1

XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019) Primera Fase - Nivel 3 – Solucionario.

1) Sara tiene 20 soles en monedas de 10; 20 y 50 céntimos. Ella tiene la misma cantidad de monedas de cada tipo. ¿Cuántas monedas tiene en total?

A) 60 B) 45 C) 90 D) 48 E) 75

SOLUCION: Planteando los enunciados:

Número de monedas de 10 céntimos: x

Número de monedas de 20 céntimos: x

Número de monedas de 50 céntimos: x

Número total de monedas de 10; 20 y 50 céntimos: x + x + x = 3x Sara tiene 20 soles en monedas de 10; 20 y 50 céntimos:

0,10x + 0,20x + 0,50x = 20

x + 2x + 5x = 200 (Multiplicando por 10)

8x = 200

x = 25

Hallando el total de monedas: 3x = 3(25) = 75.

RESPUESTA: Sara tiene en total 75 monedas. CLAVE E.

2) Una cocina y un refrigerador cuestan juntos 2019 soles. Se sabe que el 40% del costo de la cocina equivale al 20% del costo del refrigerador. ¿Cuántos soles más cuesta el refrigerador que la cocina?

A) 447 B) 673 C) 523 D) 1224 E) 1346

SOLUCION: Sean:

Precio de la cocina: x

Precio del refrigerador: y

Una cocina y un refrigerador cuestan juntos 2019 soles: x + y = 2019 … () Se sabe que el 40% del costo de la cocina equivale al 20% del costo del refrigerador:

40%x = 20%y 40

100𝑥 =

20

100𝑦

2x = y … ()

Reemplazando () en ():

x + y = 2019

x + 2x = 2019

3x = 2019

x = 673

Reemplazando “x” en ():

2x = y

2(673) = y

1346 = y

Hallando la diferencia de precios: y – x = 1346 – 673 = 673.

RESPUESTA: El refrigerador cuesta 673 soles más que la cocina. CLAVE B.

2

3) Suponga que el precio de una pizza es proporcional a su área. Se sabe que una pizza grande tiene 30 cm de diámetro y se divide en 6 porciones iguales. Además, una pizza familiar tiene 40 cm de diámetro y se divide en 8 porciones iguales. Si el precio de una porción de pizza grande es 4 soles y 50 céntimos, ¿Cuál es el precio de una porción de pizza familiar?

Pizza grande Pizza familiar

A) 4 soles y 50 céntimos B) 5 soles C) 8 soles D) 6 soles E) 5 soles y 40 céntimos

SOLUCION:

El área del círculo está dado por: A = r2. El precio de una pizza es proporcional a su área:

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜

𝐴𝑟𝑒𝑎= 𝑘

La pizza grande tiene seis regiones, su diámetro mide 30 cm, entonces su radio mide 15 cm. Si el precio de una porción de pizza grande es 4 soles y 50 céntimos, entonces la pizza grande

completa cuesta 64,5 = 27 soles. 27

𝜋 × 152= 𝑘 … (𝛼)

La pizza familiar tiene ocho regiones, su diámetro mide 40 cm, entonces su radio mide 20 cm.

sea “x” el precio de una porción de pizza familiar, en consecuencia, la porción completa de

pizza familiar cuesta “8x” soles. 8𝑥

𝜋 × 202= 𝑘

Reemplazando () 8𝑥

𝜋 × 202=

27

𝜋 × 152

𝑥 =27 × 𝜋 × 202

8𝜋 × 152

𝑥 =27 × 𝜋 × 400

8𝜋 × 225

𝑥 =27 × 50

225

x = 6 RESPUESTA: El precio de una porción de pizza familiar es 6 soles. CLAVE D.

4) Con respecto a siete datos recopilados en una encuesta se tiene la siguiente información.

Cinco datos son: 8; 6; 3; 8; 5.

La moda de los datos no es 8. Calcule la media de estos siete datos si se sabe que es un número entero.

A) 6 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8

3

SOLUCION: Si la moda no es ocho, entonces los otros dos datos deben ser iguales, en consecuencia, los siete datos recopilados en la encuesta son:

8; 6; 3; 8; 5; a; a.

La media se define como: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =8 + 6 + 3 + 8 + 5 + 𝑎 + 𝑎

7

𝑁° 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 =30 + 2𝑎

7

Para que la división sea exacta el numerador tiene que ser múltiplo de el denominador, es decir:

30 + 2𝑎 = 7 Para ello vamos a tabular ciertos valores:

Si: a = 3.

30 + 2𝑎 = 7

30 + 2(3) = 7

36 ≠ 7 No cumple.

Si: a = 5.

30 + 2𝑎 = 7

30 + 2(5) = 7

40 ≠ 7 No cumple.

Si: a = 6.

30 + 2𝑎 = 7

30 + 2(6) = 7

42 = 7 Si cumple. Hallando la media.

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =8 + 6 + 3 + 8 + 5 + 6 + 6

7=

42

7= 6

RESPUESTA: La media de los siete datos es 6. CLAVE A.

5) En la figura se observa un cuadrado ABCD de lado l, T es un punto de la diagonal BD y TQ es

perpendicular al lado CD. Si CQ = a, calcule 𝑇𝑎𝑛𝜑 en función de a y l.

A) ℓ

𝑎− 1 B)

ℓ−𝑎

𝑎√2 C)

ℓ

𝑎 D)

𝑎

ℓ E)

𝑎

ℓ−𝑎

4

SOLUCION: Trazamos la altura TE y ubicamos los datos de acuerdo al problema:

Si CQ = a, entonces QD = l – a. TQDE es un cuadrado de manera que TE = ED = l – a, por

tanto, AE = a.

En el TAE, vamos hallar la tangente del ángulo agudo 𝜑.

𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒(𝜑) =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝜑

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝜑

𝑇𝑎𝑛(𝜑) =ℓ − 𝑎

𝑎=

ℓ

𝑎−

𝑎

𝑎=

ℓ

𝑎− 1

RESPUESTA: La tangente del ángulo agudo 𝜑 es ℓ

𝑎− 1. . CLAVE A.

6) En un encuentro científico internacional, que duró 2 semanas, participaron brasileños,

peruanos y colombianos. La distribución de asistentes en la primera semana fue la siguiente:

Porcentaje

Brasileños 28%

Peruanos 32%

Colombianos 40%

En la segunda semana todos continuaron participando del encuentro a excepción de la mitad

de los colombianos, que tenían planeado viajar. ¿Cuál fue el porcentaje de peruanos al

finalizar el encuentro científico?

A) 50% B) 36% C) 48% D) 40% E) 32%

SOLUCION: Porcentajes en la primera semana: Brasileños: 28%. Peruanos: 32%. Colombianos: 40%. TOTAL: 100%

Porcentajes en la segunda semana:

5

Brasileños: 28%. Peruanos: 32%. Colombianos: 20%. TOTAL: 80% Hallando el porcentaje de los peruanos:

𝑃𝑒𝑟𝑢𝑎𝑛𝑜𝑠 =32%

80%

𝑃𝑒𝑟𝑢𝑎𝑛𝑜𝑠 =2

5=

2 × 20

5 × 20=

40

100= 40%

RESPUESTA: El porcentaje de peruanos al finalizar el encuentro científico fue del 40%.

CLAVE D.

7) En cada alternativa se muestran dos cantidades x y y que se pueden relacionar por medio de

un gráfico en el plano cartesiano. Indique la alternativa cuyo gráfico no puede ser el siguiente:

A) x = tiempo transcurrido después del mediodía, y = cantidad de agua en un recipiente.

B) x = tiempo transcurrido después del mediodía, y = velocidad de un automóvil.

C) x = longitud medida en centímetros, y = longitud medida en pulgadas.

D) x = temperatura en °C, y = temperatura en °F.

E) x = tiempo transcurrido después del mediodía, y = altura de un avión.

SOLUCION: Analizando cada alternativa:

A) x = tiempo transcurrido después del mediodía, y = cantidad de agua en un recipiente.

Las variables sí pueden relacionarse por medio del gráfico, porque después del medio día podría haber cierta cantidad de agua en un recipiente.

B) x = tiempo transcurrido después del mediodía, y = velocidad de un automóvil.

Las variables sí pueden relacionarse por medio del gráfico, porque después del medio día la velocidad del automóvil podría ser mayor que cero y conforme que pasa el tiempo su velocidad se va incrementando.

C) x = longitud medida en centímetros, y = longitud medida en pulgadas.

Las variables no pueden relacionarse por medio del gráfico, porque cero (0) centímetros equivale a cero (0) pulgadas, es decir la gráfica parte del origen de las coordenadas. 1 cm = 0,394 pulgadas. La función estaría definida por: y = 0,394x

6

D) x = temperatura en °C, y = temperatura en °F.

Las variables sí pueden relacionarse por medio del gráfico, porque 0 °C = 32 °F, para ello vamos hallar la función.

Se sabe que: 𝑇𝑐

5=

𝑇𝐹−32

9

Reemplazando cada una de las variables: 𝑥

5=

𝑦 − 32

9

𝑦 =9𝑥

5+ 32

E) x = tiempo transcurrido después del mediodía, y = altura de un avión.

Las variables sí pueden relacionarse por medio del gráfico, porque después del medio día la altura del avión podría ser mayor que cero y conforme que pasa el tiempo su altura se va incrementando. RESPUESTA: En la alternativa C, las variables no pueden relacionarse por medio del gráfico. CLAVE C.

8) Se lanzó al aire un objeto y su altura (expresada en metros) viene dada por la fórmula vt –

4,9t2 + 20, donde v es una constante y t es la cantidad de segundos que el objeto lleva en el

aire. Se sabe que la altura máxima del objeto ocurre cuando t = 5. Determine el valor de v.

A) 4,9 B) 9,8 C) 49 D) 20 E) 98

SOLUCION: El problema hace referencia de un movimiento vertical de caída libre, donde “t” es la cantidad de segundos que el objeto lleva en el aire. La altura está dada por la siguiente expresión:

h(t) = vt – 4,9t2 + 20 De la expresión anterior se puede deducir que cuando el objeto ha sido lanzado ya tenía una altura de 20 metros. Graficando el problema se tiene:

7

El objeto nuevamente vuelve a tener una altura de 20 m luego de 5 + 5 = 10 segundos, por ello planteamos la siguiente ecuación:

h(10) = 20

vt – 4,9t2 + 20 = 20

vt – 4,9t2 = 0

v(10) – 4,9(10)2 = 0

10v – 490 = 0

10v = 490

v = 49

RESPUESTA: El valor de v es 49 m/s. CLAVE C.

9) Con los dígitos a, b, c, d, e y f, que son distintos entre sí, Carlos formó el número de tres

dígitos 𝑑𝑒𝑓 y Emilio formó el número de tres dígitos 𝑎𝑏𝑐 . Si el número de Carlos es mayor en 9 que el número de Emilio, determine el menor valor posible de a + b + c.

Aclaración: Tenga en cuenta que a 0 y d 0.

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

SOLUCION:

Carlos formó el número de tres dígitos: 𝑑𝑒𝑓 .

Emilio formó el número de tres dígitos: 𝑎𝑏𝑐 . Si el número de Carlos es mayor en 9 que el número de Emilio:

𝑑𝑒𝑓 = 𝑎𝑏𝑐 + 9

Para que “a + b + c” sea el menor valor posible a = 1, los valores de b y c vamos a tantear y

obtenemos:

𝑑𝑒𝑓 = 𝑎𝑏𝑐 + 9 203 = 194 + 9

Por tanto, a = 1; b = 9 y c = 4. Cuya suma es: 1 + 9 + 4 = 14.

RESPUESTA: El menor valor posible de a + b + c es 14. CLAVE D.

10) Se tiene un cubo ABCD-EFGH, como se muestra en la figura. Un plano corta a las aristas AE, BF, CG y DH en los puntos P, Q, R y S, respectivamente. Se sabe que EP = 11, FQ = 24 y GR = 20, calcule la longitud de HS.

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

8

SOLUCION: Por propiedad los lados opuestos del plano PQRS que cortan al cubo tienen la misma longitud,

es decir: PQ = SR = n. Sea “m” la medida de la arista del cubo ABCD-EFGH y sea HS = x.

Vamos a graficar la cara ABFE (cuadrado) del cubo:

Trazamos el segmento PT paralelo a EF, de manera que EF = PT = m, si EP = 11, entonces

TF = 11, si FQ = 24, entonces QT = 13. Utilizando el teorema de Pitágoras en el PQT.

n2 = m2 + 132

n2 – m2 = 132 … ()

Ahora vamos a graficar la cara DCGH (cuadrado) del cubo:

Trazamos el segmento SU paralelo a HG, de manera que SU = HG = m, si SH = x, entonces

GU = x, si GR = 20, entonces RU = 20 – x. Utilizando el teorema de Pitágoras en el SUR.

n2 = m2 + (20 – x)2

n2 – m2 = (20 – x)2 … ()

Igualando ambas ecuaciones: () = ()

132 = (20 – x)2

13 = 20 – x

x = 20 – 13

x = 7

RESPUESTA: La longitud de HS es 7. CLAVE B.

9

11) Los pesos de 12 niños, en kg, son: 28; 32; 29; 32; 28; 30; 30; 27; 31; 32; 31; 32.

Encuentre un número real x para el cual se cumplen las siguientes dos condiciones:

Como máximo el 25% de los niños pesa x kg o menos.

Como máximo el 75% de los niños pesa x kg o más.

A) 27,5 B) 28 C) 28,5 D) 29 E) 29,5

SOLUCION: Tenemos en total 12 datos que representa el 100%, de manera que tres datos representan el 25%. Ordenando los datos en forma creciente cada 25%:

27; 28; 28; 29; 30; 30; 31; 31; 32; 32; 32; 32. 25% 25% 25% 25% 75%

Para que pueda cumplir con las dos condiciones del problema, “x” debe estar comprendido

entre 28 y 29, es decir:

𝑥 =28 + 29

2=

57

2= 28,5

RESPUESTA: El número real x es 28,5 que cumple con las dos condiciones del problema.

CLAVE C.

12) Se sabe que el 3,5% del peso del agua de mar es sal, es decir, un kilogramo de agua de mar contiene 35 gramos de sal. Además, 1 litro de agua pura pesa 1kg y 1 litro de agua de mar pesa 1,029 kg. Determine cuántos litros de agua pura hay que agregar a 1000 litros de agua de mar para que el 3% del peso de la mezcla resultante sea sal. A) 165,5 B) 150 C) 205,8 D) 156,5 E) 171,5

SOLUCION:

Sea “x” la cantidad de litros de agua pura a agregar a los 1000 litros de agua de mar, entonces

en total se tiene: 1000 + x litros.

Hallando la masa de 1000 litros de agua de mar. Volumen (litros) Masa (kg)

1 1,029

1000 x

x

10

El volumen y la masa son dos magnitudes directamente proporcionales (Regla de tres simple directa).

1(x) = 10001,029

x = 1029

Entonces 1000 litros de agua de mar tiene una masa de 1029 kg. Se sabe que el 3,5% del peso del agua de mar es sal: 3,5%(1029) = 36,015 kg de sal.

1 litro de agua pura pesa 1kg, de manera que “x” litros de agua pura pesa “x” kg.

Determinando la cantidad de litros de agua pura a agregar a los 1000 litros de agua de mar para que el 3% del peso de la mezcla resultante sea sal.

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙

𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 3%

36,015

1029 + 𝑥=

3

100

36,015100 = 3(1029 + x)

3601,5 = 3087 + 3x

514,5 = 3x

171,5 = x 171,5 kg de agua pura equivale a 171,5 litros. RESPUESTA: Se debe agregar 171,5 litros de agua pura para que el 3% del peso de la mezcla resultante sea sal. CLAVE E.

13) Se lanzaron dos dados comunes y la suma de los números obtenidos resultó ser par. ¿Cuál es la probabilidad de que los números obtenidos hayan sido iguales?

Aclaración: Un dado común tiene en sus caras los números del 1 al 6 y cada uno tiene igual

probabilidad de salir.

A) 1

6 B)

2

9 C)

1

2 D)

1

4 E)

1

3

SOLUCION: Hallando el espacio muestral cuando se lanzan dos dados comunes cuya suma sea par: 1 + 1 = 2 (Par) 3 + 1 = 4 (Par) 5 + 1 = 6 (Par) 1 + 2 = 3 (Impar) 3 + 2 = 5 (Impar) 5 + 2 = 7 (Impar) 1 + 3 = 4 (Par) 3 + 3 = 6 (Par) 5 + 3 = 8 (Par) 1 + 4 = 5 (Impar) 3 + 4 = 7 (Impar) 5 + 4 = 9 (Impar) 1 + 5 = 6 (Par) 3 + 5 = 8 (Par) 5 + 5 = 10 (Par) 1 + 6 = 7 (Impar) 3 + 6 = 9 (Impar) 5 + 6 = 11 (Impar) 2 + 1 = 3 (Impar) 4 + 1 = 5 (Impar) 6 + 1 = 7 (Impar) 2 + 2 = 4 (Par) 4 + 2 = 6 (Par) 6 + 2 = 8 (Par) 2 + 3 = 5 (Impar) 4 + 3 = 7 (Impar) 6 + 3 = 9 (Impar) 2 + 4 = 6 (Par) 4 + 4 = 8 (Par) 6 + 4 = 10 (Par) 2 + 5 = 7 (Impar) 4 + 5 = 9 (Impar) 6 + 5 = 11 (Impar) 2 + 6 = 8 (Par) 4 + 6 = 10 (Par) 6 + 6 = 12 (Par) El espacio muestral tiene 18 elementos y son los siguientes: 2; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 6; 6; 8; 8; 8; 8; 8; 10; 10; 10; 12. Utilizando la regla de Laplace para hallar la probabilidad de que los números obtenidos hayan sido iguales.

11

𝑃(𝐴) =𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Sea el evento A: Números obtenidos que hayan sido iguales cuya suma sea par, son los siguientes: 1 + 1 = 2 (Par) 2 + 2 = 4 (Par) 3 + 3 = 6 (Par) 4 + 4 = 8 (Par) 5 + 5 = 10 (Par) 6 + 6 = 12 (Par). En total son 6.

𝑃(𝐴) =𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑃(𝐴) =6

18=

1

3

RESPUESTA: La probabilidad de que los números obtenidos han sido iguales es 1

3. CLAVE E.

14) En la figura se muestra dos semicircunferencias de diámetros AC y BD, que se intersecan en

P. Si AB = 3 y BC = 2, calcule la longitud de CD.

A) 9 B) 12 C) 10 D) 15 E) 8

SOLUCION: Ubicando los centros de las dos circunferencias E y F, luego trazamos los segmentos PE y PF.

12

Sea CE = x, entonces el radio de la circunferencia grande mide BE = PE = 2 + x, el radio de

la circunferencia pequeña mide: 3+2

2=

5

2= 2,5, en consecuencia FB = 0,5; también FP = 2,5.

El FPC es isósceles (FP = FC), trazamos la altura FG.

Sea mFPB = . En el FPG, mFPG = + 45°, de manera que mPFG = 90° – ( + 45°) =

90° – – 45° = 45° – y como el FPC es isósceles, mGFC = 45° – . En el FPB, utilizando la propiedad de que la suma de dos ángulos interiores es igual al ángulo exterior del tercer vértice:

mPBC = mFPB + mPFB

13

mPBC = + 45° – + 45° –

mPBC = 90° –

El PEB es isósceles (PE = BE) y se cumple:

mPBE = mBPE

90° – = 45° + mCPE

45° – = mCPE

mFPE = + 45° + 45° – = 90°.

Hallando “x” en el PEF utilizando el teorema de Pitágoras:

2,52 + (2 + x)2 = (2,5 + x)2

6,25 + 4 + 4x + x2 = 6,25 + 5x +x2

10,25 + 4x = 6,25 + 5x

4 = x

Longitud CD = x + 2 + x = 2x + 2 = 2(4) + 2 = 10. RESPUESTA: La longitud CD mide 10 u. CLAVE C.

14

15) Para cada una de las siguientes proposiciones determine si es verdadera (V) o falsa (F):

Existen números reales a; b y c tales que a < b < c y c2 < b2 < a2.

Existen números reales a; b y c tales que a < b < c y a2 < c2 < b2.

Existen números reales a; b y c tales que a < b < c y b2 < a2 < c2.

A) VFV B) VFF C) FFV D) FVF E) VVF

SOLUCION: Recordemos que en la conjunción (y) para que la proposición compuesta sea verdadera, ambas deben ser verdaderas. Analizando cada proposición:

Existen números reales a; b y c tales que a < b < c y c2 < b2 < a2.

Cuando a, b y c son negativos: Verdadero Verdadero

Verdadero

Ejemplo:

a < b < c y c2 < b2 < a2

– 3 < – 2 < – 1 y 1 < 4 < 9. La proposición compuesta es verdadera porque ambas

proposiciones son verdaderas.

Existen números reales a; b y c tales que a < b < c y a2 < c2 < b2.

Cuando a, b y c son números reales: Verdadero Falso

Falso

Ejemplo:

a < b < c y a2 < c2 < b2

– 3 < –2 < 1 y 9 < 1 < 4. La primera proposición es verdadera, la segunda es

falsa, por tanto, la proposición compuesta es falsa.

Existen números reales a; b y c tales que a < b < c y b2 < a2 < c2.

Cuando |a| < c, |a| > b: Verdadero Verdadero

Verdadero

Ejemplo:

a < b < c y b2 < a2 < c2

– 3 < 2 < 4 y 4 < 9 < 16. La proposición compuesta es verdadera porque

ambas proposiciones son verdaderas.

RESPUESTA: Las proposiciones son VFV respectivamente. CLAVE A.

16) Un número entero positivo 𝑁 = 𝑑0𝑑1𝑑2𝑑3𝑑4𝑑5𝑑6𝑑7𝑑8𝑑9 de 10 dígitos tiene exactamente d0

dígitos iguales a 0, d1 dígitos iguales a 1, d2 dígitos iguales a 2, … , d9 dígitos iguales a 9.

Determine el resto de dividir N entre 36.

A) 12 B) 28 C) 19 D) 16 E) 10

SOLUCION:

El número entero positivo N tiene diez dígitos: 𝑁 = 𝑑0𝑑1𝑑2𝑑3𝑑4𝑑5𝑑6𝑑7𝑑8𝑑9 . De acuerdo al

problema debe cumplirse:

d0 dígitos iguales a 0.

d1 dígitos iguales a 1.

15

d2 dígitos iguales a 2.

d3 dígitos iguales a 3.

d4 dígitos iguales a 4.

d5 dígitos iguales a 5.

d6 dígitos iguales a 6.

d7 dígitos iguales a 7.

d8 dígitos iguales a 8.

d9 dígitos iguales a 9.

La primera cifra d0 no puede ser cero, porque de lo contrario N tendría 9 dígitos.

Vamos a tantear con la mayor cantidad de cifras, es decir, con 9 y así sucesivamente con menos cifras.

Asumiendo que: d0 = 9, entonces se tiene:

d0 = 9 dígitos iguales a 0.

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Si existe un dígito 9, debe haber “d9 = 1 dígito igual a 9” y en la distribución realizada no existe

ello. Por tanto, d0 9.

Asumiendo que: d0 = 8, entonces se tiene:

d0 = 8 dígitos iguales a 0.

d8 = 1 dígito igual a 8.

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9

8 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Si existe un dígito 1, debe haber “d1 = 1 dígito igual a 1” y en la distribución realizada no existe

ello. Por tanto, d0 8.

Asumiendo que: d0 = 7, entonces se tiene:

d0 = 7 dígitos iguales a 0.

d7 = 1 dígito igual a 7.

d1 = 1 dígito igual a 1.

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9

7 1 0 0 0 0 0 1 0 0

En la distribución realizada se pueden contar dos cifras uno, de manera que debe haber “d2 =

2 dígitos iguales a 2” y en la distribución realizada no existe ello. Por tanto, d0 7.

Asumiendo que: d0 = 6, entonces se tiene:

d0 = 6 dígitos iguales a 0.

d6 = 1 dígito igual a 6.

d1 = 2 dígitos iguales a 1.

d2 = 1 dígito igual a 2.

d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9

6 2 1 0 0 0 1 0 0 0

En esta distribución no se encuentra ninguna contradicción. Por tanto, d0 = 6.

Cuando: d0 = 5; 4; 3; 2; 1 vamos a seguir encontrando contradicciones.

Entonces N = 6 210 001 000.

16

Finalmente, N vamos a dividir entre 36.

RESPUESTA: El resto al dividir N entre 36 es 28. CLAVE B.

17) Se muestran cuatro ciudades que están unidas por cinco pistas como se muestra a continuación. Debido a diversos motivos una pista puede estar bloqueada. Si escogemos

cualquier pista, la probabilidad de que esté bloqueada es p.

Calcule la probabilidad de que no sea posible ir de A a B.

Ejemplos: Si solo está bloqueada la pista 2, es posible ir de A a B mediante las pistas 1 y 3.

Por otro lado, si las pistas 2; 3 y 4 están bloqueadas no es posible ir de A a B.

A) p5 B) p3(2 – p)2 C) p4(1 – p)2 D) p(1 – p2)2 E) p2(1 – p)3

SOLUCION:

La probabilidad de que cualquier pista esté bloqueada es p.

La probabilidad de que cualquier pista no esté bloqueada es 1 – q.

La probabilidad de que no sea posible ir de A a B es porque al menos tres pistas estén bloqueadas, si están bloqueadas sólo 1 o dos pistas, si es posible ir de A a B.

TRES PISTAS: 124; 125; 234; 235. Probemos que estén bloqueadas las pistas 124.

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = ppp(1 – p)(1 – p) = p3(1 – p)2

Como se tiene 4 casos en total, por tanto, sería:

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = 4p3(1 – p)2

17

CUATRO PISTAS: 1234; 1235; 1245; 2345. Probemos que estén bloqueadas las pistas 1234.

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = ppp p(1 – p) = p4(1 – p) Como se tiene 4 casos en total, por tanto, sería:

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = 4p4(1 – p)

CINCO PISTAS: 12345. Las pistas 12345 están bloqueadas.

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = ppp pp = p5

Sumando los tres casos:

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = 4p3(1 – p)2 + 4p4(1 – p) + p5

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = 4p3(1 – 2p + p2) + 4p4 – 4p5 + p5

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = 4p3 – 8p4 + 4p5 + 4p4 – 4p5 + p5

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = p5 – 4p4 + 4p3

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = p3(p2 – 4p + 4)

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = p3(p –2)2

Probabilidad de que no sea posible ir de A a B = p3(2 – p)2

RESPUESTA: La probabilidad de que no sea posible ir de A a B es p3(2 – p)2. CLAVE B.

18) Sean a, b, c, d y e números reales no nulos. Determine como máximo cuántos números

negativos puede haber entre los siguientes 10 números reales:

a, b, c, d, e, ab, bc, cd, de, ea.

Aclaración: ab es el producto de los números a y b. Análogamente, bc, cd, de y ea también

denotan productos.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

SOLUCION: Se trata de obtener la mayor cantidad de números negativos y por ello asignaremos adecuadamente los signos a los números que no están expresados como productos:

18

a: –

b: +

c: –

d: +

e: –

a b c d e ab bc cd de ea

– + – + – – – – – +

RESPUESTA: Como máximo 7 números negativos puede haber de entre los 10 números reales del problema. CLAVE C.

19) Amelia es la encargada de la limpieza de un edificio. Ella trabaja todos los días impares del mes (por ejemplo, trabaja el 11 de mayo, 19 de setiembre, 21 de diciembre, etc.) y, además, trabaja todos los martes, todos los jueves y todos los sábados. ¿Como máximo cuántos días consecutivos puede trabajar Amelia?

A) 7 B) 9 C) 14 D) 12 E) 16

SOLUCION: Se trata que Amelia trabaje la mayor cantidad de días consecutivos, como trabaja los días impares del mes, entonces busquemos días consecutivos impares y esto ocurre cuando el mes tiene 31 días, porque luego sigue el día 1 del mes siguiente. Además, los martes, jueves y sábados deben ser días pares, es decir:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

24

25 26 27 28 29 30 31

1 2 3 4 5 6 7

8

Amelia puede trabajar de manera consecutiva desde el lunes 25 de un determinado mes hasta el domingo 7 del mes siguiente, en total 14 días. RESPUESTA: Como máximo Amelia puede trabajar 14 días consecutivos. CLAVE C.

20) Sea ABC un triángulo equilátero, el punto P fuera del triángulo ABC cumple que APC = 70° y

BPC = 85°. Se sabe que existe un triángulo 𝒯 cuyos lados miden AP, BP y CP. Calcule la

diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulos de 𝒯.

A) 120° B) 90° C) 110° D) 125° E) 135°

SOLUCION:

19

Ubicando los datos del problema se tiene:

Vamos a construir un triángulo equilátero PCD a partir del lado PC, entonces CP = PD.

Además mAPD = 70° – 60° = 10°.

Trazamos el segmento AD, sea mACD = , entonces mPCA = 60°– , en consecuencia

mPCB = .

20

El DAC PBC por LAL, entonces BP = DA, además se cumple:

mBPC = mADC

mBPC = mADP + mPDC

85° = mADP + 60°

25° = mADP

Graficando el triángulo 𝒯 (PAD) con sus ángulos interiores, sea mPAD = .

En el PAD se cumple:

+ 10° + 25° = 180°

+ 35° = 180°

= 145°

Hallando la diferencia de las medidas del mayor y menor ángulos de 𝒯: 145° – 10° = 135°.

RESPUESTA: La diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulos de 𝒯 es 135°. CLAVE E.

GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN