht matet si devijimi standard në

kthimin e aseteve të cekura përgjatë disa periudhave historike të kohës.Normalisht është e

përvitshme(vjetore).Perqindjet e kthimit llogariten duke marrë logaritmin natyral të

ndryshimit të çmimit në vend se të merret perqindja e thjeshtë e ndryshimit të

çmimit.Funksioni në Excel që llogarit logaritmin natyror të një numri është LN().Është

inversi i funksionit EXP().Përdorimi i logaritmeve natyrore ka konsekuenca shumë të

perdorshme.Për shembull,supzojm se një pjesë është duke u tregtuar me 500 dhe çmimi

rritet në 510.Çmimi relativ është çmimi i ri i pjesës pjestuar nga çmimi i vjetër: 510

500=1.02

Ndersa perqindja e thjesht e ndryshimit të çmimit është:

510

500−1=2 %

Por supozojm që çmimi i shitjes bie perseri ne 500.Perqindja e thjesht e rrenies se çmimit

është: 500

510−1=−1.96%

Problemi është që perqindja e thjeshë nuk mund të mbledhet së bashku.Në qoftë se çmimi i

shitjes fillon në 500 dhe mbaron në 500 atëherë ndryshimi i terësishem në çmimin e shitjes

është aktualisht zero,jo 0.04%.Pra perdorimi i logaritmit natyror e zgjidh këtë problem.

Tabela 17.1 ilustron kalkulimin(llogaritjen) e paqendrueshmerisë historike duke përdor

logaritmet natyrore.Çmimi i aseteve fillon në 500 në ditën zero.Kolona(2) tregon çmimin e

mbylljes aksioneve gjatë 10 ditëve të ardhshme të tregtisë(mbulojn dy javë të kalendarit).

Kolona(3) kalkulon logaritmet natyrore të ndryshimit të çmimit.

Table17.1 Firststagesincalculationofhistoricvolatility

(1) (2) (3) (4) (5)

Day Price Pricechange Deviation Deviation2

0 500 1 508 1.59% 1.37% 0.02% 2 492 −3.20% −3.42% 0.12% 3 498 1.21% 0.99% 0.01% 4 489 −1.82% −2.04% 0.04% 5 502 2.62% 2.41% 0.06% 6 507 0.99% 0.77% 0.01% 7 500 −1.39% −1.61% 0.03% 8 502 0.40% 0.18% 0.00% 9 499 −0.60% −0.82% 0.01%

10 511 2.38% 2.16% 0.05%

Average= 0.22% Sum= 0.33%

17

Page | 17

Për shembull,ndryshimi i perqindjes në çmimin e shitjes në mes te ditës 0 dhe ditës 1

llogaritet si:

508

In=-----------=1.59%

300

Perqindja mesatare ditore e ndryshimit në çmimin e shitjes është 0.22%.Kolona(4) llogarit

nivelin në të cilin perqindja ditore e ndryshimit të çmimit ndryshon nga mesatarja.Për

shembull,1.59% është 1.37% mbi mesataren.Kolona(5) e ngrit ne katror devijimin.

Shembulli i ndryshimit(variances) është një matje statistike e nivelit në të cilën një grup

i observimeve në një shembull divergjon(ndryshon) nga vlera mesatare.Tabela 17.1 ka

10 vrojtime bazuar në ndryshimin në çmimin e shitjes gjatë dy javëve të

kalendarit.Shembulli ndryshimit llogaritet si vijon:

Shuma e Devijimet Squared

grindje 2=-----------------------------------

Numri i Vëzhgimet – 1

Arsyeja e pjestimit me një më pak se numri i vrojtimeve është thjesht që të rregullohen

për faktin se kalkulimi bazohet në shembullin e ndryshimit të çmimit(dhe një

shembulli relativisht të vogel).Paqendrueshmëria definohet si devijimi standard i

kthimit të aksionit.Është rrënja katrore e variances:

Këtu 1.92% është paqendrueshmëria ditore e kthimeve në aksione.Bazohet në

mesataren e perqindjeve ditore në ndryshimin e çmimit pergjatë një serie të ditëve

tregtare.Paqendrueshmëria normalisht shprehet në baza vjetore në opsionet e

tregjeve.Nëse janë 252 ditë të tregtisë në vjet atëherë paqendrueshmëria vjetore është

paqendrueshmëria ditore herë rrënja katrore e 252:

AnnualVolatility=1.92%×√

252=30.4 %

Intiutivisht,”rregulla e rrënjës katrore” që përdoret këtu për përvitësimin e

paqendrueshmëris bazohet në idenë që luhatjet afat shkurtëra në çmime të letrave me

vlerë kanë tendencë të sheshohen në një farë mase gjatë një periudhe më të gjatë

kohore.Paqendrueshmëria vjetore është gjithashtu shum më e vogël se

paqendrueshmëria ditore here numri i ditëve tregtare të vitit.Vërejm se ky mund të jetë

një supozim i arsyeshëm në kushtet normale të tregut kur aksionet ndjekin diqka të

afërt me “ecjen e zakonshme” dhe nuk ekziston asnje lidhje statistike në mes levizjeve

të mëhershme në çmimin e aksioneve dhe levizjeve së ardhshme.Në rrethana ekstreme

të rrëzimit të tregut të aksioneve këto kushte mund të mos aplikohen mirë.