Zašto se (ne)uči geometrija?

Crikvenica, travanj 2008.

Nives Jozić, prof.

2/50

Pitalica

1. Ispred mene nema nikoga, iza

mene su dva

2. Ispred mene je jedan, iza mene je

jedan.

3. Ispred mene nema nikoga, iza

mene su dva.

Kako je to moguće?

3/50

Učenje matematike

Kroz predmet matematike treba odgovoriti na 3 pitanja:

Zašto se uči matematike?

Što treba učiti?

Kako poučavati?

Cilj učenja matematike

Razvijanje matematičkog mišljenja logičko povezivanje, analiziranje, sistematiziranje, zaključivanje itd.

Formiranje osobe koja je samosvjesna, čvrsta, cijeni prave vrijednosti, može ispravno odlučiti itd.

Stjecanje znanja i osposobljavanje za njihovu primjenu u svakodnevnom životu

4/50

Zavirimo u povijest

Ornamenti ukazuju na dominaciju geometrije.

Matematika se od prapovijesnih početaka i preko prvih civilizacija razvijala emprijski.

U starogrčkoj matematici započinje apstrahiranje i aksiomatiziranje.

Izgradnju geometrije kao znanosti započinje Eukild - deduktivno.

Na izgradnju sveukupne matematike veliki utjecaj imala je geometrija

5/50

Poznati o geometriji

Platon: Geometrija približava razum istini.

Khaldum: Um koji stalno primjenjuje geometriju teško će učiniti pogrešku.

Egipatski faraon: “Može li se na jednostavan način naučiti geometrija?”

Euklid: “Vaše visočanstvo, nema kraljevskih putova u geometriji.”

6/50

Prvi koraci

Učenje u 1. razredu započinje geometrijskim sadržajima: oblicima u prostoru i ravnini te odnosima

meñu njima (model se može vidjeti, dodirnuti, napraviti, predočiti, usporediti po veličini)

Čovjek lakše razumije i pamti slike i crteže nego apstraktne simbole i pojmove. Brže uči ono što iskustveno može doživjeti.

Spoznajni put učenika treba ići odiskustvenog prema apstraktnom.

7/50

Što je geometrija?

Geometrija – grč. γεωµετρία, geo –Zemlja, metria – mjerenje; zemljomjerstvo

Geometrija – dio matematike koji se bavi veličinama, oblicima i odnosima meñu njima.

Osnovni geometrijski pojmovi: točka, pravac, ravnina i prostor

8/50

Principi aksiomatizacije

Princip nezavisnosti - aksiomi se ne mogu izvesti deduktivno jedan iz drugoga, niti njihovi dijelovi

Princip neproturječnosti – iz sustava aksioma se ne može izvući deduktivno i tvrdnja i njena negacija

Princip potpunosti – sustav daje odgovor na svako pitanje teorije izgrañene iz tog sustava

Aksios - grč. tvrdnja koja ne izaziva nikakve sumnje.

Geometrija - prva disciplina koja je aksiomatizirana

9/50

Geometrija u nastavi je …

Prikladna za kreativan i istraživački rad

Najbolje sredstvo za razvijanje matematičkog mišljenja

Idealan teren za učenje

10/50

Geometrija u nastavi je…

Na margini

Mnogi je ne vole učiti

Mnogi je ne vole poučavati.

Privlačna je zbog zornosti.

Omražena je zbog apstraktnosti.

Neizostavna zbog široke primjene u svim sferama društvene djelatnosti

11/50

Razredna nastava

1. razred (25/140 ~ 18%) Tijela u prostoru, ravne i zakrivljene plohe, ravnine i

zakrivljene crte, točka 2. razred (12/140 ~ 9%)

Stranice kvadrata, pravokutnika i trokuta 3. razred (40/140 ~ 29%)

Ravnina, likovi u ravnini, pravac, polupravac i dužina, pravci koji se sijeku, usporedni i okomiti pravci, krug, kružnica

4. razred (40/140) Kut (pravi, šiljasti i tupi), trokut (vrste obzirom na

stranice, pravokutni, opseg), pravokutnik i kvadrat (opseg i površina), kvadar i kocka (obujam kocke)

12/50

Predmetna nastava

5. razred (36/140 ~26%) Pravac, polupravac, dužina, simetrala dužine, kružnica i krug,

paralelogram, kut (mjerenje, sukuti i vršni kutovi, trokut i vrste trokuta, osnosimetrični likovi.

6. razred (44/140 ~ 31%) Kutovi (uz presječnicu, s okomitim i usporednim kracima), trokut (zbroj

kutova, simetrala kuta, konstrukcija kutova, sukladnost, tri osnovne konstrukcije, površina), četverokut (zbroj kutova, konstrukcije paralelograma, površina paralelograma i trapeza).

7. razred (93/140 ~ 66%) Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini, sličnost trokuta i primjena,

mnogokuti (pravilni, opseg i površina), kružnica i krug (Talesov poučak, pravac i kružnica, opseg i površina), graf linearne funkcije

8. razred (94/140 ~ 67%) Pitagorin poučak i primjena, preslikavanje ravnine (translacija, osna i

centralna simetrija, rotacija), točke pravci i ravnine u prostoru, geometrijska tijela

13/50

Gimnazije i tehničke škole

1. razred (40% - 50%) Koordinatni sustav u ravnini, graf linearne funkcije,

sukladnost i sličnost, krug i kružnica, izometrije ravnine

2. razred (47% - 58%) Graf kvadratne, eksponencijalne i logaritamske

funkcije, trigonometrija pravokutnog trokuta, geometrija prostora

3. razred (62% - 85%) Trigonometrijske funkcije, jednadžbe i nejednadžbe,

vektori u ravnini, analitička geometrija 4. razred (17% - 26%)

Funkcije, primjena derivacije i integrala, geometrijska vjerojatnost.

14/50

Prepreke u učenju

Aristotel: Priroda ne čini skokove.

1. Nema postupnosti

Učenici najčešće ne uče redovito.

U prirodi učenja matematike je proširivanje i nadograñivanje naučenoga. Spiralno

programiranje.

15/50

Prepreke u učenju

2. Krivo učenje pojmovaUčenici najčešće uče iz bilježnice, a u njima često krivo piše.

Uvoñenje novih pojmova definicijom:

Jasno, točno i sažeto.

Primjer: Za svaka dva pravca kažemo da su paralelni ako se ne sijeku.

Za dva pravca kažemo da su paralelni ako se nalaze u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka ili su im sve točke zajedničke.

U nastavi -genetička definicija(opisno, intuitivno

objašnjjnje)

16/50

Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih osnova sličan je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole ne znajući

kuda se plovi.

17/50

Učenici su pisali sve što su znali o tro

kutu i površini.

3 učenika točno, 21 učenik ništa.

16%

Nerazumijevanje pojmova.

D/08. 2B kategorija, 4. Z.

18/50

Prepreke u učenju

3. Nedostatak predodžbe

Geometrijski zor

Ima veliku metodičku vrijednost u poučavanju ako se pravilno primjeni.

19/50

Zor i njegove zamke

Pravi kut jednak je tupom

“Geometrija je umijeće ispravnog zaključivanja na pogrešnim slikama.”

Prostorni zor

20/50

Iluzija ili stvarnost?

21/50

Crtanje geometrijskih likova

22/50

Crtanje elemenata geometrijskih likova

Ž/2008., 6. r., 5. zadatak

Zadan je jednakokra čan trokut duljinom kraka 7.5 cm i kutom na osnovici od 75°. Kolika je površina trokuta?

Visina trokutaPolovica jednakostraničnog trokuta.

0%

23/50

Crtanje geometrijskih tijela

Koliko je kocaka na slici?

Perspektiva

24/50

Prostoručno crtanje

Mogu li učenici prostoručno crtati uredno?

Crtež na ploči predstavlja model učeniku za crtanje u bilježnicu.

25/50

Označavanje točaka, duljina, veličina …

f

a

b c

e

xzd

y

m

g

hn

s

Pitagorin poučak

26/50

Izračunavanje površine24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5 10 15 20 25 30 35 40

1. 15⋅⋅⋅⋅9=1352. 1⋅⋅⋅⋅6=63. 3⋅⋅⋅⋅3=94. 8⋅⋅⋅⋅4=325. 3⋅⋅⋅⋅5=15

P=19754

3

2

1

Direktno:

27/50

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5 10 15 20 25 30 35

1. 1⋅⋅⋅⋅12=12 P sve=18 ⋅⋅⋅⋅142. 3⋅⋅⋅⋅5=15 Psve=252

3. 7⋅⋅⋅⋅4=28__________

55

P = 252 - 55

P = 197 3

2

1

Indirektno:

28/50

Ž/08., 5. razred, 4. zadatak

21 učenik točno riješio od 166 učenika

29/50

4 učenika točno riješila od ukupno 1242

28

3

4

a aP a a

P a

⋅= ⋅ − ⋅

=

Ž/08., 6. razred, 4. zadatak

30/50

Problemski zadatak

Pronañi primjer površine kojoj je ploština konačan broj (različit od 0), a opseg beskonačan broj.

12

1

2

2n

n

TRSU X PRSQ

dd

dd

P P P

PV PT

+

=

=

< <

>

31/50

Geometrijska algebra

Algebarski problemi se rješavaju pomoću geometrije.

2 + 3 = 5

2 * 3 = 6

32/50

Problemski zadaci (u nižim razredima)

Ivan, njegova majka i otac zajedno imaju 90 godina. Ako je otac 6 godina stariji od majke, a majka ima 3 puta više godina od Ivana, koliko svaki od njih imaju godina?

Ivan Majka

6

Otac

+ + = 90

7 * = 90 – 6 = 84

= 84 : 7 = 12

Ivan ima 12 godina, majka 36, a otac 42 godine.

33/50

1 4

4=1+3

Općenito:

16

16=1+3+5+7

9

9=1+3+5

Kvadratni brojevi

Zbroj prvih n neparnih brojeva je n-ti kvadratni broj.

21 3 5 7 n n+ + + + + =…

34/50

Geometrijski red

Površina kvadrata upisanih u jednakokračan pravokutan trokut (s krakom duljine a) čini geometrijski niz:

2 2 2

, , , ...4 8 16

a a a

Zbrajanje površina čini geometrijski red.

35/50

Funkcije u geometriji

Preslikavanja geometrijskih skupova točaka Translacija Rotacija Simetrija Homotetija (centralna simetrija) Sličnost Inverzija Projiciranje

36/50

Analitička geometrija

Grafovi elementarnih funkcija Primjena kvadratne funkcije Kompozicija elementarnih funkcija Trigonometrijska kružnica

Geometrijski problemi se rješavaju algebarski u koordinatnom sustavu.

37/50

Geometrijska vjerojatnost

Ω – skup točaka; A podskup od Ωµ(Ω), µ(A) – mjera duljine, površine

obujma

( )( )

( )

AP A

µµ

=Ω

Geometrijska vjerojatnost predstavlja vjerojatnost slučajnog izbora točke iz podskupa nekog skupa. Omogućava jednostavnije rješavanje nekih problema.

ΩA

Vjerojatnost da se nasumce odabere točka iz skupa A:

38/50

Geometrijska vjerojatnost

1. Unutar kruga slučajno je odabrana točka. Nañite vjerojatnost da točka bude u:

a) Kvadratu upisanom u taj krug

b) Jednakostraničnom trokutu upisanom u taj krug

2. Nasumce se biraju dvije točke iz segmenta [-2, 2]. Kolika je vjerojatnost:

a) Da njihova udaljenost bude veća od 1?

b) Da one dijele segment na tri jednaka dijela?

c) Da obje pripadaju segmentu [-2, 0]?

39/50

a

r

2 2

2

( ) 2

( )

( )( )

( )

2( ) 0.637

A a r

r

AP A

P A

µµ π

µµ

π

= =Ω =

=Ω

= ≈

2 2

2

2

2

33

3

3 3 3( )

4 4( )

3 3( ) 0.414

4

ar a r

a rA

r

rP A

r

µ

µ π

π

= ⇒ =

= =

Ω =

= ≈

ar

40/50

y

x

g x(((( )))) = x-1

f x(((( )))) = x+1

( ) ( ) 2

, : 1 , ( ) 9

, : 2 2, 2 2 , ( ) 16

9) ( )

16) ( ) 0

) ( ) 0.25

A x y x y A

x y R x y

a P A

b P A

c P A

µ

µ

= ∈Ω − > =

Ω = ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤ Ω =

=

==

41/50

Dokazi u geometriji

Trokut i četverokut

Ortocentar trokuta

Sinus zbroja dvaju kutova

42/50

Geometrijske konstrukcije

Točka je konstruirana ako je dobivena kao presjek dvaju pravaca, pravca i kružnice ili dviju kružnica.

Riješiti konstruktivni zadatak znači svesti ga na ove tri konstrukcije.

Pravac je konstruiran, ako su konstruirane njegove dvije točke.Trokut je konstruiran ako su konstruirana njegova tri vrha.Kružnica je konstruirana ako je njeno konstruirano središte i bilo koja njena točka.

43/50

Geometrijske konstrukcije

Koraci Analiza Konstrukcija

Dokaz valjanosti konstrukcije Diskusija

44/50

Geometrijske konstrukcije

2. Metoda geometrijskih transformacija(translacija,simetrija, rotacija, homotetija, sličnost,

inverzija, kontrakcija)

Metode

1. Metoda presjeka skupova točaka (GMT)

4. Algebarska metoda (algebarski se odredi veličina pomoću koje se rješava konstrukcija)

3. Metoda pomoćnih likova

45/50

Geometrijske konstrukcije

Zaboravljene? Korisne Primjer (Premjeravanje zemljišta) Za dodatni rad učenika

46/50

Geometrija i računalo

Programi dinamičke geometrije.

Razni alati

InternetRačunalo koristiti mudro.

U ključnom trenutku

Vješto

Ne pretjerano

47/50

Projektni zadaci, istraživački rad

Zlatni rez Broj π (Dan broja pi) Kvadratura kruga, duplikacija kocke,

trisekcija kuta Fraktalna geometrija Verižni razlomci Spirala drugog korijena …

48/50

Matematičar svih vremena

ARHIMED

NoliNoli turbareturbarecirculoscirculos meosmeos ..

Ne dirajte Ne dirajte moje krugove.moje krugove.

49/50

Sudbina može čovjeka posaditi u zlatna kola, ali ako ih on ne umije goniti, neće se ni

smjesta maknuti.

Hadis

50/50

Hvala na pozornosti.