Yer De gi˘stirmeyen Ayar Teorileri ve Seiberg{Witten...

Yer Degistirmeyen Ayar Teorileri veSeiberg–Witten Haritası

Kayhan ULKER

Abbasaga Mah.

Ankara YEF Gunleri, 27 Aralık 2011

Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 1 / 52

Yer degistirmeyen alan teorileri Giris

Jargon :

Ingilizce : Non–commutative

Yarı Turkce : Komut etmeyen

Turkce : Yer degistirmeyen (?)



Uzay-zamanın yer degistirmemesi kavramı

Klasik mekanik faz uzayının, geometrik bir teorisi olarak dusunulebilir.Faz uzayında bir olayın durumu koordinatları (x , p) olan bir noktadır !

Kuantum mekaniginde ise Heisenberg belirsizlik iliskisinden dolayı

∆x∆p >~2

faz uzayında bir nokta kavramından bahsedilemez !

Kuantum mekaniginde x ve p artık

[x , p] = i~

yer degistirme bagıntısını saglayan yani ”komut-etmeyen”operatorlerdir



Uzay-zaman icin bir komut etmeme bagıntısı olsa nasıl olur?

Ornegin, en basit yer degistirmeyen D–boyutlu Minkowski veyaEuclidean uzay RD icin

[xµ , xν ] = iθµν

yazılabilir. Burada θ reel sabit antisimetrik bir parametredir.

Heisenberg belirsizlik ilkesine benziyor : bir parcacıgın konumunubirden fazla koordinat icin aynı anda olcmek mumkun degil !

Dolayısıyla bu fikir cok da yeni ve cılgınca bir fikir degil !



Koordinatların komut etmemesi fikri ilk olarak Heisenberg tarafındanortaya atıldı. Amac kuantum alan teorisindeki cesitli modellerirenormalize ederken ortaya cıkan ıraksaklıklardan kurtulmak.

Ilk makale 1947 Snyder.

1980’lerde matematikciler (ozellikle Alain Connes) yer degistirmeyengeometriyi kurdular.

1995 Doplicher, Fredenhagen, Roberts: Genel gorelilik kuramına goreeger bir bolgede enerji yogunlugu yeteri kadar yuksekse bir kara delikolusturulabilir. Diger taraftan Heisenberg belirsizlik ilkesine goreuzay-zamanda iki nokta arasındaki mesafenin olcumu, bu mesafenintersiyle orantılı olarak momentumda belirsizlige yol acar.

1999 Seiberg ve Witten sicim teorisinin bir alt limitinin komutatifolmayan uzaylarla ilgili oldugunu gosterdiler. Bu calısmadan sonrakonu oldukca populer hale geldi !



Yeni (tuhaf) ozellikler

Henuz deneysel bir bulgu yok. Hala bir parcacıgın pozisyonunu nekadar kesinlikle olcebilecegimizi bilmiyoruz.

UV/IR karısımı : Dusuk momentumlu ıraksaklıklar yuksekmomentumlu ıraksaklıklarla karısıyor.

θ0i = 0 secilerek teorilerde uniterlik korunsa bile, diger komut etmemebagıntıları nedeniyle Lorentz degismezligi bozuluyor.



Ne ise yarar/yarayabilir ?

Katı hal fiziginde uygulamaları var (Kuantum Hall Etkisi, KesirliKuantum Hall Etkisi, Grafen vs.)

Standard Modelin genellestirilmesi.

Isıktan hızlı notrinoların (!?) anlasılması

Belki de en ilginci ”Kuantumlanmıs” uzay-zaman fikri ile kuantum yercekimi teorisinin insası

bir kac olası uygulama alanı olarak yazılabilir.



Yer degistirmeyen alan teorileri

Fiziksel olarak kabul edilebilir en basit yer degistirmeme ozelligine sahip biruzay, Minkowski uzayını anti-simetrik, sabit bir θ parametresi ile deformeederek bulunur :

[xµ, xν ] = θµν

Bu yer degistirmeme bagıntısını elde etmek icin Groenewold–MoyalCarpımı (∗–carpımı) kullanılır:

f (x) ∗ g(x) ≡ exp

(i

2θµν

∂

∂xµ∂

∂yν

)f (x)g(y)|y→x

= f (x) · g(x) +i

2θµν∂µf (x)∂νg(x) + · · ·

Boylelikle yer degistirmeyen koordinatlar artık sıradan koordinatların∗–komutatoru olarak yazılabilir :

[xµ , xν ]∗ ≡ xµ ∗ xν − xν ∗ xµ = iθµν .



Kolayca gorulebilecegi gibi artık iki fonksiyonun ∗–carpımı yerdegistirmez :

f (x) ∗ g(x) 6= g(x) ∗ f (x)

Ancak eger bu fonksiyonlar sonsuzda yeteri kadar hızlı sıfıra giderlerseintegral altında ∫

f ∗ g =

∫f .g =

∫g ∗ f

yer degistirme ozelligine sahiptir.

∗–carpımı asosiyatiftir :

f (x) ∗ g(x) ∗ h(x) =(f ∗ g

)∗ h = f ∗

(g ∗ h

)Benzer sekilde integral altında bir ∗–carpımından kurtulunabilir :∫

f ∗ g ∗ h =

∫ (f ∗ g

).h(x) =

∫f .(g ∗ h

)Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 9 / 52


Bilinen alan teorilerindeki carpımlar yukarıda tanımlanan ∗-carpımı iledegistirilerek yer degistirmeyen alan teorisi modelleri elde edilebilir.

Ornegin yer degistirmeyen φ4 teorisi,

S =

∫d4x

(1

2∂µφ ∗ ∂µφ+

1

2m2φ ∗ φ+

g

4!φ ∗ φ ∗ φ ∗ φ

)Ya da yer degistirmeyen Yang-Mills teorisi

S = −1

4Tr

∫d4xFµν ∗ Fµν = −1

4Tr

∫d4xFµν Fµν

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i [Aµ, Aν ]∗

seklinde yazılabilir.



Esasında yer degistirmeyen koordinatlarla ilgili tamamen fiziksel vegozlemlenebilen bir ornek katı hal fiziginden verilebilir.

Bir duzlemde (x1, x2) hareket eden elektronlara dik yonde (x3) sabitbir manyetik alan ugulandıgını dusunelim.

Bu elektronlar icin Lagrangian

L =m

2~x2 − e~x · ~A

seklinde yazılır.

Ai = −12 Bijx

j , Bij ≡ εijB oldugundan (ε12 = −ε21 = 1)

L =m

2x i x i − e

2Bijx

i x j

yukarıdaki Lagrangian seklinde de yazılabilir.



Eger |mx i | << |Bijxj | ise kinetik terim ihmal edilebilir:

L ≈ −e

2Bijx

i x j

Bu eylemden kanonik momentum

πj =dL

dx j= −eBjkxk

olarak elde edilir.

Kanonik kuantizasyon yapıldıgında

[πj , xl ] = −eBjk [xk , x l ] = −i~δlj

olacagından

[xk , x l ] = i(~/eB)kl ≡ iθkl

bulunur !

Goruldugu gibi manyetik alan uzayın kendisine yer degistirmeyen bir yapıatıyor ! (Landau, 1930)



Benzer bir iliski, Euclidean uzayda bozonik sicim sabit bir Neveu–Schwarziki-form B-alanı (manyetik alan gibi) altında hareket ediyorsa eldeedilebilir. (Seiberg-Witten JHEP’99 )

Ancak bu iliskinin cok ilginc bir sonucu var : yer degistirmeyen ayarteorileri bildigimiz ayar teorilerinin bir deformasyonu olarak yazılabilir!.

Aµ −→ Aµ(Aµ, θ)

SNC−YM [A] −→ SYM [A] + Sθ[A, θ]

Bu gonderim Seiberg–Witten (SW) gonderimi olarak adlandırılmakta.

Yer degistirmeyen teoriler SW–gonderimi ile elde edilen ”etkin”teoriler olarak dusunulmekte !

SW gonderiminin yer degistirmeme parametresi θ cinsinden cozumubilinmeli.



Ozet

Yer degistirmeyen Yang–Mills (A , Λ)

Seiberg – Witten Gonderimi (A→ A(A, θ) , Λ→ Λ(A, α, θ))

Seiberg Witten Gonderiminin Cozumu.

Homojen olmayan denklemin tum mertebe cozumuHomojen denklemin tum mertebeden cozumleriIkinci mertebeye kadar homojen cozumlerin katkıları.

Sonuc


Yer degistirmeyen alan teorileri NC-YM teorisi

Yer degistirmeyen Yang–Mills (NCYM) Teorisi

NCYM teorisinin eylemi ∗–carpımı yardımıyla

S = −1

4Tr

∫d4xFµν ∗ Fµν = −1

4Tr

∫d4xFµν Fµν

seklinde yazılır. Burada,

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i [Aµ, Aν ]∗

yer degistirmeyen ayar alanı A’nın siddetidir. Eylem yer degistirmeyen ayardonusumleri altında degismezdir :

δΛAµ = ∂µΛ− i [Aµ, Λ]∗ ≡ DµΛ

δΛFµν = i [Λ, Fµν ]∗.

Burada, Λ yer degistirmeyen ayar parametresidir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 15 / 52

SW–gonderimi

Seiberg–Witten gonderimi

Farklı regularizasyon teknikleri kullanarak sicim teorisinin bir alt limitiolarak hem normal hem de yer degistirmeyen ayar teorileri elde etmekmumkun (SW’99).

Dolayısıyla Aµ ve α, yer degistirmeyen Aµ ayar alanının ve yerdegistirmeyen Λ parametresinin, komut eden karsılıkları olsun.

⇒ A ve A arasında ayar degismezligini koruyacak sekilde tanımlananbir gonderim olmalı !

Ilk bakısta basitce alanları yeniden tanımlamak, orneginA = A(A, ∂A, · · · ; θ) ve Λ = Λ(Λ, ∂Λ, · · · ; θ) problemi cozecekmisgibi gorunuyor.

Ama dogru degil !Λ 6= Λ(Λ, ∂Λ, · · · ; θ)


SW–gonderimi

Ayar grubunun U(1) oldugu duruma bakalım.

komut eden durumda ayar donusumleri

δαAµ = ∂µα

seklinde verilir.

yer degistirmeyen durumda ise

δΛAµ = ∂µΛ− i [Aµ, Λ]∗

dir.

Goruldugu gibi bir durumda donusumler Abelyenken diger durumdaAbelyen degildir. Abelyen bir grup Abelyen olmayan bir grubaisomorfik olamaz.


SW–gonderimi

Iki ayar alanı A ve A′’nun nasıl birbirleriyle ayar-ozdes (gauge equivalent)olabilecegini anlamamız gerekli

U = e(iα) olacak sekilde eger A = UA′U−1 ise bu alana karsılık gelen

yer degistirmeyen alan icin A = UA′U−1 , U = e(i Λ) elde etmeliyiz.

Dolayısıyla iki ayar grubu arasında bir gonderim yerine,

A(A) + δΛA(A) = A(A + δαA)

seklinde iki ayar ozdesligi arasında bir iliski yazılabilir. Burada δαasina oldugumuz ayar donusumudur :

δαAµ = ∂µα− i [Aµ, α] ≡ Dµα.

Boylelikle, Λ’nın aynı zamanda ayar alanına baglı baglı oldugu gorulur.

Λ = Λ(α,A, θ)

Yani SW–gonderimi basit bir yeniden alan tarifi (field redefinition) degil.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 18 / 52

SW–gonderimi

Bu gonderim

δΛAµ(A; θ) = Aµ(A + δαA; θ)− Aµ(A; θ) = δαAµ(A; θ)

seklinde de yazılabilir. yer degistirmeyen alan ve parametrenin fonksiyonelbagımlılıgı

Aµ = Aµ(A; θ) , Λ = Λα(α,A; θ).

oldugundan

δΛAµ(A; θ) = δαAµ(A; θ)

gonderimi Aµ ve Λα icin es zamanlı cozulmelidir.

⇒ Bu yontem ile cozmek cok zor !


SW–gonderimi

Diger taraftan ayar tutarlılık (gauge consistency) sartını yazalım

δαδβ − δβδα = δ−i [α,β].

Λ Lie cebri degerli bir ayar parametresi olsun : Λ = ΛaT a.

Yer degistirmeyen durum icin

(δΛαδΛβ−δΛβδΛα)Ψ =1

2[T a,T b]{Λα,a,Λβ,b}∗∗Ψ+

1

2{T a,T b}[Λα,a,Λβ,b]∗∗Ψ

elde edilir.

Sadece U(N) ayar grubu icin {T a,T b} anti-komutatoru tekrar T a’larile yazılabilir.

Dolayısıyla SW yaklasımında U(N) harici baska bir ayar grubukullanılamaz.


SW–gonderimi

Ancak yer degistirmeyen ayar teorileri her hangi bir ayar grubu icingenellestirmek mumkundur (J. Wess et.al. EPJ’01). Bunun icin

Ayar parametreleri Lie cebrinin zarf (enveloping) cebrinde alınmalıdır :

Λ = αaT a + Λ1ab : T aT b : + · · ·Λn−1

a1···an : T a1 · · ·T an : + · · ·

Butun alanlar ve parametreler Lie cebrinde deger alan alanlaraA, ψ, · · · ve parametreye α baglı olmalıdır:

Aµ ≡ Aµ(A) , Ψ ≡ Ψ(A, ψ) , Λ = Λ(A, α)

yer degistirmeyen ayar tutarlılık sartı saglanmalıdır :

iδαΛβ − iδβΛα − [Λα, Λβ]∗ = i Λ−i [α,β].

Burada onemli olan nokta Wess ve arkadaslarının insa yontemi tamamen

sicim teorisinden bagımsız olmasıdır !Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 21 / 52

SW–gonderimi

Boylelikle SW yaklasımından farklı olarak SW gonderiminin cozumu icinfazladan bir denklem elde edilir.

iδαΛβ − iδβΛα − [Λα, Λβ]∗ = i Λ−i [α,β].

Dikkat edilirse bu denklem sadece Λ icermektedir.

Bu denklem cozuldugunde

δΛAµ(A; θ) = δαAµ(A; θ)

denkleminde yerine koyulursa bu sefer sadece Aµ iceren bir denklem eldeedilir.


SW–gonderimi

SW gonderiminin birinci ve ikinci mertebeden cozumleri asagıdaki stratejiile elde edilebilir.

Denklemlerin boyut analizi ve indeks yapısı incelenir.

Alanlar ve alanların turevleri cinsinden bu sartları saglayan en genelifade yazılır.

Bu ifadeler denklemlerde yerlerine konularak ifadelerdeki terimlerinkatsayıları belirlenir.

Ancak,

Bu strateji yuksek mertebeli cozumleri bulmak icin faydalı degil !!!

Literaturde verilen cozumler sadece ikinci mertebeye kadar(dı) veayrıca tum ikinci mertebe cozumler birbirlerinden farklı.

2.mertebedeki cozumler cok uzun ifadeler ve hesaplamalardakullanılması cok da mumkun degil.


SW–gonderimi

Yuksek mertebeden cozumleri bilmek

Teorilerin tutarlılıgını test etmek icin onemli

NC gravite icin 1.mertebe cozumler katkı vermiyor, ilk katkı 2.mertebeden geliyor.

Ayar tutarlılık ve ayar esdegerliligi denklemleri dusuk ve yuksek mertebelicozumler arasında tekrarlanan (recursive) bir yapıya sahip.

⇒ Dolayısıyla tum mertebe cozumler de tekrarlanan bir yapıya sahipolup olmayacagı sorulabilir.

Gercekten de tum mertebe cozumleri bu sekilde bulmak mumkun (B.Yapıskan, K.U PRD’08) !


SW–gonderimi NC–BRST donusumleri

Yerdegistirmeyen BRST donusumleri

BRST formalizması SW–gonderiminin cozumlerinin anlasılmasında dafaydalı.

ayar parametresi α → c FP hayalet alanı.ayar donusumu δ → s BRST donusumu :

sAµ = Dµc , sc = ic · c , s2 = 0

Benzer sekilde yerdegistirmeyen BRST icin

Λ → C FP hayalet alanı.NC ayar donusumu δ → s NC BRST donusumu :

sAµ = DµC , s C = i C ∗ C , s2 = 0

Ayar ozdesligi BRST donusumleri cinsinden

sAµ(A; θ) = sAµ(A; θ).

seklinde yazılabilir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 25 / 52

SW–gonderimi NC–BRST donusumleri

SW– gonderimini her θ mertebesinde elde etmek icin A ve Λ θ parametresicinsinden kuvvet serisine acılabilir:

Aµ = Aµ + A(1)µ + · · ·+ A(n)

µ + · · ·

C = c + C (1) + · · ·+ C (n) + · · ·

Boylelikle n.nci mertebeye etki eden BRST donusumleri

sC (n) = i∑

p+q+r=n

C (p) ∗r C (q)

sA(n)µ = ∂µC (n)

α − i∑

p+q+r=n

[A(p)µ , C (q)

α ]∗r

seklinde yazılabilir. Burada

f (x) ∗r g(x) ≡ 1

r !

(i

2

)r

θµ1ν1 · · · θµrνr∂µ1 · · · ∂µr f (x)∂ν1 · · · ∂νr g(x)

ifadesini temsil etmektedir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 26 / 52

SW– gonderiminin cozumleri


Ilgili alanın n.nci mertebedeki terimi sag tarafa atarak BRSTdonusumlerinden yeni bir operator ∆ elde edilebilir

∆C (n)≡ sC (n) − i{c ,C (n)} = i∑

p+q+r=n,p,q 6=n

C (p) ∗r C (q)

∆A(n)µ ≡ sA(n)

µ − i [c ,A(n)µ ] = ∂µC (n)

α − i∑

p+q+r=n,p 6=n

[A(p)µ , C (q)

α ]∗r

∆’nin de nilpotent oldugu gosterilebilir

∆2 = 0

Dolayısıyla ∆ icin de bir kohomoloji problemi tanımlabilir.



Goruldugu gibi ∆ yardımıyla her bir θ mertebesi icin bir inhomojendenklem sistemi elde edilebilir

∆C (n) = G(n)(θn; c ,A)⇒ ∆G(n) = 0

∆A(n)µ = H(n)(θn; A)⇒ ∆H(n) = 0

Bu denklemlerin cozumu her bir θ mertebesindeki SW–gonderimini verir.

Ancak yukarıdaki tanımdan da gorulebilecegi gibi bu cozumler kesindegildir. Her bir θ mertebesine homojen denklemlerin cozumleri deeklenebilir :

∆C (n) = 0 , ∆A(n)µ = 0

Bu ise SW–gonderimindeki keyfilikle ilgilidir.


SW– gonderiminin cozumleri Birinci mertebe cozumleri

SW (JHEP’99) makalesinde birinci mertebe cozumler

C (1) = −1

4θκλ{Aκ, ∂λα}

A(1)γ = −1

4θκλ{Aκ, ∂λAγ + Fλγ}.

seklinde verilmistir. Tanım yardımıyla alan siddeti

F (1)γρ = −1

4θκλ({Aκ, ∂λFγρ + DλFγρ} − 2{Fγκ,Fρλ}

).

olarak elde edilir.


SW– gonderiminin cozumleri SW Diferansiyel denklemi

Seiberg-Witten diferansiyel denklemi

Deformasyon parametresini sonsuz kucuk degistirelim.

θ → θ + δθ

Fizigin degismemesi icin, θ degistiginde aynı zamanda A(θ) ve Λ(θ) dedegismelidir. Boylelikle 1. mertebe cozumlerden asagıdaki diferansiyeldenklemler elde edilir :

δAγ(θ) = Aγ(θ + δθ)− Aγ(θ)

= δθµν∂Aγ∂θµν

= −1

4δθκλ{Aκ, ∂λAγ + Fλγ}∗

δC (θ) = C (θ + δθ)− C (θ)

= δθµν∂C

∂θµν= −1

4θκλ{Aκ, ∂λC}∗

Bu denklemler genellikle SW diferansiyel denklemleri olarak adlandırılır.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 30 / 52


Diferansiyel denklemlerin cozumunu bulmak icin

yer degistirmeyen ayar parametresini ve ayar alanını Taylor serisineacalım,

C (n) = c + C (1) + · · ·+ C (n),

A(n)µ = Aµ + A(1)

µ + · · ·+ A(n)µ .

Boylelikle bu denklemlerden

C (n+1)α = α− 1

4

n+1∑k=1

1

k!θµ1ν1θµ2ν2 · · · θµkνk

(∂k−1

∂θµ2ν2 · · · ∂θµkνk{A(k)

µ1, ∂ν1 C (k)

α }∗)

θ=0

A(n+1)γ = Aγ−

1

4

n+1∑k=1

1


(∂k−1

∂θµ2ν2 · · · ∂θµkνk{A(k)

µ1, ∂ν1 A(k)

γ + F (k)ν1γ}∗

)θ=0

.

elde edilir.



Bu toplamdan n + 1.nci terim C(n+1)α

Cn+1α = − 1

4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn

(∂n

∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn{A(n)

µ1, ∂ν1C (n)

α }∗)θ=0

.

olarak elde edilir. Turevler alındıktan sonra θ 0 a goturuldugundenparantez icindeki ifade n.nci mertebeye kadar bir toplam olarak yazılabilir :

C n+1α = − 1

4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn

(∂n

∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn

∑p+q+r=n

{A(p)µ , ∂νC (q)

α }∗r

).

Bu esitlikten ise

C (n+1)α = − 1

4(n + 1)θµν

∑p+q+r=n

{A(p)µ , ∂νC (q)

α }∗r .

cozumu elde edilir !



Benzer cebirsel islemler kullanılarak

A(n+1)γ = − 1

4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn ×

×(

∂n

∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn{A(n)

µ1, ∂ν1A(n)

γ + F (n)ν1γ}∗

)θ=0

ifadesinden yer degistirmeyen ayar alanı icin

A(n+1)γ = − 1

4(n + 1)θµν

∑p+q+r=n

{A(p)µ , ∂νA(q)

γ + F (q)νγ }∗r .

cozumu elde edilir.


SW– gonderiminin cozumleri Diger alanlar icin SW gonderimi

Diger alanlar icin Seiberg–Witten gonderimi

Ayar degismez bir teoride yer degistirmeyen bir Ψ alanı icin SW gonderimi

sΨ(ψ,A; θ) = sΨ(ψ,A; θ).

iliskisi yardımıyla elde edilebilir (J. Wess et.al. EPJ’01).

Benzer sekilde bu ayar esdegerliligi iliskisinden cozumleri bulmak icin Ψkuvvet serisine acılmalıdır.

Ψ = ψ + Ψ(1) + · · ·+ Ψ(n) + · · ·

Bu ayar esdegerlilik iliskisi hem bozonik hem de fermiyonik alanlar icingecerlidir.

Aynı zamanda bu iliski ψ alanın deger aldıgı her hangi bir ayargrubunun hem fundamental hem de adjoint gosterimi icin gecerlidir.



Fundamental gosterim :Madde, ψ icin, BRST donusumu

sψ = ic · ψ

ile verilir. Yer degistirmeyen BRST donusumleri ∗–carpımı icerir :

sΨ = i C ∗ Ψ.

Daha once anlatılan yontem kullanılarak tum mertebeler icin ayaresdegerlilik iliskisi

∆Ψ(n) ≡ sΨ(n) − ic ·Ψ(n) = i∑

p+q+r=n,q 6=n

C (p)∗rΨ(q),

seklinde yazılabilir.Buradan elde edilecek Ψ(n) cozumlerine homojen cozum Ψ(p) eklenebilir.

∆αΨ(n) = 0.



Birinci mertebe icin bir cozum Wess ve arkadasları tarafından bulunmustur:

Ψ(1) = −1

4θκλAκ(∂λ + Dλ)ψ

BuradaDµψ = ∂µψ − iAµψ

kovaryant turevdir.



Birinci mertebe cozumlerden SW diferansiyel denklemini tureterek,

δθµν∂Ψ

∂θµν= −1

4δθκλAκ ∗ (∂λΨ + DλΨ)

bu denklemin cozumlerine bakacagız. Bu denklem θµν anti-simetrikoldugundan,

∂Ψ

∂θκλ= −1

8Aκ ∗ (∂λΨ + DλΨ) +

1

8Aλ ∗ (∂κΨ + DκΨ)

seklinde de yazılabilir. Burada yer degistirmeyen kovaryant turev

DµΨ = ∂µΨ− i Aµ ∗ Ψ .

ile tanımlanmıstır.



Cozumu bulmak icin once kullandıgımız yonteme benzer olar, Ψ’yi Taylorserisine acalım,

Ψ(n+1) = ψ + Ψ1 + Ψ2 + · · ·+ Ψn+1

= ψ +n+1∑k=1

1


(∂k

∂θµ1ν1 · · · ∂θµkνk(

Ψ(n+1)))

θ=0

.

Diferansiyel denklemden

Ψ(n+1) = ψ − 1

4

n+1∑k=1

1

k!θµ1ν1θµ2ν2 · · · θµkνk ×

×( ∂k−1

∂θµ2ν2 · · · ∂θµkνkA(k)µ1∗ (∂ν1Ψ(k) + (Dν1Ψ)(k))

)θ=0

elde edilir. Burada,

(DµΨ)(n) = ∂µΨ(n) − i A(n)µ ∗ Ψ(n).

ile verilmistir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 38 / 52


Tum mertebe cozumleri bulmak icin n + 1.nci bileseni yazalım,

Ψn+1 = − 1

4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn ×

×(

∂n

∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνnA(n)µ ∗ (∂νΨ(n) + (DνΨ)(n))

)θ=0

= − 1

4(n + 1)!θµνθµ1ν1 · · · θµnνn ×

×

(∂n

∂θµ1ν1 · · · ∂θµnνn

∑p+q+r=n

Apµ∗r (∂νΨ(q) + (DνΨ)q)

)Burada

(DµΨ)n = ∂Ψn − i∑

p+q+r=n

Apµ ∗r Ψq.

θ’ya gore turevleri aldıktan sonra tum mertebe cozumleri

Ψ(n+1) = − 1

4(n + 1)θκλ

∑p+q+r=n

A(p)κ ∗r (∂λΨ(q) + (DλΨ)(q)).

seklinde elde edilir.Kayhan ULKER (–) Seiberg–Witten Haritası Ankara YEF’11 39 / 52


n = 0 icin Wess tarafından elde edilmis cozum bulunur .n = 1 icin ikinci mertebe cozum

ψ2 = −1

8θκλ(2A1

κ∂λψ − iA1κAλψ + 2Aκ∂λψ

1 − iAκA1λψ − iAκAλψ

1

+iθµν∂µAκ∂ν∂λψ +1

2θµν∂µAκ∂νAλψ

+1

2θµν∂µAκAλ∂νψ +

1

2θµνAκ∂µAλ∂νψ

).

seklindedir. Bu cozumu literaturdeki diger cozumler ile karsılastırmak icinA1 ve Λ1 yerlerine koyulursa

ψ2 = (1/32)θµν

θκλ(− 4i∂µAκ∂λ∂νψ + 4AµAκ∂λ∂νψ − 4∂µAκAν∂λψ − 4Aµ∂κAν∂λψ

+8Aµ∂νAκ∂λψ − 2∂µAκ∂νAλψ + 4AµAκAνψ − 3AµAνAκAλψ − 2AµAκAλAνψ + 4iAµAκAν∂λψ

−4iAµAκAλ∂νψ − 4iAµAνAκ∂λψ + 2i∂µAκAνAλψ − 2iAµAκ∂λAνψ − i∂µAκAλAνψ − 5iAµ∂νAκAλψ

+3iAµ∂κAνAλψ − iAµAκ∂νAλψ).

elde edilir. Bu cozum ise Moller tarfından verilen cozumun aynısıdır.



Adjoint gosterim :Adjoint gosterimde BRST donusumu

sψ = i [c , ψ]

ile verilir. yer degistirmeyen durumda ise

sΨ = i [Cα, Ψ]∗

seklinde tanımlanır. Genel strateji kullanılarak ayar esdegerliligi iliskisi

∆Ψ(n) ≡ δαΨ(n) − i [c ,Ψ(n)] = i∑

p+q+r=n,q 6=n

[Λ(p)α ,Ψ(q)]∗r

seklinde yazılabilir. Cozumler

ya bu denklemi mertebe mertebe cozerek

ya da bu denkleme karsılık gelen diferansiyel denklemi cozerek eldeedilebilir.

Ancak, muhtemelen cozumleri bulmanın en kolay yolu boyut indirgemeyontemini kullanmaktır ! (K.U, Saka PRD’07)



Basit boyut indirgemesi (ornegin altı boyuttan dort boyuta inmek) basitcealtı boyutta tanımlanan teorinin sadece dort boyuttaki koordinatlara baglıolmasını saglayarak elde edilebilir. Ornegin altı boyutlu uzayın koordinatları

xM = (x0, · · · , x3, z1, z2)

olsun. Boylelikle altı boyuttaki ayar alanı

AM(xµ)→ (Aµ,A5,A6)

seklinde yazılabilir. Dolayısıyla bir 4-vektor, iki de reel skaler alan eldeedilir.Benzer sekilde deformasyon parametresinin θ’nın kompaktifiye edilecekboyutlardaki elemanları sıfıra esitlenebilir.

ΘMN =

(θµν 00 0

),



Boylelikle once elde edilen

A(n+1)N = − 1

4(n + 1)θKL

∑p+q+r=n

{A(p)K , ∂LA

(q)N + F

(q)LN }∗r .

cozume boyut indirgemesi uygulanırsa bir kompleks skaler alanın n.ncimertebeden cozumu elde edilir :

ψ(n+1) = − 1

4(n + 1)θκλ

∑p+q+r=n

{A(p)κ , (∂λΨ(q) + (DλΨ)(q))}∗r .

Burada,

Dµψ = ∂µψ − i [Aµ, ψ] , (DµΨ)(n) = ∂µΨ(n) − i∑

p+q+r=n

[A(p)µ ,Ψ(q)]∗r .

ifade etmektedir.



Bozonik ve fermionik alanlar icin bulunacak cozumlerin yapıları aynıolacagından yukarıdaki cozum aynı zamanda fermiyonik alanlar icin dekullanılabilir.

Yukarıdaki cozumun aynısı

∂Ψ

∂θκλ= −1

8{Aκ, (∂λΨ + DλΨ)}∗ +

1

8{Aλ, (∂κΨ + DκΨ)}∗.

diferansiyel deklemini cozerek de elde edilebilir.

Dolayısıyla boyut indirgeme yontemiyle verdigimiz sonuc daha oncetartısılan cozumlerin dogrulugunu da farklı bir yoldan gostermis olur.


SW– gonderiminin cozumleri Homojen olmayan cozumler

Homojen olmayan cozumler :

∆C (n)≡ sC (n) − i{c ,C (n)} = i∑

p+q+r=n,p,q 6=n

C (p) ∗r C (q)

∆A(n)µ ≡ sA(n)

µ − i [c ,A(n)µ ] = ∂µC (n)

α − i∑

p+q+r=n,p 6=n

[A(p)µ , C (q)

α ]∗r

∆Ψ(n)≡ sΨ(n) − ic ·Ψ(n) = i∑

p+q+r=n,q 6=n

C (p)∗rΨ(q)

denklemleri


SW– gonderiminin cozumleri Homojen olmayan cozumler

tum θ mertebelerinde

C (n+1)α = − 1

4(n + 1)θκλ

∑p+q+r=n

{A(p)κ , ∂λC (q)

α }∗r

A(n+1)γ = − 1

4(n + 1)θκλ

∑p+q+r=n

{A(p)κ , ∂λA(q)

γ + F(q)λγ }∗r .

ψn+1 = − 1

4(n + 1)θκλ

∑p+q+r=n

A(p)κ ∗r (∂λΨ(q) + (DλΨ)(q)).

seklinde cozumleri vardır !


SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumler

Homojen cozumler :

Dikkat edilirse∆· = s · −i{c , ·]

seklinde tanımlanan operator kovaryant turev ile yer degistirir :

[∆,Dµ] = 0⇒ ∆Fµν = 0

Boylelikle her bir mertebe icin homojen cozumlerin

A(n)γ ∝ F (n)

γ (θ,D,F ) , Ψ(n) ∝ P(n)(θ,D,F )ψ

formunda olması gerektigi bulunur.


SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumler

Ornegin 1.nci mertebede

A(1)γ ∝ θµνDγFµν , Ψ(1) ∝ θµνFµνψ

2.nci mertebede

A(2)γ ∝ θµνθκλDγ(FµνFκλ) , θµνθκλDγ(FµκFνλ) , θµνθκλDµ(FγνFκλ) ,

θµνθκλDκ(FµνFγλ) , θµνθκλDµ(FκνFγλ) , θµνθκλDκ(FµλFγν)

Ψ(2)γ ∝ θµνθκλ(FµνFκλ)ψ , θµνθκλ(FµκFνλ)ψ,

iθµνθκλ(DµFκλ)Dνψ , iθµνθκλ(DµFκν)Dλψ

elde edilir.


SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumlerin ust mertebelere katkıları

1. mertebe homojen cozumlerin 2. mertebeye katkısı :

Homojen olmayan cozumler bir cins tekrarlama bagıntısı olarak verildiginigorduk. Dolayısıyla dusuk mertbedeki cozumlere eklenecek homojencozumler ust mertebedeki katkıları etkilemeli. Bu amacla cozumleri

A(1) → A(1) + A(1) , Ψ(1) → Ψ(1) + Ψ(1)

A(2) → A(2) + A(2) + A(2)

Ψ(2) → Ψ(2) + Ψ(2) + Ψ(2)

seklinde kısımlara ayıralım. A(2) ve Ψ(2) kısımları A(1) ve Ψ(1)’den gelenkatkıları gostersin.


SW– gonderiminin cozumleri homojen cozumlerin ust mertebelere katkıları

∆’nın tanımından ve ∆A(2) = ∆P(2) = 0 olacagından

∆A(2)γ = i [C (1), A(1)

γ ]− 1

2θκλ{∂κc , ∂λA(1)

γ }

∆Ψ(2) = iC (1) · Ψ(1) − 1

2θκλ∂κc · ∂λΨ(1)

elde edilir.Bu denklemlerin cozumu ise

A(2)γ = −1

4θκλ(2{Aκ, ∂λA(1)

γ } − i{Aκ, [Aλ, A(1)γ ]})

Ψ(2) = −1

4θκλAk(2∂λΨ(1) − iAλ · Ψ(1))

seklindedir.


sonuc


sonuc

∼ TESEKKURLER ∼


Yer De gi˘stirmeyen Ayar Teorileri ve Seiberg{Witten...

Documents

Transcript of Yer De gi˘stirmeyen Ayar Teorileri ve Seiberg{Witten...