Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je...
Transcript of Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je...
1
Zadatak 061 (Nenad gimnazija) Iz točke P povučene su tangente na kružnicu Dirališta su točke A i B Tangenta na kružnicu
položena u nekoj točki luka AB siječe dužine PA odnosno PB u točkama M i N Ako jePA= 10 cm opseg trokuta ∆MPN jednak je
20 15 22 18A cm B cm C cm D cm Rješenje 061 Ponovimo Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Opseg trokuta je zbroj duljina svih stranica Ako su duljine stranica trokuta a b i c opseg je jednak
O a b c= + +
Ako tangente povučene iz točke T izvan kružnice na tu kružnicu diraju kružnicu u točkama A i B tada vrijedi
TA TB=
A
B
T
M
N
A
B
PC
Sa slike vidi se
10 AP PB AM MC CN NB NM MC CN= = = = = +
MP AP AM PN PB NB= minus = minus
Opseg trokuta MPN iznosi
O MP PN NM O AP AM PB NB MC CN= + + rArr = minus + minus + + rArr
O AP MC PB CN MCAM MC
NB NCN
CrArr rArr = minus +
=+
=minus + rArr
10 10 20O AP PB O AP PB OMC CN MC OCNrArr = + rArr = + rArr = + rArrminus =minus + +
Odgovor je pod A
Vježba 061 Iz točke P povučene su tangente na kružnicu Dirališta su točke A i B Tangenta na kružnicu
položena u nekoj točki luka AB siječe dužine PA odnosno PB točkama M i N Ako jePA= 20 cm opseg trokuta ∆MPN jednak je
28 40 35 38A cm B cm C cm D cm
Rezultat B
2
Zadatak 062 (Josip srednja škola) Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 4
Rješenje 062 Ponovimo Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s
( )2
0360
rP
πα α
sdot= sdot
Najprije izračunamo središnji kut α iz formule za duljinu luka
( ) ( )( ) 0 0180 4 1800180
0 0 4180 180
r
lr rl l
r
απ π πα α α α α α
π ππ
sdotsdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = rArr =sdot
sdot sdotsdotrArr
4
4
0180 0180 π
απ
αsdot
sdot
sdotrArr = rArr =
Ploština kružnog isječka iznosi
( ) ( ) ( ) ( )2 24 16 160 0180 180
0 0 0360 360
013
803606
00
rP P P P
π π π πα α α α α
sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
( ) ( )16
8 2
P Pπ
α α πsdot
rArr = rArr rArr = sdot
Vježba 062 Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 2
Rezultat 2 π Zadatak 063 (Ante gimnazija)
Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze
jednaka 2 2 dmsdot
Rješenje 063 Ponovimo
( ) ( )22 2 2
2a b a b
a b a a b b a an n n
+minus = minus sdot sdot + = + =
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s
( )2
0360
rP
πα α
sdot= sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
3
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) i vrijedi
090 0
09γ α β= + =
Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Nasuprot jednakim stranicama nalaze se jednaki kutovi
a b
a c
b c
a b c
α β
α γ
β γ
α β γ
= rArr =
= rArr =
= rArr =
= = rArr = =
Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut Sukladne stranice su kraci a treća stranica zove se osnovica trokuta
90degdegdegdeg 45degdegdegdeg
45degdegdegdega sdotsdotsdotsdot a
a
a
Ploština pravokutnog jednakokračnog trokuta duljine stranice a dana je formulom
1 2
2P a= sdot
E
D
P
B
C A
45degdegdegdeg
45degdegdegdeg90degdegdegdeg
E
D
P
B
AC
Sa slika vidi se
12 2 2 2
2AB CA CB AE AP AB= sdot = = = = sdot =
12 2 2
2BD BP AB CD CE CA AE= = sdot = = = minus = minus
0 090 45BCA CAB ABCang = ang = ang =
Računamo ploštinu jednakokračnog pravokutnog trokuta ∆ABC
4
bull
21 2 2
2 2 1 2 22
a CA CB
P P dmP a
= = =
rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆
Računamo ploštine kružnih isječaka
bull kružni isječak DCE
( )( )
( )( )
( )0 2 22 2 90
2 2 2 202 901090
03103601 03
6060
r CE
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( )( )
22 2 21 4
P dmπ
αminus sdot
rArr =
bull kružni isječak EAP
( )( )
( )( )
0 22 452 202 452 203602 0360
0450360
r AP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 22 2 28 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
bull kružni isječak PBD
( )( )
( )( )
0 22 452 202 453 303603 0360
0450360
r BP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 23 3 38 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka
( ) ( ) ( )( )( )
22 2
21 2 3 4 4 4P P P P P P
π π πα α α
minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆
( ) ( )2
4 4 2 2 4 4 2 22 2
4 4 4 4 4 4P P
π ππ π π πminus sdot + sdot
minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr
( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2
4 4P P
π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr
( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2
4 4 4P P P
π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr
5
( )( ) ( )( )
2 2 22 2 2 2 2 2 2
4
4P P P dm
ππ π
sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot
Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze
jednaka 2 2 dmsdot
Rezultat
( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0
90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180
l l l l lπ π π
α α αminus sdot sdot sdot
= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) 0 0 090 45 45
0 0 0180 1
2 2 2 2
80 180l
π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
2 4 2
2
44 4 2l l l
π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2l l l
π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr
( )2 22 2 2
2
2 2l l l l dm
π π ππ
sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =
minus +rArr
Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)
Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 064 Ponovimo
1
n n
an a a a an a bn
b b bbb= = = =
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
6
R
r
S
Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi
( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
1
4R r r R r r R r rπ π
ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr
2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 4 4
r r r r rR r r R R R R r
+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr
2 225 5 5 5 52 2
21
24 4 4 4
4
R R Rr
r r rrr
RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =
5 5 5 2
24
R RR r
r rrArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 3 2 3 2 3 2A B C D
Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)
Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac
Rješenje 065 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b b+ = + sdot sdot +
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
7
R
r
S
Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je
6R r= +
Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr
( )2 2 2 2
6 120 12 36 120 12 362
02
12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr
12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi
6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac
Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)
Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer
9 81 45 5479 81 45 547
100 100 100
1100 00
pp= = = = =
Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos
Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi
100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot
Kako se računa p od x
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
2
Zadatak 062 (Josip srednja škola) Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 4
Rješenje 062 Ponovimo Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s
( )2
0360
rP
πα α
sdot= sdot
Najprije izračunamo središnji kut α iz formule za duljinu luka
( ) ( )( ) 0 0180 4 1800180
0 0 4180 180
r
lr rl l
r
απ π πα α α α α α
π ππ
sdotsdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = rArr =sdot
sdot sdotsdotrArr
4
4
0180 0180 π
απ
αsdot
sdot
sdotrArr = rArr =
Ploština kružnog isječka iznosi
( ) ( ) ( ) ( )2 24 16 160 0180 180
0 0 0360 360
013
803606
00
rP P P P
π π π πα α α α α
sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
( ) ( )16
8 2
P Pπ
α α πsdot
rArr = rArr rArr = sdot
Vježba 062 Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 2
Rezultat 2 π Zadatak 063 (Ante gimnazija)
Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze
jednaka 2 2 dmsdot
Rješenje 063 Ponovimo
( ) ( )22 2 2
2a b a b
a b a a b b a an n n
+minus = minus sdot sdot + = + =
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s
( )2
0360
rP
πα α
sdot= sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
3
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) i vrijedi
090 0
09γ α β= + =
Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Nasuprot jednakim stranicama nalaze se jednaki kutovi
a b
a c
b c
a b c
α β
α γ
β γ
α β γ
= rArr =
= rArr =
= rArr =
= = rArr = =
Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut Sukladne stranice su kraci a treća stranica zove se osnovica trokuta
90degdegdegdeg 45degdegdegdeg
45degdegdegdega sdotsdotsdotsdot a
a
a
Ploština pravokutnog jednakokračnog trokuta duljine stranice a dana je formulom
1 2
2P a= sdot
E
D
P
B
C A
45degdegdegdeg
45degdegdegdeg90degdegdegdeg
E
D
P
B
AC
Sa slika vidi se
12 2 2 2
2AB CA CB AE AP AB= sdot = = = = sdot =
12 2 2
2BD BP AB CD CE CA AE= = sdot = = = minus = minus
0 090 45BCA CAB ABCang = ang = ang =
Računamo ploštinu jednakokračnog pravokutnog trokuta ∆ABC
4
bull
21 2 2
2 2 1 2 22
a CA CB
P P dmP a
= = =
rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆
Računamo ploštine kružnih isječaka
bull kružni isječak DCE
( )( )
( )( )
( )0 2 22 2 90
2 2 2 202 901090
03103601 03
6060
r CE
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( )( )
22 2 21 4
P dmπ
αminus sdot
rArr =
bull kružni isječak EAP
( )( )
( )( )
0 22 452 202 452 203602 0360
0450360
r AP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 22 2 28 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
bull kružni isječak PBD
( )( )
( )( )
0 22 452 202 453 303603 0360
0450360
r BP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 23 3 38 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka
( ) ( ) ( )( )( )
22 2
21 2 3 4 4 4P P P P P P
π π πα α α
minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆
( ) ( )2
4 4 2 2 4 4 2 22 2
4 4 4 4 4 4P P
π ππ π π πminus sdot + sdot
minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr
( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2
4 4P P
π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr
( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2
4 4 4P P P
π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr
5
( )( ) ( )( )
2 2 22 2 2 2 2 2 2
4
4P P P dm
ππ π
sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot
Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze
jednaka 2 2 dmsdot
Rezultat
( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0
90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180
l l l l lπ π π
α α αminus sdot sdot sdot
= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) 0 0 090 45 45
0 0 0180 1
2 2 2 2
80 180l
π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
2 4 2
2
44 4 2l l l
π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2l l l
π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr
( )2 22 2 2
2
2 2l l l l dm
π π ππ
sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =
minus +rArr
Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)
Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 064 Ponovimo
1
n n
an a a a an a bn
b b bbb= = = =
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
6
R
r
S
Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi
( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
1
4R r r R r r R r rπ π
ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr
2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 4 4
r r r r rR r r R R R R r
+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr
2 225 5 5 5 52 2
21
24 4 4 4
4
R R Rr
r r rrr
RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =
5 5 5 2
24
R RR r
r rrArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 3 2 3 2 3 2A B C D
Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)
Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac
Rješenje 065 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b b+ = + sdot sdot +
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
7
R
r
S
Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je
6R r= +
Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr
( )2 2 2 2
6 120 12 36 120 12 362
02
12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr
12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi
6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac
Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)
Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer
9 81 45 5479 81 45 547
100 100 100
1100 00
pp= = = = =
Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos
Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi
100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot
Kako se računa p od x
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
3
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) i vrijedi
090 0
09γ α β= + =
Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Nasuprot jednakim stranicama nalaze se jednaki kutovi
a b
a c
b c
a b c
α β
α γ
β γ
α β γ
= rArr =
= rArr =
= rArr =
= = rArr = =
Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut Sukladne stranice su kraci a treća stranica zove se osnovica trokuta
90degdegdegdeg 45degdegdegdeg
45degdegdegdega sdotsdotsdotsdot a
a
a
Ploština pravokutnog jednakokračnog trokuta duljine stranice a dana je formulom
1 2
2P a= sdot
E
D
P
B
C A
45degdegdegdeg
45degdegdegdeg90degdegdegdeg
E
D
P
B
AC
Sa slika vidi se
12 2 2 2
2AB CA CB AE AP AB= sdot = = = = sdot =
12 2 2
2BD BP AB CD CE CA AE= = sdot = = = minus = minus
0 090 45BCA CAB ABCang = ang = ang =
Računamo ploštinu jednakokračnog pravokutnog trokuta ∆ABC
4
bull
21 2 2
2 2 1 2 22
a CA CB
P P dmP a
= = =
rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆
Računamo ploštine kružnih isječaka
bull kružni isječak DCE
( )( )
( )( )
( )0 2 22 2 90
2 2 2 202 901090
03103601 03
6060
r CE
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( )( )
22 2 21 4
P dmπ
αminus sdot
rArr =
bull kružni isječak EAP
( )( )
( )( )
0 22 452 202 452 203602 0360
0450360
r AP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 22 2 28 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
bull kružni isječak PBD
( )( )
( )( )
0 22 452 202 453 303603 0360
0450360
r BP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 23 3 38 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka
( ) ( ) ( )( )( )
22 2
21 2 3 4 4 4P P P P P P
π π πα α α
minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆
( ) ( )2
4 4 2 2 4 4 2 22 2
4 4 4 4 4 4P P
π ππ π π πminus sdot + sdot
minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr
( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2
4 4P P
π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr
( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2
4 4 4P P P
π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr
5
( )( ) ( )( )
2 2 22 2 2 2 2 2 2
4
4P P P dm
ππ π
sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot
Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze
jednaka 2 2 dmsdot
Rezultat
( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0
90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180
l l l l lπ π π
α α αminus sdot sdot sdot
= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) 0 0 090 45 45
0 0 0180 1
2 2 2 2
80 180l
π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
2 4 2
2
44 4 2l l l
π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2l l l
π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr
( )2 22 2 2
2
2 2l l l l dm
π π ππ
sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =
minus +rArr
Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)
Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 064 Ponovimo
1
n n
an a a a an a bn
b b bbb= = = =
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
6
R
r
S
Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi
( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
1
4R r r R r r R r rπ π
ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr
2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 4 4
r r r r rR r r R R R R r
+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr
2 225 5 5 5 52 2
21
24 4 4 4
4
R R Rr
r r rrr
RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =
5 5 5 2
24
R RR r
r rrArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 3 2 3 2 3 2A B C D
Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)
Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac
Rješenje 065 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b b+ = + sdot sdot +
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
7
R
r
S
Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je
6R r= +
Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr
( )2 2 2 2
6 120 12 36 120 12 362
02
12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr
12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi
6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac
Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)
Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer
9 81 45 5479 81 45 547
100 100 100
1100 00
pp= = = = =
Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos
Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi
100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot
Kako se računa p od x
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
4
bull
21 2 2
2 2 1 2 22
a CA CB
P P dmP a
= = =
rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆
Računamo ploštine kružnih isječaka
bull kružni isječak DCE
( )( )
( )( )
( )0 2 22 2 90
2 2 2 202 901090
03103601 03
6060
r CE
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( )( )
22 2 21 4
P dmπ
αminus sdot
rArr =
bull kružni isječak EAP
( )( )
( )( )
0 22 452 202 452 203602 0360
0450360
r AP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 22 2 28 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
bull kružni isječak PBD
( )( )
( )( )
0 22 452 202 453 303603 0360
0450360
r BP
P Pr
P
απ π
α απ
α α
= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot
= sdot
( ) ( ) ( )22 23 3 38 48
P P P dmπ π π
α α αsdot sdot
rArr = rArr = rArr =
Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka
( ) ( ) ( )( )( )
22 2
21 2 3 4 4 4P P P P P P
π π πα α α
minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆
( ) ( )2
4 4 2 2 4 4 2 22 2
4 4 4 4 4 4P P
π ππ π π πminus sdot + sdot
minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr
( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2
4 4P P
π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr
( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2
4 4 4P P P
π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr
5
( )( ) ( )( )
2 2 22 2 2 2 2 2 2
4
4P P P dm
ππ π
sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot
Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze
jednaka 2 2 dmsdot
Rezultat
( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0
90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180
l l l l lπ π π
α α αminus sdot sdot sdot
= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) 0 0 090 45 45
0 0 0180 1
2 2 2 2
80 180l
π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
2 4 2
2
44 4 2l l l
π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2l l l
π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr
( )2 22 2 2
2
2 2l l l l dm
π π ππ
sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =
minus +rArr
Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)
Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 064 Ponovimo
1
n n
an a a a an a bn
b b bbb= = = =
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
6
R
r
S
Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi
( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
1
4R r r R r r R r rπ π
ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr
2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 4 4
r r r r rR r r R R R R r
+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr
2 225 5 5 5 52 2
21
24 4 4 4
4
R R Rr
r r rrr
RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =
5 5 5 2
24
R RR r
r rrArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 3 2 3 2 3 2A B C D
Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)
Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac
Rješenje 065 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b b+ = + sdot sdot +
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
7
R
r
S
Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je
6R r= +
Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr
( )2 2 2 2
6 120 12 36 120 12 362
02
12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr
12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi
6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac
Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)
Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer
9 81 45 5479 81 45 547
100 100 100
1100 00
pp= = = = =
Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos
Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi
100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot
Kako se računa p od x
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
5
( )( ) ( )( )
2 2 22 2 2 2 2 2 2
4
4P P P dm
ππ π
sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot
Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze
jednaka 2 2 dmsdot
Rezultat
( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0
90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180
l l l l lπ π π
α α αminus sdot sdot sdot
= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) 0 0 090 45 45
0 0 0180 1
2 2 2 2
80 180l
π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2
2 4 2
2
44 4 2l l l
π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2l l l
π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr
( )2 22 2 2
2
2 2l l l l dm
π π ππ
sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =
minus +rArr
Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)
Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 064 Ponovimo
1
n n
an a a a an a bn
b b bbb= = = =
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
6
R
r
S
Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi
( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
1
4R r r R r r R r rπ π
ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr
2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 4 4
r r r r rR r r R R R R r
+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr
2 225 5 5 5 52 2
21
24 4 4 4
4
R R Rr
r r rrr
RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =
5 5 5 2
24
R RR r
r rrArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 3 2 3 2 3 2A B C D
Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)
Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac
Rješenje 065 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b b+ = + sdot sdot +
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
7
R
r
S
Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je
6R r= +
Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr
( )2 2 2 2
6 120 12 36 120 12 362
02
12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr
12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi
6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac
Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)
Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer
9 81 45 5479 81 45 547
100 100 100
1100 00
pp= = = = =
Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos
Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi
100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot
Kako se računa p od x
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
6
R
r
S
Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi
( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
1
4R r r R r r R r rπ π
ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr
2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 4 4 4
r r r r rR r r R R R R r
+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr
2 225 5 5 5 52 2
21
24 4 4 4
4
R R Rr
r r rrr
RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =
5 5 5 2
24
R RR r
r rrArr = rArr = rArr =
Odgovor je pod A
Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 3 2 3 2 3 2A B C D
Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)
Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac
Rješenje 065 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b b+ = + sdot sdot +
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
7
R
r
S
Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je
6R r= +
Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr
( )2 2 2 2
6 120 12 36 120 12 362
02
12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr
12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi
6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac
Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)
Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer
9 81 45 5479 81 45 547
100 100 100
1100 00
pp= = = = =
Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos
Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi
100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot
Kako se računa p od x
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
7
R
r
S
Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je
6R r= +
Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr
( )2 2 2 2
6 120 12 36 120 12 362
02
12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr
12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi
6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac
Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)
Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer
9 81 45 5479 81 45 547
100 100 100
1100 00
pp= = = = =
Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos
Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi
100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot
Kako se računa p od x
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
8
100
pxsdot
Kako zapisati da je broj x povećan za p
1100 100
p p
x x x+ sdot = + sdot
Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi
224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100
P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =
Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi
100
10
5100 4
09 5 4 805
S
P p
P S p
Pp
p
p S
sdot = sdot
sdot=
=sdot
= minus = rArr rArr = rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224
80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)
Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 104 120 134 150A B C D
Rješenje 067 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
9
αααα
αααα
αααα
Računamo mjeru kuta CBDang
46degdegdegdeg
30degdegdegdeg30degdegdegdeg
46degdegdegdeg
D
A
B
C
Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je
1 1 0 060 30
2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =
Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi
046 CDB CABang = ang =
Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut
0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr
0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =
Odgovor je pod A
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
10
Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang
0 0 0 0 136 114 124 120A B C D
Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot
+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rješenje 068 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
11
ABABABAB
rrrr
rrrr
ααααOOOO
AAAA
BBBB
Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red
2 3 1 1 1 1 1n
a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +
konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi
1q lt Njegova je suma jednaka
11as
q=
minus
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
12
Sa slike vidi se
10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =
1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =
bull Računamo duljinu kružnog luka AB
10
180 180
10
1 0 188
OAAB AB AB AB
π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
1 1cos cos cos 10 cos 1 1
OA OAOA OB OA
OB
B OO
Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot
Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi
metoda 10
supstituci
110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180
10 cosje 1 0
1
8
OAA B
A B A B
OA
π αα π α α π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr = rArr
= sdot
cos1 1 18
A Bπ α αsdot sdot
rArr =
bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
13
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333
AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije
kosinus dobije se
2 2cos cos cos21
1 11
OA OA
OA OBOB OB
OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr
21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=
Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi
metoda
supsti
2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2
cije
OAA B
A B
OA
π αα π α
α
sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr rArr = rArr
= sdot
10
180
2 2cos cos2 2 2 2 18
A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot
rArr = rArr =
Analognim zaključivanjem slijedi
3 4cos cos
itd3 3 4 418 18A B A B
π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =
Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5
18
π αsdot sdot vrijedi jednadžba
51 1 2 2 3 3 4 4 18
AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot
+ + + + + = rArr
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
14
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 18 18
π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr
2 3 4cos cos cos cos 5
18 18 18 18 1 8
1
8
8
1π α π α α π α α π α α π
π
α α π α
α
sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =
sdot+ rArr
2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =
Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red
2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik
cosq α= Budući da je
cos 1α lt
red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos
1 cosα α α α
α+ + + + + =
minus
Sada računamo kut α
( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5
1 cos 1 oss
cα α α α
α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr
minus minus
( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr
4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12
5 5 5α α α α
minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =
Vježba 068
Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang
izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na
polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na
taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj
duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm
π αsdot+ + + + +
Odredite α
AAAA4444
BBBB
BBBB1111
BBBB2222
BBBB3333
AAAA3333AAAA2222
AAAA1111 AAAA
αααα
OOOO
Rezultat 60ordm
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
15
Zadatak 069 (TP gimnazija)
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rješenje 069 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)
dddd
d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r
1111αααα llll2222llll1111
dddd
rrrr2222
rrrr1111
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
16
Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama
( )1 2 1 22 12
2
l l l lP d P r r
+ += sdot = sdot minus
gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Sa slike vidi se
2 1d r r= minus
Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi
( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2
l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e
+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg
2 2r πsdot sdot
vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot
bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot
vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot
Iz sustava jednadžbi izračunamo N
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
17
222 2 2 2 22 22 1 1
1
oduzmemo2
1 jednadžbe
212 1 1 1 2
N lr N l rr N l
r N l N lr N l r
π
π
ππ π
ππ
π
sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot
rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot
sdotsdot
sdotsdotsdot
sdot sdot =sdot=
( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2
N l N l N Nr r r r l l d l l
π π π π
sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr
sdot sdot sdot sdot
( ) 2
2
2 2 938352 12 216 121 461
N d cmd l l N N N
l l c ml ml c
ππ π
π
sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =
sdot minus minus
sdotsdot
minus
Budući da je površina jedne etikete 2
16833 P cme =
površina cijelog kružnog vijenca iznosi
2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =
Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina
2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =
Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8
2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =
Vježba 069
Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa
Rezultat 5892 cm2
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
18
Zadatak 070 (4A TUPŠ)
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
dddd
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi
21 1 2 18850 2 18851
0 30 1 1 118851 20
O rr m r m r m
O m
π
ππ π
= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
sdot=sdot
=
Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi
30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =
Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
19
22 2 2 3156 19830 2 231562
O rO m O m
r m
ππ
= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =
=
Odgovor je pod A
Vježba 070
Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača
19830 20106 26354 27207A m B m C m D m
Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)
Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rješenje 071 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati od a
xb
a
xb
sdot
2
0b a b
a b b a a a b a b a a ac c
sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge
Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze
Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost
3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2
5 8 5 8 5
8
8
5P P r R r R R rm j π π π π
πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr
24 24 24 242 2 2 2
5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
[ ]24
10 2191 5
10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==
==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111
8888
3333
5555
Vježba 071
Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm
Rezultat 2191 cm
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
20
Zadatak 072 (Robert gimnazija)
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je
5 2 4 1 5 2 3 1A B C D
Rješenje 072 Ponovimo
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r
2P r π= sdot
Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b
b b
a a n b nn a
= sdot = =
1
nn
aa a a n a c a d b cnn
b b b d b dbb
sdot + sdot= = = + =
sdot
Površina kružnog vijenca
( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv
π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot
RRRR
rrrr
Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 24 4 4 4
1
P r r rkP R r R r R rvπ
π ππ π
sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr
2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4
124
4
r r r r r r rR r R R R
rR
+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr
2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24
R R R R R R
r r r r rr
rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr
5 2R rrArr =
Odgovor je pod A
Vježba 072
Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je
2 5 1 4 2 5 1 3A B C D
Rezultat A
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
21
Zadatak 073 (Dado gimnazija)
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i
r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
Rješenje 073 Ponovimo
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina
1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =
Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne
1 1 11 1 1
a b c
ka b c
α α β β γ γ= = = = = =
Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti
b1
c1
a1
c
b a
C1
A B
C
A1
B1
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
22
Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je
a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija
a b = c d
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c
a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom
( ) 0180
rl
πα α
sdot= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx
αααα
αααα
αααα
ααααr
1
r2
r2
r1
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Sa slike vidi se
30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
23
1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
AT BT=
Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi
CT DT=
r1
r2
r2
r1
αααα
αααα
αααα
αααα
xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x
TTTT
AAAA
CCCC
DDDD
BBBB
SSSS1111 SSSS
2222
Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer
( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr
( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr
3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je
[ ]60 601 1 1
180 180 60 1202 2 2
60S T x S T S T
TS x TS TS
x
= = =rArr rArr rArr
= minus = minus ==
Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT
bull 2 2 2 22 2
1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr
2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
24
bull 2 2 2 22 2
2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr
2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =
Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α
30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2
0
601
3S B
S Tα α α α α α
minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =
Sada je
bull 0 0
2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka AB iznosi
0
30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180
r AS B rAB AB AB AB
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Analogno je i za duljinu lukaCD
bull 0 0
2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =
bull 0 0 0 0
180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
bull 0 0 0 0
360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =
Duljina luka CD iznosi
0
60 2402 2 2 2513270 0 0
180 180 180
r CS D rCD CD CD CD
π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =
Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=
( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr
( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr
688761 68876O OrArr = rArr asymp
Vježba 073
Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova
Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i
r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD
leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
25
Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)
Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rješenje 074 Ponovimo
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli
2 O r π= sdot sdot
rrrr2222
rrrr1111
bbbb
aaaa
Sa slike vidi se
1110 70 35 4 391 2 12
a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =
Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
26
Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu
kružnice polumjera r1
2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2
2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica
78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 074
Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale
Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ
Rješenje 075 Ponovimo
b a c b b a c b
a ac c c c
sdot + sdot minus+ = minus =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg
0
180α β γ+ + =
Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg
3 0
60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut
bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
27
bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg
Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni
αααα = ββββ
ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg
αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg
αααα
ββββ
δδδδ
γγγγ
ββββ
αααα
B
AC
D
A
B
Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta
Sa slike vidi se
CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =
2 2 2
CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ
ang = ang = ang = ang = ang = ang =
Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi
svojstvo troku0 0180 1
ta
018
800
BCA ATB ATBα β γ
γang + ang = rArr+ + =
+ ang = rArr rArr
ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++
Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi
bull za luk AT
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
28
2ACT ABT
γang = ang =
bull za luk TB
2
TAB TCBγ
ang = ang =
Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi
bull ( )1
2 2 2
SAT SAB BAT SAT SATα γ
α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
bull ( )1
2 2 2
TBS TBA ABS TBS TBSγ β
γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +
Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina
1inačica Uočimo trokut ABS
0 0180 180
2 2
svojstvo tr
okuta
0180
BSA SAB ABS BSAα β
α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr
+ + =rArr
2 2 2 2 2 2
BSA BSA BSAα β α β α β
α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +
2inačica Uočimo četverokut ATBS
0 0360 360
2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA
α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr
( )3 3 3 30
2 180 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
γ γ α β γsdot sdot sdot sdot
rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr
( )3 3 3 3
2 2 2 22 2 2 2
BSA BSAα β α β
α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot
rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr
2 2
BSAα β
γrArr ang = + +
Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
29
( ) ( )1 1
2 2 2 2
ATB SAT TBS BSAα β
α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +
Vježba 075
Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ
Rezultat 2 2 2 2 2 2
ASC SCT CTA TASα γ β γ α β
β α γang = + + ang = + ang = + ang = +
Zadatak 076 (Ana gimnazija)
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm
Rješenje 076 Ponovimo
( )2 2 2
2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama
rrrr
rrrr
FFFF CCCC
BBBB
DDDD
EEEE
SSSS
AAAA
Sa slike vidi se 1
12 62
AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =
12SF EF SE r= minus = minus
Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak
( )2 2 2 22 2 2 2
12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr
144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802
2 12
r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr
2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
30
Vježba 076
Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm
Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera
Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
r
d
S
2 2uvj 2 2et 1
2 2 2
P rr
Pr r r
d r dr
r
ππ
πππ sdot
= sdot
= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =
= sdot
Vježba 077
Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera
Rezultat 1
rπ
=
Zadatak 078 (Tonka gimnazija)
Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
31
Rješenje 078 Ponovimo
( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 n n
a an n na b a b a a a b a a b bn
b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera
2 d r= sdot
Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi
2 P r π= sdot
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
0 1a n a
n nb n b
sdot= ne ne
sdot
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju
( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +
Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra
d = a sdotsdotsdotsdot 2
a
a
a
a
r
r
S
N
M
CD
A B
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
32
Sa slike vidi se
2 22
aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot
Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC
2 2 2 2 22 2 2
a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr
2 2 2 2 2 22
2 22a
a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2
ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus
Ploština kruga iznosi
( )( ) ( )
2 22 1 22 2 1 2 1
2 22
ar a a
P P
P r
π π
π
= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr
= sdot
( ) ( ) ( )2 2 22
2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4
a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot
Vježba 078
Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a
Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot
Zadatak 079 (Tonka gimnazija)
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π
Rješenje 079 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi
2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
33
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica
2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282
1
2
1
2
rO r r
O r rr
π ππ π π
π π
π
π
ππ π
sdot sdot sdotsdot
sdotsdot
= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr
= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr
( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 079
Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π
Rezultat 75 πsdot
Zadatak 080 (Tonka gimnazija)
Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rješenje 080 Ponovimo
( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +
Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli
( )2 2P R r π= minus sdot
gdje je R gt r
R - r = 12
rR
S
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot
34
1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice
metoda suprotnih 2
koeficijen
122 40 2 40 20
28 ata
R rR R R
R r
minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =
+ =
Računamo r 20
20 28 28 20 828
Rr r r
R r
=rArr + = rArr = minus rArr =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640
2
8336P R P P m
rr c
Rπ π π π
= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot
=
=
2inačica Uvjeti u zadatku glase
12
28
R r
R r
minus =
+ =
Ploština kružnog vijenca iznosi
( ) ( ) ( )2 2 212 21
8 3362
2
8P R r P R r R r P P
R rm
Rc
rπ π π π
minus =
+ =
= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot
Vježba 080
Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca
Rezultat 2200 P cmπ= sdot