YE10: Hotellingin malli

Marko Lindroos

Kysymyksiä liittyen uusiutumattomien luonnonvarojen hyödyntämiseen

• Mikä on optimaalinen louhinta-aste?

• Mikä on uusiutumattoman resurssin hinnan aikaura?

• Missä vaiheessa resurssit louhitaan loppuun?

Vastaus riippuu mm.

• Markkinarakenne

• Niukkuus

Niukkuuden mittareita

• Tunnetut reservit

• Reservit/kulutus

• Hinta

• Louhimisen rajakustannus

• Uusien esiintymien etsimisen rajakustannus

Hotellingin malli (JPE 1931)

• Uusiutumattomien luonnonvarojen käytön summa yli ajan äärellinen ja kasvuaste nolla

(1) x(t) = x(0) - t

dq

0

)(

Liikeyhtälö

)()( tqtx

• Käytön täytyy olla pienempi kuin alkuvaranto, eli uusia esiintymiä ei etsitä:

T

xdttq

0

)0()(

Oletukset

• tasalaatuinen resurssi

• louhinnan rajakustannus vakio

• kilpailulliset markkinat

Tavoitefunktio

• Maksimoidaan nettotulojen nykyarvoa valitsemalla louhinta-aste q(t)

• Max J=

• St liikeyhtälö

dtctptqe

Trt ))()((

0

Optimiohjausongelma

• q(t) ohjausmuuttuja

• x(t) tilamuuttuja

• liikeyhtälö

• x(0) alkutila

)()( tqtx

Käypäarvoinen Hamiltonin funktio

)()())()(( tqtctptqΗ

välttämättömät ehdot

0q

H

)()( trtx

H

Hamiltonin funktion maksimoituminen

)()(0 tctpq

H

Tulkinta

• Nettotulo = resurssin varjohinta (niukkuushinta)

• Varjohinta kuvaa louhinnan vaihtoehtoiskustannusta, nyt louhittu yksikkö ei voi tuottaa tuloja tulevaisuudessa.

Vertailu tavanomaisiin hyödykemarkkinoihin

• Uusiutumattoman luonnonvaran hinta on siis korkeampi kuin tavanomaisilla hyödykkeillä.

• Lisänä tavanomaiseen p = MC ehtoon, niukkuushinta jota mittaa liittotilamuuttuja kullakin hetkellä.

)()( tMCtp

Dynaaminen ehto

)()( trtx

H

0)()( trt

Hotellingin sääntö

rt

t)(

)(

Tuloksen tulkintaa

• Optimaalisella louhintauralla resurssin niukkuushinta nousee koron osoittamaa vauhtia. Resurssi on siis yksi sijoituskohde, jonka täytyy tuottaa sama korko kuin muutkin kohteet.

• Kilpailullinen markkinarakenne tuottaa saman louhinta-asteen kuin sosiaalisesti optimaalinen jos oletetaan että yksityinen ja sosiaalinen diskonttokorko samat. Yhteiskunnallisesti optimaalisuus voi muuttua jos louhinnasta on ulkoisvaikutuksia, esim. öljynporaus.

• Hotellingin sääntö kertoo myös nettotuoton kasvavan koron mukaisesti.

1.3 Niukkuushinnan aikaura

• Ratkaistaan Hotellingin säännön muodostama differentiaaliyhtälö

Lasketaan…

• Vasemmalla puolella niukkuushinnan aikaderivaatta

• integroidaan

0)()( trete rtrt

)0()( te rt

niukkuushinnan aikaura…

• …Kasvaa niukkuushinnan alkuarvosta diskonttokoron osoittamaa vauhtia

rtet )0()(

cetp rt )0()(

Varjohinnan aikaura (0 = 10; r = 0.05;)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

t

0

Backstop-hinta ja optimaalinen hintaura

• Ol. louhintakustannus c on nolla.

• Esim. aurinkoenergia voi toimia fossiilisten polttoaineiden backstop-teknologiana:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

120

T

pöljy

p aurinko

Alkuhinnan laskeminen

• Hetkellä T kysynnän ollessa yhtä kuin nolla hinnan täytyy siis olla yhtä kuin backstop-hinta.

• Hetkellä nolla täytyy vastaavasti päteä että resurssin hinta on diskontattu backstop-hinta, jotta optimihintauran yhtälö toteutuu.

bpTTp )()(

rTbepp )0()0(

Optimaalinen hintaura backstop-hinnan funktiona

)()( Ttrbc eptp

1.5 Optimaalinen louhintaura ja ehtymishetki

• Kysyntä:

• Louhitaan koko varanto optimaalisesti

)(

)(tpp

tqb

)0())(

(

0

xdttpp c

Tbc

Optimaalinen louhintaura

)0()()(

0

xdtepp c

c TtrbT

b

Integroidaan

)0()()(

0

xdtr

ept

p cc TtrbT b

)0()0()(

xr

ep

r

epT

p ccc rTbTTrbb

)0(xr

ep

r

pT

p crTbbb

Ehtymishetken laskenta

• Tästä voidaan numeerisesti ratkaista ehtymishetki. Ehtymishetkeen vaikuttavat backstop-hinta, diskonttokorko, uusiutumattoman resurssin varanto ja kysyntä.

Kritiikkiä:

• 1) Uusiutumattomien luonnonvarojen reaalihinnat eivät ole yleisesti nousseet

• 2) Resursseilla monta käyttökohdetta (kysyntää). Resursseja useampia ja niillä erilaisia substituutteja

• 3) Mallissa ei huomioida uusien esiintymien etsintää • 4) Fyysinen ehtyminen vs. taloudellinen ehtyminen (Salo

& Tahvonen, JEDC 2001)– Resurssi kulutetaan fyysisesti loppuun äärellisessä ajassa– Resurssi kulutetaan taloudellisesti loppuun äärellisessä ajassa– Resurssin ehtymistä lähestytään asymptoottisesti

• 5) Epävarmuus ja uusiutumattomat luonnonvarat • Esimerkiksi Halvorsen & Smith (1991) hylkäävät jyrkästi

Hotellingin säännön ja toteavat hintaepävarmuuden suurimmaksi tuotantoon (louhintaan) vaikuttavaksi tekijäksi)

Yrityksen riskiasenne

• Kysyntäepävarmuus– riskiä kaihtava yritys tyypillisesti siirtää louhintaansa

myöhempään ajankohtaan, jottei se joutuisi myymään resurssia liian halvalla hinnalla

– epävarmuus backstop-teknologian käyttöönotosta aikaistaa resurssin louhintaa, koska resurssi tulee arvottomaksi kun backstop-teknologia otetaan käyttöön

• Epävarmuus resurssin koosta– riskiä kaihtava yritys louhii vähemmän jokaisena

ajanhetkenä välttääkseen resurssin loppumisen

Empiria

• Yksimielisyys: hinta suurempi kuin rajalouhintakustannus, koska uusiutumattomat luonnonvarat niukkoja.

• Empiiriset tutkimukset antavat ristiriitaisia tuloksia hinnan ja varjohinnan aikaurien muodoista.