x x v =+ st x x v =− v v v = + x x s y y v v y y z v z t'...
Transcript of x x v =+ st x x v =− v v v = + x x s y y v v y y z v z t'...
RELATIVISTI ČKA MEHANIKA
PRINCIP RELATIVNOSTI GIBANJA (GALILEIJEV PRINCIP RELATIVNOSTI):
Zakoni mehanike imaju isti oblik u svakom inercijskom referentnom sustavu. Svi su inercijski sustavi ekvivalentni i ne mogu se meñusobno razlikovati na osnovi oblika zakona mehanike.
'
'
'
zz
yy
sxx
vv
vv
vvv
=
=+=
t't
'
'
'
===
+=
zz
yy
tvxx s
tt'
'
'
'
===
−=
zz
yy
tvxx s
Nastanak specijalne teorije relativnosti Potkraj 19.stoljeća, neki novi rezultati nisu bili u skladu s Galileijevimtransformacijama, npr. jednadžbe elektrodinamike.
�Nešto nije u redu s G.T. ili čak Newtonovom mehanikom?
Rješenje (posve slučajno): Michelson i Morley
Brzina svjetlosti ne ovisi o brzini gibanja izvora svjetlosti.
�Nešto nije u redu s jednadžbama elektrodinamike?
�Pojave mehanike i elektrodinamike su nespojive?
Brzina širenja svjetlosti u vakuumu je stalna (3 .108 m/s).
Za svjetlost ne vrijedi klasično zbrajanje brzina.
Michelson-Morleyev eksperiment
S’ – sustav vezan za Zemlju → cS – sustav vezan za eter → c-v (PZ1), c+v (Z1P)
- svemir ispunjen eterom: gustoća nula, nevidljiv, ima elastična svojstva-“eterski vjetar” – izmjeriti apsolutnu brzinu Zemlje; različit iznos c za promatrače u različitim sustavima
PZ1
Z2
d
d
1
2
v
I
S’
2
1 22 2 2
2
22 2
11
dd d dc d vct
vc v c v c v c cc
= + = = ≈ + − + − −
1)
vt2
Z2
d
22 2
2 22
vtct d
= +
2)
S
2
2 22 2
2 21
2
d d vt
c cc v
= ≈ −
−
Michelson-Morleyev eksperiment
Razlika u vremenu dolaska zrake 1 i 2 na zastor:
2
1 2 2 22
2 2
2 1 1
1 1
d d vt t t
vc c cvc c
∆ = − = − ≈
− −
Rotiranje eksperimenta za 90°:
2
1 2 2 22
22
2 1 1' ' '
11
d d vt t t
vc c cvcc
∆ = − = − ≈ −
−−
Ukupna vremenska razlika:2
2
2' 0
d vt t
c c∆ − ∆ ≈ ≠ Razlika u interferencijskoj
slici zraka svjetlosti!
Na rezultatima MM pokusa, A. Einstein je razvio svoju Specijalnu teoriju relativnosti (1905.)
Izvod iz 2 postulata (principa).
1. Svi inercijski sustavi jednako su valjani, ili, svi prirodni zakoni imaju isti oblik u svim inercijskim sustavima. (Einsteinov princip relativnosti)
2. Brzina svjetlosti u vakuumu jednaka je u svim smjerovima i u svakom dijelu inercijskog sustava, te u svim inercijskim sustavima. (Invarijantnost brzine svjetlosti.)
Objašnjenje postulata:
1. Postulat proširuje G.T. na sve prirodne pojave (ne samo mehaniku). Ne postoji apsolutni prostor (svi inercijalni sustavi su ravnopravni). Ne postoji apsolutna istovremenost (dva dogañaja koja su istovremena u jednom sustavu, nisu istovremena u drugom sustavu). Svaki sustav ima svoje vlastito vrijeme, odnosno vrijeme u različitim sustavima teče različito.
2. Za svjetlost ne vrijedi zakon vektorskog zbrajanja brzina. Brzina svjetlosti je najveća moguća brzina u prirodi i jednaka je u svim inercijalnim sustavima.
Posljedica Einstenovih postulata:
U različitim sustavima više ne postoji istovremenost dogañaja.
Vlak se giba pravocrtno konstantnom brzinom v.
Einsteinov misaoni pokus.
Uzmimo točke A’, B’ na krajevima vagona, a M’ točno u sredini.
U jednom trenutku, točke A’, B’ i M’se podudaraju s točkama A, B i M koje su na tlu.
U tom trenutku, iz točaka A i B krenu istovremeno svjetlosni signali.
Da li će ti signali stići istodobno za opažača u točki M(Zemlja), odnosno M’(vlak)?
Rješenje:
⇒= )()( MBdAMdU točku M, signali stižu istovremeno.
( ') ( ' )d AM d M B> ⇒
Signal iz točke B stiže prije signala iz točke A.
Istodobnost dogañaja je relativan pojam.
Satovi idu različito, proces starenja je različit.
Lorentzove transformacije
S (x,y,z) - koordinatni sustav vezan za Zemlju
),(' ' ' ),(' 21 txftzzyytxfx ====
S' (x',y',z') je vezan npr. za neko vozilo (vagon, raketu, ili sl.).
Gibanje se odvija samo uzduž osi x i x' (y' = y , z' = z) .
Neka se u t=0 sustavi poklapaju, tj S=S’.
Kako naći vezu koordinata sustava S i S’?
Kakav je oblik funkcija f1 i f2?
Linearan (sustavi moraju biti ravnopravni-2.postulat).
nt mx t'
bt ax x'
+=+=
Koliki je pomak pri gibanju uzduž osi x‘?
?,,, =nmba
bt ax' x
bt ax' x
222
111
+=+= ) - t) + b(t - x' = a(x' - x∆x' = x 121212
t+ b∆x' = a∆x ∆
Slično se dobije za pomak vremena u sustavu S‘:
t+ n∆t' = m∆x ∆
nmv
bavv
++='
1 ←
2 ← ⇒2:1
ntx
m
btx
a
t
x
+∆∆
+∆∆
=∆∆
'
'
?,,, =nmba Promatramo specijalne slučajeve:
Tijelo miruje u sustavu S' (recimo u vagonu koji se giba brzinom V), tada je: v' = 0 i v = V (tijelo miruje u S' i stoga se giba s obzirom na S kao i sustav S' brzinom V).nmv
bavv
++='
nmV
baV
++=0 ⇒ aVb −=
Tijelo miruje u sustavu S (recimo, s obzirom na Zemlju) i onda je v = 0 , te v' = -V (jer se tijelo udaljuje od S' po apscisi brzinom V kao i sustav, ali protivnog smjera).
nm
baV
+⋅+⋅=−
0
0
n
aVV
−=− an =⇒
Gibanje svjetlosnog fotona, koji se, uvijek giba brzinom c , onda vrijede jednakosti v' = v = c.
nmc
bacc
++= ⇒
2c
aVm −=
nmv
bavv
++=' ⇒aVb −= an =
Relativistički zakon za zbrajanje brzina uzduž apscise.
2c
aVm −=
avcV
a
aVavv
+−
−=2
'
21
'
c
Vv
Vvv
−
−=⇒2
'1
'
c
Vv
Vvv
+
+=
⇒
U skladu s principom relativnosti – dva inercijska referentna sustava jednako su vrijedna – može se pretpostaviti kako je sustav S' u miru, a sustav S se giba s obzirom na S' brzinom –V. Tada tzv. reciprocitet Lorentzovihtransformacija daje:
aVb −= an = 2c
aVm −=
Kako odrediti konstantu a?
nt mx t'
bt ax x'
+=+=
( )
−=
−=
xc
Vtat'
Vtx ax'
2
( )
+=
+=
''
''
2 xc
Vtat
Vt x ax
+−+=
+−+=
)''()''(
)''()''(
22
2
Vtxac
Vx
c
Vtaat'
xc
VtVa Vtxa ax'
''''2
22222 x
c
aVVtaVtax ax' −−+= 011 2
22 =
−−
c
Vax'
⇒
Lorentzove transformacije:
2
2
1
1
cV
a
−=
011 2
22 =
−−
c
Vax'
zzyy
c
V
Vtxx ==
−
−= ' '
1
'
2
2
2
2
2
1
'
c
V
c
xVt
t
−
−=
' '
1
'
2
2zzyy
c
V
Vtxx ==
−
+=
2
2
2
1
''
cVcx
Vtt
−
+=
nt mx t'
bt ax x'
+=+= ⇒aVb −= an = 2c
aVm −=
Kontrakcija dužine
Neka se sustav S' giba brzinom V u smjeru osi x s obzirom na sustav S.
12 xxd −=
Štap je položen u koordinatnom sustavu usporedo s osi apscisa, njegova je duljina u sustavu S', u kojem štap miruje, d' = x2' – x1‘.
Kolika je duljina štapa za motritelja koji se nalazi u sustavu S?Istovremeno mjerimo koordinate x1 i x2, tj. u trenutku t = t1 = t2
2 2' '2 12 2
1 1V V
d x Vt x Vtc c
= − + − − − ( )2
' '2 1 2
1V
x xc
= − −
2
2
'
1
x Vtx
V
c
−=−
2
2' 1
Vx x Vt
c− = −
2
2' 1
Vx x Vt
c= − +
2
2' 1
Vd
c= −
Kontrakcija dužine 2
Kako štap miruje u sustavu S' , uobičajeno se duljina štapa (d') naziva vlastitom duljinom i označuje d0. Takoñer je i sustav u kojem tijelo miruje vlastiti sustav tijela, pa je tako S' vlastiti sustav štapa. Dakle, za motritelja u sustavu S, štap vlastite duljine d0 ( = d'), koji je položen po dužini usporedno s osi x i giba se uzduž te osi brzinom V, ima kraću duljinu d ; ta relativistička pojava naziva se kontrakcija dužine
2
2' 1
Vd d
c= −
2
0 21
Vd d
c= −
Dilatacija vremena
Neka se na mjestu x' u sustavu S', koji se giba brzinom V u odnosu na sustav S, odvija neki proces u vremenu t' = t2' – t1'.
Koliko je trajao isti proces u sustavu S ? t = t2 – t1=?
2
2
2
1
''
cVcx
Vtt
−
+= 12 ttt −=∆
2
2
2
'1'
1
2
2
2
'2'
2
11cVc
xVt
cVc
xVt
−
+−
−
+=
( )
2
2
'1
'22
2
2
'1
'2
11cV
xxc
V
cV
tt
−
−+
−
−=
2
2
'1
'2
1c
V
tt
−
−=
2
2
1
'
c
V
tt
−
∆=∆
Dilatacija vremena 2
� Interval vremena izmeñu dva
dogañaja veći je u sustavu S nego u vlastitom sustavu S'
2
2
1
'
cV
tt
−
∆=∆ 'tt ∆>∆
� Vlastito vrijeme t' je kraće u sustavu S', koji se giba brzinom V .
� Sat ide brže u sustavu S u kojemu miruje motritelj.
� Vrijeme je usporeno u sustavima koji se gibaju. Ta se relativistička pojava naziva dilatacijom vremena.
Primjer:
2
2
1
'
cV
tt
−
∆=∆
Koliki je srednji život µ-mezona u laboratoriju, ako se mezon giba brzinom 1,8.108 m/s, a njegov srednji život je t' = 2,2 µs ?
?
102,2 2,2'
/ 108,16
8
=∆⋅==∆
⋅=−
t
sst
smV
µ
2
6
38,1
1
102,2
−
⋅=∆−
t
st 108,2 8−⋅=∆
Problem blizanaca
2
2
1'c
Vtt −∆=∆
Ako od dva blizanca, primjerice, Antun (A) i Ivan (I), stari 20 godina, jedan blizanac (B) poduzme put do zvijezde Arkturusi natrag brzinom V= 0,99 c, koliko će biti stari blizanci kad se ponovno sretnu? Gledajući sa Zemlje zvijezda Arkturus je udaljena 40 svjetlosnih godina.
v
st
∆=∆ godc
c 808,80
99,0
402 =⋅=Gledano sa Zemlje (Antun):
Nakon Ivanovog povratka, Antun će imati 20+80,808= 100,808 godina.
Ivan?
2
2299,01808,80
c
c−⋅= god 4,11=
Nakon povratka, Ivan će imati 20+11,4 = 31,4 godina.
Nakon povratka, Ivan će biti mlañi 69,4 godine!!!!
Problem:
Je li taj zamišljeni pokus simetričan? Može li se uzeti da je relativno u istom pokusu B na miru, dok se A udaljava od njega zajedno sa Zemljom brzinom V?
Ako bi pokus bio simetričan, onda bi se moglo tvrditi da je pri ponovnom susretu Antun mlañi od Ivana, i to bi bio paradoks
Sustav S' duž cijelog puta nije inercijski.
Pri dolasku do zvijezde Arkturus, raketa će se usporiti, zaustaviti i promijeniti smjer gibanja, ili u blizini zvijezde napraviti kružnu putanju i onda se vraćati natrag.
Pri promjeni smjera, raketa više nije inercijski sustav (jer mijenja brzinu, odn. vektor brzine), pa relativistički princip o jednakovaljanostisustava više ne vrijedi.
Relativistička masa
Prema Newtonovoj mehanici, sila ubrzava tijelo, pa ako je na početku promatranja brzina tijela nula, a sila je stalna u vremenu, onda vrijedi:
Što je s brzinom v ako djelovanje sile traje jako dugo (beskonačno)?
Nakon nekog vremena, v bi mogao narasti i preko c!!! (što zabranjuje relativistička teorija).
Einstein uvodi pretpostavku da masa tijela nije konstantna nego je različita u različitim referentnim sustavima.
t
vmmaF == ⇒
m
Ftv =
Potrebno je korigirati osnovni zakon klasične dinamike.
Relativistička masa2
Einstein uvodi izraz za masu u kojem se masa tijela povećava s brzinom gibanja tijela.
mo - masa mirovanja (vlastita masa tijela u sustavu u kojem tijelo miruje m - relativistička masa istog tijela u sustavu u kojem se tijelo giba brzinom v
Izvod? Koristimo relativistički zakon za zbrajanje brzina.
2
2
0
1c
v
mm
−
=
2'1
'
cV
v
Vvv
+
+=
Relativistička masa- izvod
Promatramo sudar 2 čestice A i B jednakih masa, a suprotnih brzina. Poslije sudara dobije se čestica C, mase 2m koja miruje.
A B
m m
v -vy
x
C
2m
y
x
Prije sudara Poslije sudara
S
“Sjednemo” na točku B.
2
2
2
2'
1
2
1c
vv
c
vvv
vA
+=
+
+=
x’
C
M
Poslije sudaray’'Cv
01 2
2' =
+
−=
cvvv
vBv
cv
vvC =⋅+
+=2
'
01
0
A B
m’ m0
y’ Prije sudara
'Av
x’S’
Uvodimo:m0= masa čestice u mirovanjum = masa čestice brzine vm’ = masa čestice brzine v’M = ukupna masa spojenih čestica
'1
2
1 2
2
2
2' v
cvv
cvvv
vA ≡+
=+
+= 01 2
2' =
+
−=
cvvv
vBv
cv
vvC =⋅+
+=2
'
01
0
Zakon sačuvanja količine gibanja:
0'' += vmMvM
vmv
''=⇒
Zakon sačuvanja mase:
0' mmM +=
� 1
� 2
1� 20'
''
mm
vmv
+=⇒
� 3
3
2
2
1
2'
cvv
v+
=
( )20
2
220
'
''1
'''
2
mmc
mvmmvm
++
+=( ) 0
20
2
22
'
''2
'
''1'
mm
vm
mmc
mvv
+=
++
( ) ( )022222
0 ''2''' mmcmmvcmm +=++
Masa čestice m’ koja se giba s brzinom v’.
( ) ( )022222
0 ''2''' mmcmmvcmm +=++
( ) ( )[ ] 0'''2'' 222200 =+−++ mvcmcmmmm
( ) ( )[ ] 0'''' 22200 =+−+ mvcmmmm
( ) 0''' 22220
2 =+− vmmmc
( ) 0'' 220
222 =+− cmcvm
22
22
02
''
vc
cmm
−=
2
2
202
'1
'
cv
mm
−=
2
2
0
'1
'
cv
mm
−=
Općenito:
2
2
0
1cv
mm
−=
2
20 1
1
cvm
m
−=
Grafički prikaz:
Primjer:
2
2
11c
v−−=
Kod koje se vrijednosti brzine v relativistička masa m razlikuje od mase mirovanja za milijuntni dio?
610−=∆m
m
m
mm
m
m 0−=∆m
m01−=610−=
( )262
2
1011 −−=−c
v 126 101021 −− +⋅−=
610211 −⋅+−≈c
v 6102 −⋅=310414,1 −⋅≈ ⇒
( )3 8 31,414 10 1,414 3 10 10v c − −≈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
skmsmv / 424/ 1024,4 5 =⋅=
Relativistička ekvivalencija mase i energije
...4
3
2
111
4
4
2
2
2
2
−+−≈−c
v
c
v
c
vRazvijamo u red nazivnik (v<<c):
⇒
Za slučaj v < c/10, zadržavamo samo prva dva člana:2
2
2
2
2
111
c
v
c
v −≈−
2
2
0
1cv
mm
−=
2
20
21
1cv
mm
−= ⇒ 02
2
2
11 m
c
vm =
−
20
22 22 cmmvmc =− 20
22
2
1cmmvmc =− 2
022
2
1cmmcmv −=
20
2 cmmcEk −= Relativistički izraz za kinetičku energiju
2mcE ∆=∆
Primjer:
Koliko se energije dobije pretvorbom mase od 1 grama u energiju?
Za istu energiju, bilo bi potrebno 2 milijuna tona eksploziva TNT!!!
2mcE ∆=∆∆m = 1 g = 10-3 kgc = 3. 108 m/s
( )283 10310 ⋅= − J 109 13⋅=
Primjer pretvorbe energije (Sunce).
Odnos količine gibanja i relativističke energije
Za čestice koje se gibaju brzinom c, kao što su čestice svjetlosti ili fotoni, gornje jednadžbe pokazuju kako te čestice nemaju masu mirovanja, odnosno mo = 0. Tako je za foton energija E = pc, količina gibanja p = mc, a to vodi na polaznu jednadžbu E = mc2.
2
2
0
1cv
mm
−= 2 2
2
22 )1( om
c
vm =−
4222242 cmcvmcm o=−
4c
2222 cpEE o +=⇒
4222 cmcpE o+=