Reinhard Kulessa 1

Wykład 24

20.Fale elektromagnetyczne20.1 Równanie falowe20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach

Reinhard Kulessa 2

20.Fale elektromagnetyczne20.1 Równanie falowe

Z kursu mechaniki powinni Państwo pamiętać równanie fali wośrodku sprężystym.

x

y

2

2

2

2

x

x

t

y

W równaniu tym v2 = / - określało prędkość rozchodzenia się zaburzenia w kierunku x. Równanie to możemy zapisać jako:

0]1

[222

2

ytvx

Reinhard Kulessa 3

Równanie to poza tym, że jest jednorodne, posiada lewą stronę równą tej w równaniu (19.16) dla potencjałów i A.Widzimy więc, że dla obszaru w którym nie ma ładunków i prądów równanie (19.16) jest równaniem falowym.

Wyprowadźmy sobie więc równanie falowe dla fal elektromagnetycznych wprost z równania Maxwella korzystając z równań materiałowych.Załóżmy, że mamy ośrodek homogeniczny i izotropowy, oraz ze nie zawiera on ładunków. Oznacza to że , , =const. i = 0. Znane nam cztery równania Maxwella mają wtedy w układzie SI następującą postać:

Reinhard Kulessa 4

0

0'

'

0'

0'

EdivIV

HdivIII

t

HErotII

t

EEHrotI

rott

//

trot

//

Wykonajmy kolejno zaznaczone po prawej stronie równań I’ i II’ operacje. Otrzymamy wtedy następujące równania.

)()(

)()(

0

2

2

0

t

HrotEEdivgradErotrot

t

E

t

E

t

HrotHrot

t

= 0

Reinhard Kulessa 5

Eleminując z tych równań wyrażenie oraz mnożąc wynik obustronnie przez 1/0 , otrzymujemy:

)(t

Hrot

2

2

0

2 11

t

E

t

EcE

(20.1)

Dla drugiego przypadku eleminując wyrażenieotrzymujemy:

)(t

Erot

2

2

0

2 11

t

H

t

HcH

(20.2)

Przez kombinację równań Maxwella uzyskaliśmy dwa identycznejpostaci równania, które możemy zapisać jako:

2

2

0

2

tt

c

(20.3),

Reinhard Kulessa 6

Gdzie może przyjmować wartości H lub E.Równanie to nie jest proste, gdyż występują w nim zarówno pierwsza, jaki i druga pochodna cząstkowa po czasie.Załóżmy, że: tierEtrE )(),( 0

Po podstawieniu otrzymujemy:

][0

2

iEEc

. (20.4)

Jeśli zajdzie nierówność (/0) >> , w równaniu dominuje członz /t i wtedy mamy równanie dyfuzyjne, a gdy (/0) << , wtedy dominuje człon z 2/t2, i otrzymujemy równanie falowe.Dla izolatorów automatycznie jest spełniony warunek dla równaniafalowego .Widać więc z powyższego, że równania Maxwella zawierają w sobie opis rozchodzenia się fal elektromagnetycznych.

.

Reinhard Kulessa 7

20.2 Doświadczenie Herza - drgający dipol elektryczny

Z równań Maxwella wiemy, że fale elektromagnetyczne rozchodzą się w przestrzeni ze skończoną prędkością (patrz r. (20.3) ). Po raz pierwszy praktycznie wytworzył fale elektromagnetyczne Heinrich Herz w Karlsruhe w 1888 r. Dokonał On tego przy pomocy oscylującego dipola elektrycznego.Układ drgający Herza wyglądał bardzo prosto. Był to obwód drgający z przerwą iskrową.

C

L

Rezonator Herza Obwód drgający

Reinhard Kulessa 8

Obwód taki możemy przedstawić następująco:

EH HE H

E

W lewym rysunku L,C, H i E są dobrze zlokalizowane. Dobroć obwodu Q 100. W prawej części wymienione wielkości są rozmyte, a Q 1, ze względu na wypromieniowanie energii. Do drgającego dipola zawsze musi być doprowadzona energia aby podtrzymać drgania.

Reinhard Kulessa 9

HF

Taki drgający pręt jest dipolem elektrycznym

tqlpPel sin

(20.5)

Wzdłuż tego pręta periodycznie oscyluje ładunek elektryczny wytwarzając periodyczne pole E.Z kolei płynący prąd

tl

p

l

pqI cos0

przy czym

0pql

(20.6)

,

.

,

wytwarza periodyczne pole indukcji magnetycznej B.

Szukamy więc pola E i B w punkcie P odległym o r od dipola.

Reinhard Kulessa 10

W rozdziale piątym rozważaliśmy problem dipola stacjonarnego ipodaliśmy wartość natężenia pola w układzie biegunowym. Obecnie problem należy rozważać w układzie sferycznym.

p

r

x

y

z

P

Nie będziemy tutaj przeprowadzaćpełnych obliczeń, gdyż nie poznaliśmyzagadnienia potencjałów opóźnionych.Podamy wyniki uzyskane przez Herzaprzy następujących założeniach.

1. l(długość dipola) << r2. Zgodnie z równaniem falowym prędkość rozchodzenia się

wektorów E i B jest c.

Należy więc uwzględnić, że kształty pól w punkcie P w czasie t zostały wywołane przez stan dipola w chwili (t-r/c). W układziesferycznym wynik jest następujący:

Reinhard Kulessa 11

sin)(

0

0

0

sin)(4

1

cos)(24

1

22

2230

230

rc

p

cr

pB

B

B

E

rc

p

cr

p

r

pE

cr

p

r

pE

r

r

(20.7)

Musimy tu rozważyć dwa przypadki:A). Obszar bliski dipola r << =2c/. Zarówno prędkość jak i opóźnienia nie grają tu roli. Dla pola E wystąpią te człony, które poznaliśmy w rozdziale 5.7.4, czyli podkreślone na powyżej na czerwono.

Reinhard Kulessa 12

Dla pola B otrzymamy zgodnie z prawem Biotta-Savarta,

rplIr

B

)(1

4 30

Ponieważ wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły zarówno dowektora r jak i l, będzie miał tylko składową B.

sin

1

4||

30 rpr

BB

Przypadek ten nie jest związany z rozchodząca się falą elektromagnetyczną. Przejdźmy więc do przypadku drugiego:

B) r >> . Zgodnie ze wzorem (20.5) trzy człony powtarzające się we wzorze (20.7) można napisać następująco:

Reinhard Kulessa 13

tr

pt

cr

p

rc

p

tr

pt

ccr

p

cr

p

tr

pt

r

p

r

p

sin)(4sin)(

cos)(2cos

sin)(1sin

30220

2

230

20

2

330

30

3

.

W prawej części równania zastosowaliśmy związek:

kc

2

Ze względu na to, że /r << 1, człony w wyższej potędze będą zaniedbywalne. Dominującą rolę będzie odgrywało więc trzecie równanie. Przybliżone rozwiązanie będzie miało postać:

Reinhard Kulessa 14

sin4

10

0sin4

1

00

02

02

rc

pBE

Brc

pE

BE rr

(20.8)

irc

pB

irc

pE

ˆsin4

1

ˆsin4

1

02

02

(20.9)

Wrócimy jeszcze do krótkiego omówienia mocy wypromieniowanejprzez dipol później.

Reinhard Kulessa 15

x

r

2b

2a

V(x0 )

V(x0+x)

B(r)

I

I

20.3 Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach

Rozważmy koaksialny przewód z dwóch rur, w których płyną prądy I w przeciwnych kierunkach. Skorzystajmy w tym celu ze znanego nam już rysunku

Jeśli pomiędzy przewodami zakreślimy pętlę o promieniu r, to zgodnie z prawem Ampera :

rb

braIrBldB

ar

0

2

00

0

Reinhard Kulessa 16

Wobec tego

r

IrB

2)( 0 Dla a < r < b.

Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowana powierzchnię wynosi:

a

bl

Idrl

r

IAdB

b

a

B ln2

1

2 00

Wobec tego współczynnik indukcji własnej na jednostkę długości kabla wynosi:

.

a

b

Ill

LL oB ln

2

1

(20.10)

Równocześnie pojemność kondensatora cylindrycznego wynosi:

.

Reinhard Kulessa 17

C

ab

Cln2

4 0

(20.11)

Mamy więc, że;

200 cCL

(20.12)

Równanie to jest słuszne dla wszystkich rodzajów podwójnychkabli. Widzimy więc, ze rozchodzą się po nich fale elektromagnetyczne .