WYDZIAŁ BUDOWNICTWARodzaj studiów:stacjonarne I st.

Nazwa przedmiotu (kursu):

MATEMATKA 1 (Mathematics 1)Nr w planie studiów:

8

Typ przedmiotu: obowiązkowy

Nazwisko wykładowcy:Dr Józef Szymczak

Język wykładowy:polski

Rok/semestr stud:I / 1

Rodzaj zajęć – liczba godzin/tydzień:W – 3E, C – 2

Liczba pkt. ECTS:7

Charakterystyka przedmiotu:1. Elementy logiki i teorii zbiorów.2. Ciało liczb zespolonych: działania na liczbach zespolonych, różne postacie liczby zespolonej, pierwiastki wielomianów.3. Macierze i wyznaczniki: algebra macierzy, wyznacznik macierzy i jego własności, macierz osobliwa, macierz odwrotna, rząd macierzy. 4. Układy równań liniowych, wzory Cramera, metoda eliminacji Gaussa. Wartości i wektory własne macierzy symetrycznej.5. Algebra wektorów.6. Elementy geometrii analitycznej: prosta i inne krzywe na płaszczyźnie, opis parametryczny krzywej, prosta i płaszczyzna w przestrzeni R3, niektóre powierzchnie.7. Funkcje jednej zmiennej – podstawowe własności, przegląd funkcji elementarnych.8. Ciągi liczbowe i ich granice.9. Granica funkcji, pojęcie ciągłości funkcji.10. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania, tw. Taylora, monotoniczność i ekstrema, badanie przebiegu zmienności funkcji.

Tematyka ćwiczeń pokrywa się z tematyką wykładów.

2 g.

4 g.

5 g.

6 g.4 g.

6 g.4 g.3 g.3 g.

8 g.

Cel nauczania przedmiotu:Zapoznanie studentów z podstawowymi pojęciami algebraicznymi i analitycznymi, ze

zwróceniem uwagi na ich zastosowanie w zagadnieniach technicznych. Kształcenie umiejętności posługiwania się poznanym aparatem matematycznym jako niezbędnym do studiowania przedmiotów zawodowych.

Wymagania wstępne:Wiadomości z matematyki w zakresie szkoły średniej

Metody oceny pracy studenta:a) Ćwiczenia: zaliczenie na podstawie 3 sprawdzianów i aktywności na zajęciach.b) Wykład: egzamin pisemny (po zaliczeniu ćwiczeń).

Zalecana literatura przedmiotu:[1] Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1, 2. Definicje, twierdzenia, wzory. Skrypty

Politechniki Wrocławskiej, OW GiS, Wrocław 2005.[2] Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1, 2. Przykłady i zadania. Skrypty Politechniki

Wrocławskiej, OW GiS, Wrocław 2005.[3] Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów, WNT Warszawa 1995.[4] Gewert M, Skoczylas Z.: Analiza Matematyczna 1, Definicje twierdzenia wzory, OW GiS,

Wrocław 2005[5] Gewert M, Skoczylas Z.: Analiza Matematyczna 1, Przykłady i zadania, OW GiS, Wrocław

2005.[6] Krysicki Wł., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach, Tom 1, PWN, W-wa 1998-

2001.

Budownictwo, matematyka 1

1 lista zadań Elementy logiki i algebry zbiorów.

Zad. 1. Sprawdź metodą zero-jedynkową prawa rachunku zdań podane na wykładzie. Czy prawami rachunku zdań są wyrażenia: (a) p p , (b) (p q) q , (c) (p q r) [p (q r)] , (d) p (p q), (e) p (p q) , (f) (p q) (q p) , (g) (p p), (h) (p q) (p q), (i) (p q) [(p q) q] ?

Zad. 2. Zdefiniuj alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji, a także koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji.

Zad. 3. Określ wartość logiczną każdego zdania i napisz jego zaprzeczenie:

Zad. 4. Dane są zbiory: A = 1; 5, B = (-; 3), D = {-2, 0, 1}, E = -2; 4), F = 4; +), G = (2; 5, H = {2, 5}, K = {3}.a) Wykonać na tych zbiorach działania , , , podając ilustrację graficzną na osi liczbowej.b) Wyznaczyć NB, R+B, R-B, A, B, G, (A\B) (R jest przestrzenią rzeczywistą).c) Sprawdzić prawa de Morgana dla par zbiorów: A i B oraz E i B.d) Podać ilustrację graficzną iloczynu kartezjańskiego każdej pary zbiorów.e) Zbadać ograniczoność każdego ze zbiorów; wyznaczyć dla każdego zbioru (jeśli istnieje) maksimum, minimum, supremum, infimum.

Zad. 6. Dla zbiorów:

zbadać ich ograniczoność, wyznaczyć (jeśli istnieje) maximum, minimum, supremum, infimum.

Zad. 7. Wyznaczyć , gdy

(a) , t N.

Budownictwo, matematyka 1

2 lista zadań Liczby zespolone

Zad. 1. Wykonać działania: d)

,

.

h) dla liczb obliczyć .

Zad. 2. Dla jakich rzeczywistych x i y spełnione jest równanie: (3 2i)x + (2 + i)y = 4 – 5i ? Rozwiązać równanie: .

Zad. 3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczby zespolone:

-5, 2i, , i15 .

Zad. 4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór punktów spełniających warunki:

Zad. 5. Obliczyć:

,

Zad. 6. Wyrazić sin3 i cos3 przez sin i cos (wzory wyprowadzić przy wykorzystaniu liczb zespolonych).

Zad. 7. Rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej:

z2 + 32 = 0, z8 + 15z4 – 16 = 0, z4 + 1 = 0.

Zad. 8. Przedstawić sinx i cosx za pomocą funkcji wykładniczej o wykładniku zespolonym, korzystając ze wzoru Eulera:

Budownictwo, matematyka 1

3 lista zadań Macierze i wyznaczniki

Zad. 1. Dane są macierze . Wyznaczyć

A + B, 2A3B, AT + BT, ABT, ATB. Czy można wykonać mnożenie AB ?

Zad. 2. Dane są macierze zależności między półproduktami p1, p2, p3 i surowcami s1, s2, s3 oraz między wyrobami gotowymi w1, w2 i półproduktami p1, p2, p3. Wyznaczyć macierz zależności między wyrobami w1, w2 i surowcami s1, s2, s3.

p1 p2 p3 w1 w2

s1 1 0 2 p1 1 3s2 3 2 0 p2 2 2s3 2 3 1 p3 3 1

Zad. 3. Znaleźć wszystkie macierze symetryczne X spełniające warunek

.

Zad. 4. Sprawdzić na wybranych przykładach macierzy, czy zachodzą równości:

(A i B to macierze kwadratowe stopnia k, E to macierz jednostkowa)

Zad. 5. Obliczyć następujące wyznaczniki:

a b c

a 1 b 1 c 1

a k b k c k

.

Zad. 6. Wyznaczyć macierze odwrotne do danych macierzy:

Zad. 7. Znaleźć macierze X, dla których zachodzą podane równości:

a) , b) c) .

Zad. 8. Rozwiązać równania macierzowe wykorzystując macierze odwrotne:

.

Zad. 9. Wyznaczyć rzędy następujących macierzy, wykonując przekształcenia elementarne na tych macierzach:

.

Budownictwo, matematyka 1

4 lista zadań Rozwiązywanie układów równań liniowych.

Zad. 1. Zapisać podany układ równań w postaci macierzowej: .

Zad. 2. Podane układy równań rozwiązać wzorami Cramera oraz za pomocą macierzy odwrotnej: .

Zad. 3. Podane układy Cramera rozwiązać metodą eliminacji Gaussa:

Zad. 4. Rozwiązać podane układy równań metodą eliminacji Gaussa: .

Zad. 5. Rozwiązać podane układy równań jednorodnych:

Zad. 6. Zbadać rozwiązalność układu równań w zależności od parametru a i podać rozwiązania, gdy istnieją:

,

.

Budownictwo, matematyka 1

5 lista zadań. Elementy geometrii analitycznej.

1. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę. Długość wektora. Iloczyn skalarny wektorów określenie i zastosowania

2. Iloczyn wektorowy i mieszany wektorów z przestrzeni R3 interpretacja i zastosowania.

3. Wektory u i

v tworzą kąt . Wiedząc, że obliczyć

a b, a b , , jeśli

.

4. Znaleźć kąt między przekątnymi równoległoboku rozpiętego na wektorach a = 2m + n i b = m n , gdzie .

5. Wektor a [ , , ]5 1 3 przedstawić w postaci sumy dwóch wektorów, z których jeden jest

równoległy, a drugi prostopadły do wektora b [ , , ].1 1 2

6. Uprościć wyrażenie: 2i (j k) + 3j (i k) + 4k (i j)

7. Dane są punkty M(1, 2, 0), P(-2, 3, 1), Q(0, -1, 0), S(-2, -3, 4). Wyznaczyć a) długości boków trójkąta MPQ; b) prostopadły rzut wektora na kierunek wektora

;

c) pole trójkąta MPQ;

d) objętość czworościanu MPQS oraz długość wysokości z wierzchołka S.

8. Sprawdzić, że wektory u = [1, 0, 1], v = [2,-1, 0], w = [0, 2, 1] nie leżą w jednej

płaszczyźnie. Przedstawić wektor [3, 1, -1] za pomocą powyższych wektorów. Czy wektory [1, 0, 1], [2, -1, 0], [3, -2, -1] leżą w jednej płaszczyźnie ?

9. Równanie kierunkowe, ogólne, odcinkowe prostej na płaszczyźnie. Równania parametryczne prostej na płaszczyźnie.

10. Dane są punkty M=(1, -1), P=(3, 4), Q=(-1, 2). Napisać równania boków trójkąta MPQ. Napisać równania prostej równoległej i prostej prostopadłej do prostej MP i przechodzących przez punkt Q. Znaleźć wysokość trójkąta MNQ poprowadzoną z wierzchołka Q.

11. Wykazać, że punkt M=(3, 0) leży wewnątrz okręgu x2 + y2 4x +2y + 1 = 0 oraz napisać równanie cięciwy tego okręgu, którą punkt M dzieli na połowy.

12. Równanie ogólne płaszczyzny w przestrzeni R3. Postać odcinkowa równania płaszczyzny. Naszkicować płaszczyzny: x = 2, z = 3, y = 4, x y = 0, x + 2z = 2, 4x + 2y + z 4 = 0.

13. Równania parametryczne prostej w przestrzeni R3. Postać krawędziowa równania prostej.

14. Dane są punkty M=(1, 3, 0), P=(2, 4, 5), Q=(3, 5, 9), S=(0, 1, 2). Sprawdzić, czy punkty te leżą w jednej płaszczyźnie. Sprawdzić, czy punkty M, P, Q leżą na jednej prostej.

15. Napisać równanie ogólne płaszczyzny Π mając dane: a) Π zawiera punkty M=(-1, -3, 2), P=(5, -1, 0), Q=(-2, 0, 0); b) Π zawiera oś Oz i punkt M=(5, -2, 7); c) Π jest równoległa do osi Ox i zawiera punkty M = (1, -1, -3), P = (-5, 4, -2); d) Π zawiera punkt M=(2, 7, -3) oraz prostą x = 2t, y = t - 1, z = -t + 2; e) Π zawiera prostą

x 4t 1

y 3t 1

z t

i jest równoległa do prostej

x 4t 2

y 3t 3

z 2t

;

f) Π jest prostopadła do prostej i zawiera punkt M=(0, -1, 2).

16. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt M=(1, 2, 3) oraz a) równoległej do wektora [-1, 0, 2]; b) przechodzącej przez punkt (2, 2, -3); c) równoległej do prostej x = -3 + 2t, y = 2 - 3t, z = 5; d) równoległej do prostej

x + y + z 3 = 0

2x + y + 5 = 0

;

e) prostopadłej do płaszczyzny: 2x y + 3z 2 = 0.

17. Napisać równania parametryczne odcinka MN, gdzie M=(1, 2, 1), N=(3, 1, 5).

18. Jaka jest odległość punktu (1, 1, 1) od płaszczyzny x + y + 2z 5 = 0 ? Jaka jest odległość prostej x = 1 + 2t, y = 3 + 2t, z = -2t od płaszczyzny x + y + 2z 5 = 0 ? Jaka jest odległość płaszczyzny x + y + 2z + 1 = 0 od płaszczyzny x + y + 2z 5 = 0 ?

19. Znaleźć rzut prostej na płaszczyznę x – y + 3z + 8 = 0.

20. Obliczyć odległość punktu (1, 1, 1) od prostej x y z

1

2

3

2 2 oraz odległość między tą prostą a

prostą x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 1 t.

21. Znaleźć miejsce geometryczne punktów przestrzeni R3 równo odległych od punktów M=(-1, 1, 1) i N=(1, -1, -1).

22. Zbadać wzajemne położenie dwóch dowolnych prostych w przestrzeni R3 . (Najpierw sprawdzamy równoległość wektorów kierunkowych tych prostych. Jeśli nie są równoległe, to należy wyznaczyć iloczyn mieszany odpowiednich wektorów. W przypadku zerowania się tego iloczynu proste leżą w jednej płasz-czyźnie i przecinają się).

23. Równania elipsy, hiperboli i paraboli na płaszczyźnie R2.

24. W przestrzeni R3 naszkicować wykresy powierzchni określonych równościami:

a) x + y = 3, b) (x 1) y 1, c) z = 1 - y , d) x + y + z = 4, e) x = 4z,2 2 2 2 2 2 2 2 2

f) z = x + y g) z = 2 + x + y , h) z = y i) x + 4z = 4, j) z = 2 x + y2 2 2 2 2 2 2 2, , .

J. Szymczak