Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v KošiciachPrírodovedecká fakulta

Zbierka úloh z fyziky elementárnych častíc

Vysokoškolský učebný text

Košice 2017 Marek Bombara

Zbierka úloh z fyziky elementárnych častíc

© 2017 Marek BombaraÚstav fyzikálnych viedPrírodovedecká fakulta UPJŠ Košice

Recenzenti:

prof. RNDr. Gabriela Martinská, CSc.Prírodovedecká fakulta UPJŠ v Košiciach

doc. RNDr. Júlia Hlaváčová, CSc.Fakulta elektrotechniky a informatiky Technickej univerzity v Košiciach

Vydavateľ: Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v KošiciachUmiestnenie: https://unibook.upjs.skDostupné od: 24. 03. 2017

ISBN 978-80-8152-496-7

Obsah

Úvod 4

Jednotky vo fyzike elementárnych častíc 6

1 Relativistická kinematika 7

1.1 Lorentzove transformácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Relativita súčasnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Kontrakcia dĺžky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Dilatácia času . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Netradičné skladanie rýchlostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Štvorvektory a invarianty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Energia a hybnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Neriešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Štandardný model 22

2.1 Leptóny a kvarky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Hadróny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Zákony zachovania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Neriešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Časticová dynamika 38

3.1 Feynmanove diagramy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Kvantová elektrodynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Kvantová chromodynamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Slabá interakcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Neriešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

4 Symetrie 56

4.1 Moment hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Nábojová združenosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5 CP symetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Neriešené príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Výsledky neriešených príkladov 71

Literatúra 74

3

Úvod

Táto zbierka úloh sumarizuje a dopĺňa cvičenia k prednáške Fyzika elementárnych častícrealizovanej na Univerzite Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach. Prednáška je určená hlavnepre študentov 1. ročníka magisterského stupňa odboru Jadrová a subjadrová fyzika, no jevhodná na rozšírenie si vedomostí aj pre ostatné fyzikálne odbory, prípadne medziodbo-rové štúdium.Členenie kapitol približne kopíruje poradie prednášok. Na začiatku sa študenti v krátkostioboznámia so základmi špeciálnej teórie relativity a jej praktickým použitím v časticovejfyzike. V kapitole Štandardný model je dôraz kladený na vlastnosti hadrónov, kvarkova leptónov a na kvantové čísla, ktoré sa zachovávajú (alebo nezachovávajú) v jednotli-vých interakciách. V tretej časti sa nachádza veľmi zjednodušený úvod do Feynmanovýchdiagramov, s úmyslom poskytnúť študentom aspoň kvalitatívny základ pre problematikuteoretických výpočtov interakcií a rozpadových procesov. Predposledná kapitola sa zame-riava na disktrétne kvantové čísla ako spin, parita alebo nábojová združenosť, ktoré úzkosúvisia so symetriami v prírode. Každá kapitola sa skladá z teoretickej časti popretkávanejriešenými príkladmi, kde sú vysvetlené základné pojmy a vzťahy potrebné k uspešnémuvyriešeniu neriešených príkladov umiestnených na konci kapitoly. Výsledky niektorých ne-riešených príkladov sú uvedené na konci zbierky spolu s tabuľkou Clebsch-Gordanovýchkoeficientov podľa Physical Review D z roku 2002. V niektorých prípadoch neriešenýchpríkladov je potrebné siahnuť po prednáškovom kurze. Zbierka obsahuje okolo 160 rieše-ných a neriešených príkladov.Zdroje väčšiny príkladov sú uvedené na konci v časti Literatúra. Prednáškový kurz je in-špirovaný hlavne učebnicou Introduction to Elementary Particles od D. Griffithsa, ktorúosobne považujem za najlepší úvod do problematiky z pedagogického hľadiska. Informačneju výborne dopĺňajú (hlavne z experimentálneho pohľadu) učebnice Introduction to Ele-mentary Particle Physics od A. Bettiniho a Particle Physics od autorov B.R. Martina a G.

4

Shawa. Študentom a záujemcom o danú oblasť odporúčam prečítať si všetky spomenutétituly.

Autor

5

Jednotky vo fyzike elementárnych častíc

Mikroskopické objekty ako elementárne častice sú poväčšine malé, ľahké a rýchle, pretosa vo fyzike elementárnych častíc zaužívali iné jednotky ako ich poznáme v sústave SI.

• Vzdialenosť sa udáva vo femtometroch (alebo fermi). V systéme SI má jeden fem-tometer veľkosť: 1 fm = 10−15 m. Napr. jadro vodíka (protón) by malo mať rozmer1 fm.

• Čas sa udáva v jednotkách fm/c, kde c je rýchlosť svetla, čiže ide o čas, ktorýpotrebuje svetlo na zdolanie vzdialenosti fm. 1 fm/c zodpovedá v jednotkách SIpribližne času 10−23 s, čo je typická doba života hadrónov, ktoré sa rozpadávajúprostredníctvom silnej interakcie.

• Rýchlosť sa obyčajne udáva v zlomkoch rýchlosti svetla: β = v/c.

• Energiu meriame v elektrónvoltoch (eV). Jeden elektrónvolt je energia, ktorú získaelektrón urýchlený vo vákuu napätím 1 Voltu (1 eV = 1,60218 ×10−19 J).

• Hybnosť sa meria v eV/c.

• Hmotnosť sa meria v eV/c2. Napr.hmotnosť elektrónu vo fyzike elementárnychčastíc je 0,510999 MeV/c2, a v jednotkách SI je 9, 10938× 10−31 kg.

V odbornej literatúre a v niektorých učebniciach sa často pracuje s jednotkami, kde~ = c = 1, čo nám dáva rovnaké jednotky pre energiu, hybnosť a hmotnosť, ako napríkladvo vzťahu pre celkovú energiu voľnej častice: E =

√p2 +m2.

6

Kapitola 1

Relativistická kinematika

Relativistická kinematika je kinematikou vo svete elementárnych častíc, ktoré sa, vďakasvojej malej hmotnosti, pohybujú často veľmi rýchlo, a preto sa na ich pohyb musiaaplikovať zákony špeciálnej teórie relativity. Cieľom tejto kapitoly je naučiť sa používaťzákladné relativistické vzťahy vo fyzike elementárnych častíc.

1.1 Lorentzove transformácie

Jeden z dvoch základných postulátov špeciálnej teórie relativity hovorí, že fyzikálne zákonyplatia rovnako vo všetkých inerciálnych vzťažných sústavách (druhý postulát vraví, žerýchlosť svetla je univerzálna a rovnaká v každej sústave).Majme dve inerciálne vzťažné sústavy S a S ′, pričom S ′ sa pohybuje vzhľadom k S

rovnomernou rýchlosťou v. Nech sú súradnicové systémy oboch sústav definované tak,že S ′ sa pohybuje od S rýchlosťou v v smere osi x, t.j. ~v = (v, 0, 0) (obr. 1.1). Určimesi zároveň aj počiatočný bod v priestore a čase, od ktorého sa S ′ začala rovnomernevzďaľovať od S: x = x′ = 0 a t = t′ = 0. Nech v sústave S nastane nejaká udalosť (x, y, z)v čase t. Aké budú priestorovo-časové súradnice (x′, y′, z′) a t′ tej istej udalosti v sústaveS’?

Odpoveď dávajú Lorentzove transformácie:

x′ = γ(x− vt) (1.1)

y′ = y (1.2)

z′ = z (1.3)

7

Obr. 1.1: Inerciálne vzťažné sústavy S a S′

t′ = γ(t− v

c2x) , (1.4)

pričomγ ≡ 1√

1− v2/c2=

1√1− β2

. (1.5)

Inverzné transformácie nám zase dajú odpoveď na priestorovo-časové súradnice udalostiv S ′ z pohľadu S:

x = γ(x′ + vt′) (1.6)

y = y′ (1.7)

z = z′ (1.8)

t = γ(t′ +v

c2x′) . (1.9)

Lorentzove transformácie majú niekoľko dôležitých dôsledkov: relativita súčasnosti, kon-trakcia dĺžky, dilatácia času a netradičná transformácia rýchlosti.

1.2 Relativita súčasnosti

Ak dve udalosti nastanú v tom istom čase v inerciálnej vzťažnej sústave S, ale na roz-dielnych miestach, potom tieto dve udalosti nenastanú v tom istom čase v inerciálnejvzťažnej sústave S ′. Definujme si udalosť A v sústave S priestorovo-časovými súradni-cami A: (xA, yA, zA, tA) a udalosť B súradnicami (xB, yB, zB, tB). Ak sa tieto dve udalosti

8

udiali v ten istý čas (no nie na tom istom mieste), t.j. ak tA = tB, a zároveň xA 6= xB

potom tie isté udalosti sa v S ′ odohrajú v inom čase:

t′A = t′B +γv

c2(xB − xA) , (1.10)

keďže rozdiel xB−xA je nenulový, potom tA 6= tB. T.j. udalosti, ktoré sú súčasné v jednejinerciálnej sústave, nie sú súčasné v iných.

1.3 Kontrakcia dĺžky

Dĺžka pohybujúceho sa objektu je skrátená faktorom 1/γ oproti sústave, kde je objektv pokoji. Majme napríklad palicu dĺžky L′ ležiacu na osi x′, pričom jeden koniec leží vpočiatku x′ = 0. Druhý bude mať teda x′ = L′. Aká je dĺžka tejto palice v sústave S?Dĺžka palice v S bude L = L′/γ. Pripomeňme si, že faktor γ (vzťah 1.5) je vždy väčší ako1. Kontrakcia dĺžky pôsobí len v smere pohybu. Rozmery kolmé na smer pohybu nebudúzmenené.

Príklad

Kozmonaut Karol letí rýchlosťou v = 4/5c smerom k Zemi. Pozorovateľ na Zemi vidí jehoraketu vo vzdialenosti 103 km. V akej vzdialenosti vidí Zem kozmonaut Karol?Riešenie

Rozmery sa skracujú v smere pohybujúceho sa objektu. Faktor skrátenia je určený po-mocou γ = 1/

√1− β2, pričom β = v/c = 4/5. Po dosadení dostaneme:

γ = 1/√

1− (4/5)2 = 5/3

L = L′/γ = 103/(5/3).= 667 km .

Karol teda uvidí Zem vo vzdialenosti približne 667 kilometrov.

1.4 Dilatácia času

Čas pohybujúceho sa objektu plynie pomalšie vzhľadom k sústave, kde sa daný objektnepohybuje. Čas T ′ v sústave S ′ bude v sústave S: T = γT ′. To znamená, že časový

9

interval medzi dvomi udalosťami meraný hodinami v S bude dlhší ako v S ′.Táto vlastnosť sa bohato využíva v časticovej fyzike pri urýchľovaní alebo detekcii nesta-bilných častíc - čím bližšie k rýchlosti svetla sa častica pohybuje, tým dlhší čas jej trvá,kým sa rozpadne (v sústave spojenej s detektorom). 1

Príklad

Kozmonaut Karol chce preletieť Galaxiu (priemer Galaxie je približne stotisíc svetelnýchrokov). Letí rýchlosťou v = 99.999999% rýchlosti svetla. Aký čas mu to potrvá? Aký časuplynie na Zemi?Riešenie

Na Zemi uplynie čas: t = s/v, t.j. T = 100 000 / 0.99999999 .= 100 000 rokov. Čas v

sústave spojenej s Karolom plynie pomalšie vzhľadom na čas spojený so Zemou:

T ′ = T/γ = 100000×√

1− 0, 999999992 = 100010× 0.0001414.= 14, 1 rokov .

Karol by pri rýchlosti v = 0, 99999999c preletel Galaxiu za približne 14 rokov.

1.5 Netradičné skladanie rýchlostí

Predpokladajme, že sa častica pohybuje rýchlosťou u′ v sústave S ′. Aká bude jej rýchlosťu v sústave S? Z Lorentzových transfomácií vyplýva "netradičné" skladanie rýchlostí:

u =u′ + v

1 + (u′v/c2)(1.11)

Vidíme, že pre malé rýchlosti faktor u′v/c2 ide k nule a dostávame skladanie rýchlostí akoho poznáme v klasickej mechanike.

Príklad

Kozmonaut Karol letí rýchlosťou 3/5c oproti kozmonautke Betke, ktorá letí rýchlosťou4/5c. Akou rýchlosťou letí Betka z Karolovho pohľadu podľa nerelativistickej mechanikya akou podľa relativistickej?

1Stredné hodnoty doby života v tabuľkách sa uvádzajú pre častice v pokoji.

10

Riešenie

V nerelativistickom prípade dostaneme klasické skladanie rýchlostí: u = 3/5c + 4/5c =

7/5c, čiže rýchlosť vyššiu ako rýchlosť svetla. V relativistickom prípade:

u =u′ + v

1 + (u′v/c2)=

3/5c+ 4/5c

1 + (3/5)× (4/5)=

7/5c

37/25=

175

185c.= 0.95c

Karol nameria Betke rýchlosť 0.95c.

Pomôcky na zapamätanie si:

• Faktor γ je vždy väčší ako 1.

• Pohybujúce sa predmety sú skrátené (faktorom γ) v smere pohybu.

• Pohybujúce sa hodiny sú spomalené (faktorom γ).

• Skladanie rýchlostí si môžeme zapamätať aj v takejto forme:

vAC =vAB + vBC

1 + vABvBC/c2, (1.12)

pričom vAB - rýchlosť objektu A vzhľadom na objekt B, vBC - rýchlosť objektu Bvzhľadom na objekt C a vAC - rýchlosť objektu A vzhľadom na objekt C.

1.6 Štvorvektory a invarianty

Je výhodné si zjednodušiť výpočty zavedením časopriestorového štvorvektora xµ, µ = 0,1, 2, 3, kde:

x0 = ct (1.13)

x1 = x (1.14)

x2 = y (1.15)

x3 = z . (1.16)

Lorentzove tranformácie do sústavy S ′ potom budú mať rovnaký tvar:

x0′ = γ(x0 − βx1) (1.17)

11

x1′ = γ(x1 − βx0) (1.18)

x2′ = x2 (1.19)

x3′ = x3 . (1.20)

Vo všeobecnosti veličina a = (a0,~a) sa nazýva štvorvektor, ak sa transformuje podľaLorentzových transformácií ako (ct, x). Nie všetky veličiny sa menia pri prechode do inejsústavy. Veličiny ktoré nemenia svoju hodnotu pri prechode do inej sústavy nazývameinvariantné. Invariant je teda veličina, ktorá má tú istú hodnotu vo všetkých inerciálnychvzťažných sústavách. Napríklad pre časopriestorový štvorvektor je invariantom:

I = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 = (x0′)2 − (x1′)2 − (x2′)2 − (x3′)2 . (1.21)

Túto vlastnosť štvorvektorov budeme často využívať pri prechodoch z laboratórnej sú-stavy (LS - Laboratory System) do ťažiskovej sústavy (CMS - Centre of MomentumSystem), resp. do pokojovej sústavy častice (RMS - Rest Mass System). Skalárny súčindvoch štvorvektorov je taktiež invariantná veličina a je definovaný ako:

a.b = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 = a0b0 − ~a.~b . (1.22)

To isté platí aj pre skalárny súčin toho istého štvorvektora:

a2 ≡ a.a = a0a0 − ~a2 . (1.23)

Keďže súčet alebo rozdiel štvorvektorov je takisto štvorvektor, potom aj štvorec súčtualebo rozdielu štvorvektorov je takisto invariantná veličina. Ak pre každý súbor štvor-vektorov qi = (q0

i , q1i , q

2i , q

3i ), definujeme súčet štvorvektorov q =

∑i qi, potom štvorec

štvorvektora q2 je invariantná veličina:

q2 =

(∑

i

q0i

)2

−(∑

i

q1i

)2

−(∑

i

q2i

)2

−(∑

i

q3i

)2

. (1.24)

1.7 Energia a hybnosť

Hybnosť je v relativistickej kinematike definovaná ako:

p = γmv =mv√

1− v2/c2. (1.25)

12

Vzťah 1.25 predstavuje priestorové zložky štvorvektora hybnosti. Časová zložka je defino-vaná ako:

p0 = γmc . (1.26)

Definujme relativistickú energiu ako:

E = γmc2 =mc2

√1− v2/c2

. (1.27)

Nultá zložka štvorvektora hybnosti pµ je teda rovná E/c.Energia a hybnosť spolu tvoria štvorvektor - štvorvektor energie-hybnosti alebo skráteneštvorhybnosť:

pµ = (E

c, px, py, pz) . (1.28)

Vypočítaním invariantu, dostaneme:

E2

c2− p2 = m2c2 . (1.29)

Hmotnosť voľnej častice je teda invariantná veličina! Pre klasickú mechaniku sú podstatnézmeny v energii, nie energia samotná. V relativistickej kinematike má častica nenulovúenergiu aj keď sa nepohybuje, alebo sa nenachádza v žiadnom poli. Energia pri v = 0 sanazýva pokojová energia:

R ≡ mc2 . (1.30)

Príklad

V experimente bola pomocou dráhových detektorov určená hybnosť kladne nabitej častice|p| = 1 GeV/c. Prostredníctvom kalorimetrov bola zase nameraná celková energia časticeE = 1,37 GeV. O akú časticu ide?Riešenie

Na identifikáciu častice potrebujeme zistiť jej hmotnosť. Použijeme vzťah 1.29:

m =1

c

√E2

c2− p2 =

1

c

√1.372

c2− 12 .

= 0, 94 GeV/c2 .

Pohľad do tabuliek napovie, že s najväčšou pravdepodobnosťou ide o protón.

Kinetická energia je v relativistickej kinematike definovaná ako rozdiel celkovej a pokojovejenergie:

T = E −R = mc2(γ − 1) . (1.31)

13

Čo ak m = 0? V klasickej mechanike takáto možnosť nemá veľmi zmysel (hybnosť akinetická energia by boli nulové), v relativite má zmysel len keď v = c. Naozaj pozorujeme,že nehmotné častice sa pohybujú rýchlosťou svetla (stále). Pre celkovú energiu nehmotnejčastice platí:

v = c, E = |p|c (1.32)

Vzťah 1.27 platí teda pre hmotnú časticu. V ďalšom uvádzame niektoré vzťahy, ktoré sanám neskôr zídu pri výpočtoch. Príslušné Lorentzove transformácie pre štvorhybnosť sú:

E ′ = cγ(E/c− βpx) (1.33)

p′x = γ(px − βE/c) (1.34)

p′y = py (1.35)

p′z = pz . (1.36)

Užitočné vzťahy pre rýchlosť:

v =pc2

E(1.37)

β =pc

E. (1.38)

Základný vzťah pre celkovú energiu voľnej elementárnej častice:

E =√

p2c2 +m2c4 . (1.39)

Príklad

Záporne nabitej častici bola v experimente nameraná hybnosť 1,19 GeV/c a rýchlosťβ = 0, 78. O akú časticu ide?Riešenie

Príklad sa dá vyriešiť dvoma spôsobmi. V prvom najprv vypočítame energiu pomocouvzťahu 1.38:

E =pc

β=

1, 19c

0, 78= 1, 52 GeV .

Potom využijeme vzťah 1.39:

m =1

c2

√E2 − p2c2 =

1

c2

√1, 522 − 1, 192 .

= 0, 943 GeV/c2 .

14

Najbližšia tabuľková hodnota hmotnosti pre nabitú časticu k vypočítanej hodnote je prehmotnosť protónu. Keďže častica je nabitá záporne, pôjde o antiprotón. V druhom spô-sobe výpočtu by sme si zvolili vzťah 1.25, kde sa dá hmotnosť vypočitať priamo pomocouhybnosti a rýchlosti.

Oblasťou, kde každodenne využívame relativistickú kinematiku, sú relativistické zrážkyčastíc (napr. v urýchľovačoch). Majme interakciu A + B → C + D. V relativistickýchzrážkach sa energia a hybnosť zachovávajú, t.j. pre celkovú energiu platí zákon zachovania:

EA + EB = EC + ED .

Pre hybnosť taktiež:~pA + ~pB = ~pC + ~pD .

Oba zákony možeme vyjadriť skrátene v tvare:

pµA + pµB = pµC + pµD .

Na rozdiel od klasickej mechaniky, hmotnosť sa (vo všeobecnosti) nezachováva! Napr.

π0 → γ + γ ,

t.j. celková energia vo forme pokojovej energie (ak je pión v pokoji) sa zmenila na kinetickúformu.

Príklad

Dva protóny sa zrážajú v CMS s energiou 13 TeV (LHC). Akú energiu má jeden protónv pokojovej sústave druhého protónu? Porovnajte výsledok s kozmickým žiarením s naj-vyššou energiou (∼ 1020 eV).Riešenie

Pomôžeme si invariantnou hmotnosťou, ktorá je rovnaká v každej sústave. Invariantnáhmotnosť sústavy dvoch protónov v CMS sa musí rovnať invariantnej hmotnosti dvochprotónov v sústave jedného z nich (LS):

(E∗1 + E∗2)2 − (~p∗1 + ~p∗2)2c2 = (E1 + E2)2 − (~p1 + ~p2)2c2

v CMS je (~p∗1 + ~p∗2)2c2 = 0 a (E∗1 + E∗2)2 = (13 TeV)2. V sústave, kde je jeden protón vpokoji (t.j. E1 = mpc

2 a |~p1| = 0) je invariantná hmotnosť:

(mpc2 + E2)2 − (~p2)2c2 = m2

pc4 + 2E2mpc

2 + E22 − (~p2)2c2 = 2m2

pc4 + 2E2mpc

2 ,

15

pričom sme využili vzťah 1.39. Po odvodení dostaneme pre energiu protónu v sústave, kdeje druhý protón v pokoji:

E2 =(E∗1 + E∗2)2 − 2m2

pc4

2mpc2.

Ak zanedbáme hmotnosť v čitateli a položíme mp.= 1 GeV/c2, dostaneme

(13 TeV)2/2 GeV = 85 PeV, čo je stále menej ako energia najenergetickejšieho kozmickéhožiarenia.

Z pohľadu relativistickej kinematiky môžeme rozdeliť veličiny na štyri typy:

• veličiny, ktoré sa zachovávajú v danej sústave, no nie sú invariantné (t.j. sú rôzne viných vzťažných sústavách), napr. energia alebo hybnosť.

• veličiny, ktoré sú invariantné (t.j. sú rovnaké v každej sústave), ale sa nezachovávajú(napr. hmotnosť) v danej sústave.

• veličiny, ktoré sa nezachovávajú a nie sú invariantné (napr. rýchlosť)

• veličiny, ktoré sú invariantné a zároveň sa zachovávajú (napr. celkový elektrickýnáboj)

Neriešené príklady

1.1 Podľa hodín pri ceste (sústava S) boli pouličné lampy A a B (vzdialené od seba 4km) obe naraz zapnuté o 20:00. Ktorá sa zapla skôr podľa pozorovateľa vo vlaku(sústava S ′), ktorý sa pohybuje z A do B rýchlosťou 3/5c? O koľko sekúnd neskôrsa zaplo druhé svetlo?

1.2 Ako sa transformuje objem? (Ak má teleso objem V ′ vo svojej pokojovej sústave S ′,aký je jeho objem meraný v sústave S, voči ktorej sa pohybuje rýchlosťou v?)

1.3 Ako sa transformuje hustota? (Ak teleso obsahuje ρ′ molekúl na jednotku objemu vpokojovej sústave S ′, koľko molekúl na jednotku objemu bude obsahovať v sústaveS?)

16

1.4 Mióny v kozmickom žiarení sa produkujú vysoko v atmosfére (povedzme 8000 m) aletia k Zemi rýchlosťou blízkou c (povedzme 0.998c). Ak je doba života miónu 2.2×10−6 s, akú vzdialenosť prejde podľa klasickej a akú podľa relativistickej kinematiky?Dosiahne zemský povrch? Vysoko v atmosfére sa takisto produkujú pióny, no ichdoba života je oveľa kratšia (2.6× 10−8 s). Predpokladajme tú istú rýchlosť aj prepióny (0.998c). Dosiahnu zemský povrch?

1.5 Polovica miónov v monoenergetickom zväzku sa rozpadne do 600 m. Akú majúrýchlosť?

1.6 Zločinec uniká v ukradnutom aute rýchlosťou 3/4c, policajt po ňom vystrelí náboj zosvojho auta, ktoré ide rýchlosťou len 1/2c. Rýchlosť náboja vzhľadom na policajta je1/3c. Zasiahne náboj zločinca podľa klasickej fyziky? A podľa relativistickej fyziky?

1.7 Dve hrudky hliny rovnakej hmotnosti m sa čelne zrážajú, každá v rýchlosti 3/5c.Pri zrážke sa zlepia. Aká je hmotnosť M takto zloženej hrudky?

1.8 Častica v pokoji s hmotnosťouM sa rozpadne na dve častice s rovnakou hmotnosťoum. Aká je ich rýchlosť?

1.9 Pión v pokoji sa rozpadne na mión a neutríno. Aká je rýchlosť miónu?

1.10 Vypočítajte predchádzajúci príklad pomocou štvorvektora energie-hybnosti.

1.11 Dve identické častice, každá s hmotnosťou m a kinetickou energiou T sa čelne zrá-žajú. Aká je ich relatívna kinetická energia T ′ (t.j. kinetická energia jednej z nich vpokojovej sústave tej druhej)?

1.12 Na výpočet relatívnej kinetickej energie z predchádzajúceho príkladu použite štvor-vektorový formalizmus.

1.13 Pión letiaci rýchlosťou v sa rozpadne na mión a antineutríno. Antineutríno vyletípod uhlom 90 stupňov vzhľadom k pôvodnej dráhe piónu. Pod akým uhlom vyletímión?

1.14 Pión v pokoji sa rozpadne na mión a antineutríno. Akú priemernú vzdialenosť prejdemión predtým ako sa rozpadne?

17

1.15 Častica letiaca rýchlosťou u sa približuje k identickej častici, ktorá je v pokoji. Akáje rýchlosť (v) oboch častíc v ich ťažiskovej sústave?

1.16 Častica A (s energiou E) interaguje s časticou B, ktorá je v pokoji. V interakcii savyprodukujú častice C1, C2, ...: A + B→ C1 + C2 + ... + Cn. Vypočítajte prahovúenergiu pre túto reakciu v závislosti od hmotností jednotlivých častíc.

1.17 Použi výsledok z predchádzajúceho príkladu na výpočet prahovej energie potrebnejna priebeh reakcie: p+ p→ p+ p+ π+ + π−.

1.18 Fotón s vlnovou dĺžkou λ sa pružne zráža s nabitou časticou hmotnosti m a odrazísa pod uhlom θ. Aká je jeho vlnová dĺžka λ, po odraze?

1.19 Hybnosť nalietavajúceho protónu v zrážke p+Be pri vzniku J/ψ mala hodnotu 28.5GeV/c. Vypočítajte energiu zrážky v ťažiskovej sústave.

1.20 Hlbokonepružný rozptyl elektrónov na protónoch bol študovaný na urýchľovačiHERA. Elektróny s energiou 30 GeV sa zrážali čelne s protónmi s energiou 820GeV. Vypočítajte energiu tejto zrážky. Akú energiu by musel mať elektrónový zvä-zok v pokojovej sústave protónu?

1.21 Vysokoenergetické zväzky neutrín sa môžu vytvoriť použitím rozpadov vysokoener-getických nabitých piónov a kaónov: π± → µ± + νµ(νµ), K± → µ± + νµ(νµ). Akáčasť piónov a kaónov vo zväzku s energiou 200 GeV sa rozpadne do vzdialenosti 100m? Aká je minimálna a maximálna energia neutrína v oboch prípadoch?

1.22 Odhadnite kinetickú energiu Boeingu 747 (hmotnosť M = 400 t) pri letovej rých-losti (850 km/h) a porovnajte ju s energiou uvoľnenou pri anihilácii páru komár-antikomár.

1.23 Tri protóny majú hybnosť rovnú v absolútnej hodnote, p = 3 GeV/c a smery 120stupňov od každého. Aká je invariantná hmotnosť takéhoto systému?

1.24 Uvažujte doby života slabých rozpadov π± : τπ = 26 ns, K± : τK = 12 ns aΛ : τΛ = 0.26 ns a vypočítajte ich šírky.

1.25 Uvažujme proces γ+p→ p+π0 (fotoprodukcia π0). Vesmír je vyplnený elektromag-netickým žiarením s priemernou teplotou T = 3K. Príslušné maximum v rozdelení

18

Planckovej energie je pri 0.37 meV. Nech najvyššia energia fotónov v tomto žiareníje Eγ,3K ≈ 1 meV. Nájdite minimálnu energiu Ep kozmických protónov potrebnú naindukovanie fotoprodukcie π0.

1.26 Vypočítajte energie a hybnosti v CMS pre koncové častice v rozpadoch Λ→ p+π−

a Ξ− → Λ + π−.

1.27 Nájdite vzťahy pre výpočet energie a hybnosti pre koncové častice v rozpade M →m1 +m2 v CMS, ak hmotnosť m2 je nulová.

1.28 Šarmantný mezón D0 sa rozpadáva na K− + π+ vo vzdialenosti d = 3 mm odmiesta produkcie. Ak zmeriame celkovú energiu produktov rozpadu dostaneme 30GeV. Ako dlho v skutočnosti D mezón žil? Aká veľká je hybnosť π+ v sústave kdeje D v pokoji?

1.29 Primárny zväzok synchrotrónu je použitý na vytvorenie sekundárneho monochro-matického zväzku π−. Pozoruje sa, že vo vzdialenosti l = 20 m od produkčnéhomiesta sa rozpadne vo zväzku 10% piónov. Vypočítajte hybnosť a energiu piónov.

1.30 Mezón π0 sa rozpadáva a emituje jeden fotón s energiou E1 = 150 MeV v smerepohybu. Aký je smer pohybu druhého fotónu? Aká je jeho energia E2? Aká je rýchlosťπ0?

1.31 Mezón π+ sa produkuje vo výške 30 km s energiou Ep = 5 GeV nad povrchom Zemev zrážke kozmického žiarenia. V akej vzdialenosti vidí pión povrch Zeme vo svojejpokojovej sústave? Akú vzdialenosť prejde vo vzťažnej sústave Zeme počas strednejdoby života?

1.32 Nájdite kinetickú energiu miónu v rozpade π+ → µ++νµ za predpokladu, že neutrínomá nulovú hmotnosť.

1.33 Vypočítajte prahovú energiu zrážky p+ p→ p+ p+ p+ p, v prípade keď terčíkovýprotón je viazaný v jadre a má Fermiho hybnosť pf = 150 MeV. Pre nalietavajúciprotón použite aproximáciu pp ≈ Ep.

1.34 Vodíková bublinová komora bola vystavená zväzku π− s hybnosťou 3 GeV/c. Pozoru-jeme interakciu, kde vzniklo niekoľko neutrálnych častíc a dve V0 častice smerujúcedo primárneho vrcholu. Merajúc dráhy jednej z nich sme dostali pre záporne nabitú:

19

p− = 121 MeV/c, θ− = −18.2o, φ− = −15o a pre kladne nabitú: p+ = 1900 MeV/c,θ+ = 20.2o, φ+ = −15o. Čo je to za časticu? Predpokladajme, že chyba meranianám dá ±4% zrekonštruovanej hmotnosti V0.

1.35 Vypočítajte vzdialenosť akú prejde K∗ s hybnosťou p = 90 GeV/c za čas zodpove-dajúci strednej dobe života tejto častice.

1.36 Odhadnite strednú vzdialenosť, ktorú prejde rezonancia (τ = 10−23 s) produkovanáv procese π−+p→ X0 +n s γ = E/(mc2) ≈ 10 predtým ako sa rozpadne v proceseX0 → π+ + π−. Porovnajte to s najmenšou vzdialenosťou aká sa dá experimen-tálne merať (∼ 1 µm) a s dosahom silnej interakcie. Prečo je porovnanie s dosahomdôležité?

1.37 Na urýchľovači sa zrážajú dve vysoko energetické častice A a B s energiami EA aEB, ktoré sú oveľa väčšie ako ich hmotnosti, pod uhlom θ. Ukážte, že celková energiazrážky v CMS je rovná E2

CM = 2EAEB(1 + cosθ).

1.38 Vypočítajte minimálnu energiu (piónov) potrebnú na produkciu Λ(1115) v silnejinterakcii π− + p, v sústave, kde p je v pokoji.

1.39 Nájdite hybnosť piónu, ktorý má kinetickú energiu T = 200 MeV.

1.40 Nájdite kinetickú energiu protónu, ktorý má hybnosť p = 5 MeV/c.

1.41 Akú vzdialenosť prejde zväzok miónov s kinetickou energioua) 1 MeVb) 100 GeVpredtým, než je jeho intenzita znížená na polovicu počiatočnej intenzity?

1.42 Aká musí byť minimálna kinetická energia piónu, aby sa uskutočnil proces p+π− →Λ0 +K0 (predpokladáme, že protón je v pokoji)?

1.43 Nájdite dve reakcie, ktoré vedú k tvorbe Ξ− a vypočítajte ich prahovú energiu.

1.44 Na urýchľovači RHIC sa uskutočňujú zrážky Au+Au s celkovou kinetickou energiou200 GeV/A.a) Nájdite relativistické faktory γ a β iónov zlata.b) Ak je priemer jadra zlata R ∼ 8 fm, aký je pozdĺžny rozmer zrážajúcich sa

20

zväzkov?c) Aká je celková energia, dostupná pre tvorbu častíc?d) Ak by bol jeden zväzok zlatých jadier nahradený terčom, akú energiu by muselmať druhý zväzok, aby sme dosiahli rovnakú energiu v ťažiskovej sústave?

21

Kapitola 2

Štandardný model

Teória, ktorá popisuje vlastnosti a vzájomné interakcie kvarkov a leptónov, sa všeobecnenazýva Štandardný model elementárnych častíc. Štandardný model obsahuje tri dyna-mické teórie spojené s troma interakciami: kvantová elektrodynamika, elektroslabá teóriaa kvantová chromodynamika. Predpovede Štandardného modelu boli experimentálne ove-rené v širokom intervale energií zrážok (až po ∼ TeV na LHC). Vieme však, že táto teórianie je konečná vzhľadom na množstvo parametrov, ktoré sa dajú získať len experimen-tálne a nijako nevyplývajú z teórie (napr. hmotnosti kvarkov a leptónov). V tejto kapitolesa zoznámime s vlastnosťami fundamentálnych častíc - kvarkov a leptónov a taktiež svlastnosťami hadrónov - častíc zložených z kvarkov.

2.1 Leptóny a kvarky

Na súčasnom stupni poznania sa javí, že hmota je zložená z troch druhov elementárnychčastíc: leptónov, kvarkov a prenášačov (sprostredkovateľov) interakcií. Existuje šesť lep-tónov rozdelených podľa náboja (Q), leptónového elektrónového čísla (Le), leptónovéhomiónového čísla (Lµ) a leptónového tau čísla (Lτ ). Na základe týchto čísel ich môžeme roz-deliť na tri generácie (tab. 2.1). K šiestim leptónom existuje šesť antileptónov s opačnýmiznamienkami elektrického náboja a leptónového čísla. Leptónové čísla sa v interakciách arozpadoch zachovávajú1.

1Oscilácie neutrín povoľujú narušenie leptónového čísla, v Štandardnom modeli však nie sú zahrnuté.

22

Tabuľka 2.1: LeptónyGenerácia Leptón Q Le Lµ Lτ

e− −1 1 0 01.

νe 0 1 0 0

µ− −1 0 1 02.

νµ 0 0 1 0

τ− −1 0 0 13.

ντ 0 0 0 1

Príklad

Použitím zákonov zachovania leptónových čísel vysvetlite, prečo sa mión rozpadáva takto:

µ− → e− + νµ + νe ,

a nie napríklad takto:µ− → e− + γ .

Riešenie

V prvom prípade máme na ľavej strane Lµ = 1 a Le = 0 a na pravej Le = 1 − 1 = 0 aLµ = 1, čiže obe leptónové čísla sa zachovávajú. V druhom prípade máme vľavo nenulovéLµ, vpravo však je Lµ = 0. Podobne máme vpravo nenulové Le, na ľavej strane je všakLe nulové. Daný rozpad je síce kinematicky povolený a tiež zachováva celkový elektrickýnáboj, no narúša zakon zachovania Lµ a Le, a preto sa v prírode nepozoruje.

Podobne existuje šesť druhov (vôní) kvarkov rozdelených podľa elektrického náboja(Q), podivnosti (S), pôvabu (C), krásy (B) a pravdy (T ). Kvôli úplnosti sú v tabuľke 2.2uvedené aj zriedkavejšie používané kvantové čísla U - upness a D - downness). Takistoaj kvarky sa dajú rozdeliť do troch generácií. Čísla v tabuľke budú mať pre antikvarkyopačné znamienko. Keďže poznáme tri farebné náboje, ktoré môžu kvarky a antikvarkyniesť, je ich dokopy 36. Každá interakcia má svojho prenášača: elektromagnetická sila máfotón, slabá sila má W± a Z, gravitačná má gravitón. Sprostredkovateľ silnej interakciemedzi kvarkami sa nazýva gluón. Podľa Štandardného modelu existuje osem gluónov. Ak

23

Tabuľka 2.2: KvarkyGenerácia Kvark Q D U S C B T

d −13−1 0 0 0 0 0

1.u 2

30 1 0 0 0 0

s −13

0 0 −1 0 0 02.

c 23

0 0 0 1 0 0

b −13

0 0 0 0 −1 03.

t 23

0 0 0 0 0 1

pridáme aj Higgsov bozón a odrátame gravitón (ktorý nie je zahrnutý v Štandardnom mo-deli) dostaneme dokopy 61 naozaj elementárnych častíc. To, či sú naozaj elementárne, saskúma mimo Štandardného modelu, no väčšina z nich je previazaná, resp. sa na seba po-dobá - napr. gluóny sa líšia len farebným nábojom, alebo tri generácie kvarkov a leptónovsa líšia len hmotnosťami.

2.2 Hadróny

Hadróny sú elementárne častice zložené z kvarkov. Delíme ich na baryóny (viazané stavytroch kvarkov) a na mezóny (viazané stavy párov kvark-antikvark)2. Každý hadrón mô-žeme popísať hmotnosťou a súborom kvantových čísel. Kvantovými číslami súvisiacimiso symetriou (napr. spin alebo parita) sa budeme zaoberať v kapitole 4. V tejto časti sazameriame na tzv. vnútorné kvantové čísla ako napríklad elektrický náboj Q, baryónovéčíslo B alebo podivnosť S (ďalšie kvantové čísla súvisiace s ťažkými kvarkami zatiaľneberieme do úvahy). Elektrický náboj a baryónové číslo sa zachovávajú vo všetkých in-terakciách, podivnosť sa zachováva v silnej a elektromagnetickej, a nezachováva v slabejinterakcii (pozri aj kapitolu 2.3). Kvantové čísla troch najľahších kvarkov sú uvedené vtabuľke 2.3. Z porovnania rovnakých kvantových čísel pre kvarky vyplýva, že vnútornékvantové čísla sú aditívne. Z vlastností kvarkov, môžeme určiť povolené kvantové čísla prehadróny (tabuľka 2.4).

2Vo všeobecnosti si pod hadrónom môžeme predstaviť ľubovoľný viazaný stav kvarkov, t.j. aj nedávnona LHC objavený tetrakvark a pentakvark.

24

Tabuľka 2.3: Kvarky - vlastnostiKvark Q B S

d −1/3 1/3 0u 2/3 1/3 0s −1/3 1/3 −1

Tabuľka 2.4: Hadróny - vlastnostiHadrón Kvarkové zloženie Q B S

p uud 1 1 0n udd 0 1 0K− us -1 0 −1

Príklad

Na základe znalosti kvantových čísel kvarkov určte kvantové čísla hyperónu Ω−.Riešenie

Ω− má kvarkové zloženie sss. Keďže vnútorné kvantové čísla sú aditívne, podľa ta-buľky 2.3 ich poľahky vypočítame: baryónové číslo bude rovné 1, pre S dostaneme −3 apre Q dostaneme −1.

V prírode nepoznáme iné kombinácie ako tie, čo zodpovedajú kvarkovému modelu (t.j.qqq pre baryóny, qqq pre antibaryóny a qq pre mezóny). Nepoznáme napríklad baryón skladným elektrickým nábojom, ktorý by mal podivnosť −3. Z vlastností kvarkov, môžemeurčiť povolené kvantové čísla pre hadróny (tabuľka 2.5). V experimente však voľné kvarky

Tabuľka 2.5: Povolené kvantové čísla pre hadróny podľa kvarkového modelu s u, d a skvarkami

Baryóny Mezóny

S Q S Q

0 2, 1, 0,−1 1 1,0−1 1, 0,−1 0 1, 0,−1

−2 0,−1 −1 0,−1

−3 −1

25

nepozorujeme, ako teda určíme kvantové čísla hadrónov? Jednoducho - z kvantových číselznámych hadrónov a zo zákonov zachovania.

Príklad

V experimente boli pozorované tieto interakcie:

p + p → p + n + π+

p + p → p + p + π0

π− + p → π0 + n

K− + p → π0 + Λ

π− + p → K+ + π− + Λ

Zistite kvantové čísla všetkých hadrónov, ak poznáte kvantové čísla protónu, neutrónu aK− (tab. 2.4).Riešenie

Predpokladáme, že všetky procesy sú spôsobené silnou interakciou a teda Q, B a S sazachovávajú v každej interakcii. Z prvej interakcie vyplýva, že π+ má Q = 1, B = 0 aS = 0, z druhej, že π0 má Q = 0, B = 0 a S = 0. V tretej využijeme novonadobudnutéznalosti o π0 na určenie kvantových čísel pre π− (Q = −1, B = 0, S = 0), a taktiež pre Λ

zo štvrtej interakcie (Q = 0, B = 1, S = −1). Na záver pre K+ dostaneme: Q = 1, B = 0

a S = 1.

Veľmi zaujímavou vlastnosťou hadrónov je, že sa grupujú v tzv. rodinách, ktoré savyznačujú tým, že v nich majú hadróny veľmi podobnú hmotnosť. Členovia rodiny majúrovnaké kvantové čísla, líšia sa len elektrickým nábojom.Toto správanie je spôsobené relatívne malým rozdielom v hmotnosti u a d kvarkov. Ak bysa hmotnosti u a d rovnali, a ak by sily pôsobiace na u a na d boli rovnaké, potom zámenouu za d by sme dostali časticu s rovnakou hmotnosťou. Pozorované hmotnosti hadrónov vrámci rodiny sú trochu rozdielne, čo indikuje, že táto symetria nie je dokonalá. Silná sila jepre u a d rovnaká, kým elektromagnetická je rôzna, lebo majú rozdielne elektrické náboje.Naviac, d kvark je o niekoľko MeV/c2 ťažší ako u. Na druhej strane, elektromagnetickásila je slabá v porovnaní so silnou a hmotnostný rozdiel medzi u a d je malý v porovnaní shmotnosťou hadrónu. Izospinová (taký je jej názov) symetria je dobrá aproximácia, ktorávýznamne pomáha porozumieť hadrónovej fyzike. Rodiny častíc sa nazývajú aj izospinové

26

multiplety.Aby sme mohli presnejšie formulovať izospinovú symetriu, zaveďme si ďalšie kvantovéčísla, ktoré sa zachovávajú v silnej interakcii (zákony zachovania sú zhrnuté v kapitole 2.3).Hypernáboj Y 3:

Y = B + S (2.1)

je rovnaký pre všetkých členov rodiny. Zadefinujme si ďalšie kvantové číslo:

I3 = Q− Y/2 . (2.2)

I3 je rôzne pre každého člena izospinového multipletu. Veľkosť izospinu sa potom získaako:

I = (I3)max , (2.3)

t.j. všetky pozorované multiplety obsahujú presne (2I + 1) členov s I3 hodnotami:

I3 = I, I − 1, ...,−I . (2.4)

Toto vyzerá ako analógia so spinovým formalizmom (pozri sekciu 4.1) a preto sa I nazývaizospin a I3 tretia zložka izospinu. Izospin sa zachováva v silnej interakcii, no nezachovávasa v elektromagnetickej a v slabej4. Častice, ktoré nemajú členov rodiny, sa nazývajúizosinglety (I = I3 = 0). Príklady známych izospinových multipletov sú uvedené v ta-buľke 2.6. Všetky hodnoty izospinu, ktoré sa pozorujú, môžu nastať len vďaka kvarkovejkombinácii qq alebo qqq (qqq). Izospinové kvantové číslo pre hadróny sa zloží z izospi-nového kvarkového čísla (tabuľka 2.7). Súčet dvoch izospinov Ia a Ib bude mať tietohodnoty:

Ia + Ib, Ia + Ib − 1, ..., |Ia − Ib| (2.5)

a ich tretia zložka bude:I3 = Ia3 + Ib3 . (2.6)

Pre každú časticu zloženú z kvarkov platí:

I3 = 1/2(Nu −Nd) , (2.7)

kde Nu a Nd sú počty u a d kvarkov. Povolené hodnoty izospinu pre hadróny sú v ta-buľke 2.8: V ďalšom príklade si ukážeme, ako sa dá využiť znalosť izospinového čísla.

3V skutočnosti sa pridávajú do hypernáboja aj kvantové čisla spojené s ťažkými kvarkami (tab. 2.2),my však budeme zatiaľ brať do úvahy len jednoduchý kvarkový model s u,d a s kvarkom.

4Ďalšie využitie izospinu je v kapitole 4.

27

Tabuľka 2.6: Tabuľka hadrónových izospinových multipletovČastica (kvarkové zloženie) B Y Q I3 I

Λ(uds) 1 0 0 0 0p(uud) 1 1 1 1/2 1/2n(udd) 1 1 0 −1/2 1/2K+(us) 0 1 1 1/2 1/2K0(ds) 0 1 0 −1/2 1/2π+(ud) 0 0 1 1 1

π0((uu− dd)/√

2) 0 0 0 0 1π−(ud) 0 0 −1 −1 1

Tabuľka 2.7: Tabuľka kvarkových izospinových multipletovKvark B Y Q I3 I

d 1/3 1/3 −1/3 −1/2 1/2u 1/3 1/3 2/3 1/2 1/2s 1/3 −2/3 −1/3 0 0

Príklad

Σ+(1189) je častica, ktorá sa produkuje v silnej interakcii:

K− + p→ π− + Σ+ .

Na základe známych kvantových čísel pre K−, p a π− vieme, že pre Σ+ platí: B = 1,S = −1 a ďalej, že Y = 0 a I3 = 1. Keďže I3 je nenulové, znamená to, že existujú ďalšíčlenovia rodiny. Všetci členovia multipletu majú rovnaké vnútorné kvantové čísla a ichelektrický náboj je:

Q = I3 = I, I − 1, ...,−I

z čoho vyplýva, že minimálny počet členov je tri (Σ+Σ0Σ−). Teoreticky by mohli exis-tovať aj ďalší členovia ak I = 2, no to by protirečilo kvarkovému modelu. Na tomtopríklade pekne vidíme užitočnosť izospinového kvantového čísla: pomocou znalosti izospi-novej symetrie vieme predpovedať existenciu ďalších častíc Σ− a Σ0 s približne tými istýmihmotnosťami ako Σ+ a tými istými kvantovými číslami. Tieto častice naozaj existujú a

28

Tabuľka 2.8: Povolené kvantové čísla pre hadróny podľa kvarkového modelu s u, d a skvarkami

Baryóny Mezóny

S I S I

0 3/2,1/2 1 1/2−1 1,0 0 1,0−2 1/2 −1 1/2−3 0

produkujú sa v interakciách:K− + p→ π0 + Σ0

K− + p→ π+ + Σ−

2.3 Zákony zachovania

Jedna z najzaujímavejších vlastností elementárnych častíc je ich tendencia sa rozpadnúť.Môžeme to zhrnúť do univerzálneho princípu: Každá častica sa rozpadáva na ľah-

šie častice, ak tomu nebráni nejaký zákon zachovania. Inými slovami, stabilnýmčasticiam v rozpade bráni nejaký zákon zachovania. Napríklad:

• Fotóny a neutrína5 sú stabilné, lebo neexistujú od nich ľahšie častice, na ktoré bysa mohli rozpadnúť.

• Elektrón je stabilný, lebo neexistuje ľahšia elektricky nabitá častica, na ktorú by samohol rozpadnúť.

• Protón je stabilný, lebo neexistuje ľahší baryón, na ktorý by sa mohol rozpadnúť.

To isté platí pre ich antičastice. Ostatné častice sa rozpadávajú a ich rozpad môžemecharakterizovať strednou dobou života τ . Napríklad τµ = 2.2× 10−6 s, τπ+ = 2.6× 10−8 sa τπ0 = 8.3× 10−17 s.

5V Štandardnom modeli predpokladáme, že neutrína majú nulovú hmotnosť.

29

Ďalšia vlastnosť väčšiny častíc je, že sa môžu rozpadnúť viacerými spôsobmi (rozpadovýmikanálmi). Napr. K+ sa v 64% prípadoch rozpadáva na µ+ + νµ, v 21% prípadoch na π+

+ π0, v 6% na π+ + π+ + π−, v 5% na e+ + νe + π0, atď. Jednou z hlavných úloh fyzikyelementárnych častíc je výpočítať doby života elementárnych častíc a pravdepodobnostijednotlivých rozpadových kanálov (tzv. branching ratios - vetviace pomery). Každý rozpadje spôsobený jednou z troch základných síl. Napríklad:

• ∆++ → p+ π+ je silný rozpad

• π0 → γ + γ je elektromagnetický rozpad

• Σ− → p+ e− + νe je slabý rozpad

Ako vieme, ktorá sila stojí za ktorým rozpadom? Napríklad, keď je v rozpade fotón(t.j. prenášač elektromagnetickej interakcie), ide o elektromagnetickú interakciu, ak jetam neutríno, ktoré nenesie farbu, ani elektrický náboj, ide o slabú interakciu. Čo ak tamnie je ani γ ani neutríno? Napríklad Σ− → n + π− je slabý rozpad, no ∆− → n + π−

je silný. Ako to vieme? Rozdiel medzi nimi je v časoch. Typický silný rozpad má dobuživota 10−23 s, elektromagnetický okolo 10−16 s a slabý sa mení od 10−13 s (pre τ -leptón)až po 15 minút (pre neutrón). Pre danú interakciu spravidla prebieha rozpad rýchlejšie,ak je rozdiel medzi hmotnosťou rozpadávajúcej sa častice a hmotnosťami rozpadovýchproduktov väčší. Zákony zachovania, ktoré povoľujú alebo zakazujú interakcie alebo roz-pady, môžeme rozdeliť na kinematické a dynamické.

Kinematické zákony zachovania obsahujú zákon zachovania energie, zákon za-chovania hybnosti a zákon zachovania momentu hybnosti a napríklad zakazujú takétointerakcie/rozpady:

• e− → e− + γ (narušený zákon zachovania energie)

• e− + e+ → γ (narušený zákon zachovania hybnosti)

• n→ p+ e− (narušený zákon zachovania momentu hybnosti)

Dôležitým kinematickým pravidlom pre každý rozpad elementárnej častice je, aby hmot-nosť rozpadávajúcej sa častice bola vždy väčšia ako súčet hmotností produktov rozpadu

30

(táto podmienka vyplýva zo zákona zachovania energie v RMS rozpadajúcej sa častice).

Dynamické zákony zachovania súvisia so zachovávaním kvantovým čísel:

• Zákon zachovania elektrického náboja platí vo všetkých interakciách.

• Zákon zachovania farebného náboja platí vo všetkých interakciách. Keďževšetky pozorovateľné objekty sú bezfarebné, prejav zákona zachovania farebnéhonáboja nemôžeme experimentálne študovať.

• Zákon zachovania baryónového čísla: v podstate ide o zákon zachovania celko-vého počtu kvarkov a zachováva sa v rámci Štandardného modelu.

• Zákon zachovania leptónových čísel Le, Lµ a Lτ je platný v rámci pôsobnostiŠtandardného modelu.

• Približný zákon zachovania vône: Vôňa (druh kvarku, napr. podivnosť) sa za-chováva v silných a elektromagnetických interakciách, no nezachováva sa v slabých.

Neriešené príklady

2.1 Použijúc štyri kvarky (u,d,s a c) vytvorte tabuľku všetkých možných druhov bary-ónov. Koľko z nich má pôvab +1, koľko +2 a koľko +3?

2.2 Použijúc štyri kvarky (u,d,s a c) vytvorte tabuľku všetkých možných druhov mezó-nov.

2.3 Gell-Mann/Okubova rovnica dáva do súvisu hmotnosti baryónového oktetu (igno-rujú sa malé rozdiely hmotností medzi p a n, Σ+, Σ0 a Σ− a Ξ0 a Ξ−): 2(mN +mΞ) =

3mΛ+mΣ. Použijúc túto rovnicu a priemery rozdielov hmotností v jednotlivých mul-tipletoch, odhadnite hmotnosť Λ. Ako blízko je táto hodnota k pozorovanej?

2.4 Skontrolujte správnosť Coleman-Glashowovho vzťahu: mΣ+ − mΣ− = mp − mn +

mΞ0 −mΞ− .

2.5 Pre každú z nasledujúcich interakcií rozhodnite, či je povolená alebo nie. Svojerozhodnutie vysvetlite:

31

(a) π− + p→ π0 + n

(b) π+ → µ+ + νµ

(c) π+ → µ+ + νµ

(d) π0 → γ + γ

(e) e+ + e− → γ

(f) p+ p→ Λ + Λ

(g) p+ p→ Σ+ + π+

(h) n→ p+ e−

(i) n→ p+ π−

2.6 Pre každú z nasledujúcich interakcií rozhodnite, či je povolená alebo nie. Svojerozhodnutie vysvetlite:(a) µ+ → e+ + γ

(b) e− → νe + γ

(c) p+ p→ Σ+ +K+

(d) p+ p→ p+ Σ+ +K−

(e) p→ e+ + νe

(f) p+ p→ Λ + Σ+

(g) p+ n→ Λ + Σ+

(h) p+ n→ Ξ0 + p

(i) p→ n+ e+ + νe

(j) n→ p+ e− + νe

2.7 Vysvetlite, prečo sú tieto rozpady zakázané:(a) n→ p+ e−

(b) n→ π+ + e−

(c) n→ p+ π−

(d) n→ p+ γ

2.8 Ktorý z týchto procesov je povolený a ktorý zakázaný zákonom zachovania podiv-nosti?(a) π− + p→ K− + p

(b) π− + p→ K+ + Σ−

(c) K− + p→ K+ + Ξ0 + π−

(d) K+ + p→ K− + Ξ0 + π−

32

2.9 Pre každú z nasledujúcich interakcií rozhodnite, či je povolená alebo nie. Svojerozhodnutie vysvetlite:(a) p→ n+ e+

(b) µ+ → e+ + νµ

(c) e+ + e− → νµ + νµ

(d) νµ + p→ µ+ + n

(e) νµ + n→ µ− + p

(f) νµ + n→ e− + p

(g) e+ + n→ p+ νe

(h) e− + p→ n+ νe

2.10 Kvarkové zloženie niektorých šarmantných častíc je takéto: hyperón Λc je zloženýz udc, mezón D+ z cd a D− je zložený z cd. Ktorá z nasledujúcich interakcií jepovolená?(a) π+ + p→ D+ + p

(b) π+ + p→ D− + Λc + π+ + π+

(c) π+ + p→ D+ + Λc

(d) π+ + p→ D− + Λc

2.11 Kvarkové zloženie nasledujúcich častíc je takéto: hyperón Λb je zložený z udb, mezónD0 z cu a krásne mezóny B+ = ub, B− = ub a B0 = db. Ktorá z nasledujúcichinterakcií je povolená?(a) π− + p→ D0 + Λb

(b) π− + p→ B0 + Λb

(c) π− + p→ B+ + Λb + π−

(d) π− + p→ B− + Λb + π+

(e) π− + p→ B− +B+

2.12 Pre každú z nasledujúcich reakcií rozhodnite, či je povolená alebo nie. Svoje rozhod-nutie vysvetlite.(a) µ+ → e+ + γ

(b) e− → νe + γ

(c) p+ p→ Σ+ +K+

(d) p+ p→ p+ Σ+ +K−

(e) p→ e+ + νe

33

2.13 Pre každú z nasledujúcich reakcií rozhodnite, či je povolená alebo nie. Svoje rozhod-nutie vysvetlite.(a) p+ µ− → νµ + n

(b) e+ + e− → νµ + νµ

(c) π− → µ− + νµ

(d) µ− → e− + νe + νµ

(e) τ− → π− + ντ

(f) p+ µ− → π0 + n

(g) e+ + e− → νe + νµ

(h) π− → e− + νe

(i) µ− → e− + νµ + νe

(j) τ− → π− + νe

2.14 Pre každú z nasledujúcich reakcií rozhodnite, či je povolená alebo nie. Svoje rozhod-nutie vysvetlite. Určte zároveň aj typ interakcie a kvarkové zloženie hadrónov:(a) p+ p→ π+ + π− + π0 + π+ + π−

(b) p+K− → Σ+ + π− + π+ + π− + π0

(c) p+ π− → Λ0 + Σ0

(d) νµ + p→ µ+ + n

(e) νe + p→ e+ + Λ0 +K0

(f) Σ0 → Λ0 + γ

2.15 Ktorá z nasledujúcich reakcií je povolená a ktorá zakázaná zákonmi zachovaniaplatnými pre slabú interakciu?(a) νµ + p→ µ+ + n

(b) νe + p→ e− + π+ + p

(c) ντ + e− → τ− + νe

(d) τ+ → µ+ + νµ + ντ

2.16 Rozdeľte nasledovné experimentálne pozorované procesy na silnú, elektromagne-tickú alebo slabú interakciu podľa častíc a podľa príslušných selekčných pravidiel:(a) π− → π0 + e− + νe

(b) γ + p→ π+ + n

(c) p+ p→ π+ + π− + π0

(d) D− → K+ + π− + π−

34

(e) Λ + p→ K− + p+ p

(f) π− + p→ n+ e+ + e− .

2.17 Častice X0(1193) a Y −(1321) sa môžu produkovať v procese cez silnú interakciuK− + p→ π0 +X0 a K− + p→ K+ + Y −.Dedukujte podľa týchto interakcií baryónové číslo, podivnosť, pôvab a krásu predanú časticu a na základe týchto kvarkových čísel aj ich kvarkové zloženie. Časticesa rozpadávajú týmto spôsobom: X0 → Λ + γ a Y − → Λ +π−. Odhadnite približneich dobu života.

2.18 Šesť pozorovaných hadrónov má kvantové čísla (Q,B,S,C,B) = (2,1,0,1,0), (0,1,−2,1,0),(0,0,1,0,−1), (0,−1,1,0,0), (0,1,−1,1,0) a (−1,1,−3,0,0). Zistite ich kvarkové zloženie.

2.19 Odvoďte povolené kombinácie pôvabu C a elektrického náboja Q pre mezóny abaryóny v kvarkovom modeli.

2.20 Ktoré z nasledujúcich hadrónových stavov s kvantovými číslami (Q,B,S,C,B) =(1,0,0,1,1), (−1,1,−2,0,−1), (0,0,1,0,1) a (−1,1,0,1,−1) sú kompatibilné s kvarkovýmmodelom, a ktoré nie sú?

2.21 Hadrón Σ+c (2455) sa rozpadáva v kanáli Σ+

c → Λ+c +π0 s rýchlosťou rozpadu typickou

pre silné interakcie, kde Λ+c (2286) = udc je izosinglet. Dedukujte kvantové čísla

(Q,B, S, C, B) a z nich potom kvarkové zloženie Σ+c . Ak má izospinových partnerov,

dedukujte aj ich kvarkové zloženie.

2.22 Koľko rôznych mezónov sa dá vytvoriť z 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6 rôznych kvarkovýchvôní? Aký je všeobecný vzťah pre n vôní?

2.23 Koľko rôznych baryónov sa dá vytvoriť z 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6 rôznych kvarkovýchvôní? Aký je všeobecný vzťah pre n vôní?

2.24 Majme nasledovné častice a ich stredné doby života:ρ0 : 5× 10−24s, K+ : 1.2× 10−8s, η0 : 5× 10−19s, µ− : 2× 10−6s, π0 : 8× 10−17s.Určte, ktorá interakcia vedie k nasledovným rozpadom:(a) ρ0 → π+ + π−

(b) K+ → π0 + π+

35

(c) η0 → π+ + π− + π0

(d) µ− → e− + ve + νµ

(e) π0 → γ + γ

2.25 Hyperón Σ(1385) sa produkuje v interakcii K− + p → π− + Σ+(1385), ale nikdynebol pozorovaný v interakcii K+ + p→ π+ + Σ+(1385). Jeho šírka je Γ = 50 MeVa jeho hlavný rozpadový kanál je π+Λ. Je tento rozpad silný alebo slabý? Aká jepodivnosť a izospin tohto hyperónu?

2.26 Častica má baryónové číslo B = 1, elektrický náboj Q = +1, šarm C = 1, podivnosťS = 0, krásu B = 0 a pravdu T = 0. Zistite jej (valenčné) kvarkové zloženie.

2.27 Uvažujme nasledovné kombinácie kvantových čísel:Q,C, S, B = −1, 0,−3, 0;Q,C, S, B =

2, 1, 0, 0; Q,C, S, B = 1, 1,−1, 0; Q,C, S, B = 0, 1,−2, 0; Q,C, S, B = 0, 0, 0,−1, prekaždý prípad je B=1 a T=0. Zistite z akých valenčných kvarkov sa dané stavy skla-dajú.

2.28 Uvažujme nasledovné kombinácie kvantových čísel:Q,C, S, B = 1, 0, 1, 0;Q,C, S, B =

0, 0,−1, 0; Q,C, S, B = 1, 0, 0, 1; Q,C, S, B = 1, 0, 1, 1, pre každý prípad je B=0 aT=0. Zistite z akých valenčných kvarkov sa dané stavy skladajú.

2.29 Vysvetlite, prečo nasledovné častice nemôžu existovať podľa kvarkového modelu: me-zón s kladnou podivnosťou a negatívnym pôvabom, baryón so spinom 0, antibaryóns elektrickým nábojom +2, mezón s kladným elektrickým nábojom a podivnosťou−1.

2.30 Pre každú z nasledujúcich reakcií rozhodnite, či je povolená alebo nie. Svoje rozhod-nutie vysvetlite:(a) π0 → e+ + e−

(b) e− + p→ n+ νe

(c) µ+ → e+ + e− + e+

(d) K0 + n→ Λ + π0

(e) Ξ0 → Λ + π0

2.31 Ktoré kvantové čísla nie sú zachované v nasledujúcich reakciách? Ktorý typ interak-cie sa v nich prejavuje?(a) Ω− → Ξ0 + π−

36

(b) Σ+ → π+ + π0

(c) n→ p+ π−

(d) π0 → µ+ + e− + νe

(e) K0 → K+ + e− + νe

(f) Λ0 → p+ e−

2.32 Určte baryónové číslo, hypernáboj a izospin nasledujúcich kvarkových stavov: us,cd, uud, ddc, ubc, ss. Použijúc tabuľky, nájdite častice, ktoré majú takéto kvarkovézloženie (ak existujú).

2.33 Pre nasledujúce reakcie rozhodnite, či sú povolené. Ak áno, určte typ interakcie predanú reakciu:(a) Σ+ + p→ p+ p+ π0

(b) p+ p→ Λ0 + Σ0

(c) n+ p→ Σ− + Σ0

(d) p+ p→ Ξ− + p

(e) e+ p→ Σ− + p+ n+ π0 + ν

2.34 Môže v interakciách nepodivných častíc vzniknúť iba jedna podivná častica? Akáno, uveďte príklad takej reakcie.

2.35 Pre nasledujúce interakcie rozhodnite, ktorá je povolená – v tom prípade určte typinterakcie, a ktorá je nepovolená – v tom prípade uveďte prečo.(a) p+ p→ π+ + π− + π0 + π+ + π−

(b) p+K− → Σ+ + π− + π+ + π− + π0

(c) p+ π− → p+K−

(d) p+ π− → Λ0 + Σ0

(e) νµ + p→ µ+ + n

(f) νµ + p→ e+ + n

(g) νe + p→ e+ + Λ0 +K0

(h) νe + p→ e− + Σ+ +K+

2.36 Prečo je prechod Σ0 → Λ0 uskutočňovaný elektromagneticky a nie silno?

37

Kapitola 3

Časticová dynamika

V predchádzajúcej kapitole sme študovali vlastnosti leptónov, kvarkov a hadrónov pro-stredníctvom ich kvantových čísel. V tejto kapitole sa budeme zaoberať interakciami medzielementárnymi časticami prostredníctvom Feynmanových diagramov.

3.1 Feynmanove diagramy

Jednými z najčastejších fyzikálnych veličín, ktoré sa experimentálne merajú v časticovejfyzike, sú doba života častice (určená cez rýchlosť rozpadu Γ = 1/τ) a pravdepodobnosťinterakcie (určená účinným prierezom σ). Frekvencia nejakého procesu (v literatúre tzv.transition rate, vo všeobecnosti môže ísť o interakciu alebo o rozpad) sa dá vypočítaťpomocou Fermiho zlatého pravidla, známeho z kvantovej mechaniky:

frekvencia prechodu =2π

~|Mif |2 × ρ(E) (3.1)

Mif je amplitúda procesu, alebo maticový prvok a vyjadruje pravdepodobnosť prechoduz počiatočného stavu do koncového. Tento prvok obsahuje dynamickú informáciu, t.j.charakter síl, ktoré participujú v danom procese (rozpade alebo rozptyle) a vypočíta sapomocou Feynmanových diagramov.Veličinou ρ sa označuje fázový priestor (phase space), ktorý vyjadruje hustotu finálnychstavov a závisí od hmotnosti, energie a hybnosti zúčastnených častíc. Odzrkadľuje fakt, žedaný proces prebehne tým pravdepodobnejšie, čím viac možností má v konečnom stave.Napríklad rozpad ťažkej častice na mnoho ľahkých častíc obsahuje veľký faktor fázovéhopriestoru, lebo je tam veľa možností ako rozložiť energie a hybnosti sekundárnych častíc.

38

Naproti tomu v rozpade n → p + e− + νe sa skoro celá energia použije na hmotnostisekundárnych častíc, preto je v tomto prípade faktor fázového priestoru malý a teda ajvýsledná rýchlosť rozpadu.

3.2 Kvantová elektrodynamika

Kvantová elektrodynamika je najstaršia, najjednoduchšia a najúspešnejšia zo všetkýchdynamických teórií vo fyzike elementárnych častíc. Všetky elektromagnetické javy sa naelementárnej úrovni dajú zredukovať na proces vyznačený na obrázku 3.1. Tento dia-

Obr. 3.1: Základný vrchol QED

gram sa nazýva aj primitívny vrchol. Spojením aspoň dvoch primitívnych vrcholov vzni-kajú Feynmanove diagramy, ktoré predstavujú skutočný fyzikálny proces. Každý diagrampredstavuje možný maticový prvok (vzťah 3.1) a pomocou Feynmanových pravidiel napočítanie diagramov sa dá aj jeho hodnota vypočítať.Príklad jedného z najjednoduchších Feynmanových diagramov je na obrázku 3.2. Vidímena ňom prilietavať (alebo vstupovať) dva elektróny, ktoré si vymenia fotón (môže byťemitovaný alebo absorbovaný, diagram obsahuje obe alternatívy) a potom oba elektrónyodletia (alebo vystúpia).V klasickej teórii by sme tento proces nazvali Coulombovské odpudzovanie dvoch rovna-kých elektrických nábojov. V kvantovej elektrodynamike sa tento proces nazýva Möllerovrozptyl. Hovoríme, že interakcia je sprostredkovaná výmenou fotónu.

Feynmanove diagramy môžeme ľubovoľne otáčať a získať tak iný proces v časticovejfyzike. Napríklad môžeme predchádzajúci diagram otočiť doľava o 90 stupňov (obr. 3.3).

39

Obr. 3.2: Möllerov rozptyl - Coulombovské odpudzovanie

Častica, ktorá ide naspäť v čase (šípka smerujúca do ľavej strany), sa interpretuje ako

Obr. 3.3: BhaBha rozptyl - Coulombovské priťahovanie

antičastica, ktorá sa pohybuje v čase dopredu (fotón je častica a zároveň aj antičastica,takže nepotrebuje byť zobrazený so šípkou). V tomto procese elektrón a pozitrón anihi-lovali, vytvoril sa fotón, ktorý zase vyprodukoval nový elektrónovo-pozitrónový pár. Vskratke: elektrón a pozitrón vstúpili (do diagramu) a elektrón a pozitrón zase vystúpili(nie ten istý pár, no keďže elementárne častice sú identické, je to v podstate jedno).Predchádzajúci diagram v klasickej fyzike reprezentuje interakciu dvoch opačných nábojov- Coulombovské priťahovanie. V kvantovej elektrodynamike sa nazýva BhaBha rozptyl.Vlastne existuje ešte jeden diagram, ktorý taktiež popisuje BhaBha rozptyl (obr. 3.4). Vtomto diagrame si zase elektrón a pozitrón fotón vymenia. Experimentálne sú oba dia-

40

gramy nerozlíšitešné. Pri výpočte amplitúdy rozptylu musia byť zahrnuté oba diagramy.Použijúc dva vrcholy môžeme skonštruovať ďalšie diagramy popisujúce procesy (obrá-

Obr. 3.4: BhaBha rozptyl - Coulombovské priťahovanie

zok 3.5). Ak použijeme štyri vrcholy, môžeme dostať diagramy ako na obrázku 3.6. Aj v

Obr. 3.5: Vľavo: anihilácia páru (e−+e+ → γ+γ), v strede: produkcia páru (γ+γ → e−+e+), vpravo:Comptonov rozptyl (e− + γ → e− + γ)

týchto prípadoch idú dva elektróny dnu a dva von, čiže ide o Möllerov rozptyl. V experi-mente pozorujeme len tie častice, ktoré idú dnu, alebo idú von. Častice vo vnútri (čiarymajúce začiatok, aj koniec) nemôžeme pozorovať bez toho, aby sme zmenili celkový pro-ces, ktorý študujeme. Tieto častice nazývame virtuálne. Vonkajšie čiary (reálne častice)predstavujú pozorovaný fyzikálny proces, vnútorné čiary zase akým mechanizmom daný

41

Obr. 3.6: Príklady diagramov so 4 vrcholmi

42

proces prebieha.Niektoré príklady nesprávnych vertexov v kvantovej elektrodynamike sú na obrázku 3.7.Feynmanove diagramy sú čisto symbolické, nereprezentujú skutočné trajektórie častíc.

Obr. 3.7: Príklady nesprávnych vrcholov v kvantovej elektrodynamike

Horizontálny smer predstavuje čas1, no vertikálny smer nepredstavuje priestor. Kvanti-tatívne, každý diagram predstavuje číslo (maticový prvok). Výslednú amplitúdu procesupre daný fyzikálny proces dostaneme zosumovaním cez všetky kombinácie diagramov (s2, 4, 6 vrcholmi, ... ). Tú potom použijeme vo výpočte pre dobu života alebo účinnýprierez. Každý vrchol v diagrame obsahuje faktor

√αe, kde αe = e2/~c = 1/137 predsta-

vuje konštantu elektromagnetickej interakcie. Keďže ide o malé číslo, diagramy s väčšímpočtom vrcholov prispievajú k celkovej amplitúde menej. V kvantovej elektrodynamike jepostačujúci výpočet diagramov s 2 a 4 vrcholmi.V každom vrchole platí zákon zachovania energie a hybnosti, samotný vrchol však ne-predstavuje fyzikálny proces. Príčina je čisto kinematická, ako vidíme na obrázku 3.8. Vovnútri diagramu sú však takéto vrcholy akceptovateľné, lebo častice sú virtuálne, pre-tože aj keď sa energia a hybnosť zachováva v každom vrchole, virtuálna častica nemá túistú hmotnosť, akú má odpovedajúca reálna častica. V skutočnosti môže virtuálna časticanadobúdať hocijakú hmotnosť. V praxi tomu hovoríme, že neleží na hmotnostnej plocheurčenej E2 − p2c2 (off mass shell). Vonkajšie čiary naopak predstavujú skutočné časticea tie už musia mať správnu hmotnosť. Môžeme povedať, že čím bližšie je hmotnosť virtu-álnej častice k hmotnosti skutočnej častice, tým je daná virtuálna častica “reálnejšia”.Pod pojmom kvantová elektrodynamika si zvyčajne predstavujeme interakciu elektrónov,

1Často je v rôznych knihách čas vertikálne, vždy si treba overiť, v akom smere plynie čas.

43

Obr. 3.8: Vľavo: proces, ktorý narúša zákon zachovania energie e− → e− + γ, vpravo: proces, ktorýnarúša zákon zachovania hybnosti e− + e+ → γ.

pozitrónov a fotónov. Kvantová elektrodynamika sa však samozrejme vzťahuje aj na inénabité elementárne častice - napríklad na kvarky (obrázok 3.9). V tomto príklade ide o

Obr. 3.9: Anihilácia páru u a u

anihiláciu u a u a produkciu dvoch fotónov. Kvôli uväzneniu kvarkov v hadrónoch sa všaktakýto rozptylový proces nedá v experimente pozorovať. Môžeme ho však pozorovať voforme rozpadového procesu π0 → γ + γ. Vidíme, že v prípade π0 vlastne nejde o rozpad,ale o obyčajnú anihiláciu. To vysvetľuje prečo sa π0 rozpadáva 109 krát rýchlejšie ako π±

- ide o elektromagnetický proces, kým u nabitých piónov ide o slabú interakciu, ktorá jeoveľa pomalšia.

44

3.3 Kvantová chromodynamika

V kvantovej chromodynamike hrá úlohu náboja farba a fundamentálny proces (alebo pri-mitívny vrchol, analogický ku e− → e− + γ) je q → q + g znázornený na obrázku 3.10.Kým v kvantovej elektrodynamike poznáme vrchol s nabitými leptónmi a aj s kvarkami,v kvantovej chromodynamike leptónový vrchol neexistuje, lebo leptóny nenesú farbu, atým pádom neparticipujú v silných interakciách. Ako v kvantovej elektrodynamike, tak aj

Obr. 3.10: Základný vrchol v kvantovej chromodynamike

v chromodynamike kombinujeme základné vrcholy, aby sme získali fyzikálne procesy. Na-príklad sila medzi kvarkami sa dá znázorniť ako na obrázku 3.11 Hovoríme, že sila medzi

Obr. 3.11: Základný proces v kvantovej chromodynamike

kvarkami je prenášaná výmenou gluónu - na tejto úrovni sa chromodynamika ponáša na

45

elektrodynamiku. No je tu jeden podstatný rozdiel: kým v elektrodynamike existuje lenjeden druh náboja (môže byť kladný alebo záporný), v chromodynamike sú až tri druhynáboja (tri farby a tri antifarby): modrý, zelený a červený.V procese q → q + g sa môže zmeniť náboj (farba), nie však druh kvarku (vôňa). Na-príklad modrý u kvark sa môže zmeniť len na červený u kvark, nikdy nie na červený dkvark. Keďže farebný náboj (rovnako ako elektrický náboj) sa musí zachovať, znamenáto, že gluón musí odniesť farebný rozdiel, napríklad jednotku “modrosti” a mínus jednotku“červenosti” (antičervený náboj), ako je to naznačené na obrázku 3.12. Gluóny sú teda

Obr. 3.12: Príklad výmeny farebného náboja v kvantovej chromodynamike

dvojfarebné, nesúce jednu farbu a jednu antifarbu. Mohlo by sa zdať, že existuje 9 kom-binácií farba-antifarba, teda 9 gluónov, no v skutočnosti existuje len 8 gluónov2.Keďže gluóny (ako prenášače) samé nesú farbu (na rozdiel od fotónu, ktorý je elektrickyneutrálny), môžu interagovať s inými gluónmi, a teda dostaneme viac druhov základnýchvrcholov (obrázok 3.13). Interakcia medzi gluónmi robí chromodynamiku oveľa kompli-kovanejšou ako je elektrodynamika. Jedným z dôsledkov "farebnosti" gluónov je aj tzv.asymptotická sloboda, pri ktorej sa interakcia medzi dvoma farebnými nábojmi zosilňujes narastajúcou vzdialenosťou. Ďalším rozdielom úzko súvisiacim s asymptotickou slobo-dou je väzbová konštanta silnej interakcie, ktorá sa dramaticky mení so vzdialenosťou. Velektrodynamike je αe = 1/137 a preto nám stačia na výpočty diagramy s malým počtomvrcholov. Experimentálne zodpovedajúca väzbová konštanta pre silnú interakciu αs máhodnotu v interakcii dvoch protónov viac ako 1. Komplexnejšie diagramy by prispievali

2Počty gluónov sa dajú odvodiť na základe symetrie v teórii grúp. Vzhľadom na obsiahlosť problema-tiky odporúčam čitateľovi pozrieť si túto oblasť samostatne.

46

Obr. 3.13: Ďalšie základné vrcholy QCD

viac a viac a procedúra fungujúca pre kvantovú elektrodynamiku už v kvantovej chromo-dynamike nefunguje. Preto sa Feynmanove diagramy v kvantovej chromodynamike dajúaplikovať len na procesy, kde dochádza k výmene veľkej štvorhybnosti - v tomto prípadebude αs dostatočne malá na to, aby výsledok konvergoval.V praxi sa so silnou interackciou stretávame hlavne pri hadrónových interakciách a prirozpadoch rezonancií.

Príklad

Nakreslite Feynmanov diagram silného rozpadu ∆0 → p+ π−.Riešenie

47

3.4 Slabá interakcia

Elektrický náboj je zdrojom elektromagnetickej interakcie, farebný náboj je zdrojom sil-nej interakcie. Zdroj slabej interakcie môžeme volať “slabý náboj”. Existujú dva druhyslabého náboja (t.j. máme dva slabé a dva antislabé náboje). Všetky elementárne častice(t.j. kvarky a leptóny) sú nositeľmi slabého náboja. Rozlišujeme dva druhy slabých inte-rakcií: nabité (prenášané W±, niekedy nazývané aj nabité prúdy alebo toky) a neutrálne(prenášané Z0, niekedy nazývané aj neutrálne prúdy alebo toky). Základný vrchol preneutrálne slabé interakcie je zobrazený na obrázku 3.14. Primitívne vrcholy pre silnú,

Obr. 3.14: Základný vrchol pre neutrálne slabé interakcie, f môže byť hociktorý leptón alebo kvark.

elektromagnetickú a neutrálnu slabú interakciu majú spoločnú vlastnosť: vchádza a vy-chádza z nich tá istá častica (teraz neberieme do úvahy rôzne farebné stavy pre ten istýkvark). Nabitá slabá interakcia je jediná, ktorá dokáže zmeniť druh (alebo vôňu) leptónu(kvarku) a v tomto zmysle je schopná “skutočného” rozpadu. Ostatné rozpady len pre-skupujú kvarky alebo v sebe skrývajú produkciu alebo anihiláciu páru. Základný vrcholpre nabité slabé interakcie je zobrazený na obrázku 3.15. Všimnime si, že leptónové slabévrcholy spájajú členov tej istej generácie: e− konvertuje na νe (s emitovaním W−) aleboµ− na µ− (emitovanie Z0). Avšak e− nikdy nejde na µ−, alebo µ− na νe. V tomto zmyslesú vo Feynmanových diagramoch implementované zákony zachovania Le, Lµ a Lτ .

Podobné pravidlá platia aj pre kvarky. Kvark s nábojom −1/3 (d, s alebo b) sa zmenína kvark s nábojom +2/3 (u, c alebo t) s emitovaním W−. Odchádzajúci kvark má tedatú istú farbu, ale odlišnú vôňu. Keďže W− neodnáša vôňu (W sa spája v diagramoch ajs leptónmi, ktoré vôňu nemajú, môžeme to napríklad vidieť v zmiešaných diagramoch skvarkami a leptónmi.), znamená to, že vôňa sa nezachováva v slabých interakciách! To sme

48

Obr. 3.15: Základné vrcholy pre nabité slabé interakcie - vľavo leptónový vrchol, vpravo kvarkový vrchol

mohli vidieť v predchádzajúcej kapitole pri zákone zachovania podivnosti, ktorý neplatípri slabých rozpadoch. Ďalší koniec W čiary môže byť leptónový (semileptónový proces)alebo kvarkový (hadronický proces). Typickým príkladom, kde sa uplatňuje leptónový ajkvarkový vrchol je rozpad π− → e− + νe (obrázok 3.16).

Obr. 3.16: Rozpad π− → e− + νe vykreslený vo forme Feynmanovho diagramu

Príklad

Nakreslite Feynmanov diagram rozpadu neutrónu.Riešenie

49

Všimnime si, že rozpad je spôsobený len jedným kvarkom (d). Ďalšie dva kvarky d a u(tzv. spektátory) sa rozpadu nezúčastňujú.

Ďalšie vrcholy sú vykreslené na obrázku 3.17, a keďže W je nabité, môže vytvárať aj

Obr. 3.17: Vrcholy v slabej interakcii - podobne ako gluóny v kvantovej chromodynamike, aj prenášačeslabej interakcie sú nosičmi náboja interakcie.

elektromagnetické vrcholy (obrázok 3.18).V Štandardnom modeli sa pri nabitých slabých interakciách mení druh leptónu len

v rámci generácie (odzrkadľujú to zákony zachovania leptónových čísel). Pri kvarkochto však neplatí. Zákon zachovania kvarkových čísel (ako podivnosť, pôvab, ... ) platí vslabej interakcii len približne a dochádza v nej ku zmene kvarku na kvark z inej generácie.Pravdepodobnosti premeny kvarku na iný kvark v slabej interakcii sú obsiahnuté v tzv.

50

Obr. 3.18: Ďalšie možné vrcholy v slabej interakcii, keďže W+ a W− sú elektricky nabité

Cabbibo-Kobayashi-Maskawa (CKM) matici:

d′

s′

b′

=

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

d

s

b

, (3.2)

pričom d, s a b sú stavy s jednoznačne definovanou vôňou (resp. hmotnosťou) a d′, s′ ab′ predstavujú vlastné stavy slabej interakcie, resp. stavy produkované touto interakciou.Členy CKM matice sa merajú experimentálne a ich súčasné hodnoty sú:

|Vij| =

0.9738 0.2272 0.0040

0.2271 0.9730 0.0422

0.0081 0.0416 0.9991

. (3.3)

V prípade platnosti zákona zachovania kvarkových vôní v slabých interakciách by bolamatica jednotková. Vidíme, že je jednotková len približne a teda vôňa sa v slabých inte-rakciách nezachováva.

Príklad

Nakreslite Feynmanove diagramy rozpadov Λ → p + π− a Ω− → Λ + K−, v ktorých sapodivnosť nezachováva.Riešenie

51

Príklad

Nakreslite dva Feynmanove diagramy rozpadu K0 → µ+ + µ−, tak aby v jednom bolvirtuálnou časticou u kvark a v druhom c kvark.Riešenie

Neriešené príklady

3.1 Vypočítajte pomer gravitačného priťahovania a elektrického odpudzovania medzidvoma nepohybujúcimi sa elektrónmi.

3.2 Nakreslite (s čo najmenším počtom vrcholov) Feynmanov diagram reprezentujúciDelbruckov rozptyl: γ + γ → γ + γ. (Tento proces - rozptyl fotónu na fotóne nemáanalóg v klasickej elektrodynamike.)

52

3.3 Nakreslite všetky štvorvrcholové diagramy pre Comptonov rozptyl.

3.4 Ktorý rozpad bude pravdepodobnejší: a) Ξ− → Λ + π− alebo Ξ− → n + π− ? b)D0 → K− + π+, D0 → π− + π+ alebo D0 → K+ + π− ? c) a čo tak B mezóny?Mali by sa rozpadať na D, K alebo π mezóny? Zdôvodnite všetky svoje odpovedea porovnajte ich s hodnotami v tabuľkách.

3.5 Nakreslite všetky Feynmanove diagramy najnižšieho rádu prispievajúce k procesue+ + e− → W+ +W−.

3.6 Niektoré rozpady sa uskutočňujú dvoma (dokonca aj troma) interakciami. Nakreslitemožné Feynmanove diagramy pre nasledujúce procesy:a) µ− → e− + e− + e+ + νµ + νe

b) Σ+ → p+ γ .(Mimochodom, oba rozpady boli pozorované.)

3.7 D+(cd) sa rozpadáva mnohými kanálmi. Akú hodnotu očakávate pre pomer:

Γ(D+ → K− + π+ + π+)

Γ(D+ → π− + π+ + π+)?

3.8 Vetviace pomery pre semileptónové rozpady Σ− → n+ e−+ νe a Σ− → Λ0 + e−+ νe

sú 1.02× 10−3, resp. 5.7× 10−5. Prečo je to tak? Rozpad Σ+ → n + e+ + νe nebolnikdy pozorovaný (horný limit je 5× 10−6 ) Ako by ste to vysvetlili?

3.9 Nakreslite Feynmanove diagramy nasledovných silných a slabých rozpadov:(a) K∗+ → K0 + π+

(b) n→ p+ e− + νe

(c) π+ → µ+ + νµ.

3.10 Nakreslite Feynmanove diagramy nasledovných silných a slabých rozpadov:(a) π+ → π0 + e+ + νe

(b) ρ+ → π0 + π+

(c) K0 → π− + π+

(d) Λ→ p+ e− + νe.

53

3.11 Nakreslite Feynmanove diagramy najnižšieho rádu pre pružný rozptyl νe + e−. Včom sa líši od pružného rozptylu νe + e−?

3.12 Napíšte Cabibbo povolené a Cabibbo potlačené semileptónové rozpady c kvarku.Napíšte tri povolené a tri potlačené rozpady mezónu D+.

3.13 Nakreslite Feynmanov diagram pre rozpad kvarku b preferovaný mixingom. Napíštetri preferované módy rozpadu mezónu B+.

3.14 Nakreslite základné Feynmanove diagramy pre rozpad top kvarku.

3.15 Nakreslite Feynmanove diagramy (na kvarkovej úrovni, ak ide o hadrón) pre nasle-dovné slabé procesy:(a) π+ → µ+ + νµ

(b) Λ→ p+ e− + νe

(c) K0 → π+ + π−

(d) π+ → π0 + e+ + νe

a pre nasledovné silné procesy:(e) ω0 → π+ + π− + π0

(f) ρ0 → π+ + π−

(g) ∆++ → p+ π+.

3.16 Pre štúdium interakcií sprostredkovanými W a Z bozónmi sme sa zameriavali najmäna fundamentálne premeny kvarkov a leptónov. Takéto interakcie však často za-hŕňajú aj kvarky – pozorovateľov, ktoré sa zúčastňujú reakcie bez premeny. Nakres-lite Feynmanove diagramy nasledujúcich procesov:(a) K+ → π+ + π0

(b) n→ p+ e− + νe

(c) π+ → µ+ + νµ

(d) K0 → π− + e+ + νe .

3.17 Nakreslite Feynmanove diagramy pre nasledujúce reakcie:(a) π− + p→ Λ0 +K0

(b) π+ + p→ Σ+ +K+

(c) π+ + n→ π0 + p

(d) p+ p→ Λ0 +K+ + p

(e) p+ p→ K+ +K− .

54

3.18 Nakreslite Feynmannove diagramy pre nasledujúce slabé interakcie:(a) νe + n→ νe + n

(b) νµ + p→ µ+ + n

(c) π− + p→ Λ0 + π0 .

3.19 Nakreslite Feynmanove diagramy, ktoré prispievajú do nasledovných procesov v naj-nižšom ráde:(a) γ + e− → γ + e−

(b) e+ + e− → e+ + e−

(c) νe + νe → νe + νe

(Pomôcka: pre každú interakciu existujú dva diagramy).

3.20 Nakreslite štvorvrcholový diagram pre interakciu γ + γ → e+ + e−.

3.21 Nakreslite Feynmanov diagram najnižšieho rádu pre pružný rozptyl νe + νµ.

3.22 Nakreslite dva štvorvrcholové diagramy pre slabú interakciu e− + µ+ → νe + νµ.

3.23 Na Feynmanových diagramoch najnižšieho rádu pre procesy νe + e− → νe + e− aνµ + e− → νµ + e− ukážte, že elektrónové neutríno interaguje s elektrónom inak akomiónové alebo tau neutríno.

3.24 Nakreslite Feynmanov diagram najnižšieho rádu na kvarkovej úrovni pre rozpady:(a) D− → K0 + π−

(b) Λ→ p+ e− + νe .

3.25 Mezón ψ′ s hmotnosťou 3686 MeV/c2 má také isté kvarkové zloženie ako J/ψ(cc).Jeho hlavným rozpadovým kanálom je ψ′ → ψ + π+ + π−. Je to silný rozpad? Jepotlačený OZI (Okubo-Zweig-Iizuka) pravidlom? Akú dobu života očakávate preψ′?

55

Kapitola 4

Symetrie

Symetrie hrajú v časticovej fyzike veľmi dôležitú úlohu. V tejto časti sa budeme za-oberať veličinami, ktoré úzko súvisia s rotačnou symetriou (moment hybnosti), vôňovousymetriou (izospin), priestorovou symetriou (parita) a nábojovou symetriou (nábojovázdruženosť).

4.1 Moment hybnosti

Pohyb Zeme pri svojom putovaní Vesmírom môžeme popísať dvoma momentami hybnosti.Momentom hybnosti, ktorý pochádza z ročného obehu okolo Slnka a “spinovým” momen-tom hybnosti, ktorý vzniká denným otáčaním okolo svojej osi. Podobne môžeme popísaťaj stav elektrónu v atóme vodíka: tiež ho môžeme charakterizovať orbitálnym a spinovýmmomentom hybnosti. V makroskopickom prípade spinový moment hybnosti Zeme nie jenič iné ako súčet všetkých čiastkových “orbitálnych” momentov hybnosti skál, pôdy, atď,ktoré prispievajú k dennému orbitu okolo zemskej osi. Túto interpretáciu však nemôžemeaplikovať na elektrón: je to bezštruktúrna častica, takže jeho vnútorný (spinový) momenthybnosti sa nedá rozložiť na nejaké časti obiehajúce okolo osi. Spin v mikrosvete je jed-noducho vnútorná vlastnosť častice, ktorá nemá analóg v makrosvete.

V kvantovej mechanike je súčasné meranie všetkých zložiek vektora momentu hybnostiL z princípu nemožné (vyplýva to z Heisenbergovho princípu neurčitosti). Napríklad, čímpresnejšie by sme chceli zmerať zložku Lx, tým horšie zmeriame zložku Ly. Preto sazvyčajne merajú dve veci, ktoré je možné merať simultánne: veľkosť L (alebo kvadrát

56

veľkosti: L2 = L.L) a jednu zložku vektora L (zvyčajne Lz). Meranie týchto dvochveličín dáva len isté hodnoty (násobky ~). Kvadrát veľkosti L2 je rovný:

l(l + 1)~2 ,

kde l je celé nezáporné číslo: 0,1,2,3,..,atď. Pre každú hodnotu l dostávame inú veľkosťLz:

ml~ ,

kde ml je celé číslo v intervale −l,+l:

ml = −l,−l + 1, ...,−1, 0, 1, ..., l − 1, l ,

v sume teda (2l + 1) možností. Podobné vzťahy platia aj pre spinový moment hybnosti.Meranie veľkosti spinu S2 = S.S dáva hodnoty:

s(s+ 1)~2 .

V prípade spinového momentu hybnosti kvantové číslo s môže byť nielen celočíselné, aleaj poločíselné:

s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...

Pre danú hodnotu s, meranie Sz vedie k hodnotám:

ms~ ,

kde ms je číslo v intervale −s,+s:

ms = −s,−s+ 1, ...,−1, 0, 1, ..., s− 1, s ,

dokopy (2s + 1) možností. Daná častica môže nadobúdať hocijakú hodnotu orbitálnehomomentu hybnosti, ale pre každú časticu je s (spin častice) konštantné. Napríkad každýkaón alebo pión má s = 0, každý elektrón, protón, neutrón alebo kvark má s = 1/2. Pre ρ,J/ψ, fotón alebo gluón je s = 1, pre ∆ alebo Ω− je s = 3/2. Častice s poločíselným spinomsa nazývajú fermióny, častice s celočíselným spinom sa nazývajú bozóny. To znamená, žebaryóny, leptóny a kvarky sú fermióny, mezóny a prenášače interakcií sú bozóny.

Stavy častíc z pohľadu momentu hybnosti môžeme napísať aj vo forme známej z kvan-tovej mechaniky (“kets”): |l ml〉 alebo |s ms〉. Ak napíšeme, že elektrón je vo vodíkovom

57

atóme v orbitálnom stave |3 − 1〉 a spinovom stave |1/2 1/2〉 , znamená to, že l = 3,ml = −1, s = 1/2 a ms = 1/2.

Často sa stáva, že nás nezaujímajú tieto dva momenty hybnosti osobitne, ale ich súčet:J = L + S (celkový moment hybnosti). Napríklad pri štúdiu páru kvark - antikvark vzákladnom stave bude orbitálny moment hybnosti nulový a výsledný moment hybnostibude určený súčtom spinu q a q:

S = S1 + S2 .

Otázka teda znie: Ako sčítať dva momenty hybnosti? T.j., ak máme stavy |j1 m1〉 a|j2 m2〉, aký bude výsledný stav |j m〉 ? V klasickej fyzike by sme sčítali len zložky vek-torov. V kvantovej mechanike však nemáme prístup ku všetkým trom zložkám, musímepracovať len s jednou zložkou a veľkosťou momentu hybnosti. Z-ová súradnica sa sčítaklasicky:

m = m1 +m2 ,

ale veľkosti nie, lebo tie závisia od relatívnej orientácie vektorov J1 a J2. V skutočnostij nadobúda rôzne hodnoty:

j = |j1 − j2|, |j1 − j2|+ 1, ..., (j1 + j2)− 1, j1 + j2 ,

a celkový moment hybnosti bude potom:

J2 = j(j + 1)~2 .

Napríklad častica so spinom s = 1 a orbitálnym momentom hybnosti l = 3, môže mať cel-kový moment hybnosti: j = 4 (J2 = 20~2) alebo j = 3 (J2 = 12~2) alebo j = 2 (J2 = 6~2).

Príklad

Kvark a antikvark tvoria viazaný stav s nulovým orbitálnym momentom hybnosti, t.j.formujú mezón v základnom stave. Aké sú možné hodnoty spinu tohto mezónu?Riešenie

Kvarky (a teda aj antikvarky) majú spin 1/2, to znamená, že môžeme dostať dve kom-binácie: 1/2 + 1/2 = 1 alebo 1/2 − 1/2 = 0. Kombinácie so spinom 0 predstavujú tzv.pseudoskalárne mezóny (π,K, η, η′). Kombinácie so spinom 1 tvoria tzv. vektorové me-zóny (ρ,K∗, φ, ω)1.

1Pojmy pseudoskalárny a vektorový súvisia so zmenou znamienka vlnovej funkcie pri priestorovejinverzii (viac v sekcii 4.3).

58

Ak chceme sčítať tri momenty hybnosti, sčítame najprv dva a potom k tomuto súčtutretí. Pretože orbitálny moment hybnosti musí byť celočíselný, všetky mezóny (či už majúorbitálny moment hybnosti nulový alebo nie) majú celočíselný spin. Podľa tejto logikyvšetky baryóny (keďže sú zložené z troch kvarkov) musia mať poločíselný spin.

Príklad

Predpokladajme, že máme tri kvarky s nulovým orbitálnym momentom hybnosti. Aké súmožné spiny výsledného baryónu?Riešenie

Z kombinácie dvoch kvarkov dostaneme celkový moment hybnosti 1/2 + 1/2 = 1 alebo1/2− 1/2 = 0. Keď pridáme aj tretí kvark dostaneme 1 + 1/2 = 3/2 alebo 1− 1/2 = 1/2

(ak je celkový moment hybností prvých dvoch 1) a 0 + 1/2 = 1/2 (ak celkový momenthybností prvých dvoch bol 0). Čiže baryóny môžu mať spin 3/2 alebo 1/2 (pričom spin1/2 môže byť dosiahnutý dvoma spôsobmi).

Niekedy potrebujeme zistiť aj s akou pravdepodobnosťou daný celkový moment hybnostinastane:

|j1 m1〉|j2 m2〉 =

(j1+j2)∑

j=|j1−j2|Cjj1j2mm1m2

|j m〉 , (4.1)

kde m = m1 + m2. Hodnoty C sú známe ako Clebsch-Gordanove koeficienty. Vyjadrujúpravdepodobnosť, s akou dostaneme j(j + 1)~2 pre každé povolené j, ak meriame J2 presystém pozostávajúci z dvoch stavov: |j1 m1〉 a |j2 m2〉. Pravdepodobnosť vypočítame akodruhú mocninu týchto koeficientov2.

Príklad

Elektrón v atóme vodíka má orbitálny moment |2 − 1〉 a spinový stav |1/2 1/2〉. Akéhodnoty dostaneme pre J2 a aké sú ich pravdepodobnosti?Riešenie

Možné hodnoty j sú l + s = 2 + 1/2 = 5/2 a l − s = 2 − 1/2 = 3/2. Z-ová zložka jem = −1 + 1/2 = −1/2. Ak sa pozrieme do tabuliek pre Clebsch-Gordanove koeficientypre 2×1/2 (to znamená, že kombinujeme momenty hybnosti 2 a 1/2) na riadok začínajúci

2Tabuľka s Clebsch-Gordanovými koeficientami sa nachádza na konci kapitoly Výsledky.

59

s −1 a 1/2 (čo sú hodnoty m1 a m2), dostaneme:

|2 − 1〉 |1/2 1/2〉 =√

(2/5) |5/2 − 1/2〉 −√

(3/5) |3/2 − 1/2〉

čiže pravdepodobnosť, že výsledný stav bude mať j = 5/2 bude 2/5 a pravdepodobnosť,že j = 3/2 je 3/5.

Tabuľky s Clebsch-Gordanovými koeficientami môžeme čítať aj opačne:

|jm〉 =∑

j1,j2

Cjj1j2mm1m2

|j1m1〉|j2m2〉 , (4.2)

t.j. môžeme zistiť, aké rôzne kombinácie počiatočných stavov (aj s jednotlivými pravde-podobnosťami) nám vytvoria stav, o ktorý sa zaujímame.

4.2 Izospin

Ten istý formalizmus aký sme použili pre moment hybnosti sa dá aplikovať aj na izospin(sekcia 2.2). Napríklad pre pióny platí:

π+ = |1 1〉

π0 = |1 0〉

π− = |1 − 1〉 .

Pre Λ zase I = 0: Λ0 = |0 0〉 a pre ∆ rezonancie:

∆++ = |3/2 3/2〉

∆+ = |3/2 1/2〉

∆0 = |3/2 − 1/2〉

∆− = |3/2 − 3/2〉 .

I3 nadobúda hodnoty od −I po I, čiže počet častíc v rodine je 2I + 1. Izospin hadrónovmôžeme odvodiť od izospinu kvarkov u a d, ktoré považujeme za dva stavy tej istej častice(ostatné kvarky majú izospin 0):

u = |1/2 1/2〉 d = |1/2 − 1/2〉 .

60

Súvislosť izospinu s ďalšími vnútornými kvantovými číslami nám udáva Gell-Mann-Nishijimovvzťah:

Q = I3 + 1/2(B + S) . (4.3)

Keďže Q, B a S sa zachovávajú v silnej a v elektromagnetickej interakcii, potom aj I3 sazachováva v oboch interakciách. Avšak I sa nezachováva v elektromagnetickej:

π0 → γ + γ 1 9 0 ,

a taktiež I a I3 sa nezachovávajú v slabej interakcii (napríklad v rozpade Λ → p + π−).Doteraz nám izospin slúžil len na klasifikáciu častíc, no izospin môžeme využiť aj nazískanie dynamickej informácie.

Príklad

Zistite izospin deuterónu.Riešenie

Majme dva nukleóny. Z tabuľky 2.6 vieme, že izospinový stav protónu je |1/2 1/2〉 aneutrónu |1/2 − 1/2〉. Pravidlá sčítavania momentov hybností nám vravia, že celkovýizospin môže byť 1 alebo 0:

|1 1〉 = pp

|1 0〉 = 1/√

2(pn+ np)

|1 − 1〉 = nn

|0 0〉 = 1/√

2(pn− np) .

Prvé tri stavy tvoria spolu tzv. symetrický izotriplet, posledný sa nazýva antisymetrickýizosinglet. Experimentálne nepozorujeme stavy pp alebo nn, z čoho usudzujeme, že deute-rón je izosinglet. Hovoríme, že v kanáli I = 1 nie je pre pár nukleónov silné priťahovanie.

Príklad

Zistite pomery účinných prierezov pre tieto nukleónovo-nukleónové rozptyly:

a) p+ p→ d+ π+

b) p+ n→ d+ π0

c) n+ n→ d+ π− .

61

Riešenie

Z predchádzajúceho príkladu vieme, že I deuterónu je 0, z toho vyplýva, že izospinovéstavy na pravej strane sú dané stavmi piónov: |1 1〉, |1 0〉 |1 − 1〉. Situácia na ľavej jenasledovná: pp = |1 1〉, nn = |1 − 1〉 a pn = 1/

√2(|1 0〉+ |0 0〉). Keďže konečné stavy sú

s I = 1, a ide o silnú interakciu, kde sa I zachováva, potom v pn prispieva len člen |1 0〉a teda amplitúdy rozptylu budú v pomere:

Ma : Mb : Mc = 1 : 1/√

2 : 1 .

Účinný prierez je úmerný druhej mocnine amplitúdy rozptylu:

σa : σb : σc = 2 : 1 : 2 ,

čo experimentálne súhlasí (minimálne pre a) a b), pretože c) je ťažko technicky realizova-teľná).

4.3 Parita

Pri priestorovej inverzii sa menia znamienka všetkých troch priestorových súradníc: (x, y, z)→(−x,−y,−z). Vo všeobecnosti poznáme 4 typy veličín na základe správania sa pri pries-torovej inverzii (ak P je operácia priestorovej inverzie):

• Skalár: P (s) = s

• Pseudoskalár: P (p) = −p (napr. p = a.(b× c))

• Vektor: P (v) = −v

• Pseudo alebo Axiálny vektor: P (a) = a (napr. a = b× c .)

Aplikujme operátor P priestorovej inverzie na vlnovú funkciu nejakej častice:

Pψ(r) = ψ(−r) . (4.4)

Vlastná hodnota operátora priestorovej inverzie P sa nazýva parita P :

P 2 = I ⇒ P = ±1 , (4.5)

62

pričom I je jednotkový operátor: Iψ = ψ. Parita je multiplikatívne kvantové číslo (nieaditívne ako napr. elektrický náboj). Viazaný systém dvoch častíc A a B s paritami PA aPB má výslednú paritu PAB = PAPB.Každá častica má definovanú svoju vlastnú (vnútornú) paritu vo svojej pokojovej sústave.Dohodou majú fermióny paritu +1 a antifermióny paritu −1. Parita bozónov je taká istáako parita antibozónov. V tabuľkách ju nájdeme spolu so spinom:

JP = spinparita .

Napríklad pre protón je JP = 1/2+, pre fotón je JP = 1−. Parita zloženého systému je vzákladnom stave súčinom parít jednotlivých komponentov. Baryóny majú kladnú paritu(+1)3, kým pseudoskalárne a vektorové mezóny (v základnom stave) majú paritu zápornú:(−1)(+1). Pre excitované stavy musíme pridať extra faktor (−1)l, kde l je orbitálnymoment hybnosti, čiže vo všeobecnosti majú mezóny paritu (−1)(l+1). Kým parita sa vsilnej a elektromagnetickej interakcii zachováva, v slabej sa narúša. Narušenie parity nieje malý efekt, v skutočnosti je to narušenie maximálne. Príkladom je neutríno, ktoré sa vprírode vyskytuje len ako ľavotočivé a antineutríno ako pravotočivé (stále sa pohybujemev rámci Štandardného modelu).

V kvantovej mechanike je na nás, ktorú os zvolíme, aby sme určili projekciu momentuhybnosti. Pre spin častice, ktorá sa pohybuje v laboratórnej sústave rýchlosťou v je tátoos najprirodzenejšie určená smerom pohybu častice. Hodnota ms/s pre túto os sa nazývahelicita častice. Častica so spinom 1/2 môže mať helicitu +1 (ms = 1/2) alebo −1 (ms =

−1/2). V prvom prípade označujeme časticu ako pravotočivú, v druhom ako ľavotočivú.Pre nehmotné častice je táto veličina lorentzovsky invariantná.

4.4 Nábojová združenosť

Klasická elektrodynamika je invariantná pri zmene znamienka náboja - ak by sme vymenilivšetky náboje za ich proťajšky, sila ostane tá istá. Vo fyzike elementárnych častíc môžemezaviesť operáciu, ktorá zovšeobecní takýto princíp (bude platiť nielen pre elektrický náboj,ale aj pre ďalšie kvantové čísla) - volá sa nábojová združenosť (alebo aj nábojová parita,resp. C-parita) C a mení časticu na antičasticu:

C|p〉 = |p〉 .

63

Operátor C zmení znamienka všetkých “vnútorných” kvantových čísel: elektrického ná-boja, baryónového čísla, leptónového čísla, podivnosti, šarmu, krásy a pravdy, zatiaľčohmotnosť, energiu, hybnosť a spin ponechá nedotknuté. Presne ako s paritou P , aplikáciaoperátora C dvakrát nás privedie do toho istého stavu:

C2 = I ⇒ C = ±1 . (4.6)

Na rozdiel od P však väčšina častíc nie je vlastnými stavmi operátora C. Napríklad, ak|p〉 je vlastný stav, potom:

C|p〉 = ±|p〉 6= |p〉 .

Rovná sa to len vtedy, ak |p〉 a |p〉 reprezentujú ten istý stav, t. j. vlastnými stavmi operá-tora C môžu byť len častice, ktoré sú si zároveň aj antičasticami: napr. γ alebo hadróny zostredov supermultipletov: π0, η, φ, ω, J/ψ. V tabuľkách sa nábojová združenosť pre tietočastice nachádza vedľa parity (JCP ). Keďže fotón je kvantom elektromagnetického poľa,ktoré mení znamienko aplikovaním C, potom má zmysel, ak číslo nábojovej združenostifotónu bude −1.

Všeobecne pre systém dvoch kvarkov bude C = (−1)l+s, t.j. pre pseudoskalárne me-zóny je C = 1, pre vektorové mezóny je C = −1. Je to multiplikatívne kvantové číslo (akoparita) a zachováva sa v silnej a v elektromagnetickej interakcii.

Príklad

Pomocou zákona zachovania nábojovej združenosti určte, či sa π0 môže rozpadnúť na 3γ.Riešenie

Neutrálny pión je pseudoskalárny mezón v základnom stave, čiže jeho nábojová združenosťbude C = 1. Pre n fotónov je C = (−1)n, preto v rozpade:

π0 → γ + γ ,

bude C = +1 pred i po rozpade. Z toho zároveň vyplýva, že π0 sa nemôže rozpadnúť na3γ. Podobne ω sa rozpadáva na π0 + γ, ale nikdy nie na π0 + 2γ.

Na druhej strane nábojová združenosť nie je symetriou slabej interakcie: ak ju aplikujemena neutríno (ľavotočivé), dostaneme antineutríno (ľavotočivé) - ktoré v rámci Štandard-ného modelu neexistuje.

64

4.5 CP symetria

Kombináciou operátorov parity (P ) a nábojovej združenosti (C) dostaneme tzv. CP sy-metriu (niekedy označovanú ako kombinovanú paritu). Predpokladalo sa, že táto symetriabude konečne platiť aj pre slabé interakcie, no experimentálne sa dokázalo, že je v slabýchinterakciách (trochu) narušená.

Príklad

Dokážte, že stav

K1 =

(1√2

)(|K0〉 − |K0〉)

je vlastným stavom operátora CP .Riešenie

Neutrálny kaón je pseudoskalárny mezón v základnom stave, čiže jeho parita bude zápornáP = −1:

P |K0〉 = − |K0〉 a P |K0〉 = − |K0〉 .

Pre nábojovú združenosť zase platí:

C |K0〉 = |K0〉 a C |K0〉 = |K0〉 .

Kombináciou operátorov C a P potom dostaneme

CP |K0〉 = − |K0〉 a CP |K0〉 = − |K0〉 .

Po dosadení do stavu |K1〉 zistíme, že CP |K1〉 = |K1〉, čiže daný stav je naozaj vlastnýmstavom operátora CP .

Neriešené príklady

4.1 Predpokladajme, že elektrón je v skutočnosti tuhá gulička s polomerom r (r jeexperimentálne menej ako 10−18 m), hmotnosťou m a momentom hybnosti ~/2.Aká je rýchlosť v bode na jeho rovníku? Čo z toho môžeme vyvodiť?

4.2 Aké sú možné hodnoty kvantového čísla l orbitálneho momentu hybnosti (v sústaverozpadajúcej sa častice) konečného stavu v rozpade ∆++ → p+ π+ ?

65

4.3 Elektrón je vo vodíkovom atóme v stave s kvantovým číslom orbitálneho momentuhybnosti l = 1. Ak je jeho kvantové číslo j jeho celkového momentu hybnosti rovné3/2 a z-ová zložka tohto celkového momentu hybnosti rovná ~/2, aká je pravdepo-dobnosť, že elektrón bude v stave ms = 1/2?

4.4 Majme dve častice so spinom 2, každá v stave Sz = 0. Ak budeme merať celkovýmoment hybnosti takéhoto systému za predpokladu, že orbitálny moment hybnostije nulový, aké hodnoty celkového momentu hybnosti môžeme dostať a s akými prav-depodobnosťami? Skontrolujte, či je súčet pravdepodobností rovný 1.

4.5 Σ∗0 sa môže rozpadnúť na Σ+ + π−, Σ0 + π0 alebo na Σ− + π+ (rozpadáva sa aj naΛ0 + π0, no tento rozpad neberieme do úvahy). Predpokladajme, že sme pozorovali100 takýchto rozpadov, koľko rozpadov ktorého procesu by sme mali vidieť?

4.6 Predpokladajme, že máme jednu časticu so spinom 3/2 a druhú so spinom 2. Akvieme, že ich orbitálny moment hybnosti je nulový a ich celkový spin je 5/2 a jeho z-ová zložka −1/2, aké hodnoty môžeme dostať pre z-ovú zložku Sz častice so spinom2? Aké sú pravdepodobnosti pre každú hodnotu? Skontrolujte, či je ich súčet rovný1.

4.7 Určte izospinový stav |I I3〉 pre každú z nasledujúcich častíc (pomôžte si supermul-tipletmi z osmičkovej cesty): Ω−,Σ+,Ξ0, ρ+, η, K0.

4.8 Preverte, či Gell-Mann-Nishijimov vzťah (4.3) platí aj pre kvarky u, d a s. Akésú izospinové stavy |I I3〉 pre antikvarky u, d a s? Skontrolujte, či aj tieto stavysúhlasia s Gell-Mann-Nishijimovým vzťahom.

4.9 Nájdite pomery účinných prierezov pre nasledovné interakcie (predpokladajte, žekanál s I = 3/2 dominuje):(a) π− + p→ K0 + Σ0

(b) π− + p→ K+ + Σ−

(c) π+ + p→ K+ + Σ+.Čo ak je energia zrážky taká, že dominuje kanál I = 1/2?

4.10 Ukážte, že existencia rozpadov K+ → π+ + π0 a K+ → π+ + π+ + π− implikujenarušenie parity ak má kaón nulový spin.

66

4.11 Vypočítajte pomery účinných prierezov nasledujúcich interakcií π− + p → Λ + K0

a π+ + n→ Λ +K+ pri tej istej energii.

4.12 Vypočítajte pomery účinných prierezov σ(p + p → d + π+)/σ(p + n → d + π0) pritej istej energii.

4.13 Vypočítajte pomery účinných prierezov σ(K− + 4He→ Σ0 + 3H)/σ(K− + 4He→Σ− + 3He) pri tej istej energii.

4.14 Určte pomery účinných prierezov(a) K− + p→ π+ + Σ−

(b) K− + p→ π0 + Σ0

(c) K− + p→ π− + Σ+

pomocou izospinových amplitúd A0, A1 a A2.

4.15 Určte pomery účinných prierezov pružného rozptylu π− + p → π− + p a nábojovejvýmeny π− + p→ π0 + n pomocou izospinových amplitúd A1/2 a A3/2.

4.16 Stav ∆(1232) má izospin I = 3/2. Aký je pomer medzi rýchlosťami rozpadov ∆0 →p+ π− a ∆0 → n+ π0? Čo v prípade ak I = 1/2?

4.17 V experimente s bublinovou komorou so zväzkom K− je vyselektovaná vzorka prí-padov s reakciou K− + p → Λ0 + π+ + π−. Rezonancia je detekovaná v obochhmotnostných rozdeleniach Λ0π+ a Λ0π−. V obidvoch má hmotnosťM = 1385 MeVa šírku píku Γ = 50 MeV. Označujeme ju Σ(1385). Aká je podivnosť, hypernáboj,izospin a tretia komponenta izospinu rezonancie Λ0π+? Ak analýza momentov hyb-nosti stanoví, že orbitálny moment hybnosti systému Λ0π je L = 1, aké budú potommožné hodnoty spin-parity JP ?

4.18 Nájdite tri dôvody prečo by mal byť rozpad ρ0 → π0 + π0 zakázaný.

4.19 Mezón ρ0 má spin 1, mezón f 0 má spin 2. Oba sa rozpadajú na π+ + π−. Je rozpadna π0 + γ zakázaný pre jeden z mezónov alebo pre oba alebo pre žiadny?

4.20 Vypočítajte pomer Γ(K∗+ → K0 + π+)/Γ(K∗+ → K+ + π0) predpokladajúc, že K∗

má izospin IK∗ = 1/2 alebo IK∗ = 3/2.

4.21 Vypočítajte pomery Γ(K−p)/Γ(K0n) a Γ(π−π+)/Γ(K0n) pre Σ(1915), ktorá máI = 1.

67

4.22 Nájdite možné hodnoty celkového izospinu pre systém 2π0.

4.23 Baryón sa rozpadáva silno na Σ+ + π− a Σ− + π+, ale nie na Σ0 + π0 alebo Σ+ +

π+ aj keď sú kinematicky možné. Čo sa dá povedať o izospine baryónu? Overtesvoj výsledok porovnaním s pomerom šírok v oboch pozorovaných rozpadoch. Akzanedbáme rozdiely vo fázovom priestore, akú hodnotu očakávate?

4.24 Nájdite pomer účinných prierezov reakcií (pri tej istej energii zrážky): p + d →3He+ π0 a p+ d→ 3H + π+. (3He a 3H tvoria izospinový dublet.)

4.25 Ako sa chovajú nasledujúce veličiny po aplikovaní operátora priestorovej inverzie?polohový vektor rmoment hybnosti Lelektrické pole Eelektrický dipólový moment σ.Ehybnosť pspin σhelicita σ.pmagnetické pole Bmagnetický dipólový moment σ.Epriečna polarizácia σ. (p1 × p2)

4.26 Vysvetlite prečo je pre mezón η zakázaný silný a elektromagnetický rozpadový kanálna dva pióny.

4.27 ρ0 (JP = 1−, I = 0) sa skoro 100% rozpadáva na π+ + π−. Prečo sa tiež nerozpadnena π0 + π0?

4.28 Ktoré z nasledujúcich časticových stavov sú vlastnými stavmi operátora nábojovejzdruženosti C a aké sú ich vlastné hodnoty?:|γ〉 ; |π0〉 ; |π+〉 ; |π−〉 ; |π+〉 − |π+〉 ; |νe〉 ; |Σ0〉

4.29 Mezón f2(1270) má spin 2 a rozpadáva sa (okrem iných módov) na π+ +π−. Využitetento poznatok na zistenie parity a C-parity. Vyšetrite, či sú rozpady f2 → π0 + π0

a f2 → γ + γ povolené.

68

4.30 Λ hyperón sa rozpadáva skoro výlučne na Λ → p + π− a Λ → n + π0. Aplikujtepravidlá pre priradenie momentu hybnosti k izospinu, aby ste odhadli pomer obochpravdepodobností rozpadu.

4.31 Baryón ∆+(I = 3/2, I3 = +1/2) sa môže rozpadnúť na p+π0 a n+π+. Vypočítajtepomer týchto vetviacich pomerov.

4.32 π− interaguje s terčíkom a vznikajú neutrálne K mezóny a Λ hyperóny. Berte doúvahy zložku výsledného zväzku K mezónov s hybnosťou p = 10 GeV. Aký je pomermedzi KS a KL v mieste produkcie? A aký je vo vzdialenosti l = 10 m od miestaprodukcie? Určte aká časť rozpadov na 2π by sa pozorovala, ak by neexistovalo CPnarušenie.

4.33 Mezón ρ je častica so spinom J = 1 a hmotnosťou 770MeV/c2 vyskytujúca sa vtroch stavoch: ρ+, ρ0, ρ−. Rozpadáva sa na pár bezspinových piónov. Ukážte, že kýmrozpady ρ± → π0π± a ρ0 → π+π− sú povolené, rozpad ρ0 → π0π0 je zakázaný.

4.34 Dokážte, že interakcia π− + d→ n+ n+ π0 nemôže prebehnúť pre pióny v pokoji.

4.35 Ukážte, že pre pióny s nulovým relatívnym orbitálnym momentom hybnosti je kom-binácia π+π− vlastným stavom operátora CP s vlastnou hodnotou +1 a kombináciaπ+π−π0 je vlastným stavom CP s vlastnou hodnotou −1.

4.36 Určte, cez ktoré izospinové kanály prebehnú interakcieK++p→ Σ0+π0 aK−+p→Σ++π−. Nájdite pomer ich účinných prierezov za predpokladu, že jeden alebo druhýizospinový kanál dominuje.

4.37 V ktorom izospinovom stave môžu kombinácie π+π−π0 a π0π0π0 existovať? (Po-môcka: Najprv napíšte izospinové funkcie pre pár piónov a potom kombinujte každús tretím piónom.)

4.38 Oba neutrálne mezóny ρ0(770) s J = 1 a f 0(1275) s J = 2 sa rozpadávajú na π+π−:Aké sú ich C a P parity?

4.39 Aké sú možné hodnoty izospinu pre nasledujúce systémy:(a) π+ mezón a antiprotón(b) dva neutróny(c) π+ mezón a Λ0 baryón

69

(d) π0 a π+ mezóny(e) u a u kvark(f) c, b a s kvarky

4.40 Mezón ρ0(770) má JP = 1− a silno sa rozpadá na π+π− páry. Uvažujúc symetriu amoment hybnosti, vysvetlite, prečo je rozpad ρ0(770)→ π0π0 zakázaný.

4.41 Ktorá reakcia je nábojovo združená k reakcii K− + p→ K0 + n? Môže byť systémK− − p vlastným stavom operátora nábojovej združenosti? Podobne preskúmajteaj reakciu p+ p→ π+ + π−.

4.42 Baryón Ξ− má JP = 1/2+. Rozpadáva sa slabo na Λ0 a π−. Pre tieto častice platí:JP (Λ0) = 1/2+ a JP (π−) = 0−. Aké sú povolené stavy momentu hybnosti presystém Λ0 − π−?

4.43 Ktoré z nasledujúcich rozpadov sú zakázané zákonom zachovania C-symetrie?(a) ω0 → π0 + γ

(b) η′ → ρ0 + γ

(c) π0 → γ + γ + γ

(d) J/ψ → p+ p

(e) ρ0 → γ + γ

4.44 Rozpad η-mezónu je užitočný pre testovanie zachovania C-symetrie. Ktoré z nasle-dujúcich rozpadových kanálov sú povolené a ktoré zakázané zákonom zachovaniaC-symetrie?(a) η → γ + γ

(b) η → π0 + γ

(c) η → π0 + π0 + π0

(d) η → 3γ

(e) η → π+ + π− + π0

70

Výsledky neriešených príkladov

1.1 Najprv zasvietila lampa B a o 10−5 sekúnd neskôr aj lampa A.1.2 V = V ′/γ

1.3 ρ = γρ′

1.4 659 m; 10400 m; Nie, prejdú 123 m.1.5 0, 80c

1.6 Áno; Nie.1.7 5/2m

1.8 v = c√

1− (2m/M)2

1.9 vµ =m2π−m2

µ

m2π−m2

µc

1.11 T ′ = 4T (1 + T/(2mc2))

1.13 tan θ = (1−m2µ/m

2π)/(2βγ2)

1.14 186 m 1.15 (c2/u)(1−√

1− v2/c2)

1.16 M2−m2A−m2

B

2mBc, kde M ≡ m1 +m2 + ...mn

1.17 1538 MeV1.18 λ′ = λ+ h

mc(1− cos θ)

1.22 m =√s = 9, 43GeV

1.24 Γπ± = 25 neV; ΓK = 54 neV; ΓΛ = 2, 5 µeV1.25 7× 109 eV = 70 EeV1.30 Opačný ako prvý fotón. E2 = 30, 4 MeV; β = 0.662

1.34 S najväčšou pravdepodobnosťou ide o Λ.

2.3 Rozdiel je 0.7%. 2.5 (a) povolená; (b) povolená; (c) narúša Lµ; (d) povolená; (e)narúša ZZH (zákon zachovania hybnosti); (f) narúša B a S; (g) narúša B a S; (h) narúšaZZMH (zákon zachovania momentu hybnosti) a Le; (i) narúša ZZE (zákon zachovaniaenergie)

71

2.9 (a) narúša ZZE, ZZMH a Le; (b) narúša ZZMH a Le; (c) povolená; (d) narúša ZZMHa Lµ; (e) povolená; (f) narúša Lµ a Le; (g) narúša Le; (h) povolená;2.11 (a) narúša pôvab a krásu; (b) povolená; (c) povolená; (d) narúša krásu; (e) narúšabaryónové číslo2.15 (a) narúša Lµ, (d) narúša Lµ a Lτ ; (b) a (c) sú povolené.2.16 (a) slabá; (b) elektromagnetická; (c) silná; (d) slabá; (e) silná; (f) elektromagnetická.

3.1 2, 4× 10−43

3.25 Áno, je to silný rozpad potlačený OZI pravidlom. Dobu života očakávame rádovo10−20 s.

4.1 v > 1014 m/s - viac ako rýchlosť svetla, tzn. tento model asi nie je správny.4.4 j = 4 s pravdepodobnosťou 18

35; j = 2 s pravdepodobnosťou 2

7a j = 0 s pravdepodob-

nosťou 15.

4.5 Nabité budú 50:50, neutrálny žiaden.4.6m1 = 1 s pravdepodobnosťou 27

70alebom1 = 0 s pravdepodobnosťou 3

35alebom1 = −1

s pravdepodobnosťou 514

alebo m1 = −2 s pravdepodobnosťou 635.

4.7 Ω− = |0 0〉; Σ+ = |1 1〉; Ξ0 = |12

12〉; ρ+ = |1 1〉; η = |0 0〉; K0

= |12

12〉

4.9 Ak dominuje kanál I = 3/2 potom σa : σb : σc = 2 : 1 : 9. Ak dominuje kanál I = 1/2

potom σa : σb : σc = 2 : 4 : 9.4.18 parita, nábojová združenosť a spin4.28 Rozpad by narúšal zákon zachovania parity.

72

34. Clebsch-Gordan coefficients 010001-1

34. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS,

AND d FUNCTIONS

Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for −8/15 read −√

8/15.

Y 01 =

√3

4πcos θ

Y 11 = −

√3

8πsin θ eiφ

Y 02 =

√5

4π

(3

2cos2 θ − 1

2

)

Y 12 = −

√15

8πsin θ cos θ eiφ

Y 22 =

1

4

√15

2πsin2 θ e2iφ

Y −m` = (−1)mYm∗` 〈j1j2m1m2|j1j2JM〉= (−1)J−j1−j2〈j2j1m2m1|j2j1JM〉d `m,0 =

√4π

2`+ 1Ym` e−imφ

djm′,m = (−1)m−m

′djm,m′ = d

j−m,−m′ d 1

0,0 = cos θ d1/21/2,1/2

= cosθ

2

d1/21/2,−1/2

= − sinθ

2

d 11,1 =

1 + cos θ

2

d 11,0 = − sin θ√

2

d 11,−1 =

1− cos θ

2

d3/23/2,3/2

=1 + cos θ

2cos

θ

2

d3/23/2,1/2

= −√

31 + cos θ

2sin

θ

2

d3/23/2,−1/2

=√

31− cos θ

2cos

θ

2

d3/23/2,−3/2

= −1− cos θ

2sin

θ

2

d3/21/2,1/2

=3 cos θ − 1

2cos

θ

2

d3/21/2,−1/2

= −3 cos θ + 1

2sin

θ

2

d 22,2 =

(1 + cos θ

2

)2

d 22,1 = −1 + cos θ

2sin θ

d 22,0 =

√6

4sin2 θ

d 22,−1 = −1− cos θ

2sin θ

d 22,−2 =

(1− cos θ

2

)2

d 21,1 =

1 + cos θ

2(2 cos θ − 1)

d 21,0 = −

√3

2sin θ cos θ

d 21,−1 =

1− cos θ

2(2 cos θ + 1) d 2

0,0 =(3

2cos2 θ − 1

2

)

+1

5/25/2

+3/23/2

+3/2

1/54/5

4/5−1/5

5/2

5/2−1/23/52/5

−1−2

3/2−1/22/5 5/2 3/2

−3/2−3/24/51/5 −4/5

1/5

−1/2−2 1

−5/25/2

−3/5−1/2+1/2

+1−1/2 2/5 3/5−2/5−1/2

2+2

+3/2+3/2

5/2+5/2 5/2

5/2 3/2 1/2

1/2−1/3

−1

+10

1/6

+1/2

+1/2−1/2−3/2

+1/22/5

1/15−8/15

+1/21/10

3/103/5 5/2 3/2 1/2

−1/21/6

−1/3 5/2

5/2−5/2

1

3/2−3/2

−3/52/5

−3/2

−3/2

3/52/5

1/2

−1

−1

0

−1/28/15

−1/15−2/5

−1/2−3/2

−1/23/103/5

1/10

+3/2

+3/2+1/2−1/2

+3/2+1/2

+2 +1+2+1

0+1

2/53/5

3/2

3/5−2/5

−1

+10

+3/21+1+3

+1

1

0

3

1/3

+2

2/3

2

3/23/2

1/32/3

+1/2

0−1

1/2+1/22/3

−1/3

−1/2+1/2

1

+1 1

0

1/21/2

−1/2

0

0

1/2

−1/2

1

1

−1−1/2

1

1

−1/2+1/2

+1/2 +1/2+1/2−1/2

−1/2+1/2 −1/2

−1

3/2

2/3 3/2−3/2

1

1/3

−1/2

−1/2

1/2

1/3−2/3

+1 +1/2+10

+3/2

2/3 3

3

3

3

3

1−1−2−3

2/31/3

−22

1/3−2/3

−2

0−1−2

−10

+1

−1

2/58/151/15

2−1

−1−2

−10

1/2−1/6−1/3

1−1

1/10−3/10

3/5

020

10

3/10−2/53/10

01/2

−1/2

1/5

1/53/5

+1

+1

−10 0

−1

+1

1/158/152/5

2

+2 2+1

1/21/2

1

1/2 20

1/6

1/62/3

1

1/2

−1/2

0

0 2

2−21−1−1

1−11/2

−1/2

−11/21/2

00

0−1

1/3

1/3−1/3

−1/2

+1

−1

−10

+100

+1−1

2

1

00 +1

+1+1

+11/31/6

−1/2

1+13/5

−3/101/10

−1/3−10+1

0

+2

+1

+2

3

+3/2

+1/2 +11/4 2

2

−11

2

−21

−11/4

−1/2

1/2

1/2

−1/2 −1/2+1/2−3/2

−3/2

1/2

1003/4

+1/2−1/2 −1/2

2+13/4

3/4

−3/41/4

−1/2+1/2

−1/4

1

+1/2−1/2+1/2

1

+1/2

3/5

0−1

+1/20

+1/23/2

+1/2

+5/2

+2 −1/2+1/2+2

+1 +1/2

1

2×1/2

3/2×1/2

3/2×12×1

1×1/2

1/2×1/2

1×1

Notation:J J

M M

...

. . .

.

.

.

.

.

.

m1 m2

m1 m2 Coefficients

−1/52

2/7

2/7−3/7

3

1/2

−1/2−1−2

−2−1

0 4

1/21/2

−33

1/2−1/2

−2 1

−44

−2

1/5

−27/70

+1/2

7/2+7/2 7/2

+5/23/74/7

+2+10

1

+2+1

+41

4

4+23/14

3/144/7

+21/2

−1/20

+2

−10

+1+2

+2+10

−1

3 2

4

1/14

1/14

3/73/7

+13

1/5−1/5

3/10

−3/10

+12

+2+10

−1−2

−2−10

+1+2

3/7

3/7

−1/14−1/14

+11

4 3 2

2/7

2/7

−2/71/14

1/14 4

1/14

1/143/73/7

3

3/10

−3/10

1/5−1/5

−1−2

−2−10

0−1−2

−10

+1

+10

−1−2

−12

4

3/14

3/144/7

−2 −2 −2

3/7

3/7

−1/14−1/14

−11

1/5−3/103/10

−1

1 00

1/70

1/70

8/3518/358/35

0

1/10

−1/10

2/5

−2/50

0 0

0

2/5

−2/5

−1/10

1/10

0

1/5

1/5−1/5

−1/5

1/5

−1/5

−3/103/10

+1

2/7

2/7−3/7

+31/2

+2+10

1/2

+2 +2+2+1 +2

+1+31/2

−1/20

+1+2

34

+1/2+3/2

+3/2+2 +5/24/7 7/2

+3/21/74/72/7

5/2+3/2

+2+1

−10

16/35

−18/351/35

1/3512/3518/354/35

3/2

+3/2

+3/2

−3/2−1/2+1/2

2/5−2/5 7/2

7/2

4/3518/3512/351/35

−1/25/2

27/703/35

−5/14−6/35

−1/23/2

7/2

7/2−5/24/73/7

5/2−5/23/7

−4/7

−3/2−2

2/74/71/7

5/2−3/2

−1−2

18/35−1/35

−16/35

−3/21/5

−2/52/5

−3/2−1/2

3/2−3/2

7/2

1

−7/2

−1/22/5

−1/50

0−1−2

2/5

1/2−1/21/10

3/10−1/5

−2/5−3/2−1/2+1/2

5/2 3/2 1/2+1/22/5

1/5

−3/2−1/2+1/2+3/2

−1/10

−3/10

+1/22/5

2/5

+10

−1−2

0

+33

3+2

2+21+3/2

+3/2+1/2

+1/2 1/2−1/2−1/2+1/2+3/2

1/2 3 2

30

1/20

1/20

9/209/20

2 1

3−11/5

1/53/5

2

3

3

1

−3

−21/21/2

−3/2

2

1/2−1/2−3/2

−2

−11/2

−1/2−1/2−3/2

0

1−1

3/10

3/10−2/5

−3/2−1/2

00

1/41/4

−1/4−1/4

0

9/20

9/20

+1/2−1/2−3/2

−1/20−1/20

0

1/4

1/4−1/4

−1/4−3/2−1/2+1/2

1/2

−1/20

1

3/10

3/10

−3/2−1/2+1/2+3/2

+3/2+1/2−1/2−3/2

−2/5

+1+1+11/53/51/5

1/2

+3/2+1/2−1/2

+3/2

+3/2

−1/5

+1/26/355/14

−3/35

1/5

−3/7−1/2+1/2+3/2

5/22×3/2

2×2

3/2×3/2

−3

Figure 34.1: The sign convention is that of Wigner (Group Theory, Academic Press, New York, 1959), also used by Condon and Shortley (TheTheory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 1953), Rose (Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 1957),and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 1974). The coefficientshere have been calculated using computer programs written independently by Cohen and at LBNL.

73

Literatúra

D. Griffiths Introduction to Elementary Particles, WILEY-VCH Verlag GmbH & Co.KGaA, Weinheim, 2008, ISBN: 978-3-527-40601-2

A. Bettini Introduction to Elementary Particle Physics, Cambridge University Press, 2008,ISBN: 978-0-521-88021-3

D. H. Perkins: Introduction to High Energy Physics, Cambridge University Press, 2000,ISBN: 978-0-521-62196-0

A. Das and T. Ferbel: Introduction to Nuclear and Particle Physics, World Scientific,2003, ISBN: 978-981-238-744-8

B. Povh, K. Rith, C. Scholz and F. Zetsche: Particles and Nuclei: An Introduction tothe Physical Concepts, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2002, ISBN: 3-540-43823-8

E. M. Henley and A. Garcia: Subatomic Physics, World Scientific, 2007, ISBN: 978-981-270-056-8

B. R. Martin and G. Shaw: Particle Physics, WILEY, 2008, ISBN: 978-0-470-032940-7

K. Hagiwara et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 66, 010001 (2002)

74

Zbierka úloh z fyziky elementárnych častícVysokoškolský učebný text

Autor: Marek BombaraVydavateľ: Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v KošiciachUmiestnenie: https://unibook.upjs.sk/Rok vydania: 2017Dostupné od: 24. 03. 2017Rozsah strán: 76Vydanie: prvé

ISBN 978-80-8152-496-7