Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques

Généralités sur les fonctionsClasse de Première S

Y. BRENEY - Professeur de Mathématiques

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Lycée Lumière - Luxeuil-les-Bains

Généralités sur les fonctions – p. 1/10

1 - Variations d’une fonction



Définitions (Rappels)



Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :



Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒



Définitions (Rappels)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite :• croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) 6 f(b)




• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒




• décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a 6 b =⇒ f(a) > f(b)





• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒





• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)





• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒





• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)





• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est





• strictement croissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) < f(b)• strictement décroissante sur I lorsque : ∀(a; b) ∈ I2 a < b =⇒ f(a) > f(b)• (strictement) monotone sur I lorsqu’elle est (strictement) croissante sur I

ou (strictement) décroissante sur I.







Remarque







RemarqueOn dit qu’une fonction (strictement) croissante sur un intervalle I est unefonction qui conserve l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans le même ordre que leurs images.







RemarqueOn dit qu’une fonction (strictement) croissante sur un intervalle I est unefonction qui conserve l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans le même ordre que leurs images.On dit qu’une fonction (strictement) décroissante sur un intervalle I est unefonction qui renverse l’ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconquesde I se rangent dans l’ordre contraire de leurs images.


2 - Fonctions de référence



Les fonctions de référence (ou fonctions usuelles) sont des fonctions que l’onretrouve fréquemment, notamment lors de la modélisation de problèmesconcrets, et pour lesquelles il est indispensable de connaître les principalespropriétés.




À ce jour, les fonctions de référence sont :




À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;




À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;




À ce jour, les fonctions de référence sont :• les fonctions affines ;• la fonction inverse ;• les fonctions polynômes du second degré.





Nous allons en ajouter deux :





Nous allons en ajouter deux :• la fonction racine carrée ;





Nous allons en ajouter deux :• la fonction racine carrée ;• la fonction valeur absolue.


2a - La fonction racine carrée



Définition



DéfinitionOn appelle racine carrée d’un réel positif a, et on note

√a, l’unique réel positif

dont le carré est égal à a.





dont le carré est égal à a.Autrement dit, si a est un réel positif : b =

√a ⇐⇒






√a ⇐⇒

b2 = a






√a ⇐⇒

b2 = a

b > 0






√a ⇐⇒

b2 = a

b > 0

Définition






√a ⇐⇒

b2 = a

b > 0

DéfinitionOn appelle fonction racine carrée la fonction qui, à tout réel positif x, associesa racine carrée

√x.


Représentation graphique

−→ı

−→O

y =√x



La courbe représentative de la fonction ra-

cine carrée dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du

plan est une demi-parabole. −→ı

−→O

y =√x





O;−→ı ,−→

)

du


−→O

y =√x

Proposition





O;−→ı ,−→

)

du


−→O

y =√x

PropositionLa fonction racine carrée est strictement croissante sur R+ = [0; +∞[.





O;−→ı ,−→

)

du


−→O

y =√x


Corollaire





O;−→ı ,−→

)

du


−→O

y =√x


CorollaireDes réels positifs se rangent dans le même ordre que leurs racines carrées.


Proposition


Proposition• ∀x ∈]0; 1[ x2 < x <

√x



√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2



√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphiqueP

R

D

O −→ı

−→



√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2

Interprétation graphique

Dans le plan muni d’un repère(

O;−→ı ,−→

)

, on considère la parabole

P d’équation y = x2, la droite D

d’équation y = x et la demi-parabole R

d’équation y =√x.

P

R

D

O −→ı

−→



√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2



O;−→ı ,−→

)





• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.

P

R

D

O −→ı

−→



√x • ∀x ∈]1; +∞[

√x < x < x2



O;−→ı ,−→

)





• Sur ]0; 1[, R est située au-dessus deD , elle même au-dessus de P.• Sur ]1; +∞[, P est située au-dessus

de D , elle même au-dessus de R.

P

R

D

O −→ı

−→


2b - La fonction valeur absolue



Définition



DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.



DéfinitionOn appelle valeur absolue d’un réel x, la distance de zéro à x.En langage mathématique, cette définition s’écrit : ∀x ∈ R |x| = d(0;x)




Propositions




PropositionsPour tous réels x et y :• P1 :




PropositionsPour tous réels x et y :• P1 : |x| est un réel positif ;

• P2 :





• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 :





• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :





• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :

√x2 = |x| ;

• P5 :





• P2 : |x| =

x si x > 0

−x si x < 0;

• P3 : |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y• P4 :

√x2 = |x| ;

• P5 : d(x; y) = |x− y|.


Définition


DéfinitionOn appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe savaleur absolue |x|.



Représentation graphiqueLa courbe représentative de la fonc-tion valeur absolue dans un repère(

O;−→ı ,−→

)

du plan est la réunion de

deux demi-droites d’origine O. −→ı

−→O

y = |x|




O;−→ı ,−→

)



−→O

y = |x|

Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l’axe(

O;−→

)

.




O;−→ı ,−→

)



−→O

y = |x|


O;−→

)

.

Proposition




O;−→ı ,−→

)



−→O

y = |x|


O;−→

)

.

PropositionLa fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]−∞; 0] etstrictement croissante sur [0; +∞[.


3 - Outils pour l’étude des variations d’une fonction



Définitions



DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.



DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.



DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel.• La fonction u+ k est la fonction définie sur I par (u+ k)(x) = u(x) + k.• La fonction k × u (ou ku) est la fonction définie sur I par

(k × u)(x) = k × u(x).




(k × u)(x) = k × u(x).

Propositions




(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.




(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.




(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.• P2 : Si k > 0 alors u et k × u ont même sens de variation sur I.




(k × u)(x) = k × u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul.• P1 : Les fonctions u et (u+ k) ont même sens de variation sur I.• P2 : Si k > 0 alors u et k × u ont même sens de variation sur I.• P3 : Si k < 0 alors u et k × u ont des sens de variation contraires sur I.


DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.


DéfinitionsSoit u une fonction définie sur un intervalle I.• Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction

√u est la fonction définie

sur I par (√u)(x) =

√

u(x).





√

u(x).

• Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction1

uest la fonction définie

sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).





√

u(x).



sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

Propositions





√

u(x).



sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.





√

u(x).



sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.• P4 : Si u est à valeurs positives sur I alors u et

√u ont même sens de

variation sur I.





√

u(x).



sur I parÅ

1

u

ã

(x) =1

u(x).

PropositionsSoit u une fonction monotone sur un intervalle I.• P4 : Si u est à valeurs positives sur I alors u et

√u ont même sens de

variation sur I.• P5 : Si u est à valeurs strictement positives (ou à valeurs strictement

négatives) sur I alors u et1

uont des sens de variation contraires sur I.


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