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Metodi ricerca

comunicazione

XI - ANALISI FATTORIALE e

ACP

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XI - ANALISI FATTORIALE E A. DELLE COMPONENTI

PRINCIPALI: INTRODUZIONE

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comunicazione


ACP

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PREMESSA

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ACP

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1) LE RELAZIONI SEMANTICHE FRA

VARIABILI CARDINALI

La correlazione statistica fra variabili stima la loro prossimitàsemantica

Z è più correlato a X (= è piùprossimo semanticamente �condivide parte dell’estensione semantica) di quanto lo sia YW non è correlato con Y, X, Z (= non ha alcuna area semantica in comune con loro)

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ACP

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costruzione di un indice:

• occorre coprire più

possibile la dimensione semantica dell’indice,

cercando indicatori

prossimi (“congrui”) ed

escludendo quelli

estranei

QUINDI:

• Definizione semantica dell’indice � ricerca di

indicatori “congrui”.

INDICE YXZ

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ACP

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• Altre volte si può presupporre che se piùvariabili sono correlate fra loro (= sono semanticamente vicine) ciò accade perché hanno elementi semantici comuni = sono tutte indicatori di una dimensione latente

che deve essere ricercata, esplicitata (e poi tradotta in una variabile-indice)

QUINDI

• indicatori � dimensione latente � indice

“fattore”“componente”

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ACP

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Variabili correlate

a “grappoli”.

Ogni grappolo può

essere concepito

come un gruppo di

indicatori di una

dimensione latente

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ACP

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2) LA CORRELAZIONERELAZIONE FRA DUE VARIABILI CARDINALI RAPPRESENTATA MEDIANTE DIAGRAMMA A DISPERSIONE

=

Assi cartesiani: ogni asse è una variabile, ogni punto è un caso

Assi cartesiani: ogni asse è una variabile, ogni punto è un caso

Y

0 X

RELAZIONE MONOTONICA E TENDENZIALMENTE LINERARE = X cresce insieme ad Y ( monotonicità) con tasso tendenzialmente costante (linearità).

Pro-memoria

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ACP

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Il coefficiente di correlazione

r di Pearson

Il coefficiente di correlazione r (va da 0 a ±1) misura quanto i punti si distribuiscono linearmente � quanto è stretta la relazione fra X ed Y.

Associazione

più intensaAssociazione

meno intensa

Pro-memoria

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ACP

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CONFRONTABILITA’ DI r PER VARIABILI DIVERSE: MATRICE DI CORRELAZIONE UMBRIA: MATRICE DI CORRELAZIONE FRA ALCUNE VARIABILI (Unità di analisi = Comuni)

INCRNAT INVECC VECCH INDVARDEM INDRED NONDIPL ALFAB ANALFAB

ALANALF

INCRNAT 1

INVECC -0,479 1

VECCH -0,346 0,825 1

INDVARDEM 0,321 -0,518 -0,404 1

INDRED 0,381 -0,518 -0,205 0,254 1

NONDIPL -0,224 0,359 0,168 -0,282 -0,709 1

ALFAB -0,166 0,209 -0,121 -0,291 -0,500 0,414 1

ANALFAB 0,015 0,144 -0,028 -0,139 -0,392 0,442 0,467 1

ALANALF -0,139 0,215 -0,111 -0,285 -0,526 0,466 0,976 0,649 1

Pro-memoria

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ACP

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L’ANALISI FATTORIALE

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ACP

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1. FUNZIONI

1) Costruzione di un INDICE con var. cardinali come indicatori; 2) Dato un insieme di indicatori che si ritiene possano riferirsi a PIU’ DI UNA

DIMENSIONE (antropologica, psicologica, sociologica, …) SUDDIVIDERE L’INSIEME degli indicatori in modo che: - alcuni indicatori vengano attribuiti esclusivamente / prevalentemente ad una dimensione;

- altri indicatori ad un’altra dimensione;

- etc.

EVENTUALMENTE: 3) Far emergere dimensioni concettuali inizialmente IMPREVISTE da chi ha

selezionato quel paniere di indicatori per rilevare un certo arco di dimensioni.

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ACP

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2. OBIETTIVIIn stretta connessione con queste funzioni si trovano 2 obiettivi/approcci:

a)SINGLE F.A.:

Il ricercatore ha idee chiare sulla proprietà da rilevare empiricamente attraverso UN indice. Egli vuole solo avere elementi empiricamente basati per graduare la validità degli indicatori � il ricercatore punta ad estrarre un solo fattore-indice = la SFA serve alla funzione 1: v. slide precedente);

% pop. attiva nel

terziario % laureati % lettori

quotidiani ↓

INDICE di modernizzazione

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ACP

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b) MULTIPLE F.A. : serve alla funzione 2) = suddivisione degli indicatori in più grappoli. Ciascun grappolo viene attribuito ad un fattore.

FATTORE = principio latente di organizzazione e di coerenza fra indicatori (soggiacente p. es. alle risposte degli intervistati). E’a un livello più generale �può essere più interessante dei singoli indicatori

Fatt 1 Fatt 2 Fatt 3

Ind 1 Ind 2 Ind 3 Ind 4 Ind 5 Ind 6 Ind 7 Ind 8 Ind 9 Ind 10

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ACP

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NB: SFA e MFA = obiettivi ex ante: i risultati

possono contraddire gli obiettivi

.

Da una SFA può � più dimensioni

concettuali ben distinte e con sostanza semantica, di cui alcune o tutte erano

impreviste: vedi funzione 3);

Da una MFA � una sola dimensione

rilevante

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ACP

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SINGLE FACTOR ANALYSIS

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ACP

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Obiettivo a)COSTRUZIONE DI UN INDICE

In base ad una valutazione semantica, il ricercatore ritiene che alcunevariabili siano indicatori di un’unica dimensione concettuale.

C

a b c d

a, b, c e d rappresentano semanticamente parte dell’estensione di C

Pro-memoria

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ACP

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1) Indice additivo

1) INDICE ADDITIVO � Si ritiene equivalente il contributo semantico di

ciascun indicatore all’indice. Indicatore

a

Indicatore b

Indicatore c

Indicatore d

INDICE C

Pro-memoria

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ACP

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a) Frasi contro-scalate: Molto

d’accordo Abbastanza d’accordo

Poco d’accordo

Per nulla d’accordo

Lavorare il minimo e portare a casa lo questione di volontà e voglia di lavorare � � � �

Questi pian piano ci spremono come limoni e

quando saremo ben spremuti ci manderanno

via.

�

�

�

�

I capi qui usano gli operai come pedine, li

spostano da una parte all’altra senza rispettare

i bisogni degli operai, li stressano.

�

�

�

�

Nell’UTE ti riconoscono i meriti quando lavori

bene.

�

�

�

�

Quando lavoro nello stabilimento faccio il mio

4 2 1 0

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ACP

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Limiti di un indice additivo

• NON VI E’ SELEZIONE DI INDICATORI � non si prevede di scartare alcun indicatore.

• Equivalenza semantica � SI SOMMANO per ciascun caso i punteggi ottenuti � posizione di ciascun caso sull’indice.

• soluzione banale e ingiustificata � i legami semantici indicatori - proprietà indicata spesso sono diversi (v. figura slide 8);

• non vi è alcun controllo empirico che ciascuna variabile sia davvero indicatore di quella proprietà indicata.

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ACP

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2) Items analysis

VERSIONE RUDIMENTALE:

svolge la stessa funzione dell’AF, ma senza algebra matriciale = èun’AF “a occhio” = matrice di correlazione fra le variabili scelte dal ricercatore come indicatori �si eliminano gli indicatori che risultano meno congruenti (sulla base delle correlazioni binarie) con l’insieme degli altri indicatori � si costruisce un indice additivocon gli indicatori superstiti.

VERSIONE “PART-WHOLE”

si calcola un indice meramente additivo � si correla ciascun indicatore con l’indice additivo �si eliminano gli indicatori con bassa correlazione � si ricalcolal’indice additivo solo in base agli indicatori superstiti.

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ACP

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3) Analisi fattoriale

• Fine ‘800: F. Galton: è il primo ad usare test mentali.

• Presuppone che le capacità rilevate nei test, cioè tutti gli “indicatori”adottati, derivino da una sola dimensione, un unico “fattore G.I.”(General Intelligence) , cioè un fattore intellettivo generale. Difficoltà� mancanza di tecniche di analisi dei dati

• C. Spearman aggiunge le sue competenze di algebra matriciale che consentono la soluzione tecnica al problema di rilevare il “fattore G.I” � contributo fondamentale alla SFA

• SUCCESSIVAMENTE lo sviluppo delle varie discipline e dell’analisi dei dati e la diffusione – negli ultimi decenni – dei calcolatori hanno determinato il moltiplicarsi delle possibilità offerte dall’AF.

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ACP

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PROCEDURA DELLA S.F.A.

1. Sottoporre il paniere di indicatori ad analisi algebriche � calcolo dei factor loadings.

2. Scartare gli indicatori meno correlati con la dimensione generale (“fattore”), cioè quelli con factor loadings piùbassi.

I factor loadings sono gli

equivalenti dei coefficienti

di correlazione fra 2 variabili; ma

in AF la correlazione è fra

variabile e fattore: vedi dopo.

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ACP

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Per stabilire la soglia sotto la quale si trovano gli indicatori da scartare occorre considerare anche l’insieme dei f.l.

VALUTAZIONE CONTESTUALE DEI F.L.:

E non viene eliminatoE viene eliminato

0,20E0,20E

0,26

0,24

0,23

0,22

A

B

C

D

0,56

0,54

0,48

0,39

A

B

C

D

FACTOR L.INDICATORIFACTOR L.INDICATORI

Esempio 2:Esempio 1:

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ACP

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3. Ponderare il peso degli indicatori superstiti con coefficienti sensibili al grado di vicinanza semantica di ciascun indicatore alla proprietà indicata (= sensibili alla validità).

C

a b c d

d è l’indicatore

più valido;

b è il meno

valido

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ACP

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MA: un factor loading:

i. stima la validità = la parte indicante che però ogni indicatore condivide con altri indicatori;

ii. risente anche della vicinanza agli altri indicatori � utilizzare il factor loading direttamente come coefficiente di ponderazione sarebbe come costruire un edificio utilizzando più volte gli stessi mattoni = costruire l’indice sfruttando piùvolte lo stesso materiale semantico = ridondanza.

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ACP

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ALLORA:

4. Occorre depurare i f.l., stimando il contributo netto di ciascun indicatore all’indice (= usare 1 sola volta ciascun mattone).

Attraverso una procedura che equivale a una regressione multipla, è possibile utilizzare (gli equivalenti dei “beta weights”, cioè) i factor score coefficients = coefficienti che moltiplicheranno il punteggio standardizzato di ciascun individuo su ciascun indicatore nell’equazione finale che costruisce l’indice.

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ACP

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Ossia: In base ai f.s.c., è possibile ponderare per ciascun caso il punteggio su ciascun indicatore � sommare i punteggi così ottenuti � punteggio di quel caso sull’indice � ripetere la stessa procedura per ciascun altro caso � nuovo vettore-colonna con i punteggi di tutti i casi sull’indice.

INDxi = S1V1i + S2V2i + SmVmi

MATRICE C x V FACTOR SCORE COEFFICIENTS (S)

i V1 V2 … Vm S1 - 0,05

Tizio -0,89 - 0,25 … 2,20 S2 0,77

Caio 2,50 0,01 … - 0,93 Sm 0,32

CALCOLO DEI PUNTEGGI DI CIASCUN CASO SULL’INDICE: PUNTEGGIO SULL’INDICE

Ponderazione

V1 Ponderazione

V2 Ponderazione

… Ponderazione

Vm

Punteggio Tizio =

(- 0,05) (-0,89) +

(0,77) (-0,25) +

…… +

(0,32) (2,20)

Punteggio Caio =

(- 0,05) (2,50) +

(0,77) (-0,01) +

…… +

(0,32) (0,93)

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Vantaggi:• Stima validità degli indicatori

• Esclusione indicatori troppo poco validi;

• Ponderazione degli indicatori superstiti in

base al diverso grado di validità;

• Standardizzazione dei punteggi ponderati;

somma dei punteggi così trattati

= INDICE

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ACP

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ESCLUSIONE INDICATORI SI’ NO

SI’

Multiple AF

Single AF

P

ON

DE

RA

ZIO

NE

NO

Items analysis

Indici additivi (in genere)

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ACP

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MULTIPLE FACTOR ANALYSIS= individuazione di più dimensioni

semantiche

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ACP

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Il ricercatore ritiene che sottostanti alcuni indicatori ci siano PIU’ dimensioni significative, più concetti generali (= “fattori”) (cfr SFA: 1 fattore, 1 indice) C1 C2 C3

var1 var2 var3 var4 var5 var6

C1, C2, C3 = concetti generali, dimensioni latenti Var = variabili legate ai concetti generali da legami semantici = rapporti di indicazione.

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ACP

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PROCEDURA DELLA M.F.A.1. La matrice di correlazione fra variabili è sottoposta ad

una complessa elaborazione algebrico-matriciale , fino a

giungere ad una MATRICE FATTORI PER VARIABILI

MATRICE FATTORI PER VARIABILI

Fattore1 Fattore 2 Fattore n Variabile 1 Variabile 2 0,32 Variabile 3 Variabile n

Ogni cella contiene un factor loading = quantificazione del legame di rappresentanza semantica che la variabile in riga ha con i fattori in colonna = stima della validità di ciascuna variabile rispetto a ciascun fattore. Per ciascun fattore il ricercatore seleziona le variabili che hanno ottenuto factor loadings più alti.

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ACP

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Scomposizione dell’insieme delle variabili:

• alcune vengono attribuite al Fattore 1 (che rileva la dimensione concettuale C1);

• altre vengono attribuite la Fattore 2 (che rileva la dimensione concettuale C2);

• etc.

Esempio: DISTANZA DA CIASCUN PARTITO (factor loadings) Fattore 1 Fattore 2

AN - 0,77 0,04 CCD - 0,55 0,64 CDU - 0,38 0,70

FI - 0,72 0,13 Lega Nord - 0,02 0,22 Patto Segni 0,18 0,56

PPI 0,22 0,64 PDS 0,86 0,23 RC 0,76 0,09

Riformatori 0,15 0,34 Verdi 0,36 0,14

Fattore 1 = sinistra-destra Fattore 2 = centro cattolico

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ACP

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EMERSIONE DI DIMENSIONI INIZIALMENTE NON

PREVISTE

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ACP

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Esempio (Tullio Altan-Marradi 1974): INDICATORE ETICHETTA

Esistenza soprannaturale 4 Riti come base della religione 8 Religione garantisce ordine e pace 14 Importanza persone di fiducia per giudizi personali 17 Affermazioni autorità ecclesiale sono vere e giuste 19 Chiesa è grande madre che dà sicurezza 22 Verità principi di fede 25 La gente non sa cosa è meglio per se stessa 27 No a lavoro fuori casa per donne 34 Affidarsi a esperienze di altri 35 Importanza imparare presto obbedienza ad autorità 36

ATTESE RICERCATORE: 17 19 22 14 34 4? Fattore Fattore deferenza 25 Fatt. tradizionalismo Conservatorismo Laico liberismo econ. 36 35 27 8

ANALISI FATTORIALE: 36

22 Fattore 1 4

19 8

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ACP

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F.

loadings INDICATORI SUPERSTITI F.

score c. 0,72 Chiesa è grande madre che dà sicurezza 0,24 0,70 Esistenza soprannaturale 0,22 0,68 Affermazioni autorità ecclesiale sono vere e giuste 0,21 0,67 Verità principi di fede 0,20 0,48 Riti come base della religione 0,15 0,54 Religione garantisce ordine e pace 0,14 0,28 Importanza imparare presto obbedienza ad autorità 0,07

CONCETTUALIZZAZIONE: il ricercatore deve cercare di capire quale concetto generale sia rilevato attraverso quel particolare indice costruito secondo quella procedura, in base a quei f.loadings e f.score coefficients.

NON religiosità: non vengono considerati alcuni aspetti della religiosità (etica, carità, impegno sociale…);

NON tradizionalismo religioso: ritualismo (8) e quietismo (14) sono in posizioni marginali;

MA dimensione più rassicurante, consolatoria della religione: sia sul piano affettivo (v. Chiesa-madre rassicurante); sia “ “ cognitivo (v. verità dell’autorità e verità dei dogmi) = FIDEISMO (“fideis”)

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ACP

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RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

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ACP

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Spesso è molto efficace riprodurre entro uno spazio cartesiano i factor loadings di ciascuna variabile su due fattori � individuazione di indici

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ACP

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Rappresentazione della posizione di ciascun caso rispetto a due indici elaborati mediante AF

Ero

Taa

LomM ar Ven

FvgUmb

Pie

Tos

Sar

Laz

Bas

A br

Lig

M ol

Cam

PugCal

Sic

-2,5

2,5

-2,0 2,0

Benes sere materiale

Ben

esse

re i

mm

ater

iale

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ACP

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ALCUNE DIFFERENZE FRA ANALISI FATTORIALE (AF) E

ANALISI DELLE COMPONENTI PRINCIPALI (ACP)

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ACP

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• AF = insieme di tecniche di estrazione dei fattori, fra le quali c’è l’ACP;

• SECONDO ALCUNI: AF serve per controllare ipotesi su struttura delle correlazioni fra variabili; se le ipotesi vengono confermate � inferenza dal campione alla popolazione. ACP invece èpiù esplorativa;

• COMUNQUE non ci sono vistose differenze fra i risultati dell’AF e quelli dell’ACP.

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