Wykłady z teorii mechanizmów

1. Przedmiot teorii mechanizmów,definicje,przykłady2. Kinematyka ogniwa; obrotowa para kinematyczna3. Kinematyka: ruch względny, postępowa para kinematyczna4. Kinematyka mechanizmu korbowo-tłokowego5. Kinematyka mechanizmu jarzmowego6. Wyznaczanie reakcji w węzłach kinematycznych metodą planów7. Wyznaczanie reakcji w węzłach kinematycznych metodą analityczną8. Równanie ruchu mechanizmu – proste przykłady9. Równanie ruchu mechanizmu korbowo-tłokowego i jarzmowego10.Wyznaczanie reakcji z uwzględnieniem tarcia11.Mechanizm strugarki: sprawność, wyrównoważanie statyczne12.Transformacje czworoboku przegubowego13.Synteza mechanizmów płaskich – przykłady14.Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-tłokowego15.Wyrównoważanie silników tłokowych

K. Czołczyński.Wykłady z teorii mechanizmów i maszyn, Wyd. PŁ, Łódź 2002.

Morecki, J. Knapczyk, K. Kędzior. Teoria mechanizmów i manipulatorów. Warszawa 2001.

Na czym polega różnica pomiędzy studiowaniem a uczeniem się?

Cenną pomocą są własnoręcznie sporządzone notatki.

DefinicjeTeoria mechanizmów – dziedzina nauki zajmująca sięteoretycznymi i doświadczalnymi badaniami mechanizmów.Mechanizm – układ połączonych ze sobą ciał (ogniw) o ściśle określonym ruchu względnym, przeznaczony do przekształcania ruchu ciał i sił działających na te ciała w pożądany ruch innych ciał i pożądane siły oddziaływania tych ciał.

Podział teorii mechanizmów:

analiza i synteza strukturalna,analiza kinematyczna (okre ślanie pr ędkościi przyspiesze ń),

analiza dynamiczna (okre ślanie sił; budowa i rozwi ązywanie równa ń ruchu).

Kategorie:

mechanizm rzeczywisty,model fizyczny mechanizmu,model matematyczny mechanizmu.

w=3×2-2×3=0

Grupa strukturalna Assura, II kl, 2 r, 1 p.

w=3×3-2×4=1

w=3×10-2×15=0

Bez siłowników w=3×10-2×15=0.

Wprowadzenie siłowników zwiększa o 4 zarówno liczbę ogniw jak i liczbę węzłów

w=3×14-2×19=42-38=4.

Kinematyka ogniwa; obrotowa para kinematyczna

Ruch postępowy

AB

AB

pp

vv

==

Ruch obrotowy - prędkości

ω

ωω

ωω

ω

==

⊥

=×=

⊥

=×=

×+==

AC

C

AB

B

ACC

ACCACC

ABB

ABBABB

ABABAB

B

l

v

l

v

lv

lvlv

lv

lvlv

lt

l

t

lv

;

;

d

d̂

d

d

Ruch obrotowy – przyspieszenia

( )( )

2

2

tg

;d

d

;

d

d ;

d

d

ωε

εεωωωω

ωωωω

ω

==Ψ

+=

=×=×=

=××=

×==××+×=

×=

nB

tB

t

B

n

BB

ABtBABAB

t

B

ABnBAB

n

B

ABBAB

ABABB

ABB

p

p

ppp

lpllt

p

lplp

lvt

lll

tp

lv

Ruch płaski - prędkości

ABC~

; ;

; ;

; ;

∆∆⊥×=+=

⊥×=+=

⊥×=+=

abc

lvlvvvv

lvlvvvv

lvlvvvv

BCCBBCCBCBBC

ACCAACCACAAC

ABBAABBABAAB

ωωω

I zasada BurmestraFigura utworzona na planie prędkości przez końce

wektorów prędkości punktów należących do jednego ogniwa jest podobna do figury, jaką te punkty tworzą

na schemacie ogniwa, i obrócona o 90 stopni zgodnie ze zwrotem prędkości kątowej.

RUCH PŁASKI JAKO RUCH OBROTOWYWOKÓŁ CHWILOWEJ OSI OBROTU

SCCSCC

SBBSBB

SAASAA

S

lvlv

lvlv

lvlv

v

⊥×=

⊥×=

⊥×=

=

;

;

;

0

ωωω

Ruch płaski – przyspieszenia

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ABCabc

lppp

lppp

lppp

pppp

pppp

CBtCB

nCBCB

ACtCA

nCACA

ABtBA

nBABA

t

CA

n

CAAC

t

BA

n

BAAB

∆∆+=+=

+=+=

+=+=

++=

++=

~

2422

2422

2422

εω

εω

εω

II zasada BurmestraFigura utworzona na planie przyspieszeń przez

końce wektorów przyspieszeń punktów należących do jednego ogniwa jest podobna do

figury, jaką te punkty tworzą na schemacie ogniwa, i obrócona o kąt 180o-Ψ, zgodnie ze

zwrotem przyspieszenia kątowego.

Para obrotowa

BCCB

BAAB

vvv

vvv

+=+=

BCnBC

tBC

nBCCB

BAnBA

tBA

nBAAB

lppppp

lppppp22

21

,

,

ωω

=++=

=++=

Para obrotowa

BCCB

BAAB

vvv

vvv

+=+=

BCnBC

tBC

nBCCB

BAnBA

tBA

nBAAB

lppppp

lppppp22

21

,

,

ωω

=++=

=++=

Kinematyka: ruch względny; postępowa para kinematyczna

Prędkości w ruchu względnym

wuAB

ABAABOAOB

B

ABOAOB

vvt

llv

t

l

t

l

t

lv

lll

+=+×+=+==

+=

d

d̂

d

d

d

d

d

d ω

wBB

BBBB

ABAB

uABAB

vv

vvv

lv

vvvv

=

+=

×=

=+=

12

1212

111

1111

ω

Przyspieszenia w ruchu względnym

wBBwBB

CBB

w

BB

C

BBBB

ABt

ABABn

AB

t

AB

n

ABABu

ppvp

pppp

lplp

ppppp

1212112

121212

1112111

111111

;2

;

==

++=

==

++==

ω

εω

( )

( )

( )

( ) CwuwwuB

w

w

ABABAu

www

wu

ABABABA

u

ABAB

AB

ABAB

AABA

u

wuB

B

pppvppp

t

vp

llpp

vt

v

t

v

vpt

lllp

t

v

t

ll

t

l

t

ll

tt

vlv

tt

v

t

v

t

v

t

vp

++=×++=

=

××+×+=

×+=

×+=×+××+×+=

+×=

×+×+=×+=

+==

ω

ωωε

ω

ωωωωε

ω

ωωω

2

d

d̂

d

d̂

d

d

d

d̂

d

d

d

d̂

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

Parapostępowa

2121

1111

CCCC

ACAC

vvv

vvv

+=+=

21221212121

2111111111

2,

,

CCc

CCw

CCc

CCCC

ACn

ACt

ACn

ACAC

vppppp

lppppp

ωω=++=

=++=

Parapostępowa

2121

1111

CCCC

ACAC

vvv

vvv

+=+=

21221212121

2111111111

2,

,

CCc

CCw

CCc

CCCC

ACn

ACt

ACn

ACAC

vppppp

lppppp

ωω=++=

=++=

Analiza kinematyczna mechanizmu korbowo-tłokowego

22223

12

1111

111111

BCBCC

BB

ABABB

ABABAB

vvvv

vv

lvv

vvvv

+===

===+=

ω

BCn

BC

tBC

nBCBCC

BB

ABnBB

nABAB

lp

ppppp

pp

lpp

ppp

2222

2222223

12

2111

1111

,

ω

ω

=

++==

===

+=

Metoda analityczno-wykreślna

I i II zasada Burmestra

0sinsin

0coscos

0

21

21

=+=−+

=−+

αααα

BCAB

ACBCAB

ACBCAB

ll

lll

lll

21

22

2

12

coscos

sin1cos

sinsin

αααα

αα

BCABAC

BC

AB

lll

l

l

+=−+=

−=

Metoda analityczna

222221

21113

2

2221

2111

2

222221

2111

33

2232

22221

2111

221132

112

2211

32

232211

21

21

cossincossin

cos

sinsincos

0sincossincos

, 0cossincossin

sinsin cos

cos

0coscos

, 0sinsin

0sinsin

0coscos

αωαεαωαεα

αωαωαεε

αωαεαωαε

ωεαωαεαωαε

αωαωααωω

αωαω

αωαωαω

αααα

BCBCABAB

BC

BCABAB

BCBCABAB

BCBCABAB

BCABBC

AB

BCAB

ACBCAB

BCAB

ACBCAB

llllp

l

lll

llll

dt

dvp

dt

dpllll

llvl

l

lldt

dlv

dt

dvll

ll

lll

−−−−=

++−=

=−+−

===−−−−−

−−=−=

=+

===−−−

=+=−+

22222221

21112

22222221

21112

222112

222112

2212

2212

22

sincossincos

cossincossin

coscos

sinsin

sinsin

coscos

αωαεαωαεαωαεαωαε

αωαωαωαω

αααα

BSBSABAByS

BSBSABABxS

BSAByS

BSABxS

BSABS

BSABS

BSABAS

llllp

llllp

llv

llv

lly

llx

lll

−+−=

−−−−=

+=

−−=

+=+=

+=

,0sin ,0

sincoscos}sin{

21

222221

21113

2222223

<=−−−−=

++==

αεαεαωαωαε BCBCABAB

tBC

nBCBCC

llllp

ppppp

)0sin ,0(

sinsin

22

22113

22223

<<−−=

+==

αωαωαω BCAB

BCBCC

llv

vvvv

Analiza kinematyczna mechanizmu jarzmowego

3333

2323

112

CBCB

BBBB

ABBB

vvv

vvv

lvv

+=+=== ω

BCn

CBt

CBn

CBCB

BBc

BBw

BBc

BBBB

ABnBB

lppppp

vppppp

lpp

2333333333

23223232323

2112

,

2,

ω

ω

ω

=++=

=++=

==

Metoda analityczno-wykreślna

3333

2323

112

CBCB

BBBB

ABBB

vvv

vvv

lvv

+=+=== ω

BCn

CBt

CBn

CBCB

BBc

BBw

BBc

BBBB

ABnBB

lppppp

vppppp

lpp

2333333333

23223232323

2112

,

2,

ω

ω

ω

=++=

=++=

==

3333

2323

112

CBCB

BBBB

ABBB

vvv

vvv

lvv

+=+=== ω

BCn

CBt

CBn

CBCB

BBc

BBw

BBc

BBBB

ABnBB

lppppp

vppppp

lpp

2333333333

23223232323

2112

,

2,

ω

ω

ω

=++=

=++=

==

II zasada Burmestra –znajdowanie przyspieszenia środka masy ogniwa 3

παααααα

αα

αα

α

αααα

+=⇒<

=

=

+=

++=

=+−=−

=+−

333

3

33

13

13

122

31

31

0

,cos

sinarctg

coscos

,sin

sin

sin2

0sinsin

0coscos

0

CB

AB

CB

CAAB

CAABCAABCB

CACBAB

CBAB

CACBAB

l

l

l

ll

lllll

lll

ll

lll

Metoda analityczna

CBABAB

CBCB

AB

CB

AB

CBCBABAB

CBCBABAB

ABCB

AB

CBAB

CBCBAB

CACBAB

CBAB

lllp

dt

dvp

dt

d

l

v

l

l

l

l

llvpll

llvpll

lvl

l

lvldt

dlv

dt

dlvl

lll

ll

2313

211313

33

33

331321131

3

32333333331

2111

32333333331

2111

13131313

333311

33

3333311

31

31

)cos()sin(

, 2)sin()cos(

0sincoscos2sinsincos

0cossinsin2coscossin

)sin(),cos(

0cossincos

, 0sincossin

0sinsin

0coscos

ωααωααε

ωεωααωααεε

αωαεαωααωαεαωαεαωααωαε

ααωααωω

αωααω

αωαωααω

αααα

+−−−=

==−−+−=

=+−−−−

=−++−−−

−=−=

=−−

===+−−

=+−=−

33233333

33233333

3333

3333

333

333

33

sincos

cossin

cos

sin

sin

cos

αωαεαωαε

αωαω

αα

CSCSyS

CSCSxS

CSyS

CSxS

CSS

CSS

CSCS

llp

llp

lv

lv

ly

lx

ll

−=

−−=

=

−=

==

=

Wyznaczanie reakcjiw węzłach kinematycznych

metodą analityczno-wykreślną

Zasada d’Alemberta:

Podczas ruchu układu punktów materialnych, siły rzeczywiste działającena punkty tego układu równoważą się z siłami bezwładności

0

0

0

0

0

S

S

S

S

=−−+−

=−+=−+

=+×+×

=++

=−

=−

×+×=

+=

ε

ε

ε

SxRyRxPyP

Syy

Sxx

bRP

b

b

b

RP

BRyRxPyPx

ymRP

xmRP

MRlPl

PRP

MB

Ppm

RlPlB

RPpm

&&

&&

Reakcje w węzłach I klasy

? ?;lub

? ?;

y12

x12

R12

==

==

RR

R α

PlPzM

PR

PlzRM

PPR

−==

=+−=−−

2

2

0

0

12

12

1212

12

lP

Pl

R

Plh

PR

PlhR

PPR

5.02

2

0

0

12

12

12

12

===

==+−=−−

03223

023 1

=⋅−⋅=− pn

Mechanizm jarzmowy; wyznaczanie reakcji metodą analityczno-wykreślną

gmG

gmG

gmG

33

22

11

=

==

B22b2 pmP −=

12 ;

2CD3

33333b3

lmBBM SS =−= ε

S33b3 pmP −=

=03nR

003t

03n

b332b212 =++++++ RRPGGPR

033b3G33bCB03n

iB =⋅−⋅−+⋅=∑ hPhGMlRM

0cos)90cos( 3b3b3303t

D-i3C =⋅−−⋅+=∑ αα PGRP o

=03tR

003t

03n

b332b212 =++++++ RRPGGPR

siłplanu z 12 −R

...

0sin)90sin(

23

033b3b3323D-Ci3

=

=−⋅+−⋅+=∑ ⊥

R

RPGRP nααo

...

0

23

3a3b3G33b2323i3C

=∑ =⋅+⋅++⋅=h

hPhGMhRM a

0

0

0

03t

03n

b3323

322b212

03t

03n

b332b212

=++++

=+++

=++++++

RRPGR

RGPR

RRPGGPR

1221 RR −=

021101 =++ RGR

∑ =⋅−= 02121ri1A hRMM

=rM

Wyznaczanie reakcji w węzłach kinematycznych

metodą analityczną

)sin()sin(

)sinsin(cos)coscos(sin

)()(

)(

2P21P1

2211P2211P

21x

21y

21

αααααααααα

−+−=

=+−+==+−+=

×+=

lPlP

llPllP

yyPxxPM

PllM

Wyznaczanie wartości momentu siły

Rzutowanie sił działających na ogniwo

P221P1

P221P1

sinsin

coscos

α+α=

α+α=

∑∑

PPP

PPP

iy

ix

)sin()sin(

)cos()cos(

1P2211P1

1P2211P1

αααα

αααα

−+−=

−+−=

∑∑

−

−

PPP

PPP

kki

lli

Mechanizm jarzmowy – wyznaczanie reakcji metodą analityczną

CS33S3t

S3t

3b3t

CS323S3

nS3

n3b3

n

AB1Bt

Bt

2b2t

AB21B

nB

n2b2

n

11b1

33

22

11

;

;

;

;

lppmP

lppmP

lppmP

lppmP

BM

gmG

gmG

gmG

ε

ω

ε

ω

ε

=−=

=−=

=−=

=−=

−=

=

=

=

12 ;

2CD3

333b3

lmBBM =−= ε

003t

03n

3b3t

b3n

22bt

2bn

12y

12x

=+++++

+++++

RRGPP

GPPRR

( ) ( ) ( )

...

0

)90sin(

n03

BS3b3t

3BS33BC03n

b3iB

tb33

n03b3iB

=

=⋅+

+−⋅⋅+⋅−−=∑

+++−=∑

R

lP

lGlRMM

PMGMRMMM

αo

...

0)270cos(

0)90cos(

)90cos()cos()270cos(

)90cos()180cos(

03t

b3n

3303t

D-i3C

3o

323

3o

3b3t

33b3n

33

3o

303n

3o

303t

D-i3C

=

=+−⋅+−=∑

=−−+

+−−+−+−⋅+

+−++−+=∑

R

PGRP

R

PPG

RRP

α

ααααααα

αααα

o

o

003t

03n

3b3t

b3n

22bt

2bn

12y

12x

=+++++

+++++

RRGPP

GPPRR

0)180cos()90cos()90cos(

cos)90cos(cos

303t

303n

3b3t

3b3n

12bt

12bn

12x

=+α⋅++α⋅+−α⋅+

+α⋅+−α⋅+α⋅+ooo

o

RRP

PPPR

0)180sin()90sin()90sin(

sin)90sin(sin

303t

303n

33b3t

3b3n

212bt

12bn

12y

=+α⋅++α⋅+−−α⋅+

+α⋅+−−α⋅+α⋅+ooo

o

RRGP

PGPPR

...

...

12y

12x

=

=

R

R

...

0)270sin(

0)90sin()90sin(

)270sin()90sin(

23

23b3t

3303n

D-Ci3

3o

3233o

3b3t

333o

303n

D-Ci3

=

=−−−⋅+=∑

=−−+−−+

+−⋅+−+=∑

⊥

⊥

R

RPGRP

RP

GRP

α

ααααααα

o

o

...

0)270sin(

CF

CF23CS3b3t

3CS33b33iC

=

=−⋅−−⋅⋅+−=∑l

lRlPlGMM αo

ZWROTY! ZMIENIĆ; ; 12y

21y

12x

21x RRRR ==

021y

21x

101y

01x =++++ RRGRR

021x

01x =− RR

021y

101y =−− RGR

K

K

=

=

01y

01x

R

R

.....

0)270sin()180sin( 1AB21y

1AB21x

1bTri1A

=

=−⋅⋅+−⋅⋅+−−=∑

rM

lRlRMMMM αα oo

Równanie ruchu mechanizmu –proste przykłady

( )2

,

,

,

2

000

0

00

0

0

pttvssdtptvds

vdtdsdt

dsv

ptvvpdtdv

pdtdtm

Fdv

m

F

dt

dv

s

s

t

v

v

t

++=∫ ∫ +=

=

=

+=∫ ∫=

==

=

m

F

dt

dv

Fvdt

dvmv

FvNmv

E

Ndt

dE

LEE

i

i

=

=

==

∑=

∑=−

;2

2

0

Ruch postępowy

B

M

dt

d

Mdt

dB

Ndt

dE

MNB

E

=

=

=

==

ω

ωωω

ωω ;

2

2

Ruch obrotowy

( )2

,

,

,

2

000

0

00

0

0

ttdttd

dt

d

tdtd

dtdB

M

dt

d

B

M

dt

d

t

t

εωααεωα

αω

εωωεω

εω

εωω

α

α

ω

ω

++=∫ ∫ +=

=

+=∫ ∫=

=

===

−=

−=

−=−

−−=

−−−=

∫ −=∫−==

−

−

tB

M

tB

M

t

eM

M

M

Me

M

MMt

B

M

M

MM

M

Bt

B

M

B

MM

M

Bt

dMM

BdtMM

dt

dBB

1

1

1

1

ln

ln

lnln

,

1

0

0

1

0

101

0

10

1

010

1

0 10010

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

ωωεω

Silnik elektryczny

constr

rBBB

B

r

rBBE

r

r

rrv

BBE

z

z

=

+=

=

+=

=

==

+=

2

2

121

21

2

2

121

2

21

1

2

112

221112

222

211

222

22

ωωω

ωω

ωω

ωω

Przekładnia zębata

2

11

112

11

2

112

21

r

rMMM

Mr

rMMN

r

r

MMN

TNZ

ZTN

TN

−=

=−=∑

=

−=∑

ωωω

ωω

ωω

2

2

121

2

1

1

1

11

121

1

21

0 ,2

1

,2

+

−=

=

=∂

∂=+∂

∂

=

∂∂

∑=∂∂

r

rBB

r

rMM

dt

d

Mdt

dB

t

BM

dt

dB

t

B

MB

t

Nt

E

TN

ZZ

ZZZ

Z

Zz

ω

ω

ωωωω

ωω

Przekładnia planetarna

)(2

)(2

1

2

1

2

2

21

113

213

11

2

112

2211

rr

r

rrv

rvv

r

r

rrv

C

AC

A

+=

+=

==

=

==

ωω

ω

ω

ωω

ωω

2222

21

222

22

211 ωωω zC BBvmB

E =++=

constr

rB

rmBB

B

r

rB

rmBE

z

z

=

++=

=

++=

2

2

12

212

1

21

21

2

2

12

212

1

24

2224

ωω11

2

112

2

1

2

rv

r

r

C ω

ωω

=

=

13231 ))90(270cos( ωαωω Zoo

CTN MgvmMMN =+−+−=

( )

( )

( )

( ) 30121

13

01

21

13

121

13

11

33

121

13

2

2

2

,

2

13

30

ααα

αα

αα

αωαω

ωω

αα

α

++

=

∫+=∫

+=

==

+=

rr

r

drr

rd

drr

rd

dt

d

dt

d

rr

r

3021

1133

12

21

1

110

31

221

1

31

1221

1111

21

113

11

13231

)(2)),90(270cos(

2)(2

))90(270cos(2)(2

))90(270cos(2)(2

,)(2

,2

))90(270cos(

αααα

ω

α

αωωωω

ωωω

ωαωω

++

=+−−+

−=

−=

−=

+−++

−=

+−++

−==

+==

=+−+−=

rr

rrgm

rr

rMM

MMM

MMM

rgm

rr

rMMM

rgm

rr

rMMMN

rr

rrv

MgvmMMN

ooTop

N

opNz

ooTNZ

ooTNZ

C

Zoo

CTN

z

opN

Zz

B

MM

dt

d

MB

t

Nt

E

−==

=

∂∂

=∂∂

11

1

21

2

εω

ωω ( ) ( )( )( )

1; goto

;;

;2

;

;

;,

;

............ ;, ;

:1

;;;0

110110

21

10101

1101

1

11

1

11313

101101

ωωαα

εωαα

εωω

ε

ωαω

ωαωαα

ωωαα

==∆+=

∆+∆+=

∆+=

−=

==

==

===

ttt

tt

t

B

MM

fM

fM

ff

t

z

opN

op

N

Równanie ruchu mechanizmu korbowo-tłokowego.

Równanie ruchu mechanizmu jarzmowego.

111

22113

2

112

21

22

212

sinsin

cos

cos

coscos

sin1cos,sinsin

ASS

BCAB

BC

AB

BCABAC

BC

AB

lv

llv

l

l

lll

l

l

ωαωαω

ααωω

αα

αααα

=

−−=

−=

+=

−+=−=

2

2

211

2311

211

21

233

2111

211

cos

sincossin

2222

+−++=

=++=

αααα

ωω

ABSASz

zSS

lmBlmB

BvmBvmE

Równanie ruchu mechanizmu korbowo-tłokowego

22212212211

2211

2

211

23

sinsincoscos)coscossinsin(

coscos

cos

sincossin2

αωαααααωααωα

αωα

ααα

++−=

+−×

+−=

∂∂

L

Llm

t

BAB

z

+−+−=

+−++−+=

++−+==

22

113111

22

11113

o1

o11111

33o

1o

1111

sincos

cossin)(cos

sincos

cossin))90(270(cos

;))90(270(cos

ααααα

αα

αωαωαωωω

αωω

ABASNZ

ABABASNZ

SNZ

lPglmMM

llPlgmMM

vPgvmMMN

ZZZ M

dt

dB

t

B =+∂

∂ 112

1 ωω

CB

AB

CB

CAAB

CAABCAABCB

l

l

l

ll

lllll

13

13

122

coscos

sinsin

sin2

αα

αα

α

=

+=

++=

333y3

333x

3

3331

1313

sin

cos

,

)cos(

αωαωωω

ααωω

ASS

ASS

ASSABB

CB

AB

lv

lv

lvlv

l

l

=

−=

==

−=

Równanie ruchu mechanizmu jarzmowego

( )

( )

( )2

13233

233

221

2

131332

33

21

2211

21

2333

233

22

211

21

)(cos

)(cos2

1

222

22222

−+++=

−++

++=

+++==

CBABSCSABz

CB

ABSCS

ABz

SSBz

llBlmlmBB

l

lBlm

lmBB

BvmvmBBE

αα

ααω

ωωω

ωωω

( )

( )

21331313

13233

233

2

13233

233

221

)(cos)(sin)(

)(cos2

)(cos

CB

CB

CBABSCS

z

CBABSCSABz

l

vl

llBlm

t

B

llBlmlmBB

ααααωω

αα

αα

−−−−−×

×

−×+=∂

∂

−+++=

ySB

TNZ

gvmgvm

MMMN

33o

1o

2

111

))90(270(cos −+−+

−==

αωωω

3313312

110

33133

12

3333112111

cos)(coscos

cos)(cos

cos

coscos

αααα

ω

ααα

α

αωαωωωω

ASCB

ABABTop

N

opNz

ASCB

AB

ABTNZ

ASABTNZ

ll

lgmglmMM

MMM

MMM

ll

lgm

glmMMM

lgmlgmMMM

−−+=

−=

−=

−+

+−−=

−−−=

( ) ( )( )( )

( )( )

1; goto

;;

;2

;

;21

;,

;

;,

;

...........;........., ;

:1

;;;0

110110

21

10101

1101

1

1

11

1

11

1

11313

101101

ωωαα

εωαα

εωω

ωε

ωα

αωα

ωωαωαα

ωωαα

==∆+=

∆+∆+=

∆+=

−−=

=

=

==

==

===

ttt

tt

t

Bdt

dBMM

fdt

dB

fB

fM

fM

ff

t

z

zopN

z

z

op

N

opNZZZ

Zz

MMMdt

dB

t

B

MB

t

Nt

E

−==+∂

∂

=

∂∂

=∂∂

11

1

21

2

1

2

ωω

ωω

Wyznaczanie sił tarcia w węzłach niższychpłaskich mechanizmów dźwigniowych

Równanie ruchu mechanizmu jarzmowegoz uwzględnieniem tarcia

aRM 2121 5.0<

aRM 2121 5.0>( ) ( )2121

2121

2121

sgn

5.0

5.0

vRRTa

MRR

aMRR

BA

B

A

+=

+=

−=

µ

( )( )

( )( ) )(zwrot! sgn

sgn

sgn

sgn

122121

122121

12212121

122121

ωωµωωµ

ωωµωωµ

−−=

−=

−==

−=

xM

y

yM

x

MT

M

RT

RT

RrrTM

RT

Mechanizm jarzmowy – wyznaczanie reakcji z uwzględnieniem tarcia

CS33S3t

S3t

3b3t

CS323S3

nS3

n3b3

n

AB1Bt

Bt

2b2t

AB21B

nB

n2b2

n

11b1

33

22

11

;

;

;

;

lppmP

lppmP

lppmP

lppmP

BM

gmG

gmG

gmG

ε

ω

ε

ω

ε

=−=

=−=

=−=

=−=

−=

=

=

=

12 ;

2CD3

333b3

lmBBM =−= ε

)sgn( 1ω−= TT MM

003t

03n

03y

03x

3

b3t

b3n

22bt

2bn

12y

12x

=+++++

+++++++

RRTTG

PPGPPRR

( ) ( )

C journal of radius

30303

30303

30303

o303

o30303

o303

o30303

2

03

2

0303

)sgn(

)sgn(

)sgn(

)180sin()90sin(

)180cos()90cos(

−

−=

−−=

−=

++−=

++−=

+=

r

MT

xM

y

yM

x

tny

tnx

tn

RrM

RT

RT

RRR

RRR

RRR

ωµωµ

ωµαααα

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

...

0)18090sin()1800sin(

)90sin(

03

o3

o03

o3

o03BS3b3

t

3BS33BC03n

03b3iB

0303t

b33n0303b3iB

=

=−−+−−+⋅+

+−⋅⋅+⋅−+−=

++++++−=

∑∑

n

BCy

BCx

T

yxT

R

lTlTlP

lGlRMMM

TMTMPMGMRMMMM

αα

αo

...

0)90cos(

)90cos()cos(

)270cos(

)90cos()0cos(

)90cos()180cos(

03t

233o

323

3o

3b3t

33b3n

33

3o

03y

3o

03x

3o

303n

3o

303t

D-i3C

=

=+−−+

+−−+−+

+−⋅+

+−+−+

+−++−+=∑

R

TR

PP

G

TT

RRP

αααααα

ααα

αααα

o

( )2silder oflength

323

2323

2323

)sgn(

5.0

5.0

−

+=

+=−=

a

BA

B

A

vRRT

aMRR

aMRR

µ

0)180cos()90cos(

)90cos(

cos)90cos(cos

303t

303n

033b3t

3b3n

12bt

12bn

12x

=+⋅++⋅+

++−⋅+

+⋅+−⋅+⋅+

oo

o

o

ααα

ααα

RR

TP

PPPRx

0)180sin()90sin(

)90sin(

sin)90sin(sin

303t

303n

0333b3t

3b3n

212bt

12bn

12y

=+⋅++⋅+

++−−⋅+

+⋅+−−⋅+⋅+

oo

o

o

ααα

ααα

RR

TGP

PGPPRy

...

...

12y

12x

=

=

R

R

003t

03n

03y

03x

3

b3t

b3n

22bt

2bn

12y

12x

=+++++

+++++++

RRTTG

PPGPPRR

...

0)90sin()90sin(

)270sin(

)90sin()0sin(

)90sin(

23

3o

3233o

3b3t

33

3o

03y

3o

03x

3o

303n

D-Ci3

=

=−−+−−+

+−⋅+

+−+−+

+−+=∑ ⊥

R

RP

G

TT

RP

ααααα

αα

αα

o

...

0

)270sin(

23

0323

CB23CS3b3t

3CS33b33iC

=

=+++−⋅−

−−⋅⋅+−=∑

M

MM

lRlP

lGMM

T

αo

ZWROTY! ZMIENIĆ; ; 12y

21y

12x

21x RRRR ==

021y

21x

101y

01x =++++ RRGRR

021x

01x =− RR

021y

101y =−− RGR

K

K

=

=

01y

01x

R

R

.....

0)270sin()180sin( 1AB21y

1AB21x

1bTri1A

=

=−⋅⋅+−⋅⋅+−+=∑

rM

lRlRMMMM αα oo

Sprawność mechanizmów

παααααα

αααα

α

αααα

+=⇒<=

=+=

++=

=+−=−

=+−

3333

33

13

13

122

31

31

0 ,cos

sinarctg

coscos,

sinsin

sin2

0sinsin

0coscos

0

CB

AB

CB

CAAB

CAABCAABCB

CACBAB

CBAB

CACBAB

l

l

l

ll

lllll

lll

ll

lll

3

3

3

3

3

sin

cos

)znane! ( sin

sin

cos

,

αα

α

αα

CFFE

AFCACFCF

CE

CECF

CEFE

AFCACFCEFECF

ll

llll

l

ll

ll

llllll

=

+==

==

+==+

Analiza kinematyczna mechanizmu strugarki

3333

3333

333

333

33

13131313

333311

333311

31

31

cos

sin

sin

cos

)sin(),cos(

0cossincos

0sincossin

0sinsin

0coscos

αωαω

αα

ααωααωω

αωααωαωααω

αααα

ASyS

ASxS

ASS

ASS

ASAS

ABCB

AB

CBAB

CBAB

CACBAB

CBAB

lv

lv

ly

lx

ll

lvl

l

lvl

lvl

lll

ll

=

−=

===

−=−=

=−−=+−−

=+−=−

33233333

33233333

2313

211313

331321131

3

32333333331

2111

32333333331

2111

sincos

cossin

)cos()sin(

2)sin()cos(

0sincoscos2sinsincos

0cossinsin2coscossin

αωαεαωαε

ωααωααε

ωααωααεε

αωαεαωααωαεαωαεαωααωαε

ASASyS

ASASxS

CBABAB

CBCB

AB

CB

AB

CBCBABAB

CBCBABAB

llp

llp

lllp

l

v

l

l

l

l

llvpll

llvpll

−=

−−=

+−−−=

−−+−=

=+−−−−

=−++−−−

335

3

334

3334

33345

45

3

3

sin

1,

sin

cos

cossin0

sincosd

d,

d

d

sin

cos

αω

ααω

αωααωα

αα

CECE

CE

CE

CEFE

CECF

CEFE

lvlv

lv

lvvt

lv

t

lv

ll

ll

−=−=

+=−=

==

==

[ ]CE

CECE

CECE

CECE

lvp

llvp

llvp

llvpp

t

vp

t

vp

3433

5

23

3

33

3

3434

3233334334

32333343345

44

55

2sin

1

sin

cos

sin

cos2

sincoscos2sin0

cossinsin2cos

d

d,

d

d

εωα

ωααε

ααω

αωαεαωααωαεαωα

−−=

+−−=

−++=

−−−=

==

Równanie ruchu mechanizmu strugarkiz uwzględnieniem sił tarcia

( ) ( )

( )2

13

2

3

25

2

13233

233

221

2

131

2

35

2

131332

332

12

211

21

255

2333

233

22

211

21

)(cos

sin

)(cos

)(cossin2

1

)(cos2

1

222

222222

−

+

+

−+++=

−

+

−+++=

++++==

CB

CEAB

CBABSCSABz

CB

ABCE

CB

ABSCSAB

z

SSBz

l

llm

llBlmlmBB

l

llm

l

lBlml

mBB

vmBvmvmBBE

ααα

αα

ααωα

ααωωωω

ωωω

( )

2133131313

32

22

5

2

13

32

3334

3

25

21331313

13233

233

)(cos)(sin)()(cos

sin2

)(cos

sin

cossin

sin

2

)(cos)(sin)(

)(cos2

CB

CB

CB

CEAB

CB

CECEAB

CB

CB

CBABSCS

z

l

vl

l

llm

l

lvllm

l

vl

llBlm

t

B

ααααωωααα

ααα

αωαα

ααααωω

αα

−−−−−×−+

+

−−+

+−−−−−×

×

−×+=∂

∂

)sgn( 1ω−= TT MM

( ) ( )

C journal of radius

30303

2

03

2

0303

)sgn(

−

−=

+=

r

MT

tn

RrM

RRR

ωµ

( ) ( ) 55o

35

55

900

00

PPv

Pv

tr =⇒<−∧<

=⇒>

αα

( )2silder oflength

323

2323

2323

)sgn(

5.0

5.0

−

+=

+=−=

a

BA

B

A

vRRT

aMRR

aMRR

µ

5532330333

o1

o2

111

))90(270(cos

vPvTMgvm

gvm

MMMN

TyS

B

TNZ

+−+−

−+−+

++==

ωα

ωωω

5532330333

o1

o2

111

))90(270(cos

vPvTMgvm

gvm

MMMN

TyS

B

TNZ

+−+−

−+−+

++==

ωα

ωωω

)(cossin

1

)(cos)(sin

cos)(cos

cos

sin

1cos

cos

133

5

13031323

33133

12

3353033233333

112111

ααα

αααα

ααα

α

αωωαω

αωωωω

−−

−−+−−

−−−

−−+=

−+−−

−−+=

CB

ABCE

CB

ABTAB

CSCB

AB

ABTNZ

CETCS

ABTNZ

l

llP

l

lMlT

ll

lgm

glmMMM

lPMvTlgm

lgmMMM

Sprawność mechanizmów dźwigniowych

Mechanizm przekształca pracę momentu napędowego w pracę sił użytecznych, pracę sił tarcia,energię kinetyczną ogniw i energię potencjalną sił potencjalnych (ciężar, siły w elementach sprężystych).

W ustalonym stanie mechanizmu o ruchu cyklicznym, przyrost energii kinetycznej i potencjalnejprzypadający na jeden cykl równy jest zeru, ponieważ na początku i na końcu cyklu współrzędne i prędkości są takie same.

Bilans pracy podczas jednego cyklu:

( )0,0 , ==+=

+++=

VGTUMN

VGTUMN

LLLLL

LLLLLBilans pracy :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑

∫∫

∑∑

∫∫

=

=

=

=

=

=

=

=

∆−=∆=

−==

>⇒<=⇒>−=

∆==∆

∆=∆=

==

≥=

ni

iii

ni

iiUU

TT

UU

U

i

ni

iiiN

ni

iiMNMN

T

N

T

MNMN

NMN

ttvtPttNL

dtvPdtNL

PvPvvPN

titnTt

tttMttNL

dtMdtNL

MN

155

1

0

55

0

555555

11

1

0

1

0

11

00,00 ;

;

;

0 ;

ω

ω

ωω

( )

5/

5

10

Tt

ttNdtNLi

iiU

T

UU

=∆

∆== ∑∫=

=

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑

∫∫=

=

∆++=

++==

++=

ni

iiiTiiiiTT

T

TT

T

TT

TTT

tttMtvtTttML

dtMvTMdtNL

MvTMN

13033231

0

3033231

0

3033231

ωω

ωω

ωω

MN

T

MN

U

L

L

L

L

=

=

ψ

ηSprawność:

Współczynnik strat:

Transformacje czworoboku przegubowego

Transformacje czworoboku przegubowego

Warunki Grashofa

Warunki Grashofa

Transformacje przez zmianę ostoi

Transformacje przez zmianę postaci węzła

Transformacje przez zmianę ostoi

Przykłady syntezymechanizmów płaskich

Synteza mechanizmu realizującego funkcję

322

1 cyxcxycz ++=

2432 =−×=w

Mechanizm klinowy

17253 =×−×=

=

w

xy

( )( )

2142103

221

21

21

=×−×=

+=×=

+=−+=

+=

w

OBOAOM

ONOM

OBOAON

OAOBOAON

ABOAON

( ) ( )

xya

y

a

x

y

y

w

1

29263432

1

1

=

=

=×−×+−×=

( ) ( )

xya

yyxaa

yya

y

a

y

y

y

w

2212

12

1111

2212143432

=

==

=

=×−×+−×=

( ) ( )

byxa

xya

y

byyy

bybyby

w

−+=

−+=−+−=−

=×−×+−×=

11

)()(

2332223432

223

123

123

Synteza czworoboku przegubowegorealizującego przejście odcinka MN przed dwa zadane położenia

Węzły A i D w dowolnie wybranych punktach symetralnych M1M2 i N1N2.Węzeł B=M; węzeł C=N.

Węzły A i D w wybranych punktach symetralnychM1M2 i N1N2. Węzły B i C w wybranych odległościach

od środka obrotu.

Węzły A i D w dowolnie wybranych punktach płaszczyzny. Węzły B i C w wybranych odległościach od środka obrotu.

Węzły A i D w wybranych punktach symetralnych M1M2i N1N2. Ogniwa AB jest korb ą. Węzeł C w wybranej

odległości od środka obrotu.

DODATKOWY WARUNEK!

Synteza czworoboku przegubowegorealizującego przejście odcinka MN przed trzy zadane położenia

Wyrównoważanie statycznemechanizmów płaskich

CDCDSkk

ABBASkk

llm

B

llm

C

BSBCC

CB

AS

ASASAS

lmlmlm

lmlmlm

m

m

lmlm

mmm

lm

lmlmlM

mmmM

BC

BS

BC

BS

23333

21111

12

2

222

222

33

2211

321

22

22

const.

+=+=

=

=

==+

=+

++=

++=

−

Wyrównoważenie statyczne czworoboku przegubowego

ABkASADk

BCBSBEk

lmmmlmlm

lmlmlm

)( 232111

3222

+++=

+=

Wyrównoważenie statyczne mechanizmu korbowo-tłokowego

Wyrównoważenie statyczne mechanizmu jarzmowego

23

2333

13

333

21

CDkC

CSCDk

ABAEk

lmlmB

lmlm

lmlm

+=

==

Uwaga: środek masy korby leży w punkcie A!

Gdy ogniwo 3 jest prętem jednorodnym

Wyrównoważanie mechanizmów korbowo-tłokowychsilników wielocylindrowych

2211

22113

213

sinsin0

coscos

αααα

ll

lll

lll

+=+=

+=

...sin16

1sin

8

1sin

2

1cos

sin

...11

sin1cos

sin1cos

sinsin

16

6

2

121

4

4

2

121

2

2

2

122113

12

1

61614

812

212

2

12

12

22

2

12

12

αααα

α

αα

αα

αα

−

−

−+=

=

−−−≈−

−+=

−+=

−=

l

ll

l

ll

l

lllll

l

lx

xxxx

l

l

l

l

Analiza jakościowa ruchu tłoka

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

...6cos4cos2coscos

...6cos512

14cos

512

6

64

1

2cos512

15

16

1

4

1

cos

512

10

64

3

4

1

6cos14cos162cos11532

1sin

4cos12cos148

1sin

2cos12

1sin

...sin16

1sin

8

1sin

2

1cos

1614121103

1

6

2

121

6

2

12

4

2

12

1

6

2

12

4

2

12

2

2

12

11

6

2

12

4

2

12

2

2

1223

11116

1114

112

16

6

2

121

4

4

2

121

2

2

2

122113

+++++=

+

+

+

−

−

+

+

+

++

+

−

−

−=

−+−−−=

−−−=

−=

−

−

−+=

αααα

αα

α

α

αααα

ααα

αα

αααα

CCCCCl

l

ll

l

ll

l

ll

l

ll

l

ll

l

ll

l

l

ll

l

ll

l

llll

l

ll

l

ll

l

lllll

[ ][ ]...6cos364cos162cos4cos

...6sin64sin42sin2sin

...6cos4cos2coscos

16141211213

1614121113

1614121103

++++−=

++++−=+++++=

ααααωααααω

αααα

CCCCp

CCCCv

CCCCCl

,00000432.036 ,00000012.0

,0002112.016 ,0000132.0

,01108.04 ,00277.0

,04.0 ,04.0

,144.0 ,144.0

accel.in coeff. displ.in coeff.

,0004.0 ,0055.0 ,074.0

7.3 ,27.0 mm,147 mm,40

1500Fiat

66

44

22

11

00

33

6

2

1

4

2

1

2

2

1

1

2

2

121

==−=−=

======

=

=

=

====

CC

CC

CC

CC

CC

pl

ll

ll

ll

ll

llll

Zmiany kątaα2. Długość korbowodu = 3.67 długości korbyTypowy silnik samochodowy

Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości cosα2. Długość korbowodu = 3.67 długości korbyTypowy silnik samochodowy

10*(cosα2-1.0)

Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości cosα2. Długość korbowodu = 3.67 długości korbyTypowy silnik samochodowy

Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości długości wektora l3.

Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości przyspieszenia tłoka p3.

Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości przyspieszenia tłoka p3. – prezentacja harmonicznych

Korbowód dłuższy od korby o 10%

Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości długości wektora l3. Korbowód dłuższy od korby o 10%

Porównanie ścisłej i przybliżonej wartości przyspieszenia tłoka p3 – korbowód dłuższy od korby o 10 %.

ADkACpABoASAS

ACpABoASAS

CSpBSo

po

ACASASAS

lmlmmlmlmlM

lmmlmlmlM

lmlm

mmm

lmlmlmlM

mmmM

++++=

+++=

=

+=++=

++=

)(

)(

311

311

22

2

32211

321

Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-tłokowegosilnika dwucylindrowego

Wyrównoważanie mechanizmówkorbowo-tłokowych

silników wielocylindrowych

ADkACpABoASAS

ACpABoASAS

CSpBSo

po

ACASASAS

lmlmmlmlmlM

lmmlmlmlM

lmlm

mmm

lmlmlmlM

mmmM

++++=

+++=

=

+=++=

++=

)(

)(

311

311

22

2

32211

321

Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-tłokowegosilnika dwucylindrowego

( )

( )

( )

( )1

21

11121

1121

3311121

1

111

1

3111

sin

sin

!!!0 ,cos

)(cos

)180sin(

sin

)180cos(

)(cos

αωαω

εαω

αωα

αα

α

ADk

ABoASS

ADk

pABoASS

oADk

ABoASS

oADk

ACpABoASS

lm

lmlmyM

lm

pmmlmlmxM

lm

lmlmMy

lm

lmmlmlmMx

+

++−=

=+

++++−=

++

++=++

++++=

&&

&&

( ) ( )( ) 0sin

0...2cos4cos)(cos

)0 ,0()0 ,0(const) const,(

11121

1211321111

21

=−+−

=+++−−+−

====⇒==⇒==

αω

ααωαω

ADkABoAS

pADkABoAS

SySS

xS

yS

xSSS

lmlmlm

CCmmlmlmlm

ypxpvvxx &&&&

( )( )

5.0 ,10 ,)(

)(

0sin

0cos)(

coscos

311

11

311

11121

131121

12111

213

=≤≤+++=

+=

+++==−+−

=++−+−

−=−≈

ξξξ

αω

αωαωαω

ABpABoASADk

ABoASADk

ABpABoASADk

ADkABoAS

ABpADkABoAS

AB

lmmlmlmlm

lmlmlm

lmmlmlmlm

lmlmlm

lmmlmlmlm

llp

Pomijamy wyższe harmoniczne we wzorze na przyspieszenie tłoka

Wyważenie statyczne polega na unieruchomieniu środka masy mechanizmu

Dwa równania z jedną niewiadomą

( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

ABpABoASADk

ABpADkABoAS

ADkABoASADkABpABoAS

ADkADk

ADkABoAS

ADkABpABoAS

ADkABoAS

ADkABpABoAS

ADkABoAS

ADkABpABoAS

lmmlmlmlm

lmmlmlmlm

lmlmlmlmlmmlmlm

lmlm

lmlmlm

lmlmmlmlm

lmlmlm

lmlmmlmlm

lmlmlm

lmlmmlmlm

)(5.0

0)(2

0121)(2

0

min

)(

0

0)(

)(

311

311

11311

21

21

22

11

12

311

11

311

11

311

+++=

=++−+

=−−++−−+++

=∂

∆∂+∂

∆∂=∆+∆

∆=−+

∆=−+++

=−+

=−+++=+

=+++

Wyznaczenie ξ metodą najmniejszych kwadratów

Kiedy suma prawych stronbędzie najmniejsza?

Układ równań sprzecznych

Poszukujemy rozwiązania spełniającego równania w przybliżeniu

Silnik czterocylindrowy

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ]161412213

16141211213

16141211213

o16

o14

o12

o11

21

1614121121

6cos364cos162cos4)(4

6cos364cos162cos4cos)(2

6cos364cos162cos4cos)(2

)10806cos(36)7204cos(16)3602cos(4)180cos(

6cos364cos162cos4cos

αααω

ααααω

ααααωααααω

ααααω

CCCmmPP

CCCCmmP

CCCCmmP

CCCCp

CCCCp

pbEbC

pbE

pbC

E

C

+++=+

+++−+=

++++=

+++++++−=

+++−=

Silnik sześciocylindrowy

[ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ] oooo

1116213

oooo1

o114

213

oooo1

o112

213

o1

o111

213

o16

o14

o12

o11

213

o16

o14

o12

o11

213

16141211213

36041440 ,3602072 6cos6cos6cos36)(2

2403602096 2404cos()1204cos(4cos16)(2

120360480 1202cos()2402cos(2cos4)(2

240cos()120cos(cos)(2

)14406cos(36)9604cos(16)4802cos(4)240cos()(2

)7206cos(36)4804cos(16)2402cos(4)120cos()(2

6cos364cos162cos4cos)(2

×=×=++++

+×=+++++++

+=+++++++

++++++=

=++

+++++++−+=

++++++++=

++++=

αααω

αααω

αααω

αααω

ααααω

ααααω

ααααω

Cmm

Cmm

Cmm

Cmm

PPP

CCCCmmP

CCCCmmP

CCCCmmP

p

p

p

p

bEbDbC

pbE

pbD

pbC

[ ][ ][ ][ ]

[ ] 6cos6cos6cos36)(2

36041440 ,3602072 6cos6cos6cos36)(2

2403602096 2404cos()1204cos(4cos16)(2

120360480 1202cos()2402cos(2cos4)(2

240cos()120cos(cos)(2

86.0240sin120sin

5.0240cos120cos

0cos5.0cos5.0cos

240sinsin240coscos

120sinsin120coscoscos

)240cos()120cos(cos

1116213

oooo1116

213

oooo1

o114

213

oooo1

o112

213

o1

o111

213

oo

oo

111

o1

o1

o1

o11

o1

o11

αααω

αααω

αααω

αααω

αααω

ααααα

αααααα

+++=++

×=×=++++

+×=+++++++

+=+++++++

++++++=++

=−=

−==

=−===−+

+−+=

=++++

CmmPPP

Cmm

Cmm

Cmm

CmmPPP

pbEbDbC

p

p

p

pbEbDbC