€

vx1 >> vx2

€

v = vx1

€

vx1

€

r′ v 1

€

rv 1

€

vy1

€

′ v x1

€

′ v y1

x

y

0

S

€

r′ v 2

€

rv 2

B

A

S*

0* x*

€

r′ v 1

€

vy1

y*

€

rv 1

A

€

r′ v 2

€

rv 2

€

− ′ v x2

€

−vx2

B

€

vx1 << vx2

Relativistische Stösse

Beobachter in O*misst in S*:

€

v *y1 =vy1

γ 1−vx1vc2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

€

v *y2 =vy2

γ 1−vx2vc2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟€

=γvy1

€

=vy2

γ€

=v

€

=0

€

A : vx1 ≈ ′ v x1 ≠ 0 =>

€

B : vx2 ≈ ′ v x2 = 0 => Beobachter in O*misst in S*:

mA=mB

vy2=-vy1

Gaub WS 2014/15

In beiden Intertialsystem muss Impulserhaltung gelten!

€

mAvy1 + mBvy2 = m *A v *y1 +m *B v *y2 = 0

€

=> m(v) = γm0 =m0

1− v2 /c2

Die Masse eines bewegten Teilchens nimmt mit seiner Geschwindigkeit zu

Ruhemasse: mo= m(v=0)

da vA ≈ vx1 = v , v*A≈ 0

und vB ≈ 0, v*B ≈ vx1 = v

€

m(v)vy1 + m0vy2 = 0

€

m0v *y1 +m(v)v *y2 = 0

Mit konstanter Masse nicht erfüllbar!

€

(m(v))2

m20

=vy2

v *y2

v *y1

vy1

= γ 2

Gaub 2WS 2014/15

WS 2014/15 3

Kraft und relativistischer Impuls

€

rF =

dr p

dt

€

=d

dt(m

r v )

€

=d

dt(

m0

r v

1− v2 /c2)

€

=(d

dt

m0

1− v2 /c2)r v + m

r a

€

d /dt = (d /dv)(dv /dt)

€

rF =

m0(v /c2 )a

(1− v2 /c2 )3/2

r v + m

r a

€

rF = γ 3m0a

v2

c2ˆ e v +(1−

v2

c2)ˆ e a

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Die relativistische Kraft hat eine Kompo-nente in Richtung der Geschwindigkeit !

€

=> r

p = m(v)r v = m0γ

r v

Gaub

Transformation der Kräfte

Übergang von S mit Teilchen v, m = mog nach S* mit v* = 0, m *= mo

Fx = dpx/dt = γ3m0ax

und in S* gilt: a x = γ∗ 3ax

=> Fx = m∗ 0ax = γ∗ 3m0ax ≡ Fx

Fy = dpy/dt = mdvy /dt= γm0 ay => Fy = m∗ 0ay = γ∗ 2m0ay = γFy

€

=>Fx

Fy

= γ 2 ax

ay

Wir wählen v = vx

€

ˆ e v = ˆ e adamit gilt (Lorentz-Transformation)

mit a y = γ∗ 2ay

(vy<<vx)

Gaub 4WS 2014/15

WS 2014/15 5

Relativistische Energie

Man bedenke: Sowohl m als auch v ändern sich bei hohen Geschwindigkeiten!

Einsteins Gedankenexperiment:

LLichtblitz bei t1=0

Aber: Schwerpunkt war immer an der selben Stelle!

=>Rückstossimpuls

p = -E/c

wird nach t2=L/c absorbiert

p = E/c

∆x

€

v =p

M= −

E

Mc

€

=−vt 2 = EL / Mc2

€

=>mL − MΔx = 0

€

=>E = mc2Jede Masse entspricht der Energie

=> Transport der Masse m während Energietransport

€

v << c

Gaub

€

=>E = mc2 =m0c

2

1− v2 /c2

€

m(v) = γm0 =m0

1− v2 /c2

€

=m0c2 +(m − m0 )c2

Gesamtenergie + Bewegungsenergie = Ruheenergie

€

Ekin = (m − m0 )c2 = m0(γ −1)c2

€

γ=(1−v

c

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

)−1/2

€

≈m0

1

2v2

v <<cTaylor-Entwicklung

€

(1+ x)a = (a

k)

k=0

∞

∑ x k ≈ 1+ ax +a(a −1)

2!x2 +.....

€

≈1+1

2

v

c

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2

+3

8

v

c

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟4

+.....

Gaub 6WS 2014/15

WS 2014/15 7

€

=>E2 = m2c4 = m02c4 + m2c2v2

€

=m02c4 + p2c2

€

=>E = c m02c2 + p2

E pc

m0c2

€

m2c4 =m2

γ 2c4 + m2c2v2

€

1 =1

γ 2+

v2

c2

€

γ2 =1

1−v2

c2

weil

Gaub

€

v *2 =v2 − v

1−v2vc2

Inelastische Stöße bei relativistischen Energien

S

A

€

rv 2 = −

r v 1

AB

€

rv 1

B

€

rv AB = 0

A

€

rv *A = 0

€

rv *2

BAB

€

rv *AB = −

r v 1

S*

€

v =r v 1

€

=−2v

1+v2

c2

Impulserhaltung in S*:

€

m(v *2 )v *2 = −M *AB v

Energie in S*:

€

m(v *2 )+ mo = M *AB

€

m(v *2 )

m0

= −v

v *2 +v

€

v = −c2

v *2

1+ (1−v *2

2

c2)

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

€

=(1−v *2

2

c2 )−1/2

€

=γ(v *2 )

€

m(v) =m0

1− v2 /c2= γ (v)m0 <=

Gaub WS 2014/15

Relativistischer Energiesatz

€

˜ r = x ˆ e x + yˆ e y + z ˆ e z + ict ˆ e t

€

ˆ e x⊥ e y⊥ e z⊥ e t

im 4d Minkowski-Raum

€

d˜ r 2 = dx2 + dy2 + dz2 − c2dt 2

€

=dt 1− v2 /c2

Totales Differential:

€

=−c2dτ 2

€

dτ = dt 2 −1/c2(dx2 + dy2 + dz2 )weil €

=>d˜ r /dτ =

dx /dτ

dy /dτ

dz /dτ

icdt /dτ

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

€

= r

v + ic ˆ e t1− v2 /c2

€

=> ˜ p = mo

d˜ r

dτ

€

=mo

r v + ic ˆ e t1− v2 /c2

€

=> ˜ F =d˜ p

dτ= mo

d2 ˜ r

dτ 2

€

=γ d

dt(m0

r v )+ ic

d

dt(m0

ˆ e t ) ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

=γ r

F + id

dt(m0c ˆ e t )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

=

x

y

z

ict

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Minkowski-Impuls Minkowski-Kraft

Eigenzeit

€

dτ = dt /γ

Gaub 9WS 2014/15

€

=>( ˜ F d˜ r

dτ) = mo (

d2 ˜ r

dτ 2)

d˜ r

dτ

€

=mo

2

d

dr(d˜ r

dτ)2

€

weil (d˜ r

dτ)2 = −c2 = const

€

=>( ˜ F d˜ r

dτ) = 0

€

γ2(r F

dr r

dt−

d

dt(mc2 )) = 0

€

=>γ r

F + id

dt(m0cˆ e t )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥γ

r v + ic ˆ e t[ ] =

€

=>d(mc2 ) =r F d

r r = dW

Relativistischer Energiesatz

€

=>Eges = Epot + mc2 =

€

Epot +m0c

2

1− v2 /c2= const

Gaub 10WS 2014/15

WS 2014/15 11

Erhaltungssätze und Symmetrien

In einem abgeschlossenen System (keine WW mit Umgebung) sind zeitlich konstant:

Gesamtenergie (wobei die verschiedenen Energieformen ineinander umgewandelt werden können)

Gesamtimpuls (wobei die einzelnen Teile des Systems miteinander wechselwirken können)

Gesamtdrehimpuls (unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes)

Der tiefer liegende Grund für diese Erhaltungssätze sind Symmetrieeigenschaften von Raum und Zeit

Gaub

WS 2014/15 12

Legrange-Formalismus

€

( L (

r r i ,

r v i ) =

mi

2

r v i

2

i

N

∑ − Epot (r r 1,

r r 2...

r r N ) = Ekin − Epot

Def.: Lagrangefunktion:

€

∂( L

∂r v i

= mi

r v i =

r p i

€

∂( L

∂r r i

= −∂Ep

∂r r i

=r F i

€

=>d

dt(∂

( L

∂r v i

) =∂

( L

∂r r i

Newton

Gaub

Erhaltungssätze und Symmetrien

Isotropie des Raumes bezüglich

€

=>d

dt(∂

( L

∂r v i

)i

N

∑ =d

dt(∂

( L

∂r v i

)i

N

∑ = 0=> Impulserhaltung

=> Drehimpulserhaltung

€

δ rr i =δ

r ϕ ×

r r i

Ort

€

rr +δ

r r

Richtung

€

ϕ +δϕ

€

δ rv i =δ

r ϕ ×

r v i

€

∂( L

∂r r i

= 0i

N

∑ !

€

=> r p i (δ

r ϕ ×

r r i )+

r p i(δ

r ϕ ×

r v i )

i

N

∑

€

=δ rϕ (r r i ×

r p i )+ (r v i ×

r p i )

i

N

∑

€

=> (r r i ×

r p i ) =

r L = const

i

N

∑

€

δ( L =

∂( L

∂r r i

δr r i +

∂( L

∂r v i

δr v i =

i

N

∑ 0i

N

∑ !

€

=δ rϕ d

dt(r r i ×

r p i ) = 0

i

N

∑ !

€

r p i

€

rp i

€

d

dt

( L =

∂( L

∂t+

∂( L

∂r r ii

∑ r r +i

∂( L

∂r v ii

∑ r v i

Isotropie der Zeit:

€

t +δt

€

=>d

dt

r v i (

∂( L

∂r v i

)i

∑ −( L = 0

=> Energieerhaltung

€

Weil (r a ×

r b )

r c =

r a (

r b ×

r c ) = (

r b ×

r c )

r a = −(

r c ×

r b )

r a

€

=d

dt

r v i

∂( L

∂r v ii

∑

€

= r

v id

dt(∂

( L

∂r v i

)i

∑ +(∂

( L

∂r v i

)r v i

€

=>Ekin + Epot = Eges = const

€

∂( L

∂t= 0!

€

=> r

v ir p i

i

∑ −( L =

r v i

r p i

i

∑ −mi

r v i

2

2i

∑ + Epot = const