Zadaci iz matematicke logike
-
Upload
edin-terzic -
Category
Documents
-
view
356 -
download
9
Transcript of Zadaci iz matematicke logike
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 1/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2009.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (5 poena)
a) Definisite interpretaciju racuna Ri u X = ∅ i definisite dokazivu Ri-formulu Φ.
b) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji racuna Ri i o Booleovoj funkciji Ri-formule Φ = Φ( p1, p2, ....., pn)?
c) Formirajte Booleovu funkciju Ri-formule ( p ⇒ q ) ∨ r.
Pitanje 2 (5 poena)
a) Definisite semanticki ekvivalentne Ri-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula.
b) Dokazite (najmanje na dva nacina) da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q ) semanticki ekvivalentne.
Zadatak 1 (5 poena) Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈{,⊥} ako je
τ
( p ⇔ r) ⇒
¬q ⇒ (¬r ∧ ¬t)
∨ (¬s ⇒ t)
= ⊥.
Zadatak 2 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(¬r ∨ p) ⇒ q ⇒ F
⇔
F ⇒
¬q ⇒ (r ∧ ¬ p)
je tautologija. Sastaviti s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ≡ F ( p, q, r).
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 2/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2009.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (5 poena)
a) Definisite Ri-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, ....., pn).
b) Formulisite Teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite (najmanje na dva nacina) da je ( p ⇒ q ) ⇔ (¬ p ∨ q ) Ri-tautologija.
Pitanje 2 (5 poena)
a) Definisite kanonske (normalne) forme ( n.k.f., n.d.f., s.n.k.f. i s.n.d.f.)Ri-formule Φ = Φ( p1, p2, ....., pn).
b) Formirajte s.n.d.f. i s.n.k.f. Ri-formule p ⇒ q.
Zadatak 1 (5 poena) Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈{, ⊥} ako je
τ (s ⇔ p) ⇒ ¬r ⇒ (¬ p ∧ q ) ∨ (t ⇒ ¬q ) = ⊥.
Zadatak 2 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬r
⇒ F
⇔
F ⇒
r ⇒ (¬ p ∧ q )
je tautologija. Sastaviti s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ≡ F ( p, q, r).
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 3/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2009.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (5 poena)
a) Definisite interpretaciju racuna Ri u X = ∅ i definisite dokazivu Ri-formulu Φ.
b) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji racuna Ri i o Booleovoj funkciji Ri-formule Φ = Φ( p1, p2, ....., pn)?
c) Formirajte Booleovu funkciju Ri-formule ( p ⇒ q ) ∨ r.
Pitanje 2 (5 poena)
a) Definisite semanticki ekvivalentne Ri-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula.
b) Dokazite (najmanje na dva nacina) da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q ) semanticki ekvivalentne.
Zadatak 1 (5 poena) Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈{,⊥} ako je
τ
(q ⇔ s) ⇒
¬t ⇒ (¬s ∧ ¬ p)
∨ (¬r ⇒ p)
= ⊥.
Zadatak 2 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(r ∨ p) ⇒ q ⇒ F
⇔
F ⇒
¬q ⇒ (¬r ∧ ¬ p)
je tautologija. Sastaviti s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ≡ F ( p, q, r).
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 4/36
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 5/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 23.12.2009.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ (q ∨ ¬r) ⇒ [(¬q ∨ p) ⇔ (r ∧ p)] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ e ⊥ ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza:
a) ¬P (d, b) ⇒ P (b, d);
b) P (c, e) ⇒ (∀y ∈ S )(∃x ∈ S )P (x, y).
Odgovor obrazloziti!
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Z
1 ≤ |x + 3| < 4
definisani su
jednomjesni predikati:
• P 1(x) : “ |x + 2| ≤ 1 i
• P 2(x) : “x2 + 4x ≥ 0.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2
i P
= P 1
⇔ ¬P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 6/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 23.12.2009.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ (¬ p ∨ r) ⇒ [(¬r ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q )] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza:
a) ¬P (c, b) ⇒ P (b, c);
b) P (b, d) ⇒ (∀y ∈ S )(∃x ∈ S )P (x, y).
Odgovor obrazloziti!
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Z
1 ≤ |x + 2| < 4
definisani su
jednomjesni predikati:
• P 1(x) : “ |x + 1| ≤ 1 i
• P 2(x) : “x2 + 3x ≤ 0.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2
i P
= ¬P 1
⇔ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 7/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 23.12.2009.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ (¬r ∨ ¬ p) ⇒ [(r ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q )] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ d ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza:
a) ¬P (d, c) ⇒ P (c, d);
b) (∀x ∈ S )(∃y ∈ S )P (x, y) ⇒ P (e, c).
Odgovor obrazloziti!
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Z
1 ≤ |x − 3| < 4
definisani su
jednomjesni predikati:
• P 1(x) : “ |x − 4| ≤ 1 i
• P 2(x) : “x2 − 2x > 0.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2
i P
= ¬P 1
⇔ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 8/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 23.12.2009.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ ( p ∨ ¬q ) ⇒ [(¬ p ∨ r) ⇔ (q ∧ r)] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥ d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza:
a) P (c, a) ⇒ ¬P (a, c);
b) (∀x ∈ S )(∃y ∈ S )P (x, y) ⇒ P (c, b).
Odgovor obrazloziti!
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Z
1 ≤ |x − 2| < 4
definisani su
jednomjesni predikati:
• P 1(x) : “ |x − 3| ≤ 1 i
• P 2(x) : “x2 − 3x ≤ 0.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2
i P
= P 1
⇔ ¬P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 9/36
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 10/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 27.12.2009.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (3 poena)
a) Definisite predikat duzine n ∈ N = {1, 2, 3, ...} definisan na skupu S =∅.
b) Definisite univerzalni kvantor (kvantifikator) ∀.
Pitanje 2 (3 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)} ,
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (4 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kva-drata?
Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ ((P (a) ∨ P (c)) ⇒ P (b)) = .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − 2y ≥ −2,
P 2(x, y) : “x + y ≥ −5 i
P 3(x, y) : “x ≤ 2.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇒ (P 2 ∧ P 3).
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 11/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 27.12.2009.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (3 poena)
a) Definisite predikat duzine n ∈ N = {1, 2, 3,...} definisan na skupu X =∅.
b) Definisite egzistencijalni kvantor (kvantifikator) ∃.
Pitanje 2 (3 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelo-vanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (4 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom (neposrednom) dokazu u racunu iskaza? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ ((P (b) ∨ P (c)) ⇒ P (d)) = .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − y ≤ 5,
P 2(x, y) : “2x + y ≥ −2 i
P 3(x, y) : “y ≤ 2.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇒ (P 2 ∧ P 3).
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 12/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 27.12.2009.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (3 poena)
a) Definisite predikat duzine n ∈ N = {1, 2, 3, ...} definisan na skupu S =∅.
b) Definisite univerzalni kvantor (kvantifikator) ∀.
Pitanje 2 (3 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)} ,
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (4 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kva-drata?
Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ ((P (a) ∨ P (d)) ⇒ P (c)) = .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − 2y ≤ 2,
P 2(x, y) : “x + y ≤ 5 i
P 3(x, y) : “x ≥ −2.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇒ (P 2 ∧ P 3).
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 13/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite i-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). For-mulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite da je ( p =⇒ q ) ⇔(¬q ⇒ ¬ p) i- tautologija.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [(¬ p ∨ q ) ⇒ r] ⇒ F i F 2 ≡ [(¬ p ∨ q ) ∧ ¬r] ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∨P (b)∨¬P (c)∧P (a)∨¬P (b)∨P (c)
∧¬P (a)∨¬P (b)∨P (c)
= .
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x− y + 1
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y − 5
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 14/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite semanticki ekvivalentne i-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokazite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)} ,
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬r] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [( p ∨ ¬q ) ∧ r] ∧ F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∧¬P (b)∧P (c)
∨P (a)∧¬P (b)∧¬P (c)
∨
¬P (a)∧¬P (b)∧P (c)
= ⊥.
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − y + 5
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y − 1
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 15/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite i-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). For-mulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite da je ( p =⇒ q ) ⇔(¬q ⇒ ¬ p) i- tautologija.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [(q ∨ ¬r) ⇒ p] ⇒ F i F 2 ≡ [(q ∨ ¬r) ∧ ¬ p] ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∨P (b)∨P (c)∧P (a)∨¬P (b)∨P (c)
∧¬P (a)∨¬P (b)∨P (c)
= .
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x− y − 1
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y + 5
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 16/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite semanticki ekvivalentne i-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokazite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)} ,
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [(¬q ∨ r) ⇒ ¬ p] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [(¬q ∨ r) ∧ p] ∧ F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∧P (b)∧¬P (c)
∨
¬P (a)∧P (b)∧¬P (c)
∨
¬P (a)∧¬P (b)∧P (c)
= ⊥.
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − y − 5
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y + 1
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 17/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 04.02.2010.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite osnovne logicke operacije u skupu P X (svih) jednomjesnih predikata definisanih na skupu X = ∅. Nakon toga ilustrujte ih na primjeru skupa P X , ako je X = {a, b} .
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o neposrednom (direktnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskaz
(∀x ∈ R) x2 − (m + 1)x + m + 1 > 0 ⇒ (∃x ∈ R) x2 + 4x + 5 ≤ 0
bude tacan.
Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S =x ∈ Z
1 < |x − 2| ≤ 3
takvog da iskaz
(∀y ∈ S ) (∃x ∈ S )P (x, y) ⇒ (∃x ∈ S ) (∀y ∈ S )P (x, y)
bude netacan.
Zadatak 3 (7 poena) Rijesiti jednacinu
τ
(¬r ∨ ¬q ) ⇒ (s ∧ q )
∨ ( p ∧ q )
∨
(¬r ∧ ¬s) ⇒ p
∧ ¬q
= ,
po nepoznatim p ,q,r, s ∈ {,⊥}.
Napomena: Na ovoj provjeri znanja je moguce osvojiti maksimalno 40
bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrsnoj provjeri znanja vecovi drugi anuliraju prve.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 18/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 04.02.2010.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o univerzalnom kvantoru?
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)}
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2
→ {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇔ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskaz
(∀x ∈ R)x2 − (m − 1)x + m − 1 > 0 ⇒ (∀x ∈ R)x2 + 4x + 3 ≥ 0
bude tacan.
Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S =
x ∈ Z
1 < |x + 2| ≤ 3
takvog da iskaz
(∀x ∈ S ) (∃y ∈ S )P (x, y) ⇒ (∃y ∈ S ) (∀x ∈ S )P (x, y)
bude netacan.
Zadatak 3 (7 poena) Rijesiti jednacinu
τ
(¬q ∨ ¬ p) ⇒ (r ∧ p)
∨ (s ∧ p)
∨
(¬q ∧ ¬r) ⇒ s
∧ ¬ p
= ,
po nepoznatim p ,q,r, s ∈ {,⊥}.
Napomena: Na ovoj provjeri znanja je moguce osvojiti maksimalno 40
bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrsnoj provjeri znanja vecovi drugi anuliraju prve.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 19/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 02.09.2010.
Dodatni ispit iz Uvoda u matematicku logiku (ljetna skola)
Pitanje 1 (16.7 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite (bar na dva naina) da je zakon otkidanja iskazna tautologija.
Pitanje 2 (16.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora (na promjenjive dvomjesnog predikata).
Pitanje 3 (16.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju po logickom kvadratu?
Zadatak 1 (15 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x− y + 1
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y − 5
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
Zadatak 2 (15 poena) Rijesiti jednacinu
τ
(¬s ∨ ¬r) ⇒ (¬ p ∧ r)∨ (¬q ∧ r)
∨
(¬s ∧ p) ⇒ ¬q ∧ ¬r
= ,
po nepoznatim p,q,r,s ∈ {,⊥}.
Zadatak 3 (20 poena) Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R za koje je tacan iskaz
x2 − 2x− 3 ≥ 0 ⇒x2 − 2x− 8
≤ 8.
Napomena: Na ovom ispitu je moguce osvojiti maksimalno 100 bodova
(50 iz teorije i 50 iz zadataka). Da bi student polozio ispit neophodno je daosvoji minimalno 55 bodova.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 20/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.09.2010.
Dodatni ispit iz Uvoda u matematicku logiku
Pitanje 1 (6.7 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite (bar na dva naina) da je zakon otkidanja iskazna tautologija.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora (na promjenjive dvomjesnog predikata).
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju po logickom kvadratu?
Zadatak 1 (6.7 poena) Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R\{4} za koje je tacan iskaz
x2 − 6x + 2
4− x ≥ −1 ⇒ 2x ≤
1
4.
Zadatak 2 (6.7 poena) Iskazna formula
Φ ≡ [( p ∧ ¬q ) ⇒ r] ⇔ ¬F
je tautologija. Rijesiti jednacinu F ( p, q, r) = ⊥, po nepoznatim p , q, r ∈{,⊥}.
Zadatak 3 (6.7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “ max{|x|, |y|} ≤ a” i
P 2(x, y) : “x − y
≤ a”
( a > 0). Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
Napomena: Na ovoj provjeri znanja je moguce osvojiti maksimalno 40
bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na prethodne dvije provjereznanja (zavrsni i popravni ispit). Bodovi osvojeni na ovoj provjeri anulirajubodove osvojene na prethodne dvije provjere.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 21/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (3.33 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite
da je iskazna formula ¬ p⇒ (q ∧ ¬q )
⇒ p iskazna tautologija.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o interpretacijama logike iskaza?
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i
savrsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Φ =Φ( p, q, r) ako je Φ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(q ⇔ ¬r) ∨ ¬F
∧ (¬ p ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ p) ∨ (¬q ⇔ ¬r)
je tautologija. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi
p :x + 3
≥ −2x i q : −x2 + 11x− 8
3− x ≥ 2x− 1.
Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da:
a) iskaz p bude tacan;
b) iskaz q bude tacan;
c) iskazna formula F ≡
(¬ p ∨ q ) ⇒ ¬q
∧ ( p⇔ q ) bude tacna.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 22/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (3.33 poena) Definisite semanticki ekvivalentne iskazne formule i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokazite da su iskazne formule p⇒ q i ¬ p⇒ ¬q semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1, p2, . . . , pn)? Nakon toga
formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p∨
q )∧ ¬
r.
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i savrsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Ψ =Ψ( p, q, r) ako je Ψ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
( p⇔ r) ∨ ¬F
∧ (q ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ ¬q ) ∨ ( p⇔ ¬r)
je tautologija. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi
p :x + 4
≥ −3x i q :
−x2 + 9x + 2
2− x ≥ 2x + 1.
Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da:
a) iskaz p bude tacan;
b) iskaz q bude netacan;
c) iskazna formula F ≡
( p ∨ ¬q ) ⇒ q
∧ (¬ p⇔ q ) bude tacna.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 23/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (3.33 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite
da je iskazna formula ¬ p⇒ (q ∧ ¬q )
⇒ p iskazna tautologija.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o interpretacijama logike iskaza?
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i
savrsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Φ =Φ( p, q, r) ako je Φ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(¬q ⇔ ¬r) ∨ ¬F
∧ ( p ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ ¬ p) ∨ (q ⇔ ¬r)
je identicki lazna. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi
p :x + 5
≥ −4x i q : −x2 + 13x− 20
4− x ≥ 2x− 3.
Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da:
a) iskaz p bude tacan;
b) iskaz q bude tacan;
c) iskazna formula F ≡
( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬ p
∧ ( p⇔ q ) bude tacna.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 24/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Pitanje 1 (3.33 poena) Definisite semanticki ekvivalentne iskazne formule i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokazite da su iskazne formule p⇒ q i ¬ p⇒ ¬q semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1, p2, . . . , pn)? Nakon toga
formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p∨
q )∧ ¬
r.
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i savrsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Ψ =Ψ( p, q, r) ako je Ψ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(¬ p⇔ ¬r) ∨ ¬F
∧ (¬q ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ q ) ∨ (¬ p⇔ r)
je identicki lazna. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi
p :x + 6
≥ −5x i q :
−x2 + 7x + 10
1− x ≥ 2x + 3.
Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da:
a) iskaz p bude netacan;
b) iskaz q bude tacan;
c) iskazna formula F ≡
(¬ p ∨ q ) ⇒ p
∧ ( p⇔ ¬q ) bude tacna.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 25/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 18.12.2010.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ [r ⇒ ( p ∧ ¬q )] ⇔ [q ∨ (¬ p ⇒ r)] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥b c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∀x) P (x, b) , (∀y) P (b, y) , (∃x) (∀y) P (x, y)i (∃y) (∀x) P (x, y) .
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Nx2
−7x + 12
x − 6 < x − 2
defi-
nisani su jednomjesni predikati:
• P 1(x) : log5
3√
5x > 6
7 i
• P 2(x) :
x + 3
5
< x.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2 i P = ¬P 2 ⇒ P 1.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 26/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 18.12.2010.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ [ p ⇒ (¬q ∧ r)] ⇔ [¬r ∨ (q ⇒ p)] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ e ⊥ ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∀x) P (x, b) , (∀y) P (b, y) , (∃x) (∀y) P (x, y)i (∃y) (∀x) P (x, y) .
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Nx2 + 3x
−6
x < x + 2
defini-
sani su jednomjesni predikati:
• P 1(x) : log3
√ 3x >
√ 7
2 i
• P 2(x) :
x + 5
3
< x.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2 i P = ¬P 2 ⇒ P 1.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 27/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 18.12.2010.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ [q ⇒ (¬ p ∧ r)] ⇔ [ p ∨ (¬r ⇒ q )] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∃x) P (x, b) , (∃y) P (b, y) , (∀x) (∃y) P (x, y)i (∀y) (∃x) P (x, y) .
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Nx2
−x
−6
x < x − 2
defini-
sani su jednomjesni predikati:
• P 1(x) : log2
3√
2x > 6
7 i
• P 2(x) :
x + 2
5
< x.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2 i P = ¬P 2 ⇒ P 1.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 28/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 18.12.2010.
Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule
F ≡ [q ⇒ ( p ∧ ¬r)] ⇔ [¬ p ∨ (r ⇒ q )] .
Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P
definisan je sljedecom tabelom
y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ e ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∃x) P (x, b) , (∃y) P (b, y) , (∀x) (∃y) P (x, y)i (∀y) (∃x) P (x, y) .
Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =
x ∈ Nx2
−3x
−12
x − 6 < x + 2
defi-
nisani su jednomjesni predikati:
• P 1(x) : log5
√ 5x >
√ 7
2 i
• P 2(x) :
x + 5
2
< x.
Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2 i P = ¬P 2 ⇒ P 1.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 29/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite univerzalni kvantor ∀.
b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y),∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvo-mjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = θ.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kvadrata?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (c) ⇒
P (a) ∧ ¬P (e)
∧
¬P (c) ∨P (a) ∧ ¬P (e)
∨
P (d) ∨ ¬P (b)
⇒P (d) ∧ P (b)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥ (x − 1)2 −x − 1
i
P 2(x, y) : y ≤ −x2 + 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i ¬P 1 ∧ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 30/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.
b) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o silogizmu (kao formi zakljucivanja)i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o indirektnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (b) ⇒
¬P (e) ∧ ¬P (d)
∧¬P (b) ∨
¬P (e) ∧ ¬P (d)
∨¬P (c) ∨ P (a)
⇒
¬P (c) ∧ ¬P (a)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥x− 1
− (x− 1)2 i
P 2(x, y) : y ≤ x2 − 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ∧ ¬P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 31/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite univerzalni kvantor ∀.
b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y),∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvom- jesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = θ.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kvadrata?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (e) ⇒
P (c) ∧ ¬P (b)
∧
¬P (e) ∨P (c) ∧ ¬P (b)
∨
¬P (a) ∨ P (d)
⇒
¬P (a) ∧ ¬P (d)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥ (x + 1)2 −x + 1
i
P 2(x, y) : y ≤ −x2 − 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ∧ ¬P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 32/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.
b) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o silogizmu (kao formi zakljucivanja)i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o indirektnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (a) ⇒
P (d) ∧ ¬P (c)
∧¬P (a) ∨
P (d) ∧ ¬P (c)
∨¬P (b) ∨ P (e)
⇒
¬P (b) ∧ ¬P (e)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥x + 1
− (x + 1)2 i
P 2(x, y) : y ≤ x2 + 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i ¬P 1 ∧ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 33/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 13.01.2011.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1
a) (2 poena) Definisite konjunktivnu normalnu formu (k.n.f.) i savrsenu konjunktivnu normalnu formu (s.k.n.f.) iskazne formule Φ.
b) (2 poena) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.
c) (4.33 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelo-vanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o vrsti zakljucivanja pomocu logickog kvadrata, koju nazivamo zakljucivanje po suprotnosti . Nakon toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljucivanja.
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule
Φ1 ≡
(¬ p ∧ r) ∨ q
⇒
(¬ p ∨ r) ∧ q
∨ ¬F
i Φ2 ≡
( p ∨ ¬r) ∧ ¬q ∧ ¬F
∨
(¬ p ∨ r) ∧ q ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f.iskazne formule F(p,q,r).
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati
P 1(x) : x2 − 2x +x − 1
≥ 5,
P 2(x) : 4 −x − 1
≥ −1,
P 3(x) : max {x − 1, 3 − x} ≥ 3.
Odrediti oblast istinitosti predikata P 1, P 2, P 3 i (P 1 ⇔ P 2) ∧ ¬P 3.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 34/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 13.01.2011.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1
a) (2 poena) Definisite disjunktivnu normalnu formu (d.n.f.) i savrsenu disjunktivnu normalnu formu (s.d.n.f.) iskazne formule Φ.
b) (2 poena) Definisite univerzalni kvantor ∀.
c) (4.33 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jedno-mjesne predikate ∀xP (x, y), ∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvomjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o vrsti zakljucivanja pomocu logickog kvadrata, koju nazivamo zakljucivanje po suprotnosti . Nakon toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljucivanja.
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika jednakosti L = D? Navedite bar jedan (pogodno-
ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule
Φ1 ≡
(¬q ∧ r) ∨ ¬ p
⇒
(¬q ∨ r) ∧ ¬ p
∨ ¬F
i Φ2 ≡
(q ∨ ¬r) ∧ p ∧ ¬F
∨
(¬q ∨ r) ∧ ¬ p ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f.iskazne formule F(p,q,r).
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati
P 1(x) : x2 + 2x +x + 1
≥ 5,
P 2(x) : 4 −x + 1
≥ −1,
P 3(x) : max {x + 1, 1 − x} ≥ 3.
Odrediti oblast istinitosti predikata P 1, P 2, P 3 i (P 1 ⇔ P 2) ∧ ¬P 3.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 35/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 03.02.2011.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (8.33 poena)
a) Definisite kanonske forme Ri− formula.
b) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o zakljucivanju popotsuprotnosti i zakljucivanju po protivrjecnosti .
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskazi:
I 1 ≡ “ (∃x ∈ R) x2 + 3x + 3 ≤ m(x + 1);
I 2 ≡ “ (∀x ∈ R)x + 1
> m− 1;
I 1 ⇔ I 2.
budu tacni.
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati:
P 1(x, y) ≡ “x2− 2x ≤ y2 + 2y;
P 2(x, y) ≡ “x2− 2x ≤ −y2
− 2y.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ⇒ P 2.
1
8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike
http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 36/36
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 03.02.2011.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (8.33 poena)
a) Definisite Ri-tautologiju. Nakon toga formulisite Teoremu o iskaznim tautologijama i ispitajte da li je iskazna formula
¬( p ∧ q ) ⇔ ¬ p ∨ ¬q
iskazna tautologija.
b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvo-mjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o zakljucivanju po
podredenosti i zakljucivanju po suprotnosti .
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika implikacije p ⇒ q ? Navedite bar jedan (pogodno-
ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskazi:
I 1 ≡ “ (∃x ∈ R) x2 − 3x + 3 ≤ m(x − 1);
I 2 ≡ “ (∀x ∈ R)x − 1
> m + 1;
I 1 ⇔ I 2.
budu tacni.
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati:
P 1(x, y) ≡ “x2 + 2x ≤ y2 − 2y;
P 2(x, y) ≡ “x2 + 2x ≤ −y2 + 2y.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ⇒ P 2.
1