1

Министерство образования Республики Беларусь

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»

П.В.СЕВАСТЬЯНОВ

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКАИ МОДЕЛИ ИНВЕСТИЦИЙ

Курс лекцийпо одноименному спецкурсудля студентов специальностиН 01.01.00 «Математика»

Гродно 2001

Рерайт (переделка) дипломных и курсовых работ

Создание интернет-магазинов

Вернуться в каталог учебников

УДК 330.4:332.146 (075.8)ББК 65С28

Рецензенты: директор Института Математики и Информатики ПолитехникиЧенстоховской (Республика Польша), доктор технических наук,профессор Б. Мохнацкий;доцент кафедры дифференциальных уравнений и оптималь-ного управления ГрГУ им. Я.Купалы, кандидат физико-мате-матических наук В.И.Булгаков.

Рекомендовано советом математического факультета ГрГУ им. Я. Купалы.

Севастьянов П.В.

Финансовая математика и модели инвестиций: Курс лекций /П.В.Севастьянов. — Гродно: ГрГУ, 2001. — 183 с.

ISBN 985-417-306-2.

Курс лекций предназначен для студентов математических специальностей,дальнейшая профессиональная деятельность которых будет связана с решениемэкономико-математических и финансовых проблем на предприятиях различногопрофиля. Особое внимание в курсе лекций уделено алгоритмической стороневопросов, а также учету неопределенностей. При этом наряду с традиционнымтеоретико-вероятностным подходом к математической формализации неопреде-ленных данных рассматриваются современные методы интервальной математикии теории нечетких множеств.

УДК 330.4:332.146(075.8)ББК 65

ISBN 985-417-306-2. © Севастьянов П.В., 2001

С28

ВВЕДЕНИЕ

Финансовая математика в чисто математическом отношениине представляет собой ничего особо сложного для студентов-ма-тематиков. Самые сложные в математическом плане задачи воз-никают в связи с проблемами оценки эффективности опционов,когда приходится решать стохастические дифференциальные урав-нения в частных производных или задачи оптимизации инвести-ций, как правило, вполне посильны для студентов.

Эта математическая прозрачность служит причиной по-верхностного восприятия многими специалистами, уже ра-ботающими в финансовой сфере, экономической сущностирешаемых задач, что является причиной многочисленныхошибок (изобилующих также в учебниках по финансовомуанализу), которые зачастую приводят к катастрофическим ре-зультатам. Поэтому в настоящем курсе предусмотрен анализбольшого числа примеров из живой практики примененияфинансовой математики.

Поскольку в настоящем курсе финансовая математика рас-сматривается как инструмент для решения реальных задачфинансового анализа, предусмотрено рассмотрение практи-ческих вопросов, связанных со спецификой законодательстваРеспублики Беларусь, бизнес-планирования и пр.

В большинстве случаев финансовая математика приме-няется для оценки эффективности инвестиций. Поскольку приэтом речь идет о возможности реализации тех или иных со-бытий в будущем, неизбежно проявляются неопределеннос-ти различного типа, игнорирование которых делает решаемуюзадачу слишком далекой от реальности. Поэтому в настоящемкурсе вопросам учета неопределенностей уделяется большоевнимание. При этом наряду с классическим теоретико-веро-ятностным подходом к математической формализации неопре-деленностей рассматриваются методы их анализа с исполь-зованием элементов теории нечетких множеств.

Таким образом, целью предлагаемого курса лекций явля-ется привитие студентам навыков постановки задач инвести-ционного анализа, проведения финанансово-экономическихрасчетов для оптимального управления инвестициями, раз-работки необходимого для этого программного обеспечения.

3

4

ЛЕКЦИЯ 1. ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК И ЕГО ТОВАРЫ

Финансовый рынок — это рынок, где товарами являют-ся сами деньги и ценные (денежные) бумаги. Прежде чемтрактовать смысл этих понятий, определим роль финансово-го рынка в общей системе рыночной экономики.

1.1. Товарно-денежный механизм рыночной экономики

Движение товара можно рассматривать с момента окон-чания его производства какой-либо организацией, после чеготовар продается либо другому предприятию, если это товарпроизводственного назначения, либо организациям, осущест-вляющим оптовую торговлю, если это товар потребительско-го назначения. Зачастую и массовые производственные това-ры, в особенности сырьевые (нефть, металл, зерно), такженаправляются другим предприятиям посредством оптовойторговли, осуществляемой товарными биржами. Оптовыеторговцы потребительским товаром реализуют его потреби-телям через систему розничной торговли.

При любом из указанных перемещений товар переходитот одного собственника к другому, и движение товара приво-дит к встречному потоку денежных выплат. За исключением,возможно, самого нижнего звена, эти денежные выплатыосуществляются в безналичной форме, причем с участиемпосредника, каковым является тот или иной банк. В банкахже накапливается наличная выручка розничной торговли исферы обслуживания, которая в свою очередь возвращаетсяна предприятия и в систему социальной защиты, где исполь-зуется при выплате зарплаты и социальных пособий. Впро-чем, и в этом нижнем звене все чаще используются безналич-ные средства в виде различного рода кредитных карточек.

Наряду с розничной торговлей и сферой обслуживаниясущественную роль в аккумуляции денежных сумм играютстраховые компании, осуществляющие страхование жизни иимущества в различных формах. Государственную систему со-циального страхования во многих странах существенно допол-няют специальные пенсионные фонды, куда собираются взно-

5

сы, представляющие собой часть зарплаты, откладываемуюработниками для формирования добавочных пенсий, а такжевзносы предприятий на поддержку этих пенсий для своих быв-ших работников.

Вернемся к производству продукта на предприятии. Ос-новная особенность реального процесса производства —несовпадение по времени затрат, связанных с производством,и дохода в результате продажи полученной продукции. По-этому предприятие нуждается в авансировании денежныхсредств, которые после реализации продукции вернутся напредприятие в большем объеме, но через некоторое время.Предприятие может иметь собственный оборотный капитал,но, как правило, ему приходится обращаться за финансовойподдержкой в банк, который передает ему необходимые сред-ства в виде займа. Естественно, что этот заем дается под про-цент. Иначе говоря, предприятие вынуждено делиться частьюприбыли с банком, что является еще одним источником по-полнения банковских средств.

Особенно большие затраты связаны не с текущей деятель-ностью, а с организацией нового производства или ссущественным расширением или переоснащением старого. Вэтом случае предприниматель особенно нуждается в предос-тавлении ему банковских кредитов.

В свою очередь коммерческие банки, конечно, заинтере-сованы в получении доходов от кредитования и затрачиваютна это большие суммы — причем не столько из собственногокапитала, сколько из сумм, которые им временно переданыдля сбережения и которые могут быть затребованы вкладчи-ками в любой момент. Поэтому возможна ситуация, когда тре-бование вкладчика не удается удовлетворить — в этом случаекоммерческие банки вынуждены сами брать деньги в долг удругих банков, и в первую очередь у государственных банков,являющихся прежде всего банками для банкиров и составля-ющих так называемую государственную резервную систему.

Следует упомянуть, что в государственных банках аккуму-лируются средства, поступающие от населения и предприя-тий в виде различного рода налогов. С другой стороны, черезгосударственные (или муниципальные) банки осуществляет-

6

ся выплата социальных пособий, средств служащим государ-ственных учреждений, в частности вооруженных сил, мили-ции и т.п. Поскольку размер этих выплат определяется не толь-ко и не столько экономическими, сколько политическимисоображениями, то, как правило, он превышает сумму нало-говых поступлений. Для покрытия разницы государство ис-пользует две схемы.

Первая — дополнительная эмиссия денежных знаков, вы-зывающая снижение их реальной ценности, инфляцию и, вконечном счете, перераспределение государственного дефици-та на все население. Важно понимать, что и денежные знакиявляются лишь документами-обязательствами, реальная цен-ность которых определяется рыночным механизмом.

Вторая схема состоит в выпуске государственных займови распространении облигаций займов среди населения. Приэтом государство как бы перекладывает свой долг на плечипокупателей облигаций, но берет на себя обязательство (сло-во «облигация» и означает «обязательство») выплачивать про-цент на вложенные инвестором-покупателем деньги.

Таким образом, существует целая иерархическая банков-ская структура, взаимоотношения между элементами которойтакже строятся на кредитно-денежной основе.

Весьма важным фактором является то, что предприятие(или группа предприятий), заинтересованное в получениисредств для капитальных вложений в производство, можетне только обратиться в банк за займом, но использовать и дру-гую форму привлечения капитала — путем организации в тойили иной форме акционерного общества. Организаторыакционерного общества, распространяя акции, привлекают какционерному предприятию других собственников в качествесовладельцев. Каждая акция является документом,удостоверяющим право на владение определенной долей иму-щества акционерной компании. Это право в некотором смыс-ле условно, но каждая акция является документом, по которо-му акционер может регулярно (раз в квартал или в год) полу-чать некоторые денежные выплаты из прибыли компании,

7

называемые дивидендами. Кроме того, любая акция можетбыть передана другому лицу за определенную денежную сум-му, называемую ценой акции, т.е. сама акция представляетсобой товар, который может быть продан или куплен.

Продажа и покупка акций реализуются с помощью бан-ков либо с помощью иных посредников (брокеров и дилеров),крупнейшие из которых объединяются, организуя фондовыебиржи.

Важно понимать, что уровень дивидендов не являетсяфиксированным.

Более того, цена акции на рынке меняется, как меняетсяцена любого товара на рынке. Вкладчик, купив акцию, можетвыиграть существенно больше на ее продаже после подъемакурса, чем за счет получения дивидендов, но может и поте-рять, если курс понизился.

Поэтому вклад денег в покупку акций всегда содержит всебе элемент риска, игры, и в этой игре выигрывает толькобогатый игрок, который может купить большое количестворазнообразных акций, обеспечить себя информацией и сред-ствами ее обработки.

В развитых странах лишь немногие лица рискуют само-стоятельно покупать и продавать акции через биржу.

Наиболее распространенной формой вложений являют-ся косвенные вложения через специальные инвестиционныефонды, которые осуществляют покупку акций на сделанные вних денежные вклады и текущую перепродажу акций с цельюизменения поддерживаемого инвестиционным фондом пор-тфеля (набора) акций. Пайщики инвестиционного фонда по-лучают свою долю дивидендов от всего портфеля акций.

Инвестиционный фонд должен содержать специальнуюслужбу финансовых аналитиков, занимающихся прогнозиро-ванием рыночных процессов и дающих рекомендации поизменению количества и видов акций в портфеле этого фон-да. Естественно, что за такие услуги инвестиционный фондберет определенную плату с пайщиков, но это окупается засчет более рациональных капвложений.

8

1.2. Товары, субъекты и структура финансового рынка

Главными товарами финансового рынка являются: налич-ные деньги, в том числе внутренняя и иностранная валюта;банковские кредиты; ценные бумаги.

В соответствии с этими понятиями принято разделять фи-нансовый рынок на денежный рынок и рынок капитала, а ры-нок капитала — на кредитный и фондовый рынки. Основнымобъектом рассмотрения в этой книге является фондовый ры-нок, или security market; слово «security» эквивалентно русскому«ценные бумаги». Перечислим важнейшие виды ценных бумаг.

Долговые обязательства (облигации). Все ценные бу-маги такого рода происходят от простой расписки, удо-стоверяющей, что одно лицо (кредитор) предоставил другомулицу (дебитору) определенную сумму денег с фиксированны-ми оговоренными условиями возврата. Зачастую их именуютценными бумагами с фиксированным доходом (fixed incomesecurities), хотя это не вполне точно. Часть ценных бумаг удо-стоверяет взаимные обязательства только двух сторон и имеетсилу только в их взаимоотношениях, однако наибольший ин-терес представляют ценные бумаги, которые кредитор можетсвободно продавать другим лицам. Именно они составляютосновную массу средств, обращающихся на фондовом рынке.

Акции — это ценные бумаги, удостоверяющие право ихвладельца на долю собственности акционерной компании,включая право на участие путем голосования в принятии ос-новных решений и право на получение дивидендов из прибы-лей компании. Акции компании открытого типа являются сво-бодно продаваемыми и покупаемыми и представляют собойнаиболее активную часть фондового рынка.

Контракты на поставку в будущем (фьючерсы, futures) —это обязательство продавца поставить к определенной дате оп-ределенное количество товара в определенное место. Под то-варом могут пониматься реальный товар (зерно, мясо, нефтьи т.п.) либо иные ценные бумаги, например, акции.

Вместе с тем, фьючерс сам по себе является товаром нафондовом рынке и вплоть до даты исполнения может прода-ваться и покупаться.

9

Опционы на поставку в будущем (options) — это цен-ные бумаги, удостоверяющие право владельца совершить по-купку определенного количества товара по фиксированнойцене или продать товар по фиксированной цене в определен-ный момент времени (европейский опцион) или вплоть доопределенного момента (американский опцион).

Поскольку цены контрактов и опционов зависят от ценфигурирующих в них товаров, то их часто называют произ-водными ценными бумагами.

Субъектами, действующими лицами на фондовом рынке,являются: эмитенты, т.е. организации, выпускающие ценные бу-маги; инвесторы, т.е. владельцы, вкладывающие капитал в цен-ные бумаги; посредники, осуществляющие продвижение цен-ных бумаг от эмитентов к инвесторам.

Подчеркнем, что одни и те же физические и юридичес-кие лица могут выступать в роли и эмитента, и инвестора, ипосредника.

В качестве посредников в основном выступают брокер-ские конторы, фондовые биржи, инвестиционные фонды, а вряде стран, в том числе и в России, в этом отношении чрезвы-чайно активны банки.

При всей сложности и разнообразии финансового рынканадо отчетливо осознавать, что любой его участник пресле-дует одну цель — преумножение капитала. Лицо, покупаю-щее ценные бумаги, вкладывает деньги, инвестирует свой ка-питал в надежде получить доход в будущем. Лицо, продаю-щее ценные бумаги, вкладывает полученные деньги либо впроизводство, либо в покупку реального товара, либо в по-купку иных ценных бумаг для получения дохода, который нетолько позволит выполнить обязательства перед покупателем,но и получить прибыль для себя. Развитая рыночная эконо-мика предоставляет возможность каждому гражданину решить,куда вложить деньги. Разнообразие возможностей делает этотвыбор особенно сложным, и решение данной проблемы пред-ставляет собой предмет данной дисциплины.

10

1.3. Современное состояние финансового рынка вРеспублики Беларусь

Роль финансового рынка в экономике Республики Бела-русь в настоящее время существенно снижена из-за жесткогоконтроля государства за рынком в целом и деятельностью бан-ков в частности. Эта особенность определяет основные отли-чительные черты финансового рынка Республики Беларусь:

1) высокие темпы инфляции;2) на фоне низкой инвестиционной активности вообще

практически все инвестиции осуществляются банками;3) фактическое отсутствие вторичного рынка ценных бумаг;4) сильная зависимость от состояния российского финан-

сового рынка.Важно сознавать, что выход из кризиса должен будет со-

провождаться уменьшением роли государства в контроле надфинансовым рынком, а следовательно, его либерализацией иразвитием денежных рынков и рынков капитала.

ЛЕКЦИЯ 2. ХАРАКТЕРИСТИКИФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

Каждая ценная бумага удостоверяет определенную финан-совую операцию. Лица, участвующие в операции (сделке),должны четко представлять ее результаты, выгодность и эф-фективность. Существуют общие схемы и понятия, позволя-ющие определить эффективность операции, сравнить различ-ные операции и выбрать наиболее эффективные из них.

2.1. Основные термины и их толкование

Простейший вид финансовой сделки — однократноепредоставление в долг некоторой суммы S(0) с условием, чточерез время Т будет возвращена сумма S(T). Для определенияэффективности сделки используют две величины:

а) относительный рост (интерес, interest rate, return. Тер-мины interest и return по существу эквивалентны. Для обозначе-ния используют буквы «i» или «r»)

11

)(S)(S)T(SrT 0

0−= (2.1)

и б) относительную скидку (дисконт, discount rate)

)T(S)(S)T(SdT

0−= . (2.2)

Обе величины характеризуют приращение капитала кре-дитора, отнесенное либо к начальному вкладу (интерес), либок конечной сумме (дисконт). Очевидно, что все введенныевеличины взаимосвязаны:

T

TT d

dr−

=1

, T

TT r

rd−

=1

S(T) = S(0)(1 + Tr ); S(0) = S(T)(1 — Td ). (2.3)

Последние формулы показывают, что сделку удобнее ха-рактеризовать либо как «начальная сумма – интерес», либо как«конечная сумма — дисконт». Иногда вместо дисконта исполь-зуют дисконт — фактор (discount factor)

.)r()T(S

)(SdVT

TT +==−=

1101 (2.4)

Как правило, и рост, и дисконт выражают в процентах, ум-ножая соответствующие величины на 100. Эта традиция настоль-ко сильна, что вместо термина «рост» часто говорят «ставка про-цента». Ценные бумаги, удостоверяющие долговые обязатель-ства, называют процентными, а ростовщика — процентщиком.

Пример 1. Кредит выдан на 1 год в сумме 1 млн руб. сусловием возврата 2 млн руб. — в этом случае интерес равен100%, а дисконт — 50%. Если кредит выдан на сумму 3 млнруб. со ставкой 50%, то через год придется вернуть 4,5 млнруб. Если же кредит выдан с условием возврата через год 3млн руб. и дисконтом 20%, то дебитор получит 2,4 млн руб.При этом дисконт — фактор равен 0,8.

12

2.2. Приведение к базовому периоду

Обычно в условиях сделки указывают интерес и дисконтза базовый период, равный году, а соответствующие величи-ны за фактический период Т вычисляют по некоторымстандартным правилам, также оговариваемым в условиях.

На практике используют схему простых процентов (simpleinterest), сложных процентов (compound interest) и их комбинации.

Приведение с помощью простых процентов использует-ся в практике банковских расчетов за краткосрочные кредитыменьше 1 года.

Пусть годовой интерес (ставка) задан равным r. Тогда поформуле простых процентов

Tr = T r.

При этом надо учитывать принятые условности, иногданеявно оговариваемые в сделке. Если длительность краткос-рочного кредита измеряется в днях, то длительность года так-же в днях, но используют либо точную длительность (365 илиЗ66 дней), либо, более часто, приближенную (360 дней или12 месяцев, имеющих условно равную длительность в 30дней). Таким же образом приближенно учитывают и длитель-ность ссуды, считая все полные месяцы равными 30 дням.

Пример 2. Выдан кредит в сумме 1 млн руб. с 15.01.931по 15.03.93 г. под 120% годовых. Сумма погасительного пла-тежа может быть различной в зависимости от условий. Еслирасчет ведется точно, то

S(T) = 1 ⋅ (1 + Tr ) =(1 + 59/365 ⋅ 1,2) = 1 млн 193 тыс. 972 руб.

Если приблизительно, то

S(T) =1 ⋅ (1+ Tr ) = 1 + 60 / 360 ⋅ 1,2 = 1,2 млн руб.

(учитываются 30 дней февраля, 16 дней января, 15 дней мар-та минус 1 день).

13

При расчетах по долгосрочным кредитам, охватывающихнесколько полных лет, используют схему сложных процентовпо формуле

1+ Tr =(1 + r)Т.

Эти две схемы можно согласовать, если предположить,что по истечении каждого года кредитор (вкладчик капитала)изымает капитал вместе с накопленными процентами, а по-том вновь отдает в рост всю накопленную сумму. В результатена вложенный рубль через 1 год будет получено 1 + r, через 2 —(1 + r)2 и т.д., что и дает доход, исчисленный по формуле слож-ных процентов. Во избежание процедуры изъятия и повтор-ного вклада обе стороны сделки заранее договариваются обиспользовании сложных процентов.

Применяя повторные вложения (реинвестирование), кре-дитор может получить некоторый выигрыш, даже если объяв-ленные условия не содержат схемы сложных процентов.

Пример 3. Сберегательный банк принимает вклад 100 тыс.руб. на срок 3 месяца с объявленной 100%-й годовой ставкойили на 6 месяцев под 110%. На первый взгляд, вкладчику болеевыгоден второй вариант, когда через 6 месяцев будет получено

100 (1 + 6 / 12 ⋅ 1,1) = 155 тыс. руб.

В действительности же, дважды используя 3-месячныйдепозит, можно получить

100 (1 + 3 / 12 ⋅ 1,0) (1 + 3 / 12 ⋅ 1,0) = 100 ⋅ 1.252 = 156,25 тыс. руб.

Если период платежа превышает 1 год, но насчитываетнецелое число лет, то сберегательные банки применяют ком-бинированную схему: сложные проценты — за целое числолет, простые — за остаток. Иначе говоря, если объявлена го-довая ставка r, то

1 + rT = (1 + r)[T] (1 + r ⋅ t), t = Т — [T], (2.5)

где квадратной скобкой обозначена целая часть числа.

14

В финансовых расчетах применяются также схемы, гденачисление сложных процентов производится несколько раз вгоду. При этом оговариваются годовая ставка r и количествоначислений m за год. Фактически за базовый период принима-ется 1/m часть года со ставкой сложных процентов r/m, так что

1+ rT = (1 + r / m)Tm . (2.6)

Пример 4. Ссуда в 200 тыс. руб. дана на 1,5 года под став-ку 120% годовых с ежеквартальным начислением. Суммаконечного платежа равна

200 (1 + 1 ⋅ 1,2 / 4)6 = 879,6 тыс. руб.

2.3. Дисконтирование

Вычисление дисконта или дисконт-фактора за произвольныйпериод времени Т также производится по объявленной годичнойставке r или годичному дисконту d с использованием различныхсхем и с учетом либо простых, либо сложных ставок.

Укажем стандартные варианты. Банковский дисконт (bank rate)

VT = l — Td, (2.7)

где d — годичный дисконт, а Т вычисляется как число дней досрока платежа, отнесенное к условной длительности года.

Данная схема применяется в банковских расчетах припокупке (учете) банковских краткосрочных обязательств (век-селей).

Пример 5. Вексель выдан на сумму 2 млн руб. и содержитобязательство выплатить владельцу векселя эту сумму 15.03.93г. Владелец предъявил банку вексель досрочно, 1.02.93 г., ибанк согласился выплатить сумму (учесть вексель), но с дис-контом в 120% годовых. Полученная сумма равна

2 (1 – 42 / 360 ⋅ 1,2) = 1,72.

15

Отметим, что схема банковского дисконта неприменимапри Td > 1. В частности, лишена смысла операция учета загод с годичным дисконтом более 100%.

Более универсален другой вариант — математическийдисконт-фактор

VT = 1 / (1 + rT) = 1 — dT, (2.8)

где при простых процентах rT = Тr,

а при сложных rT = (1 +r)T-1.

Подчеркнем, что при расчете по сложным процентам ма-тематический дисконт-фактор за Т лет легко выражается че-рез годичный дисконт:

TTTT V)d(

)r(V =−=

+= 1

11 , (2.9)

где V — годичный дисконт-фактор.

Поскольку при Td < 0.l

(l — d)T ≈ l – Td

с точностью до 1%, то при малых Td банковский учет даетпочти тот же результат, что и математически строгий.

Иногда применяют схему дисконтирования несколько разв течение года. Оговариваются номинальный дисконт (годо-вая учетная ставка) d и число пересчетов в году m. Тогда

VT = (1 –d / m)Tm. (2.10)

Пример 6. Вексель на 3 млн руб. с годовой учетной став-кой 10% с дисконтированием 2 раза в год выдан на 2 года.Исходная сумма, которая должна быть выдана в долг под этотвексель, равна

3 ⋅ (1 – 0,1 / 2)4 = 2.44 млн руб.

16

В заключение необходимо подчеркнуть, что расчет плате-жей по заданным процентным или учетным ставкам долженпроизводиться в точном соответствии с условиями контракта.

2.4. Эффективная ставка

Эффективной называется годичная ставка сложных про-центов, дающая то же соотношение между выданной суммойS(0) и суммой S(T), которая получена при любой схеме выплат.

Общая формула эффективной ставки ref следует из опре-деления

,)(S)T(S)r( T

ef 01 =+ (2.11)

откуда

,)(S)T(Sr

T

ef 10

1

−

=

где T выражено в годах.Пример 7. Пусть в долг на 1,5 года дана сумма 2 млн руб.

с условием возврата 3 млн руб. Тогда эффективная ставка вэтой сделке равна

ref = 1,51/1,5 — l = 0,31 = 31%.

Пример 8. Выдан кредит в 2 млн руб. на 3 месяца под100% годовых.

С учетом того, что такой краткосрочный кредит подразу-мевает начисления под простые проценты,

S(T) = S(0) (1 + 3 / 12) = 2,5 млн руб.

и эффективная ставка равна

ref = (2,5 / 2,0)4 — 1 = 1,443 = 144,3%.

Пример 9. Выдан вексель на условиях примера 6. В дан-ном случае

17

S(T) = 3, S(0) = S(T) ⋅ 0,954, T = 2,

так, что

%,,,)(S

)T(Sref 8101080195011

0 2

21

==−=−

=

Из приведенных примеров можно сделать следующийвывод: при оценке эффективности сделок, определенных с по-мощью процентных или учетных ставок, значение суммы на-чального или конечного платежа несущественно. Эффектив-ная ставка непосредственно определяется заданием интересаили дисконта и схемой начислений. Приведем общие форму-лы для базовых схем.

1. При начислении под простой процент:

ref = (1 + Tr)1/T — 1. (2.12)

2. При начислении под сложный процент r с количествомначислений в год m:

ref = (1 + r / m)m — 1. (2.13)

3. При учете по банковскому дисконту:

ref = (1 + Td)-1/T – 1 = 1 / (1 — Td) 1/T — 1. (2.14)

4. При учете по математическому дисконту d с дисконти-рованием m раз в году:

ref = (1 + d / m)-m – 1 = 1 / (1 – d / m) m — 1. (2.15)

Расчет эффективной ставки ref — один из основных инст-рументов финансового анализа. Знание его позволяет сравни-вать между собой сделки, построенные по различным схемам:чем выше эффективная ставка, тем (при прочих равных усло-виях) выгоднее сделка для кредитора.

Сравним, в частности, эффективные ставки при начисле-нии под простой и сложный проценты и одинаковых

18

номинальных ставках r. Для сложного процента при m =1имеем ref = r, а эффективность начислений под простой про-цент зависит от времени Т. При Т = 1 год они совпадают, апри Т ≠ 1 эффективности различны.

Пример 10. Вклад в сумме 1000 руб. внесен в сберега-тельный банк под 40% годовых. Сколько должны выплатитьклиенту через б месяцев при использовании схемы сложныхпроцентов?

Очевидно, чтоS(T) = 1000 (1 + 0,4) 1/2 = 1183 руб.

Фактически же при принятой практике клиент-кредиторполучит несколько больше:

S(T) = 1000 (1 + 1/2 * 0,4) = 1200 руб.

Если вклад будет изъят через 1.5 года, то принятая мето-дика комбинирования сложных и простых процентов даст

S(T) = 1000 (1 + 0,4) (1 +1/2 * 0,4) = 1680 руб.,

в то время как при расчете только по сложным процентамсумма была бы меньше:

S(T) = 1000 (1 + 0,4)1.5 = 1656 руб.,

а при расчете только по простым процентам — еще меньше:

S(T) = 1000 (1 + 3/2* 0,4) = 1600 руб.

Нетрудно убедиться в справедливости общего положения:при одинаковой номинальной ставке процента эффективнаяставка при начислениях под простые проценты выше, чем приначислениях под сложные, если период начисления меньшегода, и ниже, если период больше года. Эффективная ставкапри комбинированной схеме начисления всегда превосходитноминальную, если число лет не является целым.

19

2.5. Оценка потоков платежей

Многие финансовые контракты, в том числе контракты,оформленные в виде рыночных ценных бумаг, предусматрива-ют не однократную выплату в конечный момент, а многократ-ные выплаты в различные промежутки времени. Более того,и получение кредита может быть распределено во времени.Взаимоотношения между кредитором и дебитором в общемслучае определяются потоком платежей. Приведем самыйпростой пример.

Пример 11. На счет в банке вносится сумма 10 тыс. долл.,однако не сразу, а в течение 10 лет равными долями в концекаждого года. Какой будет сумма на счете после 10 лет?

Конечно, эта сумма окажется больше 10 тыс. долл., по-скольку на счет заносятся и проценты, которые все время при-соединяются к имеющейся сумме.

В конце 1-го года окажется 1 тыс. долл. В конце 2-го годана нее будут начислены проценты и добавится еще 1 тыс. долл.

1 + 1 + r.

В конце 3-го года

1 + (1 + r) [(l + (l + r))] и т.д.

Конечный результат можно представить в виде:

1 + (1 + r)[1 + (1 + r) [1 +...+ 1 + r]...].

Если раскрыть скобки, то получим

S(10) = 1 + (1 + r) + (1 + r)2 +... + (1 + r)9.

Но тот же результат можно получить, рассуждая иначе:1-й взнос пролежит 9 лет и возрастет до (1 + r)9, 2-й — 8 лет ивозрастет до (1 + r)8 и т.д., вплоть до последнего взноса, кото-рый поступил в конце 10-го года.

20

Замечая, что наращенная сумма (в тыс. долл.) выражает-ся в виде суммы геометрической прогрессии с показателем 1+ r, запишем окончательно

S(10) = ((1 + r)10 — 1) / r.

При r = 0.04 (4% — я ставка) имеем S(10) =12 тыс. долл.Рассуждения при решении этого примера применимы и

в общем случае: наращенная сумма (future value) от ежегодныхплатежей n одинаковой величины С (такая система называ-ется постоянной финансовой рентой, или аннуитетом (annuity))при сложной процентной ставке r равна

S(n) = CSn, r , (2.16)

где использовано стандартное обозначение для коэффициентанаращивания

( ) ( ) .rrrS

nn

t

tr,n

1111

0

−+=+= ∑−

= (2.17)

Рассмотрим произвольный поток платежей, задаваемыйпоследовательностью выплат величиной C

t в моменты

времени t = t0, t

1,...,t

N.

Тогда сумма, наращенная к моменту Т ≥ tN, равна

[ ]kk tT

N

kt rC)T(S −

=

+= ∑ 11

, (2.18)

где r — относительный рост за любой период длительностью t.Это общее выражение может быть упрощено для любой

конкретной схемы платежей и процентных начислений.Наращенная сумма (future value) определяется путем при-

ведения всех платежей с учетом роста к конечному моментудействия контракта (или к моменту последнего платежа).

Во многих ситуациях представляет интерес приведениевсех платежей к исходному данному моменту с учетом дискон-тирования платежей, приходящих в будущем. Результат при-

21

ведения называется современной или приведенной величи-ной (present value, PV).

Если обозначить дисконт-фактор Vt за любой период отисходного момента до произвольного момента t прихода пла-тежа суммой Сk, то для современной величины платежей Сk,k = 1,...,N, которые придут в моменты tk, k = 1, ... N, получаемвыражение

∑=

=N

ktk k

VC)(S1

0 . (2.19)

В частности, для постоянной ренты с поступлением вконце каждого года и ежегодным начислением по ставке rимеем за n лет

N = n, Ck = C, k

kt r

VVk

+==

11 ,

так что

( )rV

rr

rC)(S nn

k

nk −=+−=

+= ∑

=

− 1111

101

. (2.20)

Смысл PV очень прост: это начальная сумма, вложив ко-торую под те же проценты, можно обеспечить возможностьвыплаты из нее всех рентных платежей.

2.6. Двусторонний поток платежей.Чистая приведенная величина

Финансовая операция может предусматривать неодно-кратные и разновременные переходы денежных сумм от од-ного владельца к другому.

Рассматривая поток платежей с позиций одного из них,можно считать все поступления к нему положительнымивеличинами, а все его выплаты — отрицательными. Для оцен-ки финансовой операции в целом используется чистаяприведенная величина (net present value, NPV), вычисляемаяпо формуле (2.20), но с учетом знака величины Сk.

Удобно представить поток платежей в виде графической схемы:CNCkC2

tNtkt3t2t1

C1 C3

22

Пример 12. Контракт между фирмой А и банком В пре-дусматривает, что банк предоставляет в течение 3 лет кредитфирме ежегодными платежами в размере 1 млн долл. в нача-ле каждого года под ставку 10% годовых. Фирма возвращаетдолг, выплачивая 1, 2 и 1 млн долл. последовательно в конце3, 4-го и 5-го годов.

Какова NPV этой операции для банка? Согласно формуле(2.20) имеем

NPV = -1 – 1 ⋅ 1 / (1 + 0,1) – 1 ⋅ 1 / (1 + 0,1)2 + 1 ⋅ 1 / (1 + 0,1)3 ++ 2 ⋅ 1 / (1 + 0,1)4 + 1 ⋅ 1 / (1 + 0,1)5 = 0,003 млн долл.

Поскольку результат положителен, то эта операция явля-ется для банка приемлемой.

Требование положительности NPV является обязатель-ным при принятии решения о реализации финансовой опе-рации кредитором. Вместе с тем вычисление NPV не можетопределить степень рациональности такой операции, что сле-дует учитывать при наличии альтернативной возможностивложения капитала. С этой целью вводится понятие эффектив-ной ставки операции (внутренней эффективности) как значе-ния ставки процента, при которой NPV окажется равной нулю.

Таким образом, если операция предусматривает выпла-ты Сk (учетом знака!) в моменты tk, то эффективная ставка refвычисляется как корень уравнения

( )∑=

=+

N

ktk .

rC

k1

01

1 (2.21)

При этом начало операции (первая выплата) принимает-ся за начало отсчета времени.

Приведенное определение эффективной ставки любойфинансовой операции обобщает данное ранее определениеэффективной ставки простейшей операции (2.11), связаннойс предоставлением кредита на сумму S(0) и возвратом долга всумме S (Т), и не противоречит ему. Действительно, в простей-шей операции

С1 = -S(0); C2 = S(T); t1 = 0, t2 = T,

23

так что уравнение эффективной ставки имеет вид

-S(0) + S(T) ⋅ ,0)1(

1 =+ Tr

или(1 + r)T = S(T) / S(0),

что совпадает с (2.11).Приведем практически важный пример оценки эффек-

тивной ставки широко распространенной на Западе операциивыдачи ссуд под обеспечение собственности на дом илиземельный участок (real estate mortgage). Арендная плата за съемдома или квартиры очень высока, поэтому для каждого амери-канца и прежде всего для «нового» американца (иммигранта),важной является дилемма: тратить деньги на аренду или напокупку собственного дома. При этом наличных денег, не-обходимых для покупки дома, естественно, нет, и речь можетидти только об оплате с помощью ссуды, взятой в банке, выда-ваемой под заклад приобретаемой собственности. В случае не-уплаты долга эта собственность может быть продана кредито-рами, изымающими из вырученной суммы неуплаченный долг.

Как правило, при выдаче ссуды применяется схема пол-ностью амортизированного платежа, при которой долг вмес-те с процентами полностью выплачивается к концу срока пу-тем периодических платежей.

Пример 13. Выдана ссуда в 120 тыс. долл. на 30 лет под9% годовых. Должник обязан ежемесячно выплачивать рав-ными долями долг вместе с процентами (фактически имеют-ся в виду месячные проценты в 1/12 от годовых, т.е. 0,75%).Какова сумма месячного платежа?

Она рассчитывается из условия, что NPV потока плате-жей должна быть равна нулю, иначе говоря, указанная в дого-воре ставка должна совпадать с месячной эффективной став-кой потока платежей. Если С — сумма платежа в тыс. долл,то должно быть

-120 + C или С (1 – 1,0075-360) / 0,0075 = 120,так что

C = 120 / 124,28 = 0,96555.

24

Общая сумма всех платежей составит 347598 долл.Иногда применяется схема частичной амортизации.Пример 14. Ссуда в 10 тыс. долл. выдана под 12% годо-

вых (т.е. под 1 % месячных) и требует ежемесячной оплаты по130 долл. и выплаты остатка долга к концу срока в 10 лет. Ка-ков остаток долга D?

Поскольку ставка понимается как месячная эффективная,то должно быть выполнено условие

-10000 + 130(1 – 1,01-120) / 0,01 + D1,01-120 = 0,

откуда D = 3098,83 долл.Заключение. Мы установили, что для любой финансовой

операции с четко оговоренными сроками и суммами взаимныхплатежей может быть установлена мера ее эффективности какпроцент, обеспечивающий равенство нулю чистой приведеннойвеличины потока платежей. Выбирая между различными вари-антами возможных финансовых операций, инвестор всегда ори-ентируется на операцию с высшей эффективной ставкой.

ЛЕКЦИЯ 3. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА ВИНВЕСТИЦИОННОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ

3.1. Понятие об инвестициях в реальные активы.Классификация инвестиций. Роль инвестиций в

увеличении ценности фирмы

Одной и важнейших сфер деятельности любой фирмыявляются инвестиционные операции, т.е. операции, связан-ные с вложением денежных средств в реализацию проектов,которые будут обеспечивать получение фирмой выгод в тече-ние периода, превышающего один год.

В коммерческой практике принято разделять следующиетипы таких инвестиций:

· инвестиции в физические активы;· инвестиции в денежные активы;· инвестиции в нематериальные (незримые) активы.

25

Под физическими активами подразумеваются производ-ственные здания и сооружения, а также любые виды машин иоборудования со сроком службы более одного года.

Под денежными активами — права на получение денеж-ных сумм от других физических и юридических лиц, напри-мер, депозиты в банке, акции, облигации и т.д.

Под нематериальными активами понимаются ценности,приобретаемые фирмой в результате проведения программпереобучения или повышения квалификации персонала, раз-работки торговых знаков, приобретения лицензий и т.п.

Инвестиции в ценные бумаги принято называть портфель-ными инвестициями, а инвестиции в физические активы —инвестиции в реальные активы.

Классификация инвестиций в реальные активы. Под-готовка и анализ инвестиций в реальные активы существен-но зависят от того, какого рода это инвестиции, т.е. какую изстоящих перед фирмой задач необходимо решать с их помо-щью. С этих позиций все возможные разновидности инвес-тиций можно свести в следующие основные группы:

1) инвестиции в повышении эффективности. Их цельюявляется прежде всего создание условий для снижения затратфирмы за счет замены оборудования, обучения персонала илиперемещения производственных мощностей в регионы с бо-лее выгодными условиями производства;

2) инвестиции в расширение производства. Задачей та-кого инвестирования является расширение возможностейвыпуска товаров для ранее сформировавшихся рынков в рам-ках уже существующих производств;

3) инвестиции в создание новых производств. Такиеинвестиции обеспечат создание совершенно новых предпри-ятий, которые будут выпускать ранее не изготавливавшиесяфирмой товары (или оказывать новый тип услуг) либо позво-лят фирме предпринять попытку выхода с ранее уже выпус-кавшимися товарами на новые для нее рынки;

4) инвестиции ради удовлетворения требований госу-дарственных органов управления. Эта разновидность инвес-тиций становится необходимой в случае, когда фирма должнаудовлетворить требования властей в части либо экологичес-

26

ких стандартов, либо безопасности продукции, либо иныхусловий деятельности, которые не могут быть обеспечены засчет только совершенствования менеджмента.

Причиной, заставляющей вводить эту классификациюинвестиций, является различный уровень риска, с которымони сопряжены. Зависимость между типом инвестиций можнопредставить в виде такой схемы:

3 2 1 4

рост уровня риска

Логика такой зависимости очевидна: она определяетсястепенью опасности не угадать возможную реакцию рынкана изменение результатов работы фирмы после завершенияинвестиций. С этих позиций, например, организация новогопроизводства для выпуска незнакомого рынку продукта со-пряжена с наибольшей степенью неопределенности, тогда какповышение эффективности в производстве уже принятогорынком товара несет минимальную опасность.

Роль инвестиций в увеличении ценности фирмы. Цен-ность фирмы и ее увеличение — естественная и логичная цельлюбого разумного менеджера, и цель эта куда более универ-сальна, чем увеличение прибыли, которое нередко рассмат-ривается как главная задача частной фирмы. При таком упро-щенном подходе трудно понять логику некоторых типов ком-мерческих стратегий, нацеленных не на максимизацию массыприбыли или уровня рентабельности, а на расширение свое-го сектора рынка или увеличение нематериальных активов.

Ценность фирмы слагается из двух частей: рыночной сто-имости собственного капитала фирмы и рыночной стоимос-ти обязательств фирмы. Экономический смысл термина та-ков: ценность фирмы — реальное богатство, которым облада-ют владельцы фирмы.

Две основные группы факторов, влияющих на ценностьфирмы, таковы:

- инвестиции всех типов;- прочие факторы, в т.ч. финансовый и производствен-

ный менеджмент.

27

Очевидно, что ценность фирмы реально определяется невеличиной ее капитала (за исключением капитала, находящегосяв форме наиболее ликвидных активов), а тем, какое положениеэтот капитал обеспечивает фирме на рынке ее товаров и услуг.Это положение и определяется направлениями инвестиций: еслиони повышают конкурентоспособность и обеспечивают приростдоходности ее капитала, то ценность фирмы растет.

Вывод: любые инвестиции следует рассматривать преждевсего с точки зрения того, как они влияют на эффективностьфирмы. Этот критерий наиболее общий и основополагающий,хотя его практически невозможно строго формализовать.

3.2. Понятие о денежных потоках (cash flow). Подходбухгалтера и финансиста к оценке денежных потоков.Роль амортизации в инвестиционном проектировании

Одно из новых понятий современного финансового менед-жмента — это понятие о денежных поступлениях, или денеж-ных потоках — cash flow. Несмотря на распространенную ошиб-ку переводчиков, термин cash flow никак не связан с движениемналичных денежных сумм в кассе предприятия и обозначаетчистый денежный результат коммерческой деятельности фирмы.

Современный финансовый менеджмент широко используеттакже термины «денежный приток» и «денежный отток», кото-рые дают представление о направленности денежного потока.

Денежные притоки фирмы связаны с тем, что она:1) продает свои товары за наличные, а также получает от

дебиторов платежи по товарам, проданным в кредит;2) получает доходы от инвестирования в ценные бумаги

или операции своих филиалов в стране или за рубежом;3) продает свои вновь эмитированные ценные бумаги

разных типов;4) избавляется от ненужных или лишних активов;5) привлекает кредиты.Денежные оттоки фирмы связаны с тем, что она:1) приобретает сырье и материалы для осуществления

своей деятельности;

28

2) выплачивает заработную плату и жалование своимработникам (в мировой практике термином жалование обыч-но обозначают оплату труда служащих, а термином заработ-ная плата — оплату труда рабочих);

3) поддерживает в работоспособном состоянии свой ос-новной капитал и осуществляет новые инвестиции;

4) выплачивает дивиденды и проценты по взятым кре-дитам;

5) погашает основные суммы задолженностей по обли-гациям и кредитам.

Анализ денежных притоков и оттоков чрезвычайно ва-жен для оценки деятельности фирмы. Однако при рассмотре-нии проблемы оценки приемлемости инвестиций более важ-ными являются денежные поступления, т.е. тот «сухой денеж-ный остаток», который образует приращение богатства фирмы.При этом далее речь будет идти о результате, который остает-ся у фирмы после уплаты налогов, т.е. свободном от обяза-тельств перед государством.

Однако этот результат не тождественен чистому доходуфирмы. Здесь необходимо четко разграничить подход бухгал-тера и подход финансиста или экономиста.

Подход бухгалтера предполагает рассмотрение в качествеконечного результата деятельности фирмы ту сумму денежныхсредств, которой фирма может свободно распоряжаться посвоему усмотрению. Такой точке зрения в наибольшей степе-ни отвечает чистый доход после уплаты налогов.

Подход финансиста и экономиста предполагает рассмот-рение в качестве конечного результата, во-первых, суммусредств, которой фирма может свободно распоряжаться посвоему усмотрению, во-вторых, денежные средства, исполь-зование которых жестко лимитировано действующими нор-мативными документами, но которые в конечном счете вли-ваются в общую ценность фирмы, повышая ее. Реально речьможет идти о двух видах таких средств:

— амортизации;— начисленных, но еще не внесенных налоговых платежах.Амортизация по своей экономической природе является це-

левым отчислением, призванным обеспечить накопление средств

29

для компенсации физического и морального износа основно-го капитала, используемого фирмой для всех типов ее опера-ций. Масштабы такого начисления зависят от трех факторов:

— балансовой стоимости оборудования, входящего в со-став основного капитала;

— предполагаемого срока службы оборудования до мо-мента его списания;

— избранного фирмой метода начисления амортизации.Однако амортизация, являясь источником формирования

денежного фонда специального (целевого) назначения, приэтом не перестает быть собственностью фирмы, хотя и вычи-тается из прибыли подобно издержкам производства или на-логовым платежам. Здесь присутствует лишь ограничениесвободы собственников средств в их расходовании, хотя самиэти целевые средства продолжают работать на благо фирмы.Ведь в итоге, когда фирме потребуется осуществить вложениесредств капитала для замены изношенного основного капи-тала, амортизационный фонд станет для нее эквивалентенчистой прибыли после налогообложения. С этой точки зре-ния формирование амортизационного фонда выступает какнакопление инвестиционного резерва фирмы.

Поэтому вполне логично включать начисленную амор-тизацию в денежный поток.

Если воспользоваться терминологией американского стан-дарта бухгалтерского учета GAAP (Generally Accepted AccountingPrinciples — Общепринятые принципы бухгалтерского учета),к которому постепенно приближается схема бухучета в Рос-сии, то уравнение для определения величины денежных по-ступлений можно записать следующим образом:

ДП = Р — (З — А) – Пр — Нупл,

где ДП — денежные поступления; Р — выручка от реализации;З — совокупные затраты; А — амортизация; Пр — выплатыпроцентов; Нупл — уплаченные налоги.

Обратите внимание, что речь идет именно об уплачен-ных налогах. Эта оговорка связана с существованием такой

30

финансово-бухгалтерской категории, как начисленные, но ещене уплаченные налоги. В отечественной практике к этому наи-более близко подходит инвестиционный налоговый кредит.Он представляет собой сумму налогов, подлежащих уплатетолько после окончания льготного периода завершения инве-стиционной деятельности, под которую он предоставлен. Т.е.такие отсроченные налоговые платежи выступают как допол-нительный источник инвестиционных ресурсов фирмы.

Категория «денежные поступления» является основнойв теории инвестиционного анализа. С позиций экономичес-кой теории доказуемо, что ценность фирмы в любой моментвремени равна совместной стоимости всех ее будущих денеж-ных поступлений.

Отсюда, например, следует, что стоимость акции для ак-ционера равна дисконтированной современной стоимостивсех будущих денежных дивидендов плюс возможная курсо-вая стоимость акции в момент продажи. А следовательно,инвесторы и владельцы фирмы получат адекватное представ-ление о том, приведет ли реализация проекта к увеличениюценности фирмы, только в том случае, если все расчеты при-емлемости инвестиций проводятся на основе информации оденежных поступлениях.

3.3. Основные составляющие бизнес-плана.Особенности бизнес-планирования в условиях инфляции.

Особенности бизнес-планирования в условияхРеспублики Беларусь

Бизнес-план представляет собой специальный инстру-мент управления, широко используемый практически во всехобластях современной рыночной экономики независимо отмасштабов и сферы деятельности предприятия, формы соб-ственности.

Задача бизнес-плана – дать целостную, системную оцен-ку перспектив инвестиционного проекта. С этой точки зре-ния он выступает как форма представления результатов пред-варительного технико-экономического обоснования среднихи крупных проектов. Применительно к мелким промышлен-

31

ным или иным проектам он может являться документом, пред-ставляющим результаты полного исследования инвестицион-ного проекта.

Персоналом управления предприятием бизнес — планиспользуется для:

· определения круга проблем, с которыми столкнется пред-приятие при достижении намеченных целей;

· оценки финансового положения и конкурентоспособностипредприятия на действующем и новом рынке товаров и услуг;

· выработки стратегии деятельности предприятия в услови-ях конкурентной борьбы с другими предприятиями, выпускаю-щими такие же товары и предоставляющими сходные услуги;

· формулировки и обеспечения путей решения этих проблем.Потенциальным инвестором и партнером используется

для оценки финансовой и экономической эффективности на-мечаемых предприятием мероприятий, реальности полученияжелаемой прибыли и возврата кредиторам вложенных в этотпроект средств. Бизнес-план должен быть достаточно полным,чтобы, ознакомившись с ним потенциальный инвестор могполучить полное представление о предлагаемом проекте.

Цели бизнес-планаОпределение целей является достаточно сложной зада-

чей, которую необходимо решить перед составлением бизнес-плана. Цели можно рассматривать как желаемые состояния,которые хотелось бы достичь персоналу управления предпри-ятия. В действующей практике около 95% руководителей немогут правильно сформулировать цели предприятия в рыноч-ных условиях.

Процедура установления целей включает в себя установ-ление общих целей предприятия, указание его специфичес-ких конкретных целей, которые определяют промежуточныеэтапы в достижении общих целей, определение приоритет-ности целей и их распределение во времени.

Возможными целями разработки бизнес-плана предпри-ятия могут быть:

· увеличение капитала предприятия;· увеличение нормы прибыли;· насыщение рынка услуг;

32

· освоение новых видов товаров и услуг;· выход на новые товарные рынки и рынки услуг;· освоение других видов деятельности (диверсификация

производства);· другие цели.Для того, чтобы он мог служить инструментом для дос-

тижения этих целей, в бизнес-плане необходимо четко сфор-мулировать ответы на следующие вопросы:

· Что представляет (или будет представлять) собой пред-приятие (фирма)?

· Какие новые товары и услуги предлагаются потребите-лям и есть ли платежеспособный спрос на них?

· Какие рынки (местные, межрегиональные, нацио-нальные зарубежные) планируется обслуживать?

· Каким образом планируется превзойти конкурентов ирасширить сферу деятельности предприятия?

· Почему кредит или инвестиции сделают предприятиеболее доходным и конкурентоспособным?

Структура бизнес-планаСтруктура бизнес-плана органически вытекает из его на-

значения как документа, в котором по определенной схемесистематизированы результаты прединвестиционных иссле-дований. В нем описывается организационная форма пред-приятия, продукция и услуги, которые планируется предоста-вить, и предполагаемое или фактическое местоположениепредприятия, план управления и контроля, требуемое коли-чество персонала и возможный риск.

Почти невозможно создать рынок для товаров и услуг безучета различных направлений маркетинга. Раздел маркетин-га в бизнес-плане рассматривает целевые рынки, конкурен-цию, вопросы сбыта, рекламы, ценообразования.

Бизнес-план включает в себя описание отрасли и тенден-ций ее развития, а также данные о потенциале предприятия.

Деньги являются одной из важнейших составных частей,условий реализуемости проекта. Бизнес-план должен вклю-чать оперативный прогноз, план приобретения необходимо-го капитала и описание того, как эти средства будут расходо-ваться. Он должен включать примерный балансовый отчетдля обеспечения соответствующего денежного потока.

33

Бизнес-план также должен включать краткую характери-стику руководителей предприятия. Некоторые планы содер-жат диаграммы, фотографии или видеозаписи для объясне-ния того, что трудно описать другим способом.

Схемы систематизации разделов, используемые в российс-кой и зарубежной практике, по сути своей одинаковы и различа-ются только по форме представления и расположению частей.

Часто систематизация разделов проводится недостаточнотщательно, однако такой подход недопустим. Прежде всего —это прекрасный эскиз того, что будет включено в бизнес-план.И для читающего это очень важно, так как наиболее значитель-ные части могут быть сразу же выделены. Поэтому сделайтеего так, чтобы каждый легко нашел то, что ему нужно.

В бизнес-плане предусматриваются следующие разделы:РезюмеМеморандум о конфиденциальностиКраткое содержание:описание отрасли, предприятия, продукта.Исследование и анализ рынка.Российский рынок (наименование рынка).

Динамика цен.Рыночная ниша.Анализ конкуренции.Рынки стран ближнего зарубежья.Возможный выход на мировой рынок.Освоение западноевропейского рынка.Восточноевропейский рынок.Анализ инвестиционного рынка в отрасли.

План маркетингаПланирование производства.Планирование сбыта.Продукт А.Внутренний рынок.Рынки стран ближнего зарубежья.Мировой рынок.Продукт Б.Внутренний рынок.Рынки стран ближнего зарубежья.

34

Мировой рынок.Стратегия маркетинга.Стратегия сбыта.Ценовая стратегия.

Стратегия производства.Этапы создания нового производства.Вариант 1.Вариант 2.Предложения по стратегии развития производства.Организационный план.Организационно-правовая форма.Философия управления.Руководство предприятием.

Критические риски и проблемы.Финансовый план.Команда разработчиковВажнейшей подготовительной стадией при подготовке

бизнес-плана является подбор специалистов для его разра-ботки. При формировании коллектива разработчиков следуетруководствоваться двумя правилами:

1. В разработке бизнес-плана необходимо личное участиеруководителя и рабочей группы предприятия, реализующегопроект, а также сторонних экспертов и консультантов для оцен-ки проекта и выбора оптимальных путей его осуществления.

2. Для проведения маркетинговых исследований, финан-сового планирования, проработки организационно-правовыхвопросов целесообразно приглашать сторонних экспертов иконсультантов.

Информационное обеспечениеДля разработки бизнес-плана необходимо собрать и про-

анализировать информацию об объеме производства, потен-циального спроса, производственных и финансовых потреб-ностях предприятия, позволяющую рассмотреть несколькоальтернативных вариантов реализации инвестиционного про-екта, что увеличивает надежность успешного достижения ос-новной цели проекта и его привлекательность для возмож-ных инвесторов. Эту информацию можно найти в изданияхГоскомстата, отраслевых изданиях или приобрести в конъюн-ктурных институтах и фирмах.

35

Для выполнения расчетов финансового плана в настоя-щее время разработаны стандартные программы решения этихзадач на персональных компьютерах. Примерами таких про-грамм могут служить: бухгалтерско-финансовый комплекс«ФОЛИО», который позволяет проводить такие расчеты безспециальной подготовки; программы «COMFAR», «Propspin»,разработанные ЮНИДО; программа «Инвестпроект», разра-ботанная Российской финансовой корпорацией; интегриро-ванный пакет Project-Expert. Эти программы позволяют вы-полнить полный расчет экономической и финансовой эффек-тивности реализации инвестиционного проекта.

С точки зрения приложений методов финансовой мате-матики, наибольший интерес для нас представляет финансо-вый план. Поэтому рассмотрим более подробно вопросы пла-нирования финансовых ресурсов в бизнес-плане.

Структура плана и общая схема планированияЦель финансового плана – представить систему про-

гнозных данных об ожидаемых потребностях в финансовыхресурсах и оценках финансовых результатов деятельности,которые являются одним из важнейших критериев оценкипривлекательности проекта для инвесторов и кредиторов. Изэтого раздела инвестор узнает, на какую прибыль он можетрассчитывать, а кредитор – о способности потенциальногозаемщика к возврату долга.

Финансовый план является ключевым разделом бизнесплана. Этот раздел содержит основные экономические пока-затели предприятия на перспективу и составляется по резуль-татам всех предыдущих разделов бизнес-плана. Структурафинансового плана показана на рис.3.1.

В финансовом плане представляются прогнозные проек-тировки следующих документов: план прибылей и убытков,план движения денежной наличности, план — баланс, а так-же излагается стратегия финансирования, приводятся пока-затели эффективности проекта. Как правило, эта обязатель-ная информация дополняется анализом безубыточности, а длядействующих предприятий – финансовыми показателями запрошлые годы деятельности.

36

Информация, необходимая для составления финансовыхпрогнозов, в большей части на этой стадии уже получена впредыдущих разделах, когда составлялись планы-прогнозыпродаж, текущей деятельности в сфере маркетинга, сбыта,производства, инвестиционных операций.

В данном разделе все прогнозы объединяются в финан-совый. Схема информационных потоков при формированиифинансового плана представлена на рис.3.2.

Поскольку многообразие информации может привести кее недостоверности, разрабатываются, как правило, три ва-рианта финансовых прогнозов: оптимистический, пессимис-тический и наиболее вероятный (различия между ними пока-жет степень риска для данного проекта).

Рис. 3.1. Структура финансового планаОсновным фактором неопределенности и, следователь-

но, вариантности является достоверность прогнозной оцен-ки сбыта (если проект не имеет целевых заказчиков).

37

Разработка финансового плана отличается необходимос-тью проведения большого объема трудоемких стандартныхрасчетов, поэтому в первую очередь является привлекатель-ным объектом для моделирования и использования вычис-лительной техники.

Применение компьютеров позволяет резко сократить тру-доемкость этих расчетов, и в настоящее время известные про-граммные пакеты «ФОЛИО», «COMFAR», «Propspin», «Инве-стпроект», Project-Expert и др. ориентированы на автоматиза-цию именно финансовых расчетов на базе использованияимитационных моделей.

Исходной информацией для формирования финансовогоплана являются текущие и инвестиционные издержки, эко-номические условия реализации проекта: дифференцирован-ная инфляционная характеристика среды и инфляционныхтенденций; описание налогового окружения (перечень видовналогов и их ставки, сроки выплаты, тенденции изменения);оценка условий платежей (сроки погашения кредиторской идебиторской задолженностей).

Оценка и прогнозирование текущих издержекОсновные задачи:Оценка и прогнозирование издержек на единицу продук-

ции (удельных издержек) – необходимы для обоснования ценына продукцию.

Оценка и прогнозирование общих издержек на весь объемпроизводства по периодам планирования – необходимы дляпланирования денежных потоков и прибыли (убытка).

Неточность оценки издержек — один из существенных не-достатков бизнес-планирования, поэтому при расчете важнопредусмотреть всевозможные текущие издержки на производ-ство и реализацию продукции. Понятия «оценка» и «прогнози-рование» различаются временными параметрами расчетов.

38

Рис. 3.2. Схема информационных потоков при формированиифинансового плана.

Оценка текущих издержек предполагает их определениев статике (обычно в условиях уже освоенного производства),а прогнозирование связано с оценкой тенденций издержек вовремени. Различия в понятиях «себестоимость» и «текущиеиздержки» заключаются в том, что понятие себестоимость –учетно-нормативное. Состав затрат, включаемых в себестои-мость, регулируется законодательством. Себестоимость мень-ше или равна текущим издержкам и отличается от них тем,

39

что в себестоимость приобретаемых материалов (услуг) состороны не включаются НДС, уплачиваемый при покупке. Всебестоимость не включаются выплаты по займам за рубле-вые кредиты в размерах, превышающих ставку рефинансиро-вания Центробанка плюс три пункта маржи коммерческимбанкам, а также другие расходы в соответствии с законода-тельными. Оценка текущих издержек на единицу продукцииосуществляется путем составления калькуляций. При форми-ровании бизнес-плана используют, как правило, сокращеннуюноменклатуру калькуляционных статей текущих затрат, выде-ляя наиболее важные для данного проекта затраты. Составстатей зависит от специфики бизнеса (отрасли), а также отрешения вопроса организации бухгалтерского учета на пред-приятии, в частности, от особенностей ведения учета затрат,и может быть структурно представлен как на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Структура текущих издержек

40

Необходимым условием калькулирования является разде-ление текущих издержек на переменные, величина которыхпропорционально связана с количеством произведенной про-дукции, и постоянные, которые причисляются не к продуктуили услуге, а учитываются по месту возникновения (цех, завод,производство, сбыт, управление) и не связаны напрямую с объе-мом производства продукта. Необходимо также выделение такназываемых калькуляционных статей, т.е. тех позиций, кото-рые нужно при калькулировании определять отдельно.

К таким статьям относятся амортизационные отчисленияи издержки финансирования. Амортизационные отчислениявыделяются в отдельную статью и рассматриваются как каль-куляционные, поскольку, являясь внутренним источником фи-нансирования, никому не выплачиваются, остаются в распо-ряжении предприятия, увеличивая сумму денежных средств наего счете, т.е. рассматриваются как притоки денежных средств.Амортизации (износу) подвергаются материальные и немате-риальные объекты инвестирования, приобретение (создание)и использование которых предусмотрено в соответствующихразделах бизнес-плана (производственном, инвестиционном).Износ начисляется по единым нормам амортизации, установ-ленным в процентах к первоначальной стоимости основныхсредств. В отношении активной части основных производствен-ных фондов предприятие может принять решение о примене-нии механизма ускоренной амортизации в пределах установ-ленного правительством перечня высокотехнологических от-раслей и эффективных видов машин и оборудования, а такжедля предприятий малого бизнеса и оформленное как элементучетной политики. Сумма амортизационных отчислений поэтим основным средствам начисляется с применением коэф-фициента ускорения (обычно не превышающего 2).

Издержки финансирования – проценты за кредит — какправило, рассматривают как часть общехозяйственных наклад-ных расходов, особенно если они связаны с существующимпредприятием и для которого уже известна схема финансиро-вания, однако для целей бизнес-планирования издержки фи-нансирования выделяют для проведения финансового анализаи оценки инвестиций.

41

В соответствии с международными стандартами в слу-чае амортизируемых инвестиций, необходимых для маркетин-говой деятельности и сбыта (например, грузовиков при по-ставке), амортизационные расходы должны включаться в рас-чет издержек маркетинга и сбыта.

Ориентировочная дифференциация статей текущих зат-рат представлена в таблице 3.1.

Таблица 3.1Дифференциация текущих издержек

Направлениезатрат

Дифференциация затрат Источник инфор-мации

Производство 1. Основные материалы, полуфабрикаты и комплектующиеизделия (КИ)

2. Зарплата производственных рабочих с обязательнымиотчислениями

3. Расходы по содержанию и эксплуатации оборудования:• вспомогательные материалы на технологические цели;• амортизация и эксплуатация оборудования и транс-портных средств;

• текущий ремонт оборудования и транспортныхсредств;

• внутризаводское перемещение грузов, др.4. Общепроизводственные расходы:

• содержание аппарата управления цеха;• амортизация зданий;• текущий ремонт зданий, др.

Производственныйплан

Управление 5. Общехозяйственные расходы:• зарплата аппарата управления предприятия;• командировки, консультации;• представительские расходы;• амортизация и содержание офиса;• налоги, сборы и др. обязательные отчисления в со-ставе себестоимости.

Производственныйи организационныйпланы

Маркетинг 6. Коммерческо-сбытовые расходы:• расходы на тару и упаковку;• расходы на транспортировку;• зарплата работников сбыта;• комиссионные сборы и отчисления сбытовым орга-низациям;

• гарантийный ремонт и обслуживание;• расходы на рекламу, подготовка продавцов.

План маркетинга

Финансы 7. Проценты за кредит. Финансовый план

42

Методы оценки текущих издержек можно разделитьна укрупненные и детализированные.

Укрупненные методы оценки применяются при отсут-ствии информации о затратах на изделия-аналоги и на пред-варительных этапах разработки бизнес-плана, когда важнапервая прикидка финансовых результатов проекта. Одни ме-тоды дополняют другие, поэтому на практике они обычноиспользуются совместно.

Метод прямого поэлементного (постатейного) счета —инженерный, детальный метод расчета себестоимости едини-цы изделия. Он основан на детальном расчете потребности вресурсах для производства и реализации продукции: технологи-ческом нормировании трудозатрат, материальных затрат на еди-ницу изделия в соответствии со спецификацией и расчете по-требности в каждом из физических факторов производства (ма-териалы, труд, оборудование) и стоимостной оценке этихфакторов. Здесь материальные, трудовые и другие потребностифакторов производства на единицу изделия, потребляемые водном хозяйственном цикле, переводятся в стоимостную форму.

Метод прямого счета отличается дороговизной. Он (егоупрощенные варианты) применяется лишь тогда, когда извес-тно, что понесенные затраты, связанные с его использовани-ем, будут меньше чистой прибыли от реализации проекта иесли нет информации об издержках на изделия-аналоги, а так-же на окончательных этапах разработки бизнес-плана.

На предварительной стадии разработки бизнес-планачасто рассматривают лишь суммарные издержки на весь объемпроизводства, которые затем могут быть разбиты на основ-ные статьи в соответствии со структурой затрат на аналогич-ных производствах. Суммарные затраты могут быть получе-ны методом планирования затрат от оборота.

Метод планирования затрат от оборота — укрупнен-ный. Этот метод используется, когда составлен прогноз объемапродаж. Оценка затрат осуществляется, исходя из достижимогопроцента прибыли от продаж, который должен быть реальным,оцененным заранее. В этом случае полученные общие издержкина весь объем реализованной продукции делят на количествоединиц продукции (для однономенклатурного производства)и таким образом определяют удельные издержки.

43

Если проектом предусмотрено производство несколькихизделий с очень сходной технологией (сортовое производ-ство), то издержки на отдельные изделия можно определитьс помощью коэффициентов эквивалентности.

Пример.Объем производства за месяц составляет: Коэффициенты эквивалентностиПовидло (изделие А) 20000 кг Изделие А-1,0Сливовый мусс (изделие Б) 10000 кг Б-1,4Сироп (изделие В) 15000 кг В-0,8Общие издержки 92000 у.е.

Коэффициент эквивалентности 1,4 означает, что одна количественнаяединица изделия Б требует на 40% больше затрат, чем одна количественнаяединица изделия А.

Калькуляция себестоимости:

Себестоимость изделия А: AC = AC = )8,0150004,110000120000(92000

⋅+⋅+⋅ = 2 у.е. за 1 кг

Себестоимость изделия Б: БC = 2,8 у.е. за 1 кг

Себестоимость изделия В: ВС = 1,6 у.е. за 1 кг

Оценка и прогнозирование текущих издержек обычноосуществляются при условии выхода предприятия на проект-ную мощность, т.е. после окончания периода освоения.

При прогнозировании текущих издержек основываются наследующих допущениях:

· во-первых, линейный характер изменения затрат;· во-вторых, колебания в общем уровне затрат вызваны

изменением прямых затрат.Переменные издержки определяются при выходе на про-

ектный уровень производства при нормальных условиях функ-ционирования предприятия (нормальные перерывы в работе,простои, целесообразный режим работы) и рассчитываются наединицу изделия и по периодам планирования в зависимостиот изменения уровня производства продукции по отношениюк выпуску при 100% освоении проектной мощности. Постоян-ные издержки рассчитываются для базового (как правило, пер-вого) планового периода либо по отдельным периодам пла-нирования, если предусмотрено их изменение.

44

Принятые для упрощения прогнозирования допущения олинейном характере изменения текущих издержек (бухгалтер-ская модель) не всегда соответствуют действительности (эко-номическая модель), рис. 3.4.

Рис. 3.4. Динамика текущих издержек

Как показывает рисунок, релевантная область позволяетиспользовать линейную функцию в пределах ограниченногообъема производства (отрезок 1-2), вне этой области затратыувеличиваются быстрее (отрезок 0-1) или медленнее (отрезок2–3) линейного коэффициента.

Нелинейность поведения текущих издержек обусловленаразличными обстоятельствами:

Отрезок 0-1 – период освоения, издержки растут болеебыстрыми темпами, чем увеличение выпуска. Технология,организация производства еще недостаточно отлажены, низ-ка производительность труда, высок уровень брака. Устране-ние этих факторов завышения себестоимости требует некото-рого времени и для этого нужны финансовые резервы для ком-пенсации низкой прибыли или убытков.

Отрезок 1-2 – линеаризация кривой издержек и некото-рое ее снижение, связанное с завершением периода освоения:сокращение брака вследствие повышения квалификации ра-

45

ботников, повышение производительности труда, сокращениезатрат на оплату труда на каждую единицу продукции, прояв-ление «эффекта масштаба» – рост объема выпуска ведет к со-кращению условно-постоянных затрат на единицу продукции.На этом отрезке темп прироста издержек ниже, чем темп рос-та объемов производства.

Отрезок 2-3 – предприятие эксплуатируют выше его про-ектной мощности, следствием является новый подъем затрати при резком увеличении объема производства происходитскачкообразный рост затрат, обусловленный скачком условно-постоянных расходов вследствие необходимости дополни-тельных инвестиций.

Таким образом, прогнозирование издержек связано соценкой влияния факторов периода освоения на производ-ственные затраты, которое характеризуется кривой освоения,и «эффектом масштаба».

Снижение издержек вследствие влияния факторов, дей-ствующих в период освоения производства и выхода на зап-ланированный объем выпуска продукции существенно длякрупных проектов с большой долей рынка (массовое, серий-ное производство). Для этих типов производств характерныповторяющиеся задания с интенсивными затратами труда.Небольшие предприятия не могут претендовать на существен-ное снижение текущих издержек за счет освоения и проявле-ния «эффекта масштаба», поэтому при прогнозировании теку-щих издержек на малых предприятиях основываются на бух-галтерской (линейной) модели поведения текущих затрат.

Для крупных проектов после определения издержекпроизводства при выходе на запланированный уровень вы-пуска продукции (окончание периода освоения) обычно при-нимают те же допущения: переменные издержки корректиру-ют пропорционально проценту использования мощностей,предполагая, что постоянные остаются практически неизмен-ными, и не составляют прогноз для каждой статьи отдельно.

Если есть информация об издержках на изделия – анало-ги за прошлые периоды, для оценки и прогнозирования себе-стоимости могут быть использованы методы, основанные наанализе ретроспективной информации.

46

Методы оценки затрат, основанные на анализе издер-жек прошлых лет:

· визуальный метод (метод визуального контроля);· метод максимума-минимума;· метод линейного регрессионного анализа и другие ме-

тоды статистического моделирования.Эти методы позволяют строить функциональные зави-

симости типа:y = ax + b,

где у – полные текущие издержки; а – переменные издержкина единицу продукции; b – значение постоянных затрат; х –независимая переменная, выражает объем производства. Воз-можно построение и более сложных функций затрат и исполь-зование их в прогнозировании динамики себестоимости.

Метод визуального контроля (визуальный метод) требуетнанесения всех наблюдений на график рассеяния и последу-ющего проведения визуально аппроксимирующей эти данныелинии. Недостаток этого метода заключается в высокой сте-пени субъективизма и недостаточной точности.

Метод максимума-минимума является самым дешевым ипростым из трех рассматриваемых методов. Он основан напостроении функции издержек путем изучения всего лишь двухизмерений, представляющих собой самые высокие и самыенизкие издержки или, альтернативно, самый высокий и са-мый низкий уровни объема продаж (прибыли) прошлых пе-риодов в интервале наблюдений. Метод максимума-миниму-ма, так же как и предыдущий, не позволяет определить точ-ность и достоверность полученных оценок.

Выбор периода для изучения прошлых издержек связан сдостижением компромисса между необходимостью получениявысокого уровня статистической достоверности результатови затратами для реализации этого требования.

Для крупных инновационных проектов, например, в аэро-космической отрасли, текущие издержки могут быть оцененыс использованием методик, основанных на методе статис-тического моделирования затрат от параметров изделия:

С1 = а М Кн,

47

где С1 – затраты на изготовление первого промышленногосерийного изделия (партии, серии изделий); а —коэффициент, определяемый эмпирически; М – масса изделия;Кн – коэффициент новизны.

Затраты на изготовления n-го серийного образца изделия(Сп) определяются с учетом кривой освоения:

Сп = С1 ⋅Косв,где Косв – коэффициент освоения.

Пример. Проектом предусматривается заключение дого-вора на производство 8 самолетов. На основании прошлогоопыта работы предприятия известно, что при увеличенииобъема производства вдвое затраты на производство едини-цы изделия сокращаются в среднем на 70%. Стоимость нор-мо-часа равна «с». На производство первого самолета необ-ходимо 50,00 нормо-часов. Определить затраты на производ-ство 8 самолетов.

Таблица 3.2

При прогнозировании издержек следует уделить внима-ние проблеме инфляции: ее динамику следует прогнозироватьпо отдельным статьям. Ввиду многочисленности статей на-кладных расходов невозможно оценить их инфляционныйрост отдельно. Поэтому следует давать обоснованную оценкуобщего темпа инфляции накладных расходов.

Оценка инвестиционных издержекИнвестиционные издержки – это имущественные вложе-

ния предприятия для осуществления хозяйственной деятель-ности. Инвестиционные издержки обычно распределяются по

Суммарноеколичествоединиц

Среднее время наединицу, нормо-час

Общее время,нормо-час

Общиеиздержки,у.е.

1

2

4

8

50,00

35,00 (50⋅0,7)

24,50 (35⋅0,7)

17,15 (24,5⋅0,7)

50

70

98

137,2

50 * с

70 * с

98 * с

137,2 * с

48

таким статьям,как строительство, оборудование, монтаж, по-купка технологии и др.,в зависимости от конкретных условийпроекта. Хотя распределение инвестиционных расходовзначительно меняется в зависимости от типа проекта, для от-дельных отраслей могут быть разработаны типовые структурыиздержек с процентным распределением затрат по отдельнымнаправлениям инвестиционных вложений, что существеннооблегчает процесс формирования бизнес-планов крупных ин-вестиционных проектов. Важнейшей процедурой с позицийпрогнозирования финансовых результатов проекта является от-несение каждого инвестиционного этапа проекта к определен-ному типу актива и определение способа списания инвестици-онных затрат в эксплуатационном периоде. Данная задача пред-ставляет определенную проблему для сложных проектов, когдадовольно трудоемко сделать подобный расчет «вручную».

Первоначальные инвестиционные издержки определяют-ся как сумма инвестиций в основной капитал, чистый обо-ротный капитал, организационные и другие предпроизвод-ственные расходы.

Основной капитал представляет собой ресурсы, требуе-мые для сооружения и оснащения предприятия, а чистый обо-ротный капитал необходим для его эксплуатации. Чистыйоборотный капитал равен текущим активам за вычетом крат-косрочных обязательств. Если размер чистого оборотного ка-питала, включенного в инвестиционные издержки, занижен,то для проекта могут возникнуть серьезные проблемы с лик-видностью. Поскольку чистый оборотный капитал рассчиты-вается за вычетом краткосрочных пассивов, он должен финан-сироваться за счет собственных средств или долгосрочных обя-зательств (однако краткосрочные, например, сезонные пики,возникающие в течение хозяйственного года, могут финанси-роваться за счет кратко- или среднесрочного кредита). Плани-рование чистого оборотного капитала включает определениепотребности в первоначальном оборотном капитале, а такжеоценку ее изменения в процессе эксплуатации предприятия.

Под организационными и другими предпроизводствен-ными расходами понимаются издержки, связанные с подго-товительными мероприятиями, необходимыми для начала про-

49

изводства. К ним относятся, например, расходы на консульта-ции, на центральную администрацию, издержки на препроизвод-ственный маркетинг, на обучение, различные налоги, пошлины,расходы на регистрацию предприятия, эмиссию ценных бумаг,разработку бизнес-плана и т.п. Особенность таких инвестицийсостоит в том, что трудно определить срок их возврата.

При распределении предпроизводственных расходовобычно придерживаются одного из двух правил:

1) все предпроизводственные расходы могут быть капита-лизированы и амортизированы в течение определенного ко-личества лет в соответствии с действующим законодательством;

2) часть предпроизводственных расходов может быть перво-начально отнесена, если это возможно, к соответствующей статьеосновного капитала, и амортизируется сумма тех и других.

Методы оценки инвестиционных издержек в основнойкапитал

1. Экспоненциальная оценка издержек – применяется,если имеются данные прошлого периода об аналогичных ти-пах предприятий или оборудования. Она основана на следу-ющей функции:

(С1/C2)n = Р1/Р2,

где С1/С2 – относительные издержки; Р1/Р2 – относительныйразмер двух предприятий (или их оборудования); n –экспоненциальный коэффициент, обычно меняется в пределахот 0,6 до 0,7.

2. Факторная оценка – применяется, если имеются под-ходящие и (или) скорректированные данные прошлых перио-дов. Метод состоит в определении затрат на основное обору-дование предприятия (производственный план) и последую-щем использовании коэффициентов (по вспомогательномуоборудованию и др. видам основных средств).

3. Оценка, основанная на полном расчете для каждогокомпонента инвестиционных затрат (бюджетная). Бюджетнаяоценка базируется на карте технологического процесса, под-робном перечне оборудования и затрат на главные его эле-менты (которые могут быть определены через предваритель-

50

ные тендеры). Обычно для крупных проектов на этапе формиро-вания бизнес-плана она не требуется, а выполняется для этих про-ектов на этапе осуществления проекта после его утверждения.

4. Оценка, основанная на методе статистического модели-рования, – применяется для крупных инвестиционных проектов.

При оценке инвестиционных издержек необходимо учиты-вать ежегодные темпы инфляции, возможные ошибки из-за от-сутствия надежных данных, непредвиденные форс-мажорныеобстоятельства. Поэтому здесь предпочитают иметь квотирован-ный диапазон затрат. По оценкам зарубежных специалистов,степень точности оценок составляет обычно плюс –минус 10%.

Методы оценки инвестиционных издержек в оборот-ный капитал

1. Аналоговый. Основан на сопоставлении с балансамианалогичных предприятий. Самый простой, пригоден для при-менения совместно с другими методами в целях их контроля.

2. Оценка, основанная на полном расчете для каждогокомпонента оборотного капитала. Осуществляется путем ана-лиза отдельных факторов, влияющих на потребность в обо-ротном капитале, т.е. анализа тех расходов, которые возника-ют ежедневно при полной загрузке (детальный расчет):

Оборотные средства = Ежедневные расходы × Срок, накоторый замораживаются средства.

Число дней покрытия (срок, на который замораживаютсясредства) зависит в каждом конкретном случае от числа днейзадержки оплаты за отгруженную продукцию, нормативнойвеличины производственных запасов, длительности произ-водственного цикла изготовления продукции, длительностинахождения готовой продукции на складе до момента ее от-грузки, числа дней задержки поставляемых видов товарно-материальных ценностей после их оплаты.

3. Анализ себестоимости в расчете на 100 долл. с оборо-та и учет условий платежа:

Потребность в оборотных средствах = (Дневной оборот/100) ×Затраты капитала в расчете на 100 долл. с оборота.

Формирование документов финансового планаВ финансовой части бизнес-плана разрабатываются сле-

дующие документы:

51

· план прибылей (убытков);· прогноз движения денежных средств (денежных потоков);· прогнозный баланс активов и пассивов;

а также формируется стратегия финансирования и рассчиты-ваются показатели эффективности проекта.

Цель составления плана прибылей (убытков) — пред-ставить в обобщенной форме результаты деятельности, пла-нируемые предприятием с позиций получаемого в определен-ные периоды времени размера прибыли (убытка) и прибыль-ности проекта. Акцентирование внимания на отдельныхсоставляющих прогноза зависит от того, кому адресован биз-нес-план. Так, кредиторов в первую очередь интересует жиз-неспособность планируемого предприятия, результаты дея-тельности которого смогли бы удовлетворить жесткую схемуплатежей по выплате займа и процентов по нему. Венчурныекапиталодержатели, получая свою долю в прибыли предпри-ятия, заинтересованы в ее потенциальном росте.

Обычно данные о соотношениях объемов продаж и при-были сравниваются с аналогичными показателями по отрас-ли и в случае их существенных расхождений в бизнес-планедаются необходимые разъяснения. План прибылей и убытковотражает производственную (операционную) деятельностьпредприятия. Объемы продаж для нового предприятия, какправило, нарастают постепенно, а себестоимость реализован-ной продукции может скачкообразно изменяться и в некото-рые месяцы быть непропорционально высокой, например,стартовая рекламная компания может повлечь значительныйскачок себестоимости.

Поскольку наличие прибыли еще не означает наличиеденежных средств у предприятия, так как в бизнесе существу-ет временной лаг между доходами и поступлениями, расхода-ми и выплатами (разные счета оплачиваются в разные сроки,вырученные деньги поступают не мгновенно, а с некоторымзапозданием, кроме того, в бухгалтерском учете некоторые хо-зяйственные операции отражаются не в момент поступленияили перечисления (выплаты) денежных средств, а в моментих совершения, что зависит от учетной политики предприя-тия), поэтому, несмотря на прибыльность проекта, в некото-рые периоды времени может возникнуть нехватка денежных

52

средств и необходимость в краткосрочных займах. Необходи-мость в денежных средствах выявляется на основе анализапрогноза денежных потоков.

Денежный поток – разница между реальными (прогнозиру-емыми) денежными поступлениями и выплатами – деньги в кас-се (денежная наличность) или на расчетном счете предприятия.

Цель прогноза денежных потоков (cash flow) – проверитьсинхронность поступлений и расходования средств и тем самымподтвердить постоянное наличие на банковском счета (в кассе)денежных сумм, достаточных для расчета по обязательствам.

Последовательность осуществления прогноза денежныхпотоков:

· определение потребности предприятия в капитале, не-обходимого для регулярного выполнения своих финансовыхобязательств (выплат);

· выработка стратегии финансирования проекта;· оценка эффективности использования капитала на базе

дисконтированных критериевПлан движения денежных потоков отражает формирова-

ние и отток денежной наличности, ее динамику от периода кпериоду. Прогноз движения денежных средств учитывает:

· деньги, приходящие в течение периода (поступления,приход);

· деньги, которые будут потрачены в течение периода (вып-латы, платежи, расход);

· различия между ними (избыток или дефицит) денеж-ных средств;

· сумму денег в начале периода (начальное сальдо бан-ковского счета);

· сумму денег в конце периода (конечное сальдо банковскогосчета) – показывает состояние ликвидности за каждый период.

Прогноз денежного потока показывает, в каком периодемогут быть поступления, в каком – нет, т.е. он отражает, как быс-тро или медленно – ваш бизнес приносит наличные деньги. Раз-личия прогноза прибыли и денежных потоков заключаются втом, что прогноз прибыли – это финансовый результат от основ-ной деятельности предприятия, под которой понимается деятель-ность предприятия, приносящая ему основные доходы.

53

Прогноз денежных потоков охватывает наряду с основ-ной также инвестиционную и финансовую деятельность.

Амортизация, являясь расходом (прогноз прибыли) од-новременно рассматривается как источник поступлений (про-гноз денежного потока). Прогноз прибыли в отличие от про-гноза денежных потоков не содержит НДС.

Инвестиционная деятельность заключается в приобрете-нии и продаже активов. Результатом финансовой деятельнос-ти являются изменения в размере и составе источниковсредств предприятия: собственного капитала и заемныхсредств (поступления здесь: вклады владельцев предприятия,акционерный капитал, долгосрочные, краткосрочные займы;выплаты: погашение займов, дивиденды).

Прогнозирование денежного потока учитывает времен-ной лаг между расходами и выплатами, доходами и поступле-ниями, в результате которого в каждый момент времени рас-ходы не равны выплатам, а доходы – поступлениям..

В общем случае затраты к определенному моменту при-водят к выплатам, но не все доходы приводят к поступлениям(безнадежные долги).

Составление прогноза денежных потоков осуществляет-ся на основе трансформирования (трансформационных сче-тов) доходов в поступления и расходов в выплаты. Схематрансформирования представлена в таблице 3.3. Планирова-ние дебиторской и кредиторской задолженностей (трансфор-мационных квот) осуществляется следующими методами:

1. На основе информации о прошлых периодах, например,15% возникшей дебиторской задолженности трансформирова-лись в поступления (были погашены) в том же месяце; 26% – вследующем; 40% – в третьем: 7% – в четвертом; 6% – в пятом;4% – в шестом с момента возникновения задолженности.

2. Оценка от оборота. Используя сделанные прогнозныерасчеты по объему реализации, можно рассчитать сумму де-биторской и кредиторской задолженностей, задавая значенияпоказателей, которые считаются нормальными для данногобизнеса. Например, дебиторская задолженность не должнапревышать величину кредиторской задолженности и не мо-жет быть больше какой-то конкретной величины, например,месячного объема реализации.

54

Таблица 3.3.

Схема трансформирования

Общий основной принцип здесь: сочетание быстрой ин-кассации и замедления выплат, что приводит к получениюмаксимального объема свободных денежных средств. Глав-ная идея методов инкассации и выплат – как можно быстрееконвертировать в наличные дебиторскую задолженность, а

Доходы – Расходы Корректировка Поступления – ВыплатыВыручка от реализации - Увеличение дебиторской за-

долженности ++ Уменьшение дебиторской за-

долженности ++ Увеличение полученных аван-

совых платежей –– Уменьшение полученных аван-

совых платежей

= Поступления от реализации

Расходы на материалы - Увеличение кредиторской за-долженности + Уменьшениекредиторской задолженности +Увеличение выданных авансов –Уменьшение выданных авансов

= Выплаты за материальныересурсы

Другие расходы по основнойдеятельности (зарплата, стра-ховка, др.) (за исключениемнижеперечисленных)

+ Увеличение расходов будущихпериодов –

– Уменьшение расходов буду-щих периодов +

+ Уменьшение начисленныхобязательств –

– Увеличение начисленных обя-зательств

= Оплаченные др. расходы(выплаты по другим расхо-

дам)

Начисленная амортизация – Начисленная амортизация = 0

Начисленный налог на при-быль

+ Уменьшение задолженностипо налогу –

– Увеличение задолженности поналогу

= Выплаты по налогу

Инвестиции в основные сред-ства

Выручка от реализации основ-ных средств

Инвестиции в оборотные сред-ства

В соответствии с графиком осу-ществления

= Выплаты и поступления винвестиционном секторе

Денежные средства получен-ные от выпуска акций

КредитыПогашение кредитовВыплата дивидендов

В соответствии с графиками = Выплаты и поступления вфинансовом секторе

55

оплачивать счета кредиторов настолько позже, насколько этовозможно и не нанесет вреда имиджу предприятия и согласу-ется с законом.

Основными анализируемыми показателями прогноза де-нежных потоков являются: суммарная величина денежногопотока от производственной деятельности, а также величинарасходов на инвестиции. Достаточным считается такое коли-чество собственного и привлеченного (заемного) капитала,при котором величина денежного потока в каждый периодвремени будет положительной. Наличие отрицательной ве-личины денежного потока означает, что предприятие не всостоянии покрывать свои расходы, т.е. фактически являетсябанкротом. Далее возникает задача, относящаяся к областиуправления наличностью: задача оптимизации ее уровня, ко-торый зависит от потребностей в ней, процентных ставок порыночным ценным бумагам и стоимости перевода наличнос-ти в ценные бумаги и обратно.

Цель составления прогнозного баланса активов и пас-сивов при формировании бизнес-плана заключается, во–пер-вых, в оценке финансового состояния предприятия с точкизрения финансового риска и характера использования акти-вов, во-вторых, в арифметической проверке прогнозов при-были и движения денежных средств.

Прибыль – мера долгосрочного успеха бизнеса; движе-ние денежной наличности характеризует фактическую опла-ту счетов; баланс показывает, какие нужны фонды для вопло-щения бизнес-плана и как их профинансировать. Прогнозныйбаланс для целей бизнес-планирования в общем случае несовпадает с формой бухгалтерского баланса: использует агре-гированные данные, а события, наступление которых прогно-зируется в балансе, носят вероятностный характер. Отличиявытекают из необходимости не глубокого изучения докумен-та, а лишь проверки наличия (отсутствия) в нем опасных сим-птомов, поэтому имеет смысл использовать только наиболеезначимые для предприятия статьи. Если затраты на составле-ние прогнозного баланса для предприятия несущественны, тоне исключается возможность использования формы, идентич-ной, стандартной для составления отчетного баланса.

56

При формировании бизнес-плана проектируется старто-вый баланс (баланс на начало деятельности) или баланс кон-ца последнего отчетного периода (для действующего предпри-ятия) и баланс на конец первого года деятельности.

Таким образом, чтобы разработать прогноз баланса наконец периода (как правило, первого года деятельности) на-чинают со стартового (начального) баланса (шаг 1).

Чтобы определить новый размер основного капитала,следует прибавить любые приобретенные основные фонды ксоответствующей категории (статье) актива баланса (шаг 2).Источником информации для этого шага является прогноздвижения денежной наличности с учетом погашения износаосновных средств на конец первого года.

Оборотные активы, обычно состоящие из запасов (неза-вершенное производство, готовая продукция, др.), дебиторови денежных средств (в кассе, расчетном счете), прогнозиру-ются из проектируемого уровня продаж, особенностей про-изводственного процесса и складирования, размера дебитор-ской задолженности (см. расчет потребности в оборотном ка-питале) и суммы сальдо движения денежной наличности (см.cash-баланс на конец периода). Заключительные дебиторымогут быть рассчитаны из прогноза продаж (прогноз прибы-ли) и прогноза денежных поступлений:

Начальные дебиторы + Общий объем продаж – Налич-ные от продаж = Заключительные дебиторы.

Конечные запасы планируются следующим образом:Начальные запасы + Закупки – Стоимость проданных то-

варов = Конечные запасы. Когда известны конечный размер запасов и заключитель-

ные дебиторы, прибавив cash–баланс на конец периода, по-лучаем раздел прогнозируемого баланса «Оборотные активы».

Краткосрочные пассивы – это те долги, которые должныбыть выплачены в течение года. Они состоят в основном изкредиторской задолженности, задолженности перед бюдже-том (НДС и на прибыль).

Расчет коммерческих кредиторов в конце первого годадеятельности осуществляется так же, как и для дебиторов:

Начальные кредиторы + Закупки – Оплата поставщикам= Заключительные кредиторы.

57

Размер налога НДС, который должно предприятие бюд-жету, рассчитывается сложением всех налогов НДС, подле-жащих получению, и затем вычитанием всех налогов, подле-жащих уплате за расчетный период.

Долгосрочные пассивы – это долги, которые подлежатуплате в течение более года. Чтобы рассчитать, каков долженбыть объем этих обязательств на конец прогнозируемого пе-риода, необходимо к начальным долгосрочным обязательствамприбавить займы, осуществленные в течение этого периода,и вычесть сумму денег, уже выплаченных по обязательствамза это время (прогноз денежных поступлений и выплат).

Собственные средства предприятия на конец года соста-вят размер собственного капитала на начало деятельности (ус-тавный капитал) плюс прибыль этого года (из прогноза при-былей (убытков)).

Пример. Бизнес-планом предусматривается открыть ма-газин с 1 января 1999 г. На первый хозяйственный год запла-нированы следующие показатели:

1. Реализация товаров на сумму 120 000 у.е. осуществля-ется равномерно в течение всего года при средней торговойнаценке в 25% от цены реализации. Половина товаров про-дается за наличные, оставшаяся часть – на условиях одноме-сячного кредита.

2. Число оборотов товарного запаса запланировано 4 раза в год.3. Начальный товарный запас должен соответствовать

будущему среднегодовому товарному запасу. 10% его стоимо-сти оплачивается наличными; 40% – 1 июля 1999 г.; оставша-яся часть (50%) – 1 апреля 2000 г. Текущие товарные запасыпополняются на условиях двухмесячного кредита.

4. Зарплата составляет 750 у.е. в месяц.5. Арендная плата – 150 у.е. в месяц. 1 января 1999г. вып-

лачивается авансом 3-х месячная арендная плата.6. Оборудование приобретается на сумму 4 000 у.е. Поло-

вина стоимости оплачивается 1 июля 1999 г.; остальная часть– 1 января 2000 г.

7. Остальной основной капитал, необходимый для откры-тия предприятия (транспорт, кассовые аппараты, др.), состав-ляет 1500 у.е. Стоимость его оплачивается 1 марта 1999 г.

58

8. Стоимость стартовой рекламной кампании в размере 1000 у.е. оплачивается 1 февраля 1999 г. Начиная с февраля 1999г. издержки на рекламу составят 100 у.е. в месяц и будут опла-чиваться наличными.

9. Прочие ежегодно возобновляемые постоянные издер-жки составляют 20% от торговой наценки, распределяютсяравномерно и оплачиваются наличными (страховые взносы,налоги, отопление и др. коммунальные платежи).

10. Первоначальный капитал учредителя: учредитель вно-сит 1 января 1999г. 5 000 у.е. наличными и предоставляет по-держанный грузовой автомобиль стоимостью 1 000 у.е.

Задание: Составить план прибылей и убытков за год, учи-тывая, что амортизация оборудования, грузового автомобиля ипрочего основного капитала, необходимого для открытия пред-приятия, осуществляется по линейному методу в течение 5 лет.

Б. Составить прогноз потока денежных средств с разбив-кой по кварталам (величина денежных средств указываетсяна конец каждого квартала).

В. Составить плановый баланс на 31декабря 1999 г.Решение:Реализация товаров:50% реализуемых товаров продается за наличные на сумму

60 000 у.е. Ежеквартальные поступления от продажи за на-личные составляют: 60000/4 = 15000 у.е.

Другая половина на сумму 60 000 у.е. продается на усло-виях одномесячного кредита. Ежемесячная стоимость това-ров, продаваемых в кредит составляет: 60000/12 = 5000 у.е.

В первом квартале поступает оплата товаров, проданныхв январе и феврале: 5000 + 5000 = 10000 у.е.

Во втором квартале поступает плата за товары, продан-ные в марте, апреле, мае: 5000 · 3 = 15000 у.е.

В третьем и четвертом кварталах поступают такие же сум-мы, как и во втором квартале.

59

Стоимость приобретаемых товаров составляет 75% от выруч-ки, т.е. начальный товарный запас равен 120000 · 0.75 = 90000 у.е.

Стоимость среднегодового товарного запаса равна 90000/4 или (90000/360 дн.)· 90 дн.= 22500 у.е. (поскольку число обо-ротов товарного запаса равно 4 раза в год, или 90 дней).

Начальный запас:· в первом квартале оплатили: 22500·0.01 = 2250 у.е.;· во втором оплата составляет — 0;· в третьем квартале оплатили: 22 500·0.4 = 9 000 у.е.;· в четвертом — 0Кредиторская задолженность на 1 января 2000г. состав-

ляет 11 250 у.е..Прочие ежегодно возобновляемые постоянные издерж-

ки (20% от торговой наценки) равны: 0.2· 120000· 0.25 = 6000у.е. или 6000/4 = 1500 у.е. в квартал, оплачиваются равномер-но и наличными, следовательно по этим видам затрат вып-латы составляют 1500 у.е. ежеквартально. Прогноз денежногопотока представлен в таблице 3.6.

Основной капитал, необходимый для открытия предприятия:1) амортизация составляет 1500/5 = 300 у.е. в год;2) остаточная стоимость на конец года : 1500 – 300 = 1200 у.е.3) Оборудование: амортизация: 4000/5 = 800 у.е. в год; оста-

точная стоимость на конец периода равна 4000 – 800 = 3200 у.е.4) Грузовой автомобиль: амортизация составляет 1000/

5=200 у.е. в год; остаточная стоимость га конец периода рав-на 1 000 – 200 = 800 у.е.

5) Товарная дебиторская задолженность: задолженность в свя-зи с формированием начального запаса: 22500 – (2250 + 9000) =11250 ; задолженность по текущим закупкам: 2· 7500 = 15000 у.е.;

6) Задолженность поставщикам оборудования: 4000 – 2000= 2000 у.е.

План прибылей и убытков, прогноз денежного потока,прогноз баланса см. таблицы 3.4 – 3.6.

60

Таблица 3.4План прибылей и убытков

Таблица 3.5Баланс на 31 декабря 1999 г.

Показатель 1999г

1. Выручка 120 000

2. Издержки на приобретение товаров 90 000

3. Зарплата 9 000

4. Арендная плата 1 800

5. Реклама 2 100

6. Прочие ежегодно возобновляемые постоянные издержки 6 000

7. Амортизация: основного капитала, необходимого для открытия фирмы; 300 оборудование 800 грузовой автомобиль 200

Прибыль за год + 9 800

АКТИВ ПАССИВ

1.Основной капитал, необходимыйдля открытия фирмы

1200 1.Собственный капитал 6 000

2. Оборудование 3 200 2. Прибыль 9 800

3. Грузовой автомобиль 800 3. Задолженность поставщикам обо-рудования

2 000

4. Товарный запас 22 500 4. Товарная кредиторская задолжен-ность, в т.ч.:

26 250

5. Арендная плата (задаток) 450 долгосрочная 11 250

6. Товарная дебиторская задолжен-ность

5 000

7. Денежные средства 10 900

Итого: 44 050 Итого: 44 050

61

Таблица 3.6Прогноз денежного потока

Прогнозный баланс в данном примере действительносбалансирован, и собственный капитал (акционерные сред-ства) на конец года (6000 + 9800= 15800) равен чистым акти-вам (44050 – 15000= 29050) минус долгосрочные пассивы(2000 + 11250 =13250). На практике существует вероятностьнесовпадения актива и пассива (активы и источники соб-ственных и заемных средств прогнозируются независимо другот друга). Расхождение между ними называется «пробкой».Когда рост активов прогнозируется более быстрым, чем ростобязательств и собственных средств, отрицательную «проб-

Показатель 1 кв. 2 кв. 3 кв. 4 кв.

1. Продажа за наличные 15 000 15 000 15 000 15 000

2. Продажа в кредит 10 000 15 000 15 000 15 000

3. Материальные затраты 7 500 22 500 22 500 22 500

4. Зарплата 2 250 2 250 2 250 2 250

5. Арендная плата 900 450 450 450

6. Реклама 1 200 300 300 300

7. Прочие ежегодно возобновляемые по-стоянные издержки

1 500 1 500 1 500 1 500

Cash flow от основной деятельности + 11 650 + 3 000 + 3 000 + 3 000

8.Выплаты на приобретение оборудования 2 000

9.Приобретение др. основного капитала,необходимого для открытия фирмы

1 500

10. Выплаты на приобретение начальноготоварного запаса

2 250 9 000

Cash flow от инвестиционной деятельно-сти

- 3 750 - 11 000

11.Первоначальный капитал (наличные) 5 000

Cash flow от финансовой деятельности 5 000

Cash-баланс на начало кварталаCash-баланс на конец квартала

0+ 12 900

+ 12 900+ 15 900

+ 15 900+ 7 900

+ 7 900+ 10 900

62

ку» можно ликвидировать с помощью внешнего финансиро-вания – увеличение акционерного капитала или наращива-ние заимствований. Если рост активов прогнозируется болеемедленным, чем рост обязательств – положительная «проб-ка». Она ликвидируется отказом от части заимствований, до-ходным инвестированием в ценные бумаги, учредительствоми т.д. Несбалансированность активов и пассивов может воз-никнуть вследствие ошибок в прогнозе прибыли, движенииденежных потоков, балансе.

Наиболее распространенные ошибки возникают в пози-циях, вызывающих основную разницу между прибылью ипоступлениями денежных средств, поэтому ошибка в балан-се может непосредственно повлиять на эти величины. Чтобывыявить ошибку, необходимо проверить разницу между про-дажей и денежными поступлениями с продаж. Затем – про-верить стоимость продаж, запасов материалов, закупок и кре-дитов и затем – проверить расчет амортизации.

Таким образом, все документы финансового плана взаи-мосвязаны, и если где-то произошла ошибка, то проявится онав балансе (не будет сбалансирован). При этом важны здесь недетали, как уже говорилось, а лишь наиболее важные соотно-шения: ликвидность (общий коэффициент покрытия), финан-совый рычаг, структура активов и обязательств, например,наличие «мягких» (нематериальных) активов может быть оце-нено инвестором как опасный симптом.

Принцип итеративности формирования бизнес-планапроявляется здесь в том, что получение нежелательного ре-зультата на этом этапе ведет к переоценке всех остальных раз-делов бизнес-плана. Как правило, прежде чем бизнес-планпримет нормальные очертания, потребуются многократныеизменения и притирка данных. Ориентирами здесь служатминимум средств и уровень прибыльности предприятия.Обычно в бизнес-плане рассматривается несколько альтерна-тивных вариантов финансовых планов, основанных на раз-личных прогнозных оценках относительно объемов продаж:пессимистическом, оптимистическом и наиболее вероятном.

В заключительной части финансового плана излагаетсястратегия финансирования, и рассчитываются показателиэффективности проекта.

63

Разработка стратегии финансирования включает реше-ние следующих задач:

· определение суммы средств, требующейся для реализа-ции проекта;

· определение источников получения этих средств (вы-пуск акций, долговое финансирование, лизинговое финанси-рование, др.);

· разработка схемы погашения кредита.При этом рассматриваются несколько схем финансиро-

вания, каждая из которых оценивается по последствиям ееприменения.

Обобщенно все виды источников инвестиций можно раз-делить на четыре группы:

· собственные средства предприятия,· субсидии, гранты, дотации от государства,· средства с фиксированной суммой процента,· привлеченные средства, на которые выплачивается ди-

виденд.Государственными дотациями обеспечиваются предпри-

ятия приоритетных направлений экономики. Средствами сфиксированной суммой процента служат кредиты, облигации,выпускаемые предприятием, привилегированные акции. Покаждому из этих заемных средств выплачивается заранее ус-тановленный процент. Кредитные соглашения обязательнопредусматривают жесткую схему платежей, обеспечивающихвозврат основной суммы долга и процентов по кредиту в те-чение срока, указанного в кредитном соглашении. Поэтомукредитное финансирование предпочтительно для проектов,связанных с расширением, перевооружением производства науже действующих – и действующих успешно – предприятиях.К привлеченным средствам, на которые выплачивается ди-виденд, относятся паевой и акционерный капитал. Инвести-ции этого рода лишены предыдущих недостатков: в первыегоды реализации проекта можно вообще не платить дивиден-ды (акционеры осведомлены, что прибыль инвестируется вразвитие предприятия, а не используется не по назначению).Эти источники финансирования предпочтительны для про-ектов, предусматривающих открытие нового предприятия, или

64

для проектов, связанных с реализацией технических новшеств.В конечном счете, выбор источника финансовых средств за-висит от характера проекта, ситуации на кредитном рынке,условий получения кредита.

Система показателей эффективности проекта состоит изпоказателей оценки финансового состояния (балансовых соот-ношений) и показателей эффективности инвестиций (чистойтекущей стоимости, рентабельности инвестиций, внутреннейнормы прибыли, срока окупаемости инвестиций и др.).

Приемлемость бизнес-плана определяется следующимифакторами: эффективностью проекта, прежним опытом рабо-ты предприятия в выбранной сфере бизнеса, портретом пред-приятия на фоне отрасли, рейтингом инвестиционной при-влекательности отрасли, весомостью (значимостью) руково-дящей команды, условиями инвестиционного соглашения,уникальностью идеи и другими особенностями проекта, на-пример, его близостью к идеальному для инвестора варианту.

Основным критерием приемлемости проекта для инвес-тора является его финансовая осуществимость. Поскольку дляфинансирования проектов обычно используют различныеисточники, то каждая из сторон такого совместного финанси-рования должна иметь свои собственные критерии оценки, втом числе приемлемую минимальную прибыль на соответ-ствующую долю капитала. Однако при подготовке бизнес-плана обычно еще неизвестно, как окончательно будет финан-сироваться проект. Поэтому сначала определяют эффектив-ность проекта в целом, а затем оценивают индивидуальнуюэффективность для каждого участника финансирования.

Остановимся кратко на особенностях инвестиционногопроектирования в условиях Республики Беларусь.

Сложившаяся экономическая обстановка в республикехарактеризуется весьма незначительным уровнем внешнего(зарубежного) инвестирования и отсутствием свободных де-нежных средств на счетах большинства белорусских предпри-ятий. Особенно сдерживает внутреннее инвестирование от-сутствие на счетах достаточного объема валютных средств,что является следствием неразвитости экспорта по причинамнизкого качества продукции и высокой ее себестоимости.

65

Ясно, что в сложившихся условиях приобретение высокотех-нологичного зарубежного оборудования за счет внутреннихресурсов – задача почти неразрешимая.

Поэтому основными источниками финансирования ин-вестиционных проектов остаются кредиты белорусских и не-которых иностранных банков (включая Европейский Банк Ре-конструкции и Развития), активность которых также оставля-ет желать лучшего.

Основной трудностью при получении банковских креди-тов является необходимость внесения в проект как минимумтрети собственных средств. При этом не обязательно исполь-зовать собственный капитал – в проекте в качестве собствен-ных средств могут присутствовать, например, надлежащимобразом оцененные недвижимость, оборудование и даже за-пасы сырья. Основные трудности при получении кредита воз-никают именно на этапе оценки этих материальных активов,поскольку банки отказываются рисковать, выдавая кредит подзалог сильно изношенного и морально устаревшего оборудо-вания и недвижимости, права собственности на которую, какправило, весьма сомнительны.

В случае, если этап оценки вносимых собственныхсредств успешно преодолен, возникает следующая проблема:при оценке финансовых параметров инвестиций, например,чистого приведенного дохода, банки стремятся рассматриватьденежный эквивалент вносимых собственных средств как пря-мые начальные инвестиции. Последнее является методическиневерным приемом и обычно приводит к заниженной оценкеили попросту отклонению весьма прибыльных проектов.

При разработке бизнес-плана следует предусматриватьиспользование наряду с долгосрочными инвестиционнымикредитами, также и дорогие краткосрочные кредиты на по-купку сырья, авансирование и т.д. Характерной ситуацией приэтом является необходимость получения долгосрочного кре-дита для приобретения импортного оборудования в иност-ранной валюте в одном банке, а краткосрочных кредитов внациональной валюте для закупки отечественного сырья – вдругом банке. Ясно, что в сложившейся ситуации, отягощен-ной вдобавок существенной инфляцией, банки, вопреки офи-

66

циальной политике требуют предоставления всех финансо-вых расчетов в свободно конвертируемой валюте. Наличиенескольких валютных курсов существенно осложняет при этомнегоциации с банками.

3.4. Дисконтированные финансовые параметрыинвестиций, методы их расчета и их роль в оценке

эффективности инвестиционных проектов

В настоящее время для оценки финансовой стороны пла-нируемых инвестиций принято использовать дисконтирован-ные параметры эффективности. При этом чаще всего приме-няются следующие показатели: чистый приведенный доход,внутренняя норма доходности, срок окупаемости капитальныхвложений, рентабельность проекта, точка безубыточности.Перечисленные показатели являются результатами сопостав-лений распределенных во времени доходов с инвестициями изатратами на производство. Как показывают исследования, зарубежом наиболее часто используются два основных показа-теля: чистый приведенный доход (Net Present Value, NPV) и внут-ренний коэффициент окупаемости (Internal Rate of Return, IRR).

Таблица 3.7

Частота использования финансовых показателей(данные опроса 103 крупнейших нефтяных и газовых

компаний США в 1983 г.)

Чистый приведенный доход (NPV) представляет собойразность дисконтированных на один момент времени (обыч-но на год начала реализации проекта) показателей дохода икапиталовложений. Потоки доходов и капитальных вложенийобычно представляются в виде единого потока – чистого по-тока платежей, равного разности текущих доходов и расходов.

Показатель эффективно-сти

Тип применения

Основной измеритель Вспомогательный измерительIRR 69% 14%NPV 32% 39%

Другие показатели 12% 21%

67

Представим формулу для расчета чистого приведенногодохода при заданной норме дисконтирования в виде:

( ) ( )∑∑== +

−+

=c

n

t

tt

tT

ttt

t

dKV

dPNPV

0 11, (3.1)

где d – величина ссудного процента, или норма дисконтиро-вания, %;

tn– год начала производства продукции;tc – год окончания строительства по проекту;KVt – инвестиционные расходы (капитальные вложения)

в году t, руб.;Pt – чистый поток платежей (доходов) в году t, руб.;T – время реализации инвестиционного проекта в годах.Необходимо отметить, что в данном случае предполага-

ется существование совершенного рынка капитала, на кото-ром существует единая расчетная процентная ставка. Исходя изэтого, обычно NPV оценивается путем задания d, равным сред-ней учетной банковской ставке в стране инвестора или рав-ным другому значению, соответствующему норме прибыли привложении капитала в другие проекты и ценные бумаги.

При оценке инвестиционных расходов наиболее важнымявляется учет источников средств, которые использовались привыплатах (весь капитал или только заемные средства). В ос-тальном методы расчета инвестиционных расходов почти неразличаются. Для определения доходов используются суще-ственно различающиеся схемы.

Например, рекомендуется исключить из суммы доходовамортизационные отчисления, или предлагается включать нетолько накапливаемые амортизационные отчисления, а так-же и ликвидную стоимость основных производственных фон-дов (на последнем шаге расчета).

Такое различие вычислительных схем при расчете дохо-дов определяется различием в отчетных документах зарубеж-ных и российских и белорусских компаний и фирм. Зарубеж-ные компании по итогам своей деятельности за год помимоотчета о прибылях и убытках представляют отчеты об источ-никах и использовании фондов (отчет о фондах и их исполь-зовании), в которых денежные средства накапливаются за счет

68

чистой прибыли, амортизационных отчислений, нового ак-ционерного капитала, кредитов и других доходов.

Определяемые таким образом фонды распределяются длявыплаты дивидендов акционерам, приобретения недвижимо-сти, машин и оборудования, увеличения оборотного капита-ла и т.д. При этом на расширение основных производствен-ных фондов затрачивается средств не менее, чем получено врезультате амортизационных отчислений, т.е. свободные де-нежные средства компании должны работать на расширениеи модернизацию производства. Аналогичной отчетности дляроссийских предприятий не предусмотрено.

Необходимость учета ликвидной стоимости основныхпроизводственных фондов при определении чистого приве-денного дохода определяется назначением инвестиций. В слу-чае замены оборудования, срок службы которого соответству-ет продолжительности расчетного периода, учет его ликвид-ной стоимости необходим.

Источники финансирования проектов разделяются на двеосновные группы:

1. Собственный капитал – средства, предоставляемыеакционерами (учредителями), который должен быть увеличенв результате реализации и последующей эксплуатации иссле-дуемого объекта.

2. Заемный капитал – кредит банков, государства, мест-ных органов власти или других компаний, который долженбыть погашен вместе с задолженностью в установленном кон-трактом порядке и в заданные сроки.

Результатом инвестиций, с финансовой точки зрения,является погашение кредитной задолженности и выплатыдивидендов акционерам. При этом по мере погашения креди-та увеличивается стоимость акционерного капитала. Акцио-нер, получая дивиденды за акции, в любой момент может ре-ализовать свои акции. При условии, что деятельность пред-приятия при реализации данного инвестиционного проектабудет прибыльной, чем позже он продаст свои акции, тем боль-ше выиграет. В этом случае разумно предполагать, что акцио-нерный капитал не будет выплачен и изъят из средств пред-приятия. Тогда критерии оценки эффективности капитальных

69

вложений должны быть определены только для заемного ка-питала и предназначены для партнеров, предоставивших этоткапитал. Для акционеров основными будут при этом являтьсякритерии эффективности акционерного капитала. Однако вряде случаев такого рода разделение не может быть четко про-ведено, поскольку оно определяется целью инвестиции.

Если цель инвестиций – замена оборудования, то прирасчете критериев эффективности капитальных вложенийдолжен учитываться весь затраченный капитал.

При строительстве новых объектов, срок службы кото-рых значительно превышает расчетный период, следует учи-тывать только заемные средства, а в некоторых случаях – сум-му заемных и собственных средств.

Таким образом, чистый приведенный доход может иметьформально шесть различных значений для всех затраченныхили только для заемных средств, с учетом или без учета амор-тизационных отчислений, а также с учетом ликвидной сто-имости основных производственных фондов. Выбор схемырасчета чистого приведенного дохода зависит от конкретнойситуации.

Экономический смысл внутреннего коэффициента окупа-емости IRR состоит в следующем. В качестве альтернативывложения финансовых средств в инвестиционный проектрассматривается помещение тех же средств (так же распреде-ленных во времени) под некоторый банковский процент. Рас-пределенные во времени доходы, получаемые от реализациипроекта, также помещаются на депозитный счет в банке подтот же процент. При ставке ссудного процента, равной IRR,инвестирование средств в проект даст в итоге тот же суммар-ный доход, что и помещение их на депозитный счет. Такимобразом, при этой ставке ссудного процента обе альтернати-вы помещения финансовых средств экономически эквивален-тны. Если реальная ставка ссудного процента меньше IRR про-екта, инвестирование средств в него выгодно, и наоборот.Следовательно, IRR является граничной ставкой ссудного про-цента, разделяющей эффективные и неэффективные инвести-ционные проекты. IRR находится как решение нелинейногоуравнения относительно d:

70

( ) ( ) 011 0

=+

−+ ∑∑

==

c

n

t

tt

tT

ttt

t

dKV

dP

. (3.2)

Зависимость чистого приведенного дохода от процент-ной ставки имеет вид, изображенный на рис. 3.5, только втом случае, если имеют место изолированно осуществляемыеинвестиции, то есть превышение поступлений над выплата-ми на протяжении всего планового периода идет только науплату процентов по внутренней процентной ставке и на амор-тизацию затраченного капитала.

Рис. 3.5. Зависимость чистого приведенного дохода отзначения процентной ставки

Это означает, что в плановый период капитал не реинве-стируется, и внутренняя процентная ставка не зависит от про-центной ставки, по которой могут быть вложены высвобож-денные финансовые средства. При не изолированно осуще-ствляемых инвестициях, например, при заемном характереинвестируемого капитала, возможны случаи, когда уравнениедля расчета внутреннего коэффициента окупаемости будетиметь несколько корней или не иметь их вовсе.

За рубежом расчет коэффициента IRR часто применяетсяв качестве первого шага при финансовом анализе инвестици-онного проекта. Для дальнейшего анализа отбирают те инве-стиционные проекты, которые имеют IRR не ниже некоторо-го порогового значения (обычно не ниже 15-20% годовых).

Широко используется при предварительной оценке эф-фективности инвестиций такой важный для практики пара-метр, как срок окупаемости инвестиций (Payback Period, PB).

d IRR

NPV

71

Срок окупаемости определяется как продолжительностьпериода времени, в течение которого сумма чистых доходов,дисконтированных на момент завершения инвестиций, срав-няется с суммой инвестиций.

Уравнение для периода срока окупаемости можно запи-сать в виде:

( ) ,KVd

Pth

tt =

+∑=0 1

(3.3)

где h – срок окупаемости; KV – суммарные капиталовложенияв инвестиционный проект.

В этом уравнении t=0 соответствует моменту окончаниястроительства. Величина h определяется путем последователь-ного суммирования членов ряда дисконтированных доходовдо тех пор, пока не будет получена сумма, равная объему ин-вестиций или превышающая его.

Введем

( ) ,d

PtSmm

tt∑

= +=

0 1 (3.4)

причем Sm < KV < Sm+1.Тогда срок окупаемости приблизительно равен:

( ) .dPm

SmKVmh m 111

+++

−+= (3.5)

Очевидно, что на величину срока окупаемости, помимоинтенсивности поступления доходов, существенное влияниеоказывает используемая норма дисконтирования доходов.

На практике срок окупаемости может быть равен беско-нечности.

Естественно, что наименьший срок окупаемости соответ-ствует отсутствию дисконтирования доходов, монотонно возра-стая по мере увеличения ставки процента. При отсутствии дис-контирования эта ситуация возникает, только если срок окупае-мости больше периода получения доходов. При дисконтированиидоходов срок окупаемости может просто не существовать (стре-миться к бесконечности) при определенных соотношениях меж-ду инвестициями, доходами и нормой дисконтирования.

72

Если положить Рt постоянной величиной, то при ∞→h

сумма( )

,d

Shh

tt∑

= +=

0 11 равна .

ddS += 1 Очевидно, при любом

конечном h Sh < S.Отсюда следует, что необходимым условием существова-

ния конечного срока окупаемости h является выполнение не-равенства

.d

dKVP

+>

1 (3.6)

Важным параметром в оценке инвестиций является дис-контированная рентабельность

Рентабельность (Benefit Cost Ratio), или индекс доходнос-ти (Profitability Index, PI) инвестиционного проекта представ-ляет собой отношение приведенных доходов к приведеннымна ту же дату инвестиционным расходам:

( )

( )

.

dKVt

dPt

R tc

tt

T

tntt

∑

∑

=

=

+

+=

0 1

1 (3.7)

При норме дисконтирования, меньшей IRR, рентабель-ность больше 1. Таким образом, превышение над единицейрентабельности проекта означает его дополнительную доход-ность при рассматриваемой ставке процента. Случай, когдарентабельность проекта меньше единицы, означает его неэф-фективность при заданной ставке процента.

В литературе по финансовому анализу можно найти де-сятки различных показателей качества инвестиционных про-ектов, однако именно рассмотренные выше четыре парамет-ра приняты как определяющие при принятии решений обинвестировании в большинстве белорусских банков, а такжев Европейском Банке Реконструкции и Развития и Российс-кой Финансовой Корпорации.

73

3.5. Оценка дисконтированных финансовых параметровинвестиций в условиях неопределенности. Типынеопределенностей и взаимосвязь между ними

В настоящее время традиционный подход к расчету NPV,IRR и других дисконтных параметров подвергается вполнезаслуженной критике ввиду того, что значения будущих дохо-дов Pt, затрат KVt и процентных ставок d – весьма неопреде-ленные величины. При этом имеющие место неопределен-ности, в отличие от случая прогнозирования курсов акций,не могут быть адекватно описаны в теоретико-вероятностныхтерминах. В реальных ситуациях инвестор или привлекаемыеим эксперты в состоянии уверенно указать лишь интервалы,в пределах которых могут оказаться значения Pt, KVt и d, инаиболее ожидаемые значения внутри этих интервалов. Витоге возникает проблема разработки адекватной методикирасчета финансовых показателей проектов при наличии та-кого рода неопределенностей, имеющих зачастую субъектив-ную природу. Кроме того, требует решения весьма существен-ная проблема оценки риска инвестиций.

В настоящее время наибольшее распространение полу-чили методики анализа эффективности и риска инвестицийна основе теоретико-вероятностного подхода.

В самом общем виде финансовый риск можно рассмат-ривать как степень определенности финансовой потери, вы-ражающейся в:

а) возможности не достичь поставленной цели;б) неопределенности прогнозируемого результата;в) субъективности оценки прогнозируемого результата. Возможна и другая интерпретация риска — как степени

вариабельности дохода, который может быть получен благо-даря владению данным видом активов.

Существует множество подходов к количественной оценкериска, которые обычно представляют собой различные мо-дификации анализа чувствительности конъюнктуры (sensitivityanalysis) или анализа вероятностного распределения доходно-сти (probability distributions).

74

Например, в рамках рекомендаций Всемирного Банка поанализу инвестиций указываются три основные методики:

- анализ чувствительности, при котором исследуется вли-яние определенных (5%, 10% и др.) вариаций наиболее важ-ных для проекта входных параметров (размера инвестиций,динамики доходов и расходов, нормы дисконтирования и пр.)на устойчивость оценок эффективности проекта;

- метод статистических испытаний, при котором значе-ния недетерминированных ключевых входных параметроввыбираются случайно в соответствии с известной процеду-рой типа Монте-Карло (при помощи генератора случайныхчисел);

- метод сценариев, когда опытные эксперты прорабаты-вают несколько типовых вариантов развития событий по про-екту соответствующих значений динамики выпуска продук-ции, доходов и расходов и др.

Существуют и жесткие нормативные ограничения рискас четкой формулировкой метода его расчета. Например, длябанков Республики Беларусь для оценки крупных рисков вве-ден максимальный размер риска на одного заемщика.

Следует отметить, что этот норматив по методике пост-роения близок к концепции эмпирического риска. Однако егодетерминированный характер не позволяет достаточно пол-но учитывать неопределенность, неизбежно связанную соценкой будущих событий. Последнее делает его малопригод-ным для оценки финансового риска инвестиций.

Традиционно неопределенности, связанные с прогнози-рованием будущих событий в экономике, интерпретируют стеоретико-вероятностной точки зрения, что во многих прак-тически важных случаях может приводить к неадекватнымрезультатам.

Для того, чтобы обосновать это утверждение, а также сде-лать более ясной сущность предлагаемого подхода, следуетрассмотреть некоторые наиболее распространенные методи-ки количественной оценки инвестиционного риска. Дальней-шее рассмотрение будет вестись на примере оценки чистогоприведенного дохода, являющегося одним из важнейших фи-нансовых параметров оценки эффективности инвестиций.

75

Сущность первой методики оценки риска проекта на ос-нове NPV заключается в исчислении размаха вариации NPV,исходя из пессимистической (п), наиболее вероятной (в) иоптимистической (о) оценок параметров, входящих в выра-жение (3.1). Получаемый размах вариации R = NPVо — NPVпрассматривается как мера риска, ассоциируемого с данныминвестиционным проектом.

Необходимо отметить, что пессимистическая, наиболеевероятная и оптимистическая оценки задаются экспертами,носят субъективный характер и не связаны с какими-либо ве-роятностями классической частотной природы. Методиканосит чисто эвристический характер и для получения адек-ватных результатов требует неформального анализа в каждойконкретной ситуации ввиду необходимости учета взаимноговлияния пессимистических, наиболее вероятных и оптимис-тических оценок параметров в выражении (3.1).

Второй подход основан на экспертной оценке вероятно-стей появления прогнозируемых значений доходов и инвес-тиционных расходов. В итоге NPV рассчитывается по той жеформуле (3.1) при замене Pt и KVt на Ppt

·Pt и Pkvt ·KVt соответ-

ственно, где Ppt и Pkvt – экспертные оценки вероятностей со-ответствующих доходов и расходов в году t.

При этом считается, что увеличение риска проекта долж-но вести к снижению рассчитанных таким образом значенийNPV по сравнению со значениями этого параметра, получен-ными без учета вероятностей. Однако разность Ppt

·Pt- и Pkvt·KVt может оказаться больше разности Pt и KVt , в случае, есливероятности доходов выше вероятности расходов. Кроме того,следует дополнительно остановиться на смысле используе-мых вероятностей, например, Ppt. Если это вероятность осу-ществления события, заключающегося в том, что в году t фи-нансовые поступления составят именно Pt, то, строго говоря,с вероятностью 1 — Ppt можно ожидать поступления любогодругого количества денег (возможно, даже очень большого),которое никак не определено. Это делает все проводимыеоценки некорректными. В подобной ситуации произведениятипа Ppt

·Pt или Pkvt ·KVt не имеют содержательной экономи-

ческой интерпретации. Иногда их называют математическим

76

ожиданием, что неверно, поскольку математическое ожида-ние рассчитывается на основе полного распределения веро-ятности событий, а не путем использования вероятности лишьодного из них.

Для иллюстрации необходимо рассмотреть несколько при-меров.

Пусть для осуществления краткосрочного проекта стоимо-стью $4000 найдены четыре инвестора, каждый из которыхвыделяет средства в размере $1000 с вероятностью 0,8. Что-бы задача была определена, будем считать, что оставшаясявероятность 0,2 – вероятность отказа инвестора. Рассчитыва-ем математическое ожидание

M = 4 · (0,2·0 + 0,8 · $1000) = $3200.

Очевидно, что эта цифра не имеет содержательного эко-номического смысла, поскольку в данном случае есть четыредискретных события: с вероятностью 0,4096 будет полученався требуемая сумма $4000; с вероятностью 0,4096 – $3000; свероятностью 0,1536 – $2000; с вероятностью 0,0256 – $1000.

Другой пример.Пусть на основе кредитной истории клиента банка уста-

новлено, что вероятность (в строго частотном, а не в субъек-тивном смысле) возврата им ссуды в установленный срок рав-на 0,8. Пусть клиенту выдана ссуда $200.

Математическое ожидание равно $160. Очевидно, что этацифра не имеет практического смысла, поскольку речь идет овероятности полного погашения ссуды.

Рассмотренные выше примеры позволяют сделать вывод,что точечные оценки типа «будущая цена чего-либо и ее ве-роятность» не имеют содержательного экономического смыс-ла и непригодны для оценки риска. Для получения более ре-альной картины будущего необходимо знать вероятности (вчастотной или субъективной интерпретации) различных воз-можных значений будущей цены.

Более обоснованным экономически является подход коценке риска инвестиций, сущность которого заключается впостроении вероятного распределения значений доходности,

77

исчислении стандартного отклонения от средней доходностии коэффициента вариации, который и рассматривается какстепень риска, ассоциируемого с данным активом. Таким об-разом, чем выше коэффициент вариации, тем более рискован-ным является данный вид актива. Основные процедуры этойметодики состоят в следующем:

· задаются прогнозные оценки значений доходности Ki ивероятностей их осуществления Pi (все это субъективные экс-пертные оценки);

· рассчитывается наиболее вероятная доходность Кв∑ ⋅=

iiib PKK , (3.8)

· рассчитывается стандартное отклонение (Ос)

( )∑ ⋅−=i

ibic PKKO 2 , (3.9)

· рассчитывается коэффициент вариации (V)

b

c

KOV = . (3.10)

Действительно, если соответствующим образом отнорми-ровать распределение Pi , чтобы оно стало соответствовать час-тотному, величина, рассчитываемая по формуле (3.8), будет соот-ветствовать строгому определению математического ожидания.

Однако наиболее вероятным значением доходности онабудет только в случаях симметричного распределения Pi , вовсех остальных случаях математическое ожидание не имеетдостаточно ясного экономического смысла и является скореематематической абстракцией. Соответственно теряют смыслпараметры Oc и V. В рассматриваемой ситуации в случае не-симметрического распределения (а симметрические гауссов-ские распределения в реальной жизни довольно редки) име-ют смысл лишь доверительные интервалы и, собственно, самиисходные распределения. Далее возникает проблема обработкиэтих интервалов и распределений, и выполнения необходи-мых арифметических операций над ними. Именно отсутствие

78

соответствующего математического аппарата, реализующегопри экономико-математическом анализе арифметику непосред-ственно для интервалов и распределений, является источни-ком большинства сложностей при применении теоретико-ве-роятностных методов. С другой стороны, понимание необхо-димости разработки эффективного математического аппаратадля работы с неопределенностями, в том числе и субъектив-ной природы, осознание недостатков теоретико-вероятностныхметодов привело к бурному развитию и формированию новыхнаучных дисциплин: интервальной математики, теории нечет-ких множеств и теории возможностей. В настоящее время мож-но говорить о некоторой определенности в областях примене-ния этих методик, и весь этот комплекс новых теорий и мето-дов (включая теорию вероятностей) движется к естественномуобъединению в общую теорию анализа неопределенностей.

Анализ характера неопределенностей, проявляющихся вфинансовой оценке эффективности инвестиций, позволяетсделать вывод, что их адекватная математическая формализа-ция может быть проведена в рамках нечетко-интервальногоподхода. При этом применение нечетко-интервального под-хода позволяет решить ряд проблем, практически неразреши-мых в рамках классического теоретико-вероятностного под-хода, в частности, появляется возможность непосредственногопроведения арифметических операций с параметрами, задан-ными в нечетко-интервальной форме, что невозможно приих описании частотными распределениями. Появляется так-же возможность описания неопределенностей, имеющихсубъективную природу, что является крайне важным при про-гнозах, касающихся будущих событий.

Базовой проблемой математической формализации нео-пределенных параметров сложных систем и частных крите-риев является представление различных неопределенных ха-рактеристик в единой универсальной форме. На практике примоделировании реальных сложных систем некоторые неопре-деленные параметры могут быть заданы нечеткими интерва-лами, другие – четкими интервалами, третьи – частотнымираспределениями вероятностей.

Наибольшая неопределенность и, соответственно, наи-меньший объем полезной информации имеют место при опи-

79

сании неизвестных параметров систем или критериев каче-ства четкими интервалами. Этот способ формализации соот-ветствует ситуациям, когда достаточно точно известны лишьграницы допустимых значений анализируемого параметра, иотсутствует какая-либо количественная или качественная ин-формация о возможностях (вероятностях) реализации различ-ных его значений внутри заданного интервала. Математичес-ки описание неопределенных величин осуществляется с по-мощью стандартных характеристических функций (рис. 3.6),которые для общности можно рассматривать как функции при-надлежности соответствующим четким интервалам.

Рис. 3.6. Характеристическая функция принадлежностичеткому интервалу [A,B]: η (Х) = 1, Х∈ [А, В]; η (Х) = 0, Х∉ [А, В]

При наличии дополнительной качественной информациио значениях параметра внутри интервала, когда, например, навербальном уровне известно, что значение a в некоторомсмысле более предпочтительно, чем b, без количественнойоценки этого отношения, математическая формализация мо-жет быть адекватно реализована с помощью нечетких интер-валов трапецеидального вида (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Нечеткий интервал: µ (X) – функцияпринадлежности нечеткому интервалу (µ (a) > µ (b);

a предпочтительнее, чем b)

η(Х)

1

A B

µ(X)

1

0.5

0 X X3 X2 a b X4 X1

80

В тех случаях, когда отношения между возможностямиреализации различных значений параметра можно охаракте-ризовать конкретными числами, нечеткие интервалы вырож-даются в вероятностные распределения (риc. 3.8).

Рис. 3.8. Частотное распределение: f(X) – функцияплотности вероятности

( f(a)/f(b) = d – известное значение)

На основе использования этих трех базовых способовформализации – четко-интервального, нечетко-интервально-го и распределения вероятностей возникает проблема приве-дения различных описаний неопределенностей к единой фор-ме представления. Приведение нечетко-интервальной неопре-деленности к форме частотных распределений невозможно,так как для этого отсутствует необходимая количественнаяинформация.

Поэтому в качестве единого универсального способа опи-сания неопределенностей примем нечетко-интервальныйподход. Четко-интервальное описание, очевидно, является егочастным случаем. Функции распределения вероятностей f(X)транспонируются в трапецеидальные нечетко-интервальныефункции принадлежности m(X) путем кусочно-линейной ап-проксимации конкретных зависимостей f(X).

Ясно, что при этом неизбежна потеря части существующейинформации. Часть наиболее ценной информации можно со-хранить, переводя частотные распределения в нечетко-интер-вальные числа таким образом, чтобы фиксированные довери-тельные интервалы частотного распределения соответствовалитак называемым a-уровням нечетко-интервального числа.

X

f(X)

a b

81

Схема реализации соответствующей методики представ-лена на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Схема трансформации плотности вероятности f(X)– исходного частотного распределения в функциюпринадлежности µ (Х) числа нечеткому интервалу

Как видно из рис. 3.9, α -уровни являются, в сущности,четкими интервалами, соответствующими определенным задан-ным значениям функции принадлежности. Ясно, что точностьтакой трансформации определяется числом используемыхα -уровней, которое в практических задачах может выбиратьсяисходя из геометрической сложности трансформируемого час-тотного распределения.

Данная методика трансформации частотных распределе-ний в нечеткие интервалы позволяет сохранить количествен-ную информацию о размерах и месторасположении на осиабсцисс доверительных интервалов, а также на качественномуровне сохранить информацию о частотах, которым послетрансформации будут соответствовать значения функций при-надлежности нечеткому интервалу на полученных в результа-те трансформации α -уровнях.

В общем случае нечетко-интервальная математика сво-дится к разложению нечетких интервалов на составляющие

f(X)

Х µ(Х)

Х

1

0.5

0

Доверительные интервалы

α-уровни

82

α -уровни и дальнейшем оперировании с ними в рамках ин-тервальной математики.

В большинстве практических приложений наиболее важ-но иметь информацию только о двух интервалах, соответству-ющих α -уровням: µ (х) = 0 – основание интервала и µ (х) = 1 –интервал наиболее возможных значений. Поэтому представ-ляется целесообразным аппроксимация всех получаемых не-четких интервалов к трапецеидальной форме (рис. 3.8). Пос-ледняя весьма удобна на практике еще и тем, что однозначноописывается своими реперными точками (Х1, Х2, Х3, Х4). Ясно,что такое четырехреперное представление значительно умень-шает количество вычислений при выполнении арифметичес-ких операций и вследствие этого снижает неопределенностьитоговых результатов, являющуюся следствием самой приро-ды интервальной арифметики, характеризующейся неизбеж-ным ростом ширины результирующих интервалов с увеличе-нием числа промежуточных арифметических операций с ин-тервальными числами.

3.6. Основы интервальной и нечетко-интервальнойматематики

Понимание необходимости разработки эффективного ма-тематического аппарата для работы с неопределенностями, втом числе и субъективной природы, осознание недостатковтеоретико-вероятностных методов привели к бурному разви-тию и формированию в последние 30 лет новых научных дис-циплин: интервальной математики, теории нечетких мно-жеств и теории возможностей, которые не отрицают, а обоб-щают традиционные представления (показано, что теориявероятностей является частным случаем теории возможнос-тей, математической основой которой является теория нечет-ких множеств). В настоящее время становится ясным что, где,в каких ситуациях и в каких сочетаниях нужно использовать,и весь этот комплекс новых теорий и методов (включая тео-рию вероятностей) движется к естественному объединениюв общую теорию анализа неопределенностей.

83

Основоположником теории нечетких множеств в совре-менной трактовке является Л.А. Заде, заложивший ее основыв одной из своих статей в 1965 г. Отметим, что идея построениянечетких множеств появилась в связи с исследованием извест-ного античного парадокса кучи в трудах Е.Бореля еще в 1959 г.,т.е. за 15 лет до Л.А.Заде. Однако именно благодаря Л.А.Задетеория приобрела математически формализованный вид.

До появления аппарата теории нечетких множеств лю-бая неопределенность, появляющаяся при решении практи-ческих задач, отождествлялась со случайностью. В то же вре-мя в повседневной жизни мы часто используем такие поня-тия, как большой, малый, хороший, простой, сложный, горячийи т.д., которые являются нечеткими, расплывчатыми, однакоэта неопределенность не носит вероятностного характера.Теория нечетких множеств разработана для оперирования стакого рода объектами. Случайность всегда связана с неопре-деленностью, касающейся принадлежности некоторого объек-та к вполне четкому множеству. Понятие же нечеткости отно-сится к классам, в которых имеются различные градации сте-пени принадлежности, промежуточные между полнойпринадлежностью и не принадлежностью объектов к данномуклассу. Иными словами, нечеткое множество есть класс объек-тов, в котором нет резкой границы между теми объектами, ко-торые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят.

В настоящее время теория нечетких множеств широкоприменяется в решении технических проблем в системах уп-равления автомобилем, бойлерами, химическими реактора-ми, холодильными агрегатами, вентиляторами и кондиционе-рами, печами для сжигания мусора и плавки стекла, агрегата-ми быстрой зарядки аккумуляторов, энергетическимисистемами, станками для обработки металла, нагревательны-ми приборами, электрическими двигателями, процессами свар-ки, системами коммуникации, установками для очищения воды.

Расширяется использование теории нечетких множествв экономике и управлении предприятиями. Об этом свиде-тельствует рост в этой области исследований числа журналь-ных публикаций, а также появление монографий обобщаю-щего характера, специализированного международного жур-

84

нала «Fuzzy Economic Review», международной организации«International Association for Fuzzy-Set Management and Economy».

Уже опубликовано много книг по теории нечетких мно-жеств, разработано и внедряется множество готовых программдля упрощения работы при нечетком моделировании и уп-равлении.

Ввиду многообразия подходов к формулировке основ те-ории нечетких множеств и особенно математических опера-ций с нечеткими данными представляется весьма целесооб-разным кратко изложить основные положения подхода, наи-более часто используемого на практике.

Пусть Х = {х} – множество (конечное и бесконечное),которое будем называть универсальным множеством. Тогданечеткое множество А в X есть совокупность упорядоченныхпар А= {х, µ A(x)}, где µ A(x) – степень принадлежности х к A;µ A(x):Х→[0,1].

Если справедливо 1=∈

)x(sup AXx

µ , то нечеткое множество

называется нормальным. Функция принадлежности µ A(x) яв-ляется обобщением понятия характеристической функцииобычного множества, поскольку переходит в нее в предель-ном случае, когда содержит лишь две точки 0 и 1, т.е. когдамножество четкое. В дальнейшем будем использовать записьА= {µ A(x)/xi}, если X конечно, и А= ∫ µ A(x)/x, если X имеетмощность континуума.

Важное практическое и методологическое значение име-ет вопрос об определении µ A(x). Можно использовать, по сутидела, частотное определение функции принадлежностиµ A(x)=mx/nx, где nx – число опытов. При отсутствии статисти-ки µ A(x) предлагается оценивать как распределение субъек-тивной вероятности. Для аксиоматизации построения нечет-ких множеств используется теория полумножеств, бесконеч-нозначная логика Лукасевича. Предлагается также определятьфункцию принадлежности по множеству ее уровней. Для оп-ределения функции принадлежности предложены итераци-онный алгоритм согласования экспертных оценок, метод се-мантической дифференциации.

85

Следует подчеркнуть, что во всех упомянутых подходахявно или неявно полагается, что сами функции принадлеж-ности или информация для их построения задаются экспер-тами на основе субъективных предпочтений, т.е., вообще го-воря, не носят случайного характера.

В настоящее время нет единого мнения о том, как опре-делять операции пересечения и объединения нечетких мно-жеств. Обычно сначала постулируются желаемые свойстваопераций, а затем должно быть показано, является ли то илииное определение подходящим. Например, для операций,предложенных впервые Л. А. Заде, аксиоматизируются сле-дующие свойства: 1) пересечение двух нечетких множества Аи В есть наибольшее нечеткое множество, содержащееся и в Аи в В одновременно; 2) объединение А и В есть наименьшеенечеткое множество, содержащее хотя бы одно из нечеткихмножеств А или В. Единственными операциями, удовлетво-ряющими данным аксиомам, являются:

µ С(x)= min(µ A(x), µ B(x)), (С=А ∩ B), (3.11)

µ D(x)=sup (µ A(x), µ B(x)), (D=A ∪ В). (3.12)

Рональд Егер предложил для пересечения нечеткихмножеств выражение:

µ C(x)p = 1 – min [1, [(1-µ A(x))p +(1 — µ B(x))]p]1/p , (3.13)

для объединения:

µ B(x)p = 1 – min [1, [µ A(x))p + µ B(x))]p]1/p , p≥1. (3.14)

Введенные операции при р → ∞ переходят в формулы(3.13), (3.14), при p=1 получаем операции типа ограниченнаяразность и ограниченная сумма, которые иногда используютсядля задач, в которых трудно получить точное решение. Отме-тим, что операции (3.13), (3.14) идемпотентны лишь при р → ∞ .Рассмотренные операции носят «жесткий» характер, т.е. при

86

пересечении отсутствует возможность компенсации имею-щихся значений µ A(x) какими-либо значениями µ B(x) и наобо-рот. Допуская существование задач, в которых требуется ком-пенсация, Л.А.Заде и Р.Беллман предложили более «мягкие»определения операций пересечения и объединения:

µ C(x) = µ A(x) · µ B(x), µ D(x) = µ A(x) + µ B(x) — µ C(x). (3.15)

Большинство исследователей отмечают, что как с прак-тической, так и с математической точки зрения «жесткие» опе-рации (3.13), (3.14) предпочтительнее «мягких» (3.15), за ис-ключением возможных ситуаций, когда операция взятия ми-нимума не передает требуемого смысла союза «и», обычносвязываемого с пересечением. К тому же «мягкие» операциине дистрибутивны по отношению друг к другу и не обладаютсвойством идемпотентности. Тем не менее, на практике ис-пользуют как «жесткие», так и «мягкие» операции.

В работах Р.Егера доказано, что только «жесткие» опера-ции позволяют сохранять информацию качественного харак-тера независимо от конкретных численных значений функцийпринадлежности, что является существенным доводом впользу их использования на практике. Следует отметить, чтопри решении практических задач с применением элементовтеории нечетких множеств в большинстве случаев использу-ются «жесткие» операции. Тем не менее, ввиду отсутствияоднозначных указаний теории необходимо обосновывать при-менение того или иного типа операций для каждого новогокласса задач. Остальные алгебраические операции над нечет-кими множествами заданы однозначно.

Дополнением нечеткого множества А в X называется не-четкое множество Ас функцией принадлежности вида

Xx),x(A)x(A

∈−= µµ 1 .

Разность множеств А и В в X определяется как нечеткоемножество А\В с функцией принадлежности вида

87

<

≥−=

)).x(B)x(A(,

)),x(B)x(A(),x(B)x(A)x(B\A µµ

µµµµµ

0

Множеством уровня α нечеткого множества А в X назы-вается множество в обычном смысле, составленное из эле-ментов Xx ∈ , степени принадлежности которых нечеткомумножеству А не меньше числа α . Если Aα множество уровня αнечеткого множества А, то

{ }αµα ≥∈= )x(A,XxxA (3.16)

Во многих случаях удобно пользоваться разложениемнечеткого множества по его множествам уровня

!α αα .AA =

(3.17)

Нечеткое отношение R на прямом произведении про-странств X×Y={(x, у), x∈ X, y∈ Y} есть расплывчатое множествов X×Y, характеризуемое функцией принадлежности µ R, кото-рая сопоставляет каждой упорядоченной паре (х, у) ее сте-пень принадлежности к R.

В общем случае n-е нечеткое множество на декартовомпроизведении X=X1,X2,…,Xn есть множество в X с функциейпринадлежности µ R(x1,…,xn), xi

∈ Xi, i=1,…,n.Нечеткие множества, порождаемые отображениями, оп-

ределяются следующим образом. Пусть f: X→Y – отображе-ние из X в Y, причем образ элемента х обозначается через y=f(x),и пусть A – нечеткое множество в X. Тогда отображение f по-рождает нечеткое множество В в Y с функцией принадлежно-сти, задаваемой соотношением

).x(sup)y( A)y(fx

B µµ1−∈

= (3.18)

Расплывчатое множество В(х) в пространстве Y={у} назы-вается условным по х, если его функция принадлежности за-висит от х как от параметра, что выражается записью µ B(y/x).

88

Пусть каждому x∈ X соответствует расплывчатое множествоВ(х) в Y с функцией принадлежности µ B(y/x). Тогда любое рас-плывчатое множество А в X порождает расплывчатое множе-ство В в Y, определяемое соотношением

)]x/y(),x(min[sup)y( BAXx

B µµµ∈

= . (3.19)

Для упрощения записи операции sup и min обычно обо-значают, как ∨ и ∧ соответственно. Тогда последнее выраже-ние примет вид

)]x/y()x([)y( BAxB µµµ ∧∨= (3.20)

Отметим, что соотношение (3.20) аналогично, но не эк-вивалентно маргинальному распределению вероятностей.Выражение (3.18) является одной из формулировок принци-па обобщения, играющего важную роль в теории нечеткихмножеств. В задачах принятия решений чаще используют дру-гую его интерпретацию. Пусть имеется отображение f: X→Yи A x x

x

= ∫ µ( ) / – нечеткое множество на X. Тогда справедливо:

∫=x

)x(f/)x()A(f µ .

Принцип обобщения позволяет расширить область опре-деления отображения f на нечеткие подмножества универ-сального множества.

В зависимости от информированности и опыта лиц, при-нимающих решения (ЛПР), представления, которыми онипользуются при построении нечетких множеств, могут обла-дать различной степенью расплывчатости, в результате чеговозникает вопрос о градациях нечеткости самих нечетких мно-жеств. Формализация меры нечеткости имеет важное прак-тическое и теоретическое значение.

Сформулируем общие требования к мерам нечеткости.Пусть A – нечеткое множество на X и d(A) – мера нечетко-

сти А. Тогда должны выполняться следующие требования:1) d(A)=0, если А четкое множество;

89

2) d(A) достигает максимума при 21=)X(Аµ для всех ;

3) d(A) ≥ d(A*), если

<≤

>≥

.)x(),x()x(

,)x(),x()x(

AA*A

AA*A

21

21

µµµ

µµµ

Можно показать, что этим требованиям удовлетворяет мера,аналогичная мере количества энтропии Шеннона, если вместовероятностей в ней использовать функции принадлежности.

Свойствам 1 ÷ 3 удовлетворяет довольно широкий классфункций. Анализируя недостатки такого рода конструктивныхподходов к построению мер нечеткости, Р. Егер ввел опреде-ление, вытекающее из формулировок операций над нечетки-ми множествами. Он исходил из того, что единственным ко-ренным отличием алгебры нечетких множеств от обычнойбулевой алгебры является непустота пересечения А A " , т. е.для нечетких множеств

B=А)-(1А =А A "" , (3.21)

где В – непустое множество.Очевидно, что чем ближе А к , тем больше В, и тем

сильнее А и отличаются от четкого множества. На основа-нии этого Р. Егер представил меру четкости нечеткого множе-ства А как

pn

i

PiAiAp )x()x(

n)A,A(D

1

1

1

µ−µ= ∑

=

, (3.22)

где р = 1, 2,...∞ — степень нечеткости.Отсюда выводится мера нечеткости

ppp n/)A,A(D)A,A(d

11−= . (3.23)

x X∈

АА

90

Определение (3.23) удовлетворяет требованиям 1 3.Для изменения степени нечеткости введены специаль-

ные операции. Степенью нечеткого множества А называетсямножество , где e – некоторое число. При ε = 2получаем частный случай операции возведения в степень —так называемую операцию концентрации CON(A) = A2, а приε = 0.5 – операцию растяжения DIL (А) = А1/2. Поскольку сте-пень принадлежности – величина положительная, не превос-ходящая единицу, операция CON снижает степень нечеткостиописания, в то время как DIL повышает.

Рассмотрение операции модифицирования нечеткостииграет важную роль при формировании свертки частных кри-териев качества. Зачастую функции принадлежности нечет-ких множеств являются нечеткими множествами. Такая ситу-ация типична при их задании на лингвистическом уровне.Нечеткие множества с нечеткими функциями принадлежнос-ти называют нечеткими множествами типа 2.

Пусть А – нечеткое множество типа 2 на X, тогда для каж-дого x∈ X функция принадлежности µ

A(x) является нечеткиммножеством в Y с функцией принадлежности fx(y), т.е.

∫= ,y/)y(f)x( xAµ (3.24)

или для дискретного случая

.n,...,i,y

)y(f)x(

i

ixA 1=

=µ (3.25)

Пользуясь принципом обобщения Л.А.Заде, можно пост-роить нечеткие множества 3, 4, ..., N и т.д. типов. В случаях,когда одновременно присутствуют оба вида неопределеннос-ти (нечеткость и случайность), теория нечетких множеств хо-рошо сочетается с элементами теории вероятностей и мате-матической статистики.

Рассмотрим важное для практики понятие математичес-кого ожидания функции при наличии обоих типов неопреде-ленности.

Пусть A – нечеткое подмножество множества X={xi},i=1,...,n, со степенью принадлежности µ

A(x) и пусть Pi – ве-

÷

Aε={µεA(xi)/xi}

91

роятность события xi. Тогда математическое ожидание функ-ции f X→Y по x определяется выражением

.P)x()x(f)A,f(Cn

iiiAip ∑

==

1µ (3.26)

Отсюда видно, что теория нечетких множеств отнюдь неотвергает традиционные подходы, основанные на теоретико-вероятностной интерпретации неопределенностей, а толькопозволяет более детально описать существующие неопреде-ленности в исходных данных, причем при необходимости всочетании с методами традиционной статистики.

В настоящее время выделяют четыре типа вероятностей:классическая, частотная, логическая и субъективная, причемкаждая из них удовлетворяет исходным аксиомам теориивероятностей А.Н.Колмогорова.

Однако даже в повседневной практике встречаются слу-чаи, когда ни одна из этих интерпретаций вероятности необеспечивает адекватного описания прогноза возможноститого или иного события.

Рассмотрим пример, в котором анализируется ситуацияожидания автобуса группой людей.

Автобус прибывает полный, и количество пассажиров,которые могут в него попасть, зависит от воли водителя. Наэтом примере отчетливо проявляется различие возможности(степени легкости) того, что в автобус войдут 1, 2, 3,..., и т.д.пассажиров и вероятностью того, что водитель их возьмет.Основания формализованной теории возможностей заложе-ны Л.А.Заде. Он подчеркивает, что в отличие от вероятностивозможность предлагается рассматривать как степень легкос-ти, с которой рассматриваемая переменная может приниматьопределенные значения. В качестве основы теории возмож-ностей использован математический аппарат теории нечет-ких множеств, аналогично тому, как основой теории вероят-ности является теория меры.

Распределение возможностей определено следующимобразом: пусть Х – переменная, принимающая значения измножества U = {u1, u2,…}. Тогда распределение возможностиХ принимает значения из U и описывается функцией

92

[ ]10,U:x →π , где ( ) [ ].uX:PossXx ==π Обозначение Poss исполь-зуется для отражения конкретного значения возможности прификсированном u ∈ U.

В рассмотренном выше примере ожидания автобуса Х –количество пассажиров, которые имеют возможность войтив автобус; u – элементы множества U = {1,2,3…}. Тогда

xπ (2) –

возможность, что в автобус войдут 2 человека, x

π (3) – 3человека и т.д.

Пусть А – подмножество в U, тогда

В теории возможностей постулируется, что

( ) ( )[ ].XsupA XAX

A ππ∈

= (3.27)

Если — нечеткое подмножество в U , то

( ) ( ) ( )[ ],XXsupA€ A€XA€X

A€ µππ ∧=∈

(3.28)

где – функция принадлежности подмножества .Доказано, что в случаях наличия лишь косвенной

информации о распределении возможностей , то естькогда можно указать лишь, что более возможно, чем

без количественной оценки этого отношения (linearordering), выражения (3.27), (3.28) являются единственнодопустимыми. В тех случаях, когда отношения междувозможностями можно охарактеризовать конкретнымичислами (cardinal ordering), распределение возможностейвырождается в вероятностное распределение. Тогда сследует оперировать как с обычной плотностью вероятности.Отсюда можно сделать вывод, что теорию возможностейможно рассматривать как обобщение теории вероятностей.

Появление формализованной теории возможностей по-родило массу вопросов методологического плана, в частно-сти проблему единой трактовки самой категории возможнос-ти. Основатель теории возможностей Л.А.Заде тесно связы-

A€

A€

( )XXπ

( )XA€µ

( )XXπ( )XXπ

( )XXπ

( ) [ ].AuPossAA ∈=π

93

вал ее с лингвистической интерпретацией нечетких множеств.Идея описания истинности лингвистических переменных,сформулированных на естественном языке с помощью нео-днозначной логики, была высказана еще Л.Виттгенштейном.Однако строгие методы оперирования с переменными линг-вистической природы появилась лишь с развитием теориинечетких множеств. Лингвистическая интерпретация играетбольшую роль в теории нечетких множеств и теории возмож-ностей, позволяя оперировать с объектами качественной при-роды, в том числе с высказываниями на естественном языке.

Главным достоинством теории возможностей являетсяналичие формализованного математического аппарата, позво-ляющего работать в условиях неопределенности при отсут-ствии информации, достаточной для применения теоретико-вероятностных методов.

Проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, чтотеория нечетких множеств находится на стадии интенсивно-го развития, не является концептуально замкнутой, допускаетнеоднозначность ряда математических операций внутри себя.Все это порождает неудовлетворенность исследователей ипоявление целого ряда альтернативных вариантов теории, сво-бодных от тех или иных недостатков аксиоматизации,предложенной Л.А.Заде.

В ряде случаев предложенные варианты выглядят весьмаперспективными, расширяющими концепцию нечеткости итребуют более детального изучения и испытаний на практи-ке. В других случаях новые теории нечетких множеств имеютлишь академический интерес, будучи практически бессодер-жательными.

Подводя итог, следует подчеркнуть, что в теории приня-тия решений, многокритериальной оптимизации, автомати-ческом управлении и в подавляющем большинстве прочихотраслей в настоящее время используется вариант теории не-четких множеств, предложенный Л.А.Заде, хорошо зарекомен-довавший себя на практике.

94

Методы интервальной математики

Параллельно и в значительной степени независимо оттеории нечетких множеств в последние 35 лет интенсивноразвивалась интервальная математика. Строго говоря, четкий(crisp) интервал можно рассматривать как частный случайнечеткого интервала. Нечетко-интервальная и обычная интер-вальная математика тесно связаны, более того, интервальнаяарифметика может рассматриваться как базис нечетко-интер-вальной математики.

Основным практическим преимуществом аппарата ин-тервальной и нечетко-интервальной математики является воз-можность осуществления прямых арифметических операцийс четко-нечеткими интервальными числами, в то время какмногочисленные попытки определить такие операции дляпараметров, заданных своими частотными распределениями,не привели к успешным результатам.

Нечетко-интервальную математику можно в определеннойстепени рассматривать как обобщение математики обычныхинтервалов. И в то же время на практике ряд параметров мо-жет быть задан на интервальном и нечетко-интервальном уров-не, а часть – на уровне частотных распределений. В этой связивозникает проблема разумного трансформирования частотныхраспределений в соответствующие им нечеткие интервалы.

В общем случае нечетко-интервальная математика сводитсяк разложению нечетких интервалов на составляющие α -уров-ни и дальнейшем оперировании с ними в рамках интерваль-ной математики. Как видно из рис. 3.10, α -уровни являются, всущности, четкими интервалами, соответствующими опреде-ленным заданным значениям функции принадлежности.

В настоящее время существуют несколько основных под-ходов к построению интервальной арифметики и множествоих модификаций. Последнее связано со специфическими свой-ствами операций с интервалами, выявленными в процессеисследования. В частности, не выполняется свойство дистри-бутивности, т.е. если A, B, C – интервалы, то выполняется лишь:

ACABC)A(B ++ ⊂ . (3.29)

95

Свойство (3.29) называется субдистрибутивностью.Кроме того, вычитание не обратно сложению, деление

не обратно умножению, т.е. если А – интервал, то:

1AA0,AA ≠≠− . (3.30)

Главным и наиболее неприятным на практике свойствоминтервальной арифметики является сравнительно быстрыйрост ширины интервала результата по мере возрастания чис-ла арифметических операций.

Именно это послужило причиной появления различныхмодификаций метода, целью которых являлась в основномпопытка препятствовать этому явлению. Наиболее известны-ми из них являются: интервальная арифметика с нестандарт-ным вычитанием и делением, обобщенная интервальная ариф-метика, сегментная математика, центрированная форма, MV-форма. Все эти подходы оказываются эффективнымиприменительно к определенным классам ситуаций. В целомрост результирующих интервалов в полной мере отражаетреальность и, в сущности, соответствует принципу возраста-ния неопределенности (энтропии).

Рис. 3.10. Разложение нечетких интервалов насоставляющие α -уровни

Наиболее распространенным, так называемым «наи-вным», является подход к построению интервальной арифме-тики по следующим правилам выполнения операций:

µ(х)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Х

α-уровни

Х4Х3Х2Х1

96

Пусть A = [A1 ,A

2] и B = [B

1 , B

2] – интервалы, тогда:

1) Сложение

[ ]2211 BA,BABA ++=+ . (3.31)

2) Вычитание

[ ]1221 BA,BABA −−=− . (3.32)

3) Умножение

{ } { }[ ]1221221112212211 ,,,,,,, Β⋅ΑΒ⋅ΑΒ⋅ΑΒ⋅ΑΒ⋅ΑΒ⋅ΑΒ⋅ΑΒ⋅ΑΒ⋅Α maxmin= .(3.33)

4) Деление

[ ]

=

1221

1,1,ΒΒ

⋅ΑΑΒΑ . (3.34)

Как уже указывалось, в общем случае выполнение опера-ций над нечетко-интервальными числами сводится к выпол-нению операций над четкими интервалами, представленны-ми в виде a-уровней. Рассмотрим этот механизм на примересложения. Пусть существуют нечеткие интервалы А и В, тогданечеткий интервал С, равный сумме исходных интерваловможно найти по формуле:

( )!!α

ααα

α BACBAC +==+= , (3.35)

где Сα , Аα , Вα – α -уровни нечетких интервалов С, А и В соот-ветственно, т.е. четкие интервалы с одинаковыми значения-

ми функции принадлежности нечеткому интервалу; α!– знак

объединения по α -уровням.Операции вычитания, деления и умножения над нечет-

кими интервалами выполняются аналогично.

97

3.7. Применение нечетко-интервального анализа длярасчета параметров инвестиций

Методику нечетко-интервального расчета финансовыхпараметров рассмотрим на основе конкретного примера рас-чета NPV для инвестиционного проекта, в котором фаза стро-ительства продолжается два года с инвестициями Kv0 и Kv1для каждого года соответственно. Получение прибыли от про-екта начинается сразу же по окончании строительства и закан-чивается через два года (P2 и P3). Ставка ссудного процента dостается постоянной в течение всего инвестиционного цикла.

Положим, что инвестиции, прибыль и ставка ссудногопроцента являются неопределенными параметрами, заданны-ми нечеткими интервалами. При этом будем использоватьтрапецеидальную форму нечеткого интервала.

Как показано в разделе 3.6, это позволяет однозначно оп-ределить каждый из них четырьмя реперными точками. В на-шем примере соответствующие исходные нечеткие интервалычерез свои реперные точки задавались следующим образом:

KV0 = {2, 2.8, 3.5, 4}; P0 = {0, 0, 0, 0};KV1 = {0, 0.88, 1.50, 2}; P1 = {0, 0, 0, 0};KV2 = {0, 0, 0, 0}; P2 = {6.5,7.5,8.0,8.5};

KV3 = {0, 0, 0, 0}; P3 = {5.5, 6.5, 7.0, 7.5},

ставка ссудного процента задавалась одним и тем же для всехлет проекта нечетким интервалом d = {0.08, 0.13, 0.22, 0.35}.

Как видно из рис. 3.11, результатом расчета на основенечетко-интервального расширения выражения (3.1) в рас-сматриваемом случае является также нечеткий интервал.

Из рисунка видно, что максимальная ширина итогового ин-тервала (ширина основания трапеции) существенно выше ши-рины любого из интервалов, представляющих исходные данные.

В этой связи возникает вопрос о том, насколько исполь-зование нечетко интервальной математики увеличивает нео-пределенность результатов по сравнению с традиционнымиметодами учета неопределенностей, в частности, с методомстатистических испытаний.

98

При реализации метода статистических испытаний зна-чения недетерминированных входных параметров выбирают-ся случайно, в соответствии с известной процедурой типаМонте-Карло (при помощи генератора случайных чисел).

Рис. 3.11. Итоговый нечеткий интервал NPV

Для примера рассмотрим некий инвестиционный про-ект, рассчитанный на пять лет. Пусть в четырехреперном видевходные нечетко-интервальные значения для него выглядятследующим образом:

P = ({0, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0},{3, 5, 5, 7},{10, 13, 13, 16}); V = ({1, 3, 3, 5},{0, 2, 2, 4},{ -1, 0, 0, 1},{ 0, 0, 0, 0},{ 0, 0, 0, 0});

d = {0.1, 0.15, 0.15, 0.2}.

Здесь Р – вектор нечетких интервалов, характеризующийдоходы в каждом из пяти лет проекта, V – расходы, d – нечет-ко-интервальное значение дисконта.

Используя разработанную методику нечетко-интерваль-ного расчета NPV, получаем:

NPV = {-2.904168, 5.981243, 5.981243, 16.013865}.

Необходимо обратить внимание на то, что все исходныенечеткие интервалы принимались в виде равнобедренныхтреугольников для того, чтобы значение верхней точки соот-ветствовало математическому ожиданию, а границы основа-ния каждого треугольника – диапазону возможных значений,т.е. для нормального распределения шести среднеквадратич-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15

99

ных отклонений δ , что соответствует доверительному интер-валу, в который все точки распределения попадают с вероят-ностью 99,73%. Для метода Монте-Карло необходимо исполь-зовать именно этот вид распределения, так как какую-либооценку результатов можно проводить только для нормально-го или равномерного распределения. Следует подчеркнуть,что понятия математического ожидания и дисперсии имеютфизический смысл только в этих случаях, при ненормальнос-ти (или существенной несимметричности) распределений этихарактеристики представляют собой не более чем математи-ческие абстракции. Отмеченное обстоятельство является од-ним из крупнейших недостатков статистического метода, тог-да как предлагаемая нечетко-интервальная методика не накла-дывает такого рода ограничений на входные параметры.

Для проведения адекватного сравнения методик для каж-дого выбранного входного нечеткого интервала определялосьсоответствующее ему нормальное распределение. При этомзначение верхней точки нечеткого интервала соответствова-ло математическому ожиданию, а основание нечеткого интер-вала – доверительному интервалу 6δ .

Далее с использованием генератора случайных чиселпроводилась серия из 1000 независимых испытаний, для каж-дого из которых рассчитывались итоговые четкие значенияNPV. В результате получено частотное распределение значе-ний NPV со следующими характеристиками: математическоеожидание 5,94, 6δ равно 6,68.

На рис. 3.12 изображены нечеткий интервал NPV и по-лученное частотное распределение, отнормированное на еди-ницу. Из рисунка видно, что полученный итоговый нечеткийинтервал существенно шире частотного распределения. Пос-леднее объясняется, во-первых, неизбежным ростом ширинырезультирующих интервалов в силу отмеченных в разделе 1внутренних свойств интервальной арифметики, во-вторых,тем обстоятельством, что реализация граничных (достаточномалых или больших) значений в методе статистических ис-пытаний попросту маловероятна.

Сравним достоинства и недостатки обоих методов.Метод Монте-Карло требует значительно больших затрат

100

машинного времени, однако с учетом существующей мощнос-ти ЭВМ и самой специфики задачи, не требующей отслежи-вания NPV в реальном масштабе времени, этот недостатокможно считать несущественным.

Рис. 3.12. Итоговые нечеткий интервал NPV (пунктирнаялиния) и частотное распределение (сплошная линия)Далее, необходимо обратить внимание на требования,

которые каждый из методов предъявляет к входным парамет-рам. Метод Монте-Карло требует построения каноническихчастотных распределений для входных параметров. В случаеинвестиционного прогнозирования подобное требование, какправило, невыполнимо, так как всевозможные экспертныепрогнозы будущих доходов, затрат и дисконта по своей при-роде являются не только не вероятностными, но и субъектив-ными. Иначе говоря, эксперту значительно проще работать снечеткими интервалами, чем с нормальными распределени-ями. Кроме того, само требование нормальности входных рас-пределений, которое продиктовано невозможностью, по упо-мянутым выше причинам, адекватной оценки получаемыхрезультатов для ненормального распределения, является не-допустимо жестким, поскольку зачастую неопределенные зна-чения параметров, относящиеся к будущему, не являются нор-мально распределенными. С другой стороны, предлагаемаянечетко-интервальная методика соответствует интуитивнымпредставлениям экспертов о прогнозируемых параметрах ине только не ограничивает их в работе, но и предоставляетсобой, как показывает практика, весьма удобный инструментдля формализации исходных данных.

В рассмотренном модельном примере с использованиемметода Монте-Карло было получено некоторое итоговое нор-

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17

101

мальное распределение. Для случая нормального распреде-ления NPV существуют методики, позволяющие в определен-ной мере оценивать финансовый риск. Однако в случае не-нормальности распределения, когда математическое ожиданиене имеет содержательного смысла, эти подходы неприменимы.С другой стороны, для нечетко-интервального варианта расчетаразработана представленная ниже методика, позволяющая пре-доставить лицу, принимающему решения, во-первых, значениериска в денежном выражении и, во-вторых, позволяющая по-ставить и решить задачу оптимизации потоков платежей. В ре-зультате решения этой задачи отыскиваются четкие, неинтерваль-ные оптимальные значения потоков платежей и NPV, причемвсе эти значения учитывают как неопределенность, вносимуюэкспертами при прогнозе денежных потоков, так и неопределен-ность внешней по отношению к задаче ставки дисконта, и пред-ставляют собой своего рода компромисс между стремлением кмаксимизации прибыли с одной стороны и уменьшением суще-ствующих неопределенностей с другой.

Существенным недостатком предлагаемой методики мо-жет считаться тот факт, что соотношение между доверитель-ными интервалами итогового нормального распределения исоответствующими имα -уровнями итогового нечеткого ин-тервала NPV существенно выше, чем это соотношение длявходных значений. Однако решение задачи оптимизации по-токов платежей приводит к уменьшению указанного соотно-шения до значений, соответствующих входным значениям.

Получаемые с помощью разработанной методики нечеткиеинтервалы NPV позволяют дать оценку прогнозируемого чис-того приведенного дохода, его наиболее возможных значений, атакже количественно оценить степень риска инвестиций.

Количественные оценки финансового риска инвестицийв разработанной методике основываются на определениимеры (степени) четкости нечетких интервалов, подробно опи-санной в разделе 3.6. Применительно к рассматриваемой за-даче меру четкости получаемого нечеткого интервала NPVможно лингвистически интерпретировать как степень рискаили степень неуверенности прогноза получения чистого при-веденного дохода в интервале [NPV1, NPV4].

102

( ) ,12111

∑=

−−=m

iiNPV NPV

mdd µ (3.36)

где m – число точек разбиения опорного интервала [NPV1,NPV4].

При этом, чем четче, «прямоугольнее» интервал, тем вышестепень неопределенности, а значит, и риск. На первый взгляд этоутверждение кажется парадоксальным, однако любой четкий ин-тервал, не содержащий какой-либо дополнительной информацииоб относительной предпочтительности лежащих внутри него зна-чений, содержит меньше полезной информации, чем построен-ный на его основе нечеткий интервал. В последнем случае допол-нительная информация, снижающая неопределенность, обуслов-лена наличием функции принадлежности интервалу.

В итоге предлагаемый подход к оценке чистого приве-денного дохода естественным образом порождает два крите-рия оценки: собственно нечеткий интервал NPV и степеньнеуверенности его прогноза (степень риска) dd.

С формальной точки зрения задача нечетко-интервальногорасчета внутренней нормы окупаемости IRR представляетсякак нечетко-интервальное решение уравнения (3.2) относи-тельно d. Доказано, что решение уравнений с нечеткими па-раметрами возможно лишь при использовании разложенияэтих параметров (Pt и KVt) по a-уровням. Последнее сводитпостановку задачи отыскания IRR к системе нелинейных чет-ко-интервальных уравнений вида:

[ ][ ]( )

[ ][ ]( ) [ ]0,0

11 0=

+−

+ ∑∑==

c

n

t

tt

tT

ttt

t

dKV

dP

α

α

α

α , (3.37)

где [Pt]α и [KVt]α

– четкие интервалы, соответствующие α -уровням.Исследования показали, что естественное предположе-

ние о том, что в правой части (3.37) должен находиться вы-рожденный нулевой интервал [0,0], не обеспечивает получе-ние адекватных результатов.

Для иллюстрации рассмотрим упрощенный пример двух-летнего проекта, согласно которому все инвестиции закан-чиваются в первом году, а производство продукции и получе-

103

ние доходов начинается и заканчивается во втором году. Тогдакаждое из уравнений для a-уровней (3.37) разобьется на два:

( ) 01 02

2

11 =−+

KVd

P – левая граница интервала NPV , (3.38)

( ) 01 01

1

12 =−+

KVd

P – правая граница интервала NPV,

где {P11, P12}, {KV01, KV02} и {d1, d2}– границы четких интервалов при-были, инвестиций и дисконта на произвольном a-уровне.

Формальное решение (3.38) относительно границ интер-

вала d1 и d2 тривиально: ;101

121 −=

KVPd 1

02

112 −=

KVPd , однако бес-

смысленно, поскольку правая граница интервала [d1,d2] все-гда оказывается меньше левой. В то же время полученныйрезультат легко объясняется с общих методических позиций.Правила интервальной математики построены так, что лю-бые арифметические действия с интервалами в результатеприводят только к интервалам. Последнее находится в пол-ном соответствии с известными общеметодическими поло-жениями, согласно которым действия с неопределенностямиприводят к росту неопределенности, то есть к росту энтро-пии системы. Поэтому в нашем случае наличие в правой час-ти (3.37) вырожденного нулевого интервала эквивалентнотребованию снижения неопределенности левой части до нуля.Это оказалось возможным лишь при инверсном характереинтервала [d1,d2], что можно интерпретировать как требова-ние внесения в систему отрицательной энтропии.

Таким образом, требование вырожденного нулевого ин-тервала при решении интервальных уравнений является не-корректным. Более конструктивная постановка задачи былапостроена с помощью следующих рассуждений. Анализируявыражения (3.38), можно заметить, что для любого значенияd1 минимальная ширина интервала NPV достигается приd2=d1. Последнее также находится в соответствии с общеме-тодологическими положениями: минимальная неопределен-

104

ность результата (NPV) достигается при минимальной неопре-деленности варьируемого параметра системы.

Для иллюстрации приведенных выше общих рассужде-ний рассмотрим пример двухлетнего проекта, согласно кото-рому в первом году осуществляются только инвестиции (винтервальной форме KV0 = [1, 2]) и нет доходов, во второмгоду получается весь доход (P1 = [2, 3]) и отсутствуют какие-либо инвестиции. В этом случае связь интервала [NPV1, NPV2]и дисконта представляется следующим образом:

[ ] [ ] [ ]21211

32 NPV,NPV,d

, =−+

. (3.39)

На рис. 3.13 представлены результаты расчетовинтервалов[NPV1, NPV2] для различных значений d, получен-ные на основе выражения (3.39). Из рисунка видно, что наи-более разумной постановкой задачи поиска IRR является тре-бование, чтобы середина интервала NPV находилась в нуле-вой точке (требование симметричности интервалаотносительно нуля).

Рис. 3.13. Зависимость ширины интервала NPV от значениядисконта. D(NPV) – ширина интервала NPV

-2 0 2 4 6

D(NPV) =1.57

D(NPV) =1.33

D(NPV) =1.4

D(NPV) =1.5

D(NPV) =1.67 D(NPV) =2

D(NPV) =3

Симметричный интервал (интервальный эквивалент нуля) при d 1= d 2 = 0.607

0.5

D(NPV) =1.75

1

1.5

2

2.5

3

105

Очевидное, на первый взгляд, требование минимизацииполучаемого интервала NPV приводит к получению мини-мальных по размеру положительных либо отрицательныхинтервалов NPV, не пересекающих, однако, нулевую точку, чтоне соответствует естественным представлениям об интерва-ле в окрестности нуля.

Кроме того, легко доказывается, что только требованиесимметричности интервала относительно нуля асимптотичес-ки устойчиво при сужении границ всех интервалов к их цен-трам, то есть обеспечивает верный результат и для вырож-денного случая.

Таким образом, в общем случае задача сводится к отыска-нию таких точных (неинтервальных) значений d, которые быобеспечивали на каждом α -уровне в уравнениях (3.37) симмет-ричность получаемых интервалов NPV относительно нуля, т.е.гарантировали бы выполнение требования (NPV1 + NPV2) = 0для каждого α -уровня (α = 0, 0.1, 0.2,...,1).

Соответствующая задача решается на каждом a-уровнечисленно методом минимизации Ньютона.

Дальнейший анализ проведем на основе результатов ре-шения модельной задачи. Сравним два инвестиционных про-екта, рассчитанных на 4 года.

Нечетко-интервальные чистые потоки платежейKt = Pt — KV t в каждом году будем описывать при помощичетырехреперного представления нечетких интервалов.

Исходные данные для рассматриваемых проектов ирезультаты расчетов IRR для α -уровней представлены нарис. 3.14.

При этом значение Kij соответствует i-й реперной точкетрапецеидального нечеткого числа, соответствующего чисто-му потоку платежей в j-м году.

Необходимо обратить внимание на то, что данные дляпервого проекта носят явно более определенный характер (ос-нования нечетких интервалов для первого проекта уже, чемдля второго).

106

Рис.3.14. Модельный пример сравнения двухинвестиционных проектов

Как видно из рис. 3.14, получаемые в результате расчетовдля каждого α -уровня значения IRR

α могут как возрастать, так

и снижаться с ростом α -уровня, и в итоге для каждого проек-та получается собственная область возможных значений IRR.В связи с этим возникает проблема интерпретации получае-мых результатов.

Поскольку рассчитываемые на каждом α -уровне значе-ния IRR

α являются неинтервальными решениями интерваль-

ной задачи, получаемые множества значений IRRα затрудни-

тельно сколько-нибудь обоснованно интерпретировать в ин-тервальном или нечетко-интервальном смысле. Поэтомунеобходимо получить определенные четкие неинтервальныеоценки IRR. Простейшая оценка – среднее значение IRRср – бе-зусловно, применима, однако она не учитывает, что с ростомα -уровня растет надежность результата, т.е. IRR

α, получен-

ные на высоких α -уровнях, более ожидаемы и возможны, чемполученные на низких α -уровнях, уже в силу определенияэтих уровней. С другой стороны, каждому IRR

α соответствует

четкий интервал [NPV1, NPV2]α , величина которого является

0 1 2 3 NPV

K01=6.95K02=6.95K03=7.05K04=8.00

K11=4.95K12=4.95K13=5.05K14=6.00

K21=3.95K22=3.95K23=4.05K24=5.00

K31=1.95K32=1.95K33=2.05K34=3.00

00.20.40.60.8

1

-2 2

IRR0.3140.3230.3310.3390.3470.355

K01=6.00K02=6.95K03=7.50K04=8.00

K11=4.00K12=4.95K13=5.50K14=6.00

K21=3.00K22=3.95K23=4.50K24=5.00

K31=1.00K32=1.95K33=2.50K34=3.00

00.20.40.60.8

1

-3 3

IRR0.3340.3310.3270.3230.3190.314

107

характеристикой неопределенности получаемого неинтер-вального значения IRR

α, поскольку размеры интервалов [NPV1,

NPV2]α количественно характеризуют отличия левых частей

интервальных уравнений (3.38) от вырожденного интерваль-ного нуля [0,0]. Все это позволяет естественным образом вве-сти две взвешенные оценки IRR на множестве IRR

α: наименее

ожидаемую (наименее надежную) IRRmin и наиболее ожидае-мую (наиболее надежную) IRRmax:

( )

( )∑

∑−

=

−

=

−

−= 1

012

1

012

min n

iii

n

iiii

NPVNPV

NPVNPVIRRIRR , (3.40)

где n — число a-уровней.

∑

∑−

=

−

== 1

0

1

0max n

ii

n

iiiIRR

IRRα

α. (3.41)

В практике принятия решений по выбору проектовцелесообразно использовать все три получаемые оценки

срIRR , minIRR , maxIRR . Интерпретация [ 1NPV , 2NPV ]α как характеристики

неопределенности получаемого неинтервального значенияIRRα позволяет сформировать количественную, выражаемуюв денежных единицах, оценку риска инвестиций врассматриваемый проект (степень неопределенностиполучаемых оценок срIRR , minIRR , maxIRR как следствиенеопределенности исходных данных) в виде:

( )n

NPVNPVR

n

iii

cp

∑−

=

−=

1

012

. (3.42)

Параметр срR может играть определяющую роль приоценке альтернативных проектов.

108

В результате расчетов для рассматриваемого примераполучено:

IRRmin = 0,34; IRRmax = 0,327; IRRср = 0,335; Rср = 1,56 – для первогопроекта;

IRRmin = 0,322; IRRmax = 0,329; IRRср = 0,325; Rср = 3,52 – для второгопроекта,

Рассматриваемые проекты имеют весьма близкие значе-ния параметров IRRср, IRRmin, IRRmax , в то же время значениепараметра риска Rcp для второго проекта более чем в два разавыше, чем у первого, что однозначно указывают на его мень-шую предпочтительность.

Кроме описанных параметров, имеют смысл также IRRnr– наиболее надежное значение IRRα , соответствующее мини-мальному по ширине интервалу [NPV1,NPV2]nr среди всех[NPV1,NPV2]α и IRRr – наименее надежное значение IRRα , со-ответствующее максимальному по ширине интервалу[NPV1,NPV2]r среди всех [NPV1,NPV2] α . Ясно, что[NPV1,NPV2]nr и [NPV1,NPV2]r есть оценки риска для соот-ветствующих IRRnr и IRRr.

В нашем примере различия между значениями IRRnr длядвух рассматриваемых проектов весьма незначительны присущественной разнице в оценках риска.

Математический аппарат нечетко-интервального анали-за позволяет разработать методики многокритериальных оце-нок и оптимизации потока платежей предприятий в схемахинвестиционного проектирования.

Дело в том, что получаемое в результате расчета нечетко-интервальное значение NPV несет значительно больше полез-ной для практики информации, чем обычные четкие оценки.Однако его необходимо дополнительно интерпретировать, таккак существующие нормы отчетности требуют указывать кон-кретные числа, а не нечеткие интервалы. Кроме того, с точкизрения инвестора вполне естественным является желаниеполучить конкретное значение NPV, на которое можно ориен-тироваться при составлении, например, бизнес-плана, оп-ределенную оценку риска проекта, а также конкретные значе-

109

ния Pt и KVt, рассчитанные с учетом существующей неопре-деленности исходных данных.

Решение этой проблемы возможно путем решения зада-чи оптимизации, в которой исходные нечеткие интервалы Ptи KVt рассматриваются как ограничения на управляемые вход-ные параметры, а dt – как неуправляемый параметр, характе-ризующий неопределенность внешней по отношению к рас-сматриваемому проекту среды. Последнее объясняется эконо-мической сущностью дисконта d, который определяется такимивнешними рыночными факторами как динамика фондовогорынка, изменение курса национальной валюты и пр.

Решаемая задача оптимизации является многокритериаль-ной, что требует решения вопросов адекватной математичес-кой формализации частных критериев, их представления вединой унифицированной форме, не зависящей от физичес-кой сущности показателей качества, на основе которых стро-ятся частные критерии. Теория нечетких множеств предлага-ет для этого удобный аппарат функций желательности, по-зволяющий перейти из пространства показателей качества впространство соответствующих им критериев, значения каж-дого из которых унифицированы, измеряются степенью же-лательности, изменяющейся в интервале [0,1]. Следует отме-тить, что использование функций желательности позволяетне делать принципиальных различий между критериями иограничениями в математической формулировке задач опти-мизации, что весьма похоже на ситуацию, возникающую прииспользовании метода штрафных функций.

В рассматриваемой задаче наиболее важным критериемявляется критерий максимизации чистого приведенного до-хода NPV. Его построение осуществлялось в два этапа.

На первом этапе в результате подстановки исходных не-четких интервалов Pt , KVt и dt в выражение (4.1) находитсянечеткий интервал, характеризующий изменения возможно-сти получения тех или иных значений NPV внутри интерваладопустимых значений [NPV1,NPV4].

На втором этапе строится частный критерий, отражаю-щий требования к доходности проекта с учетом реальных ог-раничений. Способ построения этого частного критерия, опи-

110

сываемого функцией желательности ìdNPV(NPV), очевиден:функцию желательности ìdNPV можно рассматривать лишь наинтервале возможных значений NPV ([NPV1,NPV4]), причемìdNPV должна возрастать с ростом NPV (рис. 3.15). Важно от-метить, что при этом не принимались в расчет возможностиреализации тех или иных значений NPV внутри интерваладопустимых значений, поскольку эта информация неявно учи-тывалась при построении ограничений на основе нечеткихинтервалов Pt и KVt,.

Рис. 3.15. Функция принадлежности µNPV (- - -) и функция

желательности ìdNPV(NPV) ( )

Исходные нечеткие интервалы Pt и KVt, также рассмат-риваются как функции желательности 2121

,,...,, KVKVPP µµµµ ,...,характеризующие ограничения на управляющие переменные(исходные интервалы уже построены таким образом, что приих интерпретации как функций желательности более предпоч-тительными оказываются те значения из интервалов Pt и KVt,реализация которых более возможна). Поскольку эти функциижелательности связаны с возможностью реализации тех илииных значений управляющих параметров, отвечающие имчастные критерии являются критериями, в совокупности не-явно характеризующими финансовый риск проекта.

В связи с этим возникает проблема объединения (сверт-ки) частных критериев в некоторый обобщенный. Использо-вание максиминного подхода гарантирует получение адекват-ных результатов, если при свертке используемые функциижелательности возводить в степени, равные рангам этих час-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 NPV1 NPV2 NPV3 NPV4

111

тных критериев. Поэтому максимизируемая функция или гло-бальный критерий строился в виде:

( ) ( )( ) ( )( )( )2

2121

1 αα µµµµµ ## ,,,,,min,d,KV,PNPVdmind,KV,PD KVKVPPtttNPVttt = , (3.43)

где α 1 иα 2 – задаваемые инвестором ранги, характеризую-щие относительную значимость для клиента доходов и рис-ков; ( )( )tttNPV dKVPNPVd ,,µ – значение функции желательно-сти µ dNPV в точке ( )ttt dKVPNPV ,, .

В итоге задача сводится к отысканию набора неинтерваль-ных (четких) значений PP1,PP2,...,KKV1,KKV2,..., изменяющих-ся в пределах, ограниченных соответствующими нечеткимиинтервалами P1,P2,...,KV1,KV2,..., которые бы максимизирова-ли глобальный критерий (3.43):

( )ittidi

tidi

t dKVPDdKKVdPP ,,maxarg)}(),({ = . (3.44)

Задача осложнялась тем, что дисконт полагался неуправ-ляемым параметром, равномерно распределенным в задан-ном интервале, хотя при опросе экспертов можно получитьнекоторое распределение прогнозов значения d, которое вобщем случае может быть представлено неким нечетким ин-тервалом, описываемым соответствующей функцией принад-лежности )d( idµ .

Поэтому процедура решения задачи осуществлялась сле-дующим образом.

Из диапазона изменений дисконта случайным образомвыбиралось значение, для которого с помощью метода слу-чайного направленного поиска Ноллау-Фюрста находилосьоптимальное решение (3.44), соответствующее наилучшемукомпромиссу между требованием снижения неопределенно-сти результата и стремлением к получению максимальнойприбыли. Соответствующие оптимуму значения PPd

t и KKVdt

являются оптимальными при данном значении дисконта сточки зрения этого компромисса. Далее, из интервала варьи-рования дисконта выбиралось следующее случайное его зна-чение и вновь решалась задача оптимизации. Эта процедуравыполнялась до тех пор, пока не набиралась статистическирепрезентативная выборка оптимальных решений для различ-

112

ных значений дисконта. Итоговые оптимальные значения PP0t

и KKV0t находились как средневзвешенные оценки с учетом

степени возможности реализации различных значений di, за-даваемой исходным нечетким интервалом di, с функцией при-надлежности )d( idµ .

( ) ( ) ( )∑∑==

⋅=

m

iid

m

iidit

dit dddPPPP

11

0 / µµ ,

( ) ( ) ( )∑∑==

⋅=

m

iid

m

iidit

dit dddKKVKKV

11

0 / µµ ,

(3.45)где m – число дискретных значений дисконта id ,использовавшихся при решении задачи.

В силу построения численные значения обобщенного кри-терия (3.43) могут изменяться от 0 до 1, причем степень бли-зости D к единице в точке найденного оптимума количествен-но характеризует успех решения задачи оптимизации. Такимобразом, значение глобального критерия в точке оптимума вданном случае содержит важную информацию, которую це-лесообразно учитывать при расчете средневзвешенных зна-чений PP0

t и KKV0t. Для учета этого обстоятельства предло-

жены выражения:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑∑==

∧

∧⋅=

m

iii

m

iiit

dit dDddDdPPP

dd11

0 2121 / ββββ µµ ,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑∑==

∧

∧⋅=

m

iii

m

iiit

dit dDddDdKVKKV

dd11

0 2121 / ββββ µµ . (3.46)

где 1â , 2â – ранги, причем nn

ii =∑

=1β , где n — число рангов;

D( id ) – значение обобщенного критерия (3.43) в точкеоптимума для i-го значения дисконта.

Использование выражений (3.46) дает возможность учесть,помимо надежности значений id , количественную меруэффективности в оптимуме компромисса между стремлениемснижения неопределенности результата и максимизации доходадля каждого из выбранных значений дисконта.

113

В результате решения задачи оптимизации получаем чет-кие значения PP0

t и KKV0t , на которые можно ориентироваться

при реализации инвестиционного проекта. Кроме того, мож-но определить оптимальное нечетко-интервальное значениеNPV, подставив эти оценки и нечетко-интервальный дисконтd в выражение (3.1).

Рассмотрим результаты, полученные на основе приведен-ного выше модельного примера первого из проектов, пред-ставленных на рис. 3.14. В таблице 3.8 приведены рассчи-танные рассмотренными выше способами оптимальные дляэтого проекта значения PP0

t и KKV0t .

Таблица 3.8

Оптимальные значения PP0t и KKV0

t

Соответствующие значения чистого приведенного дохо-да в точке найденного оптимума получены в виде нечеткихинтервалов:

NPV(3.45)

= {4.057293, 6.110165, 8.073906, 9.454419};

NPV(3.46)

= {4.065489, 6.109793, 8.064094, 9.436519}.

Полученные данные свидетельствуют о том, что напрактике итоговые результаты, полученные с использовани-ем выражений (3.45), (3.46) различаются незначительно.

По этим данным, пользуясь методикой, описанной в под-разделе 3.6, можно определить степень риска полученныхоптимальных значений, которая будет обусловлена лишь внеш-ней по отношению к проекту неопределенностью дисконта.

В качестве промежуточных результатов решения задачиоптимизации были получены четкие, неинтервальные значе-ния NPVi, соответствующие максимальным значениям глобаль-

Выражения (3.45) Выражения (3.46)Год Pt KVt Pt KVt0 0.00 2.49 0.00 2.501 0.00 0.83 0.00 0.792 8.05 0.00 8.04 0.003 7.12 0.00 7.09 0.00

114

ного критерия (3.43) для дискретных значений di из диапазо-на возможных значений дисконта. Фактически NPVi являют-ся четкими значениями дохода, полученными в точке опти-мума при фиксированном значении di. Поэтому для получе-ния итоговых неинтервальных оценок чистого приведенногодохода, средневзвешенных по интервалу варьирования d, ис-пользовалось выражение:

∑

∑

=

=

⋅

= m

idiNPV

m

idiNPVdi

opt

NPV

NPVNPVNPV

1

1

)(

)(

µ

µ, (3.47)

где idNPV – значение NPV в точке оптимума для i-о значения

дисконта.Для рассматриваемого примера из (3.47) получаем

NPV(3.45)= 6,8931, NPV(3.46)=6,8942.На рис. 3.16 представлен нечеткий интервал, рассчитан-

ный для полученных четких (неинтервальных) оптимальныхзначений потоков платежей, в сопоставлении с исходныминтервалом, полученным прямым расчетом по исходным не-четким интервалам Pt и KVt и d, без использования оптими-зации. Нечетко-интервальный вид получаемого при этом NPVобусловлен исключительно нечетко-интервальной формойзадания дисконта d.

Рис. 3.16. Сравнение базового нечеткого интервала NPV соптимальным интервалом

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15

Базовый NPV

Оптимальный NPV

115

Как видно из рисунка, оптимизация позволила достиг-нуть поставленных целей: налицо существенный рост про-гнозируемых значений NPV. При этом также достигается су-жение нечеткого интервала NPV в точке оптимума, что сви-детельствует о снижении финансового риска.

ЛЕКЦИЯ 4. АКЦИИ И ОРГАНИЗАЦИЯ ТОРГОВЛИЦЕННЫМИ БУМАГАМИ

4.1. Формирование цены акции, прибыли и дивиденды.ММ-парадокс. Риск и ограничние риска. Финансовый

риск. Хеджирование. Опционы и контракты нафинансовам рынке

В отличие от ценных бумаг с фиксированным доходомэффективность операций с акциями может быть лишь услов-но прогнозируема.

Можно записать формулу зависимости эффективности отцен и дивидендов:

0

01

CdCCR +−= ,

где С0 – цена покупки, C1 – цена продажи, a d – дивиденды,полученные за время владения акцией.

Напомним, что дивиденды выплачиваются из прибыли,и только собрание акционеров (а точнее, владелец контрольно-го пакета) решает, какую долю прибыли направить на выпла-ту дивидендов. Это решение или последовательность такихрешений именуют дивидендной политикой корпорации.

Модильяни и Миллер высказали парадоксальное утвер-ждение: в условиях конкурентной экономики дивиденднаяполитика не влияет на эффективность инвестиций в акции.

Пусть в момент покупки акции корпорация имела капи-тал К(0) разделенный на N акций. Формально цена акции –это приходящаяся на нее доля капитала

N

KC)(

)(0

0 = .

116

За квартал фирма заработала прибыль П, составляющуюдолю nr от ее начального капитала,

П = rnK(0) ,

и выделила долю g из нее на выплату дивидендов, так что накаждую акцию пришлось

NKgr

d)(

n0

=

(число акций предполагается неизменным).Капитал К(1), оставшийся в распоряжении корпорации и

способный далее приносить прибыль, равен

К(1) = К(0) + (1 — g) П = [1 + (1 — g) rn] K(0).

Новая цена С равна

)(n)(

(1) KN

r)g(N

KC 01 11 −+

== .

Подставляя теперь выражение для цены и дивидендов вформулу эффективности, убеждаемся, что она не зависит отдивидендной политики, а определяется только продуктивно-стью rn фирмы

n)(

)()(n

)(n r

KKKgrK]r)g([

R =−+−+

= 0

00011 .

Вывод вызывает сомнения. Прежде всего цена акции вве-дена формально, как доля капитала, но даже если существуетвозможность объективно оценить капитал, то рыночная ценаакций, как правило, не будет соответствовать доле этой оцен-ки. Поэтому эффективность рыночной операции (купить, по-лучить дивиденды, продать по новой цене) не будет равнаэффективности, исчисленной в «объективных» ценах.

Предположим, однако, что инвестор не собирается прода-вать акцию. Через квартал он будет иметь на руках ту же ак-цию, но имеющую новую цену, и дивиденд наличными. При

117

сохранении продуктивности фирмы капитал, вложенный в ак-цию, будет иметь эффективность rn, определяемую только про-дуктивностью. Капитал же, полученный как дивиденд, можетбыть вложен в любую другую операцию на рынке. Отсюда ясно,что дивидендная политика фирмы не имеет значения, только есликапиталовложения в любую другую операцию будут так же эф-фективны, как и капиталовложения в данную фирму. Именнотакое свойство идеальной конкурентной экономики и обеспечи-вает справедливость утверждения Модильяни – Миллера.

В реальной же экономике инвестор может надеяться вло-жить полученный дивиденд и более эффективно, ориентиру-ясь на текущую конъюнктуру, где эффективности вложений вразличные предприятия все время меняются.

Вернемся к проблеме оценки цены акции. Вновь можнорассмотреть ситуацию, когда акция все время остается у одноговладельца, или акцентировать внимание на собственной ценеакции независимо от того, в чьих руках она находится. Все, чтополучает владелец акции, – это дивиденды, но поскольку этидивиденды поступают в разное время, при их суммированиинеобходимо принимать во внимание дисконт.

Приведенная к начальному моменту (момент покупки)сумма всех дивидендов равна

∑∞

= +=

1

0

1tt

)t()(

)r(dC ,

где r – процент, который может получить владелец, реинвес-тируя дивиденды, d(t) – дивиденд за квартал t.

Простейший прогноз дивидендов исходит из предположе-ний, что продуктивность капитала корпорации остается неиз-менной, равно как и ее дивидендная политика. В этом случаеза каждый квартал капитал изменяется с коэффициентом роста:

1+(1-g)rn

и через t кварталов окажется равным

К(1) = [1 + (1 — g) rn ]t К(0),

118

а соответствующий дивиденд за квартал t окажется равным:

)(tn

n)t(n)t( K]r)g([N

grKNgrd 011 11 −− −+== , t = 1,2, ...

Теперь можно вычислить прогноз цены акции как PVпотока дивидендов:

.grrr

grN

Kr

r)g(r

KNgrC

nn

n)(t

t

n)(n)(

+−⋅=

+−+

+⋅=

−∞

=∑

01

1

00

111

11

Вывод: прогноз цены акции отличается от ее формально-го значения как доли капитала корпорации множителем

−+ 111

1

nrr

g

и зависит от дивидендной политики.Однако если акционер не может добиться большей эффек-

тивности, реинвестируя дивиденды в другие финансовые опе-рации, то он предпочтет вложить их в акции той же корпора-ции. При этом r = rn, и прогнозная цена не будет зависеть отдивидендной политики, совпадая с формальным значением.Поскольку в условиях идеальной конкурентной экономики от-сутствует возможность более эффективных конкурентных вло-жений, ММ-парадокс оправдан.

На реальном рынке цены акций меняются непрерывно,формируясь как результат соглашений между большим числомпокупателей и продавцов. Тем не менее на уровень реальныхцен, несомненно, влияют прогнозные оценки, опирающиеся,в свою очередь, на прогноз продуктивности каждой корпора-ции, ее дивидендной политики и прогноз эффективности аль-тернативных вложений.

Финансовая операция (сделка) называется рискованной,если ее эффективность недетерминирована, т. е. не полнос-тью известна в момент заключения сделки.

Недетерминированность эффективности, а следователь-но, рискованность – свойство почти любой сделки, связан-ной с покупкой и продажей ценных бумаг.

119

Эффективность ценных бумаг зависит от трех факторов:цены покупки, промежуточных выплат и цены продажи. Пер-вый фактор детерминирован: цена точно известна в моментсовершения сделки. Применительно к процентным ценнымбумагам существует риск невыполнения обязательств. Можетбыть внезапно принято решение об отсрочке погашения госу-дарственных ценных бумаг, корпорация может оказаться фи-нансово несостоятельной и не способной вернуть долги.

С другой стороны, динамика курсовой стоимости процен-тных ценных бумаг также заранее неизвестна. Владелец про-центных ценных бумаг может продать их в любой момент дообъявления срока погашения (исполнения), если он решит, чтотекущий курс выгоден, но в случае изменения этого курса вбудущем в сторону еще большей эффективности он может ока-заться в проигрыше.

Однако эффективность процентных ценных бумаг госу-дарства и крупных корпораций может быть прогнозируема снебольшими отступлениями от истины. В случае банкротствакредитные обязательства покрываются в первую очередь.

Совершенно иной является ситуация с акциями. Условияпокупки акций не содержат в себе никаких формальных обя-зательств компании, связанных с выплатой дивидендов илис выкупом по какой-либо фиксированной цене. Приобрете-ние акций – безусловно, рискованная финансовая операция.

Финансовый риск – это не обязательно разорение. В ос-новном финансовый риск — это упущенные возможности.

Эффективность операций с ценными бумагами, как прави-ло, заранее неопределенна. Инвестор должен принимать реше-ние, проводя сравнение прогноза эффективности данной цен-ной бумаги с эффективностью возможного безрискового вклада.

Хеджирование (hedging) – любая схема, позволяющая ис-ключить или ограничить риск финансовых операций, связан-ных с рисковыми ценными бумагами.

Полное исключение риска – крайне редкое явление в фи-нансовой деятельности.

Пример. Инвестор-кредитор предоставляет деньги в долгдругому лицу. Должник выдает кредитору расписку – обя-зательство вернуть деньги с добавлением фиксированного рос-

120

та r. Эта расписка является простейшей формой ценной бума-ги. На первый взгляд, операция является безрисковой, по-скольку даже в случае отказа долг будет взыскан в судебномпорядке. В качестве обеспечения оплаты указывается принад-лежащий должнику дом.

На самом деле риск сохраняется, поскольку в результатевозможного пожара, который может уничтожить заложенноестроение, должник становится неплатежеспособным.

Однако в качестве ограждения от такого риска кредиторможет приобрести за свой счет страховой полис, гарантирую-щий выплату в случае пожара определенной суммы, достаточ-ной для возврата долга с процентами. При этом действитель-ная эффективность вклада окажется ниже в зависимости отвозможных вариантов развития событий.

Примем для простоты за единицу (например, 1 млн руб.) сум-му, которую ассигнует кредитор на всю операцию. Пусть из нее хпередается в виде долга, а 1-х направляется на покупку полиса.

В варианте 1, если пожара не произойдет, эффективностьвклада составит

R1 = (l + r) x — l.

В варианте 2, если пожар уничтожит строение и долж-ник окажется несостоятельным, кредитор получит от страхо-вой компании сумму q (l — x), где q – отношение страховоговозмещения к цене полиса.

Таким образом, эффективность вклада во второй ситуа-ции равна

R2 = q (l — x) — l.

Однако можно выбрать х так, чтобы R1= R2, что достига-ется при

x = q / (1 + r + q).

Такая схема хеджирования полностью исключает неопре-деленность. Безрисковая комбинация двух ценных бумаг (рас-писки и полиса) гарантирует эффективность, равную

R = R1 = R2 = 111 −

+++

qrq)r(

.

121

При известной величине q всегда можно выбрать r так, что-бы получить любую гарантированную эффективность вклада.

Приведенный пример является условной ситуацией, нехарактерной для операций на рынке ценных бумаг, но сампринцип страхования с помощью дополнительных затрат ре-ализуется и на рынке.

Опцион – это документ, удостоверяющий право на покуп-ку или продажу какого-либо товара по фиксированной цене.

Для финансового рынка особенно существенны опцио-ны на товары, фигурирующие на нем, т.е. акции, валюта и т.д.Опцион, по существу, является страховым полисом, обеспечи-вающим защиту от неопределенности. Купив акции и одновре-менно опцион на их продажу (put option), инвестор гарантирует,что даже если рыночная цена акций через год резко упадет, топотери будут ограничены. Купив опцион на покупку (call option),инвестор гарантирует защиту от роста цены на акции выше ука-занной в опционе. Опцион имеет цену (премию), зависящую отстепени неопределенности, с которой он борется.

Принято различать два типа опционов: европейский, ког-да опцион дает право купить (или продать) по фиксирован-ной цене в определенный день (expiration day), и американс-кий, дающий право купить (или продать) в любой день вплотьдо определенного момента. Сами по себе опционы являютсятаким же товаром, как и акции.

Продавец опциона должен предоставить определенныйзалог, гарантирующий выполнение контракта. Основная частьсделок проходит через корпорацию ОСС (Option Clearing Corp.),которая дает абсолютную гарантию сделки.

Кроме основных видов опционов (calls, puts) на акции суще-ствует множество других форм: Index Option – форма игры на курсегруппы акций, характеризуемом сводным индексом: индекс Доу-Джонса (по названию фирмы, выпускающей главную финансо-вую газету «Wall Street Journal») – сумма цен акций 30 ведущих кор-пораций, разделенная на некоторое число (divisor); Standard and Poor’s500 Stock Index — взвешенная сумма цен акций 500 крупнейшихкорпораций, т.е., грубо говоря, цена «рынка».

Index Option заключается не на фиксированное число ак-ций – просто продается право получить сумму,

122

пропорциональную приросту индекса к фиксированному мо-менту, если индекс действительно возрастет. Таким образом,Call Index Option – это форма ставки с расчетом на движениерынка вверх (на положительную эффективность рынка), со-ответственно put IO – ставка на движение его вниз.

Существуют и опционы на иностранную валюту, на биле-ты казначейства США и т.д.

Более того, опционы продаются и специальными груп-пами: один put и один call на один и тот же вид акций с одина-ковой str. price (два puts и один call; один put и два calls). Этигруппы имеют названия (straddle, strip, strap), происходящие отжаргонных терминов, применяемых игроками на ипподроме.

Популярным вариантом опциона на покупку являютсяwarrant — опцион на покупку акций корпорации, выпускаемыйсамой корпорацией и обеспечиваемый ее достоянием. Основ-ным практическим отличием warrant от обычного call optionявляется большая его длительность (5 лет и более). Warrantтакже может продаваться в сочетании с другими ценнымибумагами, например, бонами той же корпорации.

Принципиально отличным от опционов финансовым ин-струментом являются контракты.

Контракты на будущее (futures) – основный тип ценныхбумаг, фигурирующий на товарных биржах.

1. Контракт является обязательством продавца поставитьв определенное место в определенный месяц определенноеколичество товара. После доставки товара покупатель обязанзаплатить продавцу заранее (в момент заключения контракта)обусловленную цену.

2. Контракт является ценной бумагой, т.е. товаром сам по себе,и может продаваться исходным покупателем и перепродаватьсяна бирже вплоть до фиксированного в нем месяца поставки.

3. Для того чтобы гарантировать выполнение контракта,необходимо вносить обеспечение наличными (или их эквива-лентом в виде ликвидных ценных бумаг).

4. Будучи ценными бумагами, контракты допускают воз-можность использования их в качестве предмета опциона.

В заключение отметим, что контракты на будущую покупку(продажу) с фиксированными условиями сделки могут заклю-

123

чаться не только на реальные товары (зерно, металлы и т.п.), нои на любые ценные бумаги. В особенности это касается контрак-тов на иностранную валюту, казначейские билеты, акции и дажена пакеты различных акций, объединенных в индексные груп-пы, причем последний вариант особенно распространен.

Именно валютные фьючерсы являются наиболее попу-лярными на нарождающихся финансовых рынках России иБеларуси, чему способствуют неустойчивость валютного курсарубля и высокий общий темп инфляции.

4.2. Портфель ценных бумаг. Эффективность ценныхбумаг как случайная величина. Влияние склонности

к риску лиц, принимающих решения

Основной принцип работы на рынке ценных бумаг соот-ветствует житейской мудрости: «Никогда не клади все яйца водну корзину». Применительно к рынку это означает, что ин-вестор не должен приобретать ценные бумаги только одноговида. Необходимо разнообразие, диверсификация вклада. Впротивном случае инвестор обрекает себя либо на низкуюэффективность вклада, либо на излишне высокий риск.

Финансовый риск связан с неопределенностью эффектив-ности операции в момент заключения сделки, обусловленнойневозможностью прогноза цены в будущем (а для акций – ибудущих дивидендов). Если инвестор вложит свой капитал вакции нескольких компаний, то эффективность, конечно, так-же будет зависеть от курсовых колебаний, но только не каждо-го курса, а усредненного. Средний же курс, как правило, ко-леблется меньше, поскольку при повышении курса одной изценных бумаг курс другой может понизиться и колебания мо-гут взаимно погаситься.

Именно поэтому опытный инвестор является держателемнескольких ценных бумаг (векселей, акций разных корпораций,контрактов, опционов), именуемых портфелем инвестора.

Рассмотрим финансовую операцию, заключающуюся впокупке ценных бумаг по известной цене и в продаже их вбудущем по цене, заранее неизвестной (при этом, обладая цен-ными бумагами, инвестор может рассчитывать на получение

124

промежуточных выплат, например, дивидендов на акции, так-же заранее неизвестных).

Основная гипотеза, которая позволяет анализировать та-кую финансовую операцию, заключается в следующем: будемсчитать, что любое конкретное значение r эффективности опе-рации является реализацией случайной величины R.

Эта гипотеза позволит использовать для изучения свойствпортфеля ценных бумаг правила теории вероятностей, знаком-ство с элементарными основами которой далее предполагается.

Необходимый минимум знаний: требуется представлятьсебе, что такое

а) ожидаемое значение случайной величины R, обозначаемое m = E{R}; (4.1)

б) вариация (дисперсия) случайной величины V = E{(R — m)2} (4.2)

и стандартное (среднеквадратичное) отклонениеV=σ (4.3)

в) ковариация двух случайных величин R1 и R

2 V12 = E{( R1 — m1 )( R2 — m2)}. (4.4)

Здесь и далее используется операция вычисления ма-тематического ожидания Е{ }, применяемого к случайной ве-личине, стоящей в скобках. Ожидаемое значение интуитивнопонимается как среднее по всем значениям (реализациям),вычисленное с учетом частоты их возможного появления.

Если вариация эффективности равна нулю, то эффектив-ность не отклоняется от ожидаемого значения, т.е. нет неоп-ределенности, а следовательно, и риска. Чем больше вариа-ция, тем в среднем больше отклонение, т.е. выше неопреде-ленность и риск. Поэтому первоначально будем считатьвеличину вариации (или среднеквадратичное отклонение σ —СКО) мерой риска (зачастую величину СКО просто именуютриском, хотя это не совсем точно).

С одной стороны, для инвестора важно получить боль-шую ожидаемую эффективность вклада. С другой стороны,важны гарантии, важно уменьшить риск.

125

Если представилась возможность выбора между двумя ви-дами ценных бумаг, причем m1 > m2, а σ 1 = σ 2, то любой ра-зумный инвестор вложит деньги в 1-й вид. Если, напротив,m1 = m2, а σ 1 > σ 2, то инвестор выберет 2-й вид, поскольку сним связана меньшая неопределенность и, следовательно,меньшая степень риска.

Но в общем случае, когда m1 < m2, а σ 1 < σ 2, (или наобо-рот) однозначного разумного решения нет. Инвестор можетпредпочесть вариант с большим ожидаемым доходом, связан-ным, однако, с большим риском, либо вариант с меньшиможидаемым доходом, но более гарантированным и менеерискованным. Каждый инвестор, вкладывающий деньги вакции или любой рискованный вид ценных бумаг, является внекотором смысле игроком, и выбор, который он делает, за-висит от его склонности к риску.

Рассмотрим диаграмму, где каждый вид ценных бумагпредставлен точкой с координатами (mj, σ j).

Рис. 4.1. Диаграмма, представляющая каждый вид ценныхбумаг точкой с координатами (mj, jσ )

Чем больше ожидаемый эффект, тем выше расположенаточка; с увеличением риска точка располагается правее.

Очевидно, что опытный инвестор предпочтет вложение,представленное точкой 1, вложениям, представленным точка-ми 2 и 3. Он предпочтет также вложение, представленное точ-кой 4, вложению, представленному точкой 2. Однако лишь отсклонности к риску зависит выбор им вложений представлен-ных точками 1, 4 или 5.

m

. 4

. 2. 1 . 3

σ

. 5

126

4.3. Основные понятия технического и фундаментальногоанализа на рынке ценных бумаг

Современный технический и фундаментальный анализмодно образно представить как, соответственно, тактику истратегию инвестиционного менеджмента.

Инвестиционный менеджмент – очень широкое понятие,охватывающее различные проблемы, связанные с выборомсхемы капиталовложений и ее реализацией. Рассмотрим крат-ко только инвестиции в ценные бумаги, уделив основное вни-мание организации работы посредников рынка и использо-ванию ими практических методов финансового анализа.

Функции посреднических структурНачальным звеном в движении ценных бумаг является

корпорация-эмитент, конечным – инвестор, приобретающийее во владение. Однако на пути от эмитента к инвестору ра-ботают организации-посредники, определяющие лицо рын-ка. С некоторой условностью можно разделить посредниковна три класса: брокеры, дилеры и инвестиционные фонды.

Работа брокера состоит в купле-продаже ценных бумагпо поручению клиента-инвестора. Заработок брокера состав-ляют комиссионные за услуги. Формально брокера может неинтересовать инвестиционная эффективность ценных бумаг.Он выигрывает лишь на расширении круга клиентов и, преж-де всего, на привлечении клиентов, делающих крупные зака-зы. Однако, как правило, брокер выполняет и функцию кон-сультанта, помогая клиентам принять правильные решения.

Еще более серьезные требования предъявляются к работедилера, который приобретет ценные бумаги за свой счет ипродает их от своего имени. Иначе говоря, дилер является иинвестором, но, как правило, он не заинтересован в длитель-ном держании ценных бумаг с целью извлечения дохода откупонных платежей или дивидендов. Основной доход дилерполучает на курсовой разнице, складывающейся во времениили пространстве (на различных рынках).

Как уже указывалось, брокер или дилер – это скорее наи-менования функций, и во многих случаях обе эти функцииосуществляет одно и то же лицо или фирма.

127

Особый класс посредников составляют инвестиционныефонды. Их основная функция состоит в приобретении порт-феля ценных бумаг и эмиссии акций под образованный такимобразом капитал. Владельцы акций фонда приобретают пра-во на дивиденды, получаемые с этого капитала.

Таким образом, инвестиционный фонд, с одной стороны,выполняет функции дилера, приобретающего и продающегоценные бумаги из своего портфеля, а с другой стороны, являет-ся эмитентом, поставляющим свои ценные бумаги на рынок.

В США различают три основных типа фондов:1) фонды с фиксированным портфелем (fixed unit trusts);2) «замкнутые» фонды (closed end funds);3) «взаимные» фонды (mutual funds open end funds).Фонды 1-го типа образуются одним спонсором, в каче-

стве которого обычно выступает большая брокерская фирма.Спонсор покупает некоторый пакет ценных бумаг, помещаетего на хранение в банк (доверенное лицо, frustee) и продаетвкладчикам акции. Все доходы от портфеля выплачиваютсявкладчикам через банк. Активное управление составом порт-феля не производится, поэтому затраты на управление, вып-лачиваемые банку, минимальны (0.15%). Спонсор-инициаторлишь определяет начальную структуру (она обычно включаетлишь notes и bonds). За свои усилия и риск спонсор получаеткомпенсацию, продавая акции по цене несколько выше долиисходного капитала, вложенного в портфель. Например, приисходной покупке бонов на 10 млн. долл. выпускается 1 млн.акций, продаваемых затем по 10.35 долл. за акцию. Если всеони будут проданы, спонсор заработает 350 тыс. долл. за вы-четом операционных затрат в 15 тыс. долл.

Срок работы такого фонда заранее ограничен. Остальныефонды имеют, как правило, неограниченный срок существо-вания, т.е. являются постоянно действующими организация-ми, имеющими дирекцию и управляющих. На практике именноуправляющие выбирают дирекцию фонда, хотя теоретическидирекция, выбираемая акционерами, назначает управляющих.Заработок управляющих зависит от рыночной цены фонда,поэтому они заинтересованы в ее росте, достигаемом за счетманеврирования составом портфеля.

128

Особенностью фондов 2-го типа является то, что числоакций не может быть уменьшено, но может быть увеличено,как правило, за счет выплаты дивидендов в виде дополни-тельных акций. Однако выпуск дополнительных акций дляпродажи осуществляется редко, поэтому такие компании име-ют ограниченный круг вкладчиков. Тем не менее, сами вклад-чики могут продавать и покупать эти акции, которые котиру-ются на бирже, как и всякие другие, о чем публикуется соот-ветствующая информация в виде набора

Net Asset Value Price Diff.

где первый столбец означает долю стоимости фонда, прихо-дящуюся на одну акцию, второй – последнюю цену продаж ипоследний – их разность в процентах.

Фонды 3-го тип наиболее распространены, посколькунаиболее гибки и непрерывно осуществляют выпуск новыхакций на продажу, если объем портфеля (в рыночных ценах)увеличивается. Иначе говоря, цена акций поддерживаетсяпримерно постоянной, а доля, приходящаяся на каждую ак-цию, не меняется.

Именно во «взаимных» фондах в наиболее полной мерепроявляются все функции финансового менеджмента:

формирование исходного портфеля;первичная эмиссия акций;управление составом портфеля;повторная эмиссия.Как и в любой управленческой структуре, эти функции

исполняют следующие группы служащих:собственно менеджеры – лица, принимающие оконча-

тельное решение (ЛПР);служащие, реализующие эти решения по указанию менед-

жера;аналитики – лица, подготавливающие рекомендации для

ЛПР и планы реализации решений.Далее остановимся в основном на функциях финансовых

аналитиков, что позволит согласовать общие теоретическиепредставления с практикой работы на рынке ценных бумаг.

129

Традиционный фундаментальный анализВплоть до 70-х годов в финансовом анализе господство-

вали две традиционные школы, взгляды и методы которыхбыли во многом противоположны.

Первое направление, именуемое фундаментальным ана-лизом, основано на представлении, что поведение курса цен-ных бумаг является следствием, отражением состояния дел вкорпорации, являющейся эмитентом, а также, возможно, со-стояния экономики в целом или отрасли, в которой действуеткорпорация.

Представители школы фундаментального анализа главноевнимание уделяют изучению финансовой отчетности, кото-рую обязана публиковать каждая акционерная компания от-крытого типа.

Чтобы понять основную идею подхода, вспомним теоре-тическую формулу, дающую прогноз цен акции:

( )

−+

⋅=111

100

nrr

gN

Kc , (4.5)

где К(0) – капитал корпорации; N – число эмитированных еюакций; rn – продуктивность капитала; r – эффективность аль-тернативного вложения дивидендов; g – доля прибыли, на-правленная на выплату дивидендов.

В этой формуле в принципе сконцентрированы основ-ные факторы, отражающие текущее состояние корпорации,способность ее к развитию путем приумножения капитала, атакже влияние принятой в корпорации схемы управлениядоходами. Конечно, все дано в обобщенной форме, и, болеетого, остается неясным, как найти конкретные числовые зна-чения факторов.

В определенной мере ответ на этот вопрос дает знаком-ство с балансом корпорации.

Под капиталом при этом понимаются чистые активы,обеспечивающие данный вид ценных бумаг. Поскольку фор-мула (4.5) была введена для обычных акций (common stocks),то обеспечивающие их чистые активы равны общим активам

130

баланса за вычетом нематериальных активов, заемных средстви балансовой стоимости (book-value) привилегированных ак-ций. Значительно сложнее оценить продуктивность корпора-ции. Обычно ее ассоциируют с показателем рентабельности,рассчитываемым как отношение балансовой прибыли к сум-ме среднегодовых стоимостей основных производственныхфондов и материальных оборотных средств, хотя, по-види-мому, в числителе более рационально указывать чистую при-быль после выплаты налогов.

Показатель g, характеризующий дивидендную политику,целесообразно оценивать как среднее значение отношения«дивиденды – прибыль» за ряд отчетных периодов, а это тре-бует накопления архивных данных по каждой оцениваемой кор-порации. Наконец, возможно, наиболее сложным является по-казатель r эффективности альтернативных инвестиций, посколь-ку это требует представления о состоянии экономики в целом.

Подчеркнем, что по существу дела необходимо представ-ление об эффективности инвестиций в будущем, причем ни вкоей мере нельзя ориентироваться ни на наиболее низкуюбезрисковую эффективность, ни на некую среднюю эффектив-ность по экономической системе в целом. Наиболее часто ре-комендуют использовать среднюю оценку по ценным бума-гам с одинаковой или близкой надежностью, степенью риска.

Фундаментальный анализ не пользуется формальнымиопределениями степени риска. Основная идея состоит в вы-числении некоторых коэффициентов, характеризующих пла-тежеспособность и финансовую устойчивость предприятия.

Стандартные показатели платежеспособности таковы:коэффициент абсолютной ликвидности Ка1, равный от-

ношению суммы денежных средств и стоимости ликвидныхценных бумаг к краткосрочным обязательствам корпорации;

коэффициент ликвидности баланса К1, расчет которогоотличается от Ка1 введением в числитель дебиторской задол-женности;

коэффициент покрытия баланса Кр, где в числитель вво-дится еще и сумма материальных оборотных средств.

Очевидно, что все эти коэффициенты отражают способ-ность предприятия расплатиться по краткосрочным обязатель-ствам за счет активов с разной степенью ликвидности, воз-можности быстро превратить их в денежные средства.

131

Оценку корпорации с точки зрения платежеспособностипринято считать благополучной, если

Ка1 ≥ 0.2; К1

≥ 0.5; Кр≥ 2.Нарушение этих условий отнюдь не ставит корпорацию

в положение неплатежеспособного должника, банкрота, алишь свидетельствует о возможности возникновения такойситуации, приводящей к обесцениванию акций.

Перегруженность корпорации не только краткосрочными,но и долгосрочными обязательствами характеризует и другиепоказатели финансовой устойчивости, например, коэффици-ент автономии Ка, вычисляемый как доля собственных средствв общем итоге баланса.

Принято считать положение нормальным, если Ка≥0.5, или,что то же самое, заемные средства не превышают собственных.

Наконец, надо помнить, что корпорация обязана выпла-чивать прежде всего проценты по долгам, в том числе в видеэмитированных ею бонов, затем дивиденды по привилеги-рованным акциям и только из остатка можно платить диви-денды. Поэтому, с точки зрения владельцев обычных акций,обязательные выплаты по привилегированным акциям могутрассматриваться как долговые обязательства. Вместе с темотказ от выплаты «привилегированных» дивидендов по зако-ну не является основанием для обвинения корпорации в не-платежеспособности.

Следовательно, можно сказать, что фундаментальныйанализ считает вложения в ценные бумаги корпораций близ-кими по надежности (степени риска), если близки их показа-тели платежеспособности и финансовой устойчивости.

Традиционный технический анализОсновным положением другой традиционной школы

финансового анализа, именуемой школой так называемоготехнического анализа фондовых рынков, является утвержде-ние, что вся информация, которая может быть полезной дляпринятия решений на рынке, содержится в самой историирынка, в движении курсов ценных бумаг.

Традиционную школу технического подхода часто назы-вают графической, поскольку ее главным инструментом явля-ется визуализация последовательности цен в виде графиков ирассмотрение особенностей этих графиков как средства пред-

132

сказания цен в будущем. Отражая особенности текущей ин-формации, графики обычно стоят в виде так называемых гис-тограмм (рис. 4.2). На оси абсцисс указываются точки, соот-ветствующие последовательным дням биржевой торговли. Пооси ординат для каждого дня строится отрезок, крайние точ-ки которого соответствуют нижней или верхней ценам за день,а штрихом выделяют цену закрытия. Таким образом, гистог-рамма легко строится на основании стандартной публикациии отражает как изменение цен изо дня в день, так и разброс ценв течение дня. При анализе гистограмм принято выделять ха-рактерные моменты, называемые разрывами, когда нижняя ценапредшествующего дня оказывается выше верхней последующегодня и наоборот. При этом различают разрывы 4 видов: обык-новенные, беглые, отрывные и окончательные. Примеры всехвидов разрывов приведены на рис. 4.3.

Рис. 4.2. Диаграмма динамики цен на бирже

Рис. 4.3. Основные типы разрывов цен

Цена

Объем

Цена

Объем

Обыкновенный

Беглый

Отрывной

Отрывной

Окончательный

133

Обыкновенный разрыв характеризуется низким объемомсделок и отсутствием предшествующей тенденции к росту илиподъему цен. Беглый разрыв идет на фоне медленного трендаи среднего уровня объемов. Отрывной разрыв сопровожда-ется ажиотажным спросом, а окончательный следует за от-рывным, но при резком снижении спроса.

Тенденция (тренд) лучше всего прослеживается по кри-вой, получающейся путем соединения точек, соответствую-щих ценам закрытия (рис. 4.2). Как правило, графики не имеютмонотонного характера: постепенное понижение или повыше-ние сопровождается небольшими колебаниями. Соединяя точ-ки максимума этих колебаний, строят так называемые линиисопротивления, соединяя минимумы, – линии поддержки(рис.4.4). Естественно, что основной интерес представляет эк-страполяция этих кривых на будущее. Приближение курсовогографика к одной из этих линий, как правило, свидетельствует отом, что далее произойдет изменение направления.

Рис. 4.4. Построение линий сопротивления и поддержки

Однако «пробивание» линий поддержки или сопротив-ления является сигналом о том, что на рынке произошли су-щественные изменения, отражающие в свою очередь суще-ственные изменения в финансовом состоянии самой корпо-рации-эмитента.

Впрочем, как правило, графический анализ применяетсяне к отдельной корпорации, а для выяснения тенденции рын-ка в целом или отдельных его секторов (промышленности,транспорта и т.д.).

Линии сопротивления

Линии поддержки

134

Количество частных приемов графического анализа огром-но. Однако для всех этих приемов характерны отсутствие четкихколичественных рекомендаций и интуитивный характер пред-сказаний. Вместе с тем в основе технического подхода лежит здра-вая и практически полезная идея: наблюдение за ходом кривых,отражающих динамику цен и объемов сделок в прошлом, позво-ляют прогнозировать поведение цен в будущем, а следователь-но, давать рекомендации по вложениям в ценные бумаги.

Современный технический анализСовременный технический анализ использует то же ос-

новное предположение об информативности курсовой дина-мики, истории ценных бумаг, но оперирует не графиками, арасчетно-аналитическими процедурами, опирающимися наметоды статистической обработки временных рядов. Описан-ные в предыдущих разделах процедуры, в сущности, представ-ляют собой один из вариантов технического анализа, посколькуих основная идея заключается в оценке эффективности вкла-да, определяемой изменением курса ценных бумаг.

Именно статистическая обработка позволяет оценить нетолько качественно, но и количественно как ожидаемое зна-чение курсовой цены в будущем, так и амплитуду ее колеба-ний, выражаемую через среднеквадратическое отклонение.Если эффективность вклада оценивается без учета дивиден-дов, то цена в будущем равна

Сt = С0 (1 + Rt),

где Rt – случайная эффективность за время t.Ожидаемое значение цены равно

E {Сt} = С0 (1 + mt),

а среднеквадратическое отклонение равноС0σ t,

где mt, σ t, – ожидаемое значение и СКО эффективности,

которые оценивались по временным рядам.Однако на практике для принятия решений на рынке цен-

ных бумаг необходимо знание не прогноза цен, а прогноза ихизменений, которые и отражают оценки эффективностей.

135

Одним из недостатком традиционного технического анализаявляется построение его на основе графиков цен, а не их из-менений. Важно, однако, понимать, за какой период временитребуется оценивать изменения.

Обычно рекомендуется проводить оценки изменений задостаточно длительные интервалы времени (например, квар-тал). При этом подразумевается, что такие изменения статис-тически устойчивы за весьма длительный период времени (до10 лет). Однако этот подход применим только для устойчи-вой, сложившейся рыночной экономики и, более того, дляпринятия решений, осуществляемых достаточно редко (нечаще, чем раз в квартал).

Если же управление портфелем ценных бумаг ведетсяболее активно, то необходимо прогнозирование на более ко-роткие интервалы времени в будущем. В частности, по отноше-нию к наиболее ликвидным видам ценных бумаг важно оце-нивать, как изменится их цена уже на следующий день тор-гов, учитывая всю предысторию вплоть до текущего дня.

Для этого каждая группа аналитиков должна использо-вать следующие основные процедуры:

1. По скользящей выборке (включающей, например, дан-ные за предшествующие 50-100 дней торгов) производитсястатистическая оценка ожидаемых изменений курсовых ценвпредь на день или несколько дней.

2. Дается оценка вариаций и ковариаций отклонений отэтих ожидаемых значений.

3. Строятся кривые прогноза (графики ожидаемых в бу-дущем изменений) и доверительных интервалов, в которыемогут уложиться случайные отклонения от прогноза с задан-ной вероятностью (верхняя и нижняя границы доверитель-ных и интервалов соответствуют традиционным линиям со-противления и поддержки).

4. По полученным оценкам ожидаемых значений и ковари-аций случайных отклонений производится вычисление прогнозаоптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Поскольку ме-няются оценки, то изменяется и структура, что дает основаниерекомендовать соответствующие изменения в управляемом пор-тфеле путем покупки или продажи ценных бумаг на рынке.

136

Очевидно, что реализация описанной схемы примени-тельно ко всей совокупности ценных бумаг, фигурирующих нарынке, связана с огромными информационными и вычисли-тельными затратами, которые могут превзойти эффект от улуч-шения структуры портфеля даже весьма крупного инвестора.Поэтому в реальной практике инвестиционного менеджмен-та применяются различные упрощающие варианты.

Наиболее распространенной является двухэтапная схема.На первом этапе (security selection) подбираются портфели,включающие ценные бумаги только одного типа, например,только акции венчурных компаний (весьма эффективные, ноне слишком надежные), только акции крупнейших компанийс устойчивой репутацией (blut chips на американском жарго-не), только боны корпораций или только безрисковые ценныебумаги типа векселей казначейства США, почти эквивалент-ные наличным деньгам. Отбор в каждый специализирован-ный портфель производится на основе опыта менеджера.

На втором этапе (asset allocation) решаются задачи прогно-зирования эффективности отобранных портфелей и вычисле-ния оптимальной комбинации из них. Конечно, при этом уда-ется работать с задачами значительно меньшей размерности.

Иногда используется и более сложная трехэтапная схема.На первом этапе выбираются портфели, в которые включа-ются, например, только акции одной из отраслей или толькобоны с коротким сроком платежа. На втором этапе (groupselection) образуются смеси из выбранных портфелей, тожевключающие только акции или боны, и наконец, на третьемэтапе вновь выбирается оптимальное распределение вкладовмежду акциями, бонами корпораций и безрисковыми ценны-ми бумагами.

Напомним теперь, что теория равновесного рынка пред-полагает и более простую процедуру: довериться рынку ивыбрать свой пакет рисковых ценных бумаг в качестве умень-шенной в размерах, но совпадающей по структуре копии рынкав целом. Следует понимать, что такая рекомендация практи-чески нереализуема: при наличии на рынке более 5000 видовакций различных корпораций, самая мелкая из которых со-ставляет не более 1/1000000 от общей суммы циркулирующих

137

ценных бумаг, попытка сформировать портфель – копию рын-ка обойдется в несколько миллиардов долларов (цена стан-дартного пакета в 100 акций обычно составляет несколькотысяч долларов), и если инвестор обладает подобной суммой,то он может предпочесть более серьезный анализ эффектив-ности формируемого им суперпортфеля.

То, что практика иногда не соответствует простейшимрекомендациям САРМ, ясно из рассмотрения состава порт-фелей ведущих американских инвестиционных фондов. Этипортфели существенно различаются по составу. Более того, одини тот же фонд может предлагать инвесторам различные, по-добранные по разным принципам портфели, каждый из кото-рых, правда, составлен так, чтобы обеспечить достаточно вы-сокую эффективность при разумной степени надежности.

Вновь подчеркнем, что при первом этапе формированияпортфеля, на этапе отбора видов ценных бумаг, главную рольиграет опыт менеджера, опирающегося не только на данные ста-тистики, но и на информацию, заведомо не отражаемую исто-рией торгов. В частности, огромную роль играют сведения, по-лученные в результате фундаментального анализа официальнопубликуемой информации о финансовом состоянии корпораций,и сведения из неофициальной информации (в особенности све-дения о намеченном уровне выплаты дивидендов).

В заключение отметим, что за последнее время наметилсясинтез фундаментального и технического анализа, основанныйна их новом понимании. Современный фундаментальный ана-лиз базируется на построении математических моделей разви-тия экономики в целом и отдельных корпораций. В результатеэтого анализа могут быть даны объективные оценки роста при-былей, а иногда и дивидендной политики. Используемые какаприорные данные при статистической обработке временныхрядов в рамках технического анализа эти результаты позволя-ют существенно улучшить чисто «исторические» оценки.

Тактика (стиль) менеджментаРазличные менеджеры придерживаются различной так-

тики в работе с доверяемыми им фондами.Пассивная тактика, или пассивный стиль, характеризу-

ется тем, что менеджер ориентируется на пропорции рынка,

138

доверяет отражаемому рынком «общественному мнению» ореальной стоимости различных ценных бумаг. Аналитик пред-ставляет менеджеру информацию о текущей структуре рынка,менеджер (или клиент) в зависимости от предпочтений (иассигнуемых средств) делает свой выбор, ориентируясь наменьшее число позиций (типов ценных бумаг), или следуетрекомендациям, вытекающим из описанных выше многоэтап-ных процедур, где его предпочтения учтены аналитиком наначальном этапе (security selection).

При этом возможна как чисто пассивная тактика, при ко-торой принятие решения о структуре портфеля не меняется втечение долгого времени, несмотря на текущие колебания струк-туры рынка, либо тактика (market timing), при котором решениепериодически пересматривается, производится коррекция пор-тфеля с учетом колебаний структуры. Обычно подобная кор-рекция производится лишь на верхнем уровне размещения вкла-дов, т.е. путем периодического пересмотра долей вкладов в ак-ции, боны и безрисковые ценные бумаги без измененияструктуры каждого портфеля (доли соответствуют долям тех жетипов вкладов на текущем рынке или прогнозу этих долей).

Активная тактика характеризуется тем, что менеджер недоверяет общему мнению и считает, что, имея более полнуюинформацию, он может обеспечить более эффективную струк-туру вкладов. Именно при активной тактике могут быть пол-ностью использованы возможности финансового анализа.

Получив рекомендации аналитиков о структуре оптималь-ного портфеля, менеджер может убедиться, что он не соот-ветствует структуре рынка (или ее усеченному варианту, со-ответствующему отобранному по вкусу клиента типам цен-ных бумаг). Тогда он может занять «активную позицию»,увеличивая или уменьшая (по сравнению с рынком) вклады вразличные ценные бумаги, добиваясь полного или хотя бычастичного соответствия с оптимальным портфелем.

Эти увеличения или уменьшения принято называть bets,что можно перевести как «ставки в игре», поскольку это дей-ствительно ставки в стремлении «переиграть рынок», добить-ся большей выгоды, хотя, возможно, и с большим риском.

И тактика пассивного слежения за рынком (market timing),и тем более активная тактика предусматривают ревизию, пе-

139

рестройку структуры портфеля путем покупки одних видовценных бумаг и продажи других.

Достаточно тонким является вопрос, насколько часто сле-дует изменять структуру. Если бы рынок был «безфрикцион-ным», то такие изменения стоило бы производить непрерыв-но, как только расчеты выявят оптимальный в новых услови-ях портфель.

Однако в действительности любая операция по пере-стройке портфеля связана с дополнительными затратами.

При каждой операции приходится платить налоги и ко-миссионные брокеру.

Более того, продав пакет акций по цене 1000 долл., егонельзя сразу приобрести обратно по той цене, поскольку су-ществует bid-ask spread – разница между ценой покупки и про-дажи. Таким образом, операция по перестройке портфеля мо-жет быть разумной только в том случае, если прирост эффек-тивности перекроет «фрикционные» затраты.

Об эффективности работы менеджера и аналитикаТорговля на финансовом рынке, операции с ценными

бумагами, несмотря на все указанные тонкости финансовогоанализа, все-таки являются одним из видов азартных игр.Степень азарта, роль случайности здесь, конечно, значитель-но ниже, чем в игре на деньги в покер, рулетку или лотерею,но она всегда присутствует.

Хотя все играющие в рулетку заведомо знают, что «стол»всегда остается в выигрыше, если игра идет длительное вре-мя, это не мешает реальному возникновению ситуации, когданеопытный игрок, поставивший деньги на номер, выбранныйнаугад, вдруг оказывается обладателем целого состояния.

Точно так же и неопытный вкладчик может дешево ку-пить пакет акций никому не известной компании, которыечерез год станут вдвое дороже, хотя на бирже это случаетсякрайне редко.

Тем не менее практически сложно отделить выигрыш,полученный в силу случайной удачи, от выигрыша, связанно-го с искусством управления. Для оценки уровня этого искус-ства, в свою очередь, требуются длительные наблюдения заработой инвестиционного фонда и сравнение итогов этойработы с деятельностью аналогичных предприятий.

140

Вместе с тем, в последние годы в США и других разви-тых странах наблюдается все большее предпочтение научныхметодов финансового анализа с привлечением мощной ком-пьютерной базы по сравнению с применением интуитивнойоценки и действий наугад.

4.4. Статистические характеристики пакета ценных бумаг.Влияние корреляции между ценами различных видов

акций на итоговую эффективность портфеля

Пусть хj, j= 1,..., n – доля общего вложения, приходящаясяна j-й вид ценных бумаг, так что

∑=

=n

jjx

11. (4.6)

Эффективность портфеля Rp, очевидно, равна

∑=

=n

jjjp ,xRR

1 (4.7)

если эффективность j-го вида равна jR .Согласно правилам теории вероятностей ожидаемый эф-

фект от портфеля равен.mx)R(Ex)R(Em

n

jjj

n

jjjpp ∑∑

==

===11

Отклонение от ожидаемого значения равно

∑=

−=−n

jjjjpp ).mR(xmR

1

Математическое ожидание квадрата этого отклонения естьдисперсия эффекта портфеля

( )[ ] ( )( )[ ]∑∑ ∑∑= =

=−−=−=n

i

n

j i jjiijjjiijippp xxVmRmRExxmREV

1 1

2 ,

где величины ijV = E [( iR — im

)( jR — jm )] являются

ковариациями случайных величин iR и jR . Очевидно, чтоVjj=σ 2

j,

т.е. jjV являются дисперсиями jR .

141

Предположим сначала, что случайные эффекты от раз-личных видов ценных бумаг, включенных в рассматриваемыйпортфель, взаимно независимы, точнее, некоррелированы, т.е.формально Vij = 0, i ≠ j.

Тогда∑ σ=

jjjp xV 22 ,

а среднеквадратичное отклонение pó равно

∑ σ=σj jjp x 22 .

Именно эта величина характеризует неопределенность,риск, связанный с вложением в портфель ценных бумаг. Зача-стую этот риск так и именуют – «риск портфеля».

Допустим, что инвестор вложил свои деньги равнымидолями во все ценные бумаги. Тогда хj = 1 / n, и инвестор по-лучит средний ожидаемый эффект

∑=

=n

jjp m

nm

1

1,

причем риск равен

21

1

221

1

22

11

σ=

σ=σ ∑∑

==

n

jj

n

jjp nn

.

Пусть jjmaxσ=σ .

Тогда( ) σ=σ=

σ≤σ ∑

= nn

nn

n

jp

11121

221

1

2 .

Вывод: при росте числа видов ценных бумаг n, включен-ных в портфель, риск портфеля ограничен и стремится к нулюпри n ∞→ .

Этот результат известен в теории вероятностей как законбольших чисел, а в теории финансового риска – как эффектдиверсификации (разнообразия) портфеля.

Отсюда вытекает главное практическое правило финан-сового рынка: для повышения надежности эффекта от вкладав рискованные ценные бумаги целесообразно делать вложе-

142

ния не в один вид, а составлять портфель, содержащий воз-можно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от кото-рых случаен, но случайные отклонения независимы.

Практические следствия из этого правила диверсифика-ции, проявляющиеся в самой организации финансового рын-ка, описаны ниже. Здесь же мы обратим внимание на то, чтосамо это правило получено из предположения о независимо-сти эффектов. Но эта гипотеза вызывает сомнения.

Пример 1. Рассмотрим условную ситуацию, когда инвесторможет формировать портфель из различных видов ценных бу-маг, эффективности которых взаимно некоррелированы. Ожида-емые значения эффективностей и их СКО приведены в таблице

Если инвестор вложит свой капитал поровну в ценныебумаги только первых двух видов, то ожидаемая эффективностьпортфеля окажется чуть меньше, чем при покупке только од-ного вида

510101121 ,)(m p =+= ,

но зато СКО портфеля окажется меньшим, чем у наименее«рискового» из двух

523421 22 ,p =+=σ .

В следующей таблице показаны ожидаемые эффективно-сти и СКО портфелей, составленных поровну из первых двух,трех и т. д. ценных бумаг, с характеристиками из 1-й таблицы

j 1 2 3 4 5 6

mj 11 10 9 8 7 6

σj 4 3 1 0.8 0.7 0.7

n 2 3 4 5 6

mp 10.5 10 9.5 9 8.5

σp 2.5 1.7 1.23 1.04 0.87

143

Ясно, что диверсификация позволила снизить риск по-чти втрое при потере ожидаемой эффективности всего на 20%.

Мы живем в мире, где все взаимосвязано. Процент навложения возникает не произвольно, а является отражениемделовой активности компании, выпустившей ценные бумаги.Если деятельность компании дает высокую прибыль, то и ак-ционер, являющийся номинальным совладельцем компании,получит большой доход. Если же прибыль окажется низкойили деятельность компании вообще окажется нерентабельной,то дивиденды выплачиваться не будут.

Более того, если информация о плохом состоянии дел ком-пании окажется известной широкой публике (а это неизбеж-но), то цена акций на бирже резко снизится и эффект r будетотрицательным. Вместе с тем, повторяем, в экономике всевзаимосвязано: например, при снижении деятельностиавтомобилестроительных фирм они уменьшат закупки метал-ла у металлургов, шин – у представителей соответствующейотрасли промышленности и т.д.

Рассмотрим теперь формально, как отражается корреля-ция на эффективности портфеля ценных бумаг. Очевидно, чтоона не влияет на ожидаемую эффективность, однако диспер-сия портфеля равна

∑∑= =

=n

i

n

jijjip VxxV

1 1.

Удобно ввести в рассмотрение величины

,Vijji

ij σσ=ρ 1 называемые коэффициентами корреляции. Тогда

( )( )∑∑= =

ρσσ=n

i

n

jijjjiip xxV

1 1 .

Для того, чтобы понять влияние корреляции, достаточнорассмотреть простейшие случаи. Пусть, например, все rij = 1(случай прямой корреляции). Тогда

2

σ= ∑

iiip xV .

Попробуем произвести простую диверсификацию, вло-

144

жив деньги в равных долях, хi = 1/n.2

1

σ= ∑

iip n

V , ∑σ=σi

ip n1 .

Если iiiimin,max σ=σσ=σ

−, то при всех n

σ≤σ≤σ− p

.

При полной корреляции диверсификация не дает положи-тельного эффекта: риск портфеля оказывается просто равенсреднему риску от отдельных вложений и не стремится к нулюс увеличением числа видов ценных бумаг.

Положительная корреляция между эффективностями двухценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется од-ним и тем же внешним фактором, причем изменение этогофактора действует в одну и ту же сторону. Например, пустьизменение курсовой цены акций электроэнергетической итранспортной компаний ∆ Cэ и ∆ Cт пропорционально изме-нению цен на нефть ∆ Cн:

∆ Cэ=0.6 ∆ Cн, ∆ Cт=0.3 ∆ Cн.

Тогда эффективности игры на курсах этих акций пропор-циональны:

Tэ

Т

э

эЭ r

СС

ССr

0

0

0

2=∆= ,

где Сэ0, СТ0 – начальные цены акций. Цены на нефть меняютсяпроизвольно, непрогнозируемо, но при этом эффективностикурсов обоих видов акций всегда меняются в одну и ту жесторону.

Диверсификация путем покупки и того, и другого видабесполезна: эффективность портфеля окажется столь же слу-чайной, сколь случайна цена нефти.

Теперь рассмотрим ситуацию полной обратной корреляции,когда ρ

ij = -1, i ≠ j. Для понимания сути дела достаточно про-анализировать портфель, состоящий из 2 типов ценных бумаг.

Vp = ( 1ó x1 — 2ó x2)2.

145

Если x2 = 1ó x1/ 2ó , то Vp = 0.Пример 2. Пусть эффективности двух ценных бумаг, име-

ющих одинаковую стоимость, находятся в полной обратнойкорреляции. СКО эффективности первой из них равно 2.0,СКО второй равно 3.0.

Тогда безрисковым окажется портфель, в котором на каж-дые три ценные бумаги 1-го вида приходится две 2-го вида.

Мы можем сделать интересный вывод: при полной об-ратной корреляции возможно такое распределение вложениймежду различными видами ценных бумаг, что риск полнос-тью отсутствует.

Полная обратная корреляция между эффективностями двухценных бумаг – достаточно редкое явление.

Однако мы уже приводили условный пример такого рода:возможные изменения эффективности кредитования под за-лог, вызванные случайным возникновением пожара, полнос-тью компенсировались выплатами по страховому полису.

Наиболее реальными являются ситуации, когда нет ниполной прямой, ни полной обратной корреляции, но разум-ная диверсификация приводит к снижению риска без потериожидаемой эффективности.

4.5. Оптимизация портфеля ценных бумаг. Постановка ирешение классической задачи оптимизации методом

неопределенных множителей Лагранжа

Любой вид рисковых ценных бумаг характеризуется дву-мя величинами: ожидаемой эффективностью и мерой риска –вариацией, или среднеквадратичным отклонением эффектив-ности от ожидаемой. Эти же величины можно вычислить длялюбого портфеля ценных бумаг, если известны ковариациимежду эффективностями.

Естественно, что и ожидаемая эффективность, и вариа-ция портфеля будут зависеть от его структуры, т.е. доли исход-ного капитала, вложенной в каждый вид ценных бумаг. Инве-стор всегда сталкивается с дилеммой: желание иметь наиболь-шую эффективность портфеля и желание обеспечить вложениес наименьшим риском. Поскольку «нельзя поймать двух зай-

146

цев сразу», необходимо сделать определенный выбор, кото-рый зависит от характера самого инвестора и от его склонно-сти к риску. Однако разумный инвестор должен быть уверен,что, определив в качестве цели достижение наибольшей ожи-даемой эффективности, он выберет такую структуру, котораяпоможет добиться этого с наименьшим риском.

Пусть, как и ранее, xj – доля капитала, вложенного в цен-ные бумаги j-гo вида. Тогда можно свести задачу выбора опти-мальной структуры портфеля к следующей математической про-блеме, формализованной впервые Г.Марковицем (Н. Markovitz)в 1951 г., за что позднее он был удостоен Нобелевской премиипо экономике.

Найти хj, минимизирующие вариацию эффективностипортфеля ∑∑=

i jjiijp xxVV ,

при условии, что обеспечивается заданное значение mр ожида-емой эффективности, т. е.

∑ =j

pjj mxm , при ∑ =j

jx 1.

Решение этой задачи обозначим знаком *. Если хj* > 0, тоэто означает рекомендацию вложить долю хj* наличного ка-питала в ценные бумаги вида j. Если хj* < 0, то это означаетрекомендацию взять в долг ценные бумаги этого вида в коли-честве — xj* (на единицу наличного капитала), т.е. участво-вать в операции типа short sale. Если таковые невозможны, топриходится вводить дополнительное требование: хj не долж-ны быть отрицательными.

Решение задачи численными методами не представляеттрудностей.

Американский экономист Д.Тобин заметил, что решениезадачи резко упрощается и приобретает новые особенности,если учесть простой факт: кроме рисковых ценных бумаг нарынке имеются и безрисковые (или почти безрисковые) типагосударственных обязательств с фиксированным доходом.

Поэтому и на практике, и в теории главная задача – пра-вильное распределение капитала между безрисковыми и рис-ковыми вложениями

147

Пусть r0 – эффективность безрискового вложения, а ожи-даемая эффективность какого-либо портфеля рисковых цен-ных бумаг равна mr (и она, конечно, выше r0). Известна такжевариация Vr эффективности этого портфеля.

Неизвестна доля x0 капитала, которую надо вложить вбезрисковые ценные бумаги.

Эффективность комбинированного вклада объединенно-го портфеля (х0 – в безрисковые, 1 — х0 – в рисковые) являет-ся случайной:

Rp = x0 r0 + ( 1 — x0 ) Rr,

Ожидаемое значение равно

( ) ( )rrrp mrxmmxrxm −+=−+= 00000 1 ,

а вариация определяется только рискованной частью вкладаи равна ( ) rp VxV 2

01−= .

Среднеквадратичное отклонение: ( ) rp x σ−=σ 01 .Исключая 0x , получим

pr

rp

rmrm σσ−

=− 00

,

т.е. связь между ожидаемым значением и СКО эффективностивсего вклада линейна (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Связь между ожидаемым значением и СКОэффективности всего вклада

x0 <0σr

x0 =0(1-x0)σr

0<x0 <1

x0 =1

mrmr + x0 (r0 - mr)r0

σp

mp

148

Если весь капитал инвестируется в безрисковые ценныебумаги, то эффективность равна r0, а риск равен нулю; есливесь наличный капитал вложить в рисковые ценные бумаги,то ожидаемая эффективность равна mr, а СКО равно ró . Лю-бому же промежуточному решению (0 < x0 < 1) соответствуетодна из точек на отрезке прямой, связывающей предельные,простые решения. Однако если возможно брать безрисковыеценные бумаги в долг (x0 < 0), то достижима и любая ожидае-мая эффективность, сопровождаемая соответственно растущимриском. Теория лишь указывает, каковы будут последствия ре-шения инвестора.

Главный вывод, сделанный Тобиным: если имеется воз-можность выбирать не только между заданным рисковым пор-тфелем и безрисковыми ценными бумагами, но и одновремен-но выбирать структуру рискового портфеля, то оптимальнойокажется только одна такая структура, не зависящая от склон-ности инвестора к риску.

Задача оптимизации портфеля ценных бумаг допускаетявное решение, только если отсутствуют ограничения неотри-цательности переменных. Построим его с помощью методамножителей Лагранжа. Предварительно перепишем постанов-ку задачи в матричной форме:

;VxV xT

p = mT x = mp; IT x = 1,

вводя обозначения для (n x n) — матрицы ковариаций V =[Vij], матрицы-столбца ожидаемых эффективностей m = (mj),единичной матрицы-столбца I = (1), а также матрицы-столб-ца неизвестных долей х = (хj). Знаком «Т» обозначена опера-ция транспонирования. Согласно этим обозначениям задачаоптимизации структуры портфеля принимает вид: миними-зировать

;VxV xT

p = (4.8)

при двух ограничивающих условиях

mT x = mp; IT x = 1, (4.9)

149

причем mр является произвольной фиксированной величиной,а матрицы V, m заданы. Введем функцию Лагранжа:

).mxm()xI(VxxL pTTT −λ+−λ+= 10 1

Решение поставленной задачи на условный экстремумдолжно удовлетворять соотношению

;xL 0=

∂∂

что эквивалентно уравнению

2 V x = — λ 0 I — λ 1 m,

откуда получаем, что

x = -( λ 0 / 2) V-1 I – ( λ 1 / 2) V-1 m (4.10)

Подставляя (4.10) в (4.9), приходим к двум уравнениямотносительно множителей λ 0 и λ 1:

(- λ 0 / 2) IT V-1 I – ( λ 1 / 2) IT V-1 m = 1,

(- λ 0 / 2) mT V-1 I – ( λ 1 / 2) mT V-1 m = mp.

Решив систему и подставив найденные значения λ 0 иλ 1 в (4.10), находим явное представление для оптимальнойструктуры портфеля:

x = x* = V-1 [mp (I J12 – m J1) + m J12 – I J2] / (J122 — J1 J2)

где J1 = IT V-1 I; J

2 = mT V-1 m; J

12 = IT V-1 m.

Решение линейно относительно mp. Отсюда следует, чтоVp*= x*T V x* является выпуклой вниз функцией mp, и этоже верно для СКО σ *

p.Если на переменные x наложено условие не-

отрицательности, то исходная задача превращается в пробле-му квадратичного программирования, для решения которойразработаны специальные вычислительные методы.

150

Представление о свойствах решения можно получить спомощью обобщенного метода Лагранжа, вводя дополнитель-ные множители µ = ( µ j, j = l ,..., n), соответствующие каж-дому неравенству xj ≥ 0.

Решение, выраженное через эти множители, представле-но в виде

x* = V-1 {CT (C V-1 CT)-1 [d + (1/2) C V-1 µ ] — µ },

где введены обозначения для постоянных матриц

dT = {1, mp}, CT = {IT, mT},

а множители µ и х* удовлетворяют условиям вида

µ j xj* = 0; µ j ≥ 0; xj* ≥ 0, (4.11)

т.е. либо µj = 0, либо xj* = 0. При изменении mp изменяется

число переменных xj*, равных нулю, но остальные перемен-ные определяются из линейной системы уравнений, в кото-рую mp входят линейно. Это свойство влечет за собой кусоч-но-линейный характер зависимостей x* (mp) в любом диапазо-не изменения mp.

Рассмотрим далее задачу оптимизации при возможностибезрисковых вложений. Обозначая через x0 долю таких вло-жений с гарантированной эффективностью r0, приходим кпроблеме:

min{xT V x / mT x + r0 x0 = mp, IT x + x0 = 1}. (4.12)

Составим функцию Лагранжа:

L = xT V x + λ 0 (IT x + x0 – 1) + l1 (mT x + r0 x0 — mp).

Условия минимума таковы

;0=∂∂

xL 0,

xL

0=

∂∂

151

что приводит к системе линейных уравнений

2 V x + λ 0 I + λ 1 m = 0; λ 0 + λ 1 r0 = 0,откуда

λ 0 = — λ 1 r0; x = V-1(I r0 –m) ( λ 1/2). (4.13)

С другой стороны, исключая х0 из ограничений задачи,получаем

1 – IT x = (1 / r0) (mp – mT x),или

(m – r0 I)T x = mp – r0.

Подстановка сюда х из (4.1) дает уравнение для l1, из ко-торого этот множитель определяется в явном виде:

λ 1 = -2 (mp – r0) / [(m – r0 I)T V-1 (m – r0 I)],

что в свою очередь позволяет преобразовать (4.13) в явноевыражение решения

x = x* = V-1 (m – r0 I) (m

p – r

0) / [(m – r

0 I)T V-1 (m – r

0 I)].

Существенно, что величина mp входит только в скаляр-ный множитель при х*. Следовательно, структура рисковыхвложений не зависит от mp:

I) r - (m VI I) r - (m V

x

*x

01-T

0-1

n

j

*j

=∑

=1

.

Минимальная вариация вычисляется по определению

V*p = x*T V x* = (mp – r0)

2 g-2,

где g2 = (m – r0 I)T V-1 (m – r

0 I).

Отсюда следует линейность связи между ожидаемой эф-фективностью оптимального портфеля и ее СКО:

152

σ *p = g-1 (mp – r0) (4.14)или

mp = r0 + g s*p . (4.15)

При x0 = 0 оптимальный портфель состоит только из рис-ковых ценных бумаг, а следовательно, должен быть оптималь-ным также и среди возможных вариантов только рисковыхценных бумаг. Однако минимальные вариации всех портфе-лей, содержащих только рисковые ценные бумаги, для различ-ных соответствующих им ожидаемым эффективностям даютсярешением задачи Марковица (4.6), (4.7). Таким образом, точкана прямой (4.15), соответствующая х0 = 0, должна лежать и накривой σ р

*(mp). Более того, это единственная общая точка этихпрямой и кривой в силу единственности оптимального порт-феля рисковых ценных бумаг. Поэтому прямая (4.15) должнакасаться кривой σ р

*(mp) в этой точке (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Графическая иллюстрация решениязадачи Марковица

Пусть сначала сделан наилучший выбор только среди всехрисковых ценных бумаг. В зависимости от склонности к рискуинвестор выберет одну из точек на кривой R. После этого воз-никает возможность вклада и в рисковые, и в безрисковыеценные бумаги.

Проведя касательную к кривой R из точки mp = r0, σ p = 0,найдем точку с координатами mp

*, σ p*, дающими характерис-

тики оптимального рискового портфеля. Все другие точки накасательной представляют характеристики оптимального ком-бинированного (из рисковых и безрисковых ценных бумаг)портфеля, и пропорция х0 в этой комбинации должна опреде-ляться самим инвестором.

R

σ

σp

R

σ

σp

mpm*pr0

153

Теми же свойствами обладает решение задачи Тобина(4.12) при введении дополнительных ограничений неотри-цательности переменных. Решение может быть представле-но в виде:

x* = (mp – r0) g-2 V-1 (m – r0 I) + (1 / 2) V-1 [(m – r0 I) (m – r0 I)

T V-1 g-2 – 1] µ ,

где µ = ( µj, j = l ,..., n) — множители, удовлетворяющие совмес-

тно с компонентами х* условиям дополняющей нежесткости(4.11). Ненулевые множители определяются совместно с не-нулевыми компонентами х* из линейной системы уравнений,правая часть которой пропорциональна mp — r0.

Отсюда вытекает, что х* пропорционально mp — r0, а сле-довательно, структура рисковых вложений не должна зави-сеть от этого скалярного множителя.

Хотя гипотеза Тобина о возможности чисто безрисковыхвложений практически некорректна, но можно доказать, чтопри наличии слаборисковых вложений решение задачи Мар-ковица оказывается близким к решению задачи, построеннойс учетом пренебрежения слабым риском. Тем самым структу-ра сильнорисковых вложений окажется почти не зависящейот склонности инвестора к риску.

Дадим оценку вклада каждой ценной бумаги, вошедшейв оптимальный портфель, в общую ожидаемую эффективность.

Эффективность оптимального портфеля есть случайнаявеличина, равная

*Tn

j

*jj

*p xRxrxRxrR +=+= ∑

=00

100 ,

где Rj – случайная эффективность j-й рисковой ценной бумаги.Отсюда находим, что

R*p — m*p = r0 x0 — m*p + RT x* = (R – m)T x*, (4.16)

где учтено условие .xmxrm *T00p +=

Вычислим величины β *j, именуемые «бета вклада j

относительно оптимального портфеля», которые поопределению равны:

154

β *j = (1 / V*p) CoV{ Rj R*p} = (1 / V*p) E{(Rj – mj) (R*p – mp)}.

В силу (3.9) вектор b* с компонентами bj* дается формулой

β * = (1 / V*p) E{(R – m) (R*p – mp)} = (1 / V*p) E{(R – m) (R – m)T x*}.

Вспоминая смысл элементов матрицы ковариаций V, не-трудно убедиться, что

V = E{(R – m) (R – m)T},откуда следует выражение

β * = (1 / V*p) V x*,или

β * = (m – r0 I) / (mp — r0).

Обычно это соотношение записывается в виде

m – r0 I = β * (mp — r0),

или в скалярной форме

mj – r0 = β *j (mp — r0), j = 1,..., n.

Превышение ожидаемой эффективности какой-либо рис-ковой ценной бумаги или портфеля рисковых ценных бумагнад эффективностью безрискового вклада именуется премиейза риск. Теория позволяет сделать важный вывод: премия зариск любой ценной бумаги, включенной в оптимальный порт-фель, пропорциональна премии за риск, связанной с портфе-лем в целом.

Ясно, что чем больше бета данной ценной бумаги, темвыше доля общего риска, связанная с вложением именно вэту ценную бумагу. Вместе с тем, чем больше бета, тем выше ипремия за риск.

155

4.6. Методы оценки риска портфеля ценных бумаг врамках классического теоретико-вероятностного подхода

к формализации неопределенностей

Весьма распространенная точка зрения, что вариация эф-фективности (или СКО) является разумной мерой риска, неявляется бесспорной.

Для наглядности рассмотрим пример об эмигранте А,включившемся в биржевую игру. Он, имея свои 10 тыс. долл.,взял в долг еще 40 тыс. долл. под 10% годовых и вложил все50 тыс. долл. в акции одной из компаний, рассчитывая нарост курса в 20%. Фактически же курс упал на 40%, и потеря24 тыс. долл. привела его к полному разорению. А пользо-вался информацией, полученной от знакомого американца,который также вложил 50 тыс. долл. в акции той же компа-нии. На первый взгляд, мера риска у обоих вкладчиков быласовершенно одинаковой: они покупали одни и те же акциии на одну и ту же сумму.

Однако американец после продажи акций вернул 30 тыс.долл., потеряв всего 20 тыс. долл. Это чуть меньше, чем у А,но, главное, он избежал разорения.

Вывод: если под риском понимать риск разорения, то та-ковой определяется не только колебаниями курса, но и исход-ным капиталом.

Рассмотрим другую ситуацию. Ожидаемая эффективностьдвух видов акций одинакова, однако действительная эф-фективность зависит от случайных обстоятельств.

Предположим, что на рынке могут возникнуть только двеситуации: ситуация «а» с вероятностью 0,2 и ситуация «б» свероятностью 0,8.

Различные акции реагируют на эти ситуации по-разно-му: курс акций 1-го вида в ситуации «а» вырастает на 5%, вситуации «б» – на 1,25%; соответственные величины для ак-ций 2-го вида – 1,0% и 2,75% (рис. 4.7).

156

Рис. 4.7. Графическая иллюстрация сравнительной оценкиэффективности акций

Ожидаемые эффективности совпадают:

m1 = 5 ⋅ 0,2 + 1,250 ⋅ 0,8 = 2, m2 = -1,0 ⋅ 0,2 + 2,75 ⋅ 0,8 = 2,0

Дисперсии также совпадают:V1 = (5 — 2)2 ⋅ 0,2 + (1,25 — 2)2 ⋅ 0,8 = 2,25,

V2 = (-1 — 2)2 ⋅ 0,2 + (2,75 — 2)2 ⋅ 0,8 = 2,25.

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долгпод процент, равный 1,5. Он ниже ожидаемой эффективнос-ти, поэтому эти действия разумны. Однако если инвестор вло-жил деньги в акции 1-го вида и произошла ситуация «а», тоон выиграл 3,5%, а если вложил в акции 2-го вида, то разо-рился. Напротив, если произошла ситуация «б» и деньги вло-жены в акции 1-го вида, то инвестор разорен, а при вкладеденег в акции 2-го вида он будет в выигрыше. Поскольку си-туации имеют разную вероятность, то мы видим, что реше-ния инвестора не равнозначны с точки зрения риска разоре-ния: при вкладе в акции 1-го вида он разоряется с вероятнос-тью 0,8, а при вкладе в акции 2-го вида – с вероятностью 0,2.

Таким образом, при равенстве ожидаемых значений, дис-персий и начального капитала риск разорения может бытьразличным!

51.25

.8

.6

.4

.2

rs

Акция 1-го вида

5-1

.8

.6

.4

.2

rs

Акция 2-го вида

2.75

157

Это обстоятельство следует понимать и практически учи-тывать, хотя в дальнейшем мы будем придерживаться стан-дартного употребления терминов, ассоциируя риск только сдисперсией.

Для этого существуют серьезные основания. Задание дис-персии, конечно, не полностью характеризует риск, но онопозволяет произвести оценку риска и четко выявить предель-ные шансы инвестора. Теоретическая база для этого приведе-на в знаменитом неравенстве Чебышева: вероятность того, чтослучайная величина отклоняется от своего математическогоожидания больше, чем на заданный допуск s, не превосходитее дисперсии, деленной на s2.

Применительно к случайной эффективности Rj можнозаписать:

Вер{| Rj – mj| > δ } ≤ Vj / δ2.

Предположим, что инвестиция делается за счет займа,взятого под процент rs под залог недвижимости. Какова веро-ятность того, что инвестор не сможет вернуть долг и лишитсясвоей недвижимости? Это вероятность события, что

Rj < rs

или-(Rj – mj) > mj – rs,

так что

Вер{ Rj < rs} = Вер{-(Rj – mj) > mj – rs} ≤ Вер{| Rj – mj| > mj – rs} ≤ Vj / (mj – rs)2.

Таким образом, шанс разориться не превосходит получен-ной величины. Конечно, при этом предполагается обязатель-ное выполнение условия разумности такого вклада «под кре-дит», mj > rs, и, конечно, оценка имеет смысл, только если дис-персия не слишком велика: ( )V m rj j s≤ −

2.

Для того, чтобы шанс разориться был не более одного издевяти, достаточно выполнить условие

Vj ≤ (mj – rs)2 / 9

158

илиmj ≥ rs + 3σ j

(правило «3 сигма»).Рассмотрим другую ситуацию, когда инвестор вкладыва-

ет в акции лишь часть своего капитала, оставляя остальное насбережения под процент, выплачиваемый ему. Оценим веро-ятность разорения.

Если W0 – начальный капитал, x0W0 – остающаяся на сбе-

режении часть, то разорение возможно, если

x0W0 (1 + r0) + (1 – x0) W

0 (1 + Rj ) < 0или

Rj < -(1 + x0 r0) / (1 – x0).

Оценка по Чебышеву дает шанс разорения меньше, чем1/9, если:

σ j (mj + (1 + x0 r0) / (1 – x0))-2 < 1/3

илиmj > -(1 + x0 r0) / (1 – x0) + 3 σ j.

Ясно, что игра на свой капитал значительно безопаснее.Даже если вложить весь капитал, то достаточно выполнитьусловие

mj + 1 > 3σ j ,

конечно, если вкладчика устраивает уровень гарантии.Подчеркнем, однако, что оценка Чебышева, как правило,

предусматривает большой запас. Например, если заведомо из-вестно, что колебания в обе стороны от mj равновероятны, тооценки шансов на разорение уменьшатся почти в 5 раз: вмес-то 1 случая из 9 гарантируется, что разорение произойдет нечаще чем в 1 случае из 40.

Bероятность разорения также не является абсолютнообъективной мерой риска. В литературе описываются и дру-гие разумные меры. В частности, популярны величины типаожидаемого значения превышения потерь над располагаемымкапиталом.

159

Возможно, наиболее общий подход к оценке меры рисказаключается во введении функции полезности. Концепцияфункции полезности является важнейшим элементом любойэкономической теории. Как известно, введение такой функ-ции позволяет соизмерить потребительский эффект различ-ных товаров, вообще говоря, физически несоизмеримых (на-пример эффект от покупки одного плаща и одного торта). Со-измерение ценных бумаг, которые также являются товаром,на первый взгляд, проще, поскольку все они имеют денежнуюоценку. Однако рисковые ценные бумаги – это документы, удо-стоверяющие возможность получения денег в будущем, и тутсоизмеримость невозможна: нельзя сказать, какая из случай-ных эффективностей больше или меньше, а следовательно,нельзя сказать, какая из ценных бумаг или какой портфель цен-ных бумаг предпочтительнее. Установление любой меры рискаявляется попыткой преодолеть это противоречие, характери-зуя случайную величину одним числом.

В общей теории риска принято вводить такие числа М спомощью соотношения

M = E {V(R)},

где V- та или иная функция, называемая функцией полезнос-ти. Если V(R) = R, то

M = mR

т.е. случайность характеризуется только ожидаемым значени-ем. Если же

V(R) = R – A (R — mR)2, (4.17)

где А – заданное число, то M = mR — A V( R ) , (4.18)

т.е. такая мера случайной величины учитывает и ожидаемоезначение, и вариацию.

Вероятность неразорения при начальном капитале W0

также может быть введена с помощью специальной функ-ции полезности

( )

<+>+

=.WRесли,,WRесли,

Rv0001

0

0

160

Таким образом, применяя различные функции полезности,можно описать любые варианты оценки случайной ситуациив виде ожидаемого значения такой функции. Естественно, чтолюбые подходы такого рода субъективны, однако без них необойтись, если пытаться ввести некоторую единую меру.

В частности, в теории рынка ценных бумаг широко ис-пользуется квадратичная функция вида (4.17). Ее интерпрета-ция очень проста: инвестор считает полезным для себя увели-чить значение эффективности, но избегает отклонения этойэффективности от ожидаемого значения. Чем больше А, темтенденция избежания риска, связанного со случайностью, про-является больше. Таким образом, величину А можно считатьчисловой мерой тенденции инвестора избегать риск, а обрат-ную ей – числовой мерой его склонности к риску. Естествен-но, что величина А индивидуальна для каждого инвестора,но в принципе ее можно оценить, наблюдая, в частности, затем, как инвестор делит свой портфель ценных бумаг на рис-ковую и безрисковую части.

С чисто формальной точки зрения принятие ожидаемойфункции полезности вида (4.18) в качестве критерия выборарешения – это просто попытка совместить два критерия: ожи-даемое значение и вариацию.

4.7. Методы оптимизации портфеля ценных бумаг вусловиях нестатистической неопределенности на основе

нечетко-интервальной математики

Математическая формулировка задачи оптимизации порт-феля ценных бумаг в нечетко- интервальной постановке внеш-не выглядит так же, как в случае классического теоретико-ве-роятностного подхода к формализации неопределенностей:

,n,...,i,xn

ii 11

1==∑

= (4.19)

( ) maxxRXf i

n

ii →= ∑

=1

, (4.20)

где xi – доля акций i-го типа в портфеле (обычные четкие чис-ла); iR – финансовый эффект инвестирования в акции i-го типа,

161

представляющий собой нечеткий интервал, вообще говоряпроизвольной формы. Последний может быть получен на ос-нове опроса экспертов, с помощью описанной выше методи-ки трансформации произвольных частотных распределенийв нечеткие интервалы или с помощью сочетания этих подхо-дов; ( )Xf – совокупный доход портфеля, представляющий со-бой нечеткий интервал.

Представим iR в виде разложений на a-уровни

[ ]!α

+α

−α= ii R,RR , (4.21)

где +α

−α R,R – левая и правая границы соответствующих a-уров-

ней четких интервалов.Для совокупного дохода портфеля получаем, соответ-

ственно ( ) ( ) ( )[ ]!

α

+α

−α= Xf,XfXf , (4.22)

где — левая и правая границы интервала,соответствующего a-уровню целевой нечетко-интервальнойфункции .

Подставляя (4.21), (4.22) в (4.20) получает две достаточ-но простые задачи линейного программирования, решениякоторых могут быть получены с помощью любого из много-численных пакетов прикладных программ.

( ) ∑∑==

−α

−α =→=

n

iii

n

ii xmax,xRXf

111 , (4.23)

( ) ∑∑==

+α

+α =→=

n

iii

n

ii xmax,xRXf

111, (4.24)

гдеα =1,…,m; m – число используемых α -уровней.Решения можно формально представить в виде:

{ } { }( ) ∑=

−α

− ==n

iii

Xopi x,xfmaxargx

11, { } { }( ) ∑

=

+α

+ ==n

iii

Xopi x,xfmaxargx

11 .

Подставляя их в (4.23), (4.24) получаем интервалы, вкоторых может находиться оптимальный доход для каждого

( ) ( )Xf,Xf +α

−α

( )Xf

162

a-уровня [ ]α

+−opop f,f и соответствующие интервалы решений

[ ] .n,...,ix,x iopiop 1=α

+−

В итоге приходим к некоторому интервальному решению.Ясно, что это не удовлетворяет практических потребностей,поскольку инвесторы всегда желают знать четкие, а не интер-вальные значения xi .

Поэтому продолжим наши рассуждения.Построим нечеткий интервал на основе четких

интервалов [ ]α

+−opop f,f (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Построение нечеткого интервала допустимыхзначений дохода и функции желательности доходаСоответствующую функцию принадлежности представим

в виде:

Способ формализации µf отражен непосредственно на

рис.4.8.

( )

≤≤≤≤−

α

<<

><

=µ

++−−

+−

+−

.,,1

,1

,,0

11

11

opoopopopopopo

opopop

opoopopoop

opf

ffffffm

fff

ffff

f

−opof −

αopf −1opf +

1opf +αopf +

opof opf

λf

0.5

1m−α

µf

163

Очевидно, что граничные значения+−

opoopo f,f определя-ют область достижимых оптимальных решений, а значенияµ

f – степени возможности их реализации при исходной нео-пределенности Ri. Зная

+−opoopo f,f можно построить реалис-

тическую функцию желательности дохода λ f на этом базисе(рис. 4.8).

Получим двухкритериальную задачу с точки зрения же-лательности максимизации дохода (частный критерий λ f) приучете осуществимости этого желания ( µ

f).Обобщенный критерий можно представить разными спо-

собами:

β1, β

2 – ранги частных критериев.

Очевидно на основе одного из способов свертки част-ных критериев в обобщенный, можно найти решение соот-ветствующей задачи оптимизации:

( ) .,,k,fDmaxargf kfk,op 321==

Далее определяется (приближенно), какому a-уровнюсоответствует найденное решение

k,opf . (Речь идет об a-уровнях исходного интервала с функцией принадлежности µ f

(f).) Таким образом находим некоторый орá , приближенносоответствующий

k,opf .Для этого орá решаем заново задачу (4.24) и получаем{ } opix α

+ ,а также соответствующее { }( )opixf α

+ – прогнозируемыйоптимальный четкий доход.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),

,

,,min

21

21

3

212

1

fffD

fffD

fffD

ff

ff

ff

ββ

ββ

λ⋅µ=

λβ+µβ=

λµ=

164

Таким образом, на основе исходной нечетко-интервальной постановки задачи оптимизации портфеляценных бумаг получает вполне четкое итоговое решение.

Рассмотрим более общий подход к решению задачи (4.19),(4.20).

При этом будут использоваться результаты рассмотреннойвыше приближенной методики, которую в связи с этим будемназывать первым этапом решения задачи.

Пусть ix – четкое число и – четкое значение,например, эффективной ширины нечеткого интервала

(или меры его нечеткости). В принципе, можноиспользовать сразу несколько показателей, характеризующихстепень неопределенности нечетко-интервальных данных.

Пусть аналог математического ожидания(применительно к нечетко-интервальным распределениям):

( ) ( ) ( )∫∫ µµ= dffdffXfm , где µ (f) – функция принадлежностинечеткому интервалу . На основе d и m можно построитьфункции 1ì (m) – критерий максимума дохода и 2ì (d) –критерий минимума риска .

Пусть 1β и 2β – ранги этих критериев. Тогда требуется

решить задачу

{ }{ }

{ }( )( ) { }( )( )( )( ) ∑=

ββ =µµ=n

iiiixopi .x,xfd,xfmminmaxargx

i 121 121

Полученная задача нелинейного программированиярешается с большими трудностями из-за ограничения ∑

=

=n

ii .x

11

Поэтому целесообразно использовать метод штрафныхфункций. Введем для этого штрафную функцию

( ) ( ) .XD,xkexpXDn

ii 101

1≤≤

−−= ∑

=

( )( )Xfd

( )Xf

( )( )Xfm

( )Xf

165

Тогда задача переформулируется в виде:

{ }{ }

( )( ) .n,...,i,x,D,,minmaxargx ixopii

102121 =≥µµ= ββ

Рис.4.9. Функции желательности частных криериев

Чтобы сузить области поиска решений целесообразноиспользовать в качестве ограничений для xi интервалы опти-мальных решений, полученные на первом этапе решения за-дачи, описанном выше.

Остается проблема конкретизации функций µ1 и µ

2 .За основу возьмем промежуточные результаты первого

этапа решения задачи.Тогда можно принять, что m должно находиться в обла-

сти допустимых оптимальных значений, откуда следует:µ

1(m) = λ f(m).Далее, можно утверждать, что максимальная ширина

интервала d не может быть больше ширины интервала

[ ]+−opoopo f,f , т.е. не выше ширины интервала нулевого a-уровня

допустимых решений.В этом случае для µ 2(d) получим функцию, представлен-

ную на рис. 4.10.

1

0d

μ2(d)

1

0m

μ1(m)

166

Рис. 4.10. Построение функции желательности m2(d) Представленная двухэтапная методика решения задачи

оптимизации портфеля ценных бумаг в условиях нечетко-ин-тервальной неопределенности не намного сложнее в реали-зации, чем классические задачи на основе теоретико-вероят-ностной трактовки неопределенностей.

ЛЕКЦИЯ 5. СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯФИНАНСОВОГО РЫНКА

Цель анализа финансового рынка – разработка рекомен-даций для инвесторов, в какие ценные бумаги вкладывать ка-питал и в каком количестве. Выше было рассмотрено решениезадачи оптимального выбора портфеля ценных бумаг, однакооно носило формальный характер, поскольку опиралось на пред-положение о том, что эффективности вложений являются слу-чайными величинами с заданными вероятностными характе-ристиками. Фактически требуется знание вектора матема-тических ожиданий и матрицы ковариаций эффективностей.

5.1. Прямой статистический подход к прогнозированиюстоимости ценных бумаг на основе исследования истории

рынка. Основы метода ведущих факторов

В развитых странах регулярно публикуются сведенияо биржевом курсе ценных бумаг, прежде всего акций веду-щих компаний. Таким образом, можно проанализироватьпоследовательности, отражающие историю курсов и вып-лачиваемых дивидендов за достаточно длительный пери-

1

0

μ2(d)

−+ − opoopo ff d

167

од. Имея эти данные, можно построить последовательно-сти реальных эффективностей ценных бумаг за каждыйквартал согласно определению:

Если Rj

(t) – эффективность ценных бумаг j-го вида за периодt , то она равна

)t(

j

)t(j

)t(j

)t(j)t(

j CCdC

R−+

=+1

, (5.1)

где Сj

(t) – цена в начале периода t, d j

(t) – дивиденды за период t.Квартал выбран в качестве единицы времени, поскольку дан-

ные о выплате дивидендов принято публиковать ежеквартально.В действительности теоретическая формула (5.1) должна

быть уточнена. Следует учесть, что цена покупки (bid price) ицена продажи (ask price) различны, даже если эти операцииотносятся к одному и тому же периоду времени. Именно этаразность (bid-ask spread) составляет основной источник зара-ботка профессионального торговца акциями (дилера). Эффек-тивность вклада должна оцениваться по общему итогу опера-ции, состоящей из покупки у дилера ценных бумаг по цене C j

(t)

(ask price начала периода), получения дивиденда за период ипродажи в конце периода (начале следующего) по цене Cj

(t)

(bid price), которая ниже ask price того же момента )(tjC на уста-

новленный для данного типа ценных бумаг процент (в среднем~ 1%, но для акций крупных компаний процент ниже, а для мел-ких выше, что отражает трудоемкость сбыта менее солидных цен-ных бумаг). Таким образом, уточненная формула имеет вид:

)(

)()()1()(

tj

tj

tj

tjt

j CCdC

R−+

=+

. (5.2)

Предположим, что ряды таких данных подготовлены со-ответствующей информационной службой. Теперь необходи-мо связать их с принятой ранее теоретической моделью, в ко-торой эффективности трактовались как случайные величины.

Логически простейший путь заключается в следующем:предположим, что наблюдаемые последовательности {Rj

(t),t=1, ..., T; j = 1, ..., n} являются реализациями, выборками изсовокупности случайных величин {Rj}, и, более того, значе-ния эффективностей в будущем (t > Т) также являются реали-зацией той же совокупности.

168

Эта гипотеза открывает принципиальную возможностьстатистической оценки параметров, характеризующих вели-чины Rj. Эти оценки принято именовать «историческими»(historical) или «архивными», поскольку они строятся на осно-ве истории ценных бумаг, данные о которых хранятся в ком-пьютерных архивах финансовых аналитиков.

В соответствии с правилами статистики можно ввестиоценки математических ожиданий как средних по выборкам:

( ),RT

mT

t

tj

Tj ∑

==

1

1$ (5.3)

( )( ) ( )( ).mRmRT

VT

t

Tj

tj

Tj

ti

Tj ∑

=−−

−=

111 $$$

(5.4)

Реальные цифры таковы. Число ведущих компаний, ак-ции которых котируются на биржах США и составляют основ-ную (по общей стоимости) часть рынка, обычно оцениваетсяв n = 500 (такое число учитывается в наиболее популярномиздании «Standard and Poor’s Index»). Длительность ежеквар-тальных временных рядов, имеющих смысл для статистиче-ской обработки, Т=100 (экономические условия и даже самсписок ведущих компаний за период более 25 лет слишкомсильно изменяются, чтобы столь устаревшие данные считатьпредставляющими ту же генеральную совокупность). Такимобразом, общий объем информации составляет 5 ? 104 чисел.Оценке же подлежат n величин mj и n(n+1)/2 различных ве-личин Vij. При n = 500 получаем, что требуется оценить более105 величин Vij, т. е. больше, чем исходных данных. Поэтомуоценки ковариаций окажутся заведомо неточными.

В силу этого обстоятельства прямой статистический под-ход используется только для вычисления оценок mj , а такжедля оценки ковариаций между «самими главными» акциями внебольшом количестве, например в количестве 30, на базе ко-торых выводится знаменитый индекс Доу-Джонса. При этомчисло данных – 3000, а число оцениваемых величин – 500,что не так уж плохо.

Однако финансовый аналитик обязан давать рекоменда-ции не только по немногим ведущим, а по возможно больше-му числу компаний, выдвигающих свои ценные бумаги на

169

рынок (например, наиболее подробный в CIIIA Wilshire Indexучитывает 5000 видов ценных бумаг).

В экономической жизни все взаимосвязано, но есть фак-торы, которые влияют сразу на все показатели. Например,уровень цен на ближневосточную нефть влияет на котировкуакций почти всех компаний США, поскольку эта нефть по-крывает более половины энергетических потребностей США.Если цена на нефть поднимется, то станет дороже бензин дляавтомобилей, уменьшится спрос на бензин, на сами автомо-били, на металл для их изготовления, повысятся цены на сель-скохозяйственные продукты, поскольку затраты на топливо –основной компонент их себестоимости.

Рассмотрим один из таких ведущих факторов, не опреде-ляя пока его природу. Обозначим его F и будем считать, чтоэффективности всех вложений зависят от него. Простейшаяформа зависимости – линейная, так что примем гипотезу

Rj = aj + bj F. (5.5)

Проверим эту гипотезу и оценим значения величин aj, bjпри помощи простейшей процедуры – метода наименьшихквадратов.

Нанесем на диаграмму (рис. 5.1) точки с координатамиRj

(t) – эффективности и F(t) – ведущего фактора за период t. Про-ведем прямую с минимальной суммой квадратов отклонений.Тангенс угла наклона на этой прямой даст оценку b^

j коэффици-ентов bj , а отрезок, отсекаемый ею на оси Rj , даст оценку a^

jожидаемого значения j-го случайного коэффициента аj.

Рис. 5.1. Линейная аппроксимация зависимости междуисходными данными

•

•

•

•

• •

••

•

• F

Rj

a∩ j

170

Формальная процедура построения такой прямой приво-дит к следующим простым формулам:

,mbma,VV

b FjjjF

Fj

j $$$$$

$$

−== (5.6)где

( ) ,RT

mT

t

tjj ∑

==

1

1$ ( ),FT

mT

t

tF ∑

==

1

1$

( )( ) ( )( );mRmFT

VT

tj

tjF

tFj ∑

=−−

−=

111 $$$ ( )( ) ,mF

TV

T

tF

tF ∑

=−

−=

1

2

11 $$ (5.7)

т.е. Fj m,m $$ – статистические оценки ожидаемых значений

эффективностей Rj и фактора F,

jFV$

– оценки ковариации

эффективности и фактора, aFV$ – оценка вариации самого

фактора.Если гипотеза верна, то все отклонения от прямой вверх

и вниз действительно являются случайными, и если в буду-щем возникнет новая ситуация, новая пара величин R(t)

j, F(t),

то соответствующая точка расположится где-то в окрестнос-ти прямой.

Средний квадрат отклонений от прямой, найденный поистории ценной бумаги, дает оценку вариации aj, которуюназовем Vej. Такие расчеты можно провести по всем интере-сующим видам ценных бумаг.

Если ведущий фактор выбран удачно, то его влияниемопределяются все случайные колебания эффективности, а соб-ственные случайные отклонения ej от детерминированной ли-нейной связи оказываются взаимно некоррелированными. Та-ким образом, приходим к уточненной гипотезе

Rj = aj + bjF + ej , (5.8)

где ej удовлетворяют условию отсутствия корреляции

Е{е,е} = 0, при i ≠ j, (5.9)

171

причем уже было введено обозначение для вариации«собственных» случайностей

Vej = E{ej2}, (5.10)

взвешенных с учетом акционерного капитала каждойкорпорации.

Таким образом, при рассмотрении n ценных бумаг подле-жат оценке n величин aj, n величин bj, n собственных вариа-ций Vej, а также ожидаемое значение и вариация самого фак-тора mF и VF, итого 3+2n параметров.

Оценить такое количество по (n+1)Т значениям, содер-жащимся в историях (за Т периодов) ведущего фактора и всехценных бумаг, значительно проще и надежнее, чем напрямуюоценивать n+(n+1)n/2 величин mj, Vij как это досталось ранее.Вместе с тем нетрудно убедиться, что все величины mj, Vijможно вычислить, зная указанные параметры:

mj = aj + bj mF , (5.11)

≠

=+=

ji,Vbbji,VbVe

VFji

Fjjij

2. (5.12)

Следует, конечно, помнить, что все это упрощение опи-рается на принятую гипотезу (5.8).

5.2. Общая эффективность рынка как ведущий фактор.Статистика рынка и ее использование при

прогнозировании цен на акции

Сам рынок указывает путь выделения ведущих факторов,определяющих его поведение. Главным «барометром», позво-ляющим предсказывать судьбу всех ценных бумаг на рынке,является ситуация на рынке в целом, отражаемая в сводныхиндексах Доу-Джонса или более детальном Standard and Poor’sIndex (SP 500 Index). Наиболее важен для аналитиков SP 500Index, представляющий собой сумму курсов 500 важнейшихвидов ценных бумаг, взвешенных с учетом акционерного ка-питала каждой корпорации.

172

В теории финансового рынка аналогичную роль играетвеличина, именуемая эффективностью рынка Rm. Онапредставляет собой взвешенную (с учетом капитала) суммуэффективностей всех рисковых ценных бумаг, фигурирующихна рынке.

На практике невозможно следить за поведением всех цен-ных бумаг, поскольку каждый год возникают и распадаютсядесятки тысяч микрокорпораций. Поэтому рассмотрению под-лежат только истории тех ценных бумаг, которые на протяже-нии достаточно длительного периода фигурируют на торгахи которые имеют вес, достаточно существенный для рынка.

Опыт расчетов, длительное время осуществляемых фи-нансовыми аналитиками, показывает, что именно эффектив-ность рынка является наиболее важным ведущим фактором,Таким образом, основная гипотеза зависимости эффективно-стей ценных бумаг от ведущего фактора принимает вид

Rj = aj + bj Rm + ej , (5.13)

откуда, в частности, следует, что

mj = aj + bj mm , (5.14)

Vj = Vej + bj2 Vm, Vij = bi bj Vm, i ≠ j, (5.15)

где mm – ожидаемая эффективность рынка, а Vm – вариация егоэффективности.

Обычно в этом случае вместо bj используют β j. Эти коэф-фициенты играют важнейшую роль в практике финансовогоанализа и именуются «бета ценных бумаг вида j относитель-но рынка» или «бета j-гo вклада». Они являются коэффициен-тами, определяющими влияние общей ситуации на рынке насудьбу каждой ценной бумаги. Если β j положительна, то эф-фективность ценной бумаги аналогична эффективности рын-ка; если β j отрицательна, то эффективность j-й ценной бума-ги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

173

Из (5.15) следует также, что вариация эффективности каж-дой ценной бумаги состоит из двух слагаемых: «собственный»компонент, не зависящий от поведения рынка, и «рыночный»компонент, определяемый тем, насколько случайным являетсяповедение рынка в целом. Их отношение

β j2 Vm / V ej (5.16)

часто обозначается RJ2 (R-squared) и характеризует долю риска

данного вклада, вносимую неопределенностью рынка в це-лом. Она тем выше, чем выше бета этого вклада.

С другой стороны, из (5.14) следует, что чем больше бета,тем больше и ожидаемая эффективность по сравнению с эф-фективностью рынка. Таким образом, рост «рыночного» ком-понента риска морально компенсируется ростом ожидаемойэффективности. В то же время «собственный» компонент свя-зан лишь с «чистым» риском без всякой компенсации. Поэто-му в какой-то мере предпочтительнее те вклады, для которыхR-squared больше.

Удобно отсчитывать эффективность от эффективностибезрискового вклада r0. Превышение над безрисковой эффек-тивностью называют премией за риск. Перепишем (5.14) ввиде

mj – r0 = β j (mm– r0) + α j, (5.17)

где .râáá 0jjj −=

Таким образом, премия за риск каждого вклада линейнозависит от премии за риск, складывающейся на рынке в целом.

Оценка параметров, входящих в основную модель, т.е. aj ,β j RJ

2 представляет собой статистическую проблему. Основ-ной путь ее решения следующий: поскольку эффективностьрынка Rm принята за ведущий фактор F, то можно использо-вать описанную ранее процедуру оценки с помощью методанаименьших квадратов. Он будет применяться к наблюдав-шимся в прошлом последовательностям эффективностей Rj

(t) ,Rm

(t) каждой ценной бумаги и рынка в целом.

174

Учитывая (5.17), запишем выражение для оценок

( ),rmmra,VV

mjjjjjm

mj

j

00 −β−=β−=α=β $$$$$$$

$$ (5.18)

где mj m,m $$ – средние значения наблюдавшихся эффективностей

Rj

(t) , Rm

(t) ,mV$ – оценка вариации эффективности рынка,

jmV$

–оценка ковариаций эффективности рынка и каждой ценнойбумаги.

( )( ) ,mRT

VT

tm

tm m∑

=−

−=

1

2

11 $$ ( )( ) ( )( ).mRmR

TV

T

tj

tjm

tmm j ∑

=−−

−=

111 $$$ (5.19)

Здесь Т – число обрабатываемых наблюдений.Для вычисления R

J2 используется формула

,eV

VRj

mjj $

$$

−β= 22 (5.20)

где – средний квадрат отклонений от приближающей прямой:( ) ( )( ) ,RaR

TeV

T

t

tmjj

tjj ∑

=β−−

−=

1

2

11 $$

(5.21)интерпретируемый как оценка «собственных» вариаций.

Все приведенные оценки основываются только на исто-рии рынка. Для ценных бумаг США расчеты проводятся регу-лярно. В качестве характеристики рынка в целом, как правило,используется SP 500 Index. Ежемесячно составляются отчеты стаблицами, где для каждой из 500 фирм указаны вычисленныеоценки величин бета, альфа, R-squared, «собственных» вариа-ций Vej (точнее, jVe , называемых остаточными стандартнымиотклонениями в процентах). Указываются также характеристикиточности оценок бета и альфа. В качестве истории ценных бу-маг используются данные за последние 5 лет.

При более частой, чем раз в квартал, выборке невозможнонепосредственно учесть роль дивидендов в оценке текущей эф-фективности. Однако практика статистического анализа рынкаСША показала, что оценки бета слабо изменятся, если принять

175

во внимание только эффективность, связанную с колебаниямикурса, т.е. изъять из формулы для расчета Rj

(t) величины dj(t).

В этих таблицах также вычисляется величина, именуе-мая «приспособленная бета», β adj, вычисленная по формуле

0,134,066.0 ⋅+β=β$

adj . (5.22)

Такое приспособление позволяет улучшить прогнозиру-ющие свойства исторической оценки бета (β

$ ) и основывает-ся на гипотезе, что поведение акций, длительно котируемыхна рынке, имеет тенденцию постепенно приближаться кповедению рынка в целом, т.е. b приближается к 1. Вместе стем это положение остается дискуссионным.

Более эффективным является введение поправок к «исто-рическим» бета на основе анализа влияния других факторов.

Статистические исследования рынка США показали, на-пример, что эффективной является формула

,Skkk jjj 210 +β+=β$

(5.23)

где k0 – число, зависящее от того, к какому сектору экономикипринадлежит данная корпорация (например, 0,45 для базовыхотраслей и 0,25 — для транспорта), k1 равно 0,58, а коэффи-циент k2, отражающий влияние размера Sj компании на оцен-ку бета, отрицателен и равен 0,1. При этом размер Sj вычис-лялся как десятичный логарифм суммарной стоимости акций,выраженной в млн. долл. (например, для компании с капита-лом 100 млн долл. принимается Sj = 2). Формула (5.23) свиде-тельствует, что зависимость акций от поведения рынка раз-лична в различных отраслях (например, снижение общей эф-фективности рынка влияет на курс акций транспортныхкомпаний слабее, чем на курс акций компаний, работающих вбазовых отраслях) и что курс акций более крупных компанийменее чувствителен к колебаниям эффективности рынка.

Формулы типа (5.22), (5.23) – лишь частные случаи болееобщего подхода, в котором исторические данные корректиру-ются с помощью дополнительной информации о перспекти-вах работы корпораций-эмитентов.

176

5.3. Равновесие на конкурентном финансовом рынке.Основное уравнение равновесия финансового рынка.Модель ценообразования на рынке капитальных

вложений

Исследование того, как взаимодействие спроса и предло-жения приводит к равновесию на конкурентном рынке, явля-ется одной из главных целей экономики как науки. Однако клас-сическая теория равновесия, излагаемая в учебниках по микро-экономике, непригодна для изучения процессов на рынке ценныхбумаг, т.к. она не учитывает роли неопределенности, факторариска. Вместе с тем именно возможность риска определяет ра-циональные действия субъектов рынка ценных бумаг, принима-емые ими решения, а следовательно, и уровень цен на рынке.

Поэтому в 60-е г. были созданы основы принципиальноновой теоретической модели равновесия, названной модельюценообразования на рынке капиталовложений (Capital Asset PricingModel, САРМ). В настоящее время теория финансового рынкадетально разработана. Опишем только ее качественные аспекты.

Введем понятие «идеальный конкурентный рынок», т.е.рынок, все участники которого располагают одинаковой ин-формацией и принимают на ее основе наилучшие, оптималь-ные решения. Уточним эти представления.

Полная и одинаковая информированность означает, что всеучастники рынка ознакомлены со статистическим прогнозомэффективностей всех ценных бумаг на рынке, выраженном ввиде ожидаемых значений, вариаций и ковариаций; оптималь-ность означает, что любой участник рынка стремится сформи-ровать оптимальную структуру своего портфеля ценных бумаг.

В соответствии с выводом Д.Тобина, структура рисковойчасти оптимального портфеля не зависит от склонности ин-вестора к риску и полностью определяется вероятностнымихарактеристиками рисковых ценных бумаг. Отсюда следует,что, опираясь на одинаковую информацию, все инвесторыбудут стремиться выбрать одну и ту же структуру рисковойчасти своего портфеля, например, иметь в нем 6% (по сто-имости!) акций IBM, 3% акций Ехсоn, по 2% акций GeneralElec. и General Motors и т.д. Совокупный спрос инвесторов

177

будет предъявлен рынку, но доли акционерного капиталакорпораций и их долговых обязательств, предложенные к про-даже, могут не соответствовать спросу. Тогда вступают в дей-ствие законы конкурентного рынка: курс ценных бумаг, спрос накоторые превышает предложение, будет расти, а курс ценныхбумаг, спрос на которые ниже предложения, начнет снижаться.

При этом эффективности первых ценных бумаг увеличат-ся, а вторых уменьшатся. Более того, ценовые реакции рынка,который насчитывает множество участников, не являются од-нозначно прогнозируемыми: курсы колеблются, и притом по-разному, вызывая изменение оценок ожидаемых значений иковариаций отклонений от них. На основании информацииоб этом каждый инвестор скорректирует структуру своегорискового портфеля, а следовательно, изменится структурасовокупного спроса. При этом должно отреагировать и пред-ложение, т.е. рисковые ценные бумаги, которые не пользуют-ся спросом, исчезнут с рынка.

В результате на рынке может установиться равновесиеспроса и предложения, при котором совокупная масса всех рис-ковых ценных бумаг распределится между инвесторами в пол-ном соответствии с их оптимизирующими устремлениями.

К сожалению, теория пока не в состоянии описать дина-мику процесса прихода к равновесию из произвольного на-чального состояния, а лишь констатирует, что такое равнове-сие возможно.

Из всего вышесказанного следует практически важныйвывод: если на реальном рынке сложились условия, когда егоповедение в течение длительного времени определяют учас-тники, располагающие почти одинаковой информацией в оди-наковом объеме, принимающие наилучшие возможные реше-ния о формировании своего портфеля рисковых ценных бу-маг, то на таком рынке распределение рисковых ценных бумагпо видам будет иметь свойства, близкие к свойствам опти-мального портфеля.

Короче говоря, при формировании оптимального портфе-ля рисковых ценных бумаг надо довериться рынку и выбратьпортфель с той же структурой, что и портфель рынка.

Если, например, в общей стоимости всех рисковых цен-ных бумаг акции IBM составляют 5,5%, то и инвестор должен

178

вложить 5,5% своего капитала, предназначенного для риско-вых финансовых операций, в акции IBM.

Конечно, теория не может подсказать, как разделить ка-питал на рисковую и безрисковую части. Каждый инвесторрешает эту проблему в зависимости от своей склонности криску. Теория лишь позволяет доказать, что общий уровень ценна равновесном рынке зависит от склонности инвесторов криску, и цены тем выше, чем выше эта склонность.

Теория равновесного рынка позволяет также лучше по-нять значение таких параметров, как альфа и бета вкладов от-носительно рынка. Поскольку согласно модели портфель рын-ка имеет ту же структуру, что и оптимальный портфель, вы-числяемый на основе вероятностных характеристикэффективностей рисковых ценных бумаг, то рынок должениметь свойства, присущие оптимальному портфелю.

Основное свойство оптимального портфеля быловыражено соотношением:

mj — r0 = â j (mp — r0),

т.е. премия за риск каждой ценной бумаги пропорциональнапремии за риск портфеля в целом, а коэффициентом пропор-циональности является бета ценной бумаги j относительнопортфеля.

Теперь можно утверждать, что это соотношение верно идля рынка. Заменив индекс портфеля р на индекс рынка m,запишем:

mj — r0 = â j (mm — r0) . (5.24)

Вывод: премия за риск, связанный с любой ценной бума-гой, пропорциональна премии за риск рынка в целом, а коэф-фициент пропорциональности есть бета ценной бумагиотносительно рынка.

Соотношение (5.24) принято называть основным уравне-нием равновесного рынка. Зачастую используют и его графи-ческое изображение.

179

Рис. 5.2. Графическая интерпретация основного уравненияравновесного рынка

По оси абсцисс отложены величины бета, по оси орди-нат – ожидаемые эффективности ценных бумаг. Прямая име-нуется линией рынка ценных бумаг (Security market line, SML).Для идеального равновесного рынка задание бета позволяетнайти ожидаемую эффективность в виде соответствующейточки на прямой.

О поведении реального рынка можно судить по статисти-ческим данным. Напомним, что статистика указывает на спра-ведливость более общего соотношения:

mj — r0 = β j (mm — r0)+α j .

Оно отличается от основного уравнения CAPM наличиемслагаемого, равного альфа вклада. Иначе говоря, на идеальномрынке альфа всех ценных бумаг равна нулю. Статистическиеже данные реального рынка не подтверждают этот вывод.Обычно приводят два объяснения этого противоречия.

Первое заключается в том, что на реальном рынке отнюдьне все участники одинаково информированы, и ра-циональность их поступков различна. Поэтому и портфельрынка должен отличаться от оптимального. Если статистикапоказывает, что альфа какой-нибудь ценной бумаги по-ложительна, то это означает недооценку рынком действи-тельных возможностей этой ценной бумаги. В противном слу-чае (α j < 0) считают, что рынок переоценивает возможности

aj>0m

mm

aj<0r0

1 βj

180

ценной бумаги. Поэтому одна из практических рекомендацийфинансового анализа – включение вкладчиком в портфельпрежде всего тех ценных бумаг, которые недооценены рын-ком (α j > 0), с надеждой «переиграть» рынок, получить пре-имущество перед менее информированными участниками.

На диаграмме точки, соответствующие недооцененнымценным бумагам, будут располагаться выше линии рынка, аточки, соответствующие переоцененным ценным бумагам, –ниже этой линии.

Вторая интерпретация отличия величин альфа от нуляменее практична, но, по-видимому, более соответствует реаль-ности. CAPM базируется на простейшей теории оптимально-го портфеля, в которой допускается, что ставки при покупке ипродаже, при выдаче и получении кредита одинаковы, что несоответствует действительности. Существуют различные мо-дификации CAPM, учитывающие эти отклонения от идеаль-ного варианта.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый ры-нок: расчет и риск. – М.: Инфра-М, 1994.

2. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих рас-четов. – М.: Дело, 1992.

3. Инвестиционное проектирование: практическое руководствопо экономическому обоснованию инвестиционных проектов/ Под.ред. С.И. Шумилина.– М.: АО «Финстатинформ», 1995.

4. Риски в современном бизнесе/ Грабовый П.Г., Петрова С.И.,Полтавцев К.Г. и др. – М.: «Аланс», 1994.

5. Глазунов В.Н. Финансовый анализ и оценка риска реальныхинвестиций. – М.: АО «Финстатинформ», 1997.

6. Петраков Н.Я. Инвестиционно-финансовый портфель. – М.:«Соминтэк», 1993.

7. Шапиро В.Д. Управление проектами. –СПб.: «Два Три», 1993.8. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой

исходной информации. – М.: Наука, 1981.9. Обработка нечеткой информации в системах принятия ре-

шений/А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, Г.В. Меркурьева и др. – М.:Радио и связь, 1989.

181

СОДЕРЖАНИЕВведение ………………………………………………………......3Лекция 1. Финансовый рынок и его товары………………………41.1.Товарно-денежный механизм рыночной экономики……….....41.2. Товары, субъекты и структура финансового рынка………….81.3. Современное состояние финансового рынка в РеспубликеБеларусь……………..................................................................10Лекция 2. Характеристики финансовых операций…………….…102.1. Основные термины и их толкование…………………….......102.2. Приведение к базовому периоду……………………...……..122.3. Дисконтирование……………………………….....................142.4. Эффективная ставка…………………………………............162.5. Оценка потоков платежей………………………...………….192.6. Двухсторонний поток платежей. Чистая приведеннаявеличина.....................................................................................21Лекция 3. Финансовая математика в инвестиционномпроектировании……………..………….......................................243.1. Понятие об инвестициях в реальные активы. Классификацияинвестиций. Роль инвестиций в увеличении ценности фирмы…..243.2. Понятие о денежных потоках (cash flow). Подход бухгалтераи финансиста к оценке денежных потоков. Роль амортизации винвестиционном проектировании………………………...............273.3. Основные составляющие бизнес-плана. Особенностибизнес-планирования в условиях инфляции. Особенностибизнес-планирования в условиях Республики Беларусь………...303.4. Дисконтированные финансовые параметры инвестиций,методы их расчета и их роль в оценке эффективностиинвестиционных проектов………………………………..............663.5. Оценка дисконтированных финансовых параметровинвестиций в условиях неопределен-ности. Типынеопределенностей и взаимосвязь между ними…………...........73

3.6. Основы интервальной и нечетко-интервальной математики...823.7. Применение интервального и нечетко-интервального анализадля расчета параметров инвестиций…………………………….97Лекция 4. Акции и организация торговли ценными бумагами…1154.1. Формирование цены акции. Прибыль и дивиденды. ММ-парадокс.Риск и ограничение риска. Финансовый риск. Хеджирование.Опционы и контракты на финансовом рынке.............................1154.2. Портфель ценных бумаг. Эффективность ценных бумаг какслучайная величина. Влияние склонность к риску лиц,принимающих решения………………………...........................1234.3. Основные понятия технического и фундаментальногоанализа на рынке ценных бумаг…............................................1264.4. Статистические характеристики портфеля ценных бумаг.Влияние корреляции между ценами различных видов акций наитоговую эффективность портфеля………………….................1404.5. Оптимизация портфеля ценных бумаг. Постановка и решениеклассической задачи оптимизации методом неопределенныхмножителей Лагранжа………..………..................................…1454.6. Методы оценки риска портфеля ценных бумаг в рамкахклассического теоретико-вероятностного подходак формализации неопределенностей…………………………....1554.7. Методы оптимизация портфеля ценных бумаг в условияхнестатистической неопределенности на основенечетко-интервальной математики…………….……................160Лекция 5. Статистика и теория финансового рынка………......1665.1. Прямой статистический подход к прогнозированию стоимостиценных бумаг на основе исследования истории рынка. Основыметода ведущих факторов…………………………...................1665.2. Общая эффективность рынка как ведущий фактор.Статистика рынка и ее использование при прогнозированиицен на акции……………………………………………..............1715.3. Равновесие на конкурентном финансовом рынке. Основноеуравнение равновесия финансового рынка. Модельценообразования на рынке капитальных вложений………........176

182

Рерайт (переделка) дипломных и курсовых работ

Создание интернет-магазинов

Вернуться в каталог учебников

Повышайте квалификацию, приобретатйе новые компетенции:

Курсы по созданию сайтов

Курсы по оптимизации сайтов

Сайт-визитка - начать бизнес в Интернете