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Zentrale Lernstandserhebungen 2020 Didaktisches Arbeitsblatt – Mathematik Raum und Form - Prismen

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Prismen A) Allgemeine Formen Im Alltag kennst du viele verschiedene Verpackungen.

Sie haben sehr unterschiedliche Formen und Ausführungen.

1.) Sieh dich zu Hause nach zwei verschiedenen Verpackungen um und skizziere sie hier: a)

b)


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2.) Vergleiche die beiden Verpackungen und ihre Skizzen. Betrachte dabei vor allem die Unterschiede und Gemeinsamkeiten in der Form. Farben und Beschriftungen sind jetzt nicht wichtig. Findest du Gemeinsamkeiten?

Unterschiede Gemeinsamkeiten

Viele Verpackungen sehen schon auf den ersten Blick ähnlich aus:

Z. B. Konservendosen, Kartons (meist quaderförmig), Keksdosen, etc.

Worin unterscheiden sich die oben genannten Verpackungen und was haben sie gemeinsam?

Trage in die Tabelle ein:

Verpackung Unterschiede Gemeinsamkeiten

a)

b)

3.) Du hast früher sicher schon einmal einen Würfel aus einem Würfelnetz gebastelt. Auf dem Blatt A1 (auf Seite 16) findest du das Netz eines Würfels. Schneide das Netz aus und klebe anschließend den Würfel zusammen.


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B) Netz eines Prismas Auch für Quader und andere Körper kann man solche Netze erstellen (Abbildung 1). Wenn du aus den Verpackungen Netze erstellen willst, darfst du das nur mit Pappverpackungen tun. Frag vorher deine Eltern, ob sie die Verpackung noch brauchen.

Wenn man den Flächeninhalt dieser Würfelnetze ermittelt hat, hat man den Oberflächeninhalt des Körpers bestimmt.

1.) Aus welchen Figuren (Flächen) besteht das Netz des Quaders? Genau, es besteht aus 6 Rechtecken, von denen jeweils 2 gleich groß sind.

2.) Auf Blatt A2 (auf Seite 18) findest du ein Netz eines Quaders. Schneide es aus und bastle den Quader.

3.) Berechne jetzt den Flächeninhalt des Netzes. Bestimme dazu die entsprechenden Maße. Addiere dann den Flächeninhalt der Rechtecke.

Zur Erinnerung: 𝑨𝑨 = 𝒍𝒍 ∙ 𝒃𝒃

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt von Länge und Breite.

Abbildung 1: Netz einer quaderförmigen Verpackung

Schau dir das Video „Quadernetz“ an.

Schau dir auch das Video „Verpackung Netz“ an.

Schau dir das Video „Fläche Netz“ als Beispiellösung an.


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Vergleiche die verschiedenen Verpackungen miteinander.

Sehr viele Verpackungen besitzen zwei kongruente und parallele Vielecke.

Diese Vielecke sind mit Rechtecken, also geraden Kanten, miteinander verbunden.

Einen solchen Körper nennt man Prisma.

WICHTIGES ZUM LERNEN

Einen Körper, der von zwei zueinander parallelen und kongruenten Vielecken sowie von Rechtecken begrenzt ist, nennt man (gerades) Prisma.

Die beiden zueinander parallelen und kongruenten Vielecke heißen Grundflächen. Die Rechtecke heißen Seitenflächen.

Die Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche des Prismas.

Ist die Grundfläche ein Dreieck (Viereck, Fünfeck, usw.), so nennt man das Prisma dreiseitiges (vierseitiges, fünfseitiges, usw.) Prisma.

Der Abstand der beiden Grundflächen heißt Höhe des Prismas.

Der Quader ist ein besonderes Prisma, da jedes Rechteck als Grundfläche betrachtet werden kann.

Grundfläche G

Merke dir:

Kongruent heißt deckungsgleich. Deckungsgleiche Flächen kann man genau aufeinanderlegen.

Grundfläche G

Grundfläche G

Höhe h

Höhe h

Höhe h

Schau dir das Video „Name Prisma“ an.

Wenn es dir noch nicht ganz klar ist, schau dir nacheinander die Videos „Beschreibung Prisma1“, „Mantelfläche“ und „Höhe“ an.


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C) Oberflächen eines Prismas Um die Oberfläche eines Prismas zu bestimmen, teilt man am besten die Begrenzungsflächen der Prismen in zwei Gruppen ein:

in die Grundflächen und die Seitenflächen.


Die Oberfläche O eines Prismas besteht aus dem Flächeninhalt der Grundfläche G, die zweimal vorkommt (oben und unten), und dem Flächeninhalt der Mantelfläche M, die aus den Seitenflächen gebildet wird.

Zur Berechnung ergibt sich dann folgendes: 𝑶𝑶 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑮𝑮 + 𝑴𝑴

Die Mantelfläche M lässt sich aus dem Umfang der Grundfläche u und der Höhe h des Prismas berechnen: 𝑴𝑴 = 𝒖𝒖 ∙ 𝒉𝒉 Dadurch ergibt sich für die Oberfläche O folgendes: 𝑶𝑶 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑮𝑮 + 𝒖𝒖 ∙ 𝒉𝒉

Merke dir:

Um den Umfang einer Fläche zu berechnen, addiert man die Längen aller Seiten.

Schau dir das Video „Oberfläche“ an


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Aufgabe 1:

Berechne die Oberfläche der folgenden Prismen. Wenn du Hilfe brauchst, sieh dir die Videos noch einmal an

. a) Ein Prisma ist 20 cm hoch; eine Grundfläche ist ein Dreieck.

• Berechne zuerst die Größe der Grundfläche G des Prismas und notiere den

Rechenweg.

• Berechne den Umfang der Grundfläche und notiere den Rechenweg.

• Berechne die Mantelfläche und die komplette Oberfläche des Prismas. Notiere

deinen Rechenweg

𝑨𝑨 =𝟏𝟏𝟐𝟐𝒈𝒈 ∙ 𝒉𝒉

h = 15 cm

g = 15 cm


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b)

Ein Prisma ist 20 cm hoch; eine Grundfläche ist ein Parallelogramm

• Berechne zuerst die Größe der Grundfläche G des Prismas und notiere den

Rechenweg.

• Berechne den Umfang der Grundfläche und notiere den Rechenweg.

• Berechne die Mantelfläche und die komplette Oberfläche des Prismas. Notiere

deinen Rechenweg

𝑨𝑨 = 𝒈𝒈 ∙ 𝒉𝒉

h = 20 cm

g = 35 cm


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Aufgabe 2:

Das Prisma ist 12 cm hoch. Der Umfang einer Grundfläche beträgt 30 cm. Wie groß ist die Mantelfläche? Notiere den Rechenweg.

Aufgabe 3:

a) Wie verändert sich der Inhalt der Oberfläche eines Würfels, wenn man die Kantenlänge von 6 cm auf 12 cm erhöht wird? Notiere immer den Rechenweg. Berechne erst die Oberfläche des Würfels mit 6 cm Kantenlänge.

Berechne dann die Oberfläche des Würfels mit 12 cm Kantenlänge und vergleiche die beiden Ergebnisse.

b) Wie verändert sich der Inhalt der Oberfläche eines Würfels, wenn die Kantenlänge

verdoppelt wird? Notiere zuerst die Formel für die Oberfläche mit einer Kantenlänge a. Notiere dann ebenfalls die Oberfläche für den Würfel mit der Kantenlänge 2a und vereinfache den Term. Vergleiche die beiden Terme.

Zentrale Lernstandserhebungen 2020 Didaktisches Arbeitsblatt – Mathematik Prismen

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Zum Knobeln: Berechne die Oberfläche der Verpackungen, die du am Anfang gefunden hast. Notiere den Rechenweg.


• Kongruent bedeutet deckungsgleich. • Ein Prisma besteht aus zwei kongruenten und parallelen Grundflächen G,

die durch Rechtecke (Seitenflächen) verbunden sind. Der Abstand der beiden Grundflächen ist die Höhe h des Prismas.

• Die Seitenflächen bilden die Mantelfläche M. • Die Oberfläche O besteht aus zwei Grundflächen und der Mantelfläche. 𝑶𝑶 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑮𝑮 + 𝑴𝑴

• Die Mantelfläche M ist das Produkt vom Umfang u der Grundfläche G und der Höhe des Prismas: 𝑴𝑴 = 𝒖𝒖 ∙ 𝒉𝒉

• Für die Oberfläche O gilt: 𝑶𝑶 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑮𝑮 + 𝒖𝒖 ∙ 𝒉𝒉


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D) Volumen eines Prismas Zur Erinnerung:

Du hast schon einmal das Volumen von verschiedenen Quadern berechnet.

Aufgabe 4:

Berechne das Volumen der Prismen und notiere den Rechenweg:

a) b) c) d) Größe der Grundfläche 8 cm2 10,5 dm2 1,5 m2 13 dm2 Höhe des Prismas 10 cm 20 dm 2,5 m 85 cm


Das Volumen V eines Prismas mit der Grundfläche G und der Höhe h kann auf folgende Weise berechnet werden:

𝑽𝑽 = 𝑮𝑮 ∙ 𝒉𝒉


Haben Prismen gleich große Grundflächen und gleiche Höhen, so haben sie auch das gleiche Volumen.

Schau dir dazu die Videos „Beschreibung Volumen“ und „Volumen“ an.

Merke dir:

Sieh dir das Video „Beachte“ an.

𝑽𝑽 = 𝒍𝒍 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉


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Aufgabe 5:

Berechne das Volumen der dreiseitigen Prismen und notiere den Rechenweg:

a) b) c) Länge der Grundseite 8 cm 10,5 dm 1,5 m Höhe der Grundfläche 5 cm 9 dm 2 m Höhe des Prismas 10 cm 20 dm 2,5 m

Berechne zuerst die Grundfläche des Prismas und danach das Volumen.


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Aufgabe 6:

Berechne die fehlenden Größen in der Tabelle:

a) b) c) d)

Umfang der Grundfläche 30 cm 50 dm 18 cm

Höhe des Prismas 10 cm 5 cm 7 cm

Volumen 140 cm3

Grundfläche 18 cm2 80 dm2

Mantelfläche 100 cm2 400 dm2

Oberfläche 150 cm2

Notiere den Rechenweg.


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Aufgabe 7:

Bei der Gestaltung der Terrasse möchte Familie Müller selbst Blumenkübel aus Blech herstellen. Um für etwas Abwechslung zu sorgen, sollen verschiedene Modelle entstehen. Die Körper sind oben offen und haben einen Boden.

a) Wie viel Liter fasst der Körper? Wie viel Blech benötigt man für die Herstellung? Notiere immer den Rechenweg.

50 cm 60 cm

20 cm

Wie viele cm3 ergeben einen Liter?

Der Blechbedarf entspricht der Oberfläche.

1000 cm3 = 1 Liter


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b) Wie viel Liter fasst der Körper?

Wie viel Blech benötigt man für die Herstellung? Notiere immer den Rechenweg und gib alle Maße in cm an.


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c) Wie viel Liter fasst der Körper?

Wie viel Blech benötigt man für die Herstellung? Notiere immer den Rechenweg und gib alle Maße in cm an.

60 60

52

60

20


Das Volumen V eines Prismas ergibt sich aus dem Produkt der Grundfläche G und der Höhe h des Prismas.

Man berechnet das Volumen mit folgender Formel: 𝑽𝑽 = 𝑮𝑮 ∙ 𝒉𝒉 Sind die Grundflächen und die Höhen zweier Prismen gleich groß, so ist auch das Volumen der beiden Prismen gleich


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Blatt A1:

Schneide das Netz aus und falte die Kanten. Die Trapeze sind Klebelaschen, mit deren Hilfe du den Würfel zusammenkleben kannst.


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Blatt A2:

Schneide das Netz aus und falte die Kanten. Die Trapeze sind Klebelaschen, mit deren Hilfe du den Quader zusammenkleben kannst.

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