Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je...

34
1 Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz točke P povučene su tangente na kružnicu. Dirališta su točke A i B. Tangenta na kružnicu položena u nekoj točki luka AB siječe dužine , PA odnosno PB u točkama M i N. Ako jePA= 10 cm, opseg trokuta MPN jednak je: . 20 . 15 . 22 . 18 A cm B cm C cm D cm Rješenje 061 Ponovimo! Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice, tri kuta i tri vrha. Opseg trokuta je zbroj duljina svih stranica. Ako su duljine stranica trokuta a, b i c, opseg je jednak: . O a b c = + + Ako tangente povučene iz točke T izvan kružnice na tu kružnicu diraju kružnicu u točkama A i B, tada vrijedi . TA TB = A B T M N A B P C Sa slike vidi se: 10 , , , AP PB AM MC CN NB NM MC CN = = = = = + , MP AP AM PN PB NB = - = - Opseg trokuta MPN iznosi: O MP PN NM O AP AM PB NB MC CN = + + = - + - + + O AP MC PB CN MC AM MC NB N CN C = - + = + = - + 10 10 20. O AP PB O AP PB O MC CN MC O CN = + = + = + - = - + + Odgovor je pod A. Vježba 061 Iz točke P povučene su tangente na kružnicu. Dirališta su točke A i B. Tangenta na kružnicu položena u nekoj točki luka AB siječe dužine , PA odnosno PB točkama M i N. Ako jePA= 20 cm, opseg trokuta MPN jednak je: . 28 . 40 . 35 . 38 A cm B cm C cm D cm Rezultat: B.

Transcript of Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je...

Page 1: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

1

Zadatak 061 (Nenad gimnazija) Iz točke P povučene su tangente na kružnicu Dirališta su točke A i B Tangenta na kružnicu

položena u nekoj točki luka AB siječe dužine PA odnosno PB u točkama M i N Ako jePA= 10 cm opseg trokuta ∆MPN jednak je

20 15 22 18A cm B cm C cm D cm Rješenje 061 Ponovimo Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Opseg trokuta je zbroj duljina svih stranica Ako su duljine stranica trokuta a b i c opseg je jednak

O a b c= + +

Ako tangente povučene iz točke T izvan kružnice na tu kružnicu diraju kružnicu u točkama A i B tada vrijedi

TA TB=

A

B

T

M

N

A

B

PC

Sa slike vidi se

10 AP PB AM MC CN NB NM MC CN= = = = = +

MP AP AM PN PB NB= minus = minus

Opseg trokuta MPN iznosi

O MP PN NM O AP AM PB NB MC CN= + + rArr = minus + minus + + rArr

O AP MC PB CN MCAM MC

NB NCN

CrArr rArr = minus +

=+

=minus + rArr

10 10 20O AP PB O AP PB OMC CN MC OCNrArr = + rArr = + rArr = + rArrminus =minus + +

Odgovor je pod A

Vježba 061 Iz točke P povučene su tangente na kružnicu Dirališta su točke A i B Tangenta na kružnicu

položena u nekoj točki luka AB siječe dužine PA odnosno PB točkama M i N Ako jePA= 20 cm opseg trokuta ∆MPN jednak je

28 40 35 38A cm B cm C cm D cm

Rezultat B

2

Zadatak 062 (Josip srednja škola) Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 4

Rješenje 062 Ponovimo Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s

( )2

0360

rP

πα α

sdot= sdot

Najprije izračunamo središnji kut α iz formule za duljinu luka

( ) ( )( ) 0 0180 4 1800180

0 0 4180 180

r

lr rl l

r

απ π πα α α α α α

π ππ

sdotsdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = rArr =sdot

sdot sdotsdotrArr

4

4

0180 0180 π

απ

αsdot

sdot

sdotrArr = rArr =

Ploština kružnog isječka iznosi

( ) ( ) ( ) ( )2 24 16 160 0180 180

0 0 0360 360

013

803606

00

rP P P P

π π π πα α α α α

sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

( ) ( )16

8 2

P Pπ

α α πsdot

rArr = rArr rArr = sdot

Vježba 062 Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 2

Rezultat 2 π Zadatak 063 (Ante gimnazija)

Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze

jednaka 2 2 dmsdot

Rješenje 063 Ponovimo

( ) ( )22 2 2

2a b a b

a b a a b b a an n n

+minus = minus sdot sdot + = + =

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s

( )2

0360

rP

πα α

sdot= sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

3

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) i vrijedi

090 0

09γ α β= + =

Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Nasuprot jednakim stranicama nalaze se jednaki kutovi

a b

a c

b c

a b c

α β

α γ

β γ

α β γ

= rArr =

= rArr =

= rArr =

= = rArr = =

Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut Sukladne stranice su kraci a treća stranica zove se osnovica trokuta

90degdegdegdeg 45degdegdegdeg

45degdegdegdega sdotsdotsdotsdot a

a

a

Ploština pravokutnog jednakokračnog trokuta duljine stranice a dana je formulom

1 2

2P a= sdot

E

D

P

B

C A

45degdegdegdeg

45degdegdegdeg90degdegdegdeg

E

D

P

B

AC

Sa slika vidi se

12 2 2 2

2AB CA CB AE AP AB= sdot = = = = sdot =

12 2 2

2BD BP AB CD CE CA AE= = sdot = = = minus = minus

0 090 45BCA CAB ABCang = ang = ang =

Računamo ploštinu jednakokračnog pravokutnog trokuta ∆ABC

4

bull

21 2 2

2 2 1 2 22

a CA CB

P P dmP a

= = =

rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆

Računamo ploštine kružnih isječaka

bull kružni isječak DCE

( )( )

( )( )

( )0 2 22 2 90

2 2 2 202 901090

03103601 03

6060

r CE

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( )( )

22 2 21 4

P dmπ

αminus sdot

rArr =

bull kružni isječak EAP

( )( )

( )( )

0 22 452 202 452 203602 0360

0450360

r AP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 22 2 28 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

bull kružni isječak PBD

( )( )

( )( )

0 22 452 202 453 303603 0360

0450360

r BP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 23 3 38 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka

( ) ( ) ( )( )( )

22 2

21 2 3 4 4 4P P P P P P

π π πα α α

minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆

( ) ( )2

4 4 2 2 4 4 2 22 2

4 4 4 4 4 4P P

π ππ π π πminus sdot + sdot

minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr

( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2

4 4P P

π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr

( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2

4 4 4P P P

π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr

5

( )( ) ( )( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2

4

4P P P dm

ππ π

sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot

Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze

jednaka 2 2 dmsdot

Rezultat

( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0

90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180

l l l l lπ π π

α α αminus sdot sdot sdot

= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) 0 0 090 45 45

0 0 0180 1

2 2 2 2

80 180l

π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 4 2

2

44 4 2l l l

π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2l l l

π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr

( )2 22 2 2

2

2 2l l l l dm

π π ππ

sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =

minus +rArr

Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)

Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 064 Ponovimo

1

n n

an a a a an a bn

b b bbb= = = =

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

6

R

r

S

Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi

( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4

1

4R r r R r r R r rπ π

ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr

2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2

4 4 1 4 4 4

r r r r rR r r R R R R r

+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr

2 225 5 5 5 52 2

21

24 4 4 4

4

R R Rr

r r rrr

RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =

5 5 5 2

24

R RR r

r rrArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 3 2 3 2 3 2A B C D

Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)

Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac

Rješenje 065 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b b+ = + sdot sdot +

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

7

R

r

S

Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je

6R r= +

Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr

( )2 2 2 2

6 120 12 36 120 12 362

02

12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr

12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi

6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac

Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)

Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Kako se računa p od x

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 2: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

2

Zadatak 062 (Josip srednja škola) Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 4

Rješenje 062 Ponovimo Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s

( )2

0360

rP

πα α

sdot= sdot

Najprije izračunamo središnji kut α iz formule za duljinu luka

( ) ( )( ) 0 0180 4 1800180

0 0 4180 180

r

lr rl l

r

απ π πα α α α α α

π ππ

sdotsdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = rArr =sdot

sdot sdotsdotrArr

4

4

0180 0180 π

απ

αsdot

sdot

sdotrArr = rArr =

Ploština kružnog isječka iznosi

( ) ( ) ( ) ( )2 24 16 160 0180 180

0 0 0360 360

013

803606

00

rP P P P

π π π πα α α α α

sdot sdot sdot sdot= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

( ) ( )16

8 2

P Pπ

α α πsdot

rArr = rArr rArr = sdot

Vježba 062 Izračunaj ploštinu kružnog isječka kojemu odgovarajući luk ima duljinu 4 π Polumjer kruga je 2

Rezultat 2 π Zadatak 063 (Ante gimnazija)

Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze

jednaka 2 2 dmsdot

Rješenje 063 Ponovimo

( ) ( )22 2 2

2a b a b

a b a a b b a an n n

+minus = minus sdot sdot + = + =

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

a ploština kružnog isječka s istim središnjim kutom α dana je s

( )2

0360

rP

πα α

sdot= sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

3

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) i vrijedi

090 0

09γ α β= + =

Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Nasuprot jednakim stranicama nalaze se jednaki kutovi

a b

a c

b c

a b c

α β

α γ

β γ

α β γ

= rArr =

= rArr =

= rArr =

= = rArr = =

Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut Sukladne stranice su kraci a treća stranica zove se osnovica trokuta

90degdegdegdeg 45degdegdegdeg

45degdegdegdega sdotsdotsdotsdot a

a

a

Ploština pravokutnog jednakokračnog trokuta duljine stranice a dana je formulom

1 2

2P a= sdot

E

D

P

B

C A

45degdegdegdeg

45degdegdegdeg90degdegdegdeg

E

D

P

B

AC

Sa slika vidi se

12 2 2 2

2AB CA CB AE AP AB= sdot = = = = sdot =

12 2 2

2BD BP AB CD CE CA AE= = sdot = = = minus = minus

0 090 45BCA CAB ABCang = ang = ang =

Računamo ploštinu jednakokračnog pravokutnog trokuta ∆ABC

4

bull

21 2 2

2 2 1 2 22

a CA CB

P P dmP a

= = =

rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆

Računamo ploštine kružnih isječaka

bull kružni isječak DCE

( )( )

( )( )

( )0 2 22 2 90

2 2 2 202 901090

03103601 03

6060

r CE

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( )( )

22 2 21 4

P dmπ

αminus sdot

rArr =

bull kružni isječak EAP

( )( )

( )( )

0 22 452 202 452 203602 0360

0450360

r AP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 22 2 28 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

bull kružni isječak PBD

( )( )

( )( )

0 22 452 202 453 303603 0360

0450360

r BP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 23 3 38 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka

( ) ( ) ( )( )( )

22 2

21 2 3 4 4 4P P P P P P

π π πα α α

minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆

( ) ( )2

4 4 2 2 4 4 2 22 2

4 4 4 4 4 4P P

π ππ π π πminus sdot + sdot

minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr

( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2

4 4P P

π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr

( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2

4 4 4P P P

π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr

5

( )( ) ( )( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2

4

4P P P dm

ππ π

sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot

Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze

jednaka 2 2 dmsdot

Rezultat

( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0

90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180

l l l l lπ π π

α α αminus sdot sdot sdot

= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) 0 0 090 45 45

0 0 0180 1

2 2 2 2

80 180l

π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 4 2

2

44 4 2l l l

π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2l l l

π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr

( )2 22 2 2

2

2 2l l l l dm

π π ππ

sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =

minus +rArr

Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)

Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 064 Ponovimo

1

n n

an a a a an a bn

b b bbb= = = =

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

6

R

r

S

Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi

( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4

1

4R r r R r r R r rπ π

ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr

2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2

4 4 1 4 4 4

r r r r rR r r R R R R r

+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr

2 225 5 5 5 52 2

21

24 4 4 4

4

R R Rr

r r rrr

RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =

5 5 5 2

24

R RR r

r rrArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 3 2 3 2 3 2A B C D

Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)

Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac

Rješenje 065 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b b+ = + sdot sdot +

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

7

R

r

S

Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je

6R r= +

Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr

( )2 2 2 2

6 120 12 36 120 12 362

02

12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr

12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi

6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac

Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)

Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Kako se računa p od x

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 3: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

3

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Pravokutan trokut ima jedan pravi kut (90ordm) i vrijedi

090 0

09γ α β= + =

Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Nasuprot jednakim stranicama nalaze se jednaki kutovi

a b

a c

b c

a b c

α β

α γ

β γ

α β γ

= rArr =

= rArr =

= rArr =

= = rArr = =

Trokut koji ima dvije sukladne stranice zove se jednakokračan trokut Sukladne stranice su kraci a treća stranica zove se osnovica trokuta

90degdegdegdeg 45degdegdegdeg

45degdegdegdega sdotsdotsdotsdot a

a

a

Ploština pravokutnog jednakokračnog trokuta duljine stranice a dana je formulom

1 2

2P a= sdot

E

D

P

B

C A

45degdegdegdeg

45degdegdegdeg90degdegdegdeg

E

D

P

B

AC

Sa slika vidi se

12 2 2 2

2AB CA CB AE AP AB= sdot = = = = sdot =

12 2 2

2BD BP AB CD CE CA AE= = sdot = = = minus = minus

0 090 45BCA CAB ABCang = ang = ang =

Računamo ploštinu jednakokračnog pravokutnog trokuta ∆ABC

4

bull

21 2 2

2 2 1 2 22

a CA CB

P P dmP a

= = =

rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆

Računamo ploštine kružnih isječaka

bull kružni isječak DCE

( )( )

( )( )

( )0 2 22 2 90

2 2 2 202 901090

03103601 03

6060

r CE

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( )( )

22 2 21 4

P dmπ

αminus sdot

rArr =

bull kružni isječak EAP

( )( )

( )( )

0 22 452 202 452 203602 0360

0450360

r AP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 22 2 28 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

bull kružni isječak PBD

( )( )

( )( )

0 22 452 202 453 303603 0360

0450360

r BP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 23 3 38 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka

( ) ( ) ( )( )( )

22 2

21 2 3 4 4 4P P P P P P

π π πα α α

minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆

( ) ( )2

4 4 2 2 4 4 2 22 2

4 4 4 4 4 4P P

π ππ π π πminus sdot + sdot

minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr

( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2

4 4P P

π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr

( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2

4 4 4P P P

π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr

5

( )( ) ( )( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2

4

4P P P dm

ππ π

sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot

Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze

jednaka 2 2 dmsdot

Rezultat

( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0

90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180

l l l l lπ π π

α α αminus sdot sdot sdot

= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) 0 0 090 45 45

0 0 0180 1

2 2 2 2

80 180l

π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 4 2

2

44 4 2l l l

π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2l l l

π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr

( )2 22 2 2

2

2 2l l l l dm

π π ππ

sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =

minus +rArr

Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)

Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 064 Ponovimo

1

n n

an a a a an a bn

b b bbb= = = =

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

6

R

r

S

Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi

( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4

1

4R r r R r r R r rπ π

ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr

2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2

4 4 1 4 4 4

r r r r rR r r R R R R r

+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr

2 225 5 5 5 52 2

21

24 4 4 4

4

R R Rr

r r rrr

RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =

5 5 5 2

24

R RR r

r rrArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 3 2 3 2 3 2A B C D

Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)

Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac

Rješenje 065 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b b+ = + sdot sdot +

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

7

R

r

S

Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je

6R r= +

Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr

( )2 2 2 2

6 120 12 36 120 12 362

02

12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr

12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi

6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac

Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)

Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Kako se računa p od x

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 4: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

4

bull

21 2 2

2 2 1 2 22

a CA CB

P P dmP a

= = =

rArr = sdot rArr =∆ ∆= sdot∆

Računamo ploštine kružnih isječaka

bull kružni isječak DCE

( )( )

( )( )

( )0 2 22 2 90

2 2 2 202 901090

03103601 03

6060

r CE

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = minus = minus sdot minus sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( )( )

22 2 21 4

P dmπ

αminus sdot

rArr =

bull kružni isječak EAP

( )( )

( )( )

0 22 452 202 452 203602 0360

0450360

r AP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 22 2 28 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

bull kružni isječak PBD

( )( )

( )( )

0 22 452 202 453 303603 0360

0450360

r BP

P Pr

P

απ π

α απ

α α

= = = sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArrsdot

= sdot

( ) ( ) ( )22 23 3 38 48

P P P dmπ π π

α α αsdot sdot

rArr = rArr = rArr =

Ploština krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica jednaka razlici ploštine pravokutnog jednakokračnog trokuta i zbroja ploština kružnih isječaka Dakle rješenje je ploština trokuta umanjena za ploštine kružnih isječaka

( ) ( ) ( )( )( )

22 2

21 2 3 4 4 4P P P P P P

π π πα α α

minus sdot= minus + + rArr = minus + + rArr∆

( ) ( )2

4 4 2 2 4 4 2 22 2

4 4 4 4 4 4P P

π ππ π π πminus sdot + sdot

minus sdot + sdotrArr = minus + + rArr = minus + + rArr

( ) ( )4 4 2 2 4 4 2 2 22 2

4 4P P

π π π π πminus sdot + sdot + + minus sdot + sdot + sdotrArr = minus rArr = minus rArr

( ) ( ) ( )4 4 2 2 2 8 4 2 4 2 22 2 2

4 4 4P P P

π π πsdot minus sdot + + sdot minus sdot sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr

5

( )( ) ( )( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2

4

4P P P dm

ππ π

sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot

Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze

jednaka 2 2 dmsdot

Rezultat

( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0

90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180

l l l l lπ π π

α α αminus sdot sdot sdot

= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) 0 0 090 45 45

0 0 0180 1

2 2 2 2

80 180l

π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 4 2

2

44 4 2l l l

π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2l l l

π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr

( )2 22 2 2

2

2 2l l l l dm

π π ππ

sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =

minus +rArr

Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)

Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 064 Ponovimo

1

n n

an a a a an a bn

b b bbb= = = =

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

6

R

r

S

Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi

( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4

1

4R r r R r r R r rπ π

ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr

2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2

4 4 1 4 4 4

r r r r rR r r R R R R r

+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr

2 225 5 5 5 52 2

21

24 4 4 4

4

R R Rr

r r rrr

RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =

5 5 5 2

24

R RR r

r rrArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 3 2 3 2 3 2A B C D

Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)

Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac

Rješenje 065 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b b+ = + sdot sdot +

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

7

R

r

S

Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je

6R r= +

Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr

( )2 2 2 2

6 120 12 36 120 12 362

02

12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr

12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi

6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac

Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)

Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Kako se računa p od x

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 5: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

5

( )( ) ( )( )

2 2 22 2 2 2 2 2 2

4

4P P P dm

ππ π

sdot sdot minusrArr = minus rArr = minus sdot minus rArr = minus minus sdot

Vježba 063 Oko vrhova na hipotenuzi jednakokračnog pravokutnog trokuta opisane su dvije jednake kružnice koje se međusobno diraju Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana Koliki je opseg krivocrtnog trokuta između ovih triju kružnica ako je duljina hipotenuze

jednaka 2 2 dmsdot

Rezultat

( ) ( ) ( )( )2 2 2 20 0 0

90 45 451 2 3 0 0 0180 180 180

l l l l lπ π π

α α αminus sdot sdot sdot

= + + rArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) 0 0 090 45 45

0 0 0180 1

2 2 2 2

80 180l

π π πminus sdot sdot sdotrArr = sdot + sdot + sdot rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

2 4 2

2

44 4 2l l l

π π ππ π π πminus sdot minus sdot minus sdotsdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = + + rArr = + rArr = + rArr

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2l l l

π π π ππminus sdot minus sdot + sdot minus + sdotsdotrArr = + rArr = rArr = rArr

( )2 22 2 2

2

2 2l l l l dm

π π ππ

sdot sdot sdotrArr = rArr = = rArr =

minus +rArr

Zadatak 064 (M ndash K ndash N gimnazija)

Ploština kružnog vijenca jednaka je četvrtini ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 064 Ponovimo

1

n n

an a a a an a bn

b b bbb= = = =

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

6

R

r

S

Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi

( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4

1

4R r r R r r R r rπ π

ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr

2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2

4 4 1 4 4 4

r r r r rR r r R R R R r

+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr

2 225 5 5 5 52 2

21

24 4 4 4

4

R R Rr

r r rrr

RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =

5 5 5 2

24

R RR r

r rrArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 3 2 3 2 3 2A B C D

Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)

Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac

Rješenje 065 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b b+ = + sdot sdot +

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

7

R

r

S

Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je

6R r= +

Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr

( )2 2 2 2

6 120 12 36 120 12 362

02

12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr

12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi

6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac

Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)

Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Kako se računa p od x

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 6: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

6

R

r

S

Neka su r i R polumjeri manjeg i većeg kruga Budući da je ploština kružnog vijenca jednaka četvrtini ploštine manjeg kruga slijedi

( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4

1

4R r r R r r R r rπ π

ππ π sdotminus sdot = sdot sdot rArr minus sdot = sdot sdot rArr minus = sdot rArr

2 2 2 2 21 4 5 52 2 2 2 2 2 2 2

4 4 1 4 4 4

r r r r rR r r R R R R r

+ sdot sdotrArr = sdot + rArr = + rArr = rArr = rArr = sdot rArr

2 225 5 5 5 52 2

21

24 4 4 4

4

R R Rr

r r rrr

RRrArr = sdot rArr = rArr = rArr rArr = rArrsdot =

5 5 5 2

24

R RR r

r rrArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 064 Ploština kružnog vijenca jednaka je polovici ploštine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 3 2 3 2 3 2A B C D

Rezultat B Zadatak 065 (Anamarija srednja škola)

Ploština kružnog vijenca širine 6 cm je 120 π cm2 Koliki su polumjeri krugova koji tvore taj kružni vijenac

Rješenje 065 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b b+ = + sdot sdot +

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

7

R

r

S

Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je

6R r= +

Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr

( )2 2 2 2

6 120 12 36 120 12 362

02

12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr

12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi

6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac

Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)

Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Kako se računa p od x

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 7: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

7

R

r

S

Neka je r polumjer manjeg a R polumjer većeg kruga Tada je

6R r= +

Budući da je zadana ploština kružnog vijenca vrijedi

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

120 120 12 0R r R r R rπ π π π πminus sdot = sdot rArr minus sdot = sdot rArr minus = rArr

( )2 2 2 2

6 120 12 36 120 12 362

02

12r r r r r rrrrArr + minus = rArr + sdot + minus = rArr + sdot + =minus rArr

12 36 120 12 120 36 12 1284 12 84 7r r r r rrArr sdot + = rArr sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 7 cm a polumjer većeg kruga iznosi

6 7 6 13 R r cm= + = + = Vježba 065 Ploština kružnog vijenca širine 2 cm je 36 π cm2 Koliki su polumjeri kružnica koje tvore taj kružni vijenac

Rezultat 8 cm 10 cm Zadatak 066 (Zvone srednja škola)

Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 5 cm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rješenje 066 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100 Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine Na primjer

9 81 45 5479 81 45 547

100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kod postotnog računa susrećemo sljedeće veličine bull S ndash osnovna vrijednost bull p ndash postotak bull P ndash postotni iznos

Osnovna veličina S je broj od kojeg se obračunava postotak Postotni račun od 100 napisan u obliku razmjera glasi

100 100S P p S p P= rArr sdot = sdot

Kako se računa p od x

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 8: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

8

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

1100 100

p p

x x x+ sdot = + sdot

Neka je R veći polumjer kruga P1 ploština kruga polumjera r a P2 ploština kruga polumjera R Tada vrijedi

224224 224 3242 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1100

P P P P P P P P P P P= + sdot rArr = + sdot rArr = + sdot rArr = sdot rArr

2 2 2 2 2 2 2 2324 324 324 324 5R r R r R r Rππ π π πrArr sdot = sdot sdot rArr sdot = sdot sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

2 2 2324 25 81 81 81 9R R R R RrArr = sdot rArr = rArr = rArr = rArr =

Polumjer manjeg kruga je r = 5 cm a većeg R = 9 cm Postotak povećanja polumjera iznosi

100

10

5100 4

09 5 4 805

S

P p

P S p

Pp

p

p S

sdot = sdot

sdot=

=sdot

= minus = rArr rArr = rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 066 Za koliko postotaka treba povećati polumjer kruga r = 05 dm da bi se njegova ploština povećala za 224

80 100 120 140A B C D Rezultat A Zadatak 067 (Jelena srednja škola)

Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 46deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 104 120 134 150A B C D

Rješenje 067 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Simetrala kuta je pravac koji raspolavlja kut i prolazi njegovim vrhom Svaka točka simetrale jednako je udaljena od njegovih krakova Kut kojem je vrh na kružnici a čiji krakovi sijeku tu kružnicu naziva se obodni kut Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 9: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

9

αααα

αααα

αααα

Računamo mjeru kuta CBDang

46degdegdegdeg

30degdegdegdeg30degdegdegdeg

46degdegdegdeg

D

A

B

C

Simetrala kuta u vrhu C raspolavlja taj kut pa je

1 1 0 060 30

2 2BCD BCAang = sdotang = sdot =

Budući da su obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno jednaki za luk BC vrijedi

046 CDB CABang = ang =

Uočimo trokut CDB i izračunamo traženi kut

0 0 0 0 0 0180 30 46 180 76 180BCD CDB CBD CBD CBDang + ang + ang = rArr + + ang = rArr + ang = rArr

0 0 0180 76 104 CBD CBDrArr ang = minus rArr ang =

Odgovor je pod A

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 10: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

10

Vježba 067 Zadan je trokut ABC Mjera kuta u vrhu A je 36deg a kuta u vrhu C je 60deg Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D Kolika je mjera kuta CBDang

0 0 0 0 136 114 124 120A B C D

Rezultat B Zadatak 068 (TP gimnazija)

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova 5 jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A B cmπ αsdot sdot

+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rješenje 068 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 11: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

11

ABABABAB

rrrr

rrrr

ααααOOOO

AAAA

BBBB

Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Trokut kojemu je jedan kut pravi zove se pravokutan Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Geometrijski red

2 3 1 1 1 1 1n

a a q a q a q a q+ sdot + sdot + sdot + + sdot +

konvergentan je onda i samo onda ako vrijedi

1q lt Njegova je suma jednaka

11as

q=

minus

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 12: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

12

Sa slike vidi se

10 1 1 2 2 3 3OA OB cm OA OB OA OB OA OB OA OBn n= = = = = =

1 1 2 2 3 3AOB A OB A OB A OB A OBn nα = ang = ang = ang = ang = = ang =

bull Računamo duljinu kružnog luka AB

10

180 180

10

1 0 188

OAAB AB AB AB

π α π α π α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 1 1A B

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA1B čija je jedna kateta 1OA a hipotenuza OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

1 1cos cos cos 10 cos 1 1

OA OAOA OB OA

OB

B OO

Bα α α α= rArr = rArr = sdot rArr = sdotsdot

Tada duljina kružnog luka 1 1A B iznosi

metoda 10

supstituci

110 cos cos1 1 180 1 1 1 1180

10 cosje 1 0

1

8

OAA B

A B A B

OA

π αα π α α π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr = rArr

= sdot

cos1 1 18

A Bπ α αsdot sdot

rArr =

bull Računamo duljinu kružnog luka 2 2A B

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 13: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

13

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333

AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Uočimo pravokutan trokut OA2B1 čija je jedna kateta 2OA a hipotenuza 1OB Pomoću funkcije

kosinus dobije se

2 2cos cos cos21

1 11

OA OA

OA OBOB OB

OBα α α= rArr sdotsdot= rArr = rArr

21010 co cos cos 10s cos1 1 2 2OOB A OAOA α α α αrArr rArr = sdotsdot sdot == rArr sdot=

Tada duljina kružnog luka 2 2A B iznosi

metoda

supsti

2 210 cos2 2 180 2 2tu 180210 cos2

cije

OAA B

A B

OA

π αα π α

α

sdot sdot= sdot sdot sdot

rArr rArr = rArr

= sdot

10

180

2 2cos cos2 2 2 2 18

A B A Bα π α π α αsdot sdot sdot sdot sdot

rArr = rArr =

Analognim zaključivanjem slijedi

3 4cos cos

itd3 3 4 418 18A B A B

π α α π α αsdot sdot sdot sdot= =

Budući da je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak 5

18

π αsdot sdot vrijedi jednadžba

51 1 2 2 3 3 4 4 18

AB A B A B A B A Bπ αsdot sdot

+ + + + + = rArr

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 14: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

14

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 18 18

π α π α α π α α π α α π α α π αsdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + + + + = rArr

2 3 4cos cos cos cos 5

18 18 18 18 1 8

1

8

8

1π α π α α π α α π α α π

π

α α π α

α

sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr + + sdot+ + =

sdot+ rArr

2 3 41 cos cos cos cos 5α α α αrArr + + + + + =

Uočimo da je na lijevoj strani jednadžbe beskonačan geometrijski red

2 3 41 cos cos cos cos α α α α+ + + + + čiji je količnik

cosq α= Budući da je

cos 1α lt

red je konvergentan i njegova suma iznosi 12 3 41 cos cos cos cos

1 cosα α α α

α+ + + + + =

minus

Sada računamo kut α

( )1 12 3 41 cos cos cos cos 5 1 co5 5

1 cos 1 oss

cα α α α

α αα+ + + + + = rArr = rArr sdot minus= rArr

minus minus

( )1 5 1 cos 1 5 5 cos 5 cos 5 1 5 cos 4α α α αrArr = sdot minus rArr = minus sdot rArr sdot = minus rArr sdot = rArr

4 41 05 cos 4 cos cos 36 52 12

5 5 5α α α α

minusrArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Vježba 068

Na slici je prikazan niz koncentričnih kružnica sa središtem u točki O α je mjera kuta AOBang

izražena u stupnjevima a OA= 10 cm Na polumjeru OA leži niz točaka A1 A2 A3 hellip a na

polumjeru OB niz točaka B1 B2 B3 hellip Točka A1 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B na

taj polumjer Točka A2 je sjecište polumjera OA i okomice iz točke B1 na taj polumjer itd Zbroj

duljina svih kružnih lukova jednak je 1 1 2 2 3 3 4 4 9AB A B A B A B A B cm

π αsdot+ + + + +

Odredite α

AAAA4444

BBBB

BBBB1111

BBBB2222

BBBB3333

AAAA3333AAAA2222

AAAA1111 AAAA

αααα

OOOO

Rezultat 60ordm

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 15: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

15

Zadatak 069 (TP gimnazija)

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 cm l2 = 216 cm d = 93 cm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rješenje 069 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

Kružni vijenac je dio ravnine omeđen kružnicama koje imaju zajedničko središte (koncentrične kružnice)

dddd

d = d = d = d = rrrr2222 - r - r - r - r

1111αααα llll2222llll1111

dddd

rrrr2222

rrrr1111

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 16: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

16

Površina isječka kružnog vijenca računa se formulama

( )1 2 1 22 12

2

l l l lP d P r r

+ += sdot = sdot minus

gdje su l1 i l2 pripadni kružni lukovi d širina kružnog vijenca r1 i r2 polumjeri manjeg i većeg kruga Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Sa slike vidi se

2 1d r r= minus

Etiketa (geometrijski lik ABCD) izrezana iz kartona oblika kružnog vijenca ima oblik isječka kružnog vijenca pa njezina površina iznosi

( ) 216 146 21 2 1 2 93 16833 2 12 2 2

l l l l cm cmP r r P d P cm P cme e e

+ + += sdot minus rArr = sdot rArr = sdot rArr =

Moramo odrediti maksimalni broj N etiketa koje se mogu isjeći iz kartona oblika kružnog vijenca bull Za vanjsku kružnicu čiji je opseg

2 2r πsdot sdot

vrijedi 2 2 2r N lπsdot sdot = sdot

bull Za unutarnju kružnicu čiji je opseg 2 1r πsdot sdot

vrijedi 2 1 1r N lπsdot sdot = sdot

Iz sustava jednadžbi izračunamo N

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 17: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

17

222 2 2 2 22 22 1 1

1

oduzmemo2

1 jednadžbe

212 1 1 1 2

N lr N l rr N l

r N l N lr N l r

π

π

ππ π

ππ

π

sdotsdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot sdot

rArr rArr rArr rArrsdot sdot = sdot sdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdot sdot =sdot=

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2

N l N l N Nr r r r l l d l l

π π π π

sdot sdotrArr minus = minus rArr minus = sdot minus rArr = sdot minus rArr

sdot sdot sdot sdot

( ) 2

2

2 2 938352 12 216 121 461

N d cmd l l N N N

l l c ml ml c

ππ π

π

sdot sdot sdot sdotrArr = sdot minus rArr = rArr = rArr =

sdot minus minus

sdotsdot

minus

Budući da je površina jedne etikete 2

16833 P cme =

površina cijelog kružnog vijenca iznosi

2 2835 16833 140556 P N P P cm P cmv e v v= sdot rArr = sdot rArr =

Iz kružnog vijenca može se maksimalno izrezati 8 cijelih etiketa čija je ukupna površina

2 28 8 16833 134664 8 8 8P P P cm P cme= sdot rArr = sdot rArr =

Neiskorištena površina kartona jednaka je razlici površine kružnog vijenca Pv i površina 8 etiketa P8

2 2 2140556 134664 5892 8P P P P cm cm P cmv∆ = minus rArr ∆ = minus rArr ∆ =

Vježba 069

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranog kartona oblika kružnog vijenca Dimenzije jedne etikete su l1 = 146 dm l2 = 216 dm d = 93 mm Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnog vijenca izrezan maksimalni broj etiketa

Rezultat 5892 cm2

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 18: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

18

Zadatak 070 (4A TUPŠ)

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 18850 m Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 m Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m Rješenje 070 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Polumjer ili radijus je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Opseg kružnice i kruga polumjera r

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

dddd

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug pa je njegov lijevi kotač opisao krug opsega O1 i polumjera r1 a desni kotač krug opsega O2 i polumjera r2 Lijevi kotač prešao je put od 18850 m pa za polumjer r1 vrijedi

21 1 2 18850 2 18851

0 30 1 1 118851 20

O rr m r m r m

O m

π

ππ π

= sdot sdotrArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr

sdot=sdot

=

Razmak između kotača je d = 156 m pa polumjer r2 iznosi

30 156 3156 2 1 2 2r r d r m m r m= + rArr = + rArr =

Put koji je prešao desni kotač automobila jednak je opsegu O2 kruga polumjera r2

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 19: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

19

22 2 2 3156 19830 2 231562

O rO m O m

r m

ππ

= sdot sdotrArr = sdot sdot rArr =

=

Odgovor je pod A

Vježba 070

Automobil je vozio kružnim tokom i načinio puni krug Lijevi kotač automobila prešao je pritom put od 1885 dm Koliki je put pritom prešao desni kotač automobila ako razmak između lijevoga i desnoga kotača na automobilu iznosi 156 dm Napomena Lijevi kotač bliži je središtu kružnog toka od desnoga kotača

19830 20106 26354 27207A m B m C m D m

Rezultat A Zadatak 071 (4A 4B TUPŠ)

Tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rješenje 071 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati od a

xb

a

xb

sdot

2

0b a b

a b b a a a b a b a a ac c

sdot= rArr = sdot = sdot = sdot = ge

Neka je r ndash polumjer male pizze Pm = površina male pizze R ndash polumjer jumbo pizze Pj = površina jumbo pizze

Budući da tri petine površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze vrijedi jednakost

3 1 3 1 3 1 242 2 2 2 2 2

5 8 5 8 5

8

8

5P P r R r R R rm j π π π π

πsdot = sdot rArr sdot sdot = sdot sdot rArr sdot sdot = sdot rArr = sdotsdotsdot rArr

24 24 24 242 2 2 2

5 5 5 5R r R r R r R rrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

[ ]24

10 2191 5

10 R cm R cmr cmrArr rArr = sdot rArr ==

==== bullbullbullbullbullbullbullbull1111

8888

3333

5555

Vježba 071

Šest desetina površine male pizze odgovara površini jedne osmine jumbo pizze Koliki je polumjer jumbo pizze ako je polumjer male pizze 10 cm

Rezultat 2191 cm

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 20: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

20

Zadatak 072 (Robert gimnazija)

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera većeg i manjeg kruga jednak je

5 2 4 1 5 2 3 1A B C D

Rješenje 072 Ponovimo

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r gt 0 (polumjeru kruga) Ploština kruga polumjera r

2P r π= sdot

Kako zapisati da je broj a n ndash ti dio broja b

b b

a a n b nn a

= sdot = =

1

nn

aa a a n a c a d b cnn

b b b d b dbb

sdot + sdot= = = + =

sdot

Površina kružnog vijenca

( )2 2 2 2 P R r P R rkv kv

π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot

RRRR

rrrr

Budući da je površina kružnog vijenca Pv jednaka četvrtini površine manjeg kruga Pk slijedi

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 4 4

1

P r r rkP R r R r R rvπ

π ππ π

sdot sdot= rArr minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus =sdot rArr

2 2 2 2 2 2 24 5 52 2 2 2 2 24 4 1 4

124

4

r r r r r r rR r R R R

rR

+ sdot sdot sdotrArr = + rArr = + rArr = rArr sdot= rArr = rArr

2 22 5 55 5 5 52 4 4 4 4 24

R R R R R R

r r r r rr

rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr

5 2R rrArr =

Odgovor je pod A

Vježba 072

Površina kružnog vijenca jednaka je četvrtini površine manjeg kruga Omjer polumjera manjeg i većeg kruga jednak je

2 5 1 4 2 5 1 3A B C D

Rezultat A

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 21: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

21

Zadatak 073 (Dado gimnazija)

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 30 m i

r2 = 60 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 180 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

Rješenje 073 Ponovimo

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Sukladnost trokuta Kažemo da su dva trokuta sukladna ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice jednakih duljina

1 1 1 1 1 1 a a b b c cα α β β γ γ= = = = = =

Prvi poučak sukladnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice Drugi poučak sukladnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu između njih Treći poučak sukladnosti (K ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u jednoj stranici i oba kuta na toj stranici Četvrti poučak sukladnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici Sličnost trokuta Kažemo da su dva trokuta slična ako postoji pridruživanje vrhova jednog vrhovima drugog tako da su odgovarajući kutovi jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne

1 1 11 1 1

a b c

ka b c

α α β β γ γ= = = = = =

Omjer stranica sličnih trokuta k zovemo koeficijent sličnosti

b1

c1

a1

c

b a

C1

A B

C

A1

B1

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 22: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

22

Prvi poučak sličnosti (K ndash K) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u dva kuta Drugi poučak sličnosti (S ndash K ndash S) Dva su trokuta slična ako se podudaraju u jednom kutu a stranice koje određuju taj kut su proporcionalne Treći poučak sličnosti (S ndash S ndash S) Dva su trokuta slična ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne Četvrti poučak sličnosti (S ndash S ndash K) Dva su trokuta slična ako su im dvije stranice proporcionalne a podudaraju se u kutu nasuprot većoj stranici Ako su a i b brojevi kažemo da je kvocijent a b b ne 0 omjer brojeva a i b Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c

a b c d a d b c= rArr sdot = sdot Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine hipotenuze Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu ABCD iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Puni kut ima 360deg Vršni kutovi su dva kuta koji imaju zajednički vrh a kraci jednoga leže u produžetcima krakova drugog Vršni kutovi imaju jednaku veličinu Ako je r polumjer kružnice tada je duljina luka sa središnjim kutom od α stupnjeva dana formulom

( ) 0180

rl

πα α

sdot= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

180 - x180 - x180 - x180 - xxxxx

αααα

αααα

αααα

ααααr

1

r2

r2

r1

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Sa slike vidi se

30 180 180 601 1 1 1 2 1 2 2 2 2S A S B r S S S T x TS x S C S D r= = = = = = minus = = =

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 23: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

23

1 1 2 2BTS S TA S TC S TD αang = ang = ang = ang =

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Trokuti S1BT i S1TA sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

AT BT=

Trokuti S2DT i S2TC sukladni su jer se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot većoj stranici (S ndash S ndash K) pa vrijedi

CT DT=

r1

r2

r2

r1

αααα

αααα

αααα

αααα

xxxx 180 - x180 - x180 - x180 - x

TTTT

AAAA

CCCC

DDDD

BBBB

SSSS1111 SSSS

2222

Uočimo da su trokuti S1BT i S2DT slični jer imaju jednake kutova pa vrijedi razmjer

( ) ( ) 30 180 60 60 30 1801 1 2 2S T S B TS S D x x x x= rArr = minus rArr sdot = sdot minus rArr

( )60 30 180 2 180 2 180 3 10 0 3 8x x x x x x xrArr sdot = sdot minus rArr sdot = minus rArr sdot + = rArr sdot = rArr

3 3180 60x xrArr sdot = rArr = Tada je

[ ]60 601 1 1

180 180 60 1202 2 2

60S T x S T S T

TS x TS TS

x

= = =rArr rArr rArr

= minus = minus ==

Duljine BT i TD izračunat ćemo pomoću Pitagorina poučka primijenjenog na pravokutne trokute S1BT i S2DT

bull 2 2 2 22 2

1 1 1 1BT S T S B BT S T S B= minus rArr = minus rArr

2 2 2 260 30 519621 1BT S T S B BT BTrArr = minus rArr = minus rArr =

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 24: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

24

bull 2 2 2 22 2

2 2 2 2TD S T S D TD S T S D= minus rArr = minus rArr

2 2 2 2120 60 1039232 2TD S T S D TD TDrArr = minus rArr = minus rArr =

Još trebamo izračunati duljine lukova i AB CD Uočimo pravokutan trokut S1BT Pomoću funkcije sinus dobije se mjera kuta α

30 1 11 01sin sin sin sin sin 30 60 2 2

0

601

3S B

S Tα α α α α α

minus= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =

Sada je

bull 0 0

2 2 30 60BTA BTA BTAαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1201 1 1BS A BTA BS A BS Aang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 1 1 1 1AS B BS A AS B AS Bang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka AB iznosi

0

30 2401 1 1 1256640 0 0180 180 180

r AS B rAB AB AB AB

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Analogno je i za duljinu lukaCD

bull 0 0

2 2 30 60DTC DTC DTCαang = sdot rArr ang = sdot rArr ang =

bull 0 0 0 0

180 180 60 1202 2 2DS C DTC DS C DS Cang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

bull 0 0 0 0

360 360 120 240 2 2 2 2CS D DS C CS D CS Dang = minus ang rArr ang = minus rArr ang =

Duljina luka CD iznosi

0

60 2402 2 2 2513270 0 0

180 180 180

r CS D rCD CD CD CD

π π α πsdot sdot ang sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr =

Duljina kružne staze je 2BD ACO AB BD CD AC O AB BD CD= + + + rArr rArr = + sdot + rArr=

( ) 2O AB BT TDBD BT CD DTrArr rArr = + sdot += + + rArr

( )125664 2 51962 103923 251327 125664 2 155885 251327O OrArr = + sdot + + rArr = + sdot + rArr

688761 68876O OrArr = rArr asymp

Vježba 073

Trkaća je staza oblika osmice kao na slici Sastoji se od kružnih lukova i ravnih dijelova

Lukovi iAB CD su lukovi kružnica sa središtima S1 i S2 Polumjeri su tih kružnica r1 = 60 m i

r2 = 120 m Udaljenost središta tih dviju kružnica iznosi 360 m Ravni dijelovi trkaće staze iAC BD

leže na zajedničkim tangentama tih dviju kružnica pri čemu su točke A B i C D dirališta tangenta Izračunajte duljinu trkaće staze

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 25: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

25

Rezultat 137752 Zadatak 074 (Ivan strukovna škola)

Nogometno igralište dugo je 110 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rješenje 074 Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine Opseg kružnice polumjera r izračunava se po formuli

2 O r π= sdot sdot

rrrr2222

rrrr1111

bbbb

aaaa

Sa slike vidi se

1110 70 35 4 391 2 12

a m b m r b m r r m m= = = sdot = = + =

Zajednički dio koji obojica trkača moraju pretrčati jednak je dvostrukoj duljini nogometnog igrališta

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 26: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

26

Osim toga bull prvi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r1 što odgovara opsegu

kružnice polumjera r1

2 2 35 701 1 1 1O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

bull drugi trkač još mora pretrčati dvostruku polukružnu stazu polumjera r2 što odgovara opsegu kružnice polumjera r2

2 2 39 78 2 2 2 2O r O Oπ π π= sdot sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Razlika u prevaljenim putovima dvojice trkača jednaka je razlici opsega O2 i O1 kružnica

78 70 8 2513 2 1s O O s s s mπ π π= minus rArr = sdot minus sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 074

Nogometno igralište dugo je 150 m i široko 70 m Nad kraćim stranicama igrališta nalazi se dio terena u obliku polukruga a teren okružuje atletska staza s pet traka za trčanje Svaka traka za trčanje široka je 1 m Izračunajte razliku u duljini najdulje i najkraće trake za trčanje uz pretpostavku da trkači uvijek trče unutarnjim rubom svoje staze Zaokružite rezultat na dvije decimale

Rezultat 2513 m Zadatak 075 (Ante gimnazija)

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ACB siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ

Rješenje 075 Ponovimo

b a c b b a c b

a ac c c c

sdot + sdot minus+ = minus =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot + Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Trokut je geometrijski lik koji ima tri stranice tri kuta i tri vrha Zbroj kutova u trokutu je 180deg

0

180α β γ+ + =

Četverokut je dio ravnine omeđen sa četiri dužine Četverokut je zatvoren geometrijski lik koji ima četiri kuta i četiri stranice Zbroj veličina svih kutova u četverokutu iznosi 360deg

3 0

60α β γ δ+ + + = Tetivni četverokut je četverokut čiji su vrhovi točke jedne kružnice Tetivni četverokut je četverokut

bull čiji su vrhovi točke jedne kružnice

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 27: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

27

bull kojem se može opisati kružnica bull čije su stranice tetive jedne kružnice bull kojem je zbroj nasuprotnih kutova jednak 180deg

Svaki kut s vrhom na kružnici čiji krakovi sijeku kružnicu zovemo obodni kut Svi obodni kutovi nad istim lukom kružnice međusobno su sukladni

αααα = ββββ

ββββ + δδδδ = 180degdegdegdeg

αααα + γγγγ = 180degdegdegdeg

αααα

ββββ

δδδδ

γγγγ

ββββ

αααα

B

AC

D

A

B

Pravac koji prolazi vrhom i dijeli unutarnji kut trokuta pri tom vrhu na dva sukladna kuta zove se simetrala unutarnjeg kuta trokuta Simetrale kutova sijeku se u jednoj točki koja je središte trokutu upisane kružnice Pravac koji prolazi polovištem jedne stranice trokuta i okomit je na nju jest simetrala stranice trokuta Za svaki trokut postoji samo jedna kružnica koja prolazi vrhovima trokuta Ta se kružnica zove opisana kružnica tom trokutu a središte kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta

Sa slike vidi se

CAB ABC BCAα β γang = ang = ang =

2 2 2

CAS SAB ABS SBC BCS SCAα β γ

ang = ang = ang = ang = ang = ang =

Uočimo da je četverokut ATBC tetivni četverokut pa vrijedi

svojstvo troku0 0180 1

ta

018

800

BCA ATB ATBα β γ

γang + ang = rArr+ + =

+ ang = rArr rArr

ATB ATB ATBγ α β γ αγ γβ α βrArr + ang = + + rArr + ang = + rArr ang = ++

Budući da su nad lukom svi obodni kutovi jednaki slijedi

bull za luk AT

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 28: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

28

2ACT ABT

γang = ang =

bull za luk TB

2

TAB TCBγ

ang = ang =

Sada za kutove iSAT TBSang ang u četverokutu ATBS vrijedi

bull ( )1

2 2 2

SAT SAB BAT SAT SATα γ

α γang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

bull ( )1

2 2 2

TBS TBA ABS TBS TBSγ β

γ βang = ang + ang rArr ang = + rArr ang = sdot +

Četvrti kut BSA četverokuta ATBS možemo izračunati na više načina

1inačica Uočimo trokut ABS

0 0180 180

2 2

svojstvo tr

okuta

0180

BSA SAB ABS BSAα β

α β γang + ang + ang = rArr ang + + = rArr

+ + =rArr

2 2 2 2 2 2

BSA BSA BSAα β α β α β

α β γ α β γ γrArr ang + + = + + rArr ang = + + minus minus rArr ang = + +

2inačica Uočimo četverokut ATBS

0 0360 360

2 2 2 2BSA SAT ATB TBS BSA

α γ β γα βang + ang + ang + ang = rArr ang + + + + + + = rArr

( )3 3 3 30

2 180 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

γ γ α β γsdot sdot sdot sdot

rArr ang + + + = sdot rArr ang + + + = sdot + + rArr

( )3 3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

BSA BSAα β α β

α β γ γ α β γ γsdot sdot sdot sdot

rArr ang = sdot + + minus minus minus rArr ang = sdot + sdot + sdot minus minus minus rArr

2 2

BSAα β

γrArr ang = + +

Kutovi četverokuta ATBS pomoću kutova trokuta α β i γ glase

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 29: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

29

( ) ( )1 1

2 2 2 2

ATB SAT TBS BSAα β

α β α γ γ β γang = + ang = sdot + ang = sdot + ang = + +

Vježba 075

Neka je S središte upisane kružnice trokutu ABC a T točka u kojoj simetrala kuta ABC siječe kružnicu opisanu tom trokutu Izrazite kutove četverokuta ASCT pomoću kutova trokuta α β i γ

Rezultat 2 2 2 2 2 2

ASC SCT CTA TASα γ β γ α β

β α γang = + + ang = + ang = + ang = +

Zadatak 076 (Ana gimnazija)

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 12 cm

Rješenje 076 Ponovimo

( )2 2 2

2 a b a a b bminus = minus sdot sdot +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine Te dužine zovemo stranice trokuta Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90ordm) Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta Pitagorin poučak Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad katetama

rrrr

rrrr

FFFF CCCC

BBBB

DDDD

EEEE

SSSS

AAAA

Sa slike vidi se 1

12 62

AB BC CD DA EF SE SC r FC CD= = = = = = = = sdot =

12SF EF SE r= minus = minus

Uočimo pravokutni trokut SCF i primijenimo Pitagorin poučak

( )2 2 2 22 2 2 2

12 6 144 24 36SC SF FC r r r r r= + rArr = minus + rArr = minus sdot + + rArr

144 24 36 0 144 24 36 24 144 36 4 802

2 12

r r rr r rrArr = minus sdot + rArr = minus sdot + rArr sdot = + rArr sdot =+ rArr

2424 180 75 r r cmrArr sdot = rArr =

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 30: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

30

Vježba 076

Koliki je polumjer kružnice koja dira stranicu AB kvadrata i prolazi njegovim vrhovima C i D ako je duljina stranice kvadrata 24 cm

Rezultat 15 cm Zadatak 077 (MX tehnička škola)

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini promjera

Rješenje 077 Ponovimo Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

r

d

S

2 2uvj 2 2et 1

2 2 2

P rr

Pr r r

d r dr

r

ππ

πππ sdot

= sdot

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr =

= sdot

Vježba 077

Odredi polumjer kruga kojemu je površina jednaka duljini polumjera

Rezultat 1

=

Zadatak 078 (Tonka gimnazija)

Izračunaj površinu osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 31: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

31

Rješenje 078 Ponovimo

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 n n

a an n na b a b a a a b a a b bn

b bsdot = sdot = = minus = minus sdot sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Promjer (dijametar) je dužina koja prolazi kroz središte kružnice i čiji krajevi se nalaze na kružnici Duljinu promjera označavamo slovom d Sveza promjera i polumjera

2 d r= sdot

Krug je skup svih točaka u ravnini čija je udaljenost od određene točke koju zovemo središte kruga manja ili jednaka određenom broju koji zovemo polumjer kruga Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ploština kruga polumjera r iznosi

2 P r π= sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kvadrat je četverokut s četiri prava kuta i četiri sukladne stranice Stranice su jednake duljine a nasuprotne stranice su paralelne Dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha nekog mnogokuta ili poliedra

d = a sdotsdotsdotsdot 2

a

a

a

a

r

r

S

N

M

CD

A B

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 32: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

32

Sa slike vidi se

2 22

aAB BC CD DA a AM NC AC a MN r= = = = = = = sdot = sdot

Uočimo da je duljina dijagonale AC kvadrata ABCD jednaka zbroju duljine promjera kruga MN i dvostrukog polumjera malih krugova AM+NC

2 2 2 2 22 2 2

a a aAC AM MN NC a r a r= + + rArr sdot = + sdot + rArr sdot = sdot + sdot rArr

2 2 2 2 2 22

2 22a

a r a r a r a a r a arArr sdot = sdot + sdot rArr sdot = sdot + rArr sdot + = sdot rArr sdot = sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 2 1 2 1 2

ar a r a rrArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = sdot minus

Ploština kruga iznosi

( )( ) ( )

2 22 1 22 2 1 2 1

2 22

ar a a

P P

P r

π π

π

= sdot minusrArr = sdot minus sdot rArr = sdot minus sdot rArr

= sdot

( ) ( ) ( )2 2 22

2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 2 4 4 4

a a aP P Pπ π πrArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot + sdot rArr = sdot minus sdot sdot

Vježba 078

Izračunaj opseg osjenčanog lika ako je duljina stranice kvadrata jednaka a

Rezultat ( )2 1 O a π= sdot minus sdot

Zadatak 079 (Tonka gimnazija)

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 28 middot π

Rješenje 079 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Opseg kružnice i kruga polumjera r iznosi

2 O r π= sdot sdot Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 33: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

33

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r Odredimo duljine polumjera koncentričnih kružnica

2 1010 2 10 511 1 1 28 2 28 142 2 22 282

1

2

1

2

rO r r

O r rr

π ππ π π

π π

π

π

ππ π

sdot sdot sdotsdot

sdotsdot

= sdot= sdot sdot sdot = sdot =rArr rArr rArr

= sdot sdot sdot = sdot =sdot sdot = sdot

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1P r r P r r P r r r rπ π π π= sdot minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr

( ) ( )14 5 14 5 9 19 171 P P Pπ π πrArr = minus sdot + sdot rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 079

Kolika je ploština kružnog vijenca koji je omeđen s dvije koncentrične kružnice opsega 10 middot π i 20 middot π

Rezultat 75 πsdot

Zadatak 080 (Tonka gimnazija)

Širina kružnog vijenca je 12 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 28 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rješenje 080 Ponovimo

( ) ( )2 2a b a b a bminus = minus sdot +

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) Krug je geometrijski lik omeđen kružnicom Polumjer (radijus) je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice Duljina polumjera označava se slovom r Ako su u ravnini zadana dva koncentrična kruga (imaju zajedničko središte) manji krug polumjera r i veći polumjera R tada se skup svih točaka ravnine koje pripadaju većem krugu a ne pripadaju unutrašnjosti manjeg kruga zove kružni vijenac Ploština kružnog vijenca izračunava se po formuli

( )2 2P R r π= minus sdot

gdje je R gt r

R - r = 12

rR

S

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot

Page 34: Zadatak 061 (Nenad, gimnazija) Iz to č = 10 - halapa.com · Oko vrha pravog kuta opisana je kružnica koja dira prve dvije izvana. Kolika je ploština krivocrtnog trokuta između

34

1inačica Pomoću uvjeta u zadatku formiramo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

metoda suprotnih 2

koeficijen

122 40 2 40 20

28 ata

R rR R R

R r

minus =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

+ =

Računamo r 20

20 28 28 20 828

Rr r r

R r

=rArr + = rArr = minus rArr =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 2 2 220 8 400 640

2

8336P R P P m

rr c

Rπ π π π

= minus sdot rArr rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr sdot

=

=

2inačica Uvjeti u zadatku glase

12

28

R r

R r

minus =

+ =

Ploština kružnog vijenca iznosi

( ) ( ) ( )2 2 212 21

8 3362

2

8P R r P R r R r P P

R rm

Rc

rπ π π π

minus =

+ =

= minus sdot rArr = minus sdot + sdot rArr rArr = sdot sdot rArr = sdot

Vježba 080

Širina kružnog vijenca je 10 cm a zbroj polumjera koncentričnih kružnica je 20 cm Kolika je ploština kružnog vijenca

Rezultat 2200 P cmπ= sdot