x - PROFESSIONALE PIETRO SELLA - MOSSO...

1/11

Consideriamo il seguente problema: si vuole trovare il numero reale x tale che: 2x = 64 (1) L’esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: 2 64logx In particolare in questo caso x è uguale a 6 ed è il logaritmo in base 2 di 64. La base DEVE essere un numero POSITIVO. Pertanto un modo di calcolare il logaritmo di un numero è di vederlo come operazione inversa (NON è 1 fratto…) a quella di elevare a esponente. Definizione. Sia b un numero reale positivo (detto anche argomento), a un numero reale positivo diverso da 1; si chiama logaritmo nella base a del numero b, l’esponente x da dare ad a per ottenere b e si scrive: logax b Esercizi tratti dal libro “Approccio alla matematica, VOL. E”, Minerva Italica Es. 33 pag. 32. Basandoti sulla definizione di logaritmo, calcola: A) 9log 27 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 9 27x

1) Riscrivendo come potenze di 3 si ha: 2 3(3 ) 3x 2) 32 33 x la base è la stessa quindi confrontando gli esponenti si ha 2x = 3 da cui x = 3/2

B) 9log 127

vuol dire: cerca l’esponente x tale che 9 127

x

1) Riscrivendo come potenze di 3 si ha: 2 333( )x quindi 2x = -3 da cui x = -3/2

C) 827log

94 vuol dire: cerca l’esponente x tale che

4 2789

x

.

1) Riscriviamo come potenze di 2/3 e 3/2: 2 3

332

2x

2) Poiché 1

32

23

si ha:

2 323

23

x

quindi 2x = -3 da cui x = -3/2

D) 243log91 vuol dire: cerca l’esponente x tale che

1 2439

x

, quindi 2

5

331

x

(perchè 243 = 35)

1) Poiché

313 1 si ha

52

31

31

x

quindi 2x = -5 da cui x = -5/2

Es. 34 pag. 32. Basandoti sulla definizione di logaritmo, calcola: A) 2log 4 2 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 2 4 2x

1) Riscrivendo come potenze di 2 si ha: 21

2 222 x quindi 25

22 x da cui x = 5/2 B) 3log 3 27 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 3 3 27x

1) Riscrivendo come potenze di 3 si ha: 21

3333 x quindi 231

33

x da cui x = 5/2

C) 12

log 2 2 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 12

2 2x

quindi 21

222 x da cui x = -3/2

D) 37log 49 vuol dire: cerca l’esponente x tale che

12 37 7x quindi 3

2

77 x da cui x = 2/3 Es. 45 pag. 33. Determina l’argomento del logaritmo, dato il valore del logaritmo e la base.

A) 21log 4.0 x Dalla definizione di logaritmo:

12

0.4 2

50 4

1x

2/11

B) 21log 09.0 x Si ha:

1 12 21

2 9 100 101

0.00 9

90 3

x

C) 3log43 x Si ha:

2764

34

43 33

x

Es. 46 pag. 33. Determina l’argomento del logaritmo, dato il valore del logaritmo e la base.

A) 2

log 4x Si ha: 4 422 42x

B) 32log 2 x Si ha:

12 2 12 33 3 32 2 2 2x

C) 21log 3 x Si ha:

12

11 122 4

1 44

1 13 3 333

x

Es. 52 pag. 33. Determina la base x dei seguenti logaritmi. A) 7128log x Si ha: 7 128x ma 12827 quindi x = 2

B) 29

16log x Si ha: 9

162 x ma 9

1634 2

e

916

43 2

quindi x = 3 / 4

C) 5243log x Si ha: 2435 x ma 24335 quindi x = 3-1= 1/3 Oppure:

1) 2435 x si eleva tutto a -1/5: 2) 51

551

5 3 x 3)

515

515

3x 4) 3/13 1 x Es. 56 pag. 34. Determina la base x dei seguenti logaritmi.

A) log 23 3x Si ha: 2 3 3x quindi 1 1

1 34

2 2 332

12

14 423 3 3 3 3 3 27x

B) 224log x Si ha: 242 x quindi 44 5

45

21

252

1

21

221

21

221

321

212222224

x

Es. 76 pag. 36. Applicando le proprietà inverse dei logaritmi, trasforma le seguenti espressioni in un unico logaritmo, qualunque sia la base.

A) xyxyx log21)log(2log2 1) Si ha: 2

12 loglog2log xyxyx

2) x

yxyxxyxyx

22 2log:2log

Es. 77 pag. 36. A) 23log 2 log log l49 oga b 1) Si ha: 423log 2 log log9 loga b

2) 4423

818log1

912log

ba

ba

Es. 79 pag. 36. A) yxyxyx 3log2loglog 2222 1) Si ha: 22222 3log yxyxyx

2)

2

44

2

2222

3log

3log

yxyx

yxyyxx

Es. 80 pag. 36.

A)

cba log

215log

21)log3(log2 1) Si ha: cba log

415log

21log6log2

3/11

2)

41

21

62 log5logloglog cba 3) 41

21

62 1

5

1logc

ba

3) possiamo riscrivere 21

21

21

21

41

ccc e quindi 2 23 3

2 2 31

12

21 22 2

11

1log log log5

5 5

ab aba b

cc c

Es. 88 pag. 37. Ricava il valore della x dalle seguenti uguaglianze.

A) bax 333 log2log211log Si cerca di scrivere l’espressione a destra dell’uguale con un unico

logaritmo, nella stessa base di quello dell’espressione a sinistra dell’uguale. Poi si possono confrontare i due argomenti.

1) 3 3 33

122log lol g lg go o3x a b 2)

122

3 3log log 3ax b

Quindi 222

1

33b

axbax

Per gli esercizi da 90 a 98 pag. 37: una tecnica per risolverli è utilizzare le proprietà dei logaritmi. Una alternativa è quella di riscrivere l'argomento (del logaritmo) in modo che compaiano solo potenze della stessa base rispetto a cui è calcolato il logaritmo. Es. 90 pag. 37. Calcola il valore delle espressioni

A) 28log2 1) Si ha: 1 3 11

3 2 2 222 2 2 2 2 2log 8 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2

2) 221

232log

212log

23

22

B) 3log 27 3 Si ha: 1 731

2 2 23

2

3 3 33

1

1 1 1 7 7log 3 log 3 log 3 log 32 2 2 2

34

Es. 91 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni

A) 32 4

22log 1) Si ha:

652log2log222log422log 6

436

232

211

231

221

231

21

2

A’) Altro modo 65

6436

32

2114log

312log


31

222

B) 3

5

5 5525log

1) Si ha: 1528

1553305log

5

55log 31

512

531

51

2

5


A) 5

2

3

10 101010log

1) Si ha:

5

2

31

21

10 101010log

2) 63510log10log10log101010log 6

35

10

56

1223

10

52

31

21

10

5

231

21

10

A') Un altro modo:

I)

210

310102

3

10

5

2

3

10 101log10log10log5

101010log5

101010log

6

356

12235231

21510log10log10log5 2

1031

1021

10

4/11

B) 1010log 310 1) Si ha:

4710log10log1010log 4

7

10

21

27

10

21

21

310


A) 82log4 1) Si ha: 444log244log244log 444

2) =45

41

21

214log4log4log

21

21

444

B) 327 33log 1) Si ha: 3

2727 3log3log Visto che la base è 27 e che 27 = 33 allora 31

273 2)

185

1823

91

6127log27log27log27log27log27log 9

1

2761

27

31

31

27

21

31

27

331

2731

27

Un altro modo: 1) Si ha: 3log653log3log33log33log 27

65

2731

21

2731

21

273

27

sapendo che a

bb

a log1log si ha che

27log13log3

27 e utilizzando questo risultato si ha:

2) 185

31

65

27log1

65

3


A) 282log

3

2 1) Si ha: 6

196

3182213

312log

212log32log

31222log 222

21

332

B) 39 9

273log 1) Si ha: 3

9993

999 9log39log9log9log39log3log

2) 1211

124312

31

411

319log

21

219log9log9log9log

21

21

931

99921

9


A) 32

94log

32

1) Si ha: 25

212

32log

32log

32

32log

21

32

2

32

212

32

B) 5

51 125

525log 1) Si ha: 1019

106520

53

212

51

51

51

log

51

51

51

log53

212

51

5

31

121

51


A) 5log125log4log 101010 1) Si ha: 2100log254log51254log 101010

Es. 97 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni A) 3log48log9log 666 1) Si ha: 32263log3869log3489log 22

666

46log666log6623log 1126

26

226


A) 20log2log35log2 101010 1) Si ha: 125log20


102

10

5/11

Per gli esercizi da 100 a 111 pag. 38: L’argomento di un logaritmo deve essere un numero positivo. L’esercizio 100 verrà svolto fornendo anche richiami sulla teoria. Es.100 pag. 38. Stabilisci per quali valori delle variabili ha significato l’espressione del membro di sinistra delle seguenti uguaglianze e per quali valori sono vere dette uguaglianze.

10log5loglog2105

log2

aaaaa

a

1) L’argomento del logaritmo, nella espressione a sinistra dell’uguale deve essere maggiore di zero:

0105

2

aa

a Si tratta di valutare il segno del rapporto 2a e 105 aa

Ma valutare il segno di un rapporto è la stessa cosa di valutare il segno di un prodotto. Ad esempio il segno del prodotto di tre espressioni è positivo se: tutte e tre le espressioni sono positive oppure se due su tre sono positive ma anche il segno di un rapporto tra tre espressioni è positivo se: tutte e tre le espressioni sono positive oppure se due su tre sono positive Quindi: valutare il segno di un rapporto di espressioni è la stessa cosa di valutare il segno di un prodotto di espressioni. Inoltre si sa valutare il segno del prodotto: si usa una tabella. Tornando all’esercizio:

2) 0105

2

aa

a se 10

501005

02

aa

verasempre

aaa

3) Quindi i valori della variabile a per cui ha significato l’espressione a sinistra dell’uguale sono dati

dall’insieme S1:

105:1 aaaS .

4) Ora occorre stabilire per quali valori di a è vera l’uguaglianza (data dal testo):

10log5loglog2105

log2

aaaaa

a

Quindi per l’espressione a sinistra dell’uguale, i valori sono stati trovati al punto 3). Per quelli a destra dell’uguale: ogni argomento di ogni logaritmo deve essere un numero positivo. Quindi

010:arg10log

05:arg5log

0:arglog2

apositivoomentoaveredevea

e


e


Quindi deve essere vera la prima disequazione (a>0) e la seconda (a+5>0) e la terza (a-10>0): la “e” significa contemporaneamente e quindi si deve considerare un sistema di disequazioni.

105

0

01005

0

aaa

aaa

Quindi le soluzioni sono date da S2: 10:2 aaS

5) I valori per cui è definita l’equazione sono quindi quelli che rendono definite sia l’espressione a sinistra dell’uguale che quella a destra e quindi sono i valori comuni (->sistema) a S1 e a S2.

-5 10

+ - +

6/11

Quindi i valori comuni si hanno per a>10. Es.101 pag. 38. Stabilisci per quali valori delle variabili ha significato l’espressione

baba loglog2log2log

1) ba2log è definito se l’argomento è positivo:

00

00002

bease

oppure

beaseba

ba

che si esprime anche dicendo che a, b devono essere concordi.

Quindi l’insieme S1 dei valori per cui ba2log è definito, è dato da:

0000:.1 bababaS 2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:

log2 è sempre definito (2>0) alog è definito se a>0 blog è definito se b>0

Quindi l’insieme S2 dei valori per cui l’espressione a destra dell’uguale è definita, è dato da: 00:.1 babaS

3) Quindi confrontando S1 con S2 si ricava che l’uguaglianza è definita se 00:. baba Es.102 pag. 38.

9log44log94log 4 xx 1) 494log x è definito se 094 4 x . Ma una espressione reale elevata ad un esponente intero pari è sempre non negativa. Quindi basta che sia x-9 0 ovvero x 9. Quindi 494log x è definita per 9:1 xxS 2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:

log 4 è sempre definito (4>0) )9log(4 x è definito se x-9>0 quindi x>9

Quindi l’espressione a destra dell’uguale è definita per 9:2 xxS 3) I valori di x che rendono definite le due espressioni a sinistra e a destra dell’uguale, sono dati dall’intersezione tra S1 e S2 (valori comuni). Quindi: 9:213 xxSSS Es.103 pag. 38.

xxx

x

4log232log3

432log 2

3

1) 2

3

432logx

x è definito se

0

432

2

3

x

x . Occorre valutare il segno del rapporto.

S1:

-5 10

S2:

7/11

2303203203232032

032223

xxsempreèxpoichèxxxzse

404.04 2 xxQuindinegativanonsempreèx

Quindi 2

3

432logx

x è definito per x tale che:

4,23:1 xconxxS

Nota. Il libro fornisce come risultato:

4423 xex che formalmente non è corretto (non è

corretta la “e”) perché x non può essere contemporaneamente minore di 4 e maggiore di 4; si indica con

4423 xox ed è la stessa cosa di dire x>3/2 con x diverso da 4 cioè S1.

2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:

)32log(3 x è definito se 23032 xx

)4log(2 x è definito se 4404 xxx e le due condizioni trovate devono essere entrambe vere quindi:

23

x

4x

3) Quindi l’equazione

xxx

x

4log232log3

432log 2

3

è definita per i valori di x che

appartengono sia ad S1 (quelli per cui è definita l’espressione a sinistra dell’uguale) che ad S2 (quelli per cui è definita l’espressione a destra dell’uguale):

4

234

234,

23

21 xxxxSSS

Es.104 pag. 38.

7log252log

752log 22

2

xx

xx

1) 2

2

752log

xx è definito se

0

7522

2

xx . Occorre valutare il segno del rapporto.

7

)10707

52)1

07052

)12

2

2

2

x

xverasempreCèxperchèx

positivosempreèxB

xx

A

Quindi 2

2

752log

xx è definito per 7:1 xxS

2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:

52log 2 x è definito se 502

052

2

2

sommiamoesempreèxperchè

verasempreèx

3/2 4

Quindi

4

23:2 xxS

8/11

)7log(2 x è definito se 707 xx Quindi l’espressione a destra dell’uguale è definita per 7:2 xxS

3) Quindi l’equazione

7log252log7

52log 22

2

xx

xx è definita per i valori di x appartenenti a:

77721 xxxSSS Es.111 pag. 38.

xxxxx 1log5log1log56log 22 1) Consideriamo i termini a sinistra dell’uguale. 1A) 56log 2 xx è definito se 0562 xx .

Le radici di 562 xx sono date da:

2

462

203662,1x

Quindi 0562 xx per 511 xxS A 1B) 21log x è definito se 01 2 x Le radici di 21 x sono date da 1x . Quindi per 111 xS B 1C) Quindi l’espressione a sinistra dell’uguale è definita per i valori di x comuni a S1A e S1B: 1151111 xxxSSS BA : 2) Consideriamo i termini a destra dell’uguale. 2A) 5log x è definito se 05 x . Quindi 52 xS A 2B) x 1log è definito se 01 x . Quindi 12 xS B 2C) Quindi l’espressione a destra dell’uguale è definita per i valori di x comuni a S2A e S2B: 515222 xxxSSS BA 3) Quindi l’equazione xxxxx 1log5log1log56log 22 è definita per i valori di x

appartenenti a: 51121 xxSSS

5

1

-1 5

1151

xxx

1

Quindi 111 xS

-1 5

511

xx

1

Quindi non ci sono valori comuni per cui S =

9/11

Per gli esercizi da 113 a 118 pag. 39: La spiegazione fa riferimento alla calcolatrice di Windows. Es.113 pag. 38. Calcola i logaritmi decimali dei seguenti numeri Apriamo: “StartTutti i programmiAccessoriCalcolatrice” e impostiamo “VisualizzaScientifica”. A) Per calcolare 52log10 : sulla calcolatrice è presente il tasto che indica il logaritmo naturale

(ovvero in base e) e il tasto che in questo caso indica il logaritmo in base 10 (più spesso è indicato con Log).

Quindi 1) Si digita l’argomento di cui calcolare il Log: 52

2) Poi si clicca su log e si ottiene: Per verifica: proviamo a calcolare 10 elevato al numero che abbiamo ottenuto. A tal fine si deve selezionare “Inv” e poi click su log (lasciando il numero ottenuto sul display: si riottene 52). Nota: controllare che la calcolatrice usi il sistema in base 10: Esercizio (applicazione delle proprietà dei log e della calcolatrice) Calcolare il valore approssimato dell’esponente a cui elevare 2 per ottenere 100. 1) Si tratta di calcolare: 100log2 . Tuttavia su una calcolatrice è possibile calcolare ln oppure Log. 2) Si utilizza la proprietà del “cambio di base”, che si riporta di seguito:

NbN baa logloglog dove a = la base “e” o “10” cioè quella che si trova sulla calcolatrice b invece è in questo caso uguale a 2 N in questo caso è 100 3) Quindi 100log2log100log 21010 da cui (si deve esprimere 100log2 in funzione di 10log ), usando la calcolatrice di Windows:

788740638858997747246956,643856182449213738894756639811950,30102999

2

2log100log

100log10

102

10/11

Chiaramente non è necessario scrivere il valore “approssimato” con tutti quei decimali (es. 6.6438). Verifica: si calcola 6438.62 . 4) Si scrive 2 5) Click sul tasto 6) Si scrive 6.6438 7) Click su 8) Si ottiene Es.141 pag. 41 Calcola il valore approssimato

A) 5

3

37.27594358

Si digita 7594; poi click su . Poi si scrive 3 e dopo click su (si sta elevando 7594 alla 1/3 cioè la radice cubica) e dopo su Click su “tasto di moltiplicazione” e si digita 358 e poi Click su , si scrive 2 e dopo click su e click su Click su e poi si digita 2 (è lo stesso scrivere “.”) e poi 37. Click su poi si digita 5 e poi . Si ottiene: Es.148 pag. 41 Problema Consideriamo 1 cellula e cosa succede ad ogni scissione, per stabilire cosa succede alla ventesima scissione.

20 1 20 1

1 1 2 1

2 2 diventano 2 2

3 4 diventano 2 4

4 8 diventano 2 8

20 2 diventano 2 2

a

a

a

a

a

scissione cellula diventa cellule

scissione cellule cellule




Quindi ci sono 20 1 202 2 2 cellule Es.149 pag. 41 Problema Si può considerare cosa succede con una ninfea “quadrata” (solo per comodità) per capire cosa vuol dire che le dimensioni raddoppiano ogni giorno: giorno 1 L’area della ninfea al giorno 1 è 2

1A L L L , dove A1 indica l’area raggiunta nel giorno 1

Cioè 23 = 24-1 dove 4 è il numero della scissione corrente

11/11

giorno 2

L’area della ninfea al giorno 2 è 2

2 2 2 4A L L L , dove A2 indica l’area raggiunta nel giorno 2 Si può esprimere A2 in funzione di A1: 2

2 2 14 4A L A A giorno 3 L’area della ninfea al giorno 3 è 2

3 4 4 16A L L L (4L perché il lato raddoppia rispetto a 2L) Si può esprimere A2 in funzione di A1:

12 2 3

11

32

3 4 4 4A L A A A giorno 4 L’area della ninfea al giorno 4 è 2

4 8 8 64A L L L (8L perché il lato raddoppia rispetto a 4L) Si può esprimere A2 in funzione di A1: 4

14 4 12 1

32 33 1

164 4 16 4 4 4 4 4A L L A A A A A …

giorno k In base ai ragionamenti precedenti, si può esprimere Ak in funzione di A1: 1

14kkA A

Quindi si deve intervenire al limite il giorno precedente a quello in cui si ha NINFEA LAGOA A Se k = 126 allora l’area ricoperta dalla ninfea è pari a quella del lago: 126

114LAGOA A

Tenendo conto che l’area della ninfea diventa 4 volte più grande del giorno precedente allora si deve intervenire il giorno in cui si ha / 4NINFEA LAGOA A Da cui:

1 126 1 1 11 1

26 1 114 4 4 4 1254

k kA A k

x - PROFESSIONALE PIETRO SELLA - MOSSO...

Documents

Transcript of x - PROFESSIONALE PIETRO SELLA - MOSSO...