Zbirka Zadataka Iz Matematike 8 - Deo Zbirke i Sadrzaj

1

за осми разред основне школе

Вера ЈоцковићЂорђе Дугошија Владимир МићићВојислав Андрић

8��

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

�� =др Ариф Золић

Пера Цветиновић

Милица Прошић

�� =Жарко Јовић

�� =Слободанка Ружичић

�� =Милољуб Албијанић, директор и главни уредник

Министар просвете Републике Србије својим решењем број 650-

02-00173/2009-06 од 07. 07. 2009. године, одобрио је овај уџбеник

математике за издавање и употребу у седмом разреду основне

школе.

ISBN 978-86-17-16047-8

c ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ, Београд, 2009.

Ово дело се не сме умножавати и на било који начин репродуковати,

у целини нити у деловима, без писменог одобрења издавача.

�� 1.1. Талесова теорема ................................................................................................................................................. 71.2. Сличност троуглова .......................................................................................................................................... 81.3. Ставови сличности троуглова ..................................................................................................................... 111.4. Примена сличности на правоугли троугао .............................................................................................. 14

��, ��, ��2.1. Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни 152.2. Односи правих. Мимоилазне праве 192.3. Односи праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни 212.4. Односи две равни 242.5. Ортогонална пројекција на раван 27 2.6. Полиедар 31

�� 3.1. Појам једначине 343.2. Еквивалентне трансформације једначина 373.3. Примена линеарних једначина 413.4. Неједначине 453.5. Еквивалентне неједначине 493.6. Примена линеарних неједначина 53

�� 4.1. Призма. Појам, врсте, елементи 554.2. Мрежа призме 584.3. Површина призме. Површина усправне четворостране призме 614.4. Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме 634.5. Запремина призме. Запремина праве четворостране призме. Маса тела. Маса призме 664.6. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме 70

��5.1. Појам, врсте, елементи 725.2. Мрежа пирамиде................................................................................................ 785.3. Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде 785.4. Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде 815.5. Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде 84 5.6. Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде 86

Садржај1

2

3

4

5

�� 6.1. Функција y = kx + n 896.2. График линеарне функције 926.3. Нуле и знак линеарне функције 946.4. Ток (рашћење и опадање) линеарне функције 976.5. Имплицитни облик задавања линеарне функције 99

�� 7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина 1027.2. Стубични и кружни дијаграми 1047.3. Средња вредност и медијана 107

�� 8.1. Појам система линеарних једначина са две непознате 1118.2. Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате 1158.3. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене 117 8.4. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената 1198.5. Графички приказ решења система линеарних једначина са две непознате 1218.6. Примена система линеарних једначина са две непознате 125

��9.1. Ваљак и његови елементи 1289.2. Равни пресеци ваљка 1309.3. Мрежа ваљка; површина ваљка 1329.4. Запремина ваљка 135

�� 10.1. Купа и њени елементи 13710.2. Равни пресеци купе 13910.3. Мрежа купе; површина купе 14110.4. Запремина купе 144

� �� 11.1. Појам лопте и сфере 14811.2. Пресеци лопте (сфере) и равни 15111.3. Површина и запремина лопте 154

��, ��, �� 157

6

7

8

9

10

11

7

1. Dokaæi da pri paralelnom osvetqewu jednake duæi na jednoj pravoj imaju jednake senke na drugoj pravoj.

2. Neka su a i b dve samerqive duæi jedne prave i al, bl wihove senke baËene pri para-lelnom osvetqewu na drugu pravu. Dokaæi da su ali blsamerqive.

3. Neka paralelne prave seku krake nekog ugla pOq u taËkama A, B na kraku p odnosno Al, Bl na kraku q.

Ako je OA : OAl = 3 : 4, dokaæi da je AAl : BBl = 3 : 4.

4. Prave AAl i BBlsu paralelne. Odredi nepoznatu duæinu x prema slici:

q

p

A

O A'B'

B

20

12

4

x

q

p

A

O A' B'

B

x

10

15

20 q

p

A

O A' B'

B

16 x5 10

5. Dve paralele seku par pravih kao na slici. Odredi nepoznatu duæinu x.

x

4 6

12

x

4 6

12

1.1. Талесова теорема

! Подсети се

Ako paralelne prave na jednoj pravoj odsecaju duæi a i b a na drugoj al i bl (sl.1), onda vaæi a : b = al : bl.

�� 1

a

b

a' b'

a ba' b'

q

p

A

O A' B'

B

a) b) v)

a) b)

88

6. Na jednom kraku ugla nalaze se duæi duæina 3 i 4. Kroz wihove krajeve konstrui-sane su paralelne prave koje na drugom kraku odsecaju dva odseËka. Ako je duæina veÊeg 6 kolika je duæina maweg od wih?

7. Neka je ABCD trapez sa osnovicama AB i CD i M taËka kraka AD koja ga deli u razmeri 2 : 3. Prava kroz M paralelna osnovicama seËe krak BC u taËki N. Odredi BN : NC.

8. Podeli konstruktivno datu duæ: a) na 3 jednaka dela; b) u razmeri 2 : 3 : 5;

v) u razmeri :1 2 ; g) u razmeri :2 3 .

9. Na koordinatnoj ravni konstruisana je duæ kojoj je jedan kraj koordinatni poËetak a drugi taËka a) (32,76); b) ,29 48^ h. Koje celobrojne taËke su na toj duæi?

10. Kroz temena trougla konstruisane su prave paralelne naspramnih stranama. Do-kaæi da one ogradjuju trougao Ëije su stranice dva puta veÊe od stranica polaznog trougla.

11. Na stranicama AB i AC trougla ABC izabrane su taËke M i N, pri Ëemu je AM : AB =3 : 4 , AN : AC = 3 : 4. Ako je /BC/=5 odredi duæinu /MN/.

12. Osnovice trapeza su duæina a i b. Dve prave paralelne osnovicama dele jedan krak na tri jednaka dela. Odredi duæine duæi koje one grade sekuÊi trapez.

13. Konstruiπi duæi Ëije su duæine jednake x =ab, y =ab/c, z = a/b (a, b, c su duæine datih duæi, jediniËna duæ je 1 cm).

1.2. Сличност троуглова


Trougao ABC je sliËan trouglu KLM, u zapisu 9ABC ~9 KLM, ako je

\A = \K, \B = \L, \C = \M

OdgovarajuÊe stranice sliËnih trouglova su proporcionalne:

AB : KL = BC : LM = CA : MK = k

Odnos obima sliËnih trouglova jednak je koeficjentu sliËnosti k.

Odnos povrπina sliËnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sli Ënost k2.

1. Dat je trougao ABC. Konstruiπi wemu sliËan trougao KLM, ako je koeficijent

sliËnosti jednak: a) 2; b) 2

1 ; v) 3

2 ; g) 2 .

2. Dve paralele grade sa parom pravih koje se seku odseËke Ëija je duæina prikazana na slikama

9

x y

46 8

5

q

p

A

O A' B'

B

xy

5

3

4

a) Obeleæi i zapiπi koji su trouglovi sliËni. b) IzraËunaj nepoznate duæine x i y.

3. Da li su sliËni trouglovi Ëiia su dva ugla 24° i 42° odnosno 42° i 114°?

4. Dve paralele grade na kracima ugla odse-Ëke duæina prema slici. Odredi nepo-znate x i y.

5. Neka je k konstanta sliËnosti dva sliË-na trougla ABC i KLM. Kolika je raz-mera: a) teæiπnih duæi iz B i iz LC?

6. Neka je ABC ~ AlBlCl, AB = 12, BC = 15, BlCl = 40, AlCl = 24. Koliko je AC i AlBl?

7. Trougao ABC ima stranice AB = 3, BC = 9, CA = 8 cm. Obim wemu sliËnog trougla KLM je 30 cm. Odredi stranice tog trougla.

8. Trougao ABC ima stranice AB = 10, BC = 8, CA = 6 cm. Povrπina wemu sliËnog tro ugla KLM je 70 cm2. Odredi stranice tog trougla.

9. Neka su ABC i A1B1C1 sliËni trouglovi. Najduæa stranica trougla ABC je 24 cm, a najkraÊa visina trougla A1B1C1 je 10 cm. Ako je povrπina trougla A1B1C1 jednaka 60 cm2 izraËunaj povrπinu trougla ABC.

10. IzraËunaj duzinu x na slici ispod levo.

α

α

8

12 6

x

A Bx

4 7

C

84˚K M

L

y

9

6

11. Trouglovi ABC i KLM na slici iznad desno su sliËni. Odredi x,y, i \Kl.

x

y

4

10

8

5

1010

12. IzraËunaj hipotenuzu AC prema slici ispod levo.

A B

8

C

6 3E

D

A B8

C

5

2EDy

x

F

13. ABCD je paralelogram, AB = 8, AD = 5, CF = 2. Odredi x i y sa slike iznad desno.

14. Da li su sliËna dva jednakokraka trougla koji imaju dva jednaka tupa ugla?

15. Odredi uglove romba Ëije su dijagonale ,2 3 2 .

16. Da li su sliËni trouglovi Ëije stranice imaju duæine 3,6,7 i 4,5; 7,5 i 10,5?

17. IzraËunaj x : y prema podacima sa slike

18. Obim trougla ABC je 18. Ako je ABC ~ DEF, DE = 6, EF = 9, DF = 12 odredi stranice trougla ABC.

19. Stranice trougla su 3,4 i 5. Povrπina wemu sliËnog trougla je 24. Kolike su stra-nice drugog trougla?

20. Dato je ABC ~ DEF i AB = 12, BC = 10, EF = 15, DF = 9. Odredi DE i AC.

21. IgraË je udaqen 12 m od mreæe visoke 0,9 m. Sa koje visine treba da servira tenisku lopticu ako æeli da ona tik predje mreæu i padne 6m daleko u poqe protivnika?

A B8

C

5

2E

D

y

xF

1.3. Ставови сличности троугла


UU: Dva trougla su sliËna ako imaju dva odgovarajuÊa ugla jednaka.

RUR: Dva trougla su sliËna ako im je po jedan ugao jednak a stranice na wi-hovim kracima proporcionalne..

RRR: Dva trougla su sliËna ako su im odgovarajuÊe stranice proporcionalne.

1. Da li su sliËni trouglovi na slici:20

129 15

11

2. Koji od trouglova na slici su sliËni?

75˚ 75˚

12 2

4

2 2,5

1

2

453

330˚

3. Dokaæi da su trouglovi na koordinatnoj mreæi na sl. sliËni

4. Da li su sliËni trouglovi Ëije su stranice:

a) 15,18,7 odnosno 36,14, 30 cm;

b) , ,3 2 2 i , ,6 2 2 2 .

5. Neka su , ,h h ha b c duæine visina trougla T. Dokaæi

da se od duæi duæina jednakih , ,h h h

1 1 1

a b c

moæe kon-

struisati trougao sliËan trouglu T.

6. Dokaæi da ne postoji trougao Ëije visine imaju duæine 2,4,5.

7. Trougao ABC ima: A) stranice 3,5,6 cm; b) 4,5,6 cm, a visine trougla MNP su:

a) 40, 24, 20 mm; b) 15, 12, i 10 mm. Da li su ova dva trougla sliËna?

8. Neka se visine NA i MB trougla NMH seku u taËki O (vidi sliku).

A) OznaËi na slici jednake uglove.

B) Dokaæi da je NOB ~ MOA i izraËunaj MO, ako je NO = 21 cm, NB = 14 cm, MA = 12 cm.

V) Dokaæi da je NAH ~ MBH i izraËunaj NH, MB i BH, ako je AH = 3 m, MH = NA =4 m.

9. Neka su AA1 , BB1 , CC1 visine trougla ABC. Dokaæi da su sliËni trouglovi

a) ABB1 i ACC1; b) ABC i A1BC1 .

10. Dijagonale trapeza BCDE Ëije su osnovice BE i CD seku se u taËki H.

1. Dokaæi da je BHE ~ DHC.

2. IzraËunaj osnovicu CD ako je : a) BE = 32, BH = 28, HD = 21; b) BE = 36, EH = 32, CH = 24.

A

M

N HB

O

1212

3. IzraËunaj dijagonale trapeza ako je: 4. IzraËunaj osnovicu BE ako je: a) BE = 45, CD = 27, BH = 40, CH = 21; a) BD = 30, BH = 18, CD = 8; b) BE = 49, CD = 28, DH = 24, EH = 35. b) BD = 20, DH = 8, CD = 6.

11. Na stranici BC paralelograma ABCD izabrana je taËka M. Prava DM seËe pravu AB u taËki N.

1. Dokaæi da je BNM ~ AND

2. IzraËunaj stranicu AB ako je: a) AD = 25, BN = 8, BM = 10: b) NM = 6, BN = 8, DN = 15.

3. IzraËunaj stranice paralelograma ako je: a) AN = 15, BM = 8, BN = 6; b) BN = 6, BM = 1, AN = 18.

12. Dve tetive AB i CD kruænice k seku se u taËki M. Dokaæi da je 9MAD ~ 9MCB i MA · MB = MC · MD.

13. Kruænice k i k1 dodiruju se: a) iznutra; b) spoqa u taËki M. Prave p i q sadræe taËku M i seku ove kruænice redom u taËlkama A, A1 odnosno B, B1. Dokaæi da je 9AMB ~ 9A1MB1 i da je MA : MA1 = MB : MB1.

14. Kruænice k1 i k2 imaju zajedniËku tetivu AB. Tangenta u A na k1 seËe k2 u C. Tan-genta u B na k2 seËe k1 u D. Dokaæi: a) 9ABC ~ 9DAB; b) AB2 = AD · BC.

15. Neka su ABC i KLM dva trougla i \A = \K. Dokaæi da je

( )

( )

P KLM

P ABC

KL KM

AB AC

$

$=

16. Paralelne prave l i k seku stranice ugla \O u taËkama K, L, M i N. Iz tih taËaka konstruisane su normale na stranice ugla koje se seku u taËkama P i Q (vidi sliku). Dokaæi da su taËke O, P i Q kolin-earne.

17. Konstruisati trougao ABC ako je dato: a) polupreËnik opisanog kruga R, uglovi a i b; b) ugao a, visina ha , b : c = 3 : 4.

18. Dat je trougao ABC konstruisati kvadrat PQRS tako da PQ1AB, R!BC, S!AC.

L

M

NlB m

K

PQ

13

1.4. Примена сличности на правоугли троугао


Ako je ABC pravougli trougao sa pravim uglom \C, visina h iz temena C deli ga na dva pravougla trougla sliËna polaznom trouglu.

Iz ABC ~ CBD sledi a : b : c = p : h : a, a iz ABC ~ ACD sledi a : b : c = h : q : b.

Odavde nalazimo: , ,pc

aq

c

bh

c

abpq

2 2

= = = = .

A

CB a

b

q

p h

D

1. IzraËunaj duæine stranica pravouglog trougla ako je dato:

a) visina koja odgovara hipotenuzi h = 4 cm i odseËak p = 3 cm koji ona gradi na hipotenuzi;

b) kateta a = 12 cm i visina koja odgovara hipotenuzi h = 5 cm.

v) OdseËci p = 4 cm i q = 9 cm na koje visina deli hipotenuzu.

2. Konstruiπi pravougli trougao sa elementima iz prethodnog zadatka.

3. IzraËunaj duæinu dijagonala deltoida ABCD ako je \A = \C = 90° i AB = 5 cm, AD = 12 cm.

4. IzraËunaj stranice deltoida ABCD ako je \A = \C = 90°, dijagonala AC = 6 cm, a mawi odseËak dijagonale BD do preseËne taËke dijagonala je 4 cm.

5. IzraËunaj stranice deltoida ABCD ako je \A = \C = 90°, a odseËci na koje je di-jagonala BD razloæena preseËnom taËkom dijagonala su 12 cm i 3 cm.

6. Date su duæi a i b. Konstruiπi duæ duæine:

a) ab , b) a ab2

+ ; v) .a b ab2 2

+ +

7. Data je osnovica jednakokrakog trougla a = 20 cm i visina koja odgovara kraku h = 16 cm. U kojoj razmeri ona deli krak?

8. Trougao ABC je jednakokraki. Visina koja odgovara osnovici AB je 10 cm a visina koja odgovara kraku je 16 cm . Odredi stranice tog trougla.

9. IzraËunaj stranice pravouglog trougla kome je jedna kateta jednaka 6cm a odnos druge katete i hipotenuze je 4 : 5.

10. Konstruiπi pravougli trougao kome je hipotenuza 7 cm a razmera kateta a : b = 3 : 4.

1414

11. Iz dva naspramna temena pravougaonika spuπtene su normale na dijagonalu. Ako one dele dijagonalu na tri jednaka dela, odredi razmeru stranica pravougaonika.

12. Neka je ABCD pravougaonik stranice AB = 10 cm. Ako je rastojawe temena B do di-jagonale AC jednako 8 cm, izraËunaj povrπinu pravougaonika.

13. Podnoæje hipotenuzine visine udaqeno je od kateta pravouglog trougla 3 cm i 4 cm. IzraËunaj duæine stranica trougla.

14. Podnoæje hipotenuzine visine udaqeno je od srediπta kateta pravouglog trougla 3 cm i 4 cm. IzraËunaj duæinu hipotenuze.

15. Za katete sliËnih pravougaonih trouglova ABC i A1B1C1 vaæi b2 = 1 ‡a2 i b a412

12

= -

. Ako su O i O1 obimi, redom, trouglova ABC i A1B1C1, tada je:

a) O1 = 4O; b) O1=2

1 O; v) O1 = 2O; g) O1 = 2,5 O; d) O1 = O + 2.

Zaokruæite slovo ispred taËnog odgovora.

16. Neka su A1 i B1 podnoæja visina AA1 i BB1 troula ABC. SliËni trouglovi su:

a)ABC i A1BA; b) ABC i A1AB1; v)ABC i A1B1C ; g) ABC i AB1C .

Zaokruæite slovo ispred taËnog odgovora.

I ниво 1. Dve paralele odsecaju na dvema pravama koje se seku odse-

Ëke duæina prema slici. Odredi nepoznate duæine x i y.

2. Da li su sliËni trouglovi.

A B6

9

C

40˚ 40˚

2

3

3. Trouglovi ABC i KLM su sliËni. Obim trougla ABC je 32 cm a najmawa stranica je AB = 4 cm. Dve duæe stranice trougla KLM su 16 cm i 40 cm. Odredi najkraÊu stranicu trougla KLM.

� ��

x

y

43

6

5O

p

q

Zbirka Zadataka Iz Matematike 8 - Deo Zbirke i Sadrzaj

Documents

Transcript of Zbirka Zadataka Iz Matematike 8 - Deo Zbirke i Sadrzaj