x x x e 1 ln , 1,lyk-strovolos-lef.schools.ac.cy/data/uploads/distance/lessons/maths/… · ότι...

ΛΥΚΕΙΟ ΕΘΝΟΜΑΡΤΥΡΑ ΚΥΠΡΙΑΝΟΥ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ ΤΑΞΗ: Γ΄ ΚΑΤ

1

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ (Εφαρμογές παραγώγων) 1. Να βρείτε τα όρια:

1

2

20

(α) lim (β) lim ln (γ) lim 13 +

−

→− →→

− −

+

x

x

x xx

x ex x x e

x( )

2

0(δ) lim (ε) lim 5 ln

3 ln( 1)

→ →

− − −

+

xx

x x

x e xx x e

x

2. Να βρείτε αριθμό ξ για τον οποίο ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής για τις συναρτήσεις:

(α) 2 3 2, 1,2 = − + x x x (β) ( ) 2 3

, 1,23 2

+=

+

xf x x

x (γ) ( ) 1 ln , 1, = − x x x e

3. Να εξετάσετε αν για τις πιο κάτω συναρτήσεις ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

Σε κάθε περίπτωση τα ξ για τα οποία ( )f 0 = .

(α) ( ) 2 6 10 1,5= − + f x x x x (β) ( ) 0,2−= xf x e x x

4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) 2 xf x x 1 e , x 1, 1= + − . Χρησιμοποιώντας το Θ.Μ.Τ. να δείξετε

ότι υπάρχει ( )1,1 − τέτοιο ώστε να ισχύει: ( )f e e − = −

5. Δίνεται η συνάρτηση RRf →: με τύπο xxxf =)( για κάθε Rx .Να αποδείξετε ότι:

α) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα ]2

,0[

β) Υπάρχει )2

,0(ξ

τέτοιο ώστε =

6. α) Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Rolle και να γράψετε τη γεωμετρική σημασία του.

β) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση 2

2

2 3......... 1( )

8 2 ............. 1

x x xf x

x x x

+ + =

−

ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle στο

διάστημα 3,3− .

7. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 22 9 12 0, 4< <5+ + + =x x x a έχει ακριβώς μιά ρίζα στο ( )2, 1− − .

8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1, 2 διάστημα και παραγωγίσιμη στο ( )1, 2 και

( ) ( )2 1 3f f− = να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 2f x x = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ( )1, 2 .

9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[4,9]f R→ .

Να αποδείξετε ότι 3 (4) 4 (6) 7 (9)

14

f f f

+ + , όπου είναι η ελάχιστη και η

μέγιστη τιμή της συνάρτησης. 10. (α) Να διατυπώσετε το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού. (β) Να βρείτε κατάλληλο (5,10) για το οποίο ισχύει το Θ.Μ.Τ για τη συνάρτηση


2

( ) 1 , x [5,10]f x x= − .

11. (α) Δίνεται η συνάρτηση ( ) lnf x x x x= − .Να βρείτε τον αριθμό (1, )e που ικανοποιεί το

συμπέρασμα του θεωρήματος της μέσης τιμής και να δείξετε ότι 1

11 ee e− .

(β) Χρησιμοποιώντας το Θ.Μ.Τ για τη συνάρτηση ( ) lnf x x= , να δείξετε ότι αν

0 , τότε 1- ln 1

−

.

13. Δίνεται η καμπύλη 2

1 2ln xy

x

+= . Να βρεθούν τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της.

14. Δίνεται η συνάρτηση 2

ln( )

xf x

x= .

(α) Να δείξετε ότι έχει μόνο ένα τοπικό ακρότατο στο σημείο 1

,2

ee

.

(β) Να δείξετε ότι 2 2 , x (0, ).x ee x

(γ) Αν 0 e , να δείξετε ότι 2 2 .

15. (α) Δίνεται η συνάρτηση :f R R→ με τύπο 4 3 2 2( ) 3 4 6 , αf x x x x R = + + + .Να δείξετε ότι

δεν έχει σημεία καμπής. (β) Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε x R ισχύει :

3 2 2( ) ( ) 8 ( ) 3 4 5 3x xf x f x f x e e x−+ + = − − + . Να αποδείξετε ότι δεν έχει τοπικά ακρότατα.

16. (α) Να δώσετε τον ορισμό της κατακόρυφης και οριζόντιας ασύμπτωτης (β) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των πιό κάτω συναρτήσεων:

2 2 1

2

2 5 6 4 5 3 ln( 1) 1 ln(2 )( ) y= (β) y= (γ) y=ln ( ) y= (ε) y= (στ) y=

4 2 5 3 3 1 1

−

−

− + − − + − − −

− − − − − −

x

x

x x x x x x e xa

x x x x x e

17. Η συνάρτηση 2x x

yx

+ +=

+ έχει ακρότατο στο (1,-1) και πλάγια ασύμπτωτη την 2 1y x= + .

Να βρείτε τις τιμές των , , , .

18. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )2 3 4f x x x= − + . Να δείξετε ότι τα δύο ακρότατα σημεία

και το σημείο καμπής της είναι συνευθειακά. 19. Να βρείτε τις τιμές των α και β, αν:

(α) η συνάρτηση 2ln 3a x x x = + − έχει τοπικό ακρότατο το σημείο Β (1 ,0).

(β) η συνάρτηση ( )ln 1 6xae x = + + + έχει τοπικό ακρότατο το σημείο Α (0, 1).

20. Να βρείτε τις τιμές των α και β, αν:

(α) η συνάρτηση 2 lnax x x x = + − έχει σημείο καμπής το σημείο 3

1,2

.

(β) η συνάρτηση ( ) 2ln 1 xa x e −= + + έχει σημείο καμπής το σημείο (0, 5).


3

21. Αν η συνάρτηση 4

2

x

x

+=

− έχει οριζόντια ασύμπτωτη τη 2 = και κατακόρυφη

ασύμπτωτη τη 1x = να βρείτε τις τιμές των κ και λ. Στη συνέχεια να βρείτε τα σημεία

τομής της καμπύλης με τους άξονες. 22. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα διαστήματα μονοτονίας , τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες, να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

(α) 2 4xx = − (β) 23 x = − (γ) ( )2 1xx = + (δ) ( )( )2

1 2x x = − +

(ε) 1

2

x

x =

−

+ (στ)

2

2

4

1

x

x

−=

− (ζ)

2 2

2

x x

x

+ −=

−

(η) ( )

2

2

2 1

x

x =

+ (θ) ( )ln 2 1x = − (ι) ( ) 21 xx e = − ια) ( )

2ln 1x = −

23. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση ( )1 xx e −= − .

Στη συνέχεια να δείξετε ότι: ( )ln 21 xx −− .

24. Δίνεται η συνάρτηση 1 1

( ) ln , f x x x ex e

= + . Να βρείτε το ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο

της συνάρτησης. 25. Η συνάρτηση ( )y f x= είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με ( ) 0f x .

Αν x R ισχύει 2( ) ln ( ) 1f x f x x+ = + να δείξετε ότι :

(α) Για 0x = η συνάρτηση έχει ελάχιστο.

(β) Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα πάνω x R .

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΓΙΣΤΑ - ΕΛΑΧΙΣΤΑ 1. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό 64 cm2 . Να βρείτε τις διαστάσεις του ώστε η περίμετρος του να είναι ελάχιστη.

2. Να βρείτε το μέγιστο εμβαδό ορθογωνίου τριγώνου που έχει υποτείνουσα 8 2 cm .

3. Ποιος θετικός αριθμός όταν προστεθεί στον αντίστροφο του δίνει το ελάχιστο άθροισμα; 4. Να δείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 2α , το τετράγωνο έχει τη μικρότερη διαγώνιο. 5. Από όλα τα ισοσκελή τρίγωνα με περίμετρο 18 cm, να βρείτε εκείνο με το μέγιστο εμβαδό. 6. Θέλουμε να κατασκευάσουμε κλειστή κυλινδρική δεξαμενή από λαμαρίνα της οποίας ο όγκος να είναι 80π m3 . Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την ελάχιστη δυνατή λαμαρίνα, να βρείτε την ακτίνα της βάσης της δεξαμενής.

7. Δίνεται η καμπύλη 2 4x = − . Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της με x a= όπου

0 2a , συναντά τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να δείξετε

ότι το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ γίνεται ελάχιστο για 2

3a = .


4

8. Ένα κωνικό δοχείο έχει γενέτειρα 20cm = . Ποιο πρέπει να είναι το ύψος του δοχείου

ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό όγκο.

9. Δίνεται σύρμα μήκους 10m . Το χωρίζουμε σε δύο τεμάχια και με το ένα κατασκευάζουμε

ένα κύκλο και με το άλλο ένα τετράγωνο. Να δείξετε ότι για να είναι το άθροισμα των εμβαδών του κύκλου και του τετραγώνου ελάχιστο πρέπει ο λόγος των δύο τεμαχίων να

είναι ίσος με 4

.

10. Δίνεται φύλλο χαρτιού σε σχήμα ορθογώνιο με διαστάσεις 8 5 .cm cm Ίσα τετράγωνα

πλευράς x αποκόπτονται από κάθε γωνία και διπλώνονται οι πλευρές ώστε να σχηματιστεί ανοικτό κουτί. Να βρεθεί η τιμή του x ώστε ο όγκος του κουτιού να είναι μέγιστος. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των πιο κάτω παραστάσεων:

(α) 3

4

(β) 12

25

(γ) 5

13

(δ) 7

2 24

−

2. Να βρείτε τις παραγώγους των πιο κάτω συναρτήσεων:

(α) ( )2 1x = − (β) ( )2

2x = (γ) 2x x = (δ) ( )1xe +=

3. Να υπολογίσετε τα όρια: (α) 3

0 2limx

x x

x

→

− (β)

0

4lim

x

x x

x

→

−

4. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 1

22

xx

= + είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της.

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Να υπολογίσετε τα πιο κάτω ολοκληρώματα:

1. (α) 3

2

2 32x x e dx

x x

− − + +

(β) ( )2 x x dx+ (γ) 2

3

1 2x dx

x x

−

(δ) ( )( )1 2x x dx− + (ε) 2

2 1

1

x xdx

x

+ −

+

2. (α) 1

xdx

x + (β) 2 3x x dx+ (γ)

1

2 1dx

x− − (δ)

2

1

lndx

x x x+

3. (α) ( )23 4x x x dx − (β) 4x dx (γ) 2 3x x dx (δ) 3

xdx

x x

−

(ε) x

dxx x

− (στ) x x

dxx x x

+ (ε) ( ) ( )3 2

1 1x x dx + −

4. (α) 5

xdx

x

(β) 2x x dx (γ) 1 ln x

dxx

+

5. (α) 2x x dx (β) 2xe x dx (γ) x x dx (δ) ( )ln 3x dx+

(ε) 2ln x dx (στ) ( )ln 1x x dx +


5

6. (α) 2

9

3dx

x x− (β) 3

2 2 2

xdx

x x− + (γ) ( )( )2

1

1 1

xdx

x x

−

+ +

7. (α) 2

2

4

xdx

x x

+

+ (β) 2

2 1

6 18

xdx

x x

−

+ + (γ) 2 2

2

xdx

x

+

+ (δ) 2

3

2 5

xdx

x x

+

− +

8. (α) 2 24 , 2 , 02

x x dx x

− = (β) 2

2, 2 , 0

24

xdx x

x

=

+

(γ) 2

1, , 0

21dx x

x

=

+ −

9. (α) 1

,2

xdx t

x x

=

+ (β) 2,1

xdx x

x =

− (γ) 1

,2 2 1

dx t xx x

=− +

10. Aν , ν 3x xdx

= να δείξετε ότι 1

2( 1)x x x x

−

− = − + − − και στη συνέχεια να

υπολογίσετε ότι 3x xdx

11. Αν '

'' 1 ( )( ) , x>0 και

f xf x

x

−= '(1) (1) 0 να βρείτε την f f= = ( )f x .

ΣΕΙΡΕΣ 1. Να υπολογίσετε το άθροισμα των ν πρώτων όρων των σειρών

(α) ...2222 4321 ++++

(β) ...59473523 2222 ++++

2. Να υπολογίσετε το άθροισμα της σειράς +

= ++1 34

22

.

3.Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω σειρές συγκλίνουν. Στην περίπτωση που συγκλίνουν ,να υπολογίσετε το άθροισμά τους:

(α)

1

3

2−+

=

1

(β) +

=1

4 (γ) +

=

−

1

4

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ—ΕΜΒΑΔΑ—ΟΓΚΟΙ 1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R , χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό u x= − , να

δείξετε ότι 0 0

( ) ( )2

xf x dx f x dx

= . Στη συνέχεια να υπολογίσετε το: 3

2

01

x xdx

x

+.

2. Η συνάρτηση ( )y f x= είναι συνεχής στο [0,α]. Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό t=α-x να

δείξετε ότι 0

( )

( ) ( ) 2

f x adx

f x f a x

=+ − . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

52

5 5

0

xdx

x x

=

+ .


6

3. Δίνεται η συνάρτηση : (0, )f R→ με συνεχή δεύτερη παράγωγο, η οποία παρουσιάζει τοπικό

ακρότατο στο σημείο 0 2x = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,1). Αν

ισχύει 2

'' '

0

( ) 3 ( ) 6xf x f x dx + = να αποδείξετε ότι:

(α) (2) 4f = (β) υπάρχει (0,2) έτσι ώστε ' 3( )

2f =

4 Δίνεται η καμπύλη 02

x x

= και η ευθεία 1 = .

Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, την ευθεία 1 = και τον άξονα των ψ.

5. Δίνεται η καμπύλη 22 2

x x

= − και η ευθεία 1 = . Να βρείτε:

(α) το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη και την ευθεία 1 = ,

(β) τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου γύρω από τον άξονα των χ.

6. Δίνεται η παραβολή 2 4y x= και το σημείο της 2( ,2 )t t . Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α

τέμνει τον άξονα oy στο Β.

(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης στο A είναι η 2yt x t− = και να βρείτε τις

συντεταγμένες του Β. (β) Αν Τ είναι το χωρίο που ορίζεται από την παραβολή και τις ΟΒ, ΑΒ να υπολογίσετε το εμβαδόν του Τ, Ε(t).

(γ) Αν 1

( )6

t = , να δείξετε ότι t=1 και να βρείτε τις συντεταγμένες των Α και Β.

(δ) Να βρείτε τον όγκο xV που γράφει το χωρίο Τ γύρω από τον άξονα οχ.

(ε) Nα βρείτε τον όγκο yV που γράφει το χωρίο Τ γύρω απο τον άξονα οy.

(ζ) Να δείξετε ότι 5x

y

V

V=

(η) Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται όταν το χωρίο Τ κάνει πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία y=2. (θ) Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται όταν το χωρίο Τ κάνει πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία χ=1.

7. Δίνεται η καμπύλη xe −= και το σημείο της ( )1,e− .

(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο ( )1,e−

είναι: e x =− .

(β) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, την

εφαπτομένη στο ( )1,e− και τον άξονα Οψ.

(γ) Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου γύρω από τον άξονα Οψ.

8. Το χωρίο που περικλείεται από τη καμπύλη x = , την ευθεία , 0a a =

και τον άξονα των ψ στρέφεται πλήρως γύρω από τον άξονα των ψ και παράγει όγκο V1 και

μετά γύρω από τον άξονα των χ και παράγει όγκο V2. Να βρείτε την τιμή του α αν 1

2

1

5

V

V= .


7

9. Δίνεται η καμπύλη 1 xe −= − .

(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στην αρχή των αξόνων είναι η ευθεία x = .

(β) Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη, την εφαπτομένη x = και την ευθεία

1x= περιστρέφεται κατά 2π γύρω από τον άξονα των Οχ. Να βρείτε τον όγκο του

στερεού που παράγεται.

10. Χωρίο Τ περικλείεται από την καμπύλη 2

1

x = ,τις ευθείες 1x= , 3x= και τον άξονα χ΄χ.

Να προσδιορίσετε ευθεία x a= που χωρίζει το Τ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

11. Χωρίο Τ περικλείεται από τις καμπύλες ( )2

2x = − , 22x x = − και τον άξονα των ψ.

(α) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Τ και (β) Να εκφράσετε με την βοήθεια ολοκληρωμάτων τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου γύρω από: (i) τον άξονα Οχ (ii) τον άξονα Οψ.

12. Δίνεται η καμπύλη ln x = και η ευθεία x = με 1 .

(α) Να βρείτε το εμβαδό ( )E του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, τον

άξονα Οχ και την ευθεία x = .

(β) Αν ( ) 1E = τ.μ. να βρείτε την τιμή του

(γ) Αν e = να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη

περιστροφή του πιο πάνω χωρίου γύρω από τον άξονα Οψ.

13. (α) Να δείξετε ότι: ( )

2 2

2, , 0

d x

dx x xx

−= +

+ ++ .

(β) Θέτοντας 2

xt = να δείξετε ότι: 2

0

2 1

5 4 3 3

dx

x

=+ .

(γ) Χρησιμοποιώντας τα πιο πάνω ή με άλλο τρόπο να υπολογίσετε την τιμή του.

14. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα 0,1 .

(α) Να δείξετε ότι: ( ) ( )1 1

0 0f x dx f 1 x dx= − .

(β) Αν ( ) ( ) 2f x f 1 x x x , x 0,1+ − = − , να δείξετε ότι ( )1

0

1f x dx

12= .

15. Αν

2 11

20

xI dx ,

1 x

+

=

+ τότε :

(α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

, . + +

(β) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 0 1 2

, .

17. Να βρείτε συνάρτηση f αν ( ) ( )1 x x2

0e f x dx f x e x R.

− = +

18. Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα 0, , να δείξετε ότι ( ) ( )0 0

f x dx f x dx

= −


8

Στη συνέχεια να βρείτε το ολοκλήρωμα 2

0

1 xI ln dx

1 x

+ =

+ .

19. Δίνονται τα ολοκληρώματα: ( ) ( )2 2

0 0ln lnx xdx dx

= =

(α) Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό 2

x t

= − να δείξετε ότι = .

(β) Να αποδεχθεί ότι ( )2

0ln 2

2ln 2x dx

= + − .

(γ) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα .

Υπόδειξη: Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2

0 0

1

2ln 2 lnx dx x dx

= .

ολοκληρώματος: ( )

220 5 4

dx

x

+ .

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

1. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 102

= (β) 13

72 152

−

=

2. Δίνονται τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου να βρείτε: α) πόσοι τετραψήφιοι γίνονται, β) πόσοι ζυγοί τετραψήφιοι γίνονται, γ) πόσοι αριθμοί μικρότεροι του 3000 γίνονται. 3. Μια τάξη έχει 20 μαθητές, 12 αγόρια και 8 κορίτσια. α) Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε ομάδα με 5 μαθητές; β) Πόσες ομάδες από αυτές έχουν 3 αγόρια και 2 κορίτσια; γ) Πόσες ομάδες από αυτές έχουν το πολύ 2 κορίτσια; δ) Πόσες ομάδες από αυτές έχουν ένα συγκεκριμένο αγόρι στην ομάδα; 4. Δίνεται η λέξη Α Σ Φ Α Λ Ε Ι Α. α) Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης υπάρχουν; β) Πόσοι αρχίζουν από σύμφωνο; γ) Πόσοι έχουν τα σύμφωνα σε συνεχόμενες θέσεις; δ) Πόσοι αρχίζουν και τελειώνουν με Α; ε) Πόσες λέξεις με 4 γράμματα μπορούν να γίνουν; 5. Δίνονται τα ψηφία 3, 4, 5, 6, 7, 8. Αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου να βρείτε: α) πόσοι τριψήφιοι γίνονται, β) πόσοι περιττοί τετραψήφιοι γίνονται, γ) πόσοι αριθμοί μεγαλύτεροι του 5000 γίνονται. 6. Δίνεται η λέξη Δ Η Μ Ο Ψ Η Φ Ι Σ Μ Α. α) Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης υπάρχουν; β) Πόσοι έχουν στην αρχή και στο τέλος το ίδιο γράμμα; γ) Πόσοι έχουν τα φωνήεντα σε συνεχόμενες θέσεις; δ) Πόσοι έχουν εναλλάξ τα φωνήεντα με τα σύμφωνα; ε) Πόσες λέξεις με 4 φωνήεντα και ένα σύμφωνο μπορούν να γίνουν;


9

8. Σε μια δεξίωση κάθε ένας από τους παρευρισκόμενους έκανε χειραψία με όλους τους άλλους. Αν έγιναν 45 χειραψίες: (α) να δείξετε ότι υπάρχουν 10 άτομα στη δεξίωση, (β) στη συνέχεια τα άτομα αυτά θα καθίσουν για δείπνο, γύρω από δύο στρογγυλά τραπέζια. Από τα οποία το ένα χωράει 6 και το άλλο 4 άτομα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους Μπορούν να καθίσουν; 9. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών που βρίσκονται μεταξύ του 7000 και 9000 και έχουν διαφορετικά ψηφία σε φθίνουσα σειρά. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

1. Να δείξετε ότι: (α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P P A B P A P− = −

(β) ( ) ( ) ( ) ( ) 1P A P A P A P− − = +

2. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου δίνονται οι πιθανότητες:

( ) ( ) ( )1 1 2

, / /4 3 5

P A P B A P A B= = =

α) Να βρείτε τις πιθανότητες:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i P A B ii P B iii P A B iv P A B −

β) Να εξετάσετε αν: (i) τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, (ii) τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. 3. Αν Α και Β είναι δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου να δείξετε ότι:

(α) ( ) ( ) ( )1P A P A P= −

(β) Στη συνέχεια αν ( ) ( )2 1

5 3P A P B= = να βρείτε τις πιθανότητες:

( ) ( ) ( ) ( )i P A B ii P A B

4. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου και

( ) ( ) ( )1 6

5 7P A P A P B = + = να βρείτε: ( ) ( ) ( ) ( )i P A B ii P A B

5. Από τα 88 γραπτά της Γ τάξης ενός Λυκείου τα 30 είναι του τμήματος Γ1, τα 28 του Γ2 και τα 30 του Γ3. Η βαθμολογία είναι κάτω από τη βάση στο 20% των γραπτών του Γ1, στο 35% των γραπτών του Γ2 και 10% των γραπτών του Γ3. Παίρνουμε στην τύχη ένα από αυτά. (α) Να βρείτε τη πιθανότητα το γραπτό να έχει βαθμό κάτω από τη βάση. (β) Αν το γραπτό έχει βαθμό κάτω από τη βάση να βρείτε την πιθανότητα να είναι του Γ2. 6. Ένα δοχείο έχει 5 μαρκαδόρους 1 κόκκινο, 2 κίτρινους και 2 πράσινους. Παίρνουμε στην τύχη 2 μαρκαδόρους συγχρόνως. Αν Ρ είναι η πιθανότητα ο ένας να είναι κίτρινος και ο άλλος να είναι πράσινος (α) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ (β) Να εξετάσετε αν είναι δυνατό προσθέτοντας ένα ακόμα μαρκαδόρο στο κουτί να αυξηθεί η πιθανότητα Ρ. 7. Ο Αντρέας κάλεσε στα γενέθλια του 10 φίλους του. Ποιά η πιθανότητα του ενδεχομένου τρεις απο τους φίλους του να έχουν τα γενέθλια τους την ίδια μέρα με αυτόν και έτσι δεν θα μπορέσουν να παρεβρεθούν στο πάρτι.


10

8. Ρίχνουμε διαδοχικά ένα ζάρι τρεις φορές και σημειώνουμε τα αποτελέσματα με τη σειρά που εμφανίζονται. Ποια η πιθανότητα να έχουμε: (α) και τις τρεις φορές το ίδιο αποτέλεσμα. (β) Μόνο μια φορά το 6. (γ) Αριθμούς που τα ψηφία τους να είναι κατά αύξουσα σειρά. ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που: (α) έχει κέντρο το Κ ( 0,0 ) και ακτίνα R=4

(β) έχει κέντρο το Κ ( -2, 1 ) και ακτίνα R= 3

(γ) έχει κέντρο το Κ ( 2,-1 ) και περνά από το σημείο (-3 ,2 ) (δ) έχει κέντρο το Κ ( 3 , 1 ) και εφάπτεται της ευθείας 3χ-4ψ-3=0 (ε) τα σημεία Α (-1 , 3 ) και Β ( 0 , 1 ) είναι άκρα διαμέτρου του.

2. Δίνεται ο κύκλος 2 2 2 4 8 0x x + − − − = . Να βρείτε:

α) τις συντεταγμένες του κέντρου του και το μήκος της ακτίνας του

β) τη θέση του σημείου ( )0,5 ως προς τον κύκλο

γ) την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του ( )4 , 4

δ) την τιμή του κ ώστε να τέμνει ορθογώνια τον κύκλο 2 2 8 20 0x x + − + + =

3. Να βρείτε για ποιες τιμές του κ η ευθεία x = − εφάπτεται του κύκλου 2 2 18x + = .

Στη συνέχεια να βρείτε τα σημεία επαφής.

4. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2 50x + = που άγονται από το

σημείο ( )0 ,10 .

5. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2 2 4 0x x+ + − = που είναι

παράλληλες με την ευθεία 2 1 0x − − = .

6. Δίνεται ο κύκλος 2 2 18x + = .Αν η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του ( 3 , 3 ) τέμνει

τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ. 7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται του άξονα των ψ στο σημείο Α(0, 2) και το κέντρο του βρίσκεται πάνω στην ευθεία 2x − = .

8. Δίνεται ο κύκλος 2 2 9x + = και το μέσο ( )1, 2 της χορδής ΑΒ

του κύκλου. Να βρείτε το μήκος και την εξίσωση της χορδής ΑΒ.

9. Δίνεται ο κύκλος 2 2 4x + = και το σημείο του Α ( )2 ,2 . Η εφαπτομένη του

κύκλου στο σημείο Α τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Β και Γ αντίστοιχα. Να βρείτε: (α) το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΒΓ (β) την τιμή του θ ώστε το εμβαδό του τριγώνου ΟΒΓ να είναι ίσο με 16 τ.μ.

10. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου που περνά από τα σημεία ( )1, 1A − , ( )4,0B και η

εφαπτομένη του στο σημείο Α περνά από το σημείο ( )1,0 −


11

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

1. Δίνεται η παραβολή 2 8x = − . Να βρείτε:

α) τις συντεταγμένες της εστίας και την εξίσωση της διευθετούσας

β) τη θέση του σημείου ( )3,5− ως προς την παραβολή

γ) το m ώστε η ευθεία: 1mx = + να εφάπτεται της παραβολής και να βρείτε το σημείο επαφής.

2. Δίνεται η παραβολή 2 4 = και το σημείο Α(-2, -1). Να δείξετε ότι το Α είναι σημείο

εκτός της παραβολής και να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων που άγονται από το Α προς τη παραβολή.

3. Η εφαπτομένη και η κάθετη της παραβολής 2 4ax = στο σημείο της ( )2 ,2P at at

τέμνουν τους άξονες των χ και ψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΑΒ.

4. Η κάθετη της παραβολής 2 12x = στο σημείο ( )23 ,6P p p ,τέμνει τον άξονα των Οχ

στο Β. Στην προέκταση της ΒΡ παίρνουμε τμήμα ΡΓ=ΡΒ. Να βρείτε: (α) την εξίσωση του σχήματος στον οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Γ (β) Το εμβαδό του τριγώνου ΟΒΓ όταν 2p = .

5. Δίνεται η παραβολή 2 16x = και τα σημεία της ( )24 ,8P p p και ( )24 ,8T t t .

(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης στο P είναι 24p x p = + .

(β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Σ, στο οποίο τέμνονται οι εφαπτομένες στα σημεία Ρ και Τ.

(γ) Αν 22 2 1p tp+ = − να δείξετε ότι η εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γ.τ.

του Σ είναι η καμπύλη ( )2 22 8x = − + .

6. Η κάθετη της παραβολής 2 8x = στο σημείο ( )22 ,4P t t τέμνει τον άξονα των ψ στο

σημείο Α. Να βρείτε την εξίσωση του γ.τ. του σημείου τομής, των υψών του τριγώνου ΟΡΑ.

7. Δίνεται η παραβολή 2 8x = − .

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της ( )1 1,x

είναι η 1 14 4x x + = − .

β) Η πιο πάνω εφαπτομένη τέμνει τον άξονα των χ στο Α και τον άξονα των ψ στο Β.

Αν ( ) 2 2AB = να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης.

8. Μια ευθεία (ε), που διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής 2( ) : 2 , 0c y ax a= τέμνει την

παραβολή στα σημεία Α και Β.Έστω Γ,Δ οι προβολές των σημείων Α και Β πάνω στη διευθετούσα (δ). Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής.


12

ΕΛΛΕΙΨΗ

1. Δίνεται η έλλειψη 2 22 8x + = . Να βρείτε:

(α) τις συντεταγμένες των κορυφών και των εστιών της (β) την εκκεντρότητα της (γ) τις εξισώσεις των διευθετουσών της (δ) την εστιακή απόσταση ΕΈ

(ε) τη θέση του σημείου ( )2,3 ως προς την έλλειψη

(στ) την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο της ( )2 , 2

(ζ) τη θέση της ευθείας 2 2 0x + − = ως προς την έλλειψη

(ε) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης που είναι παράλληλες

με την ευθεία 2x = .

2. Να βρεθεί σημείο Μ της έλλειψης 2 24 4x + = τέτοιο ώστε η γωνία ΑΜΟ να είναι

ορθή. ( Α , Α΄ κορυφές της έλλειψης).

3. Οι εφαπτομένες της έλλειψης 2 2

2 21

x

a

+ = στα σημεία Γ ( ),a και

Δ ( ),a − τέμνονται στο σημείο Ρ. Να βρεθεί ο γ.τ. του σημείου Ρ.

4. Δίνεται η έλλειψη 2 2

2 21

x

a

+ = με a . Αν η γωνία ΒΕ΄Β΄ είναι ορθή

Να δείξετε ότι η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι 2

2. Αν επιπλέον το εμβαδό του τριγώνου

ΒΕ΄Β΄ είναι 4 τ.μ. να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης και την περίμετρο του τριγώνου.

5. Δίνεται η έλλειψη 2 2

2 21

x

a

+ = με a και το σημείο της Ρ ( ),a .

Η εφαπτομένη της έλλειψης στο Ρ τέμνει τους άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Η κάθετη στο Ρ τέμνει τον άξονα Οχ στο σημείο Γ.

(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης στο σημείο της Ρ ( ),a είναι

η ( )2 2a x a − = − .

(β) Να βρείτε τις συνταγμένες των σημείων Α , Β και Γ. (γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΒΓ.

(δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του θ 02

είναι ίσα τα εμβαδά των τριγώνων

ΟΡΑ και ΟΡΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων.

6. Δίνεται η έλλειψη 22

14

x+ = .

(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης στο σημείο της Ρ ( )2 , είναι

η 3x − = .

(β) Η κάθετη στο Ρ τέμνει τον άξονα Οχ στο σημείο Α. Από το Ρ φέρω τη ΡΒ κάθετη

στον άξονα Οχ. Αν το εμβαδό του τριγώνου ΡΑΒ είναι 1

16τ.μ. να βρείτε τη γωνία θ,


13

αν το Ρ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο.

7. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης 2 22 8x + = στο σημείο

Ρ ( )22 ,2 είναι η 2 2 4x + = . Η εφαπτομένη στο Ρ τέμνει τους

άξονες Οχ και Οψ στα σημεία Γ και Α αντίστοιχα και η κάθετη στο Ρ τέμνει το άξονα Οχ στο Β. (α) Να δείξετε ότι: (ΟΒ) – (ΟΓ) = (ΟΕ)2

, όπου Ε εστία. (β) Να βρείτε το κέντρου του κύκλου που περνά από τα σημεία Ρ ,Β ,Γ. (γ) Να βρείτε τον γ.τ. του μέσου Μ του ΑΒ.

8. Δίνεται η έλλειψη 2 24 9 36x + = και το σημείο της Ρ ( 2 , 1 ). Να δείξετε ότι το

σημείο Ρ είναι μέσα στην έλλειψη και να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το σημείο Ρ.

9. Δίνεται η έλλειψη 2 216 25 400x + = και ένα σημείο της Ρ. Φέρουμε τις χορδές

ΡΑ και ΡΑ΄. Οι κάθετες στις ΡΑ και ΡΑ΄ στο σημείο Ρ τέμνουν τον άξονα χ΄χ

Στα σημεία Μ και Μ΄ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: ΜΜ΄= 32

25.

17. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f για την οποία ισχύει:

( )f x xt

0 0e dt t dt 0 , x 0,

2

+ =

2. Να βρεθεί συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα ( )0,2 για την οποία ισχύουν οι σχέσεις

( ) ( )2

3

2

1 1f x f x x f

x x 4

− = =

.

3. Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδό ( ) του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη

( ) 2f x x 5x 7= − + , των άξονα των χ και τις ευθείες x x 3= =+ .

4. Δίνεται η παραβολή 2 12x = και ο κύκλος ( )

2 2x 3 36− + = . Να δείξετε ότι:

(α) Ο κύκλος και παραβολή τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β και να βρείτε τις συντεταγμένες τους. (β) Οι εφαπτόμενες της παραβολής στα Α και Β τέμνονται πάνω στον κύκλο.

5. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 2 29x 4 36+ = , οι οποίες

ορίζουν με τους άξονες των συντεταγμένων τρίγωνο με εμβαδό 6 τ.μ.


14

6. (ι) Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό 2

x u

= − να δείξετε ότι:

2 2

0 0,xdx xdx

=

(ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα (α) ( )2 22

0x x dx

−

(β) ( )3 32

0x x dx

+

7. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα 0,1 .

(α) Να δείξετε ότι: ( ) ( )1 1

0 0f x dx f 1 x dx= − .

(β) Αν ( ) ( ) 2f x f 1 x x x , x 0,1+ − = − , να δείξετε ότι ( )1

0

1f x dx

12= .

8. Αν

2 11

20

xI dx ,

1 x

+

=

+ τότε :

(α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

, . + +

(β) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 0 1 2

, .

9. Να βρείτε συνάρτηση f αν ( ) ( )1 x x2

0e f x dx f x e x R.

− = +

10. Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα 0, , να δείξετε ότι ( ) ( )0 0

f x dx f x dx

= −

Στη συνέχεια να βρείτε το ολοκλήρωμα 2

0

1 xI ln dx

1 x

+ =

+ .

11. Δίνονται τα ολοκληρώματα: ( ) ( )2 2

0 0ln lnx xdx dx

= =

(α) Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό 2

x t

= − να δείξετε ότι = .

(β) Να αποδεχθεί ότι ( )2

0ln 2

2ln 2x dx

= + − .

(γ) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα .

Υπόδειξη: Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2

0 0

1

2ln 2 lnx dx x dx

= .


15

12. Δίνεται η παραβολή 2 4y x= και το σημείο της 2( ,2 )t t . Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α

τέμνει τον άξονα oy στο Β.

(α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης στο A είναι η 2yt x t− = και να βρείτε τις

συντεταγμένες του Β. (β) Αν Τ είναι το χωρίο που ορίζεται από την παραβολή και τις ΟΒ, ΑΒ να υπολογίσετε το εμβαδόν του Τ, Ε(t).

(γ) Αν 1

( )6

t = , να δείξετε ότι t=1 και να βρείτε τις συντεταγμένες των Α και Β.

(δ) Να βρείτε τον όγκο xV που γράφει το χωρίο Τ γύρω από τον άξονα οχ.

(ε) Nα βρείτε τον όγκο yV που γράφει το χωρίο Τ γύρω απο τον άξονα οy.

(ζ) Να δείξετε ότι 5x

y

V

V= .η

(η) Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται όταν το χωρίο Τ κάνει πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία y=2. (θ) Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται όταν το χωρίο Τ κάνει πλήρη στροφή γύρω από την ευθεία χ=1.

x x x e 1 ln , 1,lyk-strovolos-lef.schools.ac.cy/data/uploads/distance/lessons/maths/… · ότι...

Documents

Transcript of x x x e 1 ln , 1,lyk-strovolos-lef.schools.ac.cy/data/uploads/distance/lessons/maths/… · ότι...