XVII OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA WARSZTAT PRACY PROJEKTANTA KONSTRUKCJIUstroń, 20 ÷ 23 lutego 2002 r.

Kazimierz Flaga

ZBROJENIE PRZECIWSKURCZOWE, OBLICZENIA,ZALECENIA KONSTRUKCYJNE W BUDOWNICTWIE

POWSZECHNYM

1. Uwagi ogólne

Problemy skurczu betonu, jego wpływ na pracę statyczno-wytrzymałościową konstrukcjiz betonu oraz na konieczne zbrojenie przeciwskurczowe w strefach przypowierzchniowychelementów z betonu traktowane są przez kolejne polskie normy do obliczania konstrukcjibetonowych, żelbetowych i sprężonych - zupełnie marginalnie. Nic też dziwnego, że wiele ztych elementów czy też konstrukcji ulega nieprzewidzianemu zarysowaniu, mimo żeprojektant spełnił - w swoim przeświadczeniu - wszystkie wymagania polskich norm.

Autor spotkał się z tym problemem wielokrotnie przy ekspertyzach czy też ocenach stanutechnicznego konstrukcji z betonu, dochodząc do wniosku, że:a) sposób nauczania tych problemów na polskich uczelniach technicznych jest

niewystarczający,b) projektanci, za przykładem polskich norm przedkładają wzory i procedury obliczeniowe

nad fizyczne uwarunkowania pracy zaprojektowanych przez nich konstrukcji.W odniesieniu do zagadnienia a) często uważa się, że problem skurczu betonu jest

zagadnieniem technologicznym i jako takie nie powinno być szerzej rozpatrywane przezwysokiej klasy specjalistów od obliczeń, lubiących czyste schematy obciążeniowe,materiałowe i obliczeniowe.

W zagadnieniu b) chodzi najczęściej o niewiedzę z zakresu oddziaływania środowiska nabeton, ciągłej wymiany masy i ciepła z otoczeniem, istnienia wewnątrz betonuniestacjonarnych i nieliniowych pól wilgotności i temperatury, generujących w przekrojachznaczne naprężenia własne. Wymiary przekrojów, cechy wytrzymałościowe materiałów,obciążenia są widoczne, a przynajmniej można je sobie wyobrazić. Natomiast wymianamasy czy ciepła, pola termiczne i wilgotnościowe, a także naprężenia własne sąniewidoczne, wręcz abstrakcyjne, i wyobrażenie ich sobie wymaga odpowiedniegoprzygotowania z zakresu chemii fizycznej i fizyki ciał koloidalno - kapilarno - porowatych,którego najczęściej absolwent wydziałów budownictwa polskich politechnik nie posiada.

Efekty tego stanu rzeczy przejawiają się często w niedostatecznej jakości elementów ikonstrukcji z betonu, która rzutuje na ich trwałość, zwłaszcza w skażonym czy agresywnymśrodowisku.

2 Przegląd polskich norm do obliczania konstrukcji z betonu w aspekcieuwzględniania skurczu betonu

2.1 PN-56/B-03260 „Konstrukcje żelbetowe. Obliczenia statyczne iprojektowanie” [1]

W p. 6.2. „Temperatura i skurcz betonu” podano w 6.2.1, że: „Zabezpieczeniebudynków od ujemnego wpływu sił wywoływanego przez skurcz betonu i temperaturę możenastąpić albo przez wykonanie odpowiednich przerw dylatacyjnych lub przez uwzględnieniewpływu skurczu i temperatury w obliczeniu statycznym, albo wreszcie przez zastosowanieobu sposobów jednocześnie”, zaś w 6.2.4., że: „Wpływ skurczu należy uważać zarównoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC w zwykłych i o 20 oC w lekkichbetonach”.

W p. 5.4.5.3.podano wymóg: „W belkach wyższych niż 1 m należy zaprojektowaćwkładki przy powierzchniach bocznych o średnicy d ≥ 8 mm, w odstępach nie większych niż50 cm”.

2.2 PN-66/B-03320 „Konstrukcje z betonu sprężonego” [2]

W p. 4.3.3. „Pełzanie i skurcz betonu (metoda bardziej dokładna)” podano tablicę 2.1.pt. „Wartości odkształcenia jednostkowego ε sk w zależności od pielęgnacji betonu i wiekubetonu”, jak niżej:

Tablica 2.1 Wartości odkształcenia jednostkowego skε w zależności od pielęgnacjibetonu i wieku betonu

Odkształcenie jednostkowe skurczowe skε wzależności od pielęgnacji betonu wykonanego przy

użyciu cementu portlandzkiego

Wiek betonuw chwilisprężeniaw dobach

Orientacyjny stosunekwytrzymałości betonu do

wytrzymałości wymaganej

28RRd beton przechowywany w

powietrzuo wilgotności względnej do

35 % (powietrze suche)

beton przechowywany wpowietrzu o wilgotności

względnej do 70 %(powietrze wilgotne)

7142890

0,750,901,001,25

0,000320,000300,000260,00018

0,000260,000240,000200,00014

Dalej podano w tym punkcie, że: „W przypadku naparzania betonu można przyjąćwartości odkształcenia jednostkowego skurczowego ε sk ... jak dla betonu o pełnejwytrzymałości”.

W p. 10.2.6.2. występuje wymóg: „Pręty przeciwskurczowe i montażowe w kierunkupodłużnym belek i płyt należy przyjmować o średnicy co najmniej 4,5 mm w takiej liczbie,aby ich łączny przekrój był równy co najmniej 0,2 % przekroju betonu i odstęp międzyprętami nie przekraczał 33 cm. Zbrojenie podłużne można uwzględnić w obliczeniachwytrzymałości, zarówno na ściskanie, jak i na rozciąganie”.

2.3 PN-76/B-03264 „Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczeniastatyczne i projektowanie” [3]

W p. 2.2.2. „Odkształcenia skurczowe” podano, że: „Wartości odkształceń skurczowychεs betonu na jednostkę długości należy przyjmować:

- w konstrukcjach betonowych ε s = 0,0003,- w konstrukcjach żelbetowych ε s = 0,0002,- w konstrukcjach sprężonych - odpowiednio do wieku betonu w chwili sprężenia i wilgotności środowiska - zgodnie z tabl. 2.2, jak niżej:

Tablica 2.2 Wartości odkształceń skurczowych sε

Środowisko (wilgotność względna)Wiek betonu w chwilisprężenia w dobach suche

(< 40 %)zwykłe

(40-70 %)wilgotne(> 70 %)

7142890

0,000320,000280,000240,00017

0,000260,000230,000200,00014

0,000190,000170,000150,00010

Dalej podano, że: „W przypadku przyspieszenia twardnienia betonu przez naparzanie,skurcz betonu należy przyjmować jak dla elementów sprężonych po 14 dniach twardnienia.Dla konstrukcji znajdujących się w wodzie skurcz betonu ε s = 0”.

W p. 6.1.1. zalecono sprawdzenie elementów żelbetowych osiowo i mimośrodoworozciąganych 1 kategorii rysoodporności na możliwość pojawienia się rys prostopadłych doosi elementu, z warunku:

fpfp

bsbzk

We

F

RN

+

−≤1

σ(2.1)

gdzie: bsσ oznacza naprężenie na sprawdzanej krawędzi przekroju wywołane skurczembetonu (wartość bezwzględna). Wartości bsσ dla przekroju symetrycznego, symetryczniezbrojonego należy obliczać wg wzoru:

µ

εσ

n

Ebsbs 11+= (2.2)

Wzór na bsσ nie uwzględniał relaksacji naprężeń skurczowych wywołanych pełzaniembetonu, stąd b. często zachodziło, iż bsσ > Rbzk i siła rysująca wychodziła ujemna.

W p. 9.2.1.7. wprowadzono wymóg: „W belkach żelbetowych oraz w belkachsprężonych 3 kategorii rysoodporności, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa od70 cm - przy powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne wrozstawie nie większym niż 40 cm. Sumaryczny przekrój tych prętów powinien być niemniejszy niż 0,1 % przekroju poprzecznego belki”.

W p. 9.5.1. „Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu”postanowiono, że: „Wpływ skurczu w konstrukcjach żelbetowych można przyjmować zarównoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC”.

2.4 PN-84/B-03264 „Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczeniastatyczne i projektowanie” [4]

W p. 2.2.2. „Odkształcenia skurczowe” podtrzymano ustalenia normy z 1976 r. zwyjątkiem wartości sε dla konstrukcji żelbetowych, które można było przyjmować na

poziomie sε = 0,00015. Ponadto w tablicy 2.2 dotyczącej wartości jednostkowego

odkształcenia skurczowego sε w konstrukcjach sprężonych zmieniono granicę wilgotnościwzględnej środowiska z 70 % na 75 %.

W p. 6.1. przy sprawdzaniu stanu granicznego pojawienia się rys w elementachrozciąganych przyjęto we wzorze (1) wartość bsσ = 0, tzn. nie uwzględniono zmniejszeniasię siły rysującej w wyniku naprężeń rozciągających, wymuszonych w przekroju przez opórwkładek zbrojeniowych.

W p. 9.2.1.5. zapisano, że: „W belkach żelbetowych i sprężonych 3 kategoriirysoodporności, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa niż 0,7 m, przypowierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne o średnicy niemniejszej niż 8 mm w rozstawie nie większym niż 0,4 m”.

W p. 9.5.1. „Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu”postanowiono jak w normie z 1976 r.

2.5 PN-91/S-10042 „Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe isprężone. Projektowanie” [5]

W roku 1991 ukazała się norma do projektowania betonowych konstrukcji mostowych,bazująca na FIP Recommendations opartych na CEB-FIP Model Code (MC 78) z czerwca1982 r., normie DIN 1045 z 1988 r., normie SIA 162 E z 1989 r. i normie BS 5400 z 1984 r.Wprowadziła ona do polskiego mostownictwa szereg zmian i uściśleń w stosunku dopoprzedniej normy mostowej PN-58/B-03261.

W zakresie skurczu betonu postanawia ona w p. 3.6.1., że „wartości jednostkoweodkształcenia skurczu soε należy przyjmować odpowiednio do wieku betonu w chwilizmiany obciążenia (sprężenia) i wilgotności środowiska, w którym znajduje się konstrukcjapo tym obciążeniu (sprężeniu). Jeśli nie ma innych udokumentowanych źródeł wartośćodkształcenia skurczu soε należy przyjmować wg tablicy 2.3, jak niżej:

Tablica 2.3 Wartości odkształceń skurczu betonu zwykłego, soε , ‰

Grubość zastępcza me , mm150 600 150 600

Wilgotność względna %

Wiek betonu wchwili obciążenia

dni50 80

72890

0,430,320,19

0,310,300,28

0,260,230,16

0,210,210,20

„Podane w tablicy 2.3 wartości odkształceń skurczu .......... dotyczą typowych warunkówtechnologicznych i normalnych warunków dojrzewania dla określonych zakresówwilgotności i grubości zastępczej. Wartości grubości zastępczej me należy obliczać wgwzoru:

uA

e bm

2= (2.3)

w którym:bA - pole przekroju betonu,

u - obwód pola przekroju betonu, stykającego się z powietrzem, przynajmniejokresowo.

Dla betonów znajdujących się stale pod wodą należy przyjmować soε = 0. W przypadku

stosowania przyspieszonego dojrzewania betonu przez podgrzewanie wartość soε należyprzyjmować jak dla betonu obciążonego po 7 dniach twardnienia”.

Norma podaje również sposób uwzględnienia wpływu składu mieszanki betonu, ilościzbrojenia i czasu obciążenia na wartość odkształcenia soε .

W p. 12.4.9. „Minimalny procent zbrojenia w strefie rozciąganej ze względu narozwarcie rys” norma stanowi, że: „Dodatkowe zbrojenie przypowierzchniowe(przeciwskurczowe) należy stosować do wszystkich powierzchni zewnętrznych i narażonychna wpływy atmosferyczne. Ilość zbrojenia przypowierzchniowego siatkowego powinnaodpowiadać co najmniej 0,3 % objętości betonu strefy współpracującej, w obu kierunkach.Ilość ta obejmuje łączne zbrojenie przypowierzchniowe przy obu przeciwległychkrawędziach przekroju poprzecznego elementu, stanowiące po 50 % każde”.

„Rolę tego zbrojenia mogą pełnić siatki zbrojenia głównego i rozdzielczego, dodatkowesiatki przeciwskurczowe (np. przy powierzchniach zewnętrznych filarów i przyczółkówbetonowych) lub kombinacja strzemion i podłużnych prętów przeciwskurczowych (przypowierzchniach zewnętrznych belek)”.

„Przy wysokich belkach zaleca się stopniowanie podłużnych prętów umieszczonych przyobu powierzchniach bocznych - gęściej od strony rozciąganych prętów głównych”.

„Dla części przekroju elementu masywnego o najmniejszym wymiarze co najmniej400 mm należy określić taką ilość zbrojenia przypowierzchniowego jak dla przekrojuskrzynkowego o ściankach 200 mm grubości. Ilość tę należy umieścić w rozpatrywanejczęści elementu masywnego”.

„Pręty zbrojenia siatkowego powinny być ułożone ortogonalnie i równomiernie. Jeśli niewystępuje zagrożenie skurczu (zarysowania skurczowego) należy zmniejszyć ilość zbrojeniaprzypowierzchniowego do 60 % ilości minimalnych”.

Jak z powyższego wynika norma mostowa PN-91/S-10042 po raz pierwszy w Polscewprowadziła obowiązek stosowania zbrojenia przypowierzchniowego (przeciw-skurczowego) do wszystkich betonowych powierzchni zewnętrznych i narażonych nawpływy atmosferyczne.

2.6 PrPN-B-03264 „Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczeniastatyczne i projektowanie” [6]

Jest to najnowszy projekt normy PN-B-03264 będący nowelizacją PN-B-03264:1999,uwzględniający kolejne uściślenia Eurocodu 2.

W projekcie tym, w p. 2.2.3. „Pełzanie i skurcz betonu” zapisano, że: „Wartościkońcowego ....... odkształcenia skurczowego εcs (∞, ts) – podano w tablicy 2.4”, jak niżej:

Tablica 2.4 Końcowe odkształcenie skurczowe ( )scs t,∞ε (‰)

Miarodajny wymiar oh = uAc2(mm)Miejsce elementu

Wilgotność względnaRH (%)

≤ 150 600wewnątrz 50 0,60 0,50

na zewnątrz 80 0,33 0,28

„W tablicy - Ac oznacza pole przekroju elementu, u obwód tego pola. Dla wartościpośrednich dopuszcza się interpolację liniową. Wartości ..... odkształceń skurczowychεcs (t, ts) w rozważanej chwili t - określać można wg załącznika B”. W załączniku B(informacyjnym) podano sposób obliczania εcs (t, ts) wg ENV 1992-1-1:1991.

Punkt 6.2. projektu normy „Nominalne pole przekroju zbrojenia” podaje zasadęobliczania minimalnego pola As przekroju zbrojenia rozciąganego, wymaganego z uwagi naograniczenie szerokości rys spowodowanych naprężeniami wywołanymi przez odkształceniawymuszone przyczynami wewnętrznymi (skurcz) lub zewnętrznymi (osiadanie podpór).Punkt ten wiąże się pośrednio z problemem zbrojenia przeciwskurczowego i będzieomówiony w dalszej części niniejszej pracy.

Punkt 8.1.7. projektu normy poświęcony jest zbrojeniu przypowierzchniowemu. Nie maw nim jednak wzmianki o tym, że zbrojenie przypowierzchniowe może być takżezbrojeniem przeciwskurczowym. Punkt dotyczy zbrojenia przypowierzchniowego mającegona celu ograniczenie szerokości rys w belkach o wysokości większej niż 1 m oraz zbrojeniaprzypowierzchniowego przeciwdziałającego odłupywaniu się otuliny betonu w belkachzbrojonych wiązkami prętów lub prętami o średnicy większej niż 25 mm.

W p. 9.3.1.5. „Zbrojenie belek” jest wymóg: „W belkach żelbetowych i sprężonych, wktórych dopuszcza się zarysowanie, jeżeli wysokość przekroju belki jest większa niż700 mm, przy powierzchniach bocznych należy umieszczać podłużne pręty konstrukcyjne ośrednicy nie mniejszej niż 8 mm w rozstawie nie większym niż 350 mm”.

W p. 9.7.1. „Odkształcenia konstrukcji od wpływu temperatury i skurczu betonu”powtórzono za poprzednimi normami zapis, że: „Wpływ skurczu w konstrukcjachżelbetowych można przyjmować za równoważny z obniżeniem się temperatury o 15 oC”.

2.7. Podsumowanie

Jak wynika z powyższych zestawień polskich norm z lat 1956-2001 do projektowaniakonstrukcji z betonu, w zakresie zagadnień związanych ze skurczem betonu, wpływemskurczu na wartości sił wewnętrznych, zbrojeniem przeciwskurczowym - dochodziło naprzestrzeni lat do kolejnych uściśleń, ale niewystarczających. Problemy te wymagająszerszego naświetlenia.

3. Skurcz betonu wg Eurokodu-2

Chcąc poczynić dalsze rozważania związane ze zbrojeniem przeciwskurczowym wkonstrukcjach betonowych w budownictwie powszechnym, należy przede wszystkim dośćprecyzyjnie określić wartość skurczu betonu w tych konstrukcjach.

W roku 1991 ukazała się pierwsza wersja Eurokodu 2: „Projektowanie konstrukcji zbetonu - Część 1: Reguły generalne i reguły dla budynków”, opracowana przez EuropeanCommittee for Standarisation (CEN) i oznaczona jako ENV-1992-1-1: 1991. Dość szybkobo już w 1992 r. Instytut Techniki Budowlanej w Warszawie wydał „Wersję polskąENV 1992-1-1: 1991” [7] zaś w 1993 r., - „Postanowienia Krajowe do ENV 1992-1-1: 1991” [8]. Oba te dokumenty stały się podstawą do prac nad znowelizowaniem PN-84/B-03264 w duchu zaleceń europejskich, co związane było integralnie z dążeniami Polski dowejścia w skład Unii Europejskiej.

W rezultacie w roku 1994 powstała pierwsza wersja znowelizowanej normy pod nazwąPrPN-B-03264, która ostatecznie została wdrożona w roku 1999 jako PN-B-03264:1999 [9].

Równolegle Zespół Autorski pod patronatem Sekcji Konstrukcji Betonowych KILiWPAN opracował w 1997 roku 3. tomowe dzieło pt. „Podstawy projektowania konstrukcjiżelbetowych i sprężonych według Eurokodu 2” [10], w ramach uzyskanego z KBN grantu.Dzieło to miało stanowić komentarz do zmian wprowadzonych w PN-B-03264:1999.

Niestety w ostatnich 2. latach doszło do znacznego przyśpieszenia prac związanych zprzekształceniem Eurokodu 2 (ENV 1992) w normę europejską EN 1992 tak, iż w czerwcu1999 r. ukazał się pierwszy Draft EN 1992-1 (1st draft) [11] wprowadzający zmiany doustaleń ENV 1992-1-1:1991. W ślad za tym PKN opracował kolejną nowelizację normy PN-B-03264:1999 pod nazwą PrPN-B-03264 [6], która jednakże nie może być wersjąostateczną, bo w październiku 2001 r. pojawił się Draft EN 1992-1-1-1:2001 [12],wprowadzający dalsze zmiany.

Zmiany następują tak szybko, że trudno przedstawić stałą podstawę do dalszychrozważań. Rozwiązania zaprezentowane przez ENV 1992-1-1-1:1991 zostały w polskiejliteraturze technicznej dokładnie przedyskutowane i wydaje się, że mogą one stanowićpodstawę do dalszej dyskusji, usankcjonowaną normą PN -B-03264:1999.

Zatem według ENV 1992-1-1-1:1991 [10], odkształcenia skurczu zależą od składubetonu (przede wszystkim od rodzaju i zawartości cementu w 1 m3 betonu oraz od wartościwspółczynnika wodno-cementowego W/C, klasy wytrzymałości, wieku, wilgotnościśrodowiska oraz wymiarów elementu.

Odkształcenia spowodowane przez skurcz i pęcznienie betonu zwykłego klas C12/15 doC 50/60 (wg normy PN-B-03264: 1999 - klas B15 do B60) wystawionego na oddziaływanieśredniej wilgotności względnej RH w przedziale od 40% do 100% i średniej temperatury Tw przedziale od 10o C do 20o C, można obliczać ze wzoru:

( ) ( )sscsoscs tttt −= βεε , (3.1)w którym:

csoε - podstawowe odkształcenie skurczowe,

sβ - współczynnik określający postęp skurczu, t - wiek betonu w rozważanej chwili, w dniach,

st , - wiek betonu na początku rozpatrywanego procesu skurczu lub pęcznienia,w dniach.

Podstawowe odkształcenie skurczowe można wyznaczyć ze wzoru:

( ) RHβεε cmscso f= (3.2)w którym:

( ) ( )[ ] 61090160 −−+= cmsccms ff βε (3.3)

( )cms fε - współczynnik skurczu zależny od średniej wytrzymałości betonu po 28 dniach cmf (MPa),

−=

ści wytrzymao wysokiejcementówących twardniejszybko dla - 8ących twardniejszybko izwykych cementów dla - 5

ących twardniej wolnocementów dla4

scβ

≥+≤≤

= wodzie) wwanie(przechowy % 99 RH dla 0,25

powietrzu) na wanie(przechowy % 99 RH % 40 dla 1,55 - sRHRH

ββ

W powyższych danych RHsβ oznacza współczynnik określony wzorem:

( )3RH RH/1001−=sβ (3.4)

a RH - względną wilgotność (w %) otaczającego beton powietrza.Współczynnik ( )ss tt −β we wzorze (3.1), opisujący postęp skurczu w czasie, można

wyznaczyć z zależności:

( )5,0

2035,0

−+−

=−so

sss tth

ttttβ (3.5)

w którym: oh oznacza miarodajny wymiar elementu, w mm, równy:

uA

h co

2=

(3.6)

We wzorze (3.6):cA - powierzchnia przekroju poprzecznego elementu,

u - obwód przekroju wystawiony na działanie powietrza (czyli na wymianęwilgoci zawartej w betonie, z otoczeniem).

Jak stwierdza się w [13], powyższy sposób obliczania wartości skurczu stosuje się wtedy,gdy konieczne jest dokładne oszacowanie zmian skurczu w czasie, np. przy wyznaczaniuefektów odkształceń reologicznych betonu.Średni wskaźnik zmienności wyników powyższej prognozy dotyczącej skurczu, oceniony

na podstawie skomputeryzowanego banku danych z wyników badań laboratoryjnych, jestrzędu 35 %.

Dokładność przyjętych metod obliczania wpływu skurczu (i pełzania) betonu powinnaodpowiadać wiarygodności danych, opisujących te zjawiska i znaczeniu ich wpływu narozważany stan graniczny. Zgodnie z EC2 efekty skurczu (i pełzania) betonu należy wzasadzie uwzględniać tylko dla stanów granicznych użytkowalności oraz przy obliczaniuefektów drugiego rzędu w stanach granicznych nośności, spowodowanych odkształceniamikonstrukcji. Konieczne jest ponadto uwzględnienie wpływu pełzania w wypadku, kiedymoże ono w sposób znaczący obniżać stateczność konstrukcji.

Jeżeli nie wymaga się dużej dokładności oceny to można za końcowe wartościodkształceń skurczowych ∞csε betonu zwykłego przyjąć dane zawarte w tabl. 3.1.

Tablica 3.1 Końcowe wartości odkształceń skurczowych ∞csε (‰)

Wilgotnośćwzględna

Miarodajny wymiar elementu)(2 mmuAh co =

Miejsceelementu

RH (%) ≤ 150 600wewnątrz 30 -0,60 -0,50

na zewnątrz 80 -0,33 -0,28

Wartości podane w tabl. 3.1 dotyczą średniej temperatury betonu w przedziale 10 oC do20 oC, co pozwala przyjąć, że uwzględniają one wahania temperatury w ciągu roku wgranicach od -10 oC do + 40 oC. Można je stosować przy zmianach wilgotności względnejpowietrza od RH = 20 % do RH = 100 %. Dla wartości pośrednich RH i oh dopuszcza sięinterpolację liniową.

Wartości ∞csε w tabl. 3.1 zostały określone dla betonu o konsystencji plastycznej klasS2 i S3 (zgodnie z p. 7.2.1 ENV 206). Dla betonu o konsystencji wilgotnej S1 wartości tenależy pomnożyć przez współczynnik 0,70, a dla konsystencji półciekłej S4 - przez 1,20.

W przypadku betonów z superplastyfikatorami wartości skurczu ∞csε w tabl. 3.1 odnosząsię do konsystencji mieszanki przed dodaniem superplastyfikatorów.

Metoda obliczania odkształceń skurczowych betonu przedstawiona w EC2 jestzaczerpnięta z CEB-FIP M.C.1990 [13]. Przy wskaźniku zmienności wynoszącym ν = 35 %,dolne i górne wartości odkształceń skurczowych mogą się znacznie różnić od obliczonychzgodnie z EC2, wartości średnich. I tak, kwantyle 5 i 10 % oraz 90 i 95 % zmiennychlosowych ( )scs tt,ε wynoszą:

05,0csε = 0,42 csε , 10,0csε = 0,55 csε ,

95,0csε = 1,58 csε , 90,0csε = 1,45 csε .

Co się tyczy wartości st we wzorze (3.1), to CEB-FIP M.C.1990 [13] podaje tylkoinformację, że dla st < 14 dni przy dojrzewaniu w normalnej temperaturze, wpływ skurczuna dodatkowe naprężenia i odkształcenia (duża wilgotność elementów, bardzo często jeszczezadeskowanych) jest mało istotny.

Na rys. 3.1 przedstawiono wykresy zależności współczynnika postępu skurczu w czasie( )ss tt −β w funkcji miarodajnego wymiaru elementu oh , sporządzone na podstawie

wzorów (3.5) i (3.6).

Rys.3.1. Funkcje ( )ss tt −β przy różnych wartościach oh [14]

Wynika z nich wyraźnie, że skurcz rozwija się zupełnie inaczej w elementach o małej( oh = 50 mm), średniej ( oh = 200 mm) i dużej masywności ( oh = 800 mm). Zjawisko tojest związane głównie z szybkością odparowania nadmiaru wody zarobowej, znajdującej sięwe wnętrzu elementu betonowego. W elementach o oh = 800 mm średni skurcz betonupo 70 latach osiąga poziom skurczu 4-letniego dla elementów o oh = 200 mm i3,5 miesięcznego dla elementów o oh = 50 mm.

W literaturze technicznej można znaleźć wiele metod obliczania odkształceńskurczowych ( )scs tt,ε . Wśród nich wyróżnić można [15] metodę CEP-FIP M.C. 1978 iDIN-4227, metody Bažanta i Panuli ("BaP - Model") oraz przyjętą w EC2 metodę CEB-FIP M.C. 1990. W metodach tych wyraźnie rozdzielono zależność odkształceniaskurczowego od takich czynników jak wytrzymałość, konsystencja, rodzaj cementu,wskaźnik C/W, współczynnik dyfuzji, względna wilgotności środowiska RH i miarodajnywymiar elementu oh .

Na rys. 3.2. i 3.3 podano za H. Raszką [15] porównanie wyników obliczeń odkształceńskurczowych csε wg powyższych trzech metod dla betonu o ckf = 20 MPa i konsystencjigęstoplastycznej, dla trzech wartości oh = 50 mm (krzywe "a"), 200 mm (krzywe "b") i800 mm (krzywe "c"), dwóch wartości RH = 40 % (rys. 3.2) i RH = 80 % (rys. 3.3) oraz

temperatury środowiska T = 20 oC. Cyframi oznaczono: 1 - wartości wg "Model Code1978", 2 - wg "BaP-Model", 3 - wg "Model Code 1990" oraz 4 - wg PN-84/B-03264 [4] dlakonstrukcji sprężonych.

Rys.3.2. Odkształcenia skurczowe ( )scs tt,ε przy RH = 40 %

Wykresy na rys. 3.2 i 3.3 wyraźnie wskazują na:- duże różnice w ocenie skurczu, zależne od zastosowanej teorii,- silną zależność skurczu od wilgotności środowiska RH i sprowadzonego wymiaru

elementu oh ,- znaczne różnice pomiędzy wartościami ( )scs tt,ε przyjmowanymi w PN [4], a

wartościami wynikającymi z przeanalizowanych metod.W polskich normach [3, 4] nie uwzględniano wpływu masywności elementu na skurcz

betonu. Stąd, przy RH = 40 %, dość dobra zgodność z wartościami EC2 dla oh = 200 mm i( )stt − = 0 ÷ 400 dni. Dla ( )stt − = 70 lat niedoszacowanie ( )scs tt,ε przez polskie normywynosi już około 40 %. Przy RH = 80 % występuje dość dobra zgodność z wartościami EC2dla oh ≅ 100 mm i ( )stt − = 0 ÷ 400 dni, a dla ( )stt − = 70 lat niedoszacowanie skurczuwynosi około 20 %.

Rys.3.3. Odkształcenia skurczowe ( )scs tt,ε przy RH = 80 %

Z powyższego wynika, że przy adaptacji EC2 dla warunków polskich, zagadnienieodkształceń skurczowych powinno być potraktowane z dużo większą uwagą niż to czynionodotychczas. Dotyczy to zwłaszcza tych przypadków, gdy odkształcenia skurczowe mająznaczny wpływ na siły wewnętrzne w konstrukcji (np. w ustrojach statycznieniewyznaczalnych i w konstrukcjach sprężonych).

Należy również zwrócić uwagę na wartości odkształceń skurczowych zalecane przezdawne PN dla konstrukcji betonowych ( csε = 0,0003 [3, 4]) oraz konstrukcji żelbetowych

( csε = 0,0002 [3] i csε = 0,00015 [4]).Po pierwsze, w świetle powyższych wywodów wartość csε zależy silnie od wymiaru

oh elementu i wilgotności RH środowiska. Po drugie, nie powinno się podawać obniżonychwartości csε dla żelbetu, bez żadnego komentarza. Beton w konstrukcjach betonowych iżelbetowych ma ten sam skurcz swobodny csε .

W żelbecie skurcz ten jest hamowany przez opór wkładek zbrojeniowych, a więc wbadaniach obserwuje się wartości RC

csε mniejsze niż csε . Te dwie wielkości powinny się

różnić oznaczeniami.Przybliżona zależność pomiędzy RC

csε a csε , wyprowadzona przez autora w pracy [16]dla elementu pryzmatycznego o przekroju symetrycznym, symetrycznie zbrojonym, mapostać:

( ) 33RC 1 kcscs αεε −= (3.7)

gdzie:

( ) 2121

3 ,,1

ρρµµµ

α +=+

==+

=c

sso

scm

so

oo

oo

AAA

tEE

nn

n

k3 - współczynnik relaksacji naprężeń skurczowych w wyniku pełzania betonu;dla zmodyfikowanej teorii starzenia jest [17]:

( )otΦk

,11

33 ∞+=

αβ(3.8)

Ecm (ts)- moduł sprężystości betonu na rozciąganie w momencie rozpoczęcia zjawiskaskurczu; można przyjąć Ecm (ts) = Ecm,

β - funkcja starzenia; dla obciążenia skurczem β ≅ 0,8,Φ (∞, to) - współczynnik pełzania.

Na przykład (Przykład I), dla belki o przekroju 300/600 mm ( oh = 200 mm), ρ1 = ρ2 =

0,01 (µo = 0,02), 9,60,29

200 ==on (beton klasy B20), β ≅ 0,8, Φ (∞, to) = 2,4 (jak dla

obciążenia przyłożonego po 28 dniach przy RH = 50 %), otrzymuje się:

811,04,2121,08,01

1;121,09,602,01

9,602,033 =

⋅⋅+==

⋅+⋅= kα

( ) cscsRCcs εεε 713,0811,0121,01 =−=

czyli np. dla csε = - 0,00030 → RCcsε = - 0,000214.

Różnica w wartościach skurczu RCcsε i csε wywołuje wymuszone naprężenia ściskające

w stali ssσ i rozciągające w betonie csσ .Dla wyżej rozpatrzonego przekroju symetrycznego, symetrycznie zbrojonego:

( ) 331 kEscsss αεσ −= (3.9)

33kEcmcscs αεσ −= (3.10)

co dla csε = - 0,00030, Ecm = 29,0 GPa, sE = 200 GPa, 3α = 0,121, 3k = 0,811 dajewartości ssσ = - 42,8 MPa (ściskanie) i csσ = 0,85 MPa (rozciąganie).

Naprężenie csσ = 0,85 MPa = 0,39 mctf = 0,57 ctkf jest naprężeniem znaczącym,obniżającym siłę rysującą przekrój i powinno być w analizie stanów granicznychużytkowalności uwzględnione.

4. Zmiany w ocenie wielkości skurczu betonu wprowadzoneprzez Draft EN 1992-1-1:2001 [12]

Całkowite odkształcenie skurczowe εcs składa się z dwóch składników, odkształceniaskurczowego na skutek wysychania εcd i samoczynnego odkształcenia skurczowego caε .Odkształcenie skurczowe na skutek wysychania rozwija się powoli, ponieważ jest funkcjąmigracji wody przez twardniejący beton. Samoczynne odkształcenie skurczowe rozwija się

podczas twardnienia betonu: ważna jego część narasta we wczesnym okresie pozaformowaniu. Skurcz samoczynny jest liniową funkcją wytrzymałości betonu. Powinien onbyć brany pod uwagę gdy nowy beton jest formowany w zetknięciu z betonem stwardniałym.

Wartości całkowitego odkształcenia skurczowego εcs obliczamy z formuły:

cacdcs εεε += (4.1)

Końcowa wartość odkształcenia skurczowego na skutek wypychania εcd ,∞ może byćwzięta z tablicy 4.1. Tablica ta podaje oczekiwane wartości średnie, przy współczynnikuzmienności na poziomie 30 %, obliczone na podstawie wzorów podanych w załączniku B doDraftu.

Tablica 4.1 Końcowe wartości skurczu swobodnego naskutek wysychania εcd ,∞ (w ‰) dla betonu

Względna wilgotność RH (w %)cubeckck ff ,(MPa) 20 40 60 80 90 10020/25 -0,75 -0,70 -0,59 -0,40 -0,20 0,1240/50 -0,60 -0,56 -0,47 -0,29 -0,16 0,1060/75 -0,48 -0,45 -0,38 -0,24 -0,13 0,0880/95 -0,39 -0,36 -0,30 -0,19 -0,11 0,06

90/105 -0,35 -0,33 -0,27 -0,17 0,06 0,06

Rozwój w czasie odkształcenia skurczowego na skutek wysychania przebiega wedługformuły:

( ) ( )ε β εcd ds s cdt t t= − ⋅ ∞, (4.2)

w której funkcja rozwoju skurczu w czasie jest zdefiniowana jako:

( ) ( )( ) ( )

5,0

21350

−+

−=−

so

ssds

tthhtt

ttβ (4.3)

gdzie:t - wiek betonu w rozpatrywanym momencie (dni),ts - wiek betonu (dni) w momencie początku skurczu na skutek wysychania

(albo narastania). Normalnie odpowiada to końcowi pielęgnacji betonu,ho = 2 Ac/u - miarodajny wymiar (mm) przekroju elementu,h1 = 100 mm.

Samoczynne odkształcenie skurczowe wyraża się przez:

( ) ( ) ∞⋅= ,caccca tt εβε

gdzie: ( ) 6

, 10105,2 −∞ −−= ckca fε (4.4)

( )

=

5,028-1sexpt

tccβ (4.5)

s - współczynnik zależny od rodzaju cementu:s = 0,20 - dla szybko twardniejących cementów wysokiej wytrzymałości,

= 0,25 - dla normalnie i szybko twardniejących cementów,= 0,38 - dla wolno twardniejących cementów.

Rozwój w czasie samoczynnego odkształcenia skurczowego określa formuła:

( )βas t= −1 0 5exp - 0,2 , (4.6)

Jak wynika z powyższych danych, Draft prEN 1992-1-1:2001 znacznie uściślił wielkościodkształceń skurczowych betonu. Zmieniły się przy tym szczegółowe zasady obliczaniawartości skurczu końcowego wywołanego przez wysychanie betonu (tzw. skurcz fizyczny)εcd ,∞ . Należy go obliczać ze wzoru:

( ) RH6

ds21, 10-exp110220 βααε ⋅⋅

⋅⋅+= −

∞cmo

cmdscd f

f(4.7)

slo

ββ ⋅<

−−= %99RHdla

RHRH155,1

3

RH (4.8)

slββ ⋅≥−= %99RHdla25,0RH (4.9)

1,05,3

=

cm

cmosl f

fβ (4.10)

gdzie:f cm - średnia wytrzymałość betonu na ściskanie (MPa),f cmo - 10 MPa,α ds1 - współczynnik zależny od rodzaju cementu:α ds1 = 3 - dla wolno twardniejących cementów (S),

= 4 - dla normalnie i wolno twardniejących cementów (N),= 6 - dla szybko twardniejących wysoko wytrzymałych cementów (R),

α ds2 - współczynnik zależny od rodzaju cementu:α ds2 = 0,13 – dla cementu S, 0,11 – dla cementu N, 0,12 – dla cementu R,βsl - współczynnik uwzględniający niepełne wysychanie w betonach wysokiej

jakości (HSC),

RH - względna wilgotność otoczenia (%),RH o =100 %.

Dla betonu o wytrzymałości f ck ≤ 50 MPa narastanie może zaistnieć w betonacheksponowanych w środowisku o RH ≥ 99 %.

Dla betonu o wytrzymałości f ck > 50 MPa narastanie może zaistnieć przy niższejwzględnej wilgotności z powodu poprzedzającej redukcji wewnętrznej względnejwilgotności spowodowanej niepełnym wysychaniem betonu.

5. Ustalenia co do wartości odkształceń skurczowych betonuw warunkach polskich

W świetle wszystkich wyżej przytoczonych poglądów i zaleceń, wydaje się za konieczneprzyjąć następujące ustalenia:1) Wartości odkształceń skurczowych przyjmowanych do obliczeń należy określać

dokładnie, w oparciu o dane rozdziału 4 niniejszej pracy.2) Skurcz samoczynny (tzw. skurcz plastyczny) εca powinien być uwzględniany w

obliczeniach konstrukcji zespolonych typu beton-beton, w odniesieniu do betonunowego, położonego na warstwie betonu starego (stwardniałego).

3) Skurcz wywołany przez wysychanie betonu (tzw. skurcz fizyczny εcd jest dla większościprzypadków skurczem wywołującym naprężenia skurczowe w konstrukcjach ielementach z betonu i jego wielkości będą miarodajne do obliczeń.

4) Wartość odkształcenia skurczowego elementu czy konstrukcji żelbetowej różni się odwartości swobodnego odkształcenia skurczowego betonu εcs , czy też εcd . Przyczynąjest opór wkładek zbrojeniowych przeciw skurczowi. O ile opór ten jest niewielki wpoczątkowym okresie dojrzewania betonu, w czasie gdy ujawnia się skurcz samoczynny(plastyczny) i gdy cechy sprężyste betonu są jeszcze mało rozwinięte, o tyle wpóźniejszym okresie, gdy ujawnia się skurcz fizyczny, opór ten jest duży i wywołujezrównoważony stan naprężeń wymuszonych w przekroju elementu. Wówczas kosztemzmniejszonego skurczu RC

csε dochodzi w przekroju najczęściej do ściskania stalizbrojeniowej i rozciągania betonu. Zagadnienie to zobrazowano w rozdziale 3. niniejszejpracy. Podano tam sposób obliczania odkształcenia skurczowego elementu żelbetowegosymetrycznego, symetrycznie zbrojonego. W przedstawionym tam przykładzie, redukcjaodkształcenia skurczowego elementu żelbetowego, w stosunku do elementu betonowego,wyniosła około 30 %. Redukcję na podobnym poziomie założyła norma PN-76/B-03264,zaś na poziomie 50 % - norma PN-84/B-03264.

5) Wartość odkształcenia skurczowego elementu w konstrukcji żelbetowej zależy odstopnia zbrojenia, miarodajnego wymiaru ho , wilgotności powietrza, klasy betonu. Możebyć zatem różna w poszczególnych elementach konstrukcji. Przyjmowanie do obliczeństatycznych skurczu jako równoważnego z obniżeniem się temperatury o 15 oC jestdużym przybliżeniem. Odpowiada ono odkształceniu skurczowemu elementów wkonstrukcji żelbetowej 00015,0=RC

csε = constans.

Przykładowo (Przykład II) w ramie portalowej z betonu klasy B25, pracującej wśrodowisku o RH = 40 %, wartości εcd wyniosą po 10 latach (365 dniach), przyzałożeniu, że ts = 7 dni:- w słupach o przekroju 400/800 mm - oh = 266,7 mm

( ) ( )( ) ( )

771,073650100/7,266350

73650736505,0

2 =

−+−=−dsβ

cdε (3650) = -0,771 ⋅ 0,70 = 0,540 ‰ = -0,00054

- w ryglu o przekroju 400/1500 mm - oh = 315,8 mm

( ) ( )( ) ( )

676,073650100/8,315350

7365073650 2 =

−+−=−dsβ

cdε (3650) = -0,676 ⋅ 0,70 = 0,473 ‰ = -0,00047.

Dopiero w stosunku do tych wartości należy przeprowadzić obliczenie RCcsε .

Zakładając, że słupy i rygle są silnie obustronnie zbrojone o stopniu zbrojenia( )04,002,021 === oµρρ uzyskamy dla betonu klasy B25 ( )GPa0,30=cmE przy β = 0,8

i przyłożeniu obciążenia po 28 dniach:

- dla słupów: ( )ot,∞φ = 2,51, 67,60,300,200 ==on

211,067,604,01

67,604,03 =

⋅+⋅=α

702,051,2211,08,01

13 =

⋅⋅+=k

RCcsε = - 0,000540 (1 - 0,211) ⋅ 0,702 = - 0,00030 (redukcja o 44 %)

- dla rygla: ( )ot,∞φ = 2,46, ,67,6=on 211,03 =α

707,046,2211,08,01

13 =

⋅⋅+=k

RCcsε = - 0,000473 (1 - 0,211) ⋅ 0,707 = - 0,00026 (redukcja o 44 %)

Powyższe wartości RCcsε są znacznie większe niż zakładały to dawne polskie normy, tzn.

RCcsε = 0,00015.

Gdyby w/w rama była wykonana z betonu klasy B50 ( cmE = 35,0) i pracowała wśrodowisku o RH = 80 %, wówczas uzyskalibyśmy:- w słupach

cdε (3650) = - 0,771 ⋅ 0,29 = 0,224 ‰,

( )ot,∞φ = 1,94, 71,50,350,200 ==on , 186,03 =α ,

776,094,1186,08,01

13 =

⋅⋅+=k

RCcsε = - 0,000224 (1 - 0,186) ⋅ 0,776 = - 0,00014 (redukcja o 37 %)

- w ryglu

( )ot,∞φ = 1,91, ,71,5=on 186,03 =α ,

779,091,1186,08,01

13 =

⋅⋅+=k

RCcsε = - 0,000196 (1 - 0,186) ⋅ 0,779 = - 0,00012 (redukcja o 37 %)

a więc mniej niż RCcsε = 0,00015.

Przykład ten wskazuje na celowość wykonywania bardziej szczegółowych obliczeńwartości RC

csε dla analizy statyczno-wytrzymałościowej konstrukcji z betonu zbrojonego.

6. Naprężenia skurczowe w konstrukcji wymuszone przez więzy zewnętrzne

Najczęściej uwzględnianymi w obliczeniach statyczno-wytrzymałościowych konstrukcjiz betonu są siły uogólnione wywołane w ustroju przez więzy zewnętrzne. Więzy te mogą byćsztywne (np. w przypadku stropów połączonych z wzajemnie oddalonymi trzonamikomunikacyjnymi) lub podatne (np. w połączeniach rygli z podatnymi słupami w ramach).

W obu tych przypadkach należy zastosować dodatkowy schemat obliczeń statycznych,uwzględniający wartość skurczu średniego w przekroju jak dla żelbetu, tzn. RC

csε ,obliczonego wg zasad podanych w rozdziale 5.

W granicznych dwóch przypadkach (belka nieważka) mamy:

a) w przypadku braku więzów zewnętrznych (rys. 6.1.a) - tylko przemieszczenie swobodneo wartości RC

csε , bez dodatkowej siły rozciągającej N,b) w przypadku więzów sztywnych (rys. 6.1.b) - rozciąganie w pręcie wywołane siłą

( ) 31 kEAnEAN cmccsoocmcRCcs εµε −=+−= , bez przemieszczenia, gdzie

cm

so E

En = ,

21 ρρµ +=o .Dla przypadku pośredniego (rys. 6.1.c), z więzami podatnymi, odkształcenie skurczowe

RCcsε dzieli się na dwie części:

- beznaprężeniową - RCcsεγ , ( 0,1≤γ ),

- naprężeniową - ( γ−1 ) RCcsε , wywołującą rozciąganie siłą

N1 = - ( γ−1 ) ( )oocmcRCcs nEA µε +1 .

Rys. 6.1.

W ustrojach np. mostowych wszędzie, gdzie jest to możliwe, dąży się do eliminowaniawpływu naprężeniowej części odkształcenia ( ) RC

csεγ−1 na siły wewnętrzne w ustroju przezstosowanie łożysk przesuwnych, przerw dylatacyjnych itp. Wówczas rola tej częściodkształcenia skurczowego może stać się zupełnie drugorzędna. Podobny przypadek możezaistnieć dla żelbetowej płyty fundamentowej, jeżeli zapewnimy jej w miarę swobodneprzemieszczenia skurczowe po podłożu gruntowym lub izolacji na warstwie chudego betonu.

W przypadku więzów sztywnych, generowane w ustroju wewnętrzne siły rozciągające sązazwyczaj tak duże, że powodują zarysowanie przekroju - skrośne przy przewadze siłyosiowej N (mimośrodowe rozciąganie z małym mimośrodem), lub jednostronne przywspółdziałaniu dużego momentu zginającego M (mimośrodowe rozciąganie z dużymmimośrodem).

Zarysowanie skurczowe wywołane więzami zewnętrznymi nie zawsze musi byćszkodliwe dla konstrukcji. Powoduje ono bowiem rozładowanie niepożądanego stanunaprężeń rozciągających w betonie i ściskających w stali (przy więzach podatnych).

Na przykład powstanie „n” rys skurczowych o szerokości „wk” w elemencie wg rys. 6.1.bo odległości „l”, spowoduje spadek siły N o wartość:

( )oocmck nEA

lwn

N µ+⋅

=∆ 1 (6.1)

Odpowiada to wartości:

oo

RCcs

k

nlwn

NN

µεγ

+⋅

⋅⋅

=∆=1

1 (6.2)

Średnie naprężenie rozciągające w betonie spadnie przy tym z wartości:

( )oocmRCcs

c

Ics nE

AN µεσ +−== 1 (6.3)

do wartości:

( ) ( ) ( )oocmRCcscs

Ics nE µγεσγσ +−−=−= 111' (6.4)

Przykładowo (Przykład III), dla n = 10, wk = 0,15 mm, l = 10 ⋅ 103 mm, RCcsε = -

0,0002, Ecm = 30,0 GPa (beton B25), no = 0,04

γ = 43 102101015,010

−⋅⋅⋅⋅ = 0,750

Icsσ = 0,0002 ⋅ 30 ⋅ 103 (1 + 6,67 ⋅ 0,04) =

= 7,60 MPa » ctmf = 2,20 MPa

Ics 'σ = (1 - 0,750 ⋅ 7,60 = 1,90 MPa < ctmf = 2,20 MPa

Średnie naprężenie w stali na całym odcinku l, σss = 0, przy czym lokalnie stal będzierozciągana (w rysach) i ściskana na środkowych odcinkach między rysami.

Omawiane naprężenia Icsσ nie są jedynym efektem oddziaływania skurczu na

konstrukcje z betonu. Efekt ten uwzględnia się w obliczeniach statyczno-wytrzymałościowych konstrukcji poprzez wpływ na siły uogólnione w konstrukcji, a tymsamym jej stany graniczne nośności i użytkowalności.

7. Naprężenia skurczowe w konstrukcji wymuszone przez więzy wewnętrzne(opór zbrojenia)

Drugą część oddziaływania skurczu na konstrukcje z betonu stanowią naprężeniawymuszone w przekrojach poszczególnych jej elementach przez więzy wewnętrzne wpostaci oporu prętów zbrojenia przeciw skurczowi swobodnemu εcs . Więzy te wywołujązazwyczaj naprężenia rozciągające w betonie i ściskające w stali zbrojeniowej. Dzięki

istnieniu tych więzów odkształcenia skurczowe w elementach żelbetowych εcsRC są mniejsze

niż w betonowych εcs , ale w przekroju każdego z elementów pojawia się dodatkowe pole

naprężeń σ csII , które zazwyczaj jest pomijane w analizach wytrzymałościowych.

Rys. 7.1.

W symetrycznym, symetrycznie zbrojonym przekroju żelbetowym oraz skurczu liniowym ijednorodnym w przekroju (rys. 7.1.), wartości tych naprężeń wynoszą [16, 18]:

( ) 331 kaEscsIIss −=εσ ; ściskanie (7.1a)

σ εcsII

cs cmE a k= − 3 3 ; rozciąganie (7.1b)

Na przykład (Przykład IV), dla elementu z betonu klasy B20, ρ1 = ρ2 = 0,01 (µo = 0,02),no = 6,9 otrzymamy: Ecm = 29,0, εcs = - 0,00030, a = 0,121, k3 = 0,811 (jak wprzykładzie I).

σ ssII = - 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 200 ⋅ 103 (1 - 0,121) ⋅ 0,811 = - 42,8 MPa ,

σ csII = 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 29,0 ⋅ 0,121 ⋅0,811 = 0,85 MPa = 0,45 f fctm ctk< = 1,30 MPa

Rys. 7.2.

W rozważonym schemacie otrzymuje się najmniejsze wartości naprężeń rozciągającychσ cs

II . Wartości największe na krawędzi rozciąganej otrzymuje się w przypadku belki teowej

pojedynczo zbrojonej. Dla belki prostokątnej pojedynczo zbrojonej (rys.7.2.) uzyskuje sięnastępujące wyrażenia [16, 18]:

( ) 3'1 kaEscs

IIss −=εσ , (7.2a)

σ εcsII

cs cmE a k= − ''3 , (7.2b)

σ εcsII

cs cmE a k''''= − 3 , (7.2c)

gdzie:

a nno o

o o

' =+µ ηµ η1

; a a e h'' '= ⋅ +1 6η

; a a e h''' '= ⋅ −1 6η

; η = +

1 122e

h;

( )k

a to3

11=+ ∞β φ' ,

(7.3)

Na przykład (Przykład V), dla elementu z betonu klasy B25, sE = 200 GPa,

Ecm = 30 GPa, no = 6,67, µ ρo = 1 = 0,015, εcs = - 3,0 ⋅ 10-4, β = 0,8, ( )φ ∞, ts = 2,4, e/h = 0,4, η = 2,92, a ' = 0,226, a ' ' = 0,263, a ''' = - 0,108, k3 = 0,697, otrzymamy:

σ ssII = - 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 200 ⋅ 103 (1 - 0,226) ⋅ 0,697 = - 32,4 MPa ,

σ csII = 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 30,0 ⋅ 103 ⋅ 0,263 ⋅ 0,697 = 1,65 MPa = 0,75 f fctm ctk> =

= 1,50 MPa ,

σ csII

' = - 3,0 ⋅ 10-4 ⋅ 30,0 ⋅ 103 ⋅ 0,108 ⋅ 0,697 = - 0,68 MPa ,

Z powyższych przykładów wynika, że naprężenia wymuszone σ csII mogą osiągać

znaczne wartości. Szczególnie duże są te naprężenia w wysokich przekrojach teowych,powszechnie stosowanych w mostownictwie. W pracach [17, 19] oszacowano, że naprężeniate w dwóch konkretnych obiektach mostowych wyniosły (rys. 7.3):

1) σ csII = 1,31 MPa = 0,82 f fctm ctk> = 1,10 MPa

2) σ csII = 1,25 MPa = 0,66 f fctm ctk< = 1,30 MPa

Rys. 7.3. Wykresy naprężeń skurczowych σ csII (w MPa) spowodowane oporem zbrojenia w

rozpatrywanych belkach

Naprężenia skurczowe σ csII zwiększają swe wartości ze wzrostem skurczu betonu w

czasie, podobnie jak naprężenia σ csI . Miarą relaksacji tych naprężeń w wyniku pełzania

betonu jest wartość współczynnika k3, którą w odniesieniu do betonu zbrojonego możnaobliczyć z formuł (3.8) lub (7.3), a także z przybliżonej zależności wg [20]:

( )stk

,2,011

3 ∞+=

φ(7.4)

Jeżeli ( )φ ∞, ts = 2,4 to k3 = 0,68. W omawianych przykładach wartość tegowspółczynnika obliczona z formuł (3.8) lub (7.3) wyniosła odpowiednio: 0,81, 0,71, 0,78,0,70.

Naprężenia rozciągające w betonie σ csII , o tak dużych wartościach jak to wykazano

powyżej, są bardzo niekorzystne. Zmniejszają one bowiem wyraźnie moment rysujący Mcrczy też siłę rysującą Ncr w elemencie, przyśpieszając proces jego zarysowania. Z koleirzutuje to na mniejszą sztywność elementu oraz jego obniżoną odporność korozyjną.

Natomiast korzyści wynikające ze ściskających naprężeń σ ssII w stali zbrojeniowej są

iluzoryczne, gdyż w momencie zarysowania skurczowego elementu naprężenia te zanikają iich wpływ na podwyższenie nośności przekroju jest niewielki.

8. Naprężenia skurczowe własne w przekroju

Opisane w p. 6 i 7 dwie składowe naprężeń skurczowych σ cs w przekroju elementużelbetowego są w pewnym stopniu niezależne od konstruktora, determinowanegoschematem statycznym konstrukcji czy też rozkładem zbrojenia w elementach. Powinien on

jednakże mieć wpływ na obniżenie wartości σ cs w zastosowanym betonie przezodpowiednią technologię użytej mieszanki betonowej. Wchodzą tu w grę takie czynniki jakzastosowanie niskiego W/C, niskiego zużycia cementu i superplastyfikatorów, zastosowanieodpowiedniej technologii zagęszczania jak np. odpowietrzanie betonu itp.

Istnieje natomiast jeszcze trzecia składowa odkształceń i naprężeń skurczowych wprzekroju elementów z betonu, która powinna być koniecznie poddana kontroli konstruktora.Są to naprężenia skurczowe własne, wywołane w przekroju przez nieliniowe i równocześnieniestacjonarne pola wilgotności w elemencie.

Współczynnik W/C w mieszance betonowej wynosi zazwyczaj 0,4÷0,6, podczas gdy dopełnej hydratacji cementu potrzeba około Wh/C = 0,25. Nadmiar wody zarobowej ponad tęwartość wyparowuje z betonu przez powierzchnie zewnętrzne elementu. Pod wpływemzaistniałego gradientu stężenia powstają w przekroju nieliniowe i niestacjonarne polawilgotności (rys. 8.1), które są przyczyną powstawania pewnego dodatku naprężeńskurczowych σ cs

III , rozciągających włókna przypowierzchniowe elementu i ściskającychwłókna w głębi przekroju. Naprężenia te, samorównoważące się w przekroju, wywołane sąprzez opór jednych warstw betonu w stosunku do innych pod wpływem ich tendencji donierównomiernych przemieszczeń skurczowych.

Rys. 8.1.

Gradient przypowierzchniowy omawianych pól wilgotności ( )pdx

dU τ jest największy po

rozdeskowaniu konstrukcji; z biegiem czasu wilgotność wnętrza elementu dąży dowyrównania się i stabilizuje się na poziomie równowagi higrometrycznej z otaczającąatmosferą.

Naprężenia własne IIIcsσ mogą być obliczone ze wzoru:

( ) ( )τ

ττ

τβστ

dd

UdEk p

ctwIIIcs

∆∫=∞

1

3 (8.1)

gdzie:βw - współczynnik liniowy odkształcalności wilgotnościowej betonu dla

jednostkowej zmiany wilgotności wagowej; można wg [21] przyjmować

βw = 3,0 ⋅ 10-2 ggmmmm

// ,

Ect (τ) - współczynnik sprężystości betonu na rozciąganie; zazwyczaj przyjmuje się Ect (τ) = Ecm (τ).

Rys. 8.2. Rys. 8.3.

Odkształcenia skurczowe csε odpowiadające za naprężenia skurczowe Icsσ i II

csσ sąfunkcją średniej zmiany wilgotności U (τ) w przekroju (rys. 8.2):

( )[ ] ( )τβτβεε śrwśrkrwIIcs

Ics UUU ∆=−=≡ , (8.2)

natomiast:( ) ( )[ ] ( )τβττβε pwpśrw

IIIcs UUU ∆=−= , (8.3)

Zależności ( )τśrU∆ i ( )τpU∆ przedstawiono na rys. 8.2. Widać na ich podstawie

wyraźnie, że o ile odkształcenia skurczowe IIIcs

,ε z biegiem czasu mają tendencję rosnącą , o

tyle odkształcenia skurczowe IIIcsε , odpowiadające za naprężenia III

csσ , po osiągnięciumaksimum w krótkim czasie po rozdeskowaniu konstrukcji, mają później tendencjęmalejącą.

Szacowanie wartości naprężeń IIIcsσ nastręcza wiele trudności. Zazwyczaj

konstruktorowi nie znany jest termin rozdeskowania konstrukcji, pogoda panująca podczasdojrzewania betonu, zastosowane sposoby pielęgnacji powierzchni. Ważnym jest takiesterowanie procesem rozdeskowania, aby ekstremum wartości III

csσ było poniżej krzywejwytrzymałości betonu na rozciąganie ( )τctmf - por. rys. 8.3. W przeciwnym razie dojdziedo zarysowania stref przypowierzchniowych elementu we wczesnym okresie jego "„życia".Z jednej strony spowoduje to „rozładowanie” niepożądanego stanu naprężeń własnych, zdrugiej strony jednak rysy te pozostaną w elemencie w sposób trwały, co oznacza częściowądegradację przekroju z punktu widzenia jego wytrzymałości i sztywności, a w dalszejkonsekwencji - jego trwałości.

Próbę oszacowania naprężeń IIIcsσ podjęto w pracach [19, 22], a odkształceń III

csε w

pracy [23]. Obliczone na podstawie pracy [22] największe naprężenia IIIcsσ , przy założeniu

betonu klasy B25 i k3 = 0,7, wyniosłoby 1,28 MPa = 0,58 ctkctm ff < = 1,50 MPa, a na

podstawie pracy [23] - przy założeniu betonu klasy B20 i k3 = 0,7 - IIIcsσ = 1,87 MPa = 0,98

ctkctm ff > = 1,30 MPa. Wskazuje to na duże znaczenie omawianych naprężeń, zwłaszcza,

że naprężenia te sumują się zazwyczaj z naprężeniami skurczowymi Icsσ i II

csσ

(por. rys. 8.4), tak iż prawdopodobieństwo zaistnienia Σ ( ) ( )τσ ctmIIIIII

cs f≥,, jest bardzoduże. Należy tu jednakże zaznaczyć, że ekstrema poszczególnych składników ( )τctmf tejsumy nie występują jednocześnie, co łagodzi ostrość powyższego zapisu.

Rys. 8.4.

Naprężenia IIIcsσ maleją tym szybciej, im mniejsza jest grubość zastępcza elementu.

Zachodzi tu zatem zjawisko odwrotne niż w odniesieniu do naprężeń IIcsσ , które rosną tym

szybciej im mniejsza jest grubość zastępcza elementu. W elementach niemasywnychdominującą rolę odgrywają naprężenia II

csσ , podczas gdy w masywnych - IIIcsσ .

Relaksacja naprężeń IIIcsσ w wyniku pełzania betonu zachodzi dużo wyraźniej w

elementach masywnych, niż w elementach o małej masywności. Według [20] współczynnikrelaksacji k3 dla naprężeń skurczowych własnych może być określony z zależnościprzybliżonej:

( )stk

,21

3 ∞=φ

+ 0,2 (8.4)

Tak więc przy ( )st,∞φ = 2,0 (długotrwałe oddziaływanie naprężeń IIIcsσ w elemencie

masywnym) k3 = 0,45, przy ( )st,∞φ = 1,0 (zanikające w czasie oddziaływanie naprężeńIIIcsσ w elemencie o małej masywności k3 = 0,70.

9. Obliczanie ilości przypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego

Największe wartości sumaryczne rozciągające naprężenia skurczowe Σ ( )IIIIIIcs

,,σ =Icsσ + II

csσ + IIIcsσ osiągają w skrajnych, przypowierzchniowych strefach przekroju i strefy

te wymagają przede wszystkim zabezpieczenia przed zarysowaniem skurczowym.

W przypadku elementów żelbetowych nasyconych zbrojeniem problem dodatkowegoprzypowierzchniowego zbrojenia przeciwskurczowego jest najczęściej nieistotny, gdyżistniejące wkładki zbrojenia zabezpieczają te strefy przed zarysowaniem lub też ograniczająszerokość rozwarcia powstających rys skurczowych; z rozciąganiem betonu od skurczunajczęściej sumują się naprężenia rozciągające od pracy elementu na obciążenia zewnętrznei morfologia powstających rys pochodzi od obu tych zjawisk łącznie.

Rys. 9.1. Obliczeniowy rozkład naprężeń własnych IIIcsσ w przekrojach betonowych

Największy problem stwarzają przypowierzchniowe strefy elementów masywnych(m ≤ 2 m-1 - rys. 9.1b) i o średniej masywności (2 < m < 15 m-1 - rys. 9.1a), w którychzbrojenie ze względów obliczeniowych nie jest potrzebne. Należą do nich m.in. bocznepowierzchnie podpór mostowych, wysokich belek żelbetowych, górne powierzchnie grubychpłyt żelbetowych. Oddziaływujące na nie naprężenia skurczowe III

csσ powodują bardzoczęsto zarysowania ich powierzchni we wczesnym okresie po rozdeskowaniu.

Przez moduł powierzchniowy elementu [21, 24] rozumie się tu wyrażenie:

c

cum

v= , [m-1] (9.1)

gdzie:uc - powierzchnia elementu wystawiona na wymianę wilgoci zawartej w betonie

z otoczeniem [m2],vc - objętość betonu w elemencie [m3].

Dla płyty lub ściany o dominującym wymiarze „h” (grubość), w przypadku obustronnejwymiany wilgoci, moduł powierzchniowy wynosi:

hhllll

m 22

21

21 =⋅⋅⋅⋅

= , [m-1]. (9.2)

Przy jednostronnej wymianie wilgoci (np. płyta fundamentowa na zaizolowanym podłożu):

hhllll

m 1

21

21 =⋅⋅⋅

= , [m-1]. (9.3)

Dla pręta pryzmatycznego o długości l » a lub l » dc (gdzie a - wymiar boku pręta oprzekroju kwadratowym, dc - średnica pręta o przekroju kołowym), z wymianą wilgoci przezcałą powierzchnię zewnętrzną, zachodzi:

dam 44 == , [m-1]. (9.4)

Dla bloku sześciennego o boku a z wymianą wilgoci przez wszystkie powierzchniezewnętrzne, mamy:

am 6= , [m-1]. (9.5)

Płyta stropowa o grubości h = 0,10 m ma 2010,02 ==m m-1 > 15,0 m-1 i jest

niemasywna, podczas gdy płytowy ustrój nośny w moście o grubości h = 1,20 m ma

m = 20,12 = 1,67 < 2,0 m-1, co oznacza, że jest masywny. Masywną będzie również płyta

fundamentowa z jednostronną wymianą wilgoci, przy grubości h wynoszącej:

==≥0,211

mh 0,50 m.

Typowe belki żelbetowe i sprężone stosowane w budownictwie powszechnym mająmoduł powierzchniowy m = 7÷14 m-1, zaś belki stosowane w budownictwie - m = 3÷7 m-1.Są to zatem elementy o średniej masywności, w pierwszym przypadku bardziej zbliżone doelementów niemasywnych, w drugim - do elementów masywnych.

W elementach niemasywnych dominują wymuszone naprężenia skurczowe IIcs

Ics σσ + , w

elementach masywnych - własne naprężenia skurczowe IIIcsσ . Elementy niemasywne

(m ≥ 15,0 m-1) nie wymagają dodatkowego zbrojenia przeciwskurczowego(przypowierzchniowego), dla przeniesienia naprężeń III

csσ . Mogą one wymagać takiego

zbrojenia dla przeniesienia naprężeń wymuszonych IIcs

Ics σσ + .

Między modułem powierzchniowym elementu „m”, a jego miarodajnym wymiarem „ho”istnieje dla elementów płytowych i pryzmatycznych następująca zależność:

m = oco

c

cc

c

hAhA

Auu 22

0,10,1

v=

⋅=

⋅⋅= , [m-1] (9.6)

Jak wykazano w p. 8 już same naprężenia skurczowe własne IIIcsσ mogą osiągać wartości

zbliżone lub przekraczające wartość wytrzymałości średniej betonu na rozciąganie fctm. Jeśliweźmiemy pod uwagę fakt sumowania się w rzeczywistych konstrukcjach z betonu naprężeń

IIIcsσ z naprężeniami I

csIIcs σσ + , wówczas prawdopodobieństwo przekroczenia przez

sumaryczne naprężenia ( )∑ ++ IIIcs

IIcs

Ics σσσ wytrzymałości fctm znacznie się powiększa. Z

rys. 8.4 wynika, że naprężenia te są największe na krawędzi elementu, przez który odbywasię wymiana masy (wilgoci) z otoczeniem i - przesuwając się w głąb elementu - szybkospadają.

Najbardziej narażona zatem na rozciągające naprężenia skurczowe jestprzypowierzchniowa strefa elementów konstrukcyjnych z betonu. Dokładne oszacowaniegrubości tej strefy jest praktycznie niemożliwe. Zależy ona od podatności konstrukcji naobciążenie skurczem, stopnia zbrojenia elementów, cech fizycznych mieszanki betonowej,pielęgnacji betonu i warunków dojrzewania, wilgotności i temperatury środowiskazewnętrznego, masywności elementu, itp.

Stąd też oszacowanie grubości tej strefy „b1”, może być tylko przybliżone. Najczęściejprzyjmuje się, że grubość „b1” wynika z rozkładu w przekroju naprężeń własnych III

csσ .Grubość ta w stosunku do grubości elementu ”b” jest zdecydowanie inna w elementach ośredniej masywności i masywnych. W elementach o średniej masywności kształt polanaprężeń własnych III

csσ w przekroju (w przybliżeniu podobny do kształtu pola wilgotności)zbliżony jest do paraboli stopnia trzeciego i wówczas b1 ≅ 0,185 b.

W elementach masywnych wykres pola wilgotności zbliża się do parabol wyższychstopni, a nawet - w elementach bardzo grubych z uwagi na bezwładność wilgotnościowąśrodkowej części elementu oraz bardziej zaawansowaną dojrzałość z uwagi nasamoocieplenie pod wpływem ciepła hydratacji cementu - przyjmuje charakter jak na rys.9.1b [24]. Wówczas grubość „b1” można przyjąć w przybliżeniu na podstawie doświadczeń.Wynosi ona około (0,05÷0,15) b, więcej w elementach o współczynniku masywnościzbliżonym do m = 2,0 m-1, mniej w elementach o dużej grubości (m «2,0 m-1).

Kolejne założenie jakie należy przyjąć, to kształt wykresu naprężeń w rozciąganej,przypowierzchniowej strefie elementu. Wykazany w p. 6, 7 i 8 sposób obliczania naprężeńskurczowych III

csIIcs

Ics σσσ i, bazował na teorii sprężystości. Podane w tych rozdziałach

wzory uwzględniały tylko cechy sprężyste betonu (Ecm = constans) oraz lepkie - przezwprowadzenie współczynnika relaksacji naprężeń skurczowych na skutek pełzania - k3. Nieuwzględniały one jednak cech plastycznych betonu, których udział jest tym większy imnaprężenie skurczowe jest bliższe wartości fctm (por. rys. 9.2).

Rys. 9.2.

Udział cech plastycznych jest ponadto bardziej znaczący w betonach niższych klas (np.B20), mniej w betonach klas wysokich (np. B50) - por. rys. 9.2b.

Obciążenie skurczem jest obciążeniem dystorsyjnym, o charakterze kinematycznym, tzn.wiodącym jest odkształcenie skurczowe εcs, a pochodną wielkością jest naprężenieskurczowe σcs. Stąd do zarysowania skurczowego dochodzi, gdy suma( )[ ]III

csIIcs

Ics εεεγ ++−∑ 1 osiągnie wartość większą od wydłużalności granicznej betonu na

rozciąganie 'ctε . Wówczas naprężenie rozciągające w betonie wynosi fctm. Sytuację tę

przedstawia rys. 9.3.

Rys. 9.3. Diagram naprężeń rozciągających w przypowierzchniowej strefie betonu

Większość autorów potrzebną ilość zbrojenia przeciwskurczowego w strefie o szerokości„b1” oblicza wychodząc z diagramu naprężeń, przedstawionego na rys. 9.3. Różnice dotyczątego, jaką wartość naprężenia fct przyjmuje się za graniczną. Czy fctm, czy fctk. czy też jeszczeinną. Następnie, czy rzeczywisty diagram naprężeń rozciągających rzecz

ctσ aproksymuje sięprostokątem o wymiarach fct ⋅ b1 ⋅ (1,0 m), czy też prostokątem o uśrednionej szerokościδ ⋅ b1 (δ ≤ 1,0), czy też trójkątem o szerokości podstawy „b1” i wysokości fct. I wreszcie, czyuwzględnia się współpracę betonu przy rozciąganiu ze stalą zbrojenia przeciwskurczowego,czy też nie.

Zakłada się przy tym, że w momencie pojawienia się rysy skurczowej całą bryłęnaprężeń rozciągających w strefie o szerokości „b1” przenosi stal zbrojeniaprzypowierzchniowego. Naprężenie w tej stali nie może przekroczyć granicy plastycznościfyk, tak aby możliwa była kontrola szerokości rys skurczowych. Poniżej zestawiono kilkamożliwych podejść do rozpatrywanego zagadnienia.

F. Leonhardt [26] wymaga, aby spełniony był warunek:

yk

ctk

ct

ssss f

fAA 95,0,≥=ρ (9.7)

gdzie:ρss - stopień zbrojenia przeciwskurczowego w strefie o szerokości b1,fctk,0,95 - kwantyl 95 % wytrzymałości losowej betonu na rozciąganie (MPa),fyk - wytrzymałość charakterystyczna stali zbrojeniowej (MPa).

We wzorze tym przyjęto wytrzymałość graniczną w momencie zarysowania betonu nawysokim poziomie, równym fctk,0,95 oraz prostokątny wykres naprężeń w strefie rozciąganej.

H. Rüsch i D. Jungwirth [20] proponują obliczać ρss z wzoru:

( )yk

ctm

yk

ctss f

fff

n 05,11 ≅+≥ µρ (9.8)

gdzie fct jest wytrzymałością betonu na rozciąganie, szacowaną w przybliżeniu jako wartośćśrednia z fctk,0,05 i fctm, z uwzględnieniem wpływu wieku betonu na wzrost wytrzymałości narozciąganie. Wzór zakłada prostokątny wykres naprężeń rozciągających oraz sprężystąwspółpracę betonu z wkładkami zbrojenia przeciwskurczowego [(1 + nµ) = (1 + no ρss)], tużprzed zarysowaniem.

Według SIA 162 [27] ilość minimalnego zbrojenia zabezpieczającego przed powstaniemrys oblicza się z wzoru:

yk

ctss f

fαρ ≥ (9.9)

gdzie α jest współczynnikiem zależnym od rozstawu prętów przypowierzchniowych iwynosi α = 1,0 dla ep = 10 cm oraz α = 1,4 dla ep = epmax = 30 cm. fct jest wytrzymałościąbetonu na rozciąganie przyjmowaną w wysokości 2,00 MPa dla betonów klas niższych odB 35/25 (oznaczenia według [27]) oraz 2,50 MPa dla pozostałych klas betonu.

W pracach [18, 28] K. Flaga zaproponował zależność:

0,55 yk

ctkss

yk

ctk

ff

ff

10,1≤≤ ρ (9.10)

później skorygowaną [29] do postaci:

0,55 yk

ctmss

yk

ctm

ff

ff

10,1≤≤ ρ (9.11)

Dolna granica odpowiada osiągnięciu przez naprężenia oblcsσ wartości fctm tylko we włóknach

skrajnych rozciąganej strefy przypowierzchniowej (w przybliżeniu trójkątny wykresnaprężeń rozciągających), natomiast górna granica odpowiada założeniu uplastycznieniacałej tej strefy (prostokątny wykres naprężeń rozciągających). Wzory (9.10) i (9.11)uwzględniają również plastyczną współpracę betonu z wkładkami zbrojeniaprzeciwskurczowego, tuż przed zarysowaniem (1,10 ≅ 1 + 2 no ρss).

I wreszcie Eurokod 2 [7, 8], a w ślad za nim norma PrPN-B-03264 [6] w p. 6.2 podajewzór, ważny dla minimalnego pola As przekroju zbrojenia rozciąganego, wymaganego zuwagi na ograniczenie szerokości rys spowodowanych naprężeniami wywołanymi przezodkształcenia wymuszone przyczynami wewnętrznymi (skurcz) lub zewnętrznymi (osiadaniepodpór), w postaci:

As = kc ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅ s

ctAσ

(9.12)

gdzie:kc - współczynnik uwzględniający rozkład naprężeń w przekroju w chwili

poprzedzającej zarysowanie,k - współczynnik uwzględniający wpływ nierównomiernych naprężeń

samorównoważących się w ustroju,fct,eff - średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie w chwili spodziewanego

zarysowania,Act - pole przekroju strefy rozciąganej elementu w chwili poprzedzającej

zarysowanie,σs - maksymalne naprężenie przyjęte w zbrojeniu rozciąganym natychmiast po

zarysowaniu, zależne od średnicy prętów.

Wzór (9.12) można łatwo adaptować do obliczenia zbrojenia przeciwskurczowego wprzypowierzchniowych strefach elementów konstrukcyjnych z betonu, przyjmując:- kc = 1,0 (jak przy rozciąganiu osiowym),- k = 0,8 (z uwagi na niepełne „wypełnienie” prostokąta o szerokości b1 przez pole

naprężeń rozciągających),- Act = b1 ⋅ 1,0 m.

Wówczas:

s

effctss

fσ

ρ ,8,0 ⋅≥ (9.13)

Wartość fct,eff zależy od terminu spodziewanego zarysowania skurczowego. W przypadkubraku ściślejszych informacji zaleca się przyjmować fct,eff = fctm odpowiednio doprojektowanej klasy betonu, lub do klasy betonu w momencie spodziewanego zarysowania.

Eurokod 2 sugeruje [7, 8, 11], że jeżeli zarysowanie nie nastąpi wcześniej niż po 28dniach wówczas jako minimalną należy przyjmować fct,eff = 3,0 MPa.

K. Flaga dyskutuje z tą sugestią w pracy [30], proponując przyjąć fct,eff = 2,0 MPa dlabetonów klas do B20, 2,5 MPa - dla betonów klas do B30 i 3,0 MPa - dla betonów klaswyższych.

Wartość σs naprężeń w zbrojeniu rozciąganym można przyjąć równą fyk z tym, że zuwagi na nieprzekroczenie granicznej szerokości rys - może być potrzebne obniżenie tegonaprężenia. Stosowny przykład będzie przytoczony w dalszej części niniejszej pracy.

W tablicy 9.1 podano wyniki analizy porównawczej stopnia zbrojeniaprzeciwskurczowego ρss, obliczonego z wzorów (9.7), (9.8), (9.9), (9.11) i (9.13), dla 2 klasbetonu (B20 i B50) i 2 klas stali (A-I i A-III). Do obliczeń przyjęto fctm = 1,9 MPa i3,5 MPa, fctk,0,95 = 2,5 MPa i 4,6 MPa, fctk = 1,3 MPa i 2,5 MPa, fct,eff = fctm ≥ 3,0 MPa,fyk = 240 MPa i 410 MPa, α = 1,2.

Tablica 9.1. Wartości minimalnego stopnia zbrojenia przeciwskurczowego ρss

minssρ według wzoruStal

fyk[MPa]

Klasabetonu

(9.7) (9.8) (9.9) (9.11)* (9.13) Wartośćśrednia

B20 0,0104 0,0070 0,0100 0,0087 0,0100 0,0092240 B50 0,0192 0,0131 0,0125 0,0160 0,0117 0,0145B20 0,0070 0,0041 0,0055 0,0051 0,0059 0,0055410 B50 0,0112 0,0077 0,0073 0,0094 0,0068 0,0085

* wartości obliczone ze wzoru ρss = 1,10 fctm/fyk.Jak wynika z powyższej tablicy, różnice między wartościami min

ssρ obliczone zprzytoczonych wzorów są dość znaczne, rzędu ± 25 % w stosunku do wartości średnich.Wartości min

ssρ zbliżone do powyższych wartości średnich można uzyskać jako średniąarytmetyczną z wartości obliczonych według wzorów (9.11) i (9.13).

Reasumując można stwierdzić, że stopień zbrojenia przeciwskurczowego wprzypowierzchniowych strefach elementów konstrukcyjnych z betonu powinien wynosić dlastali o fyk = 240 MPa - od 0,90 do 1,45 % dla betonu klas od B20 do B50 oraz dla stali ofyk = 410 MPa - 0,55 do 0,85 % dla betonu klas jak wyżej.

Przykład VI. Belka mostowa o przekroju 600/3000 mm wykonana jest z betonu klasyB30 o fctm = 2,6 MPa i zbrojona prętami ze stali 18G2 o fyk = 355 MPa. Należy określić ilośćzbrojenia przeciwskurczowego przy powierzchniach bocznych belki.

Moduł powierzchniowy:

m = ( )

00,360,000,360,02

c

c

⋅+

=vu

= 4,0 m-1 > 2,0 m-1

< 15,0 m-1.

Jest to zatem element o średniej masywności wymagający zbrojenia przypowierzchniowego.Grubość strefy rozciąganej: b1 = 0,185 ⋅ 600 = 111 mm. Konieczny stopień zbrojeniaprzeciwskurczowego:- z wzoru (9.5)

0081,0355

60,210,1 =≥ssρ

- z wzoru (9.7)

0068,0355

00,38,0 =≥ssρ .

Wartość średnia ρss = 0,0075.Konieczne pole przekroju zbrojenia przeciwskurczowego:

Ass = ρss ⋅ b1 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 0,0075 ⋅ 111 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 832,5 mm2 = 8,33 cm2/1 mb konturua więc na przykład φ 14 co 185 mm o Ass = 8,32 cm2/1 mb.

Zbrojenie to powinno być umieszczone w pobliżu środka ciężkości bryły naprężeńrozciągających w betonie i rozmieszczone równomiernie zarówno poziomo jak i pionowo, zuwagi na podobny rozwój odkształceń i naprężeń skurczowych. Dużo większeprawdopodobieństwo przekroczenia przez naprężenia σcs wartości fctm zachodzi dla kierunkupoziomego, gdyż sumują się tu naprężenia skurczowe wymuszone przez zbrojenie główne

IIctσ z naprężeniami własnymi III

ctσ - por. rys. 9.4. W kierunku pionowym występują tylko

naprężenia IIIctσ , gdyż naprężenia wymuszone przez opór strzemion II

ctσ są stosunkowomałe.

Stąd też obliczone powyżej zbrojenie Ass należy w pełni zastosować jako pręty podłużneprzy obu bocznych powierzchniach belki. W kierunku pionowym ilość tego zbrojenia możebyć zredukowana maksimum do połowy (por. wzór 9.11), a według normy [5] (por. p. 2.5)do 60 % ilości minimalnych. Ostatecznie przyjęto dla kierunku pionowego:

pionssA = 0,6 ⋅ 8,33 = 5,00 cm2/1 mb

a więc na przykład φ 14 co 300 mm, na całej długości belki. Na odcinkach ścinania powinnyto być pręty dodatkowe, w postaci np. dodatkowych strzemion [31]. Poza odcinkamiścinania, rolę tę mogą pełnić pionowe ramiona strzemion stosowanych ze względówkonstrukcyjnych.

Przykład VII. Belka żelbetowa o przekroju 300/800 mm wykonana z analogicznychmateriałów jak w przykładzie VI.

m = ( )

80,030,080,030,02

⋅+

= 12,2 m-1 > 2,0 m-1

< 15,0 m-1

b1 = 0,185 ⋅ 300 = 55,5 mm.Element o średniej masywności, bliskiej elementów niemasywnych; małeprawdopodobieństwo osiągnięcia przez naprężenia obl

csσ wartości porównywalnych zwytrzymałością fctm.

0040,0355

60,255,0 =≥ssρ

Ass = 0,0040 ⋅ 55,5 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 222 mm2 = 2,22 cm2/1 mb konturua więc na przykład φ 10 co 350 mm o Ass = 2,26 cm2/1 mb.

Zbrojenie powyższe jest zgodne z wymogami Pr PN-B-03264 [6] w zakresie dodatkowegozbrojenia podłużnego. Powinno być ono również uwzględnione w tej ilości przykonstruowaniu pionowych ramion strzemion w tej belce.

Rys. 9.4. Zmienność naprężeń skurczowych IIcsσ i III

csσ , w przekroju belki mostowej o dużejwysokości (żelbetowej lub sprężonej)

W pracy [29] autorzy zestawili ilości przypowierzchniowego zbrojenia podłużnego,wymaganego przez różne normy w belkach wysokich z betonu. Stopień tego zbrojeniaodniesiony do pola przekroju poprzecznego b ⋅ h, przy każdej z powierzchni belek oszerokości b = 400 mm wyniósł:0,025 % (wg PN-56/B-03260), 0,031 % (wg PN-84/B-03264), 0,050 % (wg PN-76/B-03264), 0,066 % (wg ACI), 0,100 % (wg SIA oraz DIN), 0,150 % (wg PN-91/S-10042).Stosunek między wartościami skrajnymi wynosi tu 6 i dotyczy 2. polskich norm, starej z1956 r. i nowej z 1991 r.

Dane te świadczą o wzrastającym w Polsce zrozumieniu dla przypowierzchniowegozbrojenia przeciwskurczowego. Aby przeliczyć powyższe dane na wartości porównywalne z

tablicą 9.1, należy je pomnożyć przez czynnik κ = 1b

b = b

b185,0

= 5,4.

Otrzymany wówczas ρss = 0,00135 (dla PN-56/B-03260), ρss = 0,0054 (dla SIA i DIN) iρss = 0,0081 (dla PN-91/S-10042). Dopiero wartości ρss wg norm SIA 162 [27], DIN 1075[32] i PN-91/S-10042 [5] są porównywalne z wartościami min

ssρ z tablicy 9.1.Aktualny projekt Pr PN-B-03264 [6] wymaga w analizowanym przypadku tylko:

0019,04,5100040011050,0

35010001 2

1 =⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= κρhb

An sss « minssρ

z tablicy 9.1, a więc stanowczo za mało.

10. Średnica i rozstaw zbrojenia przeciwskurczowego

Zastosowanie zbrojenia przeciwskurczowego w ilości obliczonej według zasad podanychw p. 9 nie wyczerpuje zagadnienia. Zapewnia ono jedynie to, że nieciągłość powstała wstrefie przypowierzchniowej na skutek zarysowania skurczowego zostaje „zszyta” przezzbrojenie przeciwskurczowe, w którym w momencie powstania rysy nie zostajeprzekroczona granica plastyczności fyk. Pozwala to na kontrolę szerokości powstałych rysskurczowych wk. Szerokość ta przy naprężeniu w stali równym fyk może być za duża zpunktu widzenia trwałości elementu. Powstaje zatem kolejny problem, a to średnicy irozstawu zbrojenia przeciwskurczowego w ilości Ass, zapewniających odpowiedniądopuszczalną morfologię rys skurczowych w strefach przypowierzchniowych elementu.Według H. Rüscha i D. Jungwirtha [20] zapewnienie warunku wk < wlim wymagazastosowania zbrojenia o średnicy φs spełniającej warunek:

2lim13

yk

ss f

Ew ⋅⋅≤τ

φ (10.1)

gdzie:τ1 - wytrzymałość na przyczepność betonu do stali zbrojeniowej; w przypadku

prętów zabetonowanych w pozycji poziomej można przyjąć τ1 = 0,15 fcm,fcm - średnia wytrzymałość betonu na ściskanie.

Dla rozpatrzonego w p. 9 przykładu VI otrzymalibyśmy, przy wlim = 0,3 mm i fcm = 33 MPa:

2

3

355102003,033,015,03 ⋅⋅⋅⋅⋅≤sφ = 7,1 mm.

Dla większej średnicy zastosowanego zbrojenia przeciwskurczowego φ należy zmniejszyćnaprężenie w stali do wartości:

3 φφσ syks f= (10.2)

oraz stosownie podnieść stopień zbrojenia przeciwskurczowego, z wartości ρss do wartościρ1ss.

W rozpatrywanym przykładzie VI prowadzi to do wartości:

3 141,7355=sσ = 283,1 MPa

1,283355

1 =ssρ ⋅ 0,0075 = 0,0094

0075,00094,0

1 =ssA ⋅ 8,33 = 10,45 cm2/1 mb konturu,

a więc należy zastosować φ 14 co 150 mm o A1ss = 10,27 cm2/1 mb.Gdyby zastosować pręty o średnicy φ = 18 mm, wówczas

3 181,7355=sσ = 260,3 MPa

3,260355

1 =ssρ ⋅ 0,0075 = 0,0102

0075,00102,0

1 =ssA ⋅ 8,33 = 11,36 cm2/1 mb konturu,

a więc pręty φ 18 co 225 mm o A1ss = 11,29 cm2/1 mb.Ważnym zagadnieniem jest nie tylko właściwa średnica zbrojenia przeciwskurczowego,

ale również jego rozstaw. Rozstaw powinien być taki, aby korzystne oddziaływanie prętówprzeciwskurczowych obejmowało całą przypowierzchniową strefę rozciąganą betonu, a nietylko najbliższe okolice tych prętów.

Pręty przeciwskurczowe zwiększają wydłużalność graniczną betonu do wartości "ctε ,

określonej np. przez G.D. Ciskreliego [32] wzorem:

+=φρεε 1'"

ctct (10.3)

gdzie:ρ - stopień zbrojenia; w przypadku zbrojenia przeciwskurczowego ρ = ρss lub

ρ = ρ1ss ,φ - średnica zbrojenia (w m),

'ctε - wydłużalność graniczna betonu niezbrojonego, przyjmowana najczęściej na

poziomie 1 ⋅ 10-4.Odnosząc się do przykładu VI zastosowanie zbrojenia przeciwskurczowego z prętów

φ 14 mm co 150 mm spowodowało wzrost wydłużalności granicznej betonu w rozciąganejstrefie przypowierzchniowej do wartości:

+⋅= −

014,00094,01101 4"

ctε = 1,67 ⋅ 10-4

a więc o 67 %. Wzrost ten dotyczy najbliższej okolicy prętów przeciwskurczowych, wdalszej od nich odległości maleje do zera.

Wzrost 'ctε do wartości "

ctε oznacza, że w okolicy prętów przeciwskurczowych niedochodzi z chwilą osiągnięcia przez naprężenia skurczowe wartości σcs = fctm do nagłegozarysowania, ale - z uwagi na kinematyczny charakter obciążenia - dochodzi do dekompresjiw betonie spowodowanej degradacją struktury betonu na skutek mikrozarysowań. Strukturata jest jednak „zszyta” przez zbrojenie i ujawnienie się rys skurczowych zachodzi dopiero poosiągnięciu przez odkształcenie skurczowe wartości εcs ≥ "

ctε (rys. 10.1).

Rys. 10.1. Diagram σct - εct betonu rozciąganego przy obciążeniu typu kinematycznego(np. skurczem betonu)

Według G.D. Ciskreliego [33], oddziaływanie prętów zbrojeniowych na rozciąganybeton sięga na odległość e = 6 φ przy φ ≤ 3 mm i e = 3 φ przy średnicach większych,według F. Leonhardta [26] - na odległość e = 7 φ poza lico pręta, według normy [5] - naodległość e = 7,5 φ od osi pręta. Wariant najbardziej optymistyczny e = 7,5 φ od osi prętawskazuje, że osiowa odległość prętów zbrojenia przeciwskurczowego nie powinna byćwiększa niż s = 2e = 15 φ . Rozstawy prętów z przykładu VI odpowiadają temu warunkowi,podczas gdy rozstaw s = 350 mm dla prętów φ 10 z przykładu VII warunku tego nie spełniai zbrojenie to nie będzie efektywne.

Na zakończenie należy zwrócić uwagę na fakt, że naprężenia skurczowe są zmienne wczasie, jedne ( )II

csIcs σσ , rosną z czasem, inne ( )III

ctσ z czasem maleją. Stąd też jeżeli ilośćzbrojenia przeciwskurczowego w strefach przypowierzchniowych jest podyktowananaprężeniami własnymi III

ctσ , wówczas należy spodziewać się z biegiem czasu zamykania

się rys skurczowych (o ile powstaną) i zmniejszenia się naprężeń IIIssσ w zbrojeniu

przeciwskurczowym. Pręty tego zbrojenia mogą być wówczas przydatne do innych celów,jak np. do współpracy z betonem przy przenoszeniu obciążeń zewnętrznych i innychoddziaływań (np. termicznych).

Jeśli natomiast ilość zbrojenia przeciwskurczowego jest podyktowana sumowaniem sięnaprężeń III

csσ z naprężeniami IIcs

Ics σσ i (rys. 8.4), wówczas powstałe rysy skurczowe mogą

w czasie nawet się rozszerzyć, i stąd należy dużą wagę przywiązać zarówno do ilości jak iśrednicy oraz rozstawu prętów zbrojenia przypowierzchniowego. Dotyczy to np. dolnych

stref ścian bocznych wysokich belek żelbetowych i sprężonych, gdzie naprężenia skurczoweIIbsσ i III

bsσ sumują się w przęsłach z naprężeniami rozciągającymi od pracy belek nazginanie. W takich przypadkach np. norma [5] zaleca stopniowanie podłużnych prętów przyobu powierzchniach bocznych - gęściej od strony rozciąganych prętów głównych.

F. Leonhardt [34] wręcz zaleca stopniowanie tych prętów wg rysunku 10.2.

Rys. 10.2. Rozkład poziomych prętów przypowierzchniowych dla wysokiej belki mostowej

11. Uwagi końcowe

Praca niniejsza, mimo swojej obszerności, nie wyczerpuje całości zagadnienia. Niemożna bowiem zagadnienia naprężeń skurczowych rozpatrywać w oderwaniu od naprężeńtermicznych [35], wywołanych w konstrukcji bądź przez wpływy wewnętrzne (ciepłohydratacji cementu) bądź przez wpływy zewnętrzne (zmiany temperatury otoczenia,insolacja itp.). W elementach niemasywnych i o średniej masywności rzędu m ≥ 10 m-1

dominują naprężenia skurczowe wymuszone, w elementach masywnych i o średniejmasywności m < 10 m-1 - naprężenia skurczowe plus naprężenia termiczne, własne iwymuszone. I tu, każdy przypadek należy rozpatrywać oddzielnie.

Oddziaływanie naprężeń termicznych i skurczowych jest w zasadzie podobne, z tym, żeodkształcenia skurczowe są ujemne, termiczne mogą być dodatnie (np. podczas rozgrzewuelementu przez ciepło hydratacji cementu) lub ujemne (np. podczas stygnięcia tegoelementu). Ponadto ekstremalne wartości odkształceń termicznych i skurczowych mogąwystępować w różnym czasie. Stąd też podanie ogólnych reguł postępowania nastręczaduże trudności.

Klasycznym przykładem mogą tu być zagadnienia związane z połączeniem ścian zfundamentami, np. bardzo dużych trzonów z płytami fundamentowymi znacznej grubości,ścian zbiorników i basenów z fundamentami. Zazwyczaj jest tak, że ściany te wykonujemy zdużym opóźnieniem w stosunku do realizacji płyt fundamentowych. W płytach tych doszłojuż do stabilizacji termicznej oraz w dużym stopniu zaistniały już odkształcenia skurczowe.

Nowo zabetonowana ściana (najczęściej o średniej masywności, np. dla h = 0,4 m,m = 5,0 m-1) najpierw rozszerza się termicznie pod wpływem ciepła hydratacji cementu.Tzw. szok termiczny zachodzi w pierwszych 50-80 godzinach dojrzewania [25], gdy beton

jest najpierw ciałem o cechach cieczy lepkiej, a później ciałem pseudo stałym, o małymzaawansowaniu cech sprężystych. Z biegiem czasu beton w ścianie twardnieje i zaczyna sięwychładzać, kurcząc się termicznie. Do skurczu tego dodaje się skurcz fizyczny. Temułącznemu odkształceniu termiczno-skurczowemu stawia opór wcześniej wykonanyfundament, który dla rozpatrywanej ściany jest więzem zewnętrznym o dużej sztywności.

Na skutek istnienia tego więzu dochodzi do zaistnienia dużych sił w strefie stykowej tychdwóch elementów; ściana jest mimośrodowo rozciągana, a fundament mimośrodowościskany. Prowadzi to najczęściej do znaczących zarysowań skrośnych w dolnej częściściany (rys. 11.1).

Rys. 11.1.

Zapobiec im można układając w ścianie dodatkowe zbrojenie poziome obliczone przyzałożeniu, że ściana jest rozciągana na całej grubości „h”, tzn. Acs = h ⋅ 1,0 m, na podstawieanalogicznych wzorów, jak przypowierzchniowe zbrojenie przeciwskurczowe (por. pkt 9).

Na przykład (przykład VIII) dodatkowe zbrojenie poziome ściany dla przeniesieniarozciągających naprężeń termiczno-skurczowych, dla betonu klasy B20, stali 34GS ofyk = 410 MPa i grubości ściany h = 400 mm, zgodnie z tablicą 9.1 powinno wynosić:

ρss = 0,0055Ass = ρss ⋅ h ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 0,0055 ⋅ 400 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 2200 mm2 = 22,0 cm2/1 mb

wysokości.Dano zbrojenie poziome w 3 warstwach na grubości ściany z prętów φ 14 co 150 mm o

A1ss = 30,8 m2/» Ass = 22,0 cm2/1 mb, z uwagi na ograniczenie szerokości rys dowk ≤ wlim = 0,3 mm.

W kierunku pionowym należy, z uwagi na skurczowe naprężenia własne, zastosowaćzbrojenie:- w 2. warstwach zewnętrznychρss = 0,0055

Ass = 0,0055 ⋅ 0,185 ⋅ 400 ⋅ 1,0 ⋅ 103 = 407,0 mm2 = 4,07 cm2/1 mb szerokości,

a więc np. pręty φ 10 co 150 mm o A1ss = 5,27 cm2/1 mb z uwagi na ograniczenieszerokości rys do wk ≤ wlim = 0,3 mm.

- w warstwie wewnętrznejzbrojenie konstrukcyjne w ilości 20 % zbrojenia poziomego:

A1ss = 0,20 ⋅ 3

8,30 = 2,05 cm2/1 mb szerokości, a więc np. pręty φ 8 co 250 mm o

A1ss = 2,00 cm2 na 1 mb.

Sposób zbrojenia przedmiotowej ściany dla zabezpieczenia przed skutkami naprężeńtermiczno-skurczowych przedstawiono na rys. 11.2.

Rys. 11.2.

Piśmiennictwo

[1] PN-56/B-03260. Konstrukcje żelbetowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.[2] PN-66/B-03320. Konstrukcje z betonu sprężonego. Obliczenia statyczne i

projektowanie.[3] PN-76/B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i

projektowanie.[4] PN-84/B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i

projektowanie.[5] PN-914/S-10042. Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone.

Projektowanie.[6] Pr PN-B-03264. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i

projektowanie.[7] Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu.

Część 1. Reguły ogólne i reguły dla budynków.Tom I. Wersja polska ENV 1992-1-1:1991, ITB Warszawa 1992.

[8] Eurokod 2. Projektowanie konstrukcji z betonu.Część 1. Reguły ogólne i reguły dla budynków.Tom II. Postanowienia krajowe do ENV 1992-1-1:1991. 2-ga wersja. ITB Warszawa1993.

[9] PN-B-03264:1999: Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne iprojektowanie.

[10] Praca zbiorowa: Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych wedługEurokodu 2.Trzy tomowe opracowanie dla KBN, Warszawa 1997.

[11] Eurokode 2: Design of concrete structures - Part 1: General rules and rules forbuildings. Wersja angielska EN 1992-1 (1st draft), July 1999.

[12] Eurokode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules forbuildings. Wersja angielska EN 1992-1-1 (1st draft), October 2001.

[13] Comité Euro - International du Beton: CEB-FIP Model Code 1990. Design Code. CEBBulletin No 213/214. Thomas Telford Services Ltd. London 1993.

[14] Raszka H.: Skurcz betonu - geneza, objawy i przebieg w czasie. Inżynieria iBudownictwo, nr 2/1995.

[15] Raszka H.: Uogólnione metody obliczania przewidywanych odkształceń skurczowychelementów betonowych. Inżynieria i Budownictwo, nr 1/1990.

[16] Flaga K.: Wpływ pól wilgotnościowych na zarysowanie i nośność konstrukcjiżelbetowych. Księga Referatów I Ogólnopolskiego Sympozjum „Wpływy środowiskowena budowle i ludzi”. Lublin, XII. 1994.

[17] Flaga K., Furtak K., Jargiełło J.: Zastosowanie zmodyfikowanej teorii starzenia dooceny relaksacji naprężeń skurczowych w elementach żelbetowych. Archiwum InżynieriiLądowej, tom XXX, z. 4/1984.

[18] Flaga K.: Skurcz betonu a trwałość mostów betonowych. Inżynieria i Budownictwo, nr7-8/1988.

[19] Flaga K.: Praca zbrojenia przeciwskurczowego w wysokich belkach żelbetowych.Księga Referatów XXVIII Konferencji Naukowej KILiW PAN i KN PZITB. Warszawa-Krynica, IX. 1982.

[20] Rüsch, Jungwirth D.: Skurcz i pełzanie w konstrukcjach betonowych. Arkady,Warszawa 1979.

[21] Aleksandrowskij S.W.: Rascziot bietonnych i żelezobietonnych konstrukcij natemperaturnyje i włażnostnyje wozdiejstwia. Strojizdat, Moskwa 1966.

[22] Flaga K., Andreasik M.: Naprężenia termiczno-skurczowe w masywnych elementachbetonowych. Księga Referatów XXXIII Konferencji Naukowej KILiW PAN i KNPZITB. Gliwice-Krynica, IX. 1987.

[23] Flaga K., Wilczyński T.: Odkształcenia skurczowe w pryzmatycznych elementachbetonowych obciążonych niejednorodnym polem wilgoci. Zeszyt Naukowy KomisjiBudownictwa O/K PAN. Ossolineum, Wrocław 1982.

[24] Flaga K.: Wpływ czasu na mosty żelbetowe i z betonu sprężonego. Inżynieria iBudownictwo, nr 6/1997.

[25] Flaga K.: Naprężenia własne termiczne „makro” w elementach i konstrukcjach zbetonu. Cement, Wapno, Gips, nr 4-5/1991.

[26] Leonhardt F.: Cracks and Crack Control at Concrete Structures. IABSE Periodica, nr1/1987.

[27] SIA Norme 162. Ouvrages en béton. Societe Suisse des Ingenieurs et des Architectes.Zürich 1989.

[28] Flaga K., Wilczyński T.: O obliczaniu przypowierzchniowego zbrojeniaprzeciwskurczowego w elementach z betonu. Inżynieria i Budownictwo, nr 11-12/1983.

[29] Flaga K., Furtak K.: Projektowanie konstrukcyjnego zbrojenia przeciwskurczowego welementach żelbetowych. Księga Referatów XXXVIII Konferencji Naukowej KILiWPAN i KN PZITB, Łódź-Krynica, IX.1992.

[30] Flaga K. Minimalne zbrojenie ze względu na stan graniczny zarysowania. Inżynieria iBudownictwo, nr 2/1995.

[31] Holst K.H.: Brücken aus Stahlbeton und Spannbeton. Ernst und Sohn, Berlin 1985.[32] DIN 1075: Betonbrücken, Bemessung und Ausführung.[33] Ciskreli G.D.: O rastiażimosti armirowanych bietonow. Bieton i Żelezobieton, nr19/1964.

[34] Leonhardt F.: Podstawy budowy mostów betonowych. Przekład z niemieckiego JózefGłomb i Feliks Lipski. WKiŁ, Warszawa 1982.

[35] Andreasik M.: Naprężenia termiczno-skurczowe w masywach betonowych. Pracadoktorska, Kraków 1982.