Zbirka Zadataka Iz Matematike Za 1. Razr.sr. Kola

.;,,/'

L-i-R I

-,---1---1- -l-~-- --f---I --

lzJAa(': IF "SV}[TLOSl ". d J Lt$)d ZJ lI~I,i$(;lif..L· i 11;tjl:l\ l1J sr-:Jst\ a

Dirc::kwr: Scfik. Zl'PCEV!C

R<:ccnzcnri: Nlhad SuUrCH~, Pc:d.'.;go;k;\ akaJcil1ip u Zenici

Saf~t ZeLle. Bihac Hariz /\GH~. TU71a

Korcktor: Auto!

Tchnicki ureJnik' Flr.:rcl DAUTO\'IC

DTP: Alltor

St:lInp:.t: DD' cr.A' . T0j.~i(;i

Tim'::: 2 SUO primj\.nb

~~lP_ . .. u PllOI;~~~~iji

I :<:<.l,'II.d:l.1 1l1' . .I\~I./.,lk.d':.I blbilotd .. a lI"'Ti~ I H~f-';CgJJ\ 1\\(, S.lrJjCYll

151 (07) J) I07!i.I·)·

I . . . . I !-It ~K1C. Adem I lbil k~\ mJ.I[JkJ i7. matCIll.Hikc Z.l 1_ razrcu i ~[uhjih ;knLI I .. \<.kll\ HlI~bc - S;!f;ljCVO :

I SI i~l!\hl. ZUfU. - 26--1 str g:Jf pnkui : 2--1 len1

[' ~,k:}::;,' \ lin!{!.,: :'. c' ""V." ".I' i\Jll~~. ~llilurc i 5fwr~.\. n.t QSI\{l\ II od('br~:1jJ \,ij~~a z:.. (\d<lbir \hi,krul.J \,J (); i!~ :01'1 i!,,,!inc:. broj 0.1- 3~-3':o}~ 02 <'uohrii() jr ')' ~J UJ::b~T~lk n l!po(rc~\1

S,r,'o'" j~ zJ)1ra:liod -;\".1].." k(TI;~uj~. 'JiTHW!:.l\ Jilj~ 1 """"""",,,.1' ud;'bCltib [.e~ oli'_lbrmj.1 lzdavilCJ \;, . !";l~:I.J knFi:Jn:~. \l1'.l:W/J\ ~!lj~ i p~c,LIJ\ IjJ k:1' tenD d;eb

IStP; 995S-10-57X-O

PREDGOVOR

Ova zbirka zadataka namijenjenaje ucenicima pr\Zog razreda srednjih skola. Zadaci su birani i rasporeaeni tako da se U ok.-vim iste oblasti prvo nalaze sasvim jednostavni zadaci cije rjesavaoje ne trail veee oapore, a: zatim se nailazi oa neSto teze i na kraju su zadaci za cije rjdavanje je potreboa posebna "kondicija". Tezi zadaci, po mojoj pmcjeni, oznaceni su zvjezdicom iza oznake zadatka. U drugom dijelu zbirke za svaki zadatak je data uputa, kompietno rjesenje, ili sarno rezu!tat. Cjelovita rjesenja su ponudena za vecinu tezih zadataka.

Nadamo se ria ce Zbirka biti od koristi ucenicima koji traie nesto vise od onoga sto naJaze u samim udibeoicima matematike za prvi razred srednjih skola, i da ce omoguciti dodatno utvraivanje, ponavljanje i samostalno vjezbanje.

Na kraju, izrazavam posebnu zahvalnost recenzentima koji su detaljno pregJeJali rukopis, provjeriti rezultate vecine zadataka i svojim primjedbama i prijedlozima znatno doprinijeli podizanju kva!iteta zbirke.

Autor

3

1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATICKE LOGIKE

1.1. Sta je iskaz? 1.2. Kaje od slijedecih recenica su iskazi:

a) 5t3 ~ 8 b) 17 jt prolt broj G) 5v~ki pamn broj jt dj()ljinrr Z d) Stranice kvadrata sujednake e) x-5 ~ 20

1.3. Odrediti istinltosnu vrijednost datog iskq.za: a) -3 je prirodan broj. b) 7 je prost broj. c) 3-4 = 4-32 d) 2+5 = 5+2 e) (_1)5= 1 ,. f) Kvadratje pravougaonik.

1.4. Ako je p(x): 2x2-4<3, odrediti istinitosne vrijednosti: a) ,(p(l)) b) ,(p(2» c) ,(prO»~

1.5. Sta je konjunkcija iskaza? 1.6. Formiraj tablicu istinitosti konjunkcije iskaza p i q. 1.7. Dati su iskazi p i q. Napis] iskaz pAq, ako!je:

a) p: 2 > 3 , g: 1+0 = I b) p: Dijagonale pravougaonika slljednake.

q: Dijagona\e pravougaonika se polovc. 1.8. Odrediti istinitosnu vrijednost date konjunkcije:

d) T(p(-!))

a) (1+1 =3)"(2+5~7) b) (5<S),,(4>2) c) (1<7)".(-2<3) 1.9. Staje disjunkcija dva iti viSe iskaza: 1.1 o. Formiraj disjunkciju pvq, datih iskaza pig, aka je:

a) p: 2=1+1, q: 3+0=30 b) p: -6<2, g: -3-2 ~-5 1.11. Sastavi istinitosnu tab lieu disjunkcije. . C!~, 1.12. Odrediti istinitosnu vrijednost\ijate disjunkcije:

a) (2J=S)v(l~5)b) (1)II)v(3+3~6) c) (l2:4~6)v(J¥15) 1.13. Koji iskaz nazivamo negacija datog iskaza? Ll4. Sastavi tablicu istinitosti negacije. 1.15. Datje iskaz p. Odredi negaciju 1> iskaza P 'aka je:

a) p: 3-7=4 b) p: l+l~2 c) p: Traugaoje k,adrat. 16. Odredi istinitosnu vrijednost datog iskaza:

a) l(1~I) b) l(l+1~3) c) 1(5)7) dJ 'iI-2~:;) 17. Izracunaj:

a) IT A-L b) TvJ_ c) -Lv 11

Sastaviti istinitosne tab lice za date slozvne iskaze

US.a)

1.19.a) 1.20.a)

(p, q i f.SU ma kakvi iskazi):

pvp

p"p (p"q)vr

b) pvq b) P,\q h) (pvr) ,,(qvr)

c) (pvq)vr c) (pAq)M c) p"(qvr)

d) pv(q'Jr)

d) P,\(qM) d) p~.( q-,r)

1.21. Sta je implikaeija iskaza A i iskaza B? 1.22. Sastavi istinitosnu tablieu implikaeije (A=>B).

1.23. Fonniraj implikaciju p => q, datih iskaza p i q, ako je: a) p: xEN; q: XEZ b) p: x>5. q: x>-3 e) p: 4+I~S, q: 2·0~O

1.24. Odrcdi istinitqsnu vrijcdnost date implikacije:

a) xEN => XEQ b) XEZ => XEQ c) x>O => x>-l d) 1+3~5 => 3>7

Izracunaj: 1.25.a) l T =>.1 1.26.a) l (T=> T)v.1.

b) T=>l.l b) (.l=> T)A l.l

c) (lTA.1) =>.1 c) clT=>.l) => T

1.27. Kako definisemo ekvivaleneiju dva iskaza?

d) T => (..LA l.1) d) C-L=> T)=>( l.iA.l)

1.28. Sastavi istinitosnu tab lieu ekvivaleneije iskaza p i q. 1.29. Formiraj ekvivalcnciju datih iskaza A i B:

a) A: 3<5, B: 2-1~3 b) A: 2'~4, B: (_1)3~_1 1.30. Odredi istinitosnu vrijednost date ekvivalencije:

a) (1=5) <=> l(2<3) b) l(5 ~4+1) <=> (6)9)

1.31. Izracunaj: a) (TAT)o.1 b) (.l=>T) 0 l..L c) (ITv.l) <=> T 1.32. Ako je XE {0,3,S:}, odrediti istinitosnu vrijednost slijedecih iskaza:

a) (x+I=4) 0 (x>0) b) (x>1 A x>3) <=> (x>4)

Sastavi istinitosne tablice datih iskaza: 1.33.a) (pAq) => P b) (p=>q) <=> p e) (lpvq) <=> p

1.34.a) pv(q => Jr)' : b) (pA lr) <=> (p=>(qAf» e) (p=>q) <=> (lq=> lp)

Popuniti date tabliee za date vrijednosti varijable x:

1.35;-.' ______ '-;~~-~~--~~~-~-~-~~

!f-,-(x-+-I ~-4-"x =>-X->-7)-If-._""-i'-+I-,0'.J1f-"-3 +1--,,5'--lt .. I._1 l~g~E3 1.36.;-. ______ _

f---~_x"_'_ _·.~..:c'L...l1_2___.l.1_=__~ [_-5 ± 7 1 10 DfTl.w «(X>3)=>(x-l'"1) 0 x<4). ~ L ~L.-J

1.37.

1- x 1 1-3 1 :4.1- 1 5 1 7 DLlJIJ ~)=>(x+I~2)<=>x<4). J~

1.3 8;--. ----'--------,---:-...-cc-r-.

~I)V(X-l~;)) <=> x>5) -I I R_5_'1LI_6 ----,--I _ll_IL....13

. ..JI_I_9

...J1 1.39;.-' ___ _

I x 1-3 I-I J 0 I .11 l ,«(x<2)A(x+2-3» => x<l). . J .

6

1.40. 5taje tautolagija? 1.41. Pomocu isiinitosriih tabliea utvrdi koji ad slijedecih sJoze~ih iskaza su 1

tautologije: a) (pvp) = p \:J'). (pA lp) =? pc) (p=q) <=> (lq=> .p) 1.42. Do,kazi d", su sIijedeci slozeni iskazi tautologije:

a) (pAq)Af ¢> pA(qAf) b) (pvq)vr <=> pv(qvr) c) pv(qAf) <=> (pvq)A(pvr) d) pA(qvr) C> (pAq)V(pAr) e) (pVq)Ap <=> p f) (pAq)Vp <=> p

1.43. Dokazati istinitost slijedecih (formula) iskaza (De Morganovi zakoni)!':

a) l(PAq) <=> clpv lq) b) p v q <=> (p A ;:;)

1.44. Dokazati istinitost slijedeCih formula:

a) l(pAlp) b) l(lp)<=>p c) «p=>q)A(q=>r» => (p=?r)

Iskazi rijecima slijedece iskaze: l.45.a) (3XEN) x<7 b) (3XEZ) x>O c) (3XEN) x+I~IO

d) (3XEN) (x=7 v x> II) e) (3XEZ) (x~O) f) (3!xEN)(x+S~9) 1.46.a) ('\IxER) x'>-2 b) ('\Ix, YER) x+ry+x c) ('\Ix EN) x~x

d) ('\IxEN) x>O e) (Vx,YER) x-r-(Y-x) t) ('\Ix)(xEN =? xEl) 1.47.a) (ltxEN)(3YEZ) x-y>O b) ('\IXEQ)(ltYEZ) x'+y';o;O

c) ItxEN)(:J!YEZ) x+rll d) ('\IxEZ)(3 IYEQ) x-2y~O

Aka su A, B i C rna koji iskazi, a A, B i C njihove negacije) dati slozeni iskaz F napisati u disjunktivnam obliku:

1.48.* F=AvB => AAC

1.50* F=(BACV(AAB»v(A,\B => BAC)v(AAC) Q(C AB)t-,(A.~B)

l.51.* Ako su Ai B rna koji iskazi i slozeni iskaz F(A, B) odreden slUedecom tabelom, napisati F(A, B) u obliku fannule":

r-~-'--~-'~~=-

g : I C'r' I

b)

f----~ I F(AI, Bl A o o 1

I O·

L_~'c--c---'-'_---'-~ - . ~ o I 0 I

L----'_-L._.l i O.J

, 1 52 *a) b)

B F(AoBq A 0 0

A 0

0 I I 0

I 0 I I

I I 0 1

I" Aug\lstl1~ De tvlorga!~ (1806. ~ 18? I.) - jr st,otsli mattmatiCar i logica, 2" Nctacan iskaz je oznacen sa 0, a tacan sa 1.

B FCA, B) I 0 I i I I I 0 0 J I I 0

7

I' ! !, I j" i·1 \>-j

I

I L

1.53.' Ako su A, B i C ma koji iskazi, a slozeni iskaz F(A, B, C) odreden datom tabelom, napisati F(A, B, C) u obliku formule: a) b)

A B C FrA,B,Cf A B C F(A, B, 0 €l 0 0 0 0 0 0 II I 0 0 ! 0 0

0 0

I I

0 I 0 0 J I I 0 I I I 0 0 I I 0 0 I 0 I 0 I 0 I I I 0 I I I 0 I I I I I I I

2. OSNOVNI ELEMENT! TEORIJE SKUPOVA

2. I. Sta se podrazumijeva pod poj mom "skup"? 2.2. Staje element nekog skupa? 2.3. Kako se oznacavaju skupovi?

Navredi sve elemente datog skupa A ako je:

I 0 I 0 I 0 I I

, J

2.4.a) A = {·5, -4, 0, 4) b) A={a, b, c, x) c) A ""{O, I} d) A ={T,-L} 2.5.a) A={xlxEN Ax<5} b) A={xlxEZAX+3=10} c) A={xlxENAx+I<4} 2.6.a) A=lxIXEN A x<7 A x,;S) b) A={x I xENAx<I} c) A={x I XEZA-I<x<5} 2.7.a) A =0 b) A = { } c) A = (0) d) A={0, B, N, Z, Q, R} 2.8. Date s!<upove predstavi pomocu Venovih" dijagrama:

a) A={-I,O, 1,2,7} b) B={0,8, 11,4,23) c) A={-6,-5,3,4,9, II} 2.9. K.ada kaiemo daje skup A podskup skupa B i pisemo A<;;;B? 2. I O. Sta je pravi podskup skupa A ? 2. II. Odredili sve podskupove datog skupa A ako je:

a) A={-2,3} b) A={-7,O,6} c) A={1,9, 16,29) d) {-I, 0, 2, 7,100) 2.12. Odre.:!;li x ako vdjedi:

a) (-I,4)c{-5,-1,3,x,7) b) (5,7,9}c{-2,3,5,6,9,x) c) {2,3Ic{-2,2,x}

2.13. Staje partitivni skup datog skupa A? 2.14. Odre.:!ili partitivni skup PIA) datog skupa A:

a)_ A={iJ, I} b) A={O, 3, S} c) A={-9,6, II} d) {a, 0, b, -7, c} 2.15. Stajeunija skupa Ai skupa B? 2.16. Predstavi uniju dva proizvoUna skupa pomocu Venovih dijagrama,

j* John Venn €-lIS34 1923.) je eng!eski !ogicar

8

Dati su skupaYi A i B. Odrediti uniju AUB aka je: 2.17.a) A= (4, -II, IS), B = {O, -3, 4, 9, IS}

b) A={-8,-4,1l,20}, B={-2,-I,II,20,9} c) A={-I4,3,'-i,5,8}, B={-I2,-3,5,8,9) d) A={4,8,I7}, B={-6,8,17,I9}

2.18.a) A = {xl XEN A x<7}, B = (x I XEN A x>2) b) A={xlxENAX<20}, B={xlxENAx<II} c) A= {XIXEZ/,.-3 cx<7j, B={xlxEN0X<10}

. d) A={xlxEZAX<2}, B={xlxE~Ax>l} 2.19. Ispitaj istinitost datihjednakosti, pri cemuje A' ina koji neprazan skup:

a) AUA=A b) AUO = A c) 0U0 = 0 d) AU(AU0)= 0 2.20. Sta je presjek skupa A i skupa B? 2.21. Predstavi presjek dva praizvoljna skupa pomocu Venovih dijagrama.

Dati su skupovi A i B. Odrediti presjek AnB'ako je: 2.22.a) A={4,-I3, 17}, B={-4,-3,4,9,17}

b) A = {-6, -4, I, 25}, B = { -2, -4, I, 25, 33} c) A = {-4, -3, 2, 5, 8}, B = {-5, -3, 5, 8, 9} d) A={4,-8, 12}, B={-8,8,I2,48).

2.23.a) A={xlxENAX<9}, B={xlxENAX>3} b) A={xlxENAX<20}, B={xlxENAx<19} c) A={xlxEZAx<17}, B={xlxENAX>3} d) A={xlxEZAX<30}' B={xlxENAX>5}.

2.24. Ispitaj istinitost datihjednakosti, pri cemuje A ma koji (neprazan) skup: a) AnA=A b) An0=A c) 0,,0=0 d) An0=0

2.2S.Datisuskupovi:A=,{-7,-I}, B={-1,3,4, 7, II} i C={-8,-7,4, 11, IS}. Odrediti:a) AuB b) AnC c) (AuB)uC d) (AnB)nC

e) (AuB)nC f) (AnB)uC g) (AnC)u(BnC) h) «AuB)nC)nA 2.26. Dati su Venavi dijagrami (SI.2.26.): '

A ~ _____ ~ B ~

°_2 , , I

, II

'4 SI. 2.26. ,

Odrediti: a) A b) B c) AuB d) AnB

2.27. Odrediti vrijednost varijable x ako vrijedi: a) {_4,1,O}n{_S,x,4,1,11}=(0,1} b) {5,x,_7}n(_5,2,4,5,-7,18}=(2,5,-7} c) {5,S, 14}n{-I,4,5,8, 16}={x,5} d) {l1,O,20,6}n{-4,O,4,5, I} ={x}

9

2~28. Aka je AuB~{ -1,0, 1,2, 3,4, 5, 6), A"B~{l, 2, 6), Auf 6, 8, 9}~ = {O, 1, 2,4,6, 3, 9} j Bv{ -3,4, 9} = {-3, -I, 1, 2, 3, 4, 5,6, 9},

odrediti skupov~- A i B. 229. Aka je AuB~{a, b,c, d, e, fJ, AnB ~ {a, c, d}, Au{2, b, 8}~{a, b, c, d, 2, 8} i

Bu{-3, e, f}~{a, c, d, e, f, -3}, adrediti skupave A i B. 230. Dati su skura vi ,{\ ~(I, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9) i B ~(2, 4, 5, 6, 8). Odrediti skup X

za koji vrijedi: A"X~{3, 5}, BuX~{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. 2.31. Kada kazemo da Sll dva skupa di~junktni skupovi? 232. Aka je dat skup A~{O, 1, 2, 3, 4), adredi bar jedan skup kaji je disjunktan

sa skupom A. 233. Definiraj razliku skupa Ai skupa B! 234. Dati su skupavi A ~(l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) i B~{-I, -2, -3, 5, 6, 8, 9). Odrediti:

aJ AlB . b) B\A cJ (AIB)uA d) A,,(AIB) 235. Rijesi zadatak 2.34. pomocu Venovih dijagrama. 236. Odrediti AlB, B\Ai (AIB)u(B\A) aka je dato:

a) A~{-3,2,3,4}, B~{1,2,4,5,7,8}

b). A~{1,5,-7,11}, B~{l,4,5,-7,9}.

237_ Koji skup nazivarno slmetricna raz!ika skupa Ai skupa B? 2.3-:8. Odrediti sirnetricnu razliku· A,6.B datih skupova Ai B:

aJ A ~ (-4, -2, 0\ 2, 3,7), B ~ {l, -2, 0, 5, 8} b) A ~ (O, 2, -1,4), B ~ (3, -4, 2, -7, 9).

2.39_ Simetricne razlike iz prethodnog zadatka predstavi pomocll Venovih dijagrama.

2A€1. Dati su skllpovi A ~: {4, 7, -3, 8}, B~{ - I, -2,4, 5, 8}. Odrediti skupove:. a) Ai1B .. b) RM c) (Ai1B)i1B d) (MB)i1(A"B)

2ALAko je AcB, koji skup se naziva komplement skupa A 1I odnnsu na skup B. 2.42_ Dati su skupovi A j B. Odrediti kornpiement skupa Au odnosu n3 B (eBA)

aka je: .

a) A~{O, 1,2,3} b) A~ (0, 5) c) A~(-3,2,3,5J

B ~ (- 1,0, I, 2, 3, 4, 7, 8) B~{0,1,4,5,6)

B~ {-5<-3,-1,2,3,4,5, IO}.

2AY-.. Dokazati tabebrno iii analiticki, daje a) (AUB) I B ~ AI(AnB) b) (A"B) IC ~ (AIC) n (BlC)

Dokazati da za neprazne skupove A, B i C nijedi: 2.44'«.) (AuB)uC ~ Au(BuC) b) (AnB)nC ~ An(BnC) 2A5.a) (AuB)"C ~ (AnC)u(BnC) b) (AnB)uC ~ (AuC).~.(BuC) lAo,_ .• ) CI(AuB) ~ (CIA)n(CIB) b) CI(AnB) ~ (CIA)L;(CIB) 2A7_a) An(BlC) ~ (AnB)\(AnC) b) Au(B\C) ~ (AuB)\(CIA) lAS .• ) (AuB)\(AuC) ~ (B\A)n(B\C) b) (AnB)IC ~ An(BIC)

10

Akaje U~{ 1,2,3,4,5, 6, ~', 8, 9,10, I 1,12,13,14, IS), A=(I, 2, 3, 4. 7}, B~{3, 4,5,6, I I, Ill, C~{3, 4, 7, 8, J2, 13, J4), D~{J, 7,14),

odrediti skupove prCI113 :::1 ijedecim datim podacima eX je oznaka za komplement ,~l:upa X U odnosu na skup U)

2.49.a) (Au B)n(DIC); b) (C n 0) n(Ou(Au B));

2<50.a) (Ai10)u(8nl') b) «(AuB)ve)n(BvA» ; -

251.a) (AvB)ul_::uDJ b) «A n O)v(Bue))nA.

252.a) (A i1 8)n(C i1 0) b) (A u 0) I(E IC)

253.a) (AnB)\(CuO) b) «AnE)uO)I(euD)

2.54.a) «(A n B)" (A u e) nO b) (AuB)u(BnC)

2<55.a) (AvD)n(BuC) b) (A u B)u(B "C) u(Au 0).

Pomocu skupova A, B i C simholima izraziti skup D koji je osjencen na datoj slici: 2.56. 257.

A B

c

2,59< 2.58. B A~~~ / / ',\\

C )

1 I

1 , I i '

, I

2.60.

c

Pomocu skupova A, B, C 2.62. A

8

o

2.64. A

B

o

12

2.61.

A B

) )

) c

D izraziti skup E osjencen na datoj slici: 2.63.

c

D

2.67. A

D

D

A A

2.68.

8 8

0

7 c

2.70. Kako se deftni'e Dekartov (Descartes) " proi~od skupa A i skupa B? 2.71. Odredi AxB ako je dato:

a) A={ 10, -7}, B={I, -2} b) A= {I, 5, -3}, B = {4, -2} c) A={O, 2, 9}, B={-I, 0, 2} d) A ={6, 3, OJ, B={2, -3, 5}

2.72. Odredi skupove AxB i BxA ako su dati skupoyi A i B: a) A={0,-2},B {0,3} b) 'A={-I,-5,3},B={3,2} c) A={I,2,7},B={-2,2,6} d)A={3,0,-6},B={0,1,9}

2.73. Koristeci rezultate prethodnog zadatka odrediti istinitosnu yrijednost jednakosti AxE = BxA . .

2.74. Odrediti skupo;e A i B ako je poznat skup AxB: a) AxB = {CO, 2), (0, -3), (0, 5), (3, 2), (3, -3), (3, 5)} b) AxB = {(-I, 6), (-1, 8)(-1,10), (5, 6), (5,8)(5,10), (7, 6), (7,8)(7, 10)}.

2.75. StaJe kyadrat skupa A? 2.76. Odredi kvadrat datog skupa A ako je:

a) A={O, I} b) A={1,2,3} c) A={0,-1,3,4} 2.77. Dekartov proizvod AxB={(O, 5), (0, 6), (0, 7), (I, 5), (1, 6), (1, 7)) predstayi

pornocu sheme. 2.78. Dekartoy proizvod AxB={(I, 5), (1, 6), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 8), (3, 5),

(3,6), (3,8), (4, 5), (4, 6), (4, 8)} predstavi pomoeu mreze. 2.79. Ako su A, B i C ma kakvi skupoyi, dokazati tac~ost jednakosti:

a) Ax(BuC) = (AxB)u(AxC) b) Ax(BnC) = (AxB)n(AxC).

2.80. Sta je relacUa izmedu skupa A i skupa B? 2.81. Sta je relacija u skupu A? 2.82. U skupu A={ 1,2,3,4,5,6) dataje reiacUa xpy c> x<y. Napisati reiacUu

p kao skup uredenih parova. 2.83. U skupu A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dataje relaelja xpy c> x I y (x dijeli y).

Predstayiti relaciju p pomocu tabliee. 2.84. Relacije.iz dva prethodna zadatka predstaviti pomocu grafa relacije. 2.85. Koju relaciju nazivamo relacija ekvivalencije?

~. Rene Descartes (! 596 ~ 1650.). puzr,ati francuskl matema!ic::rr i fjlozof

13

2.86: U skupu cijelifl. brojeva Z definisanaje relacija p 11J. slijedeci nacin: xpy <=:> xq(mod 2)(x i y pri dijeljellju sa ~ O'"jU isti ostatak). Pokazati daje p re!acija ekvivalenciJe.

2.87. Koju relaciju na~ivamo reladja uredenja (pori'tka): 2.88. U skupu A~{l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) definisanaje reheUa p na slijedeci

nacin: xpy <=> XS;y. a) Pokazati daje relacija p relleksivna, antisimet"-icna j tranzitivna

(tj. daje relaeija poretka). b) Nacrtati gt:afreJacije p. c) Sastaviti tablicu reIacije p.

2.89. Kada za relaeUu peAxB kazemo daje funkcija sa Au B? 2.90. Nekaje data funkcija f: A -> B, gdje je A~( 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9},

(1 2 3 4 5 6 7 8 9J' .

B ~ (-3, 0, 1,2,6,8, 10), f~ 0 1 -3 2 6 0 8 2 1 . Odrediti:

a) f(l) b) f(3) c) f(5) d) f(8) e) [(9)

(2 3 4 - 5 7 8J

2.91. Nekaje data funkeUa f: A -l> A, f~ 7 _ 5 7 3 8 7 ' gdje je

A~{2, 3, 4, -5, 7, 8}. Odrediti: a) f(2) b) f(3) e) f(f(2») d) f(f(3») 2.92. Dataje funkcija f: N -.;> 2N ,f(x)~2x+2, N~( 1,2,3,4, .,., n, n+l, ... }.

Odrediti domenu i kodomcllu funkcije. 2.93. Na skupu N dataje funkcija f(x) ~ 3x-I. Odrediti :

f(l), f(2), f(3), f(IO), f(ll). 2.94. Aka je na skupu Z data funkeija f(x) ~ 5x-7, odrediti

[(-3), frO), f(5), f(f(I», f([(·2».

2.95. Na skupu A~{2, 3, -4, ·5, 10} data jefunkeija f = . (23 -4 -5 10) 32-·5 -4 2

Odrediti f(2), f(-4), f(lO), f(f(3», f(f(-5», f(f(f(2»).

2.96. Dataje funkcija f: R -l> R, f(x) ~ 2x+l, (Rje skup svih realnih brojeva). Odrediti: a) f(O) b) f(-3) c) f(5) d) f(f(2)

2.97. Ako je data funkeija f(x) = 5x+2 u skupu Z, odrediti x iz uvjeta: a) f(x) ~ 7 b) f(x) = 2 c) f(x) ~ 12 d) f(x) ~-13

2.98. Dataje fUllkeija {: Z -.;> Z formulom [(x) ~-5x+1 u skupu A = (-3 ,0,2,4,1'1). Odrediti [(A).

2.99. Aka su date funkeije f: N -.;> N, f(x) ~ x+2 i g: N -.;> N, g(x) = 3x-l, odrediti: a) fog b) gof c) fof d) gog

2.100. Date su funkeije na skupu Z fonnulama f(x) = x+ 3, g(x) ~ 2x-l, h(x)~x-5.0dredlti: a) (fog)oh b) fo(goh)

2.10 l. U skupu R date su fUllkeijc [ormulama: f(x) ~ x' - 3, g(x) = x2+5. Odrediti: a) fog b) go f

2.102. Kakva funkcija se nazi va sirjektivna funkcij!l (sirjekdja)?

14

(2 3 4 -5 7

2.103.Zastofunkcijaf:A~A,f~ 7 -5 7 3 8

A ~ {2, 3, 4, -5, 7, 8}, nije sirjekcija?

8) .. 7 ,gdJeJe

2.104. Za kakvu funkciju kaielllo daje injektivna funkcija iii injekcija?

(I 2 3 4 5 6)

2.I05.Datajefunkeijaf:A-l>B,f= 4 5 6 7 8 9 ,gdjeje

A~{I, 2, 3, 4, 5, 6}, B~{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Utvrditi da lije data [unkcija injekcija. Zasto ova funkcija nije sirjekcija?

2.106. Za kakvu funkeiju kaielllo daje bijekcija?

(1 2 3 4 5

2.107. Dataje funkcija f: A -l> B, f~ 3 4 5 6 7

A~{ I, 2, 3, 4, 5, 8}, B~{3, 4, 5, 6, 7, IO}. Utvrditi daje data funkcija bijekcija. 2.108. Koja funkcija ima inverznu funkciju? 2.109. Stajc iuverzna funkcija rl(x) (bijektivne) funkeije f(x)?

(I 2 3 4 5 8)

2.110. Datajc bijekcija f: A -l> B, f~ 3 4 5 6 7 10 ,gdje su

A ~ (1,2,3,4,5, 8} i B ~ (3,4,5,6,7, 10}. Odrediti inverznu funkciju [I. 2.111. Ako je [(x) ~ 3x·l funkeija definisana u skupu realnih brojeva R,

odrediti njenu inverznu funkciju flex). 2.112. Odrediti inverznu funkciju [I(X) date fllnkcije [(x) ako je:

a) [(x) ~ 3-x b) f(x)~ IOx+5 c) f(x) = x -3 x+5

2.113. U skupu realnih brojeva R date su funkcije (koje su bijekcije)

. 2x+3 Od d" formlilallla: [(x) = 3x+ I I g(x) = --. re Itr: 5

a) ['I (x) b) g.I(X) c) (r' 0 g-I)(X)

2.114. Aka je f(x) ~ x, odrediti f([([(2000»). 2.115.Akojef(x)=3x-l, odrediti [(x). 2.1 16. Odrediti frO) ako je 3 f(x) + f(5x) ~ x-4. 2.117. Dataje funkcija f(x) ~ x-5. Odrediti funkciju g(x) ako je

f(3-g(x» ~ 2x+ 1. 2.118. Ako jef(x) ~ x+ I i f(3x+2+g(x» ~ x+6, odrediti g(x). 2.119. Ako je [(x) ~ ax'+bx+c, dokazati da za svako x vrijedi:

f(x+3) - 3f(x+2) + 3f(x+ I) - f(x) ~ O.

2.120. Staje binarna operacija u skupu A? 2.121. Nekaje u skupu N definisana operacija * ovako: x*y =: x+y+ 3.

Odrediti: a) 2*3 b) 3*5 c) I *8 d) (2*4)*5 e) (3*4)*(2*5)

2.122. Sta nazivarno algebarska struktura. 15

3. SKUPOVI BROJEVA

3.1. Prirodni brojevi (N )

I!i. Odrediti zbir prirodnih brojeva: aJ 11+24 b) 524+112 c) 317+2246

112_0drediti razliku prirodnih brojeva: [;a) 38-23 b) 145-119 c) 5147 - 3132

Odrediti proizvod (produkt) prirodnih brojeva: 133.a) 8·10 b) 15·100 c) 245·1000 \!:4.a) 15·4 b) 124· 17 c) 735·233 I

d) 5784+3425

d) 2487-439

d) 943·10000 d) 784453 I

h Koristeci se zakonima asocijacije i komutacije izracunati: d.5·a) 2+237+8+13 b) 117+459+23+1 I c) 52+4314+18+116

3.6.a) 34+112+338+188+162 b) 215+81+245+185+155 c) 144+731+300+156+169 d) 11+127+500+89+173

3.7.a) 2-4·5·25 b) 4·19·25 c) 125.4.8.25

38.a) ].8·5·25 b) 4·8·25·3 c) 2·8·50· 125· I I [9. IZIacunati vrijednost datog izraza:

a) (72+6)·5 b) (J 9-11)-4 c) 3{2+53)+(57-43)-2 3.10. Kakav broj nazivamo prostim? 3. I I. Odrediti proste [aktore datih brojeva:

a) 36 b) 210 c) 770 d) 273 e) 25194 3.12. Kakav broj nazivamo najveci zajedniCki djeHlac datih brojeva?

3.13. Odrediti najveci zajednicki djelilac brojeva (NZD): a) 18 i 54 b) NZD(300, 400)~? c) NZD(120, 240, 330)~?

3. I 4. Kada kaiemo da su dva broja uzajamno prosti brojevi? 3.15. Koji od datih parova brojeva su uzajanmo prosti:

a) 3il2 b) 12i25 c) 99i 16 d) 100i33? 3.16. Koji broj zovemo najmanji zajednicki sadriilac datih brojeva? 3. I 7. Odrediti najmanji zajednicki sadriilac (NZS) datih brojeva:

a) NZS(3, IS) b) NZS(J2, 8) c) NZS(J4, 15) d) NZS(I I, 23) 3.18. Koliki je ostatak nakon dijeljenja broja a sa b ako je:

a) a~7, ~3 b) a~155, ~14 c) a~3425, b~26 d) a~888, b~233? 3.19. Za svaka dva prirodna broja a i b postoje brojevi q i r tako da vrijedi

a=bq+r. Aka su dati brojevi a i b, odrediti q j t:: a) a=17, ~3 b) a~34, ~27 c) a~345,~45 d) a~12, ~70.

3.20. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 10, 100 i 1000.

3.21. UtHditi koji od datih brojeva su djeljivi sa 2: 17, 423, 72848, 3564, 82101,IQ403052?

3.22. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 3." 3.23. Meau datim brojevima prona,;i one brojeve koji nisu djeljivi sa 3 :

723, 5004, 90204, 2368, 480015" 4001, 201102. 3.24. Ispitaj djeljivost datih brojeva sa 3 ne izvrSavajuCi operaciju dijeljenje:

a) 5460 b) 14040 c)7230012 d) 1013313 3.25. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 9. 3.26. lspitaj djeljivost datih brojeva sa 9: .

a) 40410 b) 902403 c) 90079 d) 71901162 3.27. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog breja sa 5. 3.28. Koji od datih brojeva nisu djeljivi sa 5:

74300 5425, 14532, 601805, 2503004, ,331105? 3.29. Doka.zi; Prirodan broj je djeljiv sa 5 ako mUje. cifrajedinica djeljiva sa 5. 3.30. Ako se kvadrat rna kog nepamog broja umanJI zaJedan, dobIvem broJ je

djeIjiv sa 8. Dokazati. . .. . 3.31* Dokazatidaje suma prirodnih brojeva od I do. 1000 djeljIva sa brojem 143. 3.32.* Dokaii: Ako je bar jedan [aktor pnrodnog bro)a a d)eljIV sa nebm

prirodnim brojem, ondaje i broj a djeljiv sa tim prirodnim brojem. 3.33. lspitaj da lije izraz 43·15·37 djeIjiv sa 5. . 3.34. Zbir tri uzastopna prirodna broja uvijekje djeljiv sa 3. DokazatI! 3.35. Proizvod dva uzastopna pama broja uvijekje djeljiv sa 8. Dokazati! . 3.36. Razlika kvadrata dva uzastopna nepama broja djeljivaje sa 8. Dokazatt! 3.37. Dokazati da, ako je zbir tri broja djeljiv sa 6, ondaje i zbir njihovih

kubova djeIjiv sa 6. . ' .. .. 3.38. Dokazati daje zbir kubova tri uzastopna pnrodna braja djeljlv sa 9.

. n3 -n . 3.39.*a) Akoje nEN, tadaje -6- EN. Dokazatr! ,

n'-n-J2 . k '1 b) Akoje nE NI ~}, tadaje EN. Do azatl.

n-3 c) Akoje p prost broj i p>3, dokazati daje broj p'-I djeljiv sa 24.

3.40. Ako su a i b prirodni brojevi,dokazati daje aq(a+b) paran broj.

3.41. Dokazati daje za svaki prirodan broj n; izraz n(n'-I)(n'-5n+26) djeIjiv

sa 120. 4 3 , ... k' '. d 3.42. Dokazati daje izraz n +2n +1 In +10n dJeIJIV sa 24 za sva I pnro an

~n. , ... '. . 3.43. Dokazati daje izraz n3+3n -0--3 djeljIV sa 48 za svakI neparan broj n. ~4.* Skup svih prostih brajevaje beskonacan. Dokazatt!

17

3.2.' Cijeli brojevi (Z)

Odreditj zbir (razliku) cije lih brojeva:

~.45.a) 3+(4) ; b) -3+(-7) c) -6+11+(-5) d) 4+27+(-30)+(-2)

346a) 5-(-6) '. b) --4-(-2) c) -8 - (-7) d) -2-(-11)-3 f 4 ;.a) -8-(-6)+(-1) b) 14-(-12)-(+22) c) -6-(-24H2-(-I3)

{J .~i.2t Kolika je vrijcdnDst izraz3 x+y-z aka je: V aJ x~-Ly~-2;,z=-3. b) x"'-10 vo2 Z~O c) x~-5.y~-3,z~2 3.44.0dreditia-ba~oje: " ,

a) a=15, b=I9, b) a=56, b=-23, c) a=-9, b=-13.

-! .Izrac,unat!. vr.ije~nost datog izraza (izvrsavajuci naznacena mnozel~a, sabiranja, QUU .. 2 . .L-'1l<1flJa, dlJelJenJa):

(iSO_a) (-3)-(4) b) (-I}C-I I) c) (-2)·(+9) d) (+8)-(-5) 0:5:,,) 5(-1)(-3) b) (-3)(-7)2 c) (-6) (-2)+(-3)(-S) d) (-3)-(-1)-(-2)(-7) (!.):'\ (-8):(-4) b) (-12):6 c) 28:(-7) d) (-40):(-8) ()),. 15·(-1):(-3) b) (-12):(-4)·(-2)

oj (-18):(-2)+(-1)-(-8) d) 100(-20)+(-3) 3',5~. ~,ij~sijednacinu: a) x+5=2 b) 17+x=15 c) 35,+x=11 3.5S. Staje apsolutna vrijednost cijelog broja? 3.56. Koji (cijeli) brojevi imaju apsolutnu vrijednost 5?

Odrcdi vrijednost datog izraza:

U.s!",) H b) )241

\2)8.311 PHS) b) 12-51-14-171

3.59''''1 -1-14 + 31 +[3 -(2-1) +(5 -8)1

3.60."') 11-5IP-101 b) H!·HI3-SI

cJ 1-171 d) /+1441

c) 14-1S +3)-12 -201+ I

b) )-7I+/-3I+1)+IS-ill

c) /-28+3511-3+81

Rijesiti datujednacinu (sa apsolutnirn vrijednostima):

3.61 IXi~lb) Ixl~5 cJ Ixl~lO d) !xl~15

e) /+ 2 ~ 6 . f) Ixl-l ~ 7 g) 2/x) +4 ~Ixl +16 h) 7 -Ix/ ~-2

3.62 .• ) Ix-21~8 ; b) Ix+II~7 c) Ix-41+3~18 d) 5+\x-61~]7

J .63, Za kojc cijele brojeve X vrijedi :a) Ix! '" -x ? b) Ixl ~ x ?

Odredi sve cijeJe brojeve x za koje je:

3.64.0) Ixl <2 b) Ixl 1 b) IXI2>8

18

c) Ixl <5

c) IXI2>4

d) Ixl<10

d) IxJ;>1 00

3.66. * Dokaii da za svaka dva cijela broja a i b vrijedi : la + bl $Ial + Ibl·

3.67. Dokazati: Ako su qva cijela broja djeljiva sa m, ondaje i njihov zbir

djeljiv sa m. . 3.68. Proizvod dva cUela brojaje djeljiv sa m aka je bar jed an od tih brojeva

djeljiv sa m. Dokazati! 3.69. Dokazati: Ako je cijeli broj a djeljiv sa min, gdje su min uzajamno

prosti, tadaje broj a djeljiv i sa mn. , )

370. Dokazati daje izraz -"-+.':..+.':...cijeli broj za svaki paran broj n. . 12 8' 24

a a+ I a 3.7 L Odrediti sve cijele brejeve a i b za koje vrijedi - + -- ~ - .

b+l b b

.' 14x+S . 17x-5 '1' b 3.72. * Postoji Ii cijeli broj x za kOJi bi brojevi ~- I ---'- bl loa

9 12

cijeli? 3.73* Ako funkcija f(x) ~ ax'+bx+c za sve cjelobrojne vrijednosti varijable x

dobija cijele vrijednosti, dokazati da su brojevi c, a+b i 2a cijeli.

3,3. Racionalni brojevi (Q)

3.74. Sta su racionalni brejevi?

5 "d d 'h'b' " ' I 3 4 4 1t 8 II '-2 3.7.KoJlo att roJevanIJeraclOnaan:-" -, -,--, -', v . 5 IS 7 IS

3.76. Sta znaci prosiriti razlomak?

Date razlomke prosiriti sa datirn brojem: 4 -2 5'sa2. b) 7,50-3. 3.77.a)

8 c) ~sa4.

II 14

c) 9,sa3. 23 -I 3.78.a) ~,sa-l0. b) -,sa-5

-S -12 3.79. Date razlomke skratiti sa izabranim cijelim brojem:

4 5 24 -16 a) - b) ~ c) - d) 4

6 IS 36 2

64 e)

-56

3.80 Za svaki dati racionalan broj napisati njegovu reciprocnu vrijednost:

a) .!. b) ~ cJ 25 d) ~ e) 6 5 7 13 -5

19

Prosirivanjem-datih razlomaka sa odabranim brojevima dovesti razlomke na zajednicki nazivnik:

I 2 3.8I.a) 5"'"7

3 I 5 3.82.0) 2' 4';;

4 3 II 5 b) 7'4 c) 8'4

237 753 b) 3' 5"' 30 c) "6'"4'"8

Saberi (oduzmi) date racionalne brojeve (razlomke): I 3 -+-4 4 7 5

9 9 2 7 4

3.85.a) -+---9 9 9

571 c) -+-+-

6 6 6 4 2 5

c) ---+-3 3 3

b) .J..5. +~~ _2 c) ~_~_ 50 19 19 19 31 31 31

20 2 I d8~) ~+~ ''--- " 5 3

b) ~ +lI. 12 8

c) -+-+-27 9 18

6 23 8 b) -+--

S 10 20 2

b) 3--7

b) 2.-2 15

28 3 4 c) -+---

25 50 75 8

c) 8--3

5 c) -+10

II

Pomnozi date racionalne brojeve: 2 3 4 3

b) 7 4 5 4 16 10

25 4 3

3.92.a) 6·-4

b) 14 25 75 7

b) 2-3 5

/_',' Podijeli racionalne brojeve:

(3.9",~) 12 3 b) 27: ~ '-.../ 25 5 16 4

20

2 2 27 5 3.94.a) 5" 7 b) 16 16

12 3.95.a) 25:4 b) ~: 1 0

5

2 5 14 c) -'-'-

7 6 II 6 7 33 c) _.-.-II 6 14

c) 10 2 6

64 8 c) - -

27 9 6 5

c) 7:9

c) 6:1; 9

6 23 d) 7' 28

I 17 3 d) 5' 15'20

3 5 I d) -+-+-

14 14 14 8 5 14

d) --+---23 23 23

d) .!.! _.J..5. + 2..l. 25 25 25

9 3 4 d) -+--

II 22 33 3 4 5

d) -----16 48 64

d) I--~ 15

d) 2._1 5

d) ::-~.3..~ 14 3 -1 9 4 30

d) -'-'-28 3 II

d) 2. 2 10 3

d) .:::32 :2 21 3

d) .2. -4 -2 5

d) 12: -3 4

lzracunati vrijednost datog izraza:

(2+~J4 b) 5{4+~) c) (7-Hs 4

b) 2-·3 5

( 25) d) 2l16- T 3 5

d) 16-··· 4 4

b) (5-i}6 d) -12{~-2)

b) ~(2-~) 13 II

b) (3-n~ b) 3 ( 5\ 28: 1+ 3)

b) (~+~):(.4._ 20) 2 5 9 27

2 1 2 2 I 2 8-+5.1 -10.2- 12--63-:5-

3 8 3+ 3 3 11 3.104.*a) I 3 2

8--5- 2-2 4 3

b)

( 3 1 2 3 I) I

28:14+13:22+13.911+4:12.37 3.105.*a) - I 2

67--47·-7 7

6143 251 24: ---: -+6-: 9 20: 2- + 25-: 1--

7 9 21 4 15 7 35 2 14 2 + 7 2 :

53· -- 22--: 2- 21-: 4---1 3 15 3 9' 3

3.106.*

[G~ +~})-G+~)l48:G: ~) 3.107.* G~+~:-n54~:H:~~) 3.108. Rijesiti datujednacinu:

c) (5-J.1~ 4) 3

c) i:UI-S) c) (3. + ~ 1(.3. -I)

3 4) 2

II 15 6 4 b) -+_.---

13 26 25 5

4 . I b) 4+5x=-- c) -2x+·--=3

7 2 3.109. Zbir dva racionaln" broja je racionalan loroj. Dokazi!

21

3.1 10. Poredaj po yelieini date racionalne brajeve:

3 1 i li -5 200 -tl 500 . ' 3' 9' 27' , 300' , 900

3.1 II. Kolika decin\ala imaju brajevi: a) 5,22001 b) -17,13 c) 531,112 d) 0,1200078?

Napisi dati razlomak U obliku decimalnog broja:

3U 12.a) 3 b) }2 4 4 7

c) -- d) e) 10 100 10 100 1000

3.1 13.a) 1 b) .1. 4 2 34

c) - d) e) 2 5 7 3 25

Napisi dati decimalan braj u obliku razlomka: 3.1 14.a) 0,5 b) 0,75 c) 1,2 d) 4,25 eJ 1,9

3.l15.a) 45,25 b) 0,33333 ... c) 2,454545 ... d) 5,23363636 ...

IzvrSi naznacene operacije sa datim decimalnim brojevima: 3Jl(').,a) 5,2+4,8 . b) 0,9+1l,13 c) 4,12-3,1+4,22

. :017.a) 15,13+14,87 b) 23,16+13,14 c) 11,32+5,7-21,62 3_118.a) 2,3·5,1 b) 11,7·6,18 c) 333,6·8,44 )UIJ.a) 101,56·0;762 b) 0,374·34,57 c) 22,105-3,94

QJ.?O.a) 4:2,3 b) 3,5:4 c) 24,5:3,1 3 . .I21.a) 145,24:5,18 b) 872, I I :5,3 c) 566,399:43,15

Izracwmti wijednost izraza:

3_122.a) (7-6,35):6,5+9,9

( 1,2: 36 + 1,2 : 0,25 -12.): I 69 . 16 24

3.123 [G- ~~):1'25+(%- ~:)(0,358-0,108)]

( 13,75+9!c}I2 (68-3~) 5.5. 6ij' , 5 6 I

3_'I24.a) -',-----'Cf-- + 26 .. ·

(1O,3-8~H H-1HS6 6

b)

[

3! +2,5 4,6-2! ] [ ] 3,J25.a) _3 __ .~ __ 3. ·52 : -~+57 b)

2,5-1~ 4,6+2~' ~-OI25 ' 3 . 3 7'

16-.!2. , 25

7 II 0,725+0,6+·-+-_~--c--,1LlQ..o 25

I 3' 0,128.64-0,0345: 25

__ -,,-2 4' 10

[

3,75+2!c 2.'3.+15]

2~-I,875 2,75"I~ 'iI

3.126.

3.127.

3.128.

3.4.

[11_:(17,+06-0005)1'1,7 4,75+7-2'

5 40 ) ) J ~~~=..:..!.~+ :0,25 5 1 23 5

+1--1.- 33:4 6 3 30 7

[20.0,1 + (?20. 0,43): 0,26 - 217.2%)-(31,5: 12~ + 114.2+ + 61 ~) r

l Q,2 - I, 7): 0,003

(29 _.'3.1.4:02 35 7) ,

Realni brojevi

'13 .) 1 ll--15 ·15 20 ' ,. j'6)..1.+1364'0124

(2 44 + 1.I2). ~ . -20 ' ., , 25 8

(R= QUI)

3.129. Sta su iracionalni brojevi? 3.130. Koje brojeve nazivamo realni brojevi? 3.131. Na brojnoj pravoj odrediti tacku kojoj odgovara broj:

a) J2 b) J5 c) flo d) .ft7 3.132. Dokazati da dati brojevi nisu racionalni:

a) J2 b) J3 c) J5 3.133. Odrediti manjll pribliznu vrijednost rGalnog broja

m =4,795831 5 ... sa tacnoseu do O,O!. 3.134. Zadani sll realni brojevi a=7,34212 i b=2,39132. Odrediti prvih pet

manjih apmksimacija zbira a+b. 3.135. * Aka za pozitivne brojeve a, b, CEQ vrijedi fa + Jb = c, dokazati

da su i brojevi fa i Jb, racionalni.

4. ALGEBARSKIIZRAZI

4.1. Stepeni sa prirodnim izlozioeem (eksponentom)

4. I. Sta nazivamo aIgebarski izraz? 4.2. Kako se definise n'ti stepen realnog broja a?

Izvrsiti naznacene operacije sa stepenirna:

4.3.a) 2' b) 5' c) (.2)' d) (_3)4

4.4.a) (-II)' b)!O' c) 25' d) (0,1), 4.5.a) 3'.34 b) 42 44 c) 5.53 5' d) 10',10'-10 12

4.6.a) a'·a' b) b3 b' c) x·x'·x' d) a".a".a' 4.7.a) 4':4' b) SIO:8' c) 1030:10' d) a24:a' 4.8.a) a2·a4x:a3x b) b6n·b311:b5n c) x7n·xJIl:x5n d) X2J:XIO'X8

4.9.a) (2')' b) (3')' c) (_l l )' d) [(-1),]2 4.1O.a) (a')' b) (a")5 c) (bs), d) [(_a)']'

e) ( ..fi)' e) (0,01)' e) 72J ,io·7 e)

, , x 'x 'x

e) X2J

:XIO

e) [-(-10)'1' e) ']' [-(-x)

Izracunati vrijednost datog izraza: 4.1 La) (lOO·S)' b) (l00·1 I)' 4.12.a) 5'·2' b) 254.44

c) (lOA)' d) (10002)' c) 12S28' d) 0,253 161

( 3)4 (5)' ( 8)2 (75)' 4. 13.a) "5 . 2" b) l25 '"4 c) (~~)' 'UJ 4.14. Dati izraz napisati u obliku stepena sa izloziocem x:'

IY 18"' 12' a) - b) - c) _

3-'" 9x 2]X

12"' ·4' d)

3'

Izracunati vrijednost datog izraza za datu vrijednost varijable ako je: 4.15.a) 3x'-2x+1, x=o b) 2x'-4x+IO, x=I c) -5x1+40, x=2

4.16.a) x'-x:~,5,X=l b) a'+b3

4:0,25,a=I,b=2

(x+I) 3a 4. I 7. lzvrsi naznacene operacije:

a) (a")3.(a")' b) (x")':(x'r

24

4.2. POL I NOM I

.2 1 MonomL Sabiranje. oduzimanje i mnozenje monoma 4 .•

4.18. !'Ita je to monom? . 4.19. Sta nazivamo k0cf:ijent, a :ita glavna velicina manama? 420 Napisi koeficijeL, i g!a"vnu velicinu manama:

. . a) 6ax' b) 37a5b c) -I24x"y' d) b'x'y' 4.21. Sta su slieni manami? 4.22. Sta je stepen manama? 4.23. Napisi stepen datag monoma: .)

a) 2x' b) 7a'b' c) 5xy' d) ISa'xj

Izvrsi sabiranje (oduzimanje) datih monama: 4.24.a) 5x+I Ix b) 3ax:lOa~ c)44a'b+6a'b 42Sa) 2ax+9ax-7ax b) Ilax+2ax-3ax •. 424242

4.26.a) 3a'b-a'b-9a'b b) 8a b c+2a b c-a b c

d) 8ax'-3ax' c) 3a'x'-Sa'x'+4a'x' c) a'x'y'+3a'x'y'

Uprostiti dati izraz: 4.27.a) 2axy+5axy- 11 axy 4.28;a) 3b'xy+4a2x+5b2xy-a2x

b) 8a'x-3a'y+2a'x-Sa'y b) 2ax'y+5a'I+6ax'y+ 7 a'i

IzvrSi mnozenje datih monama: . 436 a) (5a)·(3a') b) (-ax}{9b'x) ", ') 2b'4) 4.37.a) (3a'b}{2a b') b) (-2a, x -(4a

3 x

4.38.a) 7a3bx·3ab'x' b) 12a x·2b'x

c) (6a'x}{b2x') c) (11 a'x)-(5ab6x7

)

c) a!lcx·15ab3cx6

Uprostiti izraze: 4.39.a) x·5x'+2x'.4x+I5x4

4.40.a) 5a"·2a3+3a2·a21l-4a3n b) Sa2bAab'-7a'b·b'+I1aV b) (3ax'y')'·(2a' xy')2

25

4.2.2. Po[iJ1om u jedJ10j varijabli

4.41. Kako definisemo polinom II varijabli x? 4.42. Koji polinom se naziva binom? 4.43. Definisi trinom. 4.44. Staje stepen poJinoma?

Odredi stepen datog polinoma: 4.45.a) 8x'-23x+54b) Ilx3-25x+44 c) -2x'-13x-x-5

c) 300x6!+18x45_x,n+6x 4.46.a) 128 b) 50x34-2x"+500 4.47. Kada kaiemo da su dva polinomajednaka?

Odrediti vrijt;dnost pararnetra m taka da vrijedijednakost: 4.48.a) 5x2_2x+4 = 5x'+mx+4 b) -34x3+2x'-3m = -34x'+2x'+15 4.49.a) rnx2+4x+ 7 = 2x'+4x+7 b) 6x3+5x'-9 = 2mx'+5x'-9 4.50.a) 8x'-mx+ll=8x'+IOx+ll b) 4x3+3mx2-4x-81 =4x3+12,'-4,-81 4.51. Odrediti vrijednost polinoma za datu vrijednost varijabJe x:

a) ,,'+5,2_ 1 zax=-I b) 2x'_2x3+x2_6x+3 za x=2.

4.52.a) 4.53.a)

4.54.a) b) c) d)

4.2.3.

,

Napisati polinomc u sreaenom obliku po opadajucim cksponcntima: 2x3+3x'-6x+ 12x3+ 7x' -15-2x' b) 3x-2x3+8x+2x' -6x'+3-2x'+7x3

x'+2x' -2x'+x-1+2x'-x3_3x2+5 b) x3-2x2-3x+x'-6x3+5x+3x2+7x'

Osloboditi se zagrada i srediti polinome: (-9x2+5x-4l) + (l4x'-4x+40) - (-2x'-3x+3) (3x'+2x'-4x+ I) + (x'+5x'-6x+4x'+5x-l) - (3x'_x2_x+ 11) (8x'-3x3+x2+2x-7) _ (2x'-3x'+9x'+ 3x-15) - (8x'+2x2-1Ix+x'-3x'+ 7) (-4x'+5x'-2x2+2x+13) + (2x'-3x'+8x-4x'+55) - (x'+4x'-2x'-7x+7)

Sahiranje, o¥ul,imanje i mnoi;enje polilloma

4.55. Odrediti zbir, P(x)+Q(x), datih polinoma:

4.56.a) 4.57.a) 4.58.

26

a) P,(x) ~ -3x'+4x'+5x-1 Q,(x) = 2x'-x3+5,'+9. b) P,(x) = llx'+3x-8 c) P,(x) = -4x'+x'-2x2+4x+11

Qj(x) == x5-4x4+2x3+3x2+16. Q,(x) = 5x4_4x'+ 3x2+2. Q3(X) = 7x3+4x'-2x+4. d) Pix) ';' 8x"-2x'+x2+x-3

Sabrati date pol iname: x'+5x+ II i 3x'+ 3x·8 2x3 -2x' -2x+ 1 ,4x' -2x'+5x-7 Ilx5_2x4+xJ+2x2_x+ 1 0

b) 3x2+4x+5 i -x2+6x+3 bj -2x2+2x+15, 6x3+x+23

5:x6+x·1_3x3 _;.,:2+4x+2.

!

e4~~drediti razliku, P(x)-Q(x), datih polinoma: . . /1 a) PJCx) = -3x\-4x'+5x+7 i Q,(x)= x'-x'+2x'+1. .- , ·Q()~2'43.3226 b) PzCx) = 4x-+3x-5 J 5 X - X -x + x + x + .

c) P,(x) = -2x'-xl-2x'+x+4 i Q,(x)= -5x'-x'+6x'+I1. d) P,(x) = 2x',",'+3,,'+2x-l i Ql(X)= -2x'+4x

2-x-3.

Oduzeti date polinome: 4.60.a) 5x'+2x+18 i 3,'+3x-8 4.61.a) 4x'-2x'+7x+l •. '_5,,'+·,,_3 4.62. 20x'-16x'+3x'+12x'-3x+l i

b) 3x'+x+4 i -2x'+3x+5 b) 7x2+3x+5, 3x3+2x+3

-4x6-6x'-3x'+ lOx' -4x+ 2.

Odrediti zbir P(x)+(l(x) i razliku P(x)-Q(x), datih palinorna: 4 63.a) P(x)'''' 2x3-3x'+7x+ I , Q(x) = 2x'+4x·2.

. b) P(x)= 4x3-2x'-6x+4 , Q(x)=x'-x2+3x-5.

c) PCx) = 3x4-5x'+4x'+4x-2 , Q(x) = 2x'-2x'+4x;2.

Osloboditi se zagrada i srediti polinorne: 4.64.3) (x-3)-(2x+ 1) b) (6x+1)·(4x-3) 4.6S.a) (x-3)·(x+3) b) (2x+5)·(2x-5) 4.66.a) (3X'+2x+4)·5x b) (-4x'+2x-lpx

2

4.67.a) (x2+2x-1)·(3x+l) b) (-x2+x+3)'(2x-S) 4.68.3) (3x3+2x2-x+l)-(x-3) b) (2x

3+x

2+3x_2)-(3x_2)

4.69.3) (x'+2x-1)·(x2-x+l) b) (-x2+2x+3}(x'-2x+3) ~ 2 '2

4.70.a) (-x'+5x2+2x-3}Cx'-I) b) (4x'+2x -x-2)·(2x +5) 4.71.a) (i'+2x'-2x+l){x+l) b) (3x'-x'-x'+I)·(x

2-x+3)

4.72.a) (2x'_x'+2x2+x_I).(2x2+3x_S) b) (x'+2x2-x+4H3x'-x+l)

4.73. Odrediti proizvod, P(x)'Q(x), datog polinoma monomom: a) P(x) = _x'+4x2+5x_l i Q(x) = 2x' b) P(x) = 2x2+x-3 Q(x) = -2x', c) PCx) = _3x'+x'_x2+4x+5 Q(x) = 11~·'. d) P(x) = x'_2x3+x2+2x_l i Q(x) ~ 2x'.

4.74. Odrediti proizvod, P(x)-Q(x), datih polinoma: a) P(x) = -3x'+x'+5x-2 i Q(x) = 2x

2+5x-3

b) P(x) = 3X2+X-3 Q(x)= -2x2-4x+2

c) P(x)"; _3x'+X3_x2+4x+5 i Q(XT x2+5x-4

d) P(x) = 2x'+x'+ 3x-2 i Q(x)= 2X'+X2+X-3 4.75. Odrediti polinom P(x)=3x'+bx+c ako je P(0)=5, P(l)=4 i P(-3)=32. 4.76.* Akoje f(x)=3x'+12x-l, odrediti f(x+l). 4.77* Akoje f(x+l)=2x'+1Ix-6, odrediti f(x). 4,78.* Odrediti [(x) akoje [(x_2)=x

3+8x

2-12x+3.

27

;i ,

4.2.4. Dijeljenje polinoma. N ule polinoma. Bezoulova ,. teorema. llornerova6~shet.na

Izvrsiti dijeljenje datih polinoma i odrediti njihov kolicnik Q(x) i ostatak R(x), ako je:

4,79.a) (x';4x-5):(X-I) b) (2x'-x-15):(x-3) 4.80.a) (4x,+;x+3):(x+l) b) (6x'-32x'+13x-15):(x-5) 4.81.a) (R; -~ +3;-:-I):(x-5) b) (-3x5-2x'+x3_x'+I):(x_2) 4.82.a) (x;x -3x -4x+l): (x'-x+2) b) (x'-3x3+5):(x'_2) 4.83.a) (6x -5x'-3x3+3x-l):(2x2_3x+l)

b) (2x'-13x'+28x'-24x3+12x'-llx+6):(x'_5x+6) 4.84.a) (l2x'-x'+4x3-x-2):(3x2_x+2)

b) (2x7+x' -2x'+8x'-3x3 -I Ox'+x+ 3 ):(x3+x'-2x+3)

4.85. Akoje A(x) = x2oo

o+3x_ll, kolikije ostatak pri dijeljenju polinoma A(x) polmomom B(x) = x+ I.

4.86. Odrediti ostatak koji se dobija dijeljenjem polinoma A(x) = x23+44x"+66x-10 polinomom B(x) = x-I.

4.87. Odrediti ostatak koji se dobija dijeljenjem polinoma A(x) = (x'-3x+2)' +3(x'-3x+2)3+4 polinomom B(x) = x'-x.

4.88. Pomocu Homerove sheme odrediti kolicnik polinoma A(x) = 3x5+2x'_4x3+llx2_5 i B(x) = x-3.

Ako su dati polinomi A(x) i B(x), pomocu Homerove sheme odrediti kolicnik Q(x) i ostatak R(x) ako je: 4.89. A(x) = x'-2x3+4x2_llx+5, B(x) = x-I. 4.90. A(x) = x4+8x3_x+ II, B(x) = x+5. 4.91. A(x) = x'-x'+3x'+IOx-l, B(x) = x-2. 4.92. A(x) = x7+x'+x'-2x+6, B(x) = x+4.

Aka je dat polinom Pix). Primjenom Hornerove she me odrediti vrijednost tog polinorna pea), ako je: 4.93. P(x) = 4x'+2x2_12x+4, P(2) =? 4.94. P(x) =2x'-3x'+2x2-x+8, P(-I) =? 4.95. P(x) = -3x5+5x'-IOx'+7x_33, P(4) =?

Pomocu Hornerove sheme dati polinom P(x) razviti po stepenima od (x+a) ako je: 4.96. P(x) = 4x'+2x'-x2+5x+ 16 a = 2 4.97. P(x) = x'+4x'+6x+4, ' a = - i. 4.98. P(x) = 2x'+3x'-2x+6, a = I.

5* Etie-line 82ZOut (I73G-J7SJ), li"ancuskl fT'3.';"~Tl<lliCar 6* WiHiam George Horner (1786·!837) ,je engleski matema!icar. 28

4.99. Pix) = -x' +2x'-4x'+2x-I, 4.100. P(x) = 2x'-2x' -3x'+4x2+5, 4.101. Pix) = x6_2x5_x'+4x'+ 11 x'-x+2,

a~3.

a =-2. a=-4.

Pomocu Euklidovog 7' algoritma odrediti najve';u zajednicku mjeru (NZM(A, B» datih polinama A(x) i B(x) ako je: :

4.102. A(x)=x'+x'-x-l, , ' 1

4.103. A(x) = x +x'+2x +x+ I, 4.104. A(x)=x'+x'-x-I, 4.105. A(x) = x' +4x'+ 5x + 2,

B(x) = x'- x'- x + I. B(x) =xl_ 2x2+ x- 2. B(x) = x'- x'- x + I. B(x) = x' -7x + 6.

Koristeci Bezoutovu teoremu i Hornerov postupak dokazati daje dati broj a. nula datog polinoma P(x), aka je: 4.106. a=2, P(x)=x'+2x'-9x+2. 4.107. a=-3, P(x)=x'+2x3-5x'-x+ 15. 4.108. a = -4, P(x)= x' + 4x' -2x' - 8x' +x' - 3x - 28.

Odrediti zajednicke nule datih polinorna A(x). i B(x), ako je: 4.109. A(x)=x'+2x-3 ; B(x)~x'-6x+5.

4 3 ') 3 ? 4.110. A(x)=x +6x +17x-+24x+ 12 B(x)=x -2x--13x-IO.

K vadriraj date binome: 4.IlI.a) (a+7)' b) (2a+3)' c) (4x+5)' d) (I-8ax)' 4.112.a) (a-3)' b) (3a-l)' c) (x-5)' . d) (2a-x)' 4.1l3.a) (2a+3b)' b) (3a-5x)' c) (8x+3b)' d) (6ax-5b)'

Kubiraj date binome: 4.114.a) (a+l)' b) (2+a)' c) (4x+3)3 d) (I-2x)' 4.115.a) (a-2)' b) (3a-l)' c) (5x-2)' d) (2y-Sx)' 4.116.a) (3a+4b)' b) (4a-5x)' c) (2ax-3)' d) (a-2bc)'

.JI.w Obavi naznacena stepenovanja polinoma:

.Il (a+b+l)' b) (2a-b+3)' c) (3x+2y-4)' :1 .).> (3a-2b+c)' b) (a+4b+3c)' c) (2ax-3y+2a)'

4.119.*a) (2a+b-l)' b) (a-3b+3x)' c) (5x-y-4ab)3 4.120. Dokazatj daje polinam P(x) = x"_ x' + x' - x + I pozitivan za svaki

realan broj x . . 4.121. Za koje vrijednosti parametara a i b je polinom x'+ax3+bx'-8x+ I

potpun kvadrat? 4.122. Za koje vrijednosti pararnetara a i b je polinom X4+x3+2x2+ax+b

. potpun k-vadrat?

7* Euklid (4. vijek prije nove ere, staJ'ogrcki matematicar

4.[13. Dokazati daje izmz a(a+l)(a+2)(3+3)+1 polpcn 'vadrat. 4. L24. * ~drediti cijeli broj a za koji je trinom X

13 +.\ " 'it) djeljiv trinomom

x- ~ x + a.

4.2'"5. Rastilvljilnje POlillOlllil na proste faktore (cit!ioce, Cimbenike)

Slijedece poli'lorne rastaviti oa faktore (cinioce): 4.125.a) 6a'b'x' bJ 9a

5b'c' cJ 14b'c'"

4. ~,) 26a'b'x' b) Aa'b'e' c) ·IOa'b'e' ~.J.11h) 2x+2y b) 3x·3y c) 2ax+2ay ~4.12$.a) 14a·7ab b) 12x+12y+12z c) Sx+Sa+5b 4.129.a) 4a+4b+8c . b) 6ab+12ac c) IOa'·Sab+20a 4. nil.a) 13a'+26b'·S2 b) 8a2b·16ab+ 24a 4.13H.cJ 22a'x·llb'x+44x b) Sax·4ax'+16ax' 4.1TLa) ISa3b2_IO<;,?b+20a 2 b) 9a4x2_12a1K'+27a3x 4.13.3.a) a(a+b)+x(a+b) b) 3(x·y)+a(x·y) c) lla(a·x)·3(a·x) 4.134.a) (2a·l)x+r2a.1)y b) (4x+3)a·(4x+3)b c) a(x·1)+2(x·l) 4. I3~.a) b(a·l)+(a·l) b) (4x+3)·a(4x+3) c) a(x·y)+(x·y)

;;J3.?,.a) a(x+y+l)+b(x+y+l)·c(x+y+l) b) a(a+b·c)·b(a+b·c)·c(a+b·c) L~) (a+b)(a+b·e)+(a+b)(2a+b) b) (x·3)(2a+b)+(x·3)(x+l)

4.13$.a) 3y(a·2b)+ 7a(a·2bHa·2b) b) a(2a+b)+b(2a+b)+(2a+b) 4.1391.a) b(a·I)+(1·a) b) (x·3)·a(3·x) c) 5(x·y)+x(y·x)

Grupisanjem clanova rastaviti na faktore: 4.140'-,,) Sa(m·n)·m+n b) a(x+y)·x·y c) a(x·y)+bx·by 4.141-'1) ax+bx·ay·by b) ax·by+bx·ay c) ax+ay+bx+by 4.142,.) 4aAb+ax·bx b) ne+be+a'+ab c) x'+xy+ax+ay 4.14~.a) "r.x.y+1 b) ax·ay+by·bx cJ ab·ac·ed+bd 4.14'1'-,,) a·.ab·fa+5b b) 2ax·7by·7ay+2bx c) a2·3b·3a+ab 4.145.-,,) ax'.bx ·bx+ax·a+b . b) ·15ax2·30ax·bx+2b·x+? 4 4 , 2 -.146_a) a,+a·-a.a b) a'x'·abx'+2ax'·2bx·b+ax 4.147.,,) a+a·6 b) x'·5x+6 e) a'+8a+15 4.14$.,,) a2';4a.21 b) a2·a·12 c) a'·lla+24 4.149 .. a) 2a +5a·3 b) 3a' ·a·2 c) ·2a'·a+10

Koristteei pra~ilo ,r:lllike kvadrata, X2 - y2 =(X - YJ(X + V), mstavi na faklore:

4.150.,,) a2.25 4.151..al 16·25x2

4.152ca) (a·b)'·1 4.1 S:La) 2a2·50 4.154; ... ) 5x'·20xy'

30

b) x'·1 b) 9x'·1 b) 9·(a+x)' b) 7x'·28 b) 2a2x'·8a2

c) l·a2

c) 36a'A9 c) (a·1)2·64x' c) 5·125a' c) 6ax'·150a1

d) x'·81 d) 9x'-4y' d)16a2·(x·3)' d) 5x'·80 d) a'bx'·4a'b

I I f,

t ,

t ~ f

I I ,

i i , !

4.155.a) x4·1

4.156.a) a'·b'

4.157.a) (x+H ! b) a'·16 c) 81x'·1 b) 625x'.1 c) 144a2·625x'

b) (3x-H;~ c)

Koristeci pravilo kvadrat binoma, Xl ±2xy+yl=(X±Yi, rasta"i l1a faktore:

4.158.a) a'+2a+1 b) x2+6x+9 c) a

2.8a+16 d) b'·6b+9

4.159.a) x'+10x+25 b) x2·12x+36 c) x'+14x+49 d) x'·24x+144 4.160.a) 9a2·12a+4 b) 4a'+20a+25 c) 49·70a+25a2 d) 1+20a+l00a

2

4.16I.a) 4a'+20ab+25b2 b) 4x2+6xy+9y' c) 16a2·56ab+49b2

4.162.a) 8x2AOx+50 b) (a+b)2+6(a+b)+9 c) 9a2.6a(b·c)+(b.c)'

KonsteCi pravilo!rub blooma, X3±3X'Y+3XY'±y3=(X±y)', rastuvj na faklore:

4.163.a) 8x3+12x'+6x+l 4.164.a) a'·3a'+3a·l 4.165.a) 8a'·1 2a'+6a· 1 4.166.a) a'·12a'b+48ab'·64b' 4.167.a) 27x'+27x2y+9xy'+y'

b) 1+15x+75x'+125x' b) 1+15x+75x'+125x' b) x'·6x2+12x·8 b) 27a'·108a'b+144ab'·64b' b) 125a'+300a'b+240ab'+64b3

KonsteCi pm,ilo ,bir (razlll;;a) kubova, X3± y 3=(X± y)(X2 + XY + V'), rastavi na

faklore:

4.168.a) a'+b' 4.169.a) a'+8 4.170.a) x'·8 4.17I.a) 8a' ·27 4.172.a) a'b+27b

4.173.a) 8X3+~ 27

b) a'·b' c) x'+/ b) x'+27 c) a'+64 b) x'·y' c) a' ·1 b) 27a3·64b' c) 125a'+8b' b) 250a'b'+2 c) 54a'·128b'

b) 64x,/._2_7 c) _6.'1..+~a'b' 125 343 8

d) x'·/ d) y'+ 1 d) I·a'x' d) 216a3+27x' d) 64a'x·b'x

d) 432.2. x'/ 27 27

Kombinujuci razne nacine rastavi na faktore: 4.174.a) a2.2ab+b2·c2 b) x2+2xy+y'·z' c) a'·b2·e'+2bc 8.175,) a:.1.2b.b' b) 1.9x'.4y'+12xy c) 2ab·a

2·b'+e'

;;. X +2x·8 b) x'+6x+8 eJ x'·IOx+16 11 .a x2.Sx+7 b) x'·5x+6 c) X'+3K ·10 til .1' x'.7x+IO b) :<'+8x+15 eJ x2+5x·14 r~ x2.I.xy.y b) a2.I·ab+b c) x2·x+y.y' o~a4+a)_a2_a b) x5_x3_x2+1 c) a1+a2_9a_9

4.18I.a) x'·x'+2x'+x·3 b) x'+x'+3x2+2x+2 c) x'·x'+5x' ·5x2+9x·9 4.182*a) x7·x'·x'+x'·x'+x'+x·l b) x7·x'·6x'+2x'+ 13x'+3x'·8xA 4.183.*a) 2x'.x'.9x2+px.5 b) x'·2x'·3x'+4x+4 c) x'·2x'·llx'+12x+36 4.184.*a) 14xA+27x .9x2 b) 9x'+4x'-1·12x' cJ x3+3xy+y3 1

; ,1

4.185.*a) X3_X

2Z+xyz+lz-1 J) x3-2/-3xl

4.186.a) a'-b)-a+b b) a'+bl-a'+b' c) a'-b'-a'+b' 4.187.a) a'-b'-27(a-b) b) al_b' _a'x+b2x c) a'-a'+8a'-8 4.188.a) x2_y'+(X_y)2+X' _y' b) a'-6a'b,Ga'b'-25 4.189*a) a'+a'b'-aV-ab' b) a'b'-27a'-b'+27 4.190. *a) b'e+bc2+ac' -a'c-a'b-ab' b) alTa 'ee abe+b'e-b' 4.191 *a) a4-5a'+7a'-5a+6 b) x'+6x'y+ 12x'y'+24xy'+ 32/ 4.192.*a) a'+1 b) 32a'+b' c) 243-a' 4.193.d) 2a'-64b' b) a4+4b4 e) a6

_ 64b' 4.194.*a) a4+a'+1 b) x12_3x6+1 e) x'+3x'+4 4.195.*a) a'+a4+1 b) a'+98a4b'+b' 4.196. *a) a'+b'+e' -3abc b) a'+b' -c'+3abe. 4.197.*a) 2ax'-8a-4+x2 b) (a+b+c)'_a'_bl_c' 4.198.*a) (x'+x)'-8(x'+x)+12 b) (x'+x+l)(x'+x+2)-12. 4.199.*a) (x+l)(x+3)(x+5)(x+7)+15. b) x(x-I)«x'-3x+7)+10 4.200. * (x+y+z), _(X+Y_Z)' -(x-y+z)' -(-x+y+z)'

4.201. * Dokazati da se izraz (a'+b'+c')(x'+y'+z') - (ax+by+cz)' rnoze napisati kao zbir kvadrata tri binoma,

4.202.* Akoje a+b+e ~ 0, dokazati daje a'+a'e-abc+b'c+b'~ O.

4.203.* Dokazatijednakost: (a' +b')(c2 +d') ~ (ac-bd)' + (ad +be)'.

4.204* Ako je n prirodan broj dokazati da je izraz: a) o'+5n, djeIjiv sa 6. b) 0'+2n, djeIjiv sa 3. e) o'-50'+4n, djeIjiv sa 120.

4.205. Ako za brojeve a i b vrijedi a+b~l, dokazati da izmz 2(a'+b' )_3(a'+b2) ne zavisi od a i b.

32

5. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

5.1. Pojam i definisanost racionalnog algebarskog izraza

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Sta nazivarno izraz? Koji izrazje algebarski? Za·kakav izraz kaZemo daje racionalni algebarski izraz? Kadaje racionalni algcbarski izraz definisan? Koliko je tri cetvrtine od sedam sestina?

Za koje vrijednosti varijable x su slijedeci raci?nalni izrazi definisani: 5 7 12 d) ~

5.6.a) x b) x _ 3 e) x + 5 3x - 6

2x b) x2 ~4

c) 3.<' +5x-11 d) x'-7x+12

5.7.a) x-5 3.<+ 12 (x-I)(x+2) 5(x + 5)(x - 7)

8(x' - 9) x2+7x;t-1O ,

5(x - 3) b) c) d) x -25x

5.8.a) x2 -4 x 2 +36 (2x-3)(x+5) (x-5)(4x+l)

Za koje vrljednosti varijable x slijedeci raciona'lni izrazi nisu definisani:

11x b) x+5 c) 6X+,,2 d) 440 5.9.a) x+3 I-x ~ x+15

5 4x 1+2x 5.10.a) x(x-4) b) (x-I)(x+IO) c) (2x-I)(x+7)

x-1 x+5 6 5.11.a) -,- b), 1 e) , 4 x +1 x - x -

5.2.Prosirivanje i skracivanje algebarskih racionalnih izraza

5.12. Sta znaci prosiriti razlornak? 5.13. Kako se razlomci skracuju?

Date razlomke prosiriti sa datim brojem: 2 x-4

5.14.a) ~,sa 15 b) --,sa4x 5 3x

x-3 5.15.a) --,sax+3

x+5

5x+3 b) -.--, sa (x-I)(x+I)

4~x '

x 2 -x c) -- sa x-I.

x+8

x2 + 5x 2' c) --- sa x. x-I

33

Dati f3.Zlomak skratiti (pronalazeCi pogodan broj iii izraz):

6 b) 27 128 5.16.a) 9 Sl c) 740 d)

l36

254

5.20.a) 9 2 ( " ~? a~D)

27(b-o)

4x 2 - 2x 5.2l.a) - __

2x

5.22.a) 12a-4a 3

5.13.a) Sa -10

5.24.a) a' + IOa+25

3 3 X -y 2' X -y-

S.25.a)

a2 _b 2 _c 2 -2bc S.26.a) ~_-----' 0

1 +b 2 -c 1 -2ab

a 2 -9 5.27.a)

5.23.a)

5.29.a)

ab + 3b - a -·3

3 +- 3a + 3a2

a 2 -3a-IO

, 5 x--8x+IS JO.a)

x 2 -6x+'9

53 L *aJ x4 + J _ 2X'2

1=-~+X3,

34

b) Ja 3 x 4

ISo2.x c)

b) 4(x - 2)(n 3)

8(x - I)(x + 3)'

b) a-I ---2(1- a)

b) (a - 2)3

4(2 -- a)

b) 0

2 -1

a+l

b) 4a' -2ab ---

8a-4b

b) 2a 2 + 4ab ---ab + 2b'

b) a 3 + 1

a 2 _1

b) a 2 _ b 2

-~-

a 3 + b3

b) a 2 +b 2 _c 2 +2ab

a 2 -b 2 +c 2 +2ac

b) xy+l-x-y

y+z--l- yz

b) a 3 +ab 2 _a 2b -----

a 4b+ab 4

b) a 2 +30+ 2 -,---a- + 6a + 5

b) x' +5x+6 -,----x -·6x-16

b) x4+x2_2

x 6 +8

36b 5c}x" d)~_

604

X5

12a 4b 4x s

c) 6(a-})x'

18(a-3)'

c) 4(x-S)(x+l)

2(x -1)(5 - x)

c)

c) a+ 1

40' -9 c)

6a+9

c) 1-2a+a2

c)

c)

c)

c)

c)

c)

a 2 -a-b_b 2

ab 2 + a J -a 2b

03 b + b 4

, a -a

3a 2 +3a+3

a 2 -3a+2

a 2 -5a+6

x' -3x-1O

7~2' 5x' -x-4 -x~

3x' +12x+9 x' -1 x' + x' + 1 5.32* a)

x' +Sx' +6 b)

X4 +X2 + 1 c)

x 2 + X + 1

x 4 _x3 _x+l b)

a2 +62 +e2 +2ab+2ac+2bc 5.J3.*a)

x' -2x' -x' -2x+l Q2 _b2 _c 2 -2bc

a' -3ab+ac+2b2 -2bc a' -16 5.34.*a)

a' -b' +2bc-c' b)

a' -4a' +8a' -16a+16

5.35. *a) a3 +b3 +c3 -30bc

b) x 3 + y3 +z3 -3xyz

a 2 +b2 +c2 -ab-be-ac (x- y)' +(y-z)' +(z_x)2

5.3. Dovodenje algebarsldb racionalnib izraza na zajednicld nazivnik

Date razlomke dovedi na zajednicki nazivnik:

5.36.a) 3 x x+I x+3 x-I x'-1 5'2 '20 b) -4- '12 '-16~

a-7 a+! 3+a c) --;;-'~ 's;-

a+1 a-I 3a b)

02 + I 0 0

2

5.37.a) -- , -- , -- -~ , a-I' a+1 a 2a a-I 40

-2 3 -2 c) a' _ 1 ' a + 1 '-;;-

3 x 5 b)

a 3 5 5.38.a) ~- -~ -~ --~ , --

x-I ' x + 1 ' x 2 -1 a-4'a'-16 0+4

a c) a2_1' 02+2a+1

5.4. Sabiranje i oduzimanje algebarskih racionalnih izraza

lzvrsi sabiranje (oduzimanje) datih razlomaka: 431 731

5.39.a) - +- -- b) - +- --555 444

11 14 4 c) - -- +-

IS 15 15

5 AO.a) a 3a 2

b) a + I 2a - I Sa - 4 c) 2a _.J.I<.Z + 4a - 4 -- +-- --- --+-----

a-I a-I a-I a+S a+5 a+5 3a 3a 3a

5,4La) 4 3

b) I 2 3

c) 4 4 11 -+- -+--- --- +-

5 10 4 5 10 5 15 30

5,42.a) 2 3

b) 4 1 1 5 - +- +3 - +--1 c) 4-- +-

3 4 7 14 10 20

5.43.a) 1 a+l I-a x-I 2 2+x a-3b 2a-b -+--+ -- b) --+---- c) -----+1

2a 4a 6a 5x 25x I5x 12 8

5.44.a) a 4 I-a

b) I 3 2 a-3b 3a-b

-+-+-- -+--- cJ -~--~-2 2b 3a ab 6a' 4ab 3b 2 a+b a-b

35

5.45.a)

5.46.a)

5.47.a)

5.48.a)

5.49.a)

5.50.a)

5.5l.a)

-c;--- + --"- -~ - ab ab - b' ab

3 + 2x 2·- 3x 2x 2 - 5 ._----+---x-2 2·-x xl_4

{rr+ch+b2 a3 -ah+b2 2a 2b ._--+ ----

o+b a-b a' _ b'

1 2a + 1 3a 1 + 5a - 1 --+-- -------til-I a2 -1 ! _ a 3

Xl -xy %+ y - x3 + y3

x-3 ] 3x+2x 2

-,,---+--+3x+9 x-3 x'-27

Uprostiti dati izraz: _1 __ 3x-1 + 2x+l

x-I x-2 x 2 -3x+2

3

b)

I 1. I b) --- + __ + __ a 1

_ .. a l_a 2 a 2 +a

b) 6a + 5 _ 6c? - 3 + 50a

a+5 a-5 a 2 -25

3a b) --- -__ +~~ 6a - 46 6a + 46 902 -462

2 3a2 +2a+l.+. Q+l b) a-I - a3_1 ' a2 +a+1

2a 4a a b) ___ +~ a' -4a+4 a ' _4 a+2

302

+2a+l + a+J

a3 _1 a 2 +a+1

2a b)

a-I

5x+1O +~_2 __ + x+4

+3x-4 x2+7x+!2 x2 +2x_3

5.52.a) +3x+2 Cr+lXx+2Xx+3)

3a2 -2a+l aT! 2 b) - 1 --T-- +----

a"' -3a +3a-l a -20+1 a+l a+b h+e c+a

5.53. + +--c-c--(b-dt.c-a) (e-aXa-b) (a-bXb-c)

1 1 5.54. ---_ __._ (a-bXb-c) (b-cXa-e) (c-aXb-a)

5.5 S. + + _------''----_ a(a-b)(a-c) b(b-a)(b-e) c(e-a)(c-b)

a2

b 2 c 2 ,------ + +------

a' -ab-ac+bc b' -ab+ac-bc (c-a)(c-b) 5.56.

5.57. a+~ __ d--~ _ 2d -c;(1-5a)-1 5_58 x'--(x_l)l~_(Xl+l)', x'(x-l)'-I 2a-.j 4d-4a+1 8d-I2cl+6a-l . (1+1)'_1 1(x+1}'-1' x"--(x+Q"

(Jf-b b-e e-a (a-b)(b-c)(e-a) ---+--+--+ a+bl b+c c+a (a+b)(b+c)(e+a)'

5.59*

a b I I 02+362 5.60.* +,_-,--"--,,---;- + __ . _________ _ a

3+-a

2b+ab

2+b3 a3 _a 2b+ab2 _bJ a 2 _6 2 a 2 +b2 a 4 _b 4

5.61. Odredliti zbir datih izraza:

I 1 1 a) --+ ___ +_+ + __ _ ,~2 2·3 3·4 ... n(n+l)

I 1 1 I b) --+ __ + __ + ... + __ ,4)·11 11·12 12'13 29.30

5.5. Mnozenje algebarskih racionalnihizraza

Pomnoziti date razlomke:

4 21 11 15 . c) 6 35 b) _.

5.62.a) -' 25 4 5 12 7 16

-1 8 a 8b c)

a 3a ·2 5.63.a) b) _ ..

4 15 2b 5 5 17 i,

-- 2 28a .6 x 10 c)

2a 9 4a 5.64.a) -_. b) -, -.~.-

7a 9 5 3x- 3 Sa 6 a-I 4a 5 3a -- 2

c) x-5 3x

5.65.a) _ .... -_. b) -. ~.-.-- - ....

2a a+l 2a 15 2x+ 3 x-S x+l 10 b-3 6'_4 Sa a+ I

5.66.a) b) b+2 b+3

: c) a 1 -I lOa 6x 4x+4

a2 -ab a2 _b 2 a 3 _ a 2 b a 2 + 62 a 2 + 0 2 b 03 _/;3

5.67.a) ---. b) - -".- ---,-- c) a 3 +a 3b a 2 __ b L a 2 +ab (a_b)' a 3 + a 2 b a 1

- b~

a-3 16a b)

x 3 _ 27 x 2 -3x+9 -_.- --5.68.a) --.

9 - a 2 x-3 4a+4

a'b d2 -6a+8 4b' --4b '1 a'b - 4b' b) 5.69.a)

3ab' a' -2ab - b-b' -. 2a2 -&I

a+6 a2 -6a+9 5.70.a) a-3 a

' +12a+36 b)

2a2 +4a+2

5.7I.a) ( 2) 9a' +9a

II +- . a a2 _4

5.72.a) (a-I+").(1_a-3) ~ a 2 Sa

5.73.a) 2+--1. 1---( 2b' ( a-b)

a-b) a+b

5.74.a)

5.75.a)

37

5.6. DijeJjenje aIgebarskih racionalnih izraza

Izvrsi dijeljenje razlomaka:

5.76.a) ..Il.. ~ b 11 . .3. 15 3 ) 20' 5

2a 4a 537.a) - -

3b 9b b) 6a: 3a

5x x x-I a

5_18.a) -:a 5b

b) - .. :(x·I) 2x

4x-4y. I2x-12 5;79.a) ,

3x+3y x _ y2

02 -2a+ld-a

5JlO.a) -2--:-;'--x -2x x-4

5.;8I.a)

5.182.a)

a2 -4a+4 3a 2 -12

a2 +2a+l' 2a2 ·-2

(.!. _.!.) : (.2.. _.2..) x y x' y'

5.183.a) (I +x+-I-'):(1 +_1_,) I-x I-X"

5.84.a) 2a+-- : 1-2a---( 3b-2a) ( 3b-2) 1+6ab 1+6ab

4

0+1 5.1I:5.a) b

0-2

x-2

b) x~5 b

25 10 c)

12 IS 210 70

c) --8b 6b

a c) (a+2):

a-I

d) -14 -2 9 3

d) 25x-15x

9a 3a

d) x + 5 : (x _ 3) x+1

}-16 x' - 4x b) --

x'+3x x2 -9

b) ab+a (I 3b) b2 -b+ I: 1,-;; ·1· b3 + I

b) (I-X+-I ):(1 __ 1

) I+x I-x'

12a2b 24ab 2 2 b) ~ "'jQ;:2 763

a+3

c) ..E.=.l.. 0-4

a+ 10 £1+2

5.7. Operacije sa algebarskim racionalnim izrazima

Izvrsiti naznacene operacije sa racionalnim izrazima:

5.&6.a) (a3 a2 a J (a ) x 2 (3X+X2) -+-+-+1' -+1 b) --- .1+ .. --lb3 .b 2 b . b ax-2az x2+x-2m:-2a 3+x

5$1. r(a+b)'+2b' __ I_+~_b __ ].(.I._.I.) L a3 _b 3 a-b a 2 +ab+b2 b a

3&

,

I [ 1 + I I ].[_1_. ____ 1 + I lCa' -3a+ 0) • 5.88. ;;-=J 0-2 0-0)(a-2) a-I 2-a (l-0)(a-2)J - . I (~ __ 1_).(_1_+X+2) b) rl(x+ y)2-,4/ X-Yl~ I 5.89.a) x+l x+3 . x+l x+3 x2 _y x+yJ X·I'}

b) (_I __ '::+Y +x-2y 1:_ x-3y x-y ;. -xy 2~I) 2ty-2!

( I 1\2 / I ,,2

b a+6+ a·-~ I +1 a+6- a-lij' ) 2 j \ 2

5.93.a) (a+b)2 -c' -4a2b2

b) I-"(I~"J+":(I-") b \. b b b

3x x----

5.94. *a) ----:--:--I __ '--_. (a, b, c,cO)

b(abc+a+c) b) _---"'.:tl_

1-2x -~-(x+l) I-x

I I a+-- a+-

h+.I. b c

5.95*a) [

X y 1 x-3v _+_ 1---' Y x 1 I x+ y

-="-_2' +~+2' - 1_2' : 3x+ Y -3 y x x x x- y

5.96. *a)

5.97.*a)

b) a' +a-2 .[(a+ 2)' _a'

d '+! - 3ah 4a2 -4

If r a-6"

i : t J - -;'~-h) b) I-I: 1-----.-,

( a+6 ,"

I: 1-----1 a-b;

• [

a - I 2( a-I) 4( a + I) a ] _36::a:.' _-.:.I44.:.::a:...-. -=3~6a:::.' + 14c1 598 + +---- .-". a2 _2a+1 a2 -4 a2 +a-2 a2 -3a+2 0

3 +27 .

2a'(b+c)2. _.I. 2 (b )" I , 2 . a +c -, '2 2 '2 ( ) C!n -0 - a -a a C-Q nc-c

5.99*0)

39

b) ;:;'T_~{I I-(:';X')] =? akoje X=;;~I' a+x

5100 [(a-l)a+a+I ___ a_].[ a' +1 a a+1 1 .. 2(a'-I) 2(a+I)' 2a2 -4a+2+(a-I)'-al -2a+IJ

5.101* (7~a-6 + a' +3a,I_ 4a _ 12 ·- 6_a4_a' ):(a- ::33

a}

1 1 1 I 1 --'-- + + ----+ ----+ -:---:----a(a+l) (a+l)(a+2) (a+2)(a+3) (a+3)(a+4) (a+4)(0+5)'

5.102*

5.103.* + . [

a-2 (a+4)' -12 I] a' +2a' +2a+4 60+(a-2)2 -a 3 -8 - a-2 . a 3 -2a 2 +2a-4'

5.104.* -----.. . ( I I-x 1-2X) 4x+2 I

2+4x Sx' +1' 4x'-2x+l 2x-l -1-4x+4x"

5 * x :x? + x -1 x 2 - x - I 2x3

.105. -,-+, 1 + 3 ---x- -1 x -x +x-l X +x2 +x+l x4_1

5.106.* " +--. +1 (6a

2 - 2b' - ab 3a + I Sa' - a J a - b

b- -4a 5a-1 6a' -30b-b+2a 2b

5.107.* C' +1/_x4 - x 5 :~'+:2~; -Jt, +~1::I,x5 J-X+X2

) , . x

5x' (I I)_ 2 IOx_S-

9(x+2) 14x+28 +3'5;-28 + 5x-4

5.108.' ~:~( x+3 _.L!:-12+ 3X+I)' 1-7x 3-9x 54x 2 -6 6x+2

5.8. Dokazivanje jednakosti algebarskih racionalnih izraza

Dokazati date jednakosti: I I I

5.109. ----+ + -=0 zaa~b~c (a-b)(o-e) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b) , r r.

5.110. a+b b+c a+c + + ::::: 0 za a¢b;i:c

(b-c)(e-a) (c-a)(a-b) (a-b)(b-c) - , .

(b_C)2 (c-a), (a_b)' ------+ + J, (a:;t;o,cc:;i:a). (a-bl(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)

5.111.

40

( I 2-, I)' (x-3)2+12.< 5.112.* -,---+ ') + ') -~. ' ~2,x:;t;-1,x*-2,x:;t;-3.

x-+3x+2 x-+4x+3 x-+5x+6 2

a'-(20-3b)' 4a'-(a-3b)' a2 .. 9b 2 2a

5.113.* '). ? + ) i~--+' 2 ")"+--=1. 4a--(a+3h)' 9(,,--b) (a+3b) -40- a+b

5.114.* (a+2b)' -([;-2b)' 3a' +7a'b' +4b' _ b

(2a+b)' +(2a-b)" 4a' +7a'6 2 +3b 4'-;;

5.115* (1+ , 2ab;\!! a: -b:(I+ 2b __ )I=1. \. a--abiJ'jLa'+b a-bJ

5.116. [( 3a a' +ab+b' 3) 2a+b ] 3 9 la' _b 3 '~-b-- b-a : a' +2ab+b' . a+b = a-b'

5.lI7. (a

/+'b2

a'b,l.(_a_+/_) .. a'+b) ab+b' a·+ab{=.:..".....

"-1 a+b b

5.118*

a2(c-b) . b'(a-c) _ c'(a~_bJ. -bc- T ac ab = a+b + c za a:;t:O b:;tO c:;t:O

a(c-b) b(a-c) c(a-b) , ' ". -_._+ be ac ab

5.119* a. (a+b)(a+c) +b. (b+e)(b+a) +e' (c+a)(c+~2 = a+b+e., za a"b*t. (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(e-b)

5.120.* , (a+b)(a+c) b' (b+e)(b+a) .' (e+a)(c+b) -( b )' a . + . +c . - a+ +c .

(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-·a)(c-b)

5.121.* (

2 '2 : ~+~ b -bc+c- a 3 be,. 2 2 2 2

l +--- . +(arbTC) =3(a +b +c ) a b+e 1 1 I 1 1 -+- -+_ .. _-+

bcbcaeab

5.122.* [ I+~ 1 [ J+J_:,:~a I 1+ 1- 3a : 1- 3. 1- Ja = a,

1 +a l+a 1-3·-- 1-3.--) ,

1-3a 1-3a'

5.123.* a 2 (x-b)(x-c) b'(x·-c)(x-a) c2 (x-a)(x-b) 2 +---.-._+," , =X. (a-b)(a-c) (b-e)(b-a) (e-a)(c-b)

5.124* I 1 1 I n -+-+-+ ... +---=-. 1·2 2·3 3·4 n(n+J) n+1

5.125. * I I I

----+-+-+ .. + ---. I·} 3·55·7 (2n-l) (211+1)

n 2n +-1

41

abc x 5.126* . I +--.....-'---

(x-aXa-bXa-c) (x-bXb-aXb-c) (x-cXc-aXc-b) (x-aXx-bXx-c)

5.127.* Akoje x=_~.~_c _a2

, y=~:c-b)(a+b-:c), 2bc (a+b+c)(b+c-a)

dakazati daje (x+I)(y+I)=2.

5.128* Akoje a+b"c+MO i a*c, ondaje

(a+b)' +(a+d)' -(b+el' -(c+d)' ~~~~. =2

(a+b)(a+d)-(b+c)(c+d) .

5 129 * Ak' . d k . d' a b 2(b - a) · . 0 Je a+b= I, a 'azatl a Je -- - _._- = ='-c-= b'-I a'-I a 2b'+3

5.130* Akoje a+b+c=O, dokazati da vrijedi:

(b-C + c-a + a-b).(_a_+_b_+_C _)=9.

a. b c b-c c-a a-b ,

5 131 * Ak . I I 1 O' bOd k . d .. d' be ae ab · . 0 Je - + - + - = I a c:;t, 0 azatl a vrlje J: - + ~ -+ - = 3 abc a 2 b2 c 2

.

5.132. * Ako je abc=l, dokazati daje

(a+~)' ++±)' ++±)' -(a+Hb+He+±)=4.

5.133. * Ako je ab+by+cz=O, dokazati daje

ax2 + by2 + cz2

be(y_~)2 +ae(z-x)' +ab(x-y)2 a+b+c

5.134. * Aka realni brojevi a,b,c i d zadovoUavaju uvjet:

'+d' 2( b b d b' 2 d . '" a( a + b + c + d) a - a + c+c - -c )=0, okazatl da vflJcdl: 2 1 I. a +b-+e 2 +d 2

5.135.* Ako Sll a,b i c pozitivni racionalni brojevi, dokazati daje i broj

1 1 1 (Q+b+e ,2 --;; + /;2 + ~ + -;;b-;~c + be) racionalan.

5,9. Dokazivanje nekih nejednakosti

5.136. Dokazati da za ma koje realne brojeve a i b vrijedi: a' + b'.;: ab . 2

5.137. Dokazi da za sv~ka dva nenegativna broja a i b vrijedi: ~P...?. j;;b . 2

5 138 D k . d "d' Q b · . O'azatl a vrlJe I: b+-;;;: 2, (a,b E R, a * 0, b * 0).

42

5.139. Dokazati da za svako a, b, CER vrijedi: aJ + b2 + c2 :2: ab + be + ac

5.140.* Neka Sil a, b i c pozitivni realni brojevi takvi daje i + b2

- ab = c2

.

Dokazati da vrijcdi nejednakost (a-c)(b-c):::; 0 . 5 141.* Dokazati da Z2 .eaine pozitivne broje\'e a, b i c vrijedi nejednakost

. a'+b"+c' ;: abc(a+b+c).

d .' 2 b' , 12 5.142.* Akojea+b+c=6, 0J...azatl daJe a + -+C ~ . 5.143.* Dokazati da za proizvoljne pozitivne brojeve a, b i c vrijedi

nejednakost: a2 (b+c.a) + to' (a+c·b) + c' (a+b·c) ;; 3abc.

5.144.* Neka su a, b, c > 0 i abc = I. Dokazati da vrijedi nejednakost: ab be ca 0 vrijedi nejednakost: Xl y2 z~ x+y+z --+--+.--~---. x+y y+z' z+x 2

5.147.* Neka SIl a, b, c pazitivni brojevi za kaje vrijedi a+b+c;; 3. Dokazati I 1 1 3

da vrUedi nejednakost: -- + -- + --;: -. I+a I+b I+c 2

5.148. Dokazati da za realne pozitivne brojeve a, b i c vrijedi nejednakost abc 3 __ + ___ + __ 2 __ .

b+c a+c a+b 2 5.149.* Neka su a, b i C pozitivni brojevi abc = 1. Dokazati da vrijedi

nejednakost: 1 1 I 3

~-'-- + + -,-'-- ;: - . a'(b+c) b](c+a) c"(a+b) 2

5.150* Ako su a, b, c>0 i abc = 3, dokazati da vruedi nejednakost:

(a+ b + e)] -aJ -b] -e' ;: 72.

5,10. Razni zadaci

5. I 51. * Ako za realne brojeve a, b i c \'fijedi a+b+c = 0 i a2+b'+c' = I,

'1 2 '1) 2 2 ) '+b" , odrediti: a) ab+ac+bc b) a'b +a'c+b c c a ~c .

5.152. Ako brojevi min nisu djeljivi sa 3, dokazati daje tada broj m'+n'+1

djeljiv sa 3. , 1 ,. .. d . '11 -" 20 -5 19 55 18 +5' 17 +55''''!0 +2)-). 53.* Odredlt! vfIJe· nost tzraza x- ~))X +) x - x ~x -'" ~ ,

za x = 54. 43

.).D"t.~UOKaza[JaaJe L' +2>7 djeljivosa 100. 5.155.* Odrediti svc nenegativne cijele brojeve x i y koji zadovoljavaju

jednacinu (>..y-7)' ~ x2+1.

6. G E 0 MET R I J A U R A V N I

Aksioma 1: Dt'ije razlicite tacke lIvijek pripadaju jednoj i sarno jednojpravoj Aksioma 2: Smka prava sadrii bar dvije tacke. Aksioma 3: Posfoje trl lacke kaje nisu na istoj pral'Oj. Aksioma 4: 1}f nekofinearne lacke pripadajujednoj i samo jedno} r«vlIi.

\ Aksioma 5: Smka ravan sadril bar tri nekolinearne tacke.. Aksioma 6: Pastoje ce!irl {aeke koje nisu u iSloj ravni. Aksioma 7: Ako dvije laeke pral'e pripadaju ravni,onda src ta(ke Ie prove pnjJadaju toj ravni. Aksioma 8: Airo'dvije ravni imajlljednu :::ajednicku tacku,fada imaju wjedniiku pravu. Aksioma 9 (afaioma parale/nos!i): Svakom tackom-van date prove prolazi lacnojedna prova kojaje paralei1t(J sa da!om pravom. j AkslOma 10: sv.aka locka 0 na pravo) p dijeli skup lacaka prare na dm dije/a tako da: I aJ ako (acke.-i i B pripada)u raznim dijelovima,lada lacka 0 lezi izmedu A i B. b) aka (aeke Ai B pripada)u islam dijelu prave,fada sejedno ad ovih !ocaka nalazi izme(7u

druge tacke i locke 0. Aksioma 11 :Sf:WCG pravo p ravni dijeJi lu rQl'Gn no dl1ije oblasti zo koje vrijedi.'

a) Ako locla::A i B koje nisu na pra)'oj p pripadaju islo) oblasti lada prava p ne sijeec dlff AB.

I ,b)~ ~~ko locke Ai B koje nisu no pravo) p, pripadaju ra::nim aC/astima, lado pral\{1 p sijeec

~ ------_. --~.-~.--.~.-..

6.1. Sta je goometrijska figura? 6.2. ~avedj rnekoliko geometrijskih figura. 6.3. Sta je plalltimetrija? 6.4< ~ta Sll omovni pojmovi?Navedi osnovne pojmove u geometriji. 6.5. Staje definicija? 6.6, Sta nazlvamo aksioma? 6.7. Staje tea.-ema? 6.8. Sta se vrS! u dokazll teoreme? 6,9. Koje aks:iome poznajes?

44

I , 6 10. Kako se oznacavaju tacke j prave I ravni? 6:11. Kakav odnos mogu imati dvije ta~ke? 6.12. Za kakve tacke kazemo da su kolmeame, a za kakve da su neko!inearne? 6.13.Kada kaiemo da su tri (iii vise) tacke komplaname? Za kakve tacke

kazemo da su nekomplaname? 6.14. Kilkav odnos mogu imati dvije prave? 6.15. Kakav odnos rnogu irnati dvije ravni? 6. I 6.- Kakav odnos mogu imati tacka i prava? 6.17. Kakav odnos mogu imati tacka i ravan? 6.18. Nacrtaj rna koju pravu a.Odredi tacku Ana pravoj a i tacku B van prave a. 6.1 9. Kakav odnos mogu irnati prava i ravan? 6.20. Dvije razlicite prave a i b mogu irnati najvise jednu zajednicku tacku.

Dokazati. 6.21. Nacrtaj dvUe prave a i b koje se sijeku. Presjecnu tacku pravih oznaci sa S.

Odredi tacku Ana pravoj a, tacku B na pravoj b i tacku C koja ne pripada ni

jednoj od datih pravih. . .. 6.22. Ako su A, B, C i D cetiri razlicite tacke ravni, koliko pravih je odredeno

ovim tackama? Napisi te prave. 6.23. Neka su a, b i c tri razlicite prave u ravni. Koliko zajednickih tataka mogu

imati eve tri prave? 6.24. Datje skup od 5 tacaka. Koliko najvise razlicitih pravih mogu adrediti ove

tacke? 6.25. Kada kaiemo da prava leii u ravni? 6.26. Koja geometrijska figura se nazi va poluprava? 6.27. Staje dui? 6.28. Kako se definise poluravan? 6.29. Sta nazivamo poluprostor? 6.30. Ravanje odredena sa dvije prave koje se sijeku. Dokazati. 6.31. Ravanje odredena sa jed nom pravom i jed nom tackom van prave.

Dokazati. 6.32. Kada kaiemo da su dvije prave paralelne? 6.33. Ravan je odredena sa dvije paralelne prave. Dokazati. 6.34. Ako su dvije prave a i b paraleine sa trecom pravorn c, onda su one parale!ne

i medu sobom. Dokazati! 6.35. Navedi teoreme 0 odredenasti ravni. 6.36. Sta tvrdi aksioma paralelnasti? 6.37. KoUka najvise ravni u prostoruje odredeno sa dvijb prave koje se sijeku i tri

nekolinearne tacke? Koje su to ravni? (Uvedi iznake pravih i tacaka(). 6.38. KoUka najviSe ravnije adredeno sa cetiri nekamplaname taeke? 6.39. Svaka prava koja ne pripada ravni ima sa tom ravrii najvisejednu zajednicku

tacku. Dokazati. 6.40. Datje skup ad cetiri tacke {A, E, C, DJ pri cemu tacka C pripada duii AB.

Dokazati da se ravni ABD i ACD poklapaju. 6.41. Kalika najvise ravni je odredeno sa cdiri paralelne prave?

45

6.42. Koliko najvise pivni je odrea-eno sa 5 tacaka, od kojih nikoje tri nisu kafineame, a nikoje cetiri nisu komplaname?

6.43. Kako se definjse ugao? 6A4, Objil51li pojJl10Ve isprulcnog, flultog j punog ugla. 6.45~ Koje uglove nazivamo susjedni? 6.46~ Sta su naporedni uglovi? 6.47. Staje pravi ugao? 6.48. Mogu Ii naporedni uglovi biti: a) oba ostra b) oba prava c) oba tupa ?

6.49. Dvije prave se sijekll i gradejedan ugao od 40°. Koliki su ostali uglovi loji su odreaeni oV1m pravirn?

6.50. Kada ka.zemo da su dvije prave nonnalne? 6.5 L Sta je simetrala ugla? 6.52.iZracunaj ugao izmedu simetrala dva naporedna ugla. 6.53. Staje simetrala duZi?

6.1. Pooudamost (KO,NGRUENTNOST, SUKLADNOST) tronglova

6.54. '!<ako nastajeizlomljena linUa? 6.55. Je Ii svaka zatvorena izIomljena Iinija i mnogougaona linija? 6.56. iKako se definise mnogougaa? 6.57. Koje nmogougJove nazivamo konveksni mnogouglovi? 6.58. U kakvom odnosu su unutrasnji i vanjski ugao rnnogougla u istom vrhu?

6.59. Slaje trougao? 6.60. Slaje tdisnica trougla? 6.61. Slaje visina trougla? 6.62. Kako se dijeli skup trollglova prema stranicama, a kako prema uglovima? 6.63. Kada kazemo da su dva trougla podudarna? 6.64. Navedi cetiri stava podudamosti trouglova. 6.65. Dokazati da su dva trougla !\ABC i L'>A'B'C' padudarna ako \Tijedi:

iFb', c~c', h,~ho·. 6.66. [)Okaii da su dva troug!a padudarna ako imajujednake po dvije stranice i

w'isinu koja odgovara tree oj stranici. 6.67. Dokaii da su dva pravougla trougla podudama ako su im jedn~ke hipotenuza

i l'" jedna kateta. 6.68. Dokazi da su trouglovi L'>ABC i L'>A'B'C' podudami ako vrijedi:

m) a~a', b~b', h,~h,. b) a~a', b~b', h,~h,. c) a~a', b~b', t,=1, d) a~a', b=b', t,=1,·.

ej a~a', t,=1,', ~~W, (t, > a) f) b~b', hb~ hb·, [Y'

g) a=a', ~~l3', ho~ho, h) a~a', ~~l3', h,~h,. i) a=a t

, hc=hc" hb""'hb• j) hc=hc" tc= te', c=ct

•

6.69. Dokazati: Svaka tacka na simetrali duz; jednako je udaljena ad krajeva te dutL : 6.70. Dokazati: Svaka tacka na simetrali uglajednakoje uda\jena od krakova tog ugla.'

46

6.71. Aka su dvije visine trouglajednake, trougao je jednakokraki. Dokazati. 6.72. Tezisna dliZ koja odgovara hlpotenuzi pravouglog trouglajednakaje polovini

hipotenuze. Dokazati. 6.73. Spajanjem sredista stranica trougla, nastaju cetiri podudarna trougla.

Dokazatit 6.74. Ako iz rna kaje tacke osnovice jednakokrakog trougla povucemo nonnale na

njegove krake, zbir tih normala je stalan i jednak visini koja odgovara kraku.

Dokazati. 6.75. Primjenom padudamosti trouglova odrediti sirinu rijeke ne pre!azeci na drugu

njenu obalu. 6.76. Ako su a i b katete i c hipotenuza pravouglog trougla, dokazati nejednakost:

ab+bc+ca $: c2•

6.2. Kru:mica i krug. Centralni i periferijski ugao.

6.77. Staje kruznica, a sta krug? 6.78. Staje broj n? 6.79. Koliki je obim kruga? 6.80. Kakav polohj moze imati tacka prema kruznici? 6.8 I. Koje poloiaje moie imati prava prema kruzniei? 6.82. Koju pravu zoverno tangenta kruZnice? 6.83. Ugao izmedu tangente i dodimog radijusa te tangenteje pravi. Dokazati. 6.84. Staje tangentna dut? 6.85. Koje osobine imaju tangentne duti neke taeke? 6.86. Tangentne duii koje odgovaraju istoj tacki oa jednu kruznicu Sll

jednake. Dokazati. 6.87. Koji cetverougaa nazivamo tangentni? 6,88. Zbir dviju suprotnih stranica tangentnog cetverouglajednak je zbiru drugih

dviju suprotnih stranica tog cetverougla. Dokazati! 6.89. CD-h,je vis;na pravouglog trougla ABC. U trollglove L'>ABC, L'>ADC i

LlBCD upisane su kruznice ciji su radijusi, red am, r, rl i r1. Dokazati da vrijedi jednakost: 1'+[r+r2"" he .

6.90. Objasni pojam centralnog i periferijskog ugla. 6.91. Centralni ugao je dva puta ve6i od perfferijskog ugla nad istim lukom.

Dokazati. 6.92. Staje tetivni cetverougao? 6.93. Supratni uglovi tetivnog cetverougla su suplementni. DokazatL 6.94. Aka su a i b katete, a c hipotenuza i r radijus upisane kruinice

a+b-c pravouglog trougla, dokazati da vrijedi r ~ .::.:~---=-

2

47

b

6.95. Periferijski ugao nad nekim lukomje 360• Koji dio kfllznice je taj luk?

6.96. Koliki je periferijski ugao nad lukomjednakim ~ krJznice? 20

6.97. Tetiva dijeli kruZnicu na kruzne lukove cijije odnDs 3:5. Koliki su centralni uglovi nad ovim lukovima?

6.98. Jedan ostar ugao pravouglog trougla je 32°. Pod kojim se lIg10m vidi svaka kateta trougla iz centra opisane kruznicc?

6.99. Ako se dvije jednak'e tetive kruznice sijeku u nekoj tacki, tada su dijelovi jedne jednaki dijelovima druge tetive. Dokazati.

6. I 00. Ugao koji odreduje tetiva sa tangentom u jednoj kraj'1ioj tacki tetive jednak je periferijskom uglu nad tom tetivom. Dokazati.

6. WI. Dat je tangentni cetverougao ABCD. Ako je 0 srediste opisane krllZnice ovog cetverougla, dokazati daje <AOB+<COD=180°.

6.3. Mjerenje uglova (kutova)

6.102. Koji ugao se uzima zajedinicni? 6.103. Staje stepen (stupanj), a sta radijan? 6.104. Koliko stepeni ima radijan, a koliko radijana stepen?

6.105. Koliko stepeni ima ugao od: a) 2" b) 2 3n

c) d) 7 radijana? 2

6.106. Koliko radijana ima ugao od: a) 120° b) 2100 c) 40' d) 70°? 6.107. Koliki je zbir mjera dva naporedna ugla? 6.108. Koji su uglovi naporedni sa uglovima: a) 40° b) 7So c) 13So d) 170° 6.109. Razlika dva naporedna ugla je 52°. Koliki su ovi uglovi? 6.lla. Koliko stepeni ima pravi ugao? 6.111. Koliko radijana ima pravi ugao? 6.1.12. Za koji ugao kazemo da je os tar? 6.1 B. Kakav ugao nazivamo tupi? 6.114. Za kakva dva ugla kazemo da su komplementni uglovi? 6.115. Koji ugaoje komplementan datom uglu:a) 45° b) 40° c) 15° d) 72°? 6.1Hi. Kada kaiemo da su dva ugla suplementna? 6.111. Koji ugaoje suplementan datom uglu: a) 120° b) 80° c) 40° d) I ISO? 6.118. Dva ugla, a i p, su suplementni sa dva komplemcntna ugla. Odrediti a+j3.

48

6.4. Vektori

6.119. Kak-vaje razlika izmedu skalara i vektora? 6.120. Staje vektor? Kako se vektor ozna!Sava? 6.121. Staje apsolutna vrijednost iii intenzitet vektora? 6.122. Nacrtaj rna koja dva vektora a i b, pa im odredi inteozitete. 6.123. Koji pravac ima nula vektor?

6.124. Kada kaiemo da vektori imaju isti pravac? Kakvi su to kolinearni vektori? 6.125. Kakve vektore nazivarnajednakim vektorima? 6.126. Po cemu se razlikuju suprotni vektori? 6.127. Objasni na!Sin sabiranja vektora.

6.128. Kako se od veklora a oduzima vektorb? (Objasni rijecima i nacrtaj sliku!).

6.129. Nacrtaj rna koja dva vektora a i b , pa odredi:

a) a+b b) a-I; c) 2a d) -4/; e) 2a+3b - - -

6.1~O. Konstruisi rna koja tri vektora a, b ie, pa odredi: ; .

a) ~ +2b b) 3a+b - - -

c) a +b + c - --

d) a +2b- c

6.131. Nacrtaj tri vektora a, b i c pa konstruisi vektor:

a) (a+b)+~ b) a+(b+c) c) a-b+c d) -a-b-c. 6.132. Objasni rijecima nacin mnozenja vektora skalaro,m (realnim brojem).

*** . 6.133. Koju duz nazivamo srednja duz trougla? 6.134. Koje osobine ima srednja dul: trougla? 6.13S. Srednja duz lrougla paralelnaje sa suprotnom strankorn ijednaka njenoj

poloyini. Dokazati! 6.136. Nekaje M rna koja tacka van duzi AB cijeje srediste S.

- 1--Dokazati da vrijedi: MS = -(MA + MB).

2

6.137. Nekaje AA' tezisnica AABC. Izraziti vektor AA' pomocll vektora

AB i AC.

6.138. Datje paralelogram ABCD. Nekaje AB=a, BC=b, 0 presjek njegovih dijagonala, E sredina stranice AB iF sredina stranice Be. Pomocu vektora a i b izrazi vektore:

a) AF b) ED c) FD d) EO e) EF. 6.139. Nekaje M srediste duzi koja spaja pocetke, aN srediste duzi koja

spaja krajeve vektora AB i BC. Doka7",ti daje vektor MN jednak polovini zbira ta dva vektora.

6.140. Presjek dijagonala paralelograma ABeD je tacka O. Aka je M proizvaljna

tacka, dokazati da vrijedi: MD = ± (M;; + ME + Me + MD).

49

0. 14L Aka su AI, 13 1 i C l redom sredista stranica Be, AC i AB MBC lOrna koja tacka u ravni tr~~la, doka~~a vrijed~ _

OA, +OB, +OC, ~OA+OB+OC.

6.142. Neka je T teliste MBC. Dakazati daje TA + TB + TC ~ 0 . 6.143. Nekaje T te!:iste i Iv! rna koja tacka van AABC. Dokazati da vrijedi:

- 1- --MT=-(MA+MB+MC) .

3 6. I 4"L Dati sa traaglavi MBC i M,BIC, i njihova teZi5t: .. :: T,. Dokazati da

vrijedi vektol'skajednakost: AA, + BB, + CC, = 3TT, .

6.145, Ako sU AB i A'B' dvije mirnoilazne duzi j 0 i 0' njihova sredista, -- --

-- AA'+ BB' dokazati da vrijedi nejednakost: 00' < 2··

6.146. Na stranici AD i dijaganali AC paralelograrna ABCD nalaze se tacke MiN

laka da je AM =.!. AD, AN =.!. AC . Dokazati da sa tacke B, N i M 5 6

koiineame (pripadaja istoj pravoj). U kakvom odnasu tacka N dijeli duz BM?

- - - 1- - 1- 1- -6.147.. Dati su vektori OA =a + b + -c i OB =-a --b -c.

222 Pomocu,vektora a ,b i c izraziti vektore:

a) OA +OB b) OA -OB c) AD

;

6.148~~ Za koju vrijednost parametra k ce vektori a = 2km + 30 i

b = -3km + kn biti kolinearni?

6.149 *' Z3 'koju vrijednost pararnetra m su vektori a = i + mj - k , -- - ~ -b ;:;-: mi + j.+ k , C = 2i + 3j + mk komplanarni?

d) BA

6.150.* Na dijagonalama AC i CE pravilnog 5estougla ABCDEF iz.abrane

su unutrasnje tacke . kd· AMCN , MIN,ta ve aJe ====",. AC CE

Pomata je da su tacke B, MiN kolineame. Odrediti )" .

so

6.S. Translacija i rotacija. Primjene

6.151. Sta je izornetrija ravni?

6.152. Kako se definise translacija ravni za dati vektor v? 6.153. Translacijaje izometrija. Dokazati. 6.154. Sta nazivamo rotacija u ravni? 6.IS5. Rotacijaje izametrija. Dokazati. 6.156. Nacrtati rna koji AABC i izvrsiti njegovu rotaciju za ugao od 120°

a) oko tacke A, b) oko odabrane tacke M van trougla. c) oka odabrane tacke N u trouglu.

6.157. Za kakva dva ugla kaiemo da su unakrsni uglovi? 6.158. Unakrsni uglovi sujednaki. Dokazati. 6.159. Kada kazemo da Sll dva ugla uglo'li sa paralelnim kracima? 6.160. Dva ugla sa paralelnim kracima Sll jednaka aka su im kraci jednako iii

suprotno usmjcreni, a suplementni su aka je jedan par krakova istog, a drugi suprotnog smjera. Dokazati.

6.l61. Objasni pojam uglova sa nonnainim kracima. 6.162. Dva ugla sa normalnim kracima sujednaka ako su aba astri iii aba tupi, a

suplementni aka je jedan ostar, a drugi tup. 6.163. Nacrtaj dvije prave ijednu njihovu transverzalu. Koliko uglovaje odl'edeno

tim pravirn? Izdvoji saglasne, naizmjenicne, suprotne. 6.164. Za kaje uglove na transverzali kazemo da su saglasni? 6.165. Ako su prave a i b paralelne, tada su saglasni uglovi na njihovoj transyerzali

jednaki i obmuto, ako su saglasni uglovi na transverzaJi dviju pravih jednaki, onda su te prave paralelne. Dokazati.

6. I 66. Za kakva dva ugla kaiemo da su naizmjenicni uglovi? 6.167. Aka su prave a j b paralelne. tada su naizmjenicni uglovi na njihovoj

transverzali jednaki i obmuto, ako su naizmjenicni uglovi na transverzali dviju pravihjednaki, onda su te prave paralelne. Dokazati.

6. I 68. Za kakva dva ugla kazemo da su suprotni ugloYi? 6.169. Aka su prave a i b paralelne, tada su suprotni uglovi na njihovoj transverzali

suplementni i ohmuta, aka su suprotni uglovi oa transverzali dviju pravih suplementni, onda su te prave paralelne. Dokazati!

6.170. Aka su a, B j y unutrasnji uglovi traugla, tadaje a + 13 + Y = 180°. Dokazati!

6.17 L Ugao pri vrhu jednakokrakog trougla vee; je za 30° od svakog ugla na osnovici. Odrediti unutrasnje i vanjske uglove ovog trougla.

6.172. Ugao kod vrha C trougla ABC je 40°. Sirnetrale unutrasnjeg i vanjskog ugla kod vrha C u presjeku sa pravom AB abrazuju jednakokraki trougao CDE. Odrediti uglove traugla.

6.173. Ako su a', 13' i y' vanjski uglovi traugla, tadaje a'+!3'+y' = 360°. Dokazati!

51

, ,

0..1/"+. ~yaKI :SpUIJi;t;:>!ljl \"""uJ"' .... ,) u6"-v UVU'::;U" J"Ulhll.'. JC l,UllU uva unuuasnJa njemu ncsusjedna ugla tog trougla. Dokuati.

6.175. Svaki vanjski ugao trougla veci je ad svakog unutrasnjeg njemu nesusjednog ugla. Dokazati!

6.176. Simetrala vanjskog ugla trougla ABC pri vrhu C sijeee praveu AB pod ugJom od 45°. Ugao ABC = 35°. Odrediti ostale uglove trougla.

6.177. Dokazat;: Simetrale vanjskih uglova na hipotenuzi pravouglog tmugla sijeku se pod pravim uglom.

6.178. Visina na hipotenuzu i simetrala pravog ugla zaklapaju ugao od 10°. Odrediti ostre uglove trough.

6.1 79. Pomoeu uglova a i j3 izraziti ugao <p koji simetrala ugla agradi sa suprotnom stranicom.

,'-180. Ako se simetrale dva unutrasnjih uglova CJ. i j3 nekog trougla sijeku pod uglom y (treei ugao trougla), odrediti ugao y.

6~18 L ~imetralajednog ugla u trougJu cini sa visinom na suprotnu stranicu ugao Jednak polurazlici ostalih dvaju ugiova ovogtrougla. Dokazati.

6.182. Simetrala ugJa y i visina iz vrha tog ugJa zaklapaju ugao (Po Tzraziti ugao cp pcmocu uglova a. j 13.

6.183 *.U tronglu ABC visina CD i tezisnica CE diiele ug-ao ACB na tri jednaka dijela. Odrediti uglove trougla ABC. "-

6_18"+. Zhir tigleva n-tougla j~dnak je (n-2} 180°. Dokazati! 6.185. Odredi zbir unutrasrJih uglova petougIa?

<U86. Ako se izometrijom "'ABC preslika u sarna sebe tako da se A

preslika u B, B u C i C u A, dokazat;.ea je "'ABC jednakostranicni.

6.187. Izvrsi translaciju za dati vektor ~ datog "'ABC. 6.188. Neka su a i b paralelne prave. Odredi translaciju koja pravu a preslikava u b.

Koliko ima takvih translacija? 6.189. Datu dui AB rotiraj oko date tacke 0 za ugao a = 60°. 6.190. Dati "'ABC rotiraj oko tacke 0 van trougla za ugao CJ. = _120°. 6.191. U istoj ravni date su tri paralelne prave a, b i e. Konstruiratijednakostranicni

trougao tako da mu po jedan vrh bude na svakoj od datih paralelnih pravih. 6.192. Date su tri paralelne prave a, b i c u istoj ravni. Konstruisati kvadrat ABeD

tako da tacke A, B i C, redom, pripadaju pravim a, b i c. 6J93 lJgao koji visina na kr~k jednakokrakog trougla gradi sa osnovicomjednak

je po!ovini ugla pri vrhu. Dokazati.

6.194. Zbir dva spoIjasnja ugla trougla veei je od 180°. Dokazati. 6.195. Izracunaj broj dijagonala petougla. 6,196. Koliki su uglovi trougla ako je drugi dvaput, a treei triput veei od prvog? 6.197. Koliki je unutrasnji ugao pravilnog sedmougla? 6.198, Koji pravilni mnogougao ima unutrasnji ugao- 140°7

6.6. Centralna i osna simetrija Il ravni. Osobine

6.199. Definisi centralnu simetriju. 6.200. Centralna simetrijaje izometrija. Dokazati l

6.20 I. Koje osobine ima centralna simetrija? 6.202. Za kakvu figuru kaiemo daje centralnosimetricna figura? 6.203. 1ma Ii poluprava centar simetrije? Staje centar simetrije prave? 6.204. Odredi neku ravnu figuru koja ima vise centara limetrije.

6.205. Primjenom centraIne simetrije odrcditi srediste date duzi AB. 6.206. Odrediti trougao centralno simetrican sa datim. 1IABC, ako je centar

simetrije: a) tacka B b) tacka 0 \"an troug!a c) tacka Iv! u trougiu, 6.207. Kada kaicmo da su dvije tacke osnosimetdcne u odnosu na pravu a? 6.208. Definisi osnu simetriju. 6.209. Cimeje odredena os-na simetrija7 6.210. Osna sirrmetrija je izometrija. Dokazati! 6.211. Koje osobine ima osna simet~ija? 6.212. Za kakvu figuru kazemo daje 0500 simetricna figura? 6.213. NapiSi ana stampana slova koja su 05no simetricne figure. 6.214. Koliko osa simetrlje imajednakostranican trollgao? 6.215. Konstruisi rna koji "'ABC i odredi njego\"u 05no simctricnu sliku U odnasu

na pravu a koja sadrii tacku B i norma!na je na duz AB. 6.216. Nekaje "'ABC dati trougao i a zadana prava. Odrediti osnosimetricnu sliku

"'ABC u odnosu na pravu a ako:

a) AEa b) B, CEa e) A, BEa d) LlABCna = 0. 6.217. Date su dvije jednake duz; AB i CD u proizvoljnom polozaju. Pokazati da se

jedna dui maze preslikati u drugu pomocu najvise dvije uzastopne osne simetrije.

6.218. Dokazati da su simetrale naporednih uglova meausobno norma!ne. 6.219. Nekaje "'ABC dati trougao i Iv! ma koja tacka u trouglu. Neka su A', B'

i c.:::', redam, tacke simetricne tacki iv1 u odnosu na stranice Be, CA i AB. Dokazati da su trouglovi "'C'AB', LlB'CA' i LlA'BC' jednakokrah

6.7. Znacajne tacke (toeke) trollgla (trokllta)

6.220. ~imetrale stranica trougIa sijeku se ujednoj tacki. Dokazatil 6.221. Koja tackaje centar opisane kruznice oka trougla? 6.222. Kada je srediste opisane kruznice na stranici trbugla? 6.223. Simetrale unutrasnjih uglova trougla sijeku se ,; jednoj tacki. Dobzati r 6.224. f:;oja tatkaje centar upisane kruznice u trougao? 6.225. Sve tri tezi!nice traugla sijeku sc u istoi tucki KOia 5nhlllJrj nilil ;lijcl; U

odnosu 2:1 rai:un;}juci od vr1u trougi:1. Ut'!-..:tliHi!

\,

6.226. Koju tacku zovemo teziste troug!a? 6.227. Staje visina trougla? Koliko trougao ima visina? 6,228, Prave kaje sadrZe visine tmugla sijeku so u istoj tacki. Dokazati' 6.229. Koja tackil se~naziva ortocentar trougla? 6,230, Kadaje ortocentar trougla tacka u vanjskoj oblasti trougla? 6,23], Kaje tacke nazivamo znatajne tacke trougla? 6.232, Dokazati da taeke osnosimetriene ortocentru trougla u odnosu na prave koje

sadrie njegove stranice, pripadaju kruinici opisanoj aka tog trougla.

6.8. Nejednakost trougla (trokuta)

.6,233, Mogu Ii tei ma knje duii biti stranice istog trougla? 6,234, Svaka stranica trougla manja je od 'liegovog poluobirna, Dokazati, 6,235, Zbir visina troug]a manji je od njegovog obirna, Dokazati, 6.236. Aka proizvoJjnu tacku II troug!u iii van njega spojimo sa vrhovima trougla,

zbir spojnica vecije od polovine obima. Dokazati. 6,237,' Ako rna koju tacku trougla spojimo duiirna sa krajevirna jedne njegoye

stranice, tad a je zbir dliZina ovih du.zi manji od duzina preostale dvije stranice. Dokazati!

6,238, Dokazati: Zbir duiina duii kaje spajaju rna kaju tacku trougla sa njegovirn vrhavima veea je od poluobima, a manja od obima tog trougla,

6.239. * Dokazati: Zbir duiina dijagonaIa cetverougla manji je od njegovog obima, a ve6i ad poluobima,

6.240. Neka su a, b i c stranice, s poluobim ita, tb i tc tezisnice trougla ABC. Dokazati da vrijedi nejednakost s < ta+tb+tc < 3s.

6,241. Neka su a, b i e stranice, s poIuobim i t" to i t, tezisniee trougla ABC,

Dokazati da vrijedi nejednakost ~s <ta+tb+tc <2s. ; 2

6.242. TeziSnica trouglaje manja od polovine zbira stranica izmedu kojih se nalazi, a veta od polovine razlike zbira tih stranica i trece stranice.

b+c-a b+c . Na prirrijer: ._"-- < ta < --- . Dokazatl ~

2 2 6.243. Zbir sve tri tezi.s.nice trougla veci je od polovine obima, a ITIa1lii od ohima

trougla, Dokazati! 6.244, * Ako za obim trougla cije su stranice a, b i c vrijedi a+b+c = I, dokazati

daje a'+b'+c'+4ab<-'-. 2 6,245* Neka su a i b duiine kateta, a c duzina hipotenuze pravouglog trougla

'ABC. Dokazati da vrijedi nejcdnakost e3 > a3 + b',

54

i i , , I I , i g I , ,

I ! t , ,

6.9. Rami zadaci 0 trouglu (trokutu)

6246. Sta predstavIja skup svih tacaka ravni trougJa MBC, koje su blize vrhu B nego vrhu C i istovremeno blize vrhu B nego vrhu A? ..

6,247, Prava normalna na osnovieujednakokrakog trougla obrazu]e sa krakom kO]I ona sijece i produienim drugim krakon! preko yrha trougla opet

jednakokraki trougao, Dokazati, " 6,248, Visina koja odgovara kraku jednakokrakog t:ougla obrazu]e sa OSnOYleOrn

ugaojednak palovini ugla pri vrhu. Doka~atI. ", .. ,. 6.249, Vi sine AA' i BB' "'ABC obrazujusa stramcom AB uglove el],]e zblr

jednak uglu kod vrha C. Dokazatt. , . ' 6.250, Na hipotenuzi BC pravouglog "'ABC date su tacke DIE, takvo da je

BE = AB i CD = AC. Izracunati ugao DAE, 6,251. U trouglu ABC duiina visine CHjednakaje polovini straniee AB.

Unutrasnji ugao ovog trougia <BAC je 75', Odredttl ugao <ABC. 6,252, Ako su a, b i c duzine stranica trougla ABC i a, i3 i Y ",jere

adgovarajucih uglova, dokazatl da vrljed, neJednakost:

aa + pb + yc ;, -'- (ab + i3a + ac + ya + pc + yb). 2

6.253, U "'ABC, u tacki H, sijeku se vi sine AD iCE, Akoje CH = AB, izratunati

ugao ACB, , '" " 6.254,* Nekaje CD visina pravouglog "'ABC. Neka su R I S sredrsta uplsamh

kruZniea u pravouglim trouglovirna "'ACD i "'BCD, Ako prave CR , CS sijeku stranieu AB u tackama Pi Q, dokazati daje AC = AQ i BC = BP,

6.255,* Nekaje "'ABC pravougli trougao i tacke P i Q iz prethodnog zadatka. Dokazati daje srediSte 0 upisane kruinice u pravougli "'ABC istoHemeno srediste opisane kruzniee ako trougla CPQ,

6.10. Cetvcrougao (cetverokut)

6.256, Delinisi eetverougao, 6.257, Zbir unutrasnjih uglova cetverouglaje 360°. Dokazari! 6,258, Staje vanjski ugao cetverougla? 6.259. Navedi jednu podjeJu cetverouglova? 6.260, Koliko cetverougao ima dijagonala?

6,10,1. Par a I e log ram 6,261. Sta je paralelogram? 6.262. Svaki paralelogram ima osobine;

!) Suprotne stranicc pafJ.1elograma su jcdrw.ke.

55

- " 3) Susjedni uglovi paralelograma su suplementni. 4) Dijaganale paralelograma se palave.

Dokazati! 6.263. Staje pravougaonik? 6.264. Kaji paralelagram zovema romb?

6.265. Staje kvadrat? Kadaje pravougaonik kvadrat? Kadaje romb kvadrat? 6.266. Svaki tetivni paralelogramje pravougaonik. Dokazati. 6.267. Dijagonale romba su normalne. Dokazati.

6.268. SrediSta stranica romba su vrhovi pravougaonika. Dokazati. 6.269. Sredista stranica pravougaonika su vrhovi romba. Dokazati.

6.270. Dokaz.ati da su sredista straniea rna kakvog cetverougla, vrhovi paralelograma.

6.271. Datje paralelogram ABCD. Na pravima AB i BC odabrane su tacke E i

F taka da su trouglovi AABF i ABCE jednakokraki (AF=AB, BC=CE). Dokazati daje i trougao EFD jednakokraki.

6.272. Datje pravougli Ll.ABC «ACB =90°). Nad njegovim katetama kanstruisani su kvadraJi ADKC i CBHD. Dokazati daje zbir odstojanja tacaka D i H od prave AB jednak duzini hipotenuze AB.

6.273.* Ako Stl a, b i c duzine stranica i ta, tb i te , duzine tezisnica trougla, dokazati

da vrijedijednakost: 1/ +1,' +1,' =~(a2 +b 2 +c2) 4

6.274. * Dokazati da u trouglu vrijedi

I 22223 2 -(a+h+c) >'10 +1, +I,>.-(a+b+c) , 4 8

gdje Sll a, b i c stranice, a ta, tb i te, teziSnice trougla.

6.10.2. Trapez

6.275. Kada za cetverougao kaiemo daje trapez?

6.276. Staje srednja duz trapeza? Koje stranice trapeza zoverno osnovice? 6.277. Sredl1ja dUl: trapeza paralelna je sa osnovicama i jednaka njihovom

poluzbiru. Dokazati!

6.278. Dat je trougao ABC i prava m koja ne sijece stranice trougla.

Dokazati daje zbir normal a spustenih iz vrhova trougla na datu pravtl jednak zbiru nornlala spustenih iz srediSta stranica datog trougJa.

6.279. Uglovi na osnovicijednakokrakog trapeza sujednaki. Dokazati. 6.280. DUagonale jednakokrakog trapeza su jednake. Dokazat;!

6.281. Ako su P i Q presjecne tacke srednje duz; ; dijagonala trapeza ABCD, tada .ie dul' PQ jednaka polovini razlike osnovica. Dokazat;.

6.282. Izracunati uglove paralelograma akojedan njcgov unutrasnji ugao iznosi 620

56

6.283. Simetrala ugla izmedu dUago~ale i stranice ramba, odreduje sa drugom stranicom ugao 72°. Izracunatl uglove romba.

6.284. Dva ugla trapeza iznose 58°341 i 123°15'. Izracllnati ostate unutrasnje uglove trapeza. ' ..

6285. lednakokrak; tro;,a ABCD, gdjeje ADII BC I BC:<AD: dlJagonalom · AC odj'cljcnjc na dvajednakokraka trougla. Izracunatl ugl~v,e trapeza.

6 286. Sre~is~ stranica i podnozje hila koje visine traugla su vrhovl Jednakokrakog

· trapeza. Dokazati. ", ,.' ,. ., 6.287. U paralelogramu A' CD t"oka MJe sre~lste duzI BC, a tacka N Je sredlSte

dUli CD. Dokazati cia prave AM I AN dlJele dlJagonalu BD na tn Jednaka

dijela. , , . k' 6288. Sredista stranica jednakokrakog trapeza Stl vrhovI ramba. Do azat!. 6'289. Ako su A, B, C i D cet;ri nekomplaname tacke, I aka su K, L, M , N redom

· sredista duzi AB, BC, CD iDA, tadaje cetverougao KLMN paralelogram. Dokazati.

6.11. Povrsina geometrijskih figura u ravni

k'h 'h fi Pregied osnovnih formula za"EOvrsinu ne', ravnl :lgura: NAZIY FIGURE Element; koji ulaze u formulu FORMULA

PRA VOU.GAONIK Ib

I P=ab (PRA VOKUTNIKj

a

PARALELOGRAM ;Vlh Y P=ah ... ~ a

~ ah bhb ch,

P=--' =- =-

~~. 2 2 2

TROUGAO Heronova formula

p =~s(s-Q)(s-b)(s-c) (TROKUT) I A c tl a+b+c

-poluobim s = --2

p:= abc r - radijlls llPisane kruznice p;::::; r·s; 4R

R - radijus ~isane kruznice

a'·fj Iednakostran ican a stranica P=-~

TROUOAO 4 I -57

Pravougli lrougao a~ P= ab 2

. ~ ... -al~ R 0 M B ... , .......... :s::.d{·~ P = did,

2

a-stranica; d l , d,-<liiagonale

c

TRAPEZ I h t\ P= a+c h

.

2

a, c-osnovice; b, d-kraci h-visina

6.11.1. P()vrsiJla pravougaallikll (pravoklltllika)

6.290. PO\:*in~ pravo~gaonikajednaka je proizvodu duiina dviju njcgovih susjedmh strantca. Dokazati!

6.191. Odnediti povrSinu rnl\'ougaon~!,a aka su mu poznate duzine st(;)nica a I b: . aJ a=6cm,4=Scm bJ a~IOell1,b=8cll1 cJ a=16,b=12cm

6.292. IZfaCunati povr~inu kvadrata aka je data duzina"njegove stranice a: aJ a=3cm b) a··5cm cJ a= II m

6.293. Date su stranica i dijagonala d pravoug;:wnika.Izracunati povrslnu: a) a=4cm,d;"'5cm bJ b=9cm,d=I5em c) a=I6 d=20cll1

6.294. POzn1!taje duzina d dijagonaJe kvadrata. Odrediti povrsinu k~adrata aka je:

aJ d=fi em bJ d=4fi em eJ d=9fi rn 6.295. Dataje povrsina P kvucirata, OJrediti duzinu stranice i dijagonaJe.

a) P=4em2 b) P~36cm2 c) P=40em2

6.296. Poznata JC stran\ca i obim 0 pr;wougaonika. Odrediti njegovu povrsinu: o aJ a.",,3 en;,. 0.,10 em bJ b~IO em, 0=36 ern eJ a = II ,0=30 cm

6 . .<.97. Dat<:£je dUZlnajedne stlanlce I povrsma pravougaonika. Odrediti drugu stranku i dijagonalu PfiJ\'ougaonika ako je dato: '-

, a), a=,12ellJ ,P= 108c01' b) a=r,p~300 e) b= 18,P=432 6._98. Str~nc.e ~ravot~~ao~lka odnose se kao 12:5, a njegov obimje 102.

lzracunatl povrsl,nu I duzinu dijagon3!e pravougaonika.

58

i.

I i " f

! I I I I !

i " f i I i J J I

I

6.11.2. Povrsina parale/uK,rama

6.299. povrsina paralelugwma jcdnaka je proizvodu duZina njegove straniee i visine na tu 51ra1l1,,;'1. Dokazati!

6.300. poznataje duii: _I_;~dlle st;cnice paralelograma i visine h na tu stranicu .. Odrediti povrsinu para\:.icgrama aka je: a) a=8cm,h=5cl11 b) a=12cl11,h=3em c) b=55,h=2ellJ

6.30 I. Udaljenost dvijl, P""'.'eirjh <Jranica paralelograma je 14 em, a duZina svake od ovih stranica j:! ' "I -,.01. lzracunati povrsinu paralelograma.

6.302. ParaJelogram AD: l) ;mo stranieu AB=10 i dijagonalu AD = 4. Ugao koji zaklapaju ove straniee je 60°. Odrediti povrsinu paralelograma.

6.303. Visina rombaje h = 4 -.fj, a ostri ugao a=60°. lzracunati povrsinu ramba.

6.304. Dijagonale romba su d, = 10 i d,= 8. Kolika je povrsina romba? 6.305. pOVTsina pravougaonikaje 160 em2, a njegove stranice se adnose kao

5 : 2. Odrediti stranice pravougaonika. 6.306. Povrsina pravougaonikaje 10 m2

, ajedna stranicaje 5 m, Kolikaje duiina

druge stranice? 6.307, ledna stranica pravougaonikaje 10 em, a drugaje za 2 em manja od

dijagonale. lzracunati dijagonalu i povrsinu pravougaonika. 6.308. Razlika dijagonaJe i stranice kvadrataje 4 em. Odrediti povrsinu.

6.309. Obim pravougaonikaje 18, ajedna stranieaje 3 em. Odrediti povrsinu

pravougaonika (pravokutnika). 6.310. Obim rombaje 20, a kraca dijagonala je 5 ern. Odrediti povrsinu ramba. 6.311. * Povrsina paraielogramaje 21 m1

, a njegove visine jednake su 3 i 5 rn. Odrediti duline stranica paraleiograma.

6.312. * Kolika je visina romba cije su dijagonale 10 i 24 m? 6.313. * Nati povrsinu kvadrata upisanog u pravougli trougao sa katetama a i b.

6.11.3. PovrSina trougla (traku/a)

6.3l4. Povrsina troug!a jednaka je po!ovini proizvoda duiina njegove stranice i visine koja odgovara toj stranicL Dokazati!

lzracunati povrsinu trougla aka je data stranica i oclgovarajuta visina: 6.315.a) a=7 ern, h,=4 ern b) a=12 COl, h,=8 em cJ e=16 m, 11,=10 m 6.316.a) a=1 em, h,=2 em bJ b=3 cm, h=2 elll c) c=4 m, ~=3 m 6,317. Tzracunati povrsinu pravouglog trougla ako su poznate duzine kateta:

a) a=6 em, b=12 em b) a=11 ern. b=8 m c) a=18 m, b=3 em 6.318. Hipotenuz3 pravoug]og trougla je c, a katela b. Odrediti povrsinu:

a) c=26 111. b=lO m b) c=I5 elll. b=12 em c) b=58, e=40 em

59

)"

O,.H'!t. lZraCUnau povrsmu Jednakokrakog trougla osnovice a i kraka b: aJ a=16em,b=IOem bJ a=60em,b=50em e)a=10,b=13m

632tl. Akoje a =612 osnovicajednakokrakog pravouglog trougla, odrediti njegovu povrsinu.

6.321. DvUe stranice trougla su a = 12 i b=14, Visinaje ha=4. Izracunati visinu hb

•

6.322. Nekaje M rna koja tacka unutar pravougaonika ABCD. Dokazati daje zbir povrsina trouglova lIABM i lICDM jednak zbiru povrsina trouglova lIBCM i lICDM.

6323. Povrsina trouglajednakaje proizvodu poluobima i raduusa njemu upisane kruznice. Dokazati.

6.324.0birn trouglaje 2s, a radijus upisane krumiee L Odrediti povrsinu traugla ako je:

aJ 2s=16 em, r=2 em b) 2s=28 em, r=3 em c) 2s = 32, r = 4 em 6.325. Katete pravouglog trougla su a=15 i b=20. Odrediti raduus upisane kruznice. 6.326. Nad straniearnajednakokrakog pravouglog trougla katete b konstruirani su

na vanjsku stram! kvadrati. Odrediti povrsinu trougla ciji su vrhovi sredista ovih kvadrata.

6.327.* Dokazati da za povrsinll trollg!a vrijed! formula:

P = !s(s - a)(s - b)(s -c), gdje su a, b i c stranice, a s = a+ b + C . 2

poluobirn trougla (Heronova formula) "'.

6.32!!. Date su stranice a, b i e lIABC. Izracunati njegovu povrsinu ako je: .) a=13ern,b=14ern ic=15em b) a=26ell1,b=30ern i e=28em

6.32§t Stranice trougfa su a = 39 em, b = 42 em j e = 45 em, Izracllnati : a) visinu h,. b) visinu hb. e) visinu he.

6.330. Stranice traugla su 24, 27 i 33. Odrediti radijus R opisane i radijus r upisane kruzniee.

6.33.1. Straniee trougJa su 25, 29 j 36 em, Odrediti radijuse upisane i opisanc hllZnicc.

6332. Date su stranice traugla: a = 21, b = 17 e = 10. lzraeunali: a) povrsinll trougla, b) sve tri visine, c} radijus opisane kruzniee, d) radijus upisane kruznice .

6.333_ U trougJu ABC poznato je a = 29, b == 27 j tc::;: 26 em. Izracunati povfsinu trougla.

6.334. Dijagonale paralelograma su 112 i 78 em, a manja slranica je 25 em. Izracunati povrsinu paralelograma?

6335. lednakokraki trougao ima osnovicu a = 10 i' krak b = 13. Naci radijuse upisane j opisane kruznice.

6.336.l>raziti povrsinujednakostranienog trougla kao funkciju: a} od njegove stranice a b) Dd njegove visine h.

6.337. bracunati povrsinu jednakostranicnog trougla aka je poznato:

"'.1 a = 4 em b) a = J 0 em c) h = 2 Jj em

60

6.3j('5.'" 1 aeke M, N ! 1-' dljeJe stralllee Jednakostranicnog trougla ABC U odnosu 2: I, tako da se dobije novi jednakostranicni trougao. Akoje AB=a (=12) odrediti povrsinu trougla MNP.

6.339. Obimjednakokrakog trouglaje 32 m, a vis ina koja odgovara osnovicije 8 m. Izracunati povrsinu trougla.

6,340. Katete pravouglog trougla su a i b. Kolika je visina koja odgovara hipotenuzi? .

6.34 L * Dat je trougao ABC i tacka D na straniei AC"Tackom D POVUCI pravu koja dati trougao dijeli na dva dijelajednakih po'vrSll1a.

6.342.* Yrhom A trougla ABC povllcenaje prava m kojaje paralelna sa pravom BC i na njoj je uzeta proizvoijna tacka D. Neka je BE normal a na CD.

1--Dokazatidaje PMBc = ~CD·BE.

2 6343* Izraziti visine h" hb i Q trougla pomocu njegovih stranica a, b i e. 6:344. Izracunati visinu ha trougla cije su straniee: a,= 8,. b ",10, e = 12. e';"'. 6.345.* Izracunati radijus kruioice upisane ujednakostranh~nI trougao CIJ3Je

teZisniea t = 2. 6.346. * Izracunati radijus kruZoice opisane oko jednakostranicnog trougla cija je

tezisnica t = 2 J3 em. 6~347.* Odrediti veZll izmedu tezisniee ta i stranica a, b i c trollgJa. 6.348.* Izracunati teiisnice trougla cUe su stranice:

a) a=7cm, b=9 em, c=l] em b) a=14 em, b=]6 em, e=18 em . . J3]j

6.349* Izracunati stranicu e trougla u kome je zadano a=1 0, b=13 • t'=-2~-- em.

6.350.* U lIABC date su straniee AB=13 m, BC=15 m i AC=14 m. Iz vrhaB povucene su visina BH, simetrala ugla BD i tezisniea BM. Odred.tl:

a) Povrsinu "'BHD ' b) PovrSinu lIBMD c) Povrsinu lIBHM. "

6.351. * Date su dvije vi sine trougla h, = 8 em i hb = 12 em. Dokazat, da za treeu visinu vrijedi nejednakost h, < 24 em. ..

6.352. * Neka su a i b duiine kateta, a h duiina visine koja odgovara h.potenuZl

'. ' rah pravouglog trougla ABC. Dokazati da vrijcdi riejednakost: h 0:; fl .

6,11.4, Povrsina trapeza

6.353. Povrsina trapeza jednaka je proizvodu poluzbira duiina njegovih osnoviea i duiine visine. Dokazati. . . .. k ' ..

6.354. Izracunati povrsinu trapeza cije su osnovicc ale I Vlsma h, ~ 0 JC~ ) _0 -011-') b1, 0=17 ,'=4 11=5 0) a=16,e-IO.h-4 a a"-6. C-_, ,- _ ,~: '- ,

61

r

6.355. Izracunati povrsinujednakokrakog trapeza aka 51..: d,~~(' njegove osnovicc a i c i krak b:

a) a~19, c~3, b~IO b) a~14, c~4, b~13 '0) FlO, e~2, b~15 6-.556_ Izra~unati povrsinu trapeza cije su osnovice a i c, a lraci bid:

a) a~20, c~7, b~14, d~15 b) a~30, c~·l, b~2&, d~30

c) a=50, c=8, bco39, d=45 d) a"30.,=5, b~29, d~36 6.357. Osnovicejednakokrakog trapeza su a=20 i c=4, a !.),.;.v[sinaje P=72.

Odrediti kiak b. 6.358. DliZ;ne osnovica trapeza su 15 i II, a krakova 5 i 7. Odrediti visinu h

trapeza.

6.359. U jednakokrakom trapezu dUagonaJe su uzajamno nOnllu!ne, a visinaje h~IO. Kolikaje povrs;na trapeza?

6.360. U jednakokrako;m trapelu duiinc osnovica su 30 i 20 em, a ugao pri vecoj osnovi jc 45°. Tzracunati povrsinu trapeza.

6.361. U jednakokrakom trapezu dliZinc osnovica su 62 i 22 em, a duZ.ina kraka je 25 em. Izracunati povrsinu trapeza.

6.362. Izracunati povrsinujednakokrakog trapeza cije su dijagonale uzajamno nonnalne, a osnovicc imaju duiine 12 i 3 em.

6.363. Jednakokraki trapez ima dijagollalu d~16 i krak b~12. Akoje dijagonala trapeza normatna na krak, odrediti osnovice i povrsinu trapeza.

6.364. Dat je jednakokraki lrapez cije su dijaganale normalne i cijaje srednja linija duzine m. Dokazati da za povrsinu P trapeza vrijedi P = m2,

6.365. Osnovice trapeza imaju duiine 10 i 5 em, a njegove dijagon-ale l3 i 14 em. Kolikaje pavrsina trapeza?

6.366. Dijagonale trapeza imaju duiine 10 i 612 cm, a njegova visina je 6 em. Odrediti povrsinu tr,apeza.

6.367. Date su stranice trapeza a~30, b~15, c=16 i d~l3. Simnice a i C su osnovice. Izracunati: a) Povrsinu trapeza,

b) Dijelove trapeza na koje sredrDa Iinija dijeli trapeze 6.368. Nekaje ABCD trapez sa asnovicama AB i CD i nekaje tacka E srediSte

kraka AD. Dokazati da je povrsina trougla BCE jednaka polovini povrsine datog trapeza. '

6.369. Svaka prava kojaprolazi sredistern srednje linije trapeza i sijece njegove krake, dijeli trapez na dijclove jednakih povrsina. Dokazatir

6.370. Dijagonala AC trapeza ABeD norma[na je na stranicu Be i peloy! ugao DAB. Ako je osnavica trapeza AB ~ 4 cm i ugao ABC~60c, izracunali povrsinu trapeza.

6371. Oko kruznice radijusa r opisanje pravougli trapez cijaje najmarDa stranica

3r ad d" .' 2' re Itl povrslDu trapeza.

6372. * Dijagonale jednakokrakog trapeza sa osnovicama a i c sijeku se pod pravim uglom. Odrediti duzinu kraka, visinu, dijagonalu i povrs!nu trapeza.

6.373. * Paralelne stranice jednakokrakog trapeza su a=24 em i c=l 0 em, a visina iznosi 17 em. Izracunati radijus kruinice opisane aka trapeza.

6374,* U pravougli trapez upisanaje kruinica. Sredi,te ov~ kruinice udaljenoje ad krajeva duzeg kraka p=2 em I q=4 em. Odredltl povrs!Ou trapeza.

6,11.5. Fovdina mnogoug/a (poligona)

6.375. Povrsina cetverougla koji ima normalne dijagonale jednaka je polovini proizvoda duiina njegovih dijag.onala. Do.~azatI! , ... .

6.376. Dvije straniee deltoida su a~13 1 b=20. DI]agonala deltOida ko]a nI]e na OSI simetrije je d j =24. Odrediti povrsinu deltoida. .

6.377.*Jedan kvadrat stranice a nastaje rotacijom dn:gog kvadrata aka l1Jegovog vrha za 45°. KoUka je zajednicka povrsma oVlh kvadrata?

6.378. DijagonaJe konveksnog cetverougla su a i b. D~i.ciji s~.kraj~evi sredista suprotnih stranica cetverougla Sll jednake. Odre~Itl povrsmu ~etv~rougla.

6.379. Nad stranicamajednakostranicnog trougla stran!ce,~ konstru.lra~nJ su sa vanjske strane kvadrati. Vrhovi kvadrata su spoJem 1 nastaoJc sestougao. Odrediti povrsinu n3statog scstougJa.

6.380.* Duiine stranica konveksnog cetverougla su a, b, c i d. Dokazati da za

a2 +b 2 +c 2 +d 2

povrsinu P celverougla vrijedi P 5: 4

6.381. * Dat je kvadrat ABCD. Tackom A prolazi prava koja sijece stranieu CD U tacki Q. Paralclno sa pravom AQ, povuei pravu koja sijecc stramce kvadrata u tackama MiN tako da povrsina cetverougla AivfNQ bude makslmaina.

6.12. Geometrijske konstrnkcije

6.12,1, Geometrijske konstrukcije trougla (Irokuta)

6.382. Sta se nazi va geomelrijska konstrukcija? 6.384. Ukratko objasni prvu fazu (analizu) rjesavanja konstruktivnog zadatka. 6.385. Sta se radi u drugoj fazi rjesavanja konstruktivnog zadarka? 6.386. Objasni Ireeu fazu u rjesavanju konstrukt;vnog zadatka. 6.387. Objasni cetvrtu fazu u rjesavanju konstrukt;vnog ~adat.b. , ..• 6.388. Dataje krliZnica k(O, r), tacka A i dUl a. Na dato] kruzmci odredrtl tacku M koja je za a udaljcna ad date tacke A.

Analiza: Neka su data kruZnica, data tacka i data dliZ predstavljcni na SI.6.388. Tacka koju trazimo je ad date t~cke A udaljena za a. Sve tacke koje su ad tacke

63

A udaJjene za a, nalaze se na kruZnici k'(A, a). U presjeku date kru;l:nice k i kruZnice k' nalazi se traiena tacka M.

0.0 _-.:a=-_o

, , ,{

Konstrukcija; 1) Konstruisati kruinicu k'(A, a),

2) Konstruisati presjek date kruznice i kruznice k' k(O, r) n k'(A, a) = {M, M'l.

Dokaz ; Kako se dobijena tacka M (i M') nalazi na kruZnicama k i k' to ana zadovolJava traiene uvjete: pdpada datQ; kruZnici k(O, r) i ad date t;cke je udalJena za k.

Disknsi!~: Nekaje OA = d. Da Ii zadatak ima rjesenje i koliko ih ima zavisi ad date duz. a • polozaJa date kru;l:nice i date tacke A

Akoje d - r < a :d+r, kruZnice k i k' se sijeku i zadatak ima dva rjese'lia. . Ako Je a", d - r J/. a = d+r, kruZnice k i k' se dodiruju izvana iii iznutra i zadatak .ma Jedno fJeSenje.

Ako je a < d - r iii a> d+r, zadatak nema rjesenja (kruZnice k i k' se ne sijeku).

6.389. Konstruisati trougao ABC ako su mu date sve tri stranice a b i c 6.390. Konstruisati kruZnicu radijusa r koja sadrii datu tacku M i cUe je ;rediste na data) pravOJ a.

6.391. Konstruisati simetralu duii AB. 6.392. Konstruisati simetralu ugla xOy.

6.393. Konstruisati kru;l:nicu datog radijusa r, koja prolazi kroz date tacke A i B. 6.394. Konstru.sati kruZnicu koja prolazi kroz tri date tacke A B i C 6.395. Data je tacka A i prava a. Konstruisati pravu b koja sad~i tacku A i nonnalna Je na datu pravu a.

6.396. Data je tacka P i prava a. Konstruisati pravu b koja sadrii tacku P i paralelna je sa datom pravom a.

6.397. Konstruisati trougao ABC aka su dati njegoVi elementi : a, Il i 110. 6.398. Konstruisati trougao ABC aka su dati njegovi elementi : a, a i ho. 6.399. Konstruisati pravougli trougao ABC ako je data hipotenuza c i vislna h.

64

Konstruisati trougao ABC ako su dati njegovi elementi : 6.400.a)a,c,y b) a, b,a c) b,c,p. 6.401.a) c, 110, to· b) b, Ie, h,. c) a, lb, h,. 6.402.a) a, hb, t, b) b, 110, tb c) C, h" " 6.403.a) a, c, tb b) a, b, " c) b, c, t, 6.404.a) a, h" t, b) c, 110, t, c) b, hb' tb 6.405.a) a, t" R (radijus opisane kruZnice) b)b, tb, R c) c, to, R 6.406.a) a, b, a+1l b) c, a-p, a+b c) a, c, a-b

6.12.2. Geometrijske konstrukcije cetverougla (cetyerokuta)

6.407. Konstruisati cetverougao ABCD ako su dati njegovi elementi: AB = a, AD = d, AC = e i uglovi a i y. .

6.408. Konstruisati cetverougao ABCD ako su dati njegovi elementi: a) a, b, c, d, a b) a, b, c, d i dijagonala AC=d,.

6.409. Konstruisati paralelogram ABCD ako su dati njegovi clementi: a) a, b i dijagonala d=AC. b) a, b, h,.

6.410. Konstruisati pravougaonik ABCD ako su dati njegovi elementi: . a) a i dijagonala d. b) a + b'i dijagonala d.

6.411. Konstruisati kvadrat ABCD ako su dati njegovi elementi: a) stranica a. b) dijagonala d. c) d -a d) d + a

6.412. Konstruisati jednakokraki trapez ako je data osnovica a i radijus r upisane kruZnice. 6.413. Konstruisati trapez ako su dati njegovi e1ementi:

a) a, c, b, h b) a+c, d: d" d2 •

7. FUNKCIJA DIREKTNEPROPORCIONALNOSTI Y = kx. TOK I GRAFIK

7.1. Kako se delinise funkcija f: A -+ B ? 7.2. Kada je funkcija odredena? 7.3. Kada ka.z,emo da Sll dvije velicine zavisne? 7.4. Kakve su to direktno proporcionalne velieine? 7.5. Staje proporcUa?

7.6. Kako se definise geometrijska sredina dva broja? 7.7. Izracunati geometrijsku sredinu brojeva 2 i 18.

65

7.18. Kako znak koeticijenta k utice na polozaj grafika funkeije y ~ kx'l 7.9. Kada je funkcija y = kx pozitivna? 7. m. Za koju vrijednost koeticijenta k funkcija y = kx uvijek opada? 7. H. [spitati tok ; n~,rtati grauk slijedecih funkeija:

a) y ~ x b) Y =·x c) y = 3x d) Y ~ -2x. 7. Ll. Pokaii da su slijedece dvije proporcije ekvivalentne:

a:b = e:d i (a+b):b = (c+d):d. 7.13. Tri metra platna kost.ju 450 KJv!. Koliko KiI,1 kosta 4 m tog platna? 7.14. Na kart; razmjere 1:50000 rastojanje izmedu dvije kote je 25mm.

Koliko je rastojarUe istih kota na karti razmjere I: I DODO?

7.1. Funkcija y = kx+n. Tok i grafik

7.15. Staje definiciono podrucje funkeije y= kx+n? 7.16> leak vo je graficko znacenje parametra n kod funkcije y = kx+n? 7.17. Kadaje funkc;ja y = kx+n rastuca? 7.18. SW je nula funkeije? Kolikaje nula funkeije y = kx+n?

Odrediti nulu date funkeije: 7.19.&) y=5x-11 bJ y=-x+7 7.20·&1 y~.6x+12 b) y=3x-15

Naertati grafik i ispitati tok funkcije:

e) y=6x+50 c) y=-4x+6

1 7.2I.a) y=x+3 b) y=2x-I cJ y=-x-2

3

2 d) y=-x+4.

5 4 5

7.22.a) y=-x-4 b) y=-4x+5 e) y=-2x-6 d) y~-'-x+-5 4

7.23. Oi!rediti vrijednost koefIcijenta a tako da prava y=ax-3 prode tack om (I, 8). 7.24. OOrcditi vrijednost koet)cijellta k tako da praya y=kx+5 prode tackom (2, 13). 7.25. OOrediti vrijednost za'n tako da prava y=x+n prode kroz tacku (0, -6). 7.26. Odrediti vrijednost parametra n tako da praya y=2x-n prode tackom A(-l, 5). 7.27. Oarediti vrUednos! parametra a tako da prava x+y-a=O prode tackom M(I, I). 7.28. Odrediti vrijednost parametra m tako da praya mx·3y+I=0 prode kroz tacku

AP,O). 7.29. Primi graficki funkciju y = kx+n aka je:

a) lc=3,n=·3 b) k=·2,1l=3 c) k=0,5,n=-I d) k=-I,n=1 7.30. Za koliko opadne vrijednost funkcije y = -3x+2 kada x naraste od -I do 4? 7.31. Za 'KoUka apadne vrijednost funkcije y = -2x+8 kada x naraste od 1 do 5 ? 7.32. Za 'koliko poraste vrijednost funkcijc y = x+15 kada x naraste ad -3 do 10 ? 7.33. Za fu:nliko poraste vrijednost funkcije Y""" 3x-6 kada x naraste ad 2 do 8?

;. 66

I

I

4 Odediti vr;jednosti parametra m tako da grafik fuk~U: _. 7.3 . [(x) = (m-3)x.2m+5 na y-oS; odsijeca odSJeca~ duzme : \.

735. Kaja linearna funkeija ima grafik koji prolaz! kroz(d~~ d:~e ~~~~. :5) . a) A(O, 0).B(4, -I) b) A(2, .1), B(-3, 4) c "

7.2. Funkcija obrnute proporcionalnosti

tok i grafik

y =~ (k;tO), njen x

. 1 f? 7.36. Koju funkciju nazivamo timkcija obrnule praporctona nos t. k

. .. _ k? 7.38. Rada fUl1keija y =- raste? 7.37. [ma 11 funkClJa y --,-;: nulu. x

k 9 Kakav znak ima funkcija Y == - ? 7.3 . X

7.40. Nacrtati grafik i ispitati tok funkeij~:5 _1 b)y=-

a) y-- x x

7.41. Odrediti wak funkcije:

2 a) y=-

x

-7 b) y=-. x

4 c) y=

x

10 cJ y=

X

3 .. . 1 6 Odrediti '"'Y funkcije Y = - aka se x promuem sa na . 7.42. x

-I d) y=-

x

-10 dJ y=

x

k' -1 '[uk" = __ kadase

7.43. U kojim kvadrantima se nalaze grafici n cIJa Y x

parametar k mijenja?

~. P 'kazati graficki zavisnost visine 7.44. Ako je poznata povrsma trapeza • pn p

trapeza h i njegave srednje linije m (h =-;;;>-

7.45. Aka je J(x) = S ' odrediti J(f( -2)).

Nacrtati graf.k date funkcije: c) y=2 -\~

oJ Y=I~I-2 0 y=~-~ 7.46. a -I

7.47*a) Y=I~I b) Y=fxI c) y=2Ix-11-lxl+3x

(;7

LIN EAR N E JED N A C I N E (jednadzhe) , 3. J. Objasni pojmove jednakosti~ identiteta j jednacine!

S >..:-. Pronadi identitete:

J) x = 3 b) x'-9 = 0 c) a'-4 = (a-2)(a+2) 83. Zasto se jednacina naziva i usJovna jednakost? 3A. Kuko.se dijde jednacine prema broju nepoznatih? EL5. Kako dijelimo jednacine prema stepenu nep02nate? 8.£. Sta je rjeserUe jednai'ine?

d) a3_2a'= a'(a-2)

Pro\jeri da lije dati broj x rjesenje datejednacine: ?7.a) x=O,5x+7=22x+7 b) X=-1,3x-4=_7x c) X=2,x+l=2x_1

7-3x 1+3x 5+2x x :>.8.a) x=-3, --=7+x b) x=-3,-=2(4+x) c) x=5, --=6--4 4 3 5 fL? Sia znaci rUesldjednJj~inu?

:1. Hl Kc}a c-d d3:ihj~Jnacjna nema rjesenja: .1) 4x+1 =4(x+l) b) 5-23x=-18

8. L Ekvivalentne jednacine (jednadZbe)

8. I I. Kada kazemo da su dvije jednacine ekvivalentne? 8.12. Navedi osobine ekvivalentnihjednacina.

c) 6(x-3) = 5+2(3x-I)?

Da Ii Sll date jednacine ekYiYalentne (imaju Ii ista rjesenja): 3.I3.a) 2x-3=x+1 i 2x-3+(x+2)=x+l+(X+2) b) x+3=2x+4 i 2x-3 = x-4 'U4.~·' 2x+I=2x i x=3x+1 b) 2x-5=X+4 i 5x+I=10+4x

;].:1,. Hjesavanje linearnih jednacina sa jednom nepoznatom

Poka:1i da slijedece jednacine imaju beskanaena mnoga rjesenja; 5x-3 = 4x-l +x·2 0) 2(5-3x) = 8-6x+2 c) I O-(x+ 1) = 2(4-x)+ I +x.

4(x-2)+5=3x-(3.x) b) ~+~=5x-~ 3 2 6

b) ~J~~-2,L3l.1 2 \. 7 j 14

, 10x-l 10x-l 5 -I- ~X + ---.. ------ - __ ::::35-x 5

I ,

I I I ,

Poka;;:i da date jednacine nemaju rjeSenja (da su proti>::jecne): 14) 8 18 aJ 30x-16 = 25x+44+5x b) 2(1-x)+3x - 11-(-x+ 7

") 2x-l 5x+2 -~-4 8.19.a) (~+2 ·8=4x-l1 b) -.-3---12- 4

8.20.a)

8.21.a)

Rijesiti navedene jednacine:

2x-5 = x+4

4 - x -11 = 3x+l-x

8.22.a) 3-5x+l = 2-3x+6

8.23.c) 1+(2+x) = 4 + (x·l)+2x

8.24.a) 2-(3-4x) = 5x-Il

8.25.a) 7+2(x-3)-(x-l) = x+5·(x·l)

8.26.a) 3-{2-3x+[x-6(x+5))} = 4x+ I

8.27.a) x-2{ l+x-[2x+I·(-x·2)]} =x-8

8.28.a) 2(x+3)+(x+ 3)' = (x-l )'_6

8.29.a) (2x-I)2+5x = 4x'-2x+7

8.30.a) 7x'-(x+2)'-3x= 6x2+3x-4

8.3 La) (x+5J'-(x-3)'~ 32

b) 3x+5-2x+2 = x -7+2x

b) 12-4:<+7=2x·ll

bJ '3-(x+5)-2x = x-(7-x)

b) 3x-(-2-5x) = x+2

b) 8x-(1-6x) = 10x+15

b) (x+II)-2(x+2)=1-3(1-x)+4(2x-5)

b) 2x.2{1-2x+3[x·(x4)]} =x-15

b) -2{3-2(x+l)-5[2x-(3x-l)]l = 6(,-·')"2

b) -3(x-I)+(2'-I)'= 4(x+2),+11

I· , b) (2-3x)(4+5x) = 5+,- )x-

b) (2x-l)(1+4x)-5x2= 8+(x-l )l)x+5)

b) 3(x+5)(x+2)-(2x+l) = 4x'-(x-51'

(X+2)2_(X~ ~)1+8x2::;; 2(2x-J}-(x<?J) ) (x-2)'+(x-3)'~ (x-5)'+(x4)'-4 b) 8.32.a

8.33.a) =+5 = I 3

-x+2 8.34.a) - ·_·-4=2

5

6 3 8.35.a) ._- -

x-I 4

8.36.a) 2x _.5. = 5 3 9

x 2x-l x 8.37.a) -+ --=1--

:i 6 3

838.a) !-=~i + 4x :;::: x - 5 + J

6 9 3

x-2 b) --=1

3

b) _1 __ 2~4 2x

" b) ----·8=1 x+3

b) 3x x - .2 _ x --~-=)--

248

b)

2x+ 1 , j

c) ~. ~ ~ 7

c) x 2x 1 -+_.::::::, 4 3

8.44.a) ~~X)_85_0,01-x-003' -13,5 , 0,01

8.45.a) (x-0,2)'-(x+O,2)(x-O,2) = 0,1

8.46.a) 2x+3 +1= -2 _ 4x x-I 3 x-I

5x-6 7 6-7x I 8.47.a) ---+-=---

4x+3.4 4x+3 8

x-3 3x-1 8.48.a) -- + .--. = 2

x+3 3x+1

10 7x+2 3x-1 8.49.a) --- =2+-~'-

3 6x+18 4x+12

3 2 3x-5 8.50.a) -+-=.-

x-I x+1 x'-I,

8.51.a) 2 +_1_ = 4-x x-3 x-3

12 _3 1+1 4 8.53.a) --+--=-.

I_I' I-I 1+1

x-3 7-3x 8.54.a) ~~---- =-1

x-2 2-x

70

2+x x I-x x b) -+---=-+1

4 3 6 12

b) 5x-4 = 16x+1 2 7

x+l 3x x b) ----+x=--I

3 5 IS

b) 14.!.- 2(x+3) = 3x _ 2(x-7) 2 5 2 3

b) x ~-~ 3 (1-~-j=H 2 2

2x-0,5 201-x b) ----2,5-·-'--=35

0,05 0,02'

b) 3,5(l-2x)+3(x-I,2) = 0,3

b) x+~_4=L S-2x 2x+1 2 2x+1

b) 9x-7_4x-S=J. 3x-2 2x-3

6x-1 x-ll b) -_.+ -······=4

2x+3 x+1

2 3 5 b) -~+-=

x+l x-J x

b) 3x-S 2x-5 ~-.::] -x _ 2 = l.

b) ~=3- x+3 2x+1 2x-1

3 2 9x + 8 b) --~----

1-6x 1+6x 1-36x'

b) x+3 + 7x-15 = x-2 x-3 9-x 2 x+3

I 5-y 7 y-l 8.55.a) --- + =

8y-16 8y-4/ 8y 2y(y-2)

. 5 I 8.56.a) 1+ +-- = 0

x 2 -x-6 x+2

b) 2x+5 +x+3=_1 (x-2)' 2-x

b) 2 + 5 - 2x = 3.< + 1 x+3 x' +6x+9

3x -I 2x+ 5 4 9x-5 12x+1 9--108x+36x'

8.57.a) -----.+~-x-I x+3 x' +2x-3

b) --+--3x+1 2-6x 4(9x'-I)

2 48 19.< + 7 = 0 8.S8.a) --+~-- ,

7 - 3x 7 + 3x 9x - 49

4 3 7 8.59.a) ----, ___ + , =0

4x +4x+1 4x"+20x+25 (2Y+SX2t +l)

x-9 x-7 x-9 x-8 x-7 x-8 8.60.a) -----=------"

x-5 x-2 x--4 x-5 x-4 x-2

1 -x-IO L--x+2

b)

3 -·x+ 10

x-I x+1 x+1 x-I --~-----

3-_1 x+ 1 =.!. 1+ x+1 2

x-I

L--+x-44 .. _5 _____ . + x + 16

._3"---__ + x - 6 4 x-8 b)

12 x-116 8.6I.a)

5 36

8.62. Rijesiti jednacinu po h: a) P = ah b) P = a + C . h 2 2

c) p = abch 5

8.3. Linearne jednacille sa apso\lltllim vrijedllostima

Rijesiti jednacine sa apsoiutnim vrijednostima:

863.a) ~1+2=5 b) 2Ixl-5= Ixl+2

8.64.a) Ixl-x = 0 b) 31xl +2x-1 = 0

c) 7Ixl-3Ixl+l=2\xl+4

c) 2(lxl-l)+\x\ =x+3

c) 12x-SI-5x= IO(x+l) 8.65.a) Ix-II+x-1 =6 b) P- xl-(x-l)=4 8.66.a) IX-2[+lx+I\-1=6 b) \x+5\-lx-2[ =3 c) [x+ 41-lx-2\ =x-2

8.67.*a) 3Ix+11-2Ix+21++3j =6 b) 4\1-x[+\4(x--1)[ = 13x

-9

\

668.*a) \5x.- 131-16-.5x!,=7 71

8.4. Diskusija rjdenja Iinearnih jednacina sa jednom nepoznatom

Rijesiti (po x) i diskutovati 0 zavisnosti rjeSenja ad parametra date' d X' •

8.69.a) 2ax-a = 0 b) 3 _ ' Je na,me. -mx - m c) 8mx-4m = 5

8.70.a) ax+4x = 4a-3x

8.71.a) ax-a'= x-I 8.72.a) ax-ex = a'-c 2

b) 2ax+9 = 4a'+3x c) a(ax-3) = 8(2x+.:l.) 2

b) ax+a'=X+l c) 2ax-a= 1-2x b) 2ax+2bx = a2_b' e) (x+a)'= (x+b)'

b) a'(a-x)-b'(b+x) = abx e) (1,,+b:". = cx+c!.':C 8.73.a) a'x-a = x+1

8.74.a) ab-(a-3)x = "(2b-x) b) (a+x)(a-x) = 2 (' 7 d x' b 8.7S.a) (3x-2a)'-(x-2a)(2x+a) = 7x'-12a' b) ~ a(~x-4)X)~7)(?(a -s)a

s+(6

3)X = a-3

b .x-a - x+2a)Ta = 0

876 ) x-a x- x-c ( .. a --+--+---=0 b) m x-m) n(x-n)

be ac ab ----+ x n

8.77.a) ~+~=_I_ a-I a+I a 2 _1

8.78. I

nx-n2

mn-tnX mn-nx

8.79.a) _m_-_x __ x - 11 2mn

m-n m+n m 2 _n 2

8 2a-x 2a+x 2ax .80.a) ______ _ I - 2a 2a + I - 4a' _I

m

b) a CLY C --~.--=-~--

ex e ex-·I a ax-I

b) I 2 2 bc-bx -~ax = b' -bx - ab-ax

b) 2a-S _3_= 3x+4 (a-l)(x+2) x+1 +3x+2

8.81* x+a+2

x-a-2 a-x+2

x+a+2 2(x' -2x+4)+a(a-2x+s)

Xl _a 2 -4a-4

8.5. ~roblemi koje rjesavamo pomocu Iinearne jednacine s Jednom nepoznatom

;:;~: ~~:~~i;: nekog broja je za 4 ,veea ~d njegove t;eeine. Koji je to broj? broJ~Je 45. Ako veel podljeillno manJlm dobiva se kolicnik 2 .

ostatak 3. KOJ I su to brojevi? I

8.84. Brojnik razlomb je za 2 veei od nazivnika. Ako od brojnika i nazivnika

oduzmemo 7 dobije se ~. Odrediti razlomak. )

72

8.85. Z.bir cifara dvoci-rrenog brojaje 12. Ako cifre ovog b!:,oja zamijene mjesta, dobije se broj za 18 veei od prvog. Odrediti prvi dvoeifreni broj.

8.86. Cifra jedinica jednog dvoeifrenog broja je 2. Ako kvadrat toga broja umanjimo za proizvod njegovih susjednih brojev~ dobije se 1. Odrediti broj.

8.87. Stub je ukopan 'I zemlju !recinom svoje dilline: polovina dilline je u vodi, a 2m izviruju iz vade. Tzractlnati duzinu stuba. ,.

8.88, Dva br6ja odnose se kao 4:5, Ako se oba broja uvecaju za 5, dobivaju se brojevi koji se odnose kao 5:6. Odrediti brojeve.

8,89. Otae ima 24, a sin 3 ,,-dine, Poslije koliko godina ee otae biti cetiri puta stariji od sina?

8.90. Na pitanje koliko je godina sinu, otae je odgovbrio: "Prije 5 godina bio sam pet puta stariji ad sina, a za tri godine bieu'samo tri puta stariji ad njega". Koliko je godina oeu, a koliko sinu?

8.91. Straniea kvadrata je a~S .fi em. Odrediti dijagonalu kvadrata .. 8.92. Kolikaje stranica kvadrata cija povrsina poraste ~a 24 cm2 kada mu

stranica poraste za 2 em? 8.93. Razlika stranica pravougaonikaje 4 em, a obimje 20 em. Kolike su

stranice pravougaonika? 8.94. Jedna straniea pravougaonika je 12 em, a dijago)lala je za 8 em duza od

druge stranice. Odrediti drugu stranicu pravougaonika, 8.95.Tri cijevi pune bazen. Sarna prva cijev napuni ga za 8 sad, druga za 12

sati, a treea za 15 sati. Za koje ee se vrijeme bazen napuniti ako su otvorene sve tri cijevi?

8.96. Bazen se maze napuniti vodom krozjednu cijev za 20 sati. Aka se voda pusta u bazen iz jos jedne cijevi, bazen se napuni Za 8 sati. Za koje vrijeme se bazen moze napuniti aka je otvorena sarno druga cijev ?

8.97. Jednu livadu za 30 dana popasu 64 krave. Na toj livadi bi 36 krava moglo pasti 60 dana. Koliko krava popase ovu livadu za 35 dana?

8.98. Jedna legura einka i srebra ima masu 3,5 kg i sadrii 76% srebra. Ako se ova legura pomijesa sa drugom legurom cinka i srebra dobUe se 10,5 kg nove

(trece) legure u koja] je 84% srebra. Ko!iki je bio procenat srebra u drugoj leguri?

8.99. Koliko litara vode treba dodati u 5 litara 90% rastvora spirita da bi se dobio 60% rastvor?

8.100. U sudu se nalazi izvjesna koticina slanog rastvora koji sadr±i 60% soli. Koliko kg ciste vode treba dosuti u posudu da bi dibili 45 kg slanog rastvora sa 3S% soli?

8,10 I. Od jednog komada zeljeznicke sine odsjeceno je 65% njene ukupne duzine. Tezina preostalog dijelaje 49 kg. Kolikaje tezina odsjecenog dijela.

8.102. Dvije legure zlata finoee 950 i 800 legiraju se sa 2 kg cistog zlata. Tako se dobije 25 kg legllre finoee 906 (promili cistog zlata), Koliko je kilograma uzeto svake legure?

8,103. Legura bakra i olova :mdrzl 45% bakra. Ako uzmemo komad ave !e8ure ad

12 kg i pdt:'rcmir;lo gJ za legir:mje, kolikuje p:)trebno dod1ti olova da bi dobili novu leguru kuja bi sadrlavala 40S-:o baha? '

73

8.104. Auto.1busje presao rastajanje izmedu mjesta A i mjesta B krec.uci se jednu cetvrttinu vremena brzinom 45 kmlh, a osta!o vrijeme se kretao brzinom 75 kmlhc Kolikaje srednfa brzina kretanja autobusa?

Qo 1 Q~" DMIi' jv S ;,:;latnika od kojihje jedan defektan, Pomoco tri mjerenja pamoeu precizne vage sa tasovima, odrediti defektni zlatnik aka se ne zna da Ii je tez; iii laks; od ostalih.

8, I 06, * Na pijaei tri prodavaciee prodajujaja, One se dogovore dajaja prodaju po isto] "ijeni, Prvaje imaia 15 komada, druga 35, a treca 55,

Kad", su prodale svajaja, utvrdile su daje svaka za prodana dobiJa istu sUmU! .oovca. Kako je tq moguce?

8.107. * Jedam putnik je svratio; u hotel i zatraZio prenoeiste. Novaca nije imao, ali je irnaojedan zlatni lanae sa 6 karika, Predlozio je hotelijeru da ce Olu za svak .. not plat;t; jednom karikom iz Ianea, Hotelijer se sl02io pod uvjetom da slnije presjeci sarno jednu kariku, Nakon kraceg razOlisljanja, putnikje pristatO~ Putnik je astaa sest naei i nakon svake je za nocenje hotelijeru dao po jednu kariku, pri cCf}lU je na lanCll presjecena sarno jedna karika. Kaka. je to I\mgu6e? J

74

9. LINEARNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE) S JEDNOM NEPOZNATOM

9.1. Napisi nekolik.o nejednakosti i nekoliko nejedllacina! 9,2, Koliko promjenljivih moze biti u nejednacini ? 9.3, Sta je rjesenje nejednacine (sajednom nepoznatoOl) ? 9.4. Kakve nejednacine nazivamo ekvivalentnim ? 9.5, Koliko nejednacina ima rjesenja? 9,6, Ispitaj ekvivalentnost datih nejednacina:

a) 5x+5 < 4x+8 i 2x-1 < x+2 b) 3x+2>2x+3 2x-12 > x-II

Rijesiti date nejednacine: 9,7,a) 3x-IS > 0 b) -2x-8 < 0 c) 2x-9 5+2x b) 5x-11 < 4x-8 c) 4-3x>2x+8

9,9.a) 6-2(x-1) > x-4 b) 3+5(2-x) < x+1 e) 11-(2x+3) > 5-x

3-2x 8 5x+2 910a) -- + >---x ., 5 2

9.1I.a) x x-2 x+2 2x-6 ---->-----322 3

b) lI+x x+ll

-6> -- -2x 8 3

x+1 2x-3 I-x 5x+10 --+--<------

2 3 6 12 b)

:J:<.:::.I. _ x + I 0

9,16,a) (x-2)(x+l) > 0 7

9,17.a) -- >0 x-6

b) ~_2-x>1 5 3

b) (x-I)(x-5) < 0 c) (x+3)(x+7) > 0

b) (4-x)(x-I)<0

-5 b) -- >0

x+3

c) (x+2)(x+5) < 0

e) ~ <0 x+5

75

9.n.a) 5x

-2-- >0 X +2

9. TI9.a) x

--- >0 x+2

9.20.a) 3 -->2 x-10

9.2l.a) 3x --- >4 x+2

9.22.a) 2 1 --<--x+2 x-3

9.21.a) (x-I)(x-2)(x+5) > 0

9.24.a) (x-3)(x+7)(x-6) < 0

9.25.a) -2 <x+I < 10

9.26-'1) Ixl < 2

9.27.&) 314x+ 121 < 15.

9.2i! .• ) Ixl > 10

9.29-'1) 12x+ 81 > 8

9.30.'i) x' - 9 < 0 9.31.,.) x'-I <0

9.33.a)

9.34 .• )

9.35·"1

1 x';3---x-I

IX-21 --<0 x+2

2x-6 -->0 lUll

(x+3)(5- x2 >0

x+5

9.36.*,,) I 91

>lx-21 x-5 -·3

b) -x --<0 2X2 + 1

b) 2-x -->0 x+1

b) -5 -- >-1 2-x

b) -x

-->10 x+6

b) I 3 --<--I-x x+3

c) x+3 <0 x 2 +2x+2

x-3 c) -- <0

x+5 8

c) ----- < 3 2x+ I

5x-II c) -- <5

x

b) (2x-3 )(x-II )(x+8) < 0

b) (x+3)(2x-9)(x-8) > 0

b)3<2x-I<7 c) -2 < 1·3x < 10

b) Ix -II < 5 c) 12u8J < 10

b) Ixl>3 c) Ixl > 5

b) Ixl>20 c) lx-II> 4

b) 3/4x+ 121> 12 c) 5 /3x - 61 >30 b) x'-36 < 0 c) x'--I6>0 b) 4x2-25 <0 c) x'- 4 > 0

b) 21x+ II > x+4 c) 31x- II,; u3.

b) x-I IU31 --<0 c) -->0

IU31 x

b) Ix! cJ

IX-21 --<0 >0 In31 Ix- 11- I

b) (x-l)(x+5)

c) (x - 2)(3 - xl -- > 0 ------ <0

x-3 x+8

b) 10

--->lx-31 Ix- 21- 1

9.37~'* Rijesi nejednacinu posmatrajuci a kao realan parametar: a) a(x-I»x-2 b) a(x-3)+3 <x c) a'x+1 >a'-x

9 38 *N " . db' k·..· 3 7 5 . ~ aCI sve pnro ne roJeve n za oJe vflJcdl ~ < _ < ~. 11 11 13

76

~~.b3 ::::(a+2

b)3 9.39.* Dokazati da za a>O, b>O vrijedi nejednakost,: "

9.40* Dokazati da yrijedi (e~:d;:k'T,; l a' ~ b~ r, a ~ 0, b ~ 0,

9.41.* Ako su a, b, c, x, y, z realni brojeyi, dokazati da vrijedi nejednakost:

(a' +b 2 +C2)(X' +v' + z2) <: (ax+by+cz)'.

9.42.* Neka su x, y, z pozitivni brojevi. a, b, c, d realni brojevi i (a+b+c)' >d2

•

Akoje .!.+.!.+.!.:':l,dokazatidaje a 2x+b'y+c' z>d 2

x y z

9.43. * Naci sye parove (x, y) realnih brojeva tako da vrijedi: x <: y <: 1 2x'-xy-5x+y+4 ~ O.

77

10. SISTEMI (SUSTAVI) LINEARNIH JEDNACINA (JEDNADZBI)

ro.1, Koliko rjesenja ima Jinearnajednacina sa dvije nepoznate? J 0.2. Kaka se graficki maze predstaviti skup rjesenja linearne jednacine s dvije

nepoznate? Graficki pl;edstavi rjesenjajednacine x+y = 5. 10.3. Sta podrazufll ijcvaJllo pod sistemoll1 I inearn ih jednacina? lOA. Sta je rjesenje sistem'ri linearnih jednacina sa dvije nepoznate? 10.5. Kakve sistcmc nazivama ekvivalentnim sistemimajednacina?

10.1. Metode rjesavanja sistema Iillearnih jcdllaCilla

10.6. Kaje metode rjesavanja sistema poznqjes? lO.7. U cernu se sastoji metoda zamjene iii supstitucije? 10.8. Na kojaj osobini ekvivalentnih sistema se zasniva Gausova metoda

rjesavanja sistema linearnih jednacina? 10.9. Odredi bar tri rjesenja date jednacine:

a) 3x+y-8 ~ 0 b) x-y+5 ~ 0 c) 3x+2y-6 ~ 0 10.10. Predstavi graficki skup rjesenjajednacine:

a) x+y-3 ~ 0 b) 3x+y+4 ~ 0 c) 3x-4y+24 ~ 0

10.I/.a)

10.12.a)

10.13.a)

78

Metodom supstitucije (zamjene) rijesi sistern jednacina:

3X+2V~13}. b) x-y=6 } c) 3X+SY =12} 5x+y=10 2x+3y=2 4x-y~-7

2x-3y=5 }

6x+ y~-15

x I 1 -+3v=- f 2 .

3v I 5x+·-'-. = 48- 1

4 2)

b) 2x-3y = 23} x-2y=13

y ) 5x--=12

b) 3 3x -- + 4v = -21 2 -

c) 6x+ y=.- 16l 3x+5y=551

2x-Sy = 11} 10.14.a) 7 ., 19

x + "Y =

4X-3y =-7} b)

6x+2y = 9

6x+3y = 13} c)

4x-9y=-6

* A'. A( ) 0 " B(x y) = 0 linearne jednaCine s dvije nepoznate, 10.15. ';OsU x,y = , . .. dokazati ekvivalentnost sistema Jednacma:

10.16.a)

10.17.a)

10.18.a)

A(x,y) ~ o} B(x,Y) = 0

A(x,y)=O }

mA(x,y) + nB(x,y) ~ 0

9' metodom rijesiti sistem jednacina: Gaussovom 3x+5y=11 }

x-y=3 } 2x- Y = 10} c) b) -3x-2y = 19 x + y = 15 7x+y=17

x-5y=3 l 10x+ y =71 c) 6x-2y= 26}

7x+y=57j b)

2x -7 y = 13 J -2x+5y=-13

5X+2Y =14} 8X-3Y =10} c) 3X+5Y =16}

b) 5x+2y = 45 7x+8y=30

3x-4y=24

r~Tti vrijednost F de~rinante: I! ~I I-I -1\

10.19.a) b) c) d) 3 -5 2 4 -2 11

10.20.a) I~ ~11 b) I~ ~I c) I: ~\ d) 1-3 -2\ -S -7

Primjenom determinanti rijesiti sistemjednacina:

10.21.a) 2x-y~10 x+2y = 15

10.22.a) 7x+Sy ~ 38 9x+4y ~ 44

4x+2y ~ -S} 10.23.a) 11-1 3x- y-

b) 3x+2y=31 5x-y~4

b) 2x-5y~·-1

-5x+7y ~ 8

22x-7v ~ I} b) .

Sx-3y~-4

c) 6x-Ily~-35 3x-2y~-14

c) 8x+9y = 59 6y-7x ~ 101

-Sx+2y= I 01 c) J llx-3y =-2

9'" Karl Friedrich Gauss (1777-\855) je veliki njemacki matematiCar.

79

I0.24*'a) x+y-z=2 } 2x- y+z = 1

6x- y+2z =,7 1 b) x+4y+5z=13 ~

i 3x-2y-3z = -IJ

5x-y+5z=4 } cJ -x+3y-z=2

7x-8y-4z =32

IO.25.a)

10.26.a)

10.27.a)

10.28.a)

10.29.3)

10.30.a)

I 0.3 I.a)

x+ 2y+3z = 13

Proizvoljnorn metodom rijesi sistem jednacina.

3X-2Y =I} b) X+2Y -8=0} cJ 6x-4y = 2 -4x+ 6y+ 25 = 0

6x- y-2 = O} 12x-ly=10

7X-3Y -8=0} 4x+9y=-24

3x+ y-3 =0 } b) 19x+5y-lS=0

2X-5Y +16=0} c) 6x+ 17y+48 = 0

(x-I)(y+2)=xy-S }

(2x -I)(y + 3) = 2xy + 4

4(H2) -7(x-y)=7 }

7(x+ y)+IO(x-2)=79

x+ y-I + 3x- y+3 =4 ) 2 5

x-3y+5 2x+v+1 . + - 4

2 3

2x+y 4x+8y --+--'-

2 4 8x+2):: 2x-4y

8 4

7

1

)

(x + I): (y -I) = 4 : 5}

(x-I):(y+I)=l:2

b)

b)

(x+3)(y+S)=(HI)(y+8) }

(2x -3)(Sy + 7) = 2(5x - 6)(y + I)

2(3x+ y+I)-3(x+5y-3)=0 }

3(x-- 7y+ Il)-2(5x-9y-4) = 0

b)

b)

b)

3~4X _5Y2-7 +18=5X)

x+7 3y-2x --+ +4=3y

5 4

x+ y y 1 -3-+5+ 2 =Oj.

2x - 3x 3 --=-

3 4 2

(2x-3):(y+5)=3:4 }

(5x-4):(3y+I)=5:2

10.32. Grafickom metodom rijesiti sisteme jednacina: a) 5x-2y=4 b) 2x+5Y=_1

4x+3y =17 7x+IOy= _II c) x-lly-57 = 0

5x+y-5 = O.

U zavisnosti ad datog parametra diskutovati 0 rjesenjima datog sistemajednacina: I0.33.a) 3x-2y=6 b) ax+y=a c) ax+by=a

ax+ y = -3 x+ay = I ax+by = b

80

1O.34.a)

10.35.a)

I0.36.a)

1O.37.a)

IOx-3ay+4 =O}

5x - y + 2 = 0 b) x+aY-I=O} c) aX-2Y-I=0}

ax - y + I = 0 8x - ay - 2 = 0

(a-l)x+2ay + 2 =o} 2ax + (a -I)y - a + 1 = 0

(a+l)x + 3y -3=0}

x + (a -IlY -1 = 0)

a:b+a~b=2 )

~ __ y_ 4ab

a - b a + b a 2 _ b2

2x- (3a + 4)y -6 = O} b) x-(2a+I)y-a=0

(a+ I)x +(2a-I)y= 2-a}

b) (a+3)x+(3a-I)y=a+I

x y aJ

+ ab2 1

-;;+b= ab+b'

b) 3x y (a-b)'J

a+b-a-b= a+b

I OJ 8. Odrediti vrijednost varijabli 111 in taka da dati sistern bu~e neodreden:

(m +n-3)x+ (2m-n)y = 2} b) (3m -11 + I)x+ (m + 2n -4)y= 5 }

a) (4m .. I)x + (m + 3n - I)y = 6 (8m + 11 - 8)x + (2m - 311 + 5)y = 20

10.39. Za koje vrijednosti parametra aje dati sistem protivrjecan:

- b) 3X+8V=2} -4x+5y=,3 } a) (a+I)x+(4a-8)y=6 (4a+I)xrtc(a+5)y=10

10.40. Aka je f(x) + 3· f( ~) = x 2 , x"O, izracunati f(2).

10041 *.a)

I0.42*.a)

IOA3.*a)

Uvodenjem smjena (navih nepoznatih) rijesiti dati sistem:

15 7 1 3.+ ~ = 5 l' _2_+_6 .... =~1

~<: ( b) I 5 __ l2f c) _4 __ ..:2.....=.I.. ---=9 x y . I x-y x+y IOj

:;:+:;;=35J 3x-2y- 6J x-y x+y 10

X~I ::;;;2 ::) ~+_3 =2·1 2x y-2 b) 3 6

-+-·=5 2x y _. 2 x-I y+2

2 3 1 1 \-<X~2Y :~ 2x-y x-2y 13)

b)

81

10.44'" .a)

1E 18, ~~~+ ._-- ~ 13 lJ!~:t\) 3x-2y, .

2. 27 ~.,-~-.-~~I

2x~3y 3x~2y

b)

I

x-yt2 x+y-I 10 1 3

-~~+~~ .. -=-x-y+2 x+y~l 10

Slob<xinim izborol11 metode, rijesiti sisterne jednacina:

x+2y-3z"=5) 3x+5y- z-8 =O}

10.45*.a) 2x+3y~5z"8f b) 5x+3y+ z ~o , i

10.46*, a)

10.47*,a)

10.48*,a)

5x+ y-6z=7 J 2;(+4y+5:+11=0)

x-+2y+z+7=01

2:x+ y" z ~ I ~ 0 f 3x-y+2z-2 ,,;,oJ

3x -4y + 5= ··18 ~ 0 1 2n.4y-3z-26=d

x -<liy + 8z = 0 . J

x~3y+4u-6=0 )1

5.1<+2z-43 = 0

6w-3z-6=0

2x-4y+311-8=O

b)

b)

b)

x+ y+z-6=0 !

2x+V-z-I=O~ - i

3x - y+ z -4 = OJ

3x - 2z - 5 = 0 1 x+6y+4z-IO=Or

-5x+8y+2=0 J

5X_6Y +3Z-1I=4.)1 3x + 3 y ~ 2z + u = 5

- x + y + 2z - u ::::;; 6

x+y+ z+u =7

10.49, * OdreditE <jelobrojna rjesenja sistema {x + y ~ 2 xy_z2 =l

10,50, * Odrediti [(x) i g(x) iz datog sistema:

{": 1)+ g(x+ I) ~3XJ1 (

)

, x:i:. O.

t, x+1 -g(x+I)=2x \ x

10.2. Neke primjene sistema linearnih jednacina Gednadzbi)

I 0.5 L Razlika, zhir i proizvod, dva broja odnose se kao 1 :2:3. Odredi ove brojeve. 10.52. Dva radI1E'ka radejedan posao. Prvi radnikje radio 7 sati, a drugi 4 sata. Za

82

ova vrijerne oba radni~a su uradila 2. posia. Zatim su, oba radnika zaj'edno , 9

radi!i jos 4 53ta i nakon toga su utvrdili da im ostajejos ~ posla. Za" 18

ko[iko sati bi svaki radnik, radeci samostalno, uradio ovaj posao? 10.53. Prije 4 godine otac je bio 7 puta stariji, a nakon cetiri godine otae ce

biti 3 puta strariji od sina. Koliko godina sada ima atac, a koliko sin?

10.54., Ova tijela cija je udaljenost 100m krecu se istovremeno i stalnom brzinom po istom putu. Ako se tije\a krecu jedno drugom u susret, ana ce se susresti nakon 12 sekundi, a ako sejedno tijelo krece za drugim onda ee se sustiei nakon 50 sekundi od pocetka kretanja,

Kolike su brzine kretanja ovih tijela? 10.55. Dva automobila krecu istovremeno iz mjesta A u B , odnosno iz mjesta B u

A krecuci se raznim brzinama. U trenutku susretajednom automobi!u su

preostala jos 2 sata, a drugom ~ sata do ciUa. Kolike su brzine kretanja

automobila ako su mjesta A i B udaljena 210 km? 10.56. Jedan motomi camac prcae put od 102 km krecuci se niz rijeku za 6 sati i

45 minuta, a uz rijeku za 7 sati i 30 minuta. Kolikaje brzina camca, a kolika

rijeke? 10.57. AutobllS dllzine x prock ispred oka posmalraca za 3,6 s, Isti auto bus kreellei

se islom brzinom prode pored zgrade dllzine 64 m za 10 sekundi, Kolikaje

duzina autobusa? 10,58, Obimjednakokrakog trollglaje 30, a osnovicaje za 6 veea od kraka,

Kolike su stranice trougla? 10.59. Suma kateta pravouglog trougla iznosi [9. Ako "c ,mlnJa kateta uveca za 5, a

veca umanji za 7 povrsina trougla se ne mijenja. Kolike su katete? 10.60. Os novice trapeza razlikuju se za 8, visina iznosi S, a povrSinaje 160.

Odrediti osnovicc. 10.61. Ako pomijeSamo S litara toplije vode sa 2 litre hladnije, temperatura smjese

je 66°C. Pomijesa Ii se 7 litara toplije sa 3 litra hladnije vode, temperatura smjeseje 59°C, Kolikaje temperatura toplije, a kolika hladnije vode?

10,62, Cetiri djecaka zajedno su kupili jednu kosarkasku loptll, Prvi je dao polovinu sume, drugije dao trecinu sume koju su dala ostala trojica, trecije

dao cetvrtinu sume koju su dala preostala trojica, a cetvrtije dao 5 KM.

Koliko je kostala lopta? 10.63, U prodavnicama namjeStaja objavljeno je snizenje cijena, U jednoj

prodavnici su snizili cijene za 40%, au drugoj su izvrsili snizenje cijena za 36%, a slijedeceg dana po novo za 4%, Cijenajednog regala u obje prodavnice je bila 1200 KM, Kolika je sada cijena istog regala u ovim

prodavnicama. 10,64, Odrediti broj x cijihje 12% jednako 5% od 80,

83

RJESENJA, UPUTE, REZULTATI

1. Osnovni pojmovi matematicke logike

1.1. Izjavnu recenicu (iIi formulu) koja ima sarno jednu istinitosnu vrijednost: tacno iii netacno, nazivamo iskaz (ponekad i sud).

1.2.a) 5+3 = 8 je tacan iskaz. b) 17 je prost broj,je tacan iskaz. c) "Svaki paran broj je djeljiv sa 2",i ova je taean iskaz. d) "Stranice kvadrata sujednake"- tacan iskaz. e) x-s' = 20 - Nije iskaz.

1.3.a) ,(-3 je prirodan broj.) =.1 d) ,(2+5 = 5+2) = T

b) T(7jeprostbroj)=T e) ,«-1)'=1)=.1 c) T(3-4 = 4-3) = 1. f) ,(Kvadratje pravougaonik)=T

1.4.3) ,(/(1» = T(2-4<3) = T b) T (/(2)) = T(8-4<3) = .1

c) T(/(O» =T d) T(/(-I» =T

1.5. Slozen iskaz kojije nastao od dva iIi vise iskaza i koji'su povezani sa j naziva se konjunkcija tih iskaza. Konjunkcija iskaza pi qje iskaz p.'\q kojije istinit sarno aka Sl.l aba iskazll (i pi q) istinita.

1.6. Tablica istinitosti konjunkciie.

~- q OM T T T

T T

T ~ ~ iii ~ ~

~ T ~

I J ~ ~ . 1.7.a) pAq:(2)3)A(I+0= 1)

b) pAg: DijagonaJe pravougaonika Sll jednake i polove se. 1.8.a) T«1+1 =3)A(2+5=7))=.1 b) T c) T 1.9. Slozen iskaz kojije nastao ad dva iii vise iskaza i koji su povezani sa znakom "v", adnasno sa veznikom "iIi" nazivamo disjunkcija tih iskaza. Disjunkcija iskaza

p i q je iskaz pvq koj i je istinit aka je bar jedan iskaz od kojihje sastavljena istinit. 1.10.a) pvq:(2= 1+1 )v(3+0=30) b) pvq:(.·6<2)v(-3-2=3-5.

1.11. T ablica istinitosti disiunkcije.

rtf pvq

T T 1. T ~ T T

iii

1--1. I .~ ,

85

.,.

1.12.a) ,«23~8)v(1~5))~T b) ,«I>II)v(3+3=6))~T

c) ,«12:4=6)v(3-4 = 15)) =..L 1.13. Negacija iskaza pje iskaz 1p (Citaj "Nije pO' iii "ne pe")'" kojije istinit sam a

aka je p neistinit i neistinit aka je p istinit.

1.14. p 10 T ..L ..L T

1.16.a) ,( KI=I))=..L r'-J}.a) TA..L~cL- b) Tv..L= T ~) ..Lv ~T d) ( TAT)~ T e) lcITv

a) pvp b) pv c) ( va)vr

p pvp p q ova p q r pva lova)vr

T T T T T T T T T T

1

I.lS. a) lp: 1(3-7 ~ 4) iii 3-7;t 4 b) lp: 1+1,,2

c) lp: Trougao nije kvadrat. b) ,(1(1+I-·3))-T c) ,(1(5>7))=T d) ,(1(-2EN))~T

l.i 11 ..L)= T

..L ..L T , T T T ..L T T ~ :--

1.18 I T T T I T T T

..L ..L I T ..L ..L T T

..L T ..L T T

..L ..L T ..L T

..L T T T T

..L ..L ..L ..L ..L .

d) pv(avr) . 1.l9.d) p;::0 AI)

4- -q-. r aV rl pvC qvr) p q r qAr I pA(aAr)

T T T T T T T T T

T T ..L T -J-- T T ..L ..L ..L

T 1 ..L ..L T T , T ..L ..L -L

T , T T T T ..L ..L ..L -L ..L

..L T ..L T T ..L T ..L ..L ..L

..L T T T T ..L 1. T I ..L

..L ..L T T T ..L T T T --+-1 ..L ..L ..L ..L ..L ..L I ..L ..L

a) • pAP b) pA P q r PAD I(PAD)Ar

P I pAP P g IpAq T T T T T

T T T T T T T ..L T ..L

..L ..L T ..L ..L T ..L T ..L ..L

..L T ..L h T 1 ..L ..L ..L <

..L ..L ..L 0- ..L T ..L ..L ..L < 1.19. CL ..L ..L T ..L ..L ~ -

(pAg)Ar ~

0 ..L T T ..L ..L

..L I ..L ..L ..L

10* Ncgacija iskua p ponekad sc' oznaCa\'a sa p

86

'1il. a) (pAa)vr 'b) Tablica za: (pvr)A(qvr)

f.lb-. q r I PAD I (PAq)vr

~ T T T T

T T ..L T T l--:f- ..L T ..L T

T ..L ..L .l .l

.l T .l ..L .l

..L ..L T ..L T

..L T T ..L T

..L ..L ..L ..L ..L

p a r pvr avr rOvr)A(avr)

T T T T T T

T T .l T T T

T ..L T T T T

T ..L .l T .l .l

..L T ..L ..L T I

..L .l T T T .. t=J ..L T T T T

..L ..L ..L ..L ..L

1.21. Implikacija iskaza A i iskaza B je slazen iskaz A=> B koji je neistinit sarno

onda kadaje iskaz A istinit, a iskaz B neistinit.

k .. e (A""B): 1.22. Istl . °nlt050a ta hea Impli aCI

A B A""B T T T iii T

T I ..L ..L

..L T T

..L ..L T

1.23.a) p""q: xEN "" XEZ b) p""q: x>5 "" x>-3

c) p""q: (4+1=5)"" (2·0=0) 1.24.a) ,(xEN "" XEQ) = T b) T 1.2S.a) 1T""..L=T b) T"" 1..L= T

d) T "" (..LA l.i) =..L 1.26.a) 1 (T "" T)v..L=.l

c) (IT ""..L) "" T = T

c) T d) T c) (ITA..L) ""..L= T

b) (.l""T)Al.i= T d) (..L""T) "" (l..LA..L)=..L

1.27. Siozeni iskaz A e> B (citaj "A ekvivalentno sa B") kojije istinit sarnO onda kada aba iskaza imaju istu istinitosnu vrijednost, (iIi su aba tacni iii aba

netacni), naziva se ekvivalenciia iskaza A i iskaza B.

1.28. A B A¢c>B

T T T

T ..L ..L

..L T ..L

.l ..L T

1.29.a) Ae>B:(3<S) e> (2-1=3) b) A¢c>B:(i=4)e> «-1)'=-1) l.30.a) ,«1=5) e> 1(2<3») = T b) ,(1(5 ~ 4+1) e> (6)9)) = T l.31.a) (TAT) e>..L=J_ b) (J..=>T)¢c> l..L=T c) (lTv..L) e> T=..L

87

.... -~ -- _.

b) Iskaz (x> I A >:>3) q (x>4) je tacan za svaku vrijednost x iz datog skupa. 1.33.a) CPA'l)=> p b) (p => '1) q

p q I PACI ICpA'l)=>],_ T T T i T

P q p=>q (p=>g)e>p T T T T

T 1- 1- ! T T -L 1- 1-1- T 1- I T 1- T T 1-1- 1- 1-~ T 1- 1- T 1-

! 33 1 134 ) (1 1 .c) C Ipv ) "'" p P Ip q II~vq ( Ipvq)q p

.c lP=>q; <=> => Ip)~F P lip '1 Ilq p=>q lq=> Ip F

T 1- T T T T 1- T 1- T T T 1- T T T 1- T 1- -L T 1- 1- T T 1- 1- 1- 1- 1- T T 1- T T T 1- T J. T 1- 1- T .L T T T T

I 34 ) ( 1 ) .a pvCq=> r P q r Ilr R=>1r ~)V(q=> 11')

b) ( 1) ( ( r- JJ"\ ,I' qlP=> 'IN» = F P q I' ,I' loA II' kiN IP=> '1/\ F

T T T 1- 1. T T T T 1- 1- T T 1-T T 1- T T T T T 1- T T 1- 1- 1-T -L T..L T T T 1-. T -L 1- 1- 1- T T -L -L T T T T 1- 1- T T 1- 1- 1. -L T T -L 1. -L 1- T T 1- 1- T T ..L -L T -L T T T 1- T 1- T 1- 1- T 1-1- 1- T 1- T T 1- 1-

-_. T 1- 1- 1- T 1-

1- 1- 1- T T T ..L1- 1- T 1- 1- T 1-

1.37. ,«x>3) => (x:! :ol)Le>::::...:X'--·<:...-4..!.)J---'T_L-'._.....L~.....L....:.......J.....':.T_...L_T-'--LT'--

L·r;;;;-.;;~" X,::;;;;'-=--::---:-;-, --tr~1T:+-~3 '_=!-'4~:'--j1i----C~--+1'; 0 I j ,1 I L~,~«~X_<~2)~=>~(cx_+.1~2~)~eo~X~<~4~)~r_·TL~l~.l~.LI~1-~ .. I~~~.~~~..L.~~~L.~~~. 1.3 8[--. ------:c:----,-""O'

~ X / -1 1-0 / 5 I ~ I ~1 I~ I ~ J (((x>1 )v(x-1 3)) eo x>5) TTl

1.39.r------:;-.-_,---;:;---.:;-r;;--r-:;---,;;--....,;;----,~..., I '«(X<2)A(X+2;3)) => x<1) I ~ I-~ I $ I: I ~ I; I ~6

88

iskaza odkojihje sasmvljena, naziva se tautologija. Tautologij;je dakle uvijek istinit iskaz. . ' ,

I .41. a ) rb",)~(u;:...:'" let, !-T:.L..,---, P v

d) (p=>q) q (lq=> l,) .. F

PR lip 110 10=>'1 11o=> Ip T T 1- 1- T T T T T 1- 1- T 1- 1-1- T T 1- T T

1- 1- T ) 1 c Ip eo (p=>p)

p Ip p=>p I Ip eo (p=>p) 1-1- T T T T T ..L -i +---- 1-1- T T

F T T T T

.. Iz navedemh tabhca vldlrno da formula pod c) nije tautologija, a preostale trijesu. 1.42.a) (pAq)Ar "'" pA Ar' -P q I' !JAq DAg)M '1Ar DA(gAr) (pAg )A.re>p,\( gAr) T T T T T T T T T T 1- T 1- 1- 1.. T T J. T 1- 1- 1- 1- T T 1- 1- ..L 1- 1- 1- T

1- T T 1- 1- T 1- T

1- T 1- I 1- 1- 1- T

1- 1- T ..L ..L 1- 1- T 1- 1- ..L 1- 1- ..L .L T

b) (pvgblr eo pv(qvr) p q r k:>vq pvq)vr Iqvr v(qvr) (pvq)vr eo pvCqvr) T T T T T T T T T T 1- T T T T T T J. T T T T T T T 1- 1- T T 1- T T -L T T T T T T T ---L T ..L T T T T T .

-L -L T J. T T T T -L -L -L -L -L -L -L T e) (pvq)/\P eo p ~ F f) (p/\ )vp "'" P P q pvq (pvg)/\P F P q k:>Aq D!\q)Vp ( P/\(

T T T T T T T T T T -L T T T T -L -L T -L T T 1- T .L T 1- 1. 1- 1- 1- -L T 1- 1. 1. 1. T

... Tz pos!JednJe kolone svake ad rabhca II ovom zadntku, zaklJucuJemo da su navedene forrnule tautologije.

89

1.43.a) l("M) <=> (lpv lq)-F 1 1 1 b) I( vq)=(lp/\I.)-F

p q 1p .1J IpAq ]cPAq) !pv ~i F P q 10 10 Ipve i(pvq) Ip/\ I F T T L .1 T .1 .1 i T T T .1 .1 T .1 J, T T ~ :T , T T ! T

r:L ff T .1 L T TIT .1 .11 T T .1 T T iT

T .1 .L T T .1 .1 T

~e.l .. T .1 T .1 .1 T

~ T T .1 T T T

Iz posljednje kalone svake od navedenih tabtica vidimo da su De Morganovi zakoni uvijek istiniti.

1.44.a) 1 1 l(iM Ip) dl « =>q)/\(q=>r)) => (p=>r)

P Ip Io/\Ib I (DA 10) p q r I p=>c I a=> lo=> , 10=>0)/\(q=>r) F T .1 L T T T T T T T T T

~ T L T 1 T .1 T .1 .1 .1 T

r.I .1 T .1 T T L T T .1 .1 .1 T .1 .1 T -

T T T T T T T

L" T .1 T .1 T .1 T .1 T T T T T T

.1 .1 J_ T T T T T

1.45.a) Posfoji prirodan broj x kojije manji ad 7. b) Pasfoji cije1i broj kojije veti od nule. c) Postoji prirodan bIoJi:ijije zbir sa brojem 1 jednak 10. d) Neki prirodan bIoj je jednak 7 iii veti ad jedanaes!. e) Posloji cijeli broj jednak nuli. f) Postoji tacno jedan prirodan broj ciji zbir sa brojem 5 daje 9.

1.46.a) Kvadrat svakog realnog broja veei je ad -2. b) Za svaka dva realna broja xi y vrijedi x+y = y+x. c) Svaki prirodan broj jednak je samom sebi. d) Sva'ki prirodan broj je pozitivan. e) Za svaka dva realoa broje xi y vrijedi: x-y = -(y-x). f) Svaki prirodan broj je i cijeli broj.

1.47.a) Za svaki prirodan broj x postoji eijeli broj y za kojije x-y>O. b) Za svaki racionalan bro) x i svaki cijeli broj y je x2+l ~ o. c) Za svaki prirodan broj 1<f, postoji tacnojedan cijeli broj y za koje vrijedi

x+y =]1.

90

d) Za svaki cijeli broj x, postoji tacnojedan racionalan broj y tako da vfijed; x-2y = O.

1,48. Sastavimo tablicu istinitos{i date fonnule (tacan iskaz oznacenje sa 1, a netacan sa 0)'

A B C AvB A/\C AvB => A/\C F 0 0 0 0 0 1 0

~. 0 ] 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 -0 1 1 I 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 -_. -1 ] 0 I 0 0 ]

] i I 1 , I 1 0

Izostavljaju6i znak za konjunkciju, data formula F 5e moze napisati ovako: F = AOB'Cov ADB'C' v A'BoCov A'B'Co= ABC v ABCv ABC v ABC. Dobijena formula se moze uprostiti na sIijedeCi nacin: F ~ AB(C vC)v AC(E v B) ~ AB·1 v AC·] = ABv AC.

1.49* F=«AI\B)=>CvA) <=> (Cv(AI\B))=

= (A /\ B /\C)v(A /\ B 1\ C)v (A I\. B 1\ C)v (A ;,ji 1\ C)= (A I\C)v (A /\ 13). 1.50.* F ~ ABCv ABev iBcv isev ABCv ABC v AECv ABC = l.

1.51.*a) F(A,B)= AAB b) F(A, B) = A A E 1.52. *a) F(A, B) = (A I\. B) v (A 1\ B) b) F(A,B)~(AI\B)v(AI\B)=A

1.53.*a) F(A,B,C)= (A/\B/\C)v(A/\BI\C)v(A/\B)

b) F(A,B,C)=(BI\.C)v(A/\B/\C)v(A/\B)

1. OSNOVNI ELEMENT! TEORIJE SKUPOV A

2.1. Pojam skupa se uzima kao osnovni. To znac! da se ovaj pojam ne definira. 2.2. Objekat x koji se nalazi u nekom skupu A nazivamo elemenat tog skupa i oznacavamo XEA. Aka neki objekat (element) y ne pripada skupu A, to pisemo y",A. 2.3. Skupove, obicno, oznacavamo velikim stampanim slovima. Ako skup ima konacno mnogo elemenata,tada se moZe oznaciti i take da u velikim zagradama navedemo sve njegovc clemente. U slucaju kada navodenje elemenata skupa oije racionalno, Hi kada skup ima beskonacno eiemenata, skup se oznaci nekim 510voo1 i u velikim zagradama se navedu osobine koje imaju sarno njegovi elementi. 2.4.a) Elementi skupa A su: -5, -4, 0 i 4. c) Elementi skupa A su: 0 i I.

b) Elementi skupa A su: a, b, c i x. d) Elementi skupa A su: T i .1.

91

..:.. . ..1'_4) CICTnenU SKupa f\ !:iU; I,';',,J I '-to U} L.;.!l;;!I!CIIL ::-'l'\.upa l\Je: ':

cj Element; skupa A su: I ; 2. 2.6.a) Element; skupa A su: 1,2,3,4 i 6.

Il) Skup A nema elemenata.A je prazan skup (A~0). cJ Elementi skupa A su: 0, I ,2,3 i 4.

2.7.3) Skup A~0 nema elemenata. b) Skup A~{ } nema elemenata. c) Skup A~{0} imajedan elemenat. Taj elemenatje 0. d) Skup A ima 6 elemenata ito: 0, B, N, Z, Q i R.

b) A c) A .1 .-6

-1. O. .0 .8 .-s .3 .1 I .4 .9

.2 7. .4 23 . .11

S1.2.8.

2.9. Ako su svi elementi skupa A u isto vrijeme i e1ementi skupa B, tada kazemo da je slkup A podskup skupa B ; pisemo Ac:;;B. Smatramo da je prazan skup podskup svaltog skupa. Svaki skup je podskup samog sebe (Ac:;;A)1 Moze se dokazati da skup od [E eJemenata ima ukupno 211 podskupova.

2.1 CI. Ako je Ac:;;B i pri tome skup B sadrzi bar jedan elemenat kaji nije i elemenat skupa A, tada kazemo daje skup A pravi podskup skupa B i to pisemo ovako AcB.

2.1 La) Podskupovi skupa A su skupovi: 0, {-2}, {3} i {-2, 3}. b) Podskupovi skupa A su skupovi:

0, {-7}, {OJ, {6}, {-7,0}, {-7,6}, {0,6}, (-7, 0, 6). e) Podskupovi skupa A su skupavi:

0, { I}, {9}, {16}, {29), (I, 9), {I, I6}, {I, 29}, {9, 16}, {9, 29},

{16, 29}, { I, 9, 16}, {I, 9, 29), {I, 16, 29}, {9, 16, 29), {I, 9, 16, 29}. d) Podskupovi skupa {·I, 0, 2, 7, 100} su skupovi: 0, {-I}, {O), {2), P},

{lOO}, {-I,D), {-I, 2}, {-I, 7}, {-I, 100}, {O, 2}, {O, 7), {O, 100}, {2, 7}, {2, lOO}, (7, 100), (-I, 0, 2), {-I, 0, 7), {-I, 0,100), {-I, 2, 7), {-I, 2,100), {O, 2, 7), {O, 2, 100}, {O, 7, 100}, {-I, 7, IOO}, {-2, 7,100), {-I, 0, 2, 7), {-I, 0, 2, 100}, {-I, 0, 7, 100}, {-I, 2, 7, 100}, {O, 2, 7,100), {-I, 0, 2, 7, 100),

2.12 ... ) x~4 b) x~7 e) x~3

2.13. Skup ciji su elementi svi podskupovi datog skupa A (i samo oni) nazivamo part"t;vni skup skupa A. Dakle, partitivni skup skupa A je skup svih podskupova skupa A i oznaeavama ga sa peA).

2.14.a) peA) ~ {0, {O}, {I}, {O, I}}

0) P(A)~ 10, {OJ, IJLI5}, {a, 3}, (O, 5), {3, 5}, {O, 3, 5}}

-I -\'-/ (~, {-)' tV), t~~J' (_,Vj, l -, .ij, lV',"j, \-7,U, 1111 .

d) peA) ~ {0, {a}, {OJ, Ib}, {-7}, {e}, {a, OJ, {a, b}, {a, -7}, {a, e}, {O, b}, {O, -7}, {O, c}, {b, -7), (b, c), {-7, c}, {a, 0, b}, {a, 0, -7}, {a, O,c}, . {a, b, -7}, {a, b, c}, {a, -7, c}, {O, b, -7}, {O, b, eJ, {b, -7, c}, {b, -7, e}, {a, 0, b, -7}, {a, 0, b, c}, {a, b, -7, c}, {a, 0, -7, e}, {O, b, -7, cj, {a, 0, b, -7, cJ).

2.15. Ako su dati skupovi A i B, tada skup koji se sastoji od svih elemenata koji se nalaze u skupu A iii u skupu B nazivamo unija skupa A i skupa B , ~i,

AuB ~ Ix IXEAvXEB}. .

B

SI.2.I6. 2.17.a) AuB~{4,-II,I5}u{0,-3,4,9,IS}~{4,-II,IS,0,-3,9}.

b) AuB ~ {-8, -4, II, 20}u{-2, -1,11,20, 9} ~ {-8, -4, 11,20, -2, -I, 9}. e) AUB~{-14,3,4,S,8}u{-12,-3,S,8,9}~{.14,3,4,S,8,_12,_3,9}.

d) AuB ~ 14, 8, 17}u{-6, 8, 17, 19} ~ {4, 8, 17, -6, 19}.

2.I8.a) AuB ~ {x I xEN /\ x<7}u{x I xEN /\ x>2} ~ {x I xEN} ~ N. b) AuB ~ {x I xEN /\ x<20}u{x I xEN /\ x<II} ~ {x I XEN /\ x<20} = A. c) AuB ~ {x I xEZ/\-3<x<7Ju{ x I XEN /\ x<!O} = {x I XEZ /\ -3<x<1 O}. d) AuB ~ {xl XEZ /\ x<2}u{xl xEN /\ x>l} = {x IXEZ} ~ Z.

2.19.Tacnesujednakostiuza) b) i e). 2.20. Ako su dati skupovi A i B, tada skup koji se sastoji od svih elemenata koji se

nalazcu skupu A i u skupu B naziva presjek skupa Ai skupa B , tj. AnB = {x I XEA /\ xEB). Presjek dva iii vise skupovaje skup zajednickih (i sarno njih) elemenata tih skupova.

2.21. ,---------~

2.22. a) AnB ~{4, -13, 17}n{-4,-3,4,9,17}={4,17}. b) AnB ~ {-G, -4, I, 2S}n{-2, -4, I, 2S, 33}~

~ {-4, I, 2S} ..

e) AnB ~ {A, -3, 2,5, 8'}n{-S, -3, 5, 8, 9}= ~{-3,5,8}.

d) AnB = {4, -8,12}n{-8,8,12,48}~{-8, 12}.

93

2.23.a) AnB~ {xl xENAx<9}n{xl XEN A x>3}~{xl XE~ I, 3<x<9}~{4,5,6,7,8}. b) AnB~ {x I XEN A x<20}n{xl XEN A x<19}={x! XEN /, x<19} = B. C) AnB~ {X I XEZAx<17}n{x I xENAX>3}~{x I XE\.,3<x<17}=

~ {4, 5, 6, 7, 8, 9,10, I 1,12,13,14, IS, \6; d) AnB= {x I XEZAX<30}n{x I xENAX>5} = {x I XEN/\5<x<30}.

2.24. Jednakost pod b) je'neistinita. a sve ostale su istinite. 2.25.a) AUB={-7,-1,3,4, 7, II) b) AnC~{-7)

c) (AuB)uC = {-7,-1,3,4,7,11 }u{ -8,-7,4, II, IS} = {-7, -I, 3, 4, 7, 11,-8, 15}. d) (AnB)nC={-ljn{-8,-7,4,II,15j=0 e) (AuB)nC={-7,-1,3,4,7,II}n(-8,-7,4,11,15}={-7,4,11). f) (AnB)UC={-I}U{-8,-7,4,II,\5}~(-8,-7,-1,4,II,15). g) (AnC)u(BnC) = {-7}u(4, 11}={-7,4, II). h) ((AuB)nC)nA ~ ({-7,-I,3,4,7,11 jn{-8,-7,4,II ,IS})n{ -7, -I)=

=(-7,4,II}n{-7,-I}=(-7j 2.26.a) A~{-7,3,5,0,8,2,-9} b) B={-9,0,2,8,4, II, IO,-2,6}

c) AuB~{-7,3,5,0,8,2,-9,-2,6,4, 10, II} d) AnB={-9,0,2,8} 2.27.a) x=O b) x=2 c) x=8 d) x=O 2.28. A ~ {l, 2, 6, 0, 4}, B = {I,2, 6, -I, 3, 5} 2.29. A ={a, c, d, b}, B = {a, c, d, e, fl. 2.30. Rezultal: X = (3, 5, 7). 2.3!. Ako jepresjek dva skupa prazan skup, tada kazemo da su ta dva skupa

. -';'"h~"-\~Jt~1kt!'ii s~~povi. ~akle, skupovc koji nemaju zajednickih elemenata ~,.1u:l\!amO dlsJunktnlm skupovirna. 2.32. To. mogu biti i slijedeci skupovi: {6, -7}, {5, 6, 7, 8, 9, 10}. 2.33. AIB.~ {x I xEA /\ uBi· 2.34.a)/.0IB~II,~.,3,4,5,6,7,8)1{ -I ,-2,-3,5,6,8,9}= {x I XEA A x"B }={l, 2, 3, 4,7}.

bj B'i~:"\1,,1, '2..,;3, 5, 6, 8, 9}1{ 1,2,3,4,5,6, 7, 8}~{-1, -2, -3, 9}. c) (AIB)uA = ({I,'2; 3,4, 5, 6, 7, 8 }I{-I, -2, -3, 5,6, 8, 9 })uA~

2.35

c)

= {I, 2,3, 4, 7}u{l, 2, 3, 4,5,6,7, S}= {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}= A. d) An(AIB) = {l, 2, 3, 4,5,6; 7, S}n{ 1, 2, 3, 4, 7}={l, 2, 3, 4, 7}= AlB.

) .7 A 2 "-

.1 .2 .5 .-j .9

A\B .8 B 3 .4 .6 .·1

A ---..:...

i

.1 .2 ,5 .~J .9

(A uk B .3 .4 .6 . ·1

. 7 .8 2

~

b) .7

.1 0

.3 A .4

A .1 .2

. An(AIB) .3 .4 .

. 7

.-2

.5 .-3 .9

.8 B\A .6 .-1 B

d)

.5 .-3~

.8 .-2 .6 j/y.-I ~---.:...:::o...._

94

236.a) AlB = {-3, 2, 3, 4 }I{ I, 2, 4, 5, 7, 8} = {-3, 3}. BIA ~ {I, 2, 4, 5, 7, 8 }I{ -3, 2, 3, 4} = (I, 5, 7, 8).

(A \BJu(B\A) ~ ({ -3,2,3, 4) I { 1,2,4,5,7,8} )u({ l,2,4,5, 7,8}1{ -3, 2, 3, 4})= = {-3, 3}u{l, 5, 7, 8}~ {-3, 3, 1,5,7, 8}.

b) AIB={1I},BIA={4,9},(AIB)u(BlA)={II}u{4,9}={4,9,11}.

2.37. Simetricna razlika skupa Ai skupa B je skup ALIB kaji definiramo na slijedeci nacin: At.B = (AIB)u(BIA).

2.38.a) At.B = {-4, 2, 3, 7}u{l, 5, 8} = {4, 2, 3, I, -2, 0,5,8}. b) At.B = {O, -I, 4}u{3, -4, -7, 9} ~ {O, -I, 4, 3, 4, -7, 9}.

2.39.a) At.B b) At.B -----------_ ....

.1 i I I i 1

t 2.40.a) MB = (AIB)u(BIA) = {7, -3 lui-I, -2, 5} = (7, -3, -I, -2, 5) .

b) Bt.A = {7, -3, -I, -2, 5}. c) (MB)t.B = ((AIB)u(B\A»)L\B = {7, -3, -I, -2, 5iM-I, -2, 4,5, 8} =

={7,-3,-I}u{-1,4,8}~ {7,-3,-1,4,8}. d) (MB)t.(AnB) = {7, -3, -I, -2, 5, 4, 8}.

2.4!. Ako je AcB, lada skup B\A = CgA nazivamo komplemeut skupa A u odnasu na skup B.

2.42.a) CBA=BIA={-1,0,2,3,4,7,8}I{O,I,2,3}={-1,4,7,8}. b) CBA=BIA=(1,4,6} c) CBA=BIA={-5,-1,4, IO}.

2.43.a) Zadatak ie ri'den tabelama:

xEA xEB xEAUB xEAnB xE(AUBj IB xEA\(Anm

T T T T J. J.

T .L T J. T T .-

J. T I T i J. J. J.

J. I J. J. J. J. .. .. "

.. .. PosmatraJUCI dVIJe posuednje kolone u tabelt, uocavamo da vrlJedlJednakost a).

b) Zadatakje rijesen analiticki: xE(AnB) I C ¢> (xEAnB A x"C) ¢> ((xEA /\ XEB) A x<'C)

¢> (xEA /\ x"C) A( XEB A x"C) ¢> xEAIC /\ xE(BlC)

¢> xE(AIC) n (BlC) .

95

L..<t"t.d} ACV·~'-'~}lli}'-'''''' v-v (.,.Cro.'-'lJ v ..... <::'-.j '<""Y ~\.,<::,--\ v XE:;:{j) v XE:::\...-)

Co;> (xEA v{xEB v XECj) Co;> (xEA v XEB'-.!C) Co;> xEAu(BuC). Kako je xE(AuB)uC 'OC) xEAu(BuC), to je (AuB)uC = Au(BuC).

b) xE(An\ll)nC ¢:> (xEAnB /\ XEC) ¢:> «xEA /\ xEB) /\ XEC) Co;> (xEA A (xEB /\ XEC)) ¢:> (xEA /\ xEBnC) ¢:> xEAn(BnC). Dakle, vrijedi: (AnB)nC = An(BnC).

2,45.a) xE(AuB)nC ¢:> (xEAuB /\ XEC) ¢:> «xEA V XEB) /\ XEC) ¢:> «xEA/\XE Cf.1xEB/\XEC)) ¢:> (xEAnC v xEBnC) ¢:> XE(AnC)u(BnC).

b) xE(AnB)uC ¢:> (xEAnB v XEC) ¢:> «xEA /\ xEB) v XEC) ¢:> «xEAvXEC)A(XEBvXEC) Co;> (xEAuC /\ xEBuC) ¢:> xE(AuC)n(BuC).

2.46.a) xEC\(AulJ!1 ¢:> (xEC/\x"AuB ¢:> (XEC /\ (x"A /\ xEB») ¢:> «xECl\x,;:Aj/\ (XEC /\X" B) ¢:> (xECIA 1\ xECIB) ¢:> xE(OA)n(c\B).

b) xECI(AnB) ¢:> (XECl\xEAnB ¢:> (XEC 1\ (xEAv xICB) ¢:> «XECI\XICAJ v (XEC I\xEB)) ¢:> (xECIA v xECIB) ¢:> xE(C\A)u(CIB).

2.47.a) xEAn(B\lC) ¢:> (xEA /\ xEBIC) ¢:> (xEA 1\ (xEB 1\ x"C» ¢; «xEAI\XEB) l\(xEA 1\ XEC) ¢:> (xEAnB 1\ xEAnC) ¢:> xE(AnB)I(AnC).

b) XE Au(B'IC) ¢:> (xEA v XEBIC) ¢:> (xEA v (xEB" x"C») ¢:> «xEAv:1{€B) /\ (xEA v XEC) ¢; (xEAnB 1\ l(XICA /\ XEC)) ¢> (xEAnf!A leXECIA» ¢:> (xEAnB 1\ x"CIA) ¢:> XE(AuB)I(C\A).

2,48.a) XE(A0B)\{AuC)¢:>(XEAuBl\x"AUC) ¢:> «xEAvXEB)/\ l(xEAvXEC) ¢:> «xEAv XEBjv"-ixEA/\xIi'C)) ¢:> (xEA /\(XEA/\x"C»V(XEBI\(x"A/\x"C)) ¢; (xEA /\(XEAA.xEC)) v (xEB /\(Xli'Al\x"C) ¢:> (xEB /\(Xli'A/\XEC) ¢:> (xEB A XEAY,(XEB /\ x<'C) ¢:> XEBIA A XEBIC Co;> xE(B\A)n(B\C).

b) xE(AnB)\C ¢:> (xEAnB A XEC) ¢:> «xEA 1\ XEB)A Xli'C) ¢:> (XEA.A (XEB A XEC) ¢:> (xEA A(XEBIC» ¢:> xEAn(B\C).

2,49.a) {I} b) {I} 2.50.a) {2, 3, 4,1l,,!4} b) {3, 4, 5, 6, 8, II, 12, 13, 14} 2.5I.a) {I, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10, II, 12, 13, 14, IS}

b) {5,6,8,9,.1@,1I,12, 13, 14, 15} 2.52.a) {1,12} b) {S, 9,10,12,13, IS} 2.53.a) {3,4} b) (2) 2.54.a) {t, 7, 14} b) {3,4,5,6,8,9,lO,ll,12,13,14,15} 2.55.a) (I, 2, 9, Ioc), IS} b) (1,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, IS) 2.56. D = C I (Aml) 2.57. D = B I (AUC) 2.58. D=(AnC)\i! 2.59. D=(AnB)nC

2.60. D=[(AuB)r.c}.;(AnB) 2.61. D=[(AUB)n'C]u[(AnB)IC]

2.62. E=[(AnD)nC]1 B 2.63. [D\(AuBuC))u[(BnD)IA) 2.64, E = [Cn(B'.JI!))] \ [(BnD)\A] \ [(AnC)ID]1 [(AnC)\B]

96

2,66. E = [AI(BuC)]u[BI(AuC)]u[C\(BuD)]u[D\(AuC)] 2,67. E = [(AuC)I(BuD)]u[(BnD)I(AnC)]u[(BuD)I(AuC)]u[(AnC)I(BnD)] 2.68. E'" [(BuD)I(AuC)]u(AnC). 2.69. E = (AuC)1 [(AnC) u (BhD)].

2.70, Skup svih uredenih parova cija je prva knordinata iz skupa A i druga koordinata iz skupa B. naziva se Dekartov proizvod skupa A i B i oznacava

sa AxB, tj. AxB = ((x, y) I 'SEA A YEB }. 2,7I.a) AxE = {(x, y) I XEA A yEB }= {(1O, 1), (1O, -2), .(-7, I), (-7, -2)}.

b) AxB = {(x, y) I XEA /\ yEB }= {(I, 4), (I, -2), (5, 4), (5, -2), (-3, 4), (-3,-2)}. c) AxB = (CO, -I), (0, 0), (0, 2), (2, -I), (2, 0), (2, 2), (9, -I), (9, 0), (9, 2)}.

2.72.a) AxE = (to, 0), (0, 3), (-2, 0), (-2, 3»), BxA= (CO, 0), (0, -2), (3, 0), (3, -2)}.

b) AxB = {(-I, 3), (-1,2), (-5, 3), (-5, 2), (3, 3), (3, 2),1. BxA = {(3, -I), (3, -5), (3, 3), (2, -I), (2, -5), (2, 3)}.

c) AxE = {(I, -2), (I, 2), (I, 6), (2, -2), (2, 2), (2, 6), (7, -2), (7, 2), (7, 6)}. BxA= {(-2, I), (-2, 2), (-2, 7), (2, I), (2, 2), (2, 7), (6, I), (6, 2), (6, 7)}.

2.73. Iz prethodnog zadatka, kao i neposredno iz definicije Dckartovog proizvoda, vidimo da za Dekartov projzvod ne vrijedi zakon kornutacije, Prema tome, datajednakost nije istinita.

2.74.a) A={0,3},B={2,-3,5} b) A=i-l,5,7},B={b,8, 10}. 2.75.A2 =AxA.

276.a) A' = AxA = (CO, 1), (0, I), (I, 0), (I, I)} b) A'=AxA={(I, 1),(1,2),(1,3),(2, 1),(2,2),(2,3),(3, 1),(3,2),(3,3)}

. c) A' = AxA = (CO, 0), (0, -I), (0, 3), (0, 4), (-1, 0), (-1, -1), (-I, 3), (-I, 4),

(3,0), (3, -I), (3, 3), (3, 4), (4, 0), (4, -I), (4, 3), (4, 4»). 2.77.

2.78

2,79.a) Ax(BuC) = {(x, y) 1 XEA /\ YEBuC) = {(x, y) I x~A A (yc;Il V YfCj'"

97

= {(x, y)!cxEA A YEB)v(XEA A YEC)}= {(X,y) I (X, Y)EAxB V (X, y)EAxC)= = (AxB)u(AxC).

b) Ax(~r;C) = {(x, y) I XEA A YEBnC} = {(x, V) I XEA A (YEB A YEC)=

={(X, Y) !(xEA A yEB)A(XEA A YEC)}= {(X, y) 1 (x, Y)EAxB A (X, Y)EAxC}= = (AxB)n(AxC).

2.80. Svaki il1<prazan podskup skupa AxB naziva se relacija izmedu skupa A i skupa!l ..

2.81. Relac~Ja u skupu A je svaki (neprazan) podskup Dckartovog kvadrata skupaA.

2.82. p = {(1, 2), (1,3), (1,4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)}.

2.83.

I " I I 2 3 4 5 6 7 8 I T T T T T T T T

"2 .L T 1 T .L T .L T

I-! .L .L T .L .L T .L .L -4 .L

, I , T , .L .L T ..L I ..L

5 1 I ,

.L I 1 T .L .L .L . ;6 .L .L .L .L .L T .L .L

I 7 .L I ,i .1 .L .L .L T .L leg .L .~ .L J. .L .L T .L ,

2.84. Grafol,.,j relacija iz prethodna dva zadatka:

2.85. Relaciju koja je data u nekom skupu S i koja ima slijedece tri osobine: 1) refleksiwJlost-sto znaci daje svaki elemenat skupa-S u relaciji sa samim scborn, 2) simetric:nost-sto znaci: karl kodje xpy, tadaje i ypx. 3) tranzithmost·sio znaci da 7.a p vrijedi: xpy A ypz =>xpz,

nazivamo ·relacija ekvivalencije.

2.86. Iz detiinicije relacije p zakljucujemo da ona ima osobine refleksivnost, simetri6nos;t j tranzitivnost, paje to jedna relacija ekvivalencije u skupu cijelih brojeva Z.

98

2.87. Relaciju kojaje data u nekom skupu S i koja ima slijede6e tri osobine: 1) refleksh"uost-sto znaci daje svaki elemenat skupa S u relaciji sa samim s~bom, 2) antisimetricnost-sto znaci:kad kodje xpy, tada nije iypx, osim kadaje x = y .

3) tranzitivnost-sto znaci da za p vrijedi: xpy A ypz => xpz, nazivamo relacija uredenja (iii rcJacija poretka).

2.88.a) Relacija p je refleksivna, jer je svaki elemenat skupa Ajednak samom sebi. Relacija p je antisimetricna, jer je xpy i ypx samo ako je x = y. Relacijaje i tranzitivna, jer vrijedi (xs;y A y5Z) ::::::> x5z. Dakle, relacija p je reiacija uredenja.

'" I 2 3 4 5 6 7 8 9 I T T T T T T T T T 2 .L T T T T T T T T 3 .L .1. T T T T T T T 4 J. .L J. T T T T T T 5 .L .L .L J. T T T T T 6 J. .L J. J. J. T T T T 7 .1 .L .L .L .L .L T T T 8 .L .L .L J. I .L .L .L T T , 9 J. i .L 1

, _d~.L J. .L .L T ,

2.89. Za relaciju pcAxB kaicmo daje funkcija sa Au B ako je svaki elemenat skupa A u relaciji sa tacno jednim elementorn iz skupa B. Skup A se naziva dornena (iii definiclono podrucje) fuukcije.

2.90.a) fell = 0 b) f(3) =·3 c) f(5)=6 d) f(8) = 2 e) [(9) = I 2.91a) f(l) = 7 b) f(3) =·5 c) f(f(2)) = 8 d) f(f(3)) = 3 2.92. Domena date funkcijeje N. Kodomenaje skup svih parnih brojeva bez2.

99

2.93. itt) = 3-1 = 2, f(2) = 5, f(3) = 8, f(IO) = 29, f(ll) = 32. 2.94. ~-3) = -22, frO) = -7, f(5) = 18, f(f(I» = f(-2) = -17, f(f(-2)) = f(-17) = -92. 2.95. f{2) = 3, f(-4) = -5, f(IO) = 2, f(f(3» = f(2)=3, f(f(-5») = f(-4) = -5,

f{f(f(2») = f(f(3») = f(2) = 3. 2.96.a} 1'(0) = I b) f(-3) = -5 c) f(5) = II d) f(f(2)) = II 2.97.3) 5x+2 = 7 => x= I b) x=O c) x=2 d) x=-3 2.98. f(A) = {f(-3), frO), f(2), f(4), f(lI)} = {I 6, I, -9, -19, -54}. 2.99.a) (f 0 g)(x) = f(g(x» = g(x) + 2 =3x- 1+ 2 = 3x + I,

b) (g 0 flex) = g(f(x» =3f(x)-1 =3(x+ 2)-1 =3x+ 6 -I = h+ 5,

c) U 0 flex) =f(f(x» = f(X) + 2 = x+ 2+ 2 = x+ 4,

d) (g 0 g)(x) = g(g(x» =3g(x) -I =3(3x -I) -I = 9x- 3 -I = 9x - 4.

2.100.,,) ((f 0 g)o h) (x) = f(g(h(x))) = g(h(x)) + 3 = 2h(x) -I + 3 =

=2(x-5)+2 = 2x-1O+2 = 2x-8. h) (f 0 (g 0 h»(x) = f((g 0 h)(x» = (g 0 h)(x) +3 = g(h(x» + 3 =

= 2h(x)- I +3=2(x-5)-1 +3 = 2x-8.

2.101.,,) (j 0 g)(x) = f(g(x» = (g(x»' - 3 = (x' + 5)' - 3 =

= X4 + lOx' + 25-3 = X4 + lOx' +22.

b) (g 0 f)(x) = g(f(x)) = (f(x»' +5=(x' _3)' +22=x' -6x' +31.

2.102. Za funkciju f: A -+ B kaiemo da je sirjektivna ako je svaki clemena! skupa B slika bar jednog elementa skupa A. Drugim rijecima, oblast vrijednosti sirjektivne funkcije (iii kodomena) je cijeli skup B.

2.103. Data funkcija f nije sirjektivna zato sto elemenat 2 (a isto taka i 4) drugog skupa (avdje SU oba skupajednaka) nije slika nijednog elementa.

2.104. Ako funkcija f: A -+ B razlicitim elementima skupa A obavezno pridrumje rozlicite elemente skupa B, tada kaZemo daje funkcija finjektivna

r .. nkcija iii injekcija. 2. I 05. Kako razliiSiti eiementi skupa A imaju razlicite slike, to je data funkcija

11'lljekcija. Ova funkcija nije sirjekcija zato ;';to elemenat 10 drugog skupa nije sHka ni jednog elementa iz skupa A.

2.106. Funkcija kojaje II isto vrijeme i sirjekcija i injekcija naziva se hijekcija. 2.107. Data funkcijaje sirjekcija i injekcija,paje bijekcija. 2.108. Aka je funkcija bijekcija onda Dna ima inverznu funkciju. Dakle, sarno

bijektivna funkcija irna svoju inverznu funkciju. 2.109. Ako je data bijekcija f: A -+ B, koja svakom xEA pridruzuje YEB, takoda

je y = f(x), tada se funkcija fl(x): B -+ A, koja elementu YEB, pridruzuje xEA, naziva inverzna funkcija funkcije f. Ako je f(x) = y, tadaje fl(y) = x.

2.110. f'= . 2.11I.f'C)=X+ (3456710) I 123458 x 3'

100 I L

2.112.a) flex) = 3-x b) f'(x) =::..=.:. 10

c) f'(x) = JX+ J

I-x

2.113.a) f(x) = 3x+ I => 3x = f(x)-1 => x=f(x)-I 3

=> r'(x) = x-I b) g-'(x) = 5x-3 c) 3 2

2.114. 2000 2.115. f(x+5)=3x-1 = 3x+15-16 = 3(x+5)-16

=> f(t) = 31 - 16 => frO) =-1.

=>

2. 116. 3f(0) + frO) =-4 2.117. f(3-g(x» = 2x+ I 2.118.g(x)=-2x+3.

=> 3 - g(x) - 5 = 2x+ I =>

2.119. Uputa: f(x+3) = a(x+3)' + b(x+3)+c, ...

f(x) = 3x-16.

g(x)=-2x-3.

2.120. Svaka funkcija f:AxA -+ A nazi va se binama operacija u skupu A. 2.12I.a) 2*3=2+3+3=8 b) 3*5=11 c) 1*8=12

d) (2*4)*5 = 17 e) (3 *4)*(2*5) = 10*1 0 = 23 2. I 22. Neprazan skup S u kome je definirana neka (binarna) operacija naziva se

algebarska struktura. . Aigebarske strukture su : (N, +), (N, .), (7, +), (7, .), ...

3. SKU P 0 V I B R 0 J E V A

3.1. . Prirodni hrojevi (N)

3.l.a) 35 b) 636 c) 2563 3.2.a) 15 b) 26 c) 2015 3.3.a) 80 b) 1500 c) 245000 3.4.a) 60 b) 2108 c) 1713285

d) 9209 d) 2048 d) 9430000 d) 3552304

3.5.a) 2+237+8+13 = (2+8)+(237+13) = 10+250 = 260. b) 117+459+23+11 = (117+23 )+(459+ II) ~ 140+470 ~ 610. c) 52+4314+ 18+ 116 = (52+ 18)+(4314+ 116) =, 70+4430 = 4500.

3.6.a) 34+ 112+338+ 188+ 162 = 34+(1 12+ I 88)+(338+ 162) = 34+300+500 = 834. b) 215+81+245+185+155 = (215+185)+81+(245+155)=400+81+400 = 881. e) 144+731+156+169 = (144+156)+(731+169) = 300+900 ~ 1200.

101

.'_i.-

., . ,

, \ .

.~ , ~

=_= __ == ___________ "miil.,.

3.7.a) 2-4·5-25~(2·5)·( 425)~ 10 I OO~ I 000 b) 4·19·25~( 4·25)·19~ 100·19~1900. c) 125-4·8·25~(125·8}(4·25)~ 1000·100= 100000. d) 900

3.8.a) 7·8·5·25 = J·(5·2)( 425) = 7·10·100 = 7000. b) 4·8·25·3 =(4·25)(8·3) = 100·24 = 2400. C) 2·3·~O·12~-Il=(2·50)·(8·125)11 = 1001000·11 = 1100000.

3.9.a) (72+6)-5 =72·5+6·5 ~ 360+30 ~ 390. b) (19-1 1}4 ~ 8-4 = 32

c) 3·(2+53)+(57-43)·2 ~ 3·55+14·2 ~ 165+28 ~ 193. 3.1O. Broj veci ad I, kojije djeljiv samo sa 1 i samim soborn, naziva se prosti broj. 3.11.a) Kakoje 36= 2-2-3·3, to su prosti faktori broja 36 :2, 2, 3 i 3.

b) 2,3,5,7, c) 2,5,7, II d) 3,7,13 e) 2,3,13,17,19 3.12. Najveci broj sa kojim su djeljivi dati brojevi naziva se najveci zajedni~ki

djelilac tih brojeva i obicno oznacava sa NZD. 3.I3.a) NZD(l8, 54) = 18 b) NZD(300, 400) = 100

c) NZD(l2Ql, 240, 330) ~ 30 3.14. Akoje najveei zajednicki djelilac dva data brojajednakjedinici, tada kaiemo

da su ti broj.evi uzajarrmo prosti. Taka Sil uzajarnno prosti brojevi 4 i 9. 3.15.a) 3 i 12 niSllluzajamnoprostijerjeNZD(3, 12)=3.

b) 12 i 25 jesu uzajamno prosti jer je NZD(12, 25) = 1. c) 99 i 16 SlJl uzajamnoprosti., d) 100 i 33 su uzajamno prosti.

3.16. Najmanji bmj kojije djeljiv sa datim brojevima naziva se najmanji zajednicki sadriilac tih brojeva. Tako je NZS(12, 15) = 60.

3.17.a) NZS(3, 15}= 15' b) NZS(12, 8) = 24 c) NZS(14, 15)~210 d) NZS(II,23)~253

3.18.a) r=2 b) r='1 c) r~ 17 d) r= 189 3.19.a) q~5,r=2 b) q~l,r=7 c) q=7,r~30 d) q=8,r=52

3.20. Ako je posljednja cifra prirodnog broja 0, taj broj je djeljiv sa 10. U slucaju dasu dvije posljednje cifre prirodnog broja 00 brojjedjeljiv sa 100. Kada se prirodan bmj zavrsava ciframa 000, on je djeljiv sa 1000. Aka prirodan broj ne zavrsava sa 0, onda nije djeljiv sa 10, ako ne zavrsava sa 00· nije djeljiv sa 100 i ak~ ne zavrsava sa 000, tada sigumo nije djeljiv sa 1000.

3.21. Ako je zadnj;aeifra prirodnog broja paran broj (0, 2, 4, 6 iii 8) broj je djeljiv sa 2. Ako posljednja ,cifra broja nije paran broj, anda taj broj nije djeljiv sa 2. . Ako uocimo posljednje cifre datih brojeva vidimo da sarno brojcvi 72848, 3564 i 10403052 zavfsav::aju parnom cifrom, pa su oni djeljivi sa 2, a ostali brojevi nisu djeljivi sa 2.

3.22. Aka je suma dfara nckog prirodnog broja djeljiva sa 3, ondaje i taj broj djeljiv sa 3. Ako zbir cifmra broja nije djeljiv sa 3, tada ni taj braj nije djeljiv sa 3.

3.23. Zbir cifara breja 723 je 7+2+3=12. Kako je broj 12 djeljiv sa 3 to je i broj 723 djeljiv sa 3. Sa 3 ",isu djeljivi brojevi 2368 i 4001. Ostali brojevi su djeljivi sa 3 jer irn je zbir cifara dieijiv sa 3.

102

L

3.24.a) Kakoje zbir cifara 5+4+6+0=15 djeljiv sa tri, toje i broj 5460 djeljiv sa 3. b) Broj 14040 je djeljiv sa 3, jer muje zbir cifara (9), djeljiv sa trio c) Broj 7230012je djeIjiv sa tri,jer je zbir njegovih dfara (15) djeljiv sa tri.

d) I broj 1013313 ima zbir eifara 12 = 3-4, paje djeljiv sa tri.

3.25. Ako je suma cifara nekog prirodnog broja djeljiva sa 9, onda je i taj broj djeljiv sa 9. Ako zbir cifara breja nije djeljiv sa 9, tada ni taj broj !lije djeljiv sa 9.

3.26. ad datih brojeva u ovom zadatku sarno broj pod c) 90079 nije djeljiv sa 9. 3.27. Aka je posljednja cifra prirodnog broja 0 iii 5, taj broj je djeljiv sa 5. Ako posljednja cifra broja nije 0 niti je 5, onda taj prirodan broj sigurno nije djeJjiv sa 5.

3.28. ad sest datih brojeva sarno brojevi 14532 i 2503004 nisu djeljivi sa 5. 3.29. Nekaje cifrajedinica prirodnog broja ajednaka 5. Tada broj a ima oblik

a = x5 = I Ox+5 ~ 5·(2x+ I), sto znaci daje broj a djeljiv sa 5. 3.30. Dokaz: Nekaje a neparan broj. Tada postoji prirodan broj n za koji vrijedi:

a = 2n+ 1, TIEN. Otudaje: (2n+I)2-1 = (2n+I-I)(2n+I+I) = 2n(2n+2) = 4n(n+l).

Kaka je ad dva uzastopna prirodna broja n,n+ I uvijekjedan paran (znaci djeIjiv sa

dva), to je proizvod 4n(n+ I) uvijek djeljiv sa 4·2 = 8.

3.31* 1+2+3+4+5 + ... + 500 + 501+ ... + 995+996+997+998+999+1000 ~ ~ (1+ I 000) + (2+999) + (3+998) + (4+997)+(5+996) + ... + (500+50 I)~ ~ 500·( I + 1000) = 500·100 I = 500·7·143 = 143·3500.

3.32.* Nekaje a = b·c, pri cemuje faktor b djeIjiv sa d (b ~ d·q). Tada vrijedi a = b·c = (d·q)·c = d-(q·c), sto znaci daje i broj a djeljiv sa brajem d.

3.33. Faktor 15 izra?a 43·15·37 je djeljiv sa 5, paje i proizvod 43.15.37 = 23865 djeIjiv sa 5 (23865 = 5-4773).

3.34. Dokaz: n+(n+I)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+I).

3.35. Dokaz: Kako je: (2n)(2n+2) = 4n(n+ I) i ad dva uzastopna prirodna broja n(n+ 1) jedan je uvijek paran, to je tacna navedena tvrdnja.

3.36. Dokaz: (2n+ I )2_(2n_l) 2 =(2n+ I +2n-I)(2n+I-2n+ 1) = 4n·2 ~ 8n.

3.37. Dokaz: Neka su a, b i c cijeli brojevi za koje vrijedi a+b+c ~ 6k, kEZ. Tada

vrijedi: aJ+bl+c3 _ (a+b+c) ~ (a3_a) + (b3_b)+(cl -c) =

~ (a-I )a(a+ J) + (b- J)b(b+ I) + (c-l)c(c+ I). Kako je proizvad tri uzastopna cijela broja uvijek djeIjiv sa 6, to je posljednji

zbir djeljiv sa 6, pa je i al+b'+c' djeIjivo sa 6.

3.38. Uputa: Tvrdnja slijedi izjednakosti: (n.1)' + n3 + (n+1)3 = 3(n-l)n(n+I)+9n.

103

~.~~ • .... } .............. u.L. """'VJ1"'''' ........ "to ................................ " ................ up'';'''''., VVQ.:(\,.V.

n'-n = n(n'-I) = (n-I)n(n+ I), odakle vidimo da se radi 0 preizvodu tri uzastopna pcirodna broja. Medu tri uzastopna prirodna broja uvijek se nalazi bar jedan par .... brej (onje djeljiv sa 2) i bar jedan broj djeljiv sa 3. To znaci daje brojnik djeljiv sa 2·3 odnosno sa 6, paje dati razlamak prirodan broj.

b) V'ijedi p' -I = (p-l)(p+ I). Broj p je neparan, pa su brojevi p-I i p+ I dva uzastopna pama breja od kojihje jedan djeljiv sa 2, a drugi sa 4. Zato je izraz (p-I)(p+ I) djeljiv sa 2·4 = 8. Brojevi (p-I), p , (p+ I) su tri uzastopna prirodna broja, pajejedan od njih sigurno djeljiv sa 3. Kako je P jpIOst brej i p>3, to je sa tri djeljiv jedan od brojeva p-I iii p+1. Zata je izraz p'-l =(p-I)(p+ I) djeljiv sa 8·3 = 24, sto je i trebalo dokazati.

3.40. Akojebar jedan od brejeva a i b paran, tadaje proizvod ab(a+b) paran broj. Ako $U oba data broja neparni, tadaje zbir a+b paran (zbir dva neparna broja uvijekje paran), paje opet izraz ab(a+b) paran broj.

3.41. Rastavljanjem na proste faktare, dati izraz se moze napisati ovako: n(n' -i)(n'-5n+26) = n(n-I )(n+ I )(n'-5n+6+20) =

= n(n-I)(n+ I )(n'-5n+6)+20n(n-l)(n+ I) = = (n-3)(n-2)(n-1 )n( n+ I )+20(n-1 )n( n+ I).

Prvi sabiralcpredstavlja proizvod pet uzastopnih cijelih brojeva. Medu tim faktorimaje<lanje sigurno djeljiv sa dvajedan sa trijedan sa cetiri ijedan sa pet. To znaci daje proizvod tih faktara djeljiv sa 2·3·4·5 = 120. Na analogan nacin zakljucujemo daje i drugi sabirak djeljiv sa 120, paje cijeli izraz djeljiv sa 120 za svaki priroWm broj n.

3.42. Upula: Koristiti: n4+2n3+lln'+IOn = (n-l)n(n+I)(n+2) + 12n(n+I).

3.43. Upulll: Koristiti: n3 + 3n' - n -3 = n' -n + 3n' -3 = n(n'-I)+3(n' -I) = = (n-I)(n+l)(n+3).

3.44.* Dokaz: Ako pretpostavimo da prostih brojeva ima kanacno mnogo, recimo n, i ako Sil to bmjevip" P" p" ... , Po. tada mozemo pronacijos bar jedan prost broj. Posmatrajrno broj p= P,·P,.P,. ... · p,+ I. Broj p nije djeljiv ni sajednim od prostih brojeva PI, P" P3, ... , p"jer pri dijeljenju sa rna kojim od njih dolazimo do ostatka 1. Znaci broj p je prost broj. Ovo, dalje, znaci da prostih brojeva ima beskonacno mnogo, a me sarno n.

104 l

3.2. Cijeli brojevi (Z)

3.45.a) 3+(-4) =-1 b) ···10 c) 0 3.46.a) 5-(-6)=5+6= II b) -4-(-2)=-4+2=-2 c)-I 3.47.a) -8-(-6)+(-1) = -8+6-1=-3 b) +4 c) 19 3.48.a) 0 b) -8 c) -10 3.49.a) a-b= 15-19=-4 b) 79 cJ 4 3.50.a) (-3)·(-4) = 12 b) II c) -18 3.5l.a) 15 b) 42 c) :7 d) -II 3.52.a) 2 b);-2 c)-4 3.53.a) 5 b) --6 cJ 17. 3.54.a) x = 2-5 = -3 b) x = -2 cj x = -24

3.55. Apsolutna vrijednost lal cijelog broja a definira se ovako:

lal = {a, ae:O . -a, a < 0

3.56. Nekaje lal =5,tadajea=-5 iii a=5.

d) -I d) 6

d) -40 d) 5 d) -8

3.57.a) 1-31=3 b) 1241=24 c) 1-171=17 d) 1+1441=144

3.58.a) 111-151=4 b) 12-51-14-171=1-31-1-131 =3-13=-10 c)-9

3.59.a) -10 b) 15

3.60.a) 11-51.13-101'" 1-41.1-71 =4·7=28 b) 12 c) 35

3.6I.a) x=-I,x=1 b) x=-5,x=5 c) x=±10 d) x=±15

e) Ixl+2=6 <d Ixl =4 <d (x=-4vx=4). f) .x=±8

g) Ixl=12,x=-12ilix=12 h) x=±9

3.62.a) x-2=±8 => x= 10 iii x=-6 b) x=6 iii x=-8 c) x= 19 iii x=-II d) x= 18 iii x=-6

3.63.a) lednakost Ixl = -x vrijedi za sve negativne cijele brqjeve x.

b) lednakost Ixl = x vrijedi za sve nenegativne (cijele) brojeve x.

3.64.a) Ixl<2 <d -2<x<2 b)lxl<1 <d -1<x<1

c) Ixl<5 <d -5<x<5 d) Ixl<IO <d-IO<x<lO

3.65.a) Ixl>1 <d (x<-1 v x>l) b) Ixl<o8 <d (x';-8v x<o8)

c) Ixl <04 <d (x:S-4 v x2:4) d) Ixl <0100 ¢>' (x,; -100 v x;,; 100)

3.66. Dokaz:1) Neka vrijedi ~O, b20. Tadaje i a+b<oO; paje lal = a, \Dt~'b, la + bl = a+b, pa vrijedi la + bl = a+b = lal + Ibl·

Z) Ncka vrijcdi aSO, bSO. Tadaje a+b,;O, paje

:&£2£&

la+bl ~-(a"b)~-a-b~-a+(-b)~ lal+lbl.

3) Nekaje: a:O:O, b<O.Tadaje lal = a, Ibl = -b.

Aka je tal > [hi, tadaje a+b2:0 paje [a + b[ =a+b=lal +b=lal-(-b)= lal-Ib[ <Ial +Ibl·

Akoje lal <Ibl, tadajea+b<Opaje la+bl =-(a+b)=-a+(-b)=-Ial+ Ibl<lal+lbl· 4) Neka, sada, vrU"di a<O, b;,O. Tadaje lal = -a, Ibl = b.

AkGje lal < Ibl, tadaje a+b:O:O:paje la + bl = a+b = -Ial+lbl <Ial+lbl·

Akoje lal > Ibl, tada je a+b<O pa je la + bl = -(a+b) = -a-b = lal - Ibl<ial + Ibl· Ovim je istinitost reJacije ja + bl.s/a! +jb] dokazana za rna koje

vrijerlnosti cijelih brojeva a i b ..

3.67_ Neka su a i b cijelibrojev.i. keji su djcljivi sa m. To znaci da postoje cijeli hroJevl k, 1 k, za ko]e vrlJedt: a = k,m, b = k,m, paje a+b = (k,+k,)m. Kako Je k,+k,EZ, toje i a+b djeljivo sa m.

3.6&_ Dokaz: Neka su dati cijeli brojevi a i b i nekaje a = km, kEZ.Tada vrijedi: ab = (km)b = (kb)m. Kako je kbEZ, to je ab djeljivo sa m.

3.69'~ ~ok~~: ~roi~?d run ~atib br~jeva rri i nje djeljiv i sa m i sa B. To znaci daje m~ z;.aJ~~l11~ki s~~r~t1ac ~:oJeva r~ I n. Aka su m i 11 uzajamno prosti, tadaje mn naJnnanJ! zaJ:-dnlck! .sadrzl!a~.broJeva min. ~ako je i a zajednicki djelilac za min, po datom uVJetu, to Je a sadrzllac od mn, paJe djeJjivo sa mo.

3.70_ Ako je n paran, tada je ~~2k, kEZ, pa se dati izraz moze napisati ovako' 'J 2k' 3 .

-"--- ~ ~= 4k 8k k k' k 3 k+3k' +2k' + + -+-+----+-+ 12 8 24 12 8 24 - 6 2 '3 6

= k(J + 3k + 2k') = k(k + 1)(2k + I) 6 6

Kakaje k(k+ I), kEZ, proizvod dV;lIzastopna cijela broja, to je ovaj izraz djeljiv sa 6, paje clJeh dati Izraz cijeli broj.

3.71. Ako je b;eO i b;e-l, vrijed i a a+ 1 a

--+~-~:::::-ab+(a+I)(b+l) a

b+ I b b (b+l)b b

¢:; ab+( a+ 1 )(b+ l) ~ a(b+ I) ab+ab+a+b+ 1 = ab+a ¢:; ab+b+ I = 0 (a+l)b~-1 ¢:; a=-2, b= l.

106

3.72. Date brojeve mozemo napisati ovako: 14x+5 9x+5x+5 5x+5 5(x+I) ___ :=x+--=x+---

9 9 9 9 '

17x-S 12x+Sx-5 5x-5 S(x-l) =.:...:..=-= =x+---=x+---. 12 12 12 12

prvi broj je cijeli ako vrijeui : x+ 1 = 9k, kEZ, odnosno, x = 9k-I, kEZ. Drugi brojje cijeli ako vrijedi: x-I = 12m, mEZ, odnosno, x = 12m+l, mEZ. Ako bi za neko k, mEZ dati brojevi bili oba cijeli, tada bi vrijedilo

9k-1 ~ 12m+ 1 , k, mEZ ¢:; 9k-Lm = 2 , k, mEZ ¢:; 3(3k--4m) = 2 , k, mEZ.

Kako je 3kAm ~ PEZ , to ne postoji ni jedan cijeli broj p za koji je 3p ~ 2, odnosno ne postoji cijeli broj x za koji bi dati brojevi bili cijeli. 3.73. Kako je f(O) = c, to je, prema datom uvjetu, CE Z.

Iz f(I) = a+b+c, a+b+cE Z i CE Z, zakljucujemo daje a+bEZ. Kako je f(-I) = a - b + c, a - b + c E Z, CE Z, to je a-bE Z. Na kraju, sabiranjem dva cijela broja uvijek se dobije cijeli broj,~.

(a+bEZ, a-bEZ) => a+b+a-b E Z, odnosno, 2aE Z.

3.3. Racionalni brojevi (Q)

3.74. Broj koji se moze napisati u obliku :!.., gdje su a i b cijeli brojevi i b nije nula, b

naziva se racionalan broj. Skup Svih racionalnih brojeva oznacavarno sa Q. Taka je

Q~ {~laEZ 1\ bEZI{O}}.

3.75. Od svih datih brojeva sarno --"-- i .fi nisu racionalni brojevi. 15

3.76. Prosiriti razlomak znaci njegov brojnik i njegov nazivnik pomnoziti sa istim brojem (koji ne smije biti nula). Prosirivanjem raz10mka njegova vrijednost se ne

mijenja. 3.77.a) .':= 4·2 ~~ b) :-2 -2·(-3) =_6_

5 5·2 10 7 7·(-3) -21

3.78.a) ~ 23·(-10)_= -230 b) 2 -1·(-5) 5 -5 -5·(-10) 50 -12 -12·(-5) 60

3.79.a) 4 = 4: 2 =.? b) 2,_22 = 6 6:2 3 15 15:5 3

d) -2 3

8 e) -

-7 3.80.a) 5

7 b)

2

13 c)

25

c)

c)

c)

d)

8 8·4 32 =--=-

II 11·4 44

14 14·3 42 -=--=-9 9·3 27

24 24:12 2 -=--=--36 36: 12 3

-5 e) 1 -

16 6

!O7

1·7 2·5 b) 3.8I.a)

5·7' 7 ·5 12 2 5

b) 3.82.a) g'g'g 1 3 1 +3 4

3.83.a) -+-=-=-=1 444 4 5 7 1 13

c) -+-+-=-6 6 6 6

16 21

28' 28 20 18 7 30' 30' 30

11 10 24 23 .c) 8' 8 d) -,-

28 28 28 30 9 12 68 9

c) 24' 24 ' 24 d) 60 ' 60 ' 60 426

b) -+-=-777 3 5 1 9

d) -+-+-=-14 14 14 14

7 5 7-5 2 3.84.a) ---=---=-

9 9 9 9 b) ~±+L? .. :1.=14+12-2=24 c) 7.. d) . .!....

13 13 13 13 13 3 23 5

3.85.a) -9

b) 20 c) • 58 d) l.'l. 19 31 25

3.86.a) .3.+3.=9+10 =~ 5 3 15 15 14

3.87.a) -75

3.88.a) 5+~=5·15.:':2=~ 15 15 15

31 3.89.a) 9'

2 3 2·3 3 3.90.a) -._= -=-5 4 5·4 10 8

3.91.a) -5

3 6·3 9 3.92.a) 6·-=- =-

4 4 2. 12 3 12:3 4

3.93.a) - -= -'"'-=-25 5 25:5 5

3.94.a) 2 2 2 7 7 - : -=_.-=--5 7 5 2 5

c) 6 5 54 - ---7 9 35

b) 2. +!..l. = 10+33 =43 c) 55 d) ~ 12 8 24 24 54 6

d) l~ 8

cJ ~=1~ d) _5_ 150 ISO 192 16 4 cJ d) -3 5

115 c)

11 10

cJ 33 3

c) -2

35 c)

3

d) 4 -5

d) 5

7

d) 90 77

d) 80 -3

d) .Ii 7

12 12: 4 3 3.95.a) -:4 = --=-

25 25 25

b) ~:10=~ . ..I..=.2. c) 6:~.=6 . .':=27 d)·16 5 5 10 25 9 8 4

3.96.a) (2+L?).4= 50+12. 4 =62. 4 =248 b) 5.(4+3.)=5.l.'l.= 70 l 25 25 25 25 3 J. 3

c) (7-~}8=7.8-~.8=56'2=54 d) 2{16- 225)=32.25=7.

108

~----,-

I .L

2 IS + 2 17 68 2 3.97.a) 5-·4=--·4=-·4=-=22-

3 3 333 b) 2'::.3=83.

5 5

c) 52

3.102.a)

3.103.a)

b) 80

, 1 2 2 I 2 8::+5·1--10:2- 12 .... ··63-:5-

2 5. 8 2 190 57 8-+5---10:- 12----:-

3 8 3+ 3 3 11 1 3 ,3.

3.104.a) 3 8 3+ 3 3 11

3+.1 _.3. 23.

b)

8--5- ~3 2 4 2 4 3

? 5 3 2 190 11 13+..':+--10·- 12---'-

3 8 8 + 3 3 57

31 15 38 2090 13+--~ ---

24 4' + 3 171 11 8 1 8

3--4 3 4 3

31-90 3.166::2090 13 _5Jl. 76 253 76 13+""'24' 171 =............1'!+11l= 24 +.!1l=253·4 + 76· .. :3..=

11 + 8 !..l. .s. !..l. 8 11·24 171·8

4 3 4 3 4.3 23 19 23 1 _ 23 + 1 _ 24 _ 4 = ~..!---=-+------- . 6 . 57·2 6 3·2 6 6

3 2 1 1 3 I 15 8 497 27 11 _ 49 3. 27 + 22 3 ..... 2--6 .. _·3- 6-+5- -'---.- -+._. 10

4 3 8' 2 + 4 2 =.'Ll_8 2 +..'L..1..~ 2 5 5 26

55 'J- 26:}- 55:- ZO; . 3 7 3 7

8 7 +_4_= 3 7 55-- 26·- .. 5 26

. 109

7 49 40 - 7 49 33 49 _10- 44 --4- -4_4 4-_ 33 49_17-8-___ +_= __ +---+-----+ ____ + ____ 2.

33 7 33 7 33 7 4 33 ~. 7 4 4 4

3.I05.a) (28: 1~+ I.!: 22+ 1=C .9_3_+4. I.!).3.! (28: 2 +'1 :22+~' 102 +4:

3_). 22

4 3 3 11 2 7 =_ 4 3 3 11 2 7 ---~-.... 1 2 470 94

67--47·- ----7 7 7 7

(28. <1: + <1: . J... + 120 + 4 . '2..) 22

7 3 2211 3 7 = 376

16+-+-+-- ·22 ( 2 170 8) 33 II 3

376

7

( 2 170 8\

16+~+--+-I·l1 33 11 3)

2 88 176+'3+ 170 +3 346+30 376 =2.

188

(8. 21_3~ :3+5: !O~):3~

2 3 3 7 b) - -

7,1-7~ 7 4

5580-310+135 7 ----

= __ P9 22 196 -29 ----

4

188 188 188

1(8.~_I.0_l+5.~ 1-"-- (20-190+3151)\227, , 2 3 3 31; 22 \

7.7- 29 4

5405 7 -_.-279 22 5405-7·2

167 167·279·11 4

29 49---

4

75670

512523

6 1 4 3 24: -.-.-: ---+ 6-: 9

2 5 1 20: 2-+ 25·-; 1-

3.106. 7 9 21 4 2 14 . 2

15 7 35 = 7 2 +

53--22-:2-3 15 3

21-:4--1 9 3

7 I 21 27 15 180 35 24·---·--+--:9 20---+---

6 9 4 4 + 32 7 36 2 344 8 196 14 53-- ---: ----: ---1 3 15 3 9 3

7 3 15 338 275 28--+- 5--+25 -

12 4+_! __ = 12 +_8 __ 161_ 43 14 -I 676 11 3 5 3 15 3

338·15 275-3 5 25·3 5+75 80 10 =---+~-=-+--=--=-= .

676-12 8·11; 2·4 8 8 8

l'(23 +~) -(--,- + -~)] -48:(--'-:2) 3.107. r 63 ) 21 ( 5 )8

!.2.+~.'l._~541: 8.'l.:12 26 39 6 6. 7 35

[161+124 ~3..:':20]'48:(--'- . .s.)

252 84 5 7

5...7 + 28-.I2_ 325:(60 .~) 78 6 7 12

110

[285 _ 83].4S}.'l.

= 252 84 35 72 325 --·-:25 78 6

3.10S.a) 7x-1l=22 ¢?

b) 4

4+5x =-7

c) 1

-2x+-=3 2

285 -24948.~ 252 24 6 325 ------: 25 39 1

7x = 33

4 5x = --4

7

-4x+l = 6

¢?

¢?

¢?

¢? d) x 1

ll+-=- ¢? 66+2x = 1 3 6

36 I ~-70 -·70 252 =_7 __ =~=5

'2..- 25 : 25 2 2 . 1

33 x=-7 4-28 -24

5x=-- ¢? x=-7 35

-4x=5 ¢? 5

x=--4

2x = -65 ¢? 65 x=--2

a c 3.109. Neka su dati racionalni brojevi - i -, a, b, c, dEZ, b"O, MO. Tada vrijedi:

b d a c ad+bc -+-==--b d bd

pa kako je ad+bcEZ, bdEZ i bd"O, to je tvrdnja dakazana. 3.110. Sve date racionalne brojeve dovesti na zajednicki nazivnik:

8100 1800 1500 2500 13500 1800 29700 1500 2700' 2700' 2700' 2700 ' - 2700 ' 2700' - 2700 ' - 2700 '

a zatim ih poredati po velicini brojnika: 29700 13500 1500 1800 1800 1500 2500 8100

- 2700 ' - 2700 ' - 2700 ' 2700 ' 2700 ' 2700 ' 2700' 2700 .

K ~ . ~ .' 11 5 500 2 200 5 25 3

onacnofJesenJeJe: - - -- -=~ - - . , , 900' 3 300' 9' 27 '

3.11l.a) Pet 3.112.a) 0,3

3.1 13.a) 0,5

b) Dvije b) 0,27

b) 0,2

c) Tri d) Sedam. c) 0,4 d) 0,04 e) 0,007

c) .'l. = 4:7 = 0,57142857142857 I 428571428 ... 7

d) 0,666666666... e) 1,36

3.114_a)05=.s....=~ b) 075='l2.=-'- c) 12=g=~ , 10 2 ' 100 4 ' 10 5

d) 425=425=!.~ e) 19= 19 , 100 4 ' 10

3 115 ) 4525 = 4525 = ~ b) 033333 1 . .a , 100 4 ' ... ='3

c) 2,454545 ... = 245 - 2 = 243 d) 523363636 ... = 52336 -523 51813 99 99' 9900 9900

3.1I6.a} 5,2+4,8=10 b) 0,9+11,13=12,03 c) 4,12-3,1+4,22=5,24

111

l.lI/.a) 5U b) 36,30 c) -4,6 3.118.a) 2,3·5,1=11,73 b) 11,7·6,18=72,306 c) 2815,584 3.119.a) 77,38812 b) 12,92918 c) 87,0937 3.120.a) 1,73913 b) 0,875 c) 7,9032258 3.12I.a) 28,03861 b) 164,54905 c) " ) 13,12628 3.122.a) \.7 - 6,35 : 6,5 +9,9 0,65: 6,5 + 9,9

(1'2:36+1'2:0,25-1~): 169 (g.-'-+I2i_~).~69 = 16 24 10 36 10 I 16' 24

0)+9,9 !O 10

(1 I 6 4 21) 169 (I 24 21) 24 8+1152-315 24

10 ']+5-1'-16:2=1 30 +5-16 '169 -2~'169

10 10 845 5 = 20. ~--.-

!O 169 10

b) (O,5:1'25+~:1*-~}3 G:~+~:¥-M3 (1,5+~}18~ G+~) 5:

( 1 4 7 7 3) ~2'5+5'U-JI ·3

6+1 3 -"-.-

4 55

(~+ 49 _3_).3 22+49-15. 3 56. 3 = 5 55 ~_l __ 55 55

7 3 21 21 56·3·220 56·4

21.55 -7-= 8-4 = 32.

4 55 220 220

3.123. [(~- ~~}1.25+(~- ~~}(O,358c-O'108)Jl,6- ~~ =

=[56-47_125 24-1~. ] 16 19_[9 5 7118 19 - + 025 .- --- . + . J 72 100 28" 10 25 72'4 28'45- 25 =

= [~.~+~ :-'-J.~_19 =[-'- + IJ. ~ -~ =~. ~ _ ~ =~ _ 19 _ 25 -8 5 4 4 5 25 10 5 25 10 5 25 25 25 - 25 - 1.

(13,75+9~)1'1,2 (6,8-32).52 3.124.a) ~_~_Ii _+ 5 6 -26~=

( 10,3 _s;!).2 l(3~ -3~). 56 6 2 9 3 6

(1375 + 55)_ 12 (68 _ 18)35 100 6 10 10 5 6 157

(!O3_17).~ +--7(C'Cll-_-19-+)-'5-'-6 6 10 2 9 3 6

(55 + 551.~ 34-18 35 4 6) 5 --5~'6 157

+ --= 103-85 5 22-19 6 --~~.- --·56

10 9 6

lV.J"'-11V v IV.J.J L.t J 1 0 I

2·5 = -+7= 12

~ 2 .

3.127·l20. 0,1 + (520.0,43): 0,26 -217· 2~JJ 31,5: 12~ + 114.2.1.+ 61.1. IJ=

. I l 5 3 2

=[ 2J520.~): ~-217. !2]_(~: 63 + 114.2 + 123)= ' L l 100 100 7 10 5 3 2

~[2 +(26. 43). 50 -31'17J-(315 .2 + 38.7 + !E.) = 5 13 10 63 2

=(2 + 860 - 527) -( % + 266 + 1~3) = 335 - (64 + 266) = 335-330 = 5.

f(3,2-1,7): 0,003 (1~ ,,1,5)- 1'51 1 3.128. i(32._~)'4' ? ( 14) 1 :62 20 +1,364:0,124=

i 35 7 .0,. 2,44+1--·-L ,25 8

rlf~3_17). 3 (33 3) 3 j =1;10 10 '1O~', 20'2 '2, : 1241 + 1364. 124_=

! (3.9_~)'4:'::_' (24~+ 39) . .1. 20 1000 '1000 ll35 7 10; 100 25 8

f ! 1~1000 33=30~ i [ L~ 1

=1_1_0_ 3___ 20 2 .~+.1!. = 500 - 20 2 J 20 129 - 15 .4.5 r.~+ 39).~ 1241 1 144 61+39~ '1241 +11 = '- 35 l25 .25 8 7 25 8

114

=[500 _ ~,j:.:1Q.+ll = [125 _ :oj,.3()..+ll = [125 _.2..] . .3()..+11= 8 lOO~ 1241 2 2. 1241 2 20 1241

~ 8 2

=~50-9 .~+1l = ~.'i..l. . ...3().+11= 1+11 = 12. 20 1241 20 1241

3.4. Realni brojevi ( R = QUI )

3.129. Svaki beskonacan, neperiodican, decimalan broj nazivase iraciona1an hroj. a

Takav broj ne mozemo napisati u obliku -, gdje su a i b cijeli brojevi. Skup svih b

iracionalnih brojeva oznacavamo sa I. Skup iracionalnih brojevaje beskonacan. 3.130. Aka posmatramo sve racionalne i sve iracionalne brojeve zajedno, kazemo da imarno realne brojeve. Dakle, skup realnih brojevaje unija skupa racionalnih i skupa iracionalnih brojeva (R = QuI).

3.131.

3.132.a) Ako bi .fi bio racionalan broj, tada bi postojala dva cijela, uzajamno

prosla broja p i q, za koje bi vrijedilo ..fi =.£.. Kvadriranjem se dobije: q

¢" p2 = 2q 2 => p2 je paron broj => p je paron.

Akoje p paran broj, tada postoji cijeli broj k za koji vrijedip=2k, pa uvrstavanjem u gornju jednakost dobije sec

(2k)' = 2q2 ¢" 4k' = 2q2 ¢" q2 = 2k2 => if' je paran hroj => q je paran hroj.

Vidimo da nas je pretpostavka da je .fi racionalan broj dovela do dva zakljucka: posloje <iva cgela broja pi q koji su u islo vrgeme uzajamno proSli i parni! Kako

je ovo posljednje nemoguce, to je neoddiva pretpostavka daje .fi racionalan broj,

Dakle, .fi nije racionalan. 3.133. 4,79 3.134. a+b = 9,73344. Manje aproksimacije su: 9, 9,7; 9,73; 9,733; 9,7334.

115

Mxa

3.135. a, b, CEQ =>

~>

,j-;; +Jb ~ c 1 ~···-.jb =dJ

~> 2'0~C+d} 2Jb ~c-d

~> Fa ~'!-:. d EQ). r, c-d -.jb~--EQ

2

4. ALGEBARSKI IZRAZI

4.1. Stepeni sa prirodnim izloziocem (eksponentom)

4.1. Ako su K0f!stantc i!i prornjenljive povezane znacirna matematickih operacija, kaer:-;:':' ,~J ~m,.rr:,.' izraz. IZf:lz je i sarno jedna konstanta iIi samo jedna prmmjenljivd. 1zraz nazlvarno aJgebarski aka se u njernu pojavljuju sarno algebarske operacije: sabiranje, oduzimanje, mnozenje, dijeljenje i stepenovanje.

4.2 .. a1=3., al)= Q·Q·a· ... ·a, nEN. ~

lJ [ok/ora

4.3.a) 2'-2·2·2 ~ 8 b) 5'- 125 c) (_2)2_4 d) (_3)4~81 e) (J3)2~3.

e) 0,0001 4.4.2) 121 b) 1000 c) 625 d) 0,001 4.5 . .&) 32.3 4=3 2+4 ::::::]6 b) 46 c) 5·53.5 5=5!+3+5=59 d) 10" e) 7"

d) a" e) x' d) a" e) x"

4.6.,,) a7 b) b7 c) x' 4.7.~) 45:4'-45~~4 b) 8' c) 1025

4.8:,.2.) ;/. a 4x :aJx = a~+4x.-3x = (3.2+x b) b 40

(0')' _ 032 2' b) 3' c) I ':20 ~ b) a'Oj c) b"

c) xS' d) x"

d) I e) 10" d) a" e) _x14

(100·5)' - j GO'.5] -I 000000 125~125000000 b) 1210000 0) 6400()0

4.12.&) 5'.2'-(S·2)'-102 -100 0) (10001'- 1000000

4. i3.a) (~j\" (f)' -(~~. r j ~)4 81 ~5 _ 5., ~2 16

b) 2'

d) 8000000000 b) 25'-44_(I00)'~ 100000000 d) 0,25 3 163 ~ (0,25·16»)- 43~ 64

b) 36 c) 216

c) !3.'..~(I2)" = (~)" 2" 8 2

i b

d) -- -- ~ 16'. 12." ·4" (12.4)" 3" 3

4.IS.a) 1 b) 8 c) 0

4.2. POL I N 0 1\1 I

3 4.16.a)

20 b) x"

4.2.1. Monomi. Sabiranje, oduzimallje i nlllozenje mOil om.

b) 11

4.18. Algebarski izraz u kome se pojavljuju sarno oper3cije mnoienje i stepenovaD.j'': nazivamo monom, Ceste kaZeme daje monomjednoclani algeharski izraz, 4,19. Svaki monom ima svoj koeficijent. To je konstanta koja se pojavlj L1

monomll. Glavna velicina monomaje dio manoma bez koeficijf::I1!::;, 4.20.a) Koeficijentje 6, giavna velicina axJ

.

b) Koefieijentje 37, g!avna velicina aSb.

e) Koeficijentje -124, gJavna velicinaje Xl\-I.

d) Koeficijentje 1, glavna velicinaje b1x"/. 4.21, Slicni monomi su oni monomi koji irnajt: jednake glavne vrijednosti. 4.22, Zbir svih eksponenata glavne vrijednosti monoma naztva se stepen tog monoma. 4.23.a) Stepen monomaje 3. b) 5 c) S ,. 4.24.a) Sx+llx - 16x b) 3ax+IOax - 13ax c) 10a'b 4.25.a) 4ax b) IOa4

, c) 2a'x' 4.26.a) -7a4

b b) 9a'b'c c) 4a'x'y' 4.27.a) -4axy b) 10a'x-8a2y 4.28.a) 8b'xy+3a'x 4.29.a) a2a3=aZ-d=a5 b) a8 c) al~

4.30.a) ah4+

1 = a9 b) XiS c) xH

4.31.a) a3+5bh2=a8b6 b) ai1xG c).a5x: S

4.32.a) ago b) a81\ c) XIOn

4.33.a) a5n- 1 b) a30,2 c) x~n.2

4.34,a) a7:a3= a7-'\;::a4 b) a3 c) a6

4-.35.a) a22 b4: allb3=a12-llb4+3=allb b) a4b4 ;;;) a/x

4.36.a) 15a5 b) _9ab 5x2 c) 6a5b2x 4 4.37,a) 6a'b5 b) _Sa6b5x5

c) 'S5a'b'xs 4.38.a) 21a'b'x' b) 24a5b'x' c) 15a"b'c'x'

d) 8 d) Sax'

d) I ~ a d) a7 f} d) I I n-~ 1 a d)

4n~0 a d) x'

4.39.a) x·5x3+2x3·4x+15x4=5x4+8x4+15x4=28x4 . '0) 24;)3bc

4.40.a) lOan-t-3+3a2+2°Aa3o b) 071allxl7yl3

4.1.2. fofinom u jednoj Vllrijllbli

4.41. Aka se U izrazu pojavljuje sarno jedna varijabta, recimo x, tada takav izraz nazivamo polinom. Polinom n'-tog stepena u varijabli X definiramo na s\jedeci natin:

11 n-\ 11-2+ o~'+ + 2...1.- ,...l.. P (X) = a x +a _IX +an_2X an_3X . .. alX , ajX, 3D II n n gdje su allO an_I, an_2, an_h ... , a2, a], <10, rna koji realni brojevi.

4.42. Polinorn koji irna sarno dva clana nazivamo binom. 4.43, Troclani polinom naziv~:no trinorn. 4.44. Stepen poIinoma je najvisi stepen njegovog clana. 4.45.a) Stepen polinoma (trinoma) 8x'-23x+54 je 2.

b) Stepeo triooma I Ix3-2Sx+44 je 3. c) Stepeo poliooma -2x'-I3x-x-5 je 5.

4.46.a) 0 b) 34 c) 61 . 4.47. Za dva poliooma ( ujedooj varijabli) kaiemo da su jedoaka ako imaju jedoake stepene i aka je koeficijent svakog clanajednog polinoma jednak odgovarajucem koeficijeotu drugog, tj. za dva poliooma Po(x) i Qm(x), gdjeje

n Tl-J+ o~2+ 1)-3..1.. L 2+ . . Pn(X) = anx +an_1X a".2x an_3X '". -ralX ajx'rCi{j I m bill-I b In-2 , b m~l+ +b 2+b +b

Qn/X) = blnx + m_!X + m.2X "T m_3X ,.. ~x IX 0,

vrijedi: PII(x) = Qm(X), ako i samo ako vrijedi: I) o~m 2) Ci{j= bo, al= bl. ai== b2, a3= b3, <l.j= b4 , ... , an'- bn.

4.48.a) m ~ -2 b) m = -5 4.49.a) m = 2 b) m = 3 4.50~a) In = -10 b) m = 4 4.51.a) 3 b) II 4~S2.a) 3x4+14x3+5x2-6x-15 b) 2x'_6x

4+5x

l_2x'+llx+3

4,53,a) 3x4+x3_5x2+x+4 b) X4+2x3+X2+2x 4.54.a) (_9x'+5x_41)+(14x2-4x+40)-(-2x' -3x+ 3)=

= -9x2+5x-41 + 14x2-4x+40+2x'+3x-3 = 7x'+4x-4. b) (3x'+2x'-4x+ I )+(xJ+5x4_6x+4x'+5x_I)_(3x'_x'_x+ 11)=

= 3x4+2x2_4x+ 1 +x3+5i_6x+4x2+5x_1_3x3+x2+x_ll = 8x4.2x3+7x2 -4x-11.

c) 5x4-5x'-lOx'+IOx+1. el) x'-llx'+5x'-4x'+17x+61.

4.2.3. Sabiranje, oduzimanje i mflozenje polifloma

4.55.a) P,(X)+Q4(X) = (_3x3+4x2+5x_1 )+(2x'-x'+5x'+9) = ::;;; _3x3+4x2+5x_1 +2x4.x3+5x2+9 = 2x4-4x3+9x2+5x+8.

b) P,(x)+Q,(x) = (IIx'+3x-8)+(x' -4x'+2x1+3x'+ 16) = = Ilx2+3x_8+x5_4x4+2x3+3x2+16;;;;:: x5_4x4+2x3+14x2+3x+8.

Q 4 'J 7 4 3 3 ' ? - 4 3 1+ '+4 + 13 c) P4(x)+ ,(x)=-4x+x-2x-+4x+II+5x-4x+ x+_-x- X x x . d) P4(X)+Ql(X) = 8x4_2x'+x2+x_3+ 7x'+4x'-2x+4 = 8x

4+5x

1+5x' -x+ I.

4.56.a) 4.57.a) 4.59.a)

4x'+8x+3 b) 2x'+10x+8 6x

l-4x'+3x-6 b) 6x' -2x'+3x+38 4.58.5x6+11x'-x4-2x' +x'+Jx+12

P1(X)-Q4(X) = (-3xJ+4x'+5x+7)_(x'_xJ+2x2+ 1)= = -3x3+4x'+5x+ 7_x'+x' -2x' -1= -x'-2xJ+2x2+5x+6.

b) P2(X)-Q5(X) = (4x'+3x-5)-(2x5-x'+3x'+2x'+6)= = 4X

2+3X_5_2X:5+X4_3X3 _2X2 -6=-2x5+x4-3x3+2x2+3x_II. c) P,(x) - Q4(X)= 3X'~8X2+X-7. d) P,(x)-Q,(x)= 2x'+6x3-x'+3x+2

4.60.a) 2x;-x+26 b) 5x'-2x-l 4.61.a) 3x'+3x'+6x+4 b) -3X'+7x'+x~2 4.62. 4x +20x5-10x4+6x3+2x2+x_1. 4.63~a) P(x)+Q(x) = 2x'-x2+1Ix_l, P(x)-Q(x) = 2x' -5x2+3x+3

b) P(x)+Q(x) = 5x' -3x'-3x-l, P(x)-Q(x) = 3x' -x'-9x+9 c) P(x)+Q(x) '" 5x4_5x'+4x2+8x_4, P(x)-Q(x) = x'-3x3+4x'

4.64.a) (x-3)-(2x+ I) = 2x'+x-6x-3 = 2x2-5x-3. b) (6x+I)-(4x-3) = 24x'-18x+4x-3 = 24x'-14x-3.

4.65.a) x'-9 b) 4x2-25 4.66.a) 15x'+IOx2+20x 4.67.a) 3x' +7x2_x_I b) -2x' +7x'+x-IS

b) -SX'+4X'_2x'

4.68~a) 3x'-7xJ -7x'+4x-3 b) 6x'-x'+7x2-12x+4 4.69.a) (x'+2x-l )·(x' -x+ I) = x'·(x'-x+ 1)+ 2x·(x' -x+ 1 )_1-(x2 -x+ 1)=

= X4

_X3+x1+2x3 -2x1+2x-x2+x_1 = x4

+X3 -2x2+3x_ L b) (-x'+2x+3}(X2_2x+3) = -x4+4x'-4x'+9.

4.70~a) -x'+5x'+3x'-8x'-2x+3 4.7I.a) x'+x'+2x' -x+ I 4.72.a) 4x6+4x'-9x'+ 13x' -9x2-8x+5

b) 8x'+4x'+18x' +6x'-5x-lO b) 3x6-4x'+3x'-2x' -2x'_x+3 b) 3x'+5x'-4x' +15x2-5x+4

4.73.a) P(x}Q(x) = (-x3+4x'+5x-I).2x' = _2x7+8x'+ I Ox'_2x4

b) P(x}Q(x) = -4x7_2x6+6x'. c) P(x)-Q(x) = -33x7+llx6-IIx'+44x'+55x3

d) P(x)-Q(x) = 2x7_4x6+2x'+4x4_2x3

4.74.a) P(x)·Q(x) = -6x'-13x'+24x1+I8x2-25x+6 b) P(x)·Q(x) = -6x'_14x3+ 12x'+ I Ox-6. c) P(x)·Q(x) = -3x'-14x'+16x4-5x1+29x'+9x-20. d) P(x)·Q(x) = 4x'+4x'+9x'-6x' -2x'-IIx+6.

4.75. Rezullal: P(x) =2x2-3x+5. 4.76. Rezultat: f(x+ I) = 3(x+ 1)'+ 12(x+ I )-1 =3x'+ 18x+ 14. 4.77. Rezullat: [(x) = 2x2+7x-I5.

4.78. f(x-2)=xJ+8x'-12x+3 = (x'-6x2+12x-8)+6x'-12x+8+8x2-12x+3 = = (x'-6x'+ 12x-8)+ 14x'-24x+ II = (x'-6x'+ 12x-8)+ 14(x2-4x+4)-32x-45 ~ = (X_2)'+ 14(x-2)'-32(x-2)-1 09 => [(x) = X'+ 14x'-32x-1 09.

119

4.2.4. Dijeljelljepolilloma. Nllle polilloma. BeZOlllova leorema. HomerfWIJ sltema

4.79. Poznat namje postupak dijeljenja dva prirodna broja, na primjer, 17:5 ~ 3 i ostatakje 2. Kolicnik ovog dijeljenjaje 3, a ostatakje2 sto se moze napisati ovako: 17~5.J+2. Sliean postupak se koristi za dijeljenje dva polinoma. Ako polinom A(x) dijelimo sa polin<>mom B(x), potrebno je odrediti dva nova polinoma od kojih je jedan kolicnik Q(:o::}, a drugi ostatak R(x), tako da vrijedi:

A(x) ~ B(x)·Q(x)+R(x). Ako za polinom Ri!x) vrijedi R(x) ~ 0, tada se kaze da je polinom A(x) djeljiv sa polinomom B(x). Stepen polinoma R(x)je uvijek manji od stepena polinoma B(x).

a) U datom zad~u je A(x) ~ x2+4x_5 i B(x) ~ x-I.

Odredimo poiilOOme Q(x) i R(x) tako da vrijedi: A(x) = B(x)-Q(x)+R(x) .

A(x): (x'+4x-5):(x-l) = x+5 -(x'-x)

A,(x): 5x-5 -(5x-5)

: A,(x) ~ R(x) = 0 b) R(x) ~ 0, Q(x) ~ 2x+5.

4.80.a) Q(x) ~ 4xH 4.81.a) Q(x) ~ 8,'+39x+ 198, R(x) = 989

, Q(x) ~ x+5.

b) Q(x)~6x'-2x+3 b) -3x'-8x3-15x'-3Ix-62, (-123)

4.82.a) Neka je A(x) "'" x4+xJ _3x 2 -4x+ 1 i B(x) = x2 -x+2. Treba odrediti polinome Q(x) i R(x1 tako da vrijedi A(x) ~ B(x)·Q(x)+R(x):

A(x): (x'+x3-3,,2-4x+ I ):(x'-x+2) ~ x'+2x-3 ( "'~4 -X-X+LN:,t

A,(x): 2x3 _5,,2-4X+ I _(2x3 -2,.;',*4x)

A,(x): -3x' -i'x+ I -(-3x2"-3x-6)

Al(x) ~ R(x): -llx+7. Q(x) ~ x'+2x-3, R(x) ~ -11x+7.

b) (x6_3x3+5):(x'_2) = x'+2x'-3x+4, R(x) ~ -6x+ 13. Rezufm: Q(x) = x'+2x2-3x+4, R(x) ~ -6x+13.

4.83.a) 3x'+2x2-li b) 2x4-3x3+x'-x+ I

120

- - 200°3 4.80. A(x) ~ Q(x)B(x)+Rlx) ~> x + x-II ~ (xt I )Q(x) + c , c=konst. Posljednja jednakost vrijedi za s\ aku vrijednost varijablci x, pa vrijedi i za x = -I , odakle se dobije: 1-3-11 ~ c ~> e ~ -13. Ostatakje -13. 4.86. Rezultat: R(x) = 101 4.87. Rezultat: R(x) = -56x+60.

4.88. Aka polinom A(x) = 30xll+aiXn-l+a2xll-:.'+aJxn-3+ ... +an.lx1+an

podijelimo polinomom B(x) = X-CL, dobicemo polinom Q(x) '= boxn-l+blXn-2·,b>\.,,·3+0jXll-..j+ ... +bn_2x

1+bn_! 'j ostatak rex) tako da vrijedi A(x) = (x-a)Q(x) + rex). 7,: koeiicijente polinoma Q(x) vrijedi:

bo~ "" bl = abo+al b2 = abj+az b3 = abZ+a3

bu_! = abn_2+a ll _l

r = CLbn_1 +an.

Odredivanje koeficijenata kolicnika maze se zgodno vrsiti koristenjem slijedece, Homerove sheme"

I 3;, a, a, .. ' an_! a"

I ao abo + ill ubi + a2

... abn _ 2 + G n _ 1 abn_! + an G.

~ '-----'v-~ ~ '-----------' ~ bO hi b2 bn-l .1 r

- .. PnrnlJen!mO ovo na nas konkretnl zadatak.

3

4.89. 4.90.

4.91. 4.92.

~ 13h~~11 31;:4~29 3'~!+11~98 Taka SOlO dobili 'kolicnik Q(x)~3x + Ilx +29x'+98x+294

Rezultat: Q(x) = x3-x'+3x-8, A(x) = x4+8x3 -x+ 11,

I 1-5'1+~-3 -5.3+~--15

R(x)=-3. B(x) ~ x+5.

-I -5·(-15)-1-74

Rezultat: Q(x) - x'+3x'-15x+74, R(x) -359.

Rezultat: Q(x) ~ ,4+X3+2x'+7x+24, R(x) = 47.

II -5·74+11- -359

Rezultat: Q(x) = x'_4x5+ 16x4-64x'+257x'-1 027x+41 06, R(x) ~ -16418.

4.93. R {jesen'e: Kako ~(x) = (x-2)Q x) + R(x), to 'e P(2) ~ Rf21.J:0 vri' edi: I 4 I 2 -12' 4 --

I 2 ~J~4+2-IO 2·\0-12-8 2·8+4 10 -. , ,-

121

4.94. P(-l)= 16. 4.95. P(4) = -1957. 4.96. Ako je P(x) = A(x+2)4+B(x+2)'+C(x+2j'+D(x+2) + E, uoeavarno daje

E '" fC-ll. Posrnatrajrno, sada, koiicnik poiinoma P(x) i (x+Z): P(x). E -- =A(x+2) + R(x+2)' + C(x+ 2) + D +--. x+2 x+2

Nekaje S(,,) = A(x+2)'+B(x+2)'+C(x+2)+D . Za kaeficijent D vrijedi D = S(-2). Nastavirna dalje avaj postupak! Podijelimo Sex) sa x+2:

Sex) 2 D -- =A(x+ 2) + B(x+ 2) +C +--. x+2 x+2

Aka je T(x) = A(x+2)'+B(x+2)+C, tadaje C=T(-2). Dijeljenjem polinoma T(x) sa

x+2, dobijarno: T(x) =A(x + 2) + B + ~, pa ako je U(x) = A(x+2)+B , x+2 x+2

zakljucujerrnodaje B=U(-2). Na kraju, iz V(x)=A, dobija se A=V(-2).

Svi ovi zakijueci, kao i odgovarajuca racunanja, mogu se zgodno predstaviti u slijedecem euu Homerovih shema:

I 4 2 -I 5 I -2 I 4 -6 II -17 5 ·2 i 4 -14 39 -95 ·2 i 4 -22 83 ·2 I 4

.'. ·30

-2 I 4 .. Traieni koeficijenti su u posljednjem polju svakog reda. Taka sma dobili:

P(X} = 4(x+ 2)4. 30(x+ 2)3+83 (x+ 2)' -95(x+2 )+50. 4.97. Rezulta!: P(x)= (x+lj'+3(x+l)'+(x+l)+ I. 4.98. Rezultat: Pix) = 2(x+l)' - 3(x+l)' - 2(x+1) + 9. 4.99. RemRm!:· P(x)='(X+3)4+14(x+3)'-76(x+3)'+ 188(x+3)-I78. 4.100. Remltat: Pix) = 2(x_2)5+ 18(x-2)' +6 I (x-2)' +98(x.2)' + 76(x-2) +29. 4.1 0 I. P(x) =(x-4)'+22(x-4)5+ I 99(x-4)4+948(x-4)3+2523(x-4)' + 3607(x-4)+2212.

, 4.102. Podijdimo A(x):B(x) = (x' +x' _ x-I ):(X3 - x' _ x + 1)= I

±X3+ Xl+X±1

Pudijelimo

R,(x) = 2x' ~ 2.

B(x):R,(x) = (x'. x' - x+ 1)(2,,' - 2) = ..t. x 2

R,(x) '" -x' + I

Podijelimo II [(x) : R,(x) = (2x' ~ 2):(-x' + 1) =-2 ±2X2 +2

Rlx) = O. Dakle, NZM(A, B) = RoCx) = -x' + 1.

4.103. Rezulta\.: NZM(A, B)=x' + L 4.104. Rezultat: NZM\A, B) = x+ 1. 4.105. Rezultat: NZM,A, B) = L 4.106. Prema Bezoutovoj teoremi j>~; Broj a je nula po!inoma P(x) aka i sarno aka je polinom P(x) djeljiv po!'.omcll1 G(x) = x-a. Prema Hornerovoj shemi \postupku) odredicemo kolicnik polinoma P(x) polinomom G(x) = x·2 i pokazati daje ostarak ovog dijeljenjajednak nuli. To ce znatiti daje P(x) djeUivo sa G(x), odnosno P(x) = (x-2)G(x), paje P(2) = O.

·9 :··~····I 2 2 I 4 -I

P(x) ~ (x-2lG(x) ~> pel) ~ o. 4. I 07 r ''--_.-_

hi: T .-;-.2;-1 _L---=:;~~---"-'~_.LllJ Pix) ~ (x+3)Q(x) ~> P(-3) ~ O.

4.108.

I -4 I u ~ :; -~ : -3 En -7 P(x) - (x+4)Q(x) ~> peA) - o.

4.109. Zajednicke nu!e datih polinoma su nule polinorna koji je njihova najveca zajednicka mjera. Odredimo najvecu zajednicku mjeru datih polilloma: A(x):B(x) = (x' + 2x ~ 3):( x'· 6x + 5)= I

±x' +6x± 5

(8x - 8) , I 5

(x - 6x + 5 ):( 8x - 8) = ~ x --

-5x + 5 +5x± 5

8 8

(0) NZM(A, B) = 8x-8 => x = I je zajednicka nul a polinoma. 4.110. Rezultat: Zajednicke nule so x = -I, x = ·2.

2 1 ) J J 4.lll.a) a +14a+49 b) 4a +12a+9 c) 16x-+40x+25 d) 1-16ax+64a-x-. 4.112.a) a'-6a+9 b) 9a'·6a+1 c) x'·10x+25 d) 4a'-4ax+x2

4.113.a) 4a'+12ab+9b' b) 9a'-30a)(+25x' c) 64x'+48x+90' d) 36a'x'-60abx+25b2

123

:i

4.114-'1\) a'+3a'+3a+1 b) 8+12a+6a'+a3

d) 1-6x+12x'-8x3 <ol 64x'+144x'+108x+27

4.115-'1\) a'-6a'+12a-8 b) 27a'-27a'+9a·l c) 12Sx'-ISOx'+60x-8 d) Sy'-60xy+150x'y-125x]

4.116_3) 27a'+108a'b+144ab'+64bJ b) 64aJ-240a'x+300ax'_12Sx' ,,} 8a'xJ-36a'x'+S4ax-27 d) a'-6abc+l2ab'c'-8b'c'.

~]:Al (a+b+l)'~ a'+b'+1+2ab+2a+2b oj (2a-b+ 3)' ~ (2a)'+( -b )'+(3)' -4ab+ 123-6b ~ 4a'+b'+9-4ab+ 12a-6b. c) (3x+2y-4J' ~(3x)'+(2y)'+(4)'+ 12xy-24x-16r 9x'+4y'+ 16+ 12xy-24x-16y.

4.118:..aJ (3a-2b+c)' ~ (3a)'+( -2b )'+( c)' -12ab+6ac-4bc ~ 9a'+4b'+c' -12ab+6ac-4bc b) (a+4b+3c)' ~ a'+( 4b )'+(3c )'+8ab+6ac+ 24bc ~

~ a'+ 16b'+9c'+8ab+6ac+ 24bc. IC) (2ax-3y+2a)' ~ (2ax)'+(3y)'+(2a)'-12axy+8a'x-12ay ~

~ 4a'x'+9y'+4a'-12axy+8a'x-12ay. 4.119-,,) (2a+b-I)' ~ (2a+b-l )'(2a+b-l) ~ (4a'+b'+ 1 +4abAa-2b )(2a+b-l)~

= 8a'+ 2b'+2+8ab-8a-4b+4a'b+bJ+b+4ab' Aab-2b' -4a' -b' -1-4ab+4a+ 2b~ ~ Sa'b+bJ+4a'-b'-4a-b+ I.

. b) (a-3b+ 3 x)' = a'-27bJ +27x'+27ab'+27ax'-9a'b+9a'x-36abx+SI b'x-SI bx2

c} (Sx-y-4ab)'= ~ 12Sx'-y' -64a'b'+ I Sxy'+240a'b'x-75x'y-2 I Oabx'+ 120abxy-I2aby'-4Sa'b' y.

4.120. l'olinom P(x) mozemo napisati u obliku l'(x) = x(x-I)(x'+ I )(x'+x+ 1)+ I, edakle vidimo da je za x;, I i za xo;O uvijck

P(x»@. Ako polinom P(x) napisemo u obliku P(x) ~ X 12+( I-x)(]+x'( I+x+x'+x'+x"», zakljucujemo daje z.a O<x<] uvijek P(x»O.

Dakle, polinom P(x) je pozitivan za svaki realan broj x.

4.12 L Nekaje x'+ax3+bx'-Sx+ I = (x'+cx+ I)' . K vadrirajrno polinom na desnoj strani jednakosti i uporedimo koeficijente:

x4+ax?+bx2-8x+l = x4+2cx3+(c1+2)x1 + 2ex +1 2c ~ -S, a ~ 2e, b = e2+2 ~>

=> c=-4, a=-8, b~ 18. 7 49

4.122. Rezultat: a~ 8' b= 64

4.123. Rezultat: a(a+I)(a+2)(a+3)+1 ~ (a'+3a+l)'. 4.124 .. Neka vrijedi:

124

x"+x+90 = (x'-x+a)q(x), gdje je q(x) polinom sa cijelirn koeficijentima. Za x~O,x= 1 i x=-I,dobijese:

90 = a q(O) 92 = a q(l) 88~(a+2)q(-I)

I b

, IUIlHV ua. '-'IJ\..II UIVJ a IIIUId. UIL! uJeliiaC 00 'IV r YL, a Izraz ai'L mora DIU

djelilac od SS. Navedene uvjete ispunjavaju dvije vrijednosti i to a = -I i a = 2. Za a = -1 , trinom x

1-x-1 ima pozitivllu nulu, pa kako trinom XU + X + 90 nema

pozitivnih nula, to moze' bitt sarno a=2. Zaista je: x" + x + 90 ~

~ (x' - x + 2)(xll

+ x lO_x'_3x'- x'+ 5x'+7x'-3x4-17x' -lIx' + 23x + 4S).

4.2.5. Rastavljanje polinoma Jta proste faktore (Ciltioee, Cimbenike)

4.12S.a) 6a'b3x' = 2·3·a·a·a·a·b·b·b·x·x b) 9a5b'c5 ~ 3·3·a·a·a·a·a·b·b·b·b·c·c·c.c.e c) 14b'c'x = 2·7·b·b·b·b·c·c·c·x

4.I26.a) 26a'b'x' = 2·I3·a·a·b·b·b·b·x-x·x. b) -2·2aaaabbcccccc c) -2·Saaaaaabbbbcecccccc

4.127.a) 2x+2y = 2(x+y) b) 3x-3y ~ 3(x-y) c) 2ax+2ay = 2a(x+y) 4.12S.a) I4a-7ab=7a(2-b) b) 12x+12y+12z= 12(x+y+z)

c) Sx+5a+5b ~ S(x+a+b) 4.129.a) 4a+4b+Sc = 4(a+b+2c) b) 6ab+)2ac = 6a(b+2c).

c) I Oa2 -Sab+ 20a ~ 5a(2a-b+4) 4.130.a) 13a'+26b'-S2 ~ 13(a'+2b'A) 4.l3l.a) 22a'x-ll b2x+44x ~ lIx(2a'-b' +4) 4.132.a) ISa'b'-1 Oa'b+ 20a' ~ Sa' (3ab2_2b+4)

b) Sa' b-16ab+24a = 8a(ab-2b+3) b) Sax-4ax'+ I6ax' ~ 4ax(2-x+4x')

b) 9a'x'-12a'x'+27a'x ~ 3a'x(3a2x-4x'+9a). 4.133.a) a(a+b)+x(a+b) = (a+x)(a+b) b) 3(x-y)+a(x-y) = (3+a)(x-y)

cJ 1 Ia(a-x)-3(a-x) ~ (lla-3)(a-x).

c) a(x-I)+2(x-l) = (a+2)(x-l) 4.134.a) (2a-1 )x+(2a-l)y = (2a-1 )(x+y)

b) (4x+3)a-(4x+3)b ~ (4x+3)(a-b) 4.13S.a) b(a-I)+(a-I) = (b+ I)(a-l) b) (4x+3)-a(4x+3) = (l-a)(4x+3)

c) a(x-y)+(x-y) = (a+I)(x-y). 4.136.a) a(x+y+ I)+b(x+y+ I)-c(x+y+ 1) ~ (a+b-c)(x+y+ I)

b) a(a+b-c)-b(a+b-c)-e(a+b-c) = (a-b-c)(a+b-c)

4.137.a) (a+b)(a+b-c)+(a+b)(2a+b) = (a+b)(a+b-c+2a+b) ~ (a+b)(3a+2b-c) b) (x-3)(2a+b)+(x-3)(x+ 1) ~ (x-3)(2a+b+x+I).

4.138.a) 3y(a-2b)+7a(a-2b)-(a-2b) ~ (3y+7a-I)(a-2b) b) a(2a+b )+b(2a+b )+(2a+b) = (a+b+ 1 )(2a+b).

4.139.a) b(a-I)+(I-a) = b(a-I)-(a-I) ~ (b-I)(a-I). b) (x-3)-a(3-x) = (x-3)+a(x-3) ~ (I +a)(x-3). c) 5(x-y)+x(y-x) =S(x-y)-x(x-y) ~ (5-x)(x-y).

4.140.a) 5a(m-n)-m+n = 5a(m-n)-(m-n) ~ (5a-I)(m-n). b) a(x+y)-x-y ~ a(x+y)-(x+y) = (a-I)(x+y). c) a(x-y)+bx-by = a(x-y)+b(x-y) ~ (a'rb)(x-y),

125

4.14 La) ax+bx-ay-by ~ x(a+b)-y(a+b) ~ (x-y)(a+b). b) Dati polinom napisimo u drugorn obliku"_

ax-by+bx-ay = ax-ay+b.x-Ly. PITa dva ~Iana polinotM imaju znjednicki faUar a, a druga dva I:lana b. lata mazemo pisati

ax-by+bx-ay ~ ax-ay+bx-by ~ a(x-y) + b(x-) ~ (a+b)(x-y). 4.142.a) 4a-4b+ax-bx ~ 4(a-b)-x(a-b) ~ (4-x)(a-b),

b) ac+be+a2+ab ~ c(a+b)+a(a+b) ~ (c+a)(a+b), e) x2+xy+ax+ay ~ x(x+y)+a(x+y) ~ (x+a)(x+y).

4.143.a) xy-y-y+1 = (xy-x)-(y-I) ~ x(y-l)-(y-l) ~ (x-l)(y-l). b) ax-ay+by-bx ~ a(x-y)-b(x-y) ~ (a-b)(x-y), e) ab-ac-cd+bd ~ a(b-c)+d(b-c) ~ (a+d)(b-c).

4.144.a) a'-ab-5a+5b ~ a(a-b)-S(a-b) ~ (a-5)(a-b). , b) 2ax-7by-7ay+2bx ~ 2ax+2bx-7ay-7by ~ 2x(a+b)-7y(a+b)~(2x-7y)(aTb), c) a'-3b-3a+ab= a'+ab-3a-3b ~ a(a+b)-3(a+b) ~ (a-3)(a+b).

4.145.a) ax2-bx'-bx+ax-a+b = (a-b)x2+x(a-b)-(a-b) = (x'+x-l lea-b). b) 15ax'-30ax-bx+2b-x+2 ~15ax(x-2)-b(x-2)-(x-2) ~ (15ax-b-1)(x-2).

4.146.a) a4+a3_a'_a ~ a(al+a'-ne1) = a[(a3_a)+(a'_I)] ~ , ~ a[a(a'-I)+(a2-1») ~ a(a'-I)(a+l) =a(a+I)(a-I).

~ .. ~b) (ax-b)(ax'+2x+l) ; Gf.14~ a'+a-6 ~ a'+ 3a-2a-6 = (a'+3a)-(2a+6) ~ a(a+3)-2(a+ 3)~ (a+3)(a-2).

b) x'-Sx+6 = x'-3x-2x+6 = x(x-3)-2(x-3) = (x-2)(x-3). a2+8a+IS ~ a'+5a+3a+15 = a(a+S)+3(a+5) ~ (a+3)(a+5).

(4.i4J)a\ a2+4a-21 = a'+7a-3a-21 = a(a+7)-3(a+7) ~ (a-3)(a+7). '~I by a'-a-12 ~ a'-4a+3a-12 ~ a(a-4)+3(a-4) ~ (a+3)(a-4).

\"g) a'-lla+24 = a'-3a-8a'!-24 = a(a-3)-8(a-3) = (a-8)(a-3).

4,149,a) 2a'+5a-3 = 2a'+6a-a-3 ~ 2a(a+3)-(a+3) = (2a-l)(a+3). b) 3,'-a-2 = 3a'+2a-3a-2 = a(3a+2)-(3a+2) = (a-I)(3a+2), c) -2a'-a+l0 = _2a2_5a+4a+10 ~ -a(2a+5)+2(2a+5) = (2a+5)(2-a)

4.150.a) a'-25 , = a'-5' = (a,5)(a+5) 4.1S1.a) 16-2Sx' = 4' -(Sx)' = (4-5x)( 4+Sx).

b) 9x'-1 = (3x)'_1 2= (3"'-I)(3x+I). d) 9x' -4y' = (3xJ'-(2y)'d (3x-2y)(3x+2y).

4.152.a) (a-b)' -1 =(a-b)' _I' = (a-b-I)( a-b+ I). c) (a-I-8x)(a-1 +8x)

4.153.a) 2a'-50 = 2(a'-25) = 2(a'_52) = 2(a-S)(a+S). b) 7x'-28 = 7(X2_4) = 7(x'-2') = 7(x-2)(x+2). c) 5-12Sa2 = 5(1-2Sa:) ='S(I-5a)(1+5a) d) 5x'-80 = S(x'-16) =5(x-4)(x+4).

4.154,a) 5x'-20xy' = 5x(x'-4y') = Sx(x-2y)(x+2y) b) 2a'x'-8a'= 2a'(x'-4)=2a'(x-2)(x+2) c) 6ax'-150a'= 6a(x'-2Sa') = 6a(x-Sa)(x+Sa) d) a'bx'-4a'b ~ a2b(x'-4) = a'b(x-2)(x+2).

126

c) l-o'=I'-a'=(1-a)(I+a).

b) (3-a-x)(3+a+x) d) (4a-x+3)( 4a+x-3)

4.15S.a) x'-I = (x'/-I'= (x'-I)(x'+I) =(x-I) (x+I) (x'+I) b) a'-I

46 = (a

2)2-4'= (a

2-4)(a'+4) = (a'-2') (a'+4) = (a-2)(a+2)(a'+4),

c) 81x -I ~(9x')'-I'=(9x'-I)(9x'+I) = (3x-I)(3x+I)(9x'+I). d) I6a'x

4-81a' = a'(16x'-81) = a2( 4)('_9)( 4x'+9) ~ a'(2x-3)(2x+3)(4x'+9).

4.156 a) a'-b'= (a')'-{b')'= (a'-b')(a'+b') = (a'-b')(a'+b')(a'+b') =

= (a-b)(a+b) (a'+b')(a'+b4). "

b) 62Sx4-1 = (25x'), _I' = (2Sx'-1 )(2Sx'+ 1) = (5x-1 )(Sx+ I )(2Sx'+ I). c) 144a' -62Sx4 = (12a)' -(2Sx')' = (12a-25x')( 12a+2Sx'). d) 32a 'x' -2x'b' = 2x'( a 4_ b 4) = 2X'( a2_b')(a'+b2) = 2x'( a-b )(a+b )(a2+b').

4.IS7.a) (x+±)' -~=(x+H -(H=(x+~-HX+~+%)=(X-I)(X+2)'

b) (3X-~r -~~ =(3X-~J -(;)' =(3x-~-;X3X-~+~}(3x-H3x+n c) (sa-U -(a-±J=(5a-F(a-~)X5a-%+Q-~)=(4a-~}6Q-I)

4.IS8.a) o'+2a+l = (a+I)' c) a'-8a+16 ~ (a-4)'

4.159.a) x'+I Ox+2S = x'+2·x·5+5' ~ (x+5)(x+S). b) x'-12x+36 = x2-2·x·6+6' ~ (x-6)(x-6). c) x'+14x+49 = x'+2·x·7+7' = (x+7)(x+7). d) x2_24x+ 144 = x'-2·x·12+ 12' = (x-12)(x-12).

b) x'+6x+9 = Cx+3)' d) b'-6b+9 = (b-3)'

4.160.a) 9a'-12a+4 = (3a)'-2·3a·2+2' = (3a-2)(3a-2) = (x-I 2)'. b) 4a'+20a+25 = (2a)'+2·2a,5+5' = (2a+S)(2a+5). c) 49-70a+25a' = 72_2·7·(5a)+(5a)' = (7-5a)(7-5a). d) I +20a+ 100a' = 1'+2'1-(IOa)+(1 Oa)' ~ (I + I Oa)(I+ lOa),

4.16I.a) 4a'+20ab+25b' = (2a)2+2.(2a)·(Sb)+(5bJ' = (2a+5b)(2a+Sb). b) 4x'+6xy+9y' = (2x)'+2-(2x).(3y)+(3y)' = (2x+3y)(2x+3y). c) 16a'-S6ab+49b' =(4a)'-2·(4a)·(7b)+(7bJ' ~ (4a-7b)(4a-7b).

4.162.a) 8x'-40x+50 = 2( 4x2-20x+2S) = 2[(2x)'-2.2x·5+5'] = 2(2x-S)(2x-5). b) (a+b)'+6(a+b)+9 = (a+b)'+2·(a+b)·3+32~ (a+b+3)(a+b+3). c) 9a' -6a(b-c )+(b-c)' = (3 a)' -2·3a·(b-c )+(b-c)' = (3a-b+c )(3a-b+c).

4.163. Za kub binoma vrijedi: (a+bJ' ~ (a+b)'(a+b) = (a'+2ab+b')(a+b) = a'+a'b+2a'b+2ab'+ab'+b' =

= a'+3a'b+3ab'+b', odnosno, (a_b)' ~ (a-b)'(a-b) = (a'-2ab+b')(a-b) = a3-a'b-2a'b+2ab'+ab'-b' =

= a3_3a'b+3ab'_b3, "

sto nam pokazuje da se izrazi oblika A3+3A'B+3AB'+B3 A3_3A'B+3AB'_B3

127

1l1UgU ra~laVLU lid Ja1'<.c'-" ...... ' ,_ ..... ~''J .... '-''.

A'+3A' B+3AB'+B'= (A+B)(A+B)(A+B) = (.\-'B)', A'_3A' B+3AB'-B' = (A-B)(A-B)(A-B) = (A_B)'

a) 8,,'+12,,'+6)[+1 = (2x)'+3-(2x)'-1+3'(2x}12+I'= = (2x+ I )(2x+ I )(2x+ I) = (2x+ 1)'-

b) 1+1Sx+7Sx'+125x' = 1'+3.1'-(Sx)+3·1.(5x)'+(5x)' = (l+5x)'-4.164.a) a' -3a'+3a-1 = a' -3a'·I'+3a·I' _I' = (a-I)(a-I )(a-') = (a-I J'.

b) 1+15x+75x'+ 125x' = 1'+3.1'-(5x)+3·1.(5x)'+(5x)' = (I +5x)'.

4.16S.a) 8a' -12a'+6a-1 = (2a), -I) -12a'+6a = (2a-I)( 4a'+ 2a+ I )-6a(2a-l) = _ = (2a-I)( 4a'+ 2a+ 1-6a) = (2a-I)( 4a' -4a+ I) = (2a-1 )(2a-I)' = (2a-1 J'.

b) x'-6x'+ 12x-8 = x' -3·x'-2+3·)[·2'-2' = (x-2)'-

4.166.a) b)

a'_12a'b+48ab'-64b' = a'-3.a'·b+3·a·( 4b)'-( 4b») = (a-4b)'. 27a)-1 08a'b+ 144ab' -64b' =

= (3a)'-3·(3a)'·( 4b)+ 3 ·(3a)-( 4b)' -( 4b)' = (3a-4b)' .

4. 1 67.a) b)

27x'+27x'y+9xy'+y' = (3xl'+3·(3x)'·y+ 3.(3x).y'+y' = (3x+y)'. 12Sa'+ 300a'b+ 240ab'+64b' =

= (5a)'+ 3 ·(Sa)'.( 4b)+ 3.( Sa) .( 4b )'+( 4b)' = (5a+4b)'.

4.168.a) a'+b' = a'+b'+a'b-a'b+ab'-ab' = (a'-a'b+ab')+(a'b-ab'+b) = = a(a'-ab+b')+b(a'-ab+b') = (a+b)(a'-ab+b').

Tako smo dosli do formule koja pokazuje kako se zbir kubova dva izraza rastavlja na faktore: a'+b' = (a+b)(a'-ab+b').

b) Naanalogan nacin,kao pod a), dolazimo do formule: . a)-b) = (a-b)(a'+ab+b'l,

ko)' om se razlika kubova rastavlja na faktore. 22 " 22

c) x'+y' = (x+y)(x -xy+y ) d) x'-y = (x+y)(x -xy+y ).

4.169.a) a'+8 = a'+2' = (a+2)(a'-2a+4) c) a'+64=a3+4'=(a+4)(a'-4a+16)

. . b) x'+27 '" x)+3'=(x+3)(x'-3x+9). d) /+1 =y'+ll=(y+I)(y'_y+I).

4.170.a) ,,'_8 = (x-2)(x'+2x+4) b) x'-/ = (x-y)(x'+xy+y'). c) a' -I = (a')'-I' = (a' -I )(a'+a'+ I) = (a' -I')(a'+2a'+ I_a') =

= (a-I )(a+ I )[( a'+ I)' -a'] = (a-I)( a+ 1)( a'+a+ 1)( a' -a+ I). d) I-a'x'= I'-(ax)'= (l-ax)(I+ax+a'x').

4.171.a) 8a'-27 = (2a)3-3' ~ (2a-3)(4a'+6a+9). b) 27a3-64b' ~ (3a)3_(4b)3 ~ (3aAb)(9a'+12ab+16b'). c) 12Sa'+8b3 = (Sa)'+(2b)' = (5a+ 2b )(2Sa' -I Oab+4b'). d) 216a'+27xJ ~ (6a)'+(7b)J ~ (6a+7b)(36a2-42ab+49b').

4. J 72.a) a1b+27b ~ b(al+27} ~ b(a'+ 3') ~ b(a+ 3)(a'-3a+9).

128

bUill 1

b) 250aV+2 ~ 2(125a'b'+ I) = 2[(Sab)J+13] ~ 2(Sab+I)(2Sa'b'-5ab+ I). c) S4a'-128b3 = 2(27a3_64b3) = 2[(3a)'-(4b)3] = 2(3a-4b)(9a2+12ab+16b2)

d) 64a'x-b'x = x(64a3 _b') ~ x[(4a)' _(b')3] = x(4a-b')(16a2+4ab2+b'). .

4.173.a) 3 I , (I)' ( 1)(, 2x I) 8x +-=(2x) + - = 2x+- 4x --+~ . 27 3 3 3 9

'3 27 , (3)' ( 3)(" 12xy 9 ) b) 64xy--=(4xy)- - = 4xy-- 16x-y +--+- . 125 S 5 5 25"

c) £f..+~a3b'= (i)' +(ab'J' =(i+ ab21(~_ 2ab' + a'b'J. 343 8 7 2 7 2) 49 7 4

432 2 6 6 2 6 6 2 , 2,)' . d) 27 -27 xy = 27(216-x y )= 27[6-(x y )]=

4.174.a) b) c)

2 2 ., .,., 4 4 = - (6-x y-)[36+6xy+x y ].

27 a'-2ab+b'-c' = (a'-2ab+b2)-c' = (a-b)'-c' = (a-b-c)(a-b+c). ., ?.,., 2" i ., x-+2xy+y--Z' = (x-+2xy+y )-z- ~ (x+yt-z- = (x+y-z)(x+y+z). 'b2 ' b 'b'b...l....) ? 2 a - -c +2 c =a--( -2 c.c-)=a--(b-c) = (a-b+c)(a+b-c).

4.175.a) a' -1-2b-b' = a' -(I + 2b+b')= a' -(1 +b)' = (a-l-b)( a+ I +b). b) 1-9x'Ay'+12xy= 1-(9x'-12xy+4y') = 12-(3x-2y)' =

= (I-3x+2y)( I +3x-2y). c) 2ab-a'-b2+c' = c' -a'+2ab-b' = c' _(a' -2ab+b') = c'-( a-b)' = (c-a+b)( c+a-b).

4.176.a) x'+2x-8 = x'+2x+ 1-9 = (x+ 1)'_3' = (x+ 1-3)(x+1 +3) = (x-2)(x+4). b) x'+6x+8 =x'+6x+9-1 = (x+3)'-I'=(x+3-I)(x+3+1) = (x+2)(x+4). c) x'- lOx+ 16 = x'-1 Ox+25-9=(x-5)'-3'=(x-5-3)(x-5+3)=(x-8)(x-2).

r~ " ' , ~.17 . 7, x--8x+7 = x -8x+16-9 = (xAt-3 = (x-4-3)(x-4+3) = (x-7)(x-I) . b) )x'-5x+6 = x'-2x-3x+6 = x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3). 'c'( x'+3x-l0= x2+Sx-2x-1 0 = x(x+5)-2(x+S) = (x-2)(x+5).

4.178.a) x' -7x+ I 0 = x'-2x-5x+ 10 = x(x-2)-5(x-2) = (x-2)(x-5). ., ' b) x +8x+ 15 = x-+ 3x+5x+ 15 = x(x+ 3)+5(x+3) = (x+5)(x+ 3). c) x'+5x-14 = x'+7x-2x-14 = x(x+7)-2(x+7) = (x-2)(x+7).

4.179.a) x' -I-xy-y = (x-I )(x+ I )-y(x+ J) = (x+ I)(x-I-y). b) a'-I-ab+b = (a-I)(a+I)-b(a-l) = (a-I)(a-b+I).

., 2?2,( ( c) x--x+y-y =x--y -X-ry= x-y)(x+y)- x-y)= (x-y)(x+y-I).

4.180.a) a '+aJ_a2_a = a'(a+ 1 )-a(a+ 1) = a( a+ 1 )(a' -I) ~ a( a+l )(a+ I )(a-l). 'b) x'_x3_x'+1 = x'(x'-I)-(x'-I) = (x'-I)(x'-I) = (x_I)(x+I)(x_l)(x2+x+l). cJ a3+a'-9a-9 = a2(a+ 1)-9(a+ 1) = (a+ 1)(,1-9) = (a+ 1)(a-3)(a+ 3).

! 129 ,.1

i & £ £l!Mfili!iW 2 -Li£$iiJi$1ik&;:;;M\Mi@&w:#&¥1l£iih~1{~'

4.18I.a) x4_x]+2x'+x_3 ~ (x'_x' )+(2x' -2)+(x~l) ~ x'(x-I)+2(x2-lr(x-I)~ _ = x3(x-l)+2(x-I)(x+ I)+(x-I)~ (x-I)(x +2x+2+ I)=(x-I)(x -X+3XT 3)-, '" (x-l»Ix(x' -lJt J(Xt 1)] = (x-I)[,\(x-I )(x+ I )+3(x+ I)] = (x-I )(x+ 1 )(x -x+3).

b) X 4 +li"+3x2 +2x+2 = (x2+2)(x-+x+l) 2

C) X'_","+5x3_5x'+9x-9 = (x-I)(x'+x+3)(x -x+3)

4.I82.a) b)

x7 _x'E _x.5+x4_x}+x'+x-l = (x-l )3(X+ 1 )2(X2+ 1). x7 _x.5i...{ix5+2x4+ 13x3+ 3x2_8x_4 =

.. = i1_X6 _6x5+6x4'_4x4+4x3 +9x3 _9x2 +12x2-12x +4x-4 =

= ~:'(x-I )-6x'(x-I )_4x3(x_I )+9x'(x-I)+ 12x(X-l)+4~x-I )=, = ()(_I)[x6_6x'-4x3+9x'+12x+4] =." = (x-I)(x+l) (x-2).

4.183.a) 2x"_",3_9x'+ 13x-5 ~ 2x'_2x'+x3 -x' -8x'+8x+5;<-5 ,=

= 2x'(x-I)+x'(x-I)-8x(x-I)+5(x-l) = (x-I)(2x +x -8x+5) ~ = (x-1).[2x'-2x'+3x'-3x-5x+5] = (x-I)[2x'(x-I)+3x(x-,ll-5(X-I)] = = (x- r Xx-I )[2x'+ 3x-5] = (x-I )'[2x' -2x+5x-5] = (x-I t[2x(x-1 )+5(x-I)] = = (x-1)l:x-I)(2x+5) = (x,I)\2x;-5).

b) x4_?)('_3x'+4x+4 = (X+I)'(X-2t. ~ , 2 1

cJ x'-2x:'-llx'+ 12x+36 = (x+2) (x-3t· 4.lS4.a) 14x--4+27x4-9x='-= 27:x4_9x3+9x3 _3x2 _6x2+2x+ 12x-4 ~ 2

= 9X'02d)+ 3x'(3x-l)-2x(3x-I )+4(3x-I) = (3x-l)[9x +3x -2x+4] = = (3x~1}[9x3+9x'-6x'-6x+4x+4] = (3x-I)[9x'(x+I)-6x(x+I)+4(x+1)] =

= (3x-1)(x+ I)[9x' -6x+4]. , b) 9x'+~x3-1-12x'= _I2x'+12x3_8x3+8x'+x-_l =

= -12..x'(x-I )-8x' (x-I )+(x -I )(x+ I) = (x-I)[ _12x3 -8x'+(x+ I)] = = (1-x)[12x3+8x'-x-lJ = (I-x)[12x3-4x'+12,,'-4x+3x-1] = = (1-x)[4x'(3x-I)+4x(3x-l)+(3x-I)] = (1-x)(3x-l)[4x'+4x+I] = = (3)<-I)(I-x)(2x+I)'.

c) x3+h:yty' -I = x3 -x'y+x/+x'+xy+x +x'y-x/+y'+xy+/+y -x'+xy-/-x-l "'" xCx' -xy+y'+x+y+ I )+y(x' -xy+y'+x+y+ 1 )-(x' -xy+/+x+ 1)= = (x+y-l)(x'-xy+/+x+y+I).

4.185.a) x3 _x';,:+x)'z+y'z_y3 = (x-y+z)(x'+xy+y'). b1 x'-2y'-3x/= (x-y)'(x';.2y).

4.186.a) a'-b'-a+b b) .3+1:,o-.'+b'

= (a-b)( a'+ab+b')-( a-b) = (a-b)( a'+ab+b' -I). = a3+b3_(a'_b') = (a+b)(a'-ab+b')-(a+b)(a-b) = ~ (a+b)( a'+ab+b'-a+b). = a'_b'c(a3_b3) = (a-b)(a+b)-(a-b)(a'+ab+b') = = (a-b)( a+b-a' -ab-b').

4.187.a) a'-b'-27(a-b) = (a-b)(a'+ab+b')-27(a-b) = (a-b)(a'+ab+b'-27). bl a3_b'_.'x+b'x = (a-b)(a'+ab+b')-x(a'-b') =

= (a-b)(a'+ab+b')-x(a-b)(a+b) = (a-b)(a'+ab+b'-ax-bx).

110

c) a' -a3+8a' -8 = a'(a' -1)+8(0' -I) = (a'-1 )(a' -8) = (a-l )(a+ 1 )(a-2)(a'+ 2a+4)

4.I88.a) x2_/+(X_y)2+X3_V3 = (x_y)(x+y)+(x_y)'+(x_y)(x2+xy+y') = " " = (x-y)(x+y+x-y+x +xY+r ) = (x-y)(2x+x'+xy+y').

b) a'-6a3b+9a'b'-2S = (a'-6a3b+9a'b')-2S = (a -3ab)'-S' =

= (a'-3ab-5)(a'-3ab+5)

4.189.a) a6+a'b3 _a'b2 -ab' = a( a5+a'b' _a3b' -b') = a[ a'c a'+b')_b'(a3+b3)]= = a(a'-b')(a'+b3) = a(a-b)(a+b)(a+b)(a'-ab+b').

b) a'b' -27a' _b3+ 27 = a'(b3 _27)_(b3 -27) = (a3 -I )(b3 -27) ~ (a' _I')(b3 _3') = = (a-l)( a'+a+ I )(b-3)(b'+ 3 b+9),

4.190.a) b'e+be'+ac' -a'e-a'b-ab' = (b'e-a'e )+(be'+ae')-(a'b+ab')= = e(b' -a')+ e'(b+a)-ab(a+b) = c(b-a)(a+b)+ c'(a+b )-ab(a+b)= = (a+b)[e(b-a)+c'-ab] = (a+b)[bc-ac+c'-ab] = (a+b)[bc+c'-(ab+ae)] = = (a+b)[e(b+e)-a(b+e)] = (a+b)(b+e)(e-a).

b) a3+a'e+abc+b'e_b3 = (a'-b3)+(a'e+abe+b'e)= = (a-b )(a'+ab+b')+e( a'+ab+b')=(a'+ab+b')(a-b+e).

4.191..) a'-5a3+7a' -5a+6 = (a-2)(a-3 )(a'+ I). b) x'+6x'y+ 12x'/+24xy'+32y' = (x+2y)(x+4y)(x'+4/).

4.192.a) a5+1 = (a+I)(a'-.3+a'-a+I). b) 32a'+b'= (2.+b)(I6a'-8a3b+4a'b'-2ab'+b'). c) 243-a' = (3-a)(81+27a+9a'+3a3+a').

4.193.a) 2a5 -64b' = 2(a'-32b5) = 2(a-2b)(.'+2a3b+4a'b'+8ab'+ 16b').

b) a4+4b' = a'+4b'+4a'b'-4a'b' = (a'+2b')'-(2abJ'= = (a'+2b' -2ab)(a'+2b' +2ab).

c) a' -64b' = (a')' -( 4b2)3 = (a' -4b')(a 4+4a'b'+ 16b')= = (a-2b)(a+2b)(a'+4a'b'+ 16b').

4.194.a) a'+a2+ I = a4+2a'+ I_a' ~ (a2+ 1)'-0' = (a'+ 1-a)(a'+ l+a). b) xl2 _3x6+ I = (x12_2x'+ I)-X' = (x' _1)2 -(x3)' = (x6_x' -I )(x'+x' -I). c) x'+3x'+4 = x'+4x'+4-x'~ (x'+2)-x' = (x' -x+2)(x'+x+2).

4.195. 'a) a'+a'+ I = a8+2a'+ I_a' = (a'+ I)' -(a')' = (a4+ I +a')(a'+ I-a')= = «a'+ 1)2 -a')(a'-a'+ 1)= (a'-a+ 1 )(a'+a+ 1)( a'-a'+ 1).

b) a'+98a'b'+b'= = (a '+b')'+ 16a'b'(a '+b ')+64a 'b'-16a2b'( a'+b')+ 32a'b'= = (a '+b '+8a'b')' -16a'b'(a '-2a'b'+b ')= ... = = (a'-4a3b+8a2b'+4ab3+b') (a'+4a'b+8a'b'-4ab'+b').

333 332' 4.196.a) a +b +e -3abc = (a+b) +c -3ab -3ab--3abc= = (a+b+e )[( a+b)' -( a+b )e+c']-3ab( a+b+e )=(a+b+e )[(a+b)' -(a+b )e+e' -3ab]=

, "b 221bb) = (a+b+e)[a-+2ab+b -ac-be+c -3a ] = (a+b+c)(a +b +c -a -ac- C .

131

b) a l +b l _c'+3abc ~ (a+b-c)(a'+b'+c'-ab+ac+bc).

4.197.,,} 2ax'-8a-4+x' ~ 2a(x'-4)+x'-4 = 2a(x-2)(x+2)+(x-2)(x+2) ~ = (x-2)(x+2)(2a+I).

b) (a+b+c)3 _a3_b' _c3 ~ (a+b+c)3_a'-(b3+c') = ~ (a+b+c-a)[( a+b+c )'+( a+b+c )a+a']-(b+c )(b' -bc+c')=

= (b+c)[(a+b+c)'+(a+b+c)a+a'-(b'-bc+c')] ~ = (b+c)[a'+b'+c'+2ab+2ac+2bc+a'+ab+ac+a'-b'+bc-c'] =

= (b+c)[3a'+ 3ab+3ac+3bc] = 3(b+c)(a+b)(a+c).

4.198-'1') (x'+x)' _8(X1+X)+ 12=(x'+x)' -2(x'+xJ-6(x'+x)+ 12= = (x'+x)[(x'+x)-2)]-6[(x'+x)-2] = (x'+x-6)[x'+x-2] = = [x'+3x-2x-6][x'+2x-x-2] = [x(x+3)-2(x+3)][x(x+2)-(x+2)]

~ (x+3)(x-2)(x+2)(x-I). b) (x'+x+1)(x'+x+2)-12 = (x'+x)'+2(x'+x)+(x'+x)+2-12 = (x

2+x)'+3(x'+x) -10"

= (x'+x+5)(x'+x-2) = (x'+x+5)(x-1 )(x+2).

4.199."1 (x+ 1)(x+3)(x+S)(x+7)+15 = (x+ 1)(x+7)(x+ 3)(x+5)+ IS = = (x'+8x+7)(x'+8x+ 15)+ 15 = [(x'+8x+ 11) - 4] [(x'+8x+ II )+4]+ IS = = [(x'+8x+ 11) '_4']+ 15 = (x'+8x+ 11) 2 -16+ IS = (x'+8x+ 11) '_I = = (x'+8x+ 11) '-I' = ( x'+8x+ 11-1)( x'+8x+ 11 + 1)= = (x'+8x+ 10)( x'+Sx+ 12) = (x+2)(x+6)(x'+8x+ 10).

0) x(x-3)( (x'-3x+7)+10 = (x' -3x) (x'-3x+7)+ I 0 = (x' -3x)'+7(x'-3x)+ I 0 = = [(x'-3xi+5(x'-3x)]+ 2(x'-3x)+10 = (x'-3x)(x'-3x+5)+2(x'-3x+5) = = (x'-3x+2) (x'-3x+5) = (x-l)(x-2) (x'-3x+5).

4.200." Dati polinom mozemo oapisati U obliku: (x+y+z), -(x+y-z)' -(x-y+z)' -( -x+y+z)' =

= {x+y+zJ' -(x+y+z-2z)' -(x+y+z-2y)' -(x+y+z-2xl'. Uvoaenjem smjene x+y+z"" t dalje se dobije: t3 -(t-2z)' _(t_2y)3_(t_2x)3 =

= r -(I' -6zt'+ 12z't-8z')-(t' -6yt'+ 12y't-Sy')-(t' -6xt'+ 12x't-8x3) =

= a'-t'+6zt' -12z't+8z' _t3+6yt' -12y't+8y' _t3+6xt' -12x't+8x' = = _2t'+6t'(x+y+z)_12t(x'+y'+z')+8(x'+y3+Z3) ~ = -21' +6t~ -12t[t' -(2xy+ 2xz+ 2yz)] +8[1' -3t(xy+xz+yz)+ 3xyz] ~ = _2t'+6t'_12tJ+24t(xy+xz+yz)+8t' -24t(xy+xz+yz)+24xyz = 24xyz.

4.20 L Ufuta: (a'+b'+c')(x2+y'+z')--(ax+by+cz)' = (ay-bx)2+(bz-cy)' --(cx-az)'-4.202. a +a2c_abc+b2c+b3

= a3+b3+a2c_abc+b1c =

= (a+b)(a'-ab+b')+c(a'-ab+b') = (a+b+c)(a'-ab+b') = O·(a'-ab+b') = O.

4.203_ (a' +b')(c' +d') = a'e 2 +a 2d' +b2c' +b

2d' =

~ a'e' - 2abed + b2d' + a'd' + 2abed + b2e' = (ae -bd)' + (ad +he)' .

4.2042) n'+Sn = n'-n+6n ~ n(n'-I)+611 = n(n-l)(n+l)+6n, nEN.

132

svaka tri uzastopna prirodna broja uvijek bar jedan djeljiv sa dva i jedan sa tri, to je i njihov proizvod djeljiv sa 2·3 ~ 6. Drugi sabirak izraza 6nje djeljiv sa 6, paje i zbir n(0-1)(n+I)+6n djeljiv sa 6 za svaku vrijednost prirodnog broja n.

b) Kako je: n'+2n ~ n' -n+ 3n = n(n'-I)+ 3n ~ n(n-I)(o+ I )+3n, to zakljucak slijedi analogno kao u prethodnom zadatku. : c) 0' _5n3+4n = n(n 4 -5n'+4)= n(n 4 -n'-4n'+4)= n[ n'( n'-I )A( n'-I )]=

~ n( n'-I)[ n'-4]=n( 0-1 )(n+ I )(n~2)( n+ 2)=(n-2)( n-I )n(n+I)( n+ 2). Izraz (n-2)(n-l )o(n+ 1)(n+2) je proizvod pet uzastopnih prirodnih brojeva. Meau

tim brojevima uvijek se nalazi bar jedan kojije djeljiv sa 2, bar jedan djeljiv sa 3, bar jedan djeljiv sa 4 ijedan djeljiv sa 5. lato je i proizvod '

(0-2)(0-1 )n(n+ I )(0+2) djeljiv sa 2·3 ·4·5~ 120.

4,205. Dokaz: Transforrnacijom datog izraza treba dobiti 'izraz,jednak datorn, u kome neee biti varijabli a i b.

2(a'+b' )-3(a'+b') ~ 2(a+b)(a'-ab+b')-3(a'+b') ~ ~ 2.1.( a' -ab+b')-3a' -3 b' ~ 2a' -2ab+2b'-3a' -3 b' =

~ -(a'+2ab+b') = -(a+b)' ~-\.

5. RACIONALNI ALGEBARSKlIZRAZI

5.1. Pojam i definisanost racionalnog algebarskog izraza

5.1. Skup konacno mnogo konstanti iIi promjenUivih povezanih znacima matematickih operacija naziva se izraz. I sarno jedna konstanta je izraz. lzrazje ijedna promjenljiva.

5.2. Izraz se nazi va algebarski ako se u njemu pojavljuju sarnO a!gebarske operacije: sabiranje, oduzimanje, mnozenje, dijeljenje i stepenovanje.

5.3. Izraz se naziva racionalni algebarski ako se u njemu pojavljuje i operacija

dijeljenje. 5.4. Racionalni izrazje definisan sarno za one vrijednosti varijabli za koje nazivnik

izraza (djelilac) nijejednak nuli.

- - R I 7 ).). eZl! tat:-. 8

5,6.a) Izraz je definisan za sve vrijednosti varijable x, osim za x = 0: x E R \. {o}. b) xERI{3} c) xERI{--S} d) xERI{2}.

5.7.a) xERI{S} b) xERI{-4} c) xERI{-2,1} d) xERI{-S, 7}.

133

,

5.8.a) x E R If- 2, 2}. b) Izrazje definisan za sve realne vrijednosti varijable x.

c) XERI{-5, %} , d) XER+i,5}. 5.9.a) Izraznijedcfinisanzax=-3. b) x= 1 c) x=9 d) x=-lS

1 5.;0.a) x=0,x=4 b) x=I,x=-IO c) x=i,x=-7

5.11.a) Izrazje uvijek definisim! b)x=-I,x=I c) x = -2, x = 2.

5.1. Prosirivanje i skracivanje algebarshlh racionalnih izraza

5.12. Ako i brojnik i nazivnik datog razlomka pomnozimo istim brojem iii istim izrazom (obavezno razlicitim od nule), dobije se novi razlomak koji je jednak datom razlomku. a ovu operaciju riazivamo prosirivanje raziomka. Dakle, prosiriti razlomak znaci i brojnik- i nazivnik razlomka pomnoziti istirn brojem (iii izrazom) razlicitim ad nule. .

5.13. Operacija suprotna prosirivanju razlomka naziva se skra6ivanje. Razlomci se skracuju tako da se i broJnik:i nazivnik datog razlomka podijeli istim brojem (iii istim izrazom) koji nije jedp.ak nuli. Skra6ivanjem razlomka njegova vrijcdnost se ne mijeI1ja.

2x 2x·IS 5.14.a) -=--

5 5 ·15 b) . x - 4

3x

x-3 = (x-3)(x+~ 5.15.a)

x+5 (x+5)(x+3)

x, + 5x (x' +5x)·12 c)

x-I (x-l)·12

5.16.a) 6 6:3 2 -=-=-9 9:3 3

c) 128 128: 4 32 -=--=--740 740:4 185

5.17.a) 4a 2b 5 4a'b' :(4ab') _ ab'

12ab' 12ab' :(4ab') 3

c) 18a'bx 3 3a'b

6a 4 x 5 x'

S.18.a) a(a + 1) a + 1

4a(a-3) 4(a - 3)

134

(x-4)·4x

3x·4x

b)

b)

d)

b)

d)

c) x'-x (x'-x)(x-I)

x+8 (x+8)(x-l)

5x+3 =~5x+3)(x-I)(x+I)

4-x (4-x)(x-I)(x+I)

27 27: 27 -=--=-81 81: 27 3 136 68 ---254 127

3a J x 4 ax 3

------15a'x 5

36b 5c 3X

4 3bc 3

12a 4b 4x 5 a'x

b) 4(x _. 2)(x + 3) (x - 2)

8(x - I)(x + 3)' 2(x -I)(x + 3)

6(a-3)x 2 x2 c)

18(a-3)' 3(a-3)'

5.19.a) 3(h - 2)5 ~ b - 2 b) a-I -(I-a) =_.!.. 9(b - 2)4 3

4(x - 5)(x + 1) .. = 2(x + 1) cJ

2(x-l)(5-x) I-x

5.20.a) 9a'(a-b)

27(b - a)

a

a'(a-b) =_~ -3(0-b) 3

a 1 c) --'

a' +a a(a+1) a+1

2(1-a) 2(1-a) 2

(a_2)3 (a-2)' b) --

4(2-a) -4(a-2)

4x' - 2x 2x(2x -1) 2x-1. 5.21.a) b)

a'-l=i,,-l)(a+l) a-I.

2x 2x

c) a' +2a+1 =(a+1)-=-=a+1. a+1 0+1

4a 3 4a 3 a2

5.22.a) 12(' .. 4a' ' --3--' .. - 4a(3 - a-) - a

4a' - 9 (2a - 3)(2a + 3) _ 2a - 3 c) -6a+9"- 3(2a+3) --3-

b)

a+ I a+ 1

40' - 2ab

80-4b

2a(2a - b)

4(2a - b)

a

2

5.23.a) , .. 2) .. a ~a- _~~

5(a-2) 5 Sa - IO b)

2a' + 4ab

ab + 2b 2

20(a+2b) 20

b(a~2b) b

c)

5.24.a)

b)

x' -y' (x-y)(x+y) x-y

4x+4y 4(x+ y) 4

a' -25 .. _ (a-5)(a+5) =a-5

a'+10a+25 (a +5)' a+5

a J +1 (0+1)(0' -a+l) =a'-.. a+1

a' -1 (a--I)(o+l) a-I

a' -1 (0 -I)(a + 1) = a + I

c) 1'::20+a2 (1-a)' 0-1

i'-y' _ (x-y)(x'+.1.Y+y') = x'+xy+/

x' -/ (x-y)(x+ y) x+y 5.25.a)

a' -b' (a-b)(a+b) _ a .... b a' +b J =(a+b)(a''':ab+b') - a' -a6+b2 b)

a3 + 8x 3 (0 + 2x)(a 2 - 2ax + 4x 2

) _ a2

- 2a.~_:X2 -,-----, =--.... -. -0--)' ---- + '1 'l' . a +4(u+4x- \O+_X J. ':""

c)

135

a'-(b+c)'

(a - b)' -c' (a-b-c)(a+b "c)

(a-b-c)(a-"b+c) a+b+c

a-b+c

a'+b'-c'+2ab~«.+b)'-c' (a+b--c)(a+b+c)~a+b-c

b) a'-b'+c'+2ac (,,+e)'-b' (a+c-b)(a+c+b) a-b+c

a 2 _b 2 Cl--b)(a+b) (a-6)(a+6) a-b

c) a'-a-b-b' (a-c)(a+b)-(a+b) (a-b-I)(a+b) a-b-l

a' -9 =,,~~3)(a+3) ~ia-3)(a+3) ~_".-3 5.27.a) 3 b 3 b b I ab+3b-a-3 a(b-I)+ (-1) (a+)( -I) -

xy+l-x-y _x(y-I)-(y-l) (x-I)(y-I)~!-=-!

b) y+z-l-yz (y-l)-z(y-I) (y-I)(l-z) l-z

ab 2 + a J - alb _ a(b 2

-,' a 2 - ab)

c) a'b+b' b(.I'+b') _ a(b'+a'-ab)

b(a+b)(a' -ab+b')

5.28.a) ~(1-a),:.:+:a+a') =~ 3(1--a+a') 3

a

bra +b)

a'+ab'-a'b a(a'+b'-ab) a'+b'-ab

b) a'b+ab' ~- ahia' +b')= b(a+-b)(o' -a-b+b') b(a+b)

c) a' - a a(a'::.lL ala -I)(a'.:': a + I) = ala -I)

3a' +3a+3 3(a'L1+1) 3(a' +a+l) 3

a' -3a-10 ~(a-5)a+2) =':'~ +a-2 (a+2' a-I) a-I

5.29.a)

a' +3a+2 (a+2)(.I+I) a+2 b) ~-----~_ +6a+5 (a+5} 1+1) a+5

a' -3a+2 (a-I),,1-2) a-I c) ---- ~---- ~ __ a' -5a+6 (a-3) 2-2) a-3

5.30.a)

b)

c)

x' -8x+15 =(x-3,,:X-S) =x-'S

x' -6x+9 (x-3 -3) x-3-

x' + 5x + 6 = (x -t](x + 2) = x + 3

x'-6x-16 (x,,-t (x+2) x-8

x' -3x-10 =(x-)(x+2) =x-S

+x-2 (x-)(x+2) x-I'

x'+1-2x' _ (I" ,')' _ (1-x')' __ I_x' _(1-x)(I+x)_ 5.31.a) "'I-_-x-_"Cx"+-x" - -(I--x)"--"-(1-".0 --O---xX-I---x-') --I--x ---I---x-- -I+x.

x' +x' -2 X4 -1+/ -1 I) -IXx' +1) + (x' -1) (.r'-IXi +2) __ x' -1 b) +8 =(i)J;iJ-=- .~T2Xi~2/;4)=0~~2Xi=:].,\.2+4) -';4_2x2-~4 136

K1Hk£

i b.

5x' -x-4 5x' -5-x+ I 5(x' -I)-(x-I) (5H5-IXx-l) 5x+4

c) x' -I (x-lXx' +x+l) (x-lXx' +x+l) (x-lXx' +x+l) +x+l

" 3x' +12x+9 3(x' +4x+3) 3(x+IXx+3)

).32.a) ,x' +5x' +6 =(x' + 1)+(5:;:; +5) (x+ lXx' -x' +x' -x+ 1)+5(x+ lXx' -x+ I)

3(x + I)(x + 3) 3(x + 3) = ----t[~-,-'--' 2 r' 3, . (x+l) (x'-x3 +x'-x+l)+5(x -x+l) x -x +6x -6x+6

x' -I (x" Xx'+x+l) (x-IXx'+x+l) (x-IXx'+x+l) _ x-I b) x' +x' +1 (x'+U+I)-x' (x'+I)'-x' (x'+I-xXx,+'I+x) -:;:'-x+1

X8+ X4+1 (x8+2""(4+1)_x4 (x4+1i-(x2f (x4+I-x2Xx4.=rl+xl) = c) 'x2 +x+l = -'-x1+x+1 xl+x+1 x"+x+l

_ (x'-x2+1)[(x'+2x2+1)'-x~J (x'-x'+IJ[(x'+I)'-x2]

- x2+x+l x2+x+l

(x4-x2+1)(x'-x+l)(x2+x+l) Lc('4 2 1)(' 1) = - x -x + x --x+ . x' + x + 1

(x _I) 2

5.33.a) x2-3x+1 b) a+b+c

a-b -c

a' -3ah+ac+2b 2 -2bc 5.34.a) a' -ab+ae-zab+2b' -2bc

2 J 2 1 b ') a 2 -b +2bc-O' a -(b- -2 e+e ,

_ a(a-b+e)-2b(a-b+e) ~ =_"a-2b - a' -(b-e)' ... a+h-c

b) a+2

a-2 5.35.a) a+b+c x+y+z

b) 2

5.3. Dovodenje algebarskih racionalnih izraza na zajednicki nazivnik

5.36.a)

c)

5.37.a)

b)

12 lOx x+1

20 ' 20 ' 20 b) 12(x+ 31, 4(x-l) 3(x'-I)

48 48 48 8(a-7) 4(a+l) 3+0

8a 8a , s;;-2(a +"ll(a -I)

2a(a -I)

(a _1)2 6a'

2a(a-l)' 2a(a-l)

(0 2 + 1)(02 - 1) 4a' (a + I)

4a(a' -I) , 4a(a 2 -1) 4a 3 (a-l)

, 4a(a 1 -1)

137

c) -20 3a(a'-l) -2(a'-I)

a(a1-1)' a(a1-1)' a(a'_1)

3(x+l} x(x-1) _5_ b) a(a+4) 3 5('1-4) x' -1 ' x' -1 ' x' -1 (a-4)(a+4)' a ' -16' (a-4)(a+4) 5.38.a)

a+l .a(a~l)

" 2 (a+I)(a -1) (q-l)(a+l) c)

S.4. Sabinmje i oduzimanjc algebarskih racionalnih izraza

6 7 3 1 9 1 b) - +- .- = - = 2-

4 4 4 4 4 5.39.a) 4 :3 1 4+3-1 - +~-- = --5 :5 5 5 5

c) 11 14 4 1 - -- +- =-15 15 15 15

a 3a 2 4a-2 __ -t-_._=.--b) a+1 +2a-.1.. 5'1-4 = 4-2'1

a+5 a+5 a+5 a+l 5.40.a) a-I a-I a-I a-1

2a lIa 4a-4 c) ---+--'

3a 3a 3a

. :-5a-4

3a

4 3) 8+3 11 -+--=--=-5 II 10 10

I 2 3 5+8-6 7 b) .. +_.- = =_.

4 5 10 20 20 5.41.a)

27 9 c) =-=-

30 10

~ +.!.+3 = 8+9+36 =53 5.42.a) 3 4- 12 12

b) .4: +2..1 8+1-14 ==2 c 83 7 14 14 14) 20

5.43.a)

c)

5.44.a)

c)

I ",+1 I-a -+ --+--2a 4a 6a -40-3b+24

24 3a' +8b+6-6a

6ab

-4'1"-6ab+6b'

(a+6)(a-b)

6 + 3a + 3 + 2 - 2a a + 11 12a 120

5x-19 b)

75x

2b' + 9ab - 8a 2

b)

b a a +b b a a+b 26 5.45.a) _.-+_.- .-- =_ ... - +--- --

a'-oo ab-b' ab ala-b) b(a-b)' ab ala-b)

I 2 I I 2 I a+I-2a+a-1 b) __ ,_+ __ , +-,- = -- .-------- +-- . =0.

a -0 I-a' a'+a G(a-I) (a-1Xa+l) o(a+l) a(a-IXa+l)

138

X, +3x+5 b) 2 2a' (x-2)(x+2) 5-a 5.47.a) a+b b) --3a-2b

5.46.a)

5.48.a) _1_ +2a+~. 30' ~~a--I =_ +~_I__ 3a'+5o-l a-I a'--I i-c" a-I (a-IXa+I)'(l-a)(I+a+a')=

= (1 + a+ a')(a + 1) +(2a + 1)(1 +a +a') + (a + 1)(3a' + 5a -1)

«(/-I)(a+l)(I+a+a') =

6a 3 + 130 7 + 90 ..,:. I "_0. _

(a -I)(a + 1)(1 + a + a')

2 11'+20+1 a+l U+2o+2-3a'-2o-l+-'-1 b) .. _. +_.. a a-I d-I «+a+l (a-1X«+a+l)

o ·------·0

(a-1Xd +a+ 1) . 2 ala' -6a+16)

5.49.a) x

(x+v)(x' -.ry+ y') b)

(a-2)2(a+2)

5.50.a) --6

x 2 +3x+9 b) 2

5.51.a) -3x' + 7x-2 6X' + 28x+ 17

b) (x-l)(x-2) (x-J)(X+ 3)(x+ 4)

552.a) x b) 2a(2a2

-3a+3) (x+l)(x+2'jx+3) (a-1)3(a+l)

5.53. a+b + __ b~ + c+a = ia-b~a-b)+(b+cXb-{;)+(c+aXc-a)

(b-cXe-a) (c-aXa-b) (a-bXb-c) . (b--cXc-aXa-b)

_ a2 _ b~ + b2

_ c2 + c2 _ a2 0

= --,----- = 0 (b-c)(e-a)(a-b) (b-·c)(c-a)(a-b) .

1 J 1 5.54. -----''---- ------

(a-b)(b-c) (b-c)(a-c) (e-a)(b-a)

a-c-a+b-b+c 0 .--- =0

(a-b)(b-c)(a-c) (a-b)(b-c)ea-c) .

1 1 5.55. -j- + --.... -' =

a~-~(a-~ b0-00-~ c0-00-~ b' b 2 2 ., 2 2 c- c -a e+ac'+a b-ab (a-b)(a-c)(b-c)

=-abe (a - b)(a - c )(b - c) abc (a - b )(a - e)(b - e) abc

a 1 b1 c2

5.56. +---c--"'::"-.'_- +-.....::--a' -ab-ac+bc b 2 -ab+ac-bc (c-a)(c-b)

139

b' e' a' + +-----= a(a-b)-e(a-b) -b("b+a)+e(a-b) (e-a)(e-b)

+ b' + e' = a'(c-b)+b'(a-e)-e'(a-b) =

-(a----:b-X-a--c-,-) (a-b)(c-b) (e-a)(c-b) (a-bXa-cXc-b) a'

a 2c_a 2b+ab 2 _b 2c_ac 2 +bc 2 _ a 2(c-b)+ab 2 _ae l +bc2 _b 2c _

=-::--=('-.:a:""-'-.:b"')(-a --c-:)-:-(e---:b;-) -- - (a - b)(a - e)(e - b) -

_ a'(c-b)+a(b-c)(b+c)+bc(c-b) = (c-b)[a'-a(b+c)+bcL - ---. (a-b)(a-c)(c-b) (a-b)(a--c)(e-b)

a' -ab-ac+bc _ aCa -c) - bra - c)

(a-bXa--e) (a-b)(a-e) (a-b)(a-c) '_I. (a-b)(a-e)

a+3 a'--5 2a'-a(I-5a)-1 557 -- ,---~' , =

, .. 2a-l 4a 2 -"4a+ 1 Sa' -12a2 + 6a-1

a+3 a 2 -5 2a1 -a+50 2 _1

= 2a-1 '(2a-li" (2a-I)'

(a+3)(2a-l)' _(a' -5)(2a-ll:::-_~9'-a+5a' -I) = (2a-1)'

(a +3)(4a' -4a+ 1) _2a3 +a' + lOa -5 - 2a3 + a -Sa' + 1 = (2a - 1)3

4a l _ 4a 2 + a+ J 2a 2 - 120 + 3 - 4a J + l1a - 4 _ 4a 2

(2a -I)'

4a' -I 2a + I =---=

(2a -1)3 (2a -I)'

x'-(x-I)' x'-(x'-I)' x'(x-I)'-I 5.5l8. 2 ? 2. + 2 ,+ 4 J

(x + 1)' - x x (x + I)' -I x - (x + 1)'

(x'-x+I)(x'+x-l) (x-x' +I)(x+x' -1) (x'-x-1)(x' -x+l) := 2 +--1 2' +-,---"' =

(x'+I+x)(x +I--x) C-c+x-I)(x+x+l) (x +x+I)(x'-x-1)

55'9,

14([)

x' +x-l x-x' +1 x 2 -x+l 2 -+? +-)~--=

X + X + 1 ,'C + x + 1 x' + x + 1 Xl +x-l+x-x2 +1+x2 -x+l

x' + x + 1 a-b b-e e-a. (a-b)(b-c)(c-a) _ ---+--+--~ --a+b b+e c+a (a+b)(b+c)(c+a)

x 2 + X + 1 -co--- =1 x 2 +x+l .

a-b b-c (e-a)(ab+b' +ac+bc+ab-b' -ac+bc) --~+--+ .. - = a+b b+e (a+b)(b+c)(c+a) a-b b-c (c-a)(2ab+2hc) a-b b-·c 2b(c-a) --+--+ = --+~--+---,-- = a+b h+e (a+b)(b+c)(c+a) a+h b+.c (2+b)(h+e)

= (a-b)(b+c)+(b-c)(a+b)+2b(c--a) =

(a+b)(b+c)

ab+ac-b' -bc+ab+b' -ac-bc+2bc-2ah 0 " = =0

(a+bXb+c) (a-b)(b+c) .

5.60. 0

5.6I.a) 1 1 I

-+-+-+·,·+-,--cc 1·2 2·3 3·4 n(n+l)

I 1 1 I I I n+I-1 = 1--+---+---+ ... +-----= 1---=---

2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n

n+1 n + 1

b) I 1 I I

--+--+--+ ... +-- = 10·11 11·12 12·]3 29·30

1 I 1 I I I 1 I, I I 3-1 I =---+---+---+ ... +---=---=~=-

10 11 II 12 12 13 29 30 10 30 30 15

5.5. Mnozenje algebarskih racionalnih izraza

4 5.62.a)

21 4·21 3 II b)

15 33 6 35 7 c) --. - =-

5 12 2 -=--=-

7 16 7·16 4 -I 8 -2

5_63.a) 4' is "]5

c)

5_64.a)

a 3a a-3a-2 -. - ·2=c::.....::."--=-5 17 5 ·17 16

3

6a 2

85

5.65.a) a-~. ~=4a(a-l) 2(a-l)

---a+1

25 4 20

b) a 8b a· 8b 4a

-=--=-2b 5 2b· 5 5

2 a b) c)

3x 3a-2

b) ~ c)

2 3x

2x+3

5.66_a)

2a

5 12x

a+l 2a(a+l)

b-3 b)

b 2 -4 = (b-3)(b-2)(b+2) (b-3)(b-2)

b+3

c) .--2(a -1)

5_67.a)

b+2

b)

b+3 (b+2)(b+3)

.:]2 -+- bZ (~;b)i

a' +ab+b' ~--

a(a+h) c)

141

a~3 !6a = __ ja~3)16a __ =_-:L;~_ 5,68,a) 4a+4' 9~a2 4(a+l)(3~a)(3+a) (a+l)(a+3)

X' ~27 X' ~3x+9 (x~3)(x' +3x+9)(x' ~3x+9)

b) x, +27' x~3 (x+3)(x' ~3x+9)(x~3)

a+2b 5,69,a)

3 a2 ~6a+8 4b' ~4b (a' ~6a+8)' 4l(b~l) 2{a~2Xa~4Xb~l) 2{2~a)

b) -';"b" 20' ~8a b(1~b')'2t;(a~4) c.(1~bXl+bXa~4) c.(1+b)

5,70_a)

5_71.a)

5,72.a)

b)

S,73,a)

5,74,a)

b)

a~3

a+6 b)

2(a + 1)(a' + a + 1)

ala ~ 1) 6b

(1+~)- 9a'+9a =ai+ 2 ,....1a(a+1L=9(a+l) b) a a'~4 a (a~2)(a+2) a~2 a+b

( a~1 +",-), (1 ~ a~3)= 2a-- 2+ a' 5a ~a+3 (a2 +2a~2;(4a+3)

a 2 Sa 2a Sa 10a-

(.!'.+"'-+2)' a' +b' i =0' +2ab+b~, a' +b' (a + b)(a

2 +b

2)

a b a' ':"b' ab (a~bXa+b) ab(a--b)

4ab (X~1 ) II x' +1 x) 2x+l 2~x 2~x a' ~b' b) x+:i+ l ' 2x+l ~2 = x+2 '2(2x+l) = 2{x+2) ,

(1+--"---)' I-d I~b' =l~a+a(l~aXl+a),(l~bXI+b)_I~b

l~a I+b d+a l~a l+h c.(a+l) a

( b~a+l 1),(2a'+b a+b 2a-1

a)=1-2a, b+a =-1. a+b 2a ~ 1

[

X x2 x2 x -J x2 - yL _

5_75,a) x+ y + (x~ y)2 (x+ y)' x~ y '---:;Y-~

x(x ~ y)'(x + y) + x'(x+ y)2 ~ x 2 (x ~ y)' ~x(x ~ y)(x + y)' , (x ~ y)(x + y) =

(x ~ y)2(X + y)' xy

= ~ 2xy(~y)(x + y) + 4xyx2 = 2x' + 2y'

xy(x~y)(x+y) x'--y' b)

a+l

5.6. Dijeljenje algebarskih racionalnih izraza

8 2 8 3 8,3 4 5_76,a) --:-=-,-=--=-

15 3 15 2 15,2 5 b)

11 3 11

20 5 12

2a 4a 2a 9b 3 2 5_77.a) 3b: 9b = 3b ' 4a =2 b) 5

a a:a 1 x-I 5,78,a) -:a=-=-, b) -:(x-l)

Sb Sb S6 2x

c) (a+2):-"'--=(a+2)' a~l= (a+2)(a~l) a-I Q a

d) x+S: (x~3)=x+~_ 1 x+S x+l x+l x~3 (x+IXx~3)

c) 25

8

c) 9 -4

(x~l):(x~l)

2x

d) 7

3

d) S 3

2x

5,79,a) 4x~4yl2x~12y~4(x~y) x'~1 ~x~y 3x+3;- x'~Y'~ 3(x+y) , 12x~i2y~-9-

b) (x+4Xx~3) x'

5,80,a) (a ~ 1)(x+ 2)

ax

x' ~1 x'+2x~3 (x~IXx' +x+IXx~2Xx+2)

b) x' +8: x'~4- -- (x + 2Xx' ~2x+4Xx~IXx+3) (x' +x+l)(x~2)

(x' ~2x+4)(x+3)

a' ~Ll<J+4, 3a'..::-E (a~2)', 2(a~I)(a+l) '2(a~2)(a~l) 5,81.a)

a' +2a+l' 2a' ~2 (a+l)' 3(a~2)(a+2) 3(a+l)(a+2)

a' +8 5a' ~20 (a+2Xa'~2a+4) 7(a~IXa+l) 7(a' ~2a+4)(a+l) b) a' ~2a+'j" 7a' ~7 - (a~I)' '5(a~2Xa+2) 5(a~I)(a~2)

('!"~J..\j:(_1 ~_1 )=Y~X,y2~X' y~x, x'y' xy 5.82_a) , ,2 2

X Y X y2 .ry x2 y xy y - x x + y

b) ~ab+a :(_I_+~~)= __ c.(b+l): b'~b+l+3b c.(b+l) _(b+lXb'~b+l) a_ b'--b+l b+l b'+1 b'~b+1 (b+1Xb'~b+l) b'~b+l b'+2h+l

5,83,a) (1 + x +_1_) :(1 +_1_)= 1~x2_ + I: 1 ~x, + 1 2~x' I ~x' = l+x

l~x l--x'· l~x l~x2 I-x 2~x'

(x'~I)(l~x) b) --x'--

S,84.a) ( 3b~2a) ( 3b-2) 2a+12a'b+3b~2a .1+6ab~6ab+4a

20+ 1+6ab : 1~2a, 1+6ab 1+6ab ' 1+6ab

12a'b+3b 1 +4a 36(4a' +1) 1+6ab 3b(4a' +12 = -1+6ab-: 1+6ab 1+6ab 1+4a 1+4a

143

12a'b 24lah' 2 12a'b 10c' 7b' a'b c' 7b' 7ab'e b) s;:-: 1@C': 7b' = S;:-' 24ab' '2=-;:-' ab' '2=-2--

4 x-2

5.85.a) a+ I b

4(0-2)

b(a + I) b) -'!......

x+5 b(x - 2)

a(x + 5)

cJ

a-2 (a +3)(0+ 10)

(a-4)(ar-5) d)

b

a+l (a - 2)(a -I)

5.7. Operacije sa algebarskim racionalnim izrazima

5.86.0) (~+~+~+I):(E.+I) a3 +a2b+ab

1 +b

3 :a+b=

b' b' b b b' b

(a + b}{a' -ab+b2)+ab(a+b) ._b_ = 02 +b'

b' a+b b'

b) x

x

3+x a(x-2a) x-2a a(x-2a) a a(x-2a) (x-2a)(x+l)

I 5,87. _. 5.88. 4

ab

5.89.a) (X+2 __ 1 ):(_1 +X+2)= x+1 x+3 x+1 x+3

x' +3x+2x+6-x-1 x+3+x' +2x+x+2 x' +4x+5 : x' + 4x:".2.. =1

(x+I)(x+3) (x+I)(x+3) (x+I)(x+3) (x+I)(x+3)

b) [(X+-;)2_,4Y ' _X-y]:~ x'+2xV+Y'-4Y'~X'+2X'Y_-:::Y' :~= x -y x+y x+y x'-y x+y

4xy-4y' :~= 4y(x-y) :~=2. (x y)(x+y) x+y (x--y)(x+y) x+y

(X-I

5.90.a) ---,x

144

= (X-l_~+ 3 JXl(X-I)' (x-l)'---,\x-IXx+l)+3x' 2(x-l)' 2 x'(x-l) xCi-2x+l) 4x-I x\x-I)' . 4x-I

___ . X3 - 3x 2 + 3x -] - x 3 + X + 3Xl 4 1 x =1

4x- 4x-I .

b) (_1 ___ ~+Y+X-2Y): x-3L=~-2y(X+Y)+Sx-YXx-2y). x-3y x-y x'-xy 2xy 2ty-2y' 2ty(x-y) . 2y(x-y)

5.9I.a)

= 2xy-2xy-2y' +X2 -2xy-xy+2y'

2xy(x - y) x-3y

2y(x - y) 2

= --=-...-3xy . x-3y x-3y x-3y . = 1 2xy(x- y)' 2y(x- y), 2y(x- y) . 2y(x- y) .

(c2

+2c)'-(2c+4)2 ( C2+C_6) (c 2-2c)'-(2c-4)': 2: c'+5e+6 =

(e' +2e-2e-4)(e' +2e+2c+4).( c' +5e+6)_ 2 2 . 2. -

(e -2e-2e+4)(e -2e+2e-4) e2 +e-6

(e' _4)(e2 + 4c+ 4) . 2(e' +5e+6) _ (e' + 4e + 4) 2 2· 2 - 2

(e -4c+4)(e -4) e +c-6 (e -4c,l-4)

c 2 +c-6

2(e' + 5e + 6)

_ (C+2)2 (c+3)(c-2) e+2

- (c-2)' . 2(e+2)(e~3) = 2(e-2)' . b) a2+b'

5.92.a) [(I - a-3b):(3a + b -31)]:(a' -b')=[~:~J: (a 2 _b2) = a+b a-b a+b a-b

= a-b. __ :....._ a+b (a+b)(a-b) (a+b)'

b) I-HI+~)+HI-~)=I-~b:a +~: b~a=I_cW;a' + «:'.a) =

5.93.a)

b)

a2 +b 2 _c2 l+=-":"':-~ __ :-,2ab

(a+b)2 _e2

4a 2bz

(b + c + a)2

2be

=b'(b~a)-(b-a)(ab.,-a2)+ab2 a' _ab 2 +b'

b'(b-a) b'(b-a)

2ab+a2 +b 2 _c 2

2ab (a+b)2 -e'

4a2b'

5.94.a)

2ab[(d+b)2_ e']

(a+b)' -e' 2ab.

I-x b)

I+x

145

5.95.a) r~1'I:X Ily] :::~ ~[~:~;+ xly -X~Yl:~::1:~:y~ lJ' x x x x-y xy x x x-Y

4y

= (h;l +_:,: __ ~). x+y. =x'+l+x':-xy-x'-xyx-y x'-:l' x+y x-y . _4L x'-l 'x+y

x-y

(X_y)' x-y x-y x-y ~o+b)' --"''--''-'---' ~-~ - . - = I b) ..... (x-y)(x+y)'x+y x+y'x+y 4ab

5.96.3) "!-I J_I_Ja-m' c':~:':x (a-·IXa+l) .[-I--Il.~~-:!,)+AI-x')"" xc+m ll~ I ·I-d *+a) x-J (I-aXI+a)

x ) x

a-I '(-="--1)' (o+x)(I-x') x(x+o) x-I I-a

a-I x-x+l

x x-I -(a-I)

_ L ___ . (l-x)(I+x+x')=I+x+x'

;0: x-I -I. x b)

12(2a +5)(a + 3)

a-2

5.97.a) x' +3x+9 b) a+2 x-a ant!

5.98. [_a-I_+ 2(a-I)_ 4{a+l) + a ].36a3-1440-36a'+I44

a"L-2a+l a 2 _4 02+a-2 02 -30+2 a 3 +27

J_o-H + 2(a-l) _ 4{a+l) + 0 J.36(a3-4a-a'+4)

Lea-I)' (0-2)(a+2) 1 (a-I)(a+2) (a-l)(a-2) (a+3)(a'-3a+9)

= (0-2)(5+2)+2(a-I)' -4(a+I)(a-2)+a(a+2) .2.4a(a' -4)-(a' -4)L (a-I)(a-2)(a+2) (a + 3)(a' -3a+9)

a' -4+2a' -4a+2-4(a' -2a+a-2)+a' +2a 36(a-I)(a' -4)

(a-I)(a-2)(a+2) (a + 3)(a' -3a+9)

4a' -211-2-40' +40+8 36(a-2)(a+2)

(<I-2)(a+2) (a+3)(a' -3a+9)

2a+6 36 2(a+3) 36 72

146

Rezultat: _ .lia(b + c)' + 11. 2(a+ n+ I)

b) (a+x+I)' a' ~~' 2(a-l)' 5.100.

0+ 1

5.101. ( ,a + 3 ,I 4 ).(a- 4+3a)_ a +a-6 a +3a -4a-12 6-a-a" a+3-

= ( a + 1 + 4 _). a(a+3)-4-30 (a+3)(a-2) 0'(a+3)-4(a+3) (0+3)(a-2)' a+3

_ ( 0 + 1 4) 0' + 30 - 4 -3a - (a+3)(a-2) (a+2)(a-2)(0+3) + (0+3)(a-2): 0+3

_ 0(a+2)+1+4(0+2). a' -4 0' +20+1+40+8 0'-4 - (0+2)(a-2)(a+3) . 0+3= (0+2)(0-2)(0+3): a+3 =

0' +6a+9 . __ a_~ = (a+3)' (a+2)(a-2)(a+3) (a-2)(0+2) (a' -4)"

5.102. _I =! __ L 1 I __ I.. I u{a+l) a a+I'(a+1Xa+2) a+l a+2"'" (a+4Xa+5) a+4 a+5

1 I I I 1 ~ .... -.. + + + +----a(a+l) (a+I)(a+2) (a+2)(a+3) (a+3)(a+4) (a+4)(a+5)

I I I I I I I I I 5 =--- +-----+----+---+--=----=-_. a 0+1 a+1 a+2 a+2 a+3 a+3 a+4 a+4 0+5 0 0+5 0(a+5)

5.103. [ a-2 , + (a+;)' -12 I J: aJ +2a' +20+4

6a+(0-21 a -8 a-2 oj -202 +20-4

=[ c o _ 2 + 0'+8a+16-12 I ].02(a+2)+2(0+2)= 6a+a 2 -4a+4 (a-2)(a 2 +2a+4) a-2 . a'(0-2)+2(0-2)

=[ a-2 + 0'+8a+4 I ].(a'+2)(a+2) a' +20+4 (a-2)(a' +2a+4) a-2 . (a' +2)(0-2)

(a-2)' +a' +8o+4-(a' +20+4) a+2 d-4a+4+d +8o+4-d -20-4 a+2 - (a-2Xa'+2a+4) 'a-2 (a-2Xa'+2a+4) :0-2-

a' +2a+4 0-2 a' +2a+4 a-2 I ---....:"'---. -- = , . - .... = --, (0 ;>" ±2) . (a-2)(a'+2a+4) a+2 (a-2)(0 +20+4) 0+2 a+2

5.104. 0, (x Hi) 5.107.

x 5.105.

x' --I

5.108. 1+3x

6

5.106. a~b

2(2a-b)

147

5.S. Dokazivanje jednakosti nekih algebarskih racionalnih izraza

I I 1 5. H19. ---+ t-·- ---

(a-bXa-c) (b-aXb-c) (c-aXc-b)

a+b b+c a+c 5. fi 10. -:---:--1+-'

(b-cXc-a) (c-aXa-b) (a-bXb-c)

b-c+c-ata-b 0

(a-bXa-cXb-c) (a-bXa-cXb-c)

(a+bXa-b)+(b+cXb-c)+(atcXc-a)

(b-cXc-aXa-b)

a2 _b2 +b2 _(,'2 +c2 _a2 __ --=0 ___ =0.

(b-c)(c-a)(a-b) (b-c)(c-a)(a-b)

5. niL Uputa: Zadatak se moze rijesiti neposrednim izvrsavanjern naznacenih operacija.

( 1 2x 1)2 (X_3)2 + 12x

SRP ----+ + . = . -. X' +3x+2 X' +4x+3 X' +Sx+6 2

( I 2x I)' x' -6x+9+12x

= (x + l)(x + 2) + (x + l)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)' 2 =

o

=(X+3+2X(X+2)+X+I)'. x' +6x+9 =(2(X+2)+2X(X+2»)'. (x+3)' = (x+I)(x+2)(x+3) 2 (x+I)(x+2)(H3) 2

=( 2(x+l)(x+2) )'. «+3)' __ ( __ 2_)' (x+3)' 2. (x+I)(x+2)(x+3) 2 x+3 2

. a2 -(2a-3b)' 4a2 -(a-3b)' a' -9b' 2a 5113 + + +--=

. . 4a'-(a+3b)2 9(a'-b') (a+3b)'-4a' a+h

(,,-.=2oc...+..c3b,-,Xc.ca_+2o-3b) +i2o-a+ 3bX2o+a-3b) + (a- 3bXa+3b) _ +_20_ = fL+a+3b)(2a-a-3b) 9(a-bXa+b) (a+3b + 2oXa+3b-2o) a+b

-3(a-b)(a-3b) 3(a+3b)(a·-b) (a-3b)(a+3b) 2a_ --'-~"---'. + ... - + + ---3(a+b)(a-3b) 9(a--b)(a+b) -3(a+b)(a-3b) a+b

-(a-b) a+3b a+3b 2a = + +--

a+b 3(a+b) 3(a+b) a+b

-a+b +2a

a+b

(a+2b)3 _(a_2b)3 3a 4 +7a'b' +4b 4

5.114. : -;----:-~-7 (2a+b)3 +(2a-b)3 4a4 +7a'b' +3b 4

a+b =1.

a+b

4b (a+2b)' +(a+2b)(a-2b)+(a-2b)' 4a4 +8a'b' +4b4 -a'b' -b'

4\" (2a+h)2 -(2a+b)(2a-b)+(2a-b)2 4a' +8a'b' +4b' _a' _a2b'

fJf(a' + 4ab + 4b 2 + a' -4b' + a' -4Gb +46') 4(a' + b' l' -6' (a' + b') ._.

"-a(4;,-' +4u.';+h'-4a' +c'+4a'-4ab+b') 4(,,'+b')-a'(a2~b')

14&

b(3a' +4b') (a 2 +b')(4a' +4b' _b ' ) bOa' +'4b'). 4a' +3b' b

a(4a' +3b')' (a' +b')(4a' +4b' _a') a(4a' +3b') 3a' +4b' a

5.ll5. (1+_2ab

__ ):[a' ~b' '(1+~)]= a 2 _ab+b 1 al+b 1 a~b

~ a' - ,ab + b ' + ,2ab J (a - b)( a: + 4b + b:) . a - b + 2b] = a'-ab+b L(a+b)(a--ab+b') a-b

_ a 1 +ab+b 2 ,a1 +ab+b 2_

1 -~~_ab+'l/i'a2_ab+bl - .

f( 3a a'+ab+b' 3) 2a+h' ] 3 5.116. L a',-b" a+b '-b-a 'a'+2ab+b' '~+b=

[( 3a 3 ) (a+b)'] 3

~ (a-b)(a+h) + a-b "'2a+h . a+b ~

_[3o+3(a+b) (a+h)'] 3 _ 9(2a+b)(a+b) _ 9 - (a-bXa+b)' 2a+b . a+b - (a~b)(a+b)(2a+b) - a-b'

i/ +b 1 -:;2 +b 1 . ~b~l1+ a2 +ab ( a' a'b) (a b) 5.117. -'------'--'-----~

a_I

~~~{~-b)+~a~b)) .

a-b

b

5.118*

b

a'(a=.b). a' +b~, a(a·-b)

a2 +b' ab(a+b) __ b(a+b) a-b a-b

b b

ab(a-b)

b(a+b)(a-b)

a

a+h

a'(c-b) b'(a-c) e'ea-b) --~-+ --,

a J (c - b) + b'(a - c) - c'(a - b)

abc be DC ab ",a('.:..c ~-b::.!.) + :.b-,-( a_-_c",) c( a - b)

be ilC ab

a\c - b) + bJ (a - c) -c' (a -b)

a'(c -b) +b'(a -c) -'e'(a -b)

abc a3c_alb+abl_b3c_ac3 +bc 1

a'c-a 1b+ab 1 --b\::-·ac 2 +bc 1

c(a' -h')-ab(a'-b')-:c'(a-b) (a-b)(a'c+abc+b'c-a'b-ab'-c')

e(a' -b')-ab(a-b)-e'(a-b) (a-b)(ae+bc-ab-c')

(a'e - a'b) + (b'e -e') + (abc - ab') a'(c'-b) - c(e - b)(e +b) + ab(c -b)_ (ac-ab)-(c' -be) a(c-b)--c(e-bi-, - .... --

(c-b)(a' -c' -bc+ab) = (a-c)(a+c)+bCa-c) (a~c)(a+c+h) __ '. .--~-. - a+b--;- c.

t (a-c)(c-·b) a--c a-c

L . _______ 14_9_~_~. ~i&~.JJJjJJjfiM .... ~ ........................ ~ .. __ .... mM .. ________ ~ ____ ~ .. ~~ .. __ ~ ______ ~~ _______________________ '~Rw.

5.1 1 9. a' (a + b)( ate) + h . 11'_"_' c_)( b_+_a_) 4- c . -:-( e_+_a-,)-:-( c_+_b,-:-) -(a-b)(a-c) (b·-e)(b-a) (c-a)(c-b)

~ ala + b)(a +e)(b -e)+ b(e -a)(b + e)(" + a) +c(a -6)(e + a)ee + b) ~ (a-b)(a-c)(b-e)

(a' +abXab-ac+be-c')+(be-abXb' +ab+be+ac)+(ac-beXe' +be+ac+ab) =

(a··bXa-eXb-c)

a'b-a'c+6'c.-ab' +ae' -be' a'(b-e)+be(b' -e')-a(b' -e')_ (a-b)(a-e)(b'-c) . C, (a-b)(a-e)(b-e) -

(b-e)[a'+be(b+e)-a(b' +be+e')la' +b'e+be' -ab' -abc-ae' =

(a-b)(a-e)(b-e) (a-b)(a-e)

(a' -ab')-(abe-b'e)+("e' -ae') ala' -b')-be(a-b)-e'(a-b) ._-= (a-b)(a-e) (a-b)(a-e)

(a-b)(a' +ab-be-e') (a' -e')+b(a-e) (a-e)(a+e+b) "'" "'" a+b+c. (a-b)(a-e) a-e a-e

5.120. a'. (a+b)(a+c~+b'. (b+c)(b+a) +e'. (e+a)(c+b) (a-b)(a-e) (b-c)(b-a) (e-a)(e-b)

a'(a + bleb - e)(a + c) + b' (b + e)(e - a)(b + a) + e' (a - b)(e + a)(e + b) =

(a-b)(b-e)(a-e)

a4b~ab4 +a Jb2 _aLb} ~a4c+b4c~aJc2 +b 2c1 +ac 4 _bc4 +a 2c' _b1c

3

(a-b)(b-e)(a-e)

ab(a' -b')+a'b'(a-b)-c(a' -b')-e'(a' _b')+e'(a_b)+c'(a' -b')

(a-b)(b-c)(a-e)

(a-bXdb+db' +ab' +ell!.. -de-ci'be-ab'e-b'e-ci'c' _abc' -b'c' +c' +iL' +be') =

(a-bXb-cXa-c)

(db-dc)+(db' -d/x)+(d/ :-dlc)+(dH -de')-(b'c-ix!)-(d:d -d)-We' -c') = (b-eXa-c)

d (b -c) +d «b-c) +ab'eb '-e) +d (b ··eXb tc) -Ix\b' -e') -<X' (b -e) -c' (b -eXb+e)

(b-·eXa-c)

a' +a'b+ab' +a'(b+eL-be(b+c)-ac' -e'(b+e)_

a-e

a"-c

(aJ -ac')+(a'b-bc')+(ab' -b'c)+(a'b-bc')+(a'e-c')

a-e

150

ala - c)(a + c) + bCa - c)Ca + c) + b' (a - cJ + bCa -e)(a + e) + e(a c)(a + c) _

a c

= a(a+c)+b(a+e)+b' +b(a+c)+c(a+c)=

= a' +ac+ab+bc+b2 +ab+bc+ac+c' =

5.121. --[ ;:'~: :': :"~:; ~~:l':'Er: ':;:,; ,,,,-b e be ae ab

_(b 2 _be+e 2 a2 3]~ -[- a + b+e - "-~~ . a+t+e +(a+b+c)'=

\ be abc

(b' be 2' ) +--- '---+(a+b+ci = l - +e a 3be 2a(b+e)

a b+e b+e a+b+e

bJ , 3

+e +a -3abc 2aCb+e) a{b+c) '-;;;b+e +(a+b+e)2 ~

_ (a+b)3 +e 3 -3a 2b -3ab' -3abe - a+b+c '2+(a+b+e)' =

= (a+b+e)Ca' +2ab+b' -Ge-be+e') 3ab(a+b+c) a+b+e .2+(a+h+e)2=

= .~a+b+e)(a' +20b+b' -ao-be+e' -3ab) --;+X;;: '2+(a+b+c)'=

= (a 2 -ob+b 2 -ac-bc+c 2 »2;a2 +b 2 +e 1 +2ab+2ac+2bc=

= 2a2 - 2ah + 2h' - 20c- 2bc + 2c2

+02 +b~ +e1 + 2ab + 2ac + 2hc= 3(a 2 + b 2 + c 2 )

5.I22·l(I+ I+~f HI-3 I+;~ jl=l(l+ 1-3a+I+a):(H. I-ktJ..:t:<:.)= 1-3.--) i I_3.~+a ]-3a-3-3a 1-3a-3-3a

1-3a \ 1-3a

= (I-J..::..c1.) :(1 +3 .. L::~a 1=.1.+3a-1 + 0 : 1 +3a + 3 -3a ~~ ._4_ = I + 30 1 "T JQ j 1 + 30 1 + 30 I + 3a . 1+30 a.

5.123. a'(x-b)~t-:..:J.+ b'(x-e)(x-a) + e'(x-a)(x-b) (a-b)(a-c) (b-c)(b-a)' (c-a)(c-b)

= a'ex - 02.(x el(o" c) + 6'(e - al(x - el(x - a) + c' (a o)(x- a)(x - b) (a-b)(a-e)(b-c)

1,\1

" 'I 2 b' 2 b" b2 2 ac:x:_a.o,·+a'}x~CX+ ex-a x

- (;=b)(a -c)(b - c)

_ x' [acF-"l.:t:!1~:-c)(a + c) + b'(c - a)] - (,,_b)(iI-C)(b-c)

_ x2(a_d_c::!'.l',:.:':c)-b 2] x'[a(b-e)-b(b-c)] x'(a-b)(b-c) x2.

- (a-b\ta-c)(b- c) (a-b)(b-e) (a-b)(b-c)

1 I I I 1 1 I 1 I I 1 5.124. -~-~---+ .. + n(n+l) = 1-2+2-3+3-4+"'+;;-- n+1 =

1.2' 2·3 3·4 = 1 __ 1_ n+I-1 n

n+l n+l n+l

5.125. Svaki sabi1f:lk n:J !ijcyoj strani se moze napisati U obliku razlike na

slijedeti r-13l:in: I IiI!' I I(~_~) _I __ ~(I I) I I( I 1)

1.3=:;T:31· ,.5=:; 3 5' 5.7-25-7 ''''(2n::::1)'(2n+1)=2 2n-1 2n+l'

/3 + :1:t::;;:~I~~I)I(~=m~-~H~-~}G-~)+"+(2Ll- 2n

1

+1)]=

=HH~~-~ +~ -~++ 2n1_1 - 2n\I]=Ml- 2J1\1)=~?~~~1 = 2n

n

+(

b __ .--:'::-' -;:-___ + + .-cc,-__ 5.126 (x-aj(cr-bl\,'-C) (x-bJ(b-a)(b-c) (x-c)(c-a)(c-b)

a(x b)(x e)(b ·,e) +b(x-a)(x-c)(e-a)+::(x-a)(x-b)(a-b)_ (X-o)(x b)(x c)(b c)(a b)(a-c) -

o:;'x -bc'x-.""'x+ a' hI' + b'cx- a'cx x[c'(a-b) +abCa-b) ·,c(a-bXa+b) ]= - ---------- (x-aXx-,'lx-,'Xb _c)(a-bXa-c) (x-aXx-bXx-eXb-eXa-bXa-c)

= __ x.<a_NL'~_":'J.~~c(a+b)] x(e' +ab-ac-.::,b.:,c),--_ lX _ aJ(x _ bl(x' ,')ll, cl(o -b )(a - c) (x - alex - b )(x - c)(b - e)(a - c)

4"(J-:)-,,\,,=-,Ji- x(b-cXa-c) ._x __ = Z,_c)(x_Fi(:;::-::)\/,.,c)(a-e) (x-aXx-b)(x-cXb-cXa-c) (x-aXx-hXx-c)

(."-f +,llll' +c·-a) 1 4bc 5.127 x+I=--y;"--'Y+ (a+b+e)(b+e-aj' (x + a)(y + 1) =2.

. h )' ( d 2 (a7r):~(,,+d), =( +e - e+ ) -- (J~~~;J)-(b+c)(c+d)

.,' -c.,," i.~.,a' +2ad +d' _b 2 _26[':c2

_c2

-2cd _d2

=---_.- ,,' "d + ab + bd - (be + od + c' + cd)

5.128.

152

= 2a 2 +2ab+2ad-2bc-2c2 -2cd 2.al+ab+ad--bc-c2 cd

a' + ad + ab -bc -c' -cd a' + ad + ab -be -c' -cd 2.

a b a b 5.129. ,-- ---- --....::..-- --:--=;........--b' .. 1 a ' _' - (b-l)(b'+b+l) (a-l)(a'+a+l)

= a(a-I)(a' +a+I)-b(b-l)(b' +b+I)_

(b-I)(b'+b+I)(a-I)(a'+a+l) --

= (a'-a)~~+a+I)-(b' -bleb' +b+l) _.'

(ab-a-b+ I)(b' + b + 1)(a' +a+ I)

a4 _a_b4 +b

ah(a'b2 +ah2 +b' +a'b+ah+b+a2 +a,+ I) =

= a4 -b' -(a-b)

ab[ a'b2 + ab(a +b)+ (a' +b') +ab + (a + b) + IT = (a-bXa+bXa' +b2 )-(a-b) ,(a-bXa' +b' -I)

ab[a'b2 +ab+(a+b)' -2ab+ab+I+IT ab(a'b2 + I + I + I) = (a-b)(1-2ab-l) 2(b-a)

ab(a2b' +3) a'b' + 3 .

5.130. (b-C + c-a + a-h).(_a_+_h_+_C_)= abe b-c e-a a-b

bc(b-c)+ae(e-a) >ab(a-b). a(a-b)(c-a)·'b(a-b)(b-c) >c(b-c)(e-a) abe (b--e)(a-b)(e-a)

b'c-b? +cr;2 -ffc+Jb-06' . ffc+Jb+o6' +b'c+lr2 +a:' -(d' +b) +c')-3dx abc (b2 bc1 ') ., -0"" 2 - e- +IX' -<<c+<<b-06 )

ffe+Jb+o62 +b2e+b? +a:' -(a+b+cXJ +20b+b' ':a:-lx::,:i')+Yb+3ab' - 3d:c

-abc a 2c+a 2b+ab 1 +b 2c+bc 2 +ac 2 +3a2b+3ab2 3abc

~Qbc

(4a'b+4ab' +4abe)+(abc+b'c+be2)+(a2'c+abc+ac 2) 9abc

-abc =.~'!.b(a + b + c) +be(a +b +e) + ae(a + b + e) -9abc 9abe 9.

-abc I 1 I Q+b -+-:::::::--- " ~ ---=--abc . ab c

<=:> ab+c(a+b) = 0) to vrijedi:

be + ac + ab =cl ~+ ~Jlt- ah =c 03

+ b3 -t-E.~ =~ (a+_!?)(a

2 - aR + b

2) ab_

a 2 b I c" l.a 2 6 2 c 2 > a 2 b 2 c 2 alb: +-

153

I

a+b (a+b)' -3ab ob _ = C.--- +2 - c

ab ab c

~ _[a+b .(a+b)'-3J+ a~ ~_=.l ab , C c

ab+ e(a+b2+ 3 ~ ..c>.+3 ~3. - - c2 c 2

5.13]. , 'b()' be(y-z) +ae(z-x) +a x-y

I (a+b)'-3ab ab_ _ .------+--~ c ab C

2

ab (a+b)+-+3~

e'

a'(2 + by2 + cz2

=/'e(Y' - 2yz + Z2) + ac(z' - 2xz + x') + abex' - 2.ry+ y')

ax2 + by2 + cz 2

= bey2 _ 2bcyz + bcz 2 + acz 2 -- 2acxz +'ocx2

+ abx2

- 2abxy + ab}' 2

+ 0

ax2 +by2 +cz2

.= .----- 22 ? -2 bey' -2bcyz+bcz' +acz' -laexz+acx +abx -2ab.ry+aby- + (ax +by + cz)

, b 2 ' ax - + Y +...:c:::Z...:-"7"_c;--:;-_::-::----cc-:;-

bcy2 + bcz l + acz 2 + acx! + abx 2 + aby2 + 0 2 x

2 + b

2 y2 + c

2 z'

ax2 +by2+CZ2

.-

a(ax' +b/. ~aez')+b(ax' + by' +cz2 )+e(ax' + by' +cz2

)

ax l +by2 +cz 2 1 --.~-~'--

(a+b+c)(ax'+by 2 +oez') o+b+c

5 134t Dati uVJ" et mazemo transformisati na slijedeci nacin: " 2 2

a'+d'-2(ab+bc+cd-b'-c') = a'+d'-2ab-2bc-2cd +2b +2c ~ =. (a'-2ab+b')+ (b' -2bc+ c' )+ec'-2cd+d') ~ ~ (a_b)'+(b_c)'+(c_d)2~ O.

Kaka je zbir kvadrata tri broja nula jedino aka su svi ti brojevi jednaki nuli, to

zakljllliujemo da vrijedi: a-b = b-c = cod ~ 0 sto znaCi claje a ~ b ~ c = d, pa , dalje, vrijedi:

a(a+h+c+d) o(a+o+a+a) 4a' ~l 02 +b1 +c 2 +-d1 0 2 +0 2 +0 2 +0

2 40

2 .

5.135. Izraz pod korijeno'rn moze,se napisati na stijede6i nacin:

154

~+....!.-+~+( a+b+e )2 ~ b 2c

2 +~\2 +a2b

2 + (a+h+c)2 a 2 b 2 c2 ab+ac+bc a~b c2 (ab+ac+hc)2

_ (b 2c 2 +a'c' +a~b')eab+ac+bc)' +a'b'c'(a+h+c)'

- a'b'c'(ab+ae+be)'

Nazivnik razlornkaje kvadrat. Posrnatrajrno brojnik gornjeg razlornka.

(b 2c' + a'e' + a'b')(,,'J + Ge + be)' + a'b'e' (a + b + e)2 ~

= (b 2c 2 + a 2e2 + a2b2 )(a2b~ + a 2(? + b2c2 + 2a2bc + 2ab 2c + 2abe2) +

+a'b2c'(a2 +b' +c' +2ab+2ae+2bc)'= ... =

:= (a4b4 +b 4c4 +a4c4 +2a4b2c2 +2a2b4c 2 +2a2b2c4)+

+(2a3b 4c + 2a4 b 3c + 2a 3b3e 2 + 2ab 4e 3 + 2a 2b 3c 3 + 2ab 3e 4 + 2a3b2c 3 +

+2a 4bc3 +2a3be4 )+

+(a264c 2 +a4b2c2 +a2b2c4 +2a3b3c2 +2a2b]c3 +2a3b2c3) =

= (a 2b' +h2c 2 +a2c')' +2(a'b' +b'e' +a'c')(a'be+ ab'e + abc2) +

+ (a'be+ab'c+abc2)2=[Ca2b2 +b'c2 +a'e2 )+ea'bc+ab 2e+obe')],.

Kako se i brojnik i nazivnik datog razlomka pod korijenom, kao sto smo vidjeli, rnogu napisati kao kvadrati, to je dati izraz raciona!an broj i vrijedi:

a2b2 +b2c2 + a2e] +a2bc + ab2c + abc2

abe(ab+bc+ac)

5.9. Dokazivanje Ilekih nejedllakosti

5.136. Doh): a 2 + b~ ---->ab 2 -

¢;> (a _b)' <: O.

Kako posljednja nejednakost uvijek vrijedi, to vrijedi i pocetna.

5.137. Dob?: (Fa - Ii,)' <: 0 ¢;> a - 21Gb + b ? 0

¢;> 0+b?2,Jab ¢;> a~b ?,Jab.

5.138.

155

I(a--b)' 2 0

5.B9. Dokaz: (b-c)' 20

(a-c)'20

ra' +b'? 2ab

lOb' +c' 22bc

a2+c2~2ac

¢> 2a 2 +2b 2 +2c 2 2:2ab+2bc+2ac

¢;> a'+b'+c''?ab+bc+ac 5.140. Nekaje a';;b.Kakoje a,b>O,tovrijedi

a2 = a2 + b2 _ b1 S 3

2 + b2 _ ab = c2

~> a 0; .Ja' +b' -ab ~ c~ .Jb' -ab+ a' ~Jb' -a{p- a)$ b.

Kako je a ~ c.:s; b, to je a - c ~ 0 i b - c ~ 0, pa vrijedi (a-e)(b-e),;; O.

a4 +b4 + c4

=: ~(2a4 + 2b4 -+ 2c4) = _~(a4 +b 4 +b4 -+ c4 + a4 +c4). 5.141. 2 2

Kako je Xl + y2 ~ 2xy , to vrijedi:

a 4 +b4 +c4 ~~(2a2b2 +2b 2c1 +2a 2c 1 )=a2b1 +h 2c 2 +a2c2 = 2

~ .!.[(a'b' +b'c2 )+(b'c' +a2c')+(a2b' +a'c2 )] ? 2

2 .!.(2ab2e + 2be' a + 2a'be) ~ ab'e + be' a + a'be ~ abc(a+ b + c).

2 5.142.* Vrijedi: (a-b)'2 0 ¢;> a'+b2-2ab 2 0 ¢;> a'+b' 22ab.

Analogno se dobije: a2+c2 ;:;: 2ac i b2

+C2 2:: 2bc. Otudaje:

a2+b

2 + a2+c

2 +b2

+C2

:?: 2ab+2ac+2bc ¢::> a2+b 2+c2 ;?: ab+ac+bc. Kako je a'+b'+e' ~ (a+b+c)'-2(ab+ae+bc) ~ 36- 2(ab+ac+bc), koristeci gornju nejednakost, dobije se:

a2+b

2+c

2 ~ 36 - 2(a2+b1+c1) ¢> 3(a2+b2+c 2

);::: 36 ¢) a2+b2+c2 :?: 12. 5.143. Nekaje a?:: b ~ c > O. Tada je a-c ~ O;',b-c ?: 0, a+b-c 2:: 0 i vrijedi:

3abe - [a' (b+e-a) + b' (a+c-b) + c2 (a+b-c)] ~ ~ 3abc + a

2(a_ b -c) + b'(b -a-- c) + c' (e -a- b) =

= 3abc + a3 + b3 + c3 ~ a2b _ b2a _ ale _ b2c _ c2a _ c2b :::=:

~ (a3

- a'b) + (b3 - b'a) + (2abe _ a'e _ b'c) + (e3 _ c'b +abc--c'a) ~

~ a'(a-b) + b'(b-a) - cia' - 2ab + b') + c( c2 - cb +ab-ca) =

= (a-b)( a2_ b') - cia - b)' + c(e -a)(c _. b) ~

~ (o-b)' (a+ b-e) + e(e-a)(e - b) ~ ~ (a-b)' (a + b - c) + e(a - e)(b- c)? O.

5.144. Vrijedi as + bS ~ (a+b)(a'-aJb+a'b'-abJ+b') ~ ~ (a+b)[a'+b

4 -ab(a'-ab+b')] " (a+b)[a'+b'] ~ ~ 527 ?o (afh)Jo'b' -a'P(acb) ~> a' +b ?a b-(a~b).

Dalje vrijedi:

156

~ > ~ C C

a5

+65

+ab a16

2(a+6)+a6 a16+a62 +1 C Q+b+c

Analogno se dobiju tacne nejednakosti

be a CQ b b' , b > b 5 S 2: ---+c + c a+ +c c +a +ea a+b+c

Sabiranjem posUednje tri nejednakosti, dobUe se: ab be ca c: b a "--,-,, -c- + + < + + __ _

as +6 Tab b5

+cs +hc cS +a5 +ea Q+b+c Q+b+c a+b+c

5.145. Kako vrUedi x'+ I;, 2xy, to je x + y= ~(x+ y)' ,;; ~2(x' + y') , pa

prema datom lIvjetll vrijedi:

x+y~~(x+Yl,;;Jz(x'+Y')';;2 i

I) Aka X, y i z nisu pozitivni brojevi, tada vrijedi: '

2 + xyz-x-y-z ~ 2 -(x + y)-z(l- xy) 2 0, odakle neposredno slijedi tacnost nejednakosti koji treba dokazati.

2) Ako su x, Y i z pozitivni i O:s; x $ y s z, tada vrijedi a) laz,;;l je 2+xyz-x-y-z~(l-x)(I-y)+(I-z)(I_xy);'0.

b) zaz>l je x+y+z=~2[(x+Y)'+z'J~2J2'Y+lo;xY+2,;;xyz+2. 5.146. 4x' = (2x)' ~ (x + y + x _ y)' ~ (x+y)'+2(x+y)(x-y)+(x-y)'

2 (x+y)'+2(x+y)(x-y)

4x2 > (x+ y)' +2(x+v)(x- y)

4(x + y) 4(x+ y) ~> Xl X+)' x-y

~> --2--+--x+ Y 4 2

Na analogan nacino dobiju se nejednakosti:

y2 y+z y-z z z+x Z-X --;,--+-- --;'--+--. y+z 4 2 z+x 4 2

Sabiranjem tri posUednje nejednakosti dobije se:

Xl y2 Z2 x+y x-y y+z y-Z I+X' Z-X ~ --+--+--;,-- f--+--+ __ +~ __ + __ _ x+y y+z z+x 4 2 4 2 4 2

=x+y+y+z+z+x +x-y+y-z+z-x _2x+'2y+2z_ 3+Y+z

4 2 ' 4 2 5.147. Koristeci svojstvo daje aritrneticka sredina veca ilijednaka

geometrijskoj, dobije se:

1 + a + I + b + I + c 2 Vr(l-;-. a--c)'C(IC'+-bcc)--::(I-+-c-c) ¢;> (3 +a+b+c) 23.fci+a)(1 +b)(l +e) 3

III .1 t 1 + a + I + b + I + c 23· V O-+-a-:-')(-:-'I +-:Cb ):::-(l:-+-e-;-) .

Mno7.enjem dviju posljednjih nejednakosti dobije se:

(I 1 I) 1 1 1 9 (3+a+b+c) -+-+- 29 w -+-+-)_........,_

l+a l+h l+c l+a l+b l+c 3+c+b+c

157

i'

I I Kako je 3+a+b+c :s; 6 > to je ---.... ~- 2: ~. Sada mozemo pisati:

3+a+b+c 6 I I I 9 9 3

.-~+--+-> :?:-=-, I+a I+b I+c 3+a+I'+c 6 2

cime je dokaz nejednakosti zavrsen. abc abc 5.M8. ~_+_~+_~=_~+I+--+I+-~+I-3=

b+c a+C a+b b+c a+c a+b

a+b+c a+b+c a+b+e (I I I) = + __ ~+ .. 3=(a+b+e) --f· ~~+-~ -3 b+c a+C a+b b+c a+c a+b

(*)

1001;0 je aritmeticka sredina tri broja veea (iIi jednaka) od njihove harmonijske

srmine, to vrijedj: I 1 1

--+-~.+--.. b +c a -+ c a +b > ~c--_~3 __ -:-_

I I I

I I I -~+-~+~-

b+c a+c a+b>

3

3

3 2(a+b+c)

~---.+-~ +-~

I I I

b+c a+c a+b

1 1 1 9 -~+-~+-~>-~-~ b+c a+e a+b 2(a+b+e)

Kmistenjem~dobivene nejednakosti i uvrstavanjern u (*) imamo: abc 9 9 3 __ +_~+-~:o:(a+b+c) 3=--3=-.

b+c a+e a+b 2(a+b+c) 2 2

. IIi 1 5.149. NekaJe~=x,-=y,-=z. Tadajexyz=I ivrijedi:

abc 1 1 x 3 y3 Z3_

-,--+-.--+-~-.- = --+ _ .... + ---a3(b+c) b3(e+a) c'(a+b) 1 1 1 I I 1 -+- -+- -+-

yzzxxy

Xl 2 2 = ___ -+.1'.... + ~z_.

y+z z+x x+ y

Nlekajesada y+z=A, x+z =B, x+y=C. Tadaje 2(x+y+z)= A+B+C

X A+B+C AA+B+C_ B z A+B+C_C. 2' , Y 2 ' 2

bmjenom gornjih vrijednosti za X, y i z u relaciju (*), dobije se:

(*)

'" _ (A+~+C)' -A(A+B+C)+A' (A+~+C)' -B(A+B+C)+B'

( )- A ------+ B +

n58

(A+B+C)' , ~ 2 -C(A+B+C)+C

+ = C

= ---- -+-+- -3(A+B+C)+(A+B+C) = (A+B+C)'( 1 I I) 4 ABC

- -+-+- -2(A+B+C) = _ (A+B+C)'(1 1 1) 4 ABC

= A+!-+C[(A+B+Ct +~+Z)-8] =

= A+B+C[(A+B+C)(BC+AC+AB) 81 = 4 ABC J

= A+B+C[~::tll.('~!(A2+B')C+(A2+C')B+(B'+C')A ] 4 ABC 8 :0:

A+B+C[ ] A+B+C 1 I - 3 :0: 3+2+2+2-8 = -,(x+y+z):O:-·3Vryz=-. 4 4 2 2 2

Ovdje su koriStene nejednakosti A'+B' :0: 2AB, A'+C' :0: 2AC, E'+C' :0: 2EC.

5.150. (a+b+e)' _a' .. b3 -e':O:72

<C;> O' +b ' +e ' +3a'b+3ab' +3a'e+3ae' +3b'c+3be' +6abc-a' _b3 -e

3:O:72

<C;> 3a' b + 3ab' + 3a' e + 3ae' + 3b' c + 3be' + 6abc:O: 72

<C;> 3(a'b + ab' + a'e + ae' + b'c + be')" 72 -18

¢::> a 2b+ab 2 +a 2c+ac 2 +b 2c+bc 2 ;:;:18 <C;> ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c):O:18

333 ¢:> -(a+b)+-(a+c)+~(b+c):O:18

c b a

<C;> (~+~)+(~+~)+(~+~):O:6

a b a c b c ~, ~+~+-+-+-+~?6

c ebb a a

Kako je x + y :0:) x· Y , to je (~+!'.) + (~+~) + (!'. +~):o: 2 + 2 + 2 = 6, 2 ba ea cb

"ime je nejednakost dokazana.

159

5.10. Razni zadaci

5. I 51.a) a+b+c'" 0 w (a+b+c), ~ 0 W a'+b'+c'+2ab+2ac+2bc ~ 0 a2 + b2 + c2

W ab+ac+bc = _-'--C._-"-

1 b) ab+ac+bc=--

2

-2 2

w (ab+ac+bc)'= (-i)' ~ alb2+a2c2+b2c2+2a2bc+2b2c+2abc2 = ~

4

w a'b'+a'c'+b'c'+2abc(a+b+c) = ~ 4

c) a'+b'+c'~ I w (a'+b'+c')'=1 w

¢) a2b2+a2c2+b2c2:;:;: .! , 4

a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2= 1

5.152. Prema datim uvjetima za brojeve min vrijedi: m=3k+! iIi m~3k+2,n=31+1 111n=31+2. (k,IENo).

Zato su moguci slijedeci razliciti slucajevi: a) m=3k+! ,n=31+1, (k,IENo).

m'+n'+I= (3k+I)'+(3I+I)'+1 = 9k'+6k+I+9I'+61+1+1 = = 9k'+6k+9I'+61+3 = 3(3k'+2k+ 31'+21+ I).

b) m=3k+1 ,n=31+2, (k,IENo). m'+n'+ 1 = (3k+ 1)'+(31+2)'+! = 9k'+6k+ I +91'+ 121+4+ 1 =

= 9k'+6k+9!'+121+6 ~ 3(3k'+2k+3I'+41+2).

c) m=3k+2,n=31+1, (k, lENa). rn'+n'+1 = (3k+2)'+(31+1),+!= 9k'+12k+4+9I'+61+1+I~

~ 9k'+12k+9I'+61+6 ~ 3(3k'+4k+3I'+21+2).

d) m = 3k+2, n = 31+2, (k,IENo)· rn'+n'+ I = (3 k+2)'+(31+2)'·t·1 ~ 9]('+ 12k+4+9I'+ 121+4+ 1=

= 9k'+IZk+9I'+IZI+9 ~ 3(3k'+4k+3I'+41+3).

5.153. Nekaje 55 =x+1. Tada vr1jedi: x 2! _55x 20 +55x19 55x!8 +55x 17 -.,.+55xll _54x10 +25=

x" -(x + I)x'" + (x + I)x" -' (x + I)x" + (x + I)x" - ... + (x + I)x" - xx" + 25 =

X Z1 -lx21 _ x 20 + x20 + X l9 _ X l9 x lg + x lg + Xl? - ••. + Xl2 +- XII - Xii + 25 ::;;:; 25.

5.154.2' +Z99=(2 3)3 + (2 33

)3 = (2 3 + 2 33 )(26

- 236

+ 266

) =

= (2+21')(2' _2" +222)(26 _236 +266 )=

= 2(1 + 21O )2n =4(1 + 1024)n = 4 ·1025n =4 lOOn = 100· 41 n, n E N.

5.155. Nekaje (xy-7)' = x'+I· Tada vrijedi: x1/-14,'{y+49·= x2+l ~ x2yL_12xy+J6 +13 = x2 + 2xy + l

160

w (xy-6)' + 13 ~ (x+y)' w (x+y)' - (xy-6)' ~ 13 w (x+y+xy-6)(x+y-xy+6) = 13 . Kako je 13 prost broj, to c1jeli faktori u posliOdnjoj jednakosti mor'\iu biti I, 13 iIi -I i-I3.0tudaje

X+ Y+XY-6=1} x+ y-.ry+6= 13

=> x+ y+.ry-·6 '" 1 1

x+ y == 7J => 7+.ry-6=1}

x+y=7

.ry = o} => x+y=7

=> x ~ 0, y ~ 7 iIi x ~ 7, Y = ° . X+ Y +XY-6=-I} x+ y-xy+6 = -13

=> x+y+.ry-6d-l} ~> .ry=12} . x+y=-7 x+y=7

=> x =3, y=4 iIi x= 4, y= 3. . Dakle, postoje cetiri para cijelih brojeva koji ispunjavaju dati uvjet ito:

(0,7); (7,0); (3,4) 1 (4,3).

6. G E 0 MET R I J A U RAY N I

6.1. Neprazan skup tacaka nazivarno geornetrijska figura. 6.2. Tacka, kvadrat, prava, krug, trougao, ." 6.3. Dio geornetrije koji proucava osobine geometrijskih figura u ravni oaziva se

planimetrija. 6.4. Pojrnovi koje uzimarno kao pocetne, bez objasnjavanja, nazivamo osnovni pojrnovi.. U geornetriji za osnovne pojmove uzimamq pojmove tacke, prave i ravni. 6.5. Recenica kojom objasnjavamo znaiSenje nekog pojma nazivamo definicija. Da bi neka definicija bila ispravna, U ojaj se mogu pojavljivati sarno osnovni pojrnovi i oni pojmovi koji Sil prethodno definisani. 6.6. Iskaz koji smatramo istinitirn, bez dokazivanja, nazivamo aksioma (aksiom). 6.7. Iskaz. ciju istinitost dokazujemo naziva se teorema (teo rem). -6.8. Poshlpak obrazJaganja istinitosti neke teorerne naziva se dokaz. 6.9. Na pocetku ovog poglavlja navedeno je 11 aksioma koje se koriste u ovom

dijelu geometrije. 6.10. Tacke omaeavamo velikim slovima A, B, C, D, .... , X, Y, Z, .. .

Prave oznacavamo, obicno, malim slovima a, b, C, ... , x, y, z, ... . Ravni obicno oznacavamo grckim slovima u, 13, y, ... , n, ..

6.11. Dvije tacke mogu biti razlicite iIi mogu da se podudaraju (poklapaju).

161

i I i ,

, i

! i

. , , J

6.12. Tacke koje pdpadaju istoj pravoj nazivamo kolin carne ta<:k{\ Tacke koje ine pr:pn.duju ;stoj pravoj nazivamo n~kolin~:lrne t:lcke.

6.13. Tacke koje pripadaju istoj ravni nazivamo komplanarne tacke. Tacke koje ne pripadaju istoj ra\'fli nazivamo nckomplanarne tacke.

6.14. Za dyDe pravc a i b postaje slijedeci moguci uzajamni poloiaji: a) Prave a i Ibmogu imatijednu zajednicku tacku (anb~{M}).

U ovom slucaju kazemo da se prave sijeku. b) Prave me,,gu da se poklapaju (a:=b). Ovoje specija!ni slucaj paralelnih

pravih. c) Prave a i bmogu lezati 11 istoj ravni i da nernaju zajednickih tacaka, (anb=0.

a, b leze u istoj ravni). U O\:om slucaju kazemo da su prave a i b paralelne (a II b). . d) Praye a i b mogu biti mimoilazne, sto znaci del nenH~u zajednickih tacaka i

ne pripadaju istoj ravni. 6.15. Dvije ravni a i 13 rnogu imati slijcdece uzajarnne polozaje:

a) Ravni mogu da se pokJapaju (a~f3), b) Ravni mogu da iIllaju z~~ednicku pravu a (an13=a). U OVOO1 slucaju kazemo

da se ravn.i sijcku po pravoj a. c) Ravni mag!! da se nalaze u tak\:om polozaju da nCllluju nijednu zajcdni0ku

tacku ( ""'i3~0). Za avahe ravlli kazemo da su paraielne (pisemo Ct.: I 13) . 6. i6. Tacka:tv! IUtDlC pripadati pravoj a (tv"1Ea), iIi moze bitt van prave a (M~a).

6.17. Tacka LvI i Givan a mogu imati slijedece odnose: a) Tacka M jlripada ravni (M~a) iii b) Tacka M ne pripadaravni a (M"a).

6.18. AEa 0 Bila a

6.19. Prava i raVaIl mogu imdti tri razlicita medusobna odnosa, ito: a) Prava moze cia lezi u ravnL Tada su sve tacke prave ujedno i tacke ravni. b) Prava i rav;an mogu imati sarno jednu zajednicku tacku.

Tada kazenno da prava probada (iii prodire) ravan u toj tackl. e) Tre6i slucaj je kada prava sa ravni nema zajednickih tacaka. Tada kaiemo

daje prava paralelf!a sa ravni. 6.20. Dokaz: U Oyoj teoremj pretpostavlja se da su prave a i b razlicite. Tvrdi se da one mogu imatijtednu iii nijednu Lajcdnicku tacku. Zamislimo cia ove prave imaju dvlje zajednicke t.acke A i B. ?rem3 A.I. tackama A i B prolazi jedna i sarno jedna prava. To znaci, ake pretpostavimo da prave a i b imaju dvije zajednicke tacke, tada te prave ne bi bile razlicite, nego bi se podudarale. No, kako je u pretpostavci recello da su prave a i b r.azlieite, to one ne mogu imati dvije zajednicke tacke. Ostaje da praye alb ImaJu 111 Jednu III nemaju ni jednu zajeclnicku tacku.

6.2i. a s

162

b

o C AEa, BEb, SEa, SEb

C~a, C"b

6.22. Najvise sest (AB, AC, AD, BC, BD, CD). 6.23. NajviSe jednu! 6.24. Deset. 6.25. Aka sve tacke prave pripadaju nekoj ravoi, kazerno da prava lezi u ravni. 6.26. Svaki od dijelova prave koja je podijeljena nekom S'Vojom tackom. zajedno'sa tom tackom, zove se poluprava. 6.27. Skup od dvije tacke prave (A i B) i svih tacaka koje se nalaze izmedu njih nazivamo duz (AB). Tacke A i B nazivamo krajevi duZi, a za rna koju drugu tacku duzi kazemo daje njena unutrasnja ta61a. 6.28. Svaka od oblasti na koju prava p dijeli ravan zove se poluravan. Pravu p zovemo ivica poluravni. Ako pravu p prikljucimo poluravni, onda za poluravan kazemo daje zatvorena, inaec je otvorena. 6.29. Jednu od oblasti na- koje ravan dijeli prostor nazivamo poluprostor. 6.30. Dokaz: Neka se prave a i b sijeku u tacki O. Prema A.2. na pravoj a postajijos bar tacka Ai na pravoj b jos tacka B. Tacke A, B i o su nekolinearne. Prerna A.4. postoji jedna i sarno jedna ravan ex. koja sadrzi tacke A, B iO. ,"'<

Kako ravan a i prava a sadrze tacke A i 0, to, prema A.7., prava a lezi u ravni Cf... Isto tako, taeke B i 0 pripadaju i pravoj b i ravni a, pa prema istoj aksiorni i prava b lezi

u ravni a. Dakle, prave a i b odreduju ravan a. Ravan ajejedina ravan odredena pravima a i b. Nairne, ako bi, pored a, postojala i neka ravan 0 koja sadrzi prave a i b, tada bi ta

ravan sadr.zavala i tacke A, B i 0. Kako nekolinearne tacke A, B i 0 pripadaju ravni ct, to prema A.4. zakljucujemo da

mora biti a~13· 6.31. Dokaz: Neka je data prava a i tacka M van nje. Prerna aksiomi A.2. na pravoj a pastoje bar dvije tacke A i B. Tacke A, El i M su nekolineame, pa prema A.4. postoji jedna j salTlO jedna ravan a koja saddi te tacke. Kaka i prava a i ravan ex. sadrze tacke

A i B, to prema, A.7, prava a lezi u ravni u. Da je ravan odredena pravom i tackom van nje jedinstvena, uvjeravamo se anaiogno kao i u dokazu prethodnc teoreme. 1

6.32. Za dvije prave koje nemaju zajednickih tacaka i leze lU istoj ravni iii se poklapaju, kaicmo da su parale Ine. 6.33. Dokaz: Neposredno iz definicije paralelnih pravih zakljucujemo da paralelne prave pripadaju is.toj ravni u. Zato treba dokazati samo jedinstvenost te ravni. Neka su tacke Ai B najednoj pravoj, a'tacka C oa dmgoj. Aka bi postojala i neka ravan p koja sadrzi date prave, tada bi ona sadr7..-avala i tacke A, B i C, pa bi se ravan a

podudarala sa ravni p. 6.34. Dokaz: Neka su prave a i b paralelne sa c i neka su sve tri prave u istoj ravni. Kako su prave a i b u istoj ravni, onda mogu irnati zajednicku tacku iii biti paraleine. Aka bi prave a i b imale zajednieku tacku M, tada bi tom tackom prolazile dvije prave (a i b) kaje su paralelne sa pravom c. To je, na osnovu aksiome 9, moguc.e same ako se a: i b poklapaju. Znaci, u svakom slucaju su prave a i b rnedusobno

paralelne. 163

odredenosti ravni. 6.36. Vidi aksiomu 9! 6.37. Nap..i5e osam. Aka su date prave a i b, i date tacke A, B i C, tada su ravni: (a, b), (A, a), (B, a), (C, a), (A, b), (B, b), (C, b) i (A, B, C). 6.38. Najvise 4. 6.39. Posmatrajmo ravan a i pravu a koja ne pripada ovaj ravni. Ako bi prava a sa ravni imaJa dvije zajednicke tacke, tada bi, prema aksiomi 7, morala da lezi u ra\'ni !ito je, prema llS]OVU zadatka nemoguce. Znac!, prava a sa ravni ex moze imati jednu zajednieloo tacku iii sa njom nema zajednickih tacaka.

6.40. OZIDaCimo sa aravan odredenu taekama A, BiD, a sa f3 ravan odredenu tackama A. C i D. Ravan a, osim taeaka A, BiD, sadrii i pravu AB, pa sadrii i taeku C looja, po pretpostavci, pripada duzi AB. Ravan 13 sadrii tacke A, C i D. Znaei, ob.ie ravni (i a i 13) sadrle tei iste nekolinearne tacke (A, C, D), pa se, prema aksiomi 4. poklapaju. 6.41. Sest. 6.42. Deset.

6.43. Unijaugaone linije pOq ijedne ad njenih oblasti naziva se ugao (kut). Zajednicku pocetnu tacku po!upravih Op i Oq zovemo vrh ugla. Poluprave Op i Oq nazivamo iTaci ugla.

q

o p o p SL6.43. Unutra~njll oblast ugla oznaeavamo !llkom

6.44. Ugavn cUi su kIaei suprotne poluprave nazivamo ispruzeni ugao. Ugao ciji se kraci poklapaju i cijaje unutrasnja oblast prazan skup nazivamo n"Hi ugao. Nulti ugao je, zapravo, jedna po!uprava. Cijela ravan u kojoj se nalazi jedna poluprava, hazivamo puni ugao. Ta poluprava predstavljaoba kraka ugla, a pocetak poluprave je vrh ugla.

(:1---Punt ugaa Ispruieni ugao Nulti ugao

SI.6.44. lspruzeni. nllhi i plmi ugao SI;,': testo spominju

6.45. Dv;:tugla koji imaju zajednicki krak i nemaju zajednickih unutrasnjih tacaka

\~>:?~.'."." d,_--,~ ___ _ <:;1.6.4-5. Ot 'j () su su~jedni uglo\-i

164

6.46: Dva susj.~~n~ ugJa cijije zbir ispruzeni ugao ~azivamo naporedni uglovi. 6.47. Ugao kOJ' Je Jednak svom naporednom uglu naziva se pravi ugao.

6.48. a) Ne mogu. b) Mogu c) Ne mogu. 6.49.40° 140° 1400. .6.50. Ako se dvije prave (a i b) sijeku i obrazuju pravi ugao, kaloma da su t~ prave

normalne ( lib ). 6.5 I. Prava koja polovi dati ugao nazi va se simetrala tog ugla.

6.52. a+j3 = a,+a,+j3,+j3, = 2a,+2p, = 2( a,+0,) = 180° => a,+j3, = 900.

SI.6.52. 6.53. Skup svih tacaka ravni jednako udaijenih od krajeva duzi, n~jva se

sirnetraIa duzi.

6.1. Podudarnost (kongrucntnost, sukladnost) trouglova (trokuta)

6.54. Nadovezivanjem duzi nastaje izlomljena linija.

b) szz SI.6_54. Oydjeje nekoliko izlomljenih iinij:l

6.56. Unija mnogougaone linije i njene unutrasnje o~lasti nazi va se mnogougao (mnogokut, poUgon). Duzi koje sacinjavaju mnogougaonu Iiniju nazivamo stranice mnogougla. Krajnje tacke stranica zovemo vrhovi mnogougJa. Duzi cij i su krajevi elya nesusjedna vrha mnogougla nazivamo dijagonale mnogougJa.

b)CU) SL6.56. Na Dvoj slid su dva moogougla (lwoveksni i nd:onveksni)

6.57. Za mnogougao kazemo da jt konveksan ako sadrli ,Yaku duz ciji kujni pdpadajtl mnogot;gl:.L

165

6.58. Vanjski ugao rnnogouglaje naporedan unutrasnjem uglu u istorn vrhu. til_59. Mnogougao sa tri stranice nazivamo trougao (trokut). ®.60. Duz ciji su krajevi vrh trougla i srediste suprotne stranice zoverno teziSnica.

C

SI.6.60. Duz AA'= t. je jedna teZisnicJ SL6.6!. DllZ CC'=hc je jedna \·isina

6 .. 61. Visina trougla, spustena iz datog vrha trougla, je dio nonnale pOVllc.cnc iz tog v.lIna na pravu koja sadrzi suprotnu stranicll trougla. m.62. Ostrougli, pravougli, tupougli. G .. 63. Za dva trougla, AABC i AA'B'C', ka7.emo da su podudarni aka je svaka stranica jied:nog trouglajednaka odgovarajucoj stranici drugog i ako j~ svaki ugao jednog tlrouglajednak odgovarajucem ug!u drugog. <>.64. Stav (teorema) SUS: .

Ako za dva trougla, i\ABC i i\A'B'C', vrijedi: Aka je AB ~ A'B', <A = <A',

AC = A'C', onda su ta dva trougla podudarna, tj. i\ABC '" i\A'B'C'.

Stav (teorema) USU: . Ako za dva trougla, LiABC i LiA'B'C' vrijedi: Aka je <A = <A', AB = A'B' ,

<B = <B', tada su trouglovi podudarni, tj. i\ABC '" i\A'B'C'. Stav (teorema) SSS: Aka za dva trougla, i\ABC i ,~A'B'C' vrijedi: Aka je AB = AB', AC = A'C' ,

BC = B'C', tada su trougiavi padudarni, tj. i\ABC '" i\A'B'C'. Stav (tearema) SSU:

Ako za dva traugla i\ABC i LiA'B'C' vrDedi: AB ~ AB', AC = A'C', (AB>AC), lJlgaa(ACB) > ugao(A'C'B'), tada su ani podudarni, tj. i\ABC '" i\A'B'C', fu,65. Neka su na SI.6.65. predstavljeni trollglovi L\ABC i LiA'B'C' za koje

C . , C' vrijedi AC~A'C', AB~A'B'. Nekaje . podnozje visine povucene vrhom C tacka 0, a podnozje visine povucene iz vrha C, nckaje tacka D'. Nekajc CD=C'D'. Kako je AC~A'C', CD~C'D'

i <A DC ;:;;: <A'D'C , to na osnovu II D B. A' D'S' stava SSU, zakljucujemo daje:

SI.6.65. i\ACD '" i\A'C'D'. ['zpodudarnosti ovih trouglova zaklju6ujemo da vrijcdi: <CAD:=:: < CA'D'. $;t<la imamo daje: AC=A'C', <CAD = < C'A'D', AB=A'B', pa, na osnovu slava SUS

Ie: "'ABC" i\A'B'C'. €lJ_£6. Posmatrajmo trougloyc i1A8C i 6i\'B'C' (S1.6.66).

ll66

Neka sujednake stranice AC~A'C', BC=B'C' i neka su podno;gajednakih vis ina D i 0' tako daje CD=C'D'.

C C'

~ SI.6.66.

A D B B' D' A'

Prvo cemo dokazati podudamost trouglova LiACD LiA'C'D'. Zaista

AC=A'C' (StavSSU)

CD=C'D' => LiABC '" LiA'C'D' => AD =A'D'.

Na analogan nacin dokazuje se podudarnost trouglova ABCD i AB'C'D' odakle se zakljuclije jednakost dul:i BD i B'D'.

Kako je AB=AD+DB i A'S'=A'O'+D'B' , to je na osnovu dokazanihjednakosti dub: AB=A'B'.

Otuda slijedi:

AC=A'Cl

BC = B'C'J AB=A'B'

(StavSSS)

=> i\ABC '" i\A'B'C'.

6.67, Kako pravaugli trouglovi imaju po jedan pravi ugao, to su prema stavu SSU 0

podudarnosti trouglova, d\la pravougla trougla koji irnajujednake bipotenuze j po jednu katetu, podudarni. (Pravi ugaa nalazi se nasuprot hipotenuz.e kojaje najveca stranica).

6.68.i) Neka su DiD' podnotja nonnala CD j CD' , a E i E' podnozja drugih dviju odgovarajucih jednakih normala trouglova 6ABC i 6A'8'C' (S!.6.68.1).

C A' 0' B'

C B' 0' E' A'

A D B A E C' SI.6.68.j

Iz podudarnosti trouglo\'3 .:J.BCD i lJ.B'C'D' zakljucujemc da su ughwi P i 13' j;;;;dn~~ki. 167

Iz podudarnosti trouglova t;BCE i t;B'C'E' izvodimo zakljucak daje y = y'. Sada, na osnovu stava USU 0 podudarnosti trouglova vrijedi:

(a=a', ~=P', y=y') => t;ABC '" Ll.A'B'C'.

j) Neka su DiD' podnozja visina, a E i E' krajevi telisnica povucenih iz tacke C,

odnosno C' trouglova Ll.ABC i Ll.A'B'C' (SI.6.68.j). Iz datih podataka, neposredno po stavu SSU, zakljucujerno da su trouglovi Ll.CDE dC'D'E' podudami. 1z podudamosti ovih trouglova izvodimo zakljucak 0 duzima:

DE = D'E'. Kako su E i E' sredistajednakih stranica AB, odnosno A'B' to vrijedi:

BD = BE-DE = B'E'-D'E' = B'D'.

CD = C'D' 1 ,", sus BD=B'D' =>

< BDC =< B'D'C'(=900)

Ll.BCD",Ll.B'C'D' => 13=0', a=a'.

Konacno, prema stavu sus, vrijedi: (a=a', c=c' ,13=0') => t;ABC '" Ll.A'B'C'. s

6.69.

A 1S B

Neka je M rna koja tacka simetrale s duzi AB. Neka simetrala sijece du:': AB u tacki S. Kako je simetrala duzi normalna na tu dUl U

njenorn s,edistu, to su trouglovi AMS i BMS podudarni, paje BM = AM cirne je dokaz zavrsen. 6.70. Uputa: Analogno prethodnorn zadatku.

6.71. Neka sJ BD i CEjednake visine trougla ABC (SI.6.71.). Tada vr'ijedi:

BC=BC 1 BD = CE''":;;'''! Ll.BCD '" t;BEC => i3=y => AC=AB.

<BDC=<BEC

C B SI.6.72.

SI.6.71. D

A B C E A

168

6.72. Nekaje CD tezisnica pnvoug\og "j,ABC koja odgovara hipotenuzi. Nekaje E srediste kateteAC (SI.6.72). .

Tadaje dUl DE srednja linija Ll.ABC pa je DE II BC, sto znaci da je <CED jednak uglu <ACB,jer su oba ugb prava. Qtudaje (stav SUS):

~:: 1 =>lICDE=MDE~CD=AD=AB ,( 2

< CED=< AED=90"J

6.73. Uputa: Koristiti teor~r.~'.l 0 s,ednjoj duzi trougla i teoreme 0 uglovima na transverzali dviju pravih. 6.74. Uzmimo rna koju tack" D na osnovici AB jednakokrakog trougla ABC (SI.6.74.). Neka su DE i DF nonnale na krakove trougla ABC, a AG nekaje njegova vis ina koja odgovara kraku Be.

C

SI.6.74. Nekaje DH normala iz D na visinu AG. Tadaje cetverougao DFGH pravougaonik, paje DF=HG

A D B

i ugao ADHjednakje uglu ABC, odnosno BAC (uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki). Kako je j u1?ao ADH jednak uglu DAE

(Zasto?), to vrijedi: t;ADH '" t;ADE => DE=AH. Otudaje DF+DE = HG+AH = AG, sto je i trebalo dokazati.

6.75. Uputa: Na drugoj obali rijeke uoCi neku tacku Mtdrvo, stijenu) nasuprot mjesta gdje stojis. Tacka gdje stojis nekaje A. Odrcdi na svojoj obali paralelno sa obalom tacku B tako da bude AB=50 rn (moze rna koja vrijednost). Nekaje srediste dUli AB tacka S. Odredi tacku C taka da su trouglovi lIAMS i lIBSC podudami. itd.

(a_b)' ;:'0) a2

+b' "2ab1

6.76. (b-c):c:O => b1 +C:"2bC ~ => 2a' +2b 1 +.2c' C:2ab+2bc+2ac =>

(a-cy"O a' +c" C:2acJ

=> a2 +b2 +c2 'C.ab+bc+ac => c~+c~c.ab+bc+ac => 2c2 ;;:ab+bc+ac

Dakle, istinaje daje ab+bc+acc, 2c 2

6.2. Kruznica i krug, Centralni i periferijski (obodni) ugao

6,77. Skup svih tacaka u ravni koje sujednako uda!jene odjedne tacke 0 te ravni naziva se kruznica. Tacka 0 se naziva centar, a udaljenost ma kaje tacke kruznice ad cenlra nazivamo radijus kruznice. Dllz ciji su kraJEVi dvijc raCKC ilnlzni" nazivamo tetiva, Tetivu koja pi"01azi sredistem kruznice nazivamo precnik

kruznice. 169

Skup tacaka ravmi koje pripadaju unutrasnjoj oblasti kruznice, zajedno sa tackama krumice, naziva se krug. Centar i radijus kruznice ujedna su centar i radijus

odgovar~uceg fKru.ga .

6.78. Konstanta 2~ , gdje je 0 obim, a R radijus rna kog kruga, naziva se broj It.

6.79. 0=2rn. 6.80. Pa!aZaj' taiCke pfema kruznici.

I) Ako je OM = f, kaiemo da taGka M pripada kruznici k(O, r), 2) Aka je OM < r, kazemo daje tacka M unutar kruznice k(O, r) i 3) Aka je OM > r, Wemb da se tacka M nalazi van kruznice k(O, f).

6.81. Poloz.aj p['ave prema kruwici. Nekaje data kruzn!ca k(O, r) i prava a (SI.6.81.). Nekaje tacka AEa i nebje OA.L a. Rastojanje izmedu tacaka a i A nazivamo centnalno rastojanje prave a i kruznice k(O, r). Aka je central no rastojanje tacke manje cd. radijusa r kruznice, tada prava sijece kruznicu (sjecica): U slucaju kadaje c.entralno rastojanje vece od radijusa r, prava i kruznica nemaju zajednickih tacmka. Ako je centralno rastojanjc pravc od kruznice jednako radijusu, tada prava i kIllZnica irnaju je~nu zajednicku tacku. To je dodirna tacka prave i

kruZnice~

k SI.6.83.

SI.6.81.

6.82. Prava koja sa krumicom ima samo jednu zajednicku tacku zove se tangenta kruzuice. Zajednicka tacka kruinice i njene tangente nazi va se dodirna tacka tangente, a radijius krU2Jiice koj i odgovara dodirnoj tacki zovemo dodirni radijus. 6.83. Neka je T <ladima tacka tangente t i kruznice k(O, r), (SI.6.83). Aka ugao OTt nije pravi, tada Ina tangenti t postoji tacKa T' za koju vrijedi daje ugao OT'T pravi. U

torn slucaju se "'.l pravauglog . GaTT zakljucuje da je OT< OT~r (aT bi bila hipotcnuza), sto bi znacilo da se tacka T nalazi u kruznici i da prava t, pored tacke T sa kruznicom k(O, r) ima jo~ jednu zajednicku tacku. Ovo je nemoguce jef je prava t tangenta kruznice, pa tacka T mora cia se poklop! sa tackorn T, 5to znac! da

je ugao OTt pr31.vi. 6.84. DUl: ciji je jed an kraj dodirna tacka T tangente kruznice, a drugi rna koja

druga taclka Nt te tangente, nazivamo tangentna dul. kruznice koja odgovara

tacki M. 6.85. Tangentrle duzi koje odgovaraju istoj tacki najcdnu kruznicu SD jednake. 6.86. Dokaz: Neb su MA i MB tangentlle ullzi truinice k(O, r) koje odgovaraju tacki M (SI.6.8:-1)). Prema usloyimi tcDrc{lle i uznakama na slici vrUedi:

170

•

SI.6.86.

?87. Cetverougao cije 5U stranice na tangentama iste kruznice zaverno tangentni cetverougao.

6.88. Dokaz: Posmatrajmo tangen'tni cetverougao ABeD. Neka su dodirne D G C tacke straniea i kruznice, redom, E, F, G i H (SI.6.88.)

A E SI.6.88.

F

B

Duzi AE i AH Sll tangentne duzi koje odgovaraju tacki A, pa vfijedi AE ~ AB. [sto taka vrijedi:

BE ~ BF, CF ~ CG, DG ~ DH.

Dalje vrijedi: AB+CD = AE+EB+CG+GD ~

= AH+BF+CF+DH = AH+DH+BF+CF= = BC+AD.

6.89. Na SI.6.89. prcdstavljenje pravougli AABC, njegova visina CD = he i sve tri upisane kruznice. Neka Sil M, NiP dodirne tacke kruznice upisane u trougao ABC.

a-r

A D M a-r SI.6.89.

Duzl AM i AP su tangentne duzi poyucene iz tacke A na kruznicu upisanu u .0.ABC, pa sujednake, AM~AP=b-r. Na isti na('ill zakljuclljemo daje BM=BN=a-r i CN =

CP:::: r. Kako je AM+BM = AB = c, odnosno, b-r+a-r=c, to je 2r = a+b-c, odnosno,

a +h-c '::'--'C-"- . Koristeci isti po stupak i pravollgle trouglove GAIlC i ~BIlC, dobUe

r 2

se: BD+ h,. -Q

r "" , 2 . r, 2

Sada za zbir radijusa upiS3nih !-';rUZ!ll..:a nijcdi:

171

a+b~c AD+-hc -b + BD+hc -0 __

r+r!+r2 := 2 + 2 2

::;::: a + b - c + AD + he - b + BD + he - a:;;::: _·c .+ AD + ED + 2hc

2 2

= -c+c+ 2hr:...=?:!!:....=-h 2 2 c·

6.90. Ugao ciji se vrh nalazi u centru kruznice nazivamo centralni ugao. Aka je vrh ugla makruwici, a kraci mu sadrze tetive te kruznice, tada ugao nazivama perife:rijski (iii obodni). A

C B

SI.6.9I.a).

6.91. Dilkaz: a) Ako se radi 0 cemralnom i pcriFerijskom uglu kao na SI.6.9I.a) tada

se neJ:1>OSredno iz cinjenice da je a vanjski ugao jednakokrakog trougla I'1AOB

zakljtOCuje daje a ~213. A

SI.6.9I.c)

b) A\;:0 centar kruznice pripada periferijskom uglu (SI.6.9Lb), tad a preenik AD

dijelii i centralni ugao a i periferijski ugao f1 na dva ugla taka da vrijedi a = Ut+a2 i 13 = ~,+132. Trouglovi 1'10AB i 1'10AC su jednakokraki sa osnovicom AB, odnosno AC. 1'Kako su uglovi na osnovici jednakokrakog troug!a jednaki, a vanjski ugao trouglajednakje zbiru unutrasnjih njemu nesusjednih ug!ova, to vrijedi:

a, = 2i3, , a, = fl,. Daljeje: a = a,+a, = 213,+2132 = 2(13,+13,) = 213.

Na alW.3logan nacin se dokazuje teorema kada se radi 0 slucaju c) precistavljenom na SL6.'JJLc).

Kao posljedice prethodne teoreme vrijede sJijedece tvrdnje: I) Svi periferijski uglovi nad istim lukom II istoj kruznici sujednaki. 2) Periferijski ugao nad polukruznicom (preenikom)je pravi ugao. 3) Trougao cijaje jedna stranica precnik opisane kruznice je pravougli.

6.92. Aka su sve stranice jednog cetverougla tetive iste- kruznice, za cetverougao kazerno daje tetivni

".o.n. Q SI.6.93.

6.93. Nekaje ABCD tetivni eetverougao (SI.6.93.). Oznacimo uglove ovog cet'\/crougJa sa a, /3, y i o. Nekaje 0 srediste kruznicc. Tada su ugao a i a' periferijski i centralni ugao nad istim lukom (BCD)) pa vrijedi a'=2a. 15to tako je 8'~28. Tako je:

a'+8'~2a+28 => 360'=2(a+8) => a+o= 180'. Koristeci teoremu 0 zbiru unutrasnjih uglova cetverollgla, dalje, vrijedi:

a+f3+y+8 ~ 360 0 => 13+)'+180° = 360' => 13~( = 180' .

6.94. Neka je kruznica radijusa r upisana u pravougli tr'ougao sa katetama a i b i hipotenuzom c (SL6.94.). Neb su D, E i F dodirne tacke knlznice i stranica trougla. Prema teoremi 0 tangentnim duzimaje: AD=AE, BE=BF, CD~CF.

B Kako je CD = CF 0; r

to je AB = c ~ AE,'BE = b-rca-r

=> 2r =: a+b-c =;> r= a+b-c

2 .

6.95. Centraini ugao koji odgovara periferijskom uglu od 36° je 72°, Kako je 72° peti dio punog ugla, to je kruzni 1uk koji odgovara periferijskom uglu od 36° pet ina cijele kruinice,

6,96. Nekaje periferijski ugao nad lukol1l koji je ~ kruznice u. Tada vrijedi: 20

2a:360 = 1:20 => a:180 = 1:20 => a=9°.

6.97. Akojejedan od centralnih uglova odredenih datom tetivom a, tadaje velie ina drugog ugJa 360c-a, pa vrijedi:

a:(3600-a) ~ 3:5 ~> Sa ~ 3(360 0 -a) ~> 8a~3·360° ~> C< ~ 135°,

} Tr2.zer:i ug]ovi 5U: 135° j 225'-' .

.... 1.7 .. 2 .................. __ .... __ .. __ ...... ~1~c .... __________________________ " _____ m:.~"_,"_,,:_73 __ ,_'",~~

1i'b_9"S. Centar opisane krllznic~ oka pravouglog troug!a .i(~ src.Jiste njegove

@ hipotenuze. Ostri uglovi trollgia ::,-.,i .;rl" 158°, Traieni uglovi

.... , ostrim uglovima troug!a. Zato su oni dvostruko veti od 0. Sll centraln; uglOVi. kruznice nad !ukovima koji odgovaraju

A ...... C ostrih uglova datog traugla.

51.6.98. Rezultat: 64" , 116".

Neka su AB i CD jednake tetive date kru[nice k. Nekaje S tacka presjeka ovib tetiva. Kako Sll ugJovi ABC i BCD jednaki kao pcriferijski ug\ovi koji odgovan.Du jednakim centralni'm

k uglovima, to je !'IABC ,,!'IBCD (po kojem stavuO). Otuda je AC = BD. Dalje nije [esko zakljuciti daje !'lACS" "BDS, odakle neposredno slijedi daje AS = SD i BS = Sc.

C SI.6.99.

&JOO. Posmatrajmo tetivu AB i tangentu t sa dodirnorn tackom B. Neka je ugao izmedu tetive i tangente 13· Uzmimo rna koju tacku C 03 dijelu kruinice koji ne

S1.6.100.

pri da uglu~. Periferijski ugao ACB = ajednakje polovini centra!nog ugla AOB nad tetivorn AB. Aka je D podnazje nonnale povucene tackorn 0 na tetivu AB, tadaje ugao BOD=a (zasto?). Ugao BOD i ugao j3 su uglovi sa normalnim kracima.

Otuda je p = a.

6J01. Zbir unutrasnjih uglova svakog cetverouglaje 360°, pa vrijedi _.c....J"'C a+p+o+y = 360°.

Kako je dati cetvcrougao tangentni (SJ.6.1 0 L), to Stl

prave AO, BO, CO i DO simctrale unutrasnjih uglova

pa vrijedi:

~fL:L:o~..-L_L+LOI:>B <AOBt<COD ~ (180o.~:r~ )+(180". y +0 ) = 2 2

o o. + j3 + y + 8 C 3600

" =360 . __ .. __ =360 .-·~180·. 2 2 SI.6.101.

'6.3. Mjerenje uglova (kutova)

6.102. Postoji nekoliko uglova koje uzimamo kao jedinicne. Devedeseti diD pravog tigla uzimamo kao jedinicn'i ugao. Stati d io pravog ugla, ponekada se, takode, uzima kao jedinicni ugao. Isto taka i centralni ugao kojem pdpada lukjednak rad.ijusu te

J;:.ruznice uzimamo kao jedinicni ugao.

174

6 .. 103. Devedeseti dio pravog ugla nazi va se stepen (stu 'j M . . .. [

.' ... ..... pan]. anje jedmlCe od s epena su mlOuta 1 sekunda. Jedan stepen ima 60' a' d . . C I' k ..' ' Je oa mInuta Ima 60"

entra 111 ugao 'oJem pnpada lukjednak radiJ'usu te kruz~n'l . d'" 6 104 V' '. ... ce naZlva se ra Ijan. , . eza lzmedu stepena I radlJana je: n: fadiJ' ana = 1800 ak' . did" . ~ " pa 0 Je x mJera uala

o fa lJ3fia lzrazena u stepenima, tada se iz proporcije 1 c:n = x: 1800 dobije 0

180 x= _. =57,29577 ... ''''57'17'45''

IT .

Analogno se dabija da je I" = ~ radijana '" 0 0 17453297 d" 180 ' - ra IJana.

6.105.a) 360' b) 114,591560 = 114"35'30" c) 270' d) 401,0704566'

6.106.a) 21f b) 7" 2" 7n 3 6 c) 9 d) 18

6.107. 1800 iii IT radijana. 6.108.a) 140' b) lOS' c) 45° d) lOa?

6.109. (a+i3~180' , cr·Il-52") => 2a~232°, 2~l=128" => a=116', 13=64'.

6.110.90' 6.111. IT 2

6.112. Aka ~e m~era ugla m3nja ad 90'\ za tabs ugaa kazemo daje ostar. 6.113. Ako JE' mJE'r~.~~~a iZf:lec!u 90° i 1800 za ugao kazemo daje tup. 6.114. Za dva ugla C1JI JC zblr mjera 90° kazemo da su komplernentni. 6.115.a) 45" b) 50" c) 75° d) 18°? 6.116, Za dva ugJa cijije zbir mjera 180 0 kazemo da su suplementni uolov' 6.117.a) 60" b) 100° c) 140" d) 65" /. 6.118. a+1l = 180"·a·+ 180"·13' = 360"·(a'+j3·J = 360'-90" - 270'.

6.4. Vektori

6.119. Skalar je velie ina odredena sarno jednim brojem, Vektor je odreden sa tri elementa: velie-inom (brojem), pravcem i smijerom,

~,1:20" OrUen'(tisa!:li duz naz~vamo vektor. Vektor oznacavamo m.:ako: AB, pri ce::lU J~ A pocetak, a B zavrsetak vektora. Graficki se vektor predstavlja kao oflJent!Sana duz: B

~ A

6.121. Sukladno zadatku 6.120.: Duzina vektora AB jednakaje duzini duzi AB i

oznacava se sa: IABI. Tako je IABI = dCA, B) = deB, A) = AB. 6.122. Uputa: Izmjeri lenjirom duzine vektora, 6.123. Pravac nub vektora nije odreden.

175

6.124.

6.125.

6.126.

6.127.

Aka dva vektora pripadaju paralelnim pravama, Z:t nj:h kaiemo da imaju isH pravac ilida Sll kolinearni. Za dva veklora kaiemo da su jednaki ako imaju jednake duzine; isti pravac

i isti smijer. . Aka dva vektora imaju jednake duzine i paralelni SU, a nemaju isti smjer, za njih kazemo da Sll suprotni_vektori.

Neka Sli dala dva vektora a i b . Izaberirno rna kojl! tacku O.

Neka je veklor OA = a i neka je vektor AB = b .

o SI.6.127.

b Vektori OA i AB su nadovezani. Vektor

o

o b

OB , ciji je pocetak u pocetku prvog

A vektora, a zavrsetak u zavrsetku drugog od nadovezanih vektora

nazivamo zbir vektora OA i

AB,odnosno, OB=OA+AB=a+b.

6.128. Dati vektori 0 i b se dovedu na zajednicki pocetak. Vektor cijije pocetak

!<raj vektora b a zavrsetak !<raj vektora 0, naziva se razlika vektora 0 i b i

oznaCavasa a -b. (Nacrtaj sliku l ).

6.130. Vidi prethodni zadatak! 6.13I.a)

c

(o+b)+c

b)

a

b

o

b ~, ___ c,-b_+_C_~ o+(b+c)

6.132. Svaki vektor se moze pomnoziti sa realnirn brojem (skalarom). Ako je dal rna koji vektor a i skalar 3, tadaje proizvod 3· a vektor koji irna isti pravac i isti smijer kao vektor a, dok mu je duzina (intenzitet) trl puta veca od duzine vektora a.

176

Ako vektor ~ pomnozimo skalarom -2, dobijemo vektor -2';5 koji ima isti pravac kao vektor a. smijer mu je suprotan smijeru vektora a, a duzina mu je dva puta veca od duzine vektora a. ' Aka vektar a rnnozirno sa cijelirn brojem dobije se, dakle, vektor istog pravca a istog iii suprotnog smijera u zavisnosti od toga da Ii je cijeli broj pozitivan'iIi negativan. Intenzitet proizvoda vektora i skalara jednak je proizvodu intenziteta datog vektora i apsalutne vrijednosti skalara sa kojim se vektor mnozi. 6.133. Duz eiji su !<rajevi sredista dviju stranica trougla nazivamo srednja duz trougla. 6.134. Srednja duz traugla paralelnaje sa supratnom stranicom ijednaka palovini te stranice. 6.135. Uputa: Nelo su MiN sredista stranica AC i BC !,>ABC.lzrazirno

fr.----''J<?

A 51.6.135.

C vektor AB pomocu vektora MN (81.6.135.).

N Kako je AB ~2 Ml,{, to su vektori AB

B

i I\1N paralelni i vektor :M:N'" irna

duzinujednaku rota duzine vektora AB. Time je teorema dqkazana.

~M MS=MA+AS -- --MS =MB + BS =;> !'vIA + MB =2 ·MS,

jer je AS + BS = O. 51.6.136.

- 1- --6.137. Rezultat: AA'=-(AB +AC).

2 ~ ____________ ~C

A E B

6.139. r:N ,LZ'ic

-- -. -- '- b- -- - -- 1--AF=AB+BF=a +·-··EIJ=E4.+AD=-a+b· . . 2' 2 •

-- - - 1- -FD=FC+CD=--b-a

2 '

-- 1- 1- -- -- -- ;;- b EO=-CB=--b 'EF=EB+BF=-+-

2 2' 2 2

MN~MA+AB+BN

MN=MC+CD+DN,

~> 2MN~AB+CD

AB+CD => .MN

2

177

6,)40, M MO=MA+AO - --

C MO=IHB+BO - --MO=MC+CO - --MO =iYID+DO

~Ae:::-----JJ·B 4~10 ~ MA + lYIB +MC + l'vID.

6.141. OAI =m+AA, =OA+AB+BAI

OBI =Olll+BB I =OB+BC+CB I

OCI ~OC+CCI =OC+CA+AC,

=> ~Al +Ollll + OC, .~OA+ OB +OC +

+ AB+BC+CA+BA, ';cCB I + AC, =

D

A ___ - ~ 1-·' 1-- 1-OA~OB + OC + 0 + -BC + -CA +-AB=

. 2 2 2 1---- ____ ·_1_

OA*OB+OCI2

(BC+CA+AB) = OA+OB+OC+ 2'O=

- --~ OA+OB+OC.

6.142. Koristiiti teoremu 0 tezistu trougla itd.

6.143. Uputa:: Izraziti vektor JUT tfi puta preko odgovarajucih vektora, ...

6.144. Uputa: Nacrtati. sliku, pa izraziti vektor TTl preko vektora AAI , zatim

preka BB, i na kraju preko CC,. ltd .....

6.145. Koris~eii vektorskejednakosti 00- = OA + AA' + A'O' i 00' = OB + BB' + '8-;0; (SI.6.145), i sabiranjem dobijamo

20CY = AA' + BW, odakle neposredno slUedi daje

I-~ I_I I-I -- AA'+BB' :2 0 (] ~ < A A I + 13 Btl' odnosno, 0 0 ' < 2

B S' D C ~~---------~ ~-------=

t, N

A A'

S1.6.145. A B

SI.6.146.

178

C

6.146. Nekaje ABCD paralelogram sa datim eiementima. Tadaje -1---1--.--1-1 AM=-·AD,AN=-·AC. M."i=MA +AN=-· DA+-.AC~

5 6 5 6 1--1-- 1'-1-1-

=_. DA +-·(AB+ BC) =_. DA +-_. AB +-·BC = 5 . 6 566 1-1-1-1-1-

=-·AB+-·DA--·DA=-·AB+-·DA. 6 5 6 6 30

--,---1--1 NB = NA + AB = _. CA + AB = _. (CB + BA) + AB =

6 6

1 - 1 --- 1 - 5 - (1- 1 -) -=6·CB+6·BA+AB=(j.DA+(j.AB=5. (jAB+ 30DA =5·MN.

Dakle, NB "" 5· MN, sto znaci da su tacke B, MiN koHneame i daje MN :NB= I :5.

3- 1- 1-6.147.a) -a +-b --c

222

c) 1- 3-- 3-' -a+-b+-c 222

6.148. b =aa

~> - 3km + k;;' = 2ka-;;; + h;;

b) 1- 3- 3--a+-b+-c 2 2 2

d) 1- 3- 3-

--a ---b --c 2 2 2

=> b = a (2k-;;; +3;;')

~> (-3k-2ka);;=(h-k);;

=> 3k·2ka =0 , 3a -k=O => k(3-2a)=O,k~3a => a~~ k~2.. 2' 2

6.149. Nekaje a = CL b + P c pri cemu su a i i3 realni brojevi odkojih bar

jedan nije Hula. Zamjenom vrijednosti za date vektore b i ~ dobije

{

1-am-2P =0

sesistem m-a-3p =0 , odaklejem=-1 (0: ~-I, f3 =0).

-]-a -niP =0

--- -- ---6.150.Nekaje AB =3 BC =b. TadavrUedi AC =3 +b,

- - -CD = b -- a, DE = -a, CE = b - 2a . Dalje vrijedi:

AM=l AC

CN =1 CE

=> AM=lAC

=> CN=).CE => CN =1·CE ~l(b -2il).

Kako su tacke B, MiN kolinearne, to postoji pozitivan broj m za

koji vrUedi BM' = m· BN (*).

Izrazimo vektore Bl\,J* i BN pomocll vektora ;- i b: -- -- -BM =AM -·AB =).(a +b)-;, BN =BC +CN =1,' +1(1,' -2;).

179

Uvrstavanjem dobivenih vrijednosti u (*) dalje se dobije:

"C;:; +b)-;:; =m[b +A(b -2;:;)] ~ lilp' ---";I(

'" (A-l+2m~' +(A-m-nzi.Y; =0.

Kako Sll vektori a i b linearno

nezavisni, to mora biti

1.-I+2m=0 ). - m - 111). = ° . Rjesavanjem ovog sistema dobije se

2-12 h m=---, A=v2-1. 2

6.5. Translacija i rotacija, Primjene

A

B b C

SL6.150,

6.15L Transformacija ravni koja cuva rastojanje izmeau tacaka nazi va sc izometrija.

D

6.152~ Transformacija koja svakaj tacki M ravni pridruzuje tacku M' te ravni taka

daje vektor MlYl' j~dnak datoll1 vektoru ;, nazivamo tran:dacija za

vektor ;. Vektor v zovemo vektor translacijc.

6.153. Nekaje data translacija za vektor _~ i neb s:, tacka A translatira u A', a

tacka B u Bt, tada vrijedi: AA' = v i BB' = v .

Zato je: AA' = BB' . Iz ove vektorske jednakosti zakUucujemo da vrijedi AB = A'B', sto znaci da translaeija ne mijenja udaljenost izmedu tacaka. Dakle, translacija je izometrija, pa sve osobine navedene za izometriju vrijede i za translaciju. . 6.154. Transforrnacija ravni k~ja svakoj tacki M te ravni pridruzuje tacku tvi' te ravDI tako daje MO=M'O i <MOM'~a, gdje je 0 data tacka, a a dati orUentisani ugao, naziva se rotacija oko tackc 0 za ugao u. 6.155. Neka rotaeija oko tacke 0 za dati ugao Ct tacki A pridrulouje tacku A' i tacki B tacku D' (S1.6.155.), Mi trebamo dokazati jedllakost duloi AB i A'B'. Posmatrajmo troualove GAB i OA'B'. Po definiciji rotacijeje:

o M=M

A

51.6.155. 0

180

I OB~OB',

<AON := <ex i <BOB' = <a . Neka je ugao(BOA') ~ x,

Tadaje <AOB + x = Ct i x + <A'OB' ~ a,

pa vrijedi <AOB ~ < NOB'. Otllda je, prema stavu SUS,

LlAOB '" "'A'OB', od3kleje i AB = A'B'.

1

vrijedi AB = A'B'; Qvim je dokazano da !"QtacUa cuva rastojanje izmeau tacaka, odnosno daje rotacijajedna izornetrija.

,) D B~O) C

C' A B \ A P-----_-=::O'" 6.156.

C' 6.157. Dva ugla kod kojih se odgovarajllci haci dopunjuju na pravu, nazivamo

unakrsni uglovi.

6. I 58. Rotaeija oko vrha 0 za ugao 1800 preslikava ugao a u /3, pa zakIjuclIjemo da su ovi uglovi jednaki.

6. I 59. Ako su kraci jednog ug!a para!elni 5:1 odgovarajucim kracima drugog ugJa, takve uglove nazivamo uglovi sa p:lralelnim kracima.

B

6.160. Dokaz: Ako se izvrsi trallslaeija za vektor AB, onda se ugao pAg trans!alira u ugao aBb (slucaj a», odllesllo lIlIgao koj; je naporedan uglll uBb (slucaj c). Za slucaj kada su kraci llglova suprotni (slu.caj b» ugao pAq se translatira u unakrsni ugao ugla aBb. Znaci, 1I svakom slucaju vrijedi tvrdnja teoreme (SI.6.160.).

B

a) q

b)

b

c) q

a

6,161. Ako so kracijednog llgla nom1ai!1i n;l krake drugog, onda se takvi uglovi nazivaju ugJovi s normnlnim J\raCill1Ll.

6,162. Svi moguci slucajevi ugJova sa !1ot'm:linim kracima prikazani Sll na SL6, 162.

a)

A

b/ B

b) /

'~ ... Br ~h __

", p SL6. j 62,

•

c) q

p

I81

Izvrsimo translaciju Z-..1 vektcir AB. U svakom od navedena tri slucaja ugao pAq ce ,e translatirati u ugna p'Elg', Kako je translacija izometrija, to je ugao p'Bq' podudaran sa uglom pAq. lzvrsimo sada rotaciju oko tacke B za ugao 90° (odnosno-900). Ovom rotacijom ce se ugao p'Bq' preslikati u ugao aBb u slucajevima a) i b). Kako je i rotacija izametrija, to zakljucujemo da je ugao pAq jednak uglu aBb. U slu('aju pad c) nije teska zakljuciti da su uglovi suplementni.

6.163. Pravim je odredeno osam uglova i to, po cetiri para saglasnih, naizmjenicnih i

suprotnih. 6.164. Saglasni uglovi na transverzali dviju pravih su takva dva nesusjedna ugla koj i se nalaze sa iste strane transverzale, od koj ih je jedan unutrasnj i a drugi vanjski.

6.165. Neka su prave a i b paralelne i neka transverzala t sijece ove prave

t

a b B

a a

SI.6.165.

u tackama A i B. Translacijom za vektor AB se prava a preslikava u b, a prava t u pravu t. Tako se ugao a transtacijom preslikava u njemu saglasni ugao a'. Kflko je translacija izometrija, to su ovi uglovi jednaki (SI.6.165.). Obrnuto, neka su saglasni uglovi na transverzali dviju pravih jednaki (a=a'). Translacija za

vektor AB ugao a translatira u ugao a', pa kako se translacijoITl praya preslikava u

paralelenu pravu, to su i prave a i b paralelne.

6.166. Dva nesusjedna ugla koji se nalaze sa raznih strana transverzale i oba st! unutrasnja in vanjska,nazivaju se naizmjenicni uglovi.

6.167. Aka su prave a i b paraielne, tada su uglovi a i ~ jednaki kao ug!ovi b B 13' sa paralelnim kracima suprolnog smijera (SI.6.167).

.' Ako Sll naizmjenicni uglovi a i ~ jednaki, tada je ugaa p jednak uglu 13' (unakrsni ugJovi). Zato su i ug!ovi a i 13' jednaki, pa kaka Sll a i 13' saglasni, to su

A SI.6.167. i prave a i b paralelne.

6. J 68. Dva unutrasnja iIi dva vanjska ugJa koji se nalaze sa iste strane transverzale dviju'pravih nazivam;J snprotni ugiovi.

6.169. Neka su na SI.6.169. data dva suprotna ugla a i 13. Ako Sll prave a i b ____ -,~;::-LC:b baraleine, tada su uglovi ex i ~ ugiovi sa para!elnim

kracima kad koj ih jedan par krakova ima isti, a drugi par suprotan smijer, pa su oni suplementni.

S1.6.169.

182

Ako su a i }3 sup!ementni, tada su a i a' jednaki saglasni uglovi, pa prave a i b moraju biti paraleine.

6.170. Oakaz: Posmatrajmo "'ABC (SI.6.170.). Vrhom C trougla povucimo p' C p pravu p kOjaje paralelna sa pravam AB.

Prava AC je transverzala paralelnih pravih p i A~. O.zn~~i~o ugao ACp' sa a'. Uglovi a i a'su na!zmjen!CnL

Zata vrijedi a~a'. 1 BC je transverzala parale!nih

pravih, pa prema oznakama sa slike vrijedi [3~13'.

A Zato mozemo pisati: a + f3 + Y = a' + /3' + y. SI.6.170.

K~~o~e unija uglova a', y i f3' ispruzeni ugao, a mjera ispruzenog uglaje 180°, to vr!Jedl: a + [3 + y ~ 180°. Zn~~i, uglovi trougla nisu medusobno nezavisnL Dva ugla uvijek potpuno odredu·u tree! ugao. J 6.171. Neka su uglovi oa osnovici datogjednakokrakog trougla u. Koristeci

teoremu 0 zbiru unutrasnjih uglovtl trotlgla, dobije se: a+cx+(a+30')~ 180' ¢:> 3a~ 1500

¢:> a~50°.

Rez.: Unutrasnji uglovi trougJa su 50°, 50°, 80°, a vanjski 130°, 130u i 100°. 6.172. Rezultat: a = 25°, 13 = 115°, Y "'" 40°. 6.173. Oakaz: Aka su a', 13' i y' vanjski uglovi trougla, dabivamo:

,. a'+13'+ y' ~ 180' -a+ 180'-13+ 1800 -y ~ 360°+ 180°-( a+l3vf) ~ 3600. Znacl, zblr vanjsklh uglova trouglaje 360°.

6.174: Neka su a, 13 i Y unutrasnji uglova [\.·\8C, a a', Wi y' odgovarajuci vaniski ugiovi vO~'Og trotlgia. Kako je vanjski ugao trougla naporedan odgovarajucem J

unutrasnJem uglu, to vrijedi: a' ~ 180" -a ~ 180"-[ ISO" -(13+'1)) ~ ISOO-ISO"+P+'I ~ [3+'(.

Ana!ogno dokazujemo: P' = a+y , y' = a+p. 6.175. Prema prethodnom zadatku je: a' ~ P+y, [3' ~ a+y, y' ~ IX+!} , odakle se

neposredno zakUucuje da vrijedi: a'>I3, a'>y, l3'>o:,I3'>y, y'>a, y'>[3. 6.176. Nekaje CO simetrala vanjskog ugla kod vrha C, "ABC. Tadaje

1800~y 0 Y ugao <DCA ~ = 90 ~-

2 2 Kako je zbir uglova u troug!u 180°, to se iz

"'BCD dobiva y ~ 20'. Oaljeje: 11=180°_35°_20° ~ 125'.

6.177. Uputa: Koristi teoreme u vanjskom

cf-_~>-<J~ ______ ,,4_5_~ ug!u, unakrsnim uglovima i zbiru uglova trougla.

B A SI.6.176.

D

6.179.0= 1800 -[3-':'. 2

6.180. y=60o.

183

6.18 L Neka je CD simetrala ugla kod vrha C trougla ABC (SI.6.18 L). .. . Neka je CE vis ina trougla. Ostar ugao DeE oznaclmo sa fj). Tada vfIJedl

L_q>~90o_~ ~> q>~L_90o+~ 2 2

~> q>=180"-=-~a+~)_900+~ ~> q>~~;a.

C

A SI.6.183.

~ -u 6.182. Rezultat: 'I' ~~.

6.183. UPUTA: Trougao ADE (SI.6.183.) je jednakostranicni, pa je a-60'.

B

Rezultat: ~ ~30', Y = 90'. 6.184. Uputa: Izjednog vrha n~tougla pavuc] sve dijagonale. Taka nastaje 0-2

trouglova. Zbir uglova svakog od ovih trouglovaje 180°, a zbir uglova svih ovih trouglovaJednakje zbiru uglova posmatranog n~tougla.

Otudaje zbir uglova n-taugla (n-2)180'. . 6.185. Uputa: Ako u petouglu uzmemo rna koju tacku i spojimo je sa vrh~vlm.a dobicemo pet trougtova. Zbif uglova petougla jednakje zbiru uglova doblvenlh

troll'J!ova umanjenom za 360°, Rezultat 540°, 6.186. Aka za neku izometriju i vrijedi: i(A)=B, i(B)=C, i(C)=A, tada je:

i(A)~B, i(B)~C ~> AB = BC; i(B)=C, i(C)=A => BC = CA,

odakle se zakljucuje da je AB=BC=CA, paje i1A Be jednakostranicni.

6.188. UPUTA: Izaberi tacku A na pravoj a i tacku B na pravoj b. Posmatraj

translaciju za ycktor AB .

184

6.189. Rj esenj e:/

1 >/' A'

~'<~O' -.......... ~

S1.6.189 A B

6.190.

SI.6.190.

6.:91. Pasmatrajrno tri poralelne prave a, b i e. Na pravoj a odaberimo ma koju tacku A. ROlIrajma pravu b oka tacke A za ugao 60°. Tako cemo dobiti pravu b'. Neka.prava b' ~ijece datu pravu c u tacki C. Pronadimo tacku B na pravoj b, koja se rotacIJom pres!Jkala u tacku C. Trougao ABC je trazeni jednakostranicni trouo-ao. Dokazati! ! 0

6.192. Uzmi na pravoj b ma koju tacku i oznacirno je sa B. Oko tacke B rotiraj pravu a za 90° (iIi _90°). Dobivena prava a' sijece pravu c u tacki C. Tacka Aje tacka prave a koja se navedenom rotacijom preslika!a u C. Tacke A, B i C su tri vrha trazenog kvadrata ... (SI.6.192.).

a A A

SI.6.193. D

_c_.~=-_ .. ____ _ a'

SI.6.192.

6.193. Nckaje .6.ABCjednakokraki trougao sa vrhom A. Povuci visinu BD na krak AC. Neb.je AE ,,:jsinajednakokrakog trougla. Kakoje AE i simetrala ug!a a, a uglovi CBD i CAE su Uf!lovi sa normalnim kracima ad kojih su oba ostra, to Sll oni jednaki. (SI.6. i93.).

6.194. a'+fl'=Gl+y)+(a;-il=(o:~P+'()+'I= 180°'"'1>180', itd.

6.195. 1z svakog vrha petollgla mozemo POVUC] po dvije dijagonale. (Iz svakog vrha n~toug!a moze se pavuci n-3 dijagonala).' Aka je broj dijagonala

1 d d .. d' d 5(5 -3) petoug a 5, ta a vflJe!: 5:;;::;~' - .. -::;: 5. 2

6.'!96. ~=2a, y=3a => a+f3+'( = 6a = 180' => a ~ 30', f3 = 60', Y ~ 90°.

6 9 IJ ," '1 1 . (n-2)180o ,I 7. nutrasnJI ugao pTavl nog n-toug aJe a" :;;::; --.-----, pa za pravilni n

SedmO!lgao imamo

185

(n - 2)180' (7-2)180° = 900o~128C34'!7". CJ." II 7 7

=> (n.2)[30=140n => 130·36=140 => n=9.

6.6. Centralna i osna simetrija u ravni. Osobine

6.199. Rotacijru za l80° nazivamo centralna simetrija. Centar rotacije zove se

centar untralne simetrije. 6.200. Nekaje 0 centar simetrije, A i B ma koje tacke. Neka suo A' i B' centralno

.

_'.' .......... ~ ...... B ...... ' simetricne tacke tackarna A I B U odnosu na A ,,' centar simetrije O. Trouglovi 6ABO i ~A'B'O \'-_._-..................... -.-.... ~~.c;,,o-~:: .. _/~ SU podudarni (Zasto?), odak!e neposredno slijeJi

":\ 0 A' daje A'B'= AB. To dalje znaci da centra Ina B SI.6.2fJO. sirnetrlja cuva rastojanje izmedu tacaka,

odnosno, daje jedna izometrija.

6.201. CentraL"}! simetrija ima sve osobine izometrije navedene u aksiomi

izometrije: _ centralna sirmetrija cuva kolinearnost tacaka, _ centralnom Simetrijom se prava pres!ikava u pravu pri cemu se zadrzava raspored

tacaka, _ centralnom simetrijom se prava preslikava u paralelnu pravu _ centralnom siimetrijom se duz preslikava u duz, _ centralnom s5metrijom se poluravan transfonnise u poluravan _ central nom simetrijom se ugao transformise u tIgao. 6.202. Figuru xoja se centraJIfom simetrijom pres!ikava u samu sebe nazivamo central no simetIicna figura. Centar ove simetrije nazivamo centar simetrije figure. 6.203. Poluprava nema centar simdrije. Prava ima beskonacno mnogo centara

siIiletrije. Svaka tacka prave jc njen centar simetrije! 6.204. Vise centara sjmetrij~ imaju: prava, ravan .. dvije parale!ne pravc, dvije

paraleIme ravni. 6.205. Uputa:,-Na-krajeve date duzi nanijetijednake duzi pod istim uglom u

suprotntim srnjerovima. Prava odredcna krajevima ovih duzi sijece datu duz

u njenQ)ID sredistu. 6.206. Rjeserrije: A

a)

C~---'l ~A'

186

C

IY~ .. )3 ................................... .

~7>c5··

b)

C

SI.6.206. A'

c) A

A' 6.107. Za taeke MiN [ .. , ::nn d . t" d ~ ~~ su o:noS1l11C ncne u 0 nosu na pravu a ako je ova

prava nonnalna na dUl l\-W u IlJenom sredistu.

6.208. ~~ranst~rmac~u ravni kojom svakoj tacki ravni pridru.hUemo njenu osno sl~netn~~u tacku u odnosu na nek:u pravu a te ravni, nazivamo osna slmetr~ja u ~d~osu na praVll a. Pravu a nazivamo osa simetrije . OSHa SlmetnJaJc odredenajednom pravom-osom simetrije. 6.209.

6.210. Troagao [1ACD je podadaran sa "'A'CD prema stava SUS

(AC=A'C. <ACD ~ <A'CD = 90'. CD~CD), adakle zakUacujema daje AD=A'D i <ADC ~ <A'DC.

, Zata vrije~li: <A DB ~ <CDB· <ADC = CDB'·A'DC = <A'DB'. Kaka Je AD 0= AD, <ADB = <A'DB', BD = B'D , to je na osnovu stava SUS a podudarnost' troaglova, !lABD rodudaran sa "'A'B'D, paje A'B' = AB. Time sma dokazal! daJe osna simetrijajedna izometrija.

6.211. Osna simetrija ima sve osobine izometrije navedene u aksiom,' " am t ... . .. ~ ~ z e fIJe - osna SlflletfiJa cuva kolinearnost tacaka. . - os~nom sirnetrijorn se prava presJikava u' pravu, pri cemu se zadrzava raspored

tacaka, - osnom sirnetrijom se dUl: preslikava u duz, - osnom s~metr~~om se poluravan transfonnise u poluravan - osnom s!metnJom se ugao transfomlise_u ugao. 6.212. Ako se osnom simetrijom figura preslikav'a u samu sebe, kazemo daje ta

figura osnosimetricna. 6.213. A, C, D, E, H, I, M,O, T, E, V.

6.214. Tri. Simetrala svake njegove stranice je i osa simetrije jednakostranicnog trougla.

6.215.

187

6.216.a) AEa.

B i a I

c) A, BEa a

B' A

B C <>E'----a;;--~

A'

A'~

~C' B'

6.211. Neka su AB i CD dvije jednake duzi (AB~CD). Nekaje s, 5imetrala duii B s B' AC. Posmatrajmo osnu simetriju U odnostl

\ ......... _._.-.......................... j2( ............ ··.·.···Z········,'; .. '...... ~:t~S~u~'i ~~k~eek~f: :r~:~ ~~~~~~~~:I:I~~~a DCB', OSllom simetrijom U odnosu na pravu 52 duz CB' se preslikava u duz CD. Znaci,

A C D uzastopnom primjenom (kornpozicijom) SI.6.217. navedenih dviju osnih 5imetrija dui AB se preslikava u dui CD.

6.211li. Neka su i 52 simetralc: JPorednih ug!ova a i ~. Tada vrijedi:

S1.6.2 is. a ~ o. + ~ 180 0

0 s, «s, s,)~ -+-~--~~--~90 ,. 22 2 2

62191. Na slici 6.219. unesene su tacke 0 kojima se goyori tl zadatku. Kako SLl

tacke Ivt i B' simetricne U odnosLl na pravu AC, to je AB'=Ai'r-L n:--c=iA' Zbog toga sto su tacke' M i C' simetricne u

A SI.6·.:219

18S:

,M "'9

C'

B

odnasu na pravu AB, to je AM~AC'. Otlldaje AB '~AC', pa je "'AB'C' jednakokraki. Analogno se dokazuje da 5U trouglovi "'B'CA' i "'A'BC' jednakokraki.

1

6.7. Znacajne tacke trougla (trokuta)

6.220. Neka se simetrale stranica AB i AC (5, is,) sijeku u tacki 0 (S1.6.220). C Kako je svaka tacka simetrale duzijednako

52 [ s] udaljena od nje~~ kr~jeva, ~vrijedj:

AO=BO, AO~CO.

Dalje vrijedi: AO = BO, AO ~ CO -- --

~> BO~CO.

A~=====~:::{l Tacka 0 je, dakle, jednako udaljena ad krajeva duii Be. Kako svaka tacka koja

SI.6.220. je jednako udaljena od krajeva duii , na simetrali te duzi, to tacka 0 pripada simetrali duii Be. Time smo dokazali da se sve tri simetrale stranica trougla sijeku 1I istoj tacki (0). : 6.221. Tacku u kojoj se sijeku simetrale stranica trougla nazivarno srediste opi5ane

knrznice trougla. 6.222, Ake je trougao pravougli centar opisane kruznice je srediste hipotenuze. 6.223. Neka se s, i s, simetrale lIglova BAC i ABC datog 6ABC (SI.6.223)

SI.6.223. sijeku u tacki S. Neka su tacke D, E i F, redom, podnoija nom1ala iz tacke S na prave AB, ACi BC. Kako je svaka tacka simetrale ugla jednako daUena od njegovih krakova, to je: SD=SE (jer je S na simetrali s,) i SD=SF (jer je S na simetrali s,). Otudaje EE~SF. Koristeci, dalje, osobinu simetrale

A D B ugla: svaka tacka ravni koja je jednako udaUena ad krakova ugla pripada simetrali tog ugla, zakljuclIjemo da se tacka S nalazi ina sirnetrali 53 treceg ugla posmatranog trougla. Dakle, sve tTi simetrale lIglova trougla sijeku se u istoj tacki (S). 6.224. Tacku u kojoj se sijeku simetra!e unutrasnjih uglova trougla nazivamo srediste upisane kruinice trougla. 6.225. Neka su AD i BE dvije teZisnice 6ABC. Dui DE je srednja dui

C trollgla ABC pa je,

SL6.225.

E

F G

Ac£:::.-_______ ..:b B

I)E=.1. AB i DEI lAB, 2

Nekaje l' tacka presjeka telisnica AD i BE. Neka su, dalje, F i 0, redorn, sredista duii AT i BT. Tadaje dui FO

srednja dui L),ABT, paje:

DE ~ .~AB i FoliAR Otudaje 2

DE=FG i DEIIFG.

Za l1g1ove <EDT, <TFG, <TED j <TGF vrijedi: <EDT = <TFG , <TED = <TGF

189

jer se radi 0 parovima naizmjenicnih uglova na transverzal i d~'iju paralelnib pravih.

Izjednakosti: DE=FG, <EDT = <TFG, <TED = <T(,' prema stavu USU 0 podudamosti trouglova, zakljucujer,~'.) d~ su trouglovi LiDET

6FGT podudarni. Zato vrijedi FT=TD i ET=TG. Sada vidimo claje AT:TD=2:1 (BT:TE=2: I). Dakle, dvije teziSnice trougla sijeku se u tacki koja svaL'cd njih c1ijelu U odnosu 2: I

racunajuCi od vrha trougla. Tezisnica iz vrha C trougla sUece tezisnicu AD u tacki koja ovu tezisnicu dijeli 1I

omjeru 2: 1. Kako na duzi postoji sarno jedna tacka koja tu dUl: dijcti u datom odnosu (racunajuci od jednog kraja), to tezisnica iz vrha C mora proiaziti tackom T. Znaci)

sve tri tezisnice trougla sijeku se u istoj tacki T. 6.226. Tacku u kojoj se sijeku td.isnicc trougla nazivamo teziste trougla.

6.227. Dio prave koja sadrzi vrh trougla i normaInaje na suprotnu stranicu, izmeau vrha i suprotne stranice, naziva se vis ina trougla . . ,

6.228. Pasmatrajma 6ABC. Nela prava B'C' sadrzi tacku A i nekaje B'C' IIBe. Nekaje, dalje, A'B' II AB i A'C' II AC, pri cemu prava A'B'

C prolazi vrhom C, a prava .. ___ ~ __ .~. A' A'C' vrhom B.

Vrijedi 6ABC''Ot-ABC Oer imaju jednu zajednicku stranicu, i uglove na toj stranici

A koji su naizmjenicni na transverzali

S1.6.228. paralelnih pravih). Na analogan nacin se u\ljeravamo u

C' podudarnost troug!ova

6BCB''''''ABC i 6ACA'=6ABe. Iz podudarnosti cetiri nastala trougla zakljucujemo da Sil tacke A, B i C sredista stranica i1A '8 'e'. 0',10 znaci da Sil prave kojima pripadaju visine ~ABC simetra!e stranica 6A'B'C'. Kako se simdrale stranica trougla sijeku u istoj tacki (pogledati zadatak 6.220,), to je tvrdnja izrecena

u zadatku dokazana.

6.229. Tacku u kojoj se sijeku pravG kojima pripadaju visine trougla nazivamo

ortocentar trougla. 6.230. Aka je trougao tupaugli; tada je njegov ortoeentar van trougla. 6.231. U znacajne tacke tTongla, osim vrhova, ubrajamo teziste, ortocentar,

srediste upisane i srediste opisane kruznice, 6.232. Nekaje H ortocentar LlABe i k kruznica opisana oko ovog trougla. Neka prava koja sadrzi visinu AD sUece kruznicu u ta6ki E. (SL6.232.). Dokazimo da su tacke B i E·osnosimetricne U odnosu oa pravu Be

190

C

E

U glovi <ABC i <AEC su jednaki kao periferijski uglovi nad istim lukom. U isto vrijeme su i uglovi <CHD i <ABC jednaki (kao uglovi sa nonnalnim kracima). To znaci da pravoug\i trouclovi 6CHD i 6DEC imaju jednake ~ odgovarajuce uglove, a kako im je CD zajednicka stranica, to su oni podudami. Oludaje DE=DH, a kaka je <EDC pravi, to znaci da su tacke E i H osnosimetricne

SI.6.232. u odnosu na pravu BC. N~ anai?gan ~n~c~n se dokazuje da i preostale dvije tacke simetricne tacki H. pdpadaju oplsanoJ kruzmcl.

6.8. Nejednakost trougla (trokuta)

6.233. Ne nlO~?~! Oa. bi tri duzi mogle biti stranice istog trougJa zbir dvUu uvijek mora bit! veci od trece duzi.

6.234. Za stranice trougla vrijedi a < b+c, b < a+c, c < a+b (nejednakost trougla)

pa, dalje, imamo: a+a < a+b...:..c, b+b < a+b+c e+c < a+b+c odnosno 2a < a+b+c, 2b < a+b+c, 2c '< a+b+c iii. ' ,

,a+b+c b a+b+c a+b+c a'-·~2··~' < 2 ' c<-~2--

6.235. Uputa: h, < b, hb <c , h, < a => h, + hb + h., < a+b+e. 6.236. Uputa: Koristiti nejednakost trougla.

C

SI.6.237.

Dakaz: Uzmirno rna koju tacku M u datom trouglu ABe. Neka prava MB sije!'e stranicu AC u tacki D (SI.6.237.). Tada vrijedi:

-- ~ BD<AB+AD i MC<CD+MD.

Sabiralljcm posljednjih dviju nejednakosti dobije sec

BD+MC < AB+AD+CD+MD ~ ~ ~ - ~- -~

MB + MD + MC < AB + AD + CD + MD

MB+MC < AB+AD+CD

MB+MC < AB+AC. 6.238. Uputu: Koristiti teoremu 0 odnosu stranica trougla i prethodni zadatak.

191

6.239. Dokaz: Neka se dijagcna:e cetverougla ABeD sijeku lJ racki E. Koristeci nejednakost trougla, dobije se:

A B

------C AE + BE > AB • BE + EC > BC •

EC+ED>CD i AE+ED>AD. Sabiranjem posU~dnje cetiri nejednakosti, dobije se: ----_.

2AC + 2ED > AB + BC + CD + AD odakle se neposredno zakljucuje daje zbir duzina dijagonala veci od njegovog

poluobima. S druge strane je:

AC<AB+BC, AC<AD+CD, BD<AB+AD i BD<BC+CD. Ako saberemo gornje cetiri nejednakosti, nakon dijeljenja sa 2, dobivamo daje zbir duzina dijagonala manji od obima cetverougla.

6.240. Uputa: Koristiti nejednakost traugla. 6.241. Neka se tezisnice t" tb i (tezisnice ~ABC sijeku n ta(Ski T (SI.6.24 I.). Primjenom nejednakosti trougla, red om na trouglove "'ABT, ~BCT i "'ACT,

2 2 2 2 2 2 dobije se: --:ta+-tb> C, -tb+-tc > a -ta+-t.: > b.

3333' 33 Sabiranjem gornjih nejednakosti i njihovim sredivanjem, dobivamo:

222·222 -I,+-tb+-tb+-t,+ -t,+-(>c+a+b w 3 3 3 3 3 3 4 4 4 --t+-tb+--t > a+b+c 3 • 3 3'

C c D

b

SI.6.241.

A C, B

,Produzimo, sada, tezisnicu ta=AAj ,preko vrha Al do tacke D tako da bude

AD=2t,. Cetverougao ABeD je paraJelogram, paje BD=b i CD=c.

Koristeci nejednakost trougla u LlABD dobiva se AD < AB + BD d ? b N I v' ••• ,0 nosno, -t, < e+. a ana ogan naem doblvamo dVlje nove nejednakosti: .

2tb < a+e i 210 < a+b. Sabiranjem triju posljednjih nejednakosti, dobije se:

2ta +2tc + 2tb < b+c + a+b + a+c

t, +10 + tb < 2s. 2(t, +10 + tb)< 2(a+b+c)

3 Dakle, dokazali smo da vrijedi: 2 s < I, +( + tb < 2s.

6.242. Posmatrajrno tezisnicu CC' =l trougla ~ABC. Produzimo duz CC' preko C'

do tacke D tako da bude CD =2(. lz LlACD zakJjuclljemo:

APc_ .... · __ ........ "a ..... _ ........................ ~D 2(<a+b =~ « a +b . 2

b

C

lz trollglova "'ACC' i LlBCC' zakljucujemo da

.. d' c C VflJe 1: tc> a-- 4:> b-- pa nakon sabirania

2' 2' ~

a imamo: 2tc> a+b-c =>

SI.6.242. B a+b-c a+b

Dakle, vrijedi: < « --. Analogno se dokazuje: 2 2

a+c-b Q+C b+c-a 2 <t,,< -2-'

2

b+c <1,<--.

2 6.243. Prema prethodnom zadatku je:

b+c-a b+c a+c-b a+c <l,<-- <tb<--

2 2' 2 2 ' sabiranjern ovih nejednakosti i sredivanjem imamo:

a+b-c a+b

2 «<-- pa

2 '

b+c-a a+c-b a+b-c b+c a+c Q+b + +---- < ta+tb+tc < --+---+-_ ..

2 2 2 2 2 2 a+b+c --'---'- < t, + tb + t.. < a+b+e.

2

6.244. Kako je a<b+e, to je a < a+b+c-a = I-a, paje a<~. 2

Analogno zakljucujemo da je b <-'- e<-'-. Otudaje 2 2

(2a-1 J(2b-1 )(2e-1) < 0 w Sabe -4( ab+ae+be J + 2( a+b+e) - 1 < 0 w Sabe -4(ab+ae+be) + 1 < O.

S druge sirane vrijedi. a+b+c = 1 <=> a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = 1

w (a+b+c)'=l ¢;> 2(ab+ac+bc) = 1_(a2+b2+c2

).

i I 1 J

I I I

I !

I

Sabe -4(ab+ac+be) + 1<0 ~ 2 2 2

¢;> 8abc -2(I-a -b -c )+ 1 < 0

¢;> 8abe -2CI-Ca'+b'+e'»)+ I < 0 ¢;> 8abc+2a'+2b'+2e'-1 < 0

1 ¢:> a2+b2+c2+4ab<~.

2

6.245. KariMi Pitagorinu teoremu, dobije se: c3

= e·c3 = c(i+b

2).-Kako je

c> a i e>b, to je c-a>;o i cob >0, pa dalje vrijedi: a'Cc-a) + b2(e-b) > 0

<:> a'c_aJ+b'c_bJ > 0 ¢;> cCa'+b') > aJ+b

3 •

Ovimje nejednakost dokazana.

6.9. RarJli zadaci 0 trouglu (trokutu)

6.246. To je lllgao! Gdje se nalazi vrh ovog ugla? Kakvi Sil krad ugla U odnosu na

strank::e datog trotlgla? 6.247. Neka :prnva p sijece krak AB jednakokrakog 6ABC u tacki D, a produzetak

.E . kraka AC u tacki E. Ugao AED je komplementan sa p \"'- sa uglom <C, a ugao ADE je komplementan sa <B, pa

kako je <C ~ <B, to je <ADE = <AED.

"

Otuda je <ADE = <AED => AD=AE.

B C S1.6.2'47.

6.248. Neka je BD visinajednakokrakog trougla na krak AC. Nekaje AE yisina

ffi; A visinajednakokrakog trougla na osnovicu Be. ~ UglO\ri CBO j CAE so dva astra ug!a sa normalnim :. kracima, pa su jednaki. Kako je ugao CAE jednak poloyini ( ugla pn vrhu datogJcdnakokrakog trougia, , SI.6.248. to je tvrdnja dokazana.

BEe 6.249. Ako mglove trougla oznacimo sa a, p i y, a uglove koje visine obrazuju sa

stranitcom AB sa UI i ~J, tada vrijedi: a, + ~, = 90o_a+90o_~ = 1800-(a+~) ~y.

6.250. Neka:su u=90°, ~ i Y uglovi datog pravouglog trougla cijaje hipotenuza Be. Nekaje cP u@;{IDna osnovici jednakokrakog .6.ABE, a 8 ugao na osnovici jednakokrakIDg 6ADC. Tada vrijedi:

194

2 <DAE~180o-(<pH)=45°

c

SL6.250. SI.6.251.

30°

C D B

6.251. Nekaje CD visina trougla ABC, nekaje CHjednako palavini stranice AB I ugao BAC=75° (SI.6.251.). Neka simetrala stranice AC sijece prayu AB u tacki D. Tadaje ~ACD jednakakraki sa osnovicom AC na kojoj su uglovi po 75° (AD~CD). Za trecl ugao ovog traugla Yrijedi:

<ADC = 180°_75°_75°=30°. Kako je ugao ADC "'" 30° jedan ugao pravouglog trougla CHD, to je hipotenuza

ovog traugla dvastruko veea od katete nasuprot ugla od 30°, pa je CD ~ 2CH .

Kako je, po uslovu zadatka, AB = 2CH , to je CD ~ AD ~ AB. Ovo, dalie, znaci da se tacke BiD poklapaju, paje traZeni ugao <ABC=30°. -6.252. Nekaje a 2 b 2 e. Tadaje a: 2 j3;o, y. Dalje vrijedi:

{Ca;o,~ => a;o,b a(a-b);o,~(a-b) => a:a-ab;o,j3a-j3a

=> aa+ j3b 2ab+ pa.

{a 2y => a;o, c

a(a-c);o,y(a-c) => aa-ac?:.ya-yc

=> aa + yc ~ ac + y a .

{~ ;0, Y j3 (b - c);o, y (b - c) => => pb - pc ;0, yb - yc b2C

=> j3b+yc;o,i3c+yb.

Sabiranjem posljednjih nejednakosti dobije se: aa + i3b + aa + yc + pb + yc ;0, ab + lJa + ac + ya + j3e + yb

¢;> aa + j3b + yc ;0, ~ Cab + j3a + ac + ya + j3c + yb).

Trauglovi 6ABD i 6CDH su podudami. Zasto? Otuda je AD ~ CD, pa je Ll.ACD je jednakokraki

pravoug!i trougao, :ito dalje znaci daje <ACD~45°.

B C SI.6.253. D

l 195

6 7-'~4 * N kaje dati i1ABC, sa visinDm CD i upisanim kruznicarna predstavljen n~ S·I~~.254. Jglovi <ACD i <B imaju normalne krake, pa sujednaki <ACD=<B. Iz Istog

'-- . d k' 11 " uglovi <BCD i <A Kako Je prava CP slmetrala <ACD, to Je raZ1~aJe na IS' 1 ,1 0 d .

<ACP= -<ACD= -<B. tu aJe 2 2

<CPE = 180°·(l80°·<A-<ACP) 1

= <A + <ACP = <A+-<B. 2

I k .. d' . <BCP = <BCD+<DCP = <A+<ACP = <A+.':.<B. Dakle, za uglove SID la 0 vf1Je 1. 2

<CPB i <BCP vrijedi <CPB = <BCP, paje trougao BCP jednakokraki, odnosno, BC=BP. Na analogan nacin dokazuje se daje AC=AQ. 6.255. Nekaje AABC dati trougao,sa tackama P i Q na hipotenuzi. AB. U prethodnom

zad!atku dokazanoje da su trouglovi ilACQ i "'BCP jednakokrakl (AC,=0P , ~C=BP). Nelka simetrala ugla <A sijeee duz CQ u tacki F, a simetrala.~B neka slJece du~ CP u taClki E. Tada je AF -LCQ i F je srediSte duzj CQ. Dakle, AI' Je simetrala stramce CQ tr<:mgla CPQ. Isto takoje BE simetrala stranlee CP. C

C

A p D B A P Q B . SI.6.254. 81.6.255.

Ako je a tacka presjeka ovih simetrala, to je 0 srediste kruinice op!sane ok,o ilCPQ.

Kll!ko su AF; BE simetrale unutrasnjih uglova ilABC, to Je 0 sredlste 1 kruzmee upisane U ovaj trougao, cime je dokaz k~mpletiran.

6.10. Cctvcrougao (cetverokut) 6256. Mnogougao sa cetiri stranice nazivamo cen:erougao (cetveroku:).

Stranice cetverougla koje nisu susjedne naz!vamo suprotne stranlce. 6.2.57. Uputa: Dijagonala dijeli cetv-erougao na dva trougla cijije zbir uglova

jednak zbiru uglova cetverougla. .. . 6258. Ugao naporedan unutrasnjem lIglu cetverougla naz!va se vanJskI ugao

cetverougla u tom vrhu. 6_259. Prema to~e da Ii cetverougaD ima iii nema parale1nih stranica skllp svih

cet'ferouglova dijelino na: paralelograme, trape~e. i trapezoide: . . . Mean trapezoidima postoj! cetverougao kOJ! Ima dva paraJednakih susJednth

s1.':!rnnica. Takav cetverougao nazivamo deltoid. 6260. Dvije.

1%

6.10.1. 'Paralelogram

6.261. Cetverougao koji ima dva para paraJelnih stranica naziva se paraJeJogram. 6.262. Posmatrajmo paralelogram ABCD (SI.6.262.).

D C 1) Dijagonala AC dijeli paralelogram na dva tmugla, (ilABC ; ilACD). Uglovi BAC i ACD su naizmjenicni r)a transverzali paralelnih pravih, pa sujednaki. Iz istog razloga su jednaki i uglovi BCA i CAD. Zato vrijedi:

A 6ABC '" 6ACD =>. AB=CD, BC=AD. SI.6.262.

2) AABC '" ilACD => <ABC = <ADC, <BAD = <BCD. 3) Susjedni uglovi paraleleograma su sliprotni uglovi na transverzali

paralelnih pravih i kao takvi su suplementni. 4) Neka je 0 presjek dijagonala paraleiograma. Kako je AB~CD,

<ABO~<CDO, <BAO = <DCa, to je: "ABO", ilCDO => AO=OC, BO=OD. 6.263. Ako su susjedne stranice paraieiograma !lormalne, para/elogram se nazi va

pravougaonik (pravokutnik).

6.264. Ako su sve stranice paralelogramajednake,paralelogram se naziva romb. 6.265. Pravougaonik kojije i romb naziva se h-vadrat. Koje osobine ima kvadrat? 6.266. Dokaz: Nekaje ABCD tetivn; paralelogram upisan u kruznicu sa sredistem u o (SI.6.266.). Tacka 0 je presjek dijagonala paralelograma i uglovi na osnoviei

svakog od jednakokrakih trouglova C ilAOB i ilBOC su jednaki.

k-----~ Nekaje <BAO=<ABO~a i

<OBC = <BCO=~. Ugao <AOB je vanjski ugao "'BOC, pa vrijedi <AOB = 213. Ugao <BOC je vanjski ugao "'BOC, paje <BOC=2a. Zato. vrijedi:

<AOB + <BOC 'C. 213 + 2a w 180o =2(a+13) w a+13=90 0

•

81.6.266. Kako je a + 13 ugao paralelograma, to su svi uglovi ovog paraJelograma pravi, paje to pravougaonik.

6.267. Nekaje ABCD romb (81.6.266.). Neka se dijagonale AC i BD sijeku u tacki O. Tacka 0 je srediste svake dijagonale, pa vrijedi AO=OC. Posmatrajrno trouglove "'AOB i I';BOC. Vrijedi: .

AB = BC,} ",,,sss BO=BO =>

AO=OC ilAOB '" "'BOC -< AOB =-< flOC

197

Kako su uglovi <AOB i <BOC naporedni, to je svaki od njih pravi. Dakle,

dijagonale romba su rnedusobno nonnalne.

6.268. Nekaje ABCD romb (nacrtaj sliku!). Sredista stranica romba, redom,

omacimosaM,N,P i Q.DuzMNjesrednjaduz"'ABC,paje MN=!-AC i MN . 2

II AC. Za duz PQ vrijedi 'PQ = ±AC i PQ II AC. Na analogan nacin zakljucujemo

daje PN=..1. BD i pNllBD i QM=..1. BD i QMIIBD,pajecetverougao 2 2

:rvfl'H>Q paralelogram. Kak9 su dijagonale romba norrnalne (vidi prethodui zadatak), a suprotne stranice paralelograma rvINPQ paralelne su tim dijagonaiama, to je

paralelogram MNPQ pravougaonik. 6.268. Uputa: Vidi prethodni zadalak! 6.270, Uputa: povuci dijagonale datog cetverougla i koristiti teoremu 0 srednjoj

liniji trougla. 6.271. Posmatrajmo SI.6.271. Prema datim uvjetimaje AF = AB = DC i

CE = BC = AD, patrouglovi "'ADF i "'CED imaju po dvijejednake D C stranice. Dokazimo da su uglovi u

ovim trouglovirna izmedu jednakih stranicajednaki. Vrijede slijedece jednakosti uglova:

<AFB = <ABF (uglovijednakokrakog traugla), <ABF = <EBC (unakrsni uglovi su jednaki), <EBC = <BEC (uglovi jednakokrakog trougla), <BAD = <BCD (suprotni uglovi paralelograma),

Otudaje <FAB = <BEC (Ako dva trougla imajujednaka po dva ugla, jed naU su im i treci), pa vrijedi i <FAD = <DCE.

Dakle, vrijedi: "'FAD '= "'DCE => DF = DE. '

6,272. Nekaje na SI.6.272. predstavljcn dati pravougli "'ABC sa zadanim uvjetima. Koristeci teoremu 0 ug\ovima sa nomlaJnim

kracima i teoreme 0 podudarnosti troug!ova, dobije se:

D "'AMD '= "'APC (Zasto?) => DM =AP (1)

"'BNH" "'BCP (Za.sto?)

C => NH=BP (2)

Prema(1)i(2)je: DM+NH = AP+BP = AB.

SI.6.272.

E b-------Y

6.273. Nekaje na SI.6.273. predstavljen "'ABC sa stranicama a, b i c. Posmatrajrno tezisnicu ta = AA'.

198 '

c c

b A''-.· .,''''

t, SI.6.273.

A,~~------'c~------~~' Produzimo dui AA' preko A' do C' taka da]'e AA'-A'C' C' tv A I I . . . -, . e erougao BC'C je para e ogr~rn. P~ema teorernl: Zblr kvadrata dijagonala paralelograma' d k' b' kvadrata nJegovlh stranica, vrijedi: '-' Je na Je z lru

(2ta)2 +a 2 =b2 +c2 +b 2 +c2 <=> 4!a 2 =2b2 +2c 2 _a2•

Analogno dobivamo jos dvije jednakosti: 4to2;;:::2al+2c2-b1, 4t

c2 =2a2 +2b"_c 2

•

Sabiranjem triju posljednjihjednakosti dobije se: 4ta

2 +4// +41/ ;;:::2b 2 +2c 2 _a 2 +2a" +2c" _&2 +20 2 +2b 2 _c 2;;:::

=::3a2+3b2+3c2=::3(a2+b2+c2) _> (2 2 2 3 2 1 ., - a +tb +t, =-(a +b'" -LC-) ~ 4 "

6.274. Kakoje, premaprelhodnomzadatku, I.' +1,' +1 2 =~.(a2 +6 2 ~e') It lJ C 4 " to nasa

nejednakost postaje ±(a + b + e)2 ,; %(a2 + b' + e2),,; ~(Q + b + e)2 ,

odnosno, 1 2 2 I 3(a+b+c) ';a +b2 +e2 ';'2(a+b+e)'.

Dokazimo, prvo, lijevu stranu, tj. ~(a+b+c)1 :s;a2 +b1 +c2•

1 3(a+b+c/ ~a1 +b2 +c2

¢::;> a 2 +b2 +c2 +2ab+2a+2bcs;;3(a 2 +b2 +c2)

¢:> 2a' +16' +2c' -2ab-2a-2bc:c.O ¢:> (a-b)'+(a-cJ'+(b-e)';"O.

K~ko JC pos~Jed~Ja nejednakost uvijek tacna, to je tacna i lijeva strana nase ne]ednakostJ ko]u dokazujemo.

Dokazimo sad a desnu stranu nase nejednakosti: 2 'b2 2 I 2 a T +c O;'2(a+b+e) .

KoristeCi nejcdnakost trougla dobije se:

c!a-bj<c, ja-cj<b, Ib-cl<a) ¢;>

¢:>

=>

(a 2 _ 2ab + b2 < c', a2 ~ 2ac + c2 < b2 ,b2

__ 2bc + c2 < a 2

2(a 2 +6 2 +c2 )-2(ab+ac+bc) < a 2 +b 2 +c2

=> a 2 +b1 +c2 <2ab+2ac+2bc

=> (a 2 +b 2 +c1)+(a2 +b2 +c 2)<a2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc

=> 2(a' +b' +e')«a+b+c)2 => a' +b 2 +c' <~(a+b+e)'. 2

199

Dakle, nejednakost ~(a + b + e)2 ,;; a' + b' + e' ,;; ~(a + b + e)' je dokazana. 3 2

6.10.2. Trapez

6.275. Cetverougao koji ima sarno jedan par paralelnih stranica nazivamo trapez. 6.276. Paralelene stranice trapeza nazivamo osnovice, a neparalelne kraci trapeza.

DUl koja spaja sredista krakova trapeza zovemo srednja duz trapeza. - --

6.277. Koristeei SI.6.277. izrazimo vektor FG pomoeu vektora AB i DC.

D C FG~FD+Ii:+CX;} -. - - - - -. -_ _ _ _ =>2·FG=FD+E4+AB+IX+CX;+fX]~

FG~E4 + AB+ fX]

A"-___ -<B ~AB+DC,jerje FD+FA ~O, CG+BG~O.

SI.6.277.

- -. - AB+DC

Otuda Je: FG ~ ----- . 2

Kako su vektori AB i DC kolinearni, to je i njihov zbir vektor sa njima

kolinearan. Dakle, FG je paralelna sa AB (i sa DC). Vektari AB i DC su istog

smijera, paje intenzitet njihovog zbirajednak zbiru njihovih intenziteta, odakle zakljucujemo daje dul: FG jednaka polovini zbira dul:i AB i DC. 6.278. Uputa: Primijeni teoremu 0 srednjoj liniji trapeza. 6.279. Ako tackom C poYUcema paralelu sa krakom AD, ta para lela ce presjeei

jednakokraki, paje <EBC = <BEC . [;lic osnavicu AB (u tacki E). Trougao LlBCEje

SI.6.279.. S druge strane, uglovi <A i <BEC su saglasni E uglovi uz transverzalu paraJelnih pravih, pa su

A . B jednaki. Zata je: <A = <B. 6.280. Ako na SI.6.280. poYUcemo dijagonale AC i BD, laka se uvjeravamo u to da su trouglovi L\ABC i L\ABD podudarni(na asnovu kojeg stava?), odakle zakljucujemo daje AC = BD.

D 'C DeC

A B ~

A a' B 51.6.280. SI.6.281.

6.281. Nekaje na SI.6.281. predstavljen trapez ABCD sa srednjom linijom MN. -- 1

Tadaje MN = -(a + c). Neka su P i Q presjecne tacke dijagonala i srednje 2

200

linije (duli). Tadaje MP srednja dUl L\ACD, paje MP ~.::. Isto tako je i 2

QN srednja duz LIBCD, paje QN ~ i' Otudaje MP ~ QN ~ i' Zato je:

F.'=MN-(MP+QN)~ a+c _ e+c ~~. 2 2 2

6.282. Rezulta!: 62°, 118°,62°, 118°.

'+ ____ C Neka simetrala ugla izmedu dijagonale i stranice datog romba ABCD sijece stranieu BC u tacki E Ako je jedan ugao rcimba a, tada L\ABE ima . uglove a/4, I 800 -a i 72°. Kako je zbir uglova trougla 180°, toje: a/4 + I 80 0 -a + 72° = 1800

SI.6.283. =>

6.284. Rezultat: 121 °26', 56°45'. 6.285. ACje simetra!a ugla ex. ex = 72°, i3 = 108°, Y = 108°, 8 = 72°. 6.286. Posmatrajmo L\ABC (SI.6.286.). Sredista stranica neka su A', B' i C'. Nekaje AD vis ina trougla. Ako je tacka E presjek visine AD i sred~je duzi B'C', tada su trouglovi L\AB'E i L\B'ED podudarni, paje AB'=B'D. Kako je - 1- _.-A'C' =2'AC = AB', otudaje A'C'=B'D. S druge strane je B'C' II BC paje

cetverougao A'DB 'c' jednakokraki trapez.

B

A

D SI.6.286.

C A

»;D,---' _...;N'<.-__ """C

B SI.6.287.

6.287. Nekaje 0 presjek dijagonala, a P i Q presjek duzi AN i AM redom sa dijagonalom BD. Tacka P je teziste L\ACD, a Q je tdiste L\ABC (Zasta?).

Otudaje DP~2·PO,BQ=2·QO i QO~P, paje BQ=QP~PD.

6.288. Neka su E, F, G, H, redom, sredista stranica jednakokrakog trapeza ABCD. Dijagonale jednakokrakog trapeza sujednake, pa je AC = BD. Kako je EF srednja

- - 1-duz L\ABC, a GH srednja duz L'.ACD, to je EF = GH ~ --AC AC i EF II GH.

2

201 1 ... -'-' .. -------------......:....-......... -'--....::

Analogno dolazimo do zakljueka EH = FG = 2. BD i EH II FG. 2

Dakle, cetverougao EFGHje romb.

D G C M

B SI.6.2$8. SI.6.289.

C

L

6.289. Duz MNje srednja duz i\ACD, a duz KL je srednja dul: i\ABC, pa su obje ove duzi paralet_ istoj duzi AC i jednake njenoj polovini. Dakle, KL=MN i KL II MN. Na arualogan nacin dolazimo do zak!jucka daje ML~NK i ML II NK. Dakle, cetveroug;JO KLMN je paralelogram.

6.11. Povriina geoIrietrijskih figura u ravni 6.11.1. Povrsina pravougaollika (pravokutllika)

6.290. Nekaje cfu1pravougaonik ABCD i nekaje AB=a, AD=b. Neka su a i b pri:rodni brojevi~ Tada na stranicama AB i CD postoji tacno a duzi cije su duzine jednabe 1, ana stran!ce AD i Be mozerno nanijeti tacno b jedinicnih .

1111111 r· ~~:~::~!;~,;l:~~E~i~!;:~'~~;:~: . . . .. Ukupan broj tlh kvadrataje a·b. Povrslila

A B pravougaonikaje P""'a·b. SI.6.29@. Ako su a i b raeionalni brojevi, dovedimo ih na

zajednicki nazivmikq, tj. a::::: m ,b;;;;: !2. Sada na st;anicu AB pravougaonika q q

mOlemo nanijeti lEI duii jednakih 2., a na stranieu BC n ovakvih duii. Krajnjim q

tackama ovih duZipovucimo norrna!e na stranicu AB, odnosno, stranicu AD. Na taj nacin nastaje mrm koja prekriva cijeli pn~vougaonik ABeD. Povrsinajedinicnog

kvadrataje 1, a $vaki jedinicn! kvadrat je prekriven sa q2 kvadrata sa stranicom ~ . q

202

To znaci da je povrsinajednog kvadrata sa stranicom ,..!.. jednaka ~ .. Povrsina q q

pravougaonika ABeD jednaka je zbiru povrsina svih kvadrati6a koji ga prekrivaju, p

. 1 m n b je PABco= m.n'-qr=- q=a . 6.291.a) P=ab=24 em' b) P=80 em' 6.292.a) P=a'= 9 em' b) P=25 em' 6.293.a) b'=d'·a'=> b~J, P~12em2 b) P=108 em'

6.294.a) a=fz=l po em b) P=I6em'

6.295.a) a = JP = J4 = 2 em, d=2 J2 b) a=6 em, d=6 J2 em

c) a= 2M, d=4 15 6.296.a) 2a+2b=O => b=2, P=6 em' b) P=80 em' 6.297.a) b=9 em, d=I5 em b) b=15, d=25 6.298. Neka su straniee pravougaonika a i b (a>b). Tada vrijedi:

2a+2b=102 i a:b=12:S.

c) P=I92 em' c) P=121 m' c) P=I92 em'

e) P=81 m'

c) P=44 em' e) a=24, d=30

Rjdavanjem sistema jednacina sa nepoznatim a i b dobivamo stranice: a+b=SI a=Sl·b a=5 I·b a=51·b a=36 Sa=12b => 5(51·b)=12b => 255·5b=12b => 255=17b => b=lS.

Povrsina pravougaonikaje: P = ab = 36· 1 5 = 540. Prema Pitagorinoj teoremi za dijagonalu d pravougaonika vrijedi:

d'=a'+b' =362+IS'= 1296+225= 1521 => d=39.

6.11.2. PovrSilla paraieiograma

6.299. Nekaje ABCD dati parale10gram (SI.6.299.) sa duzinama straniea a i b. D C Nekaje DF visina paralelograma. Na pravoj AB

A F B SI.6.299.

6.300.a) P=ah=40 em'

E

odredinio ta<Sku E, taka daje CE=DF. Trouglovi i\APD i &BCE su podudami, paje AF=BE. Cetverougao FECD je pravougaonik sa stranicama a i h. Povrsina datog paraielogramajednakaje povrsini pravougaonika FECD, tj. P=ah.

b) P~36 em' c) P=IIO em'

6.301. P=238 em'. 6.302. Nekaje paraieiogram ABCD predstavljen na SI.6.302. Nekaje DE visina paralelograma. Tadaje trougao ADE pravougli sa ostrim uglom ad 60°) paje AD = 2DE, odnosno, AE =2.

203

Koristeci Pitagorinu teoremu, dobije se:

51.6.302.

6.303. Plrema SI.6.303. povrsina rombaje P= AB· DE. Posmatrajuci D.ADE D C zakljucujemo da je to jednakostranicni

trougao (Zasto?). Koriste"i Pitagorinu teoremu i datu visinu h, dobije se a=8.

p =ah = 32.J3.

6.304. p = d,d, = 40 2

A 6.305. Uputa: ab=160, a:b=5:2 => a=20, b=8. SI.6.303. 6.306. Uputa: ab=IO, a=5 => b=2 m.

O b d 2 a'+(d-2)' = d' 6.307. U'jIDta: a=J , = - , => d=26 em, b=24 em, P=240 em'.

6.308. Upota: d-a=4, d=a+4, d'=2a' , (a+4)'=2a', a=4( J2 +1), P=16(3+2 li). 6.309. 2a+2b=18, a=3 => b=6, P= 18 em'.

a'lj 2Sfj 6.310.4(3"'20 => a=5; p=-~=._._.

6.311. Up!lta: P= ah,

6.312. Upota: (i J +( ~')' =a'

P = did, =240. P=ah 2

2 2

a=7 m; P= bh, =>

=>

=>

21 b= - m.

S

a=13

h='" = 240. h 13

6.313. Nekaje x stranica kvadrata upisanog u pravougli trougao !lABe cije su kartete a i b (SI.6.313.). Tada vrijedi: b: a = (b-x): x

A

b- N

x

,. a-x C M

51.6.313.

204

B B

=> ab

X=--- , a+b

PJ_::t>J' ~a+b)

•• , ....................... 1;1

" C SI.6.314.

6.11.3. Povrsina trougla (trokuta)

6.314. Nekaje dat D.ABC u kome je BC=a -straniea i AE=h.-visina. Duzi BC i BA odreauju para1elogram ABCD (SI.6.314.). Dul: AC je dijagona1a ovog paralelograma. Trouglovi D.ABC i D.ACD su podudarni Ger su im odgovarajuce stranicejednake), pa imajujednake povrsine, ti· PMBC = PMCD•

Kakoje paraielogram ABCD sastavljen od twuglova D.ABC i D.ACD, to je njegova povrsinajednaka zbiru povrsina ovih trouglova, pa vrijedi:

PABCD = PAABC + PMCD W a'ha = PMBC +- PMBC ¢!> 2·P ,lABC = a·ha ,

a·h b.·h odak1e je: P"BC = __ a • Analoguo je: P MBC = ~,_b P _ c·h,

= 2 . '2 MBC --2~

631 - P= a·h. =14em' . ).a) 2

6.316.a) P=1 em' a·b 2

6.317.a) P = -=36 em 2

b)

b)

b)

P=48 em' e) P=80 m'

P=3 em' e) P= 6m'

P=44 ill' e) P=27em'

6.318.a) b'=e'_a' => b=24, P=120 m' b) P=54 em' e) P = 840 em'

"~th~'~"';~l' a) h = 6 em, P = 48 em'· b) h = 40 em, P =1200 em' e) h = 12 m, P = 60 m'

6.320. P = 36

b·h a·h . a·h 12·4 24 6.321. Povrsina tfOuglaje P= --' = -~" , odakle je h" =-_" =_ =_ .

2 2 b 14 7 6.322. Prema oznakama sa SI.6.322. vrijedi: PMBM + P'COM=

1- ~~ 1- ~ 1 - ~... 1- ~~ 1 - - -=-AB·EM+-CD·MF= -AB·EM+-AB·MF=-AB(EM+MF) =

2 2 2 2 2

D C

A SI.6.322.

B

. 1-= --AB·EF.

2 Dobi!i smo daje zbir povrsina dva trougla jednak po!ovini povrsine cijeiog pravou.gaonika, pa je i zbir povrsina druga dva' trougla jednak poJoviui povrsine eijelog pravougaon~ka. Ovim je tvrdnja dokazana.

6.323. Na SI.6.323. prikazanje proizvoljan "'ABC u komeje upisana kruiniea sa centrom O. Spajanjem tacke 0 sa vrhovima A, B i C trougao se dijeli na tri trougla, pa za povrsine vrijedi:

PABC = PAOB + PBOC + PAoe =

20S

.. ' .. '

AB+BC+AC gdjejes~

2

81.6.323. 0' 6.324.a) P=rs~16 em' b) P~rs~42 em' e) P~rs~64 em 6.325. Kako je povrsina trougla P=rs, gdje je s poluobirn trougla, prv.o cema odrediti P, zatim hipotenuzu c i poluobim s. Na kraju se neposredno IZ navedene

fonnule za P dobije r ~.~. P~ ab ~ ~Q() ~!50; c'~a'+b'~15'+202~225+400=625 s . 2 2

~> e~25: 2s=a+b+c s~30. p~ = 150 ~ 5. 6.326. p~b2 . , • 30

6.327. Neka su a, b i e duzine straniea AABC (SI.6.327.) i h, duzina visine troug!a koja odgovara stranici AB = c. Tada vrijedi:

c·h SI.6.327. P = -t .

b a Aka duzinu duzi DB oznacimo sa x, tadaj.e AD-c-x, a iz pravauglih trouglova AACD i

i1BCD, prema Pitagorinoj teorerni, dobije se: , 2 )' . h 2_ 2 2 c-x he = b -(C-X 1 c - a -x ,

A·,?.-.-.C:::::::.----;'p..---B& adakle zakljucujema da vrijedi; 2 2 2 2 2 2 b' ( '2 + 2) a -x = b -(c-x) <;> a -x = - c - xc x

¢;> 2ex ~ a2_b2+e', adakle je: x~

Sada mozemo uvrstiti X u izraz za visinu he:

h/ ~ a' _x2 ~ a2 t' -~: + c' r ~ (a a2

_62 +c 2 Ya+~-:!/ +c

2 )= 2c)~ 2c

lac _(a2 -b' +c2) . 2ac+(a' _b2

+c2

) 2ac-a2 +b1 _c1 2ac+a2 _b1 +c2

2c 2c 2c 2c

b' -(a-c)' (a+c)' -b' _ (b--a+c)(b+a~c). (a+c-b)(a+c+b) 2c . 2c - .. 2c 2c

Kako je: a+b+e = 2s, b-a+e = a+b+c-2a ~ 2s-2a ~ 2(s-a), b+a-e ~ a+b+c-2c = 2(s-c), a+c-b ~ 2(s-b)

to mozerno pisati: , 2(.-a)2(.-c)2(.-b)2. 4s(.-a)(s-b)(.-c)

(h,) ~ '4c' c'

paje h, ~3..fs(s-a)(.-b)(.-c). c

206

c' h r-c-....,.,.---Za povrsinu trougla vrijedi: P ~ -t ~ ,j.(. - ales - b)(. - c) .

Ovimje dokazana Heranova fonnula za povrSinu trougla. 6.328.a) Za abim trougla 2s vrijedi: 25 ~ a+b+c ~ 13+ 14+15 ~ 42 ~> s ~ 21.

Prema Heronovoj fannuli je:

p ~,J.(s-a)(. -b)(s-c) ~ ,J21(21-13)(21-14)(21-15) = hl·8· 7·6 ~ 84

b) P~336em'. 6.329.a) Kako su poznate sve tri stranice trougla, to se njegova povrsina P maze izracunati primjenom Heronove farmulc. Nakon toga se iz formu]e za pavrsinu

I P ah, .' • .• .. h 2P troug a = -- maze IzracunatJ trazena VIsma a::::: -.

2 a

a+b+c Poluobim trouglaje s = =-c...::....:....::.

2 Povrsina trougJaje:

39+42+45 ~63. 2

P ~,J~(.-a)(s-b)(.-c) =,J63(63-39)(63-42)(63-45) =756.

. .. d' P ah, Dalje vflje I: ~-2

b)

I b· I' 24 + 27 + 33 42 P" I . 6.330. Po uo 1m troug aJc S = = . ovrstna troug aJe 2

p ~,js(s - ales - b)(. -c) ~ 54m .

ak . p abc . R __ abc __ 24·27·33 __ 99m. 35

K aje =4R-,to j e 4P 4· 54m 35

P 9m 1z farmule za povrsinu trougla P = rs, dobije se r = - = --_

• 7 6.331. PovrS!na trougla, prema Heronovoj farmuli,je

p =.[s(s -ales - b)(s-e) = ,j45(45 - 25)(45 - 29)(45 -36) = 360; s ~ 45; P ~ rs

~> r~ 8. p~abc ~> R~abc ~25.29.36~145. 4R 4P 4·360 8

6.332.a) P = 84 b) P~ aha ~> h ~ 2P ~8 hb ~ 168 h = 84 2 a a ' 17' c 5

e) R ~ abc ~ 2! ·17· I 0 ~ 85 d) P ~ rs ~> r ~ ~ = 84 ~ 7. . 4P 4·84 8 • 24 2

6.333. Nekaje D srediste stranice AB. Nekaje E tacka na polupravaj CD taleva da je DE = CD (~I,,). Sada u trouglu ACE poznajemo sve tri stranice, pa mu mozerno izracunati povrsinu (S1.6.333.). Rezultat: P ~ 270 em'.

207

A a E D C

..... " ....... ".::::: .. :.::::::::., ~ "D ····b

............. 0

............................... I2i/ ... '" .. .......

~cg;;;;~-..ll----'·B A - B

SI.6.333. SI.6.334.

6.334. Dijagonale dijele paralelogram na cetiri trougla koji imajujednake povrsine (Zastn?). Iz datih elemenata, dijagonale i manje stranice, koristeci osobinu paralelograma da mu se dijagonale polove j primjenom Heronove fonnule, mazerno izracunati povrsinu jednog ad ovih trouglova:

P = 4P lillOC = 4 ,js(s - ales -- b)(s - c) = 4J-:::60:-:-(6~0 -:'=-5=-==6)-:('6"'0--3"C-:9"CC)(6-C:0-_-:C25:::-) = 1680 .

6.335. Rezultat: Vis ina trouglaje h=12, povrsina P = 60, R = ~ r =.!.Q 24' 3

63 6 ) P =a'.J3 . 3 .a 4

h'.fj b) P=--

3

6.337.a) P =4.[3 em' b)

6.338. Stranica trouglaje 4.fj. RezuItat:

P =25.fj em'

P =12.fj.

c) P =4.fj em'

6.339. a+2b=32,h=8, b'=h2+(~)'

& =>

6.340.

SI.6.339.

=> 256 -16a = 64 => 16a = 192 => a=12m, b=IO m, P=48 m'.

~ ab ab c=va-+b- ,ch=ab => 11=-= ,j .

c a2 +b2

6.341. Posmatrajrno dati "'ABC i datu tacku D na 81.6.341. Nekaje tacka E na pravoj CB takva daje AE II BD. Nekaje F srediste duzi CEo Trouglovi "'ABD i ~BDE imaju zajednicku stranicu BD, a visine su im jednake (Za5to?), pa su im jednake povrSine (P MHD = P t.BDE)' Zato vrijedi P MBC = P .c.CDE. Kako je F srediste stranice eE, to je P AEFD = P IlFCD , pa prava DF dijeli dati trougao na dva dijela jednakih povrsina. 6.342. Neka su dati elementi i ad nasi predstavljeni na 81.6.342. PosmatTajmo trouglove "'ABC i "'BCD. Oni imaju zajednicku stranicu BC. Kako su prave BC i AD paralelne, to su j visine ovih trouglova koje odgovaraju stranici BC jednake

(i svaka je jednaka duzini duzi BE). Kako je ~. CD· BE povrsina trougla BCD, to 2

1-je i PMBC = -CD· BE.

2

208

c

D

A C B 81.6.341. S1.6.342.

6.343. Prema Heronoyoj fonnuli, povrsina trougla izraiena u zavisnosti od njegovih

tr . '. P-,j ( )( b)( a+b+c. '" S antca Je. - S S ~ a s - s - c) ,s= ---. KOflstecl osnavne formule za 2

povrsinu trougla, mogu se izraziti njegove visine u zavisnosti ad stranica: P = aha 2

=> h = 2P = 2)s(s-a)(s-b)(s-c) . . a a

P= bhb 2

=> h _ 2P 2)s(s-a)(s-·b)(s-c)

b - b b

p=ch, => h=2P=2,js~s-a)(s-b)(s-c) 2 C c c .

.h __ 2P __ 2)s(s-a)(s-b)(s-c) 15.fi 6.344.

a a a 4

6.345. Jednakostranicni trougao ima tezisnicujednakuvisini, paje

. (4.fj)'.fj a'.ff 3 4.fj

P = --= -'----'--11=1= a.fj => 2, 4.fj

a=-=--2 .fj 3' 4 4 3

P 2 r=-=-.

s 3

6.346. a=4, P=4.fj, R =3., = 4.fj . 3 3

6.347.* Nekaje L\ABC dati trougao i AA' njegova teziSnica. Produzimo tezisnicu

AA' preko A' do D, taka daje AD = 2AA'. Tadaje cetverougao ABDC p~alelogram. Prema teoremi: Zbir kvadrata dijagonala paralelogramajednakje zblru kvadrata njegovih stranica, dobije se:

4tal+a2=b2+b2+c2+c2

2b2 2 1 odakJeje: 4ta2 =2b2+2c2_a2 => t/ +2c -a

4

Na analogan nacin se dolazi do formula:

~ J2a1+2c"2_b2 J2a 2 +2b 2-C

2

tj,~- t" = 2 2

,J'1h-,-+-2c-c,-_-'a'c, • Ji6z-+242="49 -fjss W,2c' -b' 6.348.a) t, tb 2

2 2 2

,198+242-81 =.J2s9, t" ha2 +2b2 _c

2 ,/98+162-121 .JJj9

2 2 2 2 2

.Ji.'+2b'-c', J3I3 hOO+338":-;:; 6.349.* t" 2 => 2 2

~> ,1538 -- c 2 = J3I3 => c2= 225 => c=15. 6.350. Tacka D dijeli stranicu AC trougla ABC na dijelove koji su proporcionalni

drugim dvjenustranicama ovog trougla. Nekaje AD= x (SL6.350.). Tada vrijedi: x'(l4-x) = 13,15 => x~6,5m.

Povrsinu MBC mozemo izracunati primjenom Heronove formule, a oilda i visinu

BH = hb = 12m 1--- I-

a) P~BHD = PAllHc- POBeD = -CH· BH - -CD· BH=

B

6.351.

2 2

=.I.. ,115' _122 .12 _.I.. 12 ·12 =54-45=9 m2

2 2 2

b) P "BMD = P t.ABM' P t.ABD =

= L AM.BH _.t.. AD·BH= 2 2

= .I.. ~.12_.I.· .12.12 = 7·6-13·3 = 3 m'. 2 2 . 2 2

C c) PhllHM=PABHD+PABMD=9+3=12m2

Sl6.350.

Karis,ttt! fonnule za povrsinu trougla i nejednakost trougla, dobije se: a!ih 2P bh 2P ch, 2P

p=_2 => a=-; p:o::_b => b=-; P=-- => C=~. 2 h, 2 hb 2 h,

. 2P 12P 2pI II I I Ihb-h,1 Kakaje c>la-bl, tOJe -> --- =2P--- =2P---, : he ha hb ha hb hahb

odak.l;eslijedi daje

1 Ihb-h,1 -> h, h,h,

8·12 =24. 4

I I .. d' P ab 6.352. Za pct\1:sinu P datog pravoug og troug a vflJe 1: :;:: 2

eh p=-

2 '

ab ch ab odak~" se dobije -- = - => h = -. Dalje vrijedi:

2 2 e

210

2h2 ~ ab

a2b 2 ¢:' 2-

2-s ab ¢:' 2abse' ¢:' 2absa'+b' ¢:' (a_b)2 ;0,0.

c Kako posljednja nejednakost uvijek vrijedi, to vrijedi i pocetna nejednakost.

6.11.4. PavrSiJla trapeza

6.353. Nekaje eE, odnosno AF, visina trapeza cije su osnovice AB i CD, a kraci AD i BC (CE =AF), SI.6.353. Dijagonala AC dijeli trapez na i\.ABC i

F D c C i\.ACD, pa za povrsinu trapeza vrijedi ;:;" 1'-- 1--

PABCD = PABC+PACO= -AB·CE+-DC·AF= 2 2

A B

6.354.a) P= a;c. h=8;23 =15

I --- - - a+c =-(AB+DC)·CE =-·h.

2 2

a+c h D kl "' P ABeD = -- . . a e,_ povrSlOa trapeza 2

jednakaje proizvodu duzina njegove srednje linije i visine.

b) P = 40 c) P = 52

6.355.a) Nekaje jednakokraki trapez predstavljen na SI.6.355. Nekaje CE paralela sa krakom AD. Trougao i\.BCE je jednakokraki. Visina CF ovog trougla u islo vrijeme je i visina trapeza. Iz pravouglog i\.BCF, prema Pitagorinoj teoremi, dobije

se: h2 =b2_(a~c)'

Oludajeh =6 i P= a+c h =66 2

b) h=12,P=I08 D

A E F 51.6.355.

B A

c) h =12, P =132 DeC

E SI.6.356.

F B

211

6.356.a) Prema [onnuli za povrsinu trapeza potrebno je odrediti njegov1J visinu h j onda se povrsina moze neposredno izracunati uvrstavanjem podataka. Neka je mas trapez predstavlje"...."a SI.6.35~ Tackom C povueimo paralelu sa

krakomAD.Tadaje CE~ADi BE=AB-CD=13~e. Visina trapeza ABCD jednakaje visini DBCE. U OVOID trouglu poznajemo sve stranice, pa mu mozerno izracunati povrsinu (Herono ..... fannula) a zatim i visinu CF :

PaCE ~ )s(s - e)(s - d)(s - b) ~ ,j21(21-13)(21-IS)(21 =145 ~ 84.

h=2.PBU = 168 BE 13

P= a+c .h= 20+7 .~= 2268, Pon,ina trapezaje 2 2 13 13

b) h= 336 em P= 5712 em' 13 ' 13 144

d) h =-- P=504, 5

C) h~36 em, P=1044 em2

6.357, Kako za povrsinu trapeza vrijedi P= Q; C 'h, to je 72=12h, odnosno, h = 6,

1li:pravouglog DBCF eVidi SI.6.355,), dobije se:

b' =h' +(a;c)' =36+64~IOO => b = 10,

6.358, Up"ta: Koristi Beronovu fonnulu! Rezultat: h = 216.

6.359. Posmatrajrno dati trapcz na SI.6.359, Nekaje CE = h =10 visina trapeza, Na pravoj AB odredimo ta(,ku F, tako daje CF IIBD,

A

Traugaa DAFC je jednakokraki i pravougli (Zasto?). Kako je AF = a+c hipotenuzajednakokrakog trougla, to je visina CE, jednaka polovini

duti AF, \I, a+c ~ 2h,

Za povrsinu trapeza, sada vrijedi:

a+c 21z 2 P=-~,h~-,h=h ~IOO,

2 2 a E e F

6.360, i?osmatrajuci S1.6.360 u koju su ucrtani dati clementi, nije te,ko zakljuciti d:aje visina trapeza h = 5. Povrsina trapezaje P =125 em2

,

212

D 20

~" ~ 20 A 5 1\

SI.6.360, SI.6,361.

6,361, Posmatrajmo jednakokraki trapez na SI.6.361, Visinu trapeza mozemo izracunati iz osjencenog pravouglog trougla prirnjenom Pitagorine teoreme:

h' ~ 25'_202 = (25-20)(25+20) ~ SA5 => h=15. P = 42, 15~630 em', 6.362, Na SI.6,362. predstavljen je dati trapez, Neka je CE IIBD,

Trougao AAEC je pravougli jednakokraki sa hipotenuzorn

D 5 C

~ - 5 ~ 3 o

E A B E SI.6.362, SI.6.365,

AE = 9+3=12 em. Povrsina ovog trougla ujedno je i povrsina trapeza. Visina AAEC jednakilje polovini hipotenuze, h=6 em,

Otudaje: P ~ 45 em', 6.363, Rezultati: Primjenom Pitagorine teoreme odreduje se osnovica a=20. Visina

I I ' . h 48 D . . , 28 P , pravoug og troug a I trapeza Je 0:::::. ~. ruga osno\(lca Je c:::: - . ovrsma trapeza 5 ' 5

je P~122,88.

6.364. Up uta: Fonniratijednakokraki pravougJi trougao cije su duzine kateta jednake duzini dijagonaJa i hipotenuza zbiru osnovica datog trapeza.

6365. Osjenceni trougao ima dvije stranice jednake dUagonalama trapeza, a treca stranica je jednaka zbiru osnovica. Kako su navedeni clementi poznati. to se povrsina ovog trougla, koja je jednaka povrsini trapeza, maze izracunati. 1'=84 (SI.6,365,),

6.366. Uputa: Odrediti zbir osnovica a+c. Rezultat: a+c=14 em, P=60-cm2.

6.367,a) P~276 b) P,~159, P,=117, 6.368, Posmatrajmo dati trapez na SI.6.368. Trouglovi"ABE i "CDE imaju jednake visine i svaka od njih je jednaka po!O\-ini vi sine trapeza. Neka je vis ina trapelll h, Tada vrij ed i:

- ~

1- h 1-- h 1. AB + CD h p~!\13F. + PAC-DE = ~AB· -+ -CD ~

0 Z 2 2 2 2 + "

lDobHi sma daje zbir povrsina dva trouglajednak polovini povrsine trapeza. To :maci daje povrsina treceg trougla (ABC E) takoder jednaka palavini povrsine datog

'IrnPI'Ml. c D c /C

SI.6.368.

A iE B A B S1.6.369

;6.369. Nekaje MN srednja linija trapeza ABCD i G njena srediSte (SI.6.369). Prava F.£ koja prolazi tackom G dijeli dati trapez na dva trapezajednakih vis ina. lednake «Iuii MG i GN su srednje Iinije ovih trapeza. Kako je povrsina trapezajednaka proizvodu duzina srednje linije i visine, to ovi trapezi imaju jednake povrsi.ne, 5tO je ,trebala dokazati. 6370. Uputa: 1z datih uvjeta zakljuciti daje pasmatrani trapezjednakokraki

sa krakam 2. Druga osnovieaje 2. Rezultat: P ~ 3 J3 em'. Ji.371. D C Uputa: Primjenam teareme a tangentIlom cetverouglu

A E

S1.6.371.

b

B

dobije se a-b = !.-, pa koristeci Pitagorinu 2

teoremu, primijenjenu na LlBCE" -dobUe se b, odnosno a.

5r Rczultat: b ~ -. a=3r, h = 2r,

2

9r' P=-.

2

6372. Neka se dijagonale sijeku u tacki M. Tada su trouglovi MBM i ACDM jednakokraki pravougli, paje njihova visinajednaka polovini odgovarajuce

usnovice. Zato za visinu h trapeza vrUedi: h=~+~~a+c . 222

lz pravouglogjednakokrakog trougla ACE, zakUucujemo claje a+e = cl 12 , (a + c)12

oonosno d = -'=--'-":!..:.-::. , 2'

D (:

F B E A E B

SI.6.372. SI.6.373.

11: pravouglog AAFD, primjenom Pitagorine teoreme, odredujema krak b:

214

=> b=Ja' ~b' . ~. . a+c a+c a+c (a+c)'

PavrsmatrapezaJe P="'-2- h =-2-'-2-= -2-

6.373. 1z pravouglog ABCE, cije su katete CE = h i BE = a - c (SI 6 373) 2' .' ,

primjenom Pitagorine teoreme dobije se krak b=1J J2 em. DijagonaJa d trapezaje

hipotenuza pravouglog AACE, pa se maze odrediti: d=17..fi em. Krumiea opisana eko datogJednakokrakog trapeza lstovremeno je opisana i ake MBC. Kako u ov~m ~ou~.lu po~ajemo s~e.tri stranice, to mu mozemo izracunati povrsinu, a zatlm 1 radlJus opisane kruznlce. Ovo je i traieni radijus.

P ~204cm' R= ~ = 24.13..fi·17..fi _ 26 -.wJC, - - - 13 em 4PtvlBC 4·204 2 .

6.374. Posrnatrajrno SI.6.374. lz podudarnosti trouglova i\FOC=ACOG i ABOE=ABOG, zakljucujemo daje <BOC pravi, odnosno i\BOC pravougli. Prirnjenom Pitagorine teareme odredujemo krak BC.

b = Be = J 4' + 2' = 215 . OG je hipotenuzina vis ina i onaje jednaka D C radijusu upisane kruznic~,

G Ako je h visina datog trapC7.2. tada vrijedi:

A B

Osnovicetrapezasll a:::: r+~q2_r2 i c= r+~-.

P __ a+ch= 2r+)q2 -r' +)pl -r'

Povrsina trapeza je 2 2

2pq

2pq

2pq + q2 + pl 2pq

2Jp l +q2 "J p 2 +ql

215

6.11.5. Povrsina mnogougla (po/igona)

6.375. Nekaje n. SI.6.375. predstavljen c:tverougao ABCD.cije su dijago~ale C normalne. Tacka 0 Je presJek duagonala. Povrsma

D ~_-7\ datog cetverouglajednakaje zbiru povrsina trouglova

LlABD i LlBCD, pa vrije~ _. __

BD·AO BD·OC P ABCD= P MBD+P 'BCD= - 2 -.- + 2

A S1.6.375 B BD·AO+BD·OC

2

BD·(AO+ OC)

2

BD·AC

2

6.376. Posmatrajmo SI.6.376. Dijagonale deltoida suo okomite, pajenjeg?va ". C povrsinajednaka polovml prOlzvoda nJlhovlh duzma.

D B

Odredimo nepoznatu dijagonalu AC. Iz LlBOC, primjenom Pitagorine teoreme, dobije se:

h'=a'-I2'= 169-144=25 => h=5. Iz!:1AOB, primjenom isteteoremc. imamo:

SI.6.376. (d-h)' = b'-12' = 400-144 = 256 => d-h=16 => d=h+16 => d=5+16 => d=21. A

d·d 21·24 Povrsina deltoidaje: P=--' =-- = 252.

2 2 6.377. Povrsina zajednickog dijela kvadrata (SI.6.377)

jednakaje razlici povrsina pravouglog jednakokrakog trougla katete a i jednakokrakog pravouglog trougla

katete ct-a = a J2 -a = a( J2 -I): a' a'(Ii-I)' _ a'-·a'(Ii-1)2

P=-- -, 2 2 2

= a' -a'(2-2Ii +1) = a'c 12 -I). 2

a a

SI.6.377.

6.378. Nekaje ABeD dati cetv:fougao pri cemu su NfN i EF jednake duli. . N Cetverougao MENF je paraleiograrn sa stramcama-

SI.6.378. B

a /J., pa kako su mu dijagonale jednake, to je 2 2 pravougaonik. Kako Sil dijagonale datog cetverougla ABCD paralelne stranicama pravougaonika, to su one rnedusobno normaine, pa

ab je povrsina-datog cetverougla: P = -'.

2

6379. p= a'(3+13).

216

6.380. Posmatrajmo konveksni cetverougao ABCD na SI.6.380. Za povrsinu P ovog cetverougla vrijedi: '

A

P = P P _ aha ch, ab, cd ab + cd 2ab + 2ed 6.ABc+ MCD- -+-::;;--t :::::--_<

222224-

a 2 +b7.+c2 +d2

5: > jerje 2ab5i+b2 i 2cd::::c2 +d2• 4

D .. '

Me!)····· d .. ····· PMBC . ......... .

a SI.6.380.

C a-b C

b ax

b B

A a-x M x B SI.6.381.

6.381. Nekaje dati kvadrat ABCD sa ta('kama MiN predstavljen na SI.6.381. Ocigledno je, ako hi se tacka N nalazila na stranici CD, tada hi povrsina

cetverougla,AMNQ bila manja od povrsine istog cetverougla kadaje N:=C. Zato cerno smatrati daje N na stranici Be. Nekaje a duzina stranice datog kvadrata,

DQ = b i MB ~ x. Tada je BN = ax (Ll.MBN - Ll.ADQ) NC ~ a- ax . Povrsina b b

cetverougla AMNQ je:

S( ) -- ,I I a.~ I (ax) X - a -'2 ab -2""'/;-'7(a-b) a--

b- ~

= a' -±ab -± a;' - H a' - a:x -ab +ax J= ,I 1 ax 2

J 2 I 2 1 I I 2 1 a ? ~ ""ak -ab-~-----a +~a x+~ab--··~ax=-a ----(x--bx+ax)-2 2b 2 2 2 2 2 2b

= 1 , a [, 2 a-b. (a-b)'1 a,r a-b)" = 2Q - 2b x - x<-2- T -2- -+ 2bl-T " .

a3 -+2t/b+ab2 .!!.Jx_a:-b)~ ;;oa(a+b~~_~(x_a-b)'

80 2b \ 2 86 2b 2

Vidimo da je SeX) maksimalno kada je X = a - b, pa pravu MN treba pavuci taka 2

sto se odredi tacka M tako da bude MB = -'- QC. 2

217

6.12. Geometrijske konstrukcije

6.12.1. Geometrijske kOflstrukcije trougla (trokuta)

6.382. Konstrukcija koja se izvodi sarno pomocll sestara i lenjira naziva se geomctrijska konstrukcija, Sestar sluzi za konstru~ciju trr:znice s~. poznatim sredistem i radijusom, a lenjir za konstrukciju prave kOJa prolaZi kroz dVIJC paznate

tacke. . 6.383. Prilikom rjesavanja konstruktivnog zadatka postoje cetiri faze (etape) 1 to:

Analiza Konstrukcija Dokaz i Diskusija (iii d~terminacija).

6.384, U analizi konstruktivnog zadatka traii se put kojirn cerno pomocu datih elemenata i odnosa daCi do trazene figure. Figura mora biti konstruisana pomocll dozvoljenih sprava, sestara i lenjira. U ovoj fazi slobodnOl~ rukom -:e skicira je?n~ ili vise pomocnih slika koje nam olaksavaju pronalazeoJe veza lzmedu daUh I

traicnih elernenata.

6.385. U drugoj fazi koja se naziva "konstrukcija", nakon izvrsene analize, vrsl se prakticno izvodenje (crtanje) konstrukcije, korak po korak, koja na kraju daje, kao rezultat, trazenu figuru. U ovoj fazi potrebno je vrsiti konstruisanje kruznica, pravih (polupravih, duzi) j njihovih presjecnih tacaka i uporedo s tim vrsiti opis svakog karaka. Taka se na osnoVu opisa konstrukcije, koji maze biti vise iii rnanje detaljan,

konstrukcija moze veoma jednostavno izvesti.

6.386. Treea faza (etapa) u fjesavanju kanstruktivnog zadatka je "dokaz". U ovoj etapi je potrebno dokazati da figura koja je konstruisana u drugoj fazi posjedujc

zadane clementc i zadovoljava date uvjete.

6.387. U ovoj etapi koja se naziva diskusija iii determinacija, raspravlja se 0 tome kakvi moraju biti dati ,podaci "Cia bi zadatak imao jedno, dva iii vise rjeSc.nja, odnosno pod kojim datim .uvjetima zadatak uopce nema rjeScnja.

6.389. Analiza: Dva vrha traugla dobUuse izborom rna koje date duh Neka je to dul: c odnosno neka su to taeke A i B. Da bi zadatak bio rijesen, potrebno je odrediti tacku C. Tacka C je udalicna za a ad tacke B i u isto vrijeme je od tacke A

218

udaljena za_b. Ovo znaci da se tacka C nalazi na kruznici k!(B, a), kao i na kruznici k2(A, b). Kako je C na dvjema kruznicama, to se ona nalazi na njihovom presjeku.

b

A,

Konstrukcija: 1) Poluprava Ax 2)' Kruznica k(A, c)

c

·······C'

3) K(A,c)nAx~{ B} 4) Krumica k,(B, a) 5) Kruznica kiA, b) 6) k, n k, ~ { C, C' }

7) Ll.ABC

SI.6.389.

a c b

/B

Dokaz: Neposredno iz konstrukcije zakljucujemo da su stranice dobijenog trougla Ll.ABC jednake datim duzima.

Diskusija: Da bi zadatak imao rjesenje date duzi moraju zadovoljavati uvjet a+b> c (nejednakost trokuta).

6.390. Analiza: Pretpostavimo daje zadatak rijdcn i daje k(O, r) traiena kruznica cije srediste 0 pripada datoj pravoj a i koja sadrzi datu tacku M (SI.6.390.). Tadaje OM = r, sto znaci da je tacka srediste trazen.e kruznice 0 od date tacke M udaljeno za r. Kako se sve tacke r~vni koje Sll od tackc M udaljene za r nalaze na kruznici k(M, r), to se centar trazene kruznice nalazi na presjeku kruznice k(M, r) i date prave a.

Konstrukcija i dokaz se provode najednostavan nacin.

219

r

k

a

SI.6.390.

Diskusija: Neka je d udaljenost date tacke M od date prave a. Ako za datu duz r vrUedi r> d, tada kruznic3 k(M, r) sijece datu pravu a u dvjema tackama, pa zadatak inia dva rjesenja. Ako je r = d, tadaje data prava tangenta kruznice k(M, r), pa zadatlak imajedno rjesenje. Ako je r < d, zadatak nema rjesenje.

6.391. Analiza: Koristeci teoremu daje svaka tackajednako lldaljena od krajeva duzi, tach simetrale te duzi, dvije tacke simetrale duzi AB mogu se odrediti na prcsjeku dviju kruznica k,(A, r) i k,(B, r), uzimajuci da je r ~ AB. lzvedi komstrukeiju, dokaz i diskllsiju.

6.392. Analiza: Kako vrh ugla pripada simetrali tog lIgla, dovoljno je odreditijos jednu taCku simetrale. KoristeCi tcorernu da svaka tacka kojaje jednako udaljena od krakova ugla pripada simetrali tog ugJa, moze se odrediti tacka simetrale. Neka su A i B tacke na razlicitim kracima ugla koje ?ll jednako udaljene od vrha ugla (sto znaci da pripadaju kruzniei k(O, r'), gdje jc r' proizvoljan). Kruznice k,(A, AO) i k,(B, OA) sijeku se u tacki S koja pripada simetrali ugla. Simetrala duzi AB je prava as. Izvedi Ioonstrukeiju, dokaz i diskusiju.

6.393. Analiza: Kako je radijus trazene kruznice poznat, dovoljno je odrediti srediste S te kruznicc. Kruznica pro\azi datim tackama A i B, pa se njena srediste nalazi IlI.1i sirnetrali s duzi AB. U isto vrijerne srediste duzi je ad tacke A (kao i ad tacke B) udaljeno za r. Ovo znaci da se srediste S traZcne kruznice nalazi na presjeb.!l simetrale duzi AB i kruznice k(A, r) (SI.6.393.).

Izvedi kOflstrukciju, dokaz i diskusiju.

220

r

\

s

S'.· /

/

6.394. Uputa: Srediste tratene kruznice nalazi se na presjeku simetrala duzi AB i

Be. 6.395.a) Nekaje tacka A na pravoj a (AEa). Neka ~u tacke MiN na presjeku prave a i kruinice k(A, r), za proizvoljni radUus r. Simetrala duzi MN je trazena prava b.

lzvedi konstrukciju i dokaz.

A

M\ a

M a

SI.6.395.a) SI.6.395.b)

b) Neka tacka A ne pripada pravoj a (A"a). Neka su tacke MiN na presjeku prave a i krumice k(A, r), za davoljno velik radijus r. Simetrala duzi MN je

trai.ena prava b. lzvedi konstrukciju i dokaz. 6.396. Analiza: Na datoj pravoj uzmimo rna koju tacku A. Posmatrajrno pravu

AP i ugao aAP=a. Ako odredimo ugao P 0.' b xPJ~o.' taka da bude saglasan sa uglom

al\P~o., tada ce prava b koja saddi krak x ovog ugla biti tratena prava. Izvedi konstrukciju i dokaz.

SI.6.396.

221

"id

6397. Analiza: Neka t1A'B'C' irna uglove <A ~ a. i <B ~ j3 (SI.6.397.). Nekaje

A SI.6.397.

C=C CD' visina ovog trougla. Na

D B

polupravoj CD' odredimo tacku D, taka da vrijedi C'D'= he i posrnatrajrno pravu p koja sadrzi tacku D i nonnalnaje na CD. Prava p sijece poluprave CA' i CB', redam, u tackama A i B (SI.6.397.). Traieni trougao je

t1ABC' Izvedi konstrukCiju, dokaz i diskusiju.

6398. Analiza: Nekaje t1ABC traieni trougao (SI.6.398.). Nekaje CD visina

k

tog trougla. Tadaje CD ~ h, . Traugao ACD je pravougH u kome znamo katetu CD i ostar ugao CAD, pa ga moiemo konstruisati. Konstrukcijom LlACD dobiju

.. /' C \" se dva vrha trazemnog trougJa .6.ABC. Vrh ,B traienog trougla nalazi se na polupravoj

~' 'AD. Kako je vrh B od vrha C udaljen za \ datu vrijednost a, to se on nalazi i na \. " a ,/ kruznici k(C, a). Ova znaci da se vrh B

~/ /i ~~;~i~~r~~g,i :;0 presjek poluprave AD i

A B,'...... ..'0 ..... / B Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusiju.

S1.6398.

6399. Analiza: Nekaje ABC trai.eni pravougli trougao cijaje hipotenuza AB~c i visina CD~h (SI.6.399.). Vrh pravoug ugla C nalazi se na kruznici precnika AB

ciji je centar srediste duzi AB.

D s

p.'/f..l'-----::::" C >/// A

···'«'::-::::··Q;; .... C ... , .. ,,···

SL6.3'l9, ..

222

(Koliki je periferijski ugao nad precnikom krumice?J. U isto vrijeme vrh C mora biti za h udaljen od duzi AB. Dak!e, vrh C maze se odrediti kao presjek kruinice k(AB) i prave p koja je paralelna sa AB i od nje udaljena za h. Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusiju.

6.400.a) Analiza: Pretpostavimo daje t1ABC trazeni trougao (SI.6.400.). Tadaje

BC~a, AB~c i ugao BCAjednakje datom uglu y. Vrhovi B i C, kao i ugao y, se

mogu jednostavno konstruisati. V rh A nlazi se na kraku CA ugla y i od vrh. B je udatjen za datu vrijednost c. Ovo znaci da se vrh B maze odrediti na presjeku

kruinice k(B, c) i poluprave CA. y A

Konstrukcija (opis):

I) UgaoxCy~y 2) Krumica k,(C, a) 3) k,(C, a) n Cx ~ {B} 4) Kruznica k2(B, c)

x 5) kz(B, c) n Cy = {A} 6) t1ABC.

Izvedi dokaz i diskusiju.

6.40I.a) Analiza: Pretpostavimo daje t1ABC je traieni trougao. Nekaje CD = h, C visina i CE== tc tezisnica. U pravouglom trouglu

A D E S1.6.40 La)

B

CDE poznataje hipotenuza CE i kateta CD, pa se moze konstruisati. Njegovom konstrukcijom stranice AB. Tacke A i B mogu se odrediti kao

dobije se vrh C traZenog trougla i srediste E

presjek prave DE i kruznice k( E, ~) . Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusiju.

c) Analiza: Pretpostavimo daje t1ABC je trazeni traugao. Nekaje BD ~ Ib i nekaje A' tacka na polupravoj AD takva daje DA'~BD. Akoje tacka E podnozje

A A' nonnale povucene iz tacke A' na pravu

B C SI.6.401.c)

E

Be, tada u pravouglom trouglu BEA' poznajemo hipotenuzu BA' (= 21b) i katetu NE (= ha), pa ga mazemo konstruisati. Njegovom konstrukcijom dobite se vrh B trazenog trougla. V rh C pripada polupravoj BE i udaljen je za a od tacke B, pa ga mozemo odrediti (Presjek kruznice k(B, aJ i poluprave AE). Jos treba odrediti tacku A. Kako je tacka D

223

srediste dliZi BA' to vrh A mozemo odrediti kao presjek prave p koja prolazi !ackom A' paralelno sa pravom BC i poluprave CD. Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusijll.

6.402.a) Analiza: Pretpostavimo daje ilABC.ie traieni trokut (SI.6.402.a». Neka je BD = he visina trokuta iz vrha

D B. U pravokutnom trokutu BCD poznata je hipotenuza BC i kateta BD, pa se maze konstruirati. Konstrukcijom ovog trokuta dobiju se dva vrha, B i C traienog. Nekaje Srediste duzi BC. V rh A traienog trokuta udaljen je od tacke E zat" pa pripada kruznici k(E, t,). avo

A B znaci da se tacka A moze dobiti SI.6.402.') na presjeku navedene kruznice i

poluprave CD. Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusiju.

6.403.a) Analiza: Pretpostavimo daje .">ABC traieni trokut. Nekaje BD= tb te'lisnica ovog trokuta. Na polupravoj BD odredimo tacku E tako da bude DE=BD. Trokutovi ilABD i ilCDE su sukladni (Zasto?), paje CE = AB = c. U ilBCE poznate su sve tri stranice, pa se maze konstruirati. Njegovom konstrukcijom dobiju se vrhovi B i C traienog ilABe. Vrh A odredi se na polupravoj CD tako da vrijedi jednakost duzi DA = CD. Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusiju.

C

A B SI.6.403.a)

6.404.a) Analiza: Pretpostavimo daje ilABC trazeni trokut. Nekaje AD = h, vis ina i AE=ta tezisnica ovog trokuta. Trokut .6ADE je pravokutni u kame su poznate hipotenuza AE i kate!a AD, pa se moie konstruisati. Njegovom konstrukcijom dobije se vrh A traienog trokuta. Vrhovi B i C nalaze se na pravoj DE i od tacke E su udaljani za polovinu od a. Kako je a dato, to se ovi vrhoyi mogu odrediti (S1.6.404.a». Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusiju.

224

A

S1.6.404.a) S1.6.405.a

6.405.a) Analiza: Neka je ilABC traieni trougao 'oko koga je opisana kruinica k(O, R). Neka je D srediste stranice Be. Tada je ilAOD pravougli sa hipotenuzim OB=R i katetom BD = al2, pa se moze konstruisati. Vrh C !lABC odredi se na polupravoj BD tako da bude DC = al2. Vrh C pripada datoj opisanoj kruinici i kruinici keD, 1,), pa se nalazi u njihovom presjeku. Izvedi konstrukciju, dokaz i diskusiju. . , 6.406.a) Upula: Kako za uglove trougla vrijedi a+13+y = 1800

, to je y = 1800 -

(a+13), pa zadatak moumo rjesavati kao da su date straniee a i b i ugao y. b) Analiza: Nekaje MBC traieni trougao (S1.6.406.b). Ako na polupravoj

AC uocimo tacku D tako da bude CD = CB (=a), tada je ABCD jednakokraki sa

osnovicom BD, uglorn pri vrhu a+fS i uglom na osnovici 90° - % - ~- . Zato za

ugao ABD vrijedi' <ABD = 13 + 900 -'.:.-Q.= 900_'.:. +Q.=900

- a - j3 . avo , 2 2 2 2 2

znaci da je ugao ABD pomat, pa se ilABD moze konstruisati (poznate su mu dvije stranice AB i AD, i ugao nasuprot vece od njih). Konstrukcijom ovog trougla dobiju s~ vrhovi A i B traZenog. Nepoznati vrh C odredi se na presjeku simetrale dliZi BD sa pravom AD. D

SI.6.406.b)

A

225

i!l!

c) Upnta: Aka na datu duz a nanesemo datu duz a-b, ostatak duzi aje

dux b, pa sad a imamo poznate sve tri stranice trokuta,

6.407. Up uta: Nekaje ABeD traieni cetverougao. Prema datim !JOdaci~a troug~o .ABD se moze konstruisati. V rh C je ad vrha A udaljen za datu duz e, a duz BD se IZ

'Tha C vidi pod datim uglom y itd. (SI.6.407.) C

)_----::s<31

~~ __________ ~B

SI.6.407. 6.408.a) Uputa: Koristeci tri data elementa konstruisati trokut, itd. . 6.409.b) Analiza: Nekaje ABCD trazeni paralelogram. [z vrha D povuclmo

visinu DE. Tadaje trougao ADE pravougH u komeje poznata hipotenuza

A

. AD = b i kateta DE = h" "D.:.. _________ .."C pa ga mozemo konstruisati. I Konstrukcijom ovog trougla

h,

E SI.6.409.b)

B

dohiju se vrhovi AiD traienog paralelograma. Vrh B parale!ograma odredi6emo na polupravoj AE tako da bude AB=a, a vrl! C na presjeku dviju kruwica i to k(B, b) i keD, a) SI.6.409.b)).

• .410.b) Analiza: Nekaje ABCD trazeni pravougaonik SI.6.410. Ako na D C poluprayoj AB uocimo tacku E

tako da bude BE=BC=b, tada je AE=a+b i trougao BeE je

d b jednakokraki pravougli. To znaci daje ugao BEC=45°. U trouglu

a b AEC sada pomajemo tri nezavisna elementa, pa ga

A 51.6.41 a.b) B E mozemo konstruisati. Konstrukcijom ovog .

!raugla dobiju se vrhovi A i C traienog pravougaonika. Kako je trougao BEC iednakokraki sa osnovicom CE, to se njegov vrh B nalazi na sirnetrali duzi CE, bakle, vrh B se nalazi na presjeku prave AE i pomenllte simetrale. Preostali vrh D rra\ougaonika maze se odrediti kao presjek kruznica k(C, AB) i K(B, d).

226

6.4I1.c) Analiza: Nekaje ABCD traieni kvadrat. Na dijagonali AC uoCimo

A

tacku E tako da bude CE=a. Tada je AE~d-a data duz. U trouglu ABE ugao BAEjednakje 45°, a ugao AEB je 67°30' (Zasto?). Dakle, u tlABE poznajemo jednu stranicu i uglove na toj stranici, pa ga mozerno konstruisati. Konstrukcijom

E ovog trougla dobiju se vrhovi A i B

B SI.6.4I1.c)

traienog kvadrata, Sada nije tesko odrediti i preostala dva vrha C i D ovog kvadrata.

6.412. Analiza: Nekaje ABCD trazeni jednakokraki trapez u kogaje upisana o G C kruznica k(O, r). Neka gu

F

o

dodirne tacke kruwice sa stranicarna trapeza, redom, E, F, G, H. Trougao AEO je pravougli u kome je jedna kateta jednaka r, a drugaje poloYina date osnovice a, pa se moze konstruisati. Na sliean nacin se konstruisu

A E B i trouglovi tlBOE i "'BOF. SI.6.412. Navedenim konstrukcijama

dobiju se vrhoyi A i B trazenog trapeza. Ako na poluprayoj EO odredimo tacku G tako da bude OG = r i tom tackom konstruisemo paralelu p sa pravom AB, tada se tacka C dobije na presjeku prave p i poluprave BF. Tacka D se moze odrediti kao presjek prave p i kruznice k(A, BC).

6.413.a) Analiza: Nekaje na 51.6.4!3 .a) predstavljen trapez ABCD koji posjeduje date elemente. Nekaje CE visina posmatranog trapeza. Tadaje trougao BeE pravougli trougao eije su katete poznate, BC=b i CE=h, pa ga mazerna konstruisati. Konstrukcijom avog trougJa dobiju se vrhovi B i C trazenog trapeza. Vrh A se nalazi na palupravoj BE taka da je BA=a, a vrh D se nalazi na normali na CE u tacki C tako da bude CD=c.

227

e C

a)

a E B A SI.6.413.

B E

b) Analiza: Nekaje na SI.6.413.b) dallraieni lrapez ABCD. Na polupravoj AB uocimo lacku E taka da bude BE~CD. Tada je AE~AB+BE ~ a+e, CE ~ BD = d" pa se trougaa ACE maze konstruisati (poznajemo sve njegove straniee). Konstrukcijom ovog trougla dobiju se vrhovi A i C lrazenog trapeza. Ako tacKom C konstruisemo paralelu p sa pravom AE, tada se Vrh D moze odrediti kao presjek ove paralele i krufuice k(A, d). Vrh B moze se odrediti kao presjek poluprave AE i

kruznice keD, d,).

7. FUNKCIJA DIREKTNE PROPORCIONALNOSTI

7.1. Ako svakom elernentu skupa A na neki nacin pridruzirno tarno jedan elemena!

skupa B, tada kazemo daje data funkcija f: A -> B. 7.2. Funkeijaje odredena ako se zna njena domena (skup A), drugi skup B, i

pravilo po kome se vrsi pridruzivanje elemenata. 7.3. Odogovor: Aka promjenajedne velicine izaziva i promjenu droge, tada

kazemo da Sil ave dvije velicine medusobno zavisne. 7.4. Ako za dvije zavisne velicine y i x vrijedi: y = kx, gdjeje k rna koji realan broj

razliCit od nule, tacla kazemo da su ave velicine direktno proporcionalne. 7.5. Akoje a:b=m i c:d=m, tada mozemo pisati a:b=c:d.lednakost

a:b=e:d nazivamo proporcija. 7.6. Ako su data dva pozitivna broja a i b, tada broj G za koji vrijedi a:G=G:b ili

G:a = b:G, nazivarno geometrijska sredina-brojeva a i b. 7.7.2:G=G:18 => G'=36 => G~6.

228 J

7.8. Ako je k>O, grafik pripada prvom i !recern kvadrantu i ugao k" kl

Po 't'" , v - OJI za apa sa

Zl Ivnnn sITlJerom ose xJe ostar a kadaJ'c k<O grafik fu k .. d . ." . ' ,- n elJe y=kx prol . rugl.rn I cetvrtIm ,~vadrant.om i sa X-OSom zaklapa tupi ugao. azl

7.9. Ako Je k>O funkelJa y=kxJe pozitivna za x>Q. Kako je k<O, funkei'a -Je pozltlvna ako je x negativno. J y - kx

7.10. Za k<O. 7.12.:z druge proporeije.dobije se (a+b)d = (e+d)b, odakleje daUe ad = be

sto se dlrektno doblJe I IZ prve proporeije. ' 7.13. 3:4=450:x => x~6o.o.. 7,14. 25:x~(l:So.OOO):(l:lo.OOO) => x=12Smm

7.11. y=-2x y=3x

J sY\ y=x

4 \.

-2 -1

7: .]

/ ~ -s

S1.7.11.

7.1. Funkcija y = kx + U • Tok i grafik.

7.IS. Skup R. 7.16. n pred~.tavlja odsjecak koji prava y = kx+n odsijeca nay-osi. 7.17. FunkelJa y ~ kx+n rasluca ako je k>o.. 7.18. VrlJednost varijable x za kojuje f(x) = 0. naziva se nula funkeiJe.

Nula funkcije y = kx+nje x = _!!... k

7.19.a)x=.1.!. S

b) x= 7

7.2o..a) X =-2

t

e)

0)

I· ij££

25 x~-~·

3 3

x= 2

Ok

229

I 7.21.a) y=x+3 b): y=2x-I c) y= -x-2

3

2 d) y= -x+4

5

~ ..... _¥~.-+.~ /~V': -rt--" .. / I ,1 . ~-.---.--,--.--i--' /J

S1.7.21.a) S1.7.21.b) S1.7.21.e) S1.7.21.d)

ji'=4x+5 7.29;'

y=-x+I

.,

7.23. a-3 = 8 => a = I 1.

7.25. n=-6 7.26. n = -7 7.27. a=2 7.28. m =-1

7.30. "'y = Y'-Yl = -10-5 = -IS. Kada x naraste od -I do 4, funkeija Y = -3x+2 opadne za 15.

7.31. "'y = -8 7.32. <'>y=13 7.33. "'y=I8 7.34. -2m+5 = II => m =-3 7.35.a) Uvrstavanjem koordinata date taeke ujednaeinu y = kx+n, dobUe se

230

vrijednost koeficijenta k i odsjecka n: 0 = k·O+n => n = ·0.

-I =4k+O =>

b) y=-x+ I

I I k= -4; y= -4 x .

9 7 e) y= -x--

5 5

7.2. Funkcija obrnute proporcionalnosti, njen tok i grafik

7.36. Funkciju y = ~, (b'O) nazivamo funkcija obrnute proporcionainostl. x

7.37. Nema. 7.38. Akoje k<O, funkcija y ="- je rastuea. x

9 k .

7.3 . Ako je k>O funkeija y=- lOla znak argumenta x, kadaje x pozitivno i x

funkcijaje pozitivna i kadaje x negativoo i funkcijaje negativna. Aka je k<O.

fi k ·· k . un clJa y = - Ima znak suprotan znaku argumenta -x. x I

7AO.d) y=-- b) x

y 4

e) y=X

I a) y=

x

SI.7AO.

7.41.a) Za x<O funkeijaje negativna, a.za x>O funkcijaje pozitivna. b) Za x<O funkcijaje pozitivna, a za x>O funkcijaje negativna. c) Za x<O funkcijaje negativna, a za x>O funkcijaje pozitivna. d) Za x<O funkcijaje pozitivna, a za x>O funkcijaje negativna

3 3 5 7.42. "'y= ;;-)=-2 7.43, Ako je lk/ <1 iIi -1 <k<l grafik se Ilalazi u II i IV kvadrantu.

Ako je !k!> I iii kE(-OO, -l)U(1, +00l grafik se nalazi u I i III kvadrantu.

231

7.44. h=!.., (P= I,P=2,P=3,P=4,P=5,P=6). m 5 h

SI.7.44. .,

7.45. (-2-1) 3-1 I

1(£(-2»=1 - =/(3)=-. =-. -2+1 3+1 2

7.46.a) .

2

I -~ I' '\ 7.47.a) Y -!xl,

c)

232

b) .y+-21

0 2

b) -I

Y= Ixl

x

SI.7.47.c.

., .,

x<O Oo;x<1 x<:1

c) y=2-ll

.,

=> y=2x+2 => y=2 => y=4x-2

8, LINEARNE JEDNACINE (JEDNADZBE)

8.L Aka izrnedu dva broja iii dva brojna izraza stavimo znakjednakosti (=), ka.l:emo da imamo jednakost. Mi cemo, dalje, posmatrati sarno istinite jednakosti sto necemo posebno nag!asavati. Evo nekoliko jednakosti:

4+ II =20-5, 5·11-10=9·5, 3·2'=30-6, ~ +.!. = 2 2 3 6""

AkQ znakjednakosti (=) stavimo izmedu dva izraza koJi sadrZe varijable, na primjer: x(x+I)-3 = x'+x-3, (x-5)(x+5) = x'-25, (a+br = a'+2ab+b', ... , vidimo da se u pojedinim slucajevima za svaku vrijednost varijable (iii varijabli) dobije jednakost, a u drugim slucajevima se za sarno neke vrijednosti varijable (varijabli) dobije istinitajednakost iIi se ne dobije nikada. Ako se za sve brojne vrijednosti varijabli dobijajednakost, mi kaicmo aa imarno izraz koji se zove identitet. Prva tri navedena gomja primjera su identiteti. U slucaju kada se izraz koji sadrzijednakost, sa bar jednom promjenljivom, Zll

sarno neke vrijednosti promjenljive pretvara u istinitujednakost, kaiemo da imamo jednacinu. U navcdenom primjeru jednacina je 5x-l O=15,jcr za x=5, jednacina postaje jednakost 25-10=15. 8.2. ldentitetje pod c) i d). S.3. lednacina postaje jednakost sarno ako je vrijednost varijabJe koja se u njoj

pojavljuje rjesenje te jednacine. 8.4. Prema broju nepoznatih jednacine se dijele na:

- jednacine sa jednom nepoznatom - jednacine sa dvije nepoznate - jednacine sa tri nepoznate, itd.

S.S. Prerna stcpenu nepoznatejednacine dijelimo na: - jednacine prvog stepena iii linearne jednacine, - jednacine drugog stepena iii kvadratne jednacine, - jednacine treceg stepena iii kubne jednacine, - jednacine cetvrtog-stepena, itd.

8.6. Vrijednost varijable (varijabli) za kojejednacina postaje tacnajednakost, naziva se rjesenje jednacinc.

8.7.a) x = 0 jeste rjesenje date jednacine b) x = -I nije rjesenje date jednacine. c) x = 2 jeste rjesenje date jednacine.

8.8.a) Neposrednom provjerom utvrdujemo da je X = -3 rjesenje date jednacine. b) x = -3 nije rjesenje date jednai'ine. c) x = 5 jeste rjesenje date jednacinc.

8.9. Rijeslti jednacinu znaci pronaci sva njena rjes~nja i!i ustanoviti da ona rjeSenja

nema. 8.10. Jednacine pod a) i c) nemaju rjeSenje.

233

~ __ ~ __ IIII!II8i _____________ ....... _ ....... __ ....... !1Ol!!IiII!IIIIIL

8.1. Ekvivalentne jednacine (jednadibe)

8.11. Za dvije jednacine kaiemo da su ekvivalentne ako je svako rjesenje jedne njedno i rjesenje druge i obrnuto,ako je svako rjesenje druge jednacine

Ijei5enje i prvc. 8.12..:aJ Aka se rna koji izraz u jednacini zamijcni sa svojom brojnom vrijednos6u

Hi sa identicki jednakim izrazom, dobije se ekvivalentnajednaCina. 'on) Aka se objema stranama jednacine dada i5ti broj ili izraz dobije se

ekvivalentna jednacina. <:} Aka se od obiju stranajednaCine oduzrne isti broj iIi izraz dobije se

ekvivalentna j ednac ina. d) Aka se obje strane jednacine pomnoze istim brojem iii izrazom (koji

nije jednak nuli) dobije se ekvivalentnajednacina. Ab,.., obje strane jednacine podijele istim brojem iii izrazom (koji nije jednak

nul i) dobije se ekvivalentna jednacina. 8. n.;:!) Jednacina 2x-3 ~ x+ I ; ekvivalentna je jednacini

2x-3+(x+2) ~ x+ 1 +(x+2), jer je rjesenje x ~ 4 prve jedna"ine i rjeSenje druge i obrnuto. b) Jedancine jesu ekvivalentne.

8.l4~.:a) lednacine nisu ekvivalentne, b) lednacine su ekvivalentne.

8.2. Rjesavanje linearnih jednacina sa jednom nepoznatom

8.15 .. Svaka od datihjednacina svodi se na ekvivalentnu jednacinu O·x=O koja ima beskonacno mnogo rjesenja (svaki realan broj je rjesenje takve jednac!ne).

8.1&. Uputa: Svaka ad datih jednacina svodi se na ekvivalentnu jedna"inu O·x~O ~oja ime beskonacno mnago rje.senja.

8.1 i1'. Svaka ad datihjednacina svodi se na ekvivalentnu jednacinu O·FO ... 8.1a:. Uputa: Svaka od datih jednacina svodi se na jednacinu oblika O·x~~m, pri

cemu je m:;t:O, odakle se neposredno zakljucuje da ne pastoji ni jedno fealno x Koje zadovoljava tu jednacinu.

8.19,_ Uputa: Analogno prethodnom zadatku. 8.20",) x~9 b) x~7 8.21.a) x~-2 b) x~5 8.22..,,) x~-2 b) x~1 8.23.a) x=O b) X~O 8.24L"J Oslobodimo se prvo zagrada: 2-3+4x ~ 5x-ll, zatim oduzmimo od

obiju strana izraz 2-3+5x, Tako cerna dobiti: 4x-5x ~ -11-2+3. Pretlimdni korak sma magli izvesti govoreci: nprebacimo clanove koji sadrze nep®matu na lijevu stranu, a sve ostale clanove na desnu", ZamMenom izraza na lijevoj strani 4x-5x sa ekvivalentnim izrazom -x i izraza na desrnoj strani -11-2+3 sa njegovom brojnom vrijednoscu -10 dobije se ekvivalentna

jedmOCina -x ~ -10. IYfnozenjem dabivene jednacine sa -1 dolazimo do jednacine x=10.

I

Dakle, rjesenje nase jednacine je x ~ 10. b) x ~ 4 8.25.a) 7+2(x-3)-(x-1) ~ x+5-(x-l) ¢:> 7+2x-6-x+ 1 ~ x+5-x+ I ¢:> x~4.

b) (x+II)-2(x+2) ~ 1-3(l-x)+4(2x-5)

¢:> ·x+II-2x-4 = 1-3+3x+8x-20 29

X=-. 12

12x ~ 29

8.26.a) 3-{2-3x+[x-6(x+5)]} ~4x+1 ¢:> 3-{2-3x+[x-6x-30]1 =4x+1 ¢:> 3-{2-3x+x-6x-30} ~ 4x+ I ¢:> 3-2+3x-x+6x+30 ~ 4x+ I ¢> 4x ~ -30

15 .. 1 ¢:> x~--. b) x~ -. 8.27.a) x~-3 b) x~2

2 5 8.28.a) Izvrsimo operacije odredene zagradama:

2x+6+x'+6x+9 ~ x2_2x+I_6. "Prebacivanjem" clanova sa nepoznatom oa lijevu stranujednacinc, a os-talih clanova na desnu dobije se:

2x+x2+6x-x2+2x ~ 1-6-6-9. Sredivanjem izraza na objema stranamajednacine dobijamo novu, ekvivalentnu jedna"inu: 10x~-29 ¢:> x~-2. b) x~-l 8.29.a) X ~ 2 b) x ~ I 8.30.a) x ~ 0 8.31.a) x~ I b) x~-6 8.32.a) x~3

b) x~-I

b) x ~ 2

8.33.a) f+5=1 ¢:> (f+5}3~1.3 ¢:> x+l5~3 ¢:> x~-12. b) x~5 c) x~10

8.34.a) x ~ -28

8.35.a) x = 9

x 2 c) -+-~0I·15

5 15

8.36.a) 25

x=-3

I I . I I b) --2~4¢:>-~6¢:> 2x~- ¢:> X~-. c) x~12

2x 2x 6 12 22

b) x~---9

¢:> 3x+2=0 3x~ -2

b) x ~ 20

2 X=--,

3 12

c) X~-. 7

8.37.a) Da bi ovujednacinu zamijenili sa ekvivalentnomjednacinorn koja nece saddavati razlomke, pomnozimo je sa najmanjim zajednickim sadrziocem nazivnika. To je braj 6. Taka celTIo dobiti jednacinu 2x+2x-l = 6-2x, odakle se,

7 sreaivanjem, dobije ekvivalentnaJ'cdnacina 6x=7, odnosno, X=-. b) x = 4

6 8.38.a) X~O b) x~6

8.39,a) x~4 8.40.a) 14

x;:::: --'-13

b) x ~ 10 b) x ~ 1

8.41.a) x~-3 b) x~-2

3x-4 5x-1 3x-1 x-5 5 3x-4 5x-1 3x-1 x-5 29 8.42.a) --.---=------4- ¢:> -- ... --~.---- .. -

3424634246 ¢:> x~2 b) x=7 8.43.a) x= I b) x~3

235

6(2-3x) 8,5_0,OI-x =13,5 0,03 0,01

¢> 600(2-3x) 85_I-IOOx=I35 3 ' I ' 8.44.a)

¢> 200(2-3x)-8,S-I+100x= 13,5 ¢> 200-600x-9,5+100x = 13,5 ¢> -SOOx=-I77 ¢> x=0,354

b) ~:-0,5_25_2,OI-x=35 ¢> lOO(2x-O,5) ?5 l00(2,0l-x) 3,5 0,05 ' 0,02' 5 ~ 2

¢> 20(2x-O,5)-2,5-50(2,0 I-x) =3,5 ¢> 40x-1 0-2,5-1 00,5+50x = 3,5 ¢> 90x = 116,5 ¢? x = 1,2944444444

8.45.a) (x-O,2)'-(x+O,2)(x-O,2) = 0, I ¢? x'-0,4x+O,04-x'+0,04 = 0, I ¢> -0,4x+0,04+0,04 = 0, I ¢? -40x+4+4= 10¢? -40x = 2 ¢? x = -0,05.

b) 3,5(1-2x)+3(x-I,2) = 0,3 ¢? 35(1-2x)+30(x-I,2) = 3 ¢? 35-70x+30x-36=3 ¢? -40x=4 ¢? x=-O,1.

4 3 n 8.46.a) x = -- b) x = - 8.47.a) x =-

23 8 128

8.48.a) 3

X=--5

23 b) x=--

17

b) x= I

10 7x+2 ? 3x-I 8.49.a) -----=-+--

10

3

7x+2 =2+ 3x-1 3 6x+I8 4x+12 6(x+3) 4(x+3)

¢> 40(x+3)-2(7x+2) = 24(x+3)+3(3x-I) ¢? - 40x+120-14x-4 = 24x+72+9x-3 47 5

¢> 26x-24x-9x=69-120+4 ¢? 7x=47 ¢? x=-=6--. 7 7

8.50.a) x =-3 8.51.a) lednacina nema rjesenja 8.52.a) Rastavimo sve nazivnike razlomaka na proste faktore.

4x Ilx-24 1 5x x+1 --+---+ --- = ----- + ---_. 4-x 5(x-4) x-4 3(4-x) 2(x-4)

b) x =-5

b) x = 3 b) x =-3

lednacinaje definisana aka je x:t:4. Mnozenjem jednacine sa 30(x-4) i prirnjenom osobina ekvivalentnih jednacina, dobije se: -120x+6(IIx-24)+30 = -50x-15(x+ I) ¢? -120x+66x-144+ 30 = -50x-I5x-I5

¢? -54x+50x+15x= 144-30-15 ¢? Ilx=99 ¢? x=9

b) _2_~+2 __ 5_+_5_=0 ¢? __ 2x+2 _____ 5_+_5 __ =0 4x- =9 2x+3 2x-3 (2x+3)(2x-3) 2x+3 2x-3

¢? (2x+2)-5(2x-3)+5(2x+3)=0 ¢? 2x+2-IOx+15+IOx+15=0 ¢? x=-16. 8.53.a) Jednacinaje definisana aka promjenljiva t nema vrijednosti -1 i I.

Pod tim uslovom jednacina se mnozi sa t 2 -1 i dobije sc ekvivalentna jednacina: -(t' -3 )+(t+ I )(t+ I )=4(t-I). Primjenom ekvivalentnih transformacija dobije se: -1'+ 3+1'+2t+ I = 4t-4 ¢? 3+2t+ I = 4t-4

2t-41 = -4-3-1 ¢? -2t = -8 ¢? t = 4.

3 2 9x + 8 b) 1-6x -j-:;6; = 1='36/

3 1

1-6x 1+ 6x (I ~6x)(1 + 6x)

236

I ¢? 21x=7 ¢? X=-.

3 8.54.a) Nerna rjesenja. b) Nema rjesenja.

8.55:a) _1_+ 5-y 7 y-I ¢;> ___ I_+_~..=L=2. y-I 8y-16 8y-4/ 8y 2y(y-2) 8(y-2) 4y(2-y) By 2y(y-2)

¢? y-2(5-y)=7(y-2)-4(y-I) ¢> y-IO+2y=7y-14-4y+4 ¢? OrO. Jednacinaje neodredena. Svako braj (osim y=2 ,y=0) je rjesenje jednacine!

b) x=5 8.56.a) Primijetimo, prvo, da ova jednacina nije definisana za one vrijednosti promjenljive x za koju Sli nazivnici razlornaka koj! se pojavljuju u jednacini jednaki nul.i. Znaci prornjenljiva ne maze imati vrijednosti x = -2 i x = 3 ,jer je

x'-x-6 = (x-3)(x+2) = 0 za x = -2 iii x = 3. Jednacinu treba zamijeniti sa el0.'ivalentnom jedna6inom u kojoj nece biti razlomaka. MnoZenjem date jednacine sa najrnanj im zajednickim saddiocem nazivnika, Ij. sa (x-3)(x+2) (uz uslov da x nUe 3 i-2), dobije se

x'-x-6 + 5 = -(x-3) ¢? x'-x-l + x-3 = ° ¢? x'-4 = 0 ¢? (x-2)(x+2)=O ¢;> (x-2=O iIi x+2=0).

Kako x ne moze biti -2,jedinstveno rjeSenje jednacine je x=2. b) x =-4

8.57.a) 3x-l_ 2x+5 + 2 4 I ¢> 3x-~_ 2x+5 + 4 x-I x+3 x +2x-3 x-I, x+3 (x+3)(x-l)

¢? (3x-I)(x+3)-(2x+5)(x-I)+4 = (x+3)(x-i) ¢? x = -3. Gornje ekvivalencije vrijede pod uvjetom daje polaznajednacina definirana. To znaci da mora biti x:F-I, x1:-3. Dakle, nasajednacin'a nema rjesenja!

I 17 b) x=- 8.58.a) x=3 b) Nemarjesenja! 8.59.a) x=--

2 2 I

b) X=-6

8.60.a) x=8 b) x=3 8.61.a) x=8 b) x= 120

8.62.a) h=2P b) h= 2P c) h=5P a a+c abc

8.3. Linearne jednacine Uednadzhe) sa apsolutnim vrijednostima

8.63.a) Ixl+2=5 ¢? Ixl~3 ¢? x=±3. b) 2Ixl;5=lxl+2 ¢? Ixl=7 ¢?x=±7.

71xl-31xl + 1 =21xl +4 ¢? 7Ixl-3Ixl-2Ixl =4-1 ¢? 2 Ixl =3 ¢? Ixl =,:J, 2

3 ¢:) X=±-.

2 8.64.a) Ixl-x~O ¢? Ixl =x ¢? XE[O, +00).

b) 3Ixl+2x-l=0 ¢? 3Ixl~I-2x ¢? (3x=I-2x=0, x~O) iIi (-3x=I-2x, x<O)

I ¢? (5x=1 iii -FI) ¢; x=S' x=-l.

237

._-

c) 2Cilxl-I)+\X\ =x+3 ~ 2\X\-2+\X\ =x+3 :c> 3\-,\ =x+5 . .. (3 5 <0) <-> (2x = 5 iIi -4x = 5) w' Ox = x+5, X2'O) III - X = x+ ,X

w' X ~ ~ iii X = __ 2. . 2 4

8.65.a) \",,-II+x-I=6 ¢> IX-II=7-X ¢> (x-I=7-x, el) iii ~l-x= 7-x,x<l) ¢> x=4.

b) 13 - xl-(x-I)=4 ¢> 13-xl =x-I+4 ¢> 13 - xl=x+3

¢;1> (3-x = x+3, x(3) iii (x-3 = x+3, x>3) ¢> x = 0 .

c) l2-y-81-IOx= 10(x+l) ¢> 12x-81= 10x+l0+l0x

¢> I2x - SI=20x+IO ¢> (2x-8=20x+IO,x~4) iii (8-2x=20x+IO,x<4)

1 ¢;>'{ISx=-18,x~4 iIi 22x=-2) ¢> x=-ll'

8.66.a) RjcienjajednaCine IX - 21 +Ix + 11-1 = 6 traiicemo u tri intervala ito:

{-co,-I), [-1,2) i [2,+00).

Nekaje XE(-"', -I), tadaje Ix - 21 = -(x-2) i Ix + II = -(x+ I), pa se posmatrana

jednacinmsvodina:-(x-2)-(x+I)-1=6 ¢> -x+2-x-I-I=6 ¢> -2x=6 ¢> x=-3.

Dakle, jedno rjesenje jednaeine je x = -3. UzmimosadadajexE[-1,2). Kakojeuovomslucaju Ix-21=-(x-2) i

Ix + 1\ =x:.+l, to se jedriacina svodi na:

-(x-2)+x+ I-I =6 ¢> -x+2+x=6 ¢> Ox = 4 => xE0.

Na kraju, nekaje xE[-I, reo). Tada vrijedi IX - 21 =x-2 i Ix + II = x+ I, pa imamo

jednaeima x-2+x+I-l=6 ¢> 2x=8 ¢> x=4.

Nasajed!l1licina Ix-21+lx+11-I =6 imadvarjesenje ito: x=-3 i x=4.

b) :.:=0 c) x=A, x=8

8.67.a) llljesenjajednacine 31x + 11-21x + 21 +Ix + 31 = 6 potrazimo u svakorn od

interval'" (-co, -3), [-3, -2), [-2, -I), [-I, +",). Neka xE\(-co, -3) Tada je Ix + 1\ = -(x+ I), \x + 2\ = -(x+2), \x + 31 = -(x+3), pa data

jednacina postaje: _3(x+I)+2(x+2)-(x+3) = 6 ¢> -3x-3+2x+4-x-3 = 6 ¢> x = -4.

Ako je 1«,",[-3, -2), tadaje Ix + II = -(x+ I), Ix + 21 = -(x+2), Ix + 31 = x+ 3, pa za datu

jednacitm vrijedi: _3(x+I)+2(x+2)+(x+3) = 6 ¢> -3x-3+2x+4+x+3 = 6 ¢> Ox =2 => xE0.

Ako je ",,,,[-2, -I), tadaje Ix + 11 = -(x+ I), Ix + 21 = x+2, Ix + 3[ = x+3, pa za datu

jednacimu vdjedi:

-3(x+ 1 )-2(x+ 2)+(x+ 3 )=6 5

¢> -3x-3-2x-4+x+3=6 ¢> -4x=IO ¢> x=--. 2

O%'onije rjeScnje date jednacine! (Zasto?).

238

NekajexE[-I,+<Xl). Tadaje Ix+11 =x+I, iX+21 =x+2, ix+31 =x+3,pazadatu

jednacinu vrijedi: 3(x+I)-2(x+2)+(x+3) = 6 ¢> 3x+3-2x-4+x+3=6 ¢> 2x=4 ¢> x=2.

Rezultat; x = -4, x=2. _ I 17 b) x .. -- x=-

5 ' 7

b) xE0.

8.4, Diskusija rjeseuja linearnih jednaCina (jednadZbi)

8.69.a) 2ax-a = ° ¢> 2ax = a . 1) a;,;O, X =.1. 2

2) a=O,jednaCinaje neodredena, xje rna koji realan broj (xER). b) 3-rnx = rn ¢> rnx = 3-m .

3-m 1) m;,;O, x=-_·

m 2) m = 0, Ox = 3, pajednacina nema rjesenja. Onaje protivrjecna!

c) 8mx-4m = 5 ¢> 8mx = 4m+5 . 4m+5

I) m;,;O, x=---8m

2) m=O, Ox=5,jednacinaje protivrjecna. 8.70.a) ax+4x=4a-3x ¢> ax+7x = 4a ¢> (a+7)x = 4a.

I) Ako je a+ 7;,;0, tadajednacina ima rjesenje x = ~ . a+7

2) Ako je a+ 7 = ° , (a = -7), tada jednacina nema rjesenja. b) 2ax+9 ~ 4a'+3x ¢> 2ax-3x=4a'-9 ¢> (2a-3)x = (2a-3)(2a+3)

I) Ako Je 2a-3;<0, tadajednacina ima rjesenje x = 2a+3. 2) Aka je 2a-3=0, jednacinaje neodredena. Svaki bro] je rjeSenje jednacine

3 c) a(ax-3) = 8(2x+-) ¢> a'x-3a = 16xH2 ¢> a'x-16x = 3a+12

2 ¢> (a-4)(a+4)x = 3(a+4).

1) Ako je a+4 7:- 0 i a-4 *- 0, jednacina ima rjesenje x::;:: __ 3_. a-4

2) Aka je a+4 = 0, jednacina je neodredena. 3) Ako je aA = 0, jednacinaje protivrjeena.

8.71.a) Primjenom osobina ekvivalentnih jednacina, datujednacinu mozemc zamijeniti sa slijede6im, njoj ekvivalentnim, jednacinama:

ax-x=a'-1 ¢> (a-l)x=(a-I)(a+I). I) Ako je a-I ;<0, odnosno ako je a;,;l, posljednju jednacinu mozemo

., podijeliti sa a-I i dolazimo do rjesenja: x=a+ I.

239

2) Ako je a = 1, tada se jednacina ne smije dijeiiti sa a-I. No, to nije ni potrebno. Zamijenimo a sa 1 u posljednju jednacinu:

0.x=02 ~ ~x=O.

Vidimo da svaki realan broj x zadovoljavajednacinu. Znaci, U ovom slucaju svaki real:m broj je rjesenje jednacine. Jednacinaje neodreuena. ReZlllltat: 1) a;t 1 => x = a+ 1

2) a=1 => xER,jednacinaje neodredena. b) ax+a'=x+l ~ ax-x = I_a' ~ (a-l)x= (I-a)(I+a).

1) a*1 => x=-a-I 2) a=1 => XER,jednacinaje neodredena.

c) 2ax-a=I-2x ¢;> 2ax+2x-a+1 ¢;> 2(a+l)x=a+1. 1

ReZIDlllat: 1) a*-1 => x="2' 2) a=-1 => xER,jednacinajeneodredena.

S.n_a) ax-ex=a'-e' ~ (a-e)x=a'-e' ~ (a-e)x = (a-e)(a+c). 1) Akoje a-e;tO, rjesenjejednacineje x=a+e. 2) Akoje a-e=O,jednacinaje neodredena.

b} 2ax+2bx = a'_b2 ~ 2(a+b}x = (a-b}(a+b).

Ako je a+b;tO, rjesenje je x = a - b . 2 1)

2} Ako je a+b=O, jednacina je neodredena. c) (x+a)'= (X+b)2 ~ x'+2ax+a' = x'+2bx+b' ~ 2(a-b)x = (b-a)(b+a).

. b ° . - .. d _., a+b J) AkOJe a- * ,rJesenJeJe nacmeJe X=---. 2

2) Akoje a-b = O,jednaCinaje neodredena. 8.7J..a) Prebacivanjem clanova sa jedne na drugu stranu jednacine, jednacina prelazi u ekvivalentnu jednacinu: a'x-x = a+ 1, odakle se dobije nova ekvivalentna jednacina

(a+l)(a-I)x = a+l. I) Ako je (a+ I)(a-I )*0, odnosno akoje a;t -I i a * 1, tada se dijeljenjem

jecmacine sa (a+ 1)(a-l) dobUe rjesenje: x = _1_ . a-I

2) Ako je a = -I. zamjenom ove vrijednosti u posljednju jednaCinu dobivamo: (-I+1)(-1-1)x=-I+1 ~ 0(-2)-x=0 ~ O·x=O,

odaide zakljucujemo dajejednacina neodredena, tj. svaki real an brojje njeno rjesenje. 3) Akoje a = 1, zamjenom u posrnatranujednacinu dobivarno:

(1+1)(I-I)x= 1+1 ~ 2·0·x=2 ~ 0·x=2, odakle zakljucujemo da oi jedan realan broj nije rjesenje jednacine.

Rezultat: 1) Za a * -1 i a ,; 1 rjesenje je x __ 1_ . a+l

2) Za a = -\ jednaCina je neodredena i 3) Za a = 1 jednacinaje protivrjecna (nema rjesenja).

b) Izvrsimo operacije na liJevoj stranijednacine naznacene zagradama: a _a2x_b3 _b2x::;;: abx,

140

I .~

Prebacivanjem clanova sa nepoznatom na Iijevu stranu a ostalih clan d dobije se: _a2x_b2x_abx::::;: bJ _a3,' , OVa na esnu

Mnoz~.njemjednacine sa -I i rastavljanjem obiju strana na faktore dol . d Jednacme: azl se 0

(a'+ab+b')x = (a-b)(a'+ab+b'). 1) Ako je o'+ab+b'*O, dijeljefijem jednacine sa ovim izrazom dobije se:

x- a-b. 2) Ako je a'+ab+b'=O, tadaje jednacina neodredena.

Rezultat: I) a'+ab+b'* 0 => x- a-b

2) a'+ab+b'- ° -> xEOR,jednacinaje neodredena. ax+b a cx+d c ( b c) --:d= --:-.(bdx,;O) ~ ax+)d (cx+d)b

x xb ax ex ¢;> (ax+b)cd - (cx+d)ab ¢;> acdx+bed - abex+abd ~ ac(d-b)x = bd(a-e).

1) Akojea;tO,c*O,d-b;tO,tadaje x=bd(a-c) ac(d-b)

2) Ako je a = 0 i (b = 0 iii c - 0 iIi d - 0), jednacinaje neadredena. 3) Ako Je a: 0 ~ (b;tO i ~*O i d~O), jednacina je protivrjecna. 4) AkoJe c - 0 I (a = 0 Iii b = 0 Iii d - O).jednacinaje neodredena. 5) AkoJe c -0 I (a,;O i b;tO i MO),jednacinaje protivrjecna. 6) Aka Je b = d - 0, Jednacina je neodredena. 7) Ako je b - d ,; 0 i a = c, jednacina j~ neodredena. 8) Akoje b = d,; ° i a;t c ,jednacinaje protivrjecna.

8.74.a) ab-(a-3)x=a(2b-x) ~ ab-ax+3x=2ab-ax ~ 3x=ab ~ x- ab

b) (a+x)(a-x) - 2-(a-x)' ~ a'-x'- 2-(a'-2ax+x') ¢;> a'-x' = 2-a'+2ax-~' . ~ 2ax=2a-2 ~ 2ax-2(a-l).

I) Ako je a,; 0 ,rjesenje je x = a -I .. a

2~ Ako je a = O,jednacina nema rjesenja. c) (a -5a+6)x = a-3 ~ (a-2)(a-3)x - a-3.

8.75.a)

1) Ako je a;t 2 i a*3, rjesenje jednacinc je x = __ I _. a-2

2) Ako je a = 3, jednaCinaje neodredena.' 3) Ako je a - 2, jednacinaje protivrjecna.

(3x-2a)' -(x-2a)(2x+a) = 7x' -12a' ~ 9x'-12ax+4a'-(2x'+ax-4ax-2a') = 7x'-12a' ¢:> 9x2.12ax+4a2.2x2-ax+4ax+2a2 = 7x2_12a2

~ -9ax=-18a' ~ <Lx=2a' 1) Ako je a :;i: 0, rjeSenje jednacine je x = 2a. 2) Ako je a = 0, jednacinaje neodredena.

b) 3(a-4x)+7(2x-a)-5(3x+2a)+a = 0 ¢;> 3a-12x+14x-7a-15x-IOa+a-O ¢;> -13x - 13a ¢;> X = -a.

241

g.76.a)

b)

J~~+ x-b .j.:'~c =0 ,abc;tO ¢;> a(x-a)+b(x-b)+c(x-c) = ° be ac ~'2 ~ ax_a2+bx-b +cx-c = 0

I) Ako je a+b+c"O, rjesenje jednacine je

, , , (a+b+c)x = a +b +c .

a L +b 2 +c 2

x= a+b+c

2) Ako je a+b+c=O, jednacina nema rjesenja.

m(x - m) + ~(x~ n) = x, mn"O ¢> m'(x-m)+n'(x-n)= mnx

n m ')('+') , 3 ,3_ ¢;> (m'-mn+n)x = (m+n m -mn n ~ m x-m +n x-n -mnx ..~.' _ +

1) Ako je m'-mn+n'"O, rjesenJe Jednacme Je x - m n. 2) Ako je m'-mn+n'=O, jednaCinaJe neodredena.

77 ) Rezultat: I) (a,,±I,a,;O) 8. .a => X = _1_ 2) a=O => xE0.

2a a+c

b) 1) (a,;c,a,;O,c,;O) => x= "1

xje prOiZVOlj:: :::: :roj {u~, x,; n 2) (a = c, a"O, c"o) =>

m+n S.78.Rewltat:l) (m"-n,ffi."O,n,,O) => x=-2-

. ( ~o n .... O) => xJ"e proizvoljan realan braj razlicit od min. 2) m=-ll,m.,..., .,...

tn-X x-n 2mn,<± ¢> (m+n)(m-x)-(m-n)(x-n)=2mn 8.79.a) -----=-,--,. , m _n m-n m+n m-n

¢> m'+mn-(m+n)x-(m-n)x+mn-n' = 2mn 2 2 ~ 2mnx = m2_n2

• ¢;> -(m+n+m-n)x = n -m 2 2

.' m -n 1) Ako je mn ~ 0, rjeSenje jednacme Je X = 2mn

2) Akajem=n=O,jedn.cin.jeneodreoena. ,., .. , 3) Aka je (m = 0, n"O) iii (n = 0, mtO), jednacmaJe proUvrjecna.

b) 1 I 2 2, (ab"O, x,;b, x,cc)

bc-bx - ac-~~::::: b2 -bx - ab-ax I 2 2

-c-c----:: - ---. --b(e - x) a(e - x) b(b - x) a(b - x)

¢> a(b-x)-b(b-x) = 2a(c-x)-2b(c-x) , ~ ab-ax-b'+bx = 2ac-2ax-2bc+2bx ¢;> ax-bx = 2ac-2bc-ab+b ¢> (a-b)x = 2c(a-b)-b(a-b) ¢;> (a-b)x = (a-b)(2c-b).

1) Akojea"b.,ljesenjejednacineje x=2c-b .. _' k'b" . --' b k - ogo rJesen]a Sva 1 raj Je 2) Aka je a = b, Jednac.ma Ima es onacno mn '

rjesenje jednacine (uz uvjet x;t:b, X:f-C).

4a 2

880.) lal"2. a,,1 => x=--,a"l; a=1 • . I 2' I-a

=> lednacina je nemoguc3.

1 b) iai"-,a,,1

4 =>

8a-5 x=-- a;;.tl·

1-4a' , i a= i, a;;;:;-4

=> lednacinaje

a-2 nemoguca. 8.81. X=--. a+2

8.5. Problemi koje rjeSavamo pomoru liuearue jeduacine

8.82. Traieni broj oznacimo sa x. Prema uslovima zadatka vidirno daje zbir trecine

braja x i brQja 4 jednak polovini broja x. Napisimo to: ~ = ~ + 4.

Dobili smojednujednacinu cije rjesenje daje traZeni broj. Mnozenjem dobivene jednaCine sa 6 dobUe se:

3x = 2x+24 ¢> 3x-2x = 24 ¢;> x = 24. Traieni broj je x = 24.

19 8.83. Rezultat: 31 i 14. 8,84. --. 8,85. 57. 17

8.86. Kako se dobije neodredena jednacina, to su traieni brojevi: 12,22,32,42.52,62,72,82,92

8.87. Aka je x duiina stuba tada vrijedi: .:': +.:': + 2 = x 3 2

8.88. 20, 25.

=> x=l2.

8.89. Nekaje nakon x godina otac cetiri puta stariji od sina. Tada ce otae imati 24+x godina, a sin ce irnati 3+x godina. Prema usJovu zadatka vrijedi

24+x = 4(3+x). Rjesavanjem posljednje jednacine dobivamo traieni broj godina.

24+x=I 2+4x ¢;> x-4x=12-24 ¢;> -3x= -12 ¢;> 3x=12 ¢> x=4. Dakle, nakon cetiri godine,otac ce biti cetiri puta stariji od sina. Otae ce imati 28, a sin 7 godina.

8.90. Sada olae ima 45, a sin 13 godina. 8.91. d=JO em. 8.92. Nekaje stranica kvadrata a. Tada se uslovi zadatka mogu predstaviti

jednacinorn: (a+2)' = a'+24, Rjesenje jednacine daje traZenu stranicu kvadrata. a

2+4a+4=o'+24 ¢;> a'-a'+4a = 24-4 ¢> 4a = 20 ¢> a=5 (em).

8,93, Aka su stranice pravougaonika a i b, lada vrijedi: a-b=4 ,2a+2b=20. Rjesavanjem dobivenog sistemajednacina po a i b dobije 8e:a=7, b=3.

8.94. b = 5.

8 95 Z . d » • 1 d 1 ,I b S '». , . aJe an sat prva clJev napunl -, ruga -, a treca -- azena. ve tn clJevl 8 12 15

. d 1 lib za Je an sat napune - + ~ + - azena, 8 12 15

Ako se bazen sa tri otvorene cUevi puni za x sati, tada vrijedi

243

(~+i~ + 1~}X=l. Rjesenje dobivene jednacin'c daje nam trauma vrijerne. Mnoienjemjednacine sa 120 dobivamo:

(15+10+8)x=120 <d 33x=120 <d Ilx=40 <d x= 40 = 3h 38' II". II

8.96. Neka se baze,n napuni sarno kroz otvorenu drugu cijev za x sati. Tada vrijedi:

(~ + J..) -1& = I <d 2x+40=5x <d 3x=40 <d x = 40 sati. M x 3

8.97. Za 35 dana livadu bi popaslo 56 krava (Uputa: Za 30 dana krave su popasle 1920 obroka,a za 60 dana bilo bi 2160 obroka. Znaci, za 30 dana rastenjem trave povecao se broj obroka za 240. Dnevni prirast je 8 obroka. Na samom pocetku na livadi je bilo 1920-30·8=1680 obroka. Za 35 daoa na livadi ce biti 1960 obroka, .'to je dovoljna za 56 bava). 8.98. Oznacimo sax procenat srebra druge legure. Tada moiemo form irati

jednacinu: 76%3,5 + x%·7 = 84%·10,5 <d 76·3,5+x·7=S4·10,5

,;; 7x = 8410,5 - 76·3,5 <d 7x = 882 - 266 <d 7x = 616 <d x = 88. Dobili smG daje u drugoj leguri bilo 88% srebra.

8.99. Uputa: 60%(x+5) = 90%·5, x = 2,5 litara.

8.100. U 45 kg sl""lOg rastvora sa 35% soli ima 15,75 kg soli i 29,25 kg vode. U nepoznatoj kolicimi x datog rastvora ima 15,75 kg soli. Kako je taj rastvor 60%, to

vrijedi proporcija:

=>

40: x=60: 15,75

X= 40·15,75 =105 kg. 60 '

Znati, u p0sudu treba dosuti 29,25 - 10,5 = .IS, 75 kg ciste vode. 8.101. Rezultat: <;It kg. 8.102. IS kg i 8 kg. -8.103. U komadu date legure ima 45% bakra, sto iznosi 5,4 kg. Aka se ovoj leguri

doda x kg: olova da bi se dobila legura sa 40% balra, tada vrijedi

~ ·100 = 40, odakle se dobije x = 1,5 kg. 12 +x

8.l 04. Nekaje vrijeme za koje je autobus presao rastojanje izmedu mjesta A i B

jedoako t i srednjabrzina nekaje v. Tada vrijedi: vt = ~ -45 + 31 ·75 4 4

odakle se dobije: 4v = 45+225 ¢? 4v = 270 <d v = 67,5 km/h. 8.105. Razvrstajmo zlatnike na cetiri dijela po dva. Uzmimo dvije gomile i po jednu stavimo n3 s\'ak~ tas precizne vage. Aka je vaga u ravnotezi defektni novcicje medu N~ostalim ZlaI!licima. Pretpostavimo daje vaga u ravnotezi. Drugim mjerenjem u~'0reJlI'.lo jcdJ1u od rn:ostalih grupa sajednom grupom kojaje [13 tusu vag-e, Ako je vaga u ravnold£. defektni zlatnik je u preostaloj grupi. Uzmimo jedan

244

zlatnik iz preostale grupe i trebm mjerenjem ga uporedimo sa jednim zlatnikom koji je na tasu vage. Ako vaga nije u ravnotezi defektni zlatnik je onaj koji smo posljednji stavili na vagu, a ako je u ravnotezi, tada je defektni zlatnik onaj preostali koji nikako nije dolazio na tas vage. Na slican nacin se adreduje defektni zlatnik i u preostalim slueajevima. 8.106. Misled da ee patramja za jajima biti uobicajena, prodavacice su pocele prodavati jaja po 0,20 KM po komadu. Po tnj cijeni je prva prodala 2, druga 26, a treca 50 jaja. Kada su saznale da na pijaci sarno one prodaju jaja, one su podigle c\jenu i dalje prodavale jaja po 1,20 KM po komadu i po toj eijeni prodale sva preostalajaja (prva 13, druga 9 i treca 5).

Prva prodavacicaje zajaja dobila: 2xO,20+ 13x 1,20 = 16,00 KM Druga prodavacica je dobila: 26xO,20+ 9:<1,20 = 16,00 KM. Treea prodavacicaje dabila: 50xO,20+ 5xl,20 = 16,00 KM.

8.107. Rezultat: Lanac treba presjeei po treeoj kariki i taka ee se dobiti tri dijela od jedne, dvije i lri karike. ... .

9. LINEAlli.'!E NEJEDNAClNE (NEJEDNADZBE)

9.1. Nejednakasti: 3<7,2+7< 90, 11>8, .. ' Nejednacine: x> 3, x+5 < 6x-l, .. 9.2. Nejednacina moie imati 1,2,3, ... , n promjenljivih (n2N). 9.3. Skup svih brojeva za koje nejednacina postaje istinita nejednakost naziva se

rjesenje nejednacine. 9.4. Ako nejednacine imajujednake skupove rjeSenja,kaiemo da su ekvivalentne. 9.5. Nejednacina moze imati jedno, dva, tri iii beskonacno mnogo rjesenja.

. Postoje i nejednacine ciji je skur rjesenja prazan skup. 9.6.a) Nejednacine su ekvivalentne. b) Nejednacine su ekvivalentne. 9.7.a) 3x-15>0 <d 3x> 15 <d x>5.

b) -2x-8<0 <d -2x < 8 <d x>-4. e) 2x-9<1 <d 2x< 10 <d x<5. d) 5x+2<7x-IO <d 5x-7x<-10-2 ';::, -2x < -12 <d x>6.

9.8.a) 2x>5+2x <d 2x-2x>5 <d Ox> 5 => xE0. b) 5x-l1<4x-8 <d 5x-4x<II-8 <d x<3.

e) 4-3x> 2x+8 <d -3x-2x>8-4 <d -5x>4 4

x< --. 5

9.9.a) Izvrsimo operaciju odrea-enu zagradom n~ !ijevoj strani nejednacine: 6-2x+2 > x-4.

Dobivena nejednacina, dalje se moze transformisati II ekviva!entne nejednacine: -2x-x>-4-6-2 <d -3x>-12 ¢:o 3x < 12 ¢:> x<4.

245

Rezu11lat pre'!ctavimo o;raficki: _· •• ,,,-· .. C •• -,.,,.,,,, -,- ",-l- )

-I 0 1 2 3 4 x b) 3+5(2-x)<x+l ¢> 3+10-5x<x+! ¢> -5x-x<1-3-10 ¢> -6x<-12 ¢> x>2. »

-1 o 2 3 4 5 x c) U-(2x-.; »'-x ¢> 11-2x-3 > 5-x ¢> -x>-3 ¢> x < 3.

(

o 1 2 3 x 9.10.a) MnoZenj em date nejednaCine sa 10, ona prelazi u:

~3-2x)+80 > 5(5x+2)-10x ¢> 6-4x+80 > 25x+1O-10x ¢> -4x-25x+lOx> 10-6-80 ¢> -19x>-76 ¢> 19x<76 ¢> x<4.

Graficki prikaz rjesenja je identican prikazu u pfethodnom primjeru pod a).

. d " ," 24 R I 199 rn) Datu nCJc nacmu pomnozltl sa . ezu tat: x> - . 43

9.11..) MnoZenjem jednacine sa 6 oslobadamo se razlomaka i dobivamo: 2x-3(x-2) > 3(x+2)-2(2x-6).

Izvrsimo operacije na objema stranama i primijenimo ekvivalentne transformacije: 2x-3x+6 > 3x+6-4x+12 ¢> 2x-3x-3x+4x> 6+12-6

¢> O·x> 12. Dobilismo nejedgacinu kojaje ekvivalentna polaznoj, a koju ne zadovoljava ni jedan J!'Iealan broj. Znaci ova nejednaCina nema rjesenja.

b) Pomnozi nejednacinu sa 12. Rezultat: x< - 2 . 21

9.12.a) Nakon mnozenja nejednacine sa 70 i sredivanja, dobije se ekvivalentna nejedrna&ina x<7. b) x> -14 9.13.a) Pomnozimo neje9nacinu sa l2 i vrsimo dalje transforrnacije:

1x + 4(2x-1)'; 4(x-1)+3x+36 ¢> 2x + 8x - 4,; 4xA+3x+36 ¢> 2x+8xAx-3x,; -4+36+4 ¢> 3x,; 36 ¢> x'; 12.

13 b) xc-- 9.14.a) x>3 b) x>2

14 9.15.a) Kako je proizvod qva izraza pozitivan sarno ako su oba istog znaka, to ce skup tjeSenja date nejednacine biti skup onih vrijednosti promjenljive x za koju su oba iZKlliZa: x-2 i x+4 iIi pozitivni iii negativni. Do tog skupa mozemo doci k . ]"' d' b I onsteo. se S ,ue eeom ta e om:

x ..aJ -+ -4 -+ 2 -+ +~ x-2 - -6 - 0 + --x+4 . - 0 + 6 +

(x-2){l<+4) + 0 - o I + .. , lz tabele neposfedno cltamo fJesenJe: XE(-oo, -4)u(2, + 00) .

246

b) (x-l)(x-5) < 0

X -00 -+ 1 ,.,~, . '.:">, 5 -+ +00

x-I - 0 + 4 +

x-5 - -4 - 0 +

(x-I)(x-5) + 0 .. ,;..- '''-' 0 +

,. , Iz tabele neposredno Cltamo fJesen]e. XE(l, 5).

c) (x+3)(x+7) > 0 x ..aJ -+ -7 -+ -3 -+ +'"

x+3 - -4 - 0 +

x+7 0 + 4 + .. -

(x+3)(x+7) + 0 - 0 +. .

RJesenJe le: XE(..OJ, -3)u(-7, +00).

9.16.a) XE(-OO, -1)u(2, +00) b) XE(-OO, l)u(4, +00) c) xE(-5, -2) 9.17.a) Brojnik datog razlomkaje pozitivan, paje razlomak pozitivan sarno ako mu je i nazivnik pozitivan: x-6>0 ¢> x> 6 .

-5 b) -->0 ¢> x+3<0 x+3

c) x+5<O ¢> x<-5. x <-3

9.18.a) Nazivnik razlomka na lijevoj strani nejednacine je uvijek pozitivan, pa nejednacinu zadovoljavaju one vrijednosti promjenljive x z.a koje je

5x>0 ¢> x>O. b) ~<O ¢> -x<O ¢> x>O. 2x' + I

x+3 c) Kakojex'+2x+2~(x+1)'+I>O,toje: <O¢> x+3<0 ¢> x<-3.

x'+2x+2

x ¢;> _x_(x+2)' > 0(x+2)' 9.19.a) -->0

x+2 x+2 ¢> x(x+2)> 0

¢> XE(-oo, -2)u(0, +00).

2-x b) -->0

x+l ¢> (2-x)(x+l) > 0 ¢> xE(-1,2).

c) x-3 <0 ¢> (x-3)(x+5) < 0 x+5

¢> xE(-5,3).

_3_ >2 3 9.20.a) ¢> ---2>0

x-tO x-IO

3-2(x-10) ¢> >0 x -10

23 - 2x 0 ¢> (23-x)(x-1 0) > 0 ¢> ---> x-IO

¢> xE(l0,23).

-5 ¢> -5(2-x»-1 (2-x)' b) -->-1 2-x

¢> -5(2-x)+(2-x)' > 0

¢> (2-x)( -5+ 2-x»0 ¢> (2-x)(-3-x) > 0 ¢> (2-x)(3+x) < 0 ¢> XE(-OO, -3)u(2, +00).

247

e) _8_<3 ~ 8(2x+ 1 )<3 (2x+ I)' ~ (2x+I)[8-3(2x+I)]<0 2x+ 1

I 5 ~ (2x+I)(5-6x)<O ~ XE(-OO, -"2 )U("6' +00).

~>4 ~ 3x(x+2»4(x+2j' ~ (x+2)[3x-4(x+2)] > 0 921..) x+2

~ (x+2)[3x-4x-8]>0 ~ (x+2)(-x-8»0 ~ xE(-8,-2).

..2..- > 10 ~ -x(x+6» 1 0(x+61' ~ (x+6)(-x-lOx-60»0. b) x+6

60 ~ (x+6)(-llx-60»0 ~ xE(-6, -ll ).

e) 5x-ll <5 ~ x(5x-ll )<5x' ¢;> x(5x-II-5x)<0 x

~ -llx<O ¢;> x>O.

2 I ¢;> x - 8 < 0 . Vidi sIjedecu shemu! 922.a) x+2 < x-3 (x + 2)(x-3)

+ Rezultat: x< -2, 3<X<~

~ ~x" --2J~ b) x>I,'3<x<0

'.1.23 .• ) ~_])(X_2i x+5) > 0 2 -+ +00 -5 1 ,

-00 -+ -+ x 0 + 1 +

x-I - -6 --1 - 0 +

x-2 - -7 -6 + 7 +

x+5 - 0 + 0 - 0 + I (x-l )(x-'llix+5) - 0 +

.- " . XE -5 1 u 2, +00). Iz tabe1e neposredno cltamo fJcsenJc. ( , ) (

il) (2x-3)(x-11 )(x+8) < 0 3 II -+ +m -8 -+ --+ x -00 -+ 2 !

-19 0 + 19 + 2x-3 - -

0 + -19 - - -x-l1 -0 + + C= 19 + ! x+8 -

0 0 + I (2x-~x-ll )(x+8 - 0 + 3

Rjesenje je : XE(-OO, -8lu( 2',11).

9.24 .• ) XE(-OO, -7)u(3, 6) b) xE(-3, ~ )u(S, +00)

9.25.a) -2 <x+l < 10 b) 3 <2x-1 <7 e) -2< 1-3x < 10

248

~ -2-1<x<10-1 ¢;> 3+1 <2x<7+1 ¢;> -2-1< -3x < 10-1

~ -3<x<9. ~ 4<2x<8 ~. -3<-3x<9

<rl 2<x<4. ¢;> 1 >x>-3.

9.26.a) Ixl <2 ~ -2 <x <2

b) IX-II < 5 ~ -5<x-I <5 ~ -4 <x < 6.

c) 12x+81 < 10 ~ -10 <2x+8 < 10 ~ -18< 2x <2 ~ -9 <x < 1. 9.27 .• ) 314x + 121 <15 ~ 14x+ 121 <5 ¢;> -5 < 4x+12 < S ¢;> -17<4x<-7

~ 14 7

--<X<--, 7 4

b) Ixl >3 ~ x<-3 iii x>3 XE(-oo, -3)U(3, +00) .

c) Ixl >S ~ x<-5 iii x>5 XE(-OO, -S)u(5, +00).

9.28.a) Ixl > 10 ¢;> x<-IO iii x>IO XE(-oo, -10)u(10, +00).

b) Ixl >20 ~ x<-20 iii x>20 , XE(-OO, -20)U(20, +00).

e) lx-II >4 ~ (x-I<-4 iIi x-I>4) ~ x<-3 iIi x>5.

9.29 .• ) 12x + SI >8 ~ (2x+8<-8 iii 2x+S>S) ~ (x<-8 iii x>O).

b) 314x+121>12 ~ 14x + 121 >4 ¢;> (4x+12<-4 iIi 4x+12>4) ¢;> 'x<-4 iii x>-2.

e) SI3x- 61>30 ~ 13x - 6/>6 ~ (3x-6<-6 iIi 3x-6>6) ¢;> (x<O iii x>4).

9.30.a) x'-9<0 ¢;> x'<9 ¢;> Ixl < J9 ¢;> Ixl <3. ¢;> - 3<x<3 ¢;> xE(-3,3).

b) x'-36<0 ~ x'<36 ¢;> Ixl <J36 ¢;> Ixl <6. ¢;> -6<x<6 ¢;> xE(-6,6).

e) x'-16>0 ~ x'>16 ¢;> Ixl> Ji6 ~ Ixl>4 ~ (x<-4v x>4) ~ XE(-OO, -4)u(4, +00).

b) S 5 9.31.a) -I < x < 1 --<x<-2 2

c) x'-4>0 ~ x2>4 ~ Ixj>J4 ~ )xl>2 ~ (x<-2 v x>2) ¢;> XE(-oo, -2)u(2, +00).

9.32.a) x=2, x<1 b) XE(-oo, -1)U(2, +00) e) x E [ 0, I)

9.33.a) jX-21

~ x+2<0 ~ x<-2 --<0 x+2

x-I 0 ix + 3i x>O. b) -_ ... < ~ x-I<O ¢;> x<1. . e) --;>0 ~ In3j x

9.34.a) 2x-6

"'" 2x-6"0 "'" x>;, ----~::;_ 0 I II [.\+ !

249

b) -4<x<4 c) x<O iii x>2

(x + 3)(~-=!2 > 0 935.a) x+5 -- -T 5 +0'C I ., , 5 -4 -3 -> --'> X _00 1 --'---"~-.- r-

~----'--L - 0 + 8 + x+3 -L 1--------- -

+~ 10 + 8 + 0 -5-x r Cx+3)(5-x) -20 - 0 + 0 --

2 + 10 + ,. x+5 - 0 +

(x+3)(S-x) + n.d. - 0 + 0 -

x+5 _J -. - - -5 -3 5 Iz tabele nepasredna cltama rJesenJe. XE( 00, )u( , )

b) (x-I)(x+5) > 0

x 3

x -00 • -5 --'> 1 -> 3 -> +oo x-I - -6 - 0 + 2 .+

-----x+S - 0 + r---z--' + 8 + f.-.ix- I )(x+5) + 0 - 0 + 16 +

-8 - -2 - 0 + x-3 -(x.-J)(x+S)

0 + 0 - Nd + -x-'3

Rjesenje: xE(-5, I)u(3, -Coo).

c) (x-2)(3-x) <0

x+8 x -00 --'> -8 -> I --'> 3 -> +00

x-I - -9 - 0 + 2 + 3-x +: 11 + 2 + 0 -

..ix-2)(3-x) - -99 - 0 + 0 ~---:;:---x+8 - 0 + 9 + II -

(x-2)(3 .:2 + n.d. - 0 + 0 -

x+8 _. -. - -Iz ove tabele cltamo fJcsenJc. xE(-8, 1)u(3, TO::}

9.36. * Uputa: Mora bitijx - 51- 3> 0 (Zasto?), odnosno, Ix - 51 > 3. Dalje je

x-5 < -3 iii x-5 > 3, odakle slijedi da mora biti x < 2 iii x> 8. ltd.

Rewltat: x E (-I, 2) U (8, 5 + 312) .

b) xE(2-m,I)U(3,7)

9.37.a) a(x-I) > x-2 (a-I)x> a-2.

250

I

9.38.

9.39.

Za a = I nejednacinaje zadovoljena za svako rcalno x.

Za a > 1, rjdcnje nejednacine je skup svih brojeva x za koje je x >~ a-I

Za a<l, rjesenj...; nejednacineje skup realnih brojcva x <~. a-I

b) a(x-3)+3 < x "" ax-3a+3 < x ¢> (a-I)x < 3(a-I). Ako je a = 1 nejednacina ncma rjdcnja. Za a > 1, I:!~scnje nejednacine je skup realnih brojeva x < 3. Za a < j, Jjdenjeje skup realnih brojeva x>3.

c) a'x+I >a4_x "" a'x+x>a

4_1 "" (a'+I)x> (a'-I)(a'+I) "" x>a'-1.

3 7 -<-11 n

7 5

=> 3n < 77 => 11<26.

- < -- => 91< 5n => n> 18. n 13

Rezultat: nE {19, 20, 21, 22, 23, 24, 25) .

al

+b) (o+bi' a) +b' a' +3a'b+3ab' +b' -2- 2l~2~) "" 2 2 8 '---

¢) 4(a3+b3)c..a3+3a2b+3ab2+b3

"" (a + b)(a' -ab+b')-(a+b)ab 20

"" (a+b)(a'--2ab+b 2) ~O "" (a+b)(a-b)' ~ O.

9.40. Za 8, b ~o posmatrajtno razliku :

(a l ;b l J'_[a1 ;b'J a6

+2a:b3

+b6

a' +3a 4b' +3a'b 4 +b 6

8

2a6

+4a l b3 +2b 6 _a' -3a'b' -3a 2b4 _b 6

8 0

6 ~2a3b3 +6 6 +6a 3b 3 _3a 4b2 _3a2b4

8

_ (a' - b')' - 3a'b 2 (-2ab + a' + b') (a3 _ b)' _ 3a 2 b' (a _ b)' ~---.... . = =

8 8

_ (/1- b)' [(a' + ab + b2)' -3a'b' J (a-b)'(a 4 +b 4 + 2a3b + 2abl ) > O.

8 8

(03 +b3J' (a 2

+b2J3. '.

Kako je ---2- - \ 2 ?. 0, to Je tacnost date neJednakostl dokazana.

9.41.* (a2

+b2 +(

2)(X

1 + y2 +zl)=a2x 2 +b 2y2 +C2Z2 +a2y2 +b2x 2 +

(*)

251

Kako je aritmetiiCka sredina uvijek veea ilijednaka geometrijskoj, to vrijedi:

a2y2 +b 2x 2 2::2abxy

a 2 z2 + c 2 x 2 ;;::: 2acxz

b'z' +e'y' ?2bcyz,

to se (*), daJje, maze nastaviti ovako:

"~'("/.? a' .. ' + b' y' + c' z' + 2abxy + 2acxz + 2beyz = (a< + by + ez)' ,

cime je nejednalkost dokazana.

2 ? 2 2 2 2 2 2 2 (I I I) 9.42* a x+b-y+e z=(a x+b y+c z)·I?(a x+b y+e z) -+-+-x y z

KoristeCi prethadni zadatak, dalje vrijedi:

, ,. ,(I I I) ( ,. I r I ,. I J2 (a x+b p+c z) :;+;+; ? avx j; +b"y fY +evz .Jz

=(a+h+c)' >d'.

9.43.* 2x'-xy-5x+y+4 = 0 w 2x'-5x+4+y(I-x) = 0 (**)

x<:1 ""I-x ';;O} Iz x<:y2:1 slijedi ~ x(l-x)';;y(I-x),pase

x?y

uvrstavanjem u (**l dobije: 0= 2x'-5x+4+Jf (I-x)? 2x'-5x+4+x( I-x) = 2x'-5x+4+x-x' = x'-4x+4 = (x-2)'.

Dakle, (x-2)',;; II => X = 2. Kako je x <: y ? 1, to je y = 2. Remltat: (2,2).

10. SISTEMI (SUSTAVI) LINEARNIH JEDNACINA (JEDNADZBI)

I 0.1. Linearnajeiilnacina sa dvije nepoznate ima beskonacno mnoga ~jesenja. 10.2. Skup svih iljdenja linearne jednacine

sa dvije rrep0znate maze se predstaviti uackama jedne prave. Na Sl.l 0.1. predstavljenaje prava koja odgovara sl-upu rjesenja jednacine x+y=S.

Sl.IO.2

10.3. Konjunkc:ija dviju (iii vise) linearnih jednacina nazi va se sistem jednacina.

1004. Ureden par realnih brojeva cije komponente zadovoljavaju obje jednacine u

sistemu, naziva se rjesenje sistema. Tako je par (2,3) rjesenje sistema x + 2y ~ 8} 3x+ y ~ 9

jer za x=2 i y=3 obje jednacine postaju istinite jednakosti. I 0.5.Ako je svako rijesenje jednog sistema u isto vrijeme i rjesenje drugog, i pri tome drugi sistem nema rjdenja koja nisu i rjesenja.prvog sistema, kazemo da su sistemi ekvivalentni. .

10.1. Metode rjdavanja sistema linearnih jcdnaCina

10.6. Meau metodama rjeSavanja sistema linearnih jednacina najpoznatije su: metoda zamjene (sUpstitllcije), Gausova metoda, metoda determinanti, metoda komparacije, graficka metoda, ... ).

10.7. Ako se izjedne jednacine sistemajedna varijabla izrazi pomocu druge i izvrsi zamjena u drugujednacinu, dobija se ekvivalentni sistemjednacina u kame je jedna jednacina sa jednom nepaznatom. Itd.

10.8. Ako su A(x, y) = 0 i B(x, y) = 0 Iinearne jednacine sa dvije nepoznate m, nER, tada vrijedi:

A(x,y) = O}

B(x,y)= 0

Navedena asabina sistema koristi se u Gaussovoj metodi rjesavanja sistema jednacina. (Dokaz ove osobine navedenje u zadatku 10.15. koji slijedi!).

3 IO.9.a) (1,5), (0,8), (-I, II) b) (0,5), (-5, 0), (1, 6) c) (0,3), (2, 0), (1,-)

2

10.10.a) x+y-3=0

" l' "I

IO.I1.a) 3X+2Y =I3} 5x+y=IO

3x+ 20 -lOx = 131 ¢;' i I y=IO-5x J

w 3X+2Y =I3} w y=IO-5x

w -7X=i3-20} w y=IO-5x

c) 3x-4y+24:=0

3x+2(l0-5x) = 13}

y=IO-5x

-7x=-7\

y=10-5x)

I I il ~ ;

I

252 253 ~~~ ____ ....... __ J.' ________ ...... __ ..................... ,~,,~, ~,~~ ________ ",<'dl ;1

~ x=1 } y;;;lO-S'j

10.12.31) (-2,-3)

10.13 . .,) (10,-2)

x = I} ¢;> b) (4, -2) c) (-I, 3). y=5

b) (7, -3) c) (-5, 14)

b) (2, -6) c) (±, -~)

10.14.a) 2x - 5 Y = 111

7x+2y=19! ¢;>

2X=II+5Y }

7x+2y=19

". '" ) ¢;>

7 11+;y=. 22_19 '--T v"-2 •

11+5y } x=-- . 2 ;

7·(11+5y)+4y=38

11+5Y } ¢;>

77 + 35y

x

+=4Y =238

¢;>

x .11+5.(-1)1

y = -I 2 J

x= 11 ;5} ¢;> ¢;>

y=-I

Rezultat: (3, -I). b) (~, 3) c)

10.15':* Nekaje dat sistem linearnihjednacina sa dvije ncpoznate

Gjx+b1y==c! }.

Q2 x + b2Y=C2

Ovaj $l£tern Inozerno transformisati u ekvivalentan sistem

,G,x+b,y-c, =o}. G,x+b,y-c, =0

koji, li3di kraceg pisanja, rnozerno pisati i ovako:

A(X,y)=O}

B(x,y) = ° PokaZEimo daje sistem (S) ekvivalentan sa sistemom:

. A(x,y)=O }

m . A(x,y) + n· B(x,y)= 0

11+5Y }

:9:'=~39-x=3 } y=-I .

(%,~)

(S)

(S')

gdje &lim i n rna koji realni brojevi, od kojihje bar jedan razlicit od nule (l}ekaje

n*O). Svako rjeSenje sistema (S) je i rjesenje sistema (S').

Nekaje par brojeva (xo, Yo) rjesenje sistema (S), tj. nekaje A(xo, Yo) = 0 i B(Xu,y.) = 0. Uvrstavanjem ovih podalaka u sistem (S') dobije se

A(xo,Yo)=O }

m' A(xo,Yo) + n· B(xo,Yo) = 0

5tO .su tacne jednakosti za rna koje vr1Jeono~l1 oluJcva Jll J II. T.; znaci da ie par

braJeva (x", Yo) rjesenje i sistema (5').

Svako rjdenje sistema (S') je i rjdenje sistema (S).

Nekaje par brojeva (Xu, Yo) rjesenje sistema (5'). Tada vrijedi

A(XO,YO)=O} ¢;> A(xo,yo)=O f m A(xo,yo)+n·B(xo,Yo)=O m·O+n·B(xo,Yo)=OJ

¢;> A(XO,Yo)=O} ¢;> A(XO,Yo)=O},

n·B(xo,Yo)=O B(xo,Yo)=O

Dobili smo daje par brojeva (x", Yo) rjesenje i sistema (S). Dakle, sistemi (S) i (5') Sll ekvivalentni.

10.16. ~ ¢!> X-V'=3} ~ x-y=3 } x+y~15 (x-y)+(x+y)=3+15

¢;> x - y = 3} ¢;> 9 -y = 3} ¢;>

x=9 x=9

¢;> - Y = -"6} x=9

x = 9, Y = 6. b) (3,-4)

x- y = 3} 2x= 18

-Y=3-9} x=9

c) (-13,10)

10.17.a) (8, I) b) (I, -3) c) (4, -I) 10.18.a) (4, -3) b) (5,10) c) (2,2)

10.19.a) I~ ~II =12+2= 14 b) 1_°2 1511=0+10=10 c) I: ~1=0-12=-12

d) I~I =~I =5+3=8. 10.20.a) I~ _\1=-7-6=-13 b) I~ ~1=1-9=-8

c) I: ~I = 42-20 = 22 d) II

102La)D=I~ ~11=4+1=5, Dx=I:~ ~11=20+15=35, D,=12

101 =30-10=20. x= D, =35=7 y= Dy =20=4.

. I IS D 5' D 5

b) x= D'}~ ~L -3I-8=::3~=3' = Dy =LJ=IZ-155= -·143 =ll D 13 21 -3-10 -13 ' Y D 13 21 -3-10 -13 .

15 -1 5 -I

255

I~ 1-35 -Ill -35

1 Dy -14 -84+105 D -14-2 70-154 =-4; l.

c) - , y=-16 -ill 21

x- D-16 -Ill -12+33 D

3 -2 13 -2

10.22.a) (4,2) b) (-3, -I) c) (-5, II) 10.23.a) ( - ~~,- ~~) b) (1,3)

c) (~~ 100) 7 ' 7

10.24*a) (1,3,2) b) (2,-1,3) c) (4, I, -3)

do b)(7,~) 10.25.a) Sistemje neo re en. 2 c) Sistem je protivrjecan.

10.26.a) (o,-j) b) (0,3) c) (-8,0)

b) (3, 1) 10.27.a)

10.28.a)

10.30.a)

(~, 8)

(5,2) b) (5,2) 10.29.a) (3,2) b) (3,2)

(~~) 6 (5, -"5) b) (2, -5) 10.3l.a) (7, 11) b)

15' 45

10.32. a)

3

, ; ,

3X-2Y =6} 10.33.a) 3

ax+y=-

¢o;> (3 + 2a)x = O} => y=-ax-3

b) ax+ y ::::: a} ¢o;>

x+ay=l

b) 2x+5y=-I, 7x+IOy= -1

-3

3x-2(-ax-3) = 6} Y =-ax-3

c) x-lly-5x + y-

3x + 2ax + 6 = 6} Y = -ax-3

1) Aka je 3+2a,,0, rjesenje je x = 0, y = -3.

2) Aka je 3+2a=0, xje proizvaljan broj, y = -ax-3.

y=a-ax} y=a-ax} <rl 2'

x+G(a-ax) =1 x+a -a x=1

y=a-ax } ¢o;> =>

(l-a')x=l-a' 2) Aka je a = 1, x je praizvaljan broj, y = 1- x;

(

I) Aka je a" ±I, rjesenje je (1 ,0);

3) Aka je aO -I, x je proizvoljan broj, y = x-I.

256

om ) "-~ ) ax+by=a} Y=-b-,b"O Y=-b-,b"O

c) <rl ¢o;>

ax+by = b b -ax a-ax b-ax y=-- --=--

b b b

a-ax bO} a-ax } Y=-- ;t Y=-b-,b;tO ¢o;>

a-ax:b~CLr; ¢o;>

Ox = a-b

Aka je a = b, rjesenje je: x proizvaljan broj, y = a - ax . : b

Aka je a;t b ;t 0, sistem je protivrjecan. Aka je a = b = 0, sistem je neodreoen. Svaki ureden par realnih brojevaje

rjesenje sistema. '

Z 2." .. 2 OZ· 2 .. d~ 10.34.a) a a-;6--,fjesenjejex=--,y= . aa=-,slstemjeneo reuen, 3 . 5 3

I-a l+a b) x=-- y= --,.

l+a 2' 1+0

4 ·"·· I .2 4·· c) Za a-:l;± ,rJesenJeje x=-- V=---'zaa= s!stemje a+4'~ a+4' ,

neodreden; za a = -4 • sistem je protivrjecan. . I 2(0-1) 0+1 Z 1. .

1O.35.a) Zaa:;t:~l la;t:-,x=---,y=--. am=- slstemJe 3 30 -1 1-30 3

protivrjecan, a za m = -1, sistern je neodreaen. b) Za a = 2 sistem je protivrjecan, a za a;t l"rjesenje sistemaje

-3a' +80+6 6-2a x , y=--.

a-2 a-2

J 0.36.a) +2 ." .. . 3 I

Za a:;t. _ ,rJesenJe slstemaJe x =--, y = ---a+2 a+2

Za a = 2, sistem je neodrenen. Za a = -2 sistem nema rjesenja. Protivrjecanje.

b) Za a;t 1, a;t 2jedinstveno rjesenje sistemaje x= 1-5~ Q-.;

Za a = 1, sistemje neodreaen i ima beskonacno mno,:! Za a = 2, sistem je protivrjecan.

10.37.a) Za 101 ;t b i ab;t 0, rjeSenje sistemaje X = a+b, y ~

a J _b J

b) x=ab, y= - .-. a+b

_ : a r5 , I 2

fH;"~~lqa.

10.38.a) Sistemje neodreden aka su odgovaraju6i koeficijer. U Ie. /1 ;inarna sistema proporcionalni, pa vrijedi;

257

(4m-I)=3(m+I!-3) 1 (m+~n-I) = 3(1m-lll J

(8m+ n - 8)=4{3m - n +I) 1 b) (2111,-311+5) = 4{1Il + 2n--4)j

m-3n=-S ~ -Sm+6/l=I)

4m-Sn+I2=o1

2m+IIn-2I =oJ

b) a=-I

tn=5} 13 '

n:;;:::-3

m=-~I 2\ n=2 )

10.39.a) a=8 1 . ~., . d':::::2 tim x:::;: - i odredlmo

, U clato; J'ednacml uzmlmo aJe x , a za 2 1 O.4G. ~

I Db" , . . . _ 0 tcemo. fjosenJe slstema po f(2) (1 f( 2 )

-4f(2)+-I2 .I.1.)~--I6\ ,2 f(2)+3 1.1.1=4 1 1

1(2)=-4

j ~2J f Q 12f(2)+4A~)=IJ Q 36 f(2)+12A~)d J

=> 32f(2) = --Li 13

f(2) =- 32 '

1 1 b Sistem se svodi na 1041 * ,a) Uputa: Uvesti smjene: --; = a, y = ,

I 1 15a-7b =91 cijeje 1jesenje a=2, b=3, Rezultat: F"2' Y="3'

4a+9b=35J 7 -3 c) x=, y-b) x=l, y=I 4 3

I : 1 R It t' x=- y=--10.42*,a) S jene'--=m-~=n, ezu a, 3' 2 em 'x-l 'y+2

c) x=O, FO,

Sn1jene: _~_ ;:::;:.Il , ~~- = v. Rezultat: .' 2x~y x-2y

x=5, F -2, lOA3*.a)

b) x=1,y=2. 10.44*,a) x=5, )=3

1046*a) (1, -3, -2)

10.48',a) (7,3,4,2)

10,19,

258

b) x=7, y=4

b) (1,2,3)

10,45*,a) (-2,-1,-3)

10,47*,a) (8,4,2)

{

X + V = 2

xy;:;:: Z2 + 1

b) (0, I, -3) 1

b) (2, 1, "2 )

=> {

x+ y = 2

,ry>0 , =>

{

X+ Y = 2

x>o

y>O

=> x=l, y=l, z=0.

10.50. Up uta: Sabir~njeh1, a zatim i oduzimanjem jednacina dobije se;

(,1;+1) 5x x fl- ='-, g(x+I)=-, x 2 2

, x+l d' 1, 5 AkouzmemodaJe -x-=t,ta aJe x= t_l,paJe /(1)= 2(1--1)'

10,2,

S odnosno, f(x) = ---,

2(x - 1)

x-I g(x)=-~,

2

Neke primjcne ·sistema linearnih jednacina

10.51. Neka su traieni brojevi x i y. Tada mazemo pisati: (x-y):(x+y):xy ~ 1:2:3, odnosno,

(x-y):(x+y) = 1:2 , (x-y):xy = 1:3 , Daljeje

x+ y=2(x- y)} ¢:>

xy=3(x-y)

x + y = 2x - 2Y} ¢:>

xy=3x-3y x= 3y1

xy-3x+ 3y = OJ

X=3V} ¢:> ,

xy-2x=0

Traieni brojevi su 6 i 2.

X= 3y1 y=2 J

x~61 y=2J

10.52. Uputa: Ako prvi radnik moie uraditi POSilO za x, a drugi z.a y sati, tada zajedal1 1 1

sat prvi radnik uradi -, a drugi - posla. Radeci 7, odnosno 4 sata radnici su uradili x y

2 -1- -:. = ~9 cijelog posla, a nakonzajednickog fada oj 4 sata uradeno je jos x y

4 4 5 1 7 - + -:::: l- - ~ --:::: - ovog posla. RjeSavanjem sistemajednacina x y 9 18 18

7 4 5 4 4 7 - T - = - -+--=- dobivamo FI8 i )"=24. x y 9' x y 18

10.53. Nekaje braj godina Dca u ovom trenutku x, a broj godina sina neka je y, Tada, prema uslovima za,datka, vrijedi:

prije 4 godine: 7(y-4) = x-4 nakon 4 godine: 3(y+4) = x+4 ,

Rjdenje dobi\'enog sistema daje trai.eni broj godina oca i sina. 259

7(Y-4)=X- 4 } <;c;>

3(y+4)=.lf+4

7(y-4)=x-4 }

7(y-4)-3(y+4)=-8 ¢:>

7 y - 28 = x "" 4 ,

7y- 28-3y -12 = -8 J ¢:> X=1Y -24} <;c;> X=3,2}. Sada otae ima 32, a sin 8 godina.

4y=32 y=8

10.54. Nekaje brzinajednog tijela v" a drugog v,. Tada liZ lIslove zadatka moZeIOO pisati: (v,+v,)·12=100 i (v,-v,)·50= I 00 , pa smo dobili sistem od dvije jednacine sa dvije nepoznate cije rjesenje daje

trazene brzine kretanja tijeia. Sredivanjem jednacina sistema dobije se:

=>

3v, +3v, + 3(v, -v2 ) = 25 +6}

Vj -v] =: 2

31 m 19 m VI=-- , \'2=--'

6 S 6 s

10.55. Nekaje x brzina prvog, a y brzina drugog automobila. Tada vrijedi 9 9y 2x -.y+2x=210 I - =-8 8x y

pa furmiranjem i rjeSavanjem sistema:

3y = 4x } , dobijemo x=60, y=80. 9y+ 16x=1680

10.56. 14,45 krnIh i 0,85 km/h

10.57.

~ E :::: '.]' "::: .;~;:~ ,':;"" ::~'" ,":'::~M :':::m v

10.58. Nel;:aje osnoviea trougla a i krak b. Tad. vrijedi:

a+2b=30} ¢:> b+6+2b=30'} ¢:>

a=b+6 a=b+6

Osnoviea trouglaje a=14, a krak iznosi b=&.

10.59. a=14, b=5

b=& }. a=14

10,60. a=24, c= 16,

10,61. Nekaje t, temperatura toplije, a t, temperatura hladnije vode.

Tada vrijedi: 8(1, -66)=2(66-1,)} <;c;> 81, =660-21,} 7(1,-59)=3(59-1,) . 71, =590-31,

I, = 70+1, }

7(70 + I,) = 590 - 31, I, = 80}. I, = 10

10.62. Nekaje lopta ko'tala x KM. Ako je treci djecak daD y KM t d ' form irati slijedeci sistern: ' a a se moze

Ji+t(i+ y+5)+ y+5=x

l~(i+t(i+ y+s)+5)= Y

cijim rjesavanjem dobijemo x = 100. Lopta je kostala 100 KM.

10.63. U prvoj prodavniei cijena regalaje 600 KM, a u drugo; J'e 614 4 K , 100 ' , M.

10.64. Rezultat: x = - . 3

261 260

~---....... -----------"--'~."

,RATURA:

'* \1.1« rill,:' f _. \1.' EMATIKA za prvi razred srednje skok "Svjetlost" Sarajevo, 1998

2 i'~-'-Iaoagic S.: Ncjed{LlKosti izmedu brojnih sredina i njihova primjena Udruzenje matematicara Bosne i Hercegovine, Sarajevo,2000.

3, i!lIrackovic M.-Demirdzic I.: ELEMENTARNA MATEMATIKA za kvalifikacione i prijemne ispite Sarajevo, 1987

4. lIRkic B.: MA TEMA TIKA 2 zbirka zadataka za drugi razred gimnazije, Zagreb, 1994.

5. lHadziaganovi6 A.: Zbirka rijesenih zadataka iz matematike Odabrana poglavlja za nadarene ucenike srednje skole

DO "GRIN" Graeanica, 2000

6. Haujs Z.: Medunarodne matematicke olimpijade Zbirka rijesenih zadataka, "ELEMENT' Zagreb, 1997

7. Hod"ic A.: MATEMAT1KA za prvi razred uciteljske i tchnitke Skole, " OKO " Sarajevo, 1997

8. Huskic A.: MATEMATIKA za prvi razred srednje strucne skole, " Svjetlost " Sarajevo, 2000

9. S.Klasnja: KURS ELEMENTARNE MATEMATIKE, Sarajevo, 1963. 10 .. Mihailovic Y.: GEOMETRlJA za prvi razred gimnazije Beograd, 1972 1 L Mihailovic Y.: GEOMETRlJA za drugi razred gimnazijc Beograd, 1972 12. Mihailovi': Y.: ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ GEOMETRlJE

za drugi razred gimnazije Beograd, 1977

U .. Mintakovic S.: ZBlRKA ZADA TAKA IZ MA TEMA TlKE za prvi razred srednjih skola, Sarajevo, 1988.

14LMintakovic S.: ZBIRKA ZADATAKA IZ PLANIMETRIJE, Sarajevo, 1968 lSi_lNurkanovic M.-Nurkanovic Z.: ZBIRKA ZADATAKA lZ MATEMATIKE

za pripremanje pr'jjemnih ispita na fakultetima Tuzla, 199'7 1&.Stojanovic V.: MATEMATISKOP 3 odabrani zadaci za lIcenike srednjih

skola Beograd. 1988.

17'- TRIANGLE _ matematicki casopis za ucenike i nastavnike osnovnih i srednjih skola, UM Bosne i Hercegovine, Sarajevo, 1997-1999.

I ill. Vene B.: Zbirka zadalaka iz matematikc 1, Beograd, 1989. 1 'g. Zivkovic R.-Fatkic H.-Stupar Z.: ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE

sa rjesenjima uputama i rezultatima, Sarajevo, 1987.

SAD R Z A J

PREDGOVOR I. OSNOVNI POJMOVI MA TEMATICvKE " LOGlKE

2. OSNOVNI ELEMENT! TEORIJE SKUPOV A

3. SKUPOVI BROJEVA

3

5

8

3.1. hirodni brojevi (N) 3.2. Cl]eiI bro]evi (Z) 3.3. Racionalni brojevi (Q) 3.4. Realm brojevi (R ~ QUI)

16 18 19 23

4, ALGEBARSKI IZRAZI 4.1. Stepeni sa prirodnim eksponentom (izl" ) 4.2. Pohnomi OZlOcem

:'~'~' ~f~~ami.. Sa?iraf~e, oduzimanje i mnoienje manama . ..... 0 moml uJednoJ varijabli

4.2.3, Sabiranje, oduzimanje i mnoieniep ti 4 2 4 Di' r' t. " 0 nomo . .. fjeyenJe po moma. lVufe poUnama B

Hornerava shema . ezau/ova tearema.

4.2.5. Rastavljanje polinoma na proste faktore

5. RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

24 25 25 26 26

28 30

5.1. POJam 1 definisanost algebarskog racl'onal . 5 2 P ," .. nog Izraz.a 3 .. roslflvanJe 1 skraCivanje a1aebarsko raci I' 3

5.3. Do~odenje algebarskih raci~nalnih i!aza ~~::~g l~aza . . 33 5.4. SablranJe 1 oduzimanje alg b k'h' . ~. druckt nazlvmk 35 5 5 M ' . e axs 1 raclOnalruh lzraza .. .nozenJe algebarskih racionalnih izraza 35

5.6. D1JelJen]e algebarskih racionalnih izraza 37 5.7. OperaCl]e sa algebarskim racionaln' . . . 38 5.8. Dok' .. d 1m tzrazlma 38 5.9. Dok:;~:JU: ]neek~hakostidnekih algebarskih racionalnih izraza 40

1 neJe nakostl 5.10. Razni zadaci 42

6. GEOMETRIJA U RA VNI ~.~. ~d~darn~st (kongruentnost, sukladnost) trouglova .. .11zruca 1 krug. Centralni i periferijski ugao (kut)

6.3. MJerenJe uglova (kutova) 6.4. Vektori

43

44

46 47 48 49

263

6.5. Translacija i rotacija. Primjene 6.6. Centralna simetrija u ravni. Osobine centra1ne simetrije

6.7. Znacajne tacke trougla 6.8. Nejednakost trougla (trokuta) 6.9. Razni zadaci 0 trouglu (trokutu) 6.10. Cetverougao (cetverokut) 6.10.1. Paralelogram 6.10.2. Trapez 6.11. Povrsina geometrijskih figura u ravni 6.11.1. povrSina pravougaonika (pravokutnika)

6.11.2. povriiina paralelograma 6.11.3. povdina trougla (trokuta) 6.11.4. Povrsina trapeza 6.11.5. povrSina mnogoug1a (mnogokuta, poligona)

6.12. Geometrijske konstrukcije 6.12.1. Geametrijske konstrukcije traugla (trakuta) 6.12.2. Geametrijske kanstrukcije ('etveraugla (('e/Verakuta)

51 53 53 54 55 55 55 56 57 58 S9 59 61 63

63 65

7. FUNKCIJA DlREKTNE PROPORCIONALNOSTI

Y = kx. TOK I GRAFIK 65 7.1. Funkcijay ~ kx+n. Tok i grafik. 66

7.2. Funkcija obmute proporcionalnosti Y ~~, (k '" 0). Tok i grafik 67 x

8. LlNEARNE ,TEDNACINE (JEDNADZBE) 8.1. Ekvivalentne jednacine 68 8.2. Rjesavanje linearnihjednacina sajednom nepoznatom 68 8.3. Linearne jednaCine sa apsolutnim vrijednostima 71 8.4. Diskusija rjesenja lineame jednacine 72 8.5. Problemi koje rjesavamo pomocu linearnihjednacina sa

jednom nepoznatom 72

9. LINE ARNE NEJEDNACINE (NEJEDNADZBE) SA JEDNOM NEPOZNA TOM 75

10. SISTEMI (SUSTA VI) LlNEAR.l~IH JEDNACINA 10.1. Metode rjesavanja sistema lineamih jednacina 10.2. Neke primjene sistema linearnihjednaCina

RJESENJA, UPUTE, REZULTATI

LlTERATURA

264

78 82 85

262

Zbirka Zadataka Iz Matematike Za 1. Razr.sr. Kola

Documents

Transcript of Zbirka Zadataka Iz Matematike Za 1. Razr.sr. Kola